Osnove statistike u društvenim i obrazovnim znanostima

Transcript

1 Osnove statistike u društvenim i obrazovnim znanostima (Priručnik u postupku recenzije) doc.dr.sc. Andreja Bubić Filozofski fakultet Sveučilište u Splitu

2

3 Ovaj priručnik može se koristiti kao literatura za kolegij PEDAGOŠKA STATISTIKA koji će se održati u ak.god. 013/014.

4 Sadržaj SADRŽAJ PREDGOVOR OSNOVNI POJMOVI U STATISTICI MJERNE SKALE UZORKOVANJE DESKRIPTIVNA STATISTIKA ORGANIZACIJA PRIKUPLJENIH PODATAKA I PRIKAZIVANJE REZULTATA Tablično i grafičko prikazivanje podataka MJERE SREDIŠNJIH VRIJEDNOSTI Aritmetička sredina Centralna vrijednost (medijan) Dominantna vrijednost (mod) Ostale mjere središnjih vrijednosti MJERE RASPRŠENJA REZULTATA Raspon rezultata Varijanca Standardna devijacija Koeficijent varijabilnosti Ostale mjere raspršenja DISTRIBUCIJE REZULTATA Normalna distribucija POLOŽAJ REZULTATA U SKUPINI z-vrijednosti Centili i decili INFERENCIJALNA STATISTIKA POGREŠKE MJERENJA PROCJENA PARAMETARA TESTIRANJE HIPOTEZA TEMELJNI STATISTIČKI POSTUPCI Odabir prikladnog statističkog postupka t-test HI-KVADRAT TEST OSTALI TESTOVI ZA USPOREDBU SKUPINA PODATAKA KORELACIJA... 64

5 Sadržaj 4. OSNOVE RADA S RAČUNALNIM PROGRAMOM STATISTICA UNOS I ORGANIZACIJA PODATAKA Definiranje varijabli Unos i organizacija podataka RAČUNANJE OSNOVNIH PARAMETARA DESKRIPTIVNE STATISTIKE TEMELJNI POSTUPCI INFERENCIJALNE STATISTIKE Računanje t-testa Računanje hi-kvadrat testa Računanje korelacija IZVJEŠTAVANJE O REZULTATIMA PROVEDENOG ISTRAŽIVANJA ZADACI ZA VJEŽBANJE Rješenja zadataka PREPORUČENA LITERATURA PRILOZI PRILOG 1: KLJUČNI SIMBOLI PRILOG : KLJUČNE FORMULE PRILOG 3: STATISTIČKE TABLICE

6 Predgovor PREDGOVOR Ovaj je priručnik namijenjen studentima Odsjeka za učiteljski studij i Odsjeka za pedagogiju Filozofskog fakulteta Sveučilišta u Splitu kao pomoć u svladavanju temeljnih statističkih znanja i provedbi samostalne obrade podataka prikupljenih unutar istraživanja. Mnogo je razloga zbog kojih vaš nastavni plan uključuje učenje statistike. Kao studenti, obvezni se pohađati kolegij posvećen statistici. Osim toga, imat ćete priliku susresti se sa statistikom prilikom izrade završnih i diplomskih radova, ali i unutar brojnih nastavnih predmeta prilikom čitanja preporučene i obvezne literature. S obzirom da se osnovna saznanja vezana uz obrazovne znanosti temelje na znanstvenim istraživanjima, za njihovo praćenje i razumijevanje važno je poznavati osnove metodologije i statistike. Kao budući pedagozi i učitelji, sa statistikom ćete se susretati u svakodnevnom radu. Radeći u učionici koristit ćete statistiku prilikom ocjenjivanja, zaključivanja ocjena ili prikazivanja uspjeha učenika njihovim roditeljima ili drugim kolegama. U svakodnevnom radu čitat ćete znanstvene radove i udžbenike koji će prenositi saznanja utemeljena na znanstvenoj metodologiji i statistici. Možda ćete i sami provoditi istraživanja u suradnji s drugim kolegama, ili samostalno, za potrebe unaprjeđenja svoje prakse. Kao građani, sa statistikom se svakodnevno susrećete dok čitate novine, gledate televiziju, koristite računalo ili pričate s prijateljima. Razumijevanje statistike dio je opće kulture, i ono vam pomaže da se bolje i uspješnije snalazite u svakodnevnom životu. To su samo neki od osnovnih razloga koji ukazuju na važnost učenja statistike. Često se misli da je statistika, iako možda važna, jako teška i matematički zahtjevna, što ne mora nužno biti točno. Iako se radi o širokom području koje uključuje brojne složene pristupe i analize, temeljni statistički principi nisu toliko kompleksni i ne zahtijevaju opsežno matematičko predznanje. Da biste razumjeli osnove statistike koje će vam biti potrebne za praćenje literature, provedbu jednostavnijeg istraživanja te izradu završnog, diplomskog ili znanstvenog rada, potrebno je poznavati samo osnovne matematičke operacije, biti pažljiv i motiviran za učenje. Osim toga treba dakako naučiti ponešto o statistici i temeljnim statističkim postupcima, kao i o načinima na koji vam računalni programi mogu pomoći prilikom statističke obrade podataka. Uz te osobne preduvjete i temeljna znanja svatko može naučiti kako samostalno obraditi, prikazati i interpretirati podatke prikupljene istraživanjem. 1

7 Predgovor Cilj je ovog priručnika pomoći vam da i sami naučite temeljne principe statističkog rasuđivanja i provedbe osnovnih statističkih postupaka. U njemu će biti prikazane sve statističke teme s kojima ćete se upoznati u okviru nastave iz statistike, kao i manji broj dodatnih tema koje nisu predviđene nastavnim programom. Na taj način unutar priručnika ćete se moći upoznati s osnovnim postupcima koje ćete susresti u nastavi, ali i pročitati neke preporuke za korištenje složenijih analiza čije detaljnije opise možete pronaći u preporučenoj literaturi. Naime, osim kao pomoć u nastavi iz statistike, ovaj je priručnik izrađen i kako bi vam pomogao u obradi podataka prikupljenih unutar manjih istraživanja koja ćete u budućnosti provoditi samostalno ili u suradnji s kolegama. Upravo zato on uključuje osnovne statističke termine koji trebate znati prije početka obrade podataka iz istraživanja s jednostavnijim istraživačkim nacrtom, što uključuje i neke pojmove koji prelaze okvire vašeg nastavnog programa. Iz tog razloga, osim upoznavanja čitatelja s osnovnim statističkim pojmovima i postupcima koje možete pronaći u prva tri poglavlja, priručnik uključuje i osnovne informacije o principima rada u jednom računalnom paketu za statističku obradu podataka. Radi se o paketu STATISTICA koji je odabran stoga što ga možete pronaći i koristiti u računalnim učionicama vašeg Fakulteta, te će se stoga koristiti i u okviru nastave iz statistike. Također, ovaj priručnik uključuje i poglavlje posvećeno izvještavanju o rezultatima provedenih postupaka koja će vam pomoći u pripremi završnih i diplomskih radova tijekom studija, kao i znanstvenih radova i prezentacija istraživanja tijekom studija ili nakon diplome. Nadamo se da će vam informacije prezentirane u ovom priručniku pomoći u lakšem usvajanju znanja iz statistike, kao i budućem samostalnom korištenju osnovnih statističkih postupaka.

8 Osnovni pojmovi u statistici 1. OSNOVNI POJMOVI U STATISTICI Statistika je znanstvena disciplina (grana primijenjene matematike) koja se bavi prikupljanjem, obradom, interpretacijom i prezentacijom podataka, a ima primjenu u gotovo svim znanostima. Statistika je jako povezana s teorijom vjerojatnosti koja svoje korijene vuče još iz antičkih vremena kada su se pojavili prvi izračuni vjerojatnosti u igrama na sreću. Međutim, značajniji razvoj statistika je doživjela u 17. stoljeću, kada se u većoj mjeri počinju bilježiti brojčani indikatori prirodnih, političkih i socijalnih komponenti države koji polako postaju osnova za donošenje objektivnijih državnih odluka. Utoliko se i sama riječ statistika veže uz latinsku riječ status (stanje) te talijansku riječ statista, koja označava osobu koja se bavi državničkim poslovima. Tijekom vremena statistika se počela sve više vezivati uz teoriju vjerojatnosti, te njezina primjena postaje sve šira. Polako se počinje koristiti i u astronomiji, a zatim i u području biologije, agrikulture, fizike te drugih prirodnih i društvenih znanosti. Iako modernu statistiku primijenjenu u različitim znanostima ne treba nužno označavati posebnim imenima, ponekad se može susresti i takva praksa. Tako se, na primjer, npr. njezina primjena u pedagoškim i ostalim obrazovnim znanostima ponekad naziva pedagoška statistika. Korištenje statistike u istraživačkom radu ima više prednosti. Prije svega, statistika nam omogućuje sređivanje podataka u smislenom i prigodnom obliku. Uz pomoć statistike možemo biti znatno precizniji u opisivanju pojava, ali nam uz to ona omogućuje i neke složenije oblike zaključivanja. Naime, uz pomoć statistike možemo uočavati zakonitosti, predviđati kretanje neke pojave te lakše identificirati uzročno-posljedične veze među različitim osobinama ili pojavama. Međutim, postoje i neke poteškoće koje se javljaju prilikom korištenja statistike. One prije svega uključuju povremenu nemogućnost kvantifikacije svih pojava koje nas zanimaju, zbog čega neke zaključke ponekad ne možemo donijeti čak ni uz pomoć najsloženijih statističkih postupaka. Također, uz veliki broj statističkih postupaka veže se mogućnost pojave pogrešaka koje uvijek treba imati u vidu prilikom donošenja zaključaka. Slično tome, uvijek treba imati na umu da u istraživanjima u pravilu radimo s nepreciznim pokazateljima (npr. brojčane ocjene) koji nam nikad ne mogu otkriti svu složenost pojave koja nas zanima. Osim ovih nedostataka koji se vežu uz samu prirodu istraživačkog rada i statistike, postoje i neki nedostaci koji se vežu uz praktične, ljudske aspekte korištenja ove discipline. Oni uključuju nesavjesnu primjenu neprikladnih statističkih postupaka, neprimjerene interpretacije točno izračunatih rezultata te precjenjivanje, odnosno pretjeranu generalizaciju dobivenih zaključaka. Zbog ovih 3

9 Osnovni pojmovi u statistici nedostataka treba naglasiti kako je uvijek važno provjeravati i nadograđivati zaključke donesene na temelju provedenih istraživanja i primijenjenih statističkih postupaka. Statističke metode se koriste u dvije osnovne svrhe: (1) kako bi se opisala i analizirala mjerena pojava na razini skupa prikupljenih podataka čime se bavi deskriptivna statistika te () kako bi se na temelju podataka dobivenih mjerenjem na jednom užem skupu, tzv. uzorku, generaliziralo, odnosno zaključivalo o stanju u široj populaciji što omogućuju metode inferencijalne statistike. Stoga, prvi koraci statističke obrade uključuju deskriptivne analize kojima je cilj opisati izmjereni skup podataka navođenjem frekvencija, mjera središnjih vrijednosti (vrijednosti koje reprezentiraju taj skup) i pripadajućeg raspršenja (mjere koja nam pokazuje koliko središnja vrijednost dobro reprezentira spomenuti skup), te ga slikovno (grafički) ili tablično prikazati. Nakon toga možemo u daljnjim analizama koristiti brojne postupke inferencijalne statistike koje međusobno razlikujemo s obzirom na svrhu primjene, složenost, vrstu modela na kojima se zasnivaju, te osobine izmjerenih podataka na kojima se žele primijeniti. Dok deskriptivna statistika ostaje u okvirima prikupljenih podataka koje želi preciznije numerički okarakterizirati, inferencijalna statistika omogućuje složenije oblike zaključivanja koji se odnose ne samo na izmjereni uzorak, već i na širu populaciju iz koje on potječe i koju predstavlja. Međutim, kod takvih analiza uvijek se izlažemo mogućnostima pogreške, a u zaključke koje donosimo u pravilu nikad ne možemo biti potpuno sigurni. S obzirom na to, logika i postupci inferencijalne statistike povezani su s teorijom vjerojatnosti koja nam pomaže u razumijevanju nesigurnosti koja se veže uz zaključke koje želimo donijeti nakon provedbe ovih metoda. O teoriji vjerojatnosti, odnosno grani matematike koja se bavi analizom slučajnih pojava ste zasigurno već imali prilike ponešto čuti. Na primjer, često se govori o vjerojatnosti osvajanja nekog dobitka na igrama na sreću, ili vjerojatnosti obolijevanja od neke bolesti. U ovim slučajevima vjerojatnost predstavlja kvantificiranu šansu ili mogućnost da će se nešto dogoditi. Ako smo potpuno sigurni da će se nešto dogoditi kolokvijalno kažemo da je šansa 100%, odnosno u terminima vjerojatnosti ona iznosi 1. Ukoliko je potpuno sigurno da se nešto neće dogoditi vjerojatnost iznosi 0, dok se svi ostali slučajevi vjerojatnosti nalaze između apsolutne sigurnosti (vjerojatnost 1) i apsolutne nemogućnosti (vjerojatnost 0). Tako vjerojatnost od 0.1 znači da očekujemo da će se neki događaj po slučaju dogoditi u jednoj od deset situacija, a vjerojatnost od 0.5 da će se dogoditi u jednoj od dvije situacije. Na primjer, 4

10 Osnovni pojmovi u statistici kod bacanja novčića očekujemo da postoji vjerojatnost od 0.5 da će se pojaviti pismo, i vjerojatnost od 0.5 da će se pojaviti glava, što znači da bismo u dva bacanja očekivali da će jednom pasti pismo, a jednom glava. Međutim, to se ne dogodi uvijek, i mi nikad ne znamo što će se točno dogoditi prije pada samog novčića. Dakle, vjerojatnosti nam govore što bi se moglo, ili što očekujemo da će se dogoditi na temelju znanja o sustavu unutar kojeg se javlja neka pojava koja nas zanima. Teorija vjerojatnosti nudi brojna pravila i zakonitosti na temelju kojih se za brojne situacije može izračunati vjerojatnost pojave nekih događaja. U ovom priručniku o tim zakonitostima neće biti riječi, jer one za razumijevanje opisanih metoda i statističkih postupaka nisu nužne. Međutim, važno je znati i uvijek imati u vidu činjenicu da se veliki dio statistike naslanja na teoriju vjerojatnosti, i da kod primjene metoda inferencijalne statistike uvijek baratamo s vjerojatnostima, a ne sa sigurnim činjenicama. Stoga uvijek treba biti posebno pažljiv prilikom pripreme i provedbe istraživanja (npr. odabira uzorka) te interpretacije dobivenih podataka, jer naše odluke mogu jako utjecati na vjerodostojnost nalaza i mogućnost primjene dobivenih rezultata. Prije nego što se detaljnije usmjerimo na statistiku, potrebno je vrlo kratko navesti i osnovne metodološke pojmove koje ćemo koristiti u ovom priručniku. Savjetujemo vam da o metodologiji provođenja znanstvenih istraživanja više naučite iz preporučene literature jer se radi o znanjima koja trebate savladati prije početka planiranja i provođenja istraživanja. Nakon toga, organizacija svakog istraživanja počinje formuliranjem cilja i problema istraživanja koji odražavaju našu motivaciju i pitanja na koja želimo odgovoriti istraživanjem. U pravilu se na svako istraživačko pitanje može odgovoriti na više načina, te u sljedećem koraku istraživač treba odabrati jedan od njih, odnosno treba definirati procedure kojima će pokušati odgovoriti na postavljena pitanja. Dakle, istraživač treba osmisliti istraživački nacrt kojim će definirati što će se, i kako mjeriti. To uključuje određivanje varijabli koje želi uključiti u istraživanje, način mjerenja tih varijabli (primjerice korištenjem upitnika, anketa, i sl.), način odabira osoba koje će sudjelovati u istraživanju, itd. Na primjer, ako nas zanima odnos između socioekonomskog statusa djece i njihovog uspjeha u školi, trebamo odrediti koga ćemo ispitati: koje ćemo razrede i koje škole uključiti u naše istraživanje, hoćemo li ispitati učenike iz jednog ili više gradova ili sela, itd. Prilikom odabira pojedinaca koje želimo uključiti u istraživanje treba dobro razmisliti na koga se sve odnosi pretpostavljeni odnos varijabli koji želimo provjeriti istraživanjem, npr. da li su to učenici prvoškolci, učenici nižih razreda osnovne škole, ili možda svi učenici u Republici Hrvatskoj. Svi ti učenici tada predstavljaju populaciju, i naš je cilj na temelju 5

11 Osnovni pojmovi u statistici provedenog istraživanja naučiti nešto o toj populaciji. Međutim, u istraživanjima gotovo nikad nemamo priliku ispitati sve članove populacije, već umjesto toga biramo jedan njezin manji dio, tzv. uzorak, na kojem se provodi mjerenje. Svaki od učenika koji sudjeluje u našem istraživanju pritom predstavlja jednog ispitanika ili sudionika istraživanja. Osim uzorka, trebamo odlučiti što ćemo i kako mjeriti. Na primjer, u prethodnom primjeru odlučiti smo izmjeriti socioekonomski status učenika i njihov školski uspjeh, uz koje možemo zabilježiti još neke dodatne informacije za koje mislimo da bi mogle biti važne (npr. dob, spol, obiteljski status učenika, i dr.). Sve takve osobine, pojave ili procese koje možemo opažati i mjeriti unutar istraživanja predstavljaju različite varijable. Varijabla je osobina koja može poprimiti različite vrijednosti (za razliku od konstante koja uvijek ima jednaku vrijednost), pa ovaj pojam koristimo za skup podataka iste vrste, npr. spol, dob ili zadovoljstvo životom. U (eksperimentalnim) istraživanjima razlikujemo dvije vrste varijabli, nezavisne i zavisne. Nezavisna varijabla je ona varijabla koju manipuliramo i čiji nas utjecaj na mjerenu pojavu zanima. Za razliku od toga, zavisna varijabla je varijabla čije promjene pratimo, odnosno varijabla koju mjerimo. U istraživanjima nas često zanima utjecaj nezavisne na zavisnu varijablu: npr. ako istraživanjem želimo ispitati kako najavljivanje testova utječe na uspjeh učenika, onda nam način najave testa predstavlja nezavisnu, a uspjeh na testu učenika zavisnu varijablu. Tijekom ovako osmišljenog istraživanja za svakog od naših ispitanika prikupit ćemo po jedan rezultat na nezavisnoj (način na koji je najavljen test), te jedan na zavisnoj varijabli (ocjenu ili bodove na testu). Ako uz spomenutu zavisnu i nezavisnu varijablu odlučimo prikupiti još neke informacije o učeniku, onda će one predstavljati dodatne varijable u istraživanju. Jednom kad odlučimo koje varijable želimo izmjeriti, trebamo odlučiti kako ćemo to napraviti. Dakle, u ranijem primjeru socioekonomski status učenika možemo odrediti korištenjem pitanja o primanjima roditelja, obrazovanju roditelja, obiteljskoj imovini ili nekim drugim indikatorima, dok njihov školski uspjeh možemo izmjeriti korištenjem ocjena iz nekih odabranih predmeta, ukupnog prosjeka ocjena, ili uz pomoć bodova prikupljenih na testu pripremljenom za potrebe istraživanja. Pritom svaki način mjerenja ima svoje prednosti i nedostatke, te može ponuditi jedinstvenu perspektivu na mjerenu varijablu. Osim sadržajnih specifičnosti, različiti načini mjerenja varijabli imaju i svoju statističku važnost. Na primjer, uspjeh učenika možete zabilježiti vrlo grubo, tako da samo razlikujete one koji su prošli ili pali neki test. Ili možete poredati učenike prema uspjehu, pa zabilježiti koji je učenik bio najbolji, koji drugi po uspjehu, i tako do najgoreg. Ili možete biti precizniji, pa zabilježiti dobivene ocjene (1-5) ili broj bodova (npr. 1-40) postignutih na testu. Ti se različiti načini 6

12 Osnovni pojmovi u statistici mjerenja uspjeha razlikuju ne samo sadržajno, već i statistički. Naime, razlike u preciznosti mjerenja reflektiraju različite mjerne skale koje jako utječu na statističke analize koje ćete nakon provedbe mjerenja smjeti primijeniti. Bez obzira na koju se mjernu skalu odlučili, prilikom mjerenja ciljanih varijabli na nekom uzorku uvijek se izlažemo određenim pogreškama o kojima će kasnije biti više riječi. Statističke metode nam pomažu nositi se s tim pogreškama, i to onima koje nisu posljedica sustavnih pristranosti. Naime, u istraživanjima uvijek polazimo od pretpostavke da svaki mjereni rezultat predstavlja (jednostavnu linearnu) kombinaciju konstantnih faktora ili pravog rezultata mjerenja, odnosno vrijednosti koja nas zanima, i slučajnih varijacija, takozvanih nesistematski varijabilnih faktora. Neki od tih nesistematski varijabilnih faktora povećavaju, a neki smanjuju mjerene vrijednosti, pri čemu je njihov ukupni zbroj jednak nuli. Na primjer, ako u skupini učenika mjerimo vrijeme potrebno za rješavanje zadatka, ne možemo očekivati da ćemo kod svakog djeteta uspjeti izmjeriti pravu vrijednost mjerenja, odnosno stvarno vrijeme potrebno za rješavanje zadatka. Naime, na dobivene rezultate nerijetko će djelovati i neki slučajni faktori koji će ponekad produžavati a ponekad skraćivati rješavanje zadatka. Na primjer, kod nekih učenika neočekivana buka može produžiti rješavanje, dok neki učenici mogu načuti točno rješenje i stoga neopravdano imati kraći izmjereni rezultat. Ti će slučajni faktori ponekad smanjiti, a ponekad povećati pravo vrijeme rješavanja, a na kraju će se na razini cijele skupine međusobno poništiti. Nesistematski varijabilni faktori kompliciraju istraživanja, i povećavaju broj mjerenja koje moramo provesti da bismo dobili pouzdane podatke. Međutim, statistika se može nositi s ovim faktorima jer nam statističke metode pomažu da njihovo djelovanje neutraliziramo i donesemo prikladne zaključke. Za razliku od njih, kod djelovanja sistematskih faktora statističke metode nam ne mogu puno pomoći. Ukoliko smo inteligenciju učenika mjerili u trenutku kad su ti učenici bili pod velikim stresom ili jako umorni, možemo pretpostaviti da su stres ili umor sistematski, kod svih učenika, smanjili uspjeh na primijenjenim testovima. Međutim, samo na temelju provedenog mjerenja ne možemo napraviti ništa da bismo procijenili kolika je ta pogreška i kakva bi mogla biti stvarna inteligencija kod te skupine učenika. Dakle, prilikom planiranja istraživanja istraživač treba donijeti brojne odluke koje uvelike određuju kvalitetu i primjenjivost dobivenih rezultata. Njih ćete lakše donijeti ukoliko u okviru preporučene literature naučite više o metodologiji provođenja znanstvenih istraživanja. U ovom priručniku detaljnije ćemo se pozabaviti samo onim temama koje izravno utječu na statističko odlučivanje, a to su prije svega mjerne skale i uzorkovanje. 7

13 Osnovni pojmovi u statistici 1.1. MJERNE SKALE Mjerenje predstavlja pridruživanje brojeva nekom atributu ili pojavi prema unaprijed utvrđenim pravilima. Ovisno o tim pravilima, prilikom mjerenja neke pojave moguće je koristiti različite mjerne skale ili ljestvice čije karakteristike određuju koji se statistički postupci mogu koristiti prilikom kasnije obrade podataka prikupljenih tim mjerenjem. Četiri su osnovne vrste skala: nominalna, ordinalna te dvije metričke skale, intervalna i omjerna skala. Nominalnu skalu mjerenja pronalazimo kod kategorijalnih ili kvalitativnih varijabli, odnosno onih varijabli kod kojih ispitanike možemo razlikovati prema dvije ili više kategorija među kojima ne postoji nikakav prirodni slijed (nema kriterija prema kojemu bi se neke vrijednosti mogle odrediti kao veće od ili manje od drugih). Stoga nominalna skala ne predstavlja pravu skalu mjerenja, već imenovanje nominalnih obilježja varijable. Na primjer, završena srednja škola predstavlja kategorijalnu varijablu koju možemo brojčano označiti na sljedeći način: 1 - gimnazija, - stručna škola, 3 tehnička škola i 4 - umjetnička ili sportska škola. Međutim, takve brojčane oznake nisu prirodne i nepromjenjive, što znači da smo ih mogli i drugačije definirati, na primjer kao: 1 - stručna škola, - gimnazija, 3 - umjetnička ili sportska škola i 4 tehnička škola. Kao što je vidljivo u primjeru, pripadnost različitim kategorijama ove varijable može se vezati uz određenu brojčanu vrijednost, ali ona je potpuno proizvoljno određena. S obzirom na broj kategorija koje se unutar varijable mogu odrediti, razlikujemo binarne (dihotomne) varijable koje imaju samo dvije, te multikategorijalne varijable koje imaju više kategorija. S obzirom na osobitosti nominalnih skala, u obradi podataka prikupljenih na tim skalama dozvoljeno je koristiti samo ograničeni broj statističkih postupaka: dominantnu vrijednost, proporcije, hi-kvadrat test i neke druge vrste analiza koje se temelje na frekvencijama. Kod ordinalnih (rangovnih ili ljestvičnih) skala mjerena varijabla ima vrijednosti koje se nižu prema određenom redoslijedu koji odražava izraženost mjerenog svojstva. Dakle, brojevi kod ovih skala nisu proizvoljno određeni, već slijede neki prirodni raspored. Međutim, taj redoslijed vrijednosti reflektira samo poredak, odnosno relativne razlike mjerenja bez točnog stupnjevanja tih razlika. Primjer ordinalne skale je završni poredak sportaša na natjecanjima. Pobjednik koji dobije zlatnu medalju ima najbolji rezultat na natjecanju, onaj 8

14 Osnovni pojmovi u statistici koja dobije srebrnu medalju je drugi, a brončanu treći po uspjehu. Međutim, rang predstavlja relativno grubo određenje položaja jer nam ne govori ništa o pravom rezultatu pojedinca. Stoga ne možemo tvrditi da je sportaš sa srebrnom medaljom uspješniji od onoga s brončanom jednako onoliko koliko je pobjednik natjecanja uspješniji od njega. S obzirom na karakteristike ordinalnih skala, u obradi podataka na ovim skalama se najčešće koristi centralna vrijednost, rang korelacija i drugi postupci koji se temelje na rangovima, te neki dodatni oblici neparametrijskih metoda za testiranje hipoteza. Metričke ili kvantitativne skale vezuju se uz varijable kojima možemo pridružiti realne brojeve i na njima koristiti matematičke operacije. Njihove vrijednosti mogu biti diskontinuirane (diskretne ili međusobno razdvojene) ili kontinuirane. Diskontinuirane varijable su one koje mogu poprimiti konačan broj svojstava i koje se bilježe isključivo cjelobrojno, npr. broj izlazaka na ispit. Kontinuirane varijable, za razliku od toga, mogu poprimiti bilo koju vrijednost unutar nekog intervala i mogu se zapisivati i decimalnim brojevima, npr. dužina, težina, itd. Općenito kod metričkih varijabli jednake razlike u brojevima na skali predstavljaju jednake razlike u promatranom svojstvu dakle, dvije osobe koje imaju 55 i 57 kilograma jednako se međusobno razlikuju po težini kao i osobe koje imaju 74 i 76 kilograma. Unutar metričkih skala razlikujemo dvije preostale temeljne vrste skala: intervalne i omjerne. Intervalne skale su one metričke skale koje ne posjeduju apsolutnu već samo relativnu nulu, kao što je slučaj sa skalom temperature mjerenom u stupnjevima Celzijusa. Dakle, kod njih su položaj nule i mjerne jedinice određeni dogovorno. Stoga kod ovih skala nije moguće koristiti omjere. Na primjer, nije moguće reći da je temperatura od 5 C dvaput hladnija od 50 C, iako vrijedi da je razlika između 75 i 50 C jednaka onoj od 50 i 5 C. Kod omjerne (odnosne) skale jednake razlike brojeva također predstavljaju jednake razlike mjerenog svojstva. Uz to, kod ovih skala postoji i apsolutna nula, te je stoga ovdje dopušteno koristiti omjere. Primjeri omjerne skale su visina učenika ili vrijeme. Kod rezultata izmjerenih na metričkim skalama moguće je koristiti najveći broj statističkih postupaka, uključujući i široki spektar tzv. parametrijskih postupaka (ako su zadovoljeni i ostali uvjeti za njihovo korištenje). Iako za odabir prikladnog statističkog postupka nije svejedno imamo li podatke na intervalnoj ili omjernoj skali mjerenja, u praksi se ove dvije vrste skala rijetko razlikuju. 9

15 Osnovni pojmovi u statistici 1.. UZORKOVANJE Uzorkovanje je postupak formiranja uzorka iz populacije, odnosno odabira ispitanika koji će sudjelovati u nekom istraživanju. Populaciju čine svi mogući članovi neke skupine s određenim značajkama (ponekad se naziva i statistički skup). Uzorak je dio populacije na kojem provodimo istraživanje. Na primjer, ukoliko želimo saznati više o utjecaju najave testova na uspjeh učenika, cilj nam je provesti istraživanje čije ćemo rezultate moći podijeliti s kolegama u drugim školama i donijeti zaključke koji će biti korisni za osmišljavanje budućih strategija organizacije nastave. Međutim, u svom istraživanju gotovo sigurno nećemo moći uključiti sve učenike na koje će se odnositi doneseni zaključci, već ćemo umjesto toga odabrati malu skupinu učenika i na njoj provesti mjerenje. Općenito smo u istraživanjima gotovo uvijek usmjereni na mjerenje uzoraka jer je ponekad populaciju nemoguće, preskupo ili presloženo izmjeriti, a ponekad tako nešto ne bi imalo smisla raditi (npr. ako mjerenjem uništavamo elemente skupa). Način odabira uzorka reflektira naše ciljeve i želju za kasnijom generalizacijom zaključaka, pri čemu je taj izbor nažalost uvijek ograničen praktičnim mogućnostima. Važno je naglasiti da nam je kod odabira uzorka cilj odabrati onu skupinu ispitanika koja što bolje reprezentira populaciju kojoj pripada jer nam to omogućuje bolje zaključivanje i predviđanje pojava. Na temelju toga koliko dobro uzorak predstavlja ciljanu populaciju, moguće je odrediti njegovu reprezentativnost za ciljanu populaciju, odnosno stupanj njegove (ne)pristranosti. Na primjer, ukoliko se prilikom ispitivanja spremnosti maturanata za državu maturu odlučimo zbog lake dostupnosti testirati samo manji razred naprednih učenika, zbog pristranosti uzorka možemo očekivati da ćemo dobiti nerealno pozitivnu procjenu spremnosti maturanata za testiranje. Bez obzira na njegovu kvalitetu, treba imati na umu da uzorak nikada nije potpuni preslik populacije. Naime, prilikom mjerenja uvijek smo izloženi određenim pogreškama mjerenja o kojima će kasnije biti više riječi. S obzirom na osobine uzorka na kojem provodimo istraživanje, razlikujemo dvije temeljne kategorije, tzv. probabilističke i neprobabilističke uzorke. Probabilistički uzorci se temelje na zakonima vjerojatnosti, odnosno kod njih svaki član populacije ima poznatu vjerojatnost izbora u uzorak. Među probabilističke uzorke spadaju jednostavni slučajni, sustavni, stratificirani, klaster i stupnjeviti uzorak. Za razliku od toga, kod neprobabilističkih uzoraka nije poznata vjerojatnost izbora pojedinih članova populacije u uzorak. Iako to 10

16 Osnovni pojmovi u statistici predstavlja nedostatak, u određenim slučajevima su ovakvi uzorci jednostavniji za formiranje i prikladniji s obzirom na potrebe istraživača. Među neprobabilističke uzorke spadaju prigodni, kvotni, namjerni te uzorak snježne grude. U istraživanjima se najčešće koriste sljedeće vrste uzoraka: JEDNOSTAVNI SLUČAJNI UZORAK: Uzorak kod kojeg svaki član populacije ima jednaku vjerojatnost biti odabran, pri čemu se odabir može izvršiti putem, na primjer, tablica slučajnih brojeva. Slučajni uzorak je obično i reprezentativan za populaciju, dok za one uzorke kod kojih neki članovi imaju veću vjerojatnost da budu odabrani kažemo da su pristrani. SUSTAVNI (SISTEMATSKI) UZORAK: Uzorak kod kojeg se članovi populacije biraju uz pomoć nekog pravilnog algoritma (npr. svaki peti učenik u imeniku). Vrlo često je ovaj uzorak također reprezentativan za populaciju, što dakako ovisi o korištenom algoritmu za odabir ispitanika. STRATIFICIRANI UZORAK: Uzorak koji pokušava zadržati strukturu populacije za koju znamo da se sastoji od određenih slojeva. Pritom se članovi svakog sloja biraju po principu slučajnog uzorka. Na primjer, ako neku školu pohađa 5% učenika iz manjinskih skupina, isti postotak tih učenika ćemo zadržati i u uzorku, pri čemu ćemo pojedinačne učenike u tim skupinama odabrati po slučaju. KVOTNI UZORAK: Uzorak se bira tako da se odrede stratumi ili skupine (npr. skupine učenika s različitim općim uspjehom), a istraživač po svom slobodnom izboru iz svakog predviđenog stratuma odabere unaprijed definirani broj ispitanika (npr. po 30 učenika s izvrsnim, vrlo dobrim, dobrim, dovoljnim i nedovoljnim uspjehom). Ovaj je uzorak sličan stratificiranom uzorku, ali kod njega vjerojatnost izbora pojedinih članova populacije u uzorak nije poznata. PRIGODNI UZORAK: Uzorak čija struktura nije unaprijed definirana, već se u njega uključuju oni pojedinci koji su istraživaču dostupni, odnosno osobe koje zateknemo na željenom mjestu u trenutku mjerenja. Ovaj se uzorak u praksi često koristi, jer se vrlo jednostavno može praktično organizirati. Na primjer, profesori i studenti često provode istraživanja na uzorcima učenika ili studenata koji su im lako dostupni i koje zateknu na nastavi, što ne mora samo po sebi biti problematično. Međutim, primjenjivost ovakvog uzorka jako ovisi o predmetu mjerenja te je stoga uvijek na početku važno razmisliti o tome hoće li njegovo uključivanje na bilo koji način ugroziti planirano istraživanje. 11

17 Osnovni pojmovi u statistici Odabir uzorka predstavlja vrlo važan dio svakog istraživanja koji jako može utjecati na kvalitetu dobivenih podataka te je na njega stoga posebno usmjeriti posebnu pažnju. Osim odabira vrste uzorka i načina odabira ispitanika, važno je odrediti i broj ispitanika koje želimo uključiti u uzorak. Prilikom određivanja veličine uzorka treba prije svega uzeti u obzir varijabilnost pojave koju mjerimo i željenu preciznost koju bismo htjeli postići prilikom mjerenja. Naime, ako ne postoji varijabilnost unutar pojave koju mjerimo, odnosno ako sve osobe imaju jednako izraženo svojstvo, dovoljno nam je izmjeriti samo jednog ispitanika da bismo dobili rezultat kojeg tražimo. Međutim, ako je pojava jako varijabilna, potrebno nam je mnogo više ispitanika. Također, ako želimo veću preciznost unutar istraživanja i manju pogrešku mjerenja, u istraživanje ćemo uključiti više ispitanika. U nekim situacijama kod odabira veličine uzorka treba uzeti u obzir i veličinu populacije, frekvenciju ciljane pojave u populaciji, planirane analize rezultata i mogući otpad, odnosno napuštanje istraživanja od strane odabranih ispitanika. Načelno, prije početka istraživanja istraživač može uz pomoć posebnih statističkih postupaka odrediti broj ispitanika koje bi trebao imati u uzorku ukoliko želi imati određenu razinu preciznosti prikupljenih podataka. Čitatelj o tim postupcima više može saznati u preporučenoj literaturi. Ovdje ćemo samo naglasiti kako je u pravilu važnije da je uzorak reprezentativan nego pretjerano velik, te je stoga ključno obraditi pozornost na kvalitetan odabir ispitanika u planirano istraživanje. 1

18 Organizacija i prikazivanje podataka. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Jednom kad ste prikupili određene podatke potrebno ih je organizirati, prikazati i statistički obraditi. Metode deskriptivne statistike omogućuju nam upravo takvu organizaciju, opis i osnovnu analizu prikupljenih podataka..1. ORGANIZACIJA PRIKUPLJENIH PODATAKA I PRIKAZIVANJE REZULTATA Organizacija podataka prije svega uključuje kodiranje, odnosno kvantificiranje svih varijabli, i njihovo unošenje u tablicu s podacima. Kod nekih varijabli je taj proces jednostavan jer su izmjerene na metričkim skalama, pa podatke samo trebamo unijeti u tablicu. Na primjer, ako smo u istraživanju zadovoljstvo životom mjerili korištenjem upitnika unutar kojeg su ispitanici na pitanja odgovarali koristeći skalu od 5 stupnjeva (1 do 5), rezultate ispitanika već imamo u brojčanoj formi i samo ih takve trebamo unijeti. Treba spomenuti da će i takve podatke ponekad trebati promijeniti, odnosno rekodirati, o čemu će biti riječi u poglavlju posvećenom korištenju računalnih programa prilikom obrade podataka. Nešto je složeniji proces kodiranja nominalnih varijabli koje nisu unaprijed kvantificirane, odnosno pretvaranja opisnih vrijednosti unutar tih varijabli u brojeve. Na primjer, varijablu spola ispitanika ne možete koristiti u statističkoj obradi ukoliko ga nekako (proizvoljno) brojčano ne odredite, tako da primjerice kodu muški dodijelite broj 1, a kodu ženski broj. Uz to, prilikom kodiranja dobro je razmisliti kako ćete riješiti situacije u kojima neki podaci nedostaju jer npr. ispitanik nije dao podatke ili su vam napisani odgovori nečitljivi. Pritom trebate odlučiti kako ćete te podatke kodirati i kasnije ih tretirati u statističkim analizama. Najčešće je dobro dodati dodatan kod, odnosno brojčanu vrijednost koja predstavlja kategoriju nema odgovora i koju nećete pomiješati s ostalim vrijednostima koje su se pojavili unutar varijable. Te ćemo podatke još spominjati u 5. poglavlju. Nakon toga, u većini slučajeva možete prikupljene podatke unijeti u tablicu s podacima. Najčešće ćete tu tablicu organizirati unutar prikladnog računalnog programa, bilo Microsoft Excela ili nekog specijaliziranog programa za statističku obradu podataka. Bez obzira na to kakav program pritom budete koristili, podatke ćete unijeti na način da u redove tablice smještate pojedine ispitanike, a u stupce varijable koje ste izmjerili unutar istraživanja. Ukoliko ste u istraživanju s istim instrumentima (anketama, upitnicima, testovima) ispitali 13

19 Organizacija i prikazivanje podataka četiri različite skupine ispitanika, primjerice učenike različitih škola, sve njihove podatke ćete dakako unijeti u istu tablicu jer njihova pripadnost pojedinoj skupini samo odražava neku kategoriju jedne od varijabli unutar vašeg istraživanja (vrsta škole). Ponekad ćete nakon unosa izmjerenih podataka u tablici primijetiti da su podaci unutar nekih varijabli jako raspršeni i da ih je teško smisleno prikazati. U takvim slučajevima, ovisno o vrsti i broju tih podataka, možete se odlučiti podatke grupirati u razrede Grupiranje prikupljenih podataka u razrede Nakon što smo prikupili željene podatke, cilj nam je što bolje ih organizirati kako bismo ih mogli grafički ili tablično predočiti, provjeriti oblik njihove distribucije (raspodjele) i prije statističke obrade provjeriti pogodnost primjene određenih statističkih postupaka. Svaka bi statistička obrada trebala započeti grafičkim prikazom rezultata. Često nam to prikazivanje, kao i daljnju statističku analizu, olakšava grupiranje podataka. Takvo grupiranje nema smisla raditi ako među prikupljenim podacima imamo mali broj mogućih vrijednosti (npr. kod školskih ocjena radi se o pet vrijednosti). Međutim, ono nam može jako koristiti ako imamo veliki raspon mogućih podataka, naročito ako neki od njih imaju male frekvencije (npr. ako smo izmjerili kvocijent inteligencije na skupini od 5 učenika koji su postigli rezultate u rasponu od 86 do 137). Kako grupirati rezultate? Proces grupiranja rezultata može se opisati kao slijed nekoliko koraka: 1. Određivanje broja razreda u koje želimo grupirati rezultate. Taj se broj određuje proizvoljno, u skladu s dolje navedenim preporukama.. Određivanja raspona unutar svakog razreda, tzv. intervala razreda. Interval razreda računa se po formuli: interval razreda = totalni raspon / broj razreda. Totalni raspon (TR) se odnosi na ukupni broj mogućih rezultata, kojeg računamo kao razliku najvećeg i najmanjeg rezultata uvećanu za jedan: TR = (x max x min ) +1 x max najveći izmjereni rezultat x min najmanji izmjereni rezultat 14

20 Organizacija i prikazivanje podataka Nakon što smo izračunali vrijednost intervala razreda, dobiveni omjer možemo zaokružiti na veću vrijednost (nikada manju) i tako osigurati da nam svi izmjereni rezultati uđu u predviđene razrede. 3. Određivanje donje i gornje granice svakog razreda. U pravilu se granice razreda određuju tako da preciznošću odgovaraju mjerenim podacima. Dakle, ako imamo rezultate koji su u formatu cijelih brojeva, onda i granice razreda određujemo kao cijele brojeve. Osim toga, moguće je odrediti i tzv. pravu gornju i pravu donju granicu razreda o kojima možete više saznati u preporučenoj literaturi. 4. Prikazivanje distribucije rezultata, odnosno određivanje frekvencije rezultata u svakom razredu. Frekvencija (učestalost) nekog podatka je broj pojavljivanja tog podatka npr. u skupini rezultata 1, 1,,,, 3 broj 1 ima frekvenciju, broj frekvenciju 3, a broj 3 frekvenciju 1. Osim frekvencije, za svaki podatak moguće je izračunati i proporciju ili relativnu frekvenciju koja predstavlja omjer obične frekvencije i ukupnog broja podataka (npr. relativna frekvencija broja u prethodnom primjeru je 3/6, odnosno 0.5), te postotak koji predstavlja omjer obične frekvencije i ukupnog broja podataka pomnožen sa 100 (broj se u prethodnom primjeru pojavio u 50% slučajeva). Zbroj proporcija svih rezultata iznosi 1, a postotaka 100. Kod grupiranja rezultata neke korake i vrijednosti određujemo samostalno, odnosno proizvoljno (npr. broj razreda u koje želimo grupirati podatke), dok su nam drugi unaprijed definirani. Prilikom grupiranja podataka u razrede moguće je, a ponekad i nužno, slijediti nekoliko preporuka za grupiranje rezultata: Intervali razreda (kvantitativne kategorije) ne smiju se preklapati, odnosno svaki izmjereni podatak mora biti smješten u jedan razred. Svi intervali razreda trebaju biti jednake veličine. Treba preferirati neparan broj razreda. Preporučljivo je da broji razreda bude u rasponu od Što je broj mjerenja manji, broj razreda treba biti manji, i obrnuto. Ako je moguće, treba izbjegavati distribucije s praznim razredima. Ponekad je teško iz prvog pokušaja odabrati optimalan broj razreda. Zato je prilikom odabira broja razreda preporučljivo pokušati s više mogućih načina grupiranja, pa odabrati onaj koji daje najbolju distribuciju. 15

21 Organizacija i prikazivanje podataka Primjer grupiranja rezultata Grupirajte sljedeću skupinu podataka koji predstavljaju bodove koje je grupa od 40 učenika postigla na testu iz matematike Želimo grupirati rezultate i za to odabiremo broj od 5 razreda. Taj broj je opravdan s obzirom na to da želimo neparni broj razreda te da imamo relativno mali broj izmjerenih podataka. Zatim izračunavamo interval razreda koji predstavlja omjer totalnog raspona (ukupni broj rezultata ((86-54)+1=3+1=33)) i proizvoljno odabranog broja razreda (5). Dakle, računamo 33/5=6.6. To ćemo zatim zaokružiti na 7. Sljedeći korak je određivanje gornjih i donjih granica pojedinačnih razreda. Kod odabira početne vrijednosti, odnosno donje granice prvog razreda krećemo od 53. Iako se radi o broju koji je manji od najmanje izmjerene vrijednosti, biramo ga zbog prethodnog zaokruživanja vrijednosti. S obzirom na to da nam je interval razreda 7, gornja granica prvog razreda mora biti 59 što omogućuje da se u njemu nađe 7 mogućih rezultata (53, 54, 55, 56, 57, 58, 59). Na isti način možemo odrediti donje i gornje granice svakog sljedećeg razreda. Nakon što smo odredili granične vrijednosti pojedinačnih razreda, trebamo smjestiti rezultate u razrede, odnosno odrediti frekvenciju rezultata unutar svakog od njih. U tu svrhu možemo koristiti dolje prikazanu pomoćnu tablicu. Prilikom popunjavanja tablice idemo rezultat po rezultat i označavamo koje smo rezultate uvrstili u tablicu. U donjoj tablici prikazani su rezultati grupiranja rezultata iz prethodnog primjera. Pomoćna tablica za grupiranja rezultata u razrede Razred Granice razreda Frekvencija Ukupni broj rezultata

22 Organizacija i prikazivanje podataka.1.. Tablično i grafičko prikazivanje podataka Podaci prikupljeni u nekom istraživanju mogu se prikazati slikovno, uz pomoć grafičkog prikaza, i tablično. Nema previše smisla prikazivati iste podatke i tablično i grafički pa se, ovisno o ciljevima i preglednosti prikaza, treba odlučiti za jednu od ovih metoda. U organizaciji tabličnih i grafičkih prikaza treba biti fleksibilan, i uskladiti ih s ciljevima prikazivanja. Također, ovisno o tome gdje se tablica ili graf prikazuju, oni se moraju / mogu formatirati, odnosno organizirati i pripremiti u skladu s relevantnim konvencijama. Na primjer, postoje pravila na temelju kojih se prikazuju rezultati u završnim i diplomskim radovima, dok različiti znanstveni časopisi također imaju definirane konvencije izvještavanja o rezultatima koje treba poštivati. I. Tablično prikazivanje podataka Nekoliko je smjernica koje treba poštivati prilikom tabličnog prikazivanja podataka. Svaka tablica mora imati redni broj i naslov. Naslov mora biti kratak i jasan, a tablica samo-pojašnjavajuća. Ukoliko je potrebno, ispod tablice se može dodati i Legenda koja pojašnjava eventualne skraćenice ili informacije koje inače iz same tablice ne bi bile jasne. Dodatna pojašnjenja moraju biti naznačena uz tablicu, a ne u tekstu. Čitatelj mora razumjeti sadržaj tablice bez čitanja teksta, dakle na temelju naslova, legende i onoga što se u tablici nalazi. Naslov tablice smješta se iznad tablice, i treba biti centriran na stranici. Tekst Tablica br se piše kosim slovima (bez točke nakon broja), a sam naslov tablice u običnom tekstu. Veličina slova u naslovu tablice treba biti malo manja od veličine slova u ostatku teksta. Tablica treba biti centrirana na stranici. U tablicama treba izbjegavati okomite crte, a vodoravnima treba odvajati zaglavlje i podnožje tablice, ili pak neke veće cjeline tablice međusobno. Stupce i retke treba jasno i sažeto označiti. Vrijednosti u redovima ili stupcima treba smisleno poredati (npr. najprije prikazati aritmetičku sredinu, pa onda standardnu devijaciju, a ne obrnuto). Najčešće je uputno prikazane veće brojeve razložiti u skupove po 3 znamenke (npr. umjesto napisati ). Ako se neki podatak iz tablice želi istaknuti (npr. statistička značajnost), to se može učiniti zvjezdicom čije značenje treba dodatno komentirati ispod tablice. 17

23 Organizacija i prikazivanje podataka Tablicu se u tekstu navodi njezinim rednim brojem (npr. u tekstu navesti vidi Tablicu 3 ; ili u Tablici 3 nalaze se rezultati, ili u zagradi napisati Tablica 3 nakon rečenice koja spominje u njoj prikazane podatke). Primjeri tablica organiziranih prema gornjim naputcima Tablica 1 Aritmetičke sredine (M) i standardne devijacije (SD) rezultata dobivenih primjenom skala depresivnosti i zadovoljstva životom kod mlađih i starijih građana Hrvatske i Francuske. Skale Dob ispitanika Hrvatska Francuska M SD M SD Depresivnost Mladi Stari Svi Zadovoljstvo životom Mladi Stari Svi Tablica Broj studenata i studentica upisanih na studijske grupe Pedagogija i Povijest u akademskoj godini 000/001. Spol studenata Studijska grupa Pedagogija Povijest Ukupno Ženski Muški Ukupno

24 Organizacija i prikazivanje podataka II. Grafičko prikazivanje podataka Slikovni prikazi koriste se za pregledno prikazivanje važnih informacija vezanih uz provedeno istraživanje. Grafovi predstavljaju jedan oblik slikovnih prikaza koji omogućuju jasno i cjelovito zahvaćanje odnosa među podacima. Grafičko prikazivanje je korisno za razumijevanje dobivenih rezultata, a može se koristiti i za procjenjivanje vrijednosti koje mjerenjem nisu izravno utvrđene korištenjem metoda interpolacije i ekstrapolacije. Grafičko prikazivanje rezultata je naročito važno za otkrivanje posebnih ili neočekivanih karakteristika rezultata, te nam olakšava usporedbu različitih vrijednosti, trendova i odnosa među rezultatima. Općenita preporuka prilikom grafičkog prikazivanja jest da treba što jasnije i jednostavnije prikazati dobivene rezultate. Kako biste u tome uspjeli, možete slijediti nekoliko jednostavnih principa: Svaki slikovni prikaz mora imati redni broj i naslov. Prilikom označavanja, grafovi i drugi oblici slikovnih prikaza se nazivaju Slika br., nakon čega slijedi kratak i jasan naslov. Redni broj i naslov slikovnog prikaza smještaju se ispod grafičkog prikaza. Tekst Slika br. se piše kosim slovima (s točkom nakon broja), a sam naslov slike u običnom tekstu. Veličina slova i prored u naslovu slike trebaju biti malo manji od veličine slova u ostatku teksta. Slikovni prikaz treba biti centriran na stranici. U velikom broju slučajeva, grafičkom prikazu treba dodati Legendu koja sadrži objašnjenja potrebna za razumijevanje prikaza. Čitatelj mora razumjeti sadržaj slike bez čitanja teksta, dakle na temelju naslova, legende i samog grafičkog prikaza. Slikovni prikaz treba biti jasan i čitljiv. Posebnu pažnju treba posvetiti odabiru boja različitih kategorija, veličini i čitljivosti slova na slici, i sl. Navođenje grafičkog prikaza u tekstu čini se preko rednog broja slike (npr. vidi Sliku 1). Postoje različite vrste grafičkih prikaza podataka čiji odabir ovisi o vrsti prikupljenih podataka i cilju njihovog prikazivanja. Među njima najčešće koristimo histograme i poligone frekvencija, i to prije svega za prikazivanje raspodjele podataka unutar različitih varijabli. Osim njih, dakako, postoje i brojne druge vrste grafičkih prikaza od kojih ćemo ovdje spomenuti samo one najosnovnije. 19

25 Organizacija i prikazivanje podataka Kružni dijagram (torta-dijagram; eng. pie-chart ) Ovaj oblik grafičkog prikaza koristi se za prikazivanje raspodjele podataka unutar neke varijable, odnosno za prikazivanje učestalosti pojave pojedinih kategorija neke varijable. Dakle, u kružnom dijagramu trebaju biti vidljive pojedine kategorije varijable i postotci podataka unutar tih kategorija. Radi se o jednostavnom obliku slikovnog prikaza koji je koristan za prezentaciju nekih osnovnih informacija iz provedenog istraživanja, naročito ukoliko se ti podaci žele prezentirati neznanstvenoj javnosti. U pravilu se ovim prikazima zbog preglednosti izvještava o raspodjelama varijabli s malim brojem kategorija. Pritom je važno jasno naznačiti koji dijelovi kružnog dijagrama prikazuju pojedinačne kategorije što se, ovisno o broju kategorija i preglednosti, može prikazati u posebnoj legendi ili unutar samog dijagrama (Slika 1). Primjer grafičkog prikaza kružni dijagram: Slika 1. Uspjeh studenata I. godine na ispitu iz Pedagoške psihologije. Prikazan je postotak studenata koji su na ispitu dobili pojedinačne ocjene. Dijagram u obliku stupaca / stupčasti dijagram Dijagram u obliku stupaca / stupčasti dijagram prikazuje odnos između neke kvalitativne varijable i njezine frekvencije. Sastoji se od niza pravokutnika čije površine (i visine) odgovaraju frekvenciji svake kategorije. Pritom se na apscisi (os x) nanose vrijednosti pojedinih kategorija, dok se na ordinati (os y) najčešće mogu naći frekvencije. Poseban oblik ovog grafičkog prikaza predstavlja histogram. Histogram Histogram predstavlja stupčasti dijagram s kontinuiranim varijablama. Sastoji se od niza pravokutnika čije površine (i visine) odgovaraju frekvenciji svakog intervala. Pritom se na 0

26 Organizacija i prikazivanje podataka apscisi (os x) nanose vrijednosti mjerenja, dok se na ordinati (os y) najčešće mogu naći frekvencije. Primjer grafičkog prikaza histogram frekvencija: Slika. Raspodjela ocjena na kraju školske godine kod 60 učenika i 60 učenica trećih razreda područne škole X. Poligon frekvencija Poligon frekvencija prikazuje odnos između neke varijable i njezine frekvencije. Predstavljen je linijom koju definiraju točke čija visina pokazuje frekvenciju svakog intervala. Histogram se lako može transformirati u poligon frekvencija ukoliko se na sredinu gornje linije svakog pravokutnika postavi točka koja onda predstavlja osnovu za izradu poligona. Primjer grafičkog prikaza poligon frekvencija: Slika 3. Raspodjela ocjena na kraju školske godine kod skupine od 60 učenika i 60 učenica trećih razreda područne škole X. 1

27 Organizacija i prikazivanje podataka Prilikom izrade stupčastog dijagrama, histograma i poligona frekvencija treba voditi računa o: Odnosu dužine apscise i ordinate: Dužina ordinate treba biti oko /3 dužine apscise. Prekidanju apscise ili ordinate; Označavanju jedinica na osima: Nije potrebno označavati sve izmjerene vrijednosti, već treba nanositi uporišne vrijednosti, obično cijele brojeve. Organizaciji ordinate: Kod ovih grafičkih pristupa na osi y najčešće se nalazi frekvencija, iako se ponekad mogu koristiti i postotci ili proporcije. Optimalnoj organizaciji: Pomoću ovih grafičkih prikaza može se prikazati i više od jedne distribucije. Pritom treba biti pažljiv u organizaciji grafa i ne zaboraviti uz njega prikazati jasnu legendu. Isti ili slični principi vrijede i za grafičke prikaze koji opisuju odnos dviju varijabli, odnosno pokazuju kako se jedna varijabla mijenja pod utjecajem druge varijable. Pritom se načelno na os x nanosi nezavisna, a na os y zavisna varijabla. Osim ovdje spomenutih postoji još i brojni drugi oblici grafičkih prikaza koji se u manjoj mjeri koriste prilikom osnovnog izvještavanja o raspodjelama dobivenih podataka. Tako, na primjer, tzv. box & whisker plot oblik grafičkog prikazivanja može biti koristan za identifikaciju ekstremnih rezultata unutar nekog skupa podataka, dok se tzv. scatterplot grafički prikaz koristi za prikazivanje povezanosti među varijablama. Načelno, mnogo je vrsta grafičkih prikaza, kao i njihovog načina formatiranja, od kojih istraživač prilikom izvještavanja o rezultatima sam mora odabrati njemu najprimjerenija rješenja. Pri izradi grafičkih prikaza u pravilu se služimo računalnim programima, od kojih Microsoft Excel kao i računalni programi za statističku obradu podataka nude brojne mogućnosti koje su često dovoljne za primjereno prikazivanje rezultata. U ovom priručniku prikazane su samo osnovne informacije o grafičkom prikazivanju rezultata, dok detaljnije informacije o ovoj temi možete pronaći u preporučenoj literaturi.

28 Mjere središnjih vrijednosti i raspršenja rezultata.. MJERE SREDIŠNJIH VRIJEDNOSTI Računanje središnje vrijednosti predstavlja jedan od najčešće primjenjivanih statističkih postupaka kojeg koristimo kako bismo sažeto i zorno prikazali određeni skup podataka. Računanjem središnje vrijednosti cijeli skup podataka zamjenjujemo jednom vrijednošću za koju smatramo da ga dobro reprezentira, te stoga moramo biti jako pažljivi prilikom odabira prikladne mjere središnje vrijednosti...1. Aritmetička sredina Aritmetička sredina (M) predstavlja jednu od najčešće korištenih mjera središnjih vrijednosti. Ona se smatra najboljim pokazateljem prave vrijednosti mjerenja, i jedina je vrijednost koju je opravdano koristiti u složenijim obradama podataka. Aritmetička sredina određuje se kao omjer zbroja svih vrijednosti u nekom skupu i ukupnog broja opažanja. x M N x svaki pojedinačni rezultat mjerenja Σ sigma, simbol za zbroj N broj rezultata Aritmetička sredina predstavlja težište rezultata, jer je zbroj odstupanja pojedinačnih rezultata od aritmetičke sredine jednak 0, dok je zbroj kvadrata tih odstupanja manji od zbroja kvadrata odstupanja od bilo koje druge vrijednosti u nekom skupu podataka. Treba naglasiti da je aritmetičku sredinu opravdano koristiti samo ako su ispunjeni sljedeći uvjeti: Postoje pravi mjerni podaci koji su točno određeni barem na intervalnoj mjernoj skali. Izmjeren je dovoljan broj podataka (veći od 30). Svi rezultati su dobiveni mjerenjem u istim uvjetima. Distribucija rezultata je normalna (vidi Poglavlje.4.1), dakle i simetrična. S obzirom na to da na vrijednost aritmetičke sredine djeluje svaki rezultat svojom veličinom, kod računanja aritmetičke sredine veliki problem predstavlja postojanje ekstremnih vrijednosti, odnosno rezultata koji jako odstupaju od većine izmjerenih vrijednosti unutar jednog skupa. Općenito, što su podaci unutar nekog skupa podataka homogeniji, aritmetička sredina bolje reprezentira taj skup. 3

29 Mjere središnjih vrijednosti i raspršenja rezultata Primjer računanja aritmetičke sredine: Mjerenjem smo dobili sljedeće rezultate:,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8. Izračunajte aritmetičku sredinu M Centralna vrijednost (medijan) Za razliku od aritmetičke sredine, centralna vrijednost (C) nije vrijednost koju možete direktno izračunati uz pomoć neke formule, te se stoga za nju može reći da predstavlja vrijednost položaja. Naime, centralna vrijednost predstavlja onaj rezultat koji se u nizu rezultata poredanih po veličini nalazi točno po sredini. Na nju ne utječu vrijednosti pojedinih rezultata već samo njihov broj, te je stoga pogodna za korištenje u situacijama kada se unutar skupa podataka može pronaći nekoliko ekstremnih rezultata. Prilikom određivanja centralne vrijednosti najprije je potrebno odrediti položaj te vrijednosti (R C ) u nizu rezultata poredanih po veličini. Pritom se koristi formula: Rc N 0.5 N broj rezultata Nakon što smo odredili položaj centralne vrijednosti, moramo odrediti i njezinu vrijednost. Ukoliko pred sobom imamo neparni broj rezultata, onda samo trebamo očitati onu vrijednost koja se nalazi na rednom položaju kojeg smo izračunali u prethodnoj formuli. Ako se radi o parnom broju rezultata, onda je centralna vrijednost jednaka prosjeku dviju susjednih vrijednosti. Npr. ako imamo pet rezultata, centralna vrijednost je ona koja se nalazi na trećem mjestu, a ako ih imamo četiri onda se radi o prosjeku (aritmetičkoj sredini) rezultata koji se nalaze na drugom i trećem mjestu. Primjer računanja centralne vrijednosti: Mjerenjem smo dobili sljedeće rezultate: 7, 8, 4,, 3, 3, 3, 4,, 5, 4, 4, 5, 6, 6. Izračunajte centralnu vrijednost. Najprije treba poredati rezultate po veličini:,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, Rc ; C = 4 4

30 Mjere središnjih vrijednosti i raspršenja rezultata..3. Dominantna vrijednost (mod) Dominantna vrijednost (D) predstavlja onu vrijednost koja među rezultatima dominira čestinom pojavljivanja, odnosno onu vrijednost koja ima najveću frekvenciju. Na nju utječe samo broj, ali ne i vrijednost pojedinačnih rezultata. Stoga se preporučuje koristiti ju ako imamo velik broj rezultata od kojih neki mogu biti i ekstremni, te ako samo jedna vrijednost dominira čestinom. Naime, često se događa da skupina rezultata nema samo jednu, već više vrijednosti s jednakom najvećom frekvencijom. U slučaju da npr. distribucija ima dva ili više jednakih vrhova tada se očitaju dvije ili više dominantnih vrijednosti, te govorimo o bimodalnim (distribucija s dvije dominantne vrijednosti) ili multimodalnim (distribucija s više od dvije dominantne vrijednosti) distribucijama. Iako dominantna vrijednost predstavlja najslabiju mjeru središnjih vrijednosti, u nekim situacijama i ona može biti informativna i korisna. Primjer računanja dominantne vrijednosti: Mjerenjem smo dobili sljedeće rezultate:,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8. Odredite dominantnu vrijednost. D = Ostale mjere središnjih vrijednosti Osim gore spomenutih, ponekad se mogu koristiti i druge mjere središnjih vrijednosti. One uključuju harmoničnu i geometrijsku sredinu koje se mogu koristiti samo kod omjernih skala mjerenja. Harmonična sredina se koristi kada želimo izračunati prosjeke nekih odnosa (npr. prosječni km/h, broj slova u minuti), a smije se računati ako broj nije negativan ili nula. Geometrijska sredina se pretežno koristi kao prosječna mjera brzine nekih promjena, te se također smije računati ako broj nije negativan ili nula. Važna napomena: U nekim skupovima moguće je izračunati više od jedne mjere središnjih vrijednosti, najčešće aritmetičku sredinu, centralnu vrijednost i dominantnu vrijednost. Ako to napravimo, usporedba ovih vrijednosti nešto nam može reći i o obliku distribucije (raspodjele) rezultata, o čemu će biti govora kasnije. 5

31 Mjere središnjih vrijednosti i raspršenja rezultata.3. MJERE RASPRŠENJA REZULTATA Kao što smo opisali u prethodnom poglavlju, deskriptivna statistika omogućuje nam da cijeli skup podataka zamijenimo jednom, središnjom vrijednošću. Ta nam vrijednost, međutim, ne govori ništa o tome koliko taj podatak dobro reprezentira izmjerene podatke. Na primjer, zamislite tri skupa podataka: , i Aritmetička sredina ova tri skupa podataka je jednaka i iznosi 40. To znači da ta vrijednost predstavlja, a na neki način i zamjenjuje podatke tih skupova. U slučaju prvog skupa, vrijednost 40 tako zamjenjuje devet različitih podataka čije su vrijednosti jednake ili bliske prosječnoj (30, 40, 50), dok nam u drugom skupu predstavlja i druge, znatno udaljenije vrijednosti kao što su 10 ili 70. Na kraju, u trećem skupu podataka aritmetička sredina 40 zamjenjuje osam vrijednosti koje se svi od nje jako razlikuju. Dakle, u tom je slučaju aritmetička sredina jako slab predstavnik skupa na temelju kojeg je izračunata, te se u ovom slučaju ne bi smjela ni računati. Stoga su informacije o međusobnom razlikovanju rezultata jako važne, i u istraživanjima u pravilu moraju uvijek biti dostupne. Njih nam nude neke od mjera raspršenja (razlikovanja) rezultata koje ćemo sada opisati Raspon rezultata Raspon podataka poredanih prema veličini predstavlja razliku najvećeg i najmanjeg podatka. Radi se o vrlo jednostavnoj mjeri raspršenja koja je intuitivno lako razumljiva. Međutim, ona počiva na samo dvije vrijednosti rezultata te je stoga jako osjetljiva na ekstremne rezultate. Osim toga, raspon najčešće raste s porastom broja mjerenja (rezultata), te predstavlja vrlo nesigurnu mjeru raspršenja rezultata. Prilikom izvještavanja o rasponu rezultata najčešće je korisno navesti i najveće i najmanje izmjerene vrijednosti, a ne njihovu razliku. Raspon = x max x min Primjer računanja raspona rezultata: Mjerenjem smo dobili sljedeće rezultate:,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8. Odredite raspon rezultata. Raspon = 8 - = 6 6

32 Mjere središnjih vrijednosti i raspršenja rezultata.3.. Varijanca Varijanca (SD ) predstavlja jednu od informativnijih mjera raspršenja rezultata koja se smije računati samo uz aritmetičku sredinu. Varijanca predstavlja prosjek sume kvadriranih odstupanja svakog rezultata od aritmetičke sredine. Dakle, varijanca se računa tako da izračunamo razliku između svakog rezultata i aritmetičke sredine, zatim te razlike kvadriramo i zbrojimo, te na kraju zbroj podijelimo s ukupnim brojem rezultata. ( x M SD N ) x svaki pojedinačni rezultat mjerenja M - aritmetička sredina N broj rezultata Kao što je vidljivo iz formule, kod računanja varijance veća odstupanja kvadriranjem dolaze više do izražaja, te se na taj način kažnjava postojanje ekstremnih rezultata u mjerenju. Općenito, varijanca se kao samostalna vrijednost ne koristi često, iako je ona vrlo korisna prilikom provođenja složenijih statističkih analiza o čemu više možete saznati u preporučenoj literaturi. Važno je naglasiti da se gore napisana formula za varijancu načelno koristi kada radimo s podacima iz cijele populacije. Ukoliko su naši podaci dobiveni mjerenjem uzorka, preciznije je koristiti modificiranu formulu: SD ( x M ) N 1 Primjer računanja varijance: Mjerenjem (na vrlo maloj populaciji) dobili smo sljedeće rezultate:,, 3, 3, 3, 4, 4. Odredite varijancu dobivenih rezultata. Najprije određujemo aritmetičku sredinu rezultata, a zatim varijancu: SD ( 3) ( 3) M (3 3) (3 3) 7 (3 3) (4 3) (4 3)

33 Mjere središnjih vrijednosti i raspršenja rezultata.3.4. Standardna devijacija Standardna devijacija (SD) usko je povezana s varijancom. Ona predstavlja drugi korijen iz vrijednosti varijance, odnosno drugi korijen iz prosjeka sume kvadriranih odstupanja pojedinačnih rezultata od aritmetičke sredine. Slično kao i kod varijance, i za računanje standardne devijacije postoje dvije formule jednu koristimo kad imamo podatke mjerene na populaciji, a drugu ukoliko su podaci izmjereni na uzorku. U praksi to znači da ćemo najčešće koristiti formulu za mjerenje na uzorku, s obzirom na to da vrlo rijetko imamo priliku izmjeriti sve jedinke neke ciljane populacije. Mjerenje na populaciji ( x M ) SD N Mjerenje na uzorku SD ( x M ) N 1 x pojedinačni rezultat mjerenja M - aritmetička sredina N broj rezultata Standardna devijacija je najčešće korištena mjera raspršenja koju u pravilu uvijek treba navoditi uz aritmetičku sredinu. Najjednostavnije rečeno, to je vrijednost koja označava tipičnu, ili prosječnu kvadriranu razliku između pojedinačnih rezultata i aritmetičke sredine nekog skupa. Što je standardna devijacija manja, to nam aritmetička sredina bolje reprezentira dobivene rezultate jer se oni u prosjeku manje razlikuju od nje. Kao ni varijanca, ni standardna devijacija ne računa se uz ostale mjere središnjih vrijednosti, već samo uz aritmetičku sredinu. Ako poznajemo vrijednosti aritmetičke sredine i standardne devijacije za neki skup rezultata, možemo rekonstruirati još neke njegove karakteristike, o čemu će biti riječi u idućem poglavlju. Primjer računanja standardne devijacije: Mjerenjem (na vrlo maloj populaciji) dobili smo sljedeće rezultate:,, 3, 3, 3, 4, 4. Odredite standardnu devijaciju dobivenih rezultata. Najprije određujemo aritmetičku sredinu rezultata, a zatim standardnu devijaciju: M SD ( 3) ( 3) (3 3) (3 3) 7 (3 3) (4 3) (4 3)

34 Mjere središnjih vrijednosti i raspršenja rezultata.3.5. Koeficijent varijabilnosti Kada su nam za dva skupa podataka poznate dvije aritmetičke sredine i standardne devijacije, možemo reći da smo te skupove relativno cjelovito definirali. Na prvi pogled se može činiti da je na temelju tih informacija lako brzo odrediti koji od ta dva skupa ima veću, a koji manju aritmetičku sredinu i varijabilitet. Međutim, kao što ćete naučiti u poglavlju o inferencijalnoj statistici, ukoliko naši skupovi podataka predstavljaju uzorke, zaključak o postojanju statistički stvarnih, odnosno statistički značajnih razlika između aritmetičkih sredina treba provjeriti posebnim statističkim testovima (npr. t-test ili analiza varijance). Ali, ukoliko naši skupovi podataka predstavljaju populacije, odnosno ako smo u njih uključili sve jedinice koje nas zanimaju, aritmetičke sredine zaista možemo jednostavno matematički usporediti i odrediti koja je od njih veća, a koja manja. Ukoliko su aritmetičke sredine potpuno jednake, i standardne devijacije možemo usporediti na isti način. Međutim, ako se aritmetičke sredine dva ciljana skupa podataka razlikuju, nije nam dopušteno jednostavno usporediti njihove standardne devijacije kako bismo odredili koji od ta dva skupa rezultata više varira. Umjesto toga, trebamo izračunati drugu, standardiziranu mjeru raspršenja koju nazivamo koeficijent varijabilnosti (V). Ovaj koeficijent koristimo kada želimo znati koja od dvije ili više skupina rezultata relativno više varira, odnosno ako nas zanima: (a) u kojem svojstvu neka skupina varira više, a u kojem manje ili (b) koja od ispitanih skupina varira više, a koja manje u istom svojstvu. V M SD 100 SD standardna devijacija M aritmetička sredina Primjer računanja koeficijenta varijabilnosti: Prilikom primjene dva testa, jednog kratkog testa s pet pitanja i jednog dužeg s 50 pitanja, dobiveni su sljedeći rezultati: a),, 3, 3, 3, 4, 4 i b) 0, 30, 30, 30, 30, 30, 40. Odredite koji od ova dva skupa ima veći varijabilitet. Najprije računamo aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju rezultata. Te ćemo vrijednosti uvrstiti u formulu za koeficijent varijabilnosti. Prvi skup podataka: M a

35 Mjere središnjih vrijednosti i raspršenja rezultata SD a ( 3) ( 3) (3 3) (3 3) 7 (3 3) (4 3) (4 3) V a x100 5% 3 Drugi skup podataka: Mb SD b (0 30) (30 30) (30 30) (30 30) 7 (30 30) (30 30) (40 30) V a x % 30 Iako ima manju standardnu devijaciju, varijabilitet je veći u prvom skupu podataka Ostale mjere raspršenja Osim gore spomenutih, ponekad se mogu koristiti i druge mjere raspršenja rezultata. Jedna od tih mjera koja nam može biti od koristi naziva se poluinterkvartilno raspršenje, odnosno interkvartilni raspon. Ova se mjera računa uz centralnu vrijednost, na rezultatima poredanim po veličini. Određuje se kao razlika između rezultata koji se nalazi na granici trećeg ili gornjeg kvartila (rezultat koji razdvaja 75% najnižih rezultata od onih većih) i onoga koji se nalazi na granici prvog ili donjeg kvartila (rezultat koji razdvaja 5% najnižih podataka od ostalih). Više o računanju poluinterkvartilnog raspršenja saznajte u preporučenoj literaturi. Osim spomenutih, postoje i druge mjere raspršenja, npr. indeks srednjeg odstupanja s kojim ćete se rijetko susretati. 30

36 Distribucije rezultata.4. DISTRIBUCIJE REZULTATA Distribuciju (raspodjelu) rezultata čine sve učestalosti, odnosno pojedinačni rezultati i njihove frekvencije unutar nekog skupa podataka. Kao što već znate, postoji veliki broj različitih oblika distribucija od kojih smo neke već spominjali. Kratak pregled nekih oblika distribucija prikazan je na Slici 4. Kvadratična / uniformna U - distribucija Bimodalna Normalna Slika 4. Oblici nekoliko različitih vrsta distribucija Normalna distribucija Normalna distribucija (Slika 5) predstavlja temeljni oblik distribucije koji u statistici ima neobično veliku važnost. Ona predstavlja osnovu za razumijevanje pojmova statističke vjerojatnosti. Ponekad se, prema njemačkom matematičaru C. Gaussu, naziva i Gaussova krivulja. Njezine temeljne osobine su zvonolik oblik, simetričnost i asimptotsko približavanje apscisi, što drugim riječima znači da se ona približava, ali nikad ne dodiruje apscisu. Slika 5. Normalna distribucija. Veliki broj pojava i osobina (ne sve!) u prirodi distribuira se normalno. Slično tome, u istraživanjima koja se provode na uzorcima također je često moguće očekivati ovu distribuciju, i to onda kada su ispunjeni sljedeći uvjeti: U prirodi zaista postoji neka stabilna vrijednost mjerenja, te ako se osobina koju mjerimo zaista distribuira normalno u populaciji. 31

37 Distribucije rezultata Imamo dovoljno velik broj mjerenja. Svi izmjereni rezultati dobiveni su korištenjem iste metode i prikupljeni u istim uvjetima. Skupina koju mjerimo homogena je po svim osobinama, osim one koju mjerimo po kojoj je heterogena. Općenito, kada u nekom istraživanju izmjerimo određeno svojstvo i prikažemo rezultate, vrlo rijetko će se dogoditi da su oni distribuirani u obliku idealne normalne distribucije. Naime, češće ćemo imati priliku susresti se s nekim manjim varijacijama, među kojima su ključne razlike u širini, odnosno zaobljenosti, i simetriji distribucije. Vezano uz varijacije u zaobljenosti, odnosno kurtičnosti distribucije razlikujemo mezokurtične distribucije kakva je i normalna distribucija, leptokurtične, odnosno uske, visoke distribucije kod kojih se većina rezultata grupira oko aritmetičke sredine i koje imaju malo raspršenje i platikurtične, odnosno široke distribucije u kojima ima relativno puno rezultata koji se razlikuju od aritmetičke sredine i koje imaju veliko raspršenje. Na Slici 6 su prikazane tri takve distribucije koje se međusobno razlikuju po širini, odnosno statistički gledano, prema raspršenju rezultata. Slika 6. Usporedba mezokurtične, leptokurtične i platikurtične distribucije. Osim po zaobljenosti, distribucije često razlikujemo i prema stupnju simetrije. Kao što je spomenuto ranije, prava normalna distribucija je potpuno simetrična te su stoga kod nje sve mjere središnjih vrijednosti (aritmetička sredina, centralna i dominantna vrijednost) međusobno jednake. Za razliku od toga, kod asimetričnih distribucija to nije slučaj. Na Slici 7 pogledajte odnos pojedinačnih središnjih vrijednosti kod pozitivno asimetrične, odnosno distribucije kod koje postoji više ekstremnih rezultata viših vrijednosti i negativno asimetrične, odnosno distribucije kod koje postoji više ekstremnih rezultata nižih vrijednosti. 3

38 Distribucije rezultata Simetrična Pozitivno asimetrična Negativno asimetrična M=C=D D C M M C D Slika 7. Usporedba simetrične i dviju asimetričnih distribucija. Općenito, ukoliko distribucija rezultata izmjerenih na nekom uzorku značajno odstupa od normalne, to može biti indikator da se mjerena pojava ni u populaciji ne distribuira normalno. S druge strane, jednako često ili češće nam to može ukazivati na pogreške u odabiru uzorka, odnosno na postojanje nekih pristranosti u mjerenju (djelovanje sistematskih faktora na dobivene rezultate). Na primjer, ukoliko na testu matematike veliki broj djece dobije ocjene vrlo dobar i izvrstan, odnosno ako je distribucija podataka negativno asimetrična, to nam može ukazivati na to da je test bio prelagan. Važno je napomenuti da je u istraživanjima uvijek važno provjeriti oblik distribucije. Osim vizualnim pregledom grafičkih prikaza, to se može objektivno napraviti korištenjem testova za provjeru asimetrije i zaobljenosti distribucije. U praksi se za provjeru normaliteta distribucije vrlo često koristi tzv. Kolmogorov-Smirnovljev test o kojem možete više saznati u preporučenoj literaturi. Ako izmjerena distribucija rezultata nije normalna, treba izbjegavati korištenje parametrijskih metoda obrade koje se inače koriste kod normalno distribuiranih rezultata, jer to može dovesti do pogrešnih zaključaka. Normalna distribucija je u praksi jako važna jer, među ostalim, predstavlja osnovu za izračunavanje položaja rezultata u skupini i vjerojatnosti pojave određenog rezultata u nizu mjerenja. To možemo lako napraviti za bilo koje mjerenje ukoliko nam je poznata aritmetička sredina i standardna devijacija rezultata koji se normalno distribuiraju. 33

39 Položaj rezultata u skupini.5. POLOŽAJ REZULTATA U SKUPINI Ukoliko smo u nekoliko istraživanja izmjerili jednu ili više pojava i želimo usporediti pojedinačne rezultate tih mjerenja, to ne možemo napraviti samo usporedbom mjerenih vrijednosti jer one često nisu usporedive (npr. moguće je da su izmjerene na različitim mjernim skalama). Na primjer, ako ste učenicima zadali dva testa od kojih je jedan imao ukupno 10, a drugih ukupno 50 bodova, trebate pronaći način da usporedite bodove pojedinih učenika na ta dva testa, ili da na temelju njih izračunate neku ukupnu ocjenu. Bilo bi problematično jednostavno zbrojiti postignute bodove jer se, na primjer, dva testa mogu razlikovati prema težini. Stoga je potrebno rezultate standardizirati, odnosno pretvoriti ih u neki standardni oblik. Pritom najčešće koristimo tzv. z-vrijednosti z-vrijednosti Logika z-vrijednosti temelji se na pretvaranju svakog rezultata u standardiziranu vrijednost temeljenu na udaljenosti tog rezultata od aritmetičke sredine skupine kojoj pripada. Z-vrijednosti se računaju kao omjer odstupanja svakog rezultata od aritmetičke sredine i standardne devijacije distribucije iz koje dolaze. z x M SD x - svaki pojedinačni rezultat SD standardna devijacija M - aritmetička sredina Pretvaranjem distribucije izmjerenih vrijednosti u onu z-vrijednosti dobijemo novu distribuciju čija je aritmetička sredina 0, a standardna devijacija 1. Ta je distribucija standardizirana, što znači da su i druge osobine, primjerice udio rezultata koje uključuje, te distribucije poznate. Općenito, unutar cijele normalne distribucije uvijek se nalazi isti postotak rezultata, a to isto možemo reći i za pojedine dijelove te distribucije. Kod normalne distribucije se tako praktično svi rezultati (99.73%) nalaze u rasponu aritmetička sredina ± 3 standardne devijacije. Unutar raspona aritmetička sredina ± standardne devijacije nalazi se 95.44%, a unutar raspona aritmetička sredina ± 1 standardne devijacije 68.6% rezultata (Slika 8). 34

40 Položaj rezultata u skupini Slika 8. Udio rezultata u različitim odsječcima normalne distribucije. Osim toga, kod normalne distribucije je moguće izračunati točan postotak, odnosno broj rezultata koji se nalaze u nekom rasponu unutar distribucije dobivenih podataka. To možemo napraviti pomoću formule za izračunavanje z-vrijednosti i statističke tablice koja nam za svako standardizirano odstupanje (z) pokazuje postotak rezultata koji se nalaze između te vrijednosti i aritmetičke sredine (prilog Tablica 1: z-vrijednosti normalne krivulje za zadane postotke površine od aritmetičke sredine). Primjer računanja z-vrijednosti: Mjerenjem nekog uzorka dobili smo skup od 6000 normalno distribuiranih rezultata čija je aritmetička sredina 100, a standardna devijacija 10. Odredite koja je vjerojatnost da je neki rezultat veći ili jednak od rezultata z U Statističkim tablicama za z=0.3 možemo iščitati vrijednost Ta nam vrijednost pokazuje postotak rezultata između aritmetičke sredine i rezultata 103. Međutim, nas zanima koliko je rezultata iznad 103, pa taj postotak računamo kao 50% % = 38.1%. Dakle, 38.1% ispitanika imalo je rezultat jednak ili veći od 103. Na temelju gore navedenog postupka, u nekoj distribuciji možemo odrediti npr. točan položaj rezultata u nekoj skupini, broj ispitanika koji su postigli rezultate veće ili manje od neke vrijednosti, broj ispitanika koji je postigao rezultat unutar određenog raspona, itd. Pri 35

41 Položaj rezultata u skupini izračunavanju tih vrijednosti, važno je pažljivo pratiti organizaciju tablice te prije samog izračuna grafički prikazati problem koji se pokušava riješiti. Važno je naglasiti da je uz pomoć z-vrijednosti moguće i kombinirati rezultate dvaju ili više testova, npr. zbrojiti z-vrijednost pojedinca na nekoliko testova kako bi se odredio njegov ukupni / prosječan uspjeh u skupini. Primjer primjene z-vrijednosti: Na ispitu iz mature kojeg su polagali iz hrvatskoj jezika, matematike i fizike, učenici su postigli sljedeći uspjeh: HRVATSKI MATEMATIKA FIZIKA M SD 10 0 Dva učenika su na testovima postigla sljedeće rezultate: HRVATSKI MATEMATIKA FIZIKA UČENIK A UČENIK B Izračunajte koji je učenik ukupno postigao bolji rezultat. Da biste riješili ovaj zadatak najprije trebate bodove koji su učenici postigli pretvoriti u z- vrijednosti. HRVATSKI MATEMATIKA FIZIKA UČENIK A z 0 z 1 z UČENIK B z 0 z 0 z Zatim treba izračunati ukupne z-vrijednosti za te učenika. UČENIK A: z A =0+1+0=1 UČENIK B: z B = =0.5 Dakle, bolji uspjeh ukupno je postigao učenik A (iako je apsolutno imao manje izmjerenih bodova od učenika B). 36

42 Položaj rezultata u skupini.5.. Centili i decili Osim z-vrijednosti, postoje i drugi načini određivanja položaja rezultata u skupini. Vrlo često se u tu svrhu koriste skale centila i decila, naročito kod distribucija koje nisu distribuirane normalno. Decili pritom predstavljaju vrijednosti koje skup dijele na 10 jednakih dijelova, dok su centili vrijednosti koje skup dijele na 100 jednakih dijelova. Logika njihovog korištenja slična je ranije spominjanom računanju kvartila kod kojih se niz rezultata dijeli na četiri jednaka dijela (granica drugog kvartila je centralna vrijednost). Slično tome, kod decila se određuju granice koje dijele niz rezultata poredanih po veličini u skupine od po 10% rezultata, dok se kod centila radi o skupinama od po 1% rezultata. To se može napraviti uz pomoć z-vrijednosti jer se u normalnoj distribuciji za ciljani granični postotak rezultata može odrediti z-vrijednost uz koju se on vezuje, a zatim i originalni izmjereni rezultat. Međutim, još je jednostavnije odrediti decile ili centile pomoću bruto, odnosno izmjerenih vrijednosti. Na primjer, kod određivanja decila najprije je potrebno rezultate poredati po veličini. Nakon toga, određuju se gornje granične vrijednosti decila kojih ima 9. Prva granica odvaja prvih 10% ispitanika, druga prvih 0%, itd. Granica 5. decila je centralna vrijednost. Prema istoj logici mogu se odrediti i granične vrijednosti centila. Računski decil u kojem se nalazi neki rezultat možemo izračunati pomoću formule: d rang N x10 Prema istoj logici, računski se centil u kojem se nalazi neki rezultat može izračunati pomoću formule: rang c N x100 Kao što je spomenuto, skale decila i centila često se koriste kada nije opravdano koristiti z-vrijednosti ili kad se rezultati žele prikazati nestatističarima. Na primjer, ukoliko radite u školi i nekom roditelju želite objasniti kakav uspjeh njegovo dijete ima u usporedbi s ostalom djecom u razredu, u tu je svrhu često lakše koristiti decile od z-vrijednosti. Dakako, i u tom slučaju treba roditelju ukratko objasniti što decili predstavljaju, ali za očekivati je da će on to lako razumjeti jer se radi o intuitivnoj skali koju nerijetko koristimo i u svakodnevnom životu. 37

43 Položaj rezultata u skupini Iako korisne, ove skale imaju svojih ograničenja jer su grube, neaditivne i neekvidistantne, te se stoga u složenijim analizama ne koriste. Također, kod računanja decila i centila u kojima se nalazi određeni rezultat često dobivene rezultate treba zaokružiti kako bi se pripadajući decil ili centil mogao jednoznačno odrediti, što predstavlja dodatni izvor nepreciznosti ovih skala. Primjer računanja decila i centila: Mjerenjem smo dobili sljedeće rezultate: 7, 8, 4,, 3, 8, 8, 3, 3, 4, 9,, 5, 4, 4, 5, 6, 6, 10, 9. U kojem se decilu, a u kojem centilu nalazi rezultat 7? Najprije treba poredati rezultate po veličini:,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10. Zatim možemo očitati rang rezultata koji nas zanima, i koji iznosi d x10 7 ; d = 7 0 Rezultat 7 nalazi se u sedmom decilu. 14 c x ; c = 70 0 Rezultat 7 nalazi se u sedamdesetom centilu. 38

44 Inferencijalna statistika 3. INFERENCIJALNA STATISTIKA Metode inferencijalne statistike omogućuju nam da na temelju podataka dobivenih mjerenjem na uzorku generaliziramo, odnosno donosimo zaključke o stanju u cijeloj populaciji. Unutar inferencijalne statistike ključno je poznavati osnovne zakonitosti uzorkovanja koje, kao što je objašnjeno u poglavlju o deskriptivnoj statistici, predstavlja postupak formiranja uzorka iz populacije, odnosno odabira ispitanika koji će sudjelovati u nekom istraživanju. Populaciju pritom čine svi mogući članovi neke skupine s određenim značajkama, dok uzorak predstavlja dio populacije na kojem provodimo istraživanje. Općenito smo u istraživanjima gotovo uvijek usmjereni na mjerenje uzoraka jer je ponekad populaciju nemoguće, preskupo ili presloženo izmjeriti. Važno je naglasiti da nam je kod odabira uzorka cilj odabrati skupinu ispitanika koja što bolje reprezentira populaciju kojoj pripada jer nam to omogućuje bolje zaključivanje i predviđanje pojava. Prilikom organizacije mjerenja moguće je izabrati različite vrste uzoraka, pri čemu se često koristi jednostavni slučajni uzorak, odnosno uzorak kod kojeg svaki član populacije ima jednaku vjerojatnost biti odabran. Slučajni uzorak je obično i reprezentativan za populaciju, dok za one uzorke kod kojih neki članovi imaju veću vjerojatnost da budu odabrani kažemo da su pristrani. Bez obzira na kvalitetu odabranog uzorka, treba imati na umu da uzorak nikada nije potpuni preslik populacije. Naime, prilikom mjerenja uvijek smo izloženi određenim pogreškama mjerenja koje trebamo uzeti u obzir prilikom interpretacije rezultata. S obzirom na to, kada na temelju uzorka želimo zaključivati o stanju u populaciji (npr. predvidjeti izraženost neke osobine u populaciji ili provjeriti postojanje razlika među grupama), te pogreške moramo uzeti u obzir. Kako prilikom samog mjerenja nikad ne možemo znati veličinu pogreške koja se vezuje upravo uz to mjerenje, kao ni pravo stanje u populaciji, u praksi sve zaključke donosimo s određenom vjerojatnošću ili uz određeni stupanj sigurnosti. Dakle, uz naše se zaključke uvijek veže mogućnost pogreške o čijoj vjerojatnosti pojave, koju nazivamo i razinom rizika, uvijek moramo izvijestiti uz rezultat izračunatog testa unutar istraživanja. Sam istraživač određuje željeni stupanj sigurnosti na kojem želi temeljiti svoje zaključke: najčešće se pritom odlučuje za stupanj sigurnosti od 95% (razinu rizika od 5%) ili 99% (razinu rizika od 1%). Različite postupke i testove unutar inferencijalne statistike međusobno razlikujemo prije svega s obzirom na svrhu u koju se koriste. Tako postupke načelno možemo podijeliti u one kojima je cilj provjeriti ili opisati razlike između dviju ili više skupina varijabli (npr. t- test) i one kojima je cilj odrediti veze između pojedinih varijabli (npr. korelacija). Nadalje, 39

45 Inferencijalna statistika različite vrste postupaka moguće je podijeliti s obzirom na vrstu modela koje koriste, pa tako razlikujemo parametrijske i neparametrijske metode o kojima će kasnije biti više riječi. Također, s obzirom na složenost postupaka, odnosno broj varijabli koje uzimaju u obzir razlikujemo univarijantne (uzimaju u obzir jednu varijablu), bivarijantne (uzimaju u obzir dvije varijable) ili multivarijantne tehnike (uzimaju u obzir više od dvije varijable). Dodatno se različite vrste postupaka mogu razlikovati s obzirom na osobine uzoraka i izmjerenih podataka na kojima se primjenjuju (npr. analize za zavisne i nezavisne skupine). Pritom treba posebno naglasiti da odabir prikladne statističke metode u istraživanju prvenstveno ovisi o istraživačkom pitanju na koje želimo odgovoriti, te da je u pravilu jako korisno provedbu istraživanja organizirati imajući u vidu planirane analize. Naime, provedba statističkih postupaka nikad ne može zamijeniti ili nadomjestiti eventualne nedostatke provedenih istraživanja koji kasnije ograničavaju moguće primjene dobivenih rezultata. Isto tako, treba uvijek biti jako pažljiv prilikom interpretacije dobivenih rezultata, jer se u praksi vrlo često susreću primjeri neopravdanog zaključivanja o, primjerice, uzrocima pojave statistički značajnih razlika izračunatih putem t-testa ili uzročno-posljedičnom odnosu varijabli za koje je utvrđeno samo postojanje povezanosti, odnosno statistički značajne korelacije. 40

46 Inferencijalna statistika 3.1. POGREŠKE MJERENJA Ako bismo iz neke populacije odabrali veliki broj uzoraka jednake veličine i za svaki od njih odredili prosječnu vrijednost, aritmetičke sredine tih uzoraka međusobno bi se razlikovale iako svi ti uzorci dolaze iz iste populacije (i nju predstavljaju). Ukoliko bismo sve te aritmetičke sredine uzoraka grafički prikazali, vidjeli bismo da bi se aritmetičke sredine populacije grupirale oko prave aritmetičke sredine populacije, a njihova bi distribucija nalikovala normalnoj. Što su izmjereni uzorci veći, to će distribucija njihovih aritmetičkih sredina biti sličnija normalnoj i imati manju standardnu devijaciju. Štoviše, čak i ako distribucija populacije nije normalna, kod velikih uzoraka (često N>30) će distribucija aritmetičkih sredina biti normalna. To nazivamo teoremom centralne granice (Slika 9). Slika 9. Primjeri distribucija rezultata u populaciji (slike u retku 1), te distribucija aritmetičkih sredina uzoraka različite veličine (slike u retcima i 3). Dakle, možemo zaključiti kako aritmetička sredina velikog broja uzoraka neće točno odgovarati pravoj aritmetičkoj sredini populacije, već će se od nje više ili manje razlikovati. Isto vrijedi i za ostale karakteristike uzorka, npr. standardnu devijaciju ili proporciju. Pogreška uzorka predstavlja upravo tu razliku između vrijednosti dobivenih mjerenjem uzorka i stvarnog stanja u populaciji. Razlozi zbog kojih dolazi do pogrešaka mjerenja uključuju: neslučajnost uzorka ili selektivni otpad ispitanika, netočne i/ili neiskrene odgovore ispitanika, nejasna pitanja, pogrešan unos podataka i sl. Pogreška uzorka bit će veća kod manjih uzoraka koji slabije reprezentiraju populaciju iz koje potječu. Iako se pogreška uzorka može izračunati za sve vrijednosti uzorka, u praksi se ona najčešće računa za aritmetičku sredinu i proporciju. U tim slučajevima govorimo o 41

47 Inferencijalna statistika (standardnoj) pogrešci aritmetičke sredine (SEM; ponekad se označava i kao SD M ) i (standardnoj) pogrešci proporcije (SEP; ponekad se označava i kao SD p ). Formula za računanje pogreške aritmetičke sredine Formula za računanje pogreške proporcije SEM SD N SD - standardna devijacija N- broj ispitanika SEP q=1-p pxq N p proporcija jedne kategorije q proporcija druge kategorije Primjer određivanja pogreške aritmetičke sredine: U skupini od 64 učenika izmjerena je prosječna visina od 155 cm, uz standardnu devijaciju 8. Izračunajte pogrešku aritmetičke sredine ovog uzorka. SEM Primjer određivanja pogreške proporcije: U skupini od 64 ukupno upisanih studenta jedne generacije, njih je 58 uspješno upisalo sljedeću akademsku godinu. Izračunajte pogrešku proporcije u ovom uzorku. p = 58/64 = 0.91 q = = 0.09 SEP 0.91x

48 Inferencijalna statistika 3.. PROCJENA PARAMETARA Ukoliko na nekom uzorku prikupimo određene podatke i odredimo vrijednost aritmetičke sredine na temelju koje želimo odrediti stvarnu aritmetičku sredinu populacije, preporučljivo je prognozirati ne samo jednu, već raspon vrijednosti. To radimo zato jer se uz vrijednosti izmjerene na uzorku uvijek veže određena pogreška koju pokušavamo neutralizirati manje preciznim prognozama, odnosno prognoziranjem raspona umjesto jedne vrijednosti i navođenjem stupnja uvjerenja u donesene zaključke. Proces određivanja raspona u kojem se, uz određenu sigurnost (rizik), nalazi vrijednost u populaciji ili parametar populacije naziva se procjena parametara. Parametar se pritom može odnositi na npr. aritmetičku sredinu, proporciju, ili raspršenje unutar populacije. Za procjenu parametra potrebno je znati vrijednost uzorka i pogrešku koja se veže uz vrijednost uzorka. U praksi se procjena parametara najčešće radi za aritmetičku sredinu (kod podataka na intervalnim i omjernim skalama mjerenja), te proporciju (kod podataka na nominalnoj skali mjerenja). Pritom se koriste formule za računanje pripadajućih pogrešaka uzoraka s kojima smo se već upoznali. Nakon što smo izračunali pogrešku uzorka, tu mjeru možemo koristiti za procjenu granica pouzdanosti. Granice pouzdanosti označavaju raspon u kojem se, uz određeni stupanj sigurnosti kojeg odabire sam istraživač, nalazi prava vrijednost populacije. Kod određivanja granica pouzdanosti uvijek krećemo od vrijednosti uzorka kojoj dodajemo i od koje oduzimamo jednaku vrijednost prema formulama: Procjena aritmetičke sredine populacije M.58 SEM (uz 99% sigurnosti) M 1.96 SEM (uz 95% sigurnosti) Procjena proporcije u populaciji p.58 SEP (uz 99% sigurnosti) p 1.96 SEP (uz 95% sigurnosti) Dakle, prilikom predviđanja stanja u populaciji na temelju izmjerenog uzorka u pravilu ne možemo biti potpuno sigurni u svoje zaključke, te se stoga ograničavamo na manje precizne prognoze. Granice pouzdanosti pritom reflektiraju upravo stupanj naše sigurnosti u prognozu: što smo sigurniji u taj zaključak, to su granice pouzdanosti uže, odnosno u takvim slučajevima možemo predviđati uži raspon mogućih populacijskih vrijednosti. Kada u našem 43

49 Inferencijalna statistika mjerenju ne bi postojala nikakva pogreška, mogli bismo prognozirati samo jednu vrijednost, i to onu koja je izračunata unutar uzorka. Primjer određivanja intervala pouzdanosti aritmetičke sredine: Na ispitu iz statistike održanog na kraju ak.god. 01/013. skupina od 60 studenata postigla je prosječno 48 od mogućih 80 bodova (SD = 9.3). Profesor koji predaje taj predmet je rekao da se radi o uobičajenom postignuću studenata koji se ne razlikuje od očekivanog uspjeha od 50 bodova. Da li je profesor u pravu? SEM Procjena uz 1% rizika da se pravi prosječni uspjeh nalazi u ovom rasponu: 48 ±.58 x 1. = 48 ±.98 (45.0 do 50.98) Uz stupanj sigurnosti od 99% možemo zaključiti da profesor u pravu, odnosno da se postignuti uspjeh statistički značajno ne razlikuje od očekivanog. 44

50 Inferencijalna statistika 3.. TESTIRANJE HIPOTEZA Testiranje hipoteza predstavlja sistematski proces kojim provjeravamo potvrđuju li podaci prikupljeni unutar određenog istraživanja testirane znanstvene teorije i hipoteze. Postupak procjene parametara s kojim ste se ranije upoznali predstavlja jedan od jednostavniji oblika testiranja hipoteza, tako da ste se s nekim osnovnim postavkama ovog procesa već susreli. Testiranje hipoteza provodi se kroz nekoliko koraka koji započinju formuliranjem hipoteze koja predstavlja odgovor na postavljeno istraživačko pitanje, nastavljaju se odabirom i provođenjem prikladnog statističkog postupka, a završavaju odlukom o valjanosti postavljene hipoteze. Postupkom testiranja hipoteza možemo, na primjer, provjeriti: Oblik distribucije frekvencija: najčešće to radimo kako bismo odredili da li je neka distribucija normalna ili ne. Pripada li uzorak određenoj populaciji. Na primjer, ukoliko u skupini darovite djece primijenimo test inteligencije, možemo usporediti dobivenu vrijednost s prosječnom vrijednosti za koju nam je poznato da vrijedi u populaciji (u slučaju inteligencije je to 100), i zatim odrediti da li se daroviti svojom inteligencijom ističu u usporedbi s drugom djecom njihove dobi. Pripadaju li dva ili više uzoraka istoj populaciji, odnosno postoji li statistički značajna razlika između dviju ili više skupina podataka. Na primjer, na ovaj način možemo provjeriti da li se učenici različitog socioekonomskog statusa razlikuju po ocjenama iz nekog predmeta. Povezanost dviju ili više varijabli. Na primjer, možemo provjeriti da li je količina domaćeg rada kojeg učenici trebaju napraviti tijekom semestra povezana s količinom znanja koju steknu iz nekog predmeta 1. KORAK: Postavljanje hipoteze Znanstvena istraživanja predstavljaju sustavne načine provjere postavki određenih znanstvenih teorija ili odgovaranja na neka praktična pitanja. Na početku istraživanja formuliraju se istraživački problemi i hipoteze, odnosno pretpostavljeni odgovori na te probleme. Važno je razlikovati dvije vrste hipoteza: istraživačke hipoteze koje odražavaju teorijska ili istraživačeva uvjerenja o očekivanim rezultatima, te nul ili nulte hipoteze (H0) koje predstavljaju statističke hipoteze u koje sam istraživač ne mora vjerovati, ali ih treba postaviti kako bi ih provođenjem statističkih postupaka provjerio. Pritom je nul hipoteza 45

