Комплекс ўзгарувчили функциялар назарияси

Transcript

1 ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ ҚОРАҚАЛПОҚ ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ Математика факультети Математик анализ кафедраси Комплекс ўзгарувчили функциялар назарияси фанидан Маърузалар матни Тузган : Б.Отемуратов Нукус

2 -Маъруза. МАВЗУ: КОМПЛЕКС СОНЛАР. Комплекс сон тушунчаси. Текисликда Декарт координаталар системаси берилган булсин. Абсциссалар укида жойлашган нукталар тупламини R ординаталар укида жойлашган нукталар тупламини R оркали белгилайлик. Ихтиёрий R R хакикий сонлардан ху жуфтликни хосил киламиз. Бунда агар у булса хх деб караймиз. Бундай жуфтликлардан ташкил топган С{: R R } тупламда арифметик амаллар киритилиши мумкин. Агар C C жуфтликлар учун х х у у булса бу жуфтликлар узаро тенг дейилади ва каби белгиланади. C ва C жуфтликларнинг йигиндиси куйидагича аникланади: C ва C жуфтликларнинг айирмаси хам куйидагича аникланади: Купайтириш ва булиш амаллари хам мос равишда куйидагича аникланади. - х у х у Шундай килиб С туплам элементлари устида турт амал кушиш айириш купайтириш ва булиш амаллари киритилди. Бу амаллар куйидаги хоссаларга эга:.коммутативлик.ассоциативлик

3 3.Дистрибутивлик Юкорида келтирилган С{: R R } Туплам элементлари устида арифметик амалларнинг бажарилиши ва уларнинг -3 хоссаларга эга эканлиги табиий равишда С туплам элементларини сон деб караш имконини юзага келтиради. Одатда С туплам элементи ху жуфтлик комплекс сон дейилади ва у битта харф билан белгилнади. Демак С туплам комплекс сонлар тупламини ифодалар экан. Маълумки R учун хх Бу эса хакикий сон комплекс соннинг хусусий холи эканини билдиради. Демак R С. Комплекс соннинг куринишлари..алгебраик куриниши. жуфтликни олиб уни билан белгилаймиз ва бу белгини мавхум бирлик деб атаймиз. - булади. Хакикатан хам -- белгиси ёрдамида комплекс сонни алгебраик шаклда куринишда ёзиш мумкин. Чунки булса х комплекс соннинг хакикий кисми дейилади ва Re каби белгиланади. комплекс сониниг мавхум кисми дейилади ва уim каби белгиланади. комплекс сон берилган булса - комплекс сон уни кушмаси дейилдади ва оркали белгиланади:. 3

4 Куйидаги тенгликлар уринлидир: Эслатма: та... комплекс сонларнинг йигиндиси хамда купайтмаси юкоридагидек киртилади ва улар учун мос хоссалар хамда тенгликлар уринли булади. Жумладан булади тригонметрик куриниши Ихтиёрий комплекс сонни олайлик. Текисликда координаталари х ва у булган Мху нуктани караймиз. Маълумки OM шу M нуктанинг радиуси-вектори дейилади. Бу радиус-векторнинг узунлиги r унинг O уки билан ташкил этган бурчаги ϕ булсин. Чизмада тасвирланган OMB тугри бурчаги уч бурчакдан топамиз: 4

5 r cosϕ r sϕ ϕ < π Унда куринишдаги комплекс сон куйидагича ифодаланади. cosϕ sϕ r cosϕ r sϕ r Одатда комплекс соннинг бу ифодаси унинг тригонаметрик куриниши дейилади. Бунда r мусбат сон комплекс соннинг модули дейилиб каби белгиланади: r ϕ бурчак эса комплекс соннинг аргументи дейилиб rg каби белгиланади:. ϕ rg Яна OMB дан Пифагор теоремасига кура хамда булишини топамиз. r r < 3 tg ϕ яъни ϕ rctg 4 Демак комплекс соннинг модули 3 формула аргументи эса 4 формула ёрдамида топилади. Мисол.. 3 Комплекс соннинг модули хамда аргументини топинг. Бунда 3 булади. 3 ва 4 га кура r 3 tg ϕ. Ушбу 3 3 яъни π ϕ булади. 3 комплекс сонни триганаметрик куринишда ифодаланг. 3 Бунда булиб 5 3

6 r 3 3 ϕ rg rctg rctg 3 У холда формулага кура берилган комплекс сон куйидаги 3 π cos s π 3 3 Триганаметрик куринишга эга булади. π 3 3. Курсаткичли куриниши. Фараз килайлик ϕ < π ϕ C соннинг модули r r < аргументи эса булсин. Унда бу комплекс сон cosϕ sϕ r тригонаметрик куринишга эга булади. Комплекс анализ курсида мухим булган куйидаги ϕ e cosϕ sϕ 6 4 Эйлер формуласидан Бу формулани кейинги маърузада Фойдалансак комплекс соннинг ушбу ϕ re исботлаймиз ифодасига келамиз. Бу комплекс соннинг курсаткичли ифодаси дейилади. ϕ r e r ϕ re булса у холда r ϕ r r ϕ e ϕ ϕ e 6 ва 7 муносабатлардан куйидаги муносабатлар келиб чикади:.

7 . rg rg rg rg rg rg. 3. Комплекс сонни даражага кутариш ва ундан илдиз чикариш. Айтайлик... комплекс сонлар берилан булсин. Иккита комплекс сонлар купайтмаси сингари бу та комплекс сонлар купайтмаси. ϕ ϕ... ϕ... r r... r e ϕ булади. Бунда r e.... Хусусан... булса тенглик ушбу ϕ r e куриишга эга булиб бу комплекс соннинг -даражаси дейилади. Равшанки Демак r e ϕ r cos ϕ s ϕ cos ϕ s ϕ r 3 Одатда 3 формуласи Муавр формуласи дейилади. Айтайлик C комплекс сон ва тайинланган N сонлар берилган булсин. Ушбу 4 тенгликни каноатлантирувчи комплекс сон комплекс сондан олинган - даражали илдиз дейилади ва у Берилган комплекс сон куйидаги каби белгиланади: 7

8 cos ϕ s ϕ r 5 тригонаметрик куринишда бусин. комплекс сонни ушбу куринишда излаймиз. Унда 4 5 ва 6 муносабатларга кура булади. Энди. cos ψ s ψ ρ 6 [ ρ сos ψ s ψ ] r cos ϕ s ϕ [ ρ сos ψ s ψ ] ρ cos ψ s ψ Формулани этиборга олиб куйидаги тенгликка келамиз. Унда булиши келибчикади. топамиз: ρ cos ψ s ψ r cos ϕ s ϕ ρ ρ cos ψ r cos ϕ 7 s ψ r s ϕ Бу тенгликларни квадратга кутариб сунг уларни хадлаб кушиб ρ ψ s ψ cos r cos ϕ s ϕ ρ r ρ Топилган ρ нинг кийматини 7 тенгликлардаги ρ нинг урнига куйсас Ушбу тенгламалар хосил булади. Агар маълум булган. cos ψ s ψ cos ϕ s ϕ α π cos α cos r 8

9 тенгликларни этборга олсак унда яъни булишини топамиз. модули α π s α s ψ ϕ π ϕ π ψ ± ±... Демак изланаётган ρ cos ψ s ψ комплекс соннинг ρ r аргументи эса булар экан. Демак булади. ψ ϕ π ϕ π ϕ π r cos s 8 Таянч иборалар. Комплекс сон комплекс соннинг куринишлари комплекс соннинг модули ва аргументи Эйлер формуласи комплекс соннинг хакикий кисми комплекс соннинг мавхум кисми кушма комплекс сон. Комплекс сонни даражаси комплекс сонни илдизи Муавр формуласи Уз-узини текшириш учун саволлар:. Комплекс сон таърифини айтинг.. Комплекс соннинг алгебраик куринишини айтинг. 9

10 3. Комплекс соннинг триганаметрик куринишини айтинг. 4. Комплекс соннинг курсаткичли куринишини айтинг. 5. Комплекс сонни даражага кутариш деганда нимани тушунасиз? 6. Комплекс сондан илдиз чикариш деганда нимани тушунасиз? Адабиётлар: [] 5-4 бетлар [] 3-5 бетлар [3] 3-8 бетлар [4] 5-4 бетлар [5] 7-7 бетлар.

