3. CONVOLUŢIA. Sinteza semnalului de intrare Produsul intre un impuls Dirac intarziat cu k si semnalul x[n] extrage valoarea esantionului x[k]:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. CONVOLUŢIA. Sinteza semnalului de intrare Produsul intre un impuls Dirac intarziat cu k si semnalul x[n] extrage valoarea esantionului x[k]:"

Θάλεια Πολίτης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 3. COVOLUŢIA Inroducem operaia de convoluţie in imp discre (suma de convoluie) si in imp coninuu (produsul de convoluie). Calculul răspunsului sisemelor liniare şi invariane in imp, la un semnal de inrare oarecare. hp://shannon.ec.up.ro/eaching/ssis/cap3.pdf Suma de convoluţie Sineza semnalului de inrare Produsul inre un impuls Dirac inarzia cu si semnalul x[n] exrage valoarea esanionului x[]: 0 x n n x n x n n x n Semnalul x[n] ese o suma de esanioane plasae la oae valorile posibile: x n x n

2 Consideram un sisem liniar S d, inrare x[n], iesire y[n] x[n] Raspunsul sisemului la impulsul uniar, δ[n], sau raspunsul la impulsul uniar (funcie pondere), h[n]: δ[n] δ[n-] S d Sisem liniar S d SLIT S d Sisem liniar y[n] h[n] In plus daca sisemul ese si invarian in imp, raspunsul la impulsul uniar inarzia: h[n-] 3 Răspunsul sisemelor discree liniare şi invariane în imp (SLITD) la un semnal de inrare oarecare yn Sdxn Sd xn x Sd n xhn x[n] h[n] Sisem SLIT (LTI sysem) y[n] Suma de convoluie sau convoluia in imp discre: y n x h n x n h n h n x n

Suporul (duraa) semnalului: un semnal are valori semnificaive (posibil si unele

3 Exemplul ) Convoluia are duraa finia x yn x yn Doua semnale cu duraa finia si Convoluia are duraa + -. Suporul (duraa) semnalului: un semnal are valori semnificaive (posibil si unele nule), dar dupa care valorile sun idenic nule 5 n x n a n Exemplul ) Convoluia are duraa infinia hn n n n a 0 n xhn a a n n a n xh n a a n a 6 3

4 Semnale digiale cauzale Daca semnalul de inrare, respeciv sisemul, sun cauzale, semnalul de iesire ese si el cauzal: 0 and 0, 0 x n h n n y n x h n Daca sisemul ese cauzal: n 0 h n 0, n 0 h n h n n, n Z y n x n h x h n 0 n 7 BIBO Sabiliaea Sisem sabil: Dacă semnalul de inrare ese mărgini aunci şi răspunsul rebuie să fie mărgini, bounded inpu bounded oupu (BIBO) Condiia de BIBO sabiliae Un sisem digial SLITD ese sabil daca si numai daca raspunsul sau la impuls ese absolu sumabil: h,h n l 8 4

5 Sabiliaea acumulaorului hn n yn n x n xn - cauzal, yn x, acumulaor 0 xn n yn n nn 0 Acumulaorul ese insabil. Semnalul de iesire nu ese margini Folosi in pracica: Se limieaza inervalul de insumare n, sau, din cand in cand se pune semnalul de iesire pe zero. Proprieai. Elemenul neuru Impulsul Dirac [n] ese elemen neuru penru convoluie. x[n]* [n] = x[n], penru orice semnal x[n] δ[n] h[n] h[n] h[n] raspunsul la impuls al sisemului. 0 5

6 Sisemul ideniae Are raspunsul la impuls δ[n] (elemenul neuru p. convoluie) Penru inrare δ[n] iesirea ese o δ[n]. Sisem de inarziere Raspunsul la impuls h[n]=[n-n 0 ]. Raspunsul sisemului ese o variana inarziaa a semnalului de inrare x n n n x n n 0 0 6

7 Asociaiviaea convoluţiei. Conecarea în cascadă (serie) a SLIT Convoluia ese asociaiva h n h n xn h n h n x Raspunsul la impuls al sisemului echivalen ese h n h n h n x h h x h h y he h h y n x n h h n Prin conecarea în cascadă a SLIT sabile se obţine o un SLIT sabil. xn h n l, h n l h h n l Suma de convoluţie ese comuaivă. n h n h n h n h n h e h n x n h n yn xn h n x n La conecarea în cascadă nu conează ordinea. h n yn 7

Penru sisemul de inarziere : hn n n 0 Sisemul invers h n n n i Deplasarea in imp in sensul invers pe axa impului.

8 Sisemul invers Sisemul cu raspunsul la impuls h n cu raspunsul la impuls hn cascada se obine un sisem ideniae. h n h n n i i ese inversul sisemului daca prin conecarea lor in Un exemplu de sisem invers. Penru sisemul de inarziere : hn n n 0 Sisemul invers h n n n i Deplasarea in imp in sensul invers pe axa impului. u ese un sisem cauzal 0 Disribuiviaea convoluţiei faţă de adunare. Conecarea în paralel a SLITD Convoluia ese disribuiva faa de adunare xh n xh n x h h n 6 8

9 y Demonsraie n y n y n x h n x h n x x x h n x h n h n h n h h n 7 Funcia indiciala a unui SLITD, s[n]: Răspunsul la reapa uniara, x n n y n s n h n n h h n s n s n Daca sisemul ese cauzal, 0, penru 0 h n n s n h n 0 n Funcia indiciala a unui acumulaor ese un semnal rampa x n n s n n n 9

10 SLITD cu răspuns fini la impuls (FIR) şi cu răspuns infini la impuls (IIR) FIR IIR b n, 0 n M hn a0 0, in res Raspuns la impuls cu duraa finia (FIR) sau cu duraa infinia (IIR). FIR Ecuaia cu diferene finie M a y n b x n 0 0 Un sisem FIR are proprieaea : a0 a a a 0 and

11 Semnalul de iesire Folosind ecuaia cu diferene finie: y M b a n xn 0 0 Folosind definiia convoluiei: y n h xn FIR Prin idenificare se obine: h b, 0,,..., M a0 0, in res Se observa ca raspunsul la impuls are duraa finia, M+, de aici si numele sisem cu raspuns fini la impuls

12 Siseme IIR (Infinie Impulse Response) M a y xn n yn hn 0; condiţie iniţială nulă hn 0.5 n n y n y n x n y n b xn a 0 si a 0 ; 0 y y x y y h y y x y y h y y x y y h y y x y y h Implemenarea SLITD caracerizae prin ecuaţii cu diferenţe finie, liniare şi cu coeficienţi consanţi SLITD sun descrise maemaic prin ecuaii cu diferene finie cu coeficieni consani. Sun implemenae folosind subsisemele: celule de memorare (inarziere), muliplicaoare cu o consana, sumaoare.

Siseme de ordinul unu, Implemenarea direcă I n a yn b xn b xn a0

muliplicaoare cu o consana, b 0 si b : b 0 x[n] si b x[n-] Un

13 Siseme de ordinul unu, Implemenarea direcă I n a yn b xn b xn a0 y 0 zn O celula de memorare: inrare x[n], iesire x[n-] Doua muliplicaoare cu o consana, b 0 si b : b 0 x[n] si b x[n-] Un sumaor Implemenarea sisemului nerecursiv, de mediere alunecaoare (Moving average) MA. Iesire: z[n] Implemenarea sisemului recursiv, auoregresiv (Auoregressive) AR. Iesire: y[n] 5 a y n a yn b xn b xn

un sisem FIR : yn z n a 0 Sub-sisemul = muliplicaor cu /a 0 Subsiuim cele M

14 Sisem de ordinul M a y 0 0 n b xn ; z M n b xn 0 yn zn a yn a 0 Celule de memorare, muliplicaoare, sumaoare 7 Forma ransversala penru FIR Consideram un sisem FIR : yn z n a 0 Sub-sisemul = muliplicaor cu /a 0 Subsiuim cele M sumaoare din subsisemul cu un singur sumaor cu M inrari Am presupus ca a 0 = 8 4

15 Implemenarea direcă II Ordinea sisemelor nu ese imporana (conexiune in serie) Daca se schimba ordinea: se obine o forma echivalena implemenarii direce I, si anume implemenarea direca II. Se inlaura sisemele de inarziere redundane 9 Sisem de ordin, Implemenarea direcă II M> a +, a +,, a M = 0 M< b M+, b +,, b =

16 Produsul de convoluţie. Răspunsul SLITC la un semnal de inrare oarecare SLIT descris maemaic de operaorul S. Trebuie sa gasim iesirea y() aunci cand se cunoase inrarea x(). x() Reaminire: Proprieaea de filrare a impulsului Dirac δ() S SLIT (LTI sysem) Daca vom considera funcia es x(τ), iar ca impuls, variana deplasaa in imp cu (aici variabila imp ese τ), aunci avem: y() d 0 x d x 3 Semnalul de iesire x x d S SLIT y S x S x ( ) d x S d cons. cons. Produsul de convoluie a semnalelor x si h. Se poae calcula raspunsul unui sisem cunoscu, cu raspunsul la impuls ( h ) la un semnal de inrare oarecare ( x ) y() y x h x h d 3 6

17 Proprieai Elemenul neuru: disribuia Dirac, δ(). x x, x Convoluia ese comuaiva aproape pese o (a.p..). Cu noaia u = τ, avem: f g g u f u du g f Convoluia ese disribuiva in rapor cu adunarea xh xh xh h Convoluia ese asociaiva f g h f g h 33 Caeva remarci Daca x(), h() L, clasa funciilor absolu inegrabile (sisemul ese sabil), aunci y()=x()*h() L Daca x(), h() L, clasa funciilor cu paraul modulului inegrabil (energie finia), aunci convoluia x()*h() exisa, ese marginia si coninua Daca unul din facori ese din L, iar celalal din L, de ex. semnalul de inrare ese de energie finia, x() L si sisemul ese sabil h() L, aunci iesirea ese de energie finia y()=x()*h() L 34 7

18 Exemplul ) semnale de duraa finia f T g T Duraa convoluiei = T +T (suma duraelor celor doua semnale) 0, 0, 0 T f g T, T T T T, T T T 0, TT 35 Se noeaza g(-τ) = z(τ) Se deplaseaza in imp z(τ) cu care dreapa: 0, f g 0; 0 T, f g d ; T T, f g d T ; T 0 T T T, f g d T T ; T T T, f f 0, f g 0. T 36 8

19 Exemplul ) T T f ; g f ; ; T f g T T T 37 Exemplul 3) f(0); f() si f() sun pare. funcia f aparine lui L f, f f? du f d arcgu 0 u 0 f * f ese convergena a.p.; dar nu si in =0 f f f f d d

20 Exemplul 4) T T f ; g a, 0 a ; f g L duraa infinia T T f g a ln a T T a. 39 < -T/, f*g() = 0. T/ < <T/ suprapunere pariala: T T ln a f g a d a T/ suprapunere complea: T f g a d a a T ln a T T. 40 0

21 Condiţia ca un SLITC să fie cauzal Exemplu de sisem cauzal Exemplu de sisem necauzal h y y y 0, 0 h h h x xh d x h Daca si semnalul se obine : x h x xh d x h y 0 de inrare ese cauzal, x 0, 0 d d; Condiia de BIBO sabiliae a SLITC Sabiliae bounded inpu bounded oupu Un sisem coninuu SLIT, ese sabil daca si numai daca raspunsul sau la impuls ese absolu inegrabil hd,hl 4

22 Inegraorul o bounded Răspunsul la impuls, h(), al unui inegraor ese σ(). x y h Răspunsul la un semnal margini, de exemplu, σ(), ese semnalul rampa, care ese nemargini., 0 d. 0, 0 Inegraorul ese un sisem insabil. Se folosese in pracica fiindca semnalele de inrare sun de duraa finia (caz in care semnalul de iesire va fi margini). Răspunsul indicial al unui SLITC Raspunsul indicial=raspunsul la reapa uniara. s h h d Derivaa sa de ordinul unu ese raspunsul la impuls. s ' h Sisem cauzal: s h h d 0 44

23 Raspunsul sisemului h la semnalul rampa x y S h ; Derivaa de ordinul doi a lui y() ese h(). y" h " h h. y h x S LTI sysem y h 45 Raspunsul la impuls h() ese: derivaa de ordinul inai a raspunsului indicial s() derivaa de ordinul doi a raspunsului la semnalul rampa 46 3

Semnificaia pracica a proprieailor produsului de convoluie Sisemul echivalen

Sisemul echivalen obinu prin conecarea in paralel a doua siseme are raspunsul

Sisemul ideniae Doua siseme conecae in serie, al doilea sisem invers, aunci

24 Semnificaia pracica a proprieailor produsului de convoluie Sisemul echivalen obinu prin conecarea in serie a doua siseme are raspunsul la impuls h h h h h Sisemul echivalen obinu prin conecarea in paralel a doua siseme are raspunsul la impuls h h h 47 Sisemul invers. Sisemul ideniae Doua siseme conecae in serie, al doilea sisem invers, aunci iesirea ese semnalul de inrare original y()=x() Sisemul echivalen, h() * h i (), ese un sisem ideniae h()* h i () = () 48 4

Implemenarea SLITC caracerizae de ecuaţii diferenţiale liniare, cu coeficienţi consanţi Exemple de SLITC caracerizae de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi consanţi: derivaor, inegraor dx( )

25 Implemenarea SLITC caracerizae de ecuaţii diferenţiale liniare, cu coeficienţi consanţi Exemple de SLITC caracerizae de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi consanţi: derivaor, inegraor dx( ) y ( ) = d dy( ) = x( ) d Forma generală a ecuaţiei diferenţiale : 0 a d y d 0 b d x d a 0 Implemenarea in forma direca II cu circuie de derivare 0 d y a d 0 d x b d a 0 Sisem de ordinul Forma direca II: sisemele de inarziere (imp discre) circuie de derivare (imp coninuu). Dificil de consrui 50 5

26 Implemenarea in forma direca II cu circuie de inegrare Sun preferabile circuiele de inegrare. Inegram de ori ecuaia difereniala o ecuaie inegrala. Cu noaiile y 0, y,..., y, x0, x,..., x obinem ecuaia inegrala: a 0 y. b 0 x d 0 d, 0... d y d x a b a y y y y y d y y y d d 0 y y... y d d... d d x x ; x x,

27 53 i) Sisemul de ordinul inai Exemple ( ) d y d x( ) a = b = 0 d = 0 d a0 =, a = RC, b0 = 7

Exemplu, sisem de ordinul doi d y dy LC RC y x d

ransversala penru siseme FIR Raspunsul la impuls:

28 Exemplu, sisem de ordinul doi d y dy LC RC y x d d n n a y b x, 0 0 LCy RCy y x 0 0 Prin idenificare se obin coeficienii, si obinem forma II de implemenare a ; a RC ; a LC b 0 55 Srucura ransversala penru siseme FIR Raspunsul la impuls: h h T. 0 y y h x h x T h... x T x h T x h h T , h, 56 8

Σχετικά έγγραφα

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE

6 ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE In sudiul sabiliăţii sisemelor se uilizează două concepe: concepul de sabiliae inernă (a sării) şi concepul de sabiliae exernă (a ieşirii) 6 STABILITATEA