Naloge iz kolokvijev iz Diskretnih struktur

Transcript

1 Naloge iz kolokvijev iz Diskretnih struktur RI-UNI, RIT-UNI, ITK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2008 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Diskretne strukture na stari smeri RI-UNI kot tudi na bolonjski smeri RIT-UNI in ITK-UNI na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko iz šolskih let 1998/99 do 2007/08. Naloge od leta 2001/02 vsebujejo tudi rešitve. Ker se je program nekoliko spreminjal, ni odve previdnost pri reevanju. Prosim, da morebitne napake med rešitvami posredujete na iztok.peterin@uni-mb.si. 1

2 1. kolokvij 1998/99 1. Ali sta množici A = (2, 7) in B = ( 2, 1) [5, 6) enakomočni? 2. Pokaži, da ima v povezanem grafu vsak par poti maksimalne dolžine vsaj eno skupno točko. Ali ima vedno tudi skupno povezavo? 3. Dokaži: (a) (C A B) (C B A) C B = A C. (b) (A C) (B D) A B = C D. (c) Ali velja v točki (b) tudi obratno? 4. Reši kitajski problem poštarja na naslednjem grafu: 2

3 1. kolokvij 1999/00 1. Pokaži, da sta množici A = [1, 4] in B = (1, 2] [4, 6] enakomočni. (Poišči bijekcijo.) 2. Zapiši s simboli in preveri resničnost naslednjega sklepa: V trgovino grem natanko tedaj, ko mi naroči mama. Čemi mama naroči, tudi pokosim travo. Pokosil bom travo ali šel v kino. Če grem v kino, bom povedal mami. To pomeni: Ne grem v kino! 3. Na poljubni množici X imamo relacijo R. Dokaži ali ovrzi: (a) R je tranzitivna in antisimetrična R 2 je antisimetrična. (b) R je sovisna in asimetrična R 2 je sovisna in asimetrična. 4. Dokaži naslednji sklep: x : p (x) q (x) x : p (x) x : q (x) r (x) x : s (x) r (x) = x : s (x). 5. V množici celih števil definirajmo relacijo R = {(m, n) mn > 0} {(0, 0)}. Pokaži, da je R ekvivalenčna relacija in opiši ekvivalenčne razrede. 3

4 1. kolokvij 2000/01 1. Reši diferenčno enačbo a n+2 + a n = 5 cos ( π 2 n) + 2 n z začetno nalogo a 0 = a 1 = Ali sta množici A = (1, 2) [3, 4] (5, 6) in B = ( 2, 2) enakomočni? 3. Dokaži ali ovrži naslednja sklepa: (a) x : [p (x) q (x)] x : p (x) x : [r (x) q (x)] x : [s (x) r (x)] x : s (x) ; (b) p q q r r s s q s. 4. V množici pozitivnih racionalnih števil Q + definiramo operacijo s predpisom a b = ab a+b. Kaj je (Q+, ) kot algebrska struktura? 4

5 1. kolokvij 2001/02 1. Reši diferenčno enačbo a n+1 3a n + 2a n 1 = sin ( π 4 n) n. [Rešitev: a n = sin πn cos πn 4 + n2n+2.] 2. Okoli zvezde Z 1 krožijo v isti ravnini planeti a, b in c. Planet a obkroži Z 1 v 5 letih, b obkroži Z 1 v 7 letih in c obkroži Z 1 v 13 letih. V tej ravnini leži tudi zvezda Z 2. Planet a bo prvič ležal na zveznici Z 1 Z 2 čez 1 leto, planet b čez 3 leta in planet c čez 7 let. Čez koliko let bodo na zvednici Z 1 Z 2 ležali vsi trije planeti a, b in c? [Rešitev: Čez 241 let in nato vsakih 455 let.] 3. Študenta imata 6 bankovcev po 500 SIT in 4 bankovce po 1000 SIT. Bankovcev z isto vrednostjo ne ločimo med sabo. (a) Na koliko načinov si jih lahko razdelita? [Rešitev: 35] (b) Na koliko načinov si jih lahko razdelita tako, da dobi vsak enako število bankovcev? [Rešitev: 5] (c) Na koliko načinov si jih lahko razdelita tako, da dobita vsak enako vrednost denarja? [Rešitev: 3] (d) Na koliko načinov si jih lahko razdelita, če bankovce ločimo med sabo? [Rešitev:1024] 4. Zapiši algoritem za kvadriranje simetrične matrike A dimenzije n n in ugotovi njegovo časovno odvisnost. Kako se algoritem spremeni, če kvadriramo dve poševno simetrični matriki? Ali se spremeni tudi časovna odvisnost? (Matrika A je simetrična, če velja a i,j = a j,i. Matrika A je poševno simetrična, če velja a i,j = a j,i, i j.) 5