51 Inferencijalna statistika statistička hipoteza koja pretpostavlja nepostojanje značajnih efekata, npr. nepostojanje razlika između skupina ispitanika, nepostojanje korelacije između varijabli i slično. Nul hipotezu testiramo korištenjem statističkih postupaka, nakon čega tu hipotezu možemo odbaciti ukoliko dobijemo statistički značajan efekt, odnosno prihvatiti ako ne pokažemo statistički značajan rezultat. Iako i istraživačke hipoteze mogu pretpostavljati nepostojanje nekog efekta, one su znatno češće formulirane afirmativno. Na primjer, zamislite da radite u srednjoj školi, i imate dojam da djeca iz bogatijih obitelji bolje usvajaju gradiva iz tehničkih i znanstvenih predmeta od djece iz siromašnijih obitelji. Čini vam se da je to možda vezano uz veću dostupnost knjiga i informatičke tehnologije kod djece iz bogatijih obitelji, te razmišljate o tome da ravnatelju predložite otvaranje informatičke radionice koja bi djeci bila stalno dostupna, i u kojoj bi i siromašniji učenici imali stalan pristup tehnologiji važnoj za učenje. Međutim, prije toga želite svoju sumnju i provjeriti, te organizirate istraživanje u kojem ćete ispitati postoji li povezanost između ekonomskog statusa obitelji djeteta i uspjeha u odabranim predmetima. Pritom je vaša istraživačka hipoteza afirmativna, odnosno vi smatrate da veza između tih dviju varijabli postoji. Štoviše, vaša je istraživačka hipoteza direktivna, odnosno ona uključuje pretpostavljeni smjer povezanosti: smatrate da djeca iz bogatijih obitelji imaju više ocjene iz odabranih predmeta. Za razliku od toga, nedirektivna hipoteza bi bila ona kod koje istraživač nema pretpostavke o smjeru efekta, ali pretpostavlja da nekakav efekt postoji. Na primjer, u istraživanju povezanosti dobi nastavnika i uspjeha učenika istraživač može imati nedirektivnu afirmativnu hipotezu jer očekuje razliku među učenicima, ali nije siguran da li će za bolji uspjeh učenika biti presudno (veće i bolje) iskustvo starijih nastavnika ili (veća) pristupačnost i motivacija mlađih nastavnika. Primjer nul hipoteze: inteligenciji. H0: Ne postoji statistički značajna razlika između dječaka i djevojčica u verbalnoj. KORAK: Odabir prikladnog statističkog postupka i razine statističke značajnosti Nakon što smo postavili hipotezu, trebamo odabrati prikladnu statističku analizu kojom ćemo odgovoriti na postavljeno istraživačko pitanje. Pritom odabir statističkih testova i postupaka u istraživanju ovisi o nekoliko činitelja: postavljenom istraživačkom pitanju vrsti i veličini ispitanog uzorka te 46

52 Inferencijalna statistika karakteristikama prikupljenih podataka (osobinama i broju korištenih varijabli; mjernim skalama; distribuciji dobivenih rezultata). Jedan od najvažnijih čimbenika koje trebamo odrediti prilikom odabira prikladnog statističkog postupka je vrsta uzoraka koje smo imali u istraživanju. Naime, ukoliko našim istraživanjem želimo provjeriti razlikuju li se dvije različite skupine ispitanika koje smo izmjerili, onda među opažanjima imamo dva nezavisna skupa, ili dva nezavisna uzorka podataka koje moramo usporediti. Ukoliko nas, međutim, zanima razlika između uspjeha jedne te iste skupine ispitanika na dva testa ili dvije situacije, onda našu analizu provodimo na dva međusobno zavisna skupa podataka, odnosno na zavisnim uzorcima. 3. KORAK: Provedba statističkog postupka i odluka o prihvaćanju ili odbacivanju nul hipoteze Nakon odabira prikladnog statističkog postupka, možemo krenuti u njegovo računanje kod kojeg koristimo standardne procedure opisane u udžbenicima iz statistike. Općenito je lako pronaći informacije o tome kako provesti odabrani statistički postupak, pri čemu veliki dio izračuna najčešće možemo prepustiti računalnim programima za statističku obradu podataka. Provedba velikog broja statističkih postupaka temelji se na računanju testovne vrijednosti koja vrijedi za izmjereni skup podataka, i njezinom usporedbom s nekom teoretskom, tzv. kritičnom vrijednosti tog testa. Pritom ta kritična vrijednost odražava testovnu vrijednost koju bismo očekivali u mjerenju na nekom zamišljenom, usporednom uzorku kod kojeg zaista vrijedi nul hipoteza, odnosno kod kojeg ne postoji statistički značajni efekt kojeg testiramo. Unutar distribucije tog usporednog uzorka određuje se kritična vrijednost kod koje bi nul hipotezu trebalo odbaciti. Naime, ta vrijednost predstavlja rezultat koji bi se u teoriji (i praksi) mogao dobiti čak i ukoliko nul hipoteza zaista vrijedi, ali je taj ishod malo vjerojatan. Stoga ta vrijednost služi kao referentna točka s kojom se uspoređuje vrijednost statističkog testa koja je dobivena unutar provedenog istraživanja kako bi se na temelju te usporedbe donijela odluka o prihvaćanju ili odbacivanju nul hipoteze. Spomenuta kritična razina rezultata može se odrediti korištenjem različitih statističkih tablica za prikladne statističke testove unutar kojih možete očitati graničnu vrijednost testa vezanu uz broj stupnjeva slobode (eng. degrees of freedom) uzroka. Stupnjevi slobode mogu se definirati kao korigirani broj rezultata izmjerenih uzoraka, pri čemu se kod svakog testa oni računaju uz pomoć različitih formula. Pritom treba naglasiti da određivanje kritičnog rezultata unutar usporedne distribucije ovisi i o željenom stupnju sigurnosti na kojem istraživač želi temeljiti svoje zaključke. Naime, slično kao kod procjene parametara, istraživač sam određuje 47

53 Inferencijalna statistika tu razinu pri čemu se najčešće odlučuje za stupanj sigurnosti od 95% (razinu rizika od 5%) ili 99% (razinu rizika od 1%) (Slika 10). Ukoliko je rezultat dobiven provedbom odabranog testa manje ekstreman od kritične vrijednosti koju smo očitali u tablicama, zaključujemo da nul hipoteza vrijedi i da ne postoji statistički značajan efekt. Ukoliko, međutim, dobiveni rezultat bude toliko ekstreman da se odbaci nul hipoteza, smatra se da je rezultat dosegao statističku značajnost. Ukoliko podatke obrađujemo uz pomoć računalnog programa za statističku obradu podataka ne trebamo statističke tablice, jer program automatski provodi usporedbu i izvještava nas o vjerojatnosti slučajne pojave dobivenog rezultata. Prilikom donošenja tih zaključaka nikad ne možemo biti apsolutno sigurni da smo u pravu, jer uvijek baratamo s vjerojatnostima. Stoga je važno napomenuti sljedeće: Čak i ako odbacimo nul hipotezu to ne znači da je alternativna, odnosno istraživačka hipoteza potvrđena. Ako prihvatimo nul hipotezu ne možemo reći da smo "dokazali nul hipotezu". Naime, iako dobiveni rezultati nisu dovoljno snažni da odbace nul hipotezu, to ne znači da ona nije pogrešna. Slika 10. Područje prihvaćanja nul hipoteze uz stupnjeve sigurnosti od 95% i 99%. 4. KORAK: Izvještavanje o prihvaćanju ili odbacivanju nul hipoteze Nakon provedbe statističkog postupka treba izvijestiti o dobivenim rezultatima. To se radi na način da se jasno navede korišteni test, napiše dobiveni rezultat provedenog testa, ukoliko je potrebno i pripadajući stupnjevi slobode (df), te vjerojatnost slučajne pojave dobivenog rezultata (p). Pritom se vjerojatnost p može navesti ili kao točna vrijednost (npr. p = 0.1) ili kao relativna vrijednost (npr. p < 0.05), koju možete napisati i bez decimalne točke (p <.05). 48

54 Inferencijalna statistika Osim ovih, moguće je prilikom izvještavanja navesti i veličinu izmjerenog učinka, o čemu možete više doznati u preporučenoj literaturi. Uz izvještavanje o brojčanim vrijednostima izračunatih testova, moguće je i opisno navesti što dobiveni rezultat govori o nul hipotezi (da li je prihvaćamo ili odbacujemo), odnosno o statističkoj značajnosti dobivenog efekta (da li je statistički značajan ili ne). Ukoliko se razlika između podataka pokaže statistički značajnom, možemo zaključiti da se ona vjerojatno nije dogodila slučajno (jer je jako malo vjerojatna). Na primjer, ako vidite p < 0.05 u nekom istraživanju, to znači da se taj rezultat slučajno mogao pojaviti u manje od 5 od ukupno 100 slučajeva, a p < 0.01 znači da je to bilo moguće u manje od 1 od ukupno 100 slučajeva. Ukoliko uz navedene brojčane parametre u znanstvenom istraživanju želite opisno prokomentirati rezultate, preporučljivo je uz komentar o statističkoj značajnosti navesti i smjer, odnosno značenje razlike ukoliko je ona statistički značajna (npr. ako se dvije skupine statistički značajno razlikuju po nekom svojstvu, navesti koja ima više, a koja manje izraženo to svojstvo). Ukoliko dobiveni rezultati pokazuju da ne postoji statistički značajna razlika između skupova podataka, bilo kakva razlika između aritmetičkih sredina koju ste golim okom opazili prije provedbe testa ne smije se interpretirati jer statistička analiza pokazuje da je ona posljedica slučaja. Primjer navođenja dobivenih rezultata: t(65)=3., p<0.05 ili t(65)=3., p=0.03 Pogreške kod testiranja hipoteza Prilikom testiranja hipoteza uvijek se izlažemo, a ponekad ćemo i počiniti, jednu od mogućih pogrešaka koje se u procesu testiranja mogu pojaviti. Općenito razlikujemo dvije vrste pogrešaka: pogrešku tipa I i tipa II. Pogreška tipa I (α-pogreška) je pogreška kod koje odbacujemo nul hipotezu, iako je ona točna, dok kod pogreške tipa II (β) ne odbacujemo nul hipotezu, iako zapravo postoji razlika među uzorcima. 49

55 Osnovni statistički postupci i analize 3.3. TEMELJNI STATISTIČKI POSTUPCI Općenito, statističke postupke i testove možemo podijeliti na parametrijske i neparametrijske postupke. Parametrijski testovi vezani su uz normalnu distribuciju, te u najvećem broju slučajeva predstavljaju efikasniji odabir za obradu podataka. Naime, kao testovi koji koriste preciznije podatke oni imaju veću snagu od neparametrijskih testova. Snaga testa pritom predstavlja vjerojatnost odbacivanja nul hipoteze koja nije točna ili prihvaćanja one koja je točna. Što je snaga testa veća to je vjerojatnije da ćemo istraživanjem pokazati stvarni efekt, odnosno rjeđe ćemo počiniti neke od pogrešaka koje se vezuju uz statističke analize. Međutim, važno je naglasiti da se parametrijski testovi mogu koristiti samo kada su zadovoljene osnovne pretpostavke za njihovo korištenje (prema teorijskom okviru): Opažanja moraju biti nezavisna. Odabir bilo koje jedinice iz populacije ne smije utjecati na odabir neke druge jedinice (mjerenja, ispitanika). Taj se uvjet odnosi na sve parametrijske testove. Mjerenje mora biti provedeno najmanje na intervalnoj ljestvici. Statističke jedinice (opažanja) moraju potjecati iz normalno distribuirane populacije. Kad određujemo dolaze li naši podaci iz normalne populacije, možemo uzeti u obzir podatke iz ranijih mjerenja koji nam mogu biti informativni. Također, možemo formalno primijeniti test normaliteta distribucije prikupljenih podataka. U tu se svrhu najčešće koristi Kolmogorov-Smirnov test kojeg automatski možemo izračunati uz pomoć računalnih programa za statističku obradu. Ukoliko imamo veliki uzorak, normalitet distribucije često ne predstavlja veći problem. Populacije kod kojih testiramo razliku moraju imati istu varijancu (ili u nekim slučajevima poznat omjer varijanci). Dakle, parametrijski postupci primjenjuju se kod mjerenih i normalno distribuiranih skupina podataka. Međutim u praksi često imamo situaciju da istražujemo pojavu koja se ne distribuira normalno, ili zbog nekih drugih razloga naš uzorak ne zadovoljava uvjete za korištenje parametrijskih testova. U tim slučajevima možemo koristiti tzv. neparametrijske testovime koji ne ovise o normalitetu distribucije. Također, te testove možemo koristiti ukoliko imamo podatke koji se nalaze na nominalnoj ili ordinalnoj skali mjerenja, odnosno ukoliko računamo s frekvencijama ili rangovima. Uz to, neparametrijske testove ponekad i moramo koristiti, na primjer ukoliko u uzorku imamo premali broj opažanja (manji od 10). 50

56 Osnovni statistički postupci i analize Neparametrijski testovi često imaju jednostavniju logiku korištenja te su stoga pogodni za korištenje u situacijama u kojima ne smijemo odabrati parametrijske postupke. Dakako, nepametrijski postupci se mogu koristiti i ako imamo zadovoljene uvjete za korištenje parametrijskih, ali takav odabir ne bi bio previše racionalan. Naime, jednostavnija logika izračuna kao i činjenica da se ovi testovi temelje na manje preciznim osobinama podataka (rangovima ili učestalosti) znače da bismo pretvaranjem izmjerenih podataka na ordinalnu ili pak nominalnu skalu izgubili veliki dio informacija koje nam nude složenije skale. Stoga ovi testovi imaju manju snagu, što znači da kod njih postoji veća vjerojatnost da nećemo uočiti neke efekte koji stvarno postoje u populaciji Odabir prikladnog statističkog postupka Kao što je ranije spomenuto, odabir statističkih testova i postupaka u istraživanju ovisi o istraživačkom pitanju i nacrtu istraživanja, vrsti i veličini uzorka te karakteristikama izmjerenih podataka. Sve te informacije moraju se uzeti u obzir prije provedbe statističke analize. U tablici su navedeni temeljni činitelji koje treba uzeti u obzir kod izbora statističkih postupaka i testova koji se mogu primijeniti u određenoj situaciji. Ona se može koristiti kao vodič prilikom odabira prikladnog statističkog postupka, čiji detaljan postupak možete pronaći opisan u naprednijim statističkim udžbenicima ili priručnicima računalnih programa za statističku obradu podataka. Cilj istraživanja Tablica 3 Neke osnovne vrste statističkih postupaka i činitelji važni za njihov odabir Osobine podataka Usporedba jedne skupine rezultata i nekih hipotetskih vrijednosti Usporedba dvaju nezavisnih uzoraka (dviju različitih skupina ispitanika) Podaci na nominalnoj skali mjerenja Procjena parametara Hi-kvadrat test* Hi-kvadrat test (Fisherov test) t-test za proporcije Podaci na ordinalnoj ili intervalnoj/omjernoj skali bez normalne distribucije Wilcoxonov test za jedan uzorak Medijan test Mann-Whitneyev U-test Test homogenog niza Siegel-Tukeyev test Podaci na intervalnoj ili omjernoj skali mjerenja s normalnom distribucijom Procjena parametara t-test za jedan uzorak t-test za nezavisne uzorke* 51

57 Osnovni statistički postupci i analize Usporedba dvaju zavisnih uzoraka (dva skupa podataka jedne skupine ispitanika) Usporedba više od dva nezavisna uzorka (više od dvije različite skupine ispitanika) Usporedba više od dva zavisna uzorka (više od dva skupa podataka jedne skupine ispitanika) Određenje povezanosti dviju varijabli mjerenih na jednom skupu ispitanika McNemarov test (hi-kvadrat test za zavisne uzorke) Hi-kvadrat test* Cochraneov Q Cramerov fi koeficijent Test predznaka Wilcoxonov test ekvivalentnih parova Prošireni medijan test Kruskal Wallisov test Friedmanov test Fergusonov test monotonije trenda Spearmanov koeficijent korelacije ( ro ) t-test za zavisne uzorke* Analiza varijance Analiza varijance s ponovljenim mjerenjima Pearsonov koeficijent korelacije* Koeficijent Kendallov koeficijent kontingencije ( tau ) Napomena: Nema potrebe učiti napamet testove koje u kolegiju nećemo obrađivati; oni koje trebate znati označeni su zvjezdicom (*). Osim ovih, unutar statistike se ponekad koriste i druge vrste postupaka o kojima možete više saznati u preporučenoj literaturi. Iako mnoge od njih možda nikad nećete susretati, treba ovdje spomenuti jednu vrstu postupka za koju ste zasigurno imali prilike čuti. Radi se o metodi faktorske analize, odnosno postupku koji nam omogućuje da u nekim situacijama veliki broj različitih varijabli svedemo na manji broj faktora. Na primjer, ako u istraživanju želite izmjeriti zainteresiranost nastavnika prema učenicima, u tu možete svrhu primijeniti upitnik koji se sastoji od nekoliko desetaka različitih pitanja. Pritom se sva ta pitanja mogu odnositi na jednu, dvije ili možda tri osobine nastavnika, npr. njegovu ugodnost, emocionalnu toplinu i savjesnost. Stoga kasnije u obradi podataka nema smisla sva pitanja analizirati pojedinačno, nego treba povezati (npr. zbrojiti) ona koja mjere istu osobinu. Da biste to mogli napraviti, trebate ispitati ili provjeriti koja pitanja mjere iste osobine, odnosno identificirati tzv. zajedničke faktore koji leže u temelju izmjerenih varijabli. To vam omogućuje faktorska analiza koja se često koristi u obrazovnim istraživanjima. Međutim, treba naglasiti da se radi o vrlo složenoj tehnici koju ima smisla koristiti samo ukoliko zaista znate što i kako želite računati, te se stoga preporuča s njom se upoznati tek nakon što svladate nešto složenija metodološka i statistička znanja. Umjesto toga, u ostatku ovog priručnika prikazat ćemo dva najčešće korištena testa za usporedbu skupova podataka u jednostavnijim istraživanjima. Jedan od njih predstavlja parametrijske (t-test), a drugi neparametrijske testove (hi-kvadrat test). Osim toga ukratko ćemo se upoznati s osnovnim vrstama neparametrijskih testova, analizom varijance i korelacijama. 5

58 Osnovni statistički postupci i analize 3.4. t-test t-test predstavlja jedan od najčešće korištenih parametrijskih testova koji se koristi za testiranje statističke značajnosti razlike između dvije aritmetičke sredine. Osim t-testa kojim se testiraju razlike između aritmetičkih sredina, postoje i nešto rjeđe korišteni t-testovi kojima se testiraju razlike između proporcija (češće se u tim slučajevima koristi hi-kvadrat test) ili razlika između jedne skupine podataka i neke unaprijed definirane vrijednosti. Nekoliko je temeljnih uvjeta primjene t-testa između dvije aritmetičke sredine: Izmjereni rezultati trebaju se nalaziti barem na intervalnim skalama. Izmjereni podaci trebaju se normalno distribuirati. Uzorci trebaju imati homogene, odnosno podjednake varijance (ili barem podjednak broj ispitanika). Postoje različiti postupci za računanje t-testa koji se međusobno razlikuju ovisno o: vrsti uzorka: Razlikujemo t-test za zavisne i t-test za nezavisne uzorke. broju ispitanika: Razlikujemo t-test za velike i t-test za male uzorke (velikim uzorcima se najčešće smatraju oni s 30 i više ispitanika). smjeru istraživačke hipoteze: Razlikujemo jednosmjerni i dvosmjerni t-test. Dvosmjernim testom se testira postojanje statistički značajne razlike bez obzira na smjer te razlike, dok se kod jednosmjernog testa i smjer razlike uzima u obzir. Općenito se dvosmjerni testovi češće koriste i automatski se računaju kod korištenja računalnih programa za statističku obradu podataka. Za jednosmjerni test istraživači se ponekad odluče ukoliko istraživanjem žele provjeriti direktivne istraživačke hipoteze (vidi Poglavlje 3.). Bez obzira na podvrstu t-testa koju odaberemo, testiranje značajnosti razlika između aritmetičkih sredina temelji se na određivanju razlike između izmjerenih aritmetičkih sredina. Kao što sada već znate, takva razlika izmjerena na uzorku samo je djelomično informativna jer se uz nju, kao i ostale karakteristike izmjerenih uzoraka, vezuje određena pogreška. Naime, ukoliko bismo iz jedne populacije uzimali puno parova uzoraka, njihove bi aritmetičke sredine ponekad bile jednake, ali bi se ponekad i razlikovale unatoč tome što oni predstavljaju istu populaciju. Ukoliko bismo pokušali napraviti grafički prikaz dobivenih razlika, vidjeli bismo se te izračunate (slučajne) razlike između parova uzoraka distribuiraju 53

59 Osnovni statistički postupci i analize normalno. Na temelju te distribucije zaključili bismo da je ponekad čak i slučajno moguće dobiti razlike među izmjerenim uzorcima. Pritom veličina tih dopuštenih slučajnih razlika ovisi o preciznosti i kvaliteti našeg mjerenja. U statistici, tu kvalitetu odražava vrijednost koju nazivamo standardna pogreška razlika između aritmetičkih sredina, a koju je nužno uzeti u obzir prilikom izračuna statističke značajnosti opaženih razlika među uzorcima. Stoga se prema osnovnoj formuli t-test računa kao omjer između izmjerene razlike dvaju uzoraka i spomenute standardne pogreške razlike. Međutim, s obzirom na to da mi u mjerenju ne možemo izravno izmjeriti standardnu pogreške razlike, ona se računa na temelju standardnih pogrešaka aritmetičkih sredina izmjerenih na uzorcima. Prilikom računanja t-testa treba dobro obratiti pažnju na karakteristike uzoraka koje uspoređujemo, s obzirom na to da postoje različite formule za računanje t-testa kod zavisnih i nezavisnih uzoraka ispitanika. Ukoliko samostalno računate t-test, trebate razlikovati formule za t-test za male i velike skupine ispitanika, pri čemu se uzorci s više od 30 ispitanika uglavnom smatraju dovoljno velikima za korištenje formula za velike uzorke. Međutim, ukoliko koristite računalni program za računanje testa, on će broj ispitanika automatski uzeti u obzir. t-test za velike nezavisne uzorke t M SEM 1 1 M SEM df=(n 1-1) + (N -1) M - aritmetička sredina SEM - pogreška aritmetičke sredine df stupnjevi slobode t-test za velike zavisne uzorke t SEM 1 M 1 SEM M df=n-1 rsem SEM 1 N broj ispitanika r Pearsonov koeficijent korelacije Kao što je vidljivo, formule t-testa za zavisne i nezavisne uzorke su vrlo slične. Razlikuju se samo po tome što se kod zavisnih uzoraka dodatno u obzir uzima korelacija između rezultata svakog ispitanika u dvije točke mjerenja (vidi Poglavlje 3.8). Kod računanja t-testa potrebno je izračunati ne samo t-vrijednost, već i pripadajuće stupnjeve slobode na temelju kojih se određuje granična vrijednost t-testa koju možete iščitati iz statističke tablice za t-test (prilog Tablica : Granične vrijednosti t-testa uz različite razine rizika i stupnjeve slobode). Prilikom navođenja rezultata t-testa navodi se najprije vrijednost t- testa (t) uz pripadajuće stupnjeve slobode (df), a zatim i vjerojatnost slučajne pojave (p) dobivene t-vrijednosti. Ukoliko je vjerojatnost slučajne pojave manja od 5% (ili 1%), razliku 54

60 Osnovni statistički postupci i analize možemo proglasiti statistički značajnom (uz rizik od 5% ili 1%). Ukoliko je vjerojatnost slučajne pojave veća od 5% (ili 1%) možemo zaključiti da razlika nije statistički značajna (uz rizik od 5% ili 1%), odnosno da je posljedica slučaja. To ujedno znači da kasnije u interpretaciji rezultata tu razliku trebamo tretirati kao da ne postoji, iako nam se možda golim okom čini da bi se dvije skupine međusobno mogle razlikovati. Na kraju treba naglasiti i kako nam rezultati t-testa koji pokazuju postojanje statistički značajne razlike ne govore ništa o tome zašto se ta razlika pojavila, odnosno koji su njezini uzroci. Zato treba biti jako oprezan s interpretacijom dobivenih rezultata, jer je u pravilu uvijek moguće identificirati više od jednog mogućeg razloga pojave takve razlike. Primjer računanja t-testa za nezavisne uzorke Na testu znanja iz matematike u razredu od 30 djece postignut je prosječni uspjeh od 16.5 bodova uz standardnu devijaciju 1.3. Na istom testu, 35 djece iz susjednog razreda postiglo je prosječno 15 bodova uz standardnu devijaciju. Razlikuju li se dva razreda po svom uspjehu na testu iz matematike? Hipoteza H0: Nema razlika između dvaju razreda na testu iz matematike Kod računanja t-testa najprije možemo izračunati pogreške aritmetičkih sredina dvaju uzoraka, a zatim i samu vrijednost t-testa. SEM SEM t Prije interpretacije dobivenih rezultata trebamo odrediti graničnu vrijednost t-testa koja se određuje na temelju stupnjeva slobode, koji u ovom slučaju iznose: df=(35-1) + (30-1)=63. Uz razinu rizika od 1% u tablici se može očitati granična vrijednost >.66 (Dobiveni t veći je od tabličnog t uz 1% pogreške). Dobiveni rezultat: t(63)=3.53, p<

61 Osnovni statistički postupci i analize Uz razinu rizika od 1%, možemo odbaciti nul hipotezu i zaključiti da se aritmetičke sredine ovih dvaju uzoraka međusobno statistički značajno razlikuju, odnosno da su učenici iz prvog razreda postigli bolji uspjeh iz matematike. Primjer računanja t-testa za zavisne uzorke Na testu znanja iz matematike u razredu od 30 djece postignut je prosječni uspjeh od 16.5 boda uz standardnu devijaciju 1.3. Taj je isti razred na prethodnom testu iz istog predmeta postigao u prosjeku 15 bodova uz standardnu devijaciju. Povezanost rezultata učenika na dva testa iznosi 0.6. Razlikuje li se uspjeh ovih učenika u dva testa iz matematike? matematike. Hipoteza H0: Nema razlika između rezultata skupine učenika na dva testa iz SEM SEM t x0.6x0.4x Prije interpretacije dobivenih rezultata trebamo odrediti graničnu vrijednost t-testa koja se određuje na temelju stupnjeva slobode, koji u ovom slučaju iznose df=30-1=9. Uz razinu rizika od 1% u tablici se može očitati granična vrijednost >.76 (Dobiveni t veći je od tabličnog t uz 1% pogreške). Dobiveni rezultat: t(9)=5.17, p<0.01. Uz razinu rizika od 1%, možemo odbaciti nul hipotezu i zaključiti da se aritmetičke sredine ovih dvaju uzoraka međusobno statistički značajno razliku, odnosno da su učenici bolje riješili drugi test iz matematike. Ako trebamo usporediti vrijednosti više od skupine rezultata ne smijemo koristiti t- test zbog problema višestrukih usporedbi i povećanja vjerojatnosti pogreške tipa I. Umjesto toga koristimo analizu varijance. 56

62 Osnovni statistički postupci i analize 3.5. HI-KVADRAT TEST Hi-kvadrat test predstavlja neparametrijski test kojeg koristimo kad radimo s podacima izmjerenim na nominalnoj skali mjerenja. Ovaj test možemo upotrijebiti ako želimo provjeriti odgovara li neka izmjerena distribucija onoj koju bismo teorijski očekivali, ili razlikuju li se distribucije dvaju ili više skupina podataka. On se temelji na usporedbi dobivenih (izmjerenih) frekvencija (ne postotaka!) različitih skupina ispitanika i očekivanih (teorijskih) frekvencija koje je potrebno odrediti prije računanja samog testa. ( f o f ft ) df=k-1 ili df=(k 1-1) (k -1) t f o - opažene frekvencije; f t - teoretske frekvencije; k broj kategorija unutar pojedinih (jedne ili više) varijabli Teorijske se frekvencije pritom određuju na temelju istraživačke hipoteze i postavljenog istraživačkog pitanja. Odabir teorijskih frekvencija najčešće predstavlja kritični i ključni dio izračuna hi-kvadrat testa i na ovaj korak uvijek treba usmjeriti posebnu pažnju. Naime, ne postoji jedan recept za računanje teorijskih frekvencija, jer ono ovisi o broju varijabli kao i našim očekivanjima vezanim uz to kakva bi distribucija trebala biti u slučaju da ispitivani efekt ne postoji. Najčešće pritom očekujemo da se podaci distribuiraju normalno (na primjer, da je u nekom ispitu najviše ocjena dobar, a najmanje odličan i nedovoljan) ili jednolično (na primjer, da u dva skupa podataka bude jednaki broj ispitanika). Među dolje navedenim primjerima možete pronaći dva relativno česta primjera izračuna teorijskih frekvencija, a ostale primjere i pravila možete potražiti u preporučenoj literaturi. Prilikom određenja dobivenih i teoretskih frekvencija treba imati na umu da njihov zbroj treba biti jednak, te da je važno prilikom postavljanja tablice hi-kvadrat testa u obzir uzeti ne samo situacije u kojima se pojavilo neko svojstvo, nego i one u kojima se ono nije pojavilo. Slično kao kod računanja t-testa, kod hi-kvadrat testa potrebno je izračunati ne samo vrijednost samog testa, već i pripadajuće stupnjeve slobode na temelju kojih se određuje granična vrijednost hi-kvadrat testa. Nju možete pronaći u statističkoj tablici za hi-kvadrat test (prilog Tablica 3: Granične vrijednosti hi-kvadrat testa uz različite razine rizika i stupnjeve 57

63 Osnovni statistički postupci i analize slobode) ili će vam je računalni program za statističku obradu podataka automatski uzeti u obzir prilikom provedbe testa. Prilikom navođenja rezultata hi-kvadrat testa navodi se najprije vrijednost testa ( ) uz pripadajuće stupnjeve slobode (df), a zatim i vjerojatnost slučajne pojave (p) dobivene vrijednosti hi-kvadrat testa. Ukoliko je p-vrijednost manja od 5% (ili 1%) razliku možemo proglasiti statistički značajnom (uz rizik od 5% ili 1%). Kod korištenja hi-kvadrat testa treba naglasiti i to da se u slučaju malog broja ispitanika (ili kategorija), može primijeniti tzv. Yatesova korekcija unutar hi-kvadrat testa. Također, kod zavisnih uzoraka možete primijeniti posebnu verziju ovog testa, tzv. McNemarov test. Primjer računanja hi-kvadrat testa kod istraživanja s jednom varijablom: U skupini od 4 djevojčice istražena je čestina sudjelovanja u izvanškolskim aktivnostima. Dobiveni rezultati pokazali su da je ukupno 7 djevojčica pohađalo neku sportsku aktivnost, njih 11 strani jezik, dok ih se 6 upisalo u debatni klub. Preferiraju li djevojčice određenu slobodnu aktivnost, ili sve biraju jednakom čestinom? Hipoteza H0: Djevojčice jednako često biraju svaku od mogućih slobodnih aktivnosti. Nakon što smo izračunali teorijske frekvencije na temelju hipoteze o jednolikoj raspodjeli (vidi Tablicu), možemo izračunati i sami hi-kvadrat test. SPORTOVI STRANI JEZIK DEBATNI KLUB U K U P N O OPAŽENE FREKVENCIJE TEORIJSKE FREKVENCIJE /3=8 4/3=8 4/3=8 4 (7 8) (11 8) (6 8)

64 Osnovni statistički postupci i analize Broj stupnjeva slobode: df=3-1=. Uz razinu rizika od 5% u tablici se može očitati granična vrijednost < 5.99 (Dobiveni hi-kvadrat je manji od graničnog uz 5% pogreške). Dobiveni rezultat: () 1.75, p > 0.05 Uz razinu rizika od 5%, možemo prihvatiti nul hipotezu i zaključiti da djevojčice jednako često biraju sve testirane slobodne aktivnosti. Primjer računanja hi-kvadrat testa kod istraživanja s dvije varijable: U skupini od 50 djece, 5 dječaka i 5 djevojčica, istražena je čestina sudjelovanja u izvanškolskim aktivnostima. Dobiveni rezultati pokazali su da je ukupno 7 djevojčica pohađalo neku sportsku aktivnost, njih 1 strani jezik, dok ih 6 nije upisalo nikakvu aktivnost. U uzorku dječaka, njih 10 je pohađalo sportsku aktivnost, 5 strani jezik, a 10 ih nije pohađalo nikakvu aktivnost. Razlikuju li se dječaci i djevojčice po odabiru slobodnih aktivnosti? Hipoteza H0: Dječaci i djevojčice ne razlikuju se po odabiru slobodnih aktivnosti STRANI NEMA SPORTOVI U K U P N O JEZIK AKTIVNOSTI DJEVOJČICE DJEČACI U K U P N O Najprije trebamo izračunati teorijske frekvencije za svaku pojedinačnu kućicu u tablici. To radimo tako da izračunamo umnožak ukupnog broja ispitanika u pripadajućem stupcu i retku, i tu vrijednost podijelimo s ukupnim brojem ispitanika. 59

65 Osnovni statistički postupci i analize f f f f f f T11 T1 T13 T 1 T T Zatim možemo izračunati i sami hi-kvadrat test. (7 8.5) (1 8.5) (6 8) (10 8.5) (5 8.5) 8.5 (10 8) 8 Broj stupnjeva slobode: df=(-1)(3-1)=. Uz razinu rizika od 5% u tablici se može očitati granična vrijednost < 5.99 (Dobiveni hi-kvadrat je manji od graničnog uz 5% pogreške). Dobiveni rezultat: 4.4, df, p > 0.05 Uz razinu rizika od 5%, možemo prihvatiti nul hipotezu i zaključiti da se dječaci i djevojčice međusobno ne razlikuju po izboru slobodnih aktivnosti. 60

66 Osnovni statistički postupci i analize 3.6. OSTALI TESTOVI ZA USPOREDBU SKUPINA PODATAKA Testovi prikazani u Poglavljima 3.6. i 3.7., t-test i hi-kvadrat test, predstavljaju vjerojatno najčešće testove za usporedbu skupina podataka. Kao što je ranije opisano, t-test se može koristiti za usporedbu aritmetičkih sredina dviju skupina podataka, dok hi-kvadrat test računamo kada želimo usporediti frekvencije unutar skupina podataka. U praksi poznavanje samo ova dva testa najčešće nije dovoljno za provedbu cjelovite statističke obrade jer ta obrada vrlo često zahtijeva drugačije oblike analiza, npr. usporedbu više skupina podataka ili provjeru odnosa među izmjerenim varijablama, dok ponekad prikupljeni podaci ne ispunjavaju temeljne uvjete za provedbu parametrijskog postupka kao što je t-test. Već smo ranije spomenuli kako prilikom usporedbe dviju skupina podataka koje ne zadovoljavaju temeljne uvjete primjene t-testa treba koristiti prikladni neparametrijski test. Ovakvih testova ima relativno mnogo, i o njima više možete saznati u preporučenoj literaturi. Ovdje ćemo, međutim, ipak spomenuti neke temeljne testove koji se u praksi najčešće koriste, kako biste ih u budućnosti mogli prepoznati ili o njima lakše potražiti potrebne informacije. Od neparametrijskih testova za usporedbu dva skupa nezavisnih podataka u praksi ćete najčešće susretati i koristiti dva testa: medijan test i Mann-Whitneyev U test. Pritom se izračun medijan testa temelji na logici hi-kvadrat testa kojim se provjerava pripadaju li dva uzorka populaciji s istim medijanom, dok se Mann-Whitneyev U test temelji na usporedbi rangiranih podataka dviju skupina podataka. Od neparametrijskih testova za usporedbu dva skupa zavisnih podataka treba spomenuti jednostavni test predznaka te Wilcoxonov test ekvivalentnih parova koji se u praksi češće koristi. Ukoliko se sami odlučite koristiti neki neparametrijski test, preporuča se primijeniti Mann-Whitneyev U test kod nezavisnih ili Wilcoxonov test ekvivalentnih parova kod zavisnih uzoraka, i to uz pomoć nekog računalnog programa za statističku obradu podataka. Jednom kad izračunate ove testove, interpretacija dobivenih podataka je slična onoj kod t- testa: dobivene z-vrijednosti kod Mann-Whitneyevog U testa ili T-vrijednosti kod Wilcoxonovog testa ekvivalentnih parova uspoređuju se s graničnim vrijednostima ovih testova uz određeni broj ispitanika koje možete pronaći u prikladnim statističkim tablicama, te se zatim interpretiraju jednako kao kod t-testa. Dakle, ako je dobivena vrijednost testa veća od granične uz odabrani stupanj sigurnosti, razliku možete interpretirati kao statistički značajnu. Osim za usporedbu dviju skupina podataka, neparametrijski testovi se mogu koristiti i za usporedbu većeg broja skupina. Pritom se za usporedbu većeg broja nezavisnih skupina najčešće koristi Kruskal-Wallisov test, a za usporedbu većeg broja zavisnih skupina 61

67 Osnovni statistički postupci i analize Friedmanov test. Međutim, kod uspoređivanja više skupina podataka znatno veću snagu ima parametrijski statistički postupak koji se naziva analize varijance. S obzirom na složenost ovog postupka, u ovom priručniku ona neće biti detaljno opisana. Međutim, u ostatku ovog poglavlja ukratko se možete upoznati s osnovnim uvjetima i principima primjene analize varijance, kako biste njezinu provedbu kasnije jednostavnije mogli organizirati. Pritom je preporučljivo analizu varijance primjenjivati pomoću odgovarajućih računalnih programa za statističku obradu podataka uz pomoć kojih ćete relativno jednostavno dobiti željene rezultate. Kao i ostali parametrijski postupci, i analiza varijance se može koristiti samo ukoliko su ispunjeni neki temeljni uvjeti koji su u principu jednaki onima za t-test. Pritom je najvažnije da svi uzorci imaju homogene varijance, te da su podaci unutar različitih skupina međusobno nezavisni. Ukoliko su ti uvjeti zadovoljeni, možete pomoću analize varijance usporediti tri ili više skupina podataka. Međutim, pritom treba naglasiti da postoji više vrsta analiza varijance, čija primjena ovisi o karakteristikama skupina podataka koje ispitujete. Pritom je ključno znati da li su vaše skupine podataka međusobno zavisne ili nezavisne, te odražavaju li varijacije unutar jedne ili više varijabli. Na primjer, ukoliko želite usporediti prosječno zadovoljstvo školom kod učenika prvog, drugog, trećeg i četvrtog razreda osnovne škole, to možete napraviti uz pomoć jednostavne ili jednosmjerne analize varijance koja će vam pokazati da li se te četiri skupine međusobno razlikuju prema izmjerenom zadovoljstvu. U ovom slučaju vaše istraživanje uključuje jednu zavisnu varijablu (zadovoljstvo školom) i jednu nezavisnu varijablu (razred) koja ima četiri razine (prvi, drugi, treći, četvrti razred), odnosno četiri moguće vrijednosti prema kojima se razlikuju prikupljene skupine podataka. Rezultat tako provedene analize varijance je F-omjer, vrijednost koja predstavlja opći pokazatelj postojanja statistički značajnih razlika među ispitanim skupinama. Jednom izračunat, taj se F-omjer može prikazati i interpretirati na isti način kao i vrijednost t-testa: treba pritom izvijestiti o vrijednosti F-omjera, pripadajućim stupnjevima slobode i razini značajnosti F-omjera. Ukoliko je ta vrijednost značajna, dobiveni rezultat pokazuje da se testirane skupine, odnosno učenici različitih razreda, međusobno razlikuju prema zadovoljstvu školom, ali vam ne govori ništa o razlikama među pojedinačnim parovima skupina. Naime, moguće je da su sve skupine međusobno različite (npr. najzadovoljniji su učenici prvog, pa drugog, pa trećeg, pa četvrtog razreda), ili da se samo neke od njih međusobno razlikuju (npr. učenici prvog razreda su najzadovoljniji, nakon njih slijede učenici drugog razreda, dok su učenici trećeg i četvrtog razreda nezadovoljniji od onih iz prvog i drugog razreda, ali se međusobno ne razlikuju). S obzirom na to da vam F-omjer ne daje informacije o razlikovanju pojedinačnih skupina, nakon izračuna F-vrijednosti možete provesti i dodatne testove za 6

68 Osnovni statistički postupci i analize usporedbu pojedinačnih parova skupina unutar istraživanja (tzv. post-hoc testovi). Te testove pritom smijete računati samo ako je F-omjer statistički značajan. Osim uz pomoć jednostavne analize varijance, četiri ili više skupina podataka možete usporediti i uz pomoć složene ili višesmjerne analize varijance ukoliko ste u istraživanje uključili dvije ili više nezavisnih varijabli s po dvije ili više razina. Na primjer, ovu vrstu analize trebali biste koristiti ukoliko ste u istraživanju uspoređivali zadovoljstvo školom kod četiri skupine učenika koje su formirane na temelju dvije nezavisne varijable s po dvije razine. Na primjer, ako ste u istraživanje uključili varijablu spol s dvije razine muški/ženski i varijablu razred s razinama prvi/četvrti razred, uz pomoć ovog postupka usporedit ćete skupine učenica prvih razreda, učenika prvih razreda, učenica četvrtih razreda i učenika četvrtih razreda. Rezultati dobiveni ovim postupkom pokazat će vam glavni efekt svake varijable i njihovu interakciju, odnosno u ovom primjeru glavni efekt spola (npr. djevojčice su općenito zadovoljnije školom od dječaka), glavni efekt dobi (npr. učenici prvog razreda su općenito zadovoljniji školom od učenika četvrtog razreda), te interakciju spola i dobi (npr. učenice su u četvrtom razredu zadovoljnije školom od učenika, dok su u prvom razredu učenici zadovoljniji od učenica). Dakle, izračun složene analize varijance rezultirat će s najmanje tri F-omjera koja ćete interpretirati jednako kao i kod jednostavne analize varijance. Također, treba spomenuti još jednu vrstu analize varijance, tzv. analizu varijance s ponovljenim mjerenjima koju ćete koristiti ukoliko imate u potpunosti, ili djelomično zavisne podatke mjerenja. S obzirom na složenost i širinu ovog, ali i ostalih oblika analize varijance, preporuča se da o njima više saznate u preporučenoj literaturi. 63

69 Osnovni statistički postupci i analize 3.7. KORELACIJA Korelacijskom analizom provjerava se postojanje veze između pojava ili njihovih obilježja, odnosno postojanje, smjer i veličina povezanosti između dvije varijable. Primjer takve povezanosti predstavlja odnos težine i visine: u prosjeku, više osobe su i teže od onih nižeg rasta. Koeficijent korelacije kojeg pritom izračunavamo predstavlja vrijednost koja pokazuje snagu i smjer odnosa između dva događaja ili mjerenja. Predznak korelacije daje informaciju o smjeru odnosa između dvije varijable. Pozitivna korelacija pokazuje da se dva faktora zajedno povećavaju ili smanjuju, kao što je slučaj s visinom i težinom. Negativna korelacija pokazuje da povećavanje jednog faktora rezultira smanjivanjem drugoga, pa tako, na primjer, učenici koji manje pričaju tijekom nastave postižu bolje rezultate na testovima. Što se veličine (snage) povezanosti tiče, raspon korelacije kreće se u rasponu od do Što je korelacija bliža vrijednosti 1.00 ili -1.00, to je odnos jači. Na primjer, koeficijent korelacije između visine i težine iznosi oko 0.70 i predstavlja snažnu povezanost, dok je korelacija između inteligencije i boje kose oko 0.00 (ne postoji povezanost). Kada se izračuna koeficijent korelacije između dviju varijabli, prije daljnje interpretacije dobivene vrijednosti treba izračunati da li je dobivena vrijednost statistički značajna ili ne, pa tek tada interpretirati dobivene rezultate. Prilikom interpretacije koeficijenta korelacije treba naglasiti da korelacija pokazuje povezanost, ali ne govori ništa o uzročno-posljedičnom odnosu između dvije varijable. Na primjer, činjenica da postoji povezanost između ocjena studenata u okviru različitih kolegija ne znači da ocjena iz jednog kolegija utječe ili uzrokuje one iz drugih kolegija, već najčešće reflektira činjenicu da se studenti međusobno razlikuju po tome koliko općenito uče i zalažu se na nastavi. S obzirom na karakteristike varijabli i prikupljenih podataka moguće je koristiti različite koeficijente korelacije. Najčešće korišteni koeficijent korelacije je Pearsonov koeficijent korelacije (r) koji se računa ukoliko su zadovoljeni neki temeljni uvjeti: Povezanost između dviju varijabli je linearna. Rezultati obje varijable izraženi su barem na intervalnoj skali. Distribucije obiju varijabli su normalne, odnosno simetrične. Prikupili smo više od 30 parova podataka. 64

70 Osnovni statistički postupci i analize Postoje i brojni drugi koeficijenti korelacije koji se koriste ukoliko nisu zadovoljeni uvjeti za korištenje Pearsonovog koeficijenta, primjerice Spearmanov koeficijent korelacije, koeficijent kontingencije, itd. Prilikom računanja vrijednosti koeficijenta korelacije preporučljivo je koristiti neki računalni program za statističku obradu podataka. Unutar tih programa moguće je i grafički prikazati dobivenu korelaciju korištenjem tzv. scatterplot grafičkih prikaza. Nakon izračunavanja vrijednosti koeficijenta korelacije u tim programima, o njoj se treba izvijestiti na način da se navede vrijednost koeficijenta uz pripadajuće stupnjeve slobode, a zatim i razinu značajnosti. Pritom se stupnjevi slobode računaju prema formuli: df = N N broj ispitanika Primjer navođenja rezultata korelacije: r(9)=0.47, p<0.01. Kao što je ranije spomenuto, izračunati koeficijent korelacije ukazuje na dvosmjernu povezanost dviju varijabli. Međutim, ukoliko postoje dvije varijable za koje znamo da su povezane i koliko, postoje statistički postupci koji nam omogućuju da na temelju vrijednosti unutar jedne od njih prognoziramo vrijednosti unutar druge varijable. Na primjer, ako znamo kakva je povezanost općeg uspjeha studenata iz dodiplomskog studija i ocjena iz statistike na diplomskom studiju, na početku nastave iz statistike za svakog studenta možemo predvidjeti očekivane ocjene ukoliko nam je poznat njihov prosjek iz dodiplomskog studija. Pritom taj prosjek, odnosno varijablu na kojoj temeljimo prognozu nazivamo prediktorska varijabla (prediktor), a varijablu koju prognoziramo kriterijska varijabla (kriterij). Statistički postupak koji nam omogućuje takvu vrstu predviđanja naziva se regresijska analiza. Ovisno o tome koristimo li jednog ili više prediktora za predviđanje kriterija, možemo razlikovati jednostavne i multiple regresijske analize o kojima možete više saznati u preporučenoj literaturi. 65

71 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA 4. OSNOVE RADA S RAČUNALNIM PROGRAMOM STATISTICA U prvom dijelu ovog priručnika opisani su neki temeljni principi statističkog razmišljanja i logika primjene osnovnih statističkih postupaka. Iako to znanje predstavlja nužan preduvjet za provedbu statističke obrade podataka prikupljenih unutar istraživanja, njega treba nadopuniti informacijama o korištenju računalnih programa namijenjenih statističkoj obradi podataka. Naime, u današnje vrijeme obrade podataka dominantno se rade uz pomoć takvih programa koji omogućuju brže, efikasnije, a ponekad i točnije računanje čak i jako složenih statističkih postupaka. Stoga će u završnom dijelu priručnika ukratko biti prikazane osnove rada sa STATISTICOM, jednim od računalnih programa namijenjenih statističkoj obradi podataka. Osim STATISTICE, podatke prikupljene unutar istraživanja možete obraditi i korištenjem drugih statističkih aplikacija, npr. SPSS-a ili R-a. Također, neke osnovne analize kao i grafičko prikazivanje rezultata moguće je provesti u Microsoft Excelu. Svaki od programa namijenjenih statističkoj obradi podataka nudi brojne mogućnosti koje u ovom priručniku nećemo detaljno opisivati. Umjesto toga, cilj je ovog poglavlja ukratko prikazati temeljne principe rada u STATISTICI i objasniti kako uz pomoć ovog programa možete izračunati statističke postupke prikazane u provom dijelu priručnika. Za detaljnije upute ili informacije o postupcima koji u priručniku nisu obrađeni preporuča se konzultirati preporučenu literaturu. Osnove rada u programu STATISTICA, npr. pokretanje i zatvaranje programa, čuvanje datoteka i ostale osnovne radnje, slične su onima kod ostalih aplikacija unutar Windowsa, te ih stoga nećemo detaljno svih opisivati. Također, rad sa STATISTICOM olakšat će vam znanje engleskog jezika. Prije opisa osnovnih principa rada u STATISTICI treba naglasiti kako u ovom programu možete otvoriti i podatke koje ste već sačuvali u drugim programima, npr. Microsoft Excelu i SPSS-u. Slično tome, nakon rada s nekim skupom podataka u STATISTICI te podatke, kao i rezultate provedenih analiza, možete sačuvati u formatu STATISTICE, ali i drugih programa, npr. Microsoft Excelu ili u pdf formatu. Ukoliko nakon rada s nekim skupom podataka unesene podatke sačuvate kao dokument unutar STATISTICE, taj ćete dokument kasnije prepoznati po ekstenziji.sta. Na početku, program STATISTICA možete pokrenuti na nekoliko načina: dvostrukim klikom miša na ikonu STATISTICE (Slika 11), odabirom ikone STATISTICE u izborniku Start, ili otvaranjem nekog već postojećeg dokumenta sačuvanog u STATISTICI. 66

72 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Slika 11. Pokretanje programskog sustava STATISTICA. Nakon pokretanja programskog sustava STATISTICA na ekranu se pojavljuje osnovno radno okruženje programa. Ukoliko na samom početku rada sa programom STATISTICA želite otvoriti neki već postojeći dokument s podacima, tu opciju (Open a STATISTICA data file) trebate odabrati u prozoru Welcome to STATISTICA (Slika 1). U ovom izborniku vam se nudi i mogućnost otvaranja Microsoft Excel dokumenta, što može biti jako korisno ukoliko ste podatke već ranije unijeli. Slika 1. Prozor koji se pojavljuje prilikom ulaza u sustav STATISTICA. Ukoliko na početku želite unijeti nove podatke, trebate zatvoriti prozor Welcome to STATISTICA nakon čega će se pojaviti prozor za unos podataka (Data:Spreadsheet1; Slika 13). Ovo ujedno predstavlja i osnovno sučelje, odnosno radno okružje unutar STATISTICE. Slično kao i kod drugih programa, na vrhu prozora nalazi se ime datoteke, a sam se prozor sastoji od nekoliko osnovnih elemenata: Dugmad za kontrolu prozora i dugmad za kontrolu dokumenta, te klizači koji pomažu za kretanje po dokumentu nalaze se na vrhu i s desne strane radnog prozora. Glavna linija izbornika sadrži osnovne izbornike od kojih su neki slični onima koje susrećete u drugim programima (npr. Home, Edit, View, Help), dok su drugi specifični za program STATISTICA (npr. Statistics, Graphs, Data Mining). 67

73 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Linija s alatima nalazi se ispod glavne linije izbornika, i uključuje poveznice na specifične alate koje nude glavni izbornici. Statusna linija se nalazi na dnu ekrana, i na njoj se nalaze podaci vezani za trenutni dokument, npr. nazivi otvorenih radnih prozora. Prostor za rad, odnosno radna površina (Slika 13) unutar koje u pravilu možete vidjeti otvoren prozor s podacima ili prozore s rezultatima provedenih analiza. Dakle, unutar ovog prostora možete unositi i provjeravati unesene podatke ili pregledavati rezultate statističkih analiza. Općenito treba naglasiti da program STATISTICA, slično kao i Microsoft Excel, podatke i rezultate kasnijih analiza organizira i prikazuje u različitim prozorima ili radnim listovima. Stoga je tijekom obrade važno paziti na otvorene radne prozore, što možete pratiti na dnu ili s lijeve strane ekrana. Slika 13. Osnovno radno okruženje unutar prostora STATISTICA (Prozor za unos podataka; Data:Spreadsheet1). 68

74 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA 4.1. UNOS I ORGANIZACIJA PODATAKA Definiranje varijabli Prije nego što započnete unositi prikupljene i pripremljene (provjerene i kodirane) podatke u pojedina polja unutar prozora za unos podataka, potrebno je u prvom retku prozora imenovati relevantne varijable. Tako za imenovanje prve varijable treba dvostrukim klikom na polje Var1 otvoriti prozor za imenovanje te varijable (Slika 14). Tada na mjestu gdje piše Name ( Var1 ) trebate upisati ime prve varijable, npr ispitanik, spol ili ocjena. Istraživač sam određuje imena varijabli koja trebaju odražavati logiku istraživanja. Općenito se preporučuje prilikom imenovanja koristiti kratka i sažeta imena varijabli, te svakoj varijabli dati različiti naziv. Na primjer, ukoliko želite unijeti podatke iz ankete o ponašanju učenika tijekom nastave koja sadrži 10 pitanja, trebate pripremiti 10 varijabli koje možete sažeto imenovati tako da označite naziv ankete i broj pitanja na koji se varijabla odnosi (nastava_1, nastava_, itd.). Slika 14. Prozor za imenovanje varijable. Osim naziva varijable moguće je unutar prozora za imenovanje varijabli odrediti i nekolicinu drugih karakteristika mjerene varijable. Među tim karakteristikama treba istaknuti određivanje vrste varijable (Type) kao numeričke ili tekstualne (text). Ako se radi o numeričkoj varijabli preporučuje se koristiti vrstu double jer je kod nje dozvoljen unos decimalnih brojeva, dok se ovisno o količini podataka može koristiti i integer ili byte. 69

75 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Uz to, moguće je odrediti postoje li unutar prikupljenih podataka neke vrijednosti koje nedostaju ili koje treba ignorirati u obradi (eng. missing data). Naime, ponekad ispitanici ne odgovore na neka pitanja, ili prilikom odgovaranja napišu neke besmislene odgovore. U preporučenoj literaturi možete saznati više o načinima nošenja s takvim situacijama, pri čemu je prvi korak označavanje takvih vrijednosti koje nedostaju u polje MD code unutar prozora za imenovanje varijabli. Ovako označeni podaci kasnije neće biti uključeni u statističke analize koje budete provodili, ali će ostati zabilježeni što vam u nekim slučajevima može biti korisno. Na dnu izbornika u okviru prostora označenog kao Long name (label, or formula with Functions) moguće je napisati duže, opisno ime varijable koje će vam pomoći u organizaciji i razumijevanju podataka. To je naročito korisno kod korištenja skraćenih imena varijabli, pogotovo ako u skupu podataka imate više varijabli sa sličnim imenima ili planirate prikupljene podatke koristiti i u budućnosti. Na primjer, ukoliko ste prilikom upisivanja podataka iz nekog upitnika ili ankete prilikom imenovanja varijabli koristili skraćene nazive, npr. nastava_1, nastava_, itd., u ovo polje za svaku varijablu možete upisati duži naziv ili puno pitanje iz upitnika na koje se varijabla odnosi što će vam kasnije omogućiti lakše snalaženje i razumijevanje rezultata provedenih analiza. Osim toga, u prostoru Long name (label, or formula with Functions) možete kreirati nove varijable, odnosno uz pomoć formule možete odrediti kako izračunati vrijednosti varijable koju definirate. To može biti korisno ukoliko želite formirati kompozitnu varijablu na temelju nekih već postojećih varijabli. Na primjer, ukoliko ste prikupili podatke o broju bodova ili ocjenama koje su studenti postigli na dva kolokvija iz predmeta Osnove statistike, ovdje možete formirati novu varijablu koja će predstavljati primjerice prosjek ili zbroj tih bodova ili ocjena (Slika 15). Slika 15. Izračunavanje nove varijable na temelju postojećih varijabli. 70

76 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA S desne strane prozora za imenovanje varijabli nalazi se još nekoliko dodatnih tipki koje nude korisne opcije prilikom detaljnog definiranja varijabli. Na primjer, odabirom tipke Text Labels možete označiti kodove korištene prilikom kodiranja varijabli. U nekim slučajevima je to nepotrebno, naročito kod kvantitativnih varijabli kod kojih je značenje brojeva jasno samo po sebi, npr. kod varijable dob. Međutim, u nekim slučajevima, naročito kod kvalitativnih varijabli, ova opcija može biti jako korisna, pa se stoga uvijek preporuča kod nominalnih varijabli označiti značenje pojedinih kodova. Na primjer, kao što je prikazano na Slici 16, kod varijable spol ovdje možete napisati koji ste numerički kod koristili za označavanje ispitanika muškog (npr. broj 1), a koji za označavanje ispitanika ženskog spola (npr. broj ). Slika 16. Prozor za označavanje kodova unutar pojedinih varijabli (Text Labels). Uz to, korisna je i tipka Values/Stats koju možete odabrati ukoliko želite vidjeti osnovne karakteristike neke varijable, uključujući i ukupni broj ispitanika koji imaju podatke na toj varijabli, pojedinačne podatke koji se pojavljuju unutar mjerenja, te aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju ove varijable (Slika 17). Ovu opciju nema smisla koristiti prilikom definiranja varijabli, ali nakon unosa podataka ona može biti jako korisna za pregled osnovnih karakteristika unesenih podataka. Slika 17. Prozor Values/Stats. 71

77 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Podatke o novom imenu i karakteristikama varijable možete sačuvati pritiskom tipke OK. Ukoliko želite odjednom upisati imena više varijabli, od jedne do druge možete se kretati i bez zatvaranja izbornika za imenovanje varijabli, odnosno uz pomoć strelica smještenih ispod tipke Cancel Unos i organizacija podataka Nakon imenovanja varijabli možete započeti s unosom podataka. Podatke ćete upisivati u polja unutar radnog lista, odnosno prozora za unos podataka prikazanog na Slici 13, u koja se ulazi uz pomoć miša ili tipkovnice. U odabrana polja se mogu upisivati cijeli ili decimalni brojevi, kao i slova ili riječi u slučaju tekstualnih varijabli. Ukoliko se u polje unose decimalni brojevi, za odvajanje decimalnog dijela koristi se zarez. Pritom pojedinačne podatke za svakog ispitanika u pravilu treba unositi u retke tablice, dok će u stupcima biti prikazane pojedine varijable. Redoslijed upisa varijabli i ispitanika određuje sam istraživač, pri čemu taj redoslijed na kraju nema nikakvog utjecaja na rezultate provedenih statističkih analiza. Nakon što ste definirali varijable i unijeli prikupljene podatke u STATISTICU, vrlo često ćete se naći u situaciji da pripremljeni dokument trebate mijenjati ili nadopunjavati, što možete napraviti slično kao i kod drugih programa. Na primjer, ponekad ćete nakon unosa podataka trebati dodavati, brisati, prebacivati ili reorganizirati ispitanike ili formirane varijable. Ponekad ćete određene statističke postupke željeti provesti na dijelu ispitanika, zbog čega ćete trebati odabrati dio ispitanika prilikom određivanja parametara za provođenje tih postupaka. Također, vrlo često ćete prije detaljnih statističkih analiza trebati na temelju već definiranih kreirati nove varijable. Taj je postupak ranije opisan u okviru prikaza izbornika za imenovanje varijabli. Uz to, često ćete prilikom obrade podataka željeti rekodirati varijable, odnosno promijeniti neke postojeće vrijednosti unutar neke varijable. To se naročito često događa kada se u istraživanju koriste ankete ili upitnici sastavljeni od niza pitanja na koja ispitanici odgovaraju na skali od više stupnjeva, pri čemu su neka pitanja formulirana tako da veći broj na skali odražava veću izraženost nekog svojstva, dok je kod drugih pitanja unutar istog upitnika veća izraženost svojstva karakteristična za ispitanike koji su zaokružili manji broj na skali. Ukoliko ste koristili takav upitnik kojeg u analizu želite uključiti tako da za svakog 7

78 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA ispitanika izračunate ukupni zbroj ili prosjek zaokruženih procjena unutar svih pitanja (što vrlo često ima smisla), prije izračuna nove, sumarne varijable morate osigurati da u svim pitanjima veći broj na skali ima jednako značenje, odnosno da svugdje odražava ili veći ili manji stupanj izraženosti željenog svojstva. To možete napraviti tako da rekodirate samo dio pitanja unutar upitnika kod kojih trebate obrnuti značenje brojeva na korištenoj skali (npr. kod skale 1-5, prilikom rekodiranja broj 1 postaje 5, postaje 4, 4 postaje, 5 postaje 1, dok 3 ostaje 3). STATISTICA nudi sve gore opisane, kao i brojne druge oblike reorganizacije podataka koji su dostupni putem više izbornika i naredbi. Jedan od najjednostavnijih načina provedbe osnovnih oblika reorganizacije podataka nudi vam izbornik koji se otvara nakon pritiska na desnu tipku miša bilo na varijablu (Slika 18), ispitanika ili neko polje unutar radnog lista. Taj izbornik uključuje mogućnosti kopiranja, dodavanja ili pomicanja varijabli ili ispitanika, sortiranja podataka, itd. Slika 18. Ponuđeni izbornik nakon pritiska na desnu tipku miša. Također, brojne mogućnosti za reorganizaciju podataka nudi vam izbornik Data kojeg možete pronaći u glavnoj alatnoj traci. U njemu možete pronaći neke opcije koje vam nudi ranije spomenuti prozor za imenovanje varijabli (npr. Text labels) ili koje možete pronaći nakon pritiska na desnu tipku miša (sortiranje podataka, dodavanje ispitanika ili varijabli). Osim toga, uz pomoć ovog izbornika možete standardizirati varijable, rangirati podatke, 73

79 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA odrediti način tretiranja vrijednosti koje nedostaju unutar podataka i slično. Ovaj izbornik nudi vam i već spomenutu mogućnost rekodiranja, odnosno zamjena korištenih kodova u odabranim varijablama. Na primjer, ukoliko želite rekodirati vrijednosti kodova 1 i koje ste ranije koristili za kodiranje varijable spola, trebate odabrati opciju Recode, i u prozoru za rekodiranje odrediti stare i nove vrijednosti te varijable (Slika 19). Slika 19. Prozor za rekodiranje vrijednosti odabrane varijable. Nakon formiranja varijabli te unosa i organizacije dobivenih podataka preporučljivo je provjeriti da li ste sve željene informacije točno unijeli. To možete napraviti vizualnom inspekcijom, ili provjerom osnovnih karakteristika unesenih podataka i definiranih varijabli (npr. raspon izmjerenih rezultata), u čemu vam može pomoći ranije opisana opcija Values/Stats. Uz to, vrlo je korisno prije provedbe složenijih statističkih analiza grafički prikazati dobivene podatke, kako biste provjerili oblike distribucija (čiji normalitet možete i testirati prikladnim statističkim testom) i postojanje ekstremnih rezultata te stekli uvid u neke druge osobitosti prikupljenih podataka. Pritom možete koristiti različite vrste grafičkih prikaza, primjerice histogram kojeg smo ranije spominjali, kao i potencijalno vrlo korisne box & whisker plot, scatterplot ili stem-and-leaf (stablo i lišće) grafičke prikaze o kojima više možete saznati u preporučenoj literaturi. Ukoliko provjerom podataka utvrdite neke nelogičnosti ili postojanje ekstremnih rezultata, prije daljnjih analiza preporučljivo je provjeriti da li su svi podaci dobro uneseni. Naime, često se prilikom unosa velikog broja podataka događaju pogreške (npr. vrijednosti 5 i 1 koje su trebale biti unesene u dva polja greškom se unesu u jedno polje kao broj 51) koje kasnije mogu jako utjecati na dobivene rezultate. Stoga je važno provjeriti njihovo postojanje usporedbom datoteke s podacima iz originalnih anketa/upitnika, te ih u slučaju potrebe ispraviti. Ukoliko i nakon ispravki pogrešaka uočite nelogičnosti ili ekstremne vrijednosti kod nekih varijabli, njihovo postojanje 74

80 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA trebate uzeti u obzir prilikom odabira statističkih postupaka tijekom obrade podataka kao i prilikom interpretacije dobivenih zaključaka. Nakon unošenja i provjere kvalitete podataka datoteka je spremna za obradu podataka u svrhu testiranja hipoteza. Jedan primjer unesenih podataka spremnih za obradu nalazi se na Slici 0. Ti podaci uključuju šest varijabli (oznaku ispitanika, spol studenta, bodove studenta iz I. kolokvija, bodove iz II. kolokvija, ukupni broj bodova iz oba kolokvija i završnu ocjenu). Slika 0. Prikaz skupa podataka unutar STATISTICE. U sljedećim poglavljima prikazat ćemo kako se uz pomoć STATISTICE mogu izračunati neki osnovni postupci deskriptivne i inferencijalne statistike o kojima je ranije bilo riječi. Svaki od tih postupaka može se pronaći u okviru izbornika glavne alatne trake i pojedinih modula koje oni nude. Pritom je računanje svake željene analize relativno jednostavno, i može se provesti odabirom nekoliko različitih opcija ili tipki ponuđenih unutar tih izbornika. Međutim, iako sama provedba pojedinih testova u principu nikada nije složena, odabir prikladnog postupka i kasnija interpretacija rezultata često može biti jako zahtjevna. Zato je važno prije same obrade naučiti neke temeljne principe statističkog zaključivanja i obrađivanja podataka koje možete pronaći u prvom dijelu ovog priručnika i u preporučenoj literaturi. 75

81 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Jednom kad znate odabrati prikladne statističke postupke, možete ih relativno jednostavno provesti unutar STATISTICE koja će vam zatim dobivene rezultate prikazati u posebnim prozorima. Ukoliko tako dobivene rezultate budete željeli trajno sačuvati, to možete napraviti u formatu STATISTICE ili nekih drugih programa (odabirom izbornika Save as), ili ih jednostavno kopirati i zalijepiti u drugi željeni program, npr. Microsoft Excel. To se naročito odnosi na situacije u kojima niste zadovoljni izgledom grafičkih prikaza koje pripremi STATISTICA, te biste ih stoga htjeli sami pripremiti u nekom drugom programu. Dakako, u izvještavanju o rezultatima provedenih analiza možete koristiti i grafičke prikaze koje pripremi STATISTICA, naročito s obzirom na to da vam ovaj program nudi brojne mogućnosti formatiranja grafova u skladu s vašim potrebama. Također, s obzirom na to da se u STATISTICI nalaze svi relevantni podaci, ponekad je grafičke prikaze i najjednostavnije pripremiti unutar ovog programa. Kao što ćete kasnije pročitati, grafove možete pripremiti unutar većeg broja različitih izbornika i modula. Najjednostavnije ćete ih, međutim, pronaći u okviru izbornika Graphs kojeg možete pronaći u glavnoj alatnoj traci. Na kraju treba napomenuti da STATISTICA pamti provedene analize, odnosno da jednom izračunate rezultate neće prebrisati onima novih analiza, već će svaki pojedinačni rezultat otvoriti u posebnom prozoru koji će ostati otvoren i dostupan dok ga sami ne zatvorite. Pritom ćete popis otvorenih prozora s rezultatima moći pratiti u lijevom dijelu radnog prozora te se odabirom željene analize kasnije na njih vratiti (Slika 6a). Osim toga, nakon što provedete jednu analizu na odabranom setu varijabli i odlučite se vratiti na isti izbornik za računanje, STATISTICA će se zapamtiti vaše ranije odabire koje ćete zatim moći nastaviti specificirati. Ukoliko želite započeti novu analizu prije toga možete zatvoriti prozor s ranijim analizama, a zatim krenuti u odabir novih varijabli i ostalih mogućnosti statističke analize. 76

82 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA 4.. RAČUNANJE OSNOVNIH PARAMETARA DESKRIPTIVNE STATISTIKE Nakon unosa podataka moguće je započeti primjerenu statističku obradu. To prije svega uključuje izračunavanje osnovnih deskriptivnih pokazatelja svih varijabli, npr. prikazivanje raspodjele frekvencija, izračunavanje mjera središnjih vrijednosti i raspršenja, i dr. U tu svrhu poslužit će glavni izbornik Statistics kojeg možete pronaći unutar glavne alatne trake, te prije svega njegov prvi izbornik Basic Statistics and Tables namijenjen osnovnim statističkim analizama (Slika 1). Taj izbornik omogućava grafičko prikazivanje raspodjele rezultata, izradu tablica frekvencija i računanje osnovnih pokazatelja deskriptivne statistike, usporedbu dviju ili više skupina podataka korištenjem t-testa i analize varijance, izračun koeficijenta korelacije i drugo. Slika 1. Izbornik Basic Statistics and Tables. Među ponuđenim mogućnostima unutar izbornika Basic Statistics and Tables koristan će na početku biti modul Descriptive statistics čiji je glavni prozor prikazan na Slici. Slika. Rad u modulu Descriptive Statistics. 77

83 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Prije provedbe analiza u okviru ovog modula potrebno je na početku odabrati željene varijable za deskriptivnu analizu što se može napraviti odabirom tipke Variables (Slika 3). Nakon odabira varijabli možete pritisnuti tipku OK. Ukoliko planiranu statističku analizu želite provesti samo na dijelu ispitanika, i njih možete odabrati u okviru modula Descriptive Statistics. Tu opciju vam nudi tipka Select cases koja se nalazi po sredini lijeve strane osnovnog prozora ovog modula (Slika ). Nakon što ste odabrali željene varijable, a moguće i ispitanike, u okviru prozora Descriptive Statistics možete krenuti u provedbu željenih statističkih postupaka. Slika 3. Prozor za odabir varijabli koje želite obraditi. Ukoliko nakon odabira varijabli želite za njih izračunati osnovne statističke pokazatelje (raspon, aritmetička sredina, standardna devijacija, broj ispitanika) možete odabrati naredbu Summary Statistics ili Summary. Ukoliko osim tih osnovnih indikatora želite izračunati još neke statističke mjere, npr. centralnu vrijednost, to možete napraviti odabirom željenih mjera u okviru podizbornika Advanced (Slika 4). 78

84 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Slika 4. Prozor za odabir dodatnih mjera u okviru podizbornika Advanced. U okviru modula Descriptive Statistics možete i grafički prikazati željene varijable odabirom tipki Graphs 1, Graphs ili Histograms. Odabirom tipke Frequency tables možete prikazati raspodjelu frekvencija u okviru odabrane varijable. Raspodjelu frekvencija možete odrediti i u okviru podizbornika Normality (Slika 5), koji vam također nudi mogućnost testiranja normaliteta distribucije odabrane varijable (Kolmogorov-Smirnov & Lilliefors test for normality). U okviru ovog izbornika možete odabrati i broj intervala kojeg želite zadržati u okviru jedinične vrijednosti (number of intervals). U većini slučajeva vam ova opcija neće trebati, te je stoga preporučljivo prilikom definiranja načina kategorizacije odabrati kategorijalnu kategorizaciju (integer intervals (categories)) koja je primjerena za cjelobrojne (diskretne) varijable. Slika 5. Ponuđene opcije u okviru podizbornika Normality. 79

85 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Nakon provedbe analize, STATISTICA će izračunate mjere deskriptivne statistike i raspodjele podataka prikazati u posebnom prozoru (Slika 6a i b). Kao što vidite, u desnom dijelu prozora s podacima prikazane su varijable koje ste ranije odabrali za provedbu statističkih analiza, a nakon toga su za njih u različitim stupcima prikazani rezultati provedenih analiza. Primjetite i kako se u krajnjem lijevom dijelu prozora nalaze navedene sve provedene analize kojima ćete se tijekom daljnjih analiza i naknadno moći vratiti. Slika 6 a-b. Primjeri rezultata izračunatih u STATISTICI. U prvom primjeru nalaze se osnovni deskriptivni parametri odabranih varijabli (broj ispitanika, aritmetička sredina, najmanja i najveća vrijednosti, i standardna devijacija), a u drugom raspodjela frekvencija u odabranoj varijabli. Treba naglasiti da se, osim u modulu Descriptive Statistics, tablice frekvencija i histogrami mogu izraditi i uz pomoć posebnog modula unutar izbornika Basic Statistics and Tables, koji se naziva Frequency tables (Slika 7). 80

86 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Slika 7. Odabir modula Frequency tables u okviru izbornika Basic Statistics and Tables. Otvaranjem ovog modula (Slika 8) nude vam se mogućnosti izrade tablica frekvencija, crtanja grafičkih prikaza, izračuna osnovnih parametara deskriptivne statistike, kao i testiranja normaliteta distribucije koje možete pronaći odabirom različitih alata unutar glavne linije ovog izbornika (npr. u okviru podizbornika Descr. ili Normality). Slika 8. Rad u modulu Frequency tables. 81

87 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA 4.3. TEMELJNI POSTUPCI INFERENCIJALNE STATISTIKE Računanje t-testa t-test za nezavisne uzorke možete izračunati u okviru izbornika Basic Statistics and Tables unutar kojeg trebate odabrati modul t-test, independent by groups, dok odabirom modula t- test, dependent samples možete izračunati t-test za zavisne uzorke (Slika 1). Slično kao i kod deskriptivne statistike, u okviru ovih modula na početku trebate odabrati skupine podataka koje želite usporediti. Kod t-testa za nezavisne uzorke potrebno je odabrati tipku Variables, nakon čega će se otvoriti prozor za odabir varijabli (Slika 9). Tada ćete u lijevom dijelu prozora moći odabrati nezavisnu varijablu (Grouping variable) koja određuje pripadnost ispitanika određenoj skupini, dok ćete u desnom dijelu prozora odabrati zavisne varijable (Dependent variables). Slika 9. Prozor za odabir varijabli kod računanja t-testa za nezavisne uzorke. U okviru modula za t-test moguće je specificirati još neke željene parametre (Slika 30), o čemu možete više saznati u okviru preporučene literature. Nakon odabira tipke Summary ili Summary T-tests otvorit će se tablica s rezultatima t testa. 8

88 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Slika 30. Prozor za računanje t-testa za nezavisne uzorke. Kod računanja t-testa za zavisne uzorke varijable za usporedbu također možete odrediti odabirom tipke Variables. Tada ćete u lijevom dijelu prozora moći odabrati parove varijabli koje želite međusobno usporediti. U okviru izbornika za t-test moguće je specificirati još neke željene parametre, o čemu možete više saznati u preporučenoj literaturi. Nakon odabira tipke Summary ili Summary T-tests otvorit će se tablica s rezultatima t-testa (Slika 31). Kao što vidite na slici, među tim rezultatima nalazi se više različitih indikatora koji uključuju, među ostalima, i vrijednosti aritmetičkih sredina i standardnih devijacija uzoraka. Od svih vrijednosti navedenih u ovoj tablici prilikom izvještavanja o dobivenim rezultatima kasnije će biti potrebno navesti vrijednost t-testa, pripadajuće stupnjeve slobode i razinu značajnosti u skladu s ranije navedenim smjernicama (u ovom slučaju t(9) =.76, p < 0.01). Slika 31. Primjeri rezultata t-testa za zavisne uzorke izračunatog u STATISTICI. Kao što je navedeno u drugim dijelovima priručnika, ukoliko želite usporediti više od dvije skupine podataka, umjesto t-testa trebate odabrati analizu varijance koju možete pronaći unutar izbornika Statistics koji vam nudi modul ANOVA (Slika 3). Pritom jednosmjernu analizu varijance nudi modul One-way ANOVA, pri čemu treba spomenuti da ovu analizu također možete pronaći u okviru izbornika Basic Statistics and Tables (modul Breakdown & 83

89 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA one-way ANOVA). Složenu ili višesmjernu analizu varijance možete izračunati uz pomoć modula Factorial ANOVA, dok vam modul Repeated measures ANOVA omogućuje računanje analize varijance s ponovljenim mjerenjima. Slika 3. Izbornik za računanje analize varijance Računanje hi-kvadrat testa U programu STATISTICA hi-hvadrat test se računa putem modula Tables and Banners koji se nalazi u okviru izbornika Basic Statistics and Tables. Nakon toga otvorit će se novi prozor u okviru kojeg trebate izabrati opciju Specify tables (select variables) (Slika 33a). Tu ćete odabrati varijable koje želite analizirati (Slika 33b), nakon čega možete pritisnuti tipku OK. Zatim u okviru glavne linije izbornika, unutar podizbornika Options, trebate odabrati Pearson & M-L Chi Square (Slika 33c), a nakon toga u podizborniku Advanced opciju Detailed twoway tables (Slika 33d). 84

90 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Slika 33a-d. Računanje hi-kvadrat testa u STATISTICI. Nakon odabira svih potrebnih parametara i odabira tipke Summary otvorit će se tablica s rezultatima hi-kvadrat testa (Slika 34). Prilikom izvještavanja o dobivenim rezultatima kasnije će biti potrebno navesti vrijednost hi-kvadrat testa, pripadajuće stupnjeve slobode i razinu značajnosti u skladu s ranije navedenim smjernicama (u ovom slučaju (3).41, p > 0.05 ). 85

91 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Slika 34. Primjeri rezultata hi-kvadrat testa za zavisne uzorke izračunatog u STATISTICI. Ostale neparametrijske testovi (Slika 35) u STATISTICI možete pronaći u okviru izbornika Nonparametrics kojeg možete pronaći u glavnom izborniku Statistics. Slika 35. Prozor za odabir neparametrijskih testova Računanje korelacija Korelaciju, odnosno statističku mjeru povezanosti dviju varijabli, možete izračunati uz pomoć modula Correlation matrices kojeg ćete pronaći u okviru izbornika Basic Statistics and Tables. Nakon pokretanja ovog modula, na ekranu će se pojaviti prozor Product-Moment and Partial Correlations (Slika 36) u kojem ćete moći izračunati simetrične kvadratne korelacijske matrice odabirom tipke One variable list ili tzv. kroskorelacijske matrice odabirom tipke Two variable list (rectangle.matrix). 86

92 Rad u programu za statističku obradu podataka STATISTICA Slika 36. Prozor Product-Moment and Partial Correlations za računanje korelacija. Nakon odabira opcije One variable list moći ćete odabrati parove varijabli čiju povezanost želite izračunati. Nakon toga svoj izbor možete potvrditi pritiskom na OK, nakon čega ćete korelacije izračunati odabirom tipke Summary ili Summary: Correlations. Nakon što ste izračunali korelacije prikazati će vam se matrica Pearsonovih koeficijenata korelacija između odabranih varijabli (Slika 37). Među njima će crvenom bojom biti obilježeni statistički značajni koeficijenti korelacije, dok će ostali biti prikazani crnom bojom. Osim toga, STATISTICA će izračunati i aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju odabranih varijabli. Slika 37. Primjer rezultata provedene koreleacijske analize u programu STATISTICA. 87

93 Izvještavanje o rezultatima 5. IZVJEŠTAVANJE O REZULTATIMA PROVEDENOG ISTRAŽIVANJA U prethodnim poglavljima ovog priručnika upoznali ste se s logikom statističkog razmišljanja i nekim osnovnim statističkim analizama, kao i s temeljnim principima rada u jednom računalnom programu za statističku obradu podataka. Znanja koja ste prikupili pomoći će vam da samostalno obradite podatke prikupljene u vašim istraživanjima. Kao što je navedeno u prvom dijelu priručnika, već u fazi planiranja tih istraživanja, trebat ćete razmišljati o mogućim i željenim statističkim postupcima koje ćete provesti nakon prikupljanja podataka. Pritom će odabir tih statističkih postupaka ovisiti o vašim istraživačkim problemima, istraživačkom nacrtu te karakteristikama prikupljenih podataka. Prilikom obrade podataka u rijetkim situacijama ćete prikupljene podatke obrađivati ručno, samo uz pomoć kalkulatora. Znatno češće pritom ćete koristiti neki računalni program za obradu podataka, npr. STATISTICU ili SPSS, dok ćete se kod jednostavnijih analiza (npr. određivanja mjera deskriptivne statistike) ili izrade grafičkih prikaza moći poslužiti i Microsoft Excelom. Obrada podataka vama će dati odgovore na postavljena pitanja, što može biti dovoljno ukoliko ste istraživanje proveli s ciljem odgovaranja na neki praktični problem. Međutim, znatno češće ćete istraživanje provesti s namjerom da ga kasnije publicirate, bilo u svom završnom ili diplomskom radu, bilo u nekom znanstvenom časopisu. Ukoliko se za to odlučite, trebat ćete naučiti nešto i o uobičajenom načinu izvještavanja o dobivenim rezultatima unutar takvih publikacija. Načelno, način izvještavanja o rezultatima je relativno sličan u svim oblicima znanstvenih publikacija: rezultate treba prikazati jasno i jednoznačno, te pritom poštivati neke osnovne principe izvještavanja o statističkim analizama. U najvećem broju publikacija kratak prikaz glavnih rezultata dobivenih u provedenom istraživanju treba pripremiti unutar posebnog odlomka rada koja se najčešće naziva Rezultati istraživanja. Unutar ovog odlomka nije potrebno napisati sve rezultate koji se teoretski mogu izračunati na temelju prikupljenih podataka, već samo one koji daju odgovore na postavljene istraživačke probleme. Prikaz rezultata treba organizirati smisleno, tako da prati postavljene istraživačke probleme i hipoteze. Ovisno o složenosti provedenog istraživanja i povezanosti pojedinih istraživačkih problema, ovaj je dio moguće organizirati cjelovito, ili ga podijeliti u više dijelova. Prilikom prikazivanja rezultata istraživanja najprije treba opisati važne karakteristike uzorka ispitanika koji su sudjelovali u istraživanju (broj sudionika, struktura uzorka prema spolu, dobi ili drugim varijablama). Nakon toga treba prikazati rezultate statističkih postupaka 88

94 Izvještavanje o rezultatima korištenih za odgovaranje na pojedinačne istraživačke probleme, odnosno testiranje pojedinačnih istraživačkih hipoteza. U pravilu se na početku prikazuju jednostavniji rezultati (najčešće indikatori deskriptivne statistike), a nakon toga složeniji (rezultati analiza inferencijalne statistike). Navođenje rezultata istraživanja treba biti sažeto, precizno i jasno. Ono ne treba uključivati sadržajno i teorijsko tumačenje rezultata, ali treba prikazati dobivene brojčane vrijednosti i prikladnu statističku interpretaciju. Prikaz rezultata treba biti samodostatan, odnosno glavni nalazi provedenog istraživanja čitatelju trebaju biti jasni na temelju čitanja samo ovog dijela. Često se unutar istraživanja dobiveni rezultati mogu prikazati na više načina, u tekstu ili uz pomoć tabličnog ili grafičkog prikaza. Istraživač sam određuje način prikazivanja rezultata, pri čemu treba izbjegavati ponavljanje. Ukoliko se rezultati prikazuju tablično ili grafički, u tekstu se treba pozvati na tablicu ili graf bez ponavljanja brojčanih vrijednosti navedenih u njima. Također, nema smisla prikazivati iste podatke i tablično i grafički pa se, ovisno o ciljevima i preglednosti prikaza, treba odlučiti samo za jedan od ovih prikaza. Ovdje treba spomenuti i to da se ponekad, u nekvalitetnim publikacijama, mogu pronaći tablice koje su samo kopirane iz računalnog programa, bez ikakvog dodatnog formatiranja. U njima nerijetko čak ostanu zaglavlja ili drugi dijelovi tablica na engleskom jeziku, iako je rad pisan na hrvatskom. Takva je praksa neprihvatljiva, te se tablični i grafički prikazi uvijek trebaju primjereno formatirati prije njihovog publiciranja. Prilikom prikazivanja dobivenih rezultata posebnu pažnju treba obratiti na slikovne i tablične prikaze rezultata, kao i na navođenje statističkih simbola i rezultata statističkih analiza. Smjernice za prikazivanje rezultata već su ranije opisane, dok među smjernicama koje treba poštivati prilikom navođenja statističkih simbola i rezultata statističkih analiza treba izdvojiti sljedeće: Statističke simbole, osim grčkih slova, u tekstu i tablici treba navoditi kosim slovima. Prilikom navođenja statističkih simbola treba osigurati njihovu razumljivost i čitljivost. Iako se u znanstvenim radovima osnovni simboli (npr. za aritmetičku sredinu ili standardnu devijaciju) ne trebaju posebno pojašnjavati, to je u završnim i diplomskih radovima preporučljivo napraviti u tekstu ili posebnoj legendi. Neki od osnovnih statističkih simbola prikazani su u Tablici. Kod pisanja decimalnih brojeva treba koristiti točku. Prilikom navođenja rezultata dobivenih analizama preporučeno je većinu izračunatih vrijednosti (npr. standardna devijacija, t-test, najčešće aritmetička sredina) zaokružiti 89

95 Izvještavanje o rezultatima na dvije decimale ili jednu decimalu (ponekad aritmetička sredina). Frekvencije se najčešće navode kao cijeli brojevi ili brojevi s jednom decimalom. Ukoliko je vrijednost neke mjere manja od 1 (npr. kod razine značajnosti koja je uvijek manja od 1), nije potrebno pisati nulu prije decimalne točke. Prilikom navođenja rezultata statističkih analiza nije potrebno detaljno objašnjavati teorijsku osnovu i način provođenja odabranog postupka. Također, nije potrebno navoditi nul hipotezu, jer je ona samorazumljiva i predstavlja sastavni dio teorijskog određenja testa. Umjesto toga, treba navesti svrhu provođenja odabranog postupka, odnosno istraživačko pitanje na koje se njime pokušava odgovoriti. Dobivene rezultate treba izložiti sažeto i precizno. Kod navođenja rezultata deskriptivne statistike uz frekvencije se u pravilu navode i postotci, i to najčešće u zagradi, a uz središnje vrijednosti skupa rezultata i pripadajuća raspršenja. Na primjer: Navođenje frekvencija: 30 (15%) Navođenje aritmetičke sredine i standardne devijacije: M = 31. (SD = 10.4) Kod navođenja rezultata analiza inferencijalne statistike, treba navesti naziv korištenog testa, pripadajuće stupnjeve slobode (navedene u zagradi nakon oznake testa) i razinu značajnosti (p). Na primjer: Navođenje t-testa: t(3) = 3.1, p <.05 Navođenje Pearsonovog koeficijenta korelacije: r(9) =.56; p <.05 Navođenje analize varijance: F(1,30) = 3.41; p <.05 Navođenje hi-kvadrat testa: (4) = 5.59; p <.05 Kod navođenja rezultata analiza inferencijalne statistike, moguće je navesti i druge parametre, npr. veličinu efekta. Također, osim dobivenih brojčanih vrijednosti potrebno je naznačiti i njihovu statističku interpretaciju. Na primjer, ukoliko se usporedbom dviju skupina korištenjem t-testa ili hi-kvadrat testa pokazalo postojanje statistički značajne razlike među skupinama, iz samih vrijednosti tih testova nije jasno koja je od ispitanih skupina imala niže, a koja više rezultate. Stoga tu informaciju treba posebno naznačiti. Na kraju treba istaknuti da prilikom objavljivanja rezultata u različitim časopisima treba provjeriti pravila i smjernice koje taj časopis definira za prikazivanje rezultata statističkih analiza, te dobivene rezultate prikazati u skladu s njima. 90

96 Zadaci za vježbanje 6. ZADACI ZA VJEŽBANJE 1. U razredu od 17 učenika nastavnik je izmjerio znanje iz hrvatskog jezika uz pomoć dva testa (Tablica 1). Organizirajte podatke iz tablice tako da ih za oba testa grupirate u jednake razrede. Podatke prikažite tablično i u obliku histograma. Učenik Test 1 Test Učenik Test 1 Test K. L K. O S. P I.E. 9 8 L. A P.L P. K E. M Ć. D A. M L. M A. T P. A V. Đ P. M H. V Š. M U tablici su prikazani rezultati mjerenja depresivnosti skupine studenata. Nacrtajte distribuciju rezultata grupiranih u razrede te izračunajte pripadajuće središnje vrijednosti (aritmetičku sredinu, centralnu i dominantnu vrijednost) i standardnu devijaciju rezultata

97 Zadaci za vježbanje 3. Izračunajte prosječne vrijednosti (aritmetičku sredinu, centralnu i dominantnu vrijednost) sljedećih distribucija. Razmislite o tome koje mjere nije prikladno koristiti kod nekih od ovih distribucija. M C D A B C D Studenti prve godine sociologije (N=40) trebali su položiti 9 ispita. Do kraja godine jedan je student položio svih 9 ispita, 6 je položilo njih 8, 10 studenata je položilo 7, 9 ih je položilo 6, 7 je položilo 5, 3 je položilo 4, dvoje 3 ispita, jedan ispita, a jedan student nije položio niti jedan ispit. Koliko su ispita studenti u prosjeku položili? Izračunajte standardnu devijaciju rezultata. Komentirajte oblik dobivene distribucije. 5. Izračunajte aritmetičku sredinu, centralnu vrijednost, dominantnu vrijednost i standardnu devijaciju za sljedeći skup podataka: 3, 5, 4, 4, 4, 4,, 1, 0, 9, 8, 10, 14, 15, 3, U ispitivanju zadovoljstva poslom nastavnici jedne škole su popunjavali upitnik čiji je mogući raspon bodova bio od 0-0. Pritom su dobiveni sljedeći rezultati: 1, 14, 14, 14, 13, 14, 14, 15, 16, 13, 14, 15, 1, 14, 18, 17, 5, 15, 14, 14, 13, 13, 14. Izračunajte sve prikladne središnje vrijednosti koje poznajete. Odredite raspon dobivenih rezultata. 7. U kolokviju iz Osnova statistike studenti su postigli sljedeće rezultate: 18, 15, 4,, 5, 16, 6, 8, 1, 10, 47, 3, 16, 17,, 5, 15, 10, 3, 7, 19, 31, 30, 11, 4, 16, 35,, 45, 0. Sastavite tablicu po razredima čiji interval iznosi 7 i nacrtajte histogram frekvencija. Odredite aritmetičku sredinu, medijan i mod. 8. Na testu iz matematike učenici su prosječno dobili 14 bodova (SD =.5), iz hrvatskog su imali prosječno 15 bodova (SD =.5), a iz engleskog 40 bodova (SD=8). U kojem ispitu je raspršenje ocjena bilo najveće, a u kojem najmanje? 9

98 Zadaci za vježbanje 9. U ispitivanju samopoštovanja skupina učenika je postigla rezultate navedene u tablici. Izračunajte središnje vrijednosti, standardnu devijaciju i koeficijent varijabilnosti dobivenih rezultata Prosječno vrijeme reakcije skupine ispitanika (N=100) iznosi 110 ms, dok je standardna devijacija te distribucije 11. Izračunajte koliko ispitanika ima rezultat: a) jednak ili manji od 100 b) jednak ili veći od 130 c) jednak ili veći od 95 d) u rasponu od 105 do Studenti (N=300) su rješavali tri različita testa: TEST 1 TEST TEST 3 M SD Studenti A i B su na testovima postigli sljedeće rezultate: Student TEST 1 TEST TEST 3 A B Izračunajte koji je student ukupno postigao bolji rezultat. 1. Skupina studenata (N=60) je rješavala zadatak kojim se mjerila vještina rješavanja problema. Prosječno vrijeme dovršavanja zadatka bilo je 13 sekundi (13 s), a standardna devijacija 1.5 s. Izračunajte koliko je vrijeme postiglo 10% najboljih (najbržih), a koliko 0% najlošijih studenata (s najdužim vremenom). 93

99 Zadaci za vježbanje 13. Na ispitu iz statistike studenti su prosječno riješili 11 zadataka, pri čemu je standardna devijacija rezultata iznosila 4. Na ispitu je prošlo 40% studenata koji su najbolje riješili test. Koliki je najmanji rezultat morao imati student koji je prošao ispit? 14. Ukoliko je aritmetička sredina distribucije kvocijenta inteligencije 100, a standardna devijacija 0, koliki najmanji kvocijent inteligencije moraju imati osobe koje se nalaze u 1% najinteligentnijih ljudi? 15. U jednom istraživanju, 15 roditelja navelo je prosječan broj sati koje njihova djeca tjedno provedu u izradi domaće zadaće: 6, 10, 3, 5, 1,, 3, 7, 5, 5, 4, 6, 6, 7, 4, 4, 5, 5, 6, 7. a) Navedite prosječan broj sati koje djeca provedu u izradi domaće zadaće. Izračunajte aritmetičku sredinu, centralnu i dominantnu vrijednost. b) Izračunajte pripadajuće raspršenje distribucije (raspon i standardnu devijaciju) rezultata. 16. Na temelju podataka iz prethodnog zadatka (6, 10, 3, 5, 1,, 3, 7, 5, 5, 4, 6, 6, 7, 4, 4, 5, 5, 6, 7) izračunajte sljedeće: a) Odredite z-vrijednosti za djecu koja uče 3, 7 i 4 sata. b) Kad biste sve rezultate pretvorili u z-vrijednosti, koja bi bila aritmetička sredina i standardna devijacija nove distribucije? c) Odredite u kojem se decilu nalazi učenik koji tjedno provede 3 sati u izradi domaće zadaće, a u kojem onaj koji provede 10 sati. 17. Slučajni uzorak 100 zaposlenika velike firme je sudjelovao u ispitivanju karakteristika zaposlenika. Prosječna dob radnika je 4 godine, a raspršenje je SD=11 godina. Kolika je prosječna dob svih zaposlenika ta firme? 18. Agencija za istraživanje javnog mnijenja je tijekom predsjedničkih izbora prognozirala uspjeh prva dva predsjednička kandidata u drugom krugu izbora. Na uzroku od 600 ispitanika prognozirali su da će pobjednički kandidat dobiti 65% pri čemu je na samim izborima ovaj osvojio 67.9%. Da li je agencija uspješno prognozirala rezultate izbora? studenata koji su upisali kolegij Osnove statistike podijeljeni su u dvije skupine. Jednu skupinu je sačinjavalo 50 studenata koji su gradivo učili uz pomoć računalnih programa za 94

100 Zadaci za vježbanje statističke obrade. Druga je skupina od 45 studenata u to vrijeme učila bez računalnih programa. Na kraju godine svi studenti su polagali ispit i pritom postigli rezultate prikazane u tablici. Postoji li razlika u uspjehu između te dvije skupine? Interpretirajte dobiveni rezultat. S programom Samostalno M 18 SD Skupina od 40 studenata u dva navrata je polagala kolokvij iz statistike. Rezultati prvog i drugog kolokvija prikazani su u tablici. Povezanost između ocjena iz prvog i drugog kolokvija iznosila je r=0.68. Da li postoji razlika u uspjehu studenata na prvom i drugom kolokviju? Interpretirajte dobivene rezultate. 1. kolokvij. kolokvij M SD Savjetovalište fakulteta provodilo je seminar o kvalitetnom učenju u kojem je sudjelovalo 50 zainteresiranih studenata. Prije i poslije seminara među sudionicima primijenjen je test znanja o kvalitetnom učenju (veći rezultat ukazuje na bolje znanje). Povezanost između znanja o učenju prije i poslije seminara iznosila je r=0.6. Prije seminara Poslije seminara M 4 47 SD 8 1 a) Da li su studenti poslije seminara bolje poznavali osnovne zakonitosti kvalitetnog učenja? b) Zamislite da niste ispitali znanje studenata prije početka seminara, već ste umjesto toga ispitali znanje usporedne (kontrolne) skupine sastavljene od 50 studenata koji nisu pohađali seminar. Pritom ste dobili vrijednosti jednake onima koje su izračunate kod studenata prije seminara u primjeru a. Odredite da li u tom slučaju studenti nakon seminara znali više o učenju od onih koji seminar nisu pohađali.. Na uvodnom predavanju iz statistike profesor je studente upozorio da studenti koji tijekom godine polože barem od 4 kolokvija u pravilu postižu bolji uspjeh na pismenom 95

101 Zadaci za vježbanje ispitu iz statistike. Na kraju godine je na ispit izašlo 75 studenata od kojih je 35 prošlo dva ili više kolokvija. Ta je skupina studenata u pismenom ispitu ukupno postigla 1 bodova (SD=1.4), dok su studenti koji nisu položili kolokvije u prosjeku postigli 10.5 bodova (SD=). Razlikuju li se studenti po svom uspjehu na ispitu? Interpretirajte dobivene rezultate. 3. Skupina studenata postigla je sljedeći uspjeh na kolegiju Osnove sociologije. Provjerite da li postoji razlika u zastupljenosti, odnosno čestini pojave pojedinih ocjena na ovom kolegiju. Nedovoljan Dovoljan Dobar Vrlo dobar Izvrstan Ukupno Opažene frekvencije U nekom istraživanju je računata povezanost između varijabli inteligencije i uspjeha u školi. U rezultatima je naveden sljedeći podatak koji opisuje tu vezu: r(4) = 0.1, p > Interpretirajte (objasnite) dobiveni rezultat ovog istraživanja. 5. Navedite koji statistički postupak ili analizu biste trebali koristiti za odgovaranje na sljedeće probleme: Nakon završetka akademske godine odredili smo uspjeh jedne skupine od 50 studenata na kolegijima Osnove statistike i Pedagogija. Najprije smo odredili broj studenata koji su prošli i pali te ispite. Nakon toga je za studente koji su ispite prošli zabilježena dobivena ocjena. Razlikuje li se prosječan uspjeh studenata (prosječne ocjene) kod ta dva kolegija? Razlikuju li se ta dva kolegija prema broju studenata koji su pali, odnosno prošli ispite? 96

102 Zadaci za vježbanje 6.1. Rješenja zadataka 1. Koristeći interval razreda od 10, moguće je ovako grupirati i prikazati podatke (moguća su i drugačija rješenja). Broj bodova Test 1 Test Slika 1. Raspodjela bodova iz dva testa iz hrvatskog jezika grupiranih u pet razreda.. Moguće grupiranje: 6-9 (), (5), (6), 18-1 (17), -5 (16), 6-9 (8), (). Slika. Rezultati mjerenja depresivnosti studenata grupirani u sedam razreda. M 0.7 D 0 C 1 SD