mărimea de stare (prin conditiile iniţiale x(τ) numita stabilitate internă sistem liniar este stabi mărime de intrare u(t),
|
|
|
- Θυία Αποστολίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 /3/5 Stbltte este un dn propretăţle nterne le sstemelor dnmce reflecttă de dependenţ funcţe de trnzţe stărlor x(t) = φ(t,τ,x τ,ω), de fz nţlă (τ,x(τ)). Se spune că un sstem lnr este stbl dcă, lăst să evolueze lber (respectv cu tote ntrărle în sstem dentc nule, u(t) ), în condţ nţle rbtrre, tnde să tngă o stre de echlbru dnmc crcterztă prn vlor fnte le vrblelor funcţonle (de stre ş de eşre). Deorece în cest cz evoluţ sstemulu este nfluenţtă dor de mărme de stre (prn condtle nţle x(τ), rezulttele prvtore l stbltte se încdreză în ş numt stbltte nternă Proprette de stbltte cre fce referre l mărmle externe portă denumre de stbltte externă su stbltte ntrre-eşre. Se spune că un sstem lnr este stbl dcă pentru orce mărme de ntrre u(t), mărgntă pe ntervlul (, ), mărme de eşre y(t) este de semene o funcţe mărgntă. Dn cestă cuză cest tp de stbltte este denumt ş stbltte ntrre mărgntă - eşre mărgntă (IMEM su BIBO (bounded nput-bounded output)). 4 Stbltte externă sstemelor dnmce lnre monovrble constnte netede În czul sstemelor dnmce monovrble stbltte externă pote f nlztă cu jutorul răspunsulu l mpuls (funcţe pondere), răspunsulu ndcl ş răspunsulu l frecvenţă. Trnzţ ntrre-eşre unu sstem monovrbl neted, pentru condţ nţle nule se exprmă prn produsul de convoluţe
2 /3/5 y(t)= y (t)= t h(t - )u( ) d f (4.) unde h(t) este funcţ pondere sstemulu. Defnţ 4.. Un sstem monovrbl lnr neted este stbl extern su stbl ntrre mărgntă-eşre-mărgntă dcă exstă M > stfel încât (4.) h(t) M ( ) (t >). Un sstem monovrbl lnr neted este strct stbl extern su strct stbl în sens IMEM dcă h(t) dt < ( ) (t >). (4.3) Teorem 4.. Un sstem dnmc monovrbl lnr neted este strct stbl extern dcă ş num dcă exstă M > stfel încât orcre r f mărme de ntrre u(t), cu u(t) = pentru t < ş u(t) pentru t, răspunsul forţt (pentru condţ nţle nule) este mărgnt, dcă y(t) = y f (t) M pentru t. Se consderă că (4.4) M = h(t) dt Trecând l vlor bsolute în relţ (4.) se obţne y(t) = t h(t - )u( ) d h(t - ) u( ) d t h(t - ) d h( ) d h(t) dt = M t t
3 /3/5 Dcă se cunoşte funcţ pondere h(t) tunc precere stbltăţ sstemulu dnmc se pote fce utlzând drect condţle (4.), (4.3). Exemplul 4.. Se consderă un sstem dnmc de ordnul do cu < ξ <, căru funcţe pondere este h(t)= k p n - e - t n sn n - t,t. unde k p, ω n, ξ sunt constnte poztve. Deorece e sn - - t t n <e <,( )t >, - n t n rezultă că h(t) este mărgnt ş dec relţ (4.) este îndeplntă. Condţ (4.3) se verfcă medt pentru că e -ξωnt când t. Rezultă că pentru ξ > sstemul de ordnul do este smptotc stbl. În czul în cre ξ = funcţ pondere sstemulu de ordnul do devne h(t) = k p sn ( t Pentru că h(t) k > n p n n ), ( )t. rezultă că h(t) este mărgnt. Relţ (4.) este stsfăcută, dr relţ (4.3) nu este verfctă. Un semene element este dec l lmt de stbltte ş nu este smptotc stbl. Deseor se precz stbltte, fr determnre funcţe pondere ş plcre relţlor (4.), (4.3), cu jutorul unor condţ echvlente denumte crter de stbltte. 3
4 /3/5 4. Crterul fundmentl de stbltte Pentru un sstem monovrbl funcţ de trnsfer este o frcţe rţonlă reductblă de form (.6) m bm H(s)= s +b n s + s m- n- n- m- s +b s +b ++ s + = Q(s) P(s) Răspunsul l mpuls (funcţ pondere), pentru t >, stsfce ecuţ dferenţlă omogenă (.8) (n) (n-) () h (t)+n- h (t)++ h (t)+ h(t)= t >, căre ecuţe crcterstcă este numtorul funcţe de trnsfer n n- P(s) = s +n- s ++ s+ =.,, Fe,, r, rădăcnle ecuţe crcterstce, q respectv pol funcţe de trnsfer H(s), fecre de multplctte q r = n q = Clculând răspunsul l mpuls prn plcre trnsformte Lplce nversă funcţe de trnsfer descompusă în frcţ smple se obţne r q kj r q j t h( t) t e h ( t) (4.) j( q j)! Se observă dn (4.) că fecre pol λ contrbue cu o componentă h (t) în răspunsul l mpuls h(t), după cum urmeză h (t)=c e =C t t e (4..) 4
5 /3/5 pentru un pol smplu λ = α R h (t)= C +C + t + +C +q - t q - e t (4..b) pentru un pol rel λ = α R de multplctte q h (t)= C e ( t + ) t sn (4..c) pentru o pereche de pol complecş conjugţ smpl λ,+ = α ± jβ, C sn ( t + )+C+ t sn ( t + h(t)= q- +C +q - t sn ( t + +q - ) + )+ e t (4..d) pentru o pereche de pol complecş conjugţ λ,+ = α ± jβ de multplctte q. Funcţ pondere h(t) v f mărgntă dcă ş num dcă fecre termen h (t) este mărgnt, dcă exstă M > stfel încât h (t) < M, ( )t. (4.) Pentru λ R smple, czul (4.), condţ (4.) este stsfăcută dcă λ = α. În czul (4.c) l une perech de pol conjugţ smpl, termenul h (t) corespunzător (4..c) este mărgnt dcă ş num dcă α = Re λ (funcţ snusodlă fnd mărgntă). În contnure se consderă o funcţe f(t) = t l e t, l, l N, R, căre dervtă este f'(t) = (lt l- + t l )e t. Pentru >, f'(t) >, f(t) este monoton crescătore ş dec nemărgntă. Pentru <, f'(t) = l t = - l/ unde f(t) re un mxm. Deorece pe (, ) f(t) este poztvă, rezultă că este mărgntă. Funct f(t) este mărgntă dcă ş num dcă <. 5
6 /3/5 Rezultă că termen h (t) corespunzător pollor multpl sunt mărgnţ, dcă λ = α < în czul pollor rel (czul 4.b) s α = Re λ < pentru pol complecş conjugţ (czul 4.d). În ceste condţ termen h (t) sunt mărgnţ ş dec h(t) este mărgntă (relţ (4.) este stsfăcută) ş sstemul este stbl IMEM.) Crterul fundmentl de stbltte IMEM - enunţ Teorem 4.. Un sstem lnr monovrbl neted este stbl IMEM dcă ş num dcă tote rădăcnle ecuţe crcterstce P(s) = (toţ pol funcţe de trnsfer H(s)) u prte relă negtvă su nulă = Re (4.3) r tote rădăcnle (toţ pol) cu prte relă nulă sunt smple. Pentru c sstemul dnmc stbl să fe smptotc stbl trebue să fe stsfăcută ş condţ (4.3) cee ce mplcă, dn (4.), c fecre dn termen h (t) să stsfcă condţ (4.4) lm h(t)=. Dn relţle (4..-d) rezultă că cestă condţe este stsfăcută dcă tote rădăcnle ecuţe crcterstce (pol funcţe de trnsfer) u prte relă negtvă = Re <,=,r (4.5) Într-devăr pentru czul (4.) cest lucru este evdent; r pentru czul (4.c) se scre (t) = t t h C e ( t + ) lm lm sn lm C e t t t. =, 6
7 /3/5 Într-devăr pentru czul (4.) cest lucru este evdent; r pentru czul (4.c) se scre, dcă α <. (t) = t t h C e ( t + ) lm lm sn lm C e t t t Dcă se ţne sem că lm t t e t = lm t t e -t! = lm t (- ) e -t = =, (unde s- plct de l or regul l'hoptl) num dcă <, rezultă condţ (4.5) ş în czul pollor multpl. Se pote enunţ crterul fundmentl de stbltte smptotcă stfel Teorem 4.3. Un sstem dnmc lnr monovrbl neted este smptotc stbl IMEM dcă ş num dcă toţ pol funcţe de trnsfer u prte relă strct negtvă. Dcă se noteză cu C - = {s C Re s < } mulţme tuturor numerelor complexe cu prte relă strct negtvă ş cu P[H(s)] mulţme tuturor pollor funcţe de trnsfer, condţ (4.5) se pote scre în form P [ H(s) ]. (4.6) Crterul fundmentl de stbltte pote f formult ş stfel. Un sstem dnmc lnr monovrbl neted este smptotc stbl IMEM dcă ş num dcă toţ pol funcţe de trnsfer sunt stuţ în semplnul stâng (deschs) l plnulu complex. În fg.4. se prezntă o confgurţe de pol corespunzătore unu sstem (smptotc) stbl. Astfel polul λ = α R - ntroduce o componentă perodcă mortztă C - 7
8 /3/5 e αt ), r pereche de pol complecş conjugţ λ, = λ 3 ntroduce o component perodcă mortztă t e ( n - t + n sn Fg. 4. Toţ pol rel stuţ în stâng drepte I vor ntroduce componente perodce mortzte m puternc decât (e αt ), r toţ pol complecş conjugţ stuţ în nterorul dreptelor II, vor ntroduce componente perodce, cu mortzre m mre decât ξ = cos θ. Pol λ, λ, corespund stbltăţ smptotce. Polul λ 4 = ntroduce o componentă constntă (e = ), r pereche de pol pur mgnr λ 5, 5 = λ 6 determnă o componentă perodcă întreţnută, în rport cu tmpul ( - cos β 5 t). Pol λ 4, 5, λ 5 fnd stuţ pe x mgnră, corespund lmte de stbltte. Pol dn Re s > determnă nstbltte sstemulu. Polul λ 7 de exemplu ntroduce o componentă perodcă nemortztă în rport cu tmpul. Exemplul 4.. Fe sstemul cu funcţ de trnsfer H(s) s + s + = =. 4 3 s +5s +3s +9s + (s +)(s + )( s + s +5) Pol funcţe de trnsfer sunt λ = -, λ = -, λ 3,4 = - ± j. 8
9 /3/5 Pentru că toţ pol u prte relă negtvă sstemul cu funcţ de trnsfer H(s) este smptotc stbl. Prncpl dfcultte în plcre crterulu fundmentl de stbltte rezultă dn necestte rezolvăr unor ecuţ lgebrce de ordn superor. Au fost dezvoltte metode de nlză stbltăţ cre evtă rezolvre ecuţe crcterstce dntre cre se menţoneză: crterul de stbltte Hurwtz, crterul de stbltte Cremer- Leonhrd-Mhlov, crterul de stbltte Nyqust. 4. Crterul de stbltte Hurwtz. Se presupune că ecuţ crcterstcă unu sstem dnmc monovrbl lnr neted (4.9) n n- P(s) = s +n-s ++ s+=,, re tote rădăcnle în C -. Fe crcterstce de multplctte pote scre P(s)=(s - q, `, r r q = = n rădăcnle ecuţe Atunc P(s) se q q qr ) (s - ) (s - r ). (4.7) Fctor dn (4.7) cre corespund rădăcnlor rele sunt de form (s - λ ) q = (s + α ) q cu α >, respectv sunt polnomele de grd q l cre coefcenţ tuturor termenlor sunt strct poztv. Perechle de fctor corespunzător une perech de rădăcn complex-conjugte λ,+ = - α ± jβ (cu α > ), cre u oblgtoru celş ordn de multplctte q = q +, conduc l un polnom de form q q s + s+ +, [(s - )(s - ) ] = + dec l un polnom de grd q 9
10 /3/5 cu coefcenţ termenlor de tote grdele strct poztv. Se obţne dec următore condţe necesră de stbltte: Pentru c un sstem dnmc să fe (strct) stbl extern este necesr c polnomul său crcterstc P(s) (su ecuţ crcterstcă P(s) = ) să bă to coefcenţ poztv. Cu coefcenţ polnomulu crcterstc se construeşte un determnnt de ordn n, egl cu grdul polnomulu, numt determnntul Hurwtz. Determnntul Hurwtz se construeşte stfel: pe dgonl prncplă se trec coefcenţ polnomulu crcterstc P(s) scrs în ordne descrescătore puterlor lu s, c în relţ (4.9), începând cu n- ; pe fecre colonă, sub dgonl prncplă se trec coefcenţ termenlor de grd superor, r desupr dgonle prncple se trec coefcenţ termenlor de grd nferor; n- H n= n-3 n- n- n-5 n-4 n (4.8) după epuzre coefcenţlor locurle rămse lbere se completeză cu zerour. Crterul de stbltte Hurwtz se formuleză stfel: Teorem 4.4. O condţe necesră ş sufcentă pentru c ecuţ (4.9) să bă tote rădăcnle stute în Re s <, respectv c sstemul cu funcţ de trnsfer (.9) să fe stbl, este c tot determnnt
11 /3/5 mnor prncpl, nclusv determnntul Hurwtz, să fe strct poztv det H j >, j =,n. (4.9) Adcă n- n-3 n-5 n- n-3 H = n->, H = >,H 3= n- n-4 >,H n >. n- n- n-3 Polnomele crcterstce corespunzătore sstemelor stble se numesc polnome hurwtzene. Exemplul 4.3. Să se verfce dcă polnomul crcterstc 4 3 P(s) = s +,7s +,5s +,9s+, este hurwtzn Determnntul Hurwtz corespunztor este,7,9. H 4 =,5,7,,9,5, H =,7 >, H =,7,9 = 6,75 -,9= 5,85 >,,5,7,9 H 3=,5,7,,9 = 4,5 >, H 4 =, H 3 =,45 >. Polnomul este hurwtzn, det H j >, j =, Crterul de stbltte Cremer-Leonhrd- Mhlov Crterul de stbltte Cremer-Leonhrd-Mhlov este un crteru frecvenţl cre se pote plc uşor ş pentru sstemele dnmce de ordn m rdct, cu condţ c polnomul crcterstc P(s) să nu bă rădăcn în s =
12 /3/5 Enunt - Teorem 4.6. O condţe necesră ş sufcentă c polnomul crcterstc P(s) - relţ (4.9), să fe hurwtzn (dec c sstemul cu funcţ de trnsfer (.6) să fe stbl) este c rg P( j = n. (4.) Demonstrţe. Se utlzeză teorem rgumentulu (relţ (.84))., conform cre, vrţ totlă rgumentulu polnomulu de grd n, P(jω), l vrţ frecvenţe de l - l + este rg P(j ) (4.) = n. Deorece P(s) re coefcenţ rel rezultă că P(jω) este smetrc fţă de x relă ş în cest cz (4.) se reduce l (4.). Acest crteru se utlzeză sub formă grfcă, conform enuntulu: Teorem 4.7. O condţe necesră ş sufcentă c P(s) să fe hurwtzn este c fzorul P(jω) să prcurgă succesv ş în sens trgonometrc poztv n cdrne, când ω vrză de l l. Polnomul nu este hurwtzn ş respectv sstemul dnmc corespunzător nu este stbl, dcă sensul de prcurgere l cdrnelor este nvers trgonometrc, su dcă numărul cdrnelor prcurse este m mc decât grdul polnomulu P(s). Exemplul 4.4. Se consderă sstemul dnmc lnr constnt cu polnomul crcterstc P(s) =,4s 5 +,s 4 +,5s 3 +,8s + 4,3s +,6. Să se verfce dcă sstemul este smptotc stbl cu crterul Cremer-Leonhrd-Mhlov. Se clculeză P(jω) P(jω) =,ω 4 -,8ω +,6 + jω(,4ω 4 -,5ω + 4,3) = = P R (ω) + jp I (ω). Se du vlor lu ω s se completez tbelul urmtor
13 /3/5 ω,77,4 5, 6,7 + P R (ω),6-8,3 6998,7 + P I (ω), -,7 + În fg. 4. se preznt hodogrful P(jω). Deorece pentru ω [,) hodogrful prcurge succesv în sens trgonometrc poztv cnc cdrne, sstemul este smptotc stbl. Dn tbelul de m sus se observ c rădăcnle prt rele P R (ω) s le prt mgnre P I (ω) lternez în czul sstemelor stble. Anlz stbltt unu sstem cu o structur dt Se consder conexunle de bz, sere, prlel s cu recte. Pentru smpltte se consder dor dou elemente cu functle de trnsfer H (s) = Q (s)/p (s), =,, Funcţ de trnsfer echvlent conexun sere, Fg. 4. Q (s)q(s) H s (s)= H (s)h (s)=. (4.3) P(s)P(s) r ce conexun prlel este Q (s)p(s) Q(s)P(s) H p(s)= H (s) H (s)=. (4.4) P(s)P(s) Polnomul crcterstc l sstemulu formt dn cele dou elemente este P(s) = P (s)p (s), cre este stbl dcă P (s) s P (s) sunt stble 3
14 /3/5 Rezult c orce structur obtnut num prn conectre în sere su în prlel m multor elemente stble formez un sstem stbl. În czul conexun cu recte celor dou elemente, fg. 4.3., funcţ de trnsfer echvlent, conform relte (.99) este Polnomul crcterstc l sstemulu depnde s de polnomele de l numrtorul functlor de trnsfer. H (s) Q (s)p(s) H (s)= =. H (s)h (s) P (s)p (s) Q (s)q (s) P(s) = P(s)P(s) Q (s)q(s) Dec problem stbltt sstemelor cu recte trebue nlztă pentru fecre cz în prte. Se constt usor c structur cu recte untr dn fg. 4.3.b re un polnom crcterstc dentc cu ce dn fg. 4.3., H (s), H (s) fnd celes. (4.5) (4.6) Se pote lmt studul stbltt sstemelor cu recte l structurle cu recte untr, fg. 4.3.c, în cre H(s)= Q(s)/P(s) este funcţ de trnsfer în crcut deschs, r H (s)= H(s) Q(s) = H(s) P(s) Q(s) este funcţ de trnsfer în crcut închs. (4.7) Fg
15 /3/5 44. Crterul de stbltte Nyqust Crterul de stbltte Nyqust este de semene un crteru frecventl cre permte nlz stbltt unu sstem cu recte untr negtv, vând form dn fg. 4.3.c (pe bz loculu de trnsfer H(jω) sstemulu în crcut deschs s cunoster numrulu de pol funcţe H(s) dn semplnul drept C + { s C Re s } l plnulu complex s. De remrct c în orce sstem cu recte neuntr fg. 4.4., prn trnsfgurre scheme bloc se pote pune în evdent o structur cu recte untr, fg. 4.4.b, în cre pe legtur drect este funcţ de trnsfer sstemulu deschs H(s) = H (s)h (s) ( sstemulu cu crcutul de recte întrerupt în punctul P, fg. 4.4.), numt s funcţe de trnsfer crcutulu sstemulu. Mrme de ntrre în structur închs propru-zs dn fg. 4.4.b se exprm prn P U U(s) (s)=. H (s) Fg. 4.4 (4.8) Se consder c funct de trnsfer sstemulu deschs este unde P(s) s Q(s) sunt dou polnome de grd n s respectv m cu m n. Q(s) = P(s) H(s) (4.9) Pentru structur închs dn fg. 4.3.c, respectv fg. 4.4.b, funct de trnsfer se pote scre 5
16 /3/5 H(s) H(s) Q(s) (s)= = = + H(s) G(s) P(s)+Q(s) P(s)+Q(s) =+ H(s)=. P(s) H (4.3) G(s) (4.3) Dn crterul fundmentl de stbltte se ste c sstemul cu structur închs cu funct de trnsfer (4.3) este stbl IMEM dc pol s sunt în Re s <, (C - ). Dn (4.3) rezult c pol sstemulu închs sunt zerourle funce G(s). C urmre condt de stbltte este c G(s) s nu b nc un zerou în semplnul drept C + l plnulu complex (Re s ). Dn (4.3) s (4.3) se constt c pol functe G(s) sunt chr pol lu H(s), dc pol sstemulu în crcut deschs. Determnre loclzr zerourlor functe (4.3) se pote fce cu jutorul teoreme rgumentulu (relt (.84)) plct functe G(s), tunc când s prcurge conturul Nyqust, fg..9. Dn relt (4.3) se observ c G(s) este rportul dou polnome de grd n. În ceste condt punctul de l nu ntroduce nc o vrte rgumentulu fzorulu G(jω) pentru ω R. Dc G(s) re z zerour s p pol în Re s >, z zerour s p pol pe x mgnr (Re s = ), dn teorem rgumentulu rezult + G(j ) - = - (z - p) - ( z - p ). (4.3) rg Dr sstemul închs este stbl IMEM dc s num dc G(s) nu re zerour în Re s, dc dc s num dc z =, z =, tunc dn (4.3) se obtne + (4.33) rg G(j ) - = p+ p. Pe bz relte (4.33) se pote enunt crterul Nyqust : Teorem 4.8. Un sstem dnmc lnr constnt monovrbl neted cu structur închs, cu funct de trnsfer (4.3) este stbl IMEM 6
17 /3/5 dc s num dc vrt rgumentulu fzorulu G(jω), pentru ω R stsfce relt (4.33), dec dc cest fzor înconjor orgne plnulu G(jω) de (p + p /) or în sens trgonome trc poztv, fg. 4.5, când ω R. Fg. 4.5 Fg. 4.6 Deorece pol functe G(s) concd cu pol functe de trnsfer sstemulu deschs H(s) rezult c supr sstemulu deschs nu se pun restrct, cest putând f nstbl (dc p, p ), p,p C +. Pentru verfcre prctc condte (4.33) este sufcent s se repreznte grfc hodogrful H(jω). Hodogrful G(jω) se pote obtne dn hodogrful H(jω) prn rportre l o nou orgne (-, j), în plnul H(jω), fg Se pote cum formul crterul Nyqust stfel: Teorem 4.9. Un sstem dnmc lnr constnt monovrbl neted cu structur închs cu funct de trnsfer (4.3) este stbl IMEM dc s num dc locul de trnsfer l sstemulu deschs (hodogrful H(jω)) înconjor punctul (-, j) de (p + p )/ or în sens trgonometrc poztv, când ω vrz de l - l +. Dc sstemul deschs este stbl IMEM, respectv p =, p =, crterul Nyqust se numeste crterul Nyqust smplfct s se enunt stfel: Teorem 4.. Un sstem dnmc lnr monovrbl cu structur închs, cu funct de trnsfer (4.3) s sstemul deschs stbl IMEM, este stbl IMEM dc s num dc locul de trnsfer H(jω) l sstemulu deschs 7
18 /3/5 nu înconjor punctul (-, j) tunc când ω vrz de l - l +. Fg. 4.7 Astfel, în potez c H(s) este funct de trnsfer unu sstem stbl IMEM, prn plcre crterulu Nyqust smplfct se deduce c locul de trnsfer dn fg corespunde unu sstem stbl în crcut închs, r locul de trnsfer dn fg. 4.7.b corespunde unu sstem nstbl. Pozt punctulu(-, jω) ft de hodogrful H(jω) pote f determnt cu usurnt dc se hsurez prte drept curbe H(jω) pentru sensul cresctor l pulste, c în fg. 4.7.b. Dc punctul (-, j) este într-o zon hsurt, locul de trnsfer înconjor cest punct s dec sstemul închs este nstbl IMEM. Un cz lmt nteresnt corespunde condte H(j )= - (4.34) când locul de trnsfer H(jω) trece prn punctul (-, j). Acest însemn c G(s) = + H(s) re zerour, respectv H (s) re pol, pe x mgnr (Re s = ). Dc ceste zerour sunt smple sstemul închs nu este stbl IMEM (sstemul este l lmt de stbltte). Dn cest cuz punctul (-, j) se m numeste s punct crtc. Stbltte IMEM sstemulu deschs H(s), se pote stud determnând vrt rgumentulu fzorulu H(jω) ft de orgne plnulu H(jω). Aplcând teorem rgumentulu, pentru p =, p =, rezult: 8
19 /3/5 Teorem 4.. Un sstem dnmc deschs este stbl IMEM dc s num dc vrt rgumentulu este + rg H(j ) - = - z - z -(n - m) (4.35) unde z s z sunt numrul de zerour dn Re s > s respectv de pe x mgnr, Re s =, le functe H(s). Avntjelel esentle le crterulu Nyqust: )utlzând locul de trnsfer H(jω) se pote prec tât stbltte Se evden tez pul stle ω sstemulu deschs cu funct de trnsfer H(s), s ω cât π s stbltte sstemulu închs cu rece negtv untr cu funct H(s) pe cle drect. b)posbltte de prec grdul de stbltte l unu sstem în crcut închs pe bz notun de stbltte reltv IMEM. Se consder locul de trnsfer H(jω) l unu sstem stbl în crcut deschs prezentt în fg Se evdentz pulstle ω s ω π pentru cre H(j) = rg H(j ) = - pentru cre (4.4) Fg. 4.8 Pentru pulst ω locul de trnsfer l sstemulu deschs H(jω) te cercul de rz untr, r pentru pulst ω π cest loc te x rel. Stbltte reltv se precz prn: - mrgne de mplfcre (de câstg) m - mrgne de fz m= H(j ) ; (4.4) = - rg H(j ). (4.4) 9
20 /3/5 Se pote prec c sstemele închse stble IMEM u o comportre cu tât m bun cu cât hodogrful H(jω) este m deprtt de punctul crtc (-, j). Acest mplc vlor mr pentru mrgne de mplfcre m s mrgne de fz γ. Stbltte reltv se consder prctc stsfcut dc m 3 s γ 3 o. Mrgne de fz s mrgne de mplfcre (exprmt în db) pot f determnte s dn dgrm Bode s cum se preczez în fg Pulst ω pentru cre H(jω) =, A db (ω) =, crcterstc tenure-frecvent te x bscselor se numeste pulste de tere. Mrgne de mplfcre exprmt în decbel este egl cu modulul tenur l pulst ω π m = A ( ),rg H(j ) = db db - (4.43) r mrgne de fz se determn cu Fg. 4.9 = 8 - rg H(j ) ; H(j ) =, AdB ( )=. (4.44) Se recomnd urmtorele vlor pentru o stbltte IMEM stsfctore: m db = - db s γ = 3-5. Exemplul 4.5. Se consder un sstem cu funct de trnsfer în crcut deschs H(s) = k p,k (s - )(s +b) p >, >,b >. S se studeze stbltte sstemulu închs cu recte untr utlzând crterul Nyqust.
21 /3/5 Deorece H(s) re un pol în Re s >, λ = >, sstemul în crcut închs v f stbl dc, conform relte (4.33), pentru p =, p = + rg G(j ) = _ - dec dc locul de trnsfer H(jω) v înconjur o dt, în sens trgonometrc poztv, punctul crtc (-, j). Dn rspunsul l frecvent H(jω) rezult - k p (b+ ) k p ( - b) ( )= ; H I ( )= ( + )( +b ) ( + )( +b ) H R cu cre se trsez locul de trnsfer. Pentru dferte vlor le prmetrlor k p,, b, cest loc re formele dn fg. 4..,b,c. Se observ c sstemul în crcut închs este stbl IMEM num dc b > s k p > b, fg. 4..c, când rg G(jω) = π. În fg.4.., rg G(jω) = - π, r în fg. 4..b rg G(jω) =. Fg. 4.
3.6 Valori şi vectori proprii. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi A L K (V) un operator liniar.
Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă 6 Vlor ş vector propr Fe V un K-spţu vectorl n-dmensonl ş A L K (V) un opertor lnr Defnţ 6 Un vector x V, x se numeşte vector propru l opertorulu A dcă exstă K
Lucrarea Nr. 6 Reacţia negativă paralel-paralel
Lucrre Nr. 6 ecţ netă prlel-prlel Crcutul electrc pentru studul AN pp: Schem de semnl mc AN pp: Fur. Schem electrcă pentru studul AN pp Fur 2. Schem de semnl mc crcutulu pentru studul AN pp Intern cudrpl:
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.
Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea
5.1 Realizarea filtrelor cu răspuns finit la impuls (RFI) Filtrul caracterizat prin: 5. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE. 5.1.
5. STRUCTURI D FILTR UMRIC 5. Realzarea ltrelor cu răspuns nt la mpuls (RFI) Fltrul caracterzat prn: ( z ) = - a z = 5.. Forma drectă - - yn= axn ( ) = Un ltru cu o asemenea structură este uneor numt ltru
CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
MULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Analiza în regim dinamic a schemelor electronice cu reacţie Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 6 electronica.geniu.ro
nlz în regm dnmc scemelr electrnce c recţe Egene Psdărăsc - DCE EM 6 electrnc.gen.r emnr 6 6 NLI ÎN EGIM DINMIC CHEMELO ELECTONICE C ECŢIE 6. Nţn teretce generle de ter trprţlr H s ntrre eşre Fg. 6. În
Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
![CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât](/thumbs/72/67568076.jpg "CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât")
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Integrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
INTRODUCERE. Capitolele îndrumătorului corespund materiei predate şi abordate la seminar pentru Statică, prima diviziune a disciplinei Mecanică.
INTDUEE utor u conceput lucrre de fţă, nttultă Îndrumător ş plcţ pentru studul ndvdul l mecncă prte I: sttc, c un mterl necesr studenţlor pentru consoldre cunoştnţelor teoretce ş formre deprnder rezolvăr
Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
cele mai ok referate
Permur www.refereo.ro cele m o refere.noue de permure. Fe A o mulme f de elemee, dc A{,, 3,, }. O fuce becv σ:aàa e umee permure ubue de grdul. P:Numrul uuror permurlor de ord ee egl cu!..produul compuere
Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
1. INTRODUCERE. SEMNALE ŞI SISTEME DISCRETE ÎN TIMP
. ITRODUCERE. SEMALE ŞI SISTEME DISCRETE Î TIMP. Semnale dscrete în tmp Prelucrarea numercă a semnalelor analogce a devent o practcă frecvent întâlntă. Aceasta presupune două operaţ: - eşantonarea la anumte
Hazardul moral în cadrul teoriei contractelor
90 Revst Informtc Economc, nr. (8/00 Hzrdul morl în cdrul teore contrctelor Conf.dr. Steln STANCU Ctedr de Cbernetc Economc, A.S.E. Bucurest Artcolul preznt modul de elborre unu contrct optm în condt de
2. Functii de mai multe variabile reale
. Fuct de m multe vrble rele.. Elemete de topologe R Fe u sptu lr (XK. Det. Se umeste produs sclr plct < > < < λ > λ < v < > < > ; XX K cu omele: > ( X < > ( X ( λ K >< > < > ( X ( Xs < > ; dc s um dc
4. Criterii de stabilitate
Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/05 4 4. Crter de stabltate După cum s-a preczat metodele numerce de analză a stabltăţ se bazează pe crterul rădăcnlor. In ngnera reglăr se folosesc o sere
ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL
ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre Se bzeză pe
sin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
CURS 4 METODE NUMERICE PENTRU PROBLEMA DE VALORI PROPRII. Partea I
CURS 4 MEODE NUMERICE PENRU PROBLEM DE VLORI PROPRII ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Prte I. Defț, propretăț.. Metod puter ş
ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL
ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL. Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr. vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre. Se bzeză
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
DETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE PRIN METODA PENDULULUI FIZIC
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICĂ BN - 1 B DETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE PRIN METODA PENDULULUI FIZIC 004-005 DETERMINAREA ACCELERAŢIEI
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
6. VARIABILE ALEATOARE
6. VARIABILE ALEATOARE 6.. Vrble letore. Reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe O vrblă letore este o cttte măsurtă î legătură cu u expermet letor, de exemplu, umărul de produse cu defecţu î producţ zlcă
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Curs 3. Spaţii vectoriale
Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE Diferenţiabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală.
4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE. 4.. Noţun teoretce ş rezultate fundamentale. 4... Dferenţabltatea funcţlor reale de o varablă reală. Multe robleme concrete conduc la evaluarea aromatvă a creşter
2.1 Purtători de sarcină în semiconductoare Conductoare, izolatoare, semiconductoare
SURSE ŞI CIRCUITE DE ALIMETARE 2. SEMICODUCTOARE 2.1 Purtător de srcnă în semconductore 2.1.1 Conductore, zoltore, semconductore Dn punctul de vedere l propretăţ corpurlor solde de f străbătute de curent
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Curs 10 TRANZISTOARE. TRANZISTOARE BIPOLARE
Curs 10 TRANZISTOARE. TRANZISTOARE IPOLARE CUPRINS Tranzstoare Clasfcare Prncpu de funcțonare ș regun de funcțonare Utlzarea tranzstorulu de tp n. Caracterstc de transfer Utlzarea tranzstorulu de tp p.
π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Laboraratorul 7. Validarea generatorilor
Lborrtorul 7. Vldre genertorlor Bblogrfe:. I. Văduv. Modele de smulre Edtur Unverstt dn Bucureşt 004.. I. Vduv Modele de smulre cu clcultorul Edtur Tehnc Bucureşt 977. 3. I. Vldmrescu Probbltt s sttstc
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Tema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
PROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)
Uverstte Spru Hret Fcultte de Stte Jurdce Ecoome s Admstrtve Crov Progrmul de lcet Cotbltte ş Iormtcă de Gestue Dscpl Mtemtc Aplcte î Ecoome tulr dscplă Co uv dr Lur Ugureu SUBIECE ote subectele se regsesc
Subanexa 2 PROCEDURA DE ETALONARE [NRSC, NRTC (1) ]
![Subanexa 2 PROCEDURA DE ETALONARE [NRSC, NRTC (1) ]](/thumbs/78/76881501.jpg "Subanexa 2 PROCEDURA DE ETALONARE [NRSC, NRTC (1) ]")
Subnex 2 PROCEDURA DE ETALONARE [NRSC, NRTC () ]. ETALONAREA APARATURII DE ANALIZĂ.. Introducere Fecre nlzor v f etlont perodc pentru respect condţle de precze dn prezentele norme. etod de etlonre utlztă
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
5. POZIŢIILE RELATIVE ALE ELEMENTELOR GEOMETRICE
ZIŢII RELATIVE 53 5. ZIŢIILE RELATIVE ALE ELEMENTELR GEMETRICE 5. oţle relte ouă plne Două plne pot f prlele su concurente în spţu. 5.. lne prlele ornn e l teore confor căre ouă plne prlele sunt ntersectte
Curs 4. Metode Numerice de Rezolvare a Sistemelor de Ecuaţii Liniare
Curs 4 Metode Numerce de Rezolvre Sstemelor de Ecuţ Lre As. Dr. g. Levete CZUMBIL Lortorul de Cercetre î Metode Numerce Deprtmetul de Electrotehcă, Igere Electrcă E-ml: Levete.Czuml@ethm.utcluj.ro Notţ
Mădălina Roxana Buneci. Optimizări
Mădălna Roxana Bunec Optmzăr Edtura Academca Brâncuş Târgu-Ju, 8 Mădălna Roxana Bunec ISBN 978-973-44-87- Optmzăr CUPRINS Prefaţă...5 I. Modelul matematc al problemelor de optmzare...7 II. Optmzăr pe mulţm
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010
ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment,
ADRIAN BARABOI MARl eel ADAM
ADRIAN BARABOI MARl eel ADAM I LE EDITURA "GH. ASACHI" IASI Cptolul PROCESE DE COMUTAŢIE Echpmentele de comutţe reprezntă o clsă mportntă echpmentelor electrce, vând în prncpl rolul de stbl ş întrerupe
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR PLANE
CRCTERSTC GEOMETRCE LE SUPRFEŢELOR PLNE 1 Defnţ Pentru a defn o secţune, complet, cunoaşterea are ş a centrulu de greutate nu sunt sufcente. Determnarea eforturlor, tensunlor ş deformaţlor mpune cunoaşterea
Curs 4 mine Starea de magnetizare. Câmpul magnetic în vid
Curs 4 mne 1.12 tarea de magnetzare. Câmpul magnetc în vd Expermental se constată că exstă în natură substanńe, ca de exemplu magnettul (Fe 3 O 4 ), care au propretatea că între ele sau între ele ş corpur
TITULARIZARE 2002 Varianta 1
TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor
4. Interpolarea funcţiilor
Iterpolre ucţlor 7 Iterpolre ucţlor Fe : [] R ş e pucte dstcte d tervlul [] umte odur Prolem terpolăr ucţe î odurle costă î determre ue ucţ g : [] R dtro clsă de ucţ cuoscută cu proprette g Pusă su cestă
6.3 FACTORIZAREA SPECTRALĂ. TEOREMA LUI WOLD
6.3 FACTORIZARA SPCTRALĂ. TORA LUI WOLD 6.3.. Procese aleatoare regulate. Factorzarea spectrală Denstatea spectrală de putere, P ( (e jω ), pentru un proces aleator dscret, staţonar în sens larg, este
METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA
ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte
TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE
TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 35 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE Obiective: Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le uncţiilor, le itelor de uncţii şi le uncţiilor continue Deinire principlelor
Legea vitezei se scrie în acest caz: v t v gt
MIŞCĂRI ÎN CÂMP GRAVITAŢIONAL A. Aruncarea pe vertcală, de jos în sus Aruncarea pe vertcală în sus reprezntă un caz partcular de mşcare rectlne unform varată. Mşcarea se realzează pe o snură axă Oy. Pentru
Cap.1. Introducere în Rezistenţa Materialelor
Cp.. Introducere în Rezstenţ Mterlelor. Generltăţ Rezstenţ mterlelor este dscpln ngnerescă ce studză comportre mterlelor concretztă în elemente de construcţ supuse l dferte solctăr, stfel încât să se obţnă
Transformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
VII. Teorema lui Dirichlet
VII Teorem l Drclet Teorem 7 (l Drclet: Orce rogree rtmetcă nfntă c termen nmere ntrle ş c rţ rmă c rml termen conţne o nfntte de nmere rme [8] [7] Dcă notăm c r Ν * rţ rogree tnc teorem l Drclet e ennţă
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Capitolul 4 Amplificatoare elementare
Captolul 4 mplfcatoare elementare 4.. Etaje de amplfcare cu un tranzstor 4... Etajul sursa comuna L g m ( GS GS L // r ds ) m ( r ) g // L ds // r o L ds 4... Etajul drena comuna g g s m s m s m o g //
Geometria triunghiului
Geometri triunghiului 1 I Triunghiul ritrr Fie AB A c h m l β γ B D E A 1 Geometri triunghiului Formule de z pentru triunghiuri Notm prin:,, c lungimile lturilor B, A, respectiv AB; α, β, γ mrimile unghiurilor
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Sisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)
Ssteme cu partajare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc M / M / PS ( umar de utlzator, server, umar de pozt petru utlzator) M / M / PS ( umar de utlzator, servere, umar de pozt petru utlzator)
Amplificatoare. A v. Simbolul unui amplificator cu terminale distincte pentru porturile de intrare si de iesire
mplfcatare Smblul unu amplfcatr cu termnale dstncte pentru prturle de ntrare s de esre mplfcatr cu un termnal cmun (masa) pentru prturle de ntrare s de esre (CZU UZU) Cnectarea unu amplfcatr ntre sursa
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Metode numerice pentru probleme Cauchy 1. Ecuaţii diferenţiale. Probleme Cauchy
Meode numerce enru robleme Cuc. Ecuţ derenţle. Probleme Cuc.. Meode uns..4. Meode de Runge u connure) Consderăm roblem Cuc: ' ) ) ş reţeu de unce: ) b.....8) În generl o meodă de Runge u în r sd ese o
METODE NUMERICE APLICAŢII
MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE APLICAŢII 7 . Metod Guss cu pvotre prţlă l ecre etpă petru rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul lr: () A t ude: A R mtrce sstemulu
I. REGRESIA Clasificări. Metode corelationale Regresia si Corelatia. Stud. Master - AMP
9.1.13 Metode coreltole Regres s Corelt Stud. Mster - AMP ISAIC- MANIU ALEXANDRU we www.mu.se.ro e-ml AL.ISAIC-MANIU@CSIE.ASE.RO 9.XII.13 1 Cotet Itre metodele ctttve de cerctre utle sut s cele de studere
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
LEC IA 1: INTRODUCERE
LE Lec\a.. Defnrea dscplne LE LEC IA : INRODUCERE Abrever: LE eora Lnear` a Elastct`\ NE eora Nelnear` a Elastct`\ MSD Mecanca Soldulu Deformabl RM Resten\a Materalelor MDF Metoda Dferen\elor Fnte MEF
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
FILTRE ACTIVE CU AMPLIFICATOARE OPERAŢIONALE
LUCRAREA NR. 7 FILTRE ACTIVE CU AMPLIFICATOARE OPERAŢIONALE Scopul lucrării: Studiul filtrelor ctive relizte cu mplifictore operţionle prin ridicre crcteristicilor lor de frecvenţă.. Filtrele ctive Filtrele
5. Circuite trifazate în regim permanent sinusoidal
5. Crcute trfzte în reg pernent snusol 5. Trnss energe. Crcterzre ssteulu trfzt e trnstere energe. Proprettle ssteelor trfzte. Energ electrc prous în centrlele electrce prn trnsforre ltor fore e energe
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
5.2 Structuri pentru filtre cu răspuns infinit la. impuls. Fie funcţia de transfer: 5. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE
5. STRUCTURI DE FILTRE UERICE 5. Structur pentru ltre cu răspuns nnt la mpuls B Fe uncţa de transer: ( ) A ( + a ) Vom nota cu x( ş y( secvenţele de la ntrarea ş eşrea ltrulu. Reultă: Y X( ) Z{ x( n )},
CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE. 6.1 Forme liniare
Algebră liniră CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE 6 Forme linire Fie V un spţiu vectoril peste un corp K Definiţi 6 Se numeşte formă liniră su funcţionlă liniră o plicţie f : V K cre stisfce
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Lucrarea Nr. 5 Comportarea cascodei EC-BC în domeniul frecvenţelor înalte
Lucaea N. 5 opoaea cascode E-B în doenul fecenţelo înale Scopul lucă - edenţeea cauzelo ce deenă copoaea la HF a cascode E-B; - efcaea coespondenţe dne ezulaele obţnue expeenal penu la supeoaă a benz acesu
ANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGRESIE OPTIME
ANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGREIE OPTIME A. copul lucrr: e urmreste relzre urmtorelor oectve: - prezetre otulor geerle legte de formele de prezetre rezulttelor - prezetre
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)