6 1. kolokvij 2002/03 1. Poišči splošno rešitev diferenčne enačbe a n+1 2a n 3a n 1 = cos ( π 4 n ) n. [Rešitev: a n = C 1 3 n + C 2 ( 1) n cos πn sin πn 4.] 2. Kongruenčno enačbo 19x 7 mod 374 reši na dva načina: (a) direktno; (b) s pomočjo kitajskega izreka o ostankih! [Rešitev: x 335 mod 374.] 3. Dokaži ali ovrzi veljavnost naslednjih sklepov: (a) p r, p q, r s q s; [Rešitev: Ta sklep je nepravilen za vrednosti p = q = 1 in r = s = 0.] (b) p q, ( p q) r r p. [Rešitev: Sklep je pravilen (uporabi najprej pogojni sklep in nato še redukcijo na absurd.] 4. Podani sta množici M z m elementi in N z n elementi ter funkcija f : M N. (a) Koliko različnih bijektivnih funkcij f obstaja, ko je m = n? [Rešitev: n!] (b) Koliko različnih injektivnih funkcij f obstaja, ko je m n? [Rešitev: n! (n m)! ] (c) Koliko različnih surjektivnih funkcij f obstaja, ko je m n? [Rešitev: n m ( ) n 1 (n 1) m + ( ) n 2 (n 2) m... + ( 1) n 1( n n 1) 1 m.] 6

7 1. kolokvij 2003/04 1. Poslati moramo n različnih pisem na n različnih naslovov. Pomešamo naslove. Na koliko načinov lahko izberemo naslove tako, da (a) ( natanko dve pismi ne bosta prispeli na pravi naslov? [Rešitev: # = n ) 2 1 na koliko načinov lahko izberemo dve pismi, ki bosta zgrešili naslov, krat 1, saj lahko dve pismi posljemo narobe le na en način; # 4 = 6.] (b) ( natanko tri pisma ne bodo prispela na pravi naslov? [Rešitev: # = n ) 3 2 na koliko načinov lahko izberemo tri pisma, ki bodo zgrešila naslov, krat 2, saj lahko tri pismi posljemo narobe na dva načina; # 4 = 8.] (c) nobeno pismo ne bo prišlo na pravi naslov? [Rešitev: # = n i=0 ( 1)i( n i) (n i)! vključitve in izključitve za vsaj i pisem gre na pravi naslov; # 4 =] Za vse tri točke izračunaj primer, ko je n = Poišči rešitev diferenčne enačbe a n+2 4a n+1 + 4a n = 3n 3 n, a 0 = 0, a 1 = 2. [Rešitev: a n = ( 5 + 3n)2 n + 3n n.] 3. Zapiši algoritem, ki reši sistem Ax = b, če je A zgornje trikotna matrika dimenzij n n in b vektor dolžine n. Preštej število operacij, ki jih izvede ta algoritem. [Rešitev: f(n) = 3n (n + 1)n = O(n2 ) Algoritem: for i = n : 1 : 1 end] x(i) = b(i) for j = i + 1 : n end x(i) = x(i) a(i, j)x(j) x(i) = x(i)/a(i, i) 4. Poišči rešitve naslednjega sistema linearnih kongruenc: [Rešitev: x 328(mod 385).] x 6(mod 7) 3x 5(mod 11) 2x 1(mod 5). 7

8 1. kolokvij 2004/05 1. Tarok je igra s 54. kartami, kjer na začetku deljenja kart izločimo 6 prvih kart, ki jim rečemo talon. Posebno vlogo igrajo pri taroku tri karte škis, mond in pagat, ki jim rečemo trula. (a) Koliko je različnih talonov, kjer je celotna trula v talonu? (b) Koliko je različnih talonov, kjer so škis, mond in pagat zaporedoma v talonu? (Ne nujno v tem vrstnem redu.) (c) Koliko je različnih talonov, kjer so škis, mond in pagat prve tri ali zadnje tri karte v talonu? (Ne nujno v tem vrstnem redu.) [Rešitev: # a = 6! ( ) 51 3, #b = 3!4! ( ) 51 3 in #c = 2!3!3! ( ) 51 3.] 2. Poišči rešitev diferenčne enačbe a n+2 8a n a n = 3 n sin πn 2, a 0 = 0, a 1 = 2. [Rešitev: a n = n n + 3 ( n sin πn cos ) πn 2.] 3. Podana je matrika A = [ Zakodiraj besedno zvezo PRVI APRIL s pomočjo matrike A po modulu 26. Dekodiraj še besedo VULTVŽ. [Rešitev: NCVTZDNCČV in PAPEŽ.] ]. 4. Poišči rešitve naslednjega sistema linearnih kongruenc: 8x 6(mod 17) 6x 5(mod 11) 2x 1(mod 3). [Rešitev: x 362(mod 561).] 8

9 1. kolokvij 2005/06 (SKUPINA B) 1. Pri nedavnem odprtju nove trgovine so imeli na zalogi 10 televizorjev in 15 pralnih strojev. V trgovino so spustili 40 kupcev. Na koliko načinov so lahko pokupili te televizorje in pralne stroje, če (a) vsak kupi največ ali en televizor ali en pralni stroj in i. vsi bi imeli raje pralni stroj; ii. ne delamo razlik med televizorjem in pralnim strojem. (b) trije uspejo kupiti televizor in pralni stroj hkrati in i. vsi bi imeli raje pralni stroj; ii. ne delamo razlik med televizorjem in pralnim strojem. [Rešitev: # ai = ( )( ) 15 10, #aii = ( ) 40 25, #bi = ( )( )( 25 ) in #bii = ( 40 3 )( 37 19).] 2. Poišči rešitev diferenčne enačb3 a n + 5a n 1 6a n 2 = 5n + 3 n, a 0 = 6, a 1 = [Rešitev: a n = n n2 + ( 6) n n.] 3. Podana je matrika A = [ Zakodiraj besedo LUNA s pomočjo matrike A po modulu 26. Dekodiraj še besedo FLGPRŠ. [ ] 12 9 [Rešitev: A 1, LUNA SDZL in FLGPRŠ SONCE.] 7 5 ]. 9

10 1. kolokvij 2006/07 1. Prestregli smo zakodirano besedo KLKLOPSE. Na koliko načinov jo lahko dekodiramo s črkami slovenske abecede, če je zakodirana z (a) 2 2 matriko po modulu 26 (dodan je presledek); [Rešitev: # = 26 25( )( ).] (b) s kodirnim številom t po modulu 29 (dodamo x, y, w in presledek). [Rešitev: za K imamo 27 možnosti, saj 0 in 1 ostaneta fiksni; # = 27! 21!.] 2. S Kitajskim izrekom o ostankih reši sistem 3x 5(mod 7) x 13(mod 9) 15x 8(mod 22). [Rešitev: x 508 mod(1386).] 3. Dokaži ali ovrzi naslednji sklep: Danes se potim in mi je vroče. Če se potim, delam in mi je vroče. Če delam, dobim denar ali naredim komu uslugo. Nimam denarja. Sklepam, da sem naredil komu uslugo. [Rešitev: predpostavke so p v, p d v, d $ u in $; zaporedje sklepov je: po 1, MP 2,5, po 6, MP 7,3 in DS 8,4.] 10

11 1. kolokvij 2007/08 1. Dokaži ali ovrži naslednja sklepa: (a) p q, p, q r, s r = s. (b) x : (p(x) q(x)), x : (p(x) (r(x) q(x))), x : s(x), x : (r(x) (s(x) t(x))) = x : t(x). [Rešitev: oba sklepa sta resnična.] 2. S Kitajskim izrekom o ostankih reši sistem [Rešitev: x 377(mod 630).] 9x 5(mod 14) 5x 13(mod 9) 14x 8(mod 5). 3. Izjave teorije T = (E, I) imajo obliko a n b m a p za m, n, p 0. Razred izrekov I je določen z: A. b, P 1. Xb Xb 4, P 2. X a 3 X, P 3. axb X. P 4. X Xa. (a) Podaj induktivno definicijo razreda izjav E. (b) Katere od izjav a 2 b 8 a 2, a 5 b 3 in a 2008 b 2 a 2008 so izreki? (c) Pokaži, da če je a m b n a p I, potem je a p b n a m I natanko takrat, ko je p m(mod 3). (d) Ali je teorija T neprotislovna ali polna glede na f : X ax? [Rešitev: induktivna definicija je B. λ, b, E1. Xb Xbb, E2. X ax, E3. X Xa. Izreka sta a 5 b 3 in a 2008 b 2 a. Za dokaz trditev (c) je potrebno uvideti, da je a m b n a p I natanko takrat, ko je m n 1(mod 3). Teorija ni polna (a in f(a) nista izreka) in ni protislovna glede na f.] 11

