«Олий математика» фанидан бахорги мавсум учун маърузалар туплами

Transcript

1 Узбекистон Республикаси олий ва урта масус таълим вазирлиги Буоро озик-овкат ва енгил саноат тенология институти «Математика» кафедраси «Олий математика» фанидан баорги мавсум учун маърузалар туплами Буоро - й.

2 Маъруза матнлари «Математика» кафедрасининг йил ноябр кунги -сонли мажлисида муокама этилди ва чоп этишга тавсия этилди. Тузувчилар : «Математика» кафедраси доцентлари Салиов Ш.Н. Исматов Х.Б. Такризчи : Буоро давлат университети кафедра мудири доцент Амедов Х.Х. Муаррир : «Математика» кафедраси мудири доцент Расулов Н.П.

3 «Олий математика» фанидан баорги мавсум учун укув дастури I. Аникмас интеграл. Бошлангич функция ва аникмас интеграл. Интеграллар жадвали. Интеграллаш усуллари. рационал баъзи иррационал ва тригонометрик функцияларни интеграллаш. II. Аник интеграл. Аник интеграл тушунчасига келтирувчи масалалар. Аник интегралнинг таърифи ва унинг оссалари. Ньютон-Лейбниц формуласи. Аник интегрални исоблаш усуллари. Аник интегрални такрибий исоблаш формулалари. Хосмас интеграллар ва уларнинг оссалари. III. Куп узгарувчили функциялар. Куп узгарувчили функциялар таърифи. Аникланиш соаси. Куп узгарувчили функциянинг лимити ва узлуксизлиги. Хусусий осилалар. Тула осила тула дифференциал. Юкори тартибли усусий осилалар. Куп узгарувчили функциянингэкстремуми. Градиент йуналиш буйича осила. IV. Сонли ва функцияли каторлар. Сонли каторлар таърифи усусий йигиндилар. Катор якинлашишининг зарурий шарти. Мусбат адли каторлар якинлашишининг етарли шартлари. Ишоралари навбатлашувчи каторлар. Лейбниц аломати. Ишоралари узгарувчан каторлар. Абсалют ва шартли якинлашиш. Функцияли каторлар. Даражали каторлар якинлашиш соаси якинлашиш соасини топиш усуллари. Функцияли каторларни дифференциаллаш ва интеграллаш. Тейлор ва Маклерон каторлар. Биномиал каторлар.

4 V. Каррали ва эгри чизикли интеграллар. Каррали ва эгри чизикли интегралларнинг таърифлари оссалари ва исоблаш усуллари. Икки каррали интегралнинг тадбиклари. VI. Оддий дифференциал тенгламалар. Дифференциал тенгламаларга келтирувчи. Биринчи тартибли дифференциал тенгламалар. Ечимларнинг мавжудлиги ва ягоналиги акидаги Коши теоремаси. Узгарувчилари ажраладиган чизикли бир жинсли биринчи тартибли дифференциал тенгламаларни интеграллаш. Юкори тартибли дифференциал тенгламалар. Тартибини пасайтириш мумкин булган тенгламалар. Юкори тартибли узгармас коэффициентли биржинсли тенгламалар. Иккинчи тартибли узгармас коэффициентли биржинслимас тенгламалар. Дифференциал тенгламаларнинг системаси

5 МУНДАРИЖА бетлар. БОШЛАНГИЧ ФУНКЦИЯ. ИНТЕГРАЛЛАР ЖАДВАЛИ. ИНТЕГРАЛЛАШ УСУЛЛАРИ. 5. KВАДРАТИК УЧХАД КАТНАШГАН БАЪЗИ ФУНК- ЦИЯЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ. ЭНГ СОДДА РАЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ. 8. АЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ ЭНГ СОДДА РАЦИОНАЛ КАСРЛАРГА АЖРАТИШ. РАЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ ИРРАЦИОНАЛ ФУНКЦИЯЛАРНИНГ ИНТЕГРАЛИ. ЭЙЛЕРНИНГ БИРИНЧИ АЛМАШТИРИШИ. 6. ЭЙЛЕРНИНГ ИККИНЧИ ВА УЧИНЧИ АЛМАШТИРИШЛАРИ. 7. ТРИГОНОМЕТРИК ФУНКЦИЯЛАР КАТНАШГАН БАЪЗИ ИФОДАЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ АНИК ИНТЕГРАЛ ТАЪРИФИГА ОЛИБ КЕЛУВЧИ МАСАЛАЛАР. АНИК ИНТЕГРАЛНИНГ ТАЪРИФИ ВА ХОССАЛАРИ. 9. НЬЮТОН ЛЕЙБНИЦ ФОРМУЛАСИ ВА АНИК ИНТЕГРАЛНИ ХИСОБЛАШ УСУЛЛАРИ. 5.ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАР ХАКИДА ТУШУНЧАЛАР. ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАРНИ ХИСОБЛАШ..АНИК ИНТЕГРАЛНИ ТАКРИБИЙ ХИСОБЛАШ..АНИК ИНТЕГРАЛ ОРКАЛИ ЮЗАЛАРНИ ХАЖМЛАРНИ ЁЙ УЗУНЛИКЛАРИНИ ХИСОБЛАШ. 7.СОНЛИ КАТОРЛАР ВА УЛАРНИНГ АСОСИЙ ХОССАЛАРИ. 5.МУСБАТ ХАДЛИ СОНЛИ КАТОРЛАР ЯКИНЛАШИНИНИНГ ЕТАРЛИ ШАРТЛАРИ ИШОРАЛАРИ НАВБАТЛАШУВЧИ КАТОРЛАР УЗГАРУВЧАН ИШОРАЛИ КАТОРЛАР ШАРТЛИ ВА АБСОЛЮТ ЯКИНЛАШИШЛАР ФУНКЦИОНАЛ КАТОРЛАР. ДАРАЖАЛИ КАТОР- ЛАР ВА УЛАРНИНГ ЯКИНЛАШИШ ОРАЛИКЛАРИ. 6 7.ДАРАЖАЛИ КАТОРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ ВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЛАШ.ТЕЙЛОР ВА МАКЛОРЕН КАТОРЛАРИ КУП УЗГАРУВЧИЛИ ФУНКЦИЯЛАР. ИККИ УЗГАРУВЧИ ФУНКЦИЯ ЛИМИТИ УЗЛУКСИЗЛИГИ. 7 9.ИККИ УЗГАРУВЧИЛИ ФУНКЦИЯНИНГ ХОСИЛАЛАРИ. 75.ТУЛА ОРТТИРМА ВА ТУЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛ ГРАДИЕНТ. ЙУНАЛИШ БУЙИЧА ХОСИЛА. 79.ИККИ УЗГАРУВЧИЛИ ФУНКЦИЯНИНГ ЭКСТРЕМУМИ. ШАРТЛИ ЭКСТРЕМУМ. 8

6 .КОМПЛЕКС СОНЛАРНИНГ АЛГЕБРАИК ТРИГОНО- МЕТРИК ВА КУРСАТКИЧЛИ КУРИНИШЛАРИ ВА УЛАР УСТИДА АРИФМЕТИК АМАЛЛАР. 88.МУАВР ФОРМУЛАСИ. КОМПЛЕКС СОНДАН ИЛДИЗ ЧИКАРИШ. ИККИ ХАДЛИ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ. 9.ИККИ ВА УЧ КАРРАЛИ ИНТЕГРАЛЛАР ТУГРИСИДА ТУШУНЧАЛАР.ЭГРИ ЧИЗИКЛИ ИНТЕГРАЛЛАР ТУГРИСИДА ТУШУНЧАЛАР ВА УЛАРНИ ЕЧИШ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРГА КЕЛУВЧИ МАСАЛАЛАР. УМУМИЙ ВА ХУСУСИЙ ЕЧИМЛАР. УЗГАРУВЧИЛАРИ АЖРАЛАДИГАН ВА ЧИЗИКЛИ БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ ТЕНГЛАМАЛАР. 6.БИР ЖИНСЛИ ВА ТУЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛЛИ ТЕНГЛА- МАЛАР. ЮКОРИ ТАРТИБЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛА- МАЛАР. у =f КУРИНИШДАГИ ТЕНГЛАМАЛАР. 7 7.ТАРТИБИ ПАСАЮВЧИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР. 8.ЮКОРИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИКЛИ УЗГАРМАС КОЭФФИ- ЦЕНТЛИ БИР ЖИНСЛИ ДАФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР. 5 9.УЗГАРМАС КОЭФФИЦЕНТЛИ ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ БИР ЖИНСЛИ ЧИЗИКЛИ ТЕНГЛАМАЛАР. 9.УЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ ЧИЗИКЛИ ДИФФЕ- РЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИ..АДАБИЕТЛАР РУЙХАТИ. 9 - М А Ъ Р У З А БОШЛАНГИЧ ФУНКЦИЯ. ИНТЕГРАЛЛАР ЖАДВАЛИ. Таянч иборалар: Бошлангич функция интеграл интеграл остидаги ифода интеграллар жадвали. а Бошлангич функция ва унинг оссалари. ТАЪРИФ: Бирор ораликда аникланган f функция учун бу ораликнинг амма кийматларида F=f тенглик уринли булса у олда F функция f функциянинг бошлангич функцияси дейилади. М и с о л : F= а а а l бутун сонлар чизигида f = а функциянинг бошлангич функцияси булади чунки нинг исталган кийматида а F= = а =f тенглик тугри булади. 5 F= 5 l функция сонлар укининг амма нукталарида f= функциянинг бошлангич функцияси булади чунки нинг исталган кийматида унинг осиласига нисбатан

