HERMA. Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης. Καθηγητής Τμήματος Μουσικών Σπουδών Πανεπιστημίου Αθηνών, Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "HERMA. Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης. Καθηγητής Τμήματος Μουσικών Σπουδών Πανεπιστημίου Αθηνών, Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας"

Transcript

1 HERMA Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Τμήματος Μουσικών Σπουδών Πανεπιστημίου Αθηνών, Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας Το HERMA γράφτηκε τα έτη για πιάνο. Είναι η πρώτη σύνθεση του Ξενάκη για σόλο όργανο. Η πρώτη του εκτέλεση έγινε στο Τόκιο στις 2 Φεβρουαρίου 1962 από τον πιανίστα/συνθέτη Yuji Takahashi. Στο Λεξικό της Ελληνικής γλώσσης του Σκαρλάτου Δ. του Βυζαντίου ἕρμα σημαίνει κάθε τί που χρησιμεύει για να συγκρατεί κάτι, δεσμός, στήριγμα, όχημα, μεταφορικών το βέλος, σαβούρα του πλοίου, το κυοφορούμενο έμβρυο, βάση, πρηπίς, θεμέλιο, μόλος, πρόχωμα, λίθο που χρησίμευε ως αφετηρία των δρομέων στο στάδιο, ξέρα όπου συντρίβονται τα πλοία, λαιμοδέτη, βραχιόλι, σκουλαρήκι. Ο Ξενάκης σε πρώτο βήμα (δεκαετία του 50) κατήργησε τη μουσική κλίμακα για την επιλογή των φθόγγων με την εκχώρηση στον κάθε φθόγγο μια πιθανότητα εμφανίσεως (στοχαστική σύνθεση μουσικής). Τη δεκαετία του 60 προχωρεί στη σύνθεση μουσικής με τη χρήση συνόλων προαποφασισμένων ή προεκλεχθέντων φθόγγων της χρωματικής κλίμακος με την έννοια του ηχητικού γεγονότος (Συμβολική μουσική). Τα σύνολα που χρησιμοποιεί είναι το γενικό σύνολο R όλων των πλήκτρων του πληκτρολογίου του πιάνου, τα σύνολα S, A, B, C με προκαθορισμένους φθόγγους από τον συνθέτη, τα συμπληρώματα A, B, C των τριών τελευταίων συνόλων καθώς επίσης λογικές πράξεις (ένωση, τομή, συμπλήρωμα) μεταξύ των προαναφερθέντων συνόλων. Δηλαδή δεν χρησιμοποιεί διαφορές συνόλων. Όλα τα σύνολα, είτε απλής, είτε πολύπλοκης δομής που ώφειλα να μελετήσω είναι 27. Το νούμερο δεν είναι τυχαίο, 3 αλλά συμβολικώς επιλεγμένο από τον συνθέτη, διότι 27 = 3. Έχω, όμως, να παρατηρήσω ότι ο συνθέτης δεν είχε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσει παύσεις στη σύνθεση HERMA, αφού χρησιμοποιεί σύνολα φθόγγων, δηλαδή σύνολα ηχητικών γεγονότων. Παύση σημαίνει έλλειψη ηχητικού γεγονότος, δηλαδή ύπαρξη ενός συνόλου που περιέχει την απουσία ηχητικών γεγονότων, δηλαδή το Κενό σύνολο ( ), που είναι το συμπλήρωμα του R ως προς τον εαυτό του. Του διέφυγε, λοιπόν, το 28 σύνολο, διότι αλλιώς θα έπρεπε να το είχε σημειώσει κάθε φορά που έγραφε μια παύση. (Βλέπε Πίνακα 1).

2 Πίνακας 1: Τα 28 σύνολα φθόγγων που μελετήθηκαν στο HERMA

3

4

5

6

7 Η εμφάνιση των φθόγγων από το κάθε σύνολο ισχυρίζεται ο συνθέτης ότι γίνεται με εντελώς τυχαίο τρόπο, γεγονός που ελέγχω αυστηρώς μαθηματικά παρακάτω και καταλήγω να συμφωνήσω μαζί του. Έλεγχος τυχαιότητος επιλογής πλήκτρων (φθόγγων) από τα σύνολα Ο έλεγχος πραγματοποιείται επί των επιλογών εκ του συνόλου R για το οποίο υπάρχει ικανός αριθμός πλήκτρων, που επελέγησαν. Θεωρητική προσέγγιση Ας υποθέσουμε ότι Ω={1,2,,88} είναι τα πλήκτρα του πιάνου. Επιλέγουμε τυχαία n από αυτά με επανάληψη. Ας είναι Α κ το γεγονός {το πλήκτρο κ δεν επιλέγεται στις n επιλογές} Ζητούμε την πιθανότητα να επιλεγούν όλα τα πλήκτρα τουλάχιστον από μία φορά, δηλαδή την πιθανότητα του γεγονότος A 1 Α 2 Α 3 Α 88. Από γνωστό θεώρημα (Poincare) ισχύει: P 88 ( A 1 A2... A88 ) = 1 P( Ai ) + P( Ai Aj ) P( Ai Aj Ak ) ( 1) P( Ai Aj... A88 ) Εύκολα υπολογίζουμε ότι i i< j n P( A i ) = = i i n i< j< k

8 i< j i< j n P A i A j ( ) = =, κ.ο.κ. 2 n οπότε P ( A A... A ) 87 i j 88 = t 0 88 t t 1 = 88 n Η πιθανότητα αυτή εξαρτάται από το n και είναι δύσκολο να υπολογιστεί αναλυτικά. Υπολογίσθηκε η πιθανότητα αυτή με τη βοήθεια του στατιστικού πακέτου S-Plus για τιμές του n από 100 μέχρι 900. Οι τιμές των πιθανοτήτων, που προέκυψαν, παριστάνονται γραφικά στο παρακάτω γράφημα. Από το γράφημα αυτό διαπιστούται ότι η πιθανότητα (0,50) να επιλεγούν όλα τα πλήκτρα και (0,50) να μην επιλεγούν όλα τα πλήκτρα αρχίζει να γίνεται ευνοϊκότερη από από n=425 επιλογές και μετά. Ακόμη ότι από n=712 επιλογές και μετά η πιθανότητα να επιλεγούν όλα τα πλήκτρα γίνεται μεγαλύτερη από 0,975. πιθανότητα επιλογής όλων των πλήκτρων 1 τουλάχιστον φορά (712, 0.975) (425, 0.5) πλήθος επιλογών πλήκτρων Προσομοίωση Για το παραπάνω πρόβλημα έγινε και μία προσομοίωση. Θεωρήθηκε μια μεγάλη σειρά (Ν=10.000) επαναλήψεων του εξής πειράματος: Εκτελούνται επιλογές πλήκτρων κάθε φορά τυχαία από το Ω 100 έως 800 πλήκτρα, καταγράφοντας την πρώτη φορά που στα επιλεγμένα πλήκτρα υπάρχουν όλα τα 88 πλήκτρα, οπότε και σταματά η επιλογή. Η πρώτη φορά που συμπληρώνονται όλα τα 88 πλήκτρα είναι μια τυχαία μεταβλητή, της οποίας το ιστόγραμμα που προκύπτει από το πείραμα προσομοιώσεως είναι το παρακάτω.