12 2. kolokvij 1998/99 1. Nad množico ljudi vpeljemo relacijo R na naslednji način: xry x ima rad y. Pojasni kaj pomenijo R 0, R 2, R 1, R R 1 in R 1 R. 2. Ali je množica racipnalnih števil Q z operacijo Abelova grupa, če je definirana s predpisom: a b = a + b 2ab? Kaj je treba spremenit v množici Q, da dobimoabelovo grupo? 3. Naj bo G grupa in H njena podgrupa. Pokaži, da je ekvivalenčna relacija, če je definirana s predpisom x y xy 1 H. 4. Ali je množica A = {0, 1, 2,..., 9} z relacijo { } (1, 0), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), S = (1, 9), (2, 0), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 6), (3, 9), (4, 8), (5, 0) delno urejena? Poišči še posebne elemente! 12

13 2. kolokvij 1999/00 1. Pokaži, da je množica matrik oblike {[ ] } a b M = ; a, b, c Q, ac 0 0 c grupa za operacijo množenja matrik. Ali je Abelova? 2. Poišči rešitev diferenčne enačbe a n+2 6a n+1 + 9a n = 3 2 n n, a 0 = 1, a 1 = Pokaži, da je množica vseh realnih funkcij f : [0, 1] [0, 1] delno urejena množica z relacijo : f g f (x) g (x) x [0, 1]. Smiselno definiraj in, da zgornja struktura postane mreža. 4. Ali sta grafa na sliki izomorfna? ali sta dvodelna! (Če sta poišči izomorfizem.) Preveri še 13

14 2. kolokvij 2000/01 1. Preslikava f : Z 4 Z 4 Z 4 je določena s predpisom f((a, b)) = a + 4 b. Pokaži, da je f epimorfizem grup in določi jedro ker f. Ali je jedro izomorfno kaki znani grupi? 2. V množici celih števil definirajmo relacijo R = {(m, n) mn > 0} {(0, 0)}. Pokaži, da je R ekvivalenčna in poišči ekvivalenčne razrede. 3. Pokaži najprej, da je B = (del(15), D, v, ) Boolova algebra. Pokaži tudi, da je B 2 = (del(15) del(15), D, v, ) Boolova algebra, če so (a, b) = (a, b ), D ((a, b), (c, d)) = (D(a, c), D(b, d)) v ((a, b), (c, d)) = (v(a, c), v(b, d)). Nariši še Hassejev diagram in ugotovi kaj sta elementa 0 in 1 za B Pokaži, da dvodelen graf na liho točkah ni Hamiltonov. Preveri še ali je graf na sliki Hamiltonov (odgovor utemelji). 14

15 2. kolokvij 2001/02 1. Pokaži, da relacija deljivosti linearno ureja množico Del(p k ), če je p praštevilo in k naravno število. Predstavi še mrežo Del(64, D, v) s Hassejevim diagramom. Ali je ta mreža Boolova algebra? [Rešitev: Del(p k ) = {1, p, p 2,..., p k } in seveda vsak element te množice deli vse naslednje (z večjim eksponentom). Zlahka se pokaže, da res ureja Del(p k ) linearno. Potem je tudi jasno kaj je Hassejev diagram od Del(64, D, v), ki pa seveda ni Boolova algebra, saj ni komplementirana mreža.] 2. S Floyd-Warshallovim algoritmom poišči tranzitivno ovojnico relacije R = {(a, d), (b, f), (c, e), (d, b), (e, b), (f, a)} nad množico {a, b, c, d, e, f}. (Opiši korake zunanje zanke.) [Rešitev: Končna matrika tranzitivne ovojnic relacije R je ] 3. Kakšno algebrajsko strukturo nam predstavlja množica Q + z operacijo, ki je definirana s predpisom a b = ab a+b. Kaj pa z operacijo, ki je definirana s predpisom a b = a+b ab. [Rešitev: (Q +, ) je komutativna polgrupa; (Q +, ) je komutativen grupoid.] 4. Graf G = (V, E) je določen z množicama a) Nariši graf G. b) Ali je G povezan graf? c) Ali je G dvodelen graf? d) Ali je G Hamiltonov graf? V (G) = {i 1 i 9}, E(G) = {ij i + j je liho število}. (a) Ali je G Eulerjev ali semi-eulerjev? [Rešitev: To je graf K 4,5, ki je seveda povezan in dvodelen, ni pa Hamiltonov (dvodelen graf na liho točkah) niti Eulerjev niti semi-eulerjev (štiri točke lihe stopnje).] 15

