Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
|
|
- Δωρός Ακρίδας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος
2 Βασικές Έννοιες Ορισμός: σύνολο κόμβων (κορυφών) και ακμών Συμβολισμός: G = (V, E), (V(G), E(G)), (n, m) V(G) = n : τάξη - order E(G) = m : μέγεθος - size 2 Πεπερασμένο γράφημα: n, m πεπερασμένα Άπειρο γράφημα Ειδικές περιπτώσεις: n = 0 : κενό - empty n = 1 : τετριμμένο - trivial m = 0 : μηδενικό - null (N n ) 2
3 Βασικές Έννοιες Τερματικοί κόμβοι και προσπίπτουσα ακμή Γειτονικοί κόμβοι ανεξάρτητοι κόμβοι Ανοικτό σύνολο γειτνίασης κόμβου: Ν(v) 2 Κλειστό σύνολο γειτνίασης κόμβου: Ν[v] Βαθμός κόμβου v d(v) ή deg(v) Ισχύει d(v) = N(v) Ελάχιστος και μέγιστος βαθμός γραφήματος: d(g), D(G) 3
4 Βασικές Έννοιες Τακτικά γραφήματα (regular): Κυκλικό γράφημα (C n ): όλοι οι κόμβοι d(v)=2 (κυβικός k = 3) Πλατωνικά γραφήματα (τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο) 4
5 Βασικές Έννοιες Συμβολισμοί: C n K n P n Άχορδος κύκλος με n κόμβους Πλήρες γράφημα με n κόμβους Άχορδη διαδρομή με n κόμβους 5
6 Βασικές Έννοιες Απομονωμένος κόμβος isolated d(v)=0 Εκκρεμής ή τερματικός κόμβος pendant d(v)=1 Συνδεδεμένες συνιστώσες (k) Συνεκτικό γράφημα Συνεκτικό γράφημα κατά ελάχιστο τρόπο Σειρά rank (r = n - k) Μηδενικότητα nullity (μ = m n - k) Βρόχος και Παράλληλες ακμές Απλό γράφημα, Ψευδο-γράφημα, Πολύ-γράφημα, Επαγόμενο, Κατευθυνόμενο και Τόξα 6
7 Βασικές Έννοιες a c e b d d(e) = 0 d(f) = 1 (απομονωμένος) (εκκρεμής) f CC(G) = 2 (μη-συννεκτικό) Συνεκτικές Συνιστώσες k = 2 Σειρά r = 6-2 (r = n-k) Μηδενικότητα μ = 5-4 (μ = m-n-k) 7
8 Βασικές Έννοιες G 1 G 2 G 3 G 4 Βρόχος Παράλληλες Ακμές Απλό Γράφημα : G 3 Πολυγράφημα : G 1 (όχι G 2 ) Ψευδογράφημα : G 2 (έχει βρόχους) Κατευθυνόμενο : G 4 8
9 Βασικές Έννοιες Λήμμα (των χειραψιών): Το άθροισμα των βαθμών όλων των κόμβων ενός γραφήματος G = (V, E) είναι διπλάσιο του πλήθους των ακμών του, δηλ. Σd(u) = 2 E (1) Κάθε ακμή συνεισφέρει στο άθροισμα κατά 1 για κάθε ένα κόμβο στον οποίο προσπίπτει. Πόρισμα: Για τακτικά γραφήματα G = (V, E) βαθμού k ισχύει η σχέση: k V = 2 E (2) G τακτικός βαθμού k Σd(u) = k V. Από (1) (2). 9
10 Βασικές Έννοιες Θεώρημα: Το πλήθος των κόμβων περιττού βαθμού ενός γραφήματος G = (V, E) είναι άρτιος αριθμός. Από (1) (δηλ. Σd(u) = 2 E ) Σd(u) = άρτιος αριθμός. Ισχύει: Σd(u) = άρτιος αριθμός, και Σd(u) = # κόμβων αρτίου βαθμού + # κόμβων περιττού βαθμού Επειδή το # κόμβων αρτίου βαθμού είναι άρτιο το # κόμβων περιττού βαθμού είναι άρτιο. 10
11 Βασικές Έννοιες Πλήρης γράφημα Κ n Κλίκα γραφήματος G αριθμός κλίκας ω(g) Max κλίκα του G Κ 6 G ω(g) = 4 11
12 Βασικές Έννοιες Θεώρημα: Ένα πλήρες γράφημα έχει n(n-1)/2 ακμές. Το πλήθος των ακμών που προσπίπτουν σε ένα κόμβο ενός πλήρους γραφήματος G βαθμού n, είναι n-1. Εάν αφαιρέσουμε ένα κόμβο από ένα πλήρες γράφημα G βαθμού n, το προκύπτων γράφημα G είναι πλήρες βαθμού n-1. Επομένως, το πλήθος των ακμών του G είναι: Κ 6 (n-1) + (n-2) = n(n-1) / 2 12
13 Βασικές Έννοιες Θεώρημα: Έστω G απλό γράφημα n κόμβων και m ακμών, και έστω k 1 το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών του. Ισχύει: n-k m (n-k)(n-k+1)/2 k = 1 (G συνεκτικό): n m n(n-1) / 2 m Πόρισμα: Κάθε απλό γράφημα G με n κόμβους και τουλάχιστο (n- 1)(n-2)/2 ακμές είναι συνεκτικό. 13
14 Βασικές Έννοιες Έμβαρο γράφημα - βάρος ακμής Υπογράφημα, υπεργράφημα, ζευγνύων υπογράφημα, επαγόμενο υπογράφημα 14
15 Βασικές Έννοιες Επαγόμενα Γραφήματα G = (V, E) V = {1, 3, 4, 6} V V G [V ]?? 15
16 Βασικές Έννοιες Ισομορφικά Γραφήματα = Ισα (ίδια) γραφήματα V(G 1 ) = V(G 2 ) E(G 1 ) = E(G 2 ) 16
17 Βασικές Έννοιες Ισομορφικά Γραφήματα G 1, G 2 ισομορφικά εάν υπάρχει f 1-1 και επί (αμφιμονοσήματη αντιστοιχία μεταξύ των συνόλων V(G 1 ) και V(G 2 )) : (x, y) ϵ E(G 1 ) (f(x), f(y)) ϵ E(G 2 ) Ισομορφικά x z v y w u , 2, 3, 4, 5, 6 1, 5, 4, 3, 6, 2 (2,6) E (5, 6) E 17
18 Πράξεις επί των Γραφημάτων Οι πράξεις σε γραφήματα διακρίνονται: Πρωτεύουσες (primary) Δευτερεύουσες (secondary) 1 όπου οι δευτερεύουσες υλοποιούνται με συνδυασμό ή επανάληψη πρωτευουσών πράξεων. Πρωτεύουσες G Διαγραφή κόμβου Διαγραφή ακμής 18
19 Πρωτεύουσες Πράξεις Διαγραφή κόμβου/ακμής deletion Συμβολισμός: G - u, G - e όμως, V = V-{u}, E = E-{e} 3 4 G 5 Διαγραφή κόμβου u = 2 Διαγραφή ακμής e = {3,6} G G
20 Πρωτεύουσες Πράξεις 1 Διαγραφή κόμβου/ακμής deletion Συμβολισμός: G - u, G - e 2 6 όμως, V = V-{u}, E = E-{e} G Κόμβος τομής (cut-vertex) Ακμή τομής (cut-edge or bridge) G G
21 Πρωτεύουσες Πράξεις 1 Διαγραφή κόμβου/ακμής deletion Συμβολισμός: G - u, G - e 2 6 όμως, V = V-{u}, E = E-{e} G Κόμβος τομής (cut-vertex) Ακμή τομής (cut-edge or bridge) G G
22 Πρωτεύουσες Πράξεις 1 Διαγραφή κόμβου/ακμής deletion Συμβολισμός: G - u, G - e 2 6 όμως, V = V-{u}, E = E-{e} G Κόμβος τομής (cut-vertex) Ακμή τομής (cut-edge or bridge) G G
23 Δευτερεύουσες Πράξεις Οι δευτερεύουσες πράξεις σε γραφήματα διακρίνονται: Δυαδικές (binary) Μοναδιαίες (unary) όπου οι δυαδικές εφαρμόζονται σε δύο γραφήματα ενώ οι μοναδιαίες σε ένα. Δυαδικές Ένωση, Τομή, Άθροισμα δακτυλίου, Σύνδεση ή άθροισμα, Καρτεσιανό Γινόμενο, Λεξικογραφικό Γινόμενο Μοναδιαίες Συμπλήρωμα, n-οστη δύναμη 23
24 Οι Πράξεις Ένωση union (G 1 G 2 ) G = (V, E) = G1 G2 V = V 1 V 2 E = E 1 E 2 Τομή intersection (G 1 G 2 ) G = (V, E) = G 1 G 2 V = V 1 V 2 E = E 1 E 2 Άθροισμα δακτυλίου ring sum (G 1 G 2 ) G = (V, E) = G 1 G 2 V = V 1 V 2 E = {Ακμές που ανήκουν ΜΟΝΟ στο ένα γράφημα αλλά ΌΧΙ και στα ΔΥΟ} 24
25 Οι Πράξεις Παράδειγμα: G 1 G G 1 G 2 G 1 G 2 G 1 G 2 25
26 Η Πράξη + Σύνδεση ή άθροισμα join or sum (G 1 + G 2 ) G = (V, E) = G 1 + G 2 V = V 1 V 2 E = Ε 1 Ε 2 Ε 3 όπου, Ε 3 = {όλες οι ακμές με ένα άκρο στο V 1 και το άλλο στο V 2 } 26
27 Η Πράξη + Παράδειγμα: + Κ 2 Κ 3 Κ 5 (complete graph) + Κ 1 (N 1 ) C n-1 W n (wheel graph) 27
28 Γινόμενα Καρτεσιανό Γινόμενο G1 G2? G 1 G 2 G 1 G 2 G 2 G 1 Λεξικογραφικό Γινόμενο G1[G2]? G 1 G 2 G 1 [G 2 ] G 2 [G 1 ] 28
29 Καρτεσιανό Γινόμενο G 1 G 2 Καρτεσιανό Γινόμενο G = (V, E) = G 1 G 2 Σύνολο Κόμβων: V(G 1 G 2 ) = V(G 1 ) (G 2 ) Σύνολο Ακμών: (x, y) Ε(G 1 G 2 ), όπου x = (x 1, x 2 ) και y = (y 1, y 2 ) εάν x 1 = y 1 και (x 2, y 2 ) E(G 2 ), ή εάν x 2 = y 2 και (x 1, y 1 ) E(G 1 ) x 1 y 1 y 2 y 3 (x 1, y 1 ) (x 1, y 2 ) (x 1, y 3 ) G 1 G 2 G 2 G 1? x 2 G 1 G 2 (x 2, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 2, y 3 ) 29
30 Λεξικογραφικό Γινόμενο G 1 [G 2 ] Λεξικογραφικό Γινόμενο G = (V, E) = G 1 [G 2 ] Σύνολο Κόμβων: V(G 1 [G 2 ]) = V(G 1 ) (G 2 ) Σύνολο Ακμών: (x, y) Ε(G 1 [G 2 ]), όπου x = (x 1, x 2 ) και y = (y 1, y 2 ) εάν (x 1, y 1 ) E(G 1 ), ή εάν x 1 = y 1 και (x 2, y 2 ) E(G 2 ) x 1 y 1 y 2 y 3 (x 1, y 1 ) (x 1, y 2 ) (x 1, y 3 ) G 1 [G 2 ] G 2 [G 1 ]? x 2 G 1 G 2 (x 2, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 2, y 3 ) 30
31 Συμπλήρωμα Συμπλήρωμα complement 31
32 Ν-οστή Δύναμη N-οστή δύναμη n-th power 32
33 Πράξεις (2) Συμπλήρωμα complement Διμερές, πλήρες διμερές (αστεροειδές γράφημα Κ1,n) Διαγραφή κόμβου/ακμής deletion (G-{e}, G-{v}) Κόμβος τομής ή σημείο άρθρωσης (articulation point) Αποκόπτουσα ακμή ή γέφυρα (bridge) Δισυνεκτικό (biconnected) 33
34 Αποθήκευση Γραφημάτων Στατικές αναπαραστάσεις Πίνακας γειτνίασης adjacency matrix Πίνακας προσπτώσεων incidence matrix Δυναμικές αναπαραστάσεις Λίστες γειτνίασης adjacency lists Λίστες ακμών edge lists (για αραιούς γράφους) 34
35 Αποθήκευση Γραφημάτων Στατικές αναπαραστάσεις Πίνακας γειτνίασης adjacency matrix
36 Αποθήκευση Γραφημάτων Δυναμικές αναπαραστάσεις Λίστες γειτνίασης adjacency lists
37 Αλγόριθμοι και Γραφήματα Αλγοριθμική θεωρία γραφημάτων Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου Συμβολισμός Ο Ανάλυση μέσης και χειρότερης περίπτωσης 37
38 Ακολουθία Βαθμών Γραφική Ακολουθία Βαθμών Μη αύξουσα ακολουθία ακεραίων S Γραφική ακολουθία εάν S G Eαν S G, τότε G ονομάζεται πραγματοποίηση (realization) της ακολουθία S Συνθήκες: I. Μη αρνητικές τιμές II. III. Πλήθος περιττών βαθμών άρτιο Τιμές μικρότερες από n S = (2, 2, 2, 2, 2, 2) 38
39 Ακολουθία Βαθμών Ερώτηση: Είναι οι συνθήκες αυτές ικανές για να αντιστοιχίζεται μια ακολουθία βαθμών S σε μοναδικό γράφημα G? Παράδειγμα: 2, 2, 2, 2, 2, 2 Απλή (simple) Γραφική Ακολουθία εάν είναι γραφική και υπάρχει μοναδική πραγματοποίησή της 39
40 Ακολουθία Βαθμών Θεώρημα (Havel [1955] and Hakimi [1962]): Μια ακολουθία βαθμών S = d 1, d 2,, d n είναι γραφική, εάν-ν η ακολουθία βαθμών S 1 = d 2-1, d 3-1,, d d1 +1-1, d d1 +2,, d n είναι γραφική. d 1 40
41 Ακολουθία Βαθμών Θεώρημα (Havel [1955] and Hakimi [1962]): Μια ακολουθία βαθμών 1 S = d 1, d 2,, d n είναι γραφική, εάν-ν η ακολουθία βαθμών 2 6 S 1 = d 2-1, d 3-1,, d d1 +1-1, d d1 +2,, d n είναι γραφική. d 1 S = (4, 3, 3, 2, 2, 2) 2, 2, 1, 1, 2 S = (4, 3, 3, 2, 2, 2) εάν-ν S 1 = (2, 2, 2, 1, 1) 41
42 Ακολουθία Βαθμών Απόδειξη: S 1 = (2, 2, 1, 1, 2) 2 1 G 1 ( ) Έστω ότι η S 1 = d 2-1, d 3-1,, d d1 +1-1, d d1 +2,, d n είναι γραφική, και έστω G 1 η πραγματοποίησή της. Θεωρούμε επιγραφές των n-1 κόμβων του γραφήματος G 1 : έτσι ώστε: d(x i ) = x 2, x 3,, x n d i -1 2 i d 1 +1 d i d 1 +2 i n 42
43 Ακολουθία Βαθμών Απόδειξη: ( ) Έστω ότι η S 1 = (2, 2, 1, 1, 2) G S 1 = d 2-1, d 3-1,, d d1 +1-1, d d1 +2,, d n είναι γραφική, και έστω G 1 η πραγματοποίησή της. Θεωρούμε επιγραφές των n-1 κόμβων του γραφήματος G 1 : έτσι ώστε: d(x i ) = x 2, x 3,, x n 2, 4, 3, 5, 1 d i -1 2 i d 1 +1 d i d 1 +2 i n 43
44 Ακολουθία Βαθμών Απόδειξη συνέχεια (1): Από G 1 μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα νέο γράφημα G ως εξής: (i) εισάγουμε ένα νέο κόμβο x 1, και (ii) ακμές (x 1, x i ) για 2 i d i +1 Το γράφημα G έχει ακολουθία βαθμών την S. Άρα, η ακολουθία S είναι γραφική , 4, 3, 5, 1 44
45 Ακολουθία Βαθμών Απόδειξη συνέχεια (2): ( ) Υποθέτουμε τώρα ότι η ακολουθία S είναι γραφική S = d 1, d 2,, d n Θα δείξουμε ότι η S 1 είναι γραφική. Επειδή S γραφική υπάρχουν μία ή περισσότερες πραγματοποιήσεις της S, δηλαδή, υπάρχουν γραφήματα G 1, G 2,, G k (k 1) τάξης n, με ακολουθία βαθμών την S. 45
46 Ακολουθία Βαθμών Απόδειξη συνέχεια (3): Από τα γραφήματα αυτά, έστω G το γράφημα με την εξής ιδιότητα: (i) V(G) = {x 1, x 2,, x n }, όπου d(x i ) = d i, 1 i n (ii) το άθροισμα των βαθμών των γειτονικών κόμβων του x 1 είναι μέγιστο (maximum). Ισχυρισμός Α: Στο γράφημα G ο κόμβος x 1 είναι γειτονικός σε d 1 κόμβους x 2, x 3,, x d1 +1 με τους μεγαλύτερους βαθμούς d 2, d 3,, d d
47 Ακολουθία Βαθμών Απόδειξη συνέχεια (4): Υποθέτουμε ότι ισχύει το αντίθετο, δηλαδή ο κόμβος x 1 δεν είναι γειτονικός σε όλους τους d 1 κόμβους με τους μεγαλύτερους βαθμούς d 2, d 3,, d d1 +1 στο γράφημα G. x 2 x 3 Επειδή d(x 1 )=d 1, υπάρχουν δύο κόμβοι x j και x i στο G: x 1 G x j x d1 +1 x i και d(x j ) > d(x i ) (από ιδιότητα S) (x 1, x j ) Ε(G) (x 1, x i ) Ε(G) 47
48 Ακολουθία Βαθμών Απόδειξη συνέχεια (5): Υποθέτουμε ότι ισχύει το αντίθετο, δηλαδή ο κόμβος x 1 δεν είναι γειτονικός σε όλους τους d 1 κόμβους με τους μεγαλύτερους βαθμούς d 2, d 3,, d d1 +1 στο γράφημα G. x 2 x 3 Τώρα, επειδή d(x j ) > d(x i ), υπάρχει κόμβος x k στο G: x x j x d +1 1 x i x k (x j, x k ) Ε(G) (x i, x k ) Ε(G) 48
49 Ακολουθία Βαθμών Απόδειξη συνέχεια (6): Υποθέτουμε ότι ισχύει το αντίθετο, δηλαδή ο κόμβος x 1 δεν είναι γειτονικός σε όλους τους d 1 κόμβους με τους μεγαλύτερους βαθμούς d 2, d 3,, d d1 +1 στο γράφημα G. x 2 Ανταλλαγή ακμών στο G: x 3 (x 1, x i ) και (x j, x k ) x x j x i x k (x 1, x j ) και (x i, x k ) x d
50 Ακολουθία Βαθμών Απόδειξη συνέχεια (7): Υποθέτουμε ότι ισχύει το αντίθετο, δηλαδή ο κόμβος x 1 δεν είναι γειτονικός σε όλους τους d 1 κόμβους με τους μεγαλύτερους βαθμούς d 2, d 3,, d d1 +1 στο γράφημα G. x x 2 x 3 x j x i x k Έστω G το γράφημα που προκύπτει από την ανταλλαγή των ακμών. G x d
51 Ακολουθία Βαθμών Απόδειξη συνέχεια (8): Τότε το G έχει ακολουθία βαθμών την S (όπως και το G). Όμως, στο γράφημα G το άθροισμα των βαθμών των γειτονικών κόμβων του x 1 είναι > από του G άτοπο! x 2 x 3 Αντίφαση στην επιλογή του γραφήματος G. x x j x i x k Άρα ισχύει ο Ισχυρισμός Α. x d +1 1 G 51
52 Ακολουθία Βαθμών Απόδειξη συνέχεια (9): Ισχυρισμός Α: Στο γράφημα G ο κόμβος x 1 είναι γειτονικός σε d 1 κόμβους x 2, x 3,, x d1 +1 με τους μεγαλύτερους βαθμούς d 2, d 3,, d d1 +1 Έτσι, το γράφημα G-x 1 έχει ακολουθία βαθμών S 1 και επομένως η ακολουθία S 1 είναι γραφική. 52
53 Ακολουθία Βαθμών Αλγόριθμος Αλγόριθμος: 1. Αν κάποιο d > n-1 OXI 2. Αν όλα είναι μηδενικά ΝΑΙ 3. Αν κάποιο είναι αρνητικό OXI 4. Αναδιάταξη της ακολουθίας κατά μη αύξουσα τάξη 5. Διαγράφεται ο πρώτος όρος (d 1 ) και αφαιρείται μια μονάδα από τους επόμενους d 1 όρους 6. Πήγαινε στο Βήμα 2 Παράδειγμα: 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 53
54 Ακολουθία Βαθμών Παράδειγμα Παράδειγμα: 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 S0 = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 Bήμα 1: S1 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 3, 3, 2, 1, 1, 0 Βήμα 2: S2 = 2, 1, 0, 0, 1 2, 1, 1, 0, 0 Βήμα 3: S3 = 0, 0, 0, 0 54
55 Ακολουθία Βαθμών Παράδειγμα S3 = 0, 0, 0, 0 S2 = 2, 1, 1, 0, 0 S1 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 S0 = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 55
56 Ακολουθία Βαθμών Παράδειγμα 1 1 S3 = 0, 0, 0, 0 S2 = 2, 1, 1, 0, 0 S1 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 S0 = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 56
57 Ακολουθία Βαθμών Παράδειγμα S3 = 0, 0, 0, 0 S2 = 2, 1, 1, 0, 0 S1 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 S0 = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 57
58 Ακολουθία Βαθμών Παράδειγμα S3 = 0, 0, 0, 0 S2 = 2, 1, 1, 0, 0 S1 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 S0 = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 58
59 Ακολουθία Βαθμών Παράδειγμα S3 = 0, 0, 0, 0 S2 = 2, 1, 1, 0, 0 S1 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 S0 = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 S = (5, 4, 4, 3, 2, 1, 1) 59
60 Ακολουθία Βαθμών Αλγόριθμος Θεώρημα: Μια ακολουθία βαθμών d 1, d 2,, d n είναι γραφική, εάν και μόνο εάν (i) Σ d i είναι άρτιο, και (ii) Σ1 i k d i k (k-1) + Σ k+1 i n min(k, d i ) για κάθε k = 1, 2,, n-1. 60
61 Ακολουθία Βαθμών Παράδειγμα Παράδειγμα: S = (5, 5, 5, 5, 2, 2, 2) o o Από το προηγούμενο Θεώρημα, απαιτείτε ο έλεγχος n-1 συνθηκών. Σε κάθε έλεγχο λαμβάνονται οι k πρώτοι κόμβοι k=1 d 1 = Σ 2 i 7 min(1, d i ) = 6 k=2 d 1 +d 2 = Σ 3 i 7 min(2, d i ) = 2+10=12 k=3 d 1 +d 2 +d 3 = Σ 4 i 7 min(3, d i ) = 6+9=15 k=4 d 1 +d 2 +d 3 +d 4 = Σ 5 i 7 min(4, d i ) = 12+6=18 61
62 Ακολουθία Βαθμών Παράδειγμα Παράδειγμα: S = (5, 5, 5, 5, 2, 2, 2) o o Από το προηγούμενο Θεώρημα, απαιτείτε ο έλεγχος n-1 συνθηκών. Σε κάθε έλεγχο λαμβάνονται οι k πρώτοι κόμβοι k=4 d 1 +d 2 +d 3 +d 4 = Σ 5 i 7 min(4, d i ) = 12+6= False Η ακολουθία S δεν είναι ΓΡΑΦΙΚΗ
63 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Ε1 H εταιρία MS-Social με κύρια δραστηριότητα σε υπηρεσίες «κοινωνικής δικτύωσης», διαθέτει το λογισμικό κοινωνικής δικτύωσης Net-book στο οποίο έχουν εγγραφεί n χρήστες (users), έστω Χ 1, Χ 2,, Χ n (n 1) οι οποίοι συνδέονται μεταξύ του με άμεση ή έμμεση σχέση γνωριμίας και την οποία σχέση έχουν γνωστοποιήσει στο Net-book. 63
64 Ορισμός Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Ε1 O χρήστης Χ i συνδέεται με άμεση ή έμμεση σχέση γνωριμίας με τον χρήστη Χ j εάν: ο χρήστη Χ i γνωρίζει τον Χ j χωρίς αυτό να σημαίνει ότι κατ ανάγκη και ο Χ j γνωρίζει τον Χ i, 1 i, j n. Χ j Χ i Χ q Χ p 64
65 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Ε1 Η εταιρία MS-Social θέλει αρχικά να δημιουργήσει και να προσφέρει μια νέα υπηρεσία στο σύστημα Net-book όπου: ένας χρήστης θα μπορεί να βλέπει την δική του «Ομάδα Γνωριμίας» 65
66 Ορισμός Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Ε1 Μια ομάδα χρηστών S είναι «ομάδα γνωριμίας» εάν: Χ i και Χ j της ομάδας S Χ i (αντ. Χ j ) γνωρίζει άμεσα ή έμμεσα τον χρήστη Χ j (αντ. Χ i ), 1 i, j S. S 3 S 2 Χ q Χ j S 1 Χ i Χ m Χ p 66
67 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Ε1 Επίσης, η εταιρία MS-Social θέλει για δική της χρήση να γνωρίζει όλες της ομάδες γνωριμίας του Net-book δικτύου της. S 1, S 2,, S k (1 k n) Επιπρόσθετα, η εταιρία θέλει να γνωρίζει τις και Ισχυρές ομάδες γνωριμίας Ασθενής ομάδες γνωριμίας του Net-book δικτύου της. 67
68 Ορισμός Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Ε1 Μία ομάδα γνωριμίας S i ονομάζεται Ισχυρή εάν κανένας χρήστης του δικτύου εκτός της ομάδας S i δεν έχει άμεση ή έμμεση σχέση γνωριμίας με κάποιο μέλος της S i, 1 i k. S 3 S 2 Χ q Χ j S 1 Χ i Χ m Χ p 68
69 Ορισμός Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Ε1 Μία ομάδα γνωριμίας S i ονομάζεται Ισχυρή εάν κανένας χρήστης του δικτύου εκτός της ομάδας S i δεν έχει άμεση ή έμμεση σχέση γνωριμίας με κάποιο μέλος της S i, 1 i k. S 3 S 2 Χ q Χ j S 1 Χ i Χ m Χ p 69
70 Ορισμός Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Ε1 Μία ομάδα γνωριμίας S i ονομάζεται Ασθενής εάν κανένα μέλος της ομάδας S i δεν έχει άμεση ή έμμεση σχέση γνωριμίας με κάποιο χρήστη του δικτύου εκτός της S i, 1 i k. S 3 S 2 Χ q Χ j S 1 Χ i Χ m Χ p 70
71 Ορισμός Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Ε1 Μία ομάδα γνωριμίας S i ονομάζεται Ασθενής εάν κανένα μέλος της ομάδας S i δεν έχει άμεση ή έμμεση σχέση γνωριμίας με κάποιο χρήστη του δικτύου εκτός της S i, 1 i k. S 3 S 2 Χ q Χ j S 1 Χ i Χ m Χ p 71
72 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Ε1 Σχεδιάστε και υλοποιήστε έναν O(n+m) αλγόριθμο ο οποίος θα υπολογίζει όλες τις ομάδες γνωριμίας του δικτύου Net-book S 1, S 2,, S k (1 k n) και θα κρατάει σε κατάλληλες δομές δεδομένων πληροφορίες τέτοιες ώστε: (1) (2) (3) το σύστημα να απαντάει σε σταθερό χρόνο στον χρήστη X i σε ποια από τις k ομάδες γνωριμίας ανήκει (1 i n), εμφανίζοντας τον αύξοντα αριθμό της ομάδας αυτής, και να εμφανίζει στην οθόνη τα μέλη της ομάδα γνωριμίας του X i (1 i n), σε χρόνο γραμμικό ως προς το πλήθος των μελών της ομάδας. να υπολογίζει όλες τις Ισχυρές και Ασθενής ομάδες γνωριμίας του δικτύου Net-book και για κάθε τέτοια ομάδα να εμφανίζει τα μέλη της. 72
73 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Net-book MS-Social 73
74 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Net-book 74
75 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Μοντελοποίηση 75
76 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) 2 5 Μοντελοποίηση
77 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Μοντελοποίηση 2 S S 3 S S 2 77
78 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) 2 S 4 Μοντελοποίηση S 3 S S 2 A :
79 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) A : Μοντελοποίηση Ερώτηση: Οι χρήστες X i και X j ανήκουν στην ίδια ομάδα γνωριμίας? if A[i] = A[j] then NAI, ανήκουν στην S A[i] else OXI, δεν ανήκουν στην ίδια!!! 79
80 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) A : Μοντελοποίηση Ερώτηση: Ποιοι είναι οι χρήστες της ομάδας S i?
81 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) 2 S 4 5 Μοντελοποίηση S 3 S S 2 Ερώτηση: Ποιες είναι οι Ισχυρές και Ασθενής ομάδες γνωριμίας του δικτύου? 81
82 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) S S 2 6 S S 3 Μοντελοποίηση Άκυκλο Κατευθυνόμενο
83 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) S S 2 6 S S 3 Μοντελοποίηση Άκυκλο Κατευθυνόμενο
84 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) S S 2 6 S S 3 Μοντελοποίηση Άκυκλο Κατευθυνόμενο Ισχυρή Ασθενής 2 84
85 Ε1 (Σύστημα Κοινωνικής Δικτύωσης ) Αλγόριθμος O(n+m): Πολυπλοκότητα 1) DFS Διέλευση Γραφήματος 2) Αντίστροφο Γράφημα 3) Βαθμοί Κόμβων Γραφήματος Τ(n) = Ο(n+m) 85
86 Τριγωνικά και Μεταβατικά Γραφήματα Τριγωνική Ιδιότητα Κάθε απλός κύκλος μήκους l > 3 έχει χορδή. Τριγωνικά Γραφήματα (Triangulated graphs or chord graphs) 86
87 Τριγωνικά και Μεταβατικά Γραφήματα Μεταβατική Ιδιότητα Κάθε ακμή μπορεί να πάρει one-way κατεύθυνση έτσι ώστε στο προκύπτον κατευθυνόμενο γράφημα (V, F) να ισχύει: ab F and bc F ac F ( a, b, c V) Μεταβατικά Γραφήματα (Comparability graph) 87
88 Τριγωνική Ιδιότητα Τριγωνικά γραφήματα 88
89 Τριγωνική Ιδιότητα Γραφήματα διαστημάτων 89
90 Μια Εφαρμογή Έστω ότι έχουμε C 1, C 2,, C n φάρμακα, και έστω [x i, x i ] είναι η θερμοκρασία συντήρησης του φαρμάκου C i, 1 i n; Θέλουμε η θερμοκρασία Τ του ψυγείου για την συντήρηση max πλήθος φαρμάκων 90
91 Βασικές Έννοιες Αριθμός Κλίκας Αριθμός Κλίκας ω(g) - Clique number το πλήθος των κόμβων της μέγιστης (maximum) κλίκας στο γράφημα G a Max κλίκα του G b e b e c d f c d ω(g) = 4 91
92 Βασικές Έννοιες Χρωματικός Αριθμός Χρωματικός Αριθμός χ(g) - Chromatic number ο μικρότερος δυνατός αριθμός c για τον οποίο υπάρχει ένας κατάλληλος c-χρωματισμός (c-coloring) στο γράφημα G. 4 3 V = {1,3,5} + {2,4} ω(g)=2 χ(g) = 2 92
93 Σχέσεις ω(g) και χ(g) Για κάθε γράφημα G ισχύει: ω(g) χ(g) ω(g) = 2 χ(g) = 2 ω(g) = 2 χ(g) = 3 ω(g) = 2 χ(g) = 4 ω(g) = 2 χ(g) = κ > 2 93
94 Τέλεια Γραφήματα Έστω G = (V, E) ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα: (P 1 ) ω(g A ) = χ(g A ) A V (P 2 ) α(g A ) = κ(g A ) A V Το γράφημα G ονομάζεται Τέλειο (Perfect) 94
95 Classes of Perfect Graphs
96 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Ε2 Μια φαρμακευτική εταιρία, με εμπορική ονομασία ΜSF, παράγει και διακινεί n φαρμακευτικά σκευάσματα F 1, F 2,, F n (n 1) τα οποία διατηρεί σε χώρους ψύξεις (ψυγεία). Κάθε φαρμακευτικό σκεύασμα F i έχει ένα εύρος θερμοκρασίας [s i, t i ] στο οποίο διατηρείται (1 i n). 96
97 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Ε2 Σχεδιάστε και αναλύστε έναν αλγόριθμο ο οποίος θα υπολογίζει το μέγιστο πλήθος φαρμάκων (Fmax), από τα F 1, F 2,, F n (n 1), που μπορούν να αποθηκευθούν σε ένα χώρο ψύξης (ψυγείο), θεωρητικά απεριόριστης χωρητικότητας, και την ελάχιστη θερμοκρασία (Cmin) που πρέπει να έχει ο χώρος ψύξης για την ασφαλή διατήρησή τους. 97
98 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Ε2 Παράδειγμα: Έστω ότι η εταιρία ΜSF παράγει 7 φαρμακευτικά σκευάσματα F 1, F 2,, F 7 με τις παρακάτω θερμοκρασίες διατήρησης [4, 15], [3, 8], [0, 12], [5, 16], [1, 13], [11, 16], [2, 14] Τότε, το μέγιστο πλήθος φαρμάκων που μπορούν να αποθηκευθούν σε ένα χώρο ψύξης είναι Fmax = 6 με ελάχιστη θερμοκρασία ασφαλούς διατήρησή τους Cmin = 5. 98
99 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Μοντελοποίηση: F 1, F 2,, F 7 [4, 15], [3, 8], [0, 12], [5, 16], [1, 13], [11, 16], [2, 14]
100 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Μοντελοποίηση: Fmax =? Cmin =?
101 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = +max Cmin = -min
102 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 1 Cmin =
103 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 1 Cmin =
104 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 2 Cmin =
105 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 2 Cmin =
106 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 3 Cmin =
107 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 4 Cmin =
108 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 5 Cmin =
109 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 6 Cmin =
110 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 6 Cmin =
111 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 6 Cmin =
112 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 6 Cmin =
113 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 6 Cmin =
114 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 6 Cmin =
115 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Fmax = 6 Cmin =
116 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Δόμηση Πληροφορίας: F 1, F 2,, F 7 [4, 15], [3, 8], [0, 12], [5, 16], [1, 13], [11, 16], [2, 14] Α = (4, 3, 0, 5, 1, 11, 2)??? Β = (15, 8, 12, 16, 13, 16, 14) 116
117 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Δόμηση Πληροφορίας: F 1, F 2,, F 7 [4, 15], [3, 8], [0, 12], [5, 16], [1, 13], [11, 16], [2, 14] Α = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 11)!!! Β = (8, 12, 13, 14, 15, 16, 16) 117
118 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Μοντελοποίηση: F 1, F 2,, F 7 [4, 15], [3, 8], [0, 12], [5, 16], [1, 13], [11, 16], [2, 14]
119 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Γράφημα Διαστημάτων Μέγιστη Κλίκα
120 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Γράφημα Διαστημάτων Μέγιστη Κλίκα
121 Ε2 (Φαρμακευτική Εταιρία) Αλγόριθμος: Γράφημα Διαστημάτων Μέγιστη Κλίκα
122 Classes of Perfect Graphs 122
123 Algorithmic Graph Theory Intersection Graphs Object Graph Graph Properties
124 Intersection Graphs Let F be a family of nonempty sets. The intersection graph of F is obtained be representing each set in F by a vertex: x y S X S Y 124
125 Intersection Graphs (Interval) The intersection graph of a family of intervals on a linearly ordered set (like the real line) is called an interval graph 2 I 1 I 3 I I 2 I 4 I 6 I 7 Unit & Proper internal graph No internal property contains another
126 Intersection Graphs (Circular-arc) Circular-arc graphs properly contain the internal graphs proper circular - arc graphs 2 126
127 Intersection Graphs (Permutation) A permutation diagram consists of n points on each of two parallel lines and n straight line segments matching the points π = [4,1, 3, 2] G[π] 127
128 Intersection Graphs (Chords-of-circle) Intersecting chords of a circle
129 Intersection Graphs (cont ) Propositinon 1.1. An induced subgraph of an interval graph is an interval graph. In general Hamiltonian non-hamiltonian 129
130 Intersection Graphs (cont ) Propositinon 1.1. An induced subgraph of an interval graph is an interval graph. Proof? G Interval 130
131 Intersection Graphs (cont ) Propositinon 1.1. An induced subgraph of an interval graph is an interval graph. Proof? G G Interval G 131
132 Intersection Graphs (cont ) Propositinon 1.1. An induced subgraph of an interval graph is an interval graph. Proof. If [I V ], v V, is an interval representation of a graph G = (V, E). Then [I V ], v X, is an interval representation of the induced subgraph G X = (X, E X ). 132
133 Algorithmic Graph Theory Triangulated Property Transitive Orientation Property
134 Triangulated Property Triangulated Graph Property Every simple cycle of length l > 3 possesses a chord. Triangulated graphs (or chord graphs) 134
135 Transitive Orientation Property Transitive Orientation Property Each edge can be assigned a one-way direction in such a way that the resulting oriented graph (V, F): ab F and bc F ac F ( a, b, c V) Comparability graphs 135
136 Intersection Graph Properties (1) Proposition 1.2. An interval graph satisfies the triangulated graph property. Proof. Suppose G contains a cordless cycle [v 0,v 1,.,v l-1,v 0 ] with I K v K. For i =1, 2,, l-1, choose a point P i I i-1 I i. Since I i-1 and I i+1 do not overlap, the points P i constitute a strictly increasing or decreasing sequence. Therefore, it is impossible for the intervals I 0 and I l-1 to intersect, contradicting the criterion that v 0 v l-1 is an edge of G. l > 3. Let
137 Intersection Graph Properties (2) Proposition 1.3. The complement of an internal graph satisfies the transitive orientation property. Proof (1). G Interval
138 Intersection Graph Properties (3) Proposition 1.3. The complement of an internal graph satisfies the transitive orientation property. Proof (1). _ G Interval
139 Intersection Graph Properties (4) Proposition 1.3. The complement of an internal graph satisfies the transitive orientation property. Proofv (2). Let {I v } v V be the interval representation for G = (V, E). Define an orientation F of Ğ = (V, Ē) as follows: xy F I X < I Y ( xy Ē). Here, I X < I Y means that I X lies entirely to the left of I Y. Clearly the top is satisfied, since I X < I Y < I Z I X < I Z. Thus F is a transitive orientation of Ğ.
140 Intersection Graph Properties (5) Theorem 1.4. An undirected graph G is an interval graph if and only if (iff) G is triangulated graph, and its complement Ğ is a comparability graph. Proof M. Golumbic, pp
141 Algorithmic Graph Theory Numbers ω(g) Numbers α(g) Numbers k(g) Numbers x(g) 141
142 Graph Theoretic Foundations (2) Clique number ω(g) the number of vertices in a maximum clique of G Stability number α(g) the number of vertices in a stable set of max cardinality b c Max stable set of G Max κλίκα του G a e d f b e c d ω(g) = 4 a f c α(g) = 3 142
143 Graph Theoretic Foundations (3) A clique cover of size k is a partition V = C 1 + C C k such that C i is a clique. A proper coloring of size c (proper c-coloring) is a partition V = X 1 + X X c such that X i is a stable set. 143
144 Graph Theoretic Foundations (4) Clique cover number κ(g) the size of the smallest possible clique cover of G Chromatic number χ(g) the smallest possible c for which there exists a proper c-coloring of G. 4 3 χ(g) = 2 κ(g) = clique cover V= {2,5} + {3,4} + {1} c-coloring V= {1,3,5} + {2,4} ω(g)=2 α(g)=3 144
145 Graph Theoretic Foundations (1) Observation... Each of the graphs can be colored using 3 colors and each contains a triangle. Therefore, χ(g) = ω(g) 145
146 Graph Theoretic Foundations (5) For any graph G: ω(g) χ(g) α(g) κ(g) Obviously: α(g) = ω(ğ) and κ(g) = χ(ğ) 146
147 Algorithmic Graph Theory χ-perfect property α-perfect property Perfect Graphs 147
148 Perfect Graphs - Properties χ-perfect property For each induced subgraph G A of a graph G χ(g A ) = ω(g A ) α-perfect property For each induced subgraph G A of a graph G α(g A ) = κ(g A ) 148
149 Perfect Graphs - Definition Let G = (V, E) be an undirected graph: (P 1 ) ω(g A ) = χ(g A ) for all A V (P 2 ) α(g A ) = κ(g A ) for all A V For each induced subgraph G A of a graph G!!! G is called Perfect Graph 149
150 The Perfect Graph Theorem Lovasz (1972): For an undirected graph G = (V, E), the following statements are equivalent: (P 1 ) ω(g A ) = χ(g A ) for all A V (P 2 ) α(g A ) = κ(g A ) for all A V (P 3 ) ω(g A )α(g A ) Α for all A V 150
151 The Strong Perfect Graph Conjecture Claude Berge (1960): SPGC1: An undirected graph G is Perfect iff contains no induced subgraph isomorphic to C 2k+1 or co-c 2k+1 (for k 2). SPGC2: An undirected graph G is Perfect iff in G and in co-g every odd cycle of length l 5 has a chord. 151
152 The Strong Perfect Graph Conjecture Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour, Robin Thomas (2002): SPGT: G is Perfect iff it contains neither odd holes nor odd antiholes. The strong perfect graph theorem is a forbidden graph characterization of the perfect graphs as being exactly the graphs that have neither odd holes (odd-length induced cycles) nor odd antiholes (complements of odd holes). Classroom Project 152
153 Classes of Perfect Graphs
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 8 ΤΕΛΕΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Βασικοί Αλγόριθμοι Γραφημάτων Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου:
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 3: Εισαγωγή (Πράξεις) Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 2 Η ΔΙΑΛΕΞΗ Βασικές Έννοιες Γράφων - Ορισμοί (συνέχεια) - Ισομορφισμοί-Ομοιομορφισμοί Γράφων - Πράξεις - Αναπαράσταση Γράφων (Πίνακες
Διαβάστε περισσότεραΓραφήματα 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ
Γραφήματα 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 1.1 Εισαγωγή 1.2 Τύποι Γραφημάτων 1.3 Βασικές Έννοιες Γραφημάτων 1.4 Θεμελιώδεις Αριθμοί και Ιδιότητες 1.5 Γραφήματα Τομής 1.6 Τέλεια Γραφήματα Προαπαιτούμενη Γνώση Βασικές
Διαβάστε περισσότεραNowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in
Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραFractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 7 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών. Χρωματική τάξη (color class):
Διαβάστε περισσότεραq(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 5 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Συνεκτικότητα Έννοια της συνδεσμικότητας: «Ποσότητα συνδεσμικότητας»...
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 26 - I. ΜΗΛΗΣ NP-complete προβλήματα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II Tree of reductions (partial) Cook s Th. Π NP SAT 3-SAT
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα. Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης Γράφοι Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΓράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή
Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9
Τριγωνικά Γραφήματα 273 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΤΡΙΓΩΝΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 9.1 Εισαγωγή 9.2 Χαρακτηρισμοί και Ιδιότητες Τριγωνικών Γραφημάτων 9.3 Αλγοριθμική Παραγωγή Τέλειων Σχημάτων Απαλοιφής 9.4 Αναγνώριση Τριγωνικών Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.
Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα ΔΕΝΔΡΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Ένα γράφημα G είναι δένδρο αν: 1. Είναι συνδεδεμένο και δεν έχει κύκλους.
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραβασικές έννοιες (τόμος Β)
θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης & Σ. Κ. 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Δίνεται διμερές
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες
Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 26 Εισαγωγή & Ορισµοί ιµελής Σχέση R από
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 2: Εισαγωγή (Ορισμοί) Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραA Hierarchy of Theta Bodies for Polynomial Systems
A Hierarchy of Theta Bodies for Polynomial Systems Rekha Thomas, U Washington, Seattle Joint work with João Gouveia (U Washington) Monique Laurent (CWI) Pablo Parrilo (MIT) The Theta Body of a Graph G
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραOrdinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός
ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας)
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι: κατευθυνόμενοι και μη
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι
Διαβάστε περισσότεραe 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Λίβανος & Σ. Κ. 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (edge-separator) ενός γραφήματος =
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραz 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραE(G) 2(k 1) = 2k 3.
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Υποβάλλεται στην ορισθείσα από την Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης του Τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΧρωματισμός γραφημάτων
Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Χρωματισμός γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.
ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Γράφημα, Γράφος, Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94 11 κορυφών και ένα σύνολο ακμών.
Διαβάστε περισσότεραS A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1
Διαβάστε περισσότεραHY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems
HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Ενότητα 7.0 Αλγόριθμοι Γραφημάτων Διερεύνηση Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραEvery set of first-order formulas is equivalent to an independent set
Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα
Διαβάστε περισσότεραORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER
ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER Abstract. We define ordinal arithmetic and show laws of Left- Monotonicity, Associativity, Distributivity, some minor related properties and the Cantor Normal Form.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ ΣΤΑΥΡΟΣ Δ. ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΛΟΥΚΑΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΠΑΛΗΟΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ ΣΤΑΥΡΟΣ Δ. ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΛΟΥΚΑΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΠΑΛΗΟΣ 2 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων ΣΤΑΥΡΟΣ Δ. ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΟΥΚΑΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Τμημα Μαθηματικων Αθανάσιος Κωνσταντινίδης Αλγοριθμοι και Πολυπλοκοτητα της Ισχυρης Τριαδικης Κλειστοτητας σε Κλασεις Γραφηματων ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Ιωάννινα, 2016 Η παρούσα Μεταπτυχιακή
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21
Διαβάστε περισσότεραReminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΜΥ 311: Διακριτή Ανάλυση και Δομές Χειμερινό Εξάμηνο 016 Σειρά Ασκήσεων 5: Απαρίθμηση, Αρχή της Θυρίδας, Συνδυασμοί και Μεταθέσεις, Γραφήματα και
Διαβάστε περισσότεραPractice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1
Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the
Διαβάστε περισσότεραExample Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότερα2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραChapter 3: Ordinal Numbers
Chapter 3: Ordinal Numbers There are two kinds of number.. Ordinal numbers (0th), st, 2nd, 3rd, 4th, 5th,..., ω, ω +,... ω2, ω2+,... ω 2... answers to the question What position is... in a sequence? What
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΘΕΤΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ
Μεταθετικά Γραφήματα 351 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΜΕΤΑΘΕΤΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 12.1 Εισαγωγή 12.2 Ιδιότητες Μεταθετικών Γραφημάτων 12.3 Αναπαραστάσεις Μεταθετικών Γραφημάτων 12.4 Μεταθετικά Γραφήματα και Γραφήματα Τομής 12.5
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα (planar graphs)
Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν
Διαβάστε περισσότεραNew bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines
New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines Michigan State University Oct 8-31, 016 Anhui University Definition If X = {x 1, x,, x N } S n 1 (unit sphere in R n ) and x i, x j = a
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότεραk A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +
Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα
Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και
Διαβάστε περισσότεραΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
Δενδρικά Γραφήματα 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 3.1 Εισαγωγή 3.2 Βασικές Ιδιότητες Δένδρων 3.3 Απαρίθμηση Δένδρων 3.4 Γενετικά Δένδρα 3.5 Ελάχιστα Γενετικά Δένδρα Προαπαιτούμενη Γνώση Πολύ καλή γνώση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.0 (2010-05-25) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραAbstract Storage Devices
Abstract Storage Devices Robert König Ueli Maurer Stefano Tessaro SOFSEM 2009 January 27, 2009 Outline 1. Motivation: Storage Devices 2. Abstract Storage Devices (ASD s) 3. Reducibility 4. Factoring ASD
Διαβάστε περισσότεραCyclic or elementary abelian Covers of K 4
Cyclic or elementary abelian Covers of K 4 Yan-Quan Feng Mathematics, Beijing Jiaotong University Beijing 100044, P.R. China Summer School, Rogla, Slovenian 2011-06 Outline 1 Question 2 Main results 3
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
Διαβάστε περισσότερα