J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
|
|
- ᾍιδης Μήτζου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele x = ρ sin ϕ cos θ polare în spaţiu: y = ρ sin ϕ sin θ, ρ > 0, ϕ [ π, π], θ [0, π). z = ρ cos ϕ F este diferenţiabilă pe D deschis R + [ π, π] [0, π) deoarece f 1, f, f 3 : R + [ π, π] [0, π) R sunt diferenţiabile pe D (fiind de clasă C 1 ), unde f 1 (ρ, ϕ, θ) = ρ sin ϕ cos θ, f (ρ, ϕ, θ) = ρ sin ϕ sin θ, f 3 (ρ, ϕ, θ) = ρ cos ϕ. sin ϕ cos θ ρ cos ϕ cos θ ρ sin ϕ sin θ J F (ρ, ϕ, θ) = = sin ϕ sin θ ρ cos ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ cos ϕ ρ sin ϕ 0 f 1 ρ f f 1 ϕ f f 1 θ f ρ f 3 ρ ϕ f 3 ϕ θ f 3 θ det J F (ρ, ϕ, θ) = D(f1,f,f3) D(ρ,ϕ,θ) = ρ sin ϕ. sin ϕ cos θ ρ cos ϕ cos θ ρ sin ϕ sin θ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ cos ϕ ρ sin ϕ 0 = Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis R n deschis R m, G : R p şi a D. Dacă F este diferenţiabilă în a şi G este diferenţiabilă în b = F, atunci aplicaţia compusă G F : D R p este diferenţiabilă în a şi d(g F ) = dg(f ) df. Demonstraţie. Deoarece F este diferenţiabilă în a, un operator liniar T = df : R n R m şi o funcţie α : D R m aşa ca lim α(x) = α = 0 şi x D, F (x) = F + T (x a) + α(x) x a. Analog, deoarece G este diferenţiabilă în b = F, un operator liniar S = dg(b) : R m R p şi o funcţie β : R p aşa ca limβ(y) = β(b) = 0 şi y b y, G(y) = G(b) + S(y b) + β(y) y b. Pentru orice x D, fie y = F (x). Prin urmare, x D, (G F )(x) = (G F ) + S(F (x) F ) + β(f (x)) F (x) F, de unde (G F )(x) = (G F ) + (S T )(x a) + x a S(α(x)) + +β(f (x)) T (x a) + α(x) x a. { T (x a)+α(x) x a S(α(x)) + β(f (x)) Fie γ(x) = x a, x D\{a} 0, x = a. Deoarece S T = dg(f ) df : R n R p este operator liniar, rămâne de arătat că lim γ(x) = 0. Într-adevăr, avem: lim S(α(x)) = S(0) = 0 (S este operator liniar, deci continuu). De asemenea, T (x a) + α(x) x a x a 1 T (x a) x a + α(x) L + 1
2 (orice operator liniar este funcţie lipschitziană iar lim α(x) = 0). În plus, β(f (x)) = 0 (deoarece limβ(y) = β(b) = β(f ) = 0 şi F este diferenţiabilă, lim y b deci continuă în a). Prin urmare, G F : D R p este diferenţiabilă în a şi, mai mult, d(g F ) = dg(f ) df = S T. Consecinţa 1. În condiţiile teoremei anterioare, J G F M p,n(r) = J G (F ) M p,m(r) J F. M m,n(r) Demonstraţie. Afirmaţia rezultă imediat folosind teorema anterioară, faptul că matricea jacobiană este de fapt matricea asociată diferenţialei în punct (care este operator liniar) şi faptul că dacă T : R n R m, S : R m R p sunt aplicaţii liniare, atunci S T : R n R p este aplicaţie liniară şi A S T = A S A T. Observaţie. Formula anterioară exprimă concentrat toate regulile posibile de derivare (parţială) compusă pe care le vom obţine prin particularizări convenabile. Derivatele parţiale compuse se utilizează în teoremele ecuaţiilor cu derivate parţiale, la transformarea ecuaţiilor diferenţiale prin schimbări de variabile etc. Consecinţa. În condiţiile teoremei anterioare, dacă în particular m = n = p, F = (f 1, f,..., f n ), G = (g 1, g,..., g n ), H = G F = (h 1, h,..., h n ), unde h i (x 1, x,..., x n ) = g i (f 1 (x 1, x,..., x n ), f (x 1, x,..., x n ),..., f n (x 1, x,..., x n )), i = y 1 y y n 1, n, atunci D(h 1, h,..., h n ) D(x 1, x,..., x n ) = D(g 1, g,..., g n ) D(y 1, y,..., y n ) (b) D(f 1, f,..., f n ) D(x 1, x,..., x n ). Demonstraţie. Afirmaţia rezultă imediat trecând la determinanţi în consecinţa anterioară şi folosind faptul că determinantul produsului a două matrici este egal cu produsul determinanţilor matricilor. Consecinţa 3. Fie f : D deschis R deschis R, f(t) = (u(t), v(t)), t D, g : R. Dacă f este diferenţiabilă pe D şi g este diferenţiabilă pe, atunci h = g f : D R, h(t) = g(f(t)) = g(u(t), v(t)) este derivabilă pe D şi h (t) = g u (u(t), v(t)) u (t) + g v (u(t), v(t)) v (t), t D. Demonstraţie. Din Consecinţa 1, avem J h (t) = J g (f(t)) J f (t), ceea ce ( ) ( ) antrenează h (t) = g g u u v (t) v = g (t) u u (t) + g v v (t), t D. Consecinţa 4. Fie F : D deschis R deschis R, F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)), (x, y) D, G : R.
3 Dacă F este diferenţiabilă pe D şi G este diferenţiabilă pe, atunci H = G F : D R, H(x, y) = G(F (x, y)) = G(u(x, y), v(x, y)) este diferenţiabilă pe D şi { H = G u u + G v v, H y = G u u y + G v v y, (x, y) D. Demonstraţie. Din Consecinţa 1, avem J H (x, y) = J G (F (x, y)) J F (x, y), ( ) H H ceea ce antrenează y = ( ) ) ( u u G G y u v, (x, y) D, de unde concluzia. v v y TEOREMA LUI SCHWARZ. TEOREMA LUI YOUNG. Aşa cum am observat anterior, nu este neapărat obligatoriu ca derivatele parţiale mixte pereche de ordin ale unei funcţii într-un punct să coincidă. Totuşi, în cele ce urmează, vom indica două condiţii suficiente diferite care asigură egalitatea derivatelor parţiale mixte pereche de ordin ale unei funcţii într-un punct. Teorema lui Schwarz. Fie f : D deschis R n R, a D. Dacă j, f j (i, j = 1, n, i j) şi sunt finite pe o întreagă vecinătate deschisă V = V D şi dacă sunt continue în a, atunci f j = f j. Observaţie. Condiţiile din Teorema lui Schwarz sunt suficiente, dar nu neapărat necesare: { Fie f : R y R, f(x, y) = ln(1 + x y ), y 0. 0, y = 0 Derivatele parţiale mixte de ordinul ale lui f nu sunt continue în (0, 0) şi totuşi f y (0, 0) = f y (0, 0). Definiţie. Fie f : D deschis R n R. Spunem că: i) f este de clasă C k (k ) pe D (şi notăm aceasta prin f C k (D)) dacă f este parţial derivabilă de ordin k (în raport cu toate variabilele) pe D şi toate aceste derivate parţiale de ordin k sunt continue pe D; ii) f este de clasă C pe D (şi notăm aceasta prin f C (D)) dacă f C k (D), k 0. Consecinţă. Din Teorema lui Schwarz rezultă că dacă f C (D), D deschis R n, atunci f j = f j, a D, i, j = 1, n, i j. Teorema lui Young. Fie f : D deschis R n R, a D. Dacă f este derivabilă parţial (în raport cu toate variabilele) pe o vecinătate deschisă 3
4 V = V D a punctului a şi dacă toate derivatele parţiale f, i = 1, n sunt diferenţiabile în a, atunci f j = f j, i, j = 1, n, i j. Consecinţă. Dacă f C (D), D deschis R n, atunci a D, i, j = 1, n, i j. Interpretarea geometrică a diferenţialei. j = f j, Amintim pentru n = 1, interpretarea geometrică a derivatei unei funcţii într-un punct: dreapta de ecuaţie y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) este tangenta în (x 0, f(x 0 ) la graficul funcţiei f : D R R derivabile în punctul x 0 D. Vom prezenta în cele ce urmează interpretarea geometrică a diferenţialei unei funcţii de două variabile: Fie f : D R R diferenţiabilă în (x 0, y 0 ) D. Atunci graficul său admite un plan tangent în punctul (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )), de ecuaţie z f(x 0, y 0 ) = f (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR. Fie f : D deschis R n R diferenţiabilă într-un punct a D şi i = 1, n, fie pr i : R n R, h = (h 1,..., h n ) R n pr i (h) = h i R (aplicaţiile de proiecţie). Întrucât df(h) = n f h i, rezultă că df = n f pr i. Dar aplicaţiile de proiecţie fiind în mod evident operatori liniari, avem d(pr i ) = pr i, i = 1, n, deci df = n f d(pr i ) = n f dx i, sau, scris funcţional, Particularizări: 1) n = : df = f df = n f dx i. not. (prin convenţie) = dx i f dx + y dy; df(a 1, a ) = f (a 1, a )dx + f y (a 1, a )dy, y (a 1, a )h ; df(a 1, a )(h 1, h ) = f (a 1, a )h 1 + f ) n = 3 : df = f dx + f y dy + f z dz; df(a 1, a, a 3 ) = f (a 1, a, a 3 )dx + f y (a 1, a, a 3 )dy + f z (a 1, a, a 3 )dz, df(a 1, a, a 3 )(h 1, h, h 3 ) = f (a 1, a, a 3 )h 1 + f y (a 1, a, a 3 )h + f z (a 1, a, a 3 )h 3. 4
5 Definiţie. Spunem că f este de ori diferenţiabilă în a D dacă f este diferenţiabilă (deci derivabilă parţial în raport cu toate variabilele) pe o vecinătate deschisă V = V D şi toate derivatele parţiale (de ordinul I) sunt diferenţiabile în a. În acest caz, numim diferenţiala de ordinul II a lui f în punctul a, funcţia d f : R n R definită pentru orice h = (h 1,..., h n ) R n prin d f(h) = n j=1 n h i h j (= ( j (=a ij) n f h i ) () ), unde expresia din paranteză se ridică formal la puterea a doua după o formulă clasică de tip binomial, în care puterea semnifică ordinul de derivare. Deoarece j = f j, i, j = 1, n (datorită Criteriului lui Young), rezultă că d f este o formă pătratică, iar matricea asociată acestei forme pătratice este H f = ( ) f = j i,j=1,n 1 1 n n n n... f n, numită matricea hessiană asociată funcţiei f în punctul a. Observăm că este o matrice pătratică simetrică. 1) Dacă f este funcţie de două variabile, atunci d f f(h) = (h 1 + h f y )() = = f h 1 + f y h + f y h 1h, d f = f dx + f y dy + f y dxdy, ) Dacă f este funcţie de trei variabile, atunci d f f(h) = (h 1 + h f y + h f 3 z )() = = f h 1 + f y h + f z h f y h 1h + f y z h h 3 + f z h 1h 3, 5
6 d f = f dx + f y dy + f z dz + + f y dxdy + f y z dydz + f z dxdz. Definiţie. Fie a D şi f : D deschis R n R. i) Spunem că f este de q ori diferenţiabilă ( q ) în a dacă f este diferenţiabilă de (q 1) ori pe o vecinătate deschisă V = V D şi toate derivatele parţiale de ordin (q 1) ale lui f sunt diferenţiabile în a. În acest caz, numim diferenţiala de ordin q a lui f în punctul a, aplicaţia d q f : R n R, definită pentru h = (h 1, h,..., h n ) R n, prin d q f(h) = ( n f h i ) (q), unde expresia din paranteză se ridică formal la puterea simbolică q după o formulă clasică de tip binomial, în care puterea exprimă ordinul de derivare. ii) Spunem că f este de q ori diferenţiabilă ( q ) pe D dacă f este de q ori diferenţiabilă în orice punct din D. Observaţie. i) La fel ca pentru cazul q =, din Teorema lui Young rezultă că derivatele parţiale mixte pereche de ordin q sunt egale (în a). ii) Dacă n =, q = 3, (a = (a 1, a ), h = (h 1, h )) atunci d 3 f f(h) = (h 1 + h f y )(3) = = 3 f 3 h f y 3 h f y h 1h + 3 f y h 1h, d 3 f = 3 f 3 dx3 + 3 f y 3 dy f y dx dy + 3 f y dxdy. FORMULA LUI TAYLOR PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE VARI- ABILE REALE. Să reamintim pentru început formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin q pentru funcţii reale de o singură variabilă reală. Teoremă (Taylor). Presupunem că I R este un interval deschis, a I şi f : I R este de (q + 1) ori derivabilă pe I. Atunci x I, c (a, x) (sau (x, a)) astfel încât 6
7 f(x) = f+ f (x a)+ f 1!! (x a) f (q) (x a) q + f (q+1 (c) (x a)q+1. q! (q + 1)! rest Lagrange de ordin q Teoremă (Taylor). Presupunem că D R n este o mulţime deschisă, a D ( S(a, r) D)) şi f : D R este de (q + 1) ori diferenţiabilă pe S(a, r). Atunci x S(a, r), ξ (a, x) (sau (x, a))(segmentul deschis din R n de capete a, x) astfel încât f(x) = f + 1 1! df(x a) + 1! d f(x a) q! dq f(x a) (q + 1)! d(q+1) f(ξ)(x a). rest Lagrange de ordin q Probleme propuse. 1. Arătaţi că funcţiile următoare verifică ecuaţiile indicate: i) f(x, y) = ϕ( y x ) : xf x + yf y = 0; ii) f(x, y) = xyϕ(x y ) : xy f x + x yf y = (x + y )f; iii) f(x, y) = xy + xϕ( y x ) : xf x + yf y = xy + f.. Arătaţi că funcţia f(x, y) = ϕ(x ay) + ψ(x + ay), unde funcţiile ϕ, ψ admit derivate parţiale de ordin II, satisface ecuaţia f y = a f x. 3. Arătaţi că funcţia u = 1 y f(4x + z y ) verifică relaţia u y + u z = Arătaţi că funcţia f(x, y, z) = ϕ(xy, x + y z ) verifică relaţia xz f yz f y + (x y ) f z = Calculaţi f, f y pentru: i) f(u, v) = ln(u + v), u = u(x, y) = e x+y, v = v(x, y) = x + y; ii) f(u, v) = arctg u v, u = u(x, y) = x sin y, v = v(x, y) = x cos y. 6. Arătaţi că dacă f : R R este diferenţiabilă, atunci funcţia w = f(x + y, x y) are derivate parţiale ce verifică relaţia w w y = ( f u ) ( f v ), unde u = u(x, y) = x + y, v = v(x, y) = x y. 7. Calculaţi f (x) dacă f(x) = ϕ(u(x), v(x)), pentru: i) ϕ(u, v) = u + uv, u = u(x) = cos x, v = v(x) = sin x; ii) ϕ(u, v) = e u v, u = u(x) = x, v = v(x) = x. 7
8 8. Cercetaţi dacă funcţia f(x, y) = e y ϕ(ye x y ) verifică relaţia (x y ) f xy f y = xyf Cercetaţi dacă funcţiile următoare verifică ecuaţiile indicate: i) f(x, y) = xϕ(x + y) + yψ(x y) : f f y + f y = 0; ii) f(x, y) = ϕ(xy) + xyψ( y x ) : x f y f y = 0. { 10. Fie f : R R, f(x, y) = y ln(1 + x y ), y 0 0, y = 0. Arătati că: i) derivatele parţiale mixte de ordinul ale lui f nu sunt continue în (0, 0); ii) f y (0, 0) = f y (0, 0). 11. Fie f : R 3 R, f(x, y, z) = x cos(y sin z). Motivaţi diferenţiabilitatea funcţiei f şi, în caz afirmativ, calculaţi df(0, π, π). 1. a) Fie f : R R, f(x, y) = e x cos y şi fie (x 0, y 0 ) arbitrar. Calculaţi df(x 0, y 0 ), d f(x 0, y 0 ), df(x 0, y 0 )(h 1, h ), d f(x 0, y 0 )(h 1, h ), d 3 f(x 0, y 0 ), d 3 f(x 0, y 0 )(h 1, h ), unde (h 1, h ) R este oarecare. b) Fie f : R 3 R, f(x, y, z) = e x sin y cos z şi fie (x 0, y 0, z 0 ) arbitrar. Calculaţi df(x 0, y 0, z 0 ), d f(x 0, y 0, z 0 ), df(x 0, y 0, z 0 )(h 1, h, h 3 ), d f(x 0, y 0, z 0 )(h 1, h, h 3 ), unde (h 1, h, h 3 ) R 3 este oarecare. 13. Folosind formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin, calculaţi valoarea aproximativă pentru: i) (0, 95),01 ; ii) (1, 0) 3,01 ; iii) 1, , Scrieţi formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin pentru f : R R, f(x, y) = e x sin y în (0, 0). 15. Justificaţi aproximarea arctg( x+y 1+xy ) x + y, în vecinătatea lui (0, 0). 8
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραAPLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE
1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE
Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Noţiunea de derivată, elementul fundamental al calculului diferenţial, are o deosebită importanţă în studiul matematic al mărimilor variabile. Problemele principale care
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραFie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).
Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan
CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότερα1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45
Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE
CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă
Διαβάστε περισσότερα1Ecuaţii diferenţiale
1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile
Διαβάστε περισσότερα4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36
Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότερα7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραIon CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM
Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραCURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II
CURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II. Utiizarea transformării Lapace Să considerăm probema hiperboică de forma a x + b x + c + d = f(t, x), (t, x) [, + )
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραNOŢIUNI INTRODUCTIVE
1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2. Integrala stochastică
Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραFişier template preliminar
logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. 1. Probleme. ω2 s s 2, Re s > 0; (4) sin ωt σ(t) ω. (s λ) 2, Re s > Re λ. (6)
SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. Probleme. Foloind proprieaea de liniariae, ă e demonreze urmăoarele: in σ(, Re > ; ( + penru orice C. co σ( h σ( ch σ(, Re > ; ( +, Re > ; (3, Re > ; (4. Să e arae că penru
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότερα