Κεφ αλαιο Απειροστ ες στροφ ες διαν υσµατος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφ αλαιο 6 6.1 Απειροστ ες στροφ ες διαν υσµατος"

Transcript

1 Κεφ αλαιο 6 Στροφ ες Ειδικ η Θεωρ ια της Σχετικ οτητας Στο εξ ης ο χ ωρος και ο χρ ονος ως ανεξ αρτητες εννοιες ε ιναι καταδικασµ ενοι να σ ησουν, καταντ ωντας απλ ες σκι ες, και µ ονο ενα ε ιδος συν ενωσ ης τους θα συνεχ ισει να υπ αρχει ως ανεξ αρτητη υπ οσταση. Hermann Minkowski 6.1 Απειροστ ες στροφ ες διαν υσµατος Πολλ ες φορ ες παρουσι αζεται η αν αγκη να µελετ ησουµε την επ ιδραση εν ος µετασχηµατισµο υ στροφ ης σε ενα φυσικ ο σ υστηµα, οπως για παρ αδειγµα οταν αναζητο υµε τις κατ α Noether αναλλο ιωτες ποσ οτητες που υ- παγορε υονται απ ο τη συµµετρ ια των στροφ ων. 1 Σε το υτο το κεφ αλαιο θα αρχ ισουµε τη µελ ετη µας, ξεκιν ωντας απ ο τη συστηµατικ η κατασκευ η του µετασχηµατισµο υ µιας απειροστ ης στροφ ης. Εστω ενα δι ανυσµα, το οπο ιο θ ελουµε να περιστρ εψουµε κατ α µ ια πολ υ µικρ η γων ια γ υρω απ ο εναν αξονα που εχει διε υθυνση και δι ερχεται απ ο την αρχ η του διαν υσµατος. Η φορ α περιστροφ ης καθορ ιζεται συµ ατικ α απ ο την κατε υθυνση του µ εσω του καν ονα του δεξι οστροφου κοχλ ια η του δεξιο υ χεριο υ. Το αρχικ ο δι ανυσµα υστερα απ ο την περιστροφ η του γ υρω απ ο τον αξονα µετατρ επεται στο δι ανυσµα, το οπο ιο εχει την ιδια αφετηρ ια µε το, αλλ α το ακρο του διαγρ αφει µια περιφ ερεια κ υκλου, το επ ιπεδο του οπο ιου ε ιναι κ αθετο στον αξονα (βλ. Σχ ηµα 6.1. Ο κ υκλος αυτ ος εχει ακτ ινα ιση µε τη προ ολ η του π ανω στο κ αθετο επ ιπεδο, δηλαδ η, αφο υ το ε ιναι µοναδια ιο δι ανυσµα. Επειδ η η περιστροφ η του διαν υσµατος ε ιναι απειροστ η, µπορο υµε να θεωρ ησουµε οτι η στροφ η αυτ η επιτυγχ ανεται, αν προσθ εσουµε στο 1 Στην κ αντοµηχανικ η θε ωρηση των φυσικ ων συστηµ ατων, οπου ολα τα κλασικ α φυσικ α µεγ εθη εµφαν ιζονται ως τελεστ ες, η γν ωση εν ος τ ετοιου µετασχηµατισµο υ, εν ος τελεστ η δηλαδ η που, επενεργ ωντας σε κυµατοσυναρτ ησεις, δ ινει την καινο υργια τους τιµ η στη θ εση που καθορ ιζεται απ ο τη δρ αση της στροφ ης στο δι ανυσµα της αρχικ ης θ εσης, αποκτ α ξεχωριστ η σηµασ ια. Συστηµατικ η κατασκευ η απειροστ ης στροφ ης 145

2 #$ #$ #$ #$ #$ 146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ κατ α µ ια απειροστ η γων ια γ υρω απ ο τον. Η ν εα θ εση του διαν υσµατος ε ιναι η. Σχ ηµα 6.1: Στροφ η του διαν υσµατος αξονα ενα δι ανυσµα κατ α µ ηκος του κ αθετο και στο και στο, µε µ ηκος, δηλαδ η ενα δι ανυσµα που ε ιναι. Συνεπ ως,! (6.1 Η παραπ ανω σχ εση προφαν ως ισχ υει µ ονο για απειροστ ες στροφ ες και οχι για πεπερασµ ενες, αφο υ, αν ισχυε, τ οτε το µ ετρο του ν εου διαν υσµατος δεν θα ηταν ισο µε εκε ινο του αρχικο υ. Φυσικ α, µια πεπερασµ ενη στροφ η µπορε ι να επιτευχθε ι µε διαδοχικ ες απειροστ ες στροφ ες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση 6.1. ε ιξτε οτι το µ ετρο του ως προς τη γων ια στροφ ης. " ε ιναι ισο µε το µ ετρο του σε πρ ωτη τ αξη Οι απειροστ ες στροφ ες Ορ ιζοντας το απειροστ ο δι ανυσµα ε ιναι διαν υσµατα #$ % ' καθορ ιζουµε πλ ηρως το µετασχηµατισµ ο της απειροστ ης στροφ ης. Αν, τ ωρα, εκτελ εσουµε δ υο διαδοχικ ες απειροστ ες στροφ ες, διαφορετικο υ µεγ εθους και γ υρω απ ο διαφορετικο υς αξονες, για παρ αδειγµα "(, *, τ οτε το αρχικ ο δι ανυσµα µετασχηµατ ιζεται µε τη πρ ωτη στροφ η σε και κατ οπιν µε τη δε υτερη στροφ η σε, οπου + *,.- / (0 213 #$ *, - #$ "(/ 1 #$ "(" *0 4! (6.2

3 #$ ED 6.2. ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 147 Απ ο την παραπ ανω σχ εση φα ινεται οτι οι απειροστ ες στροφ ες συµπεριφ ερονται ως διαν υσµατα, αφο υ δ υο τ ετοιες διαδοχικ ες στροφ ες επιτυγχ ανονται µ εσω του διαν υσµατος "( #$ "(5 #$ *0 #$ ε ιναι αµελητ εος, αφο υ Ο ορος δε υτερης τ αξης ως προς τα διαν υσµατα οι στροφ ες ε ιναι απειροστ ες. Η σειρ α, µ αλιστα, µε την οπο ια πραγµατοποιο υνται οι στροφ ες δεν εχει σηµασ ια. Αυτ α τα δ υο χαρακτηριστικ α γνωρ ισµατα των απειροστ ων στροφ ων, η διανυσµατικ η συµπεριφορ α και η αντιµεταθετικ οτητα των απειροστ ων στροφ ων δεν επεκτε ινονται στις πεπερασµ ενες στροφ ες, γεγον ος το οπο ιο καθιστ α πολ υ πλο υσιο το µενο υ των φαινοµ ενων που αφορο υν σε περιστροφ ες στερε ων σωµ ατων. Ασκηση 6.2. Θεωρ ηστε εναν κ υ ο και εκτελ εστε διαδοχικ α τρεις ισες απειροστ ες στροφ ες γ υρω απ ο τις τρεις ορθογ ωνιες ακµ ες του. Ποια ε ιναι η µετατ οπιση της κορυφ ης, η οπο ια βρ ισκεται διαγων ιως της κορυφ ης οπου συναντ ωνται οι ακµ ες που ορισαν τους αξονες των στροφ ων; Γ υρω απ ο ποιοn αξονα στρ εφεται συνολικ α ο κ υ ος; ΑΣΚΗΣΕΙΣ Στη συν εχεια θα αναπαραστ ησουµε υπ ο µορφ η π ινακα το µετασχηµατισµ ο µιας απειροστ ης στροφ ης. Γι αυτ ον το λ ογο, χρησιµοποι ωντας δε ικτες και φυσικ α την αθροιστικ η σ υµ αση, επαναδιατυπ ωνουµε τη σχ εση (6.1 ως εξ ης: :6 ;:< ; < 7 6 6=< 8:6 ;:< ; > < (6.3 οπου 7 6 τα µοναδια ια καρτεσιαν α διαν υσµατα β ασης. Η απειροστ η αυτ η στροφ η, λοιπ ον, επιτυγχ ανεται, αν πολλαπλασι ασουµε το αρχικ ο δι ανυσµα, το οπο ιο ισοδ υναµα µπορο υµε να γρ αψουµε ως µον οστηλο π ινακα, µε τον π ινακα Ο π ινακας # *C * *C # "( # * "( Τ ελος, τον ιζουµε οτι τα οσα αναφ ερθηκαν για το µετασχηµατισµ ο στροφ ης ισχ υουν οχι µ ονο για τα διαν υσµατα θ εσης αλλ α και για κ αθε αλλο δι ανυσµα (ταχ υτητα, επιτ αχυνση, δ υναµη κλπ., αφο υ ως διαν υσµατα ορ ιστηκαν οι τρι αδες εκε ινες των αριθµ ων που µετασχηµατ ιζονται στις στροφ ες µε τον ιδιο τρ οπο που µετασχηµατ ιζονται τα διαν υσµατα θ εσης. µετασχηµατισµο υ για µια απειροστ η στροφ η

4 F H H H H 148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ, διαγρ αφο- Σχ ηµα 6.2: To δι ανυσµα ντας κ υκλο ακτ ινας. G περιστρ εφεται µε σταθερ η γωνιακ η ταχ υτητα 6.2 Γωνιακ η ταχ υτητα Απ ο την απειροστ η στροφ η στη γωνιακ η ταχ υτητα H Οταν ενα δι ανυσµα περιστρ εφεται συνεχ ως γ υρω απ ο τον αξονα, ο ρυθµ ος µετα ολ ης του διαν υσµατος ε ιναι οπου KJ H.LNMNO U# PQSR/T J KJ V W HX W % KJ (6.4 ε ιναι ενα δι ανυσµα που ονοµ αζεται H γωνιακ η ταχ υτητα και µετρ α το ρυθµ ο περιστροφ ης του διαν υσµατος, εν ω η διε υθυνσ η του καθορ ιζεται απ ο τον αξονα γ υρω απ ο τον οπο ιο πραγµατοποιε ιται η στροφ η. Αξ ιζει να αναφ ερουµε πως το γεγον ος οτι η γωνιακ η ταχ υτητα ε ιναι δι ανυσµα οφε ιλεται στο διανυσµατικ ο χαρακτ ηρα των απειροστ ων στροφ ων. Σηµει ωνουµε επ ισης οτι, αν αναφερ οµασταν σε ενα χ ωρο µε περισσ οτερες απ ο τρεις διαστ ασεις, η γωνιακ η ταχ υτητα θα επαυε να ε ιναι δι ανυσµα. Σκεφτε ιτε, για παρ αδειγµα, το πρ ο ληµα που θα αντιµετωπ ιζατε αν προσπαθο υσατε να ορ ισετε τον αξονα κ αποιας στροφ ης σε ενα χ ωρο τεσσ αρων διαστ ασεων! Στη συν εχεια ε ιναι ε υκολο να δε ιξουµε οτι, αν ενα δι ανυσµα µετα αλλεται σ υµφωνα µε το ν οµο KJ W HY µε W κ αποιο σταθερ ο δι ανυσµα, τ οτε το ακρο του διαν υσµατος H εκτελε ι κυκλικ η κ ινηση σε ενα επ ιπεδο κ αθετο στο W (βλ. Σχ ηµα 6.2. Πρ αγµατι

5 H H H H H [ [ H H H H W W W H H W [ 6.2. ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 149 ισχ υει Z KJ KJV[ W ]\ H [ και εποµ ενως το µ ετρο του H ε ιναι σταθερ ο. Επ ισης, KJ W KJV[ W ]\ H [ και εποµ ενως W σταθερ ο H Απ ο πρ ωτο συµπ ερασµα συν αγεται οτι το ακρο του διαν υσµατος κινε ιται στην επιφ ανεια µιας H σφα ιρας, εν ω απ ο το δε υτερο συν αγεται οτι το ακρο του διαν υσµατος H W W κε ιται σε ενα επ ιπεδο κ αθετο H στο, αφο υ η προ ολ η του επ ι του ε ιναι σταθερ η. Συνεπ ως, το κινε ιται στην τοµ η µιας σφα ιρας και εν ος επιπ εδου, δηλαδ η στην περιφ ερεια εν ος H κ υκλου. Η ακτ ινα της κυκλικ ης τροχι ας που διαγρ αφει το δι ανυσµα ε ιναι W H >^ MN_ a` H W εν ω ο ρυθµ ος µε τον οπο ιο διαγρ αφεται η κυκλικ η αυτ η τροχι α ε ιναι σταθερ ος, αφο υ KJV[ KJ W W W H # H Ασκηση 6.3. Η οδογρ αφος ε ιναι η καµπ υλη που διαγρ αφει το ακρο του διαν υσµατος της ταχ υτητας αν τα διαν υσµατα της ταχ υτητας σε διαφορετικ ες χρονικ ες στιγµ ες σχεδιαστο υν να εχουν κοιν η αρχ η. Προσδιορ ιστε την οδογρ αφο εν ος φορτισµ ενου σω- µατιδ ιου που κινε ιται σε οµογεν ες µαγνητικ ο πεδ ιο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

6 H H H 150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ 6.3 Περιστρεφ οµενα συστ ηµατα αναφορ ας Πολλ ες φορ ες για τη µελ ετη δι αφορων φαινοµ ενων που συµ α ινουν σε περιστρεφ οµενα συστ ηµατα, οπως αυτ ων που λαµ ανουν χ ωρα στην επιφ ανεια της περιστρεφ οµενης Γης. Σε αυτ ες τις περιπτ ωσεις ενδε ικνυται η αν αλυση των φαινοµ ενων αυτ ων στα πλα ισια του περιστρεφ οµενου συστ ηµατος αναφορ ας. Επειδ η οι µετρ ησεις που πραγµατοποιο υµε αφορο υν στις ταχ υτητες και στις επιταχ υνσεις στο περιστρεφ οµενο σ υστηµα αναφορ ας και επειδ η οι ν οµοι του Νε υτωνα ισχ υουν µ ονο σε αδρανειακ α συστ ηµατα αναφορ ας, για να διατυπ ωσουµε τους δυναµικο υς ν οµους στο περιστρεφ οµενο σ υστηµα, πρ επει να µεταφρ ασουµε τις ταχ υτητες και τις επιτ αχυνσεις απ ο το αδρανειακ ο στο περιστρεφ οµενο σ υστηµα. Εστω, λοιπ ον, 7 6 µε b Z dc µια ορθοκανονικ η β αση του περιστρεφ οµενου W συστ ηµατος, η οπο ια περιστρ εφεται µαζ ι µε το σ υστηµα αυτ ο. Αν ε ιναι η στιγµια ια γωνιακ η ταχ υτητα του περιστρεφ οµενου συστ ηµατος, τ οτε τα διαν υσµατα β ασης του περιστρεφ οµενου συστ ηµατος, οπως και ολα τα διαν υσµατα σταθερο υ µ ετρου, µετα αλλονται σ υµφωνα µε τον αδρανειακ ο παρατηρητ η, β ασει του ν οµου 7 6 KJ W 7 6 (6.5 Θ ελουµε να προσδιορ ισουµε, He J τ ωρα, τη συσχ ετιση της εξ ελιξης εν ος διανυσµατικο υ µεγ εθους στο περιστρεφ οµενο και He στο J αδρανειακ ο σ υστηµα. Αν αναλ υσουµε το διανυσµατικ ο µ εγεθος στο περιστρεφ ο- µενο σ υστηµα, θα εχουµε He J H 6 J 7 6 οπου H 6 J ε ιναι οι στιγµια ιες συνιστ ωσες του διαν υσµατος στη δεδοµ ενη αυτ η β αση. Σε αυτ ο το σ υστηµα η β αση ε ιναι σταθερ η και ως εκ το υτου δεν εχει καµ ια χρονικ η εξ αρτηση[ εποµ ενως ο ρυθµ ος µετα ολ ης του διαν υσµατος στο περιστρεφοµενο σ υστηµα ε ιναι KJ+ g H 6 KJ 7 6 (6.6 οπου ο δε ικτης h σηµα ινει οτι η αν αλυση εχει γ ινει στο περιστρεφ οµενο σ υστηµα. Αν υπολογ ιζαµε το ρυθµ ο αυτ ο στο αδρανειακ ο σ υστηµα, θα επρεπε να λ α ουµε υπ οψη µας τη στροφ η των διανυσµ ατων β ασης. Ετσι για το αδρανειακ ο σ υστηµα, το οπο ιο θα συµ ολ ιζουµε στο εξ ης µε τον δε ικτη A, ο ρυθµ ος αυτ ος, υστερα απ ο εφαρµογ η της σχ εσης (6.5, θα ε ιναι: KJ A H 6 KJ 7 6 H KJ A H 6 KJ 7 6 H 6 W 7 6 KJ+ g W H (6.7

7 l l g j j j g j g j g j g j j j g j g g 6.3. ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 151 Β ασει της σχ εσης (6.7 µπορο υµε να διατυπ ωσουµε την ακ ολουθη σχ εση διαφορικ ων τελεστ ων που δρουν σε διαν υσµατα, οταν µετα α ινουµε απ ο ενα περιστρεφ οµενο σε ενα αδρανειακ ο σ υστηµα: KJ A KJ g W i (6.8 Τη σχ εση το υτη µπορο υµε να τη χρησιµοποι ησουµε για να συγκρ ινουµε τις ταχ υτητες και τις επιταχ υνσεις που υπολογ ιζει ενας παρατηρητ ης που βρ ισκεται σε ενα περιστρεφ οµενο σ υστηµα αναφορ ας, οπως αυτ ο της Γης, το οπο ιο εχει ως W αρχ η του το κ εντρο της Γης και περιστρ εφεται µε τη γωνιακ η ταχ υτητα της Γης, µε τις ταχ υτητες και τις επιταχ υνσεις που υπολογ ιζει ενας παρατηρητ ης σε ενα αδρανειακ ο σ υστηµα αναφορ ας, οπως αυτ ο που εχει αρχ η του το κ εντρο της Γης και δεν περιστρ εφεται ως προς τους µακρινο υς αστ ερες. Παρατηρο υµε οτι τα διαν υσµατα θ εσης ε ιναι τα ιδια και στα δ υο συστ ηµατα αναφορ ας, ε ιτε αυτ α µετρ ωνται στο ενα σ υστηµα, ε ιτε στο αλλο, παρ ολο που οι συνιστ ωσες τους ε ιναι εν γ ενει διαφορετικ ες στα δ υο συστ ηµατα. Ε αν ο παρατηρητ ης που βρ ισκεται στην περιστρεφ οµενη Γη υπολογ ιζει οτι κ αποιο σωµατ ιδιο που βρ ισκεται στη θ εση εχει ταχ υτητα j g, ο αδρανειακ ος παρατηρητ ης που βρ ισκεται στο αδρανειακ ο σ υστηµα αναφορ ας θα πρ επει να µετρ αει ταχ υτητα j A που δ ινεται απ ο τη σχ εση W k (6.9 A Για τον υπολογισµ ο της επιτ αχυνσης που εκτιµο υν οι δ υο παρατηρητ ες χρει αζεται να ε ιµαστε πιο προσεκτικο ι. Η επιτ αχυνση που υπολογ ιζει ο αδρανειακ ος παρατηρητ ης ε ιναι A KJ A εν ω η επιτ αχυνση που υπολογ ιζει ο παρατηρητ ης που βρ ισκεται στη περιστρεφ οµενη Γη ε ιναι KJ g Η σχ εση µεταξ υ των δ υο ποσοτ ητων δεν ε ιναι αµεση. Αν χρησιµοποι ησουµε την ταυτ οτητα (6.8 παρατηρο υµε οτι A A KJ A KJ m j g A W W KJ KJ Z gz W W A g W m j W W W W W K K! (6.10 Σχ εση ρυθµο υ µετα ολ ης διαν υσµατος σε αδρανειακ α και περιστρεφ οµενα συστ ηµατα Συσχ ετιση ταχυτ ητων Συσχ ετιση επιταχ υνσεων

8 W G W l j g G G j j 152 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση 6.4. ε ιξτε οτι, αν η γωνιακ η ταχ υτητα δεν ε ιναι σταθερ η, τ οτε οι επιταχ υνσεις στα δ υο συστ ηµατα (στο περιστρεφ οµενο σ υστηµα και το αδρανειακ ο σ υστηµα συνδ εονται σ υµφωνα µε τη σχ εση: n A o nqpsrut Gwv xdp r Gwvz G{v m }r~ G G{v m }r v G v w (6.11 οπου ε ιναι η στιγµια ια γωνιακ η ταχ υτητα µε την οπο ια περιστρ εφεται ο αξονας της γωνιακ ης ταχ υτητας. Οι δ υο ν εοι οροι που εµφαν ιζονται στην παραπ ανω σχ εση ε ιναι η επιτ αχυνση που οφε ιλεται στη γωνιακ η επιτ αχυνση του περιστρεφ οµενου συστ ηµατος και η µεταπτωτικ η επιτ αχυνση αντ ιστοιχα. Σ υγκριση της επιτ αχυνσης Coriolis µε την κεντροµ ολο επιτ αχυνση Εν ω ο ορος που συνδ εει τις δ υο ταχ υτητες στα δ υο συστ ηµατα, µ εσω της σχ εσης (6.9, ε ιναι διαισθητικ α προφαν ης, 2 οι δ υο αντ ιστοιχοι οροι που συνδ εουν τις επιταχ υνσεις, µ εσω της σχ εσης (6.10, δεν ε ιναι τ οσο προ- W φανε ις. Ο δε υτερος ορος W K ε ιναι η γνωστ η µας κεντροµ ολος επιτ αχυνση, που µας ε ιναι περισσ οτερο οικε ια ως φυγ οκεντρος επιτ αχυνση µε αντ ιθετο πρ οσηµο, αφο υ την αισθαν οµαστε, οταν επι α ινουµε σε ενα περιστρεφ οµενο Z σ υστηµα, οπως για παρ αδειγµα σε ενα αυτοκ ινητο που στρ ι ει. Ο ορος, η επονοµαζ οµενη επιτ αχυνση Coriolis, 3 αν και δεν ε ιναι τ οσο συνδεδεµ ενος µε την καθηµεριν η µας εµπειρ ια, ε ιναι υπε υθυνος για τη δηµιουργ ια των κυκλωνικ ων και αντικυκλωνικ ων κιν ησεων των α εριων µαζ ων της ατµ οσφαιρας που µε τη σειρ α τους προκαλο υν τα δι αφορα καιρικ α φαιν οµενα. Εν ω η επιτ αχυνση Coriolis αντιστρ εφεται, αν αντιστραφε ι η γωνιακ η ταχ υτητα, η κεντροµ ολος επιτ αχυνση δεν αλλ αζει φορ α, αλλ α κατευθ υνεται π αντοτε προς τον αξονα περιστροφ ης εξαιτ ιας της υπαρξης του ορου εις διπλο υν. Ο λ ογος για τον οπο ιο η επιτ αχυνση Coriolis δεν ε ιναι τ οσο εκδηλη στην καθηµεριν η µας ζω η, οσο ε ιναι η κεντροµ ολος επιτ αχυνση, οφε ιλεται στο οτι οι κιν ησεις στο περιστρεφ οµενο σ υστηµα ε ιναι συν ηθως πολ υ πιο αργ ες απ ο την περιστροφικ η κ ινηση του ιδιου του συστ ηµατος. 4 Οπως µπορε ι κανε ις ε υκολα να διαπιστ ωσει, τα µ ετρα των δ υο επιταχ υνσεων εχουν λ ογο τ αξης lu Kƒ κεντρ W j W K j W K περ ( Ο ορος αυτ ος µετρ α τη γραµµικ η ταχ υτητα µε την οπο ια κινε ιται ως προς το αδρανειακ ο σ υστηµα το σηµε ιο του περιστρεφ οµενου συστ ηµατος στο οπο ιο βρ εθηκε στιγµια ια το κινο υµενο σωµατ ιδιο. 3 O Gustav-Gaspard Coriolis [ ], γ αλλος φυσικοµαθηµατικ ος και µηχανικ ος, ηταν ο πρ ωτος που µελ ετησε τις µη αδρανειακ ες δυν αµεις σε περιστρεφ οµενα συστ ηµατα αναφορ ας. 4 Ισως αναρωτηθε ιτε για ποιο λ ογο ε ιναι τ οτε τ οσο σηµαντικ η η δ υναµη Coriolis στη δηµιουργ ια καιρικ ων φαινοµ ενων. Θα δο υµε παρακ ατω οτι η φυγ οκεντρος δ υναµη εξισορροπε ιται απ ο τη βαρυτικ η δ υναµη και δεν εχει δυναµικ η σηµασ ια στη διαµ ορφωση του καιρο υ.

9 Ž Ž ˆ ˆ l l Z l Ž j 6.4. ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΟΣ ΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΥΝΑΜΗ COROLS 153 οπου j η ταχ υτητα του σ ωµατος στο περιστρεφ οµενο σ υστηµα και j περ η ταχ υτητα περιστροφ ης του συστ ηµατος οπως αυτ η φα ινεται απ ο το µη περιστρεφ οµενο σ υστηµα. Ε ιµαστε, τ ωρα, σε θ εση να διατυπ ωσουµε το δε υτερο ν οµο του Νε υτωνα σε ενα περιστρεφ οµενο σ υστηµα αναφορ ας. Η δ υναµη που αποδ ιδει ενας περιστρεφ οµενος ˆ παρατηρητ ης σε ενα κινο υµενο σωµατ ιδιο στο οπο ιο επιδρ α η δ υναµη ε ιναι Π Š Π Š ˆ # Z Α # lu Kƒ "# W jœ# W W κεντρ K! (6.13 ηλαδ η, ο περιστρεφ οµενος ˆ παρατηρητ ης πρ επει να εισαγ αγει π εραν της εξωτερικ ης δ υναµης δ υο ψευδο-δυν αµεις, τη δ υναµη Coriolis # Z W και τη φυγ οκεντρο δ υναµη # W W K, για να διατυπ ωσει το δυναµικ ο ν οµο εξ ελιξης του σωµατιδ ιου στο περιστρεφ οµενο σ υστηµα. 6.4 Φυγ οκεντρος δ υναµη και δ υναµη Coriolis Η φυγ οκεντρος δ υναµη φυγ # W W µπορε ι να θεωρηθε ι οτι προ ερχεται απ ο δυναµικ η εν εργεια της µορφ ης φυγ q K # W dža K (6.14 οπου ε ιναι η κ αθετη απ οσταση της θ εσης του σωµατιδ ιου απ ο τον αξονα περιστροφ ης του συστ ηµατος. Η απ οδειξη οτι # W W # φυγ q ε ιναι ε υκολη, αν καταφ υγει κανε ις σε κυλινδρικ ες συντεταγµ ενες Ž d }d, µε αξονα τον αξονα περιστροφ ης, και δε ιξει οτι W W K # W Το ε ιναι η προ ολ η του διαν υσµατος στο επ ιπεδο το κ αθετο στον αξονα (βλ. Σχ ηµα 6.3. Οταν εκτελο υµε πειρ αµατα στο εργαστ ηριο µε στ οχο να προσδιορ ισουµε την επιτ αχυνση της βαρ υτητας, αυτ ο που µετρ αµε δεν ε ιναι η επιτ αχυνση της βαρ υτητας, αλλ α η επιτ αχυνση Œ# W W W οπου ε ιναι η γωνιακ η c ταχ υτητα περιστροφ ης της Γης. Η δι ορθωση αυτ η ε ιναι της τ αξεως των mm [ s στην επιφ ανεια της Γης. 5 Το φυγοκεντρικ ο δυναµικ ο µπορε ι να χρησιµοποιηθε ι για να προσδιοριστε ι το γεωει- 5 Η τιµ η αυτ η αντιστοιχε ι στη φυγ οκεντρο επιτ αχυνση στον Ισηµεριν ο της Γης. Σε αλλα σηµε ια της Γης η τιµ η αυτ η αλλ αζει λ ογω της διαφορετικ ης απ οστασης που απ εχουν αυτ α απ ο τον αξον α της. K Περ ι της φυγοκ εντρου δυν αµεως Προσδιορισµ ος του σχ ηµατος της Γης

10 G 154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Σχ ηµα 6.3: Σηµει ωνονται τα διαν υσµατα που καθορ ιζεται απ ο το δι ανυσµα. και σε σχ εση µε τον αξονα περιστροφ ης δ ες, το σχ ηµα δηλαδ η που ε ιχε αποκτ ησει η επιφ ανεια της Γης εξαιτ ιας της περιστροφ ης της στα πρ ωτα στ αδια της γ εννησ ης της, οταν ηταν ακ οµη ρευστ η, και το οπο ιο διατ ηρησε και υστερα απ ο την ψ υξη της. 6 Ο προσδιορισµ ος αυτ ος επιτυγχ ανεται, αν απαιτ ησουµε το αθροισµα του βαρυτικο υ και του φυγοκεντρικο υ δυναµικο υ π ανω στην επιφ ανεια της Γης να ε ιναι σταθερ ο. Αυτ ο σηµα ινει οτι σε κ αθε σηµε ιο της επιφ ανει ας της η κ αθετος εχει τη διε υθυνση της 0 (βλ. Σχ ηµα 6.4. Αν η επιφ ανεια της Γης δεν ηταν µια ισοδυναµικ η επιφ ανεια, αν δηλαδ η το αθροισµα του βαρυτικο υ και του φυγοκεντρικο υ δυναµικο υ δεν ηταν σταθερ ο στην επιφ ανεια της Γης, δεν θα υπ ηρχε ισορροπ ια και η ρευστ η επιφ ανει α της θα µετα αλλ οταν στην προσπ αθει α της να αποκτ ησει αυτ ο το σχ ηµα[ τα θαλ ασσια υδατα θα ερρεαν προς χαµηλ οτερα δυναµικ α, εν ω το ιδιο θα συν ε αινε και µε τα χερσα ια εδ αφη µ εσω πλαστικ ης παραµ ορφωσ ης τους, µε αποτ ελεσµα την αλλαγ η του σχ ηµατος της επιφ ανειας της Γης. Σχ ηµα 6.4: Το σχ ηµα της Γης ε ιναι µια ισοδυναµικ η επιφ ανεια. Η κ αθετος σε αυτ η την επιφ ανεια εχει τη διε υθυνση της συνισταµ ενης της βαρυτικ ης και της φυγοκ εντρου δ υναµης. 6 Ο ιδιος ο Νε υτωνας επιχε ιρησε να προσδιορ ισει το πεπλατυσµ ενο σχ ηµα της Γης, το οπο ιο µετρ ηθηκε πολλ α χρ ονια αργ οτερα απ ο τους Maupertuis και Clairaut µε γεωδαιτικ ες µετρ ησεις που πραγµατοπο ιησαν στη Λαπων ια.

11 Ž 6.4. ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΟΣ ΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΥΝΑΜΗ COROLS 155 Ασκηση 6.5. Ε αν η Γη, παρ α την περιστροφικ η της κ ινηση, ε ιχε σφαιρικ ο σχ ηµα µε τι επιτ αχυνση θα κινο υνταν ενα σ ωµα στην επιφ ανει α της προς τον σηµεριν ο λ ογω της φυγοκ εντρου δ υναµης; (Θεωρ ηστε οτι το σ ωµα ολισθα ινει στην επιφ ανεια δ ιχως τρι ες. Με τι ταχ υτητα θα εφτανε το σ ωµα στον Ισηµεριν ο, αν ηταν αρχικ α ακ ινητο κοντ α σε κ αποιον Π ολο; Σε π οσο χρ ονο θα εφτανε το σ ωµα στον Ισηµεριν ο; ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μπορο υµε επ ισης να εκµεταλλευτο υµε το φυγοκεντρικ ο δυναµικ ο για να κατασκευ ασουµε παρα ολικ α κατ οπτρα τηλεσκοπ ιων µεγ αλων διαστ ασεων. Η τεχνικ η ε ιναι η ακ ολουθη: γεµ ιζουµε ενα δοχε ιο που βρ ισκεται σε περι αλλον υψηλ ης θερµοκρασ ιας µε γυαλ ι σε υγρ η µορφ η. Θ ετουµε το δοχε ιο µε το ρευστ ο γυαλ ι σε περιστροφικ η κ ινηση. Καθ ως το δοχε ιο περιστρ εφεται, η επιφ ανεια του γυαλιο υ που βρ ισκεται µ εσα σε αυτ ο αποκτ α σχ ηµα του οπο ιου Ž το συνολικ ο βαρυτικ ο και φυγοκεντρικ ο δυναµικ ο ε ιναι σταθερ ο. Αν ε ιναι το υψος της επιφ ανειας του ρευστο υ γυαλιο υ σε απ οσταση απ ο τον αξονα περιστροφ ης, θα ισχ υει Ž # Z W Ža σταθ Κατασκευ η παρα ολικ ων κατ οπτρων δηλαδ η το ρευστ ο γυαλ ι µ εσα στο δοχε ιο θα αποκτ ησει το σχ ηµα παρα ολοειδο υς. Για την κατασκευ η του κατ οπτρου αρκε ι στη συν εχεια να µει- ωσουµε τη θερµοκρασ ια ωστε να στερεοποιηθε ι το γυαλ ι στο επιθυµητ ο σχ ηµα. Σχ ηµα 6.5: Το υγρ ο µ εσα σε ενα δοχε ιο που περιστρ εφεται αποκτ α παρα ολικ η επιφ ανεια εξαιτ ιας της φυγοκ εντρου δ υναµης. Η επιφ ανεια του υγρο υ ε ιναι µια ισοδυναµικ η επιφ ανεια αντ ιστοιχη µε την επιφ ανεια εν ος περιστρεφ οµενου ρευστο υ πλαν ητη. Για να κατανο ησουµε, τ ωρα, τη δ υναµη Coriolis, ας εξετ ασουµε την ακ ολου-θη κ ινηση, οπως αυτ η περιγρ αφεται σε ενα περιστρεφ οµενο σ υστηµα αναφορ ας: ενα σωµατ ιδιο κινε ιται ακτινικ α µε σταθερ η ταχ υτητα j, αποµακρυν οµενο απ ο τον αξονα περιστροφ ης του. Στο αδρανειακ ο Περ ι της δ υναµης Coriolis

12 G ˆ G 156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ σ υστηµα αναφορ ας το σωµατ ιδιο ακολουθε ι µια σπειροειδ η τροχι α και οσο περισσ οτερο αποµακρ υνεται απ ο W τον αξονα περιστροφ ης τ οσο αυξ ανεται η περιστροφικ η του ταχ υτητα. Αντιλαµ αν οµαστε οτι, για να ˆ συµ α ινει κ ατι τ ετοιο, θα πρ επει να ασκε ιται στο σωµατ ιδιο µια δ υναµη, η οπο ια θα εχει συνεχ ως αζιµουθιακ η κατε υθυνση. Απ ο την αλλη πλευρ α, ο περιστρεφ οµενος παρατηρητ ης στην προσπ αθεια του να δικαιολογ ησει την ευθ υγραµµη κ ινηση που παρατηρε ι θα πρ επει ˆ να υποθ εσει οτι στο σω- µατ ιδιο ασκε ιται µια ιση και αντ ιθετη δ υναµη # Cor. Αυτ η ακρι ως η υποθετικ η δ υναµη ε ιναι η δ υναµη Coriolis, η οπο ια σ υµφωνα µε την αν αλυσ η µας αλλ αζει φορ α, αν αλλ αξει φορ α η γωνιακ η ταχ υτητα. Το µ ετρο αυτ ης της δ υναµης µπορο υµε ε υκολα να το υπολογ ισουµε, αν σκεφτο υµε οτι µια δ υναµη š ˆ σαν την ασκε ι ροπ η που προκαλε ι µετα ολ η της στροφορµ ης, e W,, του σωµατιδ ιου. 7 Ετσι, ˆ Cor ˆ š KJ KJ W Z W KJ Z W j (6.15 Καιρ ος και δ υναµη Coriolis που δεν ε ιναι αλλο παρ α το µ ετρο της συνιστ ωσας της δ υναµης Coriolis που προ λ επεται απ ο την (6.13 (δε υτερος ορος της τελικ ης σχ εσης. Οπως προαναφ εραµε η δ υναµη Coriolis πα ιζει ουσιαστικ ο ρ ολο στην κ ινηση των α εριων και υδ ατινων µαζ ων στον πλαν ητη µας. Αν στην ατ- µ οσφαιρα εν ος µη περιστρεφ οµενου πλαν ητη αναπτυχθε ι διαφορ α π ιεσης µεταξ υ δ υο περιοχ ων, η διαφορ α αυτ η θα εξοµαλυνθε ι ταχ υτατα. Αν, οµως, ο πλαν ητης περιστρ εφεται, τ οτε µπορε ι η διαφορ α π ιεσης να συντηρηθε ι επ απειρον. Εξαιτ ιας της δ υναµης Coriolis, η οπο ια ε ιναι κ αθετη στην κ ινηση της ατµ οσφαιρας και εχει φορ α προς τα δεξι α της κ ινησης (στο β ορειο ηµισφα ιριο, η µετακ ινηση α εριων ρευµ ατων απ ο υψηλ α προς χαµηλ α βαροµετρικ α συστ ηµατα ακολουθε ι στρο ιλ ωδη κ ινηση (βλ. Σχ η- µα 6.6 µε αποτ ελεσµα τα βαροµετρικ α συστ ηµατα να ικανοποιο υν µε µεγ αλη ακρ ι εια τη συνθ ηκη γεωστροφικ ης ισορροπ ιας 8 # Z Ž W jœ# œ\ 7 Αυτ η ε ιναι η στροφορµ η του σωµατιδ ιου που µετρ αει ο αδρανειακ ος παρατηρητ ης, αφο υ το σωµατ ιδιο κινε ιται ακτινικ α στο περιστρεφ οµενο σ υστηµα και εποµ ενως δεν εχει στροφορµ η στο σ υστηµα αυτ ο. Προσ εξτε, επ ισης, οτι τα διαν υσµατα και ε ιναι ορθογ ωνια και ετσι το µ ετρο του διπλο υ εξωτερικο υ γινοµ ενου που περιγρ αφει τη στροφορµ η του σωµατιδ ιου ε ιναι G dž. 8 Η γεωστροφικ η ισορροπ ια ε ιναι δυνατ η αν τηρο υνται κ αποιες προ ποθ εσεις: αν ε ιναι µικρ ος, οπου ε ιναι η τρι η ε ιναι αµελητ εα και ο αριθµ ος Rossb Ÿ o " d το χαρακτηριστικ ο µ εγεθος των ταχυτ ητων των α εριων µαζ ων που παρατηρε ι ενας παρατηρητ ης, ο οπο ιος περιστρ εφεται µαζ ι µε τον πλαν ητη, και η χαρακτηριστικ η κλ ι- µακα µ ηκους µετα ολ ης των ταχυτ ητων. Για την κυκλοφορ ια στα µεσα ια πλ ατη της Γης αυτ ες οι συνθ ηκες ικανοποιο υνται µε αρκετ α καλ η προσ εγγιση. Για παρ αδειγµα ε ιναι t m/s, mª G m, και o ««U s, οπ οτε ο αριθµ ος Rossb ε ιναι Ÿ o t.

13 ¹ 6.4. ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΟΣ ΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΥΝΑΜΗ COROLS 157 Σχ ηµα 6.6: Ο κυκλ ωνας της 13ης Φε ρουαρ ιου του 2004, ο οπο ιος προκ αλεσε τις χα- µηλ οτερες θερµοκρασ ιες των τελευτα ιων δεκαετι ων σε πολλ α µ ερη της χ ωρας µας. Στο χ αρτη σηµει ωνονται οι παρατηρο υµενες τιµ ες του διανυσµατικο υ πεδ ιου των ταχυτ ητων επ ι της επιφ ανειας σταθερ ης π ιεσης ± m mb. Ο ανεµος ε ιναι, σε πολ υ καλ η προσ εγγιση, παρ αλληλος στις ισο ψε ις καµπ υλες της επιφ ανειας αυτ ης. Στη µετεωρολογ ια ε ιναι συν ηθης πρακτικ η να παρουσι αζονται τα πεδ ια ταχυτ ητων επ ι επιφανει ων σταθερ ης π ιεσης, δι οτι επ ι των επιφανει ων σταθερ ης π ιεσης η συνιστ ωσα της δ υναµης απ ο την π ιεση ε ιναι µηδενικ η και η µ ονη δ υναµη που ασκε ιται στο ρευστ ο αν α µον αδα ογκου ε ιναι η συνιστ ωσα της βαρ υτητας επ ι της επιφ ανειας σταθερ ης π ιεσης ² m³ µk µ, οπου το υψος σε κ αθε σηµε ιο της επιφ ανειας σταθερ ης π ιεσης ¹ o ¹Kº µk και η κλ ιση της επιφ ανειας αυτ ης. Επειδ η η δ υναµη Coriolis αν α µον αδα ογκου του ρευστο υ ε ιναι ιση µε ² td Gzv x, η γεωστροφικ η ισορροπ ια απαιτε ι το πεδ ιο ταχυτ ητων να ικανοποιε ι την εξ ισωση ² t Gwv x ² ³ µk o. Η σχ εση αυτ η της γεωστροφικ ης ισορροπ ιας συνεπ αγεται οτι το δι ανυσµα της ταχ υτητας ε ιναι παρ αλληλο στις ισο ψε ις της επιφ ανειας σταθερ ης π ιεσης, αφο υ απ ο την εξ ισωση αυτ η συν αγεται οτι x!» µk o. Το δι ανυσµα της ταχ υ- µ τητας ε ιναι επ ισης αν αλογο της βαθµ ιδας του επ ι της επιφ ανειας σταθερ ης π ιεσης και συνεπ ως η ταχ υτητα του αν εµου ε ιναι µεγαλ υτερη στις περιοχ ες οπου η πυκν οτητα των ισο ψ ων ε ιναι µεγ αλη. Η παρουσ ιαση αυτ η ε ιναι συν ηθης στη µετεωρολογ ια δι οτι, αν σχεδιαζ οταν η ταχ υτητα του αν εµου σε επιφ ανειες σταθερο υ υψους, αντ ι σε επιφ ανειες σταθερ ης π ιεσης, η γεωστροφικ η ισορροπ ια θα ηταν ² td Gkv x ² ¼ o. Ετσι, µολον οτι τ οτε η ταχ υτητα θα ηταν παρ αλληλη στις καµπ υλες ισης π ιεσης, δεν θα ηταν ευθ εως αν αλογη της βαθµ ιδας της π ιεσης δι οτι, η γεωστροφικ η αυτ η σχ εση εξαρτ αται και απ ο την πυκν οτητα, η οπο ια µει ωνεται σχεδ ον εκθετικ α µε το υψος.

14 Á Ž Á 158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ οπου j W ε ιναι η ταχ υτητα του ατµοσφαιρικο υ ρευστο υ, η γωνιακ η ταχ υ- + τητα περιστροφ ης της Γης, η πυκν οτητα του ρευστο υ, και # η δ υναµη που προκαλε ιται απ ο τις διαφορ ες της π ιεσης και η οπο ια εχει διε υθυνση απ ο υψηλ ες πι εσεις προς χαµηλ ες πι εσεις. 9 Λ ογω της γεωστροφικ ης ισορροπ ιας η ατµοσφαιρικ η κυκλοφορ ια χαρακτηρ ιζεται απ ο τις συνεκτικ ες δοµ ες των κυκλ ωνων, οι οπο ιοι συντηρο υνται για αρκετ α µεγ αλα χρονικ α διαστ ηµατα, απ ο τ εσσερις εως επτ α ηµ ερες[ το δι αστηµα αυτ ο ε ιναι ουσιαστικ α ο χρ ονος που χρει αζεται η τρι η µε το εδαφος για να τους διαλ υσει. Η παρουσ ια τ ετοιων συνεκτικ ων δοµ ων που αποτελο υνται απ ο χαµηλ α και υψηλ α βαροµετρικ α συστ ηµατα καθορ ιζει αυτ ο που αποκαλο υµε καιρ ο, εν ω οι δοµ ες αυτ ες αποτελο υν τα κ υρια συστατικ α του κλ ιµατος. Η µελ ετη του κλ ιµατος ε ιναι στην ουσ ια η µελ ετη της στατιστικ ης συµπεριφορ ας των κυκλωνικ ων αυτ ων κιν ησεων. Αν η γωνιακ η ταχ υτητα περιστροφ ης της Γης ηταν πολ υ µικρ οτερη, οι οποιεσδ ηποτε διακυ- µ ανσεις της ατµοσφαιρικ ης π ιεσης θα εξαφαν ιζονταν σε δι αστηµα µερικ ων ωρ ων 10 και ο καιρ ος θα ηταν εξαιρετικ α πιο σταθερ ος. Επ ισης, εξαιτ ιας της δ υναµης Coriolis ε ιναι δυνατ η η υπαρξη διαφορ ας θερµοκρασ ιας µεταξ υ Ισηµερινο υ και Π ολων. Αυτ ο ισχ υει δι οτι, αν η Γη δεν περιστρεφ οταν, η διαφορ α θερµοκρασ ιας µεταξ υ Ισηµερινο υ και Π ολων, η οπο ια επι αλλεται λ ογω διαφορ ας απορρ οφησης της ηλιακ ης ακτινο ολ ιας και αν ερχεται στους \K\a½ C περ ιπου, θα εξαλειφ οταν ταχ υτατα µε διαταραχ ες που διαδ ιδονται σχεδ ον µε τη ταχ υτητα του ηχου, οπως ακρι ως διαδ ιδονται οι διαταραχ ες της επιφ ανειας του νερο υ µ εσα σε µ ια λεκ ανη οταν τη µετακιν ησουµε. Η ατµοσφαιρικ η κυκλοφορ ια που δηµιουργε ιται εξαιτ ιας της δ υναµης Coriolis συντηρε ι τελικ α στη Γη τη διαφορ α θερµοκρασ ιας µεταξ υ του Ισηµερινο υ και των Π ολων στους \a½ C. Αντιθ ετως, στον πλαν ητη Αφροδ ιτη, ο οπο ιος περιστρ εφεται πολ υ αργ α γ υρω απ ο τον αξον α του, η διαφορ α θερµοκρασ ιας µεταξ υ του Ισηµερινο υ και των Π ολων ε ιναι µηδαµιν η. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση 6.6. Κατ α το χρονικ ο δι αστηµα που ενας κυκλ ωνας δι ερχεται απ ο µ ια πε- ριοχ η της Γης, πραγµατοποιο υνται ταυτ οχρονα επ ιγειες βαροµετρικ ες µετρ ησεις σε δ υο τοποθεσ ιες της περιοχ ης αυτ ης που βρ ισκονται σε απ οσταση m m km η µ ια απ ο την αλλη. Η µ ια µ ετρηση δ ινει ¾m mb και η αλλη m m mb. Υπολογ ιστε την οριζ οντια δ υναµη που 9 Η π ιεση σε ενα ρευστ ο ε ιναι η δ υναµη αν α µον αδα επιφ ανειας που δρα κ αθετα σε κ αθε επιφ ανεια (νοητ η η πραγµατικ η του ρευστο υ. Ε αν η π ιεση ε ιναι οµοι οµορφη, οι δυν αµεις αν α µον αδα επιφ ανειας του ρευστο υ βρ ισκονται σε ισορροπ ια και η ολικ η δ υναµη που ασκε ιται σε ενα στοιχε ιο του ρευστο υ ε ιναι µηδενικ η. Αν, τ ωρα, θεωρ ησουµε ενα κλειστ ο στοιχε ιο του ρευστο υ, ογκου À, η συνολικ η δ υναµη που ασκε ιται απ ο την π ιεση στο στοιχε ιο αυτ ο ε ιναι o ²+ÂÄÃ ¹* UÅÇÆ Æ, οπου η εξωτερικ η κλειστ η επιφ ανεια του στοιχε ιου και το µοναδια ιο, κ αθετο στην επιφ ανεια, δι ανυσµα που εχει κατε υθυνση προς το εξωτερικ ο της επιφ ανειας. Απ ο το θε ωρηµα του Gauss βρ ισκουµε οτι η συνολικ η δ υναµη που ασκε ιται στο στοιχε ιο ε ιναι o ²+ÂdÈ ¹ Å À. Συνεπ ως η ολικ η δ υναµη που ασκε ιται σε εναν απειροστ ο ογκο εξαιτ ιας της π ιεσης, αν α µον αδα ογκου του ρευστο υ, ε ιναι ² ¹. 10 Αποδεικν υεται οτι σε αυτ η την περ ιπτωση, η ταχ υτητα εξοµ αλυνσης της π ιεσης ε ιναι σχεδ ον ιση µε την ταχ υτητα του ηχου, παρ οτι η εξοµ αλυνση αυτ η δεν επιτυγχ ανεται µε ηχητικ α κ υµατα, αλλ α µε εσωτερικ α κ υµατα βαρ υτητας που διαδ ιδονται µε ταχ υτητα É Ê ³ Ë Ë, οπου km ε ιναι το υψος της ατµ οσφαιρας.

15 j 6.5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΣΕ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 159 προκαλε ιται απ ο τη βαθµ ιδα της π ιεσης και εκτιµ ηστε την ταχ υτητα του αν εµου που απαιτε ιται για να εξισορροπ ησει η δ υναµη Coriolis τη δ υναµη αυτ η στο γεωγραφικ ο πλ ατος των ÌDZ. ινεται οτι mb o m Nt/m ž. Γενικ α η δ υναµη Coriolis που ασκε ιται σε ενα σ ωµα, εξαιτ ιας της περιστροφ ης της Γης, ε ιναι, οπως ε ιδαµε, µικρ οτερη σε µ ετρο απ ο τη φυγ οκεντρο δ υναµη που ασκε ιται σε αυτ ο κατ α εναν παρ αγοντα της τ αξης του Z j W/Í Z ckc Η φυγ οκεντρος δ υναµη, οµως, οπως ηδη εξηγ ησαµε, εξισορροπε ιται απ ο τη βαρυτικ η ελξη, καθορ ιζοντας ετσι το γεωειδ ες σχ ηµα της ατµ οσφαιρας και οι ατµοσφαιρικ ες κιν ησεις περιορ ιζονται κυρ ιως στις ισοδυναµικ ες επιφ ανειες, οπ οτε η δ υναµη Coriolis που δρα στο εφαπτ οµενο επ ιπεδο του γεωειδο υς ε ιναι η δ υναµη που κυριαρχε ι στη διαµ ορφωση των ατµοσφαιρικ ων κιν ησεων. Τ ελος, αξ ιζει να αναφερθε ι οτι η δ υναµη Coriolis ηταν αυτ η που προσπ αθησε να εκµεταλλευτε ι ο Νε υτων για να αποδε ιξει οτι η Γη περιστρ εφεται. Συγκεκριµ ενα, υπολ ογισε την εκτροπ η εν ος σωµατιδ ιου απ ο την κατακ ορυφο πορε ια που ακολουθε ι, οταν αυτ ο π εφτει ελε υθερα µ εσα σε ενα βαθ υ πηγ αδι. Το πε ιραµα επιχε ιρησε ο βρεταν ος φυσικ ος Robert Hooke [ ], σ υγχρονος του Νε υτωνα, ρ ιχνοντας µικρ ες σφα ιρες µ εσα σε ενα πηγ αδι λατοµε ιου. υστυχ ως, οµως, µια υπολογιστικ η παγ ιδα που κρ υ ει η λ υση αυτο υ του προ λ ηµατος (βλ. Πρ ο ληµα 7 τον οδ ηγησε σε εσφαλµ ενο αποτ ελεσµα, το οπο ιο ετσι κι αλλι ως υπερ ε αινε τα πειραµατικ α σφ αλµατα µ ετρησης εκε ινης της εποχ ης. 11 Σ ηµερα η παρεκτροπ η στην κ ινηση των βληµ ατων εξαιτ ιας της δ υναµης Coriolis λαµ- ανεται πολ υ σο αρ α υπ οψη στη σ υγχρονη βαλλιστικ η. Προφαν ως, στο Ν οτιο ηµισφα ιριο η δρ αση της δ υναµης Coriolis ε ιναι αντ ιθετη απ ο τη δρ αση της δ υναµης αυτ ης στο Β ορειο ηµισφα ιριο. m/s Η φυγ οκεντρος δ υναµη ε ιναι µεγαλ υτερη απ ο τη δ υναµη Coriolis αλλ α Κατασκευ η της Λαγκρανζιαν ης σε περιστρεφ οµενο σ υστηµα Εχοντας αναλ υσει σε νευτ ωνειο πλα ισιο π ως διαµορφ ωνονται οι δυν αµεις οταν µετα α ινουµε απ ο ενα αδρανειακ ο σε ενα περιστρεφ οµενο 11 Αδιαµφισ ητητη απ οδειξη για την κ ινηση της Γης γ υρω απ ο τον Ηλιο, η οπο ια µε τη σειρ α της συνεπ αγεται την περιστροφ η της Γης γ υρω απ ο τον αξον α της ωστε να προκαλε ιται η διαδοχ η ηµ ερας-ν υχτας, δ οθηκε µ ολις το 1838 απ ο το γερµαν ο αστρον οµο Friedrich Wilhelm essel [ ], ο οπο ιος κατ ορθωσε να υπολογ ισει την παρ αλλαξη του αστ ερα 61 Cgnus (υπολ ογισε οτι η παρ αλλαξη ηταν 0.314", εν ω η σηµεριν η εκτ ιµηση για την παρ αλλαξη του εν λ ογω αστ ερα ε ιναι 0.292". Αξ ιζει να σηµει ωσουµε οτι ενα απ ο τα επιχειρ ηµατα των αριστοτελικ ων φιλοσ οφων σχετικ α µε την ακινησ ια της Γης ηταν οτι δεν ε ιχε παρατηρηθε ι καµ ια παρ αλλαξη των αστ ερων και εποµ ενως δεν µπορο υσε να γ ινει δεκτ η καµ ια αναθε ωρηση της αριστοτελικ ης Κοσµολογ ιας.

Θ εµα Α : Θ εµα Β : Θ εµα Γ :

Θ εµα Α : Θ εµα Β : Θ εµα Γ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξετ ασεις επ ι Πτυχ ιω στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας 29 Απριλ ιου 2009 Να γραφο υν τα 4 απ ο τα 5 θ εµατα Σε ολα τα θ εµατα εργαστε ιτε σε σ υστηµα µον αδων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξετ ασεις στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας Σεπτεµ ρ ιου 200 Να απαντ ησετε στα 4 απ ο τα ακ ολουθα προ λ ηµατα. Θ εµα 1 Το γεγον ος βρ ισκεται εντ ος του µελλοντικο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α (25 µον αδες) ΘΕΜΑ Β (25 µον αδες) η µοναδικ ΘΕΜΑ Γ (25 µον αδες) κοιν

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α (25 µον αδες) ΘΕΜΑ Β (25 µον αδες) η µοναδικ ΘΕΜΑ Γ (25 µον αδες) κοιν ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η Ι 6 Σεπτεµ ρ ιου 2005 Τµ ηµα Π Ιω αννου & Θ Αποστολ ατου Απαντ ηστε και στα 4 Θ εµατα µε σαφ ηνεια και απλ οτητα Οι ολοκληρωµ ενες απαντ ησεις

Διαβάστε περισσότερα

Albert Einstein. Lagrange

Albert Einstein. Lagrange Κεφ αλαιο 3 Συν αρτηση Lagrange Αυτ ο που πραγµατικ α µε ενδιαφ ερει ε ιναι το αν ο Θε ος ε ιχε τη δυνατ οτητα επιλογ ης κατ α τη δηµιουργ ια του κ οσµου Albert Einstein 3.1 Η Λαγκρανζιαν η και το φυσικ

Διαβάστε περισσότερα

7.2 Κ ινηση φορτισµ ενου σωµατιδ ιου σε οµογεν εσ ηλεκτρικ ο και µαγνητικ ο πεδ ιο

7.2 Κ ινηση φορτισµ ενου σωµατιδ ιου σε οµογεν εσ ηλεκτρικ ο και µαγνητικ ο πεδ ιο Κεφ αλαιο 7 Παραδε ιγµατα Λαγκρανζιαν ων Συναρτ ησεων Σκο υπες σκουπ ακια ρουφηχτ ηρια φτερ α τιναχτ ηρια ξεσκον οπανα κουρελ οπανα κλ οουν θ ορυ οι και τρ οποι ακρο ατες, µαστ ιγιο π εφτουν οι κιν ησεις

Διαβάστε περισσότερα

L 96/22 EL ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 696/98 ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ τη 27η Μαρτ ιου 1998 για την εφαρµογ η του κανονισµο υ (ΕΚ) αριθ. 515/97 του Συµβουλ ιου περ ι τη αµοιβα ια συνδροµ η µεταξ υ των διοικητικ ων αρχ

Διαβάστε περισσότερα

L 217/18 EL Ο ΗΓΙΑ 98/48/ΕΚ ΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΙ ΚΟΥ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 20 η Ιουλ ιου 1998 για την τροποπο ιηση τη οδηγ ια 98/34/ΕΚ για την καθι ερωση µια διαδικασ ια πληροφ ορηση στον τοµ εα των

Διαβάστε περισσότερα

11. 3. 1987, σ. 11).»

11. 3. 1987, σ. 11).» L 201/88 EL Ο ΗΓΙΑ 98/50/ΕΚ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 29η Ιουν ιου 1998 για την τροποπο ιηση τη οδηγ ια 77/187/ΕΟΚ περ ι προσεγγ ισεω των νοµοθεσι ων των κρατ ων µελ ων, σχετικ ων µε τη διατ ηρηση των δικαιωµ

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΩΝ ΕΝ Ι ΑΜ ΕΣ ΩΝ ΟΙ Κ ΟΝΟΜ Ι Κ ΩΝ Κ ΑΤΑΣ ΤΑΣ ΕΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙ ΡΙ ΑΣ Κ ΑΙ ΤΟΥ ΟΜ Ι ΛΟΥ Α Τρίµηνο 2005 ΑΝΩΝΥΜΟΣ Γ ΕΝΙ Κ Η ΕΤ ΑΙ Ρ Ι Α Τ ΣΙ ΜΕΝΤ ΩΝ Η Ρ ΑΚ Λ Η Σ ΑΡ. ΜΗ Τ Ρ. Α.Ε. : 13576/06/Β/86/096

Διαβάστε περισσότερα

Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9

Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9 20. 1. 98 EL Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9 Ο ΗΓΙΑ 97/81/ΕΚ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 15η εκεµβρ ιου 1997 σχετικ α µε τη συµφων ια-πλα ισιο για την εργασ ια µερικ η απασχ οληση που συν

Διαβάστε περισσότερα

Θέ α: ωσ ή ια ροφή και άσκηση ια ο ς εφήβο ς.

Θέ α: ωσ ή ια ροφή και άσκηση ια ο ς εφήβο ς. 4ο Ε Α α ο σίο Α' ίο 4-2015 ρε νη ική ρ ασία Θέ α: ωσ ή ια ροφή και άσκηση ια ο ς εφήβο ς. 4η Ο ά α 1ο Τ τ ά η ο Y ο ώτη α: ι ές α ές άσ ησης ια ο ς φήβο ς. Γενικές αρχές άσκησης: Εί η Άσ ησης Ια ι ός

Διαβάστε περισσότερα

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. --------------

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. -------------- ΕΚΘΕΣΗ Τ Ο Υ Ι Ο Ι ΚΗΤ Ι ΚΟ Υ ΣΥ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Υ Π Ρ Ο Σ Τ ΗΝ Τ Α ΚΤ Ι ΚΗ Γ ΕΝ Ι ΚΗ ΣΥ Ν ΕΛ ΕΥ ΣΗ Τ Ω Ν Μ ΕΤ Ο Χ Ω Ν Kύριοι Μ έ τ οχοι, Σ ύµ φ ω ν α µ ε τ ο Ν όµ ο κ α ι τ ο Κα τ α σ τ α τ ικ ό τ ης ε

Διαβάστε περισσότερα

α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr

α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr Α Α Α Α Α: 65Χ Η-Λ Φ Η Η Η Α Α Α Α : 5PROC002922680 Η Α Α Α Η Αθή α, 6-7-205 Η Η Α ιθ..: 30/002/000/4368 Η Α Έ ισ α ά ς: 30/002/000/4034/26-6-205 Η Α, Η Η Α Η (A Α : Η- ) & Η Η Α Η Α A α. / σ : Α. σό α

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο

Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο Σχολ η Εφαρµοσµ ενων Μαθηµατικ ων και Φυσικ ων Επιστηµ ων Μετρ ησεις ενεργ ων διατοµ ων πυρηνικ ων αντιδρ ασεων πρωτονικ ης σ υλληψης των ισοτ οπων του Στροντ ιου µε σηµασ

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Π ρ ο µ ο ί ω Μ η χ α ν ο ί Ε λ έ γ χ ο υ τ ο υ Χ ρ ό ν ο υ Φάσεις σο ση ς ισµ ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Φάσεις τ η ς π ρ ο σο µ ο ί ω ση ς i. Κατασκευή το υ µ ο ν τέ λ ο υ π ρ ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα

Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα Στα πλα ισια της παρο υσας διατρι ης µετρ ηθηκαν οι ενεργ ες διατοµ ες αντιδρ ασεων πρωτονικ ης σ υλληψης στα τρ ια απ οτατ εσσερα σταθερ α ισ οτοπα του Sr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Η ούσια εκ των οτέ ων ιαφά ια.

Η ούσια εκ των οτέ ων ιαφά ια. ΟΠΟ Η ΙΑΒΟ Η Α ιο ό σ ς α ο σ α ι ό ας ια ά ς Ο ίας / / ια ις ια ι ασί ς οσφ ής σ ο ο έα ς σύ α ς οσί σ βάσ Η σ ή σ ί * ί ο ι ή. α ό η α ερω ηθέν ων * Α αφέ α ο ά ος έ ος σας: * Π οσ ιο ίσ ι ιό ά σας:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ANAΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΜΙΣΘΩΣΗΣ ΕΡΓΟΥ Αριθμ.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν Τα απ ο τ ε λ έ σ µ ατ α απ ό τ η ν π αρ αγ ω γ ή κ αι τ η χ ρ ή σ η τ υ χ αί ω ν δ ε ι γ µ

Διαβάστε περισσότερα

11:30-12:00 ιά ι α 12:00-14:00 ία: Α αιο ο ία αι α ς Α έ ος. ο ισ ς: ά ο ιο. οβο ή βί α ι έ ο ή ο Αθ αίω, Α φιθέα ο «Α ώ ς ί σ ς» Α α ίας

11:30-12:00 ιά ι α 12:00-14:00 ία: Α αιο ο ία αι α ς Α έ ος. ο ισ ς: ά ο ιο. οβο ή βί α ι έ ο ή ο Αθ αίω, Α φιθέα ο «Α ώ ς ί σ ς» Α α ίας Α ΧΑ Α 9- α ο α ίο ι «Α αιο ο ι οί ιά ο οι» ί αι έ ας έος θ σ ός, έ ας ια ής ι ι ός αι α ασ ο ασ ι ός ιά ο ος ια ις α αιό ς αι α αιο ο ία σ σ ι ή οι ία. βασι ή ο ο φή ί αι έ α ήσιο, α οι ό σ έ ιο / ή σ

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) Θέµα 1 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) 1.1 Πολλαπλής επιλογής A. Ελαστική ονοµάζεται η κρούση στην οποία: α. οι ταχύτητες των σωµάτων πριν και µετά την κρούση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Περιεχόµενα Κεφαλαίου 11 Στροφορµή Περιστροφή Αντικειµένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόµενο-η ροπή ως διάνυσµα Στροφορµή Σωµατιδίου Στροφορµή και Ροπή για Σύστηµα Σωµατιδίων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΤΡΕΦΜΕΝΙ ΙΣΚΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΦΡΜΗΣ Ένας οµογενής και συµπαγής δίσκος µάζας m και ακτίνας =,2m στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω =1 ra/sec.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι: ΟΦΕΙΛΕΣ ΕΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟΥ ΣΚΕΛΟΥΣ. Ληξιπρόθεσµες οφειλές (τιµολόγιο>90 ηµερών) Εγκεκριµένη πίστωση. Χωρις κατανοµή πίστωσης

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι: ΟΦΕΙΛΕΣ ΕΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟΥ ΣΚΕΛΟΥΣ. Ληξιπρόθεσµες οφειλές (τιµολόγιο>90 ηµερών) Εγκεκριµένη πίστωση. Χωρις κατανοµή πίστωσης ΦΟΡΕΑΣ: Υπουργείο / Αποκεντρωµένη ιοίκηση..... ΕΙ ΙΚΟΣ ΦΟΡΕΑΣ: Γενική γραµµατεία... / Περιφέρεια..... Αναφορά για το µήνα: Ετος: 2012 ΣΑ έργου (Π Ε) Υποχρεώσεις πιστοποιηµένων εργασιών χωρίς τιµολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

T.: -3332553/4 Fax: 210-3332559 e-mail: press@minfin.gr

T.: -3332553/4 Fax: 210-3332559 e-mail: press@minfin.gr Ο Α Α Ο ΙΟ ΟΙ Ο Ο Ι Ω Α ΙΟ Ο ί ς -7 Αθή α T.: -3332553/4 Fax: 210-3332559 e-mail: press@minfin.gr ί, β ίο 2014 ίο ύ ο ί α έ ι ίσ ι ή οι ο ο ία α έ α ούς θ ούς α ά ς, βασισ έ σ αύ σ ς σ ι ής οι ο ο ι ής

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥ ΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟ ΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ ΚΗΣ ΚΑΤΕΥ ΘΥΝΣΗΣ ( ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦ ΟΡΙ ΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟ ΓΩΝ ΣΕ

Διαβάστε περισσότερα

Προτ υπου (Minimal Supersymmetric Standard Model, MSSM).

Προτ υπου (Minimal Supersymmetric Standard Model, MSSM). υνατ οτητα αν ιχνευσης σωµατιδ ιων Higgs και Φυσικ ης π εραν του Καθιερωµ ενου Προτ υπου στον LHC και µελ ετες επ ι του ανιχνευτ η ακτινο ολ ιας µετ α ασης του πειρ αµατος ATLAS CERN-THESIS-22-5 11/2/22

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΑ Χ Ρ ΗΜ ΑΤ ΙΣ Τ ΗΡ ΙΑ CISCO EXPO 2009 G. V a s s i l i o u - E. K o n t a k i s g.vassiliou@helex.gr - e.k on t ak is@helex.gr 29 Α π ρ ι λ ί ο υ 20 0 9 Financial Services H E L E X N O C A g e

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ ΟΓ ΠΟ Υ ΑΝ ΑΣΤΑΣΙΟΣ

ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ ΟΓ ΠΟ Υ ΑΝ ΑΣΤΑΣΙΟΣ ΤΕΧΝ Οη ΟΓ ΙΚ Ο Ε Κ ΠΟ ΙΔ ΕΥ ΤΙ ΚΟ ΙΔΡΥΜΟ ΚΟΒΟΠΑΕ ΕΧΟΠΗ ΔΙϋΙ ΚΗ ΕΗ Σ ΚΑΙ Ο Ι ΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ηο ΓΙ ΣΤ ΙΚ ΗΣ ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - Καθηγητή ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη:

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη: 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη: α. F 1 β. F 2 γ. F 3 δ. F 4 3. 2 Ένα σώμα δέχεται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις. Τότε: α. οι ροπές

Διαβάστε περισσότερα

Α Α: 6ΙΜ9Η-Φ2Φ Α Α : 15PROC002922919. Αθή α, 16-7-2015. α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr . 210-6479000, FAX: 210-6479285

Α Α: 6ΙΜ9Η-Φ2Φ Α Α : 15PROC002922919. Αθή α, 16-7-2015. α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr . 210-6479000, FAX: 210-6479285 Α Α Α Α Α Α Α: 6ΙΜ9Η-Φ2Φ Α Α : 15PROC002922919 Αθή α, 16-7-2015 Α Α Α Α ιθ..: 30/002/000/4371 / Α Έ ισ α ά ς: 30/002/000/4033/26-6-2015 Α, Α & Α Α A (A Α : Α - ) α. / σ : Α. σό α ος: α. ώ ι ας : 11521-Αθή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί η σωστή απάντηση. Ένας ακίνητος τρoχός δέχεται σταθερή συνιστάμενη ροπή ως προς άξονα διερχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 1 Ο Ρωμαίο (m R =77kg) διασκεδάζει την Ιουλιέτα (m I =55kg) παίζοντας την κιθάρα του καθισμένος στην πρύμνη της βάρκας τους (μήκους.7 m) που είναι ακίνητη στα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

Η ηλιόσφαιρα. Κεφάλαιο 6

Η ηλιόσφαιρα. Κεφάλαιο 6 Κεφάλαιο 6 Η ηλιόσφαιρα 285 Η ΗΛΙΟΣΦΑΙΡΑ Ο Ήλιος κατέχει το 99,87% της συνολικής µάζας του ηλιακού συστήµατος. Ως σώµα κυριαρχεί βαρυτικά στον χώρο του και το µαγνητικό του πεδίο απλώνεται πολύ µακριά.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικό διαγώνισµα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ λυκείου 009 ΘΕΜΑ 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σώµα

Διαβάστε περισσότερα

Σχετικά µε τα ατοµικά σωµατίδια πρέπει να γνωρίζουµε ότι: και αρνητικού φορτίου q e. που εκπέµπονται από τους ατοµικούς πυρήνες λέγονται σωµατίδια β.

Σχετικά µε τα ατοµικά σωµατίδια πρέπει να γνωρίζουµε ότι: και αρνητικού φορτίου q e. που εκπέµπονται από τους ατοµικούς πυρήνες λέγονται σωµατίδια β. Ηλεκτρόνιο - σωµατίδιο β Πρωτόνιο m p 840 m e Νετρόνιο m p m n Ποζιτρόνιο Σχετικά µε τα ατοµικά σωµατίδια πρέπει να γνωρίζουµε ότι: Το ηλεκτρόνιο είναι σωµατίδιο µάζας m e και αρνητικού ορτίου q e =-,6

Διαβάστε περισσότερα

Ε α ο Σ στ α Κο ω ς Ασφά ε ας- Ε Σ στ α Κο ω ς Ασφά σ ς φά αιο Α Α ές αι ό α α ο ιαίο σ ή α ος οι ι ής Ασφά ιας... 3 Ά θ ο ιώ ις α ές ο ιαίο σ ή α ος οι ι ής Ασφά ιας... 3 Ά θ ο θ ι ό βού ιο οι ι ής Ασφά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 25 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 25 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣΣΕΛΙ ΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 5 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Μι ο α ι ές ια ά ις ό α 3: ί ς αι ια ά ις φ ι ώ αύ ος Κο ο ί ς Πο ι ή Η ο ό Μ α ι ώ αι ο ο ιάς ο ο ισ ώ ο οί ό ας ιό ς φ ι ώ αι ά σ ο ς σ α ασ ή ήσι ι ο α ι ώ ι ύ 2 Π ι ό α ό ας Μα ι ά ι ά ιό ς φ ι ώ ια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Στι ερωτήσει - 4 να γράψετε στο τετράδιό σα τον αριθµό των ερώτηση και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τροχό κυλίεται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να ράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το ράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ;

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ; 45 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪ Η-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Χρυσ Σµύρνης 3 : Τηλ.: 107601470 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 006 ΘΕΜΑ 1 1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 Nα γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 Nα γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 9 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪ Η-ΜΑΝΩΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 6 : Τηλ.: 076070 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΥΚΕΙΟΥ 009 ΘΕΜΑ Nα γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

η έφ ο : 2321047530 FAX : 2321047531 : mail@dide.ser.sch.gr έ ς, 16/6/2015 Α Ο Φ Α Η

η έφ ο : 2321047530 FAX : 2321047531 : mail@dide.ser.sch.gr έ ς, 16/6/2015 Α Ο Φ Α Η Η Η Η Ο Α Α Ο Ο Ο Ο, Α Α Α Η Α Ω, Φ Α Η / Η / Η Η Α Ο Α / Η / Α / Η Ω α. / ση : Κ ασού ος Κ έ ς Π η οφο ί ς : ώ ιος. ο ά ης η έφ ο : 2321047530 FAX : 2321047531 Email : mail@dide.ser.sch.gr έ ς, 16/6/2015

Διαβάστε περισσότερα

Κανονισμός Διοικητικού Συμ ου ίου

Κανονισμός Διοικητικού Συμ ου ίου Κανονισμός Διοικητικού Συμ ου ίου Περιφερειακής Ένωσης Δήμων (Π.Ε.Δ.) Ιονίων Νήσων Περιφερειακή Έν ση Δήμ ν (Π.Ε.Δ.) Ιονί ν Νήσ ν -3mm-3mm ΠΕΔ ΙΝ Ιανουάριος 2012 2 Περιε όμενα 1 Αντικείμενο του κανονισμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γραµµική ταχύτητα : ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ds. Γωνιακή ταχύτητα : dθ ω ωr Οµαλή κκλική κίνηση : σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

20/9/2012. Διδάσκοντες. Γραμμική κινηματική. Αξιολόγηση. Γωνιακή κινηματική. Γραμμική Κινητική Δυναμική

20/9/2012. Διδάσκοντες. Γραμμική κινηματική. Αξιολόγηση. Γωνιακή κινηματική. Γραμμική Κινητική Δυναμική Διδάσκοντες Αποκατάσταση μέσω ισοκινητικής δυναμομετρίας (ΜΒ01) ΠΜΣ Άσκηση και Υγεία ΤΕΦΑΑ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Γιάννης Γιάκας Γιάννης Γιάκας - ΠΘ Βασίλης Γεροδήμος - ΠΘ Τσαόπουλος Δημήτριος - ΚΕΤΕΑΘ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο)

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Άσκηση Η15 Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Το γήινο μαγνητικό πεδίο αποτελείται, ως προς την προέλευσή του, από δύο συνιστώσες, το μόνιμο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α : Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής αρκεί να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Smart Shop uu ss ii nn g g RR FF ii dd Παύλος ΚΚ ατ σσ αρ όό ς Μ Μ MM Ε Ε ΞΞ ΥΥ ΠΠ ΝΝ ΟΟ ΜΜ ΑΑ ΓΓ ΑΑ ΖΖ Ι Ι ΡΡ ΟΟ ΥΥ ΧΧ ΙΙ ΣΣ ΜΜ ΟΟ ΥΥ E E TT HH N N ΧΧ ΡΡ ΗΗ ΣΣ ΗΗ TT OO Y Y RR FF II DD Απευθύνεται σσ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αφιερωµένη στη µνήµη της Φυσικού Σύλβιας Γιασουµή Κυριακή, 19 Μαρτίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:30 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από έξι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014. ÄÉÁÍüÇÓÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014. ÄÉÁÍüÇÓÇ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 23 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ο. 3199/2003 αι ο Π.. 51/2007

ο. 3199/2003 αι ο Π.. 51/2007 ι ής ισ ο ίας), σ α ι ά ο ία αι α ιό ο ς α ά ιο ισ έ ς έ ι σή α οσ ασι ό ας α ές. Α ό άς ύ α σ ς αι α οιώσ σ οι ί ς φ σι ής ο ο ιάς, ο ά ο όβ α ί αι ύ α σ ο ιού αι ο α ασ ι ού ό ο, ώ αισθ ι ά οι οι ο ο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

L = 10 34 cm -2 sec -1.

L = 10 34 cm -2 sec -1. Μελέτη της επίδρασης της ευθυγράµµισης τω ν αν ιχ ν ευτώ ν µιο ν ίω ν, το υ πειράµατο ς A T L A S, στην αν ακ άλυψ η το υ σω µατιδίο υ H 4µ Ροή Ο µ ι λ ί α ς 1. Ο α ν ι χ ν ε υ τ ή ς ATLAS: Γ ε ν ι κ ά.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Σε όλες τις κινήσεις που μελετούσαμε μέχρι τώρα, προκειμένου να απλοποιηθεί η μελέτη τους, θεωρούσαμε τα σώματα ως υλικά σημεία. Το υλικό σημείο ορίζεται ως σώμα που έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣ Γ. ΚΑΡΚΑΝΙΑΣ - ΕΦΗ Ι. ΣΟΥΛΙΩΤΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΓΡΑΦΗΣ. τ... μαθητ... ΤΑΞΗ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ... Β Τεύχος

ΗΛΙΑΣ Γ. ΚΑΡΚΑΝΙΑΣ - ΕΦΗ Ι. ΣΟΥΛΙΩΤΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΓΡΑΦΗΣ. τ... μαθητ... ΤΑΞΗ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ... Β Τεύχος ΗΛΙΑΣ Γ. ΚΑΡΚΑΝΙΑΣ - ΕΦΗ Ι. ΣΟΥΛΙΩΤΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΓΡΑΦΗΣ τ... μαθητ...... ΤΑΞΗ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ... Β Τεύχος Çëßáò Ã. ÊáñêáíéÜò - Έφη Ι. Σουλιώτου Τετράδιο Πρώτης Γραφής Α Δημοτικού Β ΤΕΥΧΟΣ Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M,

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M, ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το 1686. Από την ανάλυση των δεδομένων αυτών ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ τ. Ε. I. Ν-λ ε λ λ λ ς : ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ; MIX. ΠΙΠΙΛΙΑΓΚΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1 4 η Εργασία 1) ύο δυνάµεις F 1 και F 2 ασκούνται σε σώµα µάζας 5kg. Εάν F 1 =20N και F 2 =15N βρείτε την επιτάχυνση του σώµατος στα σχήµατα (α) και (β). [ 2 µονάδες] F 2 F 2 90 o 60 o (α) F 1 (β) F 1 2)

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 Στροφορµή ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 2 Στροφορµή q Ένα από τα βασικά µεγέθη που σχετίζονται µε την περιστροφική κίνηση είναι η στροφορµή q Θυµηθείτε ότι για µάζα m που κινείται µε ταχύτητα v

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r Πρώτη και Δεύτερη Διαστημική Ταχύτητα Άλκης Τερσένοβ 1. Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα και Γεωστατική Τροχιά Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα ονομάζεται η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να αναπτύξει ένα σώμα που

Διαβάστε περισσότερα

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ZHTHMA Στις ερωτήσεις έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κατεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις: Σε ισόχωρη αντιστρεπτή θέρµανση ιδανικού αερίου, η

Διαβάστε περισσότερα

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009 Q 40 th International Physics Olympiad, erida, exico, -9 July 009 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΗΣ-ΣΕΛΗΝΗΣ Οι επιστήμονες μπορούν να προσδιορίσουν την απόσταση Γης-Σελήνης, με μεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Φυσικά µεγέθη... 1 1.2 ιανυσµατική άλγεβρα... 2 1.3 Μετατροπές συντεταγµένων... 6 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Κεφάλαιο : Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Το ποδόσφαιρο κατέχει αδιαμφισβήτητα τη θέση του βασιλιά όλων των αθλημάτων. Είναι το μέσο εκείνο που ενώνει εκατομμύρια ανθρώπους σε όλον τον κόσμο επηρεάζοντας ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία στερεού. 3.2.8. Ποιες είναι οι δυνάμεις που ασκούνται; 3.2.9. Ένας Κύλινδρος Πάνω σε μια Σφήνα. Υλικό Φυσικής Χημείας

Ισορροπία στερεού. 3.2.8. Ποιες είναι οι δυνάμεις που ασκούνται; 3.2.9. Ένας Κύλινδρος Πάνω σε μια Σφήνα. Υλικό Φυσικής Χημείας 3.2.. 3.2.1. Ροπές και ισορροπία. Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται μια ράβδος μήκους l=4m, η οποία μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το μέσον της Ο. Ασκούμε

Διαβάστε περισσότερα

σε τα σημε α να ε ναι υπ λ γι τι ζ χαι ι Υ αμμ ζ να αντιπρ σωπει υν τι

σε τα σημε α να ε ναι υπ λ γι τι ζ χαι ι Υ αμμ ζ να αντιπρ σωπει υν τι Φ Λ Ι Ι ι αγωγτ ρι μ Π λλι πρα τν πρ βλτ ματα χαι χαταστι αει τη αθημ ριν ζω μπ ρ ι ν να περιγραφ ν με τη β θεια ν διαγρι μματ ζ απ τελ μεν υ απ να ι ν λ ημε ων αι να ν λ γραμμι ν π υ να ενι ν υν υγ ε

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα

Διαβάστε περισσότερα

Η Η Η : 10/2015 Η : 33.997,20 Ϊ Η Η: Ί ο π ο Ω Ω α ο υπο ογ α υγ ο α α α ογ , ΦΕ Σ 2015

Η Η Η : 10/2015 Η : 33.997,20 Ϊ Η Η: Ί ο π ο Ω Ω  α ο υπο ογ α υγ ο α α α ογ , ΦΕ Σ 2015 Η Η Η Θ Η Η Θ Β Θ Η Ω Η Ω Η Ω & Η Ω ΓΩ. Η : 10/2015 Γ : 33.997,20 Ϊ Η Η Η: Ί ο π ο ο α ΔΗ ο ο υπο ογ α ο υγ ο α α α ογ Ε. Η Θ Η. Γ. Γ Η ΓΓ ΦΗ V. Η ΓΓ ΦΗ - Γ Φ Ε, ΦΕ Υ Σ 2015 Η Η Η Θ Η Η Θ Β Θ Η Ω Η Ω Η

Διαβάστε περισσότερα