Υποδείγματα κοινών παραγόντων. Μία επέκταση της εφαρμογής των McCracken & Ng (2015)

Transcript

1 Υποδείγματα κοινών παραγόντων. Μία επέκταση της εφαρμογής των McCracken & Ng (2015) ιονύσιος Μιαούλης ιπλωματική Εργασία που υπεβλήθη για τη μερική ικανοποίηση των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώματος Ειδίκευσης Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μεταπτυχιακό ίπλωμα Ειδίκευσης στην «Εφαρμοσμένη Οικονομική και Ανάλυση εδομένων» Σεπτέμβριος 2017

2 Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Οικονομικών Επιστημών ιονύσιος Μιαούλης 2017 Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος

3 Τριμελής Επιτροπή Επίβλεψης διπλωματικής εργασίας Επιβλέπων/πουσα: Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Μέλος Επιτροπής: Αθηνά Ζερβογιάννη Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Μέλος Επιτροπής: Κωνσταντίνος Κουνετάς Επίκουρος Καθηγητής Η παρούσα διπλωματική εργασία με τίτλο «Υποδείγματα κοινών παραγόντων. Μία επέκταση της εφαρμογής των McCracken & Ng (2015)» εκπονήθηκε από τον/την ιονύσιο Μιαούλη, Α.Μ , για τη μερική ικανοποίηση των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώματος Ειδίκευσης στην «Εφαρμοσμένη Οικονομική και Ανάλυση εδομένων» από το Πανεπιστήμιο Πατρών και εγκρίθηκε από τα μέλη της τριμελούς επιβλέπουσας επιτροπής.

4 Θα ήθελα να αφιερώσω τη διπλωματική μου εργασία στην οικογένεια μου καθώς και σε όσα άτομα με στήριξαν ηθικά και ψυχολογικά κατά τη διάρκεια εκπόνησης της.

5 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω πρωτίστως τον κύριο επιβλέποντα της διπλωματικής μου εργασίας, αναπληρωτή καθηγητή του τμήματος Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Πατρών, κ. Ιωάννη Βενέτη, για τη καθοδήγηση καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της διπλωματικής εργασίας, καθώς και για την παραχώρηση κώδικα στο λογισμικό gretl, χάρη στον οποίο πραγματοποιήθηκε η εμπειρική ανάλυση. Ε- πίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου και τον αδερφό μου για την οικονομική στήριξη καθ όλη τη διάρκεια φοίτησης στο Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τη Βιολόγο Παναγιώτα Γιαννοπούλου για την ηθική και ψυχολογική στήριξη κατά τη διάρκεια συγγραφής της διπλωματικής μου εργασίας.

6 i Περίληψη Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι να γίνει επέκταση της έρευνας των McCracken & Ng (2015) μέχρι το εκέμβριο του Το κύριο θέμα της εργασίας είναι τα υποδείγματα κοινών παραγόντων. Αρχικά, περιγράφονται τα χαρακτηριστικά, η δομή καθώς και τα πλεονεκτήματα των κοινών παραγόντων, μιας και βοηθούν στη διεξαγωγή ερευνών, οι οποίες απαιτούν σύνολα δεδομένων με μεγάλες διαστάσεις. Στη συνέχεια, αναλύονται οι μελέτες των Stock & Watson (2002) και των McCracken & Ng (2015), οι οποίες στάθηκαν αφορμή για τη συγγραφή της παρούσας εργασίας. Τέλος, πραγματοποιείται η εμπειρική ανάλυση, στην οποία διεξάγεται εκτίμηση κοινών παραγόντων για τα δεδομένα της βάσης FRED-MD, η οποία δημιουργήθηκε από τους McCracken & Ng (2015). Η ενημερωμένη FRED-MD αποτελείται από 128 χρονοσειρές με μακροοικονομικά δεδομένα με μηνιαία συχνότητα για την οικονομία των ΗΠΑ. Η ανάλυση γίνεται για το χρονικό διάστημα 1960:01 έως το 2016:12. Λέξεις κλειδιά: υποδείγματα κοινών παραγόντων, μεγάλα δεδομένα, εκτίμηση παραγόντων, υναμικά υποδείγματα παραγόντων

7 ii Summary The aim of this dissertation is the extention of the research activity of McCracken & Ng (2015) until December of The main theme of this work is the factor models. Initially, we examine the features, structure and benefits of common factor models, as they contribute to research that require large datasets. The studies of Stock & Watson (2002) and McCracken & Ng (2015), which are the subject of writing this paper, are then analyzed. Finally, empirical analysis is carried out, which evaluates the common factors for the FRED-MD database, which was created by McCracken & Ng (2015). The update consists of 128 time series with macro data for the US economy at monthly frequency. The analysis is for the period 1960:01 to 2016:12. Keywords: big data, factors, factor analysis, time series, forecasting, dynamic factor models

8 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Επισκόπηση βιβλιογραφίας Τί είναι τα υποδείγματα κοινών παραγόντων (Factor Models) Γιατί αναπτύχθηκαν τα υποδείγματα κοινών παραγόντων Στατικά υποδείγματα κοινών παραγόντων (Static Factor Models) υναμικά υποδείγματα κοινών παραγόντων (Dynamic Factor Models) Μέθοδοι εκτίμησης κοινών παραγόντων Εκτίμηση κοινών παραγόντων με την μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood) Εκτίμηση κοινών παραγόντων με την μέθοδο PCA (Principal Components Analysis) Εκτίμηση κοινών παραγόντων με Bayesian μεθόδους (Bayes Estimation) Ταυτοποίηση υποδειγμάτων δυναμικών μοντέλων κοινών παραγόντων Πλεονεκτήματα Υποδειγμάτων Παραγόντων Επισκόπηση εμπειρικής βιβλιογραφίας Η μελέτη των Stock & Watson (2002a) Οικονομετρικό πλαίσιο (Econometric Framework). 27 iii

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iv Εκτίμηση παραγόντων και πρόβλεψη εδομένα Αποτελέσματα και συμπεράσματα Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) εδομένα (FRED-MD) Εκτιμήσεις κοινών παραγόντων (Factor Estimates) Πρόβλεψη (Predictability) είκτες διάχυσης (Diffusion Indexes) Εμπειρική Ανάλυση εδομένα (Data) Επεξεργασία δεδομένων Εκτιμήσεις Παραγόντων (Factor Estimates) Συμπεράσματα 58 Βιβλιογραφία 61

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ v Κατάλογος Γραφημάτων

11 4.1 Χρονοσειρά πραγματικού κατά κεφαλήν εισοδήματος (RPI) Μετασχηματισμένη χρονοσειρά πραγματικού κατά κεφαλήν εισοδήματος (adjusted RPI) Ποσοστό μεταβλητότητας που ερμηνεύεται από τον κάθε factor Ποσοστό συσσωρευτικής μεταβλητότητας που ερμηνεύεται από τους παράγοντες Ποσοστό μεταβλητότητας που ερμηνεύεται για κάθε μεταβλητή χρησιμοποιώντας και τους 8 παράγοντες.. 56 vi

12 Κατάλογος Πινάκων vii

13 4.1 Τιμές SSRnt για κάθε μία από τις 10 iterations viii

14 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Μία νέα τάση στην έρευνα είναι να γίνεται χρήση δεδομένων, τα οποία δύο δεκαετίες πριν δεν ήταν διαθέσιμα, ή είχαν θεωρηθεί υ- πολογιστικά απαγορευμένα. Αυτό ισχύει σε πολλές επιστήμες όπως στην ιατρική, σε διάφορες κοινωνικές επιστήμες αλλά και στα οικονομικά. Παλιότερες μελέτες επικεντρώνονταν σε σύνολα δεδομένων, τα οποία αποτελούνταν από μικρό αριθμό μεταβλητών-χρονοσειρών (Ν) και μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων των χρονοσειρών (Τ). Ωστόσο, τα τελευταία χρόνια και ειδικά την τελευταία δεκαετία δίνεται η δυνατότητα στους αναλυτές να χρησιμοποιούν στις έρευνες τους δεδομένα με μεγάλο Τ, αλλά και μεγάλο Ν. Οι Bernanke & Boivin (2003) χρησιμοποίησαν τον όρο πλούσιο περιβάλλον δεδομένων όταν τα Ν, Τ είναι και τα δύο μεγάλα. Η καινοτομία είναι η ανάπτυξη θεωρίας και μεθόδων για τη χρήση υποδειγμάτων κοινών παραγόντων. Τα υποδείγματα κοινών παραγόντων βοηθούν στην ανάλυση μεγάλων δεδομένων (μεγάλα Ν, Τ), μιας και έχουν τη δυνατότητα να μοντελοποιούν μεγάλα σύνολα δεδομένων. Το κύριο χαρακτηριστικό τους είναι ότι μπορούν να ερμηνεύσουν ένα σημαντικό μέρος της συνολικής μεταβλητότητας των δεδομένων και να μειώσουν το μέγεθος του δείγματος σε πολύ λι- 1

15 2 γότερες χρονοσειρές, οι οποίες ονομάζονται factors. Τα υποδείγματα κοινών παραγόντων έχουν υιοθετηθεί από πολλούς ερευνητές για μακροοικονομική πολιτική ανάλυση, καθώς και για μελέτες προβλέψεων. Βέβαια, όπως αναφέρουν οι McCracken & Ng (2015), προτού προβεί κάποιος σε ανάλυση είναι πολύ σημαντικό να έχει δημιουργήσει μια πολύ καλή βάση δεδομένων. Η συναρμολόγηση μιας καλής βάσης είναι ένα ιδιαίτερα σημαντικό μέρος μιας έρευνας. Τα δεδομένα πρέπει να δίνουν επαρκή πληροφόρηση για τις μεταβλητές οι οποίες θα εξεταστούν. Ωστόσο, η συλλογή δεδομένων είναι μία πολύπλοκη διαδικασία, η οποία χρειάζεται μεγάλη εξιδείκευση, την οποία πολλοί ερευνητές δε διαθέτουν. Γι αυτούς τους λόγους οι αναλυτές McCracken & Ng (2015), προβαίνουν στη δημιουργία μιας νέας βάσης δεδομένων, η οποία καλείται FRED-MD. Η νέα βάση δεδομένων αποτελεί μια ε- πέκταση της υπάρχουσας βάσης FRED, με επιπλέον χαρακτηριστικά ότι θα είναι ελεύθερα προσβάσιμη σε πολλούς ερευνητές και θα ε- νημερώνεται σε τακτικά διαστήματα. Στόχος τους είναι να υπάρξει διευκόλυνση σε άλλους ερευνητές οι οποίοι πλέον θα έχουν τη δυνατότητα να διεξάγουν ελεύθερα έρευνες με ακριβή δεδομένα, ενώ επίσης με αυτόν τον τρόπο θα γίνονται και συγκρίσεις μεταξύ των εκτιμήσεων. Η FRED-MD περιλαμβάνει 134 μηνιαίες χρονοσειρές για την οικονομία των ΗΠΑ. Οι McCracken & Ng (2015) στο άρθρο τους με τίτλο "FRED-MD:A Monthly Database for Macroeconomic Research", πραγματοποιούν εκτίμηση παραγόντων με τα δεδομένα της FRED-MD από τον Ιανουάριο του 1960 (1960:01) έως το εκέμβριο του 2014 (2014:12). Επιπλέον, προβαίνουν σε πρόβλεψη τεσσάρων σημαντικών μακροοικονομικών μεταβλητών με τη χρήση δεικτών διάχυσης προκειμένου να εξετάσουν την πορεία των συγκεκριμένων μεταβλητών για συγκεκριμένους ορίζοντες μπροστά.

16 3 Στην παρούσα διπλωματική εργασία βασιζόμαστε στην έρευνα των McCracken & Ng (2015). Συγκεκριμένα, υιοθετούμε υποδείγματα κοινών παραγόντων με σκοπό την εκτίμηση παραγόντων για τα δεδομένα της βάσης δεδομένων FRED-MD. Ο αριθμός των κοινών παραγόντων προκύπτει από στατιστικά κριτήρια. Στόχος μας είναι να αναπαράξουμε όσο το δυνατόν πλησιέστερα τα αποτελέσματα των McCracken & Ng (2015) καθώς και να επεκτείνουμε την μελέτη τους μέχρι το εκέμβριο του 2016, ενισχύοντας την υπάρχουσα βιβλιογραφία. Για την εμπειρική ανάλυση χρησιμοποιείται η μέθοδος PCA, η ο- ποία είναι κατάλληλη για δείγματα με μεγάλα Ν, Τ, κάνοντας χρήση του ΕΜ αλγορίθμου, ο οποίος είναι γραμμένος στο λογισμικό gretl. Από την ανάλυση την οποία θα πραγματοποιήσουμε αναμένουμε να εξάγουμε περίπου τα ίδια αποτελέσματα με τους αναλυτές McCracken & Ng (2015). Πράγματι, προβαίνοντας στην εκτίμηση των κοινών παραγόντων εξάγεται το συμπέρασμα ότι τα αποτελέσματα των κριτηρίων των αναλυτών συμφωνούν σε μεγάλο βαθμό με τα α- ποτελέσματα των κριτηρίων της δικής μας μελέτης. Η εμπειρική μας ανάλυση περιγράφεται διεξοδικά στο 4ο κεφάλαιο. Όσον αφορά τη δομή της παρούσας εργασίας, το επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζει τα Factor Models, πραγματοποιώντας μία ιστορική αναδρομή, ενώ επίσης παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά και τα πλεονεκτήματα τους. Το τρίτο κεφάλαιο, αφορά την επισκόπηση της εμπειρικής βιβλιογραφίας παραθέτοντας τις έρευνες των Stock & Watson (2002) και των McCracken & Ng (2015). Το τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας παρουσιάζει τα συμπεράσματα της μελέτης μας.

17 Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση βιβλιογραφίας 2.1 Τί είναι τα υποδείγματα κοινών παραγόντων (Factor Models) Με τον όρο υποδείγματα κοινών παραγόντων αναφερόμαστε σε μοντέλα ανάλυσης υποδειγμάτων στα οποία η συγκλίνουσα πορεία μεταξύ ενός μεγάλου αριθμού μεταβλητών απομονώνεται και δεχόμαστε ότι προέρχεται από έναν πολύ μικρότερο αριθμό μη-παρατηρούμενων πηγών, οι οποίες καλούνται παράγοντες (factors). Τα υποδείγματα κοινών παραγόντων έχουν αναπτυχθεί ιδιαίτερα κατά την τελευταία δεκαετία, μιας και έχουν τη δυνατότητα να μοντελοποιούν ταυτόχρονα αρκετά σύνολα δεδομένων, όπου ο αριθμός του συνόλου των χρονοσειρών υπερβαίνει τον αριθμό των παρατηρήσεων της καθεμιάς. Η ανάλυση παραγόντων (factor Analysis) μπορεί να γίνει είτε με στατικά μοντέλα (Static Factor Models), είτε με δυναμικά μοντέλα παραγόντων (Dynamic Factor Models). Τα στατικά υποδείγματα παραγόντων, στα οποία θα αναφερθούμε εκτενέστερα σε άλλη ενότητα, διαθέτουν δυναμικό χαρακτήρα και ο χαρακτηρισμός στατικά έχει δοθεί για θεωρητικά ζητήματα που θα εξηγήσουμε παρακάτω. Τα Dynamic Factor Models (DFMs) αρχικά προτάθηκαν από τον Geweke 4

18 2.2 Γιατί αναπτύχθηκαν τα υποδείγματα κοινών παραγόντων 5 (1977) ως μία επέκταση χρονοσειράς των factor models που είχαν αναπτυχθεί για διαστρωματικά (cross-sectional) δεδομένα. Σε μια από τις πρώτες εργασίες, οι Sargent & Sims (1977), οι οποίοι χρησιμοποίησαν μακροοικονομικά δεδομένα που αφορούσαν στοιχεία των ΗΠΑ, έδειξαν ότι 2 δυναμικοί παράγοντες θα μπορούσαν να εξηγήσουν ένα μεγάλο μέρος της μεταβλητότητας σημαντικών Αμερικάνικων τριμηνιαίων μακροοικονομικών μεταβλητών, συμπεριλαμβάνοντας στοιχεία για τις τιμές, την εργασία καθώς και την παραγωγή. Το κύριο εμπειρικό εύρημα αυτής της έρευνας, το οποίο έκτοτε επιβεβαιώθηκε από αρκετές μελέτες είναι ότι ένας μικρός αριθμός παραγόντων (factors) μπορεί να ερμηνεύσει το μεγαλύτερο μέρος πολλών μακροοικονομικών χρονοσειρών. Γενικότερα, οι παράγοντες (factors) έχουν τη δυνατότητα να συμπιέσουν την μεγάλη σε όγκο πληροφόρηση, την οποία παρέχει ένα μεγάλο σύνολο χρονοσειρών. Συνεπώς, η υπάρχουσα πληροφόρηση συμπιέζεται σε ένα μικρό μέγεθος κοινών παραγόντων (common factors). Ο αριθμός των παραγόντων είναι αποτέλεσμα στατιστικής μελέτης και προκύπτει από στατιστικά κριτήρια. 2.2 Γιατί αναπτύχθηκαν τα υποδείγματα κοινών παραγόντων Μια νέα τάση στην έρευνα είναι να γίνεται χρήση δεδομένων, τα οποία είκοσι χρόνια πριν, ή δεν υπήρχαν ή η επεξεργασία τους θεωρούνταν δύσκολη και απαγορευτική. Αυτό το φαινόμενο έχει παρατηρηθεί σε αρκετές επιστήμες όπως για παράδειγμα στην Ιατρική, σε πολλές κοινωνικές επιστήμες καθώς και στα οικονομικά. Γενικά, οποιεσδήποτε μελέτες στηρίζονταν σε μακροοικονομικά υποδείγματα, επικέντρωναν την ανάλυση τους σε δεδομένα με μεγάλο Τ, όπου Τ οι

19 2.2 Γιατί αναπτύχθηκαν τα υποδείγματα κοινών παραγόντων 6 παρατηρήσεις μιας χρονολογικής σειράς και μικρό αριθμό μεταβλητών (Ν). Ωστόσο, τα τελευταία χρόνια οι αναλυτές αντί να δουλεύουν με σύνολα χρονοσειρών με πολύ μεγάλο Τ και πολύ μικρό Ν, έχουν τη δυνατότητα να προβαίνουν σε αναλύσεις με μεγάλα Ν, Τ χωρίς να θυσιάζονται πληροφορίες στο σύνολο των χρονοσειρών. Βέβαια, αξίζει να τονίσουμε ότι ο αριθμός των ετών κατά τα οποία παρέχονται αξιόπιστα δεδομένα δεν είναι μεγάλος, δηλαδή κυμαίνεται μεταξύ 20 και 40 χρόνων, που όμως οι στατιστικές υπηρεσίες έχουν δημιουργήσει ομοιόμορφα σύνολα δεδομένων, κυρίως με μηνιαία και τριμηνιαία στοιχεία. Αξίζει λοιπόν να προβούμε σε μία ιστορική αναδρομή, στην οποία θα αναφερθούμε σε κάποιες μελέτες που έχουν γίνει με μεγάλες βάσεις δεδομένων (big Data Analysis) και που τα εμπειρικά τους ευρήματα έ- χουν γίνει έναυσμα για άλλες μελέτες ενισχύοντας την υπάρχουσα βιβλιογραφία. Αρχικά, είναι φρόνιμο να τονίσουμε ότι σε μία έρευνα είναι αρκετά σημαντικό να έχει δημιουργηθεί πρωτίστως μια καλή βάση δεδομένων. Η πρώτη εξατομικευμένη μακροοικονομική βάση δεδομένων με στοιχεία των ΗΠΑ, είναι αυτή των Stock & Watson (1996). Σκοπός της έρευνας για την οποία δημιουργήθηκε και η συγκεκριμένη βάση δεδομένων ήταν η ανάλυση των αιτιών που οφείλονται στη διακύμανση των μεταβλητών ενός δείγματος με χρονικό διάστημα από το 1959:01 έως το 1993:12. Η συγκέντρωση των δεδομένων έγινε λαμβάνοντας υπόψιν κάποιες βασικές αρχές (κριτήρια). Πρώτον, το δείγμα έπρεπε να συμπεριλάβει κάποιους κύριους μηνιαίους δείκτες και δεύτερον, τα δεδομένα έπρεπε να αντιπροσωπεύουν μια ευρεία τάξη μεταβλητών με διαφορετικές ιδιότητες μεταξύ των χρονοσειρών. Με βάση αυτά τα κριτήρια, οι Stock & Watson συγκέντρωσαν 76 χρονοσειρές, κυρίως από τη βάση CITIBASE και αφορούσαν τιμές μετοχών,

20 2.2 Γιατί αναπτύχθηκαν τα υποδείγματα κοινών παραγόντων 7 δεδομένα για τη βιομηχανική παραγωγή, προσδοκίες καταναλωτών καθώς και νομισματικά μεγέθη. Επειτα, ταξινόμησαν τις χρονοσειρές σε 8 κατηγορίες. Η συγκεκριμένη βάση δεδομένων διευρύνθηκε από τους ίδιους (1998, 2002) συγκεντρώνοντας 215 χρονοσειρές ταξινομημένες σε 14 κατηγορίες. Αυτή τη φορά, οι σειρές συγκεντρώθηκαν από τη βάση DRI/McGraw Hill. Αν και η νέα συλλογή δεδομένων ξεπερνούσε τις 200 χρονοσειρές, η στατιστική ανάλυση βασίστηκε σε 149 σειρές. Η μελέτη τους επικεντρώθηκε στη συμπίεση της πληροφόρησης των σειρών σε έναν μικρό και διαχειρίσιμο αριθμό παραγόντων, η ανάλυση των οποίων πραγματοποιήθηκε για την πραγματοποίηση προβλέψεων για τις μεταβλητές του δείγματος. Η διαδικασία αυτή είναι διαδεδομένη ως "diffusion index forecasting". Επίσης, οι Marcellino et al. (2006) συγκέντρωσαν 171 χρονοσειρές για το δείγμα 1959: :12 ώστε να εκτιμήσουν τις ίδιες και εναλλακτικές μεθόδους πρόβλεψης. Το 2003, οι Bernanke & Boivin σε ένα άρθρο τους χρησιμοποιούν για πρώτη φορά μεγάλες βάσεις δεδομένων με στόχο την ανάλυση νομισματικής πολιτικής. Η συγκεκριμένη έρευνα έδειξε ότι οι μεγάλες βάσεις δεδομένων δε χρησιμεύουν μόνο σε προβλέψεις, αλλά και στη δημιουργία μακροοικονομικών υποδειγμάτων, τα οποία συμπεριλαμβάνουν μεγάλο όγκο πληροφόρησης. Οι Bernanke et al. (2005) συνέλεξαν 120 χρονοσειρές από τη Βάση DRI για την εκτίμηση ενός FAVAR, χρησιμοποιώντας έναν μεγάλο αριθμό οικονομικών δεικτών για την ανάλυση των κοινών παραγόντων στην οικονομία. Ενα FA- VAR δεν είναι πολύ ευάλωτο σε υποκειμενικές αποφάσεις σχετικά με το ποιες μεταβλητές πρέπει να συμπεριληφθούν. Μέχρι εκείνο το σημείο, τα δεδομένα που συγκεντρώθηκαν δε χρησιμοποιήθηκαν όλα σε αναλύσεις, μιας και πολλές από τις σειρές ήταν διαθέσιμες από το

21 2.2 Γιατί αναπτύχθηκαν τα υποδείγματα κοινών παραγόντων :01 και μετά. Γι αυτό το λόγο, οι αναλύσεις από τότε και ύ- στερα, εστίασαν σε balanced panels. Οι Stock & Watson (2005, 2006) δημιούργησαν 132 Χρονοσειρές για το χρονικό διάστημα 1959:01 με 2003:12 χωρίζοντας τα δεδομένα σε 14 κατηγορίες. Τα δεδομένα συγκεντρώθηκαν κυρίως από τη βάση Global Insights Basic Economics Database (GSI), λιγότερα χρησιμοποιήθηκαν από την Conference Board, ενώ λίγες χρονοσειρές δημιουργήθηκαν από εκτιμήσεις-υπολογισμούς των ίδιων των συγγραφέων. Αυτή η βάση των 132 σειρών αναφέρεται ως "Stock & Watson dataset". Η συγκεκριμένη βάση δεδομένων αποτέλεσε για πολλούς αναλυτές τη βάση για τη δική τους έρευνα. Συγκεκριμένα, οι Ludvigson & Ng (2011) αναβάθμισαν την "Stock & Watson dataset" προσθέτοντας δεδομένα μέχρι το χρονικό διάστημα 2007:12 ταξινομώντας τα δεδομένα σε 8 groups, έναντι δεκατεσσάρων που τα είχαν ταξινομήσει οι Stock & Watson. Οι Juraldo et al. (2015) ενημέρωσαν και πάλι τη βάση μέχρι το 2011:12, ενώ προέβησαν και στη συγχώνευση της βάσης με άλλες 147 χρηματοοικονομικές χρονοσειρές, έτσι ώστε να δημιουργήσουν έναν δείκτη μέτρησης της οικονομικής αβεβαιότητας. Η βάση δεδομένων έχει ήδη ενημερωθεί μέχρι το 2013:05. Επιπρόσθετα, μεταξύ όλων προστίθενται στη βιβλιογραφία και οι McCracken & Ng, οι οποίοι δημιούργησαν τη δική τους βάση δεδομένων για τη δική τους μακροοικονομική μελέτη. Η νέα βάση ονομάζεται FRED - MD και αποτελείται από 134 χρονοσειρές για την Αμερικάνικη οικονομία. Σκοπός της δημιουργίας του συγκεκριμένου συνόλου δεδομένων πέραν από τη διευκόλυνση που τους προσφέρει στη δική τους έρευνα, είναι να υπάρχει ελεύθερη-δημόσια πρόσβαση σε πολλούς ε- ρευνητές παγκοσμίως ώστε να μπορούν να προβαίνουν σε διάφορων ειδών μελέτες με τα συγκεκριμένα δεδομένα. Αξίζει να αναφερθεί, ότι

22 2.3 Στατικά υποδείγματα κοινών παραγόντων (Static Factor Models)9 το συγκεκριμένο dataset ακολουθεί τα κριτήρια που είχαν θέσει οι Stock & Watson και γενικά είναι παρόμοια με την αρχική "Stock & Watson dataset". Η συγκεκριμένη βάση στάθηκε αφορμή και για την παρούσα εργασία και γι αυτό το λόγο περιγράφεται πιο αναλυτικά σε άλλο κεφάλαιο. Συνοψίζοντας, αξίζει να τονίσουμε ότι πολλοί ερευνητές συλλέγουν βάσεις δεδομένων, άλλες είναι μικρότερες και άλλες μεγαλύτερες όμως οι περισσότερες μοιάζουν με την πρωτότυπη βάση δεδομένων των Stock & Watson. Το αν μία βάση θα συμπεριλαμβάνει λιγότερες ή περισσότερες χρονολογικές σειρές σχετίζεται με τον αναλυτή. Γενικά, για μηνιαία δεδομένα (μακροοικονομικά) οι περισσότερες αναλύσεις χρησιμοποιούν από 100 μέχρι 150 Χρονοσειρές. 2.3 Στατικά υποδείγματα κοινών παραγόντων (Static Factor Models) Σ αυτή την ενότητα θα αναφερθούμε στα στατικά μοντέλα παραγόντων (Static Factor Models), περιγράφοντας τη δομή και τα χαρακτηριστικά τους. Όπως αναφέρθηκε στην ενότητα 2.1 ο χαρακτηρισμός των μοντέλων ως στατικός γίνεται για θεωρητικούς λόγους, μιας και ο χαρακτήρας τους είναι αρκετά δυναμικός. Συγκεκριμένα, χαρακτηρίζονται στατικά διότι δεχόμαστε την υπόθεση ότι τα κατάλοιπα (ut) της παρακάτω σχέσης (2.1) είναι ασυσχέτιστα μεταξύ τους, καθώς επίσης και με τους κοινούς παράγοντες (ft). Το κλασικό στατικό μοντέλο που χρησιμοποιεί δεδομένα τύπου cross-sectional και χρησιμοποιείται σε αναλύσεις εδώ και αρκετές δεκαετίες έχει την μορφή Y t = Λf t + u t (2.1)

23 2.4 υναμικά υποδείγματα κοινών παραγόντων (Dynamic Factor Models)10 όπου Y t είναι ένα διάνυσμα το οποίο περιλαμβάνει K παρατηρούμενες μεταβλητές, το f t είναι ένα διάνυσμα με διάσταση r μη-παρατηρούμενων κοινών παραγόντων, ενώ το r είναι πολύ μικρότερο του K (r K), δηλαδή από το σύνολο των παρατηρούμενων μεταβλητών. Ο συντελεστής Λ, ο οποίος βρίσκεται μπροστά από το f t είναι μια μήτρα K r η οποία περιέχει τους συντελεστές όλων των παραγόντων. Τέλος, το u t είναι ένα K-διάστατο διάνυσμα, το οποίο αποτελείται από α- συσχέτιστα ιδιοσυστατικά στοιχεία. Ακόμη, γίνεται η υπόθεση ότι οι κοινοί παράγοντες και τα ιδιοσυστατικά στοιχεία είναι τετραγωνικά. Άρα, ισχύει ότι: Σ y = ΛΣ f Λ + Σ u (2.2) όπου Σ f είναι μια μήτρα συνδιακύμανσης των παραγόντων. Αν οι παράγοντες είναι αμοιβαία ασυσχέτιστοι, ο Σ f είναι διαγώνιος, και οι παράγοντες είναι ορθογώνιοι. Το χαρακτηριστικό της διαγώνιας μήτρας Σ f είναι ότι όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου είναι διατεταγμένα από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Εναλλακτικά, ο πρώτος παράγοντας έχει την μεγαλύτερη διακύμανση και μπορεί να εξηγήσει το μεγαλύτερο μέρος της μεταβλητότητας των παρατηρήσεων του πίνακα Y t. Με τον ίδιο τρόπο, ο δεύτερος παράγοντας, ο οποίος συμβολίζεται με f 2t έχει τη δεύτερη μεγαλύτερη ερμηνευτική ικανότητα. 2.4 υναμικά υποδείγματα κοινών παραγόντων (Dynamic Factor Models) Στη συγκεκριμένη ενότητα θα ασχοληθούμε με τα δυναμικά μοντέλα παραγόντων (Dynamic Factor Models). Όπως έχει ήδη τονιστεί παραπάνω, τα δυναμικά μοντέλα παραγόντων προτάθηκαν αρχικά από

24 2.4 υναμικά υποδείγματα κοινών παραγόντων (Dynamic Factor Models)11 τον Geweke (1977), ενώ δόθηκε ιδιαίτερη προσοχή σε αυτά λόγω της ικανότητας τους να μοντελοποιούν ταυτόχρονα και με συνέπεια σύνολα δεδομένων στα οποία ο αριθμός των χρονοσειρών υπερβαίνει τον αριθμό των παρατηρήσεων κάθε σειράς. Οι Stock & Watson (2011) στο άρθρο τους <<Dynamic Factor Models>>, το οποίο έδωσε το έναυσμα για τη συγγραφή της παρούσας εργασίας, αναφέρουν ότι βασική προϋπόθεση για να χαρακτηριστεί ένα μοντέλο ως δυναμικό είναι οι μη-παρατηρήσιμοι (latent) παράγοντες f it να εξηγούν την μεταβλητότητα ενός διανύσματος με μεγάλες διαστάσεις, το οποίο αποτελείται από X t μεταβλητές. Αυτό το διάνυσμα επηρεάζεται από ένα άλλο διάνυσμα ιδιοσυστατικών διαταραχών e t, με μηδενικό μέσο. Αυτές οι διαταραχές προέρχονται είτε από κάποια ειδικά χαρακτηριστικά κάποιων μεμονωμένων χρονοσειρών, είτε από κάποια σφάλματα μετρήσεων. Οι latent factors θεωρείται ότι αποτελούν ένα αυτοπαλίνδρομο διάνυσμα (VAR), ενώ επίσης ακολουθούν μεθόδους χρονοσειρών. Ετσι, τα δυναμικά μοντέλα παραγόντων μπορούν να εκφραστούν ως: X t = λ(l)f t + e t (2.3) f t = Ψ(L)f t 1 + η t (2.4) με Ν χρονοσειρές, όπου X t,και e t είναι Nx1 διάνυσματα. Επιπλέον, υπάρχουν q δυναμικοί παράγοντες, ενώ τα f t, h t είναι qx1. Τα λ(l), Ψ(L) καλούνται πωλυωνυμικές μήτρες υστέρησης και είναι Nxq και qxq αντίστοιχα. Τέλος, το L ονομάζεται τελεστής υστέρησης. Όσον αφορά τις εξισώσεις (2.3), (2.4) δεχόμαστε την υπόθεση ότι ακολουθούν στάσιμες διαδικασίες, ενώ οι ιδιοσυγκρασιακές διαταραχές e t θα είναι

25 2.4 υναμικά υποδείγματα κοινών παραγόντων (Dynamic Factor Models)12 ασυσχέτιστες με τα factors σε όλες τις υστερήσεις και κατευθύνσεις, δηλαδή θα ισχύει ότι: Εe t η t k 0, για όλα τα k. Ενα από τα πλεονεκτήματα των δυναμικών μοντέλων παραγόντων είναι ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν με μεγάλη αποτελεσματικότητα σε προβλέψεις. Οι Stock & Watson (2011) αναφέρουν ότι αν κάποιος ήξερε τους παράγοντες f t και αν, e t, η t είναι Gaussian τότε θα μπορούσε να κάνει αποτελεσματικές προβλέψεις για μια μεμονωμένη μεταβλητή. Ετσι, ο ερευνητής παίρνει το όφελος χρησιμοποιώντας όλες τις Ν μεταβλητές μέσω q παραγόντων, όπου q είναι πολύ μικρότερο από το Ν. Η άριστη πρόβλεψη για έναν ορίζοντα μετά της ι-οστής μεταβλητής είναι: E[X it + 1 X t, f t, X t 1, f t 1,...] (2.5) = E[λ i (L)f t+1 + e it+1 X t, f t, X t 1, f t 1,...] (2.6) = E[λ i (L)f t+1 f t, f t 1,...] + E[e it+1 e it, eit 1,...] (2.7) = α(l)f t + δ(l)x it (2.8) Η σχέση (2.8) ακολουθεί τις υποθέσεις ενός υναμικού Μοντέλου Παραγόντων. Σύμφωνα με την συγκεκριμένη εξίσωση, οι ερευνητές καλούνται να εκτιμήσουν αρχικά τους παράγοντες, δηλαδή να υπολογίσουν τι ποσοστό της μεταβλητότητας εξηγούν οι factors καθώς και να υπολογίσουν τον ακριβή αριθμό τους. Με δεδομένο ότι οι υπολογισμοί είναι ακριβείς και συνεπείς, ένας μελετητής έχει τη δυνατότητα να προβεί σε αποτελεσματικές προβλέψεις, ενώ επίσης μπορεί να χρησιμοποιήσει τα μοντέλα για την εκτίμηση δυναμικών στοχαστικών μοντέλων ισορροπίας (DSGEs).

26 2.5 Μέθοδοι εκτίμησης κοινών παραγόντων Μέθοδοι εκτίμησης κοινών παραγόντων Τα σπουδαία ευρήματα των Geweke (1977) και Sargent & Sims (1977) χρησιμοποιήθηκαν σε πολλές έρευνες οι οποίες μελετούσαν στοιχεία σχετικά με τη δομή των παραγόντων καθώς και για τη σημασία τους. Ωστόσο, αυτές οι μέθοδοι δεν μπορούσαν να υπολογίσουν επακριβώς το f t, με αποτέλεσμα να μην μπορούν να χρησιμοποιηθούν και σε προβλέψεις. Συνεπώς, μεταγενέστερες μελέτες συμπεριλαμβάνουν μεθόδους με τις οποίες είναι δυνατή η εκτίμηση του f t. Γενικά, η εκτίμηση του f t διαχρονικά μπορεί να χωριστεί σε τρεις γενιές. Η πρώτη γενιά σχετίζεται με παραμετρικά μοντέλα μικρής διάστασης (small N), όπου για την εκτίμηση τους χρησιμοποιούνται η μέθοδος Gaussian maximum likelihood και το Kalman Filter. Με τις συγκεκριμένες μεθόδους παρέχονται άριστοι υπολογισμοί του f t και άριστες προβλέψεις υπό περιορισμούς και προυποθέσεις. Ωστόσο, η χρήση αυτών των παραμέτρων συνεπάγεται μη-γραμμική βελτιστοποίηση καθώς και συγκεκριμένο αριθμό χρονοσειρών οι οποίες μπορούν να αντιμετωπιστούν. Η δεύτερη γενιά εκτιμητών έχει ως στόχο την εκτίμηση παραγόντων όταν το Ν είναι αρκετά μεγάλο. Γιάυτό το λόγο, χρησιμοποιούνται μη-παραμετρικές μέθοδοι σε διαστρωματικά δεδομένα (cross - sectional data). Η κύρια μέθοδος είναι η PCA (Principal Components Analysis). Το βασικό συμπέρασμα της δεύτερης γενιάς είναι ότι ο ε- κτιμητής της PCA είναι συνεπής και επιπλέον, αν το Ν είναι επαρκώς μεγάλο τότε οι παράγοντες (factors) που έχουν εκτιμηθεί είναι αρκετοί για να αντιμετωπίσουν δεδομένα, τα οποία θα χρησιμοποιηθούν σε παλινδρομήσεις. Να τονίσουμε επίσης, ότι η PCA επεκτάθηκε σε Dynamic PCA από τον Brillinger το 1964.

27 2.5 Μέθοδοι εκτίμησης κοινών παραγόντων 14 Στη Τρίτη γενιά, γίνεται ουσιαστικά μια ένωση των όσων αναφέρθηκαν παραπάνω. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούνται μη-παραμετρικές εκτιμήσεις, οι οποίες παρατηρούνται στη δεύτερη γενιά για την ανάλυση των παραμέτρων σε μοντέλα που έχουν χρησιμοποιηθεί στην πρώτη γενιά, λύνοντας έτσι τα προβλήματα της διάστασης που υ- πήρχαν. Ακόμη, μια διαφορετική λύση στο πρόβλημα των πολλών άγνωστων παραμέτρων είναι οι Bayesian μέθοδοι, στις οποίες θα σταθούμε αναλυτικά παρακάτω Εκτίμηση κοινών παραγόντων με την μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood) Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η πρώτη γενιά εκτίμησης δυναμικών μοντέλων παραγόντων περιλαμβάνει τη χρήση του Kalman Filter για τον υπολογισμό της Gaussian πιθανοφάνειας και την εκτίμηση των παραμέτρων με την μέγιστη πιθανότητα (maximum likelihood). Με τη χρήση του Kalman Filter προέκυπταν αποτελεσματικές εκτιμήσεις για τους παράγοντες (factors), όπως έδειξαν και οι Engle & Watson (1981, 1983), Stock & Watson (1989), Sargent (1989), καθώς και οι Quah & Sargent (1993). Ακόμη, για τον υπολογισμό της μέγιστης πιθανοφάνειας (MLE), μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο ΕΜ αλγόριθμος. Το πρώτο βήμα αυτής της προσέγγισης είναι να γραφεί το DFM (Dynamic Factor Model) ως ένα γραμμικό μοντέλο, με την εξής μορφή: X t = ΛF t + e t (2.9) Φ(L)F t = Gη t (2.10) όπου ρ είναι ο βαθμός υστέρησης της πωλυωνυμικής μήτρας λ(l), Λ (λ0, λ1, λρ), λi είναι μια μήτρα Nxq συντελεστών στην ι-οστή υστέρηση του λ(l). Το Φ(L) είναι μια μήτρα η οποία αποτελείται

28 2.5 Μέθοδοι εκτίμησης κοινών παραγόντων 15 από στοιχεία της Ψ(L), ώστε το αυτοπαλίνδρομο διάνυσμα της σχέσης (2.4) να μπορεί να γραφεί σε όρους F t. Οι συναρτήσεις (2.9), (2.10) αναφέρονται ως στατική μορφή (Static form) των DFMs, επειδή οι παράγοντες (factors) δείχνουν να εισέρχονται ταυτόχρονα, αν και αυτό είναι ένα τεχνητό δημιούργημα μιας και οι στατικοί παράγοντες F t περιέχουν παρούσες και παρελθοντικές τιμές των δυναμικών παραγόντων f t. Η γραμμική μορφή του μοντέλου ολοκληρώνεται όταν καθορίζονται κάποιες συγκεκριμένες διαδικασίες για τα e t και για τα σφάλματα η t. ηλαδή θα είναι: d i (L)e t = ζ it, (2.11) i 1,..,Ν. Θεωρούμε, ότι ζ it και η jt είναι ανεξάρτητα κατανεμημένα, δηλαδή ζ it είναι iid με Ν(0,σ 2 ), i 1,...,Ν και η jt είναι iid Ν(0,σ 2 ), j 1,...,q, ενώ η t και ζ t είναι και ανεξάρτητα μεταξύ τους. Με αυτές τις παραμέτρους, το Kalman Filter μπορεί να υπολογίσει την πιθανοφάνεια και να εκτιμήσει τις φιλτραρισμένες τιμές των F t, f t. Το γραμμικό μοντέλο που δημιουργήθηκε έχει αρκετά πλεονεκτήματα. Ενα απ αυτά είναι ότι μπορεί να συγκεντρώσει δεδομένα τα οποία παρουσιάζουν κάποιου είδους παρατυπίες. Αυτές οι παρατυπίες έχουν σχέση με τη συχνότητα στην οποία μελετούνται. Για παράδειγμα, υπάρχουν αρκετές χρονοσειρές οι οποίες μελετούνται σε μηνιαία βάση, κάποιες άλλες εβδομαδιαία, ενώ υπάρχουν και αρκετές σειρές οι οποίες μελετούνται κάθε μέρα (μετοχές). Ωστόσο, σύμφωνα με τη σχέση (2.10) μπορεί να θεωρηθεί ότι όλα τα δεδομένα εξελίσσονται σε εβδομαδιαία κλίμακα. Η διάσταση της μετρούμενης συνάρτησης (2.9) εξαρτάται από το ποιες χρονοσειρές παρατηρούνται πραγματικά σε μια δεδομένη ημερομηνία. Το κύριο μειονέκτημα του μοντέλου είναι ότι ο αριθμός των παραμέτρων είναι αναλογικός

29 2.5 Μέθοδοι εκτίμησης κοινών παραγόντων 16 με το N. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η απευθείας εκτίμηση των συντελεστών της MLE να είναι δύσκολη και γενικά απαγορευτική για μεγάλα συστήματα. Σε μια εφαρμογή με δεδομένα για τις ΗΠΑ, οι Aruoba, Diebold, Scotti (2009) εφάρμοσαν ένα DFM με ένα δυναμικό παράγοντα και μια εβδομαδιαία μεταβλητή, χρησιμοποίησαν ακόμη τέσσερις μηνιαίες μεταβλητές, ενώ για τη δημιουργία ενός δείκτη που υπολογίζει την οικονομική δραστηριότητα συμπεριέλαβαν μια τριμηνιαία μεταβλητή, η οποία μπορεί να ενημερώνεται (update) εβδομαδιαία. Όσο λοιπόν υπάρχουν χρονοσειρές οι οποίες γίνονται διαθέσιμες στους ερευνητές, η διάσταση της μετρούμενης συνάρτησης μπορεί να αλλάζει. Συνοψίζοντας, μιας και ο αριθμός των παραμέτρων είναι αναλογικός με το N, η ακριβής εκτίμηση των συντελεστών με την μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας είναι δύσκολη και έτσι θεωρείται απαγορευτική για μεγάλα συστήματα Εκτίμηση κοινών παραγόντων με την μέθοδο PCA (Principal Components Analysis) Στην παραπάνω ενότητα, έγινε γνωστό ότι όταν το N είναι μικρό, η κατάλληλη μέθοδος εκτίμησης ενός μοντέλου παραγόντων είναι η μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας (Gaussian maximum likelihood). Ωστόσο, όταν το N είναι μεγάλο η χρήση της συγκεκριμένης μεθόδου έχει αρκετά μειονεκτήματα και υπάρχει σοβαρός κίνδυνος οι εκτιμήσεις της να είναι λανθασμένες. Μια απλούστερη μέθοδος, η οποία μπορεί να εκτιμήσει Factor Models όταν τα N, T είναι μεγάλα είναι η PCA. Οι πρώτοι οι οποίοι έδειξαν ότι υπάρχει συνοχή στις εκτιμήσεις παραγόντων με την PCA είναι οι Connor & Korajczyk (1986). Συγκεκριμένα, οι Connor & Korajczyk (1986) έδειξαν ότι οι εκτιμητές της

30 2.5 Μέθοδοι εκτίμησης κοινών παραγόντων 17 PCA είναι συνεπείς σε μοντέλα παραγόντων με σταθερό T και N το οποίο τείνει στο άπειρο (πολύ μεγάλο). Αργότερα, οι Stock & Watson (2002α) απέδειξαν ομοιόμορφη συνοχή των παραγόντων σε μοντέλο που προσέγγισαν πρώτοι οι Chamberlain & Rotchschild s (1983), επιτρέποντας τη συσχέτιση στα ιδιοσυγκρασιακά σφάλματα. Επιπλέον, οι Stock & Watson (2002α) παρέχουν υποθέσεις για τα N, T κατά τις οποίες η μήτρα ˆF t μπορεί να αντιμετωπιστεί σαν σύνολο δεδομένων για τους σκοπούς μιας παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων 2ου σταδίου. Τέλος, οι Bai & Ng (2006) παρέχουν βελτιωμένες τιμές, ιδιαίτερα όταν τα N, T, N 2 /T, κατά τα οποία ο πίνακας ˆF t είναι συνεπής και μπορεί να αντιμετωπιστεί σαν σύνολο δεδομένων σε μεταγενέστερες παλινδρομήσεις. Ο εκτιμητής της PCA μπορεί να ερμηνευθεί σαν λύση του προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων, δηλαδή: min F1,...F T,ΛV r (Λ, F) (2.12) όπου V r (Λ, F) = 1 NT T t=1 (X t ΛF t ) (X t ΛF t ) (2.13) με την κανονικοποίηση ότι N 1 Λ Λ = I r. Επίσης, η μέθοδος αντιμετωπίζει τα F 1,..., F T σαν σταθερές παραμέτρους. Το αποτέλεσμα της εκτίμησης είναι ο εκτιμημένος παράγοντας ˆF t = ˆΛ X t, που αποτελείται από τα πρώτα βασικά στοιχεία (principal components) r του X t. εκτιμημένη μήτρα ˆF t αναφέρεται ως εκτιμητής παραγόντων της PCA στα δυναμικά μοντέλα κοινών παραγόντων. Η

31 2.5 Μέθοδοι εκτίμησης κοινών παραγόντων Εκτίμηση κοινών παραγόντων με Bayesian μεθόδους (Bayes Estimation) Οι παράγοντες ενός δυναμικού μοντέλου παραγόντων μπορούν ε- πίσης να υπολογιστούν με Bayesian μεθόδους. Η Bayes εκτίμηση βασίζεται κυρίως στις μεθόδους που είναι γνωστές ως Markov Chain Monte Carlo Methods (MCMC). Η διαφορά της συγκεκριμένης εκτίμησης παραμέτρων σε σχέση με τις μεθόδους πρώτης και δεύτερης γενιάς που αναφέραμε παραπάνω είναι ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε μη-γραμμικά / μη-gaussian μοντέλα με μη-παρατηρήσιμες μεταβλητές στα οποία είναι δύσκολο να υπολογιστεί η πιθανότητα (likelihood) ακριβώς, ενώ επίσης μπορεί να είναι και ευκολότερη η εκτίμηση των παραμέτρων όταν υπάρχουν πολλές και άγνωστες παράμετροι. Όσον αφορά θέματα πρόβλεψης, θεωρείται ότι η εκτίμηση Bayes μπορεί να δώσει καλύτερα αποτελέσματα πρόβλεψης από τις μεθόδους δεύτερης και τρίτης γενιάς, κάτι το οποίο δεν επιβεβαιώνεται λόγω του ότι δεν έχει γίνει κάποιου είδους σύγκριση σε έρευνα. Συμπαιραίνεται με αυτόν τον τρόπο, ότι οι μέθοδοι Monte Carlo έχουν αρκετά πλεονεκτήματα μιας και μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε μοντέλα με μεγάλες διαστάσεις (μεγάλα Ν,Τ) καθώς και να ακολουθήσουν μη-γραμμικές διαδικασίες. Οι Otrok & Whiteman (1996) είναι από τους πρώτους που χρησιμοποίησαν αυτές τις μεθόδους σε ένα γραμμικό/gaussian δυναμικό μοντέλο παραγόντων, στο οποίο εκτίμησαν έναν δυναμικό παράγοντα χρησιμοποιώντας τέσσερις μεταβλητές. Αργότερα, οι Kose, Otrok and Whiteman (2003, 2008) χρησιμοποίησαν αυτές τις μεθόδους για να μελετήσουν την διεθνή μετάδοση κάποιων οικονομικών shocks. Το μοντέλο αφορούσε 60 χώρες και περιλάμβανε 7 κοινούς παράγοντες με 3 χρονοσειρές για κάθε χώρα με 30 ετήσιες παρατηρήσεις. Ε-

32 2.6 Ταυτοποίηση υποδειγμάτων δυναμικών μοντέλων κοινών παραγόντων 19 πιπρόσθετα, οι Boivin & Giannoni (2006) χρησιμοποίησαν τις Monte Carlo μεθόδους σε ένα δυναμικό μοντέλο παραγόντων γενικής ισορροπίας (DSGE) για την εκτίμηση παραμέτρων. Βέβαια, όπως τονίστηκε παραπάνω, οι Bayesian μέθοδοι είναι αρκετά χρήσιμοι όταν το μοντέλο περιέχει μη-γραμμικά/ μη-gaussian στοιχεία. Οι Kim & Nelson (1998) εκτίμησαν ένα δυναμικό μοντέλο παραγόντων με 4 μεταβλητές, ακολουθώντας την Markov διαδικασία. Οι Carlin, Polson and Stoffer (1992) σχεδίασαν την MCMC προσέγγιση για μη-γραμμικά μοντέλα, η οποία είχε ως στόχο να δοθούν συμπεράσματα σχετικά με τη δομή των παραμέτρων και τη δυναμική του μοντέλου, χωρίς κάποια πρόβλεψη. 2.6 Ταυτοποίηση υποδειγμάτων δυναμικών μοντέλων κοινών παραγόντων Συνεχίζοντας, θα αναφερθούμε στην ταυτοποίηση (Identification) των υποδειγμάτων δυναμικών μοντέλων κοινών παραγόντων. Συγκεκριμένα, θα εξετάσουμε ένα σύνολο συνθηκών ταυτοποίησης σε μοντέλα με κοινούς παράγοντες (common factors). Αυτές οι συνθήκες απαιτούν ο- ρισμένους περιορισμούς, οι οποίοι έχουν και οικονομική ερμηνεία. Ενα παράδειγμα είναι ότι επιτρέπουν την ανάλυση ενός μοντέλου παραγόντων το οποίο ακολουθεί VAR διαδικασίες, ενώ ταυτόχρονα επιτρέπει και κάποια σφάλματα μέτρησης. Οι Bai & Wang (2015), στην ανάλυση τους χρησιμοποιούν ένα δυναμικό μοντέλο παραγόντων, το οποίο ακολουθεί VAR μεθόδους και έχει την εξής μορφή: X t = Λ 0 f t + Λ 1 f t Λ s f t s + e t, (2.14)

33 2.6 Ταυτοποίηση υποδειγμάτων δυναμικών μοντέλων κοινών παραγόντων 20 όπου f t είναι ένα διάνυσμα qx1 δυναμικών παραγόντων, παρατηρούμενοι στο χρόνο t, Λ j είναι μια μήτρα nxq και αποτελεί το σύνολο των συντελεστών των δυναμικών παραγόντων f t j, j 0,1,..,s. Για το συγκεκριμένο μοντέλο, γίνεται η υπόθεση ότι το e t είναι iid (0,R). Επίσης, οι δυναμικοί Παράγοντες ακολουθούν VAR διαδικασίες, έτσι ώστε: f t = Φ 1 f t Φ h f t h + t (2.15) όπου Φ j είναι μια μήτρα qxq αυτοπαλίνδρομων συντελεστών και το ε it είναι iid Ν(0,Q). Το παραπάνω μοντέλο έχει δύο διαφορετικές πτυχές δυναμικής. Πρώτον, η δυναμική των παραγόντων είναι ρητά παραμετροποιημένη από μία VAR διαδικασία και δεύτερον, υπάρχουν s παράγοντες υστέρησης οι οποίοι εισέρχονται στην εξίσωση (2.6.1), με αποτέλεσμα να παρουσιάζεται μια δυναμική σχέση μεταξύ f t και της παρατηρούμενης μεταβλητής X t. Αξίζει να τονίσουμε σε αυτό το σημείο ότι, ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην εξίσωση (2.6.1) μιας και η δυναμική που παρουσιάζει προκαλεί μια σημαντική διάκριση μεταξύ δυναμικής και στατικής ανάλυσης παραγόντων. Συγκεκριμένα, στην περίπτωση όπου s 0, τότε δεν εισέρχονται υστερήσεις στο μοντέλο με αποτέλεσμα να θεωρείται στατικό, παρά το γεγονός ότι οι παράγοντες f t είναι δυναμικοί. Ετσι, το μοντέλο που περιγράφεται στην εξίσωση (2.6.1) μπορεί να τεθεί σε μια στατική μορφή. Αν θέσουμε: Λ (Λ 0,Λ 1,...,Λ s ) και F t (f t, f t 1,...,f t s) τότε: X t = ΛF t + e t (2.16) όπου υπάρχουν q(s+1) στατικοί παράγοντες, οι οποίοι αποτελούν τη διάσταση του F t. Τα μοντέλα κοινών παραγόντων είτε στη στατική, είτε στη δυναμική μορφή τους δεν είναι ταυτοποιημένα (Identifiable), χωρίς επιπρόσθετους περιορισμούς. Στην παρούσα εργασία βέβαια,

34 2.6 Ταυτοποίηση υποδειγμάτων δυναμικών μοντέλων κοινών παραγόντων 21 θα ασχοληθούμε με τους περιορισμούς των δυναμικών μοντέλων παραγόντων και όχι των στατικών. Αρχικά, θα θεωρήσουμε δύο τύπους περιορισμών ταυτοποίησης, ενώ θα εξετάσουμε τις επιπτώσεις τους στην ανάλυση παραγόντων και στην ανάλυση VAR. Το βασικό α- ποτέλεσμα της ταυτοποίησης σε δυναμικά υποδείγματα παραγόντων, είναι ότι χρειαζόμαστε μόνο q 2 περιορισμούς. Για την εφαρμογή και την εξέταση των 2 τύπων περιορισμών που αναφέραμε θα υιοθετήσουμε 2 δυναμικά μοντέλα παραγόντων, τα DFM1 και DFM2. Αρχικά, θα εξετάσουμε τον πρώτο τύπο περιορισμού στο DFM1. Ορίζουμε Λ 0 [Λ 01 Λ 02 ], όπου Λ 01 είναι qxq. Το DFM1 έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Var(εt) Iq η Λ 01 είναι μία τριγωνική μήτρα qxq με τα στοιχεία της ιαγωνίου να είναι αυστηρά θετικά Αυτό είναι επαρκές για να προσδιορίσουμε (ταυτοποιήσουμε) το DFM1. Σ αυτό το μοντέλο υπάρχουν συνολικά q 2 περιορισμοί, ανεξάρτητα με τον αριθμό των υστερήσεων (s, h). Η απαίτηση Var(εt) Iq επιβάλλει περιορισμούς q(q + 1)/2, ενώ η δεύτερη απαίτηση επιβάλλει q(q 1)/2 περιορισμούς. Πρακτικά, ο δεύτερος περιορισμός δείχνει ότι η μεταβλητή X 1t επηρεάζεται από τον πρώτο δυναμικό παράγοντα, ενώ η Μεταβλητή X 2t επηρεάζεται συγχρόνως από τους πρώτους 2 δυναμικούς παράγοντες. Επίσης, για το DFM1 γίνεται η υπόθεση ότι το εt δε συσχετίζεται. Αυτό κάνει τους συντελεστές της μήτρας Φ j, j 0,1,..,h να είναι απεριόριστοι, επιτρέποντας στους δυναμικούς παράγοντες να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Εξετάζοντας το DFM1 με τις υποθέσεις και τους όρους που τέθηκαν συμπεραίνεται ότι οι δυναμικοί παράγοντες (f t ) και οι συντελεστές (Λ j ) των δυναμικών παραγόντων (dynamic factor loadings) είναι μοναδικά ταυτοποιημένοι.

35 2.7 Πλεονεκτήματα Υποδειγμάτων Παραγόντων 22 Επειτα, θα εξετάσουμε το DFM2 στο οποίο έχουν επιβληθεί διαφορετικές συνθήκες ταυτοποίησης. Αρχικά, ορίζουμε Λ 0 [ I q *]. Αυτό είναι επαρκές για να προσδιοριστεί το μοντέλο παραγόντων. Στο DFM2 όπως και στο DFM1, το οποίο μελετήσαμε προηγούμενα, υπάρχουν q 2 περιορισμοί, όμως δεν έχουν επιβληθεί περιορισμοί στα Λ 1,...,Λ s. Ειδικότερα, στο DFM2, οι περιορισμοί ταυτοποίησης βρίσκονται μόνο στους συντελεστές παραγόντων (factor loadings), ενώ τα ε t συνδέονται κυρίως με shocks (διαταραχές) τα οποία εφαρμόζονται στην οικονομική θεωρία. Στη συνέχεια, εξετάζουμε το DFM2 όπως στις εξισώσεις (2.12) και (2.13). Με την υπόθεση ότι η Λ 0 είναι μια qxq μήτρα ταυτοποίησης, οι δυναμικοί παράγοντες f t και οι δυναμικοί συντελεστές των παραγόντων Λ j είναι μοναδικά ταυτοποιημένοι. Παρόμοια, υπό την υπόθεση ότι η Λ j είναι μια μήτρα ταυτοποίησης για κάποια δεδομένα j, τότε οι δυναμικοί παράγοντες f t και οι συντελεστές των δυναμικών παραγόντων Λ j είναι μοναδικά ταυτοποιημένοι. 2.7 Πλεονεκτήματα Υποδειγμάτων Παραγόντων Η συγκεκριμένη ενότητα ουσιαστικά αποτελεί μια σύνοψη των ό- σων αναφέρθηκαν στα προηγούμενα, ενώ ο στόχος της είναι να παρουσιάσει ορισμένα από τα κύρια πλεονεκτήματα των Factor Models. Αρχικά, είναι φρόνιμο να σχολιάσουμε ότι τα τελευταία χρόνια, σε αρκετές έρευνες χρησιμοποιούνται βάσεις δεδομένων με πολύ μεγάλα Ν, Τ. Σε αρκετές από αυτές τις μελέτες λοιπόν, τα δυναμικά υποδείγματα κοινών παραγόντων διαδραματίζουν καθοριστικό ρόλο. Σύμφωνα με τους Stock & Watson (2011), αυτό συμβαίνει εξαιτίας της ικανότητας των υποδειγμάτων να μοντελοποιούν ταυτόχρονα και με συνέπεια σύνολα δεδομένων, στα οποία το πλήθος των χρονοσειρών υπερβαίνει το σύνολο των παρατηρήσεων της καθεμιάς από αυτές.

36 2.7 Πλεονεκτήματα Υποδειγμάτων Παραγόντων 23 Το γεγονός αυτό, δίνει τη δυνατότητα στους ερευνητές να επεξεργάζονται μεγάλες βάσεις δεδομένων με τη χρήση των dynamic factor models και οι εκτιμήσεις τους να είναι όλο και πιο ακριβείς. Επιπρόσθετα, οι Stock & Watson, στο άρθρο τους "Dynamic Factor Models" (2011), αναφέρουν ότι αν κάποιος ερευνητής γνωρίζει επακριβώς τους παράγοντες f t και εάν τα e t, h t είναι Gaussian, τότε μπορεί να προβεί σε αποτελεσματικές προβλέψεις για κάποια μεταβλητή. Το πλεονέκτημα ουσιαστικά είναι ότι ο ερευνητής έχει τη δυνατότητα να ἑπωμιστεί όλα τα οφέλη της χρήσης των Ν μεταβλητών, χρησιμοποιώντας q παράγοντες, όπου q πολύ μικρότερο από το Ν. Γενικότερα, στο συγκεκριμένο άρθρο οι Stock & Watson, τονίζουν χαρακτηριστικά ότι υπάρχει ένας αριθμός πραγμάτων που μπορεί να κάνει κάποιος ερευνητής με τα Υποδείγματα Παραγόντων. Ενα από αυτά είναι ότι θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν σε προβλέψεις, ε- νώ επίσης μπορούν να χρησιμεύσουν και σαν βοηθητικές μεταβλητές (Instrumental Variables). Επιπλέον, σύμφωνα με τους Breitung & Eickmeier στο άρθρο τους "Dynamic Factor Models" (2006), ένα σημαντικό πλεονέκτημα των DFMs είναι ότι μπορούν να εξαλείψουν ιδιοσυγκρασιακές κινήσεις που ενδεχομένως να περιλαμβάνουν σφάλματα μέτρησης και διαταραχές. Α- κόμη, οι ίδιοι ερευνητές στο συγκεκριμένο άρθρο τους, δίνουν ιδιαίτερη έμφαση στα υποδείγματα κοινών παραγόντων μιας και αποτελούν έ- να σημαντικό εργαλείο για τη χάραξη πολιτικής. Τέλος, σαν ένα ακόμη θετικό στοιχείο των υποδειγμάτων είναι ότι αυτοί οι οποίοι διαμορφώνουν το μοντέλο παραγόντων δε χρειάζεται να βασίζονται σε υπερβολικά αυστηρές υποθέσεις όπως συμβαίνει σε άλλα μοντέλα. Ετσι, ο ερευνητής έχει τη δυνατότητα να επιλέξει ο ίδιος τις μεταβλητές τις οποίες θα συμπεριλάβει στο υπόδειγμα, επηρεάζοντας κατά

37 2.7 Πλεονεκτήματα Υποδειγμάτων Παραγόντων 24 κάποιο τρόπο το αποτέλεσμα, μιας και ο αριθμός των μεταβλητών που χρησιμοποιούνται, μπορεί να επηρέσει και τον αριθμό των shocks της οικονομίας στο μοντέλο.

38 Κεφάλαιο 3 Επισκόπηση εμπειρικής βιβλιογραφίας 3.1 Η μελέτη των Stock & Watson (2002a) Στόχος της έρευνας των Stock & Watson (2002a), η οποία παρουσιάζεται στο άρθρο "Macroeconomic forecasting using Diffussion Indexes" είναι η πρόβλεψη 8 μεγάλων μακροοικονομικών μεταβλητών της οικονομίας των ΗΠΑ, από το διάστημα 1959:01 έως το 1998:12. Οι 4 από τις 8 μεταβλητές αντιπροσωπεύουν μετρήσεις της πραγματικής οικονομικής δραστηριότητας και συγκεκριμένα αφορούν μετρήσεις για: α) τη συνολική βιομηχανική παραγωγή (total industrial production), β) το πραγματικό προσωπικό Εισόδημα (real personal income), γ) τις πραγματικές κατασκευές (real manufacturing) και δ) τον αριθμό των εργαζομένων (number of employees), όχι αυτών που απασχολούνται στον αγροτικό τομέα. Οι υπόλοιπες 4 μεταβλητές αφορούν μετρήσεις σχετικά με τους δείκτες τιμών. Ειδικότερα, αφορούν τιμές για: α) τον δείκτη τιμών καταναλωτή ( ΤΚ), β) αποπληθωριστής τιμών για εξατομικευμένη κατανάλωση, γ) δείκτης τιμών καταναλωτή χωρίς φαγητό και ενέργεια και δ) παραγωγικός δείκτης τιμών για τελικά 25

39 3.1 Η μελέτη των Stock & Watson (2002a) 26 αγαθά. Για την ανάλυση και την πρόβλεψη, οι ερευνητές προσεγγίζουν ένα δυναμικό μοντέλο παραγόντων, το οποίο δημιουργήθηκε με αφορμή την άποψη ότι για να είναι μια έρευνα αξιόπιστη και να παρέχει όσο το δυνατόν πιο ακριβή αποτελέσματα πρέπει να γίνει προσεκτική επιλογή των μεταβλητών που χρησιμοποιούνται στην μελέτη, ενώ επίσης πρέπει όλη η πληροφόρηση που συμπεριλαμβάνεται σε πολλές μεταβλητές να αντικατασταθεί από λίγους εκτιμητές, ώστε να γίνει η ανάλυση. Στα πλαίσια αυτής της άποψης, οι Stock & Watson (2002a) παραθέτουν ένα παράδειγμα, το οποίο χαρακτηριστικά α- ναφέρει ότι η πραγματική οικονομική δραστηριότητα χρησιμοποιείται συχνά για την πρόβλεψη του πληθωρισμού. Όμως, μόνο η χρήση μεταβλητών της πραγματικής οικονομικής δραστηριότητας δεν αρκεί. Και αυτό γιατί ενδεχομένως να υπάρχουν και άλλα πιο αξιόπιστα μέτρα για την πρόβλεψη του πληθωρισμού όπως για παράδειγμα ο δείκτης ανεργίας ή το ποσοστό χρησιμοποίησης της παραγωγικής ικανότητας. Επιπλέον, οι ερευνητές προκειμένου να βγάλουν συμπεράσματα σχετικά με την πορεία κάποιων μεταβλητών σε επόμενους ορίζοντες προβαίνουν στην κατασκευή δεικτών διάχυσης. 1 Οι δείκτες διάχυσης αναπτύχθηκαν από αναλυτές επιχειρηματικού κύκλου της NBER ώστε να μετρήσουν κοινές κινήσεις σε ένα σύνολο μακροοικονομικών μεταβλητών. Η εμπειρική έρευνα των Stock & Watson (2002a) με βάση τους δείκτες διάχυσης επικεντρώνεται σε προβλέψεις πραγματικού χρόνου από το 1970 έως το 1998 για 8 μακροοικονομικές μεταβλητές των ΗΠΑ, σχετικά την πραγματική οικονομική δραστη- 1 δείκτες οι οποίοι συγκεντρώνουν δεδομένα σε ομάδες και παρέχουν μια σύνοψη σχετικά με την αλλαγή κατεύθυνσης της συγκεκριμένης ομάδας δεδομένων.

40 3.1 Η μελέτη των Stock & Watson (2002a) 27 ριότητα καθώς και για τον πληθωρισμό των τιμών. Οι προβλέψεις δεικτών διάχυσης γίνονται για ορίζοντα 6, 12, 24 μηνών χρησιμοποιώντας 215 προγνωστικές χρονοσειρές. Οι προβλέψεις στις οποίες προβαίνουν οι ερευνητές με τους δείκτες διάχυσης συγκρίνονται με άλλα μοντέλα, όπως για παράδειγμα με μικρά αυτοπαλίνδρομα διανύσματα, με μοντέλα εκτιμητών κατάλληλα για τον πληθωρισμό ή την ανεργία. Τέλος, στο άρθρο τους οι Stock & Watson (2002a) παρουσιάζουν επακριβώς την μεθοδολογία τους, ενώ επίσης σχολιάζουν τα αποτελέσματα τους Οικονομετρικό πλαίσιο (Econometric Framework) Η ανάλυση των Stock & Watson (2002a) αρχίζει με ένα μοντέλο, το οποίο θα αποτελέσει και τη βάση για πρόβλεψη μέσω δεικτών διάχυσης. Ειδικότερα, εισάγεται ένα δυναμικό μοντέλο παραγόντων το οποίο έχει την εξής μορφή: Y t+1 = β(l)f t + γ(l)y t + t+1 (3.1) X it = λ i (L)f t + e it (3.2) για i 1,...,Ν, όπου e t (e 1t, e Nt ) είναι οι Νx1 ιδιοσυστατικές διαταραχές και λ(l), β(l) είναι πωλυωνυμικές υστερήσεις του L. Επειτα, γίνονται δύο σημαντικές τροποποιήσεις των παραπάνω εξισώσεων. Πρώτον, οι πωλυωνυμικές υστερήσεις λi(l), β(l) και γ(l) μοντελοποιούνται ώ- στε λi(l) q λ ij L j και β(l) q β j L j. Ετσι, οι εξισώσεις (3.1) και (3.2) j=0 γράφονται ως: j=0 Y t+1 = β F t + γ(l)y t + t+1 (3.3) X t = ΛF t + e t (3.4)

41 3.1 Η μελέτη των Stock & Watson (2002a) 28 όπου F t (f t,..., f t q) είναι rx1, η i-οστή σειρά του Λ στην (3.4) είναι (λ i0,...,λ iq ) και β (β 0,...,β q ). Το κύριο πλεονέκτημα της στατικής αναπαράστασης του δυναμικού μοντέλου παραγόντων είναι ότι οι παράγοντες μπορούν να εκτιμηθούν χρησιμοποιώντας την μέθοδο PCA. Η δεύτερη σημαντική τροποποίηση είναι ότι η συγκεκριμένη εμπειρική εφαρμογή εστιάζει σε πρόβλεψη με h ορίζοντες μπροστά. Για πρόβλεψη h βήματα μπροστά οι Stock & Watson (2002a) υιοθετούν το εξής μοντέλο: Y h t+h = α h + β h (L)F t + γ h (L)y t + h t+h (3.5) όπου Y h t+h είναι η μεταβλητή στην οποία θα πραγματοποιηθεί πρόβλεψη και οι δείκτες αντικατοπτρίζουν την εξάρτηση της πρόβλεψης στον ορίζοντα Εκτίμηση παραγόντων και πρόβλεψη Οι Stock & Watson (2002a) για την πρόβλεψη του Y h T+h βασίζονται στις εξισώσεις (3.4), (3.5), ενώ ακολουθούν μια διαδικασία δύο βημάτων. Το πρώτο βήμα είναι ότι τα δεδομένα του δείγματος χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των παραγόντων, στους οποίους βασίζονται οι δείκτες διάχυσης. Οι δείκτες διάχυσης συμβολίζονται με {ˆF t } T t=1. εύτερον, οι εκτιμητές ˆα h, ˆβ h (L) και ˆγ h (L) λαμβάνουν την τιμή τους κάνοντας παλινδρόμηση του y t+1 σε μία σταθερά, στο ˆF t και στην y t. Ετσι, η πρόβλεψη για το y h T+h περιγράφεται από την παρακάτω σχέση: Y h T+h = ˆα h + ˆβ h (L)ˆF t + ˆγ h (L)y t (3.6) Οι ίδιοι οι Stock & Watson (1998) ανέπτυξαν θεωρητικά αποτελέσματα για τη διαδικασία δύο βημάτων. Αναφέρουν χαρακτηριστικά ότι οι παράγοντες εκτιμούνται με την μέθοδο PCA μιας και η συγκε-

42 3.1 Η μελέτη των Stock & Watson (2002a) 29 κριμένη μέθοδος δίνει ακριβή αποτελέσματα ακόμη και αν το Ν είναι πολύ μεγάλο, ενώ επίσης μπορεί να χειριστεί τυχόν ἁνωμαλίες, τις οποίες παρουσιάζουν οι βάσεις δεδομένων. Στη συνέχεια, υπολογίζεται ο δείκτης MSE (mean square error) και εξάγεται το συμπέρασμα ότι οι προβλέψεις ενδέχεται να είναι άριστες όταν τα Ν,Τ είναι μεγάλα. Μετά την εκτίμηση των παραγόντων, ακολουθεί η διαδικασία της πρόβλεψης. Εμείς στη συγκεκριμένη εργασία θα δώσουμε περισσότερη προσοχή στις προβλέψεις των δεικτών διάχυσης. Ακολουθώντας την σχέση (3.5), οι Stock & Watson (2002a) περιγράφουν την πιο γενικευμένη συνάρτηση πρόβλεψης δεικτών διάχυσης ως εξής: Ŷ h T+h T = ˆα h + m j=1 ˆβ hj ˆF T j+1 + p j=1 ˆγ hj Y T j+1 (3.7) όπου ˆF T είναι το διάνυσμα k εκτιμημένων παραγόντων. Τέλος, εφαρμόζεται το κριτήριο BIC για την επιλογή του κατάλληλου μοντέλου εδομένα Όπως αναφέρθηκε στα προηγούμενα, η εμπειρική έρευνα των Stock & Watson (2002a) έχει ως στόχο την πρόβλεψη 8 σημαντικών μηνιαίων μακροοικονομικών μεταβλητών για δεδομένα των ΗΠΑ. 4 από αυτές τις μεταβλητές μελετούν την πραγματική δραστηριότητα στην οικονομία, ενώ οι υπόλοιπες 4 μελετούν δεδομένα σχετικά με δείκτες τιμών. Το ολοκληρωμένο dataset εκτείνεται από το 1959:01 έως το 1998:12, ενώ οι χρονολογικές σειρές λήφθηκαν από τη βάση DRI/CITIBASE. Μερικές από τις χρονοσειρές που χρησιμοποιούνται στην μελέτη περιέχουν ελλιπείς τιμές ή είναι διαθέσιμες για ένα μειωμένο χρονικό διάστημα. Τα δεδομένα τα οποία χρησιμοποιούνται έχουν μηνιαία συχνότητα και γι αυτό το λόγο μπορεί να χρησιμο-

43 3.1 Η μελέτη των Stock & Watson (2002a) 30 ποιηθεί η μέθοδος PCA και κατ επέκταση ο ΕΜ αλγόριθμος. Τέλος, οι προβλέψεις των δεικτών διάχυσης γίνονται σε ορίζοντα 6, 12 και 24 μηνών, χρησιμοποιώντας 215 προγνωστικές χρονοσειρές Αποτελέσματα και συμπεράσματα Οι Stock & Watson (2002a) αναφέρουν ότι από τα αποτελέσματα της έρευνας τους υπάρχουν δύο χαρακτηριστικά τα οποία είναι ενδιαφέροντα. Το πρώτο είναι ότι μόνο 6 παράγοντες αντιπροσωπεύουν την μεταβλητότητα 215 χρονοσειρών. εύτερον, απαιτούνται μόνο λίγοι παράγοντες για να προβλέψει κάποιος την πορεία μιας σημαντικής μεταβλητής, όπως είναι η πραγματική οικονομική δραστηριότητα, ενώ οι πιο ακριβείς προβλέψεις του πληθωρισμού χρησιμοποιούν υ- στερήσεις του πληθωρισμού με έναν μόνο παράγοντα. Επιπρόσθετα, υπάρχουν και άλλα ευρήματα, τα οποία εγείρουν σοβαρά θέματα για μελλοντική εμπειρική και θεωρητική έρευνα. Μερικά από αυτά είναι ότι αν και η ανάλυση των Stock & Watson (2002a) βασίζεται σε μηνιαία δεδομένα, οι ερευνητές θεωρούν ότι αν η έρευνα περιλάμβανε δεδομένα από δειγματοληψίες άλλων συχνοτήτων τότε οι προβλέψεις ίσως παρείχαν καλύτερα αποτελέσματα. Επίσης, οι κλασικοί δείκτες διάχυσης υπολογίζονται χρησιμοποιώντας μη-γραμμικές τροποποιήσεις (transformations) των δεδομένων, ωστόσο οι δείκτες διάχυσης που χρησιμοποιούνται στην εμπειρική έρευνα των Stock & Watson (2002a) είναι γραμμικές συναρτήσεις των δεδομένων. Ακόμη, οι ερευνητές τονίζουν ότι αν και η δική τους έρευνα βασίζεται σε δεδομένα των ΗΠΑ, εντούτοις οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται μπορούν να δώσουν σημαντικά αποτελέσματα και για άλλες χώρες. Τέλος, οι εκτιμημένοι παράγοντες που χρησιμοποιούνται στην έρευνα των Stock & Watson (2002a) είναι βασισμένοι σε απλούς εκτιμητές και γι αυτό το λόγο θεωρείται ότι είναι χρήσιμο να μελετηθούν και άλλοι εκτιμητές,

44 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 31 οι οποίοι πρέπει να σχεδιαστούν με τέτοιο τρόπο ώστε να εκμεταλλεύονται την ετεροσκεδαστικότητα και τη σημαντική συσχέτιση των δεδομένων προκειμένου να αυξηθεί η αποτελεσματικότητα. Συνοψίζοντας, οι ερευνητές αναφέρουν ότι γενικά είναι δύσκολο να επιλεχθούν οι κατάλληλες χρονοσειρές που χρειάζονται σε μία μελέτη, γεγονός το οποίο δημιουργεί αρκετά προβλήματα, τα οποία για να επιλυθούν απαιτείται περισσότερη έρευνα. 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) Πριν προχωρήσουμε στη δική μας εμπειρική ανάλυση, θα πραγματοποιήσουμε μια εκτενή αναφορά στο άρθρο των McCracken & Ng (2015) με τίτλο "FRED-MD: A Monthly Database for Macroeconomic Research". Το συγκεκριμένο άρθρο αποτέλεσε τη βάση και τον οδηγό για την παρούσα ιπλωματική εργασία μιας και το εμπειρικό μας κομμάτι είναι παρόμοιο με αυτό το οποίο περιγράφεται από τους McCracken & Ng (2015). Ετσι, στην παρούσα ενότητα θα αναφερθούμε στους στόχους συγγραφής του άρθρου, στη δομή των δεδομένων που χρησιμοποιήθηκαν, στην εμπειρική μεθοδολογία καθώς και στα συμπεράσματα στα οποία κατέληξαν. Πρώτα απ όλα, αξίζει να αναφέρουμε ότι το συγκεκριμένο paper περιγράφει μια νέα βάση, με δεδομένα τα οποία καταγράφονται σε μηνιαία συχνότητα. Αυτή η βάση ονομάζεται FRED-MD. Στόχος της δημιουργίας της είναι ότι οι ερευνητές McCracken & Ng (2015) ήθελαν να γίνει γνωστή σε άλλους ερευνητές μια νέα βάση δεδομένων, η οποία θα ενημερώνεται σε τακτά χρονικά διαστήματα, θα είναι προσβάσιμη σε όλους, ενώ θα δίνεται και η δυνατότητα να αναθεωρούνται και να συγκρίνονται μεταξύ τους διάφορες εμπειρικές εργασίες. Μετά από την περιγραφή της FRED-MD οι συγγραφείς προβαίνουν

45 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 32 σε εκτίμηση παραγόντων με τα συγκεκριμένα δεδομένα καθώς και σε πρόβλεψη εδομένα (FRED-MD) Οι εκτιμήσεις στις οποίες προβαίνουν οι McCracken & Ng (2015) περιλαμβάνουν δεδομένα τα οποία αντλούνται από την νέα βάση δεδομένων την οποία δημιούργησαν οι ίδιοι, την (FRED-MD). Η FRED- MD, ουσιαστικά αποτελεί μια επέκταση της βάσης FRED η οποία είναι διαθέσιμη από την Federal Reserve Bank of St. Louis. Όπως σημειώθηκε και παραπάνω, η νέα βάση δεδομένων θα πρέπει να ικανοποιεί τρία κριτήρια. Πρώτον, θα είναι δημόσια διαθέσιμη (προσβάσιμη) έ- τσι ώστε πολλοί ερευνητές να έχουν πρόσβαση στα ίδια δεδομένα, τα οποία δεδομένα ικανοποιούν τα τέσσερα κριτήρια που εδραιώθηκαν από τους Stock & Watson (1996). εύτερον, θα ενημερώνεται τακτικά και τρίτον θα ξεκουράζει τους ερευνητές από το βάρος της συγκέντρωσης δεδομένων τα οποία αλλάζουν διαρκώς και αποτελούν μια επίπονη διαδικασία. Με βάση τα συγκεκριμένα κριτήρια, οι αναλυτές McCracken & Ng (2015) συγκέντρωσαν 134 μηνιαίες χρονοσειρές με μακροοικονομικά δεδομένα για την οικονομία των ΗΠΑ. Οι συγκεκριμένες χρονολογικές σειρές είναι παρόμοιες με αυτές που συμπεριλαμβάνονται στο αρχικό dataset των Stock & Watson (1996). Μέχρι τη στιγμή της συγγραφής του άρθρου που μελετάμε, τα δεδομένα τα οποία συγκεντρώθηκαν φτάνουν έως το χρονικό διάστημα 2015:04, δηλαδή τον Απρίλιο του Όταν δημιουργήθηκε η (FRED-MD), 19 από τις 134 χρονοσειρές χρειάζονταν ορισμένες προσαρμογές. Οι συγκεκριμένες προσαρμογές σχετίζονται με θέματα εποχικότητας, με ζητήματα ορισμών (αλλαγή ονομασίας χρονοσειράς), καθώς και προβλήματα με ελλιπείς τιμές των μεταβλητών, μιας και στοιχεία για ορισμένες από

46 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 33 αυτές άρχισαν να συγκεντρώνονται αργότερα από άλλες, ενώ κάποιες άλλες καταργήθηκαν σταδιακά λόγω αναγκών της οικονομίας, η οποία αλλάζει. Όπως τονίσαμε παραπάνω, υπάρχουν αρκετές μεταβλητές οι οποίες έχουν ελλιπείς τιμές. Οι χρονοσειρές οι οποίες έχουν missing values στην αρχή του δείγματος είναι 9, ενώ αυτές που έχουν ελλιπείς τιμές στο τέλος του δείγματος είναι 12. Επίσης, οι McCracken & Ng (2015) δεν έχουν προβεί σε προσαρμογές των ακραίων τιμών των μεταβλητών (outliers). Φυσικά, το dataset μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε ένα Ισορροπημένο panel απαλείφοντας κάποιες χρονοσειρές. Με την απαλοιφή τεσσάρων χρονοσειρών για τις οποίες υπάρχει περιορισμένος αριθμός δεδομένων, ένα balanced panel 130 χρονοσειρών από το 1960:01 έως το 2014:12 είναι διαθέσιμο. Ωστόσο, στην ανάλυση που θα ακολουθήσει οι αναλυτές για λόγους συνέπειας αλλά και επειδή ήθελαν να ακολουθήσουν άλλες προηγούμενες μελέτες μετασχημάτισαν κάποιες από τις Χρονοσειρές με ε- πακόλουθο να χαθούν και κάποιες άλλες παρατηρήσεις. Ετσι, το panel που χρησιμοποιείται στην ανάλυση περιλαμβάνει δεδομένα από το 1960:03 έως το 2014:12 με το εύρος του δείγματος να ισούται με 658 παρατηρήσεις Εκτιμήσεις κοινών παραγόντων (Factor Estimates) Στη συγκεκριμένη ενότητα θα περιγράψουμε τη διαδικασία εκτίμησης παραγόντων την οποία χρησιμοποίησαν οι McCracken & Ng (2015) με δεδομένα της νέας βάσης δεδομένων (FRED-MD) για το χρονικό διάστημα 1960:03 μέχρι 2014:12, ενώ επίσης θα σχολιάσουμε τα αποτελέσματα στα οποία κατέληξαν. Η εκτίμηση παραγόντων ενός panel με μεγάλα Ν, Τ μπορεί να γίνει με συνέπεια χρησιμοποιώντας την μέθοδο PCA (Principal Components

47 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 34 Analysis). Συγκεκριμένα, για τον υπολογισμό των στατικών παραγόντων, οι αναλυτές εφαρμόζουν την μέθοδο PCA, αφού πρώτα την προσαρμόσουν ώστε να επιτρέπει τις ελλιπείς τιμές. Ουσιαστικά, χρησιμοποιείται ο ΕΜ αλγόριθμος ο οποίος δίνεται από τους Stock & Watson (2002). Συνοπτικά, οι παρατηρήσεις που λείπουν αντικαθίστανται από τον μέσο των μεταβλητών, ο οποίος βασίζεται στις διαθέσιμες παρατηρήσεις (non-missing values), ενώ ισούται και με 0 μιας και τα δεδομένα είναι κανονικοποιημένα, έτσι ώστε να δημιουργείται και πάλι ένα ισορροπημένο panel. Με βάση την κανονικοποίηση ότι λ λ/n = I r, εκτιμάται μια μήτρα Txr η οποία περιλαμβάνει παράγοντες F = (f 1,..., f T ) και μια μήτρα συντελεστών παραγόντων λ = (λ 1,..., λ N ) διάστασης Nxr. Επειτα, η ελλιπής τιμή της χρονοσειράς i στο χρόνο t η ο- ποία έχει την τιμή 0 αντικαθίσταται από το γινόμενο ˆλ iˆf t. Αυτό πολλαπλασιάζεται με την τυπική απόκλιση των χρονοσειρών όλου του δείγματος και έτσι ο μέσος ξαναυπολογίζεται. Η τιμή η οποία προκύπτει αντιμετωπίζεται σαν μια παρατήρηση για τη χρονοσειρά i στο χρόνο t. Το επόμενο βήμα είναι να ξαναυπολογιστεί ο μέσος και η διακύμανση του νέου δείγματος. Σύμφωνα με αυτές τις διαδικασίες, τα δεδομένα είναι και πάλι κανονικοποιημένα, ενώ οι παράγοντες και οι συντελεστές παραγόντων εκτιμώνται και πάλι από το νέο panel. Η συγκεκριμένη διαδικασία συνεχίζεται έως ότου οι εκτιμήσεις των factors να μην αλλάζουν, δηλαδή να μην παρατηρούνται αλλαγές στα αποτελέσματα. Τέλος, επιλέγεται ο αριθμός των παραγόντων. Σύμφωνα με τους McCracken & Ng (2015), έχουν αναπτυχθεί πολλές διαδικασίες για την εκτίμηση των παραγόντων όταν τα Ν, Τ είναι μεγάλα. Καθεμιά από αυτές επιβάλλει διαφορετικές υποθέσεις στα Factor Models. Οι ερευνητές McCracken & Ng (2015), στη συγκεκριμένη έρευνα χρησιμοποιούν τα PC p κριτήρια, τα οποία αναπτύχθηκαν από

48 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 35 τους Bai & Ng (2002) και αποτελούν μια γενίκευση του κριτηρίου Mallow C p το οποίο εφαρμόζεται σε panel με μεγάλες διαστάσεις. Ο αριθμός των παραγόντων επιλέγεται ώστε να ελαχιστοποιείται το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων. Με αυτή την υπόθεση, το κριτήριο PC P2 βρίσκει 8 παράγοντες στο δείγμα και 9 αν δεν πραγματοποιηθεί καμία προσαρμογή στις ακραίες τιμές των μεταβλητών. Αφού εκτιμηθούν οι παράγοντες, γίνεται παλινδρόμηση κάθε σειράς i του δείγματος με ένα σύνολο r παραγόντων (k 1,2,..r), ενώ υπολογίζεται και ο συντελεστής προσδιορισμού της σειράς i, R i (k) 2. Η επεξηγηματική δύναμη κάθε παράγοντα k ισούται με: mr 2 i (k) = R 2 i (k) R 2 i (k 1), k = 2,.., r (3.8) με mr 2 i (1) = Ri 2 (1), αν k 1. ηλαδή, μπορούμε να αναφέρουμε ότι η επεξηγηματική δύναμη του κάθε παράγοντα k στο σύνολο του δείγματος ισούται με την οριακή συνεισφορά του. Η μέση σημασία των k παραγόντων είναι: mr 2 (k) = 1 N N i=1 mr 2 i (k) (3.9) Ο υπολογισμός του συντελεστή προσδιορισμού των παραγόντων βοηθά κατά κύριο λόγο τους ερευνητές να εξάγουν κάποια ασφαλή συμπεράσματα σχετικά με το σύνολο των μεταβλητών που μελετούνται και την επίδραση των Παραγόντων σε αυτές. Παραπάνω, αναφέρθηκε ότι το κριτήριο PC P2 βρίσκει 8 παράγοντες. Σύμφωνα με το συγκεκριμένο κριτήριο, ο factor 1 εξηγεί το της συνολικής μεταβλητότητας των δεδομένων και μπορεί να ερμηνευτεί ως ένας παράγοντας πραγματικής δραστηριότητας (real activity) και εργασίας (employment). Ο δεύτερος παράγοντας ερμηνεύει το της συνολικής μεταβλητότητας των δεδομένων και παρουσιάζει ερμη-

49 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 36 νευτική ικανότητα σε μεταβλητές που μελετούν κυρίως επιτόκια. Ο τρίτος παράγοντας έχει mr 2 i που ισούται με και η επεξηγηματική του δύναμη είναι συγκεντρωμένη σε μεταβλητές τιμών, άρα ερμηνεύεται σαν ένας παράγοντας πληθωρισμού. Οι παράγοντες 4,5 ερμηνεύουν ένα σύνολο μεταβλητών που σχετίζονται με επιτόκια, ενώ ο factor 6 συγκεντρώνει μεταβλητές δραστηριότητας και πραγματικής εργασίας. Ο έβδομος παράγοντας έχει επεξηγηματική δύναμη σε χρονοσειρές που σχετίζονται με τη χρηματιστηριακή αγορά (stock market) και τέλος ο 8ος παράγοντας εξηγεί σειρές με δεδομένα συναλλαγματικής ισοτιμίας. Συμπερασματικά, οι 8 παράγοντες εξηγούν το της συνολικής μεταβλητότητας όλων των χρονοσειρών της βάσης FRED-MD. Ειδικότερα, εξηγούν πάνω από το 0.5 της διακύμανσης 69 σειρών και από 0.25 έως 0.5 της διακύμανσης σε 27 χρονοσειρές Πρόβλεψη (Predictability) Οι αναλυτές McCracken & Ng (2015), αφού εκτίμησαν τους παράγοντες με τα δεδομένα της (FRED-MD), χρησιμοποιούν τα αποτελέσματα για να προβούν σε πρόβλεψη. Η πρόβλεψη τους είναι αρκετά παρόμοια με αυτή των Stock & Watson (2002). Συγκεκριμένα, πραγματοποιούν πρόβλεψη για τη βιομηχανική παραγωγή των ΗΠΑ (Industrial production), για την εργασία (μη- Αγροτική) (nonfarm employment), για το γενικό δείκτη τιμών καταναλωτή ( ΤΚ) (headline CPI inflation) καθώς και για το βασικό δείκτη τιμών καταναλωτή (core CPI inflation) σε 1, σε 6 και σε 12 Ορίζοντες μπροστά (12 μήνες μπροστά). Ε- πιπρόσθετα, για κάθε μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής και του ορίζοντα έχουν τεθεί τρεις στόχοι. Πρώτον, να αποδειχθεί ότι οι εκτιμημένοι παράγοντες της (FRED-MD) έχουν προγνωστική ιδιότητα και συμπεριλαμβάνονται στο βασικό αυτοπαλίνδρομο μοντέλο. εύτερον,

50 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 37 να αποδειχθεί ότι οι παράγοντες συγκρίνονται ευνοϊκά σε όρους Πρόβλεψης και τρίτον, να τεκμηριωθεί η δύναμη πρόβλεψης των factors κατά τη διάρκεια της Αμερικάνικης οικονομικής ανάκαμψης. Σε κάθε περίπτωση το μοντέλο που χρησιμοποιείται για πρόβλεψη έχει την εξής μρφή: Y h t+h = α h + β h (L)ˆf t + γ h (L)y t + h t+h (3.10) Όλα τα μοντέλα εκτιμούνται με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (OLS). Για την ανάλυση, θεωρείται ότι το αρχικό δείγμα διαιρείται σε τρεις περιόδους. Με σκοπό να γίνει σωστή σύγκριση της βάσης FRED-MD με άλλες βάσεις δεδομένων, οι πρώτες δύο περίοδοι τελειώνουν με την τελευταία παρατήρηση της βάσης GSI, που είναι το Η πρώτη πρόβλεψη γίνεται το 1970:01 και η δεύτερη πραγματοποιείται το 1990:01 και μετά. Η τρίτη περίοδος στοχεύει στην προγνωστική ικανότητα των παραγόντων που εκτιμήθηκαν από την FRED-MD κατά την περίοδο της ανάκαμψης των ΗΠΑ ξεκινώντας από το 2008:01 έως το 2014:12. Στη συνέχεια, συγκρίνεται η ικανότητα πρόβλεψης του πρώτου εκτιμημένου παράγοντα της FRED-MD (ˆf 1 ), με εκείνους που εκτιμήθηκαν από τη βάση GSI. Προκειμένου να δοθεί έμφαση στην δύναμη πρόβλεψης των εκτιμημένων παραγόντων για έναν δεδομένο ορίζοντα, οι αναλυτές κρατούν σταθερό το μοντέλο στο χρόνο. Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιείται το κριτήριο BIC, ώστε να επιλεγεί ο αριθμός των αυτοπαλίνδρομων υστερήσεων καθώς και ο αριθμός των υστερήσεων του πρώτου εκτιμημένου παράγοντα της FRED-MD για το δείγμα από το 1960:03 έως το 2003:12. Για κάθε μία από τις τέσσερις εξαρτημένες μεταβλητές, με ορίζοντα πρόβλεψης (1,6,12) και διαίρεση δείγματος (1970: :12, 1990: :12), υπολογίζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα του

51 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 38 μοντέλου MSE, το οποίο χρησιμοποιεί τους εκτιμημένους παράγοντες της FRED-MD, καθώς και ο λόγος του με το μέσο τετραγωνικό σφάλμα των εκτιμημένων παραγόντων της GSI είτε το 2003, είτε το Όταν ο λόγος είναι μεγαλύτερος από 1, προτείνεται η FRED-MD σε σύγκριση με τη GSI. Επιπλέον, οι ερευνητές για να παρατηρήσουν εάν υπάρχουν διαφορές που είναι στατιστικά σημαντικές εφαρμόζουν τα tests Diebold & Mariano (1995) και West (1996). Όσον αφορά τα αποτελέσματα, οι λόγοι MSE κυμαίνονται από 0.98 έως Στην έρευνα τους οι McCracken & Ng (2015), όπως αναφέρθηκε παραπάνω έχουν ως στόχο να παρατηρηθεί η προγνωστική ικανότητα των εκτιμημένων παραγόντων της βάσης FRED-MD. Γι αυτό το λόγο, προβαίνουν αρχικά σε σύγκριση των MSE σε μοντέλα παραγόντων της FRED-MD, τα οποία χρησιμοποιούν μόνο τον πρώτο εκτιμημένο παράγοντα, εναντίον των μοντέλων που χρησιμοποιήθηκαν στην α- νάλυση των Stock & Watson (2002), τα οποία χρησιμοποιούν τον πρώτο καθώς και τον δεύτερο εκτιμημένο παράγοντα. Το συμπέρασμα είναι ότι η χρήση δύο παραγόντων, αντί ενός διαφοροποιεί ελαφρώς το MSE. Στη συνέχεια, οι McCracken & Ng (2015) παραθέτουν τα MSE των μοντέλων που συμπεριλαμβάνουν τον πρώτο εκτιμημένο παράγοντα εναντίον κάποιων απλών AR μοντέλων καθώς και τα MSE των μοντέλων που περιλαμβάνουν τον πρώτο εκτιμημένο παράγοντα, εναντίον εκείνων που περιλαμβάνουν τους πρώτους δύο παράγοντες. Για την συγκεκριμένη εκτίμηση, τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν έφταναν έως το 2014:12. Όσον αφορά τα αποτελέσματα, σε όλο το δείγμα μετα το 1970, το μοντέλο το οποίο συμπεριλαμβάνει τον πρώτο εκτιμημένο παράγοντα παρέχει στατιστικά σημαντικό MSE σε όλους τους ορίζοντες για όλες τις εξαρτημένες μεταβλητές με εξαίρεση το CPI για ορίζοντα 6 μήνες μπροστά. Ωστόσο, ο πρώτος παράγοντας δε φαίνε-

52 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 39 ται να παρέχει καμιά χρήσιμη προγνωστική δύναμη για κανένα από τα CPI, core CPI μετά το 1990 καθώς και για μετά το Βέβαια, όπως τονίζουν οι ίδιοι McCracken & Ng (2015), τα κύρια αποτελέσματα της έρευνας είναι ότι υπάρχουν λίγες (πολύ μικρές) στατιστικά σημαντικές διαφορές στην δύναμη πρόβλεψης των παραγόντων της FRED-MD σε σύγκριση με εκείνους της βάσης δεδομένων GSI είκτες διάχυσης (Diffusion Indexes) Η τελευταία ενότητα η οποία περιγράφεται στο άρθρο των McCracken & Ng (2015) προτείνει μια νέα χρήση των εκτιμημένων παραγόντων στην μελέτη για την κατάσταση της οικονομίας. Ο αρχικός στόχος των ερευνητών είναι να ταξινομηθούν οι εκτιμημένοι παράγοντες σε δύο groups, τα οποία θα σχετίζονται με τη δραστηριότητα στην οικονομία (real and nominal activity). Συγκεκριμένα, προτείνεται η εξέταση των παραγόντων μέσω των δεικτών διάχυσης (Diffusion Indexes). Σύμφωνα με τον ορισμό των McCracken & Ng (2015), δείκτης διάχυσης είναι ένας δείκτης, ο οποίος συγκεντρώνει δεδομένα σε ένα group (πχ βιομηχανική παραγωγή) και παρέχει μία σύνοψη σχετικά με την αλλαγή κατεύθυνσης της πορείας του. Σε αυτό το σημείο, θα προβούμε σε μία ιστορική αναδρομή για τους δείκτες διάχυσης. Οι Burns & Mitchell (1946) πρωτοπόρησαν με την μελέτη τους σχετικά με τα σημεία καμπής (turning points) του επιχειρηματικού κύκλου με διάφορες μεθόδους. Μια μεταγενέστερη δουλειά του Broida (1955) βρίσκει ότι οι δείκτες παρέχουν λανθασμένα σήματα σχετικά με την πορεία της κατάστασης της οικονομίας. Βέβαια, τα ευρήματα της συγκεκριμένης έρευνας έχουν απορριφθεί α- πό άλλες μελέτες. Ειδικότερα, ο Kennedy (1994), σε ένα δείγμα 25 χρόνων, το οποίο αρχίζει από το 1967 και αφορά σε δεδομένα για τη βιομηχανική παραγωγή και την εργασία, παρατηρεί ότι οι δείκτες

53 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 40 διάχυσης έχουν προγνωστική δύναμη. Αργότερα, οι Stock & Watson (2010, 2014), προσεγγίζουν το θέμα εφαρμόζοντας την μέθοδο "date and average" και οδηγούνται στο συμπέρασμα ότι οι δείκτες διάχυσης έχουν προγνωστική δύναμη, κάνοντας έτσι πιο ελπιδοφόρα τα αποτελέσματα των Burns & Mitchell (1946). Η έρευνα των McCracken & Ng (2015) σχετίζεται με αυτή των Stock & Watson (2010, 2014), μιας και κινείται στο πνεύμα του "average and data", διαφέρει όμως από αυτήν για δύο λόγους. Ο πρώτος λόγος είναι ότι οι McCracken & Ng (2015) εκτιμούν στατικούς παράγοντες ενώ οι Stock & Watson (2010, 2014) εκτιμούν δυναμικούς παράγοντες. Βέβαια, αυτή η διαφορά δεν είναι πολύ σημαντική μιας και όπως έχει ήδη τονιστεί οι στατικοί και οι δυναμικοί παράγοντες έχουν συνήθως παρόμοιες ιδιότητες. Η ιδιαίτερη ιδιότητα η οποία είναι σχετική εδώ, είναι η μεταβλητότητα (variability) στις εκτιμήσεις των παραγόντων. Αυτό συμβαίνει εξαιτίας της διαφοροποίησης των δεδομένων που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση, μιας και κάποιες α- πό τις χρονοσειρές που χρησιμοποιούν στην έρευνα τους οι McCracken & Ng (2015) έχουν υποστεί προσαρμογές προκειμένου να επιτευχθεί στασιμότητα. Ετσι, οι εκτιμήσεις των παραγόντων ˆf t για ανάλυση των "turning points" παρέχουν αβέβαια αποτελέσματα. Η δεύτερη διαφορά ανάμεσα στις μελέτες, η οποία είναι και η πιο ουσιαστική είναι ότι οι McCracken & Ng (2015) σχηματίζουν δείκτες διάχυσης από το μερικό άθροισμα των κοινών παραγόντων και όχι από τους ίδιους τους παράγοντες. Επιπρόσθετα, οι ερευνητές McCracken & Ng (2015) στην ανάλυση τους εφαρμόζουν τον αλγόριθμο των Bry & Boschan (1971), ο οποίος αναζητά αλλαγές στην κατεύθυνση των χρονοσειρών, εκτιμώντας με αυτόν τον τρόπο την τάση. Κατά την εφαρμογή του αλγορίθμου, παρατηρείται ότι ο ˆf 1t είναι σε συμφωνία με τις ημερομηνίες

54 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 41 των υφέσεων (NBER) σε ποσοστό 65%, ενώ με τις ημερομηνίες των ανακάμψεων (NBER) υπάρχει συμφωνία σε ποσοστό 57%. Ο λόγος για τον οποίο κατασκευάζονται δείκτες διάχυσης από το μερικό άθροισμα των κοινών παραγόντων είναι για να μετριαστεί το πρόβλημα της μικρής συμφωνίας που αναφέρθηκε παραπάνω. Ο πρώτος δείκτης διάχυσης αφορά την πραγματική δραστηριότητα (real activity), συμβολίζεται με ˆF 1t και κατασκευάζεται με δεδομένα της βάσης δεδομένων FRED-MD ως εξής: ˆF 1t = t ˆf 1j. Στη συνέχεια, ακολουθούν δύο εκτιμήσεις. Αρχικά, οι παράγοντες ˆf t εκτιμώνται χρησιμοποιώντας και τις 134 χρονοσειρές της FRED-MD από το 1960:03 έως το 2014:12. Επειτα, για να φανεί αν οι εκτιμήσεις των παραγόντων είναι "robust" στην αντιμετώπιση των ελλιπών τιμών, εκτιμάται και πάλι ο δείκτης διάχυσης ˆF 1t από ένα ισορροπημένο panel 130 χρονοσειρών. Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο των Bry & Boschan (1971) στον πρώτο δείκτη διάχυσης, παρατηρείται ότι οι ημερομηνίες των υ- φέσεων συμπίπτουν (άριστη κατηγοριοποίηση) με τις αντίστοιχες της (NBER), όμως είναι λιγότερο επιτυχής στις ημερομηνίες των αναπτύξεων της οικονομίας (expansions), μιας και η τιμή του δείκτη σωστής κατηγοριοποίησης φτάνει σε ποσοστό 67%. Οι McCracken & Ng (2015) στην έρευνα τους κατασκευάζουν άλλους τρεις δείκτες διάχυσης. Ο δεύτερος δείκτης διάχυσης κατασκευάζεται ως εξής: ˆF 2t = t ˆf 2j. Ο ˆf 2t θεωρείται ένας nominal factor και έχει j=1 καλή επεξηγηματική δύναμη για μακροπρόθεσμα spreads. Οι δείκτες ˆf 3t, ˆf 4t ακολουθούν την ίδια πορεία με τον δεύτερο δείκτη ιάχυσης, όμως παρουσιάζουν υψηλότερο mr 2 j=1 για μεταβλητές τιμών και επιτοκίων. Ο συνδυασμός των ˆF 2t, ˆF 3t, ˆF 4t ή ακόμη και ο κάθένας τους μεμονωμένα παρουσιάζουν έντονο ενδιαφέρον μιας και φαίνεται να σχετίζονται με την αύξηση του πληθωρισμού πέντε δεκαετίες πριν, αν και δε φαίνεται να έχουν κάποια συσχέτιση με τις υφέσεις.

55 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) 42 Στη συνέχεια, οι ερευνητές αναφέρουν ότι ο ˆF 1t έχει το μειονέκτημα ότι λαμβάνει την τιμή 0 στο τέλος του δείγματος. Αυτό δημιουργεί το πρόβλημα ότι ο συγκεκριμένος δείκτης δεν παρέχει πληροφόρηση για πρόσφατες αλλαγές του επιχειρηματικού κύκλου, παρόλο που παρέχει χρήσιμη και σωστή πληροφόρηση για τις υφέσεις. Αυτό το πρόβλημα προσεγγίζεται από τους McCracken & Ng (2015) με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι να τροποποιηθούν τα δεδομένα ως εξής: Για i 1,...N και t 3,...T, θεωρούμε t x it = (x it x it ) σ i (3.11) T όπου x it = 1 t x is και σ i = 1 s=1 T it s=1(x 1 x T it ) 2. Επειτα, τα x i1, x i2, t=1 τοποθετούνται στον μέσο των σειρών i. Αυτή η διαδικασία γίνεται μόνο μια φορά. Λόγω της συγκεκριμένης τροποποίησης των δεδομένων απαιτείται μια διαφορετική αντιμετώπιση των ελλιπών τιμών και γι αυτό το λόγο χρησιμοποιείται ένα ισορροπημένο panel 130 χρονοσειρών για την εκτίμηση των παραγόντων. Ετσι, κατασκευάζεται ένας νέος δείκτης διάχυσης, ο F 1t. Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο των Bry & Boschan (1971), παρατηρείται ότι ο F 1t έχει τιμή ταξινόμησης των υφέσεων που ισούται με 0.98, χάνοντας μόνο την ύφεση του 1961:02. Η αντίστοιχη τιμή για expansions ισούται με 58%. Το πρόβλημα με τον δείκτη ˆF 1t, το οποίο προσπαθούν να επιλύσουν οι McCracken & Ng (2015) πηγάζει επίσης από ένα χαρακτηριστικό της CUSUM παλινδρόμησης των καταλοίπων. Το CUSUM test, το οποίο βασίζεται στα κατάλοιπα και αναζητά structural breaks στερείται από δύναμη στο τέλος του δείγματος. Βασιζόμενοι και σ αυτό το χαρακτηριστικό οι ερευνητές προσπαθούν να επιλύσουν το πρόβλημα κατασκευάζοντας δείκτες διάχυσης από εκτιμημένους παράγοντες. Για κάθε k 1,...r εκτιμώνται οι f k,t αρχίζοντας από το T

56 3.2 Η μελέτη των McCracken & Ng (2015) :01. Σε κάθε μήνα t, μια αλληλουχία παραγόντων ˆf k,s,t κατασκευάζεται για κάθε s 1,...t. Το μερικό άθροισμα των χρονοσειρών χρησιμοποιείται για να κατασκευαστεί ένας νέος δείκτης διάχυσης, ο ˆ RF 1t. Οι πιο πρόσφατες τιμές του δείκτη ˆ RF 1t δε δείχνουν ξεκάθαρη αλλαγή κατεύθυνσης, προτείνοντας έτσι ότι η κατάσταση της Οικονομίας παραμένει σταθερή. Βέβαια, όπως αναφέρουν οι McCracken & Ng (2015), απαιτείται περισσότερη μελέτη στις στατιστικές ιδιότητες των δεικτών διάχυσης, αν και τα μέχρι τώρα αποτελέσματα είναι ενθαρρυντικά. Τέλος, αναφέρουν ότι μιας και η βάση δεδομένων FRED-MD ανανεώνεται διαρκώς οι δείκτες διάχυσης μπορούν να φανούν χρήσιμα εργαλεία στα επόμενα χρόνια. Στο επόμενο κεφάλαιο, θα υιοθετήσουμε το λογισμικό ανοιχτού κώδικα gretl και τις μεθόδους των McCracken & Ng (2015) ώστε να αναπαράξουμε όσο το δυνατόν πλησιέστερα τα αποτελέσματά τους αλλά και να επεκτείνουμε την μελέτη τους μέχρι και τον εκέμβριο του 2016.

57 Κεφάλαιο 4 Εμπειρική Ανάλυση Στο τέταρτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας παρουσιάζεται η ε- μπειρική ανάλυση των δεδομένων. Στόχος μας είναι να αναπαράξουμε όσο το δυνατόν πλησιέστερα τα αποτελέσματα των McCracken & Ng (2015) καθώς και να επεκτείνουμε την έρευνα τους μέχρι τον εκέμβριο του Θα χρησιμοποιηθεί η βάση δεδομένων, η ο- ποία δημιουργήθηκε από τους ίδιους τους ερευνητές και περιλαμβάνει χρονοσειρές με στοιχεία για την οικονομία των ΗΠΑ. Η συγκεκριμένη βάση δεδομένων καλείται FRED-MD και έχουμε αναφερθεί εκτενώς σε αυτήν σε προηγούμενο κεφάλαιο. Επιπλέον, με την εκτίμηση των παραγόντων καθώς και με τη διαδικασία πρόβλεψης (που μπορεί να ακολουθηθεί μετά την εκτίμηση των κοινων παραγόντων) θα μας δοθεί η δυνατότητα να παρατηρήσουμε και συνοψίσουμε την δυναμκή πορεία σημαντικών μακροοικονομικών μεγεθών. Όσον αφορά τη δομή της εμπειρικής Ανάλυσης, αρχικά γίνεται εκτενής αναφορά στα δεδομένα τα οποία χρησιμοποιούνται, παρουσιάζοντας τα χαρακτηριστικά και τις ιδιομορφίες τους καθώς και την επεξεργασία που υπέστησαν προκειμένου να χρησιμοποιηθούν στην ανάλυση, ενώ ακόμη περιγράφονται και οι διαφορές του dataset που χρησιμοποιούν οι McCracken & Ng (2015) με αυτό το οποίο χρησι- 44

58 4.1 εδομένα (Data) 45 μοποιούμε εμείς. Οι διαφορές αυτές έχουν δημιουργηθεί είτε λόγω της ενημέρωσης (update) των χρονοσειρών της FRED-MD, είτε λόγω αλλαγής των αναγκών της οικονομίας, κάτι το οποίο σημαίνει ότι κάποιες μεταβλητές ενδέχεται να μην μελετούνται πια, να μην υπάρχουν επαρκή στοιχεία ή να έχουν προστεθεί νέες χρονοσειρές. Στη συνέχεια, γίνεται η εκτίμηση των παραγόντων και παρουσιάζονται εκτεώς τα αποτελέσματα της μεθόδου PCA και του ΕΜ αλγορίθμου. 4.1 εδομένα (Data) Τα δεδομένα τα οποία χρησιμοποιούνται στην εμπειρική ανάλυση αντλούνται από τη βάση δεδομένων FRED-MD. Ουσιαστικά, πρόκειται για την ενημερωμένη (επικαιροποιημένη) βάση δεδομένων, την οποία δημιούργησαν και χρησιμοποίησαν οι McCracken & Ng (2015) στην έρευνα τους. Στο Κεφάλαιο 3, τονίστηκε ότι ένας από τους λόγους κατασκευής της συγκεκριμένης βάσης δεδομένων είναι ότι οι McCracken & Ng επιθυμούσαν τη δημιουργία μιας βάσης η οποία θα παρείχε ελεύθερη πρόσβαση σε άλλους ερευνητές. Ετσι, αρκετά αρχεία csv είναι διαθέσιμα για download από τον διαδικτυακό Ιστότοπο Η ενημερωμένη βάση δεδομένων αποτελείται από 128 χρονοσειρές μακροοικονομικών μεγεθών για την οικονομία των ΗΠΑ και περιλαμβάνει στοιχεία (παρατηρήσεις) με μηνιαία συχνότητα από το 1959:01 έως το 2017:06. Αν και υπάρχουν διαθέσιμα στοιχεία από το 1959, οι ερευνητές McCracken & Ng (2015) χρησιμοποιούν δεδομένα από το 1960:01 έως το 2014:12 ώστε να υπάρχει συνέπεια στη σύγκριση με άλλες προηγούμενες μεθόδους. Ετσι, μιας και επιθυμούμε να αναπαράξουμε την έρευνα των McCracken & Ng (2015) και να την επεκτείνουμε χρονικά, θα χρησιμοποιήσουμε και εμείς δεδομένα τα ο-

59 4.1 εδομένα (Data) 46 ποία ξεκινούν από τον Ιανούαριο του 1960, δηλαδή από το 1960:01 μέχρι και το τέλος του έτους 2016, δηλαδή μέχρι το 2016:12. Το συνολικό μέγεθος του δείγματος ισούται με 684 παρατηρήσεις. Ακόμη, όσον αφορά το είδος των χρονοσειρών του dataset, καλύπτουν μεγέθη από το ευρύ φάσμα της οικονομίας των ΗΠΑ και γι αυτό το λόγο τα δεδομένα κατηγοριοποιούνται σε 8 groups, τα οποία μελετούν το παραγόμενο προϊόν και το εισόδημα (Output and Income), την αγορά εργασίας (Labor Market), την κατανάλωση (Consumption), αποθέματα και παραγγελίες (Inventories and Orders), επιτόκια και συναλλαγματικές ισοτιμίες (Interest rate and exchange rates), τιμές (Prices) καθώς και χρηματιστηριακούς δείκτες (Stock Market) Επεξεργασία δεδομένων Βέβαια, πρέπει να τονίσουμε ότι η δομή των χρονοσειρών της βάσης δεν μας επιτρέπει να προβούμε σε κατ ευθείαν ανάλυση, μιας και το dataset δε θεωρείται ένα ισορροπημένο panel. Αυτό συμβαίνει για αρκετούς λόγους. Αρχικά, υπάρχουν αρκετές ελλιπείς τιμές (missing values) για έναν αριθμό χρονοσειρών είτε στην αρχή είτε στο τέλος του δείγματος. Για παράδειγμα, η σειρά TWEXMMTH 1 (σειρά 95) παρουσιάζει ελλιπείς τιμές στην αρχή του δείγματος μιας και οι διαθέσιμες τιμές για τη συγκεκριμένη μεταβλητή ξεκινούν από το 1973:01 και ύστερα. Άλλα παραδείγματα μεταβλητών με missing values αποτελούν και οι χρονοσειρές ACOGNO 2, ANDENOx 3, καθώς και η UMCSENTx 4 (σειρές 58, 60, 130). Επιπρόσθετα, μία ιδιαίτερα σημαντική αιτία για την οποία δεν μπορούμε να προβούμε σε κατ ευθείαν ανάλυση αποτελεί η μη- στα- 1 Description: Trade Weighted U.S. Dollar Index:Major Currencies 2 Description:New Orders for Consumer Goods 3 Description:New Orders for Nondefense Capital Goods 4 Description:Consumer Sentiment Index

60 4.1 εδομένα (Data) 47 σιμότητα των χρονοσειρών. Για να διεξαχθεί η ανάλυση, είναι αναγκαίο να έχουν εξαλειφθεί τυχόν τάσεις στις σειρές του δείγματος, δηλαδή να είναι στάσιμες. Μία ακόμη ιδιομορφία των χρονοσειρών της βάσης δεδομένων οι οποίες μας απασχολούν, προτού προβούμε σε εκτίμηση κοινών παραγόντων, είναι οι ακραίες τιμές των μεταβλητών. (outliers). Όσον αφορά τα outliers, η ύπαρξη τέτοιων τιμών εντός του δείγματος, δηλαδή τιμές οι οποίες απέχουν πολύ από το δειγματικό μέσο δημιουργούν παραπλανητικές ενδείξεις για τα αποτελέσματα των εκτιμήσεων στις οποίες θα προβούμε. Στη συνέχεια, θα αναφερθούμε στους μετασχηματισμούς τους ο- ποίους ακολούθησαν οι αναλυτές McCracken & Ng (2015) και τους οποίους υιοθετήσαμε και εμείς, προκειμένου να εξαλείψουμε τις ιδιομορφίες της βάσης δεδομένων, ώστε να προχωρήσουμε στην εκτίμηση των κοινών παραγόντων. Αρχικά, χαρακτηρίζουμε με τον αριθμό (1) τις σειρές οι οποίες δεν απαιτούν καμία προσαρμογή no-transformation. Τις χρονοσειρές για τις οποίες έχουν υπολογιστεί οι πρώτες διαφορές ( x t ) τις συμβολίζουμε με (2). Ο τρίτος μετασχηματισμός υπολογίζει τις δεύτερες διαφορές της χρονοσειράς ( 2 x t ) και συμβολίζεται με (3). Η τέταρτη προσαρμογή (4) υπολογίζει τους λογαρίθμους της σειράς (log(x t )). Με (5) συμβολίζονται οι διαφορές των λογαρίθμων μιας χρονοσειράς ( log(x t )), ενώ ο μετασχηματισμός (6) υπολογίζει τις δεύτερες διαφορές των λογαρίθμων μιας σειράς ( 2 log(x t )). Τέλος, ο έβδομος (7) μετασχηματισμός είναι (x t /x t 1 1.0). Να τονίσουμε ότι οι μετασχηματισμοί (2), (3), (5), (6) και (7) είναι μετασχηματισμοί στασιμότητας, δηλαδή αντιμετωπίζουμε τις τάσεις των χρονοσειρών (υποθέτουμε στοχαστικές τάσεις) μέσω πρώτων ή δεύτερων διαφορών (λογαριθμικών ή μη). Επίσης, αξίζει να τονιστεί ότι οι συγκεκριμένες προσαρμογές έχουν βοηθήσει στην εξάλειψη της εποχικότητας, κάτι το οποίο έχει ελεγχθεί από αρκετούς ερευνητές,

61 4.1 εδομένα (Data) 48 αλλά και από τους McCracken & Ng (2015). Με τον όρο εποχικότητα αναφερόμαστε σε ένα επαναλαμβανόμενο γεγονός, το οποίο συμβαίνει σε μια συγκεκριμένη περίοδο του χρόνου και προκαλεί έντονη μεταβολή στη διακύμανση των τιμών μιας χρονοσειράς. Για παράδειγμα, τους μήνες των εκπτώσεων οι τιμές σε είδη ρουχισμού μειώνονται με αποτέλεσμα οι αγορές τέτοιων ειδών να αυξάνονται. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα χρονοσειρές οι οποίες αναφέρονται σε τέτοια είδη να παρουσιάζουν έντονη εποχικότητα. Η μεταβλητή CMRMTSPLx 5 (σειρά 4) είναι ένα παράδειγμα χρονοσειράς που παρουσιάζει έντονη εποχικότητα στο dataset που μελετάμε Οι μετασχηματισμοί μέσω δεύτερων διαφορών έχουν ως αποτέλεσμα να χαθούν οι πρώτες 2 παρατηρήσεις του δείγματος. Ετσι, δημιουργείται ένα νέο δείγμα με δεδομένα από το 1960:03 έως το 2016:12 με 682 παρατηρήσεις. Με αυτόν τον τρόπο οι χρονοσειρές της βάσης μετατρέπονται σε στάσιμες. Γενικά, ο αριθμός των χρονοσειρών οι οποίες δεν υπόκεινται σε κάποιου είδους προσαρμογή (transformation) ισούται με 11, ενώ μόνο μία χρονοσειρά έχει δεχτεί τον μετασχηματισμό (7). Η συγκεκριμένη σειρά είναι η NONBORRES 6. Παρακάτω, παραθέτουμε ένα παράδειγμα με 2 γραφήματα τα ο- ποία απεικονίζουν τη χρονοσειρά RPI, η οποία περιγράφει το πραγματικό κατά κεφαλήν εισόδημα για την οικονομία των ΗΠΑ από τον Μάρτιο του 1960 έως το εκέμβριο του Στον κάθετο άξονα εμφανίζονται οι τιμές (παρατηρήσεις) της σειράς, ενώ στον οριζόντιο άξονα βρίσκονται τα έτη. Στο γράφημα 4.1 η χρονοσειρά είναι στην αρχική της μορφή, δηλαδή δεν έχει δεχτεί κάποιου είδους προσαρμογή (μετασχηματισμό) και όπως παρατηρείται είναι μία μη- στάσιμη χρονοσειρά, η οποία εμφανίζει διαρκώς ανοδική τάση. Στο γράφημα 4.2 απεικονίζεται η ίδια χρονοσειρά μετά τον μετασχηματισμό και 5 Description:Real Manu. and Trade Industries Sales 6 Description:Reserves Of Deposity Institutions

62 4.1 εδομένα (Data) 49 όπως φαίνεται η σειρά είναι στάσιμη χωρίς τάσεις. Γράφημα 4.1: Χρονοσειρά πραγματικού κατά κεφαλήν εισοδήματος (RPI) Γράφημα 4.2: Μετασχηματισμένη χρονοσειρά πραγματικού κατά κεφαλήν εισοδήματος (adjusted RPI). Για την εύρεση και την αντιμετώπιση των outliers, χρειάζεται να εξεταστούν όλες οι μεταβλητές του δείγματος μία προς μία και να αντικατασταθούν οι συγκεκριμένες παρατηρήσεις εάν υπάρχουν. Για την εύρεση αυτών των τιμών ακολουθούνται οι παρακάτω ενέργειες.

63 4.1 εδομένα (Data) 50 Αρχικά, τυποποιούνται όλες οι μεταβλητές. ηλαδή, υπολογίζουμε τη δειγματική μέση τιμή και τυπική απόκλιση των μετασχηματισμένων μεταβλητών και οι νέες τιμές για κάθε χρονοσειρά δίνονται από τις αρχικές τιμές μείον τη μέση τιμή κάθε χρονοσειράς προς την τυπική απόκλιση της καθεμίας. Στη συνέχεια, υπολογίζονται οι οριακές τιμές κάτω από τις ο- ποίες βρίσκεται το 25% (1ο τεταρτημόριο), το 50% (διάμεσος) και το 75% (3ο τεταρτημόριο) των παρατηρήσεων. Αφού υπολογιστούν οι συγκεκριμένες τιμές γίνεται αφαίρεση της οριακής τιμής του 1ου τεταρτημορίου από την αντίστοιχη τιμή του 3ου τεταρτημορίου (ενδοτεταρτημοριακό εύρος. IQR). Ακολουθώντας τους McCracken & Ng (2015), ορίζονται ως ακραίες οι τιμές εκείνες που είναι μεγαλύτερες ή μικρότερες (αποκλίνουν) από τη δειγματική διάμεσο κατά 10 φορές το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Σε αυτή την περίπτωη, η ακραία τιμή αντικαθίσταται με NA που συμβολίζει ελλιπείς τιμές. Άρα, ελλιπείς τιμές και ακραίες τιμές αντικαθίστανται με NA. Ετσι, λαμβάνουμε ένα ισορροπημένο (re- balanced) panel ακολουθώντας την EM διαδικασία που αναφέρεται στους McCracken & Ng (2015). Επειτα, προβαίνουμε σε εκτίμηση 8 παραγόντων με αποτέλεσμα την εκτίμηση μίας Txr μήτρας παραγόντων F = (f 1,..., f t ) και μίας μήτρας συντελεστών λ = (λ 1,..., λ N ). Οι ελλιπείς τιμές για τις σειρές i στο χρόνο t, οι οποίες είχαν λάβει την τιμή 0 αντικαθίστανται από τις X fitted values (ˆf ˆλ t i ). Αυτό πολλαπλασιάζεται με την τυπική απόκλιση των χρονοσειρών και ο μέσος ξαναπροστίθεται. Το αποτέλεσμα αντιμετωπίζεται σαν μια παρατήρηση για τις χρονοσειρές i στο χρόνο t, ενώ ο μέσος και η διακύμανση του δείγματος ξαναυπολογίζονται. Τα δεδομένα είναι σταθεροποιημένα ξανά και οι παράγοντες με τους συντελεστές παραγόντων εκτιμούνται και πάλι από το ενημερωμένο panel. Η συγκεκριμένη διαδικασία (iteration) σταματά όταν

64 4.2 Εκτιμήσεις Παραγόντων (Factor Estimates) 51 οι εκτιμήσεις των παραγόντων δεν αλλάζουν. Συνοψίζοντας, αξίζει να τονίσουμε ότι μετά από αυτή τη διαδικασία έχουμε στη διάθεση μας ένα ισορροπημένο (re- balanced) panel με 682 παρατηρήσεις για την οικονομία των ΗΠΑ για το διάστημα 1960:03 έως το 2016:12. Το επόμενο βήμα της έρευνας είναι η ε- κτίμηση των κοινών παραγόντων, η οποία αναλύεται στην ενότητα Εκτιμήσεις Παραγόντων (Factor Estimates) Σ αυτή την ενότητα, θα προβούμε σε εκτίμηση παραγόντων για τα δεδομένα της επικαιροποιημένης βάσης δεδομένων FRED-MD, καθώς και σε εκτενή σχολιασμό των αποτελεσμάτων. Για την εκτίμση των στατικών παραγόντων χρησιμοποιείται η μέθοδος PCA και ο ΕΜ αλγόριθμος ο οποίος είναι γραμμένος σε κώδικα στο λογισμικό gretl. Να υπενθυμίσουμε επίσης, ότι το δείγμα που θα χρησιμοποιηθεί στην ανάλυση περιλαμβάνει στοιχεία από το 1960:01 έως το 2016:12. Ο σκοπός για τον οποίο διεξάγουμε εκτίμηση κοινών παραγόντων είναι να μειώσουμε τη διάσταση του dataset (το οποίο αποτελείται από μεγάλα N, T) σε λιγότερες χρονοσειρές οι οποίες καλούνται factors. Οι factors όπως έχει ήδη σχολιαστεί στην ενότητα 1.1, έχουν τη δυνατότητα να εξηγούν την μεταβλητότητα ενός συνόλου δεδομένων. Η εκτίμηση κοινών παραγόντων είναι αποτέλεσμα χρήσης στατιστικών κριτηρίων. Γενικά, έχουν αναπτυχθεί πολλές διαδικασίες σύμφωνα με τις οποίες επιλέγεται ο αριθμός των factors σε δείγματα με μεγάλα N, T. Στη δική μας μελέτη υπολογίζουμε τον αριθμό τους με αρκετά στατιστικά κριτήρια, όμως δίνουμε ιδιαίτερη σημασία στα κριτήρια ICp, τα οποία τα χρησιμοποιούν στην έρευνα τους και οι McCracken & Ng (2015). Βέβαια, έχει παρατηρηθεί ότι τα αποτελέ-

65 4.2 Εκτιμήσεις Παραγόντων (Factor Estimates) 52 σματα των στατιστικών κριτηρίων δε συμφωνούν πάντα μεταξύ τους, μιας και βασίζονται σε διαφορετικές υποθέσεις. Αρκετές φορές, είναι θέμα υποκειμενικό το πόσοι παράγοντες θα χρησιμοποιηθούν από έ- ναν ερευνητή σε μια ανάλυση, ανάλογα με το είδος και τους στόχους της εργασίας του. Στη δική μας περίπτωση λοιπόν, δεχόμαστε αποτελέσματα από τα στατιστικά κριτήρια ICp, PCp, BIC3. Να τονιστεί σε αυτό το σημείο ότι ο αριθμός των παραγόντων από κάθε κριτήριο διαλέγεται με βάση μια διαδικασία στην οποία ελαχιστοποιείται το άθροισμα των ελαχίστων τετραγώνων. Στη δική μας περίπτωση η διαδικασία σταματά στην 6η επανάληψη. Τα αποτελέσματα των επαναλήψεων είναι τα εξής: Σύμφωνα με το ICp1 ο κατάλληλος αριθμός παραγό- Iteration SSRnt ΠΙΝΑΚΑΣ 4.1. Τιμές SSRnt για κάθε μία από τις 10 iterations ντων είναι 9, ενώ με το ICp2 ο αριθμός παραγόντων που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι 8. Το κριτήριο ICp3 δίνει 10 παράγοντες. Όσον αφορά τα κριτήρια PCp, υπάρχει συμφωνία μεταξύ των PCp1 και PCp3 τα οποία μας προτείνουν 10 παράγοντες, ενώ το PCp2 προτείνει ως καλύτερο αριθμό παραγόντων για το συγκεκριμένο dataset τους 9. Τέλος, ένα ακόμη σημαντικό κριτήριο είναι το BIC3, το οποίο δίνει 4 παράγοντες. Με βάση τα συγκεκριμένα αποτελέσματα επιβεβαιώνεται αυτο που αναφέραμε παραπάνω, δηλαδή ότι τα στα-

66 4.2 Εκτιμήσεις Παραγόντων (Factor Estimates) 53 τιστικά κριτήρια δε συμφωνούν μεταξύ τους. Ωστόσο, στην ανάλυση μας υιοθετούμε το κριτήριο ICp2 το οποίο μας προτείνει 8 κοινούς παράγοντες. Ο λόγος για τον οποίο πραγματοποιήσαμε αυτή την επιλογή μπορεί να γίνει περισσότερο κατανοητός με την παράθεση του παρακάτω γραφήματος. Γράφημα 4.3: Ποσοστό μεταβλητότητας που ερμηνεύεται από τον κάθε factor. Βασιζόμενοι στα αποτελέσματα του κριτηρίου ICp2 και στη χρήση 8 παραγόντων μπορούμε να προβούμε στο επόμενο στάδιο της μελέτης, το οποίο είναι η παλινδρόμηση των χρονοσειρών του δείγματος με τους 8 παράγοντες. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιείται η μέθοδος OLS. Ως εξαρτημένες μεταβλητές χρησιμοποιούνται οι χρονοσειρές του δείγματος της FRED-MD, ενώ οι ανεξάρτητες είναι οι μεταβλητές των 8 παραγόντων. Στόχος της παλινδρόμησης, είναι να εκτιμήσουμε τον συντελεστή προσδιορισμού R 2, ο οποίος μας δείχνει το ποσοστό μεταβλητότητας των χρονοσειρών που ερμηνεύεται από τους factors.

67 4.2 Εκτιμήσεις Παραγόντων (Factor Estimates) 54 Από τις εκτιμήσεις που έγιναν, παρατηρήθηκε ότι ο πρώτος παράγοντας mr 2 (1), εξηγεί το της συνολικής μεταβλητότητας των δεδομένων και μπορεί να ερμηνευτεί σαν ένας παράγοντας πραγματικής δραστηριότητας/εργασίας (real activity/employment). Ο δεύτερος παράγοντας, ερμηνεύει το της συνολικής μεταβλητότητας του δείγματος και μπορεί να θεωρηθεί ένας παράγοντας κατάλληλος για τα επιτόκια και τα αποθέματα (interest rates and inventories). Ο mr 2 (3) ισούται με Ο συγκεκριμένος παράγοντας έχει ερμηνευτική ι- κανότητα σε μεταβλητές τιμών (price variables) και άρα ερμηνεύεται σαν παράγοντας πληθωρισμού. Οι παράγοντες 4, 5 ερμηνεύουν ένα mix μεταβλητών σχετικά με τα επιτόκια (interest rates) και ο mr 2 τους ισούνται με και αντίστοιχα. Όσον αφορά τον factor 6, έχει ερμηνευτική ικανότητα που ισούται με και ερμηνεύει μεταβλητές σχετικές με την εργασία (real activity/employment) όπως καιο παράγοντας 1. Ο 7ος παράγοντας έχει ερμηνευτική δύναμη σε μεταβλητές που μελετούν την χρηματιστηριακή αγορά (stock market) και ερμηνεύει το της συνολικής μεταβλητότητας των δεδομένων. Τέλος, ο mr 2 (8) ισούται με και έχει ερμηνευτική δύναμη σε μεταβλητές συναλλαγματικής ισοτιμίας (exchange rates). Από τα αποτελέσματα γίνεται αντιληπτό ότι ο 1ος παράγοντας είναι αυτός με την μεγαλύτερη ερμηνευτική δύναμη, κάτι το οποίο παρατηρείται και από τα γραφήματα τα οποία παραθέσαμε παραπάνω. Η συνολική μεταβλητότητα η οποία ερμηνεύεται από τους factors ισούται με Το Γράφημα 4.3 περιγράφει την επεξηγηματική δύναμη του κάθε factor μεμονωμένα. Ο άξονας Y παρουσιάζει το ποσοστό διακύμανσης που μπορεί να εξηγήσει ο κάθε παράγοντας, ενώ ο άξονας Χ αποτελείται από ένα δείκτη παραγόντων (factor index). Όπως τονίστηκε παραπάνω, ο παράγοντας με την μεγαλύτερη επεξηγηματική

68 4.2 Εκτιμήσεις Παραγόντων (Factor Estimates) 55 Γράφημα 4.4: Ποσοστό συσσωρευτικής μεταβλητότητας που ερμηνεύεται από τους παράγοντες. ικανότητα είναι ο 1ος, με ποσοστό που ισούται με 14.6%. οι πρώτοι 4 παράγοντες παρουσιάζουν mr 2 i Γενικά, με τιμή μεγαλύτερη από 5%, ενώ οι υπόλοιποι 4 παράγοντες έχουν τιμή μικρότερη του 5%. Κάποια από τα κριτήρια όπως το PCp2 πρότειναν 9 παράγοντες. Σύμφωνα με το γράφημα 4.3 ο 9ος παράγοντας έχει επεξηγηματική ικανότητα που φτάνει το 2,1%, τιμή η οποία είναι μικρή όμως αυξάνει τη συσσωρευτική ικανότητα των factors, η οποία παρουσιάζεται στο γράφημα 4.4. Το γράφημα 4.4 λοιπόν περιγράφει την συνολική μεταβλητότητα την οποία εξηγούν οι factors. Γενικά, είναι γεγονός ότι όσο προστίθενται παράγοντες, τόσο αυξάνεται και το ποσοστό μεταβλητότητας το οποίο εξηγούν. Σύμφωνα με το γράφημα, παρατηρείται ότι το συνολικό ποσοστό το οποίο περιγράφεται (εξηγείται) από τους παράγοντες είναι αρκετά μεγάλο φτάνοντας στο 47,6%. Συμπεραίνουμε

69 4.2 Εκτιμήσεις Παραγόντων (Factor Estimates) 56 λοιπόν, ότι η επιλογή του αριθμού των κοινών παραγόντων είναι μία ιδιαίτερα σημαντική διαδικασία στην οποία θα στηριχτούμε και για τη συνέχεια της ανάλυσης. Γράφημα 4.5: Ποσοστό μεταβλητότητας που ερμηνεύεται για κάθε μεταβλητή χρησιμοποιώντας και τους 8 παράγοντες. Το γράφημα 4.5 παρουσιάζει την επεξηγηματική ικανότητα (δύναμη) των 8 παραγόντων σε κάθε μία από τις μεταβλητές του δείγματος. Ο κάθετος άξονας (άξονας Υ) απεικονίζει το ποσοστό του συντελεστή προσδιορισμού R 2 και ο οριζόντιος άξονας Χ περιλαμβάνει τις χρονοσειρές που χρησιμοποιήθηκαν σε παλινδρόμηση. χρονοσειρές με μεγάλο R 2 σημαίνει ότι οι 8 παράγοντες εξηγούν ένα μεγάλο μέρος της μεταβλητότητας της συγκεκριμένης χρονοσειράς. Αντίστοιχα, μεταβλητή με μικρό R 2 σημαίνει ότι οι παράγοντες εξηγούν ένα μικρό μέρος της συνολικής μεταβλητότητας της. Στο συγκεκριμένο γράφημα, παρατηρείται ότι υπάρχουν 62 χρονοσειρές με R 2 μεγαλύ-