9 μέση τιμή= τυπ. απόκλιση= η πρώτη φορά που συμπληρώνονται τα 88 πλήκτρα Από το σχήμα διαπιστώνεται ότι η πρώτη φορά που επιλέγονται όλα τα πλήκτρα είναι κανονικά κατανεμημένη μεταβλητή με μέση τιμή 292,5 και τυπική απόκλιση 22,0981. Υπολογίσθηκε επίσης ότι με 95% πιθανότητα η πρώτη φορά επιλογής όλων των 88 πλήκρων συμβαίνει σε 245 έως 333 επιλογές, ενώ με 99% πιθανότητα σε 230 έως 344 επιλογές. Αυτό σημαίνει, κατά συνέπειαν, ότι είναι εξαιρετικά απίθανο με πιθανότητα μικρότερη του να επιλεγούν και τα 88 πλήκτρα με λιγότερες από 230 επιλογές. Ο Ξενάκης στην εισαγωγή του έργου επιλέγει τυχαία(;) 205 πλήκτρα από το σύνολο R και μέσα σ αυτά δεν έχουν επιλεγεί όλα τα 88 του πληκτρολογίου του πιάνου παρά μόνον τα 75. Το γεγονός είναι σύμφωνο με το πείραμα της προσομοιώσεως, οπότε συμπεραίνεται ότι πράγματι οι επιλογές των πλήκτρων γίνεται με τυχαίο τρόπο. Στοιχεία των διαφόρων συνόλων Το έργο βασίζεται σε λογικές διεργασίες μεταξύ συγκεκριμένων συνόλων φθόγγων. Τα στοιχεία κάθε συνόλου ορίζονται μόνο με το κριτήριο του μουσικού ύψους, σύμφωνα με τις προλογικές σημειώσεις του συνθέτη για το συγκεκριμένο έργο. Τούτο επιβάλλει τον μη διαχωρισμό των εναρμονίων φθόγγων, που σημαίνει ότι, εάν σε κάποιο σύνολο ανήκει ο φθόγγος C 4, τότε θεωρείται αυτονόητο ότι και ο φθόγγος D 4 ανήκει στο σύνολο αυτό.

10 Τα βασικά σύνολα στο HERMA, κατά τον συνθέτη, είναι τα εξής τέσσερα: A, B, C, R. Εμφανίζεται, όμως, μια και μοναδική φορά σε τρία μουσικά μέτρα (Μ.27- Μ.29) και το σύνολο S, για το οποίο δεν δίδεται καμμιά πληροφορία. Ο συνθέτης το σύνολο R το ονομάζει «αναφορικό» (R=Referential) και μας πληροφορεί πως περιέχει όλους τους φθόγγους του πληκτρολογίου του πιάνου (από A 0 έως C 8 ). Στην πράξη, όμως, τούτο δεν συμβαίνει καθώς δεν εμφανίζονται ούτε μία φορά στο HERMA 15 από αυτούς τους φθόγγους. Από έλεγχο διεπιστώθη ότι οι ελλείποντες φθόγγοι δεν ενυπάρχουν στο S έτσι, ώστε η ένωση R+S να περιλαμβάνει όλους τους φθόγγους του πληκτρολογίου του πιάνου (από A 0 έως C 8 ). Εξ αυτών θεωρείται ως δεδομένο ότι στο σύνολο R ανήκουν όλοι οι 88 φθόγγοι του πληκτρολογίου του πιάνου (από A 0 έως C 8 ), αλλά εξ αυτών εμφανίζονται οι 73 στο HERMA. Κατόπιν όλων αυτών τα σύνολα S, A, B, C θεωρούνται ως γνήσια υποσύνολα του γενικού συνόλου R. Τα μουσικά μέτρα στο HERMA είναι 219. Τα πρώτα 26 μουσικά μέτρα καταλαμβάνονται από το σύνολο R και τα επόμενα τρία (Μ.27-Μ.29) καταλαμβάνονται από το σύνολο S. Από το Μ.30 και μέχρι του τέλους του έργου εμφανίζονται τα βασικά σύνολα A, B, C και οι λογικές τους πράξεις, οι οποίες αναφέρονται σε ενώσεις, σε τομές και σε συμπληρώματά τους. Συγκεκριμένα εμφανίζονται τα εξής σύνολα: R, S, A, B, C, A, B, C, AB + AB, AB + AB, ABC, ( AB + AB) C, ABC, AC, BC, AC + ABC και F AB + AB, ( AB + AB) C, F = ABC + ABC + ABC + ABC = ( AB + AB) C + ( AB + AB) C Η πράξη της ένωσης συμβολίζεται με «+» αντί, επί παραδείγματι Α+Β αντί A B. Κατά την πράξη της τομής απλά παρατίθενται τα σύνολα π.χ. ΑΒ. Το συμπλήρωμα ως προς το σύνολο αναφοράς R κάποιου συνόλου συμβολίζεται με μια υπερτιθεμένη παύλα, δηλαδή A = συμπλήρωμα ως προς το σύνολο αναφοράς R του συνόλου Α). Στη συνέχεια παρατίθεται αναλυτική παρουσίαση των φθόγγων που ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ και ΠΡΑΚΤΙΚΑ απαρτίζουν όλα τα σύνολα στο HERMA μαζί με τα διαγράμματά τους κατά Venn.

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44 Μαθηματικά λάθη του συνθέτη Εξετάζοντας τα στοιχεία των συνόλων του έργου με βάση τη θεωρία των Συνόλων παρατηρούνται τα εξής: α) ύπαρξη κοινών στοιχείων μεταξύ κάποιων συνόλων και των συμπληρωμάτων τους, β) ενδεχόμενη παράλειψη κάποιων στοιχείων (π.χ. το σύνολο R, ενώ αναφέρεται ως γενικό, δεν περιλαμβάνει ως στοιχεία του ορισμένα από τα στοιχεία των άλλων συνόλων). Όπως έχει αποδειχθεί προηγουμένως, η επιλογή των στοιχείων από ένα σύνολο γίνεται εντελώς κατά τυχαίο τρόπο. Τούτο σημαίνει ότι είναι δυνατόν σ ένα σύνολο να μην έχουν επιλεγεί όλα του τα στοιχεία, αλλά μικρό ή μεγάλο μέρος αυτών. Έτσι, αβίαστα δικαιολογούνται τυχόν μαθηματικά λάθη της δεύτερης κατηγορίας, που στην ουσία δεν πρόκειται για λάθη. Η πρώτη, όμως, κατηγορία «λαθών» είναι αδύνατον να δικαιολογηθεί σύμφωνα με τη Θεωρία των Συνόλων (π.χ. στο σύνολο AC δεν επιτρέπεται να ανήκει στοιχείο του συνόλου C). Μπορούμε, όμως, να κάνουμε μια ρεαλιστική, κατά τα άλλα, σκέψη

45 προκειμένου να αιτιολογήσουμε τα «λάθη» αυτής της κατηγορίας και να δεχθούμε ότι πολύ πιθανόν έγιναν εκ παραδρομής. Κατά την περίοδο αυτή ( ) που ο Γιάννης Ξενάκης πρωτοτυπεί συνθέτοντας έργα με βάση τα Μαθηματικά, χρησιμοποιεί ηλεκτρονικό υπολογιστή. Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής τότε ήταν αλλιώτικος από τους γνωστούς σημερινούς Η/Υ με το πληκτρολόγιό τους, την οθόνη τους, το ποντίκι τους. Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής τότε ήταν απρόσωπος. Τεράστιες μονάδες κλεισμένες σε ειδικούς χώρους που τους εχειρίζοντο ειδικοί υπάλληλοι. Οι χρήστες έδιναν τα προγράμματά τους με εντολές τρυπημένες σε χιλιάδες κάρτες, που τις τρυπούσαν σε ειδικές διατρητικές μηχανές. Συχνά συνέβαιναν λάθη διατρήσεως λόγω ελαττωματικής λειτουργίας της διατρητικής μηχανής. Αυτό θέλω ειδιαιτέρως να το τονίσω για να γίνουν κατανοητά ορισμένα από τα μαθηματικά λάθη που συναντούμε στο έργο του Ξενάκη. Επειδή, λοιπόν, το κάθε γεγονός πρέπει να το αντιμετωπίζουμε με βάση τον ιστορικό του περίγυρο, θα ήθελα στο σημείο αυτό να αναφέρω για να θυμίσω ότι τότε, την ίδια περίοδο και μέχρι τις αρχές της δεκαετίας το 70 οι περισσότεροι από εμάς στα Ελληνικά Πανεπιστήμια δεν είχαμε έλθει σε επαφή ακόμη με ηλεκτρονικό υπολογιστή και μας εδίδασκαν πώς να χρησιμοποιούμε τον «λογαριθμικό κανόνα» προκειμένου να εκτελούμε μαθηματικές πράξεις! Τούτο το γεγονός αποτελεί μια ένδειξη της διαφοράς φάσης όσον αφορά στη χρησιμοποίηση της Τεχνολογίας για την παραγωγή έργων τέχνης μεταξύ ημών εν Ελλάδι και του Ξενάκη εν Παρισίοις. Είναι, λοιπόν, πολύ πιθανόν από τυχαία λάθη διατρήσεως των δεδομένων στις κάρτες να προεκλήθη αλλάγη στοιχείων κάποιου ή κάποιων συνόλων με αποτέλεσμα την εμφάνιση μαθηματικών λαθών της πρώτης κατηγορίας. Πρέπει να έχουμε κατά νουν ότι αυτή την περίοδο ο Ξενάκης δέχεται το όποιο output του Η/Υ ως καλλιτεχνικό έργο χωρίς να κάνει καμμία παρέμβαση επ αυτού, ούτε καν έλεγχο ορθότητος. Κατανοώ ότι σε στοχαστικές διαδικασίες δεν είναι δυνατόν να ελέγξεις το ο,τιδήποτε. Στη Θεωρία Συνόλων, όμως, θα μπορούσε. Εξ άλλου δεν πρέπει να ξεχνούμε πως η μελέτη αφορά σε μουσική σύνθεση, δηλαδή έργο που απορρέει κι από παράγοντες ακαθόριστους κι αναξέλεγκτους, ειδικά με μαθηματικά κριτήρια, όπως η έμπνευση κι ο συναισθηματισμός του καλλιτέχνη (εάν πράγματι υπάρχει). Ο Ιάννης Ξενάκης είναι μουσικός αναμφισβήτητα, όσο κι αν προτίθεται, σύμφωνα με την πορεία του στον μουσικό χώρο να υποτάξει τα έργα του σε μια μαθηματική απολυτότητα και κυριαρχία. Τελικά, φαίνεται μάλλον σε μερικά σημεία να υποχωρεί η αυστηρότητα του Μαθηματικού και να υπερισχύει η περόρμηση του καλλιτέχνη. Μια αντίφαση που όχι μόνον δεν είναι σωστό να επικριθεί, αλλά που μάλλον αποτελεί και το πρωτοπόρο στοιχείο της σημαντικής αυτής προσωπικότητας κι ίσως το ερέθισμα του ενδιαφέροντος για μια τόσο προκλητική, με τη θετική έννοια, όσο και προοδευτική συνθετική αντίληψη. Τα παρατηρηθέντα μαθηματικά λάθη της πρώτης κατηγορίας αναλυτικά παρουσιάζονται στον Πίνακα 2.

46 Πίνακας 2: Μαθηματικά λάθη της πρώτης κατηγορίας ÓÕÍÏËÏ 1 G1, A1, D2, D2, C3, F5 A 2 C2 B 3 A1 C

47 4 E1, G2 B B2, C3, A6 A 5 A3, E5, G5, C8 C F4 A, C C2 B, C 6 C3 A, B A6 C

48 Η Δομή του HERMA 1. Η κορύφωση Το έργο απαρτίζεται από 219 μουσικά μέτρα και εμφανίζει λαβδοειδή (=μορφής Λ) μορφολογική εξέλιξη με την κορύφωσή του να εμφανίζεται σε μουσικό μέτρο που επιβάλλει το θεώρημα της χρυσής τομής. Το θεώρημα της χρυσής τομής ή το Πρόβλημα της διαιρέσεως ενός ευθυγράμμου τμήματος σε άκρο και μέσο λόγο μας το διασώζει ο Στοιχειωτής Ευκλείδης ως Πρόβλημα 3, στο 6 ο Βιβλίο των Στοιχείων του. Το θεώρημα αφορά στον χωρισμό ενός ευθυγράμμου τμήματος σε δύο άνισα μέρη, τέτοια ώστε «ο λόγος του μεγαλυτέρου προς το μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα να ισούται με το λόγο του όλου προς το μεγαλύτερο ευθύγραμμο τμήμα» Ο λόγος της χρυσής τομής ισούται με = 1, Στις αρχές του 20ού αι. 2 ο Μαθηματικός Mark Barr ονόμασε τον λόγο της χρυσής τομής Φ προς τιμήν του Έλληνα γλύπτη Φειδία. Ο αριθμός αυτός αποτελούσε για τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες, γλύπτες κι αρχιτέκτονες το «δόγμα της ωραιότητος», αφού δημιουργεί την αίσθηση της αρμονίας. Ο αριθμός Φ αναζητήθηκε και βρέθηκε όχι μόνο στην Τέχνη, αλλά και στη φύση. Στην περίπτωση αναλύσεως ή συνθέσεως ενός μουσικού έργου βάσει του θεωρήματος της χρυσής τομής χρησιμοποιείται ο αριθμός φ, που ισούται με το δεκαδικό μέρος του χρυσού αριθμού Φ, δηλαδή φ=0, Έτσι, λοιπόν, η χρυσή τομή τού έργου είναι το μουσικό μέτρο 135 = φ 219 = 0, = 135, , όπου πραγματοποιείται και η μεγάλη στροφή του έργου, όσον αφορά στη μορφολογική του εξέλιξη, αλλά και στην είσοδο των συνόλων. 2. Αρχή-Κορύφωση και Κορύφωση-Φινάλε Το έργο μελετάται ως αλληλουχία δύο ενοτήτων, δηλαδή από την αρχή (Μ.1) μέχρι τη χρυσή τομή (Μ.135) και αμέσως μετά από τη χρυσή τομή (Μ.136) μέχρι το τέλος (Μ.219). Α. Μέτρο 1 έως Μέτρο 135

49 Μέσα στα μέτρα αυτά κάνουν την εμφάνισή τους τα σύνολα R, S, A, B, C και τα συμπληρώματα A, B, C των τριών τελευταίων. Στα πρώτα 29 μέτρα υπάρχει συνεχής αλλαγή μέτρου μέχρι να καθιερωθεί για όλο το έργο στη συνέχεια πλήν ορισμένων εξαιρέσεων- το μέτρο 12 στο Μ.30, όπου 8 εμφανίζεται και το σύνολο Α. Ακολουθούν απότομες αλλαγές δυναμικής που αποτελούν καθ όλη τη διάρκεια βασικό γνώρισμα του χαρακτήρος του έργου- μέχρι να μονιμοποιηθούν τα στο Μ.62, που εμφανίζεται το σύνολο A ). Από το Μ.73, όπου κάνει την είσοδό του το σύνολο Β, ο συνθέτης χρησιμοποιεί σε 5ηχα ογδόων και, ακολουθούν συνεχείς κι απότομες αλλαγές δυναμικής από το Μ.84, για να γίνει στο Μ.99, (όπου εμφανίζεται το σύνολο B ) κι απότομα μετά από μια μεγάλη παύση εμφανίζονται στο Μ.110 όπου εισέρχεται το σύνολο C, εναλλαγές σε και, παύση μεγάλη και στο Μ.119 εμφανίζεται το σύνολο C. Ακολουθεί ένα μεγάλο κορύφωμα της έντασης, πύκνωση της γραφής με συνεχή 5ηχα ογδόων και μένει μετέωρο με μεγάλη παύση Μ.135. Συντελείται η βασική στροφή του έργου. Β. Μέτρο 136 έως Μέτρο 219. Εισαγωγή σε με το σύνολο ΑΒ ηρεμία μετά την κορύφωση της προηγούμενης ενότητος. Στο Μ.140 προετοιμάζεται με την είσοδο του συνόλου BC η άνοδος που θα ακολουθήσει στο Μ.144 ( AB AB) + με σε κι απότομες αλλαγές,. Μένουμε έπειτα μετέωροι με παύση στο Μ.150.

50 Στο Μ.151 έρχεται το σύνολο AB + AB με, ενώ αμέσως μετά το σκηνικό αλλάζει με το σύνολο ABC σε. Παύση 2 μέτρων. Από το Μ.156 ([ AB AB] C) + αρχίζουν και που σιγά-σιγά χαμηλώνουν στα Μ.159β -162α με το σύνολο BC, για να καταλήξουν σε με το σύνολο AB + AB. Αλλαγή με για ένα μέτρο με το σύνολο ABC και πάλι στο Μ.166 ([ AB AB]) +. Ακολουθούν απότομες αλλαγές δυναμικής που καταλήγουν σε (Ì.167â'-172á'). Στο β μισό του Μ.172 εμφανίζεται με το σύνολο ABC. Παύση τεσσάρων μέτρων. Ακολουθεί με όγδοα που καταλήγει σε (Μ.182, σύνολο AB + AB C ). Παύση δύο μέτρων και τρεις νότες σε στα Μ.185β Σύνολο ABC. Παρόμοια κίνηση σε Μ.188β -189, σύνολο AB + AB C. Μέχρι και το Μ.192 συμβαίνουν απότομες αλλαγές δυναμικής, που καταλήγουν σε και παύση.

51 Μέτρο 193: Προετοιμάζεται με και σε όγδοα με το σύνολο AC η κορύφωση που ακολουθεί στο Μ.198 (σύνολο AC + ABC ) με σε δέκατα έκτα, που σταματάει απότομα με παύση τριών μέτρων (Μ.200, 201 και 202). Παρατηρείται αραίωμα της γραφής (Μ.203 έως Μ.210) με απότομες αλλαγές δυναμικής, που προετοιμάζει μαζί με παύση τεσσάρων μέτρων (Μ.211 έως Μ.214) τη μεγάλη και τελική κορύφωση του έργου, που συμβαίνει στο Μ.215 με την είσοδο του συνόλου F = ( AB + AB) C + ( AB + AB) C. Η γραφή δεν είναι τόσο πυκνή, αλλά χαρακτηρίζεται από μεγαλοπρέπεια. Η δυναμική είναι σταθερή σε και το έργο τελειώνει με τέταρτο παρεστιγμένο και παύση Εμφάνιση των Συνόλων Παρακολουθώντας τη δομή κι εξέλιξη του έργου μπορούμε να οδηγηθούμε σε συμπεράσματα, τα οποία αφορούν στη γενική τακτική και ιδεολογία που ακολουθείται από τον συνθέτη. Έτσι, μπορούμε να παρατηρήσουμε τα εξής: i. Στην πρώτη ενότητα του έργου η δομή είναι πιο απλή, όπως είναι και τα σύνολα. Αντίθετα, στα 84 τελευταία μέτρα όπου κά νουν την είσοδό τους οι τομές ή/και οι ενώσεις των βασικών συνόλων καθώς και τα επιπρόσθετα σύνολα- η δομή γίνεται πολυπλοκότερη και η ένταση μεγαλύτερη. ii. Σε όλο το έργο βλέπουμε την προτίμηση του συνθέτη στις ακραίες δυναμικές, τα είναι πολύ περισσότερα από τα, όπως και τα από τα. Εξίσου αρέσκεται και στην απότομη εναλλαγή τους, στοιχείο που καθιστά το έργο εξαιρετικά δύσκολο στην εκτέλεσή του. Παρουσιάζει, όμως, μεγάλο ενδιαφέρον για τον ακροατή, καθώς δημιουργεί αγωνία και ανάγκη για χαλάρωση αυτής της έντασης. iii. Πολλές φορές, όμως, η χαλάρωση δεν έρχεται ομαλά, αλλά ο συνθέτης χρησιμοποιώντας μια μεγάλης διάρκειας παύση μετά από μια μεγάλης έντασης κορύφωση, αφήνει τον ακροατή μετέωρο, εξάπτοντας, έτσι, περισσότερο την αγωνία του για τη συνέχεια. Αυτό αφορά και σ εκείνες τις μεγάλες παύσεις που

52 προετοιμάζουν την κορύφωση, αποτελώντας κατά κάποιο τρόπο αυτά ακριβώς τα κενά προοίμιο μεγάλης ανοδικής πορείας της έντασης και πύκνωσης της γραφής. iv. Η ίδια η πύκνωση της γραφής αποτελεί στοιχείο που εξυπηρετεί τον συνθέτη, ώστε να δείξει την κορύφωση. Κι αυτό συμβαίνει, διότι εμπεριέχει το συναίσθημα της επιταχύνσεως, παρόλο που αυτή είναι πλασματική. Χωρίς ένδειξη αλλαγής του μετρονόμου, χωρίς αλλαγή του μέτρου, το άκουσμα φαίνεται ταχύτερο και φορτίζει έντονα τον ακροατή. Θαρείς πως παρατηρείται κίνηση. Αντιθέτως, με την αραίωση της γραφής επέρχεται η ηρεμία και η στατικότητα, που προετοιμάζουν για την επόμενη κορύφωση και συμπύκνωση της γραφής. Γενικώς, θα μπορούσαμε να καταλήξουμε πως η συνολική θεώρηση του έργου δείχνει ότι, πέρα από τις όποιες εισόδους και εμφανίσεις συνόλων και στοιχείων που εκπορεύονται από μαθηματικές σχέσεις και λογισμικά ηλεκτρονικού υπολογιστού, η καλλιτεχνική ουσία του έργου, η κίνηση της σύνθεσης, η μετάβαση της δυναμικής, οι εικονοπλαστικές ιδιότητες του ρυθμού και των ήχων, είναι έργο εξ ολοκλήρου του συνθέτη και της δημιουργικής του εμπνεύσεως. Πίνακας 3: Αναλυτική παρουσίαση των συνόλων στο HERMA ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΤΡΟΥ ΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ 1 1 έως 26 R 2 27 έως 29 S 3 30 έως 61 A 4 62 έως 72 A 5 73 έως 98 B 6 99 έως 109 B έως 118 C έως 135 C έως 139 AB έως 143 BC [ : +AB] έως 145 AB + AB έως 150 A B + AB[ 146β 147α : + BC, 147 β 150 : + ABC] έως (5ηχου) AB + AB

53 14 Πίνακας 3 (Συνέχεια): Αναλυτική περουσίαση των συνόλων στο HERMA ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΤΡΟΥ ΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ ABC 151 (δύο τελευταία ) έως έως α μισό 159 ( AB + AB) C [157 τελευταία έως 7ο 158: +BC][159 πρώτα 6 : +BC] 16 β μισό 159 έως α μισό 162 BC [161 από 4ο έως 162α : AB + AB ] 17 β μισό 162 έως α μισό 165 AB + AB [163 τελευταία 4 έως 165α : 18 β μισό 165 έως ABC ] ( AB + AB) C [166 β : + ( ΑΒ + ΑΒ) C] (τελευταίο ) έως ABC [ 178 β 181: + ΑC ] έως 184 ( AB + AB) C έως 187 ABC έως 192 ( AB + AB) C [189 β 190: + ( AB + AB) C] έως 197 A C [ α : + ABC] έως 202 AC + ABC έως 214 ( AB + AB) C [204 β 205 : + ( AB + AB) C 206 : + ABC α : + ABC ] έως 219 F = ABC + ABC + ABC + ABC = ( AB + AB) C + ( AB + AB) C

54 4. Ενδεικτικά μέτρα Το έργο αποτελείται από 219 μέτρα. Σε μερικά από αυτά συμβαίνουν κάποια γεγονότα, όπως: i. γίνεται η είσοδος κάποιου από τα πέντε βασικά σύνολα R, S, A, B, C. ii. εμφανίζονται άλλα σύνολα, που αποτελούν ενώσεις ή/και τομές των βασικών συνόλων. iii. γίνεται εισαγωγή για περιορισμένο αριθμό νοτών- συνόλων, που συνυπάρχουν με τα ήδη έχοντα εμφανισθεί σύνολα. Παραλλήλως συμβαίνουν αλλαγές, που αφορούν στην αισθητική του έργου: i. αλλαγές ρυθμικές (π.χ. εκεί που για κάποιο πλήθος μέτρων ο ρυθμός εξεφράζετο με όγδοα, η μορφή του κειμένου αλλάζει και πλεονάζουν τα δέκατα έκτα, ii. αλλαγές στη δυναμική (π.χ. μετά από αρκετά μέτρα σε γίνεται απότομη μετάβαση όχι για μία, αλλά για περισσότερες νότες- σε ), iii. αλλαγή μέτρου (π.χ. από τα 12 8 περνάμε, έστω και για ένα μέτρο, στα 6 8 ). Τα μέτρα της σύνθεσης αριθμήθηκαν και εξατάσθηκαν σύμφωνα με κάποια κριτήρια, τα οποία θα αναφερθούν στη συνέχεια. Τα μέτρα, στα οποία αρχίζουν να συμβαίνουν κάποια από τα προαναφερθέντα μορφολογικά ή αισθητικά γεγονότα, στο εξής θα τα ονομάζουμε «ενδεικτικά μέτρα». Σε πρώτο επίπεδο τα «ενδεικτικά μέτρα» ταξινομούνται σε δύο κατηγορίες και αυτές σε δύο και έξι υποκατηγορίες, αντιστοίχως: 1α. ενδεικτικά μέτρα όπου συμβαίνει είσοδος συνόλων, είτε αυτό είναι ένα από τα πέντε βασικά, είτε είναι κάποιες μαθηματικές πράξεις μεταξύ ορισμένων εξ αυτών [Πίνακας 4Α]. 1β. ενδεικτικά μέτρα όπου συμβαίνει είσοδος επιπροσθέτου συνόλου [Πίνακας 4Β]. Εν συνεχεία, επεμβαίνοντας με προσωπικό και αισθητικό κριτήριο, προχωρώ στην ταξινόμησή τους ως εξής: 2α. εκείνα τα μέτρα, στα οποία παρατηρείται συγχρόνως αλλαγή ρυθμού [Πίνακας 5Α]. 2β. εκείνα τα μέτρα, στα οποία παρατηρείται συγχρόνως αλλαγή μέτρου [Πίνακας 5Β]. 2γ. εκείνα τα μέτρα, στα οποία παρατηρείται συγχρόνως αλλαγή μέτρου [Πίνακας 5Γ].

55 2δ. περιλαμβάνονται οι αριθμοί που αντιστοιχούν σε μέτρα, όπου δεν συμβαίνει είσοδος συνόλου, αλλά γίνονται σημαντικές αλλαγές ρυθμού, δυναμικής ή μέτρου [Πίνακας 5Δ]. 2ε. εκείνα τα μέτρα στα οποία παρατηρείται συγχρόνως αλλαγή ρυθμού και δυναμικής, ρυθμού και μέτρου ή δυναμικής και μέτρου [Πίνακας 5Ε]. 2στ. περιλαμβάνονται ορισμένα μέτρα από το 1 έως το 30, διότι σ αυτά παρόλο που δεν έχουμε εμφάνιση συνόλων, συμβαίνουν αλλεπάλληλες αλλαγές μέτρου [Πίνακας 5Στ].

56 ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΤΡΟΥ Πίνακας 4Α ΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ 1 1 R 2 27 S 3 30 A 4 62 A 5 73 B 6 99 B C C AB BC AB + AB AB + AB ; ABC ( AB + AB) C BC ; AB + AB ( AB + AB) C ; ABC ( AB + AB) C ABC ( AB + AB) C AC AC + ABC ( AB + AB) C F = ABC + ABC + ABC + ABC = ( AB + AB) C + ( AB + AB) C

57 ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΤΡΟΥ Πίνακας 4Β ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΟ ΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ BC (προστίθεται το AB ) A B + AB (προστίθεται το BC ) AB + AB (προστίθεται το ABC ) ( AB + AB) C (προστίθεται το BC ) ( AB + AB) C (προστίθεται το BC ) BC (προστίθεται το AB + AB ) ( AB + AB) C (προστίθεται το +ABC ) ( AB + AB) C (προστίθεται το ( AB + AB) C A BC ( AB + AB) C (προστίθεται το ( AB + AB) C ) AC (προστίθεται το ABC ) ( AB + AB) C (προστίθεται το ( AB + AB) C ) ( AB + AB) C (προστίθεται το ABC ) ( AB + AB) C (προστίθεται το ABC ) Πίνακας 5A ΕΙΣΟΔΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ή ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΡΥΘΜΟΥ ΕΙΣΟΔΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ΕΙΣΟΔΟΣ ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ 1 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ. 185

58 Πίνακας 5Β ΕΙΣΟΔΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ή ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΙΣΟΔΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ΕΙΣΟΔΟΣ ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ 1 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ. 195 Πίνακας 5Γ ΕΙΣΟΔΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΡΟΥ 1 Μ Μ. 203 Πίνακας 5Δ ΜΕΤΡΑ ΜΕ ΑΛΛΑΓΕΣ ΡΥΘΜΟΥ ή ΜΕΤΡΟΥ ΧΩΡΙΣ ΕΙΣΟΔΟ ΣΥΝΟΛΟΥ ΑΛΛΑΓΗ ΡΥΘΜΟΥ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΡΟΥ 1 Μ Μ. 204 Πίνακας 5Ε ΕΙΣΟΔΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ή ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΜΕ ΑΛΛΑΓΕΣ ΔΥΟ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΙΣΟΔΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ΚΑΙ ΑΛΛΑΓΗ ΡΥΘΜΟΥ- ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΙΣΟΔΟΣ ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΚΑΙ ΑΛΛΑΓΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ-ΜΕΤΡΟΥ 1 Μ Μ. 204 (*) 2 Μ. 110 ΕΙΣΟΔΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ΚΑΙ ΑΛΛΑΓΗ ΡΥΘΜΟΥ- ΜΕΤΡΟΥ 3 Μ Μ Μ Μ. 215

59 (*) Το Μ. 204 συναντάται και στην προηγουμένη κατηγορία, επειδή η αλλαγή μέτρου συμβαίνει στην αρχή, ενώ το συμπληρωματικό μέτρο εμφανίζεται στη μέση του Μ. 204.

60 Πίνακας 5Στ ΜΕΤΡΑ ΜΕΤΑΞΥ 1 ΚΑΙ 30 ΜΕ ΑΛΛΑΓΕΣ ΜΕΤΡΟΥ ΧΩΡΙΣ ΕΙΣΟΔΟ ΣΥΝΟΛΟΥ 1 Μ. 5 8 Μ Μ. 6 9 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ. 26 (*) 7 Μ Μ. 29 (*) Παρεμβάλλεται το Μ. 27 όπου υπάρχει αλλαγή μέτρου, αλλά και είσοδος συνόλου (S). 5. Γένεση των «ενδεικτικών μέτρων» από το Θεώρημα της χρυσής τομής Ο Γιάννης Ξενάκης στα δύο έργα Συμβολικής Μουσικής «HERMA» και «ΕΟΝΤΑ» εμφανίζει τα διάφορα σύνολα φθόγγων σε μουσικά μέτρα ο αύξων αριθμός των οποίων συμπίπτει με κάποιον όρον κάποιας μαθηματικής σειράς αριθμών. Συγκεκριμένα στο «HERMA» χρησιμοποιεί τη χρυσή σειρά , φ, φ, φ, φ, φ, φ, φ (1 0,618 0,382 0,236 0,146...), ενώ στα «ΕΟΝΤΑ» χρησιμοιποιεί τη σειρά του Fibonacci F 1 F2 F3 F4 F5 F6 F F 1 = F2 = 1 και F n = Fn 1 + Fn 2 για n>2 και τη σειρά του Lucas L 1 L2 L3 L4 L5 L L = 1 L 1 2 = 3 και L 1 = L n 1 + Ln 2 για n 2 Η συμπάθεια του συνθέτου στον αριθμό 7 εμφανίζεται και στα δύο έργα. Στο «HERMA» παίρνει τη χρυσή σειρά μέχρι την 7 η δύναμη του φ, ενώ στα «ΕΟΝΤΑ» παίζει ένα πιάνο, 3 τρομπέτες, δύο τενόρο τρομπόνια και διευθύνει ένας μαέστρος (άθροισμα 7).

61 Διαδικασία Α 1. Λαμβάνεται ως 1 (ολότης) τα μουσικά μέτρα από και υπολογίζονται τα φ, φ, φ, φ, φ, φ, φ αυτής της ολότητος. 2. Λαμβάνεται ως 1 (ολότης) τα μουσικά μέτρα από 135 (=φ 1-219) 219 και υπολογίζονται τα φ, φ, φ, φ, φ, φ, φ αυτής της ολότητος. 3. Λαμβάνεται ως 1 (ολότης) τα μουσικά μέτρα με αρχικό έναν εκ των αριθμών, οι οποίοι προέκυψαν από την αμέσως προηγουμένη διαδικασία και τελικό το μουσικό μέτρο 219. Υπολογίζονται τα φ, φ, φ, φ, φ, φ, φ αυτής της ολότητος. Οι αριθμοί των «ενδεικτικών μέτρων» που προκύπτουν παρουσιάζονται στον Πίνακα 6Α.

62 Πίνακας 6Α: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ «ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ» ΑΠΟ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Α 1 Μ φ (1-198) 2 Μ φ (1-219) 3 Μ.135 φ (1-219) Η χρυσή τομή του έργου είναι το Μ Μ φ ( ) 5 Μ φ ( ) 6 Μ φ ( ) 7 Μ φ ( ) 8 Μ φ ( ) 9 Μ φ ( ) 10 Μ φ ( ) 11 Μ. 188 φ ( ) 12 Μ. 206 φ ( ) 13 Μ. 207 φ ( ) 14 Μ. 215 φ ( ) Διαδικασία Β. Τώρα τους αριθμούς των «ενδεικτικών μέτρων» από τη διαδικασία Α τους θεωρούμε ως δεδομένους και τους συνδυάζουμε ανά δύο. Κάθε ζεύγος «ενδεικτικών μέτρων» εξ αυτών εκλαμβάνεται ως μία νέα ολότης, της οποίας υπολογίζομε τα φ, φ, φ, φ, φ, φ, φ. Έτσι προκύπτουν αριθμοί, οι οποίοι αντιστοιχούν σε ήδη εμφανιζόμενα «ενδεικτικά μέτρα» του έργου. (Πίνακας 6Β).

63 Πίνακας 6Β: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ «ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ» ΑΠΟ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Β 1 Μ. 1 7 φ (1-33) 2 Μ φ (1-189) 3 Μ. 119 φ (84-139) 4 Μ. 152 φ ( ) 5 Μ. 158 φ ( ) 6 Μ. 161 φ (84-207) 7 Μ. 162 φ ( ) 8 Μ. 165 φ (84-214) 9 Μ. 182 φ ( ) 10 Μ. 185 φ ( ) 11 Μ. 189 φ ( ) 12 Μ. 193 φ ( ) 13 Μ. 195 φ ( ) 14 Μ. 196 φ ( ) Διαδικασία Γ. Καθ όμοιον τρόπο συνδυάζοντας ανά δύο τους αριθμούς «ενδεικτικών μέτρων», οι οποίοι προέκυψαν εκ των διαδικασιών Α και Β, προκύπτει η τελευταία ομάδα αριθμών «ενδεικτικών μέτρων» του έργου. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να καταστεί σαφές το γεγονός ότι από τη στιγμή που προκύπτει ένας αριθμός «ενδεικτικού μέτρου» με την ανωτέρω διαδικασία των δυνάμεων του χρυσού αριθμού, αρχίζει και αυτός να συμμετέχει στη συνδυαστική διαδικασία ανά δύο των αριθμών των «ενδεικτικών μέτρων». Έτσι εξηγείται το ότι οι αριθμοί των «ενδεικτικών μέτρων» που ακολουθούν στον Πίνακα 6Γ δεν είναι ταξινομημένοι κατ αύξον μέγεθος, όπως συμβαίνει στις διαδικασίες Α και Β, αλλά κατά τη σειρά εμφανίσεώς τους.

64 Πίνακας 6Γ: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ «ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ» ΑΠΟ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Γ 1 Μ. 173 φ ( ) 2 Μ. 178 φ ( ) 3 Μ φ ( ) 4 Μ. 203 φ ( ) 5 Μ. 204 φ ( ) 6 Μ φ (1-178) 7 Μ. 110 φ (26-161) 8 Μ. 163 φ (72-219) 9 Μ. 62 φ (26-84) 10 Μ. 159 φ (61-219) 11 Μ. 99 φ (1-159) Κατ αυτόν τον τρόπο ολοκληρούται η εύρεση όλων των αριθμών, που αντιστοιχούν στα «ενδεικτικά μέτρα» του HERMA. Διαδικασία Δ. Αναφορικά με τους αριθμούς των «ενδεικτικών μέτρων» από το 1 ο μουσικό μέτρο μέχρι και το 30 ο, όπου παρουσιάζονται συνεχείς αλλαγές του μέτρου και όχι εμφανίσεις κάποιων νέων συνόλων, ακολουθείται η ίδια διαδικασία των δυνάμεων του χρυσού αριθμού (Πίνακας 6Δ).

65 Πίνακας 6Δ: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ «ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ» ΑΠΟ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Δ 1 Μ. 5 4 φ (1-33) 2 Μ. 6 7 φ (1-181) 3 Μ φ (1-219) 4 Μ φ (1-162) 5 Μ φ (1-181) 6 Μ φ (1-188) 7 Μ φ (1-207) 8 Μ φ (1-219) 9 Μ φ (1-135) 10 Μ φ (1-62) 11 Μ φ (1-166) 12 Μ φ (1-178) 13 Μ φ (1-109) 14 Μ φ (1-72) Εν κατακλείδι θα πρέπει να δηλωθεί ότι όλοι οι υπολογισμοί εγένοντο με προσέγγισι μονάδος, διότι, όπως όλοι αντιλαμβανόμεθα, σε ένα μουσικό έργο η έμπνευση του συνθέτη δεν μπορεί να φυλακισθεί σε κελιά με ανελαστικά λόγω μαθηματικών σχέσεων και νόμων, τοιχώματα.

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαραγωγή και stop/pause έτοιμων ηχητικών clips

Αναπαραγωγή και stop/pause έτοιμων ηχητικών clips Αναπαραγωγή και stop/pause έτοιμων ηχητικών clips Το scratch διαθέτει αρκετά μεγάλη ποικιλία έτοιμων ενσωματωμένων ηχητικών clips τα οποία θα βρείτε πολύ ενδιαφέροντα και θα σας βάλουν σε πειρασμό να πειραματιστείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ 1 Οι ήχοι που χρησιμοποιούμε στη μουσική λέγονται νότες ή φθόγγοι και έχουν επτά ονόματα : ντο - ρε - μι - φα - σολ - λα - σι. Η σειρά αυτή επαναλαμβάνεται πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΠΑΚΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2012-2013

ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΠΑΚΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2012-2013 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΠΑΚΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2012-2013 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΉ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΓΡΑΦΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΓΡΑΦΗΣ Απόστολος Σιόντας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΓΡΑΦΗΣ Η τονικότητα ΝΤΟ µείζων Πειραµατικό Μουσικό Γυµνάσιο Παλλήνης Παλλήνη 2010 Πρόλογος Καθώς θεωρούµε ότι είναι απαραίτητη η γνώση του περιεχοµένου του µουσικού

Διαβάστε περισσότερα

6. Αφού δημιουργήσετε ένα πίνακα 50 θέσεων με ονόματα μαθητών να τον ταξινομήσετε αλφαβητικά με την μέθοδο της φυσαλίδας

6. Αφού δημιουργήσετε ένα πίνακα 50 θέσεων με ονόματα μαθητών να τον ταξινομήσετε αλφαβητικά με την μέθοδο της φυσαλίδας Ανάπτυξη εφαρμογών Γ' Λυκείου Τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ 1. Να γράψετε πρόγραμμα το οποίο:3. Να γράψετε αλγόριθμο ή πρόγραμμα το οποίο: α. Θα δημιουργεί ένα πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο Συμβουλευτικής & Προσανατολισμού Φλώρινας. 20 ερωτήσεις και απαντήσεις. Πώς να συμπληρώσω το μηχανογραφικό μου;

Κέντρο Συμβουλευτικής & Προσανατολισμού Φλώρινας. 20 ερωτήσεις και απαντήσεις. Πώς να συμπληρώσω το μηχανογραφικό μου; Κέντρο Συμβουλευτικής & Προσανατολισμού Φλώρινας 20 ερωτήσεις και απαντήσεις Πώς να συμπληρώσω το μηχανογραφικό μου; Μάιος 2010 Πώς να συμπληρώσω το μηχανογραφικό μου; 20 ερωτήσεις και απαντήσεις Μια καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ Εργαστηριακή Άσκηση 2 ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΟΣ ΔΥΝΑΜΗ Ονοματεπώνυμο: Παριανού Θεοδώρα Όνομα Πατρός: Απόστολος Αριθμός μητρώου: 1000107 Ημερομηνία Διεξαγωγής: 05/12/11 Ημερομηνία Παράδοσης:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7. Ασκήσεις στο IP Fragmentation

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7. Ασκήσεις στο IP Fragmentation Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7 Οι σημειώσεις που ακολουθούν περιγράφουν τις ασκήσεις που θα συναντήσετε στο κεφάλαιο 7. Η πιο συνηθισμένη και βασική άσκηση αναφέρεται στο IP Fragmentation,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά.

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. 1 x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. Πριν λίγα χρόνια, όταν είχε έρθει στην Ελλάδα ο νομπελίστας χημικός Ilya Prigogine (πέθανε πρόσφατα), είχε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

1. Το ηλεκτρικό ρεύμα και τα ηλεκτρικά κυκλώματα

1. Το ηλεκτρικό ρεύμα και τα ηλεκτρικά κυκλώματα 1. Το ηλεκτρικό ρεύμα και τα ηλεκτρικά κυκλώματα Φύλλο Εργασίας Τίτλος: Το ηλεκτρικό ρεύμα και τα ηλεκτρικά κυκλώματα Γνωστικό Αντικείμενο: Ερευνώ το Φυσικό Κόσμο Διδακτική Ενότητα: Ηλεκτρισμός Τάξη: Ε'

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικές Πράξεις. Εγχειρίδιο εγκατάστασης & χρήσης

Μουσικές Πράξεις. Εγχειρίδιο εγκατάστασης & χρήσης Μουσικές Πράξεις Εγχειρίδιο εγκατάστασης & χρήσης Οι Mουσικές Πράξεις είναι ένα μουσικό εκπαιδευτικό λογισμικό που σχεδιάστηκε και αναπτύχθηκε με τη φιλοδοξία να αποτελέσει: Ένα σημαντικό βοήθημα για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 10 Παίζω Μαθαίνω Αποφασίζω

Άσκηση 10 Παίζω Μαθαίνω Αποφασίζω Άσκηση 10 Παίζω Μαθαίνω Αποφασίζω Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο έλεγχος ύπαρξης συντηρητικών και μη συντηρητικών δυνάμεων σε μια δεδομένη διαδρομή σώματος. Το θεωρητικό μέρος έχει να

Διαβάστε περισσότερα

[ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΑ]

[ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΑ] 2013 Μουσικό Γυμνάσιο / Λύκειο Ιλίου Ευαγγελία Λουκάκη [ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΑ] Σημειώσεις για τις ανάγκες διδασκαλίας του μαθήματος της Αρμονίας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΑ Στην Αρµονία συναντώνται συνηχήσεις-συγχορδίες

Διαβάστε περισσότερα

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Το διαστημόπλοιο Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ

ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Εισαγωγή Η μεγάλη ανάπτυξη και ο ρόλος που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ. Πως γίνεται ο ορισμός μιας διαδικασίας; Να δοθούν σχετικά παραδείγματα. ΑΡΧΗ Εντολές ΤΕΛΟΣ_ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ. Πως γίνεται ο ορισμός μιας διαδικασίας; Να δοθούν σχετικά παραδείγματα. ΑΡΧΗ Εντολές ΤΕΛΟΣ_ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Πως γίνεται ο ορισμός μιας διαδικασίας; Να δοθούν σχετικά παραδείγματα. Οι διαδικασίες μπορούν να εκτελέσουν οποιαδήποτε λειτουργία και δεν επιστρέφουν μια τιμή όπως οι συναρτήσεις. Κάθε διαδικασία έχει

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα 5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχεις ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου θα έχεις κατανοήσει τις τεχνικές ανάλυσης των αλγορίθμων, θα μπορείς να μετράς την επίδοση των αλγορίθμων με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 1.1. Περιοδική κίνηση Περιοδικά φαινόμενα 9 1.2. Ταλάντωση - Ταλαντούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επανάληψη

Εισαγωγή στην επανάληψη Εισαγωγή στην επανάληψη Στο κεφάλαιο αυτό ήρθε η ώρα να μελετήσουμε την επανάληψη στον προγραμματισμό λίγο πιο διεξοδικά! Έχετε ήδη χρησιμοποιήσει, χωρίς πολλές επεξηγήσεις, σε προηγούμενα κεφάλαια τις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΑ από τον ευρύτερο χώρο του πολιτισμού

ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΑ από τον ευρύτερο χώρο του πολιτισμού ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΑ από τον ευρύτερο χώρο του πολιτισμού Σταύρος Κούλας Γραφίστας - Πώς ορίζεται το επάγγελμά σας, και ποιες είναι οι παραλλαγές του; H γραφιστική είναι ένα επάγγελμα που ορίζει τη σχέση του ανθρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα 1 Σχεδιασμός σκηνικού

Δραστηριότητα 1 Σχεδιασμός σκηνικού ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 Δραστηριότητα 1 Σχεδιασμός σκηνικού Ας κατασκευάσουμε την επόμενη σκηνή-room. Όμοια με προηγουμένως κατασκευάζουμε το σκηνικό-background «ΔΡΟΜΟΣ» και αφού δημιουργήσουμε τη σκηνή-room

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Εξετάσεις Προσομοίωσης 06/04/2015 Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό κάθε πρότασης και δίπλα τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν είναι σωστή και ΛΑΘΟΣ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ. Πρόγραμμα Διαχείρισης Α.Π.Δ.

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ. Πρόγραμμα Διαχείρισης Α.Π.Δ. ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ Πρόγραμμα Διαχείρισης Α.Π.Δ. Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εγκατάσταση του προγράμματος 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Οδηγίες χρήσης προγράμματος με παράδειγμα 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αντιγραφή Α.Π.Δ. προηγούμενης περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η προέλευση του Sketchpad 1

Η προέλευση του Sketchpad 1 Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών»

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» μια Νίκος Δαπόντες Φυσικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Το περιβάλλον Microworlds

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και εικονική διαμόρφωση ακουστικής σε αίθουσα διδασκαλίας

Μελέτη και εικονική διαμόρφωση ακουστικής σε αίθουσα διδασκαλίας Μελέτη και εικονική διαμόρφωση ακουστικής σε αίθουσα διδασκαλίας Ιωάννης Γ. Μαλαφής, Π.Δ. 407/82 Εργαστήριο Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας, Τμήμα Μουσικών Σπουδών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Παναγιώτης Ε. Χατζημανολάκης

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών.

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών. 1 από 10 Sudoku. Αν κάποιος ασχοληθεί με ένα λαό το σίγουρο είναι πως θα βρει πολλά ενδιαφέροντα πράγματα, χαρακτηριστικά του τρόπου σκέψης - και της στάσης ζωής γενικότερα - του λαού αυτού, και πιθανόν

Διαβάστε περισσότερα