11 - Маъруза. КОМПЛЕКС СОННИ ГЕОМЕТРИК ТАСВИРЛАШ. КОМПЛЕКС ТЕКИСЛИК. РИМАН СФЕРАСИ. Ихтиёрий C билан аниклансин: комплекс сонни олайлик. Бу ху жуфтлик R R Текисликда абциссаси х га ординатаси эса у га тенг булган нукта комплекс соннинг геометрик тасвири дейилади. Хусусан хх куринишдаги комплекс соннинг геометрик тасвири абциссалар укида жойлашган нукта булди. уу куринишдаги комплекс соннинг геометрик тасвири эса ординаталар укида жойлашган нукта булади. Абциссалар уки хакикий ук ординаалар уки эса мавхум ук деб юритилади. Демак С тупламдан олинган хар бир комплекс сонга текисликдабу сонни геометрик тасвирловчи битта нукта мос келар экан. Энди текисликда ихтиёрий нукта олайлик. Унинг абциссаси х ординатаси у булсин. Бу сонлардан тузилган ху жуфтлик битта комплекс сонни аниклайди. Олинган нуктага шу комплекс сонни мос куйиш билан текисликдаги хар бир нуктага битта комплекс сон мос келишини аниклаймиз.

12 Шундай килиб С билан текисликдаги барча нукталар туплами орасида узоро бир кийматли мослик урнатилди. Бу эса С тупламнинг геометрик тасвирини теикислик деб караш имконини беради. Бундай текислик комплекс сонлар ткислиги деб аталади ва у хам С каби белгиланади. Комплекс сонни бошкача хам тасвирлаш мумкин. Бунинг учун 3 R фазода Декарт координаталар системасини олиб унда маркази нуктада раиуси га тенг булган ушбу 3 S η ζ R ; η ζ 9 4 сферани караймиз. Равшанки бу сфера O укни хамда N нукталарда кесади. N нуктани шимолий кутб деб атаймиз.х ва у укларни мос равишда ва η укларига устма-уст куямиз. хоу комплекс текисликдаги нур ёрдамида туташтирамиз. Натижада нуктада кесади. Биз нукта билан шимолий N кутбни Z мосликка эга буламиз. Ν нур S сферани кандайдир Z Шундай килиб комплекс текисликдаги барча нукталар туплами билан сферанинг \ { Ν } экан. S нукталари туплами узоро бир кийматли мосликда булар

13 Комплекс текисликдаги нукта координата бошидан узоклаша борган сари унинг сферадаги тасвири N нуктага якинлаша боради. Агар комплекс текисликда га мос келувчи нукта деб каралса унда C нукта олинса ва уни сферадаги N C { } туплам билан S сфера нукталаридан иборат туплам узоро бир киймали мосликда булади. S ~ Бу мослик комплекс текисликданинг стереографик проекцияси дейилади. C Одатда C тупмам кенгайтирилган комплекс текислик S сирт эса Риман сфераси деб аталади.сферадаги нукта координаталари билан комплекс текисликдаги мос нукталар коор-динаталари орасидаги богланишни топайлик. Равшанки N хамда тугри чизик тенгламаси куйидагига C нукталар оркали утувчи t η t ζ булади бунда t да N нукта t да нукта хосил булади. t Комплекс текисликдаги нукта координаталари маълум булганда Z нукта координаталари η ζ Маълумки η ζ лар куйидагича аникланади. нукта хам S сферада ётади. Шуни эътиборга олиб t η t ζ t ларни сфера тенгламаси η ζ даги η ζ ларнинг урнига куйиб топамиз. t 3 t t t 4 4 4

14 4 t t t Демак η ζ булади. Агар ζ η лар маълум булса х ва у лар куйидагича аникланади: тугри чизик тенгламасидан ζ t булишини топиб уни нинг биринчи иккита тенгламасидаги t урнига куямиз: ζ η ζ булардан ζ η ζ булиши келиб чикади. Биз С да та метрика киритамиз. Оддий Евклид метрикаси: C нукталар орасидаги масофа дейилади. Сферик метрика: C учун ρ Бу формулани C га ёйиш мумкин. ρ

15 5

16 Комплекс текисликда чизиклар ва сохалар. Комплекс сонлар кетмакетлиги ва унинг лимити. Каторлар.. Комплекс текисликда чизиклар. Эгри чизикни текисликда нуктанинг узлуксиз харакати натижасида колдирган изи деб караш мумкин. Харакатдаги нуктанинг координаталарини х ва у дейилса равшанки улар бирор t узгарувчининг узлуксиз функциялари булади: t t 6 α t β Айни пайтда ху жуфтлик комплекс сонни ифодалагани сабабли уни куринишда ёзиш мумкин. Натижада t t t булади. Демак t α t β функция [αβ] сегментни комплекс текислик нукталарига акслантиради ва бу нукталар туплами эса комплекс текисликда эгри чизикни ифодалар экан. Бунда α эгри чизикнинг бошлангич нуктаси β эса эгри чизикнинг охирги нуктаси булади. Агар α β булса бундай эгри чизик ёпик дейилади. Агар t эгри чизикда t узгарувчининг иккита турли t ва t t t кийматларига мос келадиган холда эгри чизик Жордан чизиги дейилади. t ва t нукталар хам турлича булса у Агар t ва t функциялар [b] cегментда узлуксиз дифференциалланувчи булиб t t t шартни каноатлантирса t t t t эгри чизик силлик эгри чизик дейилади.. Комплекс текисликда очик ва ёпик тупламлар. Сохалар. Бирор C нукта ва ε > сон берилган.

17 -таъриф: Ушбу U ε { C : - < ε } тупламга C нуктанинг ε - атрофи дейилади. Шунга ухшаш С уктанинг ε - атрофи тушунчаси киритилади: U ε{ С :ρ <ε} Ушбу { C : < - < ε } { С : < ρ < ε } туплам C С нуктанинг уйилган атрофи дейилади. Фараз килайлик C да бирор D туплам берилган булсин. -таъриф: Агар D нукта узининг бирор атрофи билан шу D тупламга тегишли булса нукта D тупламнинг ички нуктаси дейилади. 3-таъриф: Барча нукталари ички нукталардан иборат туплам очик туплам дейилади. Агар C С нуктанинг ихтиёрий уйилган атрофида D C D D тупламнинг камида битта нуктаси булса нукта D тупламнинг лимит нуктаси дейилади. 4-таъриф: Агар D тупламнинг барча лимит нукталари шу D тупламга тегишли булса D туплам ёпик туплам дейилади. Мисоллар:. Ушбу D { C : - < r } тупламни карайлик. Бунда а b берилган нукта r эса мусбат сон. Маълумки ; b Демак - --b b < r - -b < r Бу эса маркази а b нуктада булган r радиусли айлананинг барча ички нукталаридан иборатдир. Шундай килиб бу тенгсизликнинг геометрик маъноси маркази нуктада булган r радиусли доирадан иборат экан.. Ушбу 7

18 D { C : r < - < r } Тупламни карайлик. Бунда C берилган нукта r ва r лар мусбат сонлар. Бу туплам очик туплам булади. D туплам маркази нуктада радиуслари r ва r r < r булган айланалар билан чегараланган халкани ифодалайди. Хакикатан хам ; b булса r < - <r r < b < r r < - -b < r булади.. Ушбу D { C : - r } Ёпик туплам булади. D C туплам билан бу тупламнинг барча лимит нукталарининг йигиндисидан иборат тупламга D тупламнинг ёпиги дейилади ва D каби белгиланади. 5-таъриф: D C D C туплам берилган булсин. Агар D UD D D I D D I D шартларни каноатлантирувчи буш булмаган D ва D тупламлар мавжуд булмаса D туплам богламли туплам дейилади. 6-таъриф: Агар D C D C тупламнинг ихтиёрий иккита ва нукталарини D тупламда тулик ётувчи чизик билан туташтириш мумкин булса D туплам чизикли богламли дейилади. 7-таъриф: Агар D C D C туплам хам очик хам богламли булса у соха деб аталади. Очик тупламлар учун богламлилик тушунчаси билан чизикли богламлилик тушунчаси устма-уст тушади. 8-таъриф: D C D C соханинг узига тегишли булмаган лимит нуктаси унинг чегаравий нуктаси дейилади. D соханинг барча чегаравий нукталари тупламига унинг чегараси дейилади ва D куринишда белгиланади. 8

19 Агар D соханинг чегараси богламли туплам булса D соха бир богламли дейилади акс холда у куп богламли дейилади. 3. Комплекс сонли кетма кетликлар ва каторлар. Бизга Комплекс сонлар кетма-кетлиги ва а С сон берилган булсин. 9-таъриф: Агар шундай М> сон мавжуд булсаки N учун M булса { } кетма-кетлик чегараланган дейилади. -таъриф: Агар ε > сон олинганда хам шундай ε N топилсаки > учун - < ε тенгсизлик бажарилса C сон { } кетма-кетликнинг лимити дейилади ва lm куринишда белгиланади. Чекли лимитга эга кетма-кетлик якинлашувчи кетма-кетлик дейилади. ни таърифланг. lm Якинлашувчи кетма кетликларни хоссалари.. { } кетма-кетлик якинлащувчи булса у холда у чегараланган булади.. Агар { } ва { }кетма-кетлик якинлащувчи булса у холда { ± } { } lm lm кетма-кетликлар хам якинлашувчи булади ва ± lm ± lm lm lm lm lm булади. lm 9

20 Бу хоссалар хакикий сонлар кетма-кетлиги учун кандай исботланса худди шундай исботланади. -таъриф: Агар топилсаки > учун ε > сон олинганда хам шундай ε N ва р N сонлар учун p < ε тенгсизлик бажарилса { } фундаметал кетма-кетлик дейилади. Теорема: Коши критерияси { } кетма-кетлик якинлащувчи булиши учун унинг фундаментал булиши зарур ва етарли. Ушбу Исботи: мустакил ифодага сонли катор дейилади бу ерда......лар берилган чекли сонлар. каторнинг биринчи та хадининг йигиндисини S деб белгилайлик яъни S Агар {S } кетма-кетлик якинлашувчи булса катор якинлашувчи дейилади акс холда бу катор узоклашувчи дейилади. Агар S lm S булса S сони каторнинг йигиндиси дейилади. катор билан бирга каторни караймиз. Агар якинлашувчи булса у холда катор абсолют якинлашувчи дейилади. Агар катор якинлашувчи булиб катор шартли якинлашувчи дейилади. катор катор узоклашувчи булса Таянч иборалар: комплекс сонни гометрик тасвири комплекс текислик Риман. сфераси стереографик проекция Евклид метрикаси сферик метрика

21 Эгри чизик Жордан чизиги силлик чизик лимит нукта ички нукта ёпик туплам очик туплам богламли туплам соха соханинг чегараси нуктани атрофи нуктани уйилган атрофи бир богламли сохакуп богламли соха сонлар кетма-кетлиги кетма-кетлик лимити якинлашувчи кетма-кетлик узоклашувчи кетма-кетлик фундаментал кетма-кетлик сонли катор. Уз-узини текшириш учун саволлар:. Комплекс соннинг геометрик тасвирини тушунтиринг.. Риман сферасини тушунтиринг. 3. Эгри чизик таърифини айтинг 4. Жордан чизики деб ниимага айтилади. 5. Силлик чизик деб нимага айтилади 6. Ички нукта таърифини айтинг 7. Лимит нукта таърифини айтинг. 8. Соха таърифини айтинг. 9. Богламли соха таърифини айтинг. Адабиётлар:[] бетлар []. 3-6 бетлар [3] бетлар [4] бетлар. [5] бетлар.

22 3 -Маъруза. КОМПЛЕКС АРГУМЕНТЛИ ФУНКЦИЯЛАР УЛАРНИНГ ЛИМИТИ ВА УЗЛИКСИЗЛИГИ.. Комплекс аргументли функция тушанчаси. C да бирор Е туплам берилган булсин: E C. -таъриф. Агар Е тупламдаги хар бир комплекс сонга бирор коида ёки конунга кура битта W комплекс сон мос куйилган булса Е тупламда функция берилган деб аталади ва у : W ёки W каби белгиланади. Бунда Е функциянинг аникланиш туплами -эркли узгарувчи ёки функция аргументи эса узгарувчининг функцияси дейилади. Айтайлик W функция бирор Е E C тупламда берилган булсин яъни кодага кура хар бир E сонга битта W v R v R сон мос куйилган булсин. Демак W v Кейинги тенгликдан v v булиши келиб чикади. Демак Е тупламда W функциянинг берилиши шу тупламда х ва у хакикий узгарувчиларнинг

23 v v функциянинг берилишидек экан. Одатда функция v v эса нинг мавхум кисми дейилади: Re v Im фунциянинг хакикий кисми Мисол. Ушбу 3 5 функциянинг хакикий ва мавхум кисмларини топинг. v 3 3 v [ 3 ][ 5 ] Демак v v 5 Эркли узгарувчи Е тупламда узгарганда W функциянинг мос кийматларидан иборат туплам F { v E } : булсин.одатда бу туплам функция кийматлари туплами дейилади. Демак Е тупламда W функциянинг берилиши Оху-комплекс текисликдаги F тупламга акс эттиришдан иборат экан. 3

24 Шу сабабли W функцияни Е тупламнинг F тупламга акслантириш деб хам юритилади. Фараз килайлик булсин. Сунгра W функция E C тупламда берилган булиб F { E } : F C тупламда уз навбатида бирор ζ ϕ W функция берилган булсин. НатижадаЕ тупламдан олинган хар бир га F тупламда битта W сон сонга битта ζ сон ϕ : W ζ мос куйилади: : W ва F тупламдан олинган бундай W W ϕ Демак Е тупламдан олинган хар бир га битта ва ζ ζ ζ C сон мос куйилиб функция хосил булади.бундай функция мураккаб функция дейилади каби белгиланади. ζ ϕ W функция Е тупламда бериган булиб F эса шу фнкция кийматларидан иборат туплам булсин: F { : E } F тупламдан олинган хар бир W сонга Е туплам битта сон мос куйилишини ифодаловчи функция W функцияга нисбатан тескари функция дейилади ва W каби белгиланади. булсин. Фараз килайлик W функция E C тупламда берилган -таъриф. Агар аргументнинг Е тупламдан олинган турли кийматларида функциянинг мос кийматлари хам турлича булсаяъни тенгликдан чикса Мисол. Ушбу тенглик келиб E функция Е тупламда бир япрокли функция дейилади. 4

25 функциянинг E { C : < } курсатинг. Айтайлик учун E тупламда бир япрокли булишини Демак Бу эса берилган функциянинг Е да бир япрокли эканини билдиради..функция лимити. Фараз килайлик тупламда берилган булиб W функция E C нукта Е тупламнинг лимит нуктаси булсин. 3-таъриф. Агар ε > сон учун шундай δ δ ε > сон топилсаки аргументнинг < - <δ тенгсизликни каноатлантирувчи барча Е кийматларида A < ε тенгсизлик бажарилсаа комплекс сон функциянинг даги лимити деб аталади ва lm A каби белгиланади. A α β v ва булсин. -теорема: W фукциянинг да А лимитга эга булиш учун lm lm α lm A v β булиши заур ва етарли. Исбот. Зарурлиги. Айтайлик lm A 5

26 булсин. Лимит таърифига биноан > ε олинганда хам δ ε > δ ки аргументнинг < - <δ тенгсизликни каноатлантирувчи барча Е кийматларида A < ε тенгсизлик бажарилади. Равшанки булиб [ α ] [ v β ] A - <δ булишидан булиши келиб чикади. Иккинчи томондан куйидаги < δ < α Re A A < δ ε v β Im A A < ε тенгсизликлар уринли булади. Демак > < δ < δ булганда ε ε > δ ки α < ε v β < ε тенгсизликлар бужарилади. Бу эса lm α lm v β эканлигини билдиради. Етарлилиги Айтайлик 6

27 7 α lm β lm v булсин. Лимит таърифига асосан > ε олинганда хам ε га кура > δ ки δ δ < < тенгсизликларни каноатлантирувчи да ε α < ε β < v тенгсизликлар бажарилади. Булардан фойдаланиб топамиз: β α β α v v A ε ε ε β α < v Демак A lm. Терема исбот булди. Айтайлик хамда g функциялар C E тупламда берилган булиб нукта Е тупламнинг лимит нуктаси булсин. Агар A lm B g lm булса у холда [ ] B A g ± ± lm [ ] B A g lm lm B B A g булади.

28 3. Функциянинг узлуксизлиги. Фараз килайлик W функция E C тупламда берилган булиб E нукта шу тупламнинг лимит нуктаси булсин. 4-таъриф. Агар ε > сон учун шундай δ δ ε > сон топилсаки арументнинг < δ тенгсизликни каноатлантирувчи барча Е кийматларида < ε тенгсизлик бажарилса функция нуктада узлуксиз деб аталада ва куйидагича белгиланади lm Одатда - айирма функция аргументнинг орттирмаси дейилади ва каби белгиланади. Ушбу айирма эса функция орттирмаси дейилади ва каби белгиланади. 5-таъриф. Агар да хам нолга интилса яьни lm булса функция нуктада узлуксиз дейилади. 6-таъриф. Агар функция Е тупламнинг хар бир нуктасида узлуксиз булса функция Е тупламда узлуксиз дейилади. Мисол. Ушбу функциянинг ихтиёрий C нуктада узлуксиз булишини курсатинг. 8

29 C нуктани олайлик. lm lm Демакберилган функция C нуктада узлуксиз. -теорема. W функциянинг нуктада узлуксиз булиши учун Re Im 9 v Функциянинг нуктада узлуксиз булиши зарур ва етарли. Бу теорема хам -теоремага ухшаш исботланади. Хоссалари: Агар ва g функциялар нуктада узлуксиз булса ± g g g g функциялар хам нуктада узлуксиз булади. Агар функция ёпик D тупламда узлуксиз булса функция D да чегараланган буладияъни шундай узгармас M M сон мавжудки D учун булади. 3 Агар функция ёпик D тупламда узлуксиз булса функция модули D да узининг аник юкори хамда аник куйи чегараларига эришади яъни шундай D нукталар топиладики D учун M

30 булади. 4 Агар функция нуктада узлуксиз булса функция хам шу нуктада узлуксиз булади. W функция E C тупламда берилган булсин. 7-таъриф: Агар > δ δ ε сон ε сон учун шундай > топиладики Е тупламнинг < ' - '' <δ тенгсизликни каноатлантирувчи ''' E нукталари учун. ' ' ' < ε тенгсизлик бажарилса функция Е тупламда текис узлуксиз дейилади. 3-теорема: Кантор теорамаси Агар функция чегараланган ёпик тупламда узлуксиз булса функция шу тупламда текис узлуксиз булади. Исботи: Мустакил. Таянч иборалар: Функция тушунчаси мураккаб функция тескари функция бир япрокли функция функция лимити функция узлуксизлиги функция текис узлуксизлиги. Уз-узини текшириш учун саволлар:. Комплекс аргументли функция таърифини айтинг.. Мураккаб функция таърифини айтинг. 3. Тескари функция таърифини айтинг. 4. Бир япрокли функция таърифини айтинг. 5. Функция лимитини таърифини айтинг. 6. Функция лимитини мавжудлиги хакидаги теоремасини айтинг. 7. Функция узлуксизлиги таърифини айтинг. 8. Узлуксиз функцияларнинг хоссаларини айтинг. 9. Текис узлуксизлик таърифини айтинг. 3

31 Адабиётлар: [] бетлар [].6-3 бетлар [3] бетлар[4] бетлар [5] бетