Dinamica structurilor şi inginerie seismică. Note de curs. Aurel Stratan

Transcript

1 Dinamica srucurilor şi inginerie seismică Noe de curs Aurel Sraan Timişoara 2009

2 1. Inroducere 1. Inroducere Dinamica srucurilor are ca obieciv principal elaborarea unor meode de deerminare a eforurilor şi deformaţiilor în srucuri supuse unor acţiuni dinamice. O acţiune dinamică ese o acţiune a cărei mărime, direcţie sau punc de aplicare variază în imp. Dinamica srucurilor dezvolă meodele de calcul specifice disciplinei de saica consrucţiilor, considerând variaţia în imp a răspunsului unei srucuri ca efec al unei acţiuni dinamice. Mule dinre acţiunile care soliciă srucurile inginereşi po fi considerae saice, în principal penru a simplifica calculul srucural. Cu oae acesea, majoriaea srucurilor sun supuse şi unor acţiuni dinamice pe parcursul duraei de viaţă. Din punc de vedere eoreic, ese convenabil să se facă disincţia înre încărcări periodice şi neperiodice. Câeva exemple ipice de acţiuni dinamice sun reprezenae schemaic în Figura 1.1. O acţiune periodică ese caracerizaă de fapul că înregisrează aceiaşi valoare la perioade deerminae de imp. Acţiunile periodice po fi armonice simple, descrise de o funcţie rigonomerică sinus sau cosinus (vezi Figura 1.1a). Aces ip de forţe dinamice sun generae de echipamene roaive cu o masă care nu ese echilibraă perfec. Ale forme de acţiuni periodice sun mai complexe (vezi Figura 1.1b). Asfel de soliciări dinamice po fi generae de presiunea hidrodinamică generaă de elicea unui vapor, sau de mooare cu pison. Acţiunile neperiodice sun fie încărcări de ip puls, de scură duraă (Figura 1.1c), cum ar fi cele generae de o explozie, fie acţiuni de lungă duraă (Figura 1.1d), generae de curemurele de pămân. p() (a) u() echipamene care conţin mase roaive excenrice p() (b) elicea unui vapor u() (c) p() u() presiunea pe o clădire daoraă unei explozii în vecinăaea aceseia p() (d) u() curemur de pămân Figura 1.1. Exemple de încărcări dinamice ipice: acţiune periodică armonică (a), acţiune periodică complexă (b), acţiune de ip puls (c), acţiune de lungă duraă (d)ş după Clough şi Penzien,

3 Dinamica Srucurilor şi Inginerie Seismică. [v.2009] hp://cemsig.c.up.ro/asraan/didacic/dsis/ Exisă două diferenţe esenţiale înre răspunsul dinamic şi cel saic al unei srucuri. Prima dinre acesea consă în variaţia în imp a acţiunii dinamice şi, în consecinţă, a răspunsului srucurii în cazul unei acţiuni dinamice. În imp ce o srucură acţionaă de o încărcare saică are un răspuns caraceriza de o sare unică a sisemului, o acţiune dinamică implică deerminarea unei succesiuni de sări ale srucurii la inervale succesive de imp. În consecinţă, o problemă de dinamică ese mai complexă şi mai consumaoare de imp şi resurse decâ o problemă de saică. Cea de-a doua diferenţă înre acţiunile saice şi cele dinamice consă în fapul că cele din urmă generează forţe de inerţie, care inervin în echilibrul de forţe ale srucurii. Calculul răspunsului unei srucuri ar puea fi realiza prin meodele saicii consrucţiilor dacă forţele de inerţie ar fi neglijabile, chiar dacă acţiunea şi răspunsul srucurii variază în imp. Forţele de inerţie sun considerabile aunci când masa srucurii şi acceleraţiile aceseia sun imporane, deerminarea răspunsului srucurii necesiând abordări specifice dinamicii srucurilor. 2

4 2. Dinamica sisemelor cu un singur grad de liberae dinamică 2. Dinamica sisemelor cu un singur grad de liberae dinamică 2.1. Ecuaţii de mişcare, formularea problemei, meode de rezolvare Siseme cu un singur grad de liberae dinamică Mule ipuri de srucuri inginereşi po fi idealizae ca şi srucuri relaiv simple, care faciliează deerminarea răspunsului dinamic. Un exemplu ese caselul de apă din Figura 2.1a. Aceasă srucură poae fi schemaizaă prinr-o masă m fixaă la capăul superior al unei console fără masă, dar cu rigidiaea k (vezi Figura 2.1b), numi pendul inversa. În relaţie cu aceasă schemaizare srucurală, dinamica srucurilor are ca obieciv deerminarea deformaţiilor şi eforurilor în pendulul inversa aunci când asupra masei acţionează o forţă dinamică laerală (orizonală), sau când o mişcare seismică orizonală induce oscilaţii ale bazei pendulului inversa. Sisemul srucural din Figura 2.1b ese un sisem cu un singur grad de liberae dinamică (GLD). m k (a) (b) Figura 2.1. Un casel de apă (a), hp://commons.wikimedia.org/wiki/image:carmel-indiana-waer-ower.jpg şi idealizarea acesuia sub forma unui pendul inversa (b). Numărul de grade de liberae dinamică (GLD) necesare înr-o analiză dinamică a unei srucuri ese numărul de deplasări independene necesare penru definirea poziţiei deplasae a maselor faţă de poziţia lor iniţială. Pe lângă caselul de apă din Figura 2.1a, mule ale ipuri de srucuri po fi idealizae ca şi srucuri cu un singur grad de liberae dinamică (SGLD). Un exemplu ese cadrul parer reprezena în Figura 2.2, care poae fi idealiza prinr-un sisem forma din masa m concenraă la nivelul riglei, cadrul fără masă care oferă rigidiae sisemului şi amorizorul care disipează energia de vibraţie a sisemului. Înr-o srucură reală fiecare elemen srucural (grinda şi sâlpii) conribuie la masa, rigidiaea şi amorizarea srucurii. În schema idealizaă în schimb, fiecare dinre acese proprieăţi ese concenraă înr-o componenă separaă: componena de masă, componena de rigidiae şi componena de amorizare. Ese de menţiona fapul că numărul de grade de liberae dinamică ese în general diferi de numărul de grade de liberae saică (gradul de nedeerminare geomerică) folosie la deerminarea eforurilor în srucură prin meoda deplasărilor (o problemă de saică). Asfel, cadrul din Figura 2.2 are un singur grad de liberae dinamică (deplasarea laerală a masei concenrae la nivelul acoperişului), în schimb gradul de nedeerminare saică ese egal cu rei (două roiri de noduri şi o deplasare laerală). 3

5 Dinamica Srucurilor şi Inginerie Seismică. [v.2009] hp://cemsig.c.up.ro/asraan/didacic/dsis/ Figura 2.2. Un sisem cu un singur grad de liberae dinamică sub acţiunea unei forţe dinamice p() (a); şi a unei mişcări seismice la baza srucurii (b). Vor fi considerae două ipuri de încărcare dinamică: (1) o forţă dinamică p() după direcţia orizonală (vezi Figura 2.2a) şi (2) o mişcare seismică orizonală u g () aplicaă la baza srucurii (vezi Figura 2.2b). În ambele cazuri u reprezină deplasarea laerală înre masă şi baza srucurii Relaţia forţă-deplasare Să considerăm srucura din Figura 2.3a asupra căreia acţionează forţa saică f S pe direcţia gradului de liberae u. Deerminarea relaţiei dinre forţa f S şi deplasarea u ese o problemă clasică de saica consrucţiilor. Figura 2.3. Relaţii forţă-deplasare (Chopra, 2001). În cazul unui sisem liniar elasic (vezi Figura 2.3d), maerialul din care ese compusă srucura are o comporare elasică, iar eforurile în srucură se deermină pe baza ipoezei deplasărilor mici, folosind un calcul de ordinul I. Penru un asfel de sisem relaţia dinre forţa f S şi deplasarea u ese liniară: fs = k u (2.1) unde k ese rigidiaea laerală a sisemului, uniăţile aceseia fiind (Forţă/Lungime). În cazul unor srucuri reale, elemenele srucurale po inra în curgere la deformaţii mari, curba de descărcare şi reîncărcare diferind de curba de încărcare iniţială. Aces efec se daorează comporării plasice a maerialului, iar sisemul corespunzăor se numeşe inelasic (vezi Figura 2.3c). Penru un asfel de sisem relaţia dinre forţa f S şi deplasarea u nu mai ese liniară şi depinde de isoria şi direcţia de încărcare: 4

6 2. Dinamica sisemelor cu un singur grad de liberae dinamică S S (, ) f = f u u (2.2) unde u reprezină vieza sisemului (vieza poziivă corespunde creşerii deformaţiilor, iar vieza negaivă micşorării deformaţiilor). Răspunsul dinamic al sisemelor inelasice ese imporan deoarece mule srucuri au o comporare inelasică sub acţiunea unor mişcări seismice puernice din cauza curgerii, fisurării şi a degradării elemenelor srucurale Forţa de amorizare Încercări pe siseme simple cu un singur grad de liberae dinamică au arăa că ampliudinea vibraţiilor unui sisem care ese lăsa să vibreze liber scade cu impul (vezi Figura 2.4). Aces fenomen apare ca urmare a amorizării sisemului. În cazul unor srucuri simple, amorizarea se daorează efecului ermic al deformaţiilor ciclice elasice ale maerialului şi frecării inerioare a maerialului. În cazul srucurilor reale, exisă mule ale mecanisme care conribuie la disiparea energiei. Prinre acesea se numără frecarea în îmbinările mealice, deschiderea şi închiderea microfisurilor la elemenele din beon arma, frecarea înre elemenele srucurale şi cele nesrucurale (de exemplu pereţii de comparimenare), ec. Pracic, ese imposibilă descrierea maemaică a uuror acesor fenomene în cazul unor consrucţii reale. Prin urmare, amorizarea srucurilor ese reprezenaă înr-o manieră mul simplificaă, folosind o amorizare vâscoasă echivalenă. Figura 2.4. Înregisrarea vibraţiilor libere ale unui sisem cu un singur grad de liberae dinamică (Chopra, 2001). Figura 2.5. Forţa de amorizare (Chopra, 2001) În Figura 2.5 ese reprezena un amorizor vâscos liniar supus unei forţe f D de-a lungul gradului de liberae u. Eforul din amorizor ese egal şi de sens invers cu forţa exerioară f D (vezi Figura 2.5b). Relaţia dinre forţa f D şi vieza de deformare a amorizorului u ese daă de relaţia (vezi Figura 2.5c): fd = c u (2.3) unde consana c reprezină coeficienul de amorizare vâscoasă. Uniăţile acesuia sun (Forţă Timp/Lungime). 5

7 Dinamica Srucurilor şi Inginerie Seismică. [v.2009] hp://cemsig.c.up.ro/asraan/didacic/dsis/ Coeficienul de amorizare vâscoasă penru srucuri reale poae fi deermina pe baza unor încercări de vibraţii libere sau forţae ale consrucţiilor. Amorizarea vâscoasă echivalenă ese folosiă penru modelarea energiei disipae la deformaţii ale srucurii în domeniul elasic. În domeniul inelasic, daoriă comporării inelasice a elemenelor srucurale, se produce o disipare suplimenară de energie, care rebuie cuanificaă în mod direc Ecuaţia de mişcare în cazul unei forţe exerne În Figura 2.6 ese reprezena un sisem cu un singur grad de liberae dinamică (SGLD) supus unei forţe dinamice p() pe direcţia gradului de liberae u. Aâ forţa p(), câ şi deplasarea rezulaă u() variază cu impul. Ecuaţia diferenţială care sabileşe deplasarea u() poae fi deerminaă prin două meode: (1) folosind legea a doua a lui Newon şi (2) folosind principiul de echilibru dinamic (principiul lui D'Alamber). O alernaivă celor două meode o consiuie sabilirea ecuaţiei de mişcare pe baza componenelor de rigidiae, amorizare şi masă. Legea a doua a lui Newon Forţele care acţionează asupra masei m la un momen da sun: forţa perurbaoare p(), forţa elasică (sau inelasică) f S şi forţa de amorizare f D (vezi Figura 2.6b). Forţa exernă p(), precum şi deplasarea u(), vieza u ( ) şi acceleraţia u ( ) sun poziive în direcţia poziivă a axei x. Forţele f S şi f D sun reprezenae în figură acţionând în sens invers, deoarece acesea sun forţe inerne (eforuri) care se opun deformaţiei, respeciv d viezei. Legea a doua a lui Newon sabileşe că derivaa impulsului ( mu ) în rapor cu impul ese egală cu d rezulana uuror forţelor aplicae sisemului. Ţinând seama de fapul că în mecanica clasică masa poae fi consideraă consană, derivaa impulsului devine mu.forţa rezulană de-a lungul axei x ese p - f S - f D, şi folosind legea a doua a lui Newon obţinem: de unde: Înlocuind în ecuaţia (2.5) relaţiile (2.1) şi (2.3), aceasă ecuaţie devine: p f f = mu (2.4) S S D mu + f + f = p (2.5) ( ) + ( ) + ( ) = ( ) D mu cu ku p (2.6) Aceasa ese ecuaţia de mişcare ce caracerizează deplasarea u() a sisemului idealiza din Figura 2.6a, presupus a fi liniar elasic, sub acţiunea unei forţe dinamice p(). Figura 2.6. Deerminarea ecuaţiei de mişcare penru un sisem SGLD (Chopra, 2001). Principiul lui D'Alamber Principiul lui D'Alamber se bazează pe noţiunea de forţă de inerţie, care ese egală cu produsul dinre masă şi acceleraţie şi acţionează în sens invers acceleraţiei. Conform principiului lui D'Alamber, un sisem ese în echilibru dinamic dacă în fiecare momen forţele care acţionează asupra sisemului, inclusiv forţa de inerţie, sun în echilibru saic. În Figura 2.6c ese prezena sisemul de forţe care acţionează asupra masei m, aceasa din urmă fiind înlocuiă cu forţa de inerţie, reprezenaă cu linie înrerupă penru a o disinge de forţele reale. Scriind echilibrul forţelor se obţine ecuaţia (2.5), care a fos obţinuă anerior folosind legea a doua a lui Newon. 6

8 2. Dinamica sisemelor cu un singur grad de liberae dinamică Componenele de rigidiae, amorizare şi masă Ecuaţia de mişcare a unui sisem dinamic poae fi formulaă prinr-o procedură alernaivă. Sub acţiunea forţei exerioare p(), sarea sisemului ese descrisă de deplasarea u(), vieza u ( ) şi acceleraţia u ( ), (vezi Figura 2.7a). Aces sisem poae fi vizualiza ca şi combinaţia a rei componene pure: (1) componena de rigidiae: cadrul fără masă şi fără amorizare (vezi Figura 2.7b); (2) componena de amorizare: cadrul amoriza, dar fără masă sau rigidiae (vezi Figura 2.7c); şi (3) componena de masă: masa concenraă la nivelul acoperişului, fără rigidiaea sau amorizarea cadrului (vezi Figura 2.7d). Relaţia dinre forţa exernă f S şi deplasarea u penru un sisem liniar elasic ese daă de ecuaţia (2.1), cea înre forţa de amorizare f D şi vieza u de relaţia (2.3), iar forţa de inerţie f I care acţionează asupra componenei de masă ese daă de relaţia fi = mu. Asfel, forţa exerioară p() poae fi consideraă disribuiă la cele rei componene ale srucurii, iar fs + fd + fi rebuie să egaleze forţa exerioară p(), ceea ce conduce la ecuaţia de mişcare formulaă de relaţia (2.5). Aceasă abordare penru sabilirea ecuaţiei de mişcare ese uilă în cazul sisemelor complexe, cu mai mule grade de liberae dinamică. (a) Deplasarea u Vieza u Acceleraţia u (b) Deplasarea u (c) Vieza u (d) Acceleraţia u Figura 2.7. Sisemul (a), componena de rigidiae (b), componena de amorizare (c) şi componena de masă (d), Chopra, Sisemul cu un singur grad de liberae dinamică idealiza prin cadrul parer din Figura 2.6 ese sugesiv în conexul ingineriei civile. În raaele clasice de mecanică şi fizică, comporarea sisemelor SGLD ese analizaă pe baza unui sisem forma dinr-o masă, un resor elasic şi un amorizor (vezi Figura 2.8a). Folosind legea a doua a lui Newon (vezi Figura 2.8b) sau principiul lui D'Alamber (vezi Figura 2.8c) se obţine aceeaşi ecuaţie de mişcare (2.6) care a fos deerminaă anerior penru cadrul parer. Figura 2.8. Reprezenarea clasică a unui sisem cu un singur grad de liberae dinamică, Chopra, Ecuaţia de mişcare în cazul acţiunii seismice În conexul ingineriei seismice, problema principală a dinamicii srucurilor ese deerminarea răspunsului srucural sub efecul mişcării seismice care acţionează la baza srucurii. Noând deplasarea erenului cu u g, deplasarea oală (sau absoluă) a masei cu u şi deplasarea relaivă înre eren şi masă cu u (vezi Figura 2.9), în orice momen se poae scrie urmăoarea relaţie: u ( ) = u( ) + u ( ) (2.7) Aâ u câ şi u g se referă la acelaşi sisem inerţial de referinţă, iar direcţiile lor poziive coincid. Ecuaţia de mişcare penru sisemul SGLD din Figura 2.9a poae fi deerminaă prin oricare dinre meodele descrise în secţiunea În coninuare se va folosi principiul echilibrului dinamic al lui D'Alamber. Pe g 7

9 Dinamica Srucurilor şi Inginerie Seismică. [v.2009] hp://cemsig.c.up.ro/asraan/didacic/dsis/ baza echilibrului forţelor care acţionează asupra sisemului (vezi Figura 2.9b), inclusiv a forţei de inerţie f I se poae scrie: fi + fs + fd = 0 (2.8) Doar deplasarea relaivă u înre masă şi baza srucurii produce eforuri şi forţe de amorizare în srucură (mişcarea de corp rigid nu produce eforuri în srucură). Asfel, penru un sisem liniar elasic sun valabile relaţiile (2.1) şi (2.3). Forţa de inerţie f I ese proporţională cu acceleraţia oală u a masei: Înlocuind ecuaţiile (2.1), (2.3) şi (2.9) în ecuaţia (2.8) obţinem: de unde, folosind relaţia (2.7), obţinem: fi = mu (2.9) mu + cu + ku = 0 (2.10) mu + cu + ku = mu g (2.11) Comparând relaţiile (2.6) şi (2.11), se poae observa că ecuaţia de mişcare a unui sisem acţiona de acceleraţia u ( ) impusă bazei ese idenică cu cea a unui sisem cu baza fixă acţiona de o forţă exerioară g egală cu mu ( ) aplicaă masei. Asfel, mişcarea seismică la baza srucurii poae fi înlocuiă cu o forţă g seismică efecivă (vezi Figura 2.10): p ( ) = mu ( ) (2.12) eff g Figura 2.9. Un sisem SGLD supus mişcării seismice la bază (Chopra, 2001). Figura Forţa seismică efecivă (Chopra, 2001). Forţa seismică efecivă ese egală cu produsul dinre masă şi acceleraţia erenului, acţionând în sens invers acceleraţiei. Ese imporan de observa că forţa seismică efecivă depinde de doi facori: masa srucurii consrucţiile cu masa mai mare fiind supuse unor forţe efecive mai mari acceleraţia erenului consrucţiile amplasae în zone seismice puernice fiind supuse unor forţe efecive mai mari Formularea problemei şi deerminarea eforurilor Problema fundamenală în dinamica srucurilor ese deerminarea răspunsului unui sisem sub efecul unei acţiuni dinamice, care poae fi o forţă dinamică exerioară p() sau acceleraţia erenului aplicaă la baza srucurii u ( ). În cazul unui sisem liniar elasic cu un singur grad de liberae dinamică, acesa ese defini g de masa m, rigidiaea k şi coeficienul de amorizare c. Termenul de răspuns se referă înr-un sens larg la 8

10 2. Dinamica sisemelor cu un singur grad de liberae dinamică orice caniae care defineşe comporarea srucurii, cum ar fi deplasarea, vieza, acceleraţia masei, sau eforuri şi ensiuni în elemenele srucurii. În cazul unei încărcări seismice, po fi necesare aâ valorile oale (sau absolue), câ şi cele relaive ale deplasării u( ), viezei u ( ) şi acceleraţiei u ( ). Deplasările relaive u( ) asociae deformaţiilor srucurii sun cele mai imporane, deoarece eforurile în elemenele srucurii sun în relaţie direcă cu deformaţiile. Prin rezolvarea ecuaţiei de mişcare a sisemului cu un grad de liberae dinamică (cadrul parer din exemplele anerioare), se obţine variaţia în imp a deformaţiei u( ) a srucurii. Pe baza acesor valori, prinr-o analiză saică a srucurii, se po deermina eforurile din elemenele srucurale (momenele de încovoiere, eforurile axiale şi cele ăieoare) în orice momen de imp da. Aceasă analiză saică a srucurii poae fi vizualizaă în două moduri: Srucura poae fi analizaă sub efecul deplasării laerale impuse u( ). Folosind meoda deplasărilor se po deermina roirile de noduri, iar ulerior eforurile în elemenele srucurale. Cel de-al doilea mod consă în folosirea unei forţe saice echivalene, un concep cenral în deerminarea răspunsului seismic al srucurilor. La orice momen de imp da, aceasa ese o forţă saică exerioară f S care produce deplasarea u deerminaă din analiza dinamică. Asfel: fs ( ) = ku( ) (2.13) unde k ese rigidiaea laerală a srucurii. Eforurile din elemenele srucurale (momenele de încovoiere, eforurile axiale şi cele ăieoare) po fi deerminae în orice momen de imp da, prinr-o analiză saică a srucurii sub efecul forţelor f S deerminae conform ecuaţiei (2.13) Combinarea răspunsului saic cu cel dinamic În aplicaţiile pracice ese deseori necesară deerminarea eforurilor oale dinr-o srucură, rezulae din combinarea încărcărilor saice (de obicei graviaţionale) exisene în srucură înaine de aplicarea acţiunii dinamice, cu cele rezulae din acţiunea dinamică. În cazul sisemelor liniar elasice ese valabil principiul suprapunerii efecelor, de aceea răspunsul oal poae fi deermina prin suprapunerea rezulaelor a două analize separae: (1) analiza saică a srucurii sub efecul încărcărilor permanene, uile, variaţiei de emperaură, ec. şi (2) răspunsul dinamic al srucurii. În cazul sisemelor inelasice nu mai ese valabil principiul suprapunerii efecelor. Răspunsul dinamic al unor asfel de siseme rebuie să ţină con de deformaţiile şi eforurile exisene în srucură înaine de aplicarea încărcării dinamice Meode de rezolvare a ecuaţiei de mişcare Ecuaţia de mişcare a unui sisem liniar elasic cu un singur grad de liberae dinamică ese o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, deerminaă anerior: mu + cu + ku = p( ) (2.14) Penru a defini problema în mod comple, rebuie specificae deplasarea iniţială u (0) şi vieza iniţială u (0). De obicei srucura ese în repaus înaine de aplicarea încărcării dinamice, asfel încâ cele două valori sun egale cu zero. În cele ce urmează sun recue în revisă rei meode de rezolvare a ecuaţiei de mişcare. Soluţia clasică Soluţia compleă u() a unei ecuaţii diferenţiale liniare neomogene de ordinul doi ese compusă din suma soluţiei complemenare u c () şi a celei pariculare u p (). Asfel, u() = u c () + u p (). Deoarece ecuaţia diferenţială ese de ordinul doi, exisă două consane de inegrare în soluţia complemenară, care po fi deerminae cunoscând condiţiile iniţiale. Soluţia clasică de rezolvare a ecuaţiei de mişcare ese deosebi de uilă în cazul vibraţiilor libere şi a celor forţae la care forţa dinamică ese definiă analiic. Exemplu: Ecuaţia de mişcare în cazul unui sisem SGLD neamoriza (c = 0), sub efecul unei forţe de ip reapă p()=p 0, 0 ese: mu + ku = p 0 (a) 9

11 Dinamica Srucurilor şi Inginerie Seismică. [v.2009] hp://cemsig.c.up.ro/asraan/didacic/dsis/ Soluţia pariculară a ecuaţiei (a) ese iar soluţia complemenară ese: u ( ) p p k 0 = (b) u ( ) = Acosω + Bsinω (c) c n n unde A şi B sun consane de inegrare şi ω n = k m. Soluţia compleă ese daă de suma ecuaţiilor (b) şi (c): u( ) Acos Bsin p k 0 = ωn + ωn + (d) Dacă sisemul ese în repaus înaine de aplicarea încărcării dinamice, penru = 0 avem u (0) = 0 şi u (0) = 0. Penru acese condiţii iniţiale se po deermina consanele A şi B: p A = 0 B = 0 (e) k Înlocuind ecuaţiile (e) în ecuaţia (d) rezulă soluţia ecuaţiei de mişcare analizae: Inegrala Duhamel u p k 0 ( ) = (1 cos ωn ) O ală modaliae de a deermina soluţia unei ecuaţii diferenţiale liniare se bazează pe reprezenarea încărcării seismice sub forma unei secvenţe de impulsuri infiniezimale. Răspunsul unui sisem sub efecul forţei aplicae p() la impul se obţine prin însumarea răspunsului uuror impulsurilor până în acel momen. Penru cazul unui sisem SGLD neamoriza afla în repaus înaine de aplicarea încărcării dinamice, rezulă urmăoarea relaţie: unde ω n = k m n 0 1 u( ) = p( τ )sin[ ωn ( τ )] dτ mω (2.15). Ecuaţia (2.15) ese cunoscuă sub denumirea de inegrală Duhamel şi reprezină o formă specială a inegralei de convoluţie. Ecuaţia ese valabilă numai penru condiţii iniţiale "de repaos". Inegrala Duhamel reprezină o meodă alernaivă faţă de meoda clasică de deerminare a răspunsului dinamic, dacă forţa p() ese definiă analiic şi ese suficien de simplă penru evaluarea analiică a inegralei. Penru încărcări dinamice definie numeric la valori de imp discree, inegrala Duhamel poae fi inegraă numeric. Exemplu: Să se deermine răspunsul unui sisem SGLD neamoriza (c = 0), sub efecul unei forţe de ip reapă p()=p 0, 0. Penru aceasă încărcare dinamică, ecuaţia (2.15) rezulă: τ = 1 p 0 cos ωn ( τ ) p0 ( ) = 0 sin[ ωn ( τ )] τ (1 cos ωn ) mω = = n mω 0 n ωn k τ = 0 u p d Aces rezula ese idenic cu cel obţinu prin meoda clasică. Meode numerice Meodele de rezolvare a ecuaţiei de mişcare descrise anerior sun aplicabile numai sisemelor liniar elasice şi încărcărilor dinamice definie analiic. Analiza răspunsului dinamic al sisemelor inelasice şi a celor la care încărcarea dinamică ese prea complicaă penru a fi definiă analiic, poae fi efecuaă prin meode numerice (calcul biografic). 10