16 2. kolokvij 2002/03 1. Nariši Hassejev diagram mreže (Del(825), D, v). Ali je to Boolova algebra? Odgovor utemelji! [Rešitev: Hasejev diagram je na sliki zraven grafov. Ni Boolova algebra, saj recimo za 5 in 5 = 165 velja D(5, 5 ) = 5 1 in mreža ni komplementirana.] 2. Na množici vseh ljudi imamo definirane naslednje relacije: xly x in y sta rojena v istem letu; asb a in b imata istega (vsaj enega) starša; umv u in v sta obiskala isto mesto. Ali so te tri relacije ekvivalenčne? Če katera izmed njih je, določi njene ekvivalenčne razrede. Določi še S 2, M M 1 in M 1 M. [Rešitev: L je ekvivalenčna, v enem ekvivalenčnem razredu so vsi ljudje rojeni istega leta. S in M nista ekvivalenčni (ne velja tranzitivnost). as 2 b pomeni,da imata a in b istega (pol)brata ali (pol)sestro. M M 1 = M 1 M, u in v pa sta v tej relaciji, kadar obstaja nek človek, ki je obiskal isto mesto kot u in isto mesto kot v.] 3. Podana je množica G = {a + ib a, b R, a = b (a = 0 b 0) (a 0 b = 0)} C. Kakšno algebrajsko strukturo nam predstavlja množica G z operacijo množenja kompleksnih števil. [Rešitev: komutativni monoid; 0 namrec nima inverza. POZOR pri dokazovanju notranje operacije.] 4. Ali sta grafa na sliki izomorfna? Preveri še ali je graf G Hamiltonov! [Rešitev: Nista izomorfna, saj ima recimo H cikle C 4 kot podgrafe, G pa ne. G tudi ni Hamiltonov.] G H

17 1. Kaj predstavlja množica 2. kolokvij 2003/04 M = {[ α β 0 1 ] } α, β R kot algebrska struktura z operacijo matričnega množenja? [Rešitev: Nekomutativen monoid. (Notranjost operacije, asociativnost in (ne)komutativnost so rutinsko preverjanje, enota je seveda I, nima pa inverza, če je α = 0.] 2. Na množici A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} je podana relacija R = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 5), (4, 1), (4, 6), (6, 3), (6, 4)}. Poišči tranzitivno ovojnico R relacije R. [Rešitev: R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1)(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.] 3. Podana je množica točk [a, b] = {(x, y) R 2 ; x, y 0, y bxa } + b, a, b > 0. (a) Skiciraj [1, 1], [2, 1 2 ] in [ 1 2, 2]. [Rešitev: To so trikotniki. Recimo [2, 1 2 ] ima oglišča (0, 0), (2, 0) in (0, 1 2 ).] (b) Pokaži, da je množica P = {[a, b] ; a, b > 0} za relacijo mreža. Kaj sta inf in sup? [Rešitev: Seveda delno ureja množico P, inf{[a, b], [c, d]} = [min{a, c}, min{b, d}] in sup{[a, b], [c, d]} = [max{a, c}, max{b, d}].] (c) Ali je ta mreža distributivna? [Rešitev: Da.] 4. Za graf G na sliki določi χ(g) in preveri ali je ravninski in ali je Hamiltonov. [Rešitev: χ(g) = 4, ni ravninski (šest levih točk tvori podgraf K 3,3 ), ni Hamiltonov (ključni pri razmisleku sta srednji točki).] 17

18 2. kolokvij 2004/05 1. Na množici ljudi je definirana relacija S s predpisom xsy x je starš od y. Ugotovi kaj predstavljajo relacije S 2, S 1, S S 1 in S 1 S. Preveri še ali tranzitivna ovojnica S strogo delno ureja množico ljudi. [Rešitev: relacije predstavljajo po vrsti: stari starš, otrok, starša istega otroka, otroka istega starša; S strogo delno ureja množico ljudi.] 2. Ugotovi kakšno algebrajsko strukturo predstavlja (Z, ), če je operacija definirana s predpisom a b = 2ab + 3(a + b) + 3. [Rešitev: komutativen monoid (enota je -1, inverz pa ni iz celih števil).] 3. Pokaži najprej, da je B = (del(35), D, v, ) Boolova algebra. Pokaži tudi, da je B 2 = (del(35) del(35), D, v, ) Boolova algebra, če so (a, b) = (a, b ), D ((a, b), (c, d)) = (D(a, c), D(b, d)) v ((a, b), (c, d)) = (v(a, c), v(b, d)). Nariši še Hassejev diagram in ugotovi kaj sta elementa 0 in 1 za B 2. [Rešitev: B 2 je Boolova algebra, 0 = (1, 1) in 1 = (35, 35), Hassejev diagram je na sliki spodaj.] 4. Podana sta grafa H = (V (H), E(H)) in G = (V (G), E(G)). Njun leksikografski produkt H G je graf na množici točk V (H) V (G), dve točki (v 1, u 1 ) in (v 2, u 2 ) pa sta sosedi, če je v 1 v 2 E(H), ali je (v 1 = v 2 in je u 1 u 2 E(G)). Nariši grafa P 3 P 4 in P 3 C 4. Ali sta grafa dvodelna? Ali je leksikografski produkt komutativen? [Rešitev: grafa sta na spodnji sliki in nista dvodelna. Leksikografski produkt ni komutativen.] 18

19 35,35 5,35 35,7 7,35 35,5 5,7 7,7 1,35 35,1 5,5 7,5 1,7 5,1 7,1 1,5 1,1 2. kolokvij 2005/06 1. Določi vse podgrupe grupe Z 140 ter jih razvrsti v mrežo. Ali je dobljena mreža Boolova algebra? [Rešitev: podgrupe so: 0, 70, 28, 20, 35, 14, 10, 4, 5, 7, 2, 1, ni Boolova algebra, saj za a = 140 a in podgrupo 4 = 20 ne velja ; glej sliko mreze spodaj.] 2. Pokaži, da je množica I = Q [1, 5) z operacijo { xy; xy < 5 x y = 1 5xy; xy 5 Abelova grupa. [Rešitev: je Abelova grupa, posebej je treba pazit na notranjost operacije v xyz xyz < 5 1 primeru, ko je xy 5, na asociativnost, saj je x y z = 5xyz 5 xyz < 25, 1 { 25 xyz 25 xyz 1 x = 1 na enoto e = 1 in inverz x 1 = 5 x x 1.] 3. Relacija R je podana s spodnjim digrafom. Poišči tranzitivno ovojnico R relacije R. Ali je R ekvivalenčna relacija? [Rešitev: R = , R ni ekvivalenčna.]

20 Relacija R: kolokvij 2006/07 1. Poišči splošno rešitev diferenčne enačbe a n+2 7a n a n = 3 sin πn 3 2 cos πn 3. [Rešitev: a n = C 1 2 n + C 2 5 n sin πn cos πn 3.] 2. Na množici A = {1, 2,..., 8} poišči tranzitivno ovojnico R relacije R = {(2, 3), (2, 5), (3, 8), (4, 1), (4, 7), (5, 2), (5, 6), (6, 8), (7, 1), (8, 2)}. Ali je R ekvivalenčna relacija? [Rešitev: R = ni ekvivalenčna, saj ni tranz itivna.] 3. Poišči vse podgrupe grupe (Z 390, ) in jih razvrsti v mrežo glede na relacijo. Ali je ta mreža Boolova algebra? Kako je definirano komplementiranje? [Rešitev: podgrupe so: < 1 >, < 2 >, < 3 >, < 5 >, < 6 >, < 10 >, < 13 >, < 15 >, < 26 >, < 30 >, < 39 >, < 65 >, < 78 >, < 130 >, < 195 > in < 390 >; mreža je na sliki; komplementiranje je definirano z < a >=< 390 a >, je Boolova algebra.] 20

21 < 1 > < 2 > < 3 > < 5 > < 13 > < 6 > < 39 > < 15 >< 10 > < 65 > < 26 > < 78 > < 30 >< 195 > < 130 > < 390 > 2. kolokvij 2007/08 1. Poišči splošno rešitev diferenčne enačbe 2. a n+2 + 4a n+1 + 3a n = 2n 3 sin πn 2. [Rešitev: a n = C 1 ( 1) n + C 2 ( 3) n + n sin πn cos πn 2.] Štiri najstniške ninja mutantske želve Donatelo, Leonardo, Michelangelo in Rafaelo se ob neki priliki spopadejo z 20 enakovrednimi nasprotniki. Na koliko načinov si lahko razdelijo to dvajseterico, če (a) ni omejitev. (b) vsak pospravi vsaj tri. (c) Donatelo zmore največ štiri, zaradi poprejšnjih poškodb, Rafaelo pa največ dva, saj ima močan glavobol. [Rešitev: # a = C p (4, 20) = 1772, # b = C p (4, 8) = 165 in # c = # a C p (4, 15) C p (4, 17) + C p (4, 12) = 270.] 3. V kvazikodi je napisan naslednji algoritem: y(1) = b(1)/l(1, 1) for i = 2 : n end y(i) = b(i) for j = 1 : i 1 end y(i) = y(i) l(i, j)y(j) y(i) = y(i)/l(i, i) 21

22 (a) Preštej koliko operacij je potrebno, da se izvede algoritem (pri tem loči dolge in kratke operacije). (b) Kakšne podatke potrebujemo na vhodu? (c) Kaj izračuna ta algoritem? [Rešitev: dolgih operacij je n2 +n 2 in kratkih je 5n2 +13n 8 2, kar je O(n 2 ); na vhodu potrebujemo vektor b (enodimenzionalno polje) dolžine n in (spodnjetrikotno) matriko L (dvodimenzionalno polje) dimenzije n n; algoritem reši spodnjetrikoten sistem Ly = b.] 3. kolokvij 2005/06 1. Graf G vsebuje natanko en cikel, vse točke iz G pa so stopnje 1, 3 ali 4. Točk stopnje 3 je 4 krat več kot točk stopnje 4, točk stopnje 1 pa je 12. Koliko točk vsebuje G? Nariši še kak tak graf. [Rešitev: če je G povezan je n = 22 (uporabimo lemo o rokovanju in da je število točk enako kot število povezav); če G ni povezan je lahko n = 17; takih grafov je mnogo, morda najenostavnejši je cikel na 10 točkah, ki mu v 2 točkah dodamo 2 lista, v preostalih 8 točkah pa en list.] 2. Direktni produkt grafov G 1 = (V 1, E 1 ) in G 2 = (V 2, E 2 ) je graf G = G 1 G 2 z V (G) = V 1 V 2, točki (a, x) in (b, y) pa sta sosedi v G, če je ab E 1 in xy E 2. Nariši grafa H 1 = C 5 K 2 in H 2 = K 1,3 P 3. Kateremu znanemu grafu je izomorfen H 1? Ali je H 2 dvodelen? [Rešitev: H 1 in H 2 sta na sliki; H 1 = C10, H 2 pa je dvodelen (ni pa povezan).] 3. Za graf na sliki preveri ali je ravninski, Hamiltonov in določi njegovo kromatično število. [Rešitev: ni ravninski (particija subdivizije grafa K 3,3 je na sliki označena z in z ); je Hamiltonov (cikel je recimo afcdhlgkjieba); χ(g) = 3 (barvanje je na sliki, G pa vsebuje K 3 ).] 1 i 2 j 1 k l h 3 e f g 2 a 1 2 b c1 d 2 H 1 H2 22

23 3. kolokvij 2006/07 1. Posplošeni Petersenov graf P n,k, n 3, 0 < k < n, je definiran z V (P n,k ) = {u i, v i i Z n }, E(P n,k ) = {u i u i+1, u i v i, v i v i+k i Z n }. Dokaži, da je P n,k dvodelen natanko takrat, ko je n sodo in k liho število. [Rešitev: dokaz ( ): ce je n lih tvorijo tučke u i lih cikel in G ni dvodelen; ce je k sod je cikel u 0 u 1... u k v k v 0 u 0 lih cikel in G ni dvodelen. dokaz ( ) n je sod in k je lih. Videti je potrebno, da množici A = {u 2i, v 2i+1 } in B = {u 2i+1, v 2i } tvorita particijo grafa G in da inducirata prazna podgrafa (da ni povezav med vozlišči iz množice A, oziroma vozlišči iz množice B.] 2. Podan je graf G = (V (G), E(G)) z (a) Nariši graf G. V (G) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l}, E(G) = {ab, ae, aj, ag, bc, bh, bf, cd, ci, cg, de, dh, dj, ei, ef, fk, fl, gk, gl, hi, hl, ik, jk, jl} (b) Izvedi BFS algoritem iz vozlišča a (določi BFS ureditev in BFS drevo). (c) Ali je G Hamiltonov. (d) Ali je G ravninski? (e) Ali je G Eulerjev? (f) Določi χ(g). [Rešitev: graf G je na spodnji sliki, (ena) BFS ureditev je (a, b, j, g, e, f, c, h, l, k, d, i); G je Hamiltonov, cikel je agcbf ljkihdea; ni ravninski, saj (zlahka vidimo da) točke a, b, c, d in e tvorijo subdivizijo K 5 ; je Eulerjev: abcdeagcihbfeikglhdjkflja in χ(g) = 4. Možno barvanje s štirimi barvami je: barvo 1 dobijo vozlišča b, d, g, i, barvo 2: a, c, f, h, barvo 3: e, j in barvo 4: k, l.] 23

24 a f e j g l k b i h d c 3. kolokvij 2007/08 1. Poišči vse delitelje števila 225 in jih razvrsti v mrežo. Ali je dobljena mreža Boolova algebra? 2. [Rešitev: Del(225) = {1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225}, ni Boolova algebra saj (recimo) 15 nima komplementa; slika je spodaj.] Števili m in n iz množice S = {00001, 00002, 00003,..., 09999, 10000} sta v relaciji R natanko takrat, ko lahko m dobimo iz n tako, da spremenimo vrstni red cifer števila n. (Na primer 01301R01130.) (a) Pokaži, da je R ekvivalenčna relacija. (b) Poišči ekvivalenčni razred števila (c) Koliko je ekvivalenčnih razredov? [Rešitev: zlahka se obrazloži, da je R ekvivalenčna relacija; [00024] = {00024, 00204, 00240, 02004, 02040, 02400, 00042, 00402, 00420, 04002, 04020, 04200}; # = C p (10, 5) C p (9, 5) 1 = 714.] 3. Ali je graf G podan z V (G) = {u 1, u 2,..., u 12 }, E(G) = {u 1 u 5, u 1 u 6, u 1 u 9, u 2 u 6, u 2 u 8, u 2 u 12, u 3 u 5, u 3 u 10, u 3 u 12, u 4 u 5, u 4 u 7, u 4 u 11, u 6 u 12, u 7 u 9, u 7 u 11, u 8 u 9, u 8 u 10, u 10 u 11 } izomorfen grafu H s spodnje slike? ravninski graf! Preveri še ali je H Hamiltonov in [Rešitev: grafa sta izomorfna (glej vozlišča na sliki); H ima hamiltonov cikel: u 1 u 5 u 4 u 11 u 7 u 9 u 8 u 10 u 3 u 12 u 2 u 6 u 1 ; H je ravninski (le vozlišča u 2, u 6 in u 12 narišemo od zunaj ).] 24

25 u 1 u 5 u 9 H u 7 u 6 u 2 u 4 u u u 3 u 8 u 10 Del(225) Dodatna literatura V. Batagelj, S. Klavžar, DS1, Logika in množice, Naloge, DMFA 1991, Ljubljana. V. Batagelj, S. Klavžar, DS2, Algebra in teorija grafov, Naloge, DMFA 2005, Ljubljana. M. Juvan, P. Potočnik, Teorija grafov in kombinatorika, DMFA 2000, Ljubljana. I. Peterin, Izpitne naloge iz Diskretnih struktur, FERI, Maribor 2008, spletna izdaja: I. Peterin, Naloge za vaje iz Diskretnih struktur, FERI, Maribor 2008, spletna izdaja: 25