7 5 F= = =f 5 тенглик уринли булади. Берилган функциянинг бошлангич функциясини топиш масаласи бир кийматли ал килинмайди. Хакикатан ам агар Fфункция f нинг бошлангич функцияси булсау олда F+С функция ам бунда С итиёрий узгармас сон f нинг бошлангич функцияси булади чунки С нинг исталган киймати учун F+С= f булади. М и с о л : F= курилди. а функция f= а функциянинг бошлангич функцияси юкорида l F C C f l тенгликдан эса C l функция ам а функциянинг бошлангич функцияси эканлиги келиб чикади. Юкоридаги мулоазалардан бошлангич функцияларнинг куйидаги оссаси келиб чикади. ЛЕММА: Агар F ва функция f функциянинг бошлангич функциялари булса у олда Ф = F+С тенглик уринли булади бунда С итиёрий узгармас сон. И с б о т : F ва функция f нинг бошлангич функциялар булгани учун F = f ва Ф = f тенглик тугри булади. Ёрдамчи Q функцияни киритамиз : - F = Q унинг осиласи нинг амма кийматларида нолга тенг акикатан ам Q = [Ф- F]= Ф - F = f - f = Лекин Q= тенгликдан Qнинг узгармас сон экани келиб чикади: Q=С Ф- F =С. Фараз килайлик аргументнинг тайинланган киймати эса унинг истаган киймати булсин. [ ] ораликда Лагранж формуласини тузамиз: Q- Q = Q- бунда << булади. Биз Q = тенглик нинг амма кийматида шу жумладан да ам Q= булгани учун Q- Q = яъни Q=Q ни осил киламиз. Бу олда Q функциянинг киймати нинг амма кийматида бир ил булишини билдиради. Шундай килиб Q=С ёки Ф- F =С тенглик уринли булади. Лемма исботланди. Исботланган леммадан берилган функциянинг иккита бошлангич функцияси бир-биридан факат узгармас сонга фарк килиши келиб чикади. б Аникмас интеграл ва унинг оссалари. Интеграллар жадвали. ТАЪРИФ: Агар F функция бирор ораликда f функциянинг бошлангич функцияси булса у олда F+С бунда С итиёрий доимий функциялар туплами шу кесмада f функциянинг аникмас интеграли дейилади ва f d F C каби белгиланади. Бу ерда f интеграл остидаги функция f d интеграл остидаги ифода интеграллаш узгарувчиси дейилади.

8 Аникмас интегрални топиш жараёни интеграллаш дейилади. Кесмада узлуксиз булган истаган функция шу ораликда бошлангич функцияга эга демак аникмас интегралга ам эга эканини исботсиз айтиб утамиз. М и с о л : а d C l 5 d 5 d l C C Аникмас интеграл куйидаги оссаларга эга : I. Аникмас интегралнинг осиласи интеграл остидаги функцияга тенгяъни f d f Исбот: f d F C F f II. III. IV. Аникмас интегралнинг дифференциали интеграл остидаги ифодага тенгяъни d f d f d Бирор функциянинг осиласидан олинган аникмас интеграл шу функция билан итиёрий узгармаснинг йигиндисига тенгяъни F d F C Бирор функциянинг дифференциалидан олинган аникмас интеграл шу функция билан узгармас йигиндисига тенгяъни df F C V. Узгармас k купайтувчини интеграл белгиси ташкарисига чикариш мумкиняъни VI. kf d k f d Чекли сондаги функцияларнинг алгебраик йигиндисидан олинган аникмас интеграл шу функцияларнинг ар биридан олинган аникмас интегралларнинг алгебраик йигиндисига тенгяъни f f f d f d f d f d в Асосий интеграллар жадвали.. d c. d c d d. c. c d 5. l c 6. d c l 7. e d e c 8. si d cos c

9 9. cos d si c d. g c cos d d. cg c. l g c si si d. l g c cos. gd l cos c 5. cgd l si c d 6. rcg c d d 7. l с 8. rcsi c 9. d l c С а в о л л а р :.Берилган функцияларнинг бошлангич функцияси деб нимага айтилади?.бошлангич функция кандай оссаларга эга?.берилган функциянинг аникмас интеграли деб нимага айтилади?.аникмас интегралнинг энг оддий оссаларини келтиринг? 5.Жадвалли интегралларни келтиринг? -М А Ъ Р У З А ИНТЕГРАЛЛАШ УСУЛЛАРИ. Таянч иборалар: Бевосита интегралаш дифференциал остига киритиш узгарувчиларни алмаштириш булаклаб интеграллаш. а Бевосита интеграллаш усули деб V ва VI оссаларни кулланиши шунингдек интеграллашнинг асосий формулалар жадвалидан фойдаланиб интеграллашга айтилади. М и с о л : Интегрални топинг: 7 5 d Ечими: Суратни маражга булиб кейин V ва VI оссаларни куллаб интеграл остидаги функцияни алмаштирамиз ва интеграллар жадвалидан фойдаланамиз:

10 7 5 d 7 d d = 5 d 7 5 d 7l-5- с -. б Дифференциал белгиси остига киритиш усули интеграл остидаги ифодани алмаштиришдан иборат М и с о л : d d c. 6 Бу ерда d=d+лигидан фойдаландик. d d l d Бу ерда олдин интегрални сонга купайтирдик ва айни шу пайтда уни сонга булдик. Ундан кейин d=d =d+ эканлигидан фойдаландик. d d d l-+c. в Аникмас интегралда узгарувчиларни алмаштириш. Интеграллар жадвалига кирмаган интегрални исоблаш керак булсин. ни эркли узгарувчининг бирор дифференциалланувчи функцияси оркали ифодалаб интеграллашнинг янги узгарувчисини киритамиз: =бунга тескари = функция мавжуд булсин у олда d=d булиб d f f d эканини исботлаймиз. Тенгликнинг ар иккала томонидан осила олинса теорема исботланган булади. F функция f функциянинг бошлангич функцияси булсин у олда f d F c. d f d f d f d = f f. Теорема исботланди. М и с о л : d интегрални топинг. d Ечими: d d

11 l C l d d М и с о л : d интегрални топинг. Ечими: cosd si d d cos si cos si d d cosd d сosd si c si rccos C rccos c si rccos cosrccos rccos c rccos c г Булаклаб интеграллаш усули. Фараз килайлик и ва v функциялар нинг дифференциалланувчи функциялари булсин. Бу функциялар купайтмасининг дифференциалини топамиз: du v vdu udv бунда udv duv vdu Оирги тенгликнинг иккала кисмини интеграллаб куйидагини осил киламиз: ёки udv duv udv uv vdu vdu Бу формула булаклаб интеграллаш формуласи дейилади. Одатда cos d si d d d l d шуларга ушаш интеграллар булаклаб интеграллаш формуласи оркали исобланади. М и с о л : d интегрални топинг. ud dv Ечими: d d du v d d d d d rccos C ва

12 Куйидаги тенглик осил булди: Демак d аrc cos d C. М и с о л : 5 d интегрални топинг. Ечими: u 5 d dv 5 d = 5 = d du v l d 5 l5 l5 l5 l 5 C. d rccos C С а в о л л а р :.Бевосита интеграллаш усули таърифини келтиринг..дифференциал остига киритиш усули нимадан иборат?.булаклаб интеграллаш формуласини чикаринг..аникмас интегралда узгарувчиларни алмаштириш усули нимадан иборат? -М А Ъ Р У З А KВАДРАТИК УЧХАД КАТНАШГАН БАЪЗИ ФУНКЦИЯЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ. ЭНГ СОДДА РАЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ. Таянч иборалар: формуласи. квадратик учад энг содда рационал каср рекурент а Квадратик учад катнашган баъзи функцияларни интеграллаш. Ушбу интегрални караймиз: d d I = I. b c b c Аввал мараждан квадрат учадни йигинди ёки айирма куринишига келтирамиз: в с а в а с а а в в с в а а а а

13 = к а в а а в а с а в а бу ерда к а в а с белги киритилди. Шундай килиб к d d d а в к а в d а с в d I Бу эса жадвалдаги интегралдир. Шу каби к d d d а в к а в d с в d I М и с о л : Ушбу интегрални исобланг : 8 d Ечими: 8 d = 6 d d d = C rcg d d d б Умумийрок куринишдаги интегралларни караймиз: d с в B A I d с в B A I Интеграл остидаги функцияни бундай алмаштирамиз: d с в а Aв В в A d с в B A I

14 A в d A В в с d A в с в d в с В A J I I J в d d A A A A l В I l в с В I в с A d A В C Бу ердаги I интегралнинг исобланиши юкорида курсатилган. Шу каби I интеграл ам исобланади. = A I в A B в A В d d в d с в с A B d в с в с A Aв а в в d с Aв b c A d Ab I а B I b d d Aв A Ав B I в с В I а а + В A = C I интегрални ечилиши юкорида курсатилган. М и с о л : Куйидаги интегрални исобланг : 5 d 5 5 d d 7 d d 6 Ечими: 5 5 7l C в Энг содда рационал касрларни интеграллаш. Куйидаги рационал касрларни энг содда рационал касрлар деб айтамиз: A A А В A B I. II. к III. р q р q IV. I ва II турдаги оддий касрларни интеграллаш жадвал интегралларига осон келтирилади:

15 Аd Ad d I. A Al II. А d A к к к С к А к а C к С р III турдаги оддий касрнинг интегралини караймиз: q булсин унда A Ap p B А В d d р q р q A p d Ap d B р q р q р q A d Ap d p d d р q p d A Ap = l р q B p p q А l Ap p q B B q p p rcg Энди IV турдаги оддий касрнинг интегралини исоблаймиз. IV. A B d Ap p B p q q p C d p q A A p d p q B Бу ерда Ap p d p p q A Ap I B I

16 q p p d I p q p p d I булади. q p p d I = d d p d q p C q p p q p p d I = p q d d p d d d d * Оирги интегралга булаклаб интеграллаш формуласини куллаймиз: dv du d dv u d d Агар d I белги киритсак у олда *даги формула куйидаги куринишни олади: I I ёки I I **

17 Бу формула буйича I I оркали ифодалаймиз сунгра I ни I оркали ифодалаймиз ва оказо. Бу жараён куйидаги интегрални осил килгунимизча давом этади: C rcg d I ** формула келтириш ёки рекурент формула дейилади. М и с о л : d интегрални исобланг. Ечими: d = = d d d = =- d -. I I интегрални исоблаймиз: I = d d d d d d d d rcg d Оирги интегрални караймиз: d d d = d dv du d dv u C rcg C rcg Демак

18 I rcg rcg C булади. I интеграл кийматини *** тенгликка куйсак берилган интегралнинг киймати келиб чикади : d rcg C С а в о л л а р :.Квадрат учад катнашган I I I I интегралларни келтиринг.. I ва I интегралларнинг ечилиши тартибини келтиринг..энг содда рационал каср деб кайси касрларга айтилади?.энг содда рационил касрларни интеграллаш тартибини келтиринг. М А Ъ Р У З А РАЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ ЭНГ СОДДА РАЦИОНАЛ КАСРЛАРГА АЖРАТИШ. РАЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ. Таянч иборалар: Рационал каср даражали купад тугри рационал каср нотугри рационал каср. а Рационал касрларни энг содда рационал касрларга ажратиш. Маълумки P = функция даражали купад дейилади бунда купаднинг коэффициентлари эса даража курсатгичи. ТАЪРИФ: Икки купад нисбати рационал каср дейилади. m m Qm в в... вm вm R P... Агар m< булса у олда рационал каср тугриагар m булса у олда рационал каср нотугри каср деб айтилади. R рационал каср нотугри булган олларда касрнинг Q суратини Р маражига булиш йули билан унинг бутун кисмини ажратиш керак:

19 P r q P Q m Бу ерда P r тугри касрчунки r колдикнинг даражаси Р нинг даражасидан кичик. М и с о л : Ушбу R нотугри рационал касрнинг бутун кисмини ажратинг. Ечими: Демак Ушбу P Q R m тугри рационал касрни караб чикамиз бу касрнинг Р маражи s к q р куринишдаги чизикли ва квадратик купайтувчиларга ёйилади бунда - к куринишдаги купайтувчи к каррали акикий илдизга мос келади s q p куринишдаги купайтувчи s карралидаги комплекс кушма илдизларга мос келади:... s k r k k q p P r.... l s l l s q p q p А ТЕОРЕМА: Хар кандай P Q R m рационал касрни бунда P А формула буйича купайтувчиларга ажратилган k А А k ва бутун s q p B A q p B A s ва бутун турдаги оддий касрларнинг йигиндиси куринишида ифодалаш мумкин. Бунда:

20 А ёйилманинг - куринишдаги купайтувчисига битта А каср мос келади; А ёйилманинг - к куринишдаги купайтувчисига A A Ak... k k касрлар йигиндиси мос келади; А ёйилманинг +p+q куринишдаги купайтувчисига битта A B каср мос келади; p q А ёйилманинг -+p+q s куринишдаги купайтувчисига A B A B As Bs... s s p q p q p q касрлар йигиндиси мос келади; Бу теоремани исботсиз кабул киламиз. Юкорида курсатилган рационал касрнинг оддий касрлар йигиндиси ёйилмасидаги А B A A... B... коэффициентларни аниклаш учун турли усуллар B мавжуд. Улардан биттаси ноъмалум коэффициентлар усулидир. Уни мисолда курамиз. М и с о л :Ушбу R рационал касрн оддий касрлар йигиндисига ажратинг. Ечими: Маражни купайтувчиларга ажратамиз: Келтирилган теоремага асосан берилган касрни оддий касрларга ажратиш бундай куринишда булиши мумкин: A B D АВD номаълум коэффициентларни топишга киришамиз. Бунинг учун оирги тенгликнинг унг кисмини умумий маражга келтирамиз ва осил килинган тенгликнинг иккала кисмида маражни ташлаб юборамиз. Бу амаллар натижасида куйидаги айният келиб чикади : А В D А В D B D A Купадларнинг тенглигидан куйидаги А.В.D ларга нисбатан тенгламалар системаси осил киламиз ва илдизларини топамиз:

21 D B A A D B D B A Демак М и с о л : Ушбу рационал касрни оддий касрлар йигиндисига ажратинг. Ечими: Берилган рационал касрнинг маражини купайтувчиларга ажратамиз : Юкорида келтирилган теоремага асосан С В А Юкоридаги мисолдагидай бу тенгликни ам унг кисмини умумий маражга келтирамиз ва осил килинган тенгликнинг иккала кисмидаги маражларни ташлаб юборамиз. Натижада куйидаги айният осил булади: С А С В А В А Купадларнинг тенглигидан фойдаланиб А.В.С ларга нисбатан тенгламалар системасини тузиб унинг илдизларини топамиз: С В А С А С В А В А Шундай килиб рационал каср куйидаги содда рационал касрларга йигиндисига ажралди : 7 7 б Рационал касрларни интеграллаш. Рационал касрни интеграллаш учун куйидагиларни бажариш керак: унинг тугри ёки нотугри каср эканлигини текшириб ва акс олда яъни нотугри каср булганда олдин унинг бутун кисмини ажратиб шундан кейин купад бутун кисми ва рационал каср кисмлари йигиндиси куринишида ёзилади; Тугри рационал каср оддий рационал касрлар йигиндисига ажратилади; Ёйилманинг коэффициентлари топилади; Рационал касрнинг интеграли исобланади.

22 М и с о л : Интегрални исобланг : d Ечими: Юкоридаги курсатмаларни бирин-кетин бажариб куйидагиларни осил киламиз: D B A A D B A D B A 6 7 D B A A D B A D B A 6 7 d d d d. l 6 7 l l c С а в о л л а р :. Рационал каср деб нимага айтилади.тугри ва нотугри рационал касрларга таъриф беринг.. Рационал касрни энг содда рационал касрлар йигиндиси куринишида келтириш тартиби нимадан иборат?. Рационал касрларни интеграллаш тартибини келтиринг.

23 5 М А Ъ Р У З А. ИРРАЦИОНАЛ ФУНКЦИЯЛАРНИНГ ИНТЕГРАЛИ. ЭЙЛЕРНИНГ БИРИНЧИ АЛМАШТИРИШИ. Таянч иборалар: Эйлер алмаштириши. Иррационал функциянинг интеграли рационал амаллар а Иррационал функцияларнинг интеграли. Хар кандай иррационал функциялардан олинган интеграл элементар функциялар оркали ифодаланавермайди. Узгарувчиларни алмаштириш ёрдамида рационал функциянинг интегралларига келтириладиган иррационал функцияларнинг айримларини караймиз. m r R s... d куринишдаги интегрални караймиз. Бунда R узгарувчиларга нисбатан факат рационал амаллар бажарилишини курсатади m r s -натурал сонлардир. m r Интеграл остидаги функцияни рационал функцияга келтириш учун... s k k касрларнинг умумий маражи k ни топиш ва d k d алмаштириш бажариш максадга мувофикдир. М и с о л : Ушбу интеграл исоблансин: Ечими: d d. = d. касрларнинг умумий маражи булади шунинг учун = d= d алмаштиришни бажарамиз : d. d l C d d d l C

24 R в с d а в... с d d m r s куринишдаги интегрални караймиз Rmsr ларга юкорида куйилган шартлар сакланади. Агар касрларнинг умумий маражи булса бу интеграл в с d к к сон m... s алмаштириш ёрдамида рационал функциянинг интегралига олиб келади. авсd бир вактда нолга айланмайдиган бутун сонлар. М и с о л : Интегрални исобланг : d Ечими: Бу ерда а = в = - с = d = эканлигини ва маражи 6 эканлигини назарга олиб 6 алмаштириш бажарамиз. Натижада : d = 6 = d d 5 касрларнинг умумий 6 d 5 d 8 d rcg C rcg C Ушбу б Эйлернинг биринчи алмаштириши. R в с d куринишдаги интегрални караймиз бунда а В интегралда а> булсин у олда Эйлернинг биринчи алшмаштириши деб аталмиш а в с а алмаштириш бажариб интеграл остидаги функцияни рационал функцияга келтирамиз : а в с а а c в в с а а c а в В а

25 6 d а в в а R в с d c R в а аc d а c 6 в а а в в а аc d Шундай килиб В интеграл остидаги функция нинг рационал функциясига айланди. М и с о л : Ушбу интеграл исоблансин : d c Ечими: Бу ерда а=> булгани учун c алмаштириш бажарамиз бу олда c c Дастлабки интегралга кайтамиз: c c c c d d c d d d c c l C l c C. С а в о л л а р : m r. R... s d куринишдаги интеграллар кандай интегралланади?. m в а в R... с d с d интегралланади? d r s куринишдаги интеграллар кандай. R в с d алмаштириши оркали кандай интегралланади? куринишдаги интеграл Эйлернинг биринчи 6 - М А Ъ Р У З А ЭЙЛЕРНИНГ ИККИНЧИ ВА УЧИНЧИ АЛМАШТИРИШЛАРИ.

26 Таянч иборалар: Эйлернинг алмаштиришлари. а Эйлернинг иккинчи алмаштириши. Ушбу d с в R В куринишдаги интегрални караймиз бунда а. Агар с> булса бу олда В интеграл остидаги функцияни рационал функцияга келтириш учун c с в алмаштириш максадга мувофикдир. Бу тенглик оркали куйидагиларни топамиз аниклик учун c олдида плюс ишорани оламиз: c c с в а в c c в c c а в c с в d а в c c d а в c d d а в c c Натижада В интеграл куйидаги куринишга келади : d с в R. d а в c c а c в c а в c R М и с о л : Интегрални исобланг : d Ечими: деб оламиз у олда d d

27 Хосил килинган ифодаларни дастлабки интегралга куямиз: d d = d l C l C l C Агар В интегралда олда б Эйлернинг учинчи алмаштириши. учаднинг акикий илдизлари ва булсин бу а в с а в с алмаштириш бажарамиз бу олда а в с = а-- булгани сабабли а а а а в с а d d d d d Хосил килинган ифодаларни В интегралга куйиб интеграл остидаги функцияни рационал функцияга алмаштирамиз: R в с d R М и с о л : Интегрални исобланг: d

28 d Ечими: +- = + - булганлиги сабабли деб оламиз у олда - 6d -. d Дастлабки интегралга кайтамиз: 6 d d d l C l C l C С а в о л л а р :. Эйлернинг иккинчи алмаштириши кандай ва у оркали интеграллаш тартибини келтиринг.. Эйлернинг учинчи алмаштириши кандай ва у оркали интеграллаш тартибини келтиринг. 7 М А Ъ Р У З А ТРИГОНОМЕТРИК ФУНКЦИЯЛАР КАТНАШГАН БАЪЗИ ИФОДАЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ. Таянч иборалар: Универсал алмаштириш рационал функция. а Универсал алмаштириш. si cos интеграл берилган булсин. Бу интеграл Ушбу R d g алмаштириш ёрдами билан аммавакт рационал функциянинг интегралига

29 келтирилиши мумкинлигини курсатамиз. si ва cos функцияларни билан ифодалаймиз: g билан яъни si si cos si cos g si cos g cos cos si cos cos si si Сунгра rcg d d Демак Rsi cos d М и с о л : Интегрални исобланг : d si R Ечими: Юкорида ёзилган формулаларга асосан : - d d si d l C l g б Аникмас интеграл куринишда булсин. У олда Rsi cos d si бажариб куйидагини осил киламиз. d cosd d R si cos d R d М и с о л : Интегрални исобланг : C

30 . si 5 cosd 5 si cos d d Ечими: si cosd d C в Агар интеграл Rcos si d куринишда берилган булса у олда si 6 C cos sid - d алмаштириш максадга мувофикдир : М и с о л : Интегрални исобланг : Ечими: R cos si d R d si d cos si d cos cos si d d d d C cos C г Агар интеграл остидаги функция факат g га боглик булса у олда g= =аrcg d d алмаштириш ёрдамида бу интеграл рационал функциянинг интегралига келтирилади: R g d М и с о л : Интегрални исобланг : d R gd Ечими: gd = g d d d d C

31 l g C l cos C. д Агар интеграл остидаги функция Rsicos куринишда булса аммо sicos функциялар факат жуфт даражаларда кирса у олда g= алмаштириш татбик этилади чунки сos g si g g d d М и с о л : Интегрални исобланг : d si Ечими: d si d g d si d rcg C rcg d g C е Энди m cos d si куринишдаги интеграл берилган булсин. Бунда уч олни караймиз: m ва дан камида биттаси ток сон. Аниклик учун ток булсин. =p+ деб олиб интегрални алмаштирамиз : si m p m p si cos d si cos cos d p si m si cos d m cos d d p d.

32 Бу эса рационал функциянинг интеграли. m ва манфий булмаган жуфт сон. m=p =q деб фараз киламиз: cos cos si cos Буларни интегралга куямиз: c d. p q si cos d cos cos Даражаларни кутариб кавсларни очиб cos нинг жуфт ва ток даражаларини уз ичига олган адларни осил киламиз биринчи пунктда курсатилган усулдан ёки с формуладан фойдаланамиз. М и с о л : Интегрални исобланг : p q si d Ечими: si d si cos d cos cos d si 8 cosd si c. R cos d С а в о л л а р : si куринишдаги интегрални универсал алмаштириш усули оркали кандай интеграллаш мумкин? Rsi cos куринишдаги интеграллар кандай интегралланади?. d. R g d куринишдаги интеграллар кандай интегралланади?

33 m si куринишдаги интеграллар кандай. R cos d интегралланади? 8 - М А Ъ Р У З А АНИК ИНТЕГРАЛ ТАЪРИФИГА ОЛИБ КЕЛУВЧИ МАСАЛАЛАР. АНИК ИНТЕГРАЛНИНГ ТАЪРИФИ ВА ХОССАЛАРИ. Таянч иборалар: Эгри чизикли трапеция интеграл йигинди аник интеграл аник интегралнинг геометрик маъноси аник интегралнинг меаник маъноси..эгри чизикли трапеция юзини исоблаш масаласи. у= узлуксиз функция =а =b у= чизиклар билан чегараланган фигурага эгри чизикли трапеция деб айтамиз. Ш у В A A A A i A а i- i i b - расм исоблаш масаласини курайлик. [; b] сегментни абциссалари i - булган - та нукта ёрдамида булакларга буламиз. Бунда а= о ва b= деймиз. ф и г у р а ю з и н и

34 Булиш нукталари [; b] сегментни та кичик сегментларга булади: [ ; ] [ ; ] [ i- ; i ]. [ - ; ] Булиниш нукталаридан ОУ укига параллел тугри чизиклар утказиб эгри чизикли трапецияни та кичик эгри чизикли трапецияларга ажратамиз -расм. Равшанки эгри чизикли трапеция АВbа нинг юзи та кичик эгри чизикли трапециялар йигиндисига тенг. Агар АВbа нинг юзи S асоси [ i- ; i ] i= булган эгри чизикли кичик трапецияларнинг юзалари S i билан белгиланса куйидагича булади: S=S +S + +S i + +S ёки S= S i i S i ларнинг аник кийматини топиб булмайди такрибий кийматларни аниклаш учун эса [ i- ; i ] сегментларнинг ар бирида итиёрий i нуктадан танлаб оламиз ва бу нукталарда f i ординаталарини ясаймиз.-расмдан куйидагилар куринади: S f - S f - S i f i i - i- S f - - Агар i - i- = i белгини киритиб ларни га куйсак АВbа эгри чизикли трапеция юзининг такрибий кийматини топган буламиз: S f i i i ифодага f функциянинг [; b] кесмадаги интеграл йигиндиси деб айтилади..узгарувчи куч бажарган иш акидаги масала. Меаникадан маълумки агар F куч таъсирида моддий нукта масофада силжиган булса бажарилган иш Е куйдагича тенг Е= F Бу ерда F-куч катталиги билан ам йуналиши билан ам узгармас.энди F куч узгармас йуналишни сакласа ам сонли катталиги буйича узгарган олни караймиз. Айтайлик бу куч таъсирида моддий нукта кучнинг таъсир чизиги йуналиши буйлаб йуналган тугри чизик буйлаб аракат килсин.f куч бажарган ишни исоблаш масаласини караймиз. Моддий нукта аракат килаётган чизикни ОХ уки деб кабул киламиз: Йулнинг бошлангич ва оирги нукталари - расм мос равишда а ва b а<bабциссаларга эга булсин.[а;b] сегментнинг ар бир нуктасида кучнинг катталиги маълум кийматга яъни F=f функция абциссасига эга булади.бу функцияни узлуксиз деб исоблаймиз. [; b] сегментни та кичик сегментларга буламиз.- расм. [ ; ] [ ; ] [ i- ; i ] [ - ; ]. а= о b= Уларнинг узунлиги мос равишда а i- i i b = - = - i = i - i- = - - булади. [ i- ; i ] сегментда F кучнинг бажарган иши Е i булсин у олда [а; b] кесмада бажарилган иш куйидагига тенг: Е E i 5 i

35 Е i ларнинг аник кийматини исоблаб булмайди. Уларнинг такрибий кийматларини исоблаш учун [ i- ; i ] ларнинг ар бирида итиёрий i нукта танлаб оламиз ва шу нукталардаги F=f функциянинг f i кийматларини исоблаймиз. формулага кура Е f Е f Е i f i i Е f Буларни 5 тенгликка куйиб изланаётган ишнинг такрибий кийматини интеграл йигинди куринишида топамиз: Е i f i i.аник интегралнинг таърифи. =f функция [а; b] кесмада узлуксиз булсин. = i b= булиниш нукталари ёрдамида [а;b] кесмани та кичик сегментларга ажратамиз.-расм. [ ; ] [ ; ] [ i- ; i ] [ - ; ]. [ i- ; i ] i= кичик сегментларнинг ар бирида итиёрий i нуктани танлаймиз. f функциянинг i нуктадаги кийматини мос сегментнинг i - i- = i узунлигига купайтириб каби интеграл йигинди тузамиз. S f i i i ТАЪРИФ: Агар S интеграл йигинди [а; b] кесмани [ i- ; i ] сегментларга ажратиш усулига ва уларнинг ар бирида i нуктанинг танлашига боглик булмайдиган I лимитга эга булсак у олда в бу I сон [а; b] кесмада f функциядан олинган аник интеграл дейилади.ва f d каби а белгиланади: b I lim f i i f d m i i Бу ерда а куйи чегара b юкори чегара f интеграл остидаги функция fd интеграл остидаги ифода дейилади. b [а ; b] кесмада f d интеграли мавжуд булган f функция бу кесмада а интегралланувчи функция деб айтилади. а f d b b b b в f d fd b c.аник интеграл оссалари. = б kf d k f d d г <c<b учун d f d f f d b c b

36 д Агар [а; b] кесмада f булса b f d f d d е Агар [а; b] кесмада f булса b ж Агар f функция [а; b] кесмада узлуксиз булса у олда бу кесмада шундай нукта b топиладики бунда f d = fb- булади. з f булганда b f d b АВ ва эгри чизикли трапециянинг юзига тенг аник интегралнинг геометрик мазмуни F=f функция узгрувчан куч булганда b бажарилган иш катталигига тенг.аник интегралнинг меаник мазмуни f d С а в о л л а р :. Аник интеграл таърифини келтиринг.. Аник интегралнингкандай оссалари бор. 9 - М А Ъ Р У З А НЬЮТОН ЛЕЙБНИЦ ФОРМУЛАСИ ВА АНИК ИНТЕГРАЛНИ ХИСОБЛАШ УСУЛЛАРИ. Таянч иборалар: Ньютон-Лейбниц формуласи чегараси узгарувчан булган интеграл булаклаб интеграллаш узгарувчиларни алмаштириш..интегралнинг узгарувчи юкори чегараси буйича осиласи. b у=f функция [а;b] кесмада узлуксиз булсин. f d интегрални караймиз. Агар b юкори чегара узгарувчан булса юкори чегараси узгарувчан булган интеграл осил булади: I f d -ТЕОРЕМА : Агар f узлуксиз функция булса

37 I f d f -тенглик уринли булади. Исбот : аргументга ортирма берамиз. У олда аник интегралнинг оссасига асосан f d f d I f d I функциянинг ортирмасини ёзамиз: I=I+ -I= d f d f f d яъни I= f d 6 Аник интегралнинг ж оссасига асосан 6 интеграл X X I f d f f куринишга келадибунда ξ нинг киймати билан + орасида ётади. Хосиланинг таърифига асосан lim lim f I = X X f интилганда назарга тутилади. Теорема исботланди.. Ньтон Лейбниц теоремаси. ТЕОРЕМА: Агар F узлуксиз f функциянинг бирор бошлангич функцияси булса у олда b b f d F =Fb-Fа тенглик уринлидир. Бу тенглик Нътон-Лейбниц формуласи дейилади. Исбот: F функция узлуксиз f функциянинг бирор бошлангич функцияси булсин. I- теоремага асосан f d функция ам fфункциянинг бошлангич функцияси булади.аммо ар кандай иккита бошлангич функция бир-биридан узгармас С кушилувчи билан фарк килади: f d =F+С 7 Бу тенгламада =а деб олсак аник интегралнинг а оссасига асосан =F+ С булади. Демак С =- F а булади. С кийматини 7 га куямиз.

38 f d = F-F Энди бу тенгликда =b десак Ньютон-Лейбний формуласи осил булади. =Fв Fа 8 f d =F Теорема исботланди. Бевосита интеграллаш дифференциал остига киритиш у с у л л а р и. -М и с о л : d b b b -М и с о л : d e l e l -М и с о л : d l d l l e e - l e l -М и с о л : 5-М и с о л : в а е d d e b е rcsi в е а rcsi 6 6-М и с о л : d rcg rcg 7-М и с о л : d d d 8-М и с о л : si d si d cos cos cos.булаклаб интеграллаш усули. и ва v функциялар нинг дифференциалланувчи функциялари булсин. У олда : dи ; v=vdи+иdv Бу айниятнинг иккала томонини а дан в гача интеграллаймиз:

39 b d u v vdu b b udv чап томонига Ньютон-Лейбниц формуласини куллагандан кейин оирги тенгликни куйидаги куринишда ёзиш мумкин: b b b vdu 9 udv u v 9- тенглик аник интегрални булаклаб интеграллаш формуласи дейилади. -М и с о л : u cos d d du cos - М и с о л : d е l u dv l d d du v cos d dv si si d si v l e e d -Мисол: rcg u du d dv v rcgd d rc g l l l. Аник интегралда узгарувчини алмаштириш. d b -ТЕОРЕМА: f d интегралда = тенглик оркали янги узгарувчи киритилган булсин. Агар =а =b ва лар [] да узлуксиз функциялар булса f [] функция [] кесмада аникланган ва узлуксиз булса у олда f d f d булади. Бу тенглик аник интегралда узгарувчиларни алмаштириш формуласи деб аталади. -

40 Исбот: F функция f функциянинг бошлангич функцияси булсин. Унда куйидаги тенгликларни ёзиш мумкин: b f d F b F b F F F F b F f d F Теорема исботланди. -М и с о л : d d d d d = 5-М и с о л : = cos si ; d cosd d cos si d cos d. С а в о л л а р :.Нътон-Лейбниц формуласини келтириб чикаринг..аник интегрални булаклаб булаклаб интеграллаш учун формулани келтириб чикаринг.. Аник интегралда узгарувчиларни алмаштириш формуласини келтиринг.

41 -М А Ъ Р У З А ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАР ХАКИДА ТУШУНЧАЛАР. ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАРНИ ХИСОБЛАШ. Таянч иборалар: Хосмас интеграл якинлашувчи осмас интеграл узоклашувчи осмас интеграл..чегараси чексиз осмас интеграллар. ТАЪРИФ: [а; интервалда узлуксиз булган функциянинг осмас деб лимитга айтилади ва каби белгиланади яъни lim b b а f d f d интеграли f d lim f d. в b Агар лимит мавжуд булса у олда осмас интеграл якинлашувчи дейилади агарда курсатилган лимит мавжуд булмса осмас интеграл узоклашувчи дейилади. - ;b] - ; интервалларда осмас интеграл шунга ушаш таърифланади. b f d lim f d. b f d f d f d lim f d lim f d М и с о л : С С d интегрални исоблаймиз. b. b С - расм Ечими:

42 в d d = lim b в = lim rcg b b lim rcgb rcg Каралган интеграл -расм да штриланган чексиз эгри чизикли трапециянинг юзини ифодалайди. Баъзи бир олларда берилган интегралнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи эканини билиш ва унинг кийматини баолаш етарли булади. Куйидаги теоремалар исботсиз келтирилади. ТЕОРЕМА: Агар барча а лар учун f φ тенгсизликлар бажарилса ва d якинлашувчи булса у олда f d ам якинлашувчи булади бунда f d d булади. М и с о л : Ечими: d интеграл якинлашувчи эканлиги текширилсин. е булганда е d b! b b b lim lim асосан якинлашувчи экан. < Демак d теоремага е ТЕОРЕМА: Агар барча а лар учун φ f тенгсизликлар бажарилса ва шу билан бирга d узоклашувчи булса у олда f d интеграл ам узоклашувчи булади. М и с о л : d текширилсин. Ечими : аммо d lim b b Теоремага асосан берилган интеграл узоклашувчи булади. b lim b -

43 ТЕОРЕМА: Агар якинлашувчи булади. Бу олда si М и с о л : Ечими : Аммо f d интеграл якинлашувчи булса d f d si булиши маълум. d lim f d интеграл ам интеграл абсалют якинлашувчи интеграл дейилади. интегралнинг якинлашишини текширинг. b b b Демак юкоридаги теоремаларга асосан si d si d b lim интеграл якинлашувчи ва у билан бирга интеграл ам якинлашувчидир.. Чексиз функцияларнинг осмас интеграллари. ТАЪРИФ: [а; интервалда узлуксиз ва =а да аникланмаган ёки узилишга эга булган f функциянинг осмас интеграли деб b lim f d f d b! лимимтга айтилади. Агар лимит мавжуд булса у олда осмас интеграл якинлашувчи дейилади. Акс олда осмас интеграл узоклашувчи деб айтилади. [а; интервалда узлуксиз ва =b да аникланмаган f функциянинг осмас интеграли ам шунга ушаш таърифланади: b lim b f d f d d М и с о л : интегрални текширинг. Ечими : = да функция аникланмаган. Куйидагилар уринли булади: d d = + d = lim d d lim

44 d = lim d lim. Демак курсатилган осмас интеграл узоклашувчи экан. С а в о л л а р :.Хосмас интегрални таърифланг..хосмас интегралнинг оссаларини келтиринг..чексиз функцияларнинг осмас интегралларини таърифланг. М А Ъ Р У З А АНИК ИНТЕГРАЛНИ ТАКРИБИЙ ХИСОБЛАШ. Таянч иборалар: Такрибий исоблаш тугри туртбурчак формуласи трапеция формуласи Симпсон формуласи а Тугри туртбурчаклар формуласи. в а f d аник интегрални исоблаш талаб килинсин. Бунда f берилган а; в кесмада узлуксиз функциядир. а; в кесмани а= =в нукталар билан узунлиги булган та тенг булакларга ажратамиз: = в

45 Сунгра f функциянинг нукталардаги кийматларини у у у у - у оркали белгилаймиз яъни у = f у = f у = f Ушбу йигиндиларни тузамиз: у + у + + у - у + у + + у Бу йигиндиларнинг ар бири f учун а; в кесмада интеграл йигинди булади ва шунинг учун в f d интегралнинг такрибий ифода этади: а в а в в а f d... у в а f d... у а Булар тугри туртбурчаклар формуласи деб айтиладилар. б Трапециялар формуласи. Агар берилган у=f эгри чизикни тугри туртбурчаклар формуласида булгандек зинапоясимон чизик билан алмаштирмасдан балки ички чизилган синик чизик билан алмаштирсак у олда аник интегралнинг анча аникрок киймати осил булишини кутиш табиийдир. у А А - А А у Бу олда эгри чизикли аавв трапециянинг юзи юкоридан А А А А А - В ватарлар билан чегаралган тугри чизикли трапециялар юзларининг йигиндисига тенг булади. Аммо бу трапециялардан биринчисининг юзи ва аказо булгани сабабли в ёки а у у иккинчининг юзи у у у у у у f d... в а... у в f d а Бу эса трапециялар формуласидир. А у у Х =а Х Х у Х- B= в Симпсон формуласи. у - у у

46 Бу ерда а; в кесмани а= =в нукталар билан узунлиги булган та тенг булакларга ажратамиз: = в сунгра у =f у =f у =f ларни тузамиз ва булиниш нукталарнинг сони жуфт булсин деб кабул киламиз. Унда куйидаги муносабат уринли булади: в в а f d... у а + у +у + +у -. Бу формула Симпсон формуласидир. Уни исботсиз кабул киламиз. М и с о л : Ушбу l d интегрални тугри туртбурчаклар трапециялар ва Симпсон формулалари оркали исобланг. Ечими: ; кесмани та тенг булакка ажратамиз. деб олиб интеграл остидаги функция кийматлари жадвалини тузамиз: = у = = у =999 = у =8 = у =769 = у =79 5 =5 у 5 = =6 у 6 =65 7 =7 у 7 =588 =8 у 8 = =9 у 9 =56 = у =5. Тугри туртбурчаклар формуласини татбик этамиз: d =7877=7877 Трапециялар формуласини татбик этамиз: d Симпсон формуласини татбик этамиз: Хакикатда d l d 697 еттинчи каср она бирлигигача аникликда..

47 С а в о л л а р :.Тугри туртбурчаклар формуласини келтириб чикаринг..трапециялар формуласини келтириб чикаринг..симпсон формуласини келтиринг. - М А Ъ Р У З А АНИК ИНТЕГРАЛ ОРКАЛИ ЮЗАЛАРНИ ХАЖМЛАРНИ ЁЙ УЗУНЛИКЛАРИНИ ХИСОБЛАШ. Таянч иборалар: Кутб координаталар системаси жисмнинг кундаланг кесими айланма жисм жисм ажми ёй узунлиги..ясси фигуралар юзаларини исоблаш. а Аник интегралнинг таърифидан агар [а;b] кесмада функция f булсау олда у=f эгри чизик ОХ уки ва =а амда =b тугри чизик билан чегараланган эгри чизикли трапециянинг юзи b S f d га тенг. Агар [а;b] кесмада f булса тегишли трапециянинг юзи в S = f d а га тенг булади. у =f ва у =u эгри чизиклар амда =а ва =b тугри чизиклар билан чегараланган D фигуранинг юзини исоблаш керак булсин 5-расм f D b 5 - расм У олда формуладан икки марта фойдаланиб куйидагини осил киламиз: b S f d б Кутб координаталар системасида ясси фигура = эгри чизиккутб марказидан чикувчи = = нурлар билан чегараланган булсин. 6- расм. У олда АВО эгри чизикли трапеция юзи куйидаги формула оркали исобланади: S d.

48 A В 6 - расм. Аник интегралнинг жисмлар ажмини исоблашга тадбики. а Жисмнинг ажмини кундаланг кесмнинг юзи буйича исоблаш. Бирор-бир жисмнинг v ажмини исоблаш талаб этилсин. Бу жисмнинг ОХ укига перпендикуляр текислик билан кесимининг юзи S маълум булсин. 7-расм. S 7 - расм i- i b [а;b] кесмани а = i- i =b нукталар билан итиёрий булакка буламиз ва бу нукталар оркали ОХ укига перпендикуляр текисликлар утказамиз.7-расм. Бу текисликлар жисмни та катламга ажратадиуларнинг ажимларини V V V билан белгилаймиз. У олда V= V i i i- чи цилиндрнинг ажми V i S i i эканлигини назарга олсак V= lim i i m i b ва ажмни исоблаш учун куйидаги формула келиб чикади: в V S d а S S d б Айланма жисмларининг ажмини исоблаш. Агар жисм у=f чизик билан чегараланган эгри чизикли трапециянинг ОХ ук атрофида айланишдан осил булса ОХ укига перпендикуляр абциссали кесим доирадан иборат булиб S=у юзага тенг булади. Демак бу олда V в а f d

49 . Ясси эгри чизик ёйи узунлигини аник интеграл ёрдамида исоблаш. у=f чизикнинг =а ва =b чизиклар орасида жойлашган кисми узунлигини куйидаги формула оркали исоблаймиз: b у а в Агар эгри чизик параметрик тенгламалар оркали берилган булса.яъни у олда булади. d г Агар эгри чизик кутб координаталарда берилган булсаяъни d. у олда булади. d С а в о л л а р :.Ясси фигуралар юзини аник интеграл оркали исоблаш формулаларини келтиринг..жисмлар ажмини исоблашга аник интеграл кандай татбик этилади..ясси эгри ёй узунлигини аник интегралоркали кандай исобланади.

50 М А Ъ Р У З А СОНЛИ КАТОРЛАР ВА УЛАРНИНГ АСОСИЙ ХОССАЛАРИ. Таянч иборалар: Сонли каторлар усусий йигинди якинлашувчи катор узоклашувчи катор якинлашишининг зарурий шарти. I. Cонли катор таърифи. - усусий йигинди. ТАЪРИФ: и и и и чексиз сонли кетма кетлиги берилган булсин. Ушбу и + и + и + + и + = u ифода сонли катор дейилади. и биринчи и -чи адлари ТАЪРИФ: -каторнинг та чекли адларининг йигиндиси S = и + и + и + + и + = u i каторнинг усусий йигиндиси дейилади. усусий йигиндилар кетма-кетлигини тузамиз: S = и S = и + и.. S = и + и + и + + и ТАЪРИФ: Агар S lim S мавжуд булса унга каторнинг йигиндиси деб айтилади ва катор якинлашади дейилади. S чегараланган сон Агар lim S мавжуд булмаса ёки га тенг булса катор узоклашувчи деб айтилади. М и с о л : каторнинг йигиндисини топинг. Ечими: = п п п

51 S = i i i = S= lim катор йигиндиси га тенг у якинлашувчи экан. М и с о л : Ушбу а+q + +q - + каторни текширинг. S = lim = Ечими: катор геометрик прогрессия адларидан тузилган катордир а биринчи ади q унинг маражи. Геометрик прогрессиянинг олдинги та адининг йигиндиси а аq q S = q q q q Агар q < булса lim S = lim Демак q < да катор якинлашувчи. г Агар q > булса lim S = lim Демак q > да катор узоклашувчи. Агар q= булса дан катор осил булади. а+а+ +а+ q = q q q = q q а q S = lim = булиб каторнинг узоклашувчанлиги келиб чикади. q=- булса дан кичик а-а+а-а+ катор осил булади. Бу олда жуфт булганда S = ток булганда S = булади. Демак S нинг лимити мавжуд булмайди катор узоклашувчидир. Куйидаги теоремани исботсиз кабул киламиз..сонли каторнинг оссалари.

52 ТЕОРЕМА: Агар берилган каторнинг бир канча адларини ташлаш биланосил килинганкатор якинлашса берилган каторнинг узи ам якинлашади. Аксинча агар берилган катор якинлашса унинг бир канча адларини ташлаш билан осил килинган катор ам якинлашади. ТЕОРЕМА: Агар а + а + +а + 5 катор якинлашса ва йигиндиси S га тенг булса са +са + +са + 6 катор ам якинлашади ва йигиндиси сs га тенг булади бунда с узгармас сон. Исбот: Агар 5 каторнинг - усусий йигиндиси S булса 6 каторнинг усусий йигиндиси с S булади. Демак lim lim c S c S c S Теорема исботланди. ТЕОРЕМА: Агар а + а + +а + 7 в + в + +в + 8 каторлар якинлашса ва уларнинг йигиндилари мос равишда S ва S булса у олда а в + а в + +а в + 9 катор якинлашувчи булади ва йигиндиси S S га тенг булади. Исбот: S 9 каторнинг - усусий йигиндиси булсин. Демак lim S = lim S S S S Бу ерда S ва S мос равишда 7 ва 8 каторларнинг -усусий йигиндилари..сонли каторларни таккослаш аломатлари. ТЕОРЕМА: и + и + и + + и + ва V + V + + V + мусбат адли сонли каторлар булсин. каторнинг адлари -каторнинг мос адлардан ортик булмасин : и V и V и V ва - катор якинлашувчи булсин. Бундай олда катор ам якинлашувчи булади ва унинг йигиндиси катор йигиндисидан ортмайди.

53 ТЕОРЕМА: Агар каторнинг адлари каторнинг мос адларидан кичик булмаса : и V и V и V ва катор узоклашувчи булсин. Бу олда катор ам узоклашувчи теоремаларни исботсиз кабул киламиз. булади. Бу М и с о л : каторни текширинг. Ечими: Ёрдамчи каторни караймиз. Бу катор геометрик прогрессия адларидан тузилган q= / катор ва у якинлашувчидир. Демак катор якинлашувчи экан..катор якинлашишининг зарурий шарти. ТЕОРЕМА. Агар и + и + и + + и + катор якинлашувчи булса у олда да унинг и умумий ади нолга интилади. Исбот. S = и + и + и + + и ва S - = и + и + и + + и - усусий йигиндиларни караймиз. Демак lim u lims S = lim S - lim S - = Теорема исботланди. С а в о л л а р :.Сонли каторни таърифланг..сонли каторнинг оссаларини келтиринг..катор якинлашишининг зарурий шартини келтиринг.

54 -М А Ъ Р У З А МУСБАТ ХАДЛИ СОНЛИ КАТОРЛАР ЯКИНЛАШИНИНИНГ ЕТАРЛИ ШАРТЛАРИ. Таянч иборалар: Сонли каторлар якинлашишининг етарли шартлари Даламбер аломати Коши аломати интеграл аломати. Агар сонли катор учун якинлашишнинг зарурий шарти бажарилса унинг якинлашувчанлигига шуба осил пайдо булади. Бундай олда каторнинг текширилиши давом эттирилади. ТЕОРЕМА:Даламбер аломати Агар мусбат адли и + и + и + + и + катор + - адининг адига нисбати l чекли лимитга эга булса яъни lim u u l булса у вактда: l< булганда катор якинлашади; l> булганда катор узоклашади; l= булганда катор текширилишини давом эттириш керак. Теорема исботсиз кабул килинади. М и с о л : каторни текширинг. Ечими: u = / u + = / + u lim lim : lim u * Катор якинлашувчи экан. ТЕОРЕМА: Коши аломати Агар мусбат адли катор учун лимитга эга яъни lim u l булса l< булганда катор якинлашади; 5 l> булганда катор узоклашади; 6 l= булганда катор текширилиши давом этилади. Теорема исботсиз кабул килинади. u микдор l чекли М и с о л : п п п п каторни текширинг. Ечими: Коши аломатига кура

55 lim lim п п u lim п п катор якинлашувчи. ТЕОРЕМА: Катор якинлашишининг интеграл аломати. Ушбу и + и + и + + и + каторнинг адлари мусбат лекин усувчи булмасин яъни и и и ва f шундай усмайдиган узлуксиз функция булиб п f = и f = и f = и. булсин. Бу олда куйдагилар уринлидир : а агар f d осмас интеграл якинлашса катор ам якинлашади; б агар бу осмас интеграл узоклашса катор ам узоклашувчи булади. Исбот: Теореманинг шартларига асосан у = f мавжуд булсин. u u u u u расм

56 u u u u u расм 8- расмга асосан S > f d 9- расмга кура S + < f d u - якинлашса у олда г f d тенгликдан булади. f d f d S + < S < f d Лекин f d якинлашувчи шунинг учун lim S S тенгликдан берилган каторнинг якинлашувчанлиги келиб чикади.

57 узоклашсин у олда тенгликдан д f d S > f d lim S > lim f d келиб чикади. Бундан берилган каторнинг узоклашувчанлиги келиб чикади. Теорема исботланди. М и с о л : 5 Ечими: Интеграл белгисига асосан f = 5 d 5 b lim b в lim d 5 lim b lb 5 l 7 в d 5 5 lim b l 5 в Хосмас интеграл узоклашувчи демак катор ам узоклашувчи булади. 5 С а в о л л а р :.Мусбат адли сонли каторлар якинлашишининг етарли шартларини келтиринг: адаламбер аломати. бкоши аломати. винтеграл аломати. 5 М А Ъ Р У З А ИШОРАЛАРИ НАВБАТЛАШУВЧИ КАТОРЛАР УЗГАРУВЧАН ИШОРАЛИ КАТОРЛАР ШАРТЛИ ВА АБСОЛЮТ ЯКИНЛАШИШЛАР.

58 Таянч иборалар: Ишоралари навбатлашувчи узгарувчан ишоралари шартли якинлаштш абсолют якинлашиш Лейбниц теоремаси..ишоралари навбатлашувчи каторлар. ТАЪРИФ : u u u мусбат адли сонли кетма-кетлик адларидан тузилган каторга ишоралари навбатлашувчи катор деб айтилади. ТЕОРЕМА: Лейбниц. Агар 5 ишорали навбатлашувчи каторнинг адлари u >u >u > u > 6 ва lim u 7 булса5 катор якинлашадиунинг йигиндиси мусбат булади ва биринчи аддан катта булмайди. Теорема исботсиз кабул килинади. М и с о л : каторни текширинг. Ечими. Катор адларини ёйиб ёзамиз :... Ишоралари навбатланувчи катор экан. Лейбниц теоремасидаги шартларни текширамиз: а шарт бажарилди. б lim 7 шарт бажарилди. Демак берилган катор якинлашувчи ва унинг йигиндиси бирдан ошмайди. Узгарувчан ишорали каторлар.абсолют ва шартли якинлашиш ТАЪРИФ: Агар сонли каторнинг адлари орасида мусбатлари ам манфийлари ам булса катор узгарувчан ишорали катор деб айтилади. Шуни изолаб айтиш мумкинки ишоралари навбатлашувчи каторлар узгарувчан ишорали каторларнинг усусий олидир. u u u cонлар мусбат ам манфий ам булиши мумкин булган сонли кетма-кетликдан тузилган каторни караймиз u u u u 8

59 ТЕОРЕМА: Узгарувчан ишорали катор якинлашишининг етарли шарти. 8 катор адларининг абсолют кийматларидан тузилган u u... u... u 9 катор якинлашса берилган узгарувчан ишорали 8 катор ам якинлашади. М и с о л: каторни текширинг. Ечими: Берилган катор адларининг абсолют кийматларидан тузилган каторни караймиз: Даламбер белгисига асосан u lim :. lim u - катор якинлашувчи экан демак теоремага асосан берилган катор ам якинлашувчи булади. ТАЪРИФ : Агар 8 узгарувчан ишорали катор адларининг абсолют кийматларидан тузилган 9- катор якинлашса берилган u u u... u... катор абсолют якинлашувчи дейилади. Агар 8 узгарувчан ишорали катор якинлашса лекин унинг адларининг абсолют кийматларидан тузилган 9- катор узоклашса берилган 8- катор шартли якинлашувчи катор деб айтилади. М и с о л : каторни текширинг. Ечими: Оирги катор якинлашишини интеграл белгиси оркали текширамиз. b d d b lim lim l lim l b b b b l Хосмас интеграл узоклашувчи демак lim зарурий шарт бажарилган булса ам гармоник катор деб аталмиш катор узоклашувчи экан. Лекин маърузамизни -пунктида. т катор якинлашувчанлиги курсатилган эди.бундан катор шартли якинлашиши келиб чикади.

60 ТЕОРЕМА: Агар 8 катор абсолют якинлашса унинг адларининг уринлари итиёрий равишда алмаштирилганда ам у абсолют якинлашувчанлигича колади. Бу ва юкорида таърифланган теоремалар исботсиз кабул килинади. С а в о л л а р :.Лейбниц теоремасини таърифланг..узгарувчан ишорали каторларни таърифланг..абсалют ва шартли якинлашишлар нима? 6 М А Ъ Р У З А ФУНКЦИОНАЛ КАТОРЛАР. ДАРАЖАЛИ КАТОРЛАР ВА ЯКИНЛАШИШ ОРАЛИКЛАРИ. УЛАРНИНГ Таянч иборалар: Функционал катор якинлашиш соа даражали катор якинлашиш радиус Абель теоремаси кучайтирилган катор.. Функционал каторлар. ТАЪРИФ: Агар катор адлари дейилади: узгарувчининг функцияси булса бу катор функционал катор U U... U... U нинг функционал катор якинлашадиган кийматлари туплами шу каторнинг якинлашиш соаси дейилади. Бу ерда U каторнинг биринчи U иккинчи ва U -чи ади деб айтилади. Табиийки каторнинг якинлашиш соасидаги йигиндиси нинг бирор функциясидир ва уни S билан белгилаймиз: М и с о л : U U... U... S функционал каторнинг аникланиш соаси D ва адлар йигиндиси S функцияни топинг. Ечими: Аникланиш соаси D -; ораликдаги кийматлардан иборат чунки бу кийматлар учун берилган функционал катор ун учинчи маърузадаги мисолда урганилган чексиз камаювчи геометрик прогрессияга тенг. Унинг биринчи ади b= га ва маражи q = га тенг. Демак

61 булади. S q - ТАЪРИФ: катор биринчи та адларининг йигиндиси S билан белгиланади ва унга - усусий йигинди деб айтилади. r S S эса функционал каторнинг колдиги деб айтилади. Каторнинг якинлашиш соасидаги нинг барча кийматлари учун lim S муносабат уринлидир. Шунинг учун lim муносабат уринли булади. S r lim S S. Кучайтирилган каторлар. ТАЪРИФ: Агар адлари мусбат булган шундай сонли якинлашувчи катор мавжуд булиб узгарувчининг берилган соадаги барча кийматлари учун муносабат бажарилса U U... U U U U... U функционал катор узгарувчининг узгариш соасида кучайтирилган катор деб айтилади. М и с о л : cos ва якинлашувчи катор учун ; да бажарилади. cos... Демак cos катор ; да кучайтирилган катордир. Куйидаги теоремаларни исботсиз кабул киламиз:

62 ТЕОРЕМА: Бирор [ ; b] кесмада кучайтирилган булган ва узлуксиз функциялардан тузилган функционал каторнинг йигиндиси шу кесмада узлуксиз функциядир. ТЕОРЕМА: [ ; b] кесмада кучайтирилган булган узлуксиз функцияларнинг куйидаги U U U... U... катори берилган ва S шу каторнинг йигиндиси булсин. Бу олда куйидаги тенглик уринли булади: S d U d. Бу функционал каторни адлаб интеграллаш коидаси дейилади. ТЕОРЕМА : Агар [ ; b] кесмада осилалари узлуксиз булган функциялардан тузилган U U U... U... катор шу кесмада S йигиндига эга булса ва унинг адларининг осилаларидан тузилган. ' ' ' ' U U U... U... катор шу кесмада кучайтирилган булса куйидаги тенглик уринли булади: S ' U Бу функционал каторни адлаб дифференциаллаш коидаси дейилади. ТАЪРИФ : Ушбу. Даражали каторлар куринишдаги функционал катор даражали катор деб айтилади. Бунда а узгармаслар булиб каторнинг коэффициентлари дейилади. ТЕОРЕМА: Абель. а Агар даражали катор нолдан фаркли бирор кийматда якинлашса узгарувчининг < тенгсизликни каноатлантирувчи ар кандай кийматларида катор абсолют якинлашади. б агар катор бирор кийматда узоклашса нинг > тенгсизликни каноатлантирувчи ар бир кийматида катор узоклашади. Натижа: Даражали каторнинг якинлашиш соаси маркази координаталар бошида булган симметрик интервалдан иборатдир. ТАЪРИФ: Даражали каторнинг якинлашиш интервали дебшундай -RR интервалга айтиладики бу интервал ичида ётган ар кандай нуктада катор якинглашади унинг ташкарисидаги ларда эса катор узоклашади. Бу ерда R сони даражали каторнинг якинлашиш радиуси деб айтилади. Даражали каторнинг якинлашиш радиусини исоблаш формулаларини келтирамиз: