METODE ȘI PROGRAME DE CALCUL NUMERIC

Transcript

1 METODE ȘI PROGRAME DE CALCUL NUMERIC -NOTE DE CURS- GRECU LUMINIȚA

2

3 I CONCEPTE DE BAZĂ ȘI TIPURI DE ERORI I INTRODUCERE Metodele umerce sut cele tehc cre permt trsformre modelelor mtemtce î modele umerce (ce opereză pe spț fte) ș presupu lgortm ce pot f ușor trsformț î codur sursă folosd dferte lmbje de progrmre r pr termedul cestor rezolvre problemelor căror l se dreseză cu jutorul clcultorulu Pe scurt putem spue că ele permt rezolvre problemelor mtemtce cu jutorul clcultorulu Trecere de l modelul mtemtc l cel umerc se fce î geerl pe bz uor promăr ș de cee soluț ofertă de lgortm rezultț c urmre plcăr metodelor umerce este de cele m multe or u promtvă E portă umele de soluțe umercă ș î cele m multe stuț este dfertă de ce ectă I TIPURI DE ERORI Petru îțelege m be prcplele surse de eror cre pot să pră î rezolvre umercă problemelor este be să îțelegem m îtâ modul î cre umerele sut îregstrte ș depoztte î memor uu clcultor Deorece um umere cu u umăr ft de zecmle pot f reprezette îtr-u clcultor se folosește reprezetre î vrgulă moblă umerelor rele Reprezetre î vrgulă moblă (su flottă) presupue că umerele sut reprezette î clcultor sub form:

4 e ( t ) b ± K ± b t e k k b k ude b repreztă bz de umerţe r k sut cfre d respectvă dcă vlor d mulţme: { K b Dec reprezetre î vrgulă moblă pote f stetztă stfel: e s M b ude s repreztă btul de sem ( petru ş petru -) M este mts b este bz de umerţe (de obce ) r e este epoetul bze Astfel petru reprezetre uu umăr este ecesr u cuvât br cu tre câmpur: semul mts ş epoetul Lugme mtse repreztă precz de reprezetre umărulu Astfel umerele pot ve m multe formte: formte cu precze smplă ( bţ petru mtsă) ş precze smplă etsă ( bţ petru mtsă) ş formte cu precze dublă (5 bţ) ş precze dublă etsă ( 6 bţ) Clcultorul opereză cu umere ormlzte dcă umere reprezette stfel îcât mts să fe u umăr subutr cu prm cfră după vrgulă dfertă de zero dec stfel: t ± K t ± k k b De eemplu umărul 5 dmte m multe reprezetăr (folosd bz ) prtre cre : ş 6 k Dtre ceste reprezetăr le umărulu 5 peultm este ce ormlztă

5 Câd se opereză cu umere ormlzte ceste trebue să fe scrse cu jutorul celuş epoet Dcă umerele u epoeţ dferţ se duce umărul cu epoeet m mc l o form corespuzătore ce utlzeză epoetul m mre Se fce operţ propru-zsă ș po se ormlzeză rezulttul Eemplul I Să se due următorele două umere: 568; 658 cosderâd că ele sut reprezette sub formă ormlztă îtr-u sstem de clcul cu vrgulă moblă vâd bz de umerţe b t 6 Soluţe: Form ormlztă umerelor este: ; 658 Cfr d screre lu se perde țâd cot că t lugme mtse este 6 Observăm că formele ormlzte u preztă celș epoet Aducem umărul scrs cu epoet m mc l o formă î cre pre epoetul m mre ş stfel vem 568 Păstrâd dor 6 cfre semfctve obţem reprezetre 56 Efectuăm sum umerelor duâd mtsele: 57 Efectuâd clculele î mod obşut obţem: 578

6 Eemplul I Se cosderă u sstem de clcul cu vrgulă moblă vâd bz de umerţe b t ş o reprezetre ormlztă umerelor Se cosderă următorele umere: Să se efectueze dure cestor umere : ) î orde crescătore b) î orde descrescătore Soluţe: Formele ormlzte le umerelor sut: ) Adure î orde crescătore Se observă că umerele sut dte chr î orde crescătore Astfel lgortmul este: se duă cu r rezulttul cu Noul rezultt obţut se duă cu Notăm cu ( ) rezulttele cestu proces ( ) ( 8 5) 88 ( ) 956 b) Adure î orde descrescătore Algortmul de clcul este următorul: se duă cu r rezulttul cu Noul rezultt obţut se duă cu Rezulttele termedre se oteză cu b ( ) ( 5 768) 9 b b b ( 9 ) 95 b ( 95 ) 955 b

7 Cocluze: Adure umerelor î clcultor u m re celeş propretăţ c operţ cuoscută de dure umerelor rele Soluț flă clculelor geerte de modelre umercă ce presupue efecture uor operţ rtmetce cre se eecută repett ş î umăr ft pote f fecttă de ceste Prcplele clse de eror sut următorele: eror erete eror de metodă eror de rotujre ş de truchere (su rezdule) Erorle erete u u legătură cu elborre modelulu umerc Ele se pot produce fe câd se obţe modelul fzc su cel mtemtc fe câd se fc măsurtor su chr câd se troduc dtele de trre îtr-u progrm de clcul umerc Erorle de metodă sut specfce folosr metodelor umerce ş lgortmlor de clcul Eemplul I Să se evlueze umerc 9 d petru 7 Soluţe: Notâd cu I tegrl precedetă se demostreză cu uşurţă 9 că re loc relţ de recureţă: I I ( 9) 9 d 9 d 9 d 9 I Clculăm I 7 9 I 9 d 9 5

8 Avem: I l 9 ( 9) l 9 I 87 9 I I I I I I Rezulttul este corect deorece tegrdul este u umăr poztv stfel c tegrl este poztvă Erore cre pre se dtoreză fptulu că erore obţută î clculul lu I pr promre umărulu l s- mplfct l 9 9 fecre ps l lgortmulu dtortă produsulu I L psul de clcul erore cumultă deve proporţolă cu 5 6

9 Eror de rotujre ş de truchere sut erorle geerte î prcpl de fptul că dspuem de u spțu lmtt de reprezetre umerelor îtr-u clcultor dr u um Îtâlm eror de truchere tuc câd promăm o mărme reprezettă î clcule prtr-u umăr ft de terme prtr-u umăr ft de stfel de terme Erore pre dtortă termelor egljţ Î mre prte ceste eror sut cceptte î clculul umerc deorece u pot f evtte U eemplu de stfel de erore este ce cre se fce câd promăm umărul e cu o prte ftă d sum dtă de dezvoltre lu î sere Tlor: e dec pr îlăturre uu!!! umăr ft de terme d cestă sumă Erorle de rotujre pr deorece umerele sut reprezette î clcultor cu u umăr redus de cfre semfctve depzâd de lugme cuvtulu (umărul de bţ) utlzt de clcultor I EVALUAREA ERORILOR Î clculul umerc oţue de erore re semfcţ de precze promăr Î clculele umerce sut cceptte erorle m mc decât erore dmsblă precztă Dcă e rportăm l mometul î cre se determă erorle î cdrul plcăr ue metode umerce îtâlm două tpur de eror: 7

10 pror- se estmeză îte de îcepere clcululu propruzs; posteror- se estmeză după îcepere plcăr lgortmulu după u su m multe etpe de rezolvre Idferet de tur lor erorle se evlueză î fucţe de vlore ectă (relă) mărm de teres ş de vlore promtă (clcultă) ceste mărm Evlure se pote fce î mod bsolut su reltv relţ: Defţ I Erore bsolută se oteză cu e ş este dtă de ) e su b) e () Erore bsolută u ţe cot de ordul mărm studte ş d cest motv u este totdeu sufcetă dor cuoştere ceste Defţ I Erore reltvă se oteză cu ε ş este dtă de e relţ: ) ε su b) ε Ueor erore reltvă se eprmă î procete pr relţ: e [ ] 8 e ε () Deorece vlore ectă u se cuoşte de cele m multe or se troduce î relţle precedete vlore clcultă î locul vlor rele ş se obţ relţle: e e ) ε su b) e ε su [ ] ε î procete ()

11 Eemplul I5 Să cosderăm o mărme căre vlore clcultă este Erore bsolută este e Aceeş erore bsolută e se obţe ş dcă de eemplu lzăm o ltă mărme petru cre 86 r 87 Folosre vlor clculte drept promre mărm rele î prm stuțe cove m mult decât î czul do dcă e rportăm l ordul de mărme l celor două mărm lzte Erorle bsolute fd egle u dovedesc cest lucru îsă erorle reltve sugereză st: ε 7 ε 798 ş dec ε < ε 87 Astfel se relzeză o promre m buă mărm pr decât promre mărm pr CONDIŢIONARE ŞI STABILITATE Codţore ue probleme se referă l sesbltte dtelor de eșre dcă soluțe fță de vrțle (perturbțle) dtelor de trre Problemele pot f be codțote su slb codțote Câd vrț mc le dtelor de trre determă vrț mc î soluțe problem este be codțotă r câd determă vrț mr le soluțe e este slb codțotă Astfel petru dferte clse de probleme de clcul umerc se defesc umere de codțore cre eprmă fctorul de mplfcre eror 9

12 O problemă crcterztă de u umăr de codțore mre v f o problemă slb codțotă r u crcterztă de u umăr de codțore mc (î geerl subutr) v f be codțotă Coceptele de stbltte su stbltte umercă se referă l lgortm ce îsoțesc metodele umerce Ace lgortm cre se dovedesc u mplfc erorle î tmpul clculelor pe cre le presupu se spue că sut stbl d puct de vedere umerc respectv stbl dcă produc u stfel de efect De eemplu î czul lgortmlor cre oferă soluț promtve cre coverg către o lmtă se pote îtâmpl c deș codțle de covergeță să fe stsfăcute dtortă cumulăr erorlor de rotujre soluț geertă să se depărteze ueor chr forte mult de cestă lmtă Spuem î cest cz că lgortmul este stbl Cele m mr eror cre r pute să pră î rezolvre pe cle umercă problemelor s-r obțe dec î czul î cre s-r plc u lgortm stbl l rezolvre ue probleme slb codțote O stfel de stuțe trebue evttă pr găsre ltor metode de soluțore Petru obțe o buă soluțe umercă l o problemă cest trebue să fe be codțotă r lgortmul de rezolvre stbl

13 II METODE DIRECTE PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE II INTRODUCERE Î cee ce prveşte u sstem de ecuț cu ecuoscute rezolvre îsăş uu stfel de sstem ş dec posbltte de vede dcă vem su u soluţe este l fel de coststore (d puct de vedere l tmpulu ș l memore) c ș clculre determtulu sstemulu su rgulu mtrce cestu De cee de multe or se trece drect l soluțore sstemelor fără c î prelbl să se studeze esteț soluțe metode : Petru rezolvre sstemelor lre estă două clse de ) Metodele drecte su ecte cum sut metodele de tp Guss ce furzeză soluţ ectă îtr-u umăr ft de pş bstrcţe făcâd de erorle de rotujre su truchere cre pot să pră b) Metodele tertve precum metodele Jcob ş Guss- Sedel ce promeză soluţ geerâd u şr ce coverge către cest Metodele ecte ecestă multe operţ rtmetce ce duc l cumulăr mr le erorlor de rotujre ș presupu tmp mre de utlzre clcultorulu ş spț mr de memore Metodele tertve sut m rpde decât cele ecte ecestă u umăr m mc de operţ rtmetce dr e m greu de preczt

14 de l îceput umărul de terț ecesre obțer ue soluț sufcet de bue II REZOLVAREA SISTEMELOR TRIUNGHIULARE U sstem de ecuţ cu ecuoscute se umeşte trughulr dcă mtrce tştă cestu este superor su feror trughulră Defţ II Mtrce T ( tj) M( C) se umeşte superor (feror) trughulră dcă: t j petru > j ( tj petru < j) U sstem de ecuţ cu ecuoscute căre mtrce este superor respectv feror trughulră se rezolvă uşor pr substtuţe versă (su îpo) respectv substtuţe drectă (substtuţe îte) Vom cosder czul sstemelor ce dmt o soluţe ucă dec czul î cre elemetele t Să cosderăm u sstem crcterzt de o mtrce feror trughulră Sstemul re î cest cz form: t t t t t t b b b

15 Metod substtuţe drecte presupue obţere ecuoscutelor succesv îcepâd cu prm d ecuţle sstemulu Astfel obţem: b t b t t b tk k t Algortmul de rezolvre sstemelor feror trughulre Dte de trre: umărul de ecuţ ş ecuoscute; mtrce trughulră sstemulu T cre îdepleşte codţ t ; terme lber b Dte de eşre: soluţ sstemulu Cteşte dtele de trre; Iţlzeză vrbl ; b Atrbue lu ; t Petru de l l cu psul eecută Iţlzeză S cu S ; Petru k cu psul eecută s s t k k ; Atrbue vlore ecuoscute k b S ; t

16 5 Afşeză vlorle ecuoscutelor; 6 Stop Alog se obţe ş lgortmul petru rezolvre sstemelor superor trughulre deumt substtuţe versă su îpo Prm ecuoscută cre se flă este po se determă Sstemul se rezolvă prctc îcepâd cu ultm ecuţe: b t b t t j j j L Algortmul de rezolvre sstemelor superor trughulre Dte de trre: umărul de ecuţ ş ecuoscute; mtrce trughulră sstemulu T cre îdepleşte codţ t ; terme lber b Dte de eşre: soluţ sstemulu Cteşte dtele de trre; Iţlzeză vrbl ; b Atrbue lu ; t Petru de l - l cu psul - eecută Iţlzeză S cu S ; Petru k cu psul - eecută S S t ; k k

17 Atrbue vlore ecuoscute 5 Afşeză vlorle ecuoscutelor; 6 Stop b S t ; Eemplul II ) Să se rezolve sstemul de ecuţ de m jos pr metod substtuţe verse: Soluţe: Mtrce coefceţlor sstemulu dt este superor trughulră ş dec plcăm substtuţ îpo Se îcepe cu clculul lu po se clculeză ş celellte ecuoscute: Obțem stfel: Folosd lmbjul C de progrmre s-u relzt următorele progrme petru rezolvre sstemelor superor respectv feror trughulre /*Progrm Rezolvre Sstem Superor Trughulr*/ #clude<stdoh> #clude<cooh> flot s[]t[][]b[]; t kj; vod m() { 5

18 prtf("dt r de ecut :\"); scf("%d"&); prtf("dt coefcet ecuoscutelor\"); for (;<;) for (j;j<;j) { prtf("t[%d][%d]: "j); scf("%f"&t[][j]); prtf("dt terme lber:\"); for (;<;) { prtf("b[%d]: "); scf("%f"&b[]); []B[]/T[][]; for (-;>;--) { s; for (k;k>-;k--) sst[][k]*[k]; [](B[]-s)/T[][]; prtf("solut este: \"); for (;<;) prtf("[%d]%f \"[]); getch(); /*Progrm Rezolvre Sstem Iferor Trughulr*/ #clude<stdoh> #clude<cooh> flot s[]t[][]b[]; t kj; vod m() { prtf("dt r de ecut :\"); scf("%d"&); 6

19 prtf("dt coefcet ecuoscutelor\"); for (;<;) for (j;j<;j) { prtf("t[%d][%d]: "j); scf("%f"&t[][j]); prtf("dt termelber:\"); for (;<;) { prtf("b[%d]: "); scf("%f"&b[]); []B[]/T[][]; for (;<;) { s; for (k;k<-;k) sst[][k]*[k]; [](B[]-s)/T[][]; prtf("solut este: \"); for (;<;) prtf("[%d]%f \"[]); getch(); Î coture sut prezette câtev rezulte obțute pe bz rulăr cestor progrme: 7

20 II ALGORITMUL GAUSS PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE VARIANTA GAUSS-JORDAN Metod lu Guss este u d cele m cuoscute metode de rezolvre sstemelor de ecuţ lre de clcul l determţlor ş de determre verse ue mtrc Se pote utlz clusv l flre rgulu ue mtrc Cosderăm u sstem lr de ecuţ cu ecuoscute: A B ude A M ( R ) B M ( R ) Algortmul Guss deumt ş metod elmăr prţle su tehc de pvotre costă î duce sstemul pr - trsformăr elemetre l o formă echvletă crcterztă de o mtrce superor trughulră ottă A pr elmre succesvă ecuoscutelor d ecuţle sstemulu ţl 8

21 Petru flre soluţe sstemulu cosdert se rezolvă po sstemul trughulr obţut A B pr substtuţe versă Trsformărle succesve l fecre etpă se plcă mtrce etse sstemulu Petru prezet ceste trsformăr succesve otăm prtr- ( k) u dce superor psul curet stfel că repreztă elemetul de pe l colo j l mtrce de l psul k Notăm elemetele mtrce A cu dcele sus dcă j j { j j Trsformărle efectute l etp k pot f rezumte î formule: b ( k) j ( k) b b ( k) j ( k) j ( k) petru petru ( k) k ( k) k k petru ( k) k k ( k) k j ( k) k ( ) b k k k k Elemetul ( k) k k k ( k ) j j k petru petru k k j k portă umele de pvot l trsformăr de l psul k Evdet el trebue să fe eul petru c lgortmul să fucțoeze Se obţe î fl u sstem echvlet crcterzt de o mtrce superor trughulră căre soluţe se obţe pr substtuţe versă 9

22 Dcă se îtâmplă c pe prcursul plcăr lgortmulu să îtâlm u elemet ul pe pozţ pvotulu se permută l curetă cu o le stută sub e stefel îcât oul elemet ce juge pe pozţ pvotulu să fe eul Algortmul de rezolvre sstemulu Guss este descrs î coture A B pr metod Dte de trre: mtrce A ş vectorul coloă formt cu terme lber B Dte de eşre: soluţ ( ) Petru de l l - eecută: su u mesj de erore Cută p cel m mc îtreg p stfel c p b Dcă u estă tuc scre sstemul u re soluţe ucă ş du-te l psul c Dcă p tuc permută lle p ş d Petru j de l l eecută j m j : l j Dcă tuc b : : l j m jl petru de l - l eecută

23 : b j j / j ltfel Dcă b fseză sstemul u re soluțe ucă ș du-te l psul ltfel fseză sstemul u re soluțe ș du-te l psul Afşeză Stop Metod Guss pote f folostă ş l clculul determtulu ue mtrc precum ş l flre verse ue mtrc Vlore determtulu ue mtrc superor trughulre de form mtrc A' se obţe smplu cu jutorul relţe: det ( ) ( ) ( ) ( ) A Remtm că petru pute folos cestă metodă este ecesr c elemetele lese drept pvoţ să fe eule Î plus pot păre eror umerce dcă ele u vlor pre mc Petru evt cestă stuţe se pot vers ecuţle sstemulu ître ele fpt cre duce îs l schmbre semulu determtulu II TEHNICI DE PIVOTARE Petru mcşor erorle ce pot să pră î czul plcăr metode Guss s-u coturt două tehc de pvotre: pvotre prţlă ş pvotre totlă

24 Î czul pvotăr prţle se lege drept pvot elemetul de sub dgolă de pe ceeş coloă mm î modul Acest este dus pe pozţ pvotulu prtr-o permutre coveblă de l după cre lgortmul se cotuă î modul obşut Î czul pvotăr totle l psul se lege pvot elmetul de pe l colo dor dcă cest este elemetul mm î modul ître elemetele submtrce obțute l psul precedet A ( ) ( ) ( ) kl k l (formte cu lle ş coloele cu dc m mr su egl cu ) Dcă u el u respectă cestă codțe se cută u stfel de elemet î submtrce precztă ş se duce cest pe pozţ ( ) pr permutăr de l dr ş de coloe Observţ II Permutărle de l u fecteză structur soluţe sstemulu pe câd cele de coloe d De cee permutărle de coloe trebue reţute î orde efectuăr lor petru c prcurgâd î ses vers şrul lor ordot ş permutâd corespuzător compoetele soluţe sstemulu rezultt să obţem soluţ sstemulu ţl Eemplul II Aplcâd metod Guss să se rezolve sstemul: z z 8 z

25 Soluţe: [ ] [ 5] Astfel se obţe form echvletă crcterztă de o mtrce superor trughulră: z 5 z z z ( ) 5 5 ( ) Soluţ sstemulu este dec trpletul:( ) Eemplul II Să se rezolve celş sstem plcâd tehc pvotăr prţle Soluţe: Î cdrul tehc de pvotre prţlă se permută ître ele lle sstemulu stfel îcât l fecre ps pvotul les să fe mm î modul ître elemetele flte pe colo s sub l pe cre este stut

26 L prmul ps se observă că ( ) m Elemetul mm î modul de pe prm coloă dcă trebue dus prtr-o permutre de l pe prm pozţe Astfel permutăm lle ş Obţem: 8 z z z [ ] [ ] Form echvletă sstemulu dtă de ultmul tbel este : 5 z z z z ( ) ( ) 5 Obţem stfel soluţ ucă: ( )

27 5 Eemplul II Să se rezolve celş sstem plcâd tehc pvotăr totle Soluţe: L prmul ps se cută elemetul mm î modul d totă mtrce sstemulu Se observă că elemetul mm î modul este Acest trebue dus pe l colo Astfel se permută lle ş rezultâd: 8 z z z Apo se permută coloele ş Reţem cestă permutre de coloe( C C ) Sstemul deve: 8 [ ] [ ] L o plcre tehc de pvotre obşute l psul do r trebu les drept pvot elemetul 5 Se observă îsă că elemetul mm î modul l submtrce

28 6 9 5 este Acest v f pvotul următore trsformăr El trebue dus pe l colo Permutăm petru cest colo cu colo ş fd vorb de o permutre de coloe o reţem ş pe cest ( C C ) Obţem: [ ] Form echvletă (scrsă petru lte ecuoscute decât cele ţle deorece u vut loc permutăr de coloe ) este : ( ) 5 8 ( ) 8 5 Soluţ sstemulu ( ) este trpletul: ( ) Revem l permutărle de coloe pe cre le-m făcut

29 Prcurgâdu-le î orde versă ş efectuâdu-le supr compoetelor soluţe obţem î fl soluţ sstemulu ţl Astfel vem : C C C C ( ) ( ) ( ) Astfel soluţ sstemulu ţl este trpletul( ) Eemplul II5 Folosd tehc pvotăr să se rezolve sstemul : z t z z t t Soluţe: [ ] [ ] [ ]

30 Se obţe stfel următore formă echvletă petru sstem: z t z t z8 t t Pr substtuţe versă obţem soluţ: ( ) U cod sursă (î C) petru lgortmul elmăr gusseevrt pvotăr prţle (pâă l obțere mtrce superor trughulre) este prezett î coture /*Progrm Elmre Guss*/ #clude<stdoh> #clude<cooh> #clude<mthh> double tm; t jkl; flot s [][] b[]; vod m() { prtf ("Itoducet r de l s de coloe le mtrce"); scf("%d"&); prtf("dt mtrce\"); for(;<;) for(j;j<;j) { prtf("[%d][%d]: "j); scf("%f"&[][j]); prtf("dt terme lber:\"); for (;<;) { prtf("b[%d]: "); 8

31 scf("%f"&b[]); for(k;k<;k) { lk; for (k;<;) f (bs([][k])>bs([k][k])) l; f(l!k) { for(j;j<;j) { t[k][j];[k][j][l][j];[l][j]t; tb[k];b[k]b[l];b[l]t; for(k;<;) { m[][k]/[k][k]; [][k]; for(jk;j<;j) [][j][][j]-m*[k][j]; b[]b[]-m*b[k]; prtf("dup elmre guss mtrce este: \"); for (;<;) { for (j;j<;j) prtf("[%d][%d]%f "j[][j]); prtf("b[%d]%f "b[]); prtf("\"); getch(); Soluțore probleme de l eemplul II cu jutorul progrmulu de clul umerc teror este prezettă î coture 9

32 II5 VARIANTA GAUSS-JORDAN Trsformărle efectute sut semăătore cu cele d cdrul metode Guss îsă fecteză totă mtrce de l psul curet î fl obțîdu-se u o mtrce dgolă Formulele de trsformre tertvă elemetelor mtrce A l etp k sut : ( k) ( k) kj kj ( k) ( k) j j ( k) ( k) j j ( k) k petru j ( k) k k k k ( k) k j petru j< k petru k Î cest cz soluţ sstemulu v f : petru k j k r membrul drept se modfcă după relţle : b b ( k) ( k) k bk ( k) ( k) b ( k) k ( k) k k b ( k) k petru k ( ) ( ) b

33 Metod Guss-Jord m portă deumre de metod elmăr complete Se pote plc ş uşor modfctă î sesul că se pote obţe î fl u sstem crcterzt de mtrce utte Petru cest l pvotulu se împrte l pvot Se fc îtr-devăr m multe operţ lgebrce supr mtrce sstemulu fţă de vrt prezettă dr se găseşte drect soluţ cestu ( ( ) b ) Eemplul II6 Să se rezolve următorele ssteme folosd metod Guss- Jord ) 6 b) Soluţe: ) Obţem succesv următorele tblour:

34 Î cest cz ultm formă echvletă petru sstem este u dgolă cu elemete utte dec soluţ se obţe drect Astfel repreztă soluţ ucă sstemulu b) Î cest cz vem u sstem cu ecuţ ş ecuoscute Procedâd log î czul sstemulu de l puctul b) găsm:

35 O formă echvletă petru sstem este: rga rg A Sstemul este dec comptbl smplu edetermt Necuoscutele prcple sut r ecuoscut secudră Alegem α α α α α α : S

36 III METODE NUMERICE ÎN CALCULUL MATRICEAL III FACTORIZAREA MATRICELOR Pr fctorzre ue mtrc îțelegem screre ceste c u produs de două mtrce: u feror trughulră celltă superor trughulră (deumtă fctorzre LR) Defţ III Fe A M (R) reprezetre lu A sub form: A L R cu L- mtrce feror trughulră ş R- mtrce superor trughulră repreztă fctorzre LR lu A Fctorzre ue mtrc se folosește î soluţore sstemelor lre cu ecuţ ş ecuoscute Cosderâd sstemul AB pr îlocure lu A î relţ precedetă cu epres obţută pr fctorzre obţem: LRB Astfel rezolvre sstemulu A B presupue descompuere cestu î rezolvre dou ssteme: ) L B (sstem crcterzt de o mtrce feror trughulră cre se rezolvă prtr-o substtuţe îte ); ) R Y (sstem crcterzt de o mtrce superor trughulră cre se rezolvă prtr-o substtuţe îpo )

37 Teorem III Dcă mtrce A re toţ mor dgol prcpl eul tuc estă o fctorzre LR lu A î cre L este esgulră Petru determre mtrcelor L ş R estă două tpur mportte de lgortm semăător cre dferă dor dtortă spectulu mtrcelor rezultte î urm descompuer: ) Metod Crout cz î cre dgol lu R este utră ) Metod Doolttle cz î cre dgol lu L este utră ) Fctorzre Crout (metod Crout) Î cest cz vem următore descompuere A L R cu l l L l l l l l l l l R r r r r r r Determre elemetelor se fce mpuâd codţ c rezulttul produsulu celor două mtrce L ş R î cestă orde să fe egl cu mtrce A dcă: l r l r K l r j j j j j Deorece se şte că l j petru j r j petru j ş r obţem: j 5 m ( j) l k k determă elemetele ecuoscute le celor două mtrce: r kj ş de c relţle ce

38 Petru mtrce feror trughulră: j j j lkrkj k l j ude petru j se cosderă ş l k Petru mtrce superor trughulră: r j j lkrkj l j k ude petru se cosedră ş r k j j Petru fce m ccesblă plcre lgortmulu de fctorzre prezett îl vom detl sstâd supr uor regul prctce uşor de reţut Observţ III Determre prctcă mtrcelor se fce î prlel stfel că l fecre ps se determă o coloă lu L ş o le lu R î modul următor: Algortmul fctorzăr Crout Psul : - Se determă prm colo lu L cre cocde cu ce lu A - Se determă prm le lu R folosd formulele dte Îmulţm prctc prm le lu L cu tote coloele lu R ce u dcele m 6

39 mre strct decât ş eglăm elemetele corespuzătore cu cele le lu A Psul : - Se determă dou coloă lu L îmulţd tote lle lu L de l l cu dou coloă lu R ş eglâd elemetele corespuzătore cu cele le lu A - Se determă dou le lu R îmulțd dou le lu L cu tote coloele lu R de l l ş eglâd elemetele corespuzătore cu cele le lu A etc Psul : - Se determă ultm coloă lu L (prctc elemetul l ) Observţ III Numărul de elemete clculte ş mplct umărul de operţ ce se efectueză l fecre ps scde pe măsur creşter umărulu de orde l psulu stfel că l ultmul ps se clculeză de fecre dtă dor u sgur elemet mtrce Eemplul III Folosd metod Crout să se fctorzeze Soluţe: A 7 Clculâd mor dgol prcpl oservăm că e respectă codţ d teoremă Fe cele două mtrce L ş R

40 L l l l l l l R r r r Psul : -Se determă prm coloă lu L Avem relţle: l l l l l l -Se determă prm le lu R : l r r l l r r Psul : -Se determă dou coloă lu L l r l l r l l l -Se determă dou le lu R r l r l r r 7 Psul : 7 8

41 -Se determă tre coloă lu L dcă elemetul l l r l r l l Am obțut următore fctorzre petru mtrce A: A L R ude 7 L ş R /*Progrm Fctorzre Crout*/ #clude<stdoh> #clude<cooh> flot s A[][] L[][] R[][]; t kj; vod m() { prtf("dt ordul mtrce A :\"); scf("%d"&); prtf("dt A\"); for (;<;) for (j;j<;j) { prtf("a[%d][%d]: "j); scf("%f"&a[][j]); for (;<;) L[][]A[][]; for (;<;) { R[][]A[][]/L[][]; R[][]; for (j;j<;j) 9

42 { for (j;<;) { s; for (k;k<j-;k) ssl[][k]*r[k][j]; L[][j]A[][j]-s; for (j;<;) { s; for (k;k<-;k) ssl[j][k]*r[k][]; R[j][](A[j][]-s)/L[j][j]; prtf("solut este: \"); for (;<;) { for (j;j<;j) prtf("l[%d][%d]%f "jl[][j]); prtf("\"); for (;<;) { for (j;j<;j) prtf("r[%d][%d]%f "jr[][j]); prtf("\"); getch(); Folosre progrmulu teror petru fctorzre mtrce A coduce l următorele rezultte:

43 ) Fctorzre Doolttle (metod Doolttle) : Î cest cz mtrcele L ş R mplcte sut următorele: l l l l l L r r r r r r r r r r R Determre elemetelor lor se fce log dferă dor orde de determre cestor Algortmul fctorzăr Doolttle Psul : - Se determă prm le lu R - Se determă prm coloă lu L

44 Psul : - Se determă dou le lu R - Se determă dou coloă lu L Psul : - Se determă l lu R prctc elemetul r l lu R Eemplul III Fe A ce d eemplul III: A Fe L l R l l Psul : Se determ prm le lu R r r - r Se determă prm coloă lu L l r l l Psul : r Se determ dou le lu R l r r r r r r l l r r r 7 r r r

45 Se determ dou coloă lu L l Psul r l r l 7 Se determă r l r lr r r Obțem stfel mtrcele: L / / / 7 7 R 7 / /*Progrm Fctorzre Doolttle*/ #clude<stdoh> #clude<cooh> flot s A[][] L[][] R[][]; t kj; vod m() { prtf("dt ordul mtrce A :\"); scf("%d"&); prtf("dt A\"); for (;<;) for (j;j<;j) { prtf("a[%d][%d]: "j); scf("%f"&a[][j]); for (j;j<;j) R[][j]A[][j];

46 for (j;j<;j) { L[j][]A[j][]/R[][]; L[j][j]; for (;<;) { for (j;j<;j) { s; for (k;k<-;k) ssl[][k]*r[k][j]; R[][j]A[][j]-s; for (j;j<;j) { s; for (k;k<j-;k) ssl[j][k]*r[k][]; L[j][](A[j][]-s)/R[][]; prtf("solut este: \"); for (;<;) { for (j;j<;j) prtf("l[%d][%d]%f "jl[][j]); prtf("\"); for (;<;) { for (j;j<;j) prtf("r[%d][%d]%f "jr[][j]); prtf("\"); getch();

47 Rulre progrmulu teror petru fctorzre Doolttle mtrce A coduce l rezulttele de m jos ) Fctorzre Cholesk (su metod rădăc pătrte) Teorem III Dcă A M ( R) deftă dcă dcă: A t t A A ( ) R e smetrcă ş poztv ş t A tuc estă o fctorzre LR lu A cu Astfel î ceste codţ vem: t R L dec A L L t 5

48 l l A l l l l l l l l ٠ l l l l j l l l l l l l jj ( ) Prm coloă ş prm le se clculeză smult L psul următor se determă m îtâ l po ş restul elemetelor de pe colo lu L Se cotuă log petru toţ pş pâă l psul Î coture este prezett u progrm î C relzt pe bz lgortmulu fctorzăr Cholesk /*Progrm Fctorzre Cholesk*/ #clude<stdoh> #clude<cooh> #clude<mthh> flot s suma[][] L[][]; t kj; vod m() { prtf("dt ordul mtrce A :\"); scf("%d"&); prtf("itroducet Asmetrc s poztv deft\"); for (;<;) 6

49 for (j;j<;j) { prtf("a[%d][%d]: "j); scf("%f"&a[][j]); j; L[j][j]sqrt(A[][]); for (;<;) L[][j]A[][]/L[][]; for (j;j<;j) { s; for (k;k<j-;k) ssl[j][k]*l[j][k]; L[j][j]sqrt(A[j][j]-s); for (j;<; ) { sum; for (k;k<j-;k) sumsuml[][k]*l[j][k]; L[][j](A[][j]-sum)/L[j][j]; prtf(" Mtrce L este: \"); for (;<;) { for (j;j<;j) prtf("l[%d][%d]%f "jl[][j]); prtf("\"); getch(); 7

50 III METODE NUMERICE PENTRU AFLAREA INVERSEI UNEI MATRICI III Mtrce elemetre Dcă permutăm lle su coloele mtrce utte su dcă fcem o sere de combţ lre cu ceste obţem o sere de mtrce ce se umesc mtrce elemetre Aceste mtrce elemetre otte î geerl cu E sut foloste petru troduce o sere de schmbăr î structur ue mtrc dte fără - schmb rgul su determtul De eemplu petru îmulţ l tre dtr-o mtrce ( j ) j A cu u sclr λ costrum mtrce elemetră cre să b pe l tre î loc de vlore λ E λ Făcâd produsul dtre E s A î cestă orde obţem schmbre propusă : λ λ λ λ Să costrum cum o sere de mtrce elemetre cre să ducă î mtrce dt A următorele schmbr : 8

51 E să îmulţescă l dou cu ; E să due l dou l l tre ; E să permute l tre cu dou E E E Aplcăm succesv ceste trsformăr elemetre mtrce A Se obţe următorul rezultt : E E E A Mtrcele elemetre pot f foloste petru flre verse ue mtrc dte î umte codţ restrctve III Metod trsformrlor elemetre successve petru flre verse ue mtrc Acestă metodă costă î costrure mtrce elemetre E E K E stfel c: E A să bă prm coloă detcă cu prm coloă lu I E E A să bă prmele două coloe detce cu cele le lu I smd 9

52 Procedeul se repetă recursv pâă câd se obţe mtrce I dcă relţ: E E E A I Dcă A este versblă tuc E E E A dec vers e se flă făcâd produsul mtrcelor stfel costrute cosderte î orde versă obţer lor Fe A mtrce pătrtcă căre versă o vom fl: A K K K K K K K Psul ot cu Dec: Costrum Apo clculăm j E K A K K K K K K E A mtrce le căre elemete le vom 5

53 5 A E A K K K K K K K Psul Costrum cum mtrce elemetră E K K K K K K K E Clculăm A E E A E A mtrce le căre elemete le vom ot cu j A E E A K K K K K K K Cotuâd î mod log se costruesc mtrcele E E ş po cu relţ () mtrce A

54 Observţ III Relţle precedete rtă că l psul trebue să vem petru c lgortmul să potă f plct ude Eemplul III Să se determe vers mtrce A ude A Soluţe: Determm E ş clculăm A E A : E A A Determăm E ş clculăm E A E A Î cocluze vers lu A este dtă de: 5

55 A E E A 5 5 Procedeul prezett m sus u este sgurul procedeu umerc ce pote f utlzt petru clculul verse ue mtrc câd cest estă Alte două procedee lrg utlzte sut: -metod lu Guss-Jord -metod tertvă Metod Guss-Jord se plcă tbloulu formt d mtrce A căre versă dorm să o flăm şeztă î prte stâgă urmtă de mtrce utte corespuzătore ordulu lu A Î tbloul fl se obţe î stâg mtrce utte r î drept verse mtrce A Î czul flăr verse ue mtrc pvoţ se leg pe dgol prcplă Dcă l u umt ps elemetul ce urmeză f les pvot este ul ş totuş estă vers lu A se permută două l (coloe) stfel îcât să se obţă u pvot eul ş se cotuă lgortmul Mtrce versă se obţe pr permutre coloelor (llor) corespuzătore î mtrce d prte dreptă ultmulu tblou 5

56 Eemplul III Să se fle cu jutorul metode Guss-Jord vers mtrce: A 7 Costrum prmul tblou ce coţe î drept mtrce utte de ordul tre ş î prte stâgă mtrce A [] [] - 7/ / -/ / D ultmul tblou deducem vers lu A A 7 / / A / / Eemplul III5 Să se fle cu jutorul metode Guss-Jord vers mtrce: A 5

57 Soluţe: /5 /5 -/5 /5 /5 /5 9/5-6/5 /5 / -/9 /9 / /9 -/9-6/9 /9 5/9 D ultmul tblou deducem: 9 9 A

58 /*Progrm Ivers -vrt G-J cu pvotre prtl*/ #clude<stdoh> #clude<cooh> #clude<mthh> flot tm; t jkl; flot s A[][] u[][]; vod m() { prtf ("Itoducet r de l s de coloe le mtrce"); scf("%d"&); prtf("dt mtrce\"); for(;<;) for(j;j<;j) { prtf("a[%d][%d]: "j); scf("%f"&a[][j]); for (;<;) for(j;j<;j) { f (j) A[][j]; else A[][j]; for(k;k<;k) { lk; for (k;<;) {u[][k]sqrt(a[][k]*a[][k]); f (u[][k]>u[k][k]) l; f(l!k) for(j;j<;j) { ta[k][j];a[k][j]a[l][j];a[l][j]t; for(;<;) { 56

59 57 ma[][k]/a[k][k]; A[][k]; for(jk;j<;j) A[][j]A[][j]-m*A[k][j]; A[k][k]; prtf("mtrce vers este: \"); for (;<;) { for (j;j<;j) prtf("a[%d][%d]%f"j-a[][j]); prtf("\"); getch(); Eemplul III6 Să se determe folosd metod trsformărlor elemetre vers mtrce A Soluţe: Psul : Determăm E Clculăm 7 5 A A E ot

60 58 Psul : Determăm E Clculăm A A E ot Psul : Determăm / 5/ 8 E A E E E A E Efectuâd clculele obţem: / / / 5/ 7 / / /8 /8 /8 A

61 IV METODA APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE ÎN REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE IV METODA APROXIMAŢIILOR SUCCESSIVE Defţ IV Spuem că ( X d) este u spţu metrc complet dcă orce şr Cuch cu elemete d X este şr coverget Defţ IV Să cosderăm u spţu metrc ( X d) ş o plcţe f : X X Vom spue că * X este puct f * * petru f dcă ( ) f Defţ IV Aplcţ f se umeşte cotrcţe dcă stfel îcât d ( f( ) f( ) ) d( ) estă R < < petru orcre r f X se umeşte costt cotrcţe Teorem IV ( Teorem de puct f lu Bch) Fe (Xd) u spţu metrc complet ş f : X X o cotrcţe Atuc f re u uc puct f * X El este lmt şrulu ude ( ) f X este rbtrr D demostrț teoreme se pote deduce că: d d ( ) ( ) 59

62 d ( ) d( ) p N p Relț precedetă spue că şrul ( ) Îtrucât (Xd) este spţu metrc complet ( ) coverget Notăm cu * X lmt s Avem: * * * lm d f ( ) ș ( ) este şr Cuch v f şr Observţ IV Elemetele se umesc promţle succesve le lu pote f lută rbtrr î X * Apromţ ţlă Observţ IV Se pote deduce că: * d( ) d( ) Acestă egltte e rtă cât de mre pote f erore pe cre o obțem câd promăm pe * ( ) d( ) d * cu IV METODE ITERATIVE PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE Metodele tertve sut m smple îsă preztă dezvtjul că u se pote stbl de l îceput umărul de pș ecesr rezolvăr Astfel sut coststore m les î cee ce prvește tmpul de clul Se folosesc î geerl petru 6

63 ssteme de dmesu mr ș sut de semee potrvte rezolvăr sstemelor ce preztă mulţ coefceţ ul Metodele tertve costu î costrure uu şr ( k) ( R ) k sstemulu: A b ude coverget către soluţ ectă A u R b R Oprre procesulu tertv este fluețtă de erore dmsblă dtă ottă cu ε su cu ε dm Observţ IV Petru rezolvre sstemulu A b defm f sut dte de: : R R stfel: f ( ) ude compoetele lu M b j j j b j j j M b b j j Sut devărte următorele euţur: j j j j j j j Acestă plcţe se pote def dor tuc câd dgol prcplă mtrce A u coţe elemete ule ( ) 6

64 Aplcţ d R R R d( ) m metrcă pe ( ) : este o R r ( d) R repreztă u spţu metrc complet A M R este stfel îcât Teorem IV Dcă ( ) > j (dgol domtă pe l) tuc j j plcţ f este o cotrcţe de coefcet q dt derelţ: q m 6 j j De c obțem u lgortm de soluțore uu sstem lgebrc crcterzt de o mtrce ce stsfce cerţele teoreme Algortm Alegem j ( ) R ş po costrum şrul de promţ succesve (terţ successve) folosd relț: ( ) ( ) ( ) f ( ) Atuc lm este sgurul puct f l lu f M mult f( ) este soluţ sstemulu A b Estă î prcpl două metode tertve ce se folosesc l rezolvre sstemelor lre: metod Jcob ş metod Guss- Sedel I Metod Jcob (metod terţlor smulte) Acestă metodă tertvă costă î costrucţ şrulu ( ) k k stfel: ( ) se lege rbtrr

65 ( k ) ( k) b j j j j Observţ IV Se observă că l o terțe î formule de clcul d membrul drept se folosesc tote compoetele terţe precedete II Metod Sedel-Guss (metod terţlor succesve ) ( ) E costă î costrucţ şrulu k k după modelul de costrucţe fucţe f d prgrfele terore (stfel ( ) k ) Observţ IV5 L o terţe î formule se îlocuesc vlorle obțute l terț precedetă cu vlorle de l terț curetă dcă ceste sut clculte Estă ş czur î cre codţ ( ) u este îdepltă ş totuş lgortmul Sedel-Guss coverge Metod Jcob este m let covergetă decât metod Sedel Guss î celeş codţ ţle dte codț: ( ) ş ε Observţ IV6 Codț (*) d teorem IV pote f îlocută cu A să fe dgol domtă pe coloe dcă > j jj j j Observţ IV7 6

66 Î geerl terţle se opresc tuc câd petru u ε dt dcă petru o erore dmsblă dtă este îdepltă codţ: ( k ) ( k) < ( ) ε Erore dmsblă dtă reflectă grdul de precze dort Observţ IV8 Algortmul se pote opr ş dcă u s- jus l grdul de precze dort dr s-u efectut pre multe terţ dcă dcă umărul de terţ tge o vlore precztă deumtă umăr mm dms de terţ Ueor se foloseşte chr o combţe de codţ î cre pr tât erore dsblă cât ş umărul mm de terţ Î coture descrem pe lrg cele două metode tertve mtte I Metod Jcob Metod Jcob este ce m smplă dtre metodele tertve Cosderăm u sstem cu ecuţ ş ce stsfce codț de covergeță metode L b L b L b Rerjăm sstemul scrdu-l sub o ouă formă deumtă formă tertvă stfel: 6

67 65 b b b L L L Acestă formă e permte c l o ouă terțe să evluăm o vlor le soluțe folosd î clcul î membr drepț vlorle determte l terț teroră Notâd cu compoetele vectorulu soluțe țlă clculăm l psul k k vlorle soluțlor stfel: k k k k k k k k k k k k b b b L L L Şrul de vlor găste coverge spre soluţ sstemulu Se cosderă de obce

68 Algortmul de rezolvre sstemelor de ecuț lre pr metod Jcob Dte de trre: rgul mtrce coefceţlor A vectorul termelor lber b erore dmsblă umărul mm de terţ dmse Dte de eşre: soluţ promtvă Se troduc dtele de trre; N m ; ε dm ş Se stbleşte promţ ţlă se lege c fd ce ulă: ; Se ţlzeză procesulu tertv: k ; Se eecută clculele: Se cluleză ou promţe î vectorul : b j j j l j b Se clculeză erore bsolută mmă î terţ curetă: D m c Se cosemeză eecuț terțe k k 5 Atât vreme cât D> ε dm ș k N m 6 Dc k N m se fşeză soluţ promtvă ş umărul de terţ efectute k; 7 Altfel se fsez mesjul "S- depășt umrul mm de tert" 8 Stop 66

69 IIMetod Guss-Sedel (G-S) Fe sstemul lr de ecuţ cu ecuoscute scrs sub formă tertvă: M vlorle b b b -( -( -( Amtm că stre ţlă soluțe este deftă pr - ) ) - Determăm vlore lu l psul ( ottă cu l metod Jcob: ) ) c b -( ) Î evlure lu țem cot că petru cuoștem două vlor: ş (clcultă teror) Cum repreztă o vlore m recetă o vom prefer petru ccelerre covergeţe Dec: b -( Petru psul k putem scre: ) etc 67

70 M M k k b -( b -( k - k - - j k j j j j k - j ) k - k b k k - k -( - ) Observţ IV9 Algortmul Guss-Sedel re dec l bză lgortmul Jcob dr se dstge de cest pr folosre celor m recete vlor le ecuoscutelor Astfel se obţe pe smblu o ccelerre procesulu de terţe ) Algortmul de rezolvre sstemelor de ecut lre pr metod Guss-Sedel Dte de trre: rgul mtrce coefceţlor A vectorul termelor lber b erore dmsblă umărul mm de terţ dmse Dte de eşre: soluţ promtvă Se troduc dtele de trre; N m ; ε dm ş Se lege promţ ţlă cest se lege f detc ulă: Se ţlzeză procesulu tertv: k ; Se ţlzeză erore bsolută mmă î terţ curetă cu o vlore superoră lu ε dm : D ε dm ; 68

71 5 Se trece l o ouă terţe: k k ; 6 Se clculeză ou promţe î vectorul : - b j j -( j j ) j j 7 Se clculeză erore bsolută mmă î terţ curetă: D m 8 Dc D ε dm (metod coverge) se trece l psul ltfel (dcă D> ε ) se compră k ş N m ; dcă dm k N m (metod u coverge) se fsez mesjul "Depsre r mm tert" ş se trece l psul ; ltfel se trece l psul următor; 9 Se ctulzeză vectorul promţlor d ultm terţe: Se reve l psul 5; Se fşeză soluţ promtvă ş umărul de terţ efectute k; Stop Eemplul IV Să se rezolve următorul sstem de ecuţ pr metod Jcob : Se v ccept o soluţe petru cre ude ε dm Se v lucr cu ptru zecmle Soluţe: m < ε k k dm 69

72 Petru c sstemul de ecuţ trebue să fe stfel c elemetele dgole d mtrce coefceţlor să fe domte î vlore bsolută schmbăm pozţ ecuţlor stfel: ecuţ deve ecuţ ecuţ deve ecuţ r ecuţ deve ecuţ : Rescrem sstemul î form s tertvă : Psul Cosderăm c soluţe ţlă : m >ε dm ; ; ; Psul Vlorle determte î psul precedet membrul drept l sstemulu: se troduc î ; ; s 7

73 m 96 9 ; 6 >ε dm ; ; 6 Psul Vlorle determte l psul precedet membrul drept l ssteulu ș se obțe: 958 ; 88 ; 98 ; 8 m 8>ε dm ; se troduc î ; Psul Vlorle determte l psul precedet ; ; se troduc î membrul drept l sstemulu de ecuţ ș se obțe: 98 ; ; 96 ; 6 m 96> ε dm Psul 5 Vlorle determte l psul precedet ; ; se troduc î membrul drept l sstemulu de ecuţ ș se obțe: 7

74 5 m ; 875 ; 979 ; < ε dm Deorece s- obţut precz de clcul solcttă procesul de terţe se opreşte Soluţ sstemulu este : U progrm î C cre furzeză soluț promtvă uu sstem lr obțută după u umăr dt de terț pr metod Jcob este prezett î coture /*Progrm - Metod JACOBI-r mm tert*/ #clude<stdoh> #clude<cooh> #clude<mthh> flot s A[][] []B[] []; t kjnm; vod m() { prtf ("Itoducet dmesue mtrce sstemulu "); scf("%d"&); prtf("dt mtrce coefcetlor\"); for(;<;) for(j;j<;j) { prtf("a[%d][%d]: "j); 7

75 scf("%f"&a[][j]); prtf("dt terme lber:\"); for (;<;) { prtf("b[%d]: "); scf("%f"&b[]); prtf ("Itoducet r mm de tert Nm "); scf("%d"&nm); for(;<;) []; for(k;k<nm;k) { for(;<;) { s; for(j;j<;j) ssa[][j] * [j]; ss- A[][] * []; [] (B[]-s)/A[][]; for(;<;) [][]; prtf("solut dup %d tert este:\" Nm); for(;<;) prtf("[%d]%f \"[]); getch(); Pr rulre progrmulu precedet obțem după 5 terț petru problem teroră rezulttele următore (bstrcțe făcâd de erorle de rotujre putem spue că sut detce cu cele terore) 7

76 7 Eemplul IV Să se determe folosd metod Jcob soluț promtvă după terț petru sstemul următor: 5 7 Pr rulre progrmulu sursă ce folosește umărul mm de terț obțem după terț petru problem precedetă rezulttele următore:

77 Următorul cod sursă (î C) rezolvă u sstem de ecuţ pr lgortmul metode Jcob dr folosește petru oprre tât u umăr mm de terț dms cât ș o erore dmsblă dtă /*Progrm Metod JACOBI-epslo s Nm*/ #clude<stdoh> #clude<cooh> #clude<mthh> flot s m epsa[][][]b[][]; t Nmjk; vod m() { prtf ("Itoducet dmesue mtrce sstemulu "); scf("%d"&); prtf("dt mtrce coefcetlor\"); for(;<;) for(j;j<;j) { prtf("a[%d][%d]: "j); scf("%f"&a[][j]); prtf("dt terme lber:\"); for (;<;) { prtf("b[%d]: "); scf("%f"&b[]); prtf ("Itoducet r mm de tert m "); scf("%d"&nm); prtf ("Itoducet precz dort eps "); scf("%f"&eps); for(;<;) []; k; 75

78 do { for(;<;) { s; for(j;j<;j) ssa[][j] * [j]; ss- A[][] * []; [] (B[]-s)/A[][]; mfbs([]-[]); for(;<;) f (m<fbs([]-[])) mfbs(([]-[])); for(;<;) [][]; kk; whle (m>eps && k<nm); f (k<nm) { prtf("dup %d tert solut este:\"k); for(;<;) prtf("[%d]%f \"[]); else prtf("s- depst umrul mm de tert"); getch(); Eemplul IV Să se rezolve sstemul de ecuţ d eemplul teror utlzâd surs de m sus cosderâd erore dmsblă 76

79 Se observă că soluț promtvă sstemulu s- obțut după u umăr de 8 terț î lmtele precze dorte r umărul mm de terț dms u fost depășt Vom căut soluț cestu sstem mărd precz dcă mcșorâd erore dmsblă dtă de or (dcâd-o l vlore ) dr mețâd celș tmp de eecuțe dcă celș umăr mm de terț dms Se observă d rezulttele următore că u putem tge precz dortă folosd celș umăr mm de terț dms 77

80 Petru rezolvre sstemelor de ecut lre pr metod Sedel Guss sut cocepute î coture două progrme smple î lmbjul C Prmul se bzeză pe fşre soluţe umerce ce se obţe după u umăr mm de terţ dms Nm ce se cere f trodus de către utlztor /*Progrm - Metod Sedel-Guss-r mm tert*/ #clude<stdoh> #clude<cooh> flot s A[][][]B[] []; t kjnm; vod m() { prtf ("Itoducet dmesue mtrce sstemulu "); scf("%d"&); prtf("dt mtrce coefcetlor\"); for(;<;) 78

81 for(j;j<;j) { prtf("a[%d][%d]: "j); scf("%f"&a[][j]); prtf("dt terme lber:\"); for (;<;) { prtf("b[%d]: "); scf("%f"&b[]); prtf ("Itoducet r mm de tert Nm "); scf("%d"&nm); for(;<;) []; for(k;k<nm;k) { for(;<;) { s; for(j;j<-;j) ssa[][j] * [j]; for(j;j<;j) ssa[][j] * [j]; [] (B[]-s)/A[][]; [][]; prtf("solut dup %d tert este:\" Nm); for(;<;) prtf("[%d]%f \"[]); getch(); 79

82 Soluț obțută cu vrt lgortmulu ce folosește dor umărul mm de terț petru oprre petru sstemul de l eemplul IV î czul î cre cest umăr mm este este: /*Progrm Metod Sedel Guss-epslo s Nm*/ #clude<stdoh> #clude<cooh> #clude<mthh> flot s m epsa[][][]b[][]; t Nmjk; vod m() { prtf ("Itoducet dmesue mtrce sstemulu "); scf("%d"&); prtf("dt mtrce coefcetlor\"); for(;<;) for(j;j<;j) 8

83 { prtf("a[%d][%d]: "j); scf("%f"&a[][j]); prtf("dt terme lber:\"); for (;<;) { prtf("b[%d]: "); scf("%f"&b[]); prtf ("Itoducet r mm de tert m "); scf("%d"&nm); prtf ("Itoducet precz dort eps "); scf("%f"&eps); for(;<;) []; k; do { for(;<;) { s; for(j;j<-;j) ssa[][j] * [j]; for(j;j<;j) ssa[][j] * [j]; [] (B[]-s)/A[][]; mfbs([]-[]); for(;<;) f (m<fbs([]-[])) mfbs(([]-[])); for(;<;) [][]; kk; whle (m>eps && k<nm); 8

84 f (k<nm) { prtf("dup %d tert solut este:\"k); for(;<;) prtf("[%d]%f \"[]); else prtf("s- depst umrul mm de tert"); getch(); Eemplul IV Să se rezolve sstemul de ecuţ d eemplul IV pr metod Guss-Sedel cu ceeş erore dmsblă petru soluţ flă Remrcăm fptul că se juge l precz dortă după dor 5 terț pr folosre metode Sedel-Guss Acelş sstem de ecuţ fost rezolvt cu o ceeş erore dmsblă î 8 pş pr metod Jcob Se deduce de c ccelerre covergeţe î czul metode Guss-Sedel 8

85 V METODE NUMERICE PENTRU REZOLVAREA ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII NELINIARE V METODE NUMERICE PENTRU REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE Petru o fucţe : f : [b] R cotuă ş dervblă (su dor câd f C ([b])) dorm să găsm rădăcle ecuţe: f () (*) Dcă f este o fucţe polomlă de grdul su estă formule geerle de rezolvre dr dcă grdul lu f este m mre decât u m dspuem de stfel de formule Defţ V Spuem că o rădăcă relă α este seprtă îtr-u tervl [b] dcă cest tervl coţe o sgură rdcă ecuţe dcă dor rădăc α Defţ V Spuem că o rădcă α seprtă îtr-u tervl [b] este loclztă î lmtele ue precz ε pr îtr-u tervl [ ] b dcă este îdepltă u d codţle: ( ) < ε f () b <ε () Relțle () respectv () sut foloste l oprre lgortmlor de determre rădăclor ecuțlor elre Cele m cuoscute metode umerce petru flre rădăclor ecuțlor elre sut: metod bsecţe metod corde metod secte metod promţlor successve (su cotrcţe) metod lu Newto (su tgete) etc 8

86 V METODA BISECŢIEI Acestă metodă costă î reducere tervlulu de seprre pr îjumătăţr repette ş selectre subtervlulu î cre se flă rădc Procesul se îchee î mometul stsfcer ue dtre codţle () su () Cosderăm dec ecuţ: f ( ) [ b] stfel îcât f ( ) f( b) < r î [ b] ecuţe Itroducem otţ tervlulu [ ] b cu f cotuă fost seprtă o soluţe b b Determăm mjlocul pe cre îl otăm cu b Acest sepră tervlul ţl î două subtervle [ ] [ b ] rădăc α găsdu-se îtr-uul d ele ş ume î cel l cpetele căru fucţ preztă seme cotrre Vom ot cel tervl cu [ b ] Î mod evdet: α < b Urmâd celş procedeu se obţ tervlele [ b ] [ b ] [ ] [ ] ş mjlocele cestor: b b b () L fecre ps selectre tervlulu următor se fce stfel: Dcă ( ) f( ) < ltfel f tuc: b b b () 8

87 către α Se observă că: b - ş α < b b b b Relţ (6) e rtă că şrurle { ş { Algortmul metode bsecţe Dte de trre: b cpetele tervlulu de seprre f fucţ căre se loclzeză rădăc (5) (6) b sut covergete ε precz determăr Dte de eşre: vlore promtvă rădăc d tervlul cosdert Se ţlzeză vlore promtvă rădăc (vlore corespuzătore mjloculu tervlulu dt) (b)/ Atât tmp cât ( ) ε f repetă: dc f()f()< tuc o b ltfel o (b)/ Dcă f( ) tuc se fşeză preczâdu-se că este soluţ ectă ecuţe elre ltfel se fşeză preczâdu-se că este vlore promtvă rădăc Stop 85

88 Observţ V Oprre lgortmulu de m sus se bzeză pe o codţe de tp () E pote f îlocută de o codţe de tp () cz î cre lgortmul deve: Se ţlzeză vlore promtvă rădăc (vlore corespuzătore mjloculu tervlulu dt) (b)/ Atât tmp cât b ε repetă dc f()f()< tuc o b ltfel o (b)/ Se fşeză vlore lu Stop Se observă că î cest cz u se m preczeză dcă este vorb de soluţ ectă su promtvă ecuţe Observţ V Se pote troduce o codţe de oprre ş cu jutorul umărulu mm dms de terţ respectv cu jutorul uor combţ ître codţle mtte Eemplul V Să se găsesscă vlore promtvă lu folosd metod bsecţe ş eecutâd u umăr mm de 5 terţ Soluţe: Atșăm ecuţ corespuzătore: f ( ) Cosderăm [ ] R f : [ b] [ ] Î cest tervl este seprtă o sgură rădăcă ceste ecuţ Acest lucru pote f justfct smplu deorece se şte că rădăcle ceste ecuţ sut ± r f ( ) f( ) < 86

89 87 Clculăm b < ] [ ) ( b f f Clculăm 75 7 b < 7 ] [ 6 7 b f f Clculăm 8 7 b < 7 8 ] [ b f f Clculăm b ( ) ( ) < ] [ b f f Clculăm b ( ) ( ) ] [ < < < b f f Astfel b este vlore promtvă cerută

90 Progrmul următor relzt î lmbjul de progrmre C se referă l clculul vlor promtve lu cu jutorul metode bsecţe El pote f folost ș petru flre vlorlor promtve le rădăcor rele le ltor ecuț modfcâd epres fucțe cu ce corespuzăore ecuțe î cuză) /* Progrm Bsect-codțe tp () */ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude<mthh> flot bepsc; flot F(flot u) {retur u*u-; vod m () { prtf("troducet tervlul cre este seprt rdc \"); prtf("troducet cptul d stg :"); scf("%f"&); prtf("\troducet cptul d drept b:"); scf("%f"&b); prtf("erore:"); scf("%f"&eps); (b)/; AF(); whle (fbs(a)>eps) { CF()*F(); f (C<) b; else ; (b)/; prtf("\%f"); /*fsez vlorle termedre*/ 88

91 AF(); f (A) prtf ("\%f este solut ect ecute" ); else prtf ("\%f este solut promtv ecute" ); getch(); Rezulttele obțute pr rulre cestu progrm petru dtele de trre de m jos sut: Se observă că dcă ce obțută teror Modfcâd tervlul de seprțe dr mețâd ceeș erore dmsblă obțem soluț dortă după u umăr m mre de terț ș cum se observă d dtele următore: 89

92 V METODA COARDEI Fe f cotuă ş dervblă de două or pe [ b] stfel îcât f( ) f( b) < ș f ( ) păstreză sem costt pe tervlul cosdert De seme presupuem că î [ b] fost seprtă o soluţe ecuţe: ( ) f Metod corde su flse pozț costă î costrure uu şr de promţ cre să covergă către soluţ ecuțe seprtă î cest tervl î cre terme șrulu repreztă bscsele puctelor de tersecțe le e O cu dverse drepte determte de două pucte stute pe grfcul fucţe f covebl lese Prm promţe ottă repreztă bscs puctulu î cre O te drept ce trece pr puctele ( f( ) ) ş ( f( b) ) b : 9

93 b Alegâd obțem: f f( ) ( b) f( ) f( )( b ) f( b) f( ) Se costrueşte po o ouă dreptă ce trece pr ( f( )) ş u l dole puct î fucţe de tervlul î cre se flă rădăc ecuţe: ( ) su ( b) cotuâdu-se po î celş mod Dcă f ( ) f( ) < tuc l dole puct l drepte v f ( f( ) ) ş obţem u şr descrescător ş mărgt dec coverget dt de relț de recureță: f( )( ) f f ( f( b) ) Dcă ( ) f( b) < ( ) ( ) f tuc l dole puct l drepte v f b ş obţem u şr crescător ş mărgt dec coverget dt pr relț de recureță: f ( )( b ) ( b) f( ) f Oprre lgortmulu se fce î mod log czulu precedet dcă pr folosre codțlor de loclzre de tp () su () su pr folosre uu umăr mm de terț dms su orcăre combț ître ceste Următorul progrm î lmbjul C mplemeteză lgortmul ceste metode petru flre rădăclor ecuțe î czul î cre oprre lgortmulu folosește o codțe de tp () 9

94 /* Progrm Metod Corde -codțe de tp() */ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude <mthh> flot bepsa C; flot F(flot u) {retur u*u-; vod m () { prtf("troducet tervlul cre este seprt rdc\"); prtf("troducet cptul d stg :"); scf("%f"&); prtf("\troducet cptul d drept b:"); scf("%f"&b); prtf("erore:"); scf("%f"&eps); -F()*(b-)/(F(b)-(F)); AF(); whle (fbs(a)>eps) { CF()*F(); f (C<) -F()*(-)/(F()-F()); else { -F()*(b-)/(F(b)-F()); b; AF(); f (A) prtf ("%f este solut ect ecute" ); else prtf ("%f este solut promtv ecute" ); getch(); Rezulttele obțute l rulre sut: 9

95 Vrt cre folosește o codțe de oprre de tp () este: /* Progrm Metod Corde codte de tp () */ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude <mthh> flot bepsacer; flot F(flot u) {retur u*u-; vod m () { prtf("troducet tervlul cre este seprt rdc\"); prtf("troducet cptul d stg :"); scf("%f"&); prtf("\troducet cptul d drept b:"); scf("%f"&b); prtf("erore:"); scf("%f"&eps); -F()*(b-)/(F(b)-F()); ERb-; whle (fbs(er)>eps) { CF()*F(); f (C<) -F()*(-)/(F()-F()); else { -F()*(b-)/(F(b)-F()); b; 9

96 ER-; ; AF(); f (A) prtf ("%f este solut ect ecute" ); else prtf ("%f este solut promtv ecute" ); getch(); Rezultte obțute l rulre: V METODA SECANTEI Cosderăm d ou ecuţ: f ( ) [ b] cu f cotuă ş dervblă de două or pe [ b] stfel îcât î [ b] seprtă o soluţe ecuţe pe cre o otăm cu α fost 9

97 Presupuâd că ( ) f pe[ b] se pote demostr că deft de relţ de recureţă: şrul de umere rele ( k) k k f( k) k f( k ) k cu [ b] f( ) f( ) k k este u şr coverget către α Metod secte costă î costrucţ cestu şr de promţ ce se pote demostr că este u șr coverget lα Algortmul foloseşte c dte de trre vlorle ţle le şrulu promţlor dcă vlorle ş epres lu f l cre se dugă fe umărul mm dms de terţ fe o erore dmsblă dtă ε dm fe mbele î fucţe de crterul les petru oprre cestu (se pote folos orcre d crterle mtte l celellte metode) Vlorle ţle se pot lege chr cpetele tervlulu de seprţe Observțe: vlorle d şrul recursv ce se costrueşte u repreztă mc ltcev decât puctele î cre sect l grfcul fucţe f dusă pr puctele de pe grfcul e de coordote ( f( )) ş ( f( )) k k tersecteză O k k Petru vrt lgortmulu metode secte ce foloseşte erore dmsblă dtă ş o codţe de oprre de tp () s- relzt următorul progrm î C cre permte clculul vlor promtve lu 5 cu erore ε dm trodusă de l tsttură El pote f uşor modfct petru permte rezolvre orcăre ecuţ elre log c î czul celorllte metode 95

98 /* Progrm Metod Secte- codte de tp() */ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude<mthh> flot beps A; flot F(flot u) {retur u*u-5; vod m () { prtf("troducet tervlul cre este seprt rdc\"); prtf("troducet cptul d stg :"); scf("%lf"&); prtf("\troducet cptul d drept b:"); scf("%lf"&b); prtf("erore:"); scf("%lf"&eps); do { (*F(b)-b*F())/(F(b)-F()); b; b; AF(); whle (fbs(a)>eps); f (fbs(a)) prtf ("%f este solut ect ecute" ); else prtf ("%f este solut promtv ecute" ); getch(); Cosdrâd tervlul [ ;] ş erore dmsblă dtă s- obţut petru 5 vlore promtvă:

99 Petru lte dte de trre se obț rezulttele următore: V5 METODA APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE PENTRU REZOLVAREA ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR NELINIARE Fe ecuţ: f ( ) (*) î cre f : R R este o fucţe dtă căre e propuem să- găsm rădăc dtr-u umt tervl [b] Dcă rescrem ecuţ sub form echvletă: ϕ() cu ϕ :[ b] [ b] cotrcţe cu coefcetul de cotrcţe q < putem s-o rezolvăm cu jutorul metode promțlor succesve Rădăc d tervlul [b] repreztă ucul puct f l plcțe ϕ Acest se obțe c lmtă șrulu promţlor succesve dte de: 97

100 ϕ ( ) ude [ b] rbtrr Relţle: q q q q e dcă cât de buă este vlore promtvă clcultă l psul Cel m des îtâlt cz î cre putem plc metod promțlor succesve este: Dcă ϕ :[ b] [ b] este cotuă pe [b] dervblă pe ( b) ş ϕ '( ) q< orcre r f ( b) tuc ϕ este o cotrcţe Eemplul V Să se găsesscă vlore promtvă rădăc d tervlul [ ; ] ecuțe 5 folosd metod promțlor succesve ş eecutâd u umăr mm de 5 terţ Soluţe: Evdet f ( ) 5 re proprette că f ( ) f( ) < r f ( ) ( > ) cosdert dec f dmte o sgură rădăcă î [ ; ] pe tervlul 5 Screm ecuţ stfel: Observăm că dcă [ ; ] 6 98

101 Astfel cosderâd : [;] [;] 5 ϕ ϕ ( ) ϕ r ϕ ( ) < 68 Alegâd 5 găsm după cele cc terț vlorle: ϕ 5 cest este o cotrcțe deorece ( ) ( ) 8 ( 8) ( 67755) 786 ( 786) ( 67657) ϕ ϕ ϕ 5 ϕ U progrm î C bzt pe metod promțlor succesve ce folosește o codțe de oprre de tp () petru problem teroră este: /* Progrm Cotrct */ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude <mthh> flot eps A; flot F(flot u) {retur 5/ (u*u); vod m () { prtf("troducet promt tl \"); prtf(":"); scf("%f"&); prtf("troducet erore dmsbl eps:"); scf("%f"&eps); A-F(); whle (fbs(a)>eps) 99

102 { F(); prtf("\%f"); /*fsez vlorle termedre*/ A-F(); f (A) prtf ("\%f este solut ect ecute" ); else prtf ("\%f este solut promtv ecute" ); getch(); L evdețtă d cdrul lu permte c după rulre s să obțem ș vlorle termedre clculte l fecre terțe Rezulttele rulăr codulu sursă de m sus sut prezette î coture U progrm bzt pe metod promțlor succesve ce folosește o codțe de oprre de tp () combtă cu ce cre folosește u umăr mm de terț dms trodus de l tsttură ott Nm petru problem teroră este prezett î coture

103 Vrbl îtregă Nt îregstreză umărul terțlor efectute pâă l tgere precze dorte Dcă u este tsă precz dortă progrmul fșeză cest lucru /* Progrm Cotrct */ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude <mthh> flot epsa; t Nm Nt; flot F(flot u) {retur 5/ (u*u); vod m () { prtf("troducet promt tl \"); prtf(":"); scf("%f"&); prtf("troducet erore dmsbl eps:"); scf("%f"&eps); prtf("troduceumrul mm de tert dms Nm:"); scf("%d"&nm); A-F(); Nt; whle ((fbs(a)>eps) && (Nt<Nm)) { F(); prtf("\%f"); /*fsez vlorle termedre*/ A-F(); NtNt; f (Nt>Nm) prtf ("\u s- ts precz dort %d tert" Nm); else { f (A) prtf ("\%f este solut ect ecute" );

104 else prtf ("\%f este solut promtv ecute obtut dup %d tert" Nt); getch(); Rulre cestu progrm petru dverse dte de trre codus l rezulttele următore

105 V6 METODA APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII NELINIARE Vom cosder sstemul de ecuţ elre: ) ( ) ( G F trscrs sub form echvletă: ) ( ) ( g f Fe { d c b R D : ) ( Dcă ( ) D g f ) ( ) ( orcre r f ( ) D putem def plcţ: ( ) D g f D D ) ( ) ( ) ( ϕ : ϕ Sstemul dt este echvlet cu ecuţ: ) ( ) ( ϕ (**) Cele m mportte stuţ î cre ϕ este o cotrcţe Să presupuem că estă q < stfel îcât î rport cu orm { D h h ) : ( ) ( m să vem: q g f q ; g f Î ceste codț ϕ este o cotrcţe dcă e rportăm l metrc deftă pr: [ ] t z ) zt )( ( ρ cre fce c (D ρ ) să fe u spţu metrc complet Dcă estă q < stfel îcât: q g g q ; f f tuc ϕ este o cotrcţe dcă e rportăm l metrc deftă pr:

106 [( )( zt) ] m{ z t ρ cre fce c (Dρ ) să fe u spţu metrc complet Astfel î orcre d ceste stuț ecuţ (**) re o sgură soluţe î D soluţe cre pote f obţută pr metod promţlor succesve; cest v f ş uc soluţe î D sstemulu dt; Soluț sstemulu elr pote f obţută pr metod promţlor succesve pord de l ( ) D ş luâd ( ) ϕ ( ) dcă: f ( ) g( ) V7 METODA NEWTON Cosderăm ecuţ: f() ude f : R R dervblă cu dervt eulă îtr-u tervl [ b] ș presupuem că m seprt o rădăcă α î cest tervl Fe [ ] o promţe ţlă rădăc α b Notăm cu tersecţ tgete l grfcul fucţe î cu O Ecuţ tgete este: f ( ) ( )( ) ( ) f f f ( ) Notăm cu tersecţ tgete l grfcul fucţe î cu O ş cotuăm log obţâd procedeul ce portă umele de metod Newto Rphso su metod tgete ( ) Metod Newto costă stfel î găs u şr de promţ petru rădăcă î felul următor: petru fecre este

107 puctul de tersecţe dtre O ş tget l grfcul lu f î puctul de bscsă - Ecuţ ceste tgete este: f ( ) f '( )( ) Itersecţ e cu O este puctul de bscsă: f ( ) f '( ) Pr urmre procesul tertv l metode lu Newto pote f descrs stfel: f ( ) f '( ) Observțe: Dcă f re sem costt pe [ b] se pote lege u puct î cre re loc: f ( ) f ( ) > U progrm î C ce folosește o codțe de oprre de tp () petru metod Newto este prezett î coture /* Progrm Newto*/ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude<mthh> flot eps A; flot f(flot u) {retur f(u); flot Df(flot u) {retur fdervt(u); vod m () { prtf("troducet promt tl rdc cutte :"); scf("%f"&); prtf("troducet erore:"); scf("%f"&eps); -f()/df(); 5

108 Af(); whle (fbs(a)>eps) { ; -f()/df(); Af(); f (A) prtf ("%f este solut ect ecute" ); else prtf ("%f este solut promtv ecute" ); getch(); Petru rezolvre ue probleme cocrete trebue îlocute epresle fucțlor f respectv Df Df ( ) f ( ) î puctele corespuzătore Astfel petru găs vlore lu putem rul progrmul următor: /* Progrm Newto*/ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude<mthh> flot epsa; flot f(flot u) {retur u*u-; flot Df(flot u) {retur *u; vod m () { prtf("troducet promt tl rdc cutte :"); scf("%f"&); prtf("troducet erore:"); scf("%f"&eps); 6

109 -f()/df(); Af(); whle (fbs(a)>eps) { ; -f()/df(); Af(); f (A) prtf ("%f este solut ect ecute" ); else prtf ("%f este solut promtv ecute" ); getch(); Observţ V7 Metod pote f plctă ş l rezolvre sstemelor elre de form: f( K m) f ( K m) K f m( K m) Î cest cz locul fucţe rele f este lut de fucţ vectorlă de vrblă vectorlă: F : R m f m m R F( ) K R f m 7

110 Dcă f m : R R u dervte prţle de ordul îtâ cotue tuc estă F ( ) ş cest este opertor lr de l î m R dt de mtrce (jcobul): f F ( ) j j m ( ) ( ) ( ) Dcă ( ) [ F ( ) ] F m R ( ) [ ( )] F( ) cest fd formul recursvă petru clculul elemetelor d şrul romțlor Idcele ( ) șezt sus desemeză elemetul clcult l psul Observţ V8 ( ) Metod Newto modfctă îlocueşte pe [ F ( )] cu ( ) [ F ( )] cee ce mplcă u volum de clcule mult m mc deorece l fecre ps se foloseşte ceeş versă ce de l prmul ps Procesul tertv stfel rezultt este coverget dr coverge m let decât cel d czul metode Newto Eemplul V5 Să cosderăm ecuţ: Să se plce metod lu Newto petru flre promtvă ue rădăc d tervlul Se folosește o codțe de oprre de tp () cu ε Soluţe: Notâd f ( ) vem: ( ) f ş f 8 8 8

111 De semee vem: > f ( ) ş f ( ) 6 pe tervlul cosdert Cum f ( ) f < Deorece f ( ) > ( ) f este strct crescătore tuc ecuț dtă re o sgură rădăcă î tervlul cosdrt Deorece ( ) vem: f ( ) < putem plc metod Newto legâd o promţe ţlă cre stsfce f dec legem codţ: ( ) f ( ) > Obţem succesv: f( ) 75 f ( ) Evluăm ( ) 7875 f f 7875> trecem l psul următor Cum ( ) ε f( ) 75 f ( ) Evluăm ( ) f 899> trecem l psul următor Cum f ( ) ε f( ) 6867 f ( ) Avem ( ) f( 68) f ş ( ) 9< ε f 68 Cdț () fd îdepltă lgortmul se oprește Astfel vlore promtvă rădăc este: α 68 9

112 V8 Metod șrulu Sturm petru seprre rădăclor rele le ue ecuţ lgebrce Acestă metodă se plcă petru determre umărulu rădăclor rele le ue ecuţ lgebrce semelor cestor ş chr petru seprre lor Fe P R[ X] P ( X) X X X Cosderăm m îtâ czul î cre polomul P u re rădăc rele multple dcă re rădăc rele dstcte (fecre cu ordul de multplctte uu) Petru orce stfel de polom P R[ X] costrum u şr de polome tște stfel: P ( X) P( X) P ( X) P ( X) Pk ( X) Rk( X) ude P ( X) P ( X) Q ( X) R ( X) k k k k k s Observţ V9 Acest şr de polome este cel pe cre-l obţem î lgortmul lu Eucld petru flre uu cel m mre dvzor comu l polomelor P P ott ( P P ) cu observţ că resturle se îmulţesc cu (-)Cum P u re rdc multple rezultă că P s P sut prme ître ele dec rezultăcă ( P ) cost Acestă costtă este chr P s P Observţ V Acest şr se umește şr Sturm soct polomulu P El u este ucul şr Sturm soct polomulu P Observţ V Polomele d şrul Sturm costrut pe bz lgortmulu lu Eucld pot f îlocute de polome cu coefceţ m smpl socte î dvzbltte cu prmele dr cre să păstreze semele coefceţlor

113 Defţ V Petru polomul P ş şrul Sturm soct lu P defm fucţ S : R N cre socză orcăru umăr rel umărul de vrţ de sem d şrul de umere P ( ) P( ) Ps( ) Teorem V Fe b R <b stfel îcât ( ) P ( b) Avem: ) S( ) S( b) ; ) Numărul rădăclor rele le ecuţe P ( ) (b) este egl cu S( ) S( b) P ş stute î Observţ V Dcă P re rădăc multple tuc P ş P P P P cu u rădăc commue ş stfel rezultă că ( ) s grd P s Î cest cz şrul Sturm soct lu P se pote lege c fd formt d: P P Ps F F F s P s P s Ps Cosecţ V Dcă P() se pote determ umărul rădăclor poztve ș egtve N respectv N - stfel: N S()-S( ) repreztă umărul rădăclor poztve N - S(- )-S() repreztă umărul rădăclor egtve Cosecţ V Fe α β R α < β stfel îcât P ( α) P ( β) ş S ( α) S( β) tuc î tervlul (α β) polomul P re o sgură rădăcă relă Eemplul V7 Fe ecuţ 6 Să se determe câte rădăc poztve ş câte egtve re cestă ecuţe ş să se determe tervle de seprţe petru ceste

114 Soluţe: Costrum u şr Sturm soct P X X 6X P ( X) X 6 ( ) Observăm că putem îlocu polomul ( X) P cu u ltul m smplu soct î dvzbltte cu el: X Obțem: P ( X) X P ( X) / 6 Clculăm S ( ) Șrul de seme este: Observăm că pr tre vrț de sem ș dec: S ( ) Șrul de seme corespuzător lu este: Astfel S ( ) Alog obțem: S ( ) Deducem de c că: N - N Clculâd lte vlor le fucţe S găsm: S ( ) S( ) S( ) Astfel S ( ) S( ) dec estă o ucă rădăcă î tervlul ( ) Cum S ( ) S( ) dec estă o ucă rădăcă ş î tervlul ( ) Alog S ( ) S( ) dec estă o ucă rădăcă î tervlul ( ) Astfel u fost seprte cele tre rădăc rele le polomulu Petru pute sepr rădăcle ue ecuţ î cre pre o fucţe dervblă se pote utlz ş metod şrulu Rolle pe cre o vom mt î coture Fe f : I R o fucţe dervblă pe I Metod şrulu Rolle se bzeză pe o proprette mporttă fucţlor dervble pe cre

115 o mtm î coture: ître două zerour cosecutve le dervte estă cel mult u zerou l fucţe Observţ V Cu jutorul şrulu lu Rolle determăm umărul rădăclor rele le le ecuţe f ( ) tervlele î cre se flă ceste rădăc dcâd ş Etpele formăr şrulu lu Rolle Se stbleşte tervlul I de studu l ecuţe f ( ) fucţ f : I R fd presupusă dervblă pe I Se rezolvă ecuţ: f ( ) ş se ordoeză (crescător) rădăcle rele d I le ecuţe: m < < < < < M Se clculeză vlorle fucţe î ceste pucte l cre se dugă lmtele fucţe otte l l l cpetele trvlulu I; obţem şrul de vlor: l f f f f l ( ) ( ) ( ) ( M) m Dtele obţute se trec îtr-u tbel/tblou petru f ( ) ; şrul lu Rolle este şrul semelor cestor vlor (pote păre ş zero) : Cometr: Dcă f( ) f( ) < ecuţ: f ( ) re î tervlul ( ) o sgură rădăcă relă Dcă f( ) f( ) > ecuţ: f ( ) u re î tervlul ( ) c o soluţe relă Dcă f ( ) tuc este rădăcă multplă ecuţe ( ) ecuţ f ( ) f ş î tervlul ( ) ( ) u m re soluţ rele

116 Observţ V Metod şrulu lu Rolle este efcetă î czul î cre estă posbltte rezolvăr efectve ecuţe ( ) f Observţ V5 Numărâd schmbărle de sem ş zerourle se determă umărul de soluţ rele le ecuţe dte ş tervlele î cre se flă ceste Eemplul V9 Să se determe folosd şrul Rolle umărul 5 de rădăc rele le ecuţe ş să se sepre ceste Să se determe folosd metod bsecţe o vlore promtvă petru ce m mre rădăc s efectuâd terţ Soluţe: Clculăm lmtele fucţe l ± ş obţem: 5 Se cosderă f : R R f( ) lm f( ) f( ) lm Dervt ceste fucţ este: f : R R f ( ) 5 > Deducem că fucţ este strct crescătore pe R Clculăm vlorle fucțe î două pucte: f ( ) f ( ) Relzăm următorul tblou: f ( ) ( ) f Se observă stfel că ecuţ dmte o sgură rădăcă relă stută î tervlul ( )

117 Aplcâd metod bsecţe găsm : b 5 vlore găstă l prm terţe f 5 f ( ) 5 ( 5) f( ) < b 5 5 b 5 5 vlore găstă l dou terţe f 5 f ( ) 99 ( 75) f( ) > b 5 75 vlore găstă l tre terţe f 75 f ( ) 58 ( 75) f( 5) > b 5 75 Astfel soluţ promtvă cerută este 75 5

118 VI METODE NUMERICE PENTRU DETERMINAREA POLINOMULUI CARACTERISTIC A VECTORILOR ŞI VALORILOR PROPRII VI POLINOM CARACTERISTIC VECTORI ŞI VALORI PROPRII P A Defţ VI Fe A (R) Polomul deft pr: ( ) ( λi A) M λ det se umeşte polomul crcterstc l lu A Observţ VI Polomul crcterstc este u polom de grd cu coefceţ rel ș cu coefcetul domt egl cu uu Defţ VI Ecuţ: P A( λ) se umeşte ecuţ crcterstcă lu A λ c λ c λ c (*) Polomul crcterstc re cel mult rădăc dstcte (rele su complee) (**) (A - λi) { (vectorul ul d R ); re ş soluţ eble Defţ VI Rădăcle lu P A se umesc vlor propr (su vlor crcterstce) le mtrce A Defţ VI U vector eul { 6 se umește vector porpru soct vlor propr λ dcă stsfce relț: ( λ I A){ TeoremVI (Gerschgor- loclzre vlorlor propr) Fe A o mtrce pătrtcă de ordul Dcă λ este o vlore propre rbtrră lu A tuc: j j λ r r j

119 VI METODE NUMERICE PENTRU CALCULUL VALORILOR ŞI VECTORILOR PROPRII PA Metod morlor dgol A M R este de form A ( ) j tuc Dcă ( ) j ( λ) se pote scre stfel: PA( λ) λ τ λ τ λ ( ) τ ude: τ ( τ sum morlor dgol de ord ) < j j τ ( τ sum morlor dgol de ord ) j τ det A jj Eemplul VI Să se clculeze cu jutorul morlor dgol polomul crcterstc l mtrce: A - - ; - Soluţe: Clculăm mor dgol ş obţem: τ - τ 7

120 8 τ - τ det A -6 ( ) 6 λ λ λ λ λ A P Eemplul VI Să se clculeze cu jutorul morlor dgol polomul crcterstc l mtrce: A - - ; Soluţe: Clculăm mor dgol ş obţem: τ 6 τ 9 τ τ det A ( ) 9 6 λ λ λ λ λ A P

121 Metod Leverrer λ λ τ λ τ λ τ Î cdrul ceste metode petru determ coefceţ Fe PA( ) ( ) polomulu crcterstc prcurgem două etpe: k ) Determăm s Tr( A ) k k τ k se clculeză recursv cu ) Coefceţ k relţle: s s τ s ; τ k τ ; k s τ k s τ k ( ) sk τ k ; k k Eemplul VI Să se determe polomul crcterstc l mtrce următore folosd metod Leverrer A ; k ) Determăm m îtâ elemetele Tr( A ) ( ) s s Tr A Clculăm puterle mtrce A ş po urmele cestor Avem: A s Tr (A ) 5 A s Tr (A ) k

122 ) Determăm coefceţ τ k ( s τ s) τ s ; ( s τ sτ s) τ P λ λ λ ( ) A τ ( ) - ( ) 9 ( ) Eemplul VI Să se determe polomul crcterstc l mtrce următore folosd metod Leverrer A ; k ) Determăm m îtâ elemetele Tr( A ) ( ) s s Tr A Clculăm puterle mtrce A ş po urmele cestor Avem: A s Tr (A ) A s Tr (A ) 5 5 ) Determăm coefceţ τ k ( s τ s) τ s ; τ ( 6 ) k 5

123 ( s τ sτ s ) ( ) 5 6 τ P ( λ) λ λ 5λ A P ( ) ( ) A λ λ ( λ ) Rădăcle sle sut: λ λ λ Astfel u fost găste două vlor propr dstcte le mtrce cosderte u vâd ordul de multplctte do r celltă uu Metod Krlov A M R Fe ( ) ş P A( λ) λ c λ c λ c olomul e crcterstc Folosd teorem Cle-Hmlto cre frmă că: mtrce A verfcă ecuţ crcterstcă (form ( ) mtrcelă) putem scre: P A Dec: Fe A A c A c A c I ( ) R orecre eul Pr îmulţre relţe precedete l drept cu ( ) obţem relţ: () () () () A c A c A c Relţ de m sus repreztă u sstem de ecuţ lre cu ecuoscute c c c Dcă legere lu ) R ( coduce l obțere uu determt eul soluţ ucă cestu repreztă coefceţ polomulu crcterstc Dcă determtul este ul se reu clculele cu u lt vector ţl () Petru smpltte se oteză: k ( ) ( k ) k ( ) ( k) A A( A ) A k sstemul se pote scre stfel: ( ) ( ) () () ( c c c c )

124 Determtul său este ( ) ( ) ( ) K ș trebue să fe eul petru cotu clculele Eemplul VI Folosd metod Krlov să se determe ( ) λ A P ude: A Alegem ( ) Găsm: ( ) ( ) ( ) 9 Sstemul pe cre îl obţem î cest cz re determtul ul dec legem lt vector ţl ( ) Fe ( ) Găsm î cest cz: ( ) ( ) ( ) 7 7 c c c c c c

125 Soluţ ucă cestu sstem este: c c 5 c Astfel polomul crcterstc ce se obţe este: P A P ( λ) λ λ 5 λ ( λ) ( λ) ( λ ) A Rădăcle sle sut: λ λ λ Observţ VI7 Dcă polomul crcterstc re rădăc dstcte tuc cu jutorul metode Krlov se pot determre vector propr q j ( λ) Notâd ( λ) PA λ q jλ q j λλ j j tuc u vector propru corespuztor vlor crcterstce λ j este dt de relţ: ( ) ( ) ( ) q q j j Eemplu VI7 Să se clculeze folosd metod Krlov polomul crcterstc ș vector propr mtrce A ude: Soluţe: ( ) Fe A 7 ( ) ( ) ( ) 5 9 6

126 Cum sstemul ce trebue rezolvt este: c c c Soluț cestu este: 6 6 c c c Ecuţ crcterstcă mtrce A este: 6 6 λ λ λ Rădăcle e dcă vlorle propr sut: λ λ λ Fd dstcte două câte două vom determ vector propr Petru λ vem: ( ) ( ) 6 5 λ λ λ λ λ λ A P q ( ) ( ) ( ) este u vector propru corespuzător vlor propr λ Petru λ ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ A P q Astfel u vector propru corespuzător e este: ( ) ( ) ( ) 6 5 Petru λ ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ A P q dec u vector propru corespuzător e este:

127 ( ) ( ) ( ) Metod Fdeev P λ λ c λ c λ Cosderăm A( ) Coefceţ polomulu crcterstc cât ş vers A - se pot obțe d relțle ce crcterzeză lgortmul ceste metode: ( A) B A c I A A c Tr A AB c Tr( A) B A ci A k ABk ck Tr( Ak) Bk Ak ck I k B O A B dc c c Eemplul VI5 Folosd metod Fdeev să se determe polomul crcterstc P ( λ) A petru mtrce: A - - ş dcă este versbl ş vers e A - c Soluţe: 5

128 6 Urmăm pş d lgortm ş vem: 5 B c A A B c B A A O B c B A A Astfel obţem următore eprese petru polomul crcterstc ( ) 7 5 λ λ λ λ A P Deorece 7 c se pote deduce ş vers lu A Obţem: B A

129 VII APROXIMAREA FUNCŢIILOR VII APROXIMAREA PRIN INTERPOLARE Fe o fucţe f [ b] R : cuoscută um îtr-u umăr lmtt de pucte (su odur): ce port umele de suportul terpolr pr vlorle: ( ) f( ) f( ) f otte î geerl: f f f De obce ceste dte sut prezette îtr-u tbel de terpolre: f ( ) f( ) f( ) f( ) Dcă puctele sut echdstte se spue că dspuem de o dscretzre uformă r dcă u sut echdstte dscretzre este euformă Dcă presupuem că cele odur repreztă bscsele uor pucte d pl r f f f repreztă ordotele lor se pue problem determăr ue curbe mge geometrcă ue fucț rele cre trece pr ceste 7

130 Vom prom comportre fucţe prtr-u polom geerlzt de terpolre de form: P () u () u () u î cre fucţle lr depete: u () u () u () sut cuoscute ş costtue bz terpolăr Acest pote f formtă d fucţ smple: polome fucţ trgoometrce epoeţle etc () Determre polomulu geerlzt de terpolre presupue prctc determre coefceţlor Se mpue prctc c pe suportul terpolăr polomul de terpolre să cocdă cu fucţ f Astfel se obț relţle: P ( ) f( ) (*) Relţle (*) sut cuoscute sub umele de codţ de terpolre Se pote cosder o bordre m geerlă promăr ue fucţ mpuâd codţ de terpolre de form: lre: P ( ) f( ) P ( ) f ( ) (k ) P ( ) f (k ) ( ) Codţle de terpolre (*) coduc l sstemul de ecuţ u ( ) f( ) k k 8

131 INTERPOLARE POLINOMIALĂ POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE Dcă se lege bz polomlă: u () u () u () sstemul determt de codţle de terpolre deve: k k k f ( ) El repreztă u sstem lr de ecuț cu ecuoscute crcterzt de u detrmt Vdermode eul dcă puctele sut dstcte cz î cre sstemul este comptbl determt vâd soluţe ucă cee ce mplcă u polom de terpolre uc Teorem Dte fd pucte dstcte ș vlor rele rbtrre f f f estă ș este uc u polom de terpolre corespuzător tbelulu de terpolre costrut pe bz lor Polomul geerl de terpolre de grd cel mult se pote obțe sub form: 9

132 P ( ) f ( ) f l ( ) k k k k (**) k ș portă umele de polom de terpolre Lgrge soct tbelulu de terpole dt ott L ( ) r polomele l k ( ) j k k k k ce pr î formulă se umesc polome fudmetle de terpolre Lgrge Ele u proprette: l k ( ) k k Eemplul Să se determe polomul de terpolre Lgrge petru o fucţe f ştd că suportul terpolăr este: r vlorle fucţe î ceste pucte sut: 7 Să se determe po vlore cestu î puctul Soluţe: Polomul de terpolre Lgrge este dt de: P ( ) f ) l ( ) k ( k k ω Notăm ( ) ( )( )( )( ) ω Avem: ( ) ( ) ( )( )

133 relţ: Notăm: ( ) ( ) ω k ω k Obţem următorele k ω ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω Cu jutorul lor costrum polomele fudmetle Lgrge dte de relţ: l ( ) Obţem dec: k ω ω k ( ) ( ) k k k ( )( ) l ( ) 8 ( ) ( )( )( ) l ( ) ( ) ( ) l ( ) ( ) ( ) l Deducem dec următore formă petru polomul de terpolre Lgrge: L ( ) 7 ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Se obţe po vlore polomulu î puctul : ( ) L

134 Eemplul Cosderâd vrţ destăţ uu mterl î tervlul de tempertur următor să se determe destte cestu l o 7 C folosduse u polom Lgrge de grdul o o t 6 C C d tbelul t[ C] 6 8 [ Kg / m ] ρ Soluţe: Folosd tote dtele d tebelul de terpolre dt s-r obţe u polom Lgrge de grd Polomul cerut trebue să bă grdul do dec selectăm u suport de terpolre m restrâs: c suport de terpolre puctele t 6 t 8 t ş vlorle corespuzătore le fucţe destte l l l ( t) ( t) ( t) Se obţ polomele fudmetle Lgrge: ( t t ( t t )( t t) ( t 8)( t) t )( t t ) (6 8)(6) ( t t)( t t) ( t 6)( t) t ( t t )( t t ) (8 6)(8) ( t t )( t t ) ( t 6)( t 8) t ( t t )( t t ) ( 6)( 8) Astfel polomul de terpolre Lgrge este : 8t 8 8 6t 6 t 8 8

135 Petru ( t) 56 l ( t) l ( t) l ( t) L 65 o t 7 C se obţe următore vlore : L ( 7 ) 6875 DIFERENŢE DIVIZATE O ltă metodă de obțe polomul de terpolre corespuzător uu tbel de tepolre dt este ce bztă pe ș-umtele dferețe dvzte cre repreztă î fpt ște otț socte uor rporte costrute după umte regulu cu dtele d tbelul de terpolre Dfereţele dvzte pot f troduse pr recureţă cu jutorul defţlor următore: Dfereţele dvzte de ord zero otte F [ ] cocd cu vlorle fucţe î odurle dte Estă stfel dfereţe dvzte de ordul zero petru dtele d tbloul de terpolre cosdert; [ ] f( ) F Dfereţele dvzte de ordul uu otte cu F [ ] se defesc pr egltte: F [ ] F [ ] F [ ]

136 ş sut î umăr de : F [ ] F [ ] F [ ] ; Dfereţele dvzte de ordl p se defesc cu jutorul dfereţelor dvzte de ord p- pr relţ: F p [ ] F [ ] F [ ] p p p p p ; p Estă o sgură dfereţă dvztă de ordul dtă de: F [ ] F [ ] F [ ] Petru smplfc evlure dfereţelor dvzte se pote utlz şezre cestor îtr-u tbel de form următore: F F F F [ ] f F F [ ] F [ ] F [ ] f F [ ] [ ] F [ ] f F [ ] [ ] [ ] F F - F - - [ ] f F F [ ] F [ ] -

137 F[ ] f [ ] F - - [ ] f F Notâd cu dj elemetele cestu tblou observăm că sut vlble relţle: d f d j d j j d j j ; j O ltă formă polomulu de terpolre de gred cel mul se pote obțe cu jutorul edfereţelor dvzte ș portă umele de polom Newto de terpolre ott cu N ( ) : N ( ) f( ) ( ) F[ ] ( )( ) F[ ] ( )( ) F[ ] Eemplul Folosd dfereţele dvzte să se determe polomul Newto de terpolre ce terpoleză dtele d tbelul următor: - f - Soluţe: 5

138 Costrum tbelule dfereţelor dvzte ş po cu jutorul elemetelor de pe prm le tbelulu polomul Newto de terpolre F F F F - - -/ N Utlzâd relţ () obţem: ( ) F( ) ( ) F[ ] ( )( ) F[ ] ( )( )( ) F[ ] Astfel polomul Newto de terpolre este: N ( ) ( )( ) ( )( )( ) Eemplul Să se determe polomul Newto de terpolre de grd cel mult ce terpoleză fucț f : R R f( ) î odurle Cre este grdul polomulu găst? f - 6 6

139 Soluţe: Costrum tbelule dfereţelor dvzte ş po polomul Newto de terpolre F F F F N ( ) F ( ) ( ) F[ ] ( )( ) F [ ] ( )( )( Astfel obțem: ( ) 5 ( ) N Remrcăm că el re grdul do ș cocde cu fucț dtă: ( ) f( ) N Î cee ce prvește erore pe cre o troducem promâd o fucțe pr polomul de terpolre de grd cel mult se pote demostr că î czul ue fucț de clsă ([ b] ) C E cest este dtă de: ( ( ) f( ) P ( ) f ) ( z) 7 ( ) cu z ( b) ω ( )!

140 Dcă î plus odurle d tervlul [ b] sut echdstte tuc M b E ( ) f( ) P( ) M ude ( ) [ b] ( ) ( ) sup f Eemplul 5 Să se determe cât de mre este erore pe cre o troducem câd promăm fucț f( ) s pe tervlul [ ] cu u polom de terpolre corespuzător uu tbel de trpolre cu odur echdstte Avem b ( ) ( ) cos M f Astfel obțem o erore forte mcă: E ( ) f( ) P ( ) DIFERENȚE FINITE Dfereţele fte sut utle î evlure umercă dervtelor ș î formulele de terpolre Ele sut de m multe felur ş se plcă uor fucţ defte î pucte echdstte: h : -dfereţe progresve: f ( h) f ( ) h f ( ) 8 f ( ) h f ( )

141 k f ( ) f ( ) h -dfereţe regresve: f ( ) f ( h f ( ) h k k k f ) f ( ) h -dfereţe cetrte: δ f ) ( f k δ f ) ( k k ) 9 f ( ) f f ( ( h f ( f ( h h ( ) ) δ k ) δ h k f ( ) h f ( ( ) ) f ( ) ) h (5) f ( Petru trece de l dfereţele fte l dfereţele dvzte se foloseşte relţ: δ [ ] f ( ) f ( ) f ( / )! h F Astfel cu jutorul lor pot f costrute polomele de terpolre î czul fucțlor defte pe u suport de terpolre cu odur echdstte Fe dec fucţ f cuoscută prtr-u tbel de terpolre î cre bscsele sut echdstte Dorm să evluăm fucţ î puctul termedr ( ) Vom cosder î mod smplfctor că cest puct pote f stut: -l îceputul tbloulu < < )

142 -l sfârştul tbloulu < < Dcă < < cu ş vom eglj u umăr de pucte de l îceputul su sfîrştul tbloulu petru e stu îtr-uul d czurle de m sus Formulele de terpolre costrute cu jutorul dferețelor fte portă umele de formulele Newto Gregor Prm formulă Newto-Gregor relzeză terpolre l îceput de tblou dcă cosderă: uh cu < u < Pord de l epres polomulu Newto de terpolre î puctul ș eprmâd dfereţele dvzte cu jutorul dfereţelor fte progresve: k f ( ) k se obţe: k! h f F k [ P ( ) P ( u h ) p ( u) ( ) ( ) ) f ( ) f ( )! h! h ( ) ( )( ) f ( )! h ( ] Țâd cot de fptul că: k ( k ) uh kh ( u k) h obțem: u u ( u) u ( u)( u ) p( u) f f f f!!! k

143 Următore formulă de terpolre Newto-Gregor se referă l terpolre l sfârşt de tblou ş se obţ eprmâd dfereţele dvzte pr dfereţe regresve Astfel dcă se : u h < u < ş se prcurg celeş etpe se obţe: p ( u) f u f! u ( u) u( u )( u )! f ( )! f INTERPOLARE CU FUNCŢII SPLINE Polomul de terpolre Lgrge preztă u grd îlt petru u umăr mre de pucte Acest e determă ueor să legem polome de terpolre de grd mc vlble pe subtervle le tervlulu [ b] Î stfel de stuț folosm fucțle sple petru promre Defț O fucțe S se umește fucțe sple de grd k dcă e îdeplește codțle: r k Este deftă pe [ b] Dervtele e de ord r sut cotue pe[ b] petru Restrcțle e l subtervlele [ ] polome de grd cel mult k sut

144 Fucț sple lre Fe pucte: < < < î cre se cuosc vlorle fucţe: f ) f ( ) f ( ) vom cosder î ( cest cz fucţ de terpolre lre locle pe subtervlele: de form: î cre ce prmetr [ ][ ][ ][ ] s ( ) b ş stsfcere codţlor terpolre: b se determă mpuâd s ) f ( ) s ( ) f ( ) ( ş codţlor de rcordre î puctele terore: s ) s ( ) ( Iterpolre lră e oferă o fucțe cotuă ș dervblă pe porțu dr cre preztă totuş dezvtjul dscotutăţ dervtelor î puctele terore Codțle de terpolre e du coefceț: f ( ) f ( ) b f ( ) f ( ) Observăm că pe fecre d subtervlele formte se costruesc prctc segmete de drepte ce uesc puctele de

145 coordote ( f( )) ș ( f( )) ș stfel se relzeză o promre curbe rele prtr-o le polgolă Fucț sple se pote prelug ș î fr tervlulu [ b] stfel: s ( ) Fucț sple pătrtce s s ( ) ( ) < > b Dcă î czul fucțlor sple lre pe fecre subtervl formt m costrut prctc segmete î czul fucțlor sple ptrtce se vor costru rce de prbole pr termedul fucțlor de grdul do Astfel pe fecre subtervl [ ] s se lege ( ) b ( ) c ( ) cu b c urmeză f determț coefceț ce Astfel fucțle sple trebue să îdeplescă relțle: s s s s ( ) f ( ) f ( ) d ( ) d uu: cu d d costrute recursv cu jutorul relțe de ordul f ( ) f( ) d r d rbtrr

146 Se obț relțle: s ( ) d ( ) f d ( ) ( ( ) d Cu jutorul fucțlor sple pătrtce de m sus se obțe o fucțe de promre cre re dervt cotă pe [ b] Eemple: Să se determe fucț sple pătrtcă ce terpoleză dtele d tbelul: f 8 ) Costrum fucțle sple clculâd m îtâ coefceț d pord de l d Astfel obțem: 8 8 d 6 d 6 d Fucțle sple pătrtce tște subtervlelor formte sut: 6 s ( ) 6 s ( ) 6( ) ( ) s ( ) 8 ( )

147 Astfel fucț sple corespuzătore tbelulu dt re următore eprese: [ ] S ( ) [ ] [ ] Se observă c e este u um cotuă c ș dervblă r dervt s este cotuă pe [ ] Fucț sple cubce Pr legere uor fucţ de terpolre de grdul se pote relz o terpolre cre presupue ş fre vlor dervtelor pe suportul terpolăr: S f ( ) f ( ) f ( ) O fucţe sple cubcă se pote eprm stfel: ( ) b ( ) c ( ) d ( ) Ce coefceţ b c d fucţlor sple se determă mpuâd codţ de terpolre: S ) f ( ) S ) f ( ) cu ( ( ş codţ de rcordre sgurâd cotutte ş dervbltte fucţlor de terpolre vece î puctele terore: S ) S ( ) S ) S ( ) cu ( ( 5

148 PĂTRATE APROXIMAREA ÎN SENSUL CELOR MAI MICI Î prgrfele precedete s-u costrut fucț cre promeză dtele dtr-u tbel pr terpolre dcă fucț ce trec pr tote puctele d pl corespuzătore tbelulu dt Ueor se pue problem găsr ue fucț cre să reprezte cel m be dtele d tbel dr cre să u trecă epărt pr tote puctele dte Prmul tp de promre se folosește câd dtele d tbel sut dte cu o mre curtețe r cel de-l dole î czul î cre î determre lor pot să pră mc eror (de eemplu de măsurre) Ce m des utlztă tehcă petru găs o promtă c re se potrvește cel m be dtelor dtr-u tbel este metod celor m mc pătrte Prmul ps ce trebue făcut petru plc cestă metodă este reprezetre puctelor î pl petru pute vzulz form orulu de pucte ș petru tu stfel ce model de fucțe se potrvește petru promtă 6

149 Î czul î cre se observă pe grfc că orul de pucte urmeză form ue drepte precum î fgur următore se folosește petru promtă u model lr: f ( ) b e Erorle cre pr î fecre od deumte ș rezduur ( ) f trebue mmzte Î czul metode celor m mc pătrte coefceț ș b se determă mpuâd codț c sum pătrtelor erorlor ce pr să fe mmă De cee metod folostă se umește metod celor mc pătrte Astfel se formeză sum: E( b) ( ( b) ) N căre vrem să- determăm mmul Vom clcul m îtâ puctele e stțore 7

150 8 b E E cu ( ) ( ) ( ) ( ) N N b b E b E Se obțe stfel sstemul: N N N N N bn b Coefceț d ecuț fucțe de grdul îtă cre promeză cel m be dtele î sesul celor m mc pătrte sut: N N N N N N N N b N N Î cdrul promărlor pe cre le fcem locul fucțe de grdul îtâ pote f lut de orce ltă fucțe polomlă ș u um Î czul î cre se observă pe grfc că orul de pucte urmeză form ue prbole precum î fgur următore se folosește o fucțe de grdul do

151 Petru eprmre uu model prbolc de form: bc cu jutorul metode celor m mc pătrte costrum m îtâ fucț E ce îsumeză pătrtele rezduurlor cre pr : ( ) ( N E b c ( c b ) ) Coefceţ b c se obţ d codţ c fucţ E să dmtă u mmum dcă: E E E b c Clculâd dervtele prțle obțem epresle: N E N E b N E c (( c b ) ) ( c b ) ) ( c b ) ) 9

152 următor: Smplfcâd screre sumelor obțem sstemul b c b c b c Rezolvâd cest sstem obțem prctc prbl căuttă Eemple: Să se determe curb cre promeză cel m be î sesul celor m mc pătrte dtele d tbelul următor: f Reprezetâd grfc puctele observăm că ele se șeză î jurul ue drepte

153 Astfel vom determ o promtă de tpul ue fucț de grdul îtâ: f ( ) b ude N5 N N cu ș b dț de relțle: N N N N N b N N N Petru ușurță clculele sut trecute îtr-u tbel: Σ Obțem: 75 b Astfel fucț cre promeză cel m be dtele d tbel re epres: ( ) 75 7 f 5

154 VIII EVALUAREA NUMERICĂ A INTEGRALELOR Pr evlure umercă tegrlelor îțelegem clculul b promtv l tegrlelor defte f ( ) d cu jutorul uor formule cre folosesc vlorle fucțe î umte odur d tervlul [b] Necestte evluăr umerce tegrlelor pre î specl tuc câd prmtvele fucțor de tegrt sut dfcl de flt su câd ceste sut dte tbelr Metodele cel m des utlzte petru evlure umercă tegrlelor sut: metod trpezulu metod Smpso ș metod Newto VIII METODA TRAPEZULUI Acestă metodă se obţe promâd fucţ de tegrt cu u polom de terpolre Lgrge costrut pe odurle ş b dcă prtr-u polom Lgrge de grdul îtâ b f f()f f(b)f Pe bz tbelulu de m sus obţem polomul Lgrge: b L ( ) f() f(b) b b f ) d f(b) b b ( [ f ( ) f ( b) ] f() b 5

155 Polomul Lgrge de grdul e oferă o fucțe cre restrcțotă l [b] re c mge geometrcă u segmet de dreptă cre promeză curb pe cest tervl Ar subgrfculu ceste este tocm r trpezulu cu bzele f() f(b) ş îălţme b De c rezultă ş deumre metode drept metod trpezulu Observţ VIII Dcă f C [b] erore cre pre promâd tegrl deftă cu formul precedetă este: f ( ξ )( b ) ξ ( b) Se observă că erore este mre dcă [b] este de lugme mre Petru mcşor cestă erore se cosderă o dvzue tervlulu [b] pr pucte echdstte Se determă psul h dt b de: h ș po odurle echdstte: h ude b - Aplcâd proprette de dtvtte (fță de domeu) tegrle defte ș formul precedetă pe fecre subtervl formt obțem: b h f ( ) d f ( ) f ( ) f ( ) (*) b Apromâd f( ) obțe ottă E ( f) d cu formul precedetă erore cre se verfcă egltte: ( b ) M ( ) cu E( f ) ude M m f ( ) [ b ] 5

156 Observţ VIII Mărgre eror e permte să evluăm umerc tegrl cu o umtă precze stbltă pr erore dmsblă dtă ε dm Impuâd codț: ( b ) M < ε dm ( b ) ( b ) M > ε * putem determ M ε dm Putem evlu tegrl pe bz formule (*) cosderâd * ș vom obțe o erore m mcă decât erore dmsblă dtă Î coture este prezett u cod sursă î C relzt pe bz metode trpezelor petru evlure umercă tegrle fucţe ( ) f : R R f dm pe u tervl trodus de l tsttură /* Metod Trpezelor */ #clude<cooh> #clude<stdoh> flot b[]h s; flot f(flot); t ; vod m() { prtf("troducet lmt d stg :"); scf("%f"&); prtf("\troducet lmt d drept b:"); scf("%f"&b); prtf("troducet umrul de subtervle :"); scf("%d"&); h(b-)/; for(;<-;) 5

157 []*h; sf()f(b); for(;<-;) ss*f([]); ss*h/; prtf(" vlore promtv tegrle este I%f"s); flot f(flot ) {retur **; Vlore ectă tegrle este: ( ) d 6 ( 6) Vlore umercă obțută cu jutorul surse precedete î czul este Ce obțută î czul este VIII METODA SIMPSON Î cdrul ceste metode formul de clcul vlor promtve tegrle ce se obţe promâd fucţ f prtr-u 55

158 polom Lgrge de grdul cel mult do cre terpoleză fucţ f b î c ş b este: b b f ( ) d ( f( ) f( c) f( b) ) E( f) 6 Erore este dtă de: ) 5 ( ( f) ( b ) f ( ξ ) ξ ( b) E 88 Fd o erore mre î czul uu tervl de lugme suprutră se recurge ș î cest cz l dscretzre tervlulu pr odur echdstte ( h ude b b h ) ș plcre formule de m sus pe fecre subtervl formt Îsumâdu-se ceste se obțe formul lu Smpso geerlztă: b f h 6 ( ) d f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) b Observţ VIII Apromre tegrle formul lu Smpso geerlztă î czul ue fucț de clsă fce cu erore E ( f) cu 5 ( b ) ' f ( ) d pr C se E( f ) M ude M m f ( ) 88 [ b] Utlzâd lmbjul de progrmre C s- relzt următorul progrm de clcul 56

159 /* Metod Smpso */ #clude<cooh> #clude<stdoh> flot f(flot); flot b[][] p h s; t ; vod m () { prtf("troducet lmt d stg :"); scf("%f"&); prtf("\troducet lmt d drept b:"); scf("%f"&b); prtf("troducet umrul de subtervle :"); scf("%d"&); h(b-)/; for(;<;) []*h; sf()f(b); for(;<-;) ss*f([]); p; for(;<;) []([-][])/; for(;<;) pp*f([]); s(sp)*h/6; prtf(" vlore promtv tegrle este I%f"s); flot f(flot ) {retur **; VIII METODA NEWTON Fe f C [ b] ş dvzue: b < < < b 57

160 Folosd petru promre fucţe u polom de terpolre costrut pe bz suportulu de terpolre corespuzător dvzu precedete se obţe î mod log o ouă formulă de evlure umercă ue tegrle defte ce portă umele de formul lu b b 8 Newto: f ( ) d [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( b) ] E( f ) ) 5 ( ( f) ( b ) f ( ) ξ ( b) E ξ 68 Î czul formule geerlzte se relzeză o dvzue tervlulu [ b] î părţ egle pr odurle echdstte b ș se plcă formul lu Newto pe fecre tervl [ ] Îsumâd relţle obţem formul lu Newto geerlztă: b h h h f ( ) d f ( ) f ( b) f ( ) f ( ) f ( ) 8 O mrge superoră petru vlore bsolută eror ce pre este dtă de relţ: 5 ( b ) E( f ) M 68 '' ude M sup f [ b] ξ () ( ξ ) Observţ VIII M d formul lu Smpso geerlztă ş M d fomul lu Newto geerlztă cocd Deorece erore obţută este m mcă tuc câd se utlzeză formul lu Newto 5 5 ( b ) '' ( b ) ' M M

161 petru u celş este preferbl să se folosescă î plcţ formul lu Newto Progrmul î C corespuzător petru czul fucţe ( ) f : R R f este prezett î coture /* Metod Newto */ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude<mthh> flot f(flot); flot b[][]z[] p h s; t ; vod m () { prtf("troducet lmt d stg :"); scf("%f"&); prtf("\troducet lmt d drept b:"); scf("%f"&b); prtf("troducet umrul de subtervle :"); scf("%d"&); h(b-)/; for(;<;) []*h; sf()f(b); for(;<-;) ss*f([]); p; for(;<;) [][-]h/; for(;<;) z[][-]*h/; for(;<;) pp*(f([])f(z[])); s(sp)*h/8; prtf(" vlore promtv tegrle este I%f"s); flot f(flot ) {retur **; 59

162 IX METODE NUMERICE PENTRU REZOLVAREA ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE IX INTRODUCERE Î cest cptol sut prezette câtev metode umerce petru găsre soluţe ue probleme de form: f ( ) ( ) E repreztă de fpt o ecuţe dfereţlă îsoțtă de o codțe țlă ș portă umele de problemă Cuch (su cu dte țle) Ele sut forte des îtâlte î prctcă deorece mjortte feomeelor fzce studte sut scrse sub form uor ecuț dferețle căc este m ușor de determt cum vrză o mărme decât mărme î se Aplcre metodelor umerce petru rezolvre cestor tpur de probleme se fce î czul î cre codţ de uctte soluțe este sgurtă Teorem IX (stbleşte codţ sufcete petru c problem precedetă să dmtă soluţe ucă) Fe U o vecătte puctulu ) de form: {( ) / [ ] [ b b] 6 ( () U Dcă f este mărgtă ş lpschtză î rport cu vrbl (dcă f ( ) f( ) L ) tuc estă u umăr h > ş o

163 mulţme de form: U {( ) / [ h] b U U stfel îcât pe cestă mulţme soluţ probleme () estă ş este ucă Observţ IX Cele m frecvete czur î cre f stsfce cerţele teoreme precedete sut: f ) Dcă f este stfel îcât L pe D f Ruge-Kutt fc prte d ce de dou ctegore 6 este lpschtză î rport cu pe D f C D > dervtele prţle sut mărgte ş ) Dcă ( ) dec f este lpschtză Estă două drecț prcple de bordre rezolvăr umerce ecuţe (): - se cută o fucţe elemetră ~ ( ) cre să promeze sufcet de be soluţ probleme () ~ ( ) ş ( ) ~ ( ) < ε ( ) [ h] - se determă mărmle cre promeză vlorle fucţe ( ) î puctele dcă ( ) < ε Cele m smple metode umerce ce se pot utlz î rezolvre ecuțlor dferețle sut: metod tegrăr tertve metod dezvoltăr î sere Tlor metod Euler ş Ruge Kutt Metod de tegrre tertvă ş ce de dezvoltre î sere fc prte d prm ctegore r metodele Euler ş

164 IX METODA INTEGRĂRII ITERATIVE Fe f : U R cotuă pe U ş lpschtză î rport cu M sup f Dcă se lege de coefcet L Se oteză ( ) h m L b M tuc şrul de promţ succesve: f ( t ( t)) dt coverge uform petru [ h] () () Astfel ( ) ( ) U către soluţ probleme lm este soluţ probleme () Are loc egltte: ( ) ( ) ( ) < ML ( )! Metod tegrăr tertve m portă umele de metod Pcrd ş deorece costrueşte l fecre terţe o promre soluţe probleme se m îtâleşte ş sub deumre de metod promțlor succesve Algortmul de promre este următorul: Psul : Se determă tervlul pe cre procesul tertv este coverget dcă vlore lu h ş tervlul [ h ] Psul : Se determă succesv fucţle ( ) ( ) cu jutorul formulelor () Psul : Se determă dcele petru cre: ( ) ( ) < ε ( ) [ h] ude ε este erore dmsblă folosd egltte: 6

165 ( ) ( ) ( ) < ML ( )! Cocluze: este promre dortă Eemplul IX Utlzâd metod promărlor succesve să se determe o soluţe promtvă petru problem: () petru orce D R Fe U \ ( b) Determăm P: Fucţ f( ) C ( D) {( ) M ş sup ( ) U L f sup ( ) U ( ) f ( ) U sup ( ) ( ) U sup / / Alegem h m P: Apromţle sut: Y( ) (t ) dt t t Y( ) (t ) dt 8 Y ( ) t (t t 8 t ) d 8 6 8

166 P: Petru [ / ] [ 5] ( ) ( ) < deducem că: (5) <! De eemplu petru ε ( ) ( ) este soluţ 8 8 probleme dte E promeză soluţ ectă cu o erore de - Eemplu IX Să cosderăm problem Cuch ' ( ) Să se determe soluț promtvă e obțută după tre terț folosd metod tegrăr tertve ș să se evlueze u mjort petru erore ce se relzeză pr cestă promre Soluțe: Alegem bș mulțme [ ] [ ] Detrmăm M sup f( ) sup ( ) U f Determăm L sup ( ) U ( ) 6 U ( ) U sup ( ) U 6 Dec vom lege u umăr h < tuc problem 6 * dmte o sgură soluţe promtvă deftă pe tervlul 5 7 c lmtă șrulu de promăr () 6

167 65 Petru vom ve: ( ) ( ) ( ) ( ) dt t t t dt t t dt t T Observăm că vem: ! 6 6 * IX METODA DEZVOLTĂRII ÎN SERIE (METODA TAYLOR) Dcă se presupue că fucţ f este dervblă de o ftte de or îtr-o vecătte puctulu ( ) de rză r tuc putem tş soluţe probleme () ser Tlor corespuzătore : ( ) ( ) ( ) ( )!! Coefceţ se clculeză cosecutv ş sut vlor cuoscute: ( ) ( ) ( ) ( ) f f E se obţ pr dervăr succesve De eemplu ( ) f f f f f & >

168 ( ) ( ) f f ( ) f( ) ( ) f ( ) f Dervâd fucţ precedetă se pote clcul ( ) f po ( ) Eemplul IX Fe problem Cuch următore: () 66 ş etc Astfel se pot obţe vlorle dervtelor de orce ord î puctul Prctc cu cestă metodă se promeză soluţ ( ) probleme () î vecătte puctulu ( ) prtr-u u polom Tlor de grd ( su 5 de cele m multe or) Acestă metodă pote să ofere vlorle soluţe î odurle echdstte le uu tervl Îlocud cu h vom deduce dcă vlore d puctul Avem relţ: h ( h f f f f ) epresle d drept egltăţ fd evlute î puctul ( ) Petru celellte vlor deducem relţ recursvă: h ( h f f f f ) cu termeul drept evlut î puctul ( ) Formule loge se pot obţe dcă reţem m mulț terme d ser Tlor corespuzătore

169 Să se promeze pe [ ] soluţ probleme folosd metod Tlor cu Psul pe O se lege h Să se compre rezulttele cu cele dte de soluț ectă: ( ) e ˆ Soluţe: D dtele probleme vem: ( ) ( ) Dervâd î rport cu ecuţ dfereţlă d problemă deducem că: Cosderâd î relţ precedetă ş folosd vlorle teror clculte obţem: ( ) Procedâd log ş î coture obţem; ( ) Astfel soluţ promtvă probleme dte obţută cu metod Tlor este: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!! 6 Astfel cosderâd h putem deduce vlore soluțe î puctul 67 Obțem: Procedâd log î celellte pucte găsm dtele d tbelul următor Sut prezette ș erorle cre pr ître vlorle clulte ș cele ecte

170 Solut ect Erore bsolut Erore bsolută mmă este dec 7 IX Metod EULER Pord de l fptul că soluţ ue ecuţ dfereţle de ordul îtâ repreztă o fmle de curbe d pl deducem că soluţ probleme () repreztă ş e o stfel de curbă Metod Euler propue promre ceste dcă soluţe probleme prtr-o le polgolă î cre fecre segmet este colr cu drecţ tgete l cestă curbă î puctul cre cocde cu etremtte s stâgă (vez Fg IX) Puctele lese î lugul e O sut echdstte r dstţ dtre orcre două lăturte se oteză cu h Fe stfel odurle echdstte Î puctul ( ) ş re pt ( ) f( ) 68 h M se trseză segmetul ce trece pr M Ecuţ este:

171 ( )( ) su f ( )( ) Se promeză soluţ î puctul cu ordot puctulu M de tersecţe dtre drept precedetă ş Obţem dec: f h Procedăm log î coture cosderâd că M jocă rolul lu M etc (vez Fg IX) Obţem stfel formulele următore petru flre vlorlor ecuoscute probleme î odurle lese: hf ude f f( ) Fg IX Astfel soluţ probleme () este promtă pr fucţ tbel: () Cuoscâd vlore lu h cre portă umele de psul metode Euler precum ş umărul de vlor dorte le soluţe probleme dcă se obţe prctc lgortmul de clcul umerc crcterstc metode 69

172 Algortmul Metode Euler: Dte de trre: -umărul de subtervle h-psul metode vlorle ţle ş epres fucţe f Dte de eşre: vectorul ce coţe vlorle umerce: P: Se troduc dtele de trre; P: Se relzeză dvzue tervlulu [ h] î tervle pr odurle ( h) ; P: Se determă vlorle hf f f( ) cu relţ: ; P: Se fşeză vlorle fucţe ş odurle î cre sut clculte ceste după cre se opreşte lgortmul Observţ IX Petru mcşorre erorlor ce terv î metod Euler se îlocueşte drecţ segmetulu M M cu drecţ corespuzătore mjloculu segmetulu [ ] rezultâd metod Euler modfctă: Formulele de clcul corespuzătore ceste metode pot f stetzte stfel: h h f f ( ) h f f f ( hf 7 )

173 Eemplul IX Fe problem Cuch: [] () Să se determe o soluţe promtvă e folosd metod Euler cu psul h ˆ Să se compre vlorle găste cu cele le soluțe ecte e ( ) Soluţe: Avem următorele relţ: ; ; ; ; hf ( ( ) ( hf ) 79 etc Obţem următorul tbel: 7 ( ) 9 () ŷ ( ) erore bsolută Se observă că ce m mre erore bsolută obțută este: 9

174 Eemplul IX Fe problem Cuch: [] () Să se determe o soluţe promtvă e folosd metod Euler cu psul h Să se compre vlorle găste cu vlorle soluțe ecte: ˆ ( ) e Soluţe: Avem următorele relţ: ; ; ; 6; 8; 5 hf hf 5 (5 5/) ( ) ( ) 5 ( ) etc Pe bz metode Euler s- relzt î C următorul progrm: /* Metod Euler petru rezolvre ecutlor dferetle */ #clude<cooh> #clude<stdoh> flot fu(flot flot); flot [][]h; t ; flot fu(flot flot ) {retur -/; vod m () { prtf("troducet bscs puctulu tl :"); scf("%f"&); prtf("\troducet ordot tl :"); scf("%f"&); 7

175 prtf("troducet umrul de subtervle :"); scf("%d"&); prtf("troducet psul metode h:"); scf("%f"&h); []; []; for(;<;) { []*h; [][-]fu ([-] [-])*h; prtf(" vlorle promtve le solute sut:\"); for(;<;) prtf("[%d]%f"[]); getch(); Rezulttele obțute pr rulre lu sut: Obţem următorul tbel: () ŷ ( ) erore bsolută Se observă că ce m mre erore bsolută este: 7

176 Eemplul IX Să se rezolve ceeş problemă folosd metod Euler modfctă Soluţe: Nodurle de pe O rămâ celeş: ; ; ; 6; 8; 5 Avem d dtele probleme: Determăm mjlocul prmulu subtervl formt vlore ordote corespuzătore ş po vlore fucţe î cest od: / h / / ; / ( h / ) * f( ) * 5; f ( / / ) f( ;5) 5 (5) / 555 f/ Cu ceste vlor clculăm prm vlore umercă ecuoscute d problemă dcă vlore : f h 5 * ; / * Rezulttele u fost obțute cu jutorul următorulu progrm relzt î C: /* Metod Euler modfct */ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude<mthh> flot fu(flot flot); flot [][]Y[][]b[]h; t ; flot fu(flot flot ) {retur -/; vod m () 7

177 { prtf("troducet bscs puctulu tl :"); scf("%f"&); prtf("\troducet ordot tl :"); scf("%f"&); prtf("troducet umrul de subtervle :"); scf("%d"&); prtf("troducet psul metode h:"); scf("%f"&h); []; []; for(;<;) {[]()*h; [][]h/; b[][]h*fu([][])/; [][]fu ([] b[])*h; prtf(" vlorle promtve le solute sut:\"); for(;<;) prtf("[%d]%f"[]); getch(); Dtele umerce obțute sut trecute î tbelul următor tbel î cre se compră ceste cu vlorle rele 75

178 () Euler modfct ŷ ( ) erore bsolută Se observă că ce m mre erore bsolută este: 9 ș e este m mcă decât î czul plcăr metode Euler Se observă o îmbuătăţre rezulttelor î czul plcăr metode Euler-modfctă IX Metode Ruge-Kutt (R-K) Aceste metode costu î promre soluţe ( ) probleme () î puctul h dcă se cuoşte soluţ î puctul cu jutorul uor formule de tpul: ude c k c k c vlorle fucţe ( ) ( ) 76 m m coefceţ k k m fd f î umte pucte d tervlul Ce m smplă dtre ceste metode este metod Ruge-Kutt de ordul do (RK) Î cest cz epres lu este: c k c k dț de relțle: k cu k hf( ) k ( ) hf h βk k

179 77 ude β α c c sut costte ce urmeză f determte Petru determ ceșt coefceț evluăm cu formul lu Tlor coespuzătore fucțe î puctul Avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f h hf h h Dr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f Astfel obțem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O h f f f h hf (*) Dezvoltâd fucț ( ) k h f β î jurul lu ( ) vem relț: ( ) ( ) ( ) h O f k f h f k h f β α β α Dr k c k c ș stfel obțem: ( ) ( ) ( ) ( ) h O f f f h c f c c h β α fucțle d membrul drept fd evlute î ( ) ( ) Comprâd relț găstă cu relț (*) deducem că β α c c verfcă sstemul comptbl edetermt: c c c β α

180 Deducem de c că estă m multe formule corespuzătore metode RK U d soluțle cestu sstem este: c c α β Astfel formul corespuzătore e este: h ( f( ) f( h hf( ) )) N O ltă legere coefcețlor c α β ș ume: c c c α β coduce l obțere formule corespuzătore metode Euler modfctă: h h hf f( ) N Dcă c / c / α β / se obţe formul: h f( ) f h hf( ) Petru czul formule Ruge-Kutt de ordul de m sus s- relzt u progrm î C petru rezolvre probleme cosderte î eemplul IX /* Metod Ruge-Kutt de ordul */ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude<mthh> flot fu(flot flot); flot [][]c[]c[]h; t ; flot fu(flot flot ) {retur -/; 78

181 vod m () { prtf("troducet bscs puctulu tl :"); scf("%f"&); prtf("\troducet ordot tl :"); scf("%f"&); prtf("troducet umrul de subtervle :"); scf("%d"&); prtf("troducet psul metode h:"); scf("%f"&h); []; []; for(;<;) {[]()*h; c[]fu([][]); c[]fu([]*h/[]*h*c[]/); [][]h*(c[]*c[])/; prtf(" vlorle promtve le solute sut:\"); for(;<;) prtf("[%d]%f"[]); getch(); 79

182 Î urm rulăr cestu progrm petru psul h ş 5 s-u obţut dtele d tbelul următor Tot î cest tbel se fce o comprțe ître vlorle umerce ș cele ecte evluâdu-se erorle bsolute ce pr ŷ ( ) erore bsolută () RK Se observă că erorle ce pr sut îtr-devăr m mc decât h 8 Progrmul se pote dpt forte uşor petru czul ltor formule Ruge-Kutt de ordul do ş petru lte ecuţ dfereţle de ordul îtâ cu soluţe ucă Petru obţe îsă promăr m bue se folosesc de cele m multe or formule de ord superor cum sut formule Ruge-Kutt de ordul ș Ş î cest cz estă m multe formule deorece sstemul rezultt este tot comptbl edetermt Dtre cele m mportte formule Ruge-Kutt de ordul mtm î coture câtev: 8

183 ( h) ( ) / 6( k k k) ude k hf( ) k ( / / ) hf h k k hf( h k k) ( h) ( ) / ( k k) ude k hf( ) k ( / /) hf h k k hf( h / /) k 8 Î czul folosr cestor formule se obţe o erore de ordul lu h Petru czul prme formule Ruge-Kutt de ordul vem: ( h) ( ) h / 6( c c c) c f c f h / cu ( ) ( / ) k c f( h k k ) U progrm relzt î C pe bz ceste formule petru rezolvre probleme cosderte î eemplul IX este următorul: /* Metod Ruge-Kutt de ordul */ #clude<cooh> #clude<stdoh> #clude<mthh> flot fu(flot flot); flot [][]c[]c[]c[]h; t ; flot fu(flot flot ) {retur -/; vod m () { prtf("troducet bscs puctulu tl :"); scf("%f"&); prtf("\troducet ordot tl :");

184 scf("%f"&); prtf("troducet umrul de subtervle :"); scf("%d"&); prtf("troducet psul metode h:"); scf("%f"&h); []; []; for(;<;) {[]()*h; c[]fu([][]); c[]fu([]h/[]c[]*h/); c[]fu([]h[]-c[]*h*c[]*h); [][](c[]*c[]c[])*h/6; prtf(" vlorle promtve le solute sut:\"); for(;<;) prtf("[%d]%f"[]); getch(); Î urm rulăr cestu progrm petru psul h ş 5 s-u obţut dtele de m sus Î tbelul următor sut comprte cete cu soluț ectă ș cu ce umercă obțută cu metod RK 8