CURS facultativ ELEMENTE DE TEORIA DISTRIBUŢIILOR

Transcript

1 CUS faculaiv ELEMENTE DE TEOIA DISTIBUŢIILO 1. Noţiunea de disribuţie Fie ϕ : C o funcţie; definim suporul prin închiderea mulţimii penru care ϕ nu se anulează, adică supp ϕ = { ϕ() 0}. Se poae demonsra că suporul ese complemenara celei mai mari mulţimi deschise pe care ϕ se anulează. Dacă funcţia ϕ admie derivae de orice ordin, vom spune că ese indefini derivabilă şi vom noa ϕ C (). Inroducem urmăoarea clasă de funcţii: D = {ϕ C () supp ϕ mărgini}. Prin definiţie suporul ese o mulţime închisă, deci mărginirea suporului ese echivalenă cu fapul că suporul ese o mulţime compacă şi clasa D se mai numeşe clasa funcţiilor indefini derivabile cu supor compac. Elemenele din D se numesc funcţii es. Se consaă uşor că D ese spaţiu vecorial pese corpul numerelor complexe C; înr-adevăr dacă ϕ, ϕ 1, ϕ 2 D şi α C, aunci αϕ C (), ϕ 1 + ϕ 2 C (), iar supp αϕ = α supp ϕ, iar supp( ϕ 1 + ϕ 2 ) supp ϕ 1 supp ϕ 2. Exemplul 1.1. Funcţia definiă prin ωε() = cεe ε 2 2 ε 2, < ε 0, ε, unde cε ese asfel ales încâ ωε()d = 1. ese funcţie es şi ese cunoscuă sub numele de scufiţă. Lema 1.1. Penru orice inerval (a, b) şi ε > 0 exisă η C (), cu urmăoarele proprieăţi: 1. 0 η 1 2. η() = 1 penru (a ε, b + ε) 3. η() = 0, penru (a 3ε, b + 3ε). 1

2 2 Daniela oşu Definiţia 1.1. Fie ϕ n, ϕ D, n N, şirul ϕ n converge în D la ϕ şi noăm D ϕ n ϕ dacă exisă A > 0, asfel ca supp ϕ n, supp ϕ S(0, A) şi unif orm ϕ (k) n ϕ (k) k N, n + ( convergenţa ese uniformă). Vom mai noa ϕ n ϕ în D. Indicăm câeva operaţii cu funcţii, care au ca rezula o funcţii es. Dacă f ese o funcţie oarecare de clasă C () şi ϕ o funcţie es, aunci prin înmulţirea lor, se obţine o o funcţie es. Dacă ϕ, funcţie es ese compusă cu a+b, rezulaul ese o o funcţie es. De asemenea, dacă derivăm o funcţie es, rezulaul ese o o funcţie es. Definiţia 1.2. Funcţionala T : D C se numeşe disribuţie dacă 1. T ese liniară, adică T (α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 ) = α 1 T (ϕ 1 ) + α 2 T (ϕ 2 ), α 1, α 2 C, ϕ 1, ϕ 2 D. 2. T ese coninuă (prin şiruri), adică ϕ n D, ϕ n ϕ în D rezulă T (ϕ n ) T (ϕ). Noăm cu D, mulţimea uuror disribuţiilor, care se mai numeşe dualul lui D. Vom folosi diferie noaţii T (ϕ) = (T, ϕ) = (T (x), ϕ(x)) ulima penru a indica explici variabila independenă a funcţiei es; nu se poae defini valoarea unei disribuţii înr-un punc, ouşi vom folosi noaţia penru a pune în evidenţă asupra cărei variabile se aplică disribuţia. Definiţia 1.3. Două disribuţii T 1, T 2 se numesc egale şi noăm T 1 = T 2, dacă (T 1, ϕ) = (T 2, ϕ), ϕ D. Definiţia 1.4. Şirul T n D converge slab la T D dacă penru orice ϕ D, are loc (T n, ϕ) (T, ϕ) Teorema 1.1. Dacă T n ese un şir din D cu proprieaea că penru orice ϕ D şirul numeric (T n, ϕ) ese convergen, aunci funcţionala T definiă prin ese din D. (T, ϕ) = lim (T n, ϕ) n +

3 Elemene de eoria disribuţiilor 3 Definiţia 1.5. Dacă T n D, n N aunci spunem că seria + n=1 T n ese slab convergenă la T în D, dacă şirul sumelor parţiale S n = T T n ese slab convergen la T şi noăm + n=1 T n = T. Exemple de disribuţii Disribuţii de ip funcţie (regulae) Fie f o funcţie inegrabilă pe orice inerval [a, b]. Noăm mulţimea acesor funcţii L 1 loc() şi funcţiile vor fi numie local inegrabile. Eviden că dacă f ese inegrabilă pe, aunci ea ese din L 1 loc(), dar exisă funcţii local inegrabile pe, care nu sun inegrabile: de exemplu funcţia consană 1 ese local inegrabilă, şi nu ese inegrabilă pe. Penru o funcţie local inegrabilă, definim disribuţia generaă prin formula: T f : D C, (T f, ϕ) = f()ϕ()d, ϕ D. (1) Dacă de exemplu f = u, funcţia uniae, obţinem disribuţia Heaviside: (T u, ϕ) = + 0 f()ϕ()d, ϕ D. (2) Lema 1.2. (du Bois-aymond)Fie f o funcţie local inegrabilă pe. Aunci T f = 0 dacă şi numai dacă f = 0 aproape pese o. Spunem că o proprieae are loc aproape pese o dacă penru orice ε > 0, mulţimea penru care acea proprieae nu are loc poae fi acoperiă cu inervale a căror lungime oală ese mai mică decâ ε. Disribuţii singulare. O disribuţie ese singulară dacă nu exisă nici o funcţie local inegrabilă care să o genereze în sensul formulei (1). Definim disribuţiile Dirac prin: δ : D C (δ, ϕ) = ϕ(0), ϕ D (3) δ a : D C (δ a, ϕ) = ϕ(a), a, ϕ D. (4) Teorema 1.2. Disribuţia Dirac ese singulară. O disribuţie poae fi generaă de funcţii care nu sun local inegrabile, asfel se obţin disribuţii valori principale.

4 4 Daniela oşu Exemplul 1.2. Funcţionala noaă Vp 1 ese o disribuţie. (V p 1, ϕ) = vp + şi definiă prin ( ϕ() ε d = lim ε 0 ϕ() + d + ε ) ϕ() d (5) Soluţie. Funcţia 1 nu ese inegrabilă pe nici un inerval care conţine originea. Să demonsrăm că formula (5) defineşe o disribuţie. Penru aceasa arăăm mai înâi că exisă limia din membrul al doilea. Deoarece ϕ ese nulă în afara unui inerval [ A, A] şi ( ε ) ϕ(0) A ϕ(0) lim d + d = 0, ε 0 A ε limia din definiţie (5) exisă simulan cu urmăoarea ( ε lim ε 0 ϕ() ϕ(0) d + Ulima inegrală exisă deoarece + ε ) ϕ() ϕ(0) d. ϕ() ϕ(0) sup ϕ () < +. [ A,A] Eviden corespondenţa ϕ (V p 1, ϕ) ese C-liniară. Să mai arăăm că ese şi coninuă prin şiruri. Fie ϕ n 0 în D; aunci exisă A > 0, asfel ca suppϕ n [ A, A], n 1. Ca mai înaine Dar (V p 1 A, ϕ n) = vp A ϕ n () ϕ n (0) d. ϕ n() ϕ n (0) sup ϕ n() 0 penru n +. [ A,A] Deci (V p 1, ϕ n) 0, dacă n +. Exemplul 1.3. Urmăoarele egaliăţi sun adevărae: numie formulele lui Sohoski. Soluţie. Au loc relaţiile: 1 + j0 = jπδ() + V p1 1 j0 = jπδ() + V p1 (6) + lim ε 0 ϕ() + + jε d = jπϕ(0) + V p ϕ() d

5 Elemene de eoria disribuţiilor 5 + ϕ() + lim ε 0 jε d = jπϕ(0) + V p ϕ() d Demonsrăm prima egaliae. Dacă ϕ = 0 penru x > A, aunci + ϕ() lim d = lim ε 0 + jε ε 0 A jε = ϕ(0) lim d + lim ε 0 A 2 + ε2 ε 0 A A A jε 2 + ε 2 ϕ()d = ( jε)(ϕ() ϕ(0)) d = A 2 + ε 2 = 2jϕ(0) lim arcan A A ε 0 ε + ϕ() ϕ(0) d = A + ϕ() = jπϕ(0) + V p d. elaţia de mai sus exprimă convergenţa în D 1 a şirului, dacă ε 0; noăm valoarea +jε 1 limiei cu. Analog se obţine şi cea de a doua relaţie. + j0 Disribuţii în n Inroducem urmăoarea clasă de funcţii indefini derivabile cu supor compac. Penru aceasa să precizăm unele noaţii. Considerăm α un muliindice, adică α = (α 1,, α n ), α i N şi noăm cu α = α α n. Fie operaorul de derivare D α f(x) = α f(x 1,, x n ), D 0 f(x) = f(x), x = (x α 1, x 2, x n ). 1 x 1 x αn n Penru orice deschis D n, considerăm clasa C (D) = {f : D C, D α f coninuă α} şi vom defini funcţiile es, ca elemene ale urmăoarei mulţimi: Puem defini şi în aces caz scufiţa prin D( n ) = {ϕ C ( n ) supp ϕ mărgini}. ε 2 ωε(x) = c x εe 2 ε 2, x < ε 0 x ε unde c ε ese asfel ales încâ ω ε (x)dx = 1. n Să precizăm că în relaţiile de mai sus, x = x x 2 n, iar penru simplificare dx = dx 1 dx 2 dx n, iar inegrala ese muliplă (pe n ). Se poae arăa că,

6 6 Daniela oşu ωε(x) = 1 ε n ω 1 ( x ε ). În mod analog se defineşe converegnţa în D( n ) şi noţiunea de disribuţie, iar la disribuţiile de ip funcţie inegralele sun luae pe n. Suporul unei disribuţii Definiţia 1.6. Fie T D ; spunem că T se anulează pe mulţimea deschisă D, dacă ϕ D, cu supp ϕ D, are loc (T, ϕ) = 0. Definiţia 1.7. Fie T D ; numim suporul disribuţiei T complemenara celei mai mari mulţimi deschise pe care T se anulează. Noăm supp T. Exemplul 1.4. Să deerminăm suporul disribuţiilor Dirac şi Heaviside. Soluţie. 1 supp δ a = a, deoarece δ a se anulează pe \ {a} 2. supp T u = [0, + ), unde reaminim că T u ese disribuţia Heaviside. Disribuţii cu supor compac Dacă noăm cu E = {f : C, f C ()} definim urmăoarea convergenţă a şirurilor: ϕ n ϕ în E, dacă ϕ (k) n ϕ (k) k N, uniform pe orice compac K. Noăm cu E mulţimea uuror funcţionalelor T : E C, C liniare şi coninue, relaiv la convergenţa de mai sus. Se poae demonsra că mulţimea disribuţiilor cu supor compac coincide cu E. Operaţii cu disribuţii Definiţia 1.8. Dacă T 1, T 2 D, definim suma T 1 + T 2, ca disribuţia daă de (T 1 + T 2, ϕ) = (T 1, ϕ) + (T 2, ϕ), ϕ D. (7) Dacă λ C, T D, definim înmulţirea unei disribuţii cu scalar prin (λt, ϕ) = λ(t, ϕ), ϕ D. (8) Dacă f C şi T D definim înmulţirea unei disribuţii cu funcţii indefini derivabile prin (f T, ϕ) = (T, f ϕ), ϕ D. (9)

7 Exemplul 1.5. Arăaţi că au loc: 1. (fδ a, ϕ) = f(a)(δ a, ϕ), unde f C () 2. n δ = 0. Elemene de eoria disribuţiilor 7 Soluţie. Penru ambele afirmaţii folosim (9) şi definiţia disribuţiei Dirac. Avem (fδ a, ϕ) = (δ a, fϕ) = f(a)ϕ(a) = f(a)(δ a, ϕ). A doua se deduce din prima, penru a = 0 şi f() = n. Exemplul 1.6. Dacă T D şi η C () ese egală cu 1 pe o vecinăae a mulţimii supp T, aunci are loc T = ηt. Soluţie. Înr-adevăr, are loc (T ηt, ϕ) = (T, (1 η)ϕ) = 0, deoarece supp (1 η)ϕ supp T =. Definiţia 1.9. Dacă T D, iar u = a + b, a 0, formula (T (a + b), ϕ()) = 1 ( ( )) u b (T (u), ϕ a a se numeşe disribuţia obţinuă prin schimbarea variabilei independene. (10) Se poae arăa că T (a+b) ese o disribuţie. Dacă f L 1 loc, aunci formula (10) reprezină schimbarea de variabilă înr-o inegrală. Exemplul 1.7. Să demonsrăm că disribuţia Dirac are proprieăţile: (δ(a + b), ϕ()) = 1 a ϕ( b a ) (11) (δ(a), ϕ()) = 1 a ϕ(0) = 1 (δ, ϕ) (12) a δ( ) = δ() (13) δ( a) = δ a. (14) Soluţie. Dacă aplicăm formula (10) penru δ obţinem (11). Penru b = 0, a 0 avem (12). Din egaliaea precedenă deducem pariaea disribuţiei Dirac, adică (13). Dacă a = 1, b = a, aunci de unde se obţine (14). (δ( a), ϕ()) = (δ(u), ϕ(u + a)) = ϕ(a) = (δ a, ϕ),

8 8 Daniela oşu 1.1. Probleme propuse. 1.1 Care din urmăoarele { funcţii sun funcţii es? 1, 0 a. u() = 0, < 0 1 b. hε() = 2ε, [ ε, +ε] 0, [ ε, +ε] { sin, [0.π] c. ϕ() = 0, [0, π] { 1, x Q d. f()= 0, \ Q e. ϕ() = e, { f. ϕ() = e 1 2 a 2, a 0, > a { sin( aπ), [a, b] g. ϕ() = b a 0, [a, b]. 1.2 Dacă în exemplul (1.1) luăm ε = 1, arăaţi că n lim c n = +. n { 1.3 Să se arae că şirul ϕ n () = 1 e 1 2 a 2, < a ese convergen în D la funcţia n 0, > a idenic nulă. 1.4 Penru orice inerval (a, b) şi ε > 0 exisă η C (), cu urmăoarele proprieăţi: 1. 0 η 1 2. η() = 1 penru (a ε, b + ε) 3. η() = 0, penru (a 3ε, b + 3ε). 1.5 Să se arae că orice funcţie ϕ D poae fi reprezenaă sub forma ϕ() = ψ () + ϕ 0 () ϕ()d unde ϕ 0, ψ D şi ϕ 0 ()d = Să arae că o funcţie ϕ D ese derivaa unei funcţii dacă şi numai dacă ϕ()d = Fie funcţiile ϕ, η D cu proprieaea că exisă o vecinăae V a lui 0, asfel ca η() = 1, V. Aunci penru orice m N funcţia ψ m D, unde ψ m () = ( 1 m 1 lim 0 m ϕ() η() ( m 1 ϕ() η() În paricular, penru m = 1, ψ 1 D k=0 m 1 k=0 ϕ (k) (0) ), m 0 k! ϕ (k) (0) ), m = 0. k!

9 Elemene de eoria disribuţiilor 9 ϕ() η()ϕ(0), 0 ψ 1 () = ϕ() η()ϕ(0) lim, = 0, 0 unde η, ϕ D şi η 1 pe V. 1.8 Arăaţi că dacă f L 1 loc(), formula (1) defineşe o disribuţie. Definiţi disribuţia Heaviside generaă de funcţia uniae. Arăaţi că funcţiile u 1 () = { 1, > 0 0, 0 şi u 2() = 1, > 0 1 2, = 1 2 0, 0 generează o disribuţia Heaviside. 1.9 Arăaţi că în urmăoarele cazuri a. f ese o funcţie coninuă pe b. f = u g, unde g ese coninuă, iar u ese funcţia uniae are loc supp T f = supp f Arăaţi că dacă f 1, f 2, f L 1 loc(), aunci T f1 +f 2 = T f1 +T f2 şi T αf = αt f, α C Să se demonsreze că disribuţia Dirac ese singulară Arăaţi că şirul disribuţiilor generae de ω Arăaţi că seria + n=1 δ n ese slab convergenă. n converge slab la disribuţia Dirac, δ 1.14 Să se demonsreze că urmăoarele funcţionale sun disribuţii. a. V p 1 : D C, (V p 1 + 2, ϕ) = vp ϕ() ϕ(0) d, ϕ D 2 2 b. V p 1 : D C, (V p 1 3, ϕ) = vp ϕ() ϕ (0) d, ϕ D 3 3 c. V p ln : D C, (vp ln, ϕ) = vp ln ϕ()d, ϕ D Să se deermine soluţiile generalizae în D penru ecuaţiile: a. T = 0 b. T = δ Să se demonsreze egaliăţile: a. (cos )δ = δ b. (sin )δ π = δ π 2 2 c. vp 1 = T 1 d. n vp 1 = T n Soluţii. 1.1 a. supp u = [0, ), u D b. supp hε = [ε, +ε], hε D c. suppϕ = [0, π], ϕ C(), ϕ C() d. supp ϕ = Q =, nu e compac, ϕ nu e coninuă în nici un punc.

10 10 Daniela oşu e. ϕ C (), dar supp ϕ =, ϕ D f. supp ϕ = [ a, a], ϕ C (); deci ϕ D g. suppϕ = [a, b], ϕ C() dar nu e derivabilă în a şi b. 1 1 n = ()d = c n e n 2 2 n 1 d ω 1 n 1 n 1 n e 1 d = 2c n. de unde rezulă afirmaţia. ne 1.3 supp ϕ n = [ a, a], ϕ (k) n 0 uniform pe [ a, a], k = 0, 1, Exerciţiul indică un procedeu general de a consrui funcţii es cu suporul pe un deschis oarecare (a, b). Considerăm funcţia caracerisică χ a mulţimii [a 2ε, b + 2ε], adică şi funcţia χ() = { 1 [a 2ε, b + 2ε] 0 [a 2ε, b + 2ε] η() = χ(y)ω ε ( y)dy = b+2ε a 2ε ω ε ( y)dy = a+2ε b 2ε ω ε (x)dx. Din proprieăţile inegralelor cu parameru, rezulă că η C () şi 0 η() ω ε ( y)dy = ω ε (x)dx = 1, deci prima afirmaţie ese adevăraă. Dacă (a ε, b + ε), rezulă incluziunea iar inegrala ese [ ε, ε] [ b 2ε, a + 2ε], a+2ε b 2ε ω ε (x)dx = ε ε ω ε (x)dx = 1 şi a doua afirmaţie ese adevăraă. Penru cea de a reia puem dovedi că [ b 2ε, a + 2ε] [ ε, ε] = şi rezulă că dacă (a 3ε, b + 3ε) avem η() = Fie ϕ 0 D cu ϕ 0(x)dx = 1 şi fie x ( ) ψ(x) = ϕ() ϕ 0 () ϕ(x)dx d. Aunci avem reprezenarea din enun. ămâne de verifica că ψ C () şi supp ψ ese compac. Cum ψ ese consruiă cu ϕ, ϕ 0 D deci infini diferenţiabilă rezulă că ψ C (). Să arăăm că supp ψ ese compac. Fie [a, b] = supp ϕ şi [c, d] = supp ϕ 0, α = min{a, c}, β = max{b, d}; demonsrăm că supp ψ [α, β], adică ψ(x) = 0 penru orice x < α, x > β. Dacă x < α avem ψ(x) = 0, iar dacă x > β puem lua x = β + h, h > 0 şi avem

11 Elemene de eoria disribuţiilor 11 ψ(x) = β+h ϕ()d ϕ(x)dx β+h ϕ 0 ()d; folosind fapul că supp ϕ = [a, b], supp ϕ 0 = [c, d], coninuăm egaliăţile b β+h ( b d ) β+h ϕ()d + ϕ()d ϕ(x)dx ϕ 0 ()d + ϕ 0 ()d = a b a c α b b = ϕ()d ϕ(x)dx = 0 a a Urmează ψ(x) = 0, x > β. 1.6 Fie ϕ = ψ aunci ϕ(x)dx = ψ (x)dx = ψ(+ ) ψ() = 0; deoarece ϕ C () rezulă ψ C (); avem supp ϕ = supp ψ care ese compac. Dacă ψ(x) = x ϕ()d rezulă că ψ D, ψ = ϕ C () şi supp ψ supp ϕ. Dacă x < a, ψ(x) = 0; dacă x > b, b x ψ(x) = ϕ()d + ϕ()d = ϕ()d = 0. a b 1.7 Fie V = (ε, ε) cu proprieaea η(x) = 1, x ( ε, ε); noăm m 1 f(x) = ϕ(x) η(x) k=0 ϕ (k) (0) x m, k! ( suma reprezină polinomul Taylor al lui ϕ în jurul originii). Are loc f(x) ψ m (0) = lim x 0 x = f (m) (0), m m! dacă aplicăm regula lui l Hospial de m ori. lim ψ f(x) m(x) = lim x 0 x 0 x = f (m) (0), m m! deci ψ m ese coninuă în x = 0. Avem eviden că ψ m ese indefini derivabilă pe \ {0} şi supp ψ m ese compac; să sudiem derivabiliaea în 0. f(x) ψ m(o) ψ m (x) ψ m (0) f (m) (0) x = lim = lim m m! x 0 x x x f(x) xmf (m)(0) m! = lim = f (m+1) (0) x 0 x m+1 (m + 1)!, dacă aplicăm l Hospial de m + 1 ori. şi calculăm ψ m(x) = f (x)x mf(x) x m+1 f (x)x mf(x) lim x 0 ψ m(x) = lim x 0 x m+1 = = lim x 0 f (x) + xf (x) mf (x) (m + 1)x m

12 12 Daniela oşu 1.8 = lim x 0 (1 m)f (x) + xf (x) (m + 1)x m = lim x 0 (2 m)f (x) + xf (x) (m + 1)mx m 1 = = lim x 0 (m + 1 m)f (m+1) (x) + xf (m+2) (m + 1)! = f (m+1) (0) (m + 1)! = ψ m(0), deci ψ m C 1 (); în şirul de egaliăţi precedene s-a folosi regula lui l Hospial. Analog rezulă penru derivaele de ordin superior. = α 1 (T f, α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 ) = f()ϕ 1 ()d + α 2 f()(α 1 ϕ 1 () + α 2 ϕ 2 ())d = f()ϕ 2 ()d = α 1 (T f, ϕ 1 ) + α 2 (T f, ϕ 2 ), penru orice ϕ 1, ϕ 2 D şi orice α 1, α 2 C. Dacă ϕ n ϕ, în D, aunci prin recere la limiă sub semnul inegralei, (siuaţie posibilă daoriă convergenţei uniforme), rezulă (T f, ϕ n ) = f()ϕ n ()dx f()ϕ()d = (T f, ϕ). Dacă f = u, funcţia uniae, obţinem disribuţia Heaviside. (T u, ϕ) = + 0 f()ϕ()d, ϕ D Deoarece funcţiile de mai sus diferă pe o mulţime finiă, din Lema du Bois aymond, generează aceeaşi disribuţie. 1.9 Folosim lema du Bois aymond Aplicăm definiţia operaţiilor şi lema du Bois aymond Presupunem că exisă o funcţie local inegrabilă, f asfel ca penru orice ϕ D f()ϕ()d = ϕ(0). ω 1 n 1 Fie ϕ n () = ω 1 () = c n e n Din proprieăţile scufiţei, rezulă n 1 1 n 1 1 = ()d = c n e n 2 2 n 1 d De aici rezulă că c n > ne 2 şi c n +. Din ipoeză 1 n 1 n ϕ n (0) = c n e = f()ϕ n ()d. e 1 d = 2c n ne. Fie M = sup f(), [ 1, 1], care exisă, deoarece f ese local inegrabilă; aunci avem c n e = f()ϕ n ()d M ϕ n ()d = M. de aici rezulă că c n ese mărgini, deci ar conrazice la c n.

13 Elemene de eoria disribuţiilor Să arăăm că lim ω 1 ϕ()d = ϕ(0), n + n penru orice ϕ D. Din coninuiaea funcţiei es, penru orice η > 0, exisă ε 0 asfel ca dacă < ε 0, rezulă ϕ() ϕ(o) < η. Avem aunci ω 1 ()ϕ()d ϕ(0) = n de unde rezulă afirmaţia. ω 1 () ϕ() ϕ(0) d < η n 1.13 Acesa rezulă, deoarece penru orice ϕ D, suma a. V p ϕ() ϕ(0) 2 d = V p 2 2 ϕ (θ), θ (0, 1); aunci avem ω 1 ()(ϕ() ϕ(0))d n ω 1 ()d = η, n + n=1 (δ n, ϕ) ese o sumă finiă. ϕ() ϕ (0) ϕ(0) 2 d şi ϕ() = ϕ(0)+ϕ (0)+ ϕ() ϕ (0) ϕ(0) = ϕ (θ) sup ϕ () <. [ A,A] b. şi c. rezulă analog a. Fie ϕ D, aunci ψ() = ϕ() η()ϕ(0), 0 ϕ() η()ϕ(0) lim, = 0 0 (cu η D, η 1 pe V (0)), ese din D. Conform cu exerciţiul 1.7 avem = (T, (T, ϕ) = (T, ϕ() η()ϕ(0)) + (T, η()ϕ(0)) = ϕ() η()ϕ(0) ) + ϕ(0)(t, η()) = ( T, ψ()) + ϕ(0)(t, η()) = = ϕ(0)c = (cδ, ϕ), ϕ D. Deci T = cδ, unde c = (T, η()). ϕ() η()ϕ(0) b. Fie ϕ D arbirar şi, funcţia de la puncul a.; avem (T, ϕ) = (T, ϕ() η()ϕ(0) ) + (T, η()ϕ(0)) = = ( T, ψ()) + ϕ(0)(t, η()) = (δ, ψ()) + ϕ(0)(t, η()) = ψ(0) + cϕ(0). Dar ϕ() η()ϕ(0) ψ(0) = lim Din relaţiile de mai sus rezulă = lim 0 ϕ () = ϕ (0).

14 14 Daniela oşu (T, ϕ) = ϕ (0) + cϕ(0) = (δ, ϕ ) + c(δ, ϕ) = (δ, ϕ) + (cδ, ϕ) = 1.16 ezulă T = cδ δ. c. ( vp 1, ϕ) = (vp1, ϕ) = vp ϕ D şi rezulă vp 1 = T 1. = (cδ δ, ϕ), ϕ D. ϕ() d = ϕ()d = (T 1, ϕ), supp ϕ 2. Derivarea disribuţiilor Definiţia 2.1. Dacă T D, aunci definim derivaa sa de ordin α = (α 1, α n ) prin unde α = α 1 + α n. (D α T, ϕ) = ( 1) α (T, D α ϕ), ϕ D( n ), (15) Cazul n = 1. Dacă T ese o disribuţie pe, aunci derivaa ei de ordin n ese definiă de formula de mai jos (T (n), ϕ) = ( 1) n (T, ϕ (n) ) ϕ D. (16) Exemplul 2.1. Să calculăm densiaea de sarcină corespunzăoare unui dipol puncual de momen dipolar +1 afla pe dreapă în puncul = 0. Soluţie. Aceasa revine la a arăa că δ( ε) δ() lim = δ () ε 0 ε unde limia ese luaă în sens slab; adică, penru orice ϕ D ε) δ() ϕ(ε) ϕ(0) lim(δ(, ϕ) = lim = ϕ (0) = (δ, ϕ ) = (δ, ϕ). ε 0 ε ε 0 ε Sarcina oală ese ( δ, 1) = (δ, 1 ) = (δ, 0) = 0, iar momenul dipolar ese ( δ, ) = (δ, ) = (δ, 1) = 1. Exemplul 2.2. Să calculăm derivaele disribuţiei Dirac. Soluţie. Folosind definiţia avem: (δ (n), ϕ) = ( 1) n ϕ (n) (0).

15 Exemplul 2.3. Să calculăm derivaa disribuţiei Heaviside. Soluţie. Să arăăm că Elemene de eoria disribuţiilor 15 T u = δ. Înr-adevăr ϕ D. + (T u, ϕ) = ϕ ()d = ϕ(0) = (δ, ϕ), 0 Teorema 2.1. Dacă f admie derivaa de ordin n din L 1 loc() şi derivaele f, f, f (n) au în = 0 punc de disconinuiae de prima speţă aunci T (n) f = T f (n) + σ n 1 δ + σ 0 δ (n 1), k = 0,..., n 1. (17) unde σ k = f (k) (0+) f (k) (0 ) ese salul derivaei de ordin k în = 0. Exemplul 2.4. Să calculăm derivaele funcţiei f() = u() cos. Calculăm primele derivae, observând penru începu că în = 0, funcţia nu ese derivabilă. Avem f () = u() sin σ 1 = 0 f () = u() cos σ 2 = 1 f () = u() sin σ 3 = 0. Urmează unde σ 2(k 1) = ( 1) k 1. T (n) f = T u() cos (n) + [ n+1 2 ] k=1 σ 2(k 1) δ n (2k 1), Generalizare. Dacă puncul de disconinuiae ese = a, aunci salurile funcţiei şi ale derivaelor sale se consideră în = a, iar disribuţiile se înlocuiesc cu δ a T (n) f unde σ k = f (k) (a + 0) f (k) (a 0), k = 0,..., n 1. Teorema 2.2. Dacă f D şi T D, aunci are loc: = T f (n) + σ n 1 δ a + σ 0 δ (n 1) a, (18) n (f T ) (n) = Cnf k (n k) T (k). (19) k=0

16 16 Daniela oşu Teorema 2.3. Dacă f funcţie local inegrabilă are pe orice inerval mărgini un număr fini de punce k, k Z de disconinuiae de prima speţă, iar f ese derivabilă pe \ { k }, aunci are loc T f = T f + k Z(f( k + 0) f( k 0))δ k. (20) Exemplul 2.5. Să deerminăm derivaa disribuţiei generae de prelungirea prin periodiciae a funcţiei f 0 : [ 1, 1), f 0 () = pe. Soluţie. Prelungim prin periodiciae funcţia f 0 : [ 1, 1), f 0 () = pe şi noăm cu f prelungirea; aunci ea generează o disribuţie a cărei derivaă după formula precedenă ese T f = T f + k Z(f((2k 1) + 0) f((2k 1) 0)))δ 2k 1 şi cum f = 1 pe \ {2k 1}, avem T f = T 1 2 k Z δ 2k 1. Teorema 2.4. Fie seria f n, f n : C, f n L 1 loc, uniform convergenă pe orice n=1 inerval mărgini din, cu suma f. Aunci f L 1 loc, f n = f, iar seria poae fi n=1 derivaă ermen cu ermen în sensul disribuţiilor, ori de câe ori. Aplicaţie Dacă a k saisface aunci seria rigonomerică a k A k m + B, + k= a k e jk converge în sensul disribuţiilor. Înr-adevăr considerăm seria a 0 m+2 (m + 2)! + + a k k=,k 0 a k e jk (jk) m+2. Deoarece (jk) = a k m+2 k A m+2 k + B, seria ese uniform convergenă pe, deci 2 k m+2 din eorema precedenă poae fi derivaă ermen cu ermen de m + 2 ori, după care găsim rezulaul. Exemplul 2.6. Formula lui Poisson de însumare. Penru orice ϕ D are loc + ϕ(n) = + n= n= + ϕ(ω)e jn2πω dω. (21)

17 Soluţie. Fie h : [0, 2π) funcţia definiă prin: Elemene de eoria disribuţiilor 17 h() = 2 2 4π. Ea admie dezvolare în serie Fourier sub forma complexă h() = + n= Dacă efecuăm calculele, obţinem c n e jn, c n = 1 2π h() = π 6 1 2π + n=,n 0 2π 0 h()e jn d. 1 n 2 ejn. Seria din membrul al doilea poae fi derivaă în sensul eoriei disribuţiilor, deoarece, din ejn n = 1, rezulă uniform convergenă. Vom deriva aceasă serie de două ori; folosind 2 n2 formula (20) şi fapul că prelungirea prin periodiciae a lui h ese coninuă, iar prelungirea prin periodiciae a lui h = 1 2, (0, 2π) ese disconinuă pe \ {2nπ} are loc 2π T h = 1 2π T n= δ 2nπ ( ). Egalând aceasă serie cu derivaa de două ori a seriei anerioare, avem Alegem = 2πω ω 0 1 2π T n= δ 2nπ = 1 2π + T e jn. n=,n 0 şi folosim asemănarea (13) şi (14) disribuţiei Dirac, avem + δ(ω nω 0 ) = 1 T jn n= ω 2πω. 0 e ω 0 n= Dacă paricularizăm ω 0 = 1, penru orice ϕ D are loc numia formulă căuaă. + Exemplul 2.7. Să arăăm că soluţia ecuaţiei ese de forma m T = 0 T = m 1 k=0 c k δ (k) (), c k C. Soluţie. Mai înâi arăăm că T de forma precedenă saisface ecuaţia. Fie ϕ D; k = 0,... m 1 are loc ( m δ (k), ϕ) = (δ (k), m ϕ) = ( 1) k (δ, ( m ϕ) (k) ) = ( 1) k ( m ϕ) (k) =0 = 0.

18 18 Daniela oşu Dacă η D ese 0 înr-o vecinăae a lui = 0, aunci are loc unde m 1 ϕ() = η() k=0 ϕ (k) (0) k + m ψ(), k! m 1 ψ() = m (ϕ() η() k=0 Deoarece ψ D, i se poae aplica formula lui Taylor ϕ (k) (0) k ). k! ψ() = N k=m adevăraă pe vecinăaea lui = 0 aleasă. Fie T o soluţie a ecuaţiei considerae; avem ϕ (k) (0) k m + O( N+1 ), N m k! unde c k = ( 1)k k! (T, η k ) Probleme propuse. m 1 (T, ϕ) = (T, η() k=0 = = m 1 k=0 m 1 k=0 ϕ (k) (0) k ) + (T, m ψ()) = k! ϕ (k) (0) (T, η() k ) + ( m T, ψ) = k! ( 1) k c k ϕ (k) (0) = m 1 k=0 c k (δ (k), ϕ), 3.1 Să se calculeze derivaele disribuţiilor generae de funcţiile: a. u( ) e. b. u( 0 ) f. vp ln c. u( 0 ) g. vp 1 d. sgn h. u()( + 1). 3.2 Deerminaţi derivaele de ordin 1, 2 şi 3 penru disribuţiile generae de a. f = sin, b. g = cos. 3.3 Aflaţi derivaele de ordin n ale disribuţiilor generae de funcţiile a. u() e. [] b. sgn f. u(a ) c. g. 2 u( + 1)u(1 ) d. u()e a h. u() sin.

19 Elemene de eoria disribuţiilor Să se demonsreze relaţiile: a. δ + δ = 0 b. 2δ + 4δ + 2 δ = 0 c. δ (n) = nδ (n 1) d. n δ (n) = ( 1) n n!δ. 3.5 Dacă f ese prelungirea prin periodiciae a funcţiei f 0 : [ 1, 1), f 0 () = sgn pe ; arăaţi că are loc 3.6 Deerminaţi soluţiile ecuaţiilor a. T = 0 b. T (n) = 0, n = 2, 3, Soluţii. T f = 2 δ 2k δ 2k. k Z k Z 3.1 a. T u( ) = δ { 1, 0 b. u( 0 ) = T 0, < u( 0 ) = δ 0 { 0 1, 0 c. u( 0 ) = T 0, > u( 0 ) = δ 0 0 d. T sgn = 2δ e. T sgn f. (vp ln ), ϕ) = (vp ln, ϕ ) = vp ln ϕ ()d = ε = lim( + ) ln ϕ ()d) = ε 0 ε lim ε 0 ( (ln ϕ() ε ε 1 ϕ()d) + (ln ϕ() ε ε ) ϕ() d) ( ε = lim ε 0 ϕ() d + ε ) ϕ() d + lim( ϕ( ε) ln(ε) + ϕ(ε) ln(ε)) = ε 0 = (vp 1, ϕ) + lim(ln(ε))(ϕ(ε) ϕ( ε)). ε 0 Folosind eorema lui Lagrange, egaliaea devine (vp 1, ϕ) + lim 2ε ε 0 ln(ε)ϕ (ξ ε ) = (vp 1, ϕ), ϕ D. g. vp 1 = vp 1 2

20 20 Daniela oşu h. Funcţia ese { 0, < 0 + 1, 0 şi are derivaa T u + δ. 3.2 a. T f = cos T + sin T = cos T + sin T sgn, T f sin, T f = 4δ 3T sgn sin cos = 2T sgn cos b. T g = T sgn cos sin, T g = 2δ 2T sgn sin cos, T g = 2δ 3T sgn cos + sin. 3.3 a. T u = δ, T u (n) = δ (n 1) b. T (n) sgn = 2δ (n 1) c. T (n) = 2δ (n 2) d. T (n) u()e = T a ua n e a + an 1 δ + δ (n 1) e. Funcţia are saluri de valoare 1 în orice număr înreg, iar derivaa ese 0 pe \Z; deci T [] = + k= δ( k), iar derivaa de ordin n ese de forma + k= δ (n 1) ( k). f. Prima derivaa ese δ( + a) δ( a), iar de ordin n ese de forma δ (n 1) ( + a) δ n 1) ( a). g. Prima derivaă ese 2T u(1 ) + δ( 1) δ( + 1), a doua ese T 2u(1 ) 2δ( + 1) 2δ( 1) + δ ( + 1) δ ( 1), iar cea de ordinul 3 2 n, (3 k)! (( 1)k 1 δ (m k) ( + 1) δ (m k) ( 1)), m = 3, 4 k=1 h. T (n) u sin = T u sin (n) + [ n 2 ] k=1 ( 1) k 1 δ (n 2k). 3.4 a. din δ = 0, prin derivare avem δ + δ = 0 b. din 2 δ = 0, prin derivare, 2δ + 2 δ = 0 şi dacă mai derivăm o daă, avem b. c. (δ (n), ϕ) = (δ (n), ϕ) = ( 1) n (δ, (ϕ) (n) ) = = ( 1) n (δ, ϕ (n) + nϕ (n 1) ) = ( 1) n (δ, ϕ (n) ) + ( 1) n n(δ, ϕ (n 1) ) = = n( 1) n 1 (δ, ϕ (n 1) ) = n(δ (n 1), ϕ), ϕ D. d. din (δ) (n) = δ (n) + nδ (n 1), avem δ (n) + nδ (n 1) = 0, iar dacă înmulţim cu şi folosind c., 2 δ (n) = + nδ (n 1) = n(n 1)δ (n 2) epeând raţionamenul, afirmaţia rezulă prin inducţie.

21 Elemene de eoria disribuţiilor Are loc T f = T f + k Z(f(k + 0) f(k 0))δ k şi cum f = 0 pe \{Z}, iar salurile funcţiei sun 2 în numerele 2k şi -2 în 2k 1, rezulă formula. 3.6 a. Din T = 0 deducem ((T, ϕ) = (T, ϕ ) = 0, penru orice ϕ D. Din exerciţiul 1.5 are loc scrierea ϕ(x) = ϕ 0 (x) + ϕ 0 (x)dx = 1. Au loc (T, ϕ) = (T, ϕ ϕ(x)dx + ϕ 1(x) cu ϕ 1, ϕ 0 D şi + ϕ(x)dx + ϕ 1) = (T, ϕ 0 ) ϕ(x)dx + (T, ϕ 1). Dar (T, ϕ 1) = 0, iar (T, ϕ 0 ) = c, deci rezulă (T, ϕ) = c + ϕ(x)dx = (c, ϕ). Aşadar T = c. b. T = c 0 + c 1 x +... c n 1 x n 1. Produsul direc al disribuţiilor 3. Convoluţia disribuţiilor Vom considera clasa funcţiilor es pe 2, adică D( 2 ) = {ϕ : 2, ϕ C ( 2 ), supp ϕ compac} Fie două disribuţii (de o variabilă), definie pe D(); penru orice ϕ D( 2 ) definim funcţionala (S(s) T (), ϕ(s, )) = (S(s), (T (), ϕ(s, ))) (22) Aceasă relaţie defineşe o disribuţie, care se va numi produsul direc al disribuţiilor S, T. Lema 3.1. Fie T D şi ϕ D( 2 ) aunci funcţia ese din D() şi ψ(s) = (T (), ϕ(s, )) ψ (n) (s) = (T (), n ϕ(s, )). (23) sn Teorema 3.1. (Comuaiviaea produsului direc). Dacă S, T D () are loc S(s) T () = T () S(s).

22 22 Daniela oşu Teorema 3.2. (Derivarea produsului direc) Dacă S, T sun două disribuţii, aunci are loc ( s (S(s) T ()) = S () T () = S(s) T () (24) Produsul de convoluţie al disribuţiilor eaminim noţiunea de produs de convoluţie al funcţiilor şi sunem ineresaţi în ce condiţii acesa rezulă o funcţie local inegrabilă. Dacă f, g : C, aunci inegrala improprie cu parameru se numeşe produs de convoluţie. (f g)() = f(s)g( s)ds, (25) Definiţia 3.1. Şirul η k D( 2 ) inde la 1 în 2, dacă a. penru orice compac K 2 exisă n 0, asfel ca η k (s, ) = 1 penru (s, ) K şi k n 0 b. funcţiile η k şi oae derivaele lor parţiale sun uniform mărginie pe 2, adică penru orice α = (α 1, α 2 ) exisă c α asfel ca D α η k (s, ) = α 1+α 2 η k (s, ) α 1 s α 2 c α, k = 1, 2, Definiţia 3.2. Fie S, T D asfel ca penru orice η k D( 2 ) care inde la 1 în 2, exisă limia şirului numeric lim (S(s) T (), η k(s, )ϕ(s + )), ϕ D() (26) k + Valoarea acesei limie o numim produs de convoluţie şi o noăm (S T, ϕ). Teorema 3.3. Fie T D, aunci exisă T δ şi δ T şi are loc T δ = δ T = T. Teorema 3.4. Dacă T, S D şi T are supor compac, aunci convoluţia T S exisă şi ese (S T, ϕ) = (S(s) T (), η()ϕ(s + )), ϕ D, unde η D şi ese 1 înr-o vecinăae a lui supp T. Dacă T n T în D aunci T n S T S.

23 Elemene de eoria disribuţiilor 23 Dacă S n S în D şi S n, S au suporurile incluse înr-o mulţime mărginiă, aunci T S n S. Exemplul 3.1. Penru orice a, b are loc δ a δ b = δ a+b. Soluţie. Înr-adevăr, din eorema precedenă penru o funcţie η egală cu 1 pe o vecinăae a lui {b}, are loc (δ a δ b, ϕ) = (δ a (s) ϕ(b), η()ϕ(s + )) = (δ a (s), (δ b (), η()ϕ(s + )) = (δ a (s), ϕ(s + b)) = ϕ(a + b) = (δ a+b, ϕ). unde η ese o funcţie es egală cu 1 pe o vecinăae a suporului lui δ a Teorema 3.5. ( Liniariaea produsului de convoluţie) Dacă T 1, T 2, T 3 D asfel ca T 1 T 2, T 2 T 3 să fie definie, aunci penru orice λ 1, λ 2 are loc (λ 1 T 1 + λ 2 T 2 ) T 3 = λ 1 T 1 T 2 + λ 2 T 2 T 3. Observaţia. În general convoluţia nu ese o operaţie coninuă de la D la D, după cum rezulă din exemplul urmăor. δ( k) 0, k în D, deoarece ϕ D are loc (δ( k), ϕ) = ϕ(k) 0, k ; pe de ală pare care nu inde la 0. 1 δ( k) = 1, Teorema 3.6. ( Comuaiviaea produsului de convoluţie) Dacă exisă T S, aunci exisă şi S T şi sun egale. Teorema 3.7. ( Derivarea produsului de convoluţie) Dacă exisă T S, aunci exisă T (n) S şi T S (n) şi are loc Consecinţă. Dacă T D, aunci are loc (S T ) (n) = S (n) T = S T (n). T (n) = δ T (n) = δ (n) T. (27) Observaţie. Din exisenţa convoluţiilor T (n) S, T S (n), nu rezulă exisenţa convoluţiei T S, după cum deducem din exemplul de mai jos.

24 24 Daniela oşu T u T 1 = δ T 1 = T 1 T u T 1 = T u 0 = 0. Teorema 3.8. (Translaţia convoluţiei) Dacă exisă S T, aunci exisă şi S(s + h) T (s) şi are loc S(s + h) T (s) = S T (s + h), h. Inroducem o clasă de disribuţii uilă penru aplicaţii ale acesei eorii la rezolvarea unor clase de ecuaţii diferenţiale. Noăm D + = {T D supp T [0, )}. Teorema 3.9. Dacă S, T D + aunci exisă S T, aparţine lui D + şi are loc (S T, ϕ) = (S(s) T (), η 1 (s)η 2 ()ϕ(s + )), ϕ D, unde η 1, η 2 C () şi sun egale cu 1 înr-o vecinăae a semiaxei [0, + ) şi nule penru < 0, suficien de mare în valoare absoluă. Dacă S k D +, S k S, în D, aunci are loc în D. S k T S T, k, Teorema Convoluţia disribuţiilor din D + ese o operaţie asociaivă, adică T 1 (T 2 T 3 ) = (T 1 T 2 ) T 3. Exemplul 3.2. Fie S, T D + două disribuţii cunoscue; să deerminăm U D +asfel ca S U = T. Soluţie. Dacă T = δ, soluţia U dacă exisă o vom noa S 1 şi o vom numi inversa. Dacă exisă inversa S 1, aunci ecuaţia admie soluţie unică de forma Înr-adevăr S 1 T ese soluţie, deoarece U = S 1 T. S (S 1 T ) = (S S 1 ) T = δ T = T. Dacă ar exisa două soluţii, U 1, U 2, aunci din S U 1 = T, S U 2 = T rezulă S (U 1 U 2 ) = 0, de unde S 1 (S (U 1 U 2 )) = (S 1 S) (U 1 U 2 ) = U 1 U 2 = 0 şi deci U 1 = U 2

25 Elemene de eoria disribuţiilor 25 Disribuţii emperae eaminim clasa funcţiilor rapid descrescăoare Are loc S = {f : f C (), C k,q, x k f (q) (x) C k,q }, D S şi în sens opologic, adică din convergenţa şirurilor în D, rezulă şi convergenţa în S. Definiţia 3.3. Numim disribuţie emperaă funcţionala liniară şi coninuă pe S Noăm mulţimea disribuţiilor emperae cu S şi observăm că S D. Exemplul 3.3. Dacă o funcţie are o creşere polinomială, adică exisă două consane a > 0, A > 0 asfel ca f() A a aunci generează o disribuţie emperaă prin formula (T f, ϕ) = + f()ϕ()d <. În paricular polinoamele definesc disribuţii emperae. Spunem că şirul T n converge la T în S dacă (T n, ϕ) (T, ϕ), ϕ S. Exemplul 3.4. Dacă T D are supor compac, ea admie o prelungire unică pe S, ca elemen al lui S, asfel (T, ϕ) = (T, ηϕ), ϕ S, η D, η = 1 pe o vecinăae a suporului lui ϕ. Aceasă funcţională ese coninuă; dacă ϕ k 0, k în S, aunci ηϕ k 0 în D. Se poae demonsra că prelungirea nu depinde de funcţia auxiliară η. Teorema Dacă S, T S şi T are supor compac, aunci S T exisă în S şi are loc expresia (S T, ϕ) = (S(s) T (), η()ϕ(s + )), ϕ S unde η D ese o funcţie oarecare, egală cu 1 pe o vecinăae a suporului lui T.

26 26 Daniela oşu Teorema Dacă S + = D + S şi S, T S +, aunci S T S + şi poae fi reprezena sub forma (S T, ϕ) = (S(s) T (), η 1 (s)η 2 ()ϕ(s + )), ϕ S(), unde η 1, η 2 sun funcţii de clasă C () egale cu 1 înr-o vecinăae a semidrepei poziive [0, + ) şi nule penru < 0, suficien de mare în valoare absoluă. Transformaa Fourier a unei disribuţii emperae Definiţia 3.4. Dacă T ese o disribuţie emperaă, numim ransformaa Fourier, disribuţia noaă F[T ] şi definiă prin (F[T ], ϕ) = (T, F[ϕ]), ϕ S. (28) Formula de mai sus corespunde urmăoarei siuaţii clasice; dacă f S, aunci ransformaa sa Fourier fiind din L 1 loc generează o disribuţie, daă de = (T F, ϕ) = + + F (ω)ϕ(ω)dω = f()e jω dϕ(ω)dω = f()d ϕ(ω)e jω dω = f()f[ϕ]()d = (T f, F[ϕ]). Teorema Transformarea Fourier F : S S ese un izomorfism biconinuu. Exemplul 3.5. Să arăăm că au loc urmăoarele formule: F[δ a ] = T e jaω. (29) F[δ] = T 1 (30) Soluţie. Înr-adevăr 2πδ = F[T 1 ] (31) + (F[δ a ], ϕ] = (δ a, F[ϕ]) = (δ a, ϕ()e jω d) = = + ϕ()e ja d = (T e ja, ϕ), şi prima formulă ese dovediă. Penru a = 0 în (29), deducem a doua formulă. ϕ S

27 Folosind formula de inversare deducem din (30): δ = F 1 [T 1 ] = 1 2π F[T 1]. Asfel rezulă şi ulima afirmaţie. Elemene de eoria disribuţiilor 27 Observăm că funcţia idenic 1 nu are ransformaa Fourier, în imp ce disribuţia generaă, T 1 admie ransformaă Fourier. Teorema (Derivarea ransformaei Fourier) Penru orice T S are loc F (n) [T ] = F[( jω) n T ]. (32) Observaţie. Toae polinoamele admi ransformaă Fourier în sensul disribuţiilor. Teorema (Transformarea derivaei) Penru orice disribuţie emperaă are loc Caz paricular. Dacă T = δ, are loc F[T (n) ] = (j) n F[T ]. (33) F[δ (n) ] = T (j) n. (34) Teorema (Transformarea ranslaţiei) Penru orice disribuţie emperaă are loc F[T ( 0 )] = e j 0 F[T ]. (35) Teorema (Translaţia ransformaei). Penru orice disribuţie emperaă are loc F[T ](ω + ω 0 ) = F[e jω 0 T ](ω). (36) Teorema (Transformarea asemănării). Penru orice disribuţie emperaă are loc F[T (a)](ω) = 1 a F[T ](ω ), a 0. (37) a Teorema (Transformarea convoluţiei). Penru orice disribuţie emperaă T şi S o disribuţie cu supor compac are loc F[T S] = F[T ] F[S]. (38) Un abel al unor ransformae Fourier uzuale ese da în anexa. Exemplul 3.6. Să deerminăm ransformaa Fourier a urmăoareleor disribuţii: 1. T e jx 2 2. T u.

28 28 Daniela oşu Soluţie. Penru prima disribuţie avem, dacă ϕ S cu supp ϕ [ A, A] + (F[T e jx 2 ], ϕ) = (T e, F[ϕ]) = e jx2 F[ϕ](x)dx = jx2 b A A b = lim e jx2 ϕ(ω)e jxω dωdx = lim ϕ(ω) e jx2 jxω dxdω = a,b a A a,b A a A b = ϕ(ω) lim e jx2 jxω dxdω = + π ϕ(ω)e j ω2 π 4 dω. A a,b a Deci ransformaa Fourier ese disribuţia πe j(ω2 π) eaminim ransformaa Fourier penru funcţia u()e a F[u()e a 1 ] = a + jω = 1 j( ω + ja). Dacă recem la limiă penru a 0, aunci ue a u în S, iar operaorul F fiind 1 coninuu deducem în primul membru F[u()], iar al doilea membru inde la j( ω + j0) care din formulele lui Sohoski (6) ese 1 j ( jπδ V p 1 ω ) = πδ jv p 1 ω 4. Soluţii fundamenale ale operaorilor diferenţiali Considerăm ecuaţia diferenţială de ordinul n N cu forma generală unde a i C (), iar T D. Noăm a n ()U (n) + a n 1 ()U (n 1) a 0 ()U = T, (39) şi aunci ecuaţia (39) devine L = a n d (n) d n a 0I L(U) = T. Definiţia 4.1. Numim soluţie generalizaă (în sensul eoriei disribuţiilor) pe inervalul (a, b), orice disribuţie S D care saisface (a n ()S (n) + a n 1 ()S (n 1) a 0 ()S, ϕ) = (T, ϕ), ϕ D(a, b).

29 Elemene de eoria disribuţiilor 29 Ese eviden că orice soluţie clasică ese soluţie şi în sensul disribuţiilor. eciproca ese daă de umăoarea lemă. Lema 4.1. Dacă T = T f cu f C(a, b) şi soluţia generalizaă ese de forma S = T y unde y C m (a, b), aunci y ese şi soluţie clasică a ecuaţiei diferenţiale asociae. Considerăm ecuaţia cu coeficienţi consanţi a n S (n) a 0 S = T, a 0,..., a n C. (40) Definiţia 4.2. Numim soluţie fundamenală a ecuaţiei (40) disribuţia U care saisface L(U) = δ. (41) Soluţia fundamenală nu ese unică, ci ese deerminaă până la o soluţie arbirară a ecuaţiei L(V ) = 0. Lema 4.2. U ese o soluţie fundamenală penru L dacă şi numai dacă ransformaa Fourier saisface n a k (jω) k F[U] = 1. (42) k=0 Aceasă lemă reduce rezolvarea ecuaţiei liniare cu coeficienţi consanţi la rezolvarea unor ecuaţii algebrice de forma P (ω)x = 1 unde P (ω) ese un polinom oarecare. Consrucţia unei soluţii fundamenale ese daă de urmăoarea eoremă. Teorema 4.1. Fie y = y(x) soluţia problemei Cauchy a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 0 y = 0 y(0) =... = y (n 2) (0) = 0 y (n 1) (0) = 1. Aunci disribuţia generaă de u(x)y(x) ese soluţie fundamenală. (43) Teorema 4.2. Fie U soluţie fundamenală a operaorului L şi T D asfel că exisă convoluţia U T. Aunci soluţia ecuaţiei (40) ese S = U T şi ese unică în clasa de disribuţii din D penru care exisă convoluţia. Exemplul 4.1. Să rezolvăm ecuaţia T + 2T + T = 2δ + δ.

30 30 Daniela oşu Soluţie. Penru soluţia fundamenală asociem problema Cauchy y (x) + 2y + y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1, cu soluţia y(x) = c 1 e x + c 2 xe x. După folosirea condiţiilor iniţiale avem y(x) = e x, iar soluţia fundamenală ese U = T u(x)y(x), iar a problemei ese T = U (2δ + δ ) = 2U + U = T u(x)(x + 1)e x. Problema Cauchy Considerăm ecuaţia diferenţială cu coeficienţi consanţi a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 0 y = f(), 0 cu condiţiile iniţiale y (k) (0) = y k, k = 0, n 1. Funcţia f ese presupusă coninuă pe [0, + ). Prelungim pe y şi pe f cu 0, pe inervalul (, 0), ceea ce revine la înmulţirea lor cu funcţia uniae. Noăm cu ỹ şi f prelungirile funcţiilor y şi f. Aunci au loc, dacă folosim (17) relaţiile: Transformând ecuaţia, obţinem unde T (k) ỹ = T ỹ (k) + k y k δ (k j), k = 1,... n. j=1 L(Tỹ) = T f + n 1 k=0 c k δ (k), c 0 = a n 1 y a 1 y n 2 + y n 1 c n 2 = a 1 y 0 + y 1 c n 1 = y 0. Asfel problema Cauchy se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de ipul (40) Probleme propuse. 4.1 Arăaţi că dacă f, g : C asfel ca f, g L 1 loc(), aunci f g exisă şi ese o funcţie absolu inegrabilă pe. 4.2 Dacă f, g : C, f, g L 1 loc() şi f() = g() = 0, < 0, aunci f g L 1 loc(). 4.3 Dacă f, g : C asfel ca f, g L 1 loc() şi una dinre funcţii are supor compac, aunci f g L 1 loc. 4.4 Penru orice disribuţie T au loc a. δ( a) T () = T ( a). b. δ (n) ( a) T = T (n) ( a).

31 Elemene de eoria disribuţiilor Dacă disribuţiile S şi T admi produs de convoluţie, aunci are loc (T S) (m+n) = T (m) S (n). 4.6 Arăaţi că penru orice a are loc: δa δ a T = T. 4.7 Să se calculeze urmăoarele produse de convoluţie: a) Tu Tu b) Tu T u 2 c) T u cos T u 3 d) T u sin T u sh 4.8 Arăaţi că dacă f, g L 1 loc ese adevăraă afirmaţia e a T f e a Tg = e a T f g. 4.9 Să se rezolve în clasa D + ecuaţiile a. T + 4T = δ b. T 4T = 2δ + δ c. T 3T + 2T = 2δ 4.10 Să considerăm un circui elecric LC (în serie) coneca la momenul = 0 la o sursă de ensiune consană E 0. Inensiaea i() verifică ecuaţia Li () + i() + 1 C 0 i(s)ds = u()e 0 Deduceţi (prin derivare) că inensiaea verifică în sens disribuţional ecuaţia LT i + T i + 1 C T i = E 0 δ Arăaţi că operaorul L = d d +a are ca soluţie fundamenală disribuţia T u e a Arăaţi că operaorul L = d2 d + 2 a2 T sin a. u a 4.13 ezolvaţi problema Cauchy 4.14 ezolvaţi problema Cauchy y () + ay() = f(), 0 y(0) = y 0. y () + a 2 y() = f(), 0 y(0) = y 0 y (0) = y 1. are ca soluţie fundamenală disribuţia

32 32 Daniela oşu 4.15 Folosind { recerea la disribuţii să se rezolve problemele Cauchy: y a. + 3y = e 2, 0 y(0) = 0 y + 5y + 6y = 12 b. y(0) = 2, 0 y (0) = 0 y 3y 2y = cos y(0) = 1 c. y, 0 (0) = 1 y (0) = 2 d. e. y + y = f(), 0 y(0) = a y (0) = y (0) = 0 y y y + y = e y(0) = 1 y (0) = 2 y (0) = 1, cu f() =, 0 2 cos, [0, π] 2 sin, (π, 2π] 0, în res y + y = f(), [0, 1] f. y(0) = 0 unde f() = 2 + 1, (1, 2] y (0) = 1 0, în res 4.16 Arăaţi că urmăoarele disribuţii au inversele specificae alăura. a. T = δ λδ, λ T 1 = T u()e λ b. T = T u() cos T 1 = δ + T u 4.17 ezolvaţi ecuaţia T + 2T + T = 2δ + δ folosind ransformaa Fourier ezolvaţi ecuaţia n T = 0 folosind ransformaa Fourier Soluţii. 4.1 Înr-adevăr, f g() d = f(s)g( s)ds d f(s) g( s) dsd = = f(s) ds g( s) d = f(s) ds g(u) du <. 4.2 Să observăm penru începu, că dacă f() = g() = 0, penru < 0, aunci f(s)g( s)ds = 0 f(s)g( s)ds şi inegrala ese definiă. Penru a arăa că ese o funcţie local inegrabilă, fie A > 0 şi să calculăm A A f g()d = f g()d A 0 A 0 0 f(s) g( s) dsd =

33 Elemene de eoria disribuţiilor 33 = A 0 A A A s f(s) ds g( s) d = f(s) ds g(u) du < +, s 0 0 deci f g ese local inegrabilă. 4.3 Înr-adevăr, presupunem că supp f [ A 1, A 1 ]; aunci f(s)g(s )ds = A1 A 1 f(s)g( s)ds exisă şi deci produsul ese bine defini; fie acum A > 0; să arăăm că produsul ese inegrabil pe [ A, A]. A A1 A A1 f(s)g( s)d f(s) g( s)dsd = A A 1 A A 1 = A1 A 1 f(s) ds A A g( s) d = A1 A 1 f(s) ds A s A s g(x) dx A1 A 1 f(s) ds A+A1 A A 1 g(x) dx, de unde afirmaţia. 4.4 a. ezulă prin paricularizarea eoremei de ranslare a convoluţiei, iar b. din eorema de derivare a convoluţiei. 4.5 Au loc relaţiile (T S) (m+n) = ((T S) (m) ) (n) = (T S (m) ) (n) = T (n) S (m). 4.6 Doarece δ a δ a = δ, afirmaţia rezulă imedia. 4.7 a. T u b. T u 3 3 c. T u ( cos 6) d. Tu (sh sin ) Prin efecuarea produsului de convoluţie obţinem + e ay f(y)e a(x y) g(x y)dy = e ax f(y)g(x y)dy = e ax f g(x). 4.9 { a. Se obţine soluţia fundamenală. Soluţia problemei Cauchy y + 4y = 0 sin 2 ese y() =, iar soluţia problemei iniţale ese y(0) = 1 2 disribuţia T sin 2. u 2

34 34 Daniela oşu { b. Soluţia problemei Cauchy y 4y = 0 e2 y(0) = 1, y ese y() =, iar soluţia problemei ese (0) = 1 4 disribuţia. Tu e2 4 { c. Soluţia problemei Cauchy y 3y + y = 0 y(0) = 1, y (0) = 1 ese y() = e2 e, iar soluţia problemei ese disribuţia T u (e 2 e ) Prin derivarea în sens disribuţional şi ţinând con de fapul că derivaa disribuţiei Heaviside ese Dirac rezulă afirmaţia Are loc 4.12 Avem T u e a + at u e a = T u ae a + δ + at u e a = δ. T sin a + a 2 T sin a = δ. u u a a 4.13 Transformăm ecuaţia folosind T y = T y + y 0 δ. Problema revine la rezolvarea ecuaţiei: cu soluţia fundamenală U = T u e a T y + at y = T f + y 0 δ şi soluţia U (T f + y 0 δ) = T 0 e as f( s)ds + y 0T u e a După ransformări, ecuaţia devine T y + a 2 T y = T f + y 1 δ + y 0 δ care, dacă ţinem seama de exerciţiul 4.12 are soluţia T u sin a a (T f + y 1 δ + y 0 δ ) = a T 1 f(s) sin( s)ads + y 1T sin a + y 0 T u cos a. u a 0 a 4.15 a. Fie disribuţia T y ; avem T y = T y şi ecuaţia devine T y + 3T y = T u()e 2, penru care soluţia ese T y = U T u()e 2. Soluţia fundamenală ese U = T u()e 3 şi obţinem T y = T u()(e 2 e 3 ). b. Penru T y derivaele sun T y = T y + 2δ şi T y = T y + 2δ ; ecuaţia devine T y + 5T y + 6T y = 12T u() + 2δ + 10δ. Soluţia fundamenală ese U = T u()(e 2 e 3 ) şi soluţia ese T y = T 2u(). c. Ecuaţia ransformaă ese

35 Elemene de eoria disribuţiilor 35 T y 3T y 2T y = T u() cos δ δ + δ cu soluţia fundamenală U = T 1 9 (e2 (3+1)e ). Efecuând produsul de convoluţie obţinem soluţia T y = T u()f(), unde f() = ( ) cos ( ) sin + ( )e e2. d. Ecuaţia devine g() = T y + T y = T f() + δ + δ şi are soluţia fundamenală U = T u()(1 cos ). Avem T u()(1 cos ) T f() = T g() unde 0, (, 0) sin cos, [0, π] sau încă (π + 2) cos + (π ) sin 2, (π, 2π] π cos π sin 4, (2π, + ) g() = (sin cos )u() + ((π 1) sin (π + 2) cos )u( π)+ +(2 cos (2π ) sin 2)u( 2π). Apoi avem U (δ +δ ) = U +U = T u()(1 cos ) +T u() cos = T u(). Soluţia problemei ese T u()+g(). e. După ransformări avem T y T y T y + T y = T u()e + 3δ δ, penru care soluţia fundamenală ese U = 1 4 T u()((2 1)e +e ) iar T y = T u()f() cu f() = e ( ) + e ( ). f. Ecuaţia T y + T y = T f() + δ are soluţia T y = T u() sin T f() + T u() sin. După calcule obţinem T = T g() unde g() = u() + (1 2 + cos( 1) + 2 sin( 1))u( 1)+ +( 1) cos( 2) sin( 2))u( 2).

36 36 Daniela oşu 4.16 a. Are loc (δ λδ) T u()e λ = T u()e λ λt u()e λ = δ b. Avem de verifica egaliaea T u() cos (δ + T u ) = T u() cos + T u() cos T u = = T u() sin + δ + T u() sin = δ Aplicăm ransformaa Fourier. Obţinem (jω) 2 F + 2jωF + F = 2 + jω, unde F = F[T ] ese ransformaa lui T. Deducem F = 2 + jω (1 + jω) = 1 2 (1 + jω) jω. Dar, din cazul clasic jω = F[u()e ], iar 1 (1 + jω) = 1 2 j ( jω ) = jf[ (j)u()e ] = F[u()e ]. Deducem că F = F[u()(1 + )e ], iar prin inversare T = u()(1 + )e Aplicăm ransformaa Fourier şi obţinem F (n) [T ] = 0. Din exercţiul 3.6 deducem că ransformaa ese de forma c 0 + c c n 1 x n 1, de unde prin inversare găsim = c 0 δ + c 1 δ +... c n 1 δ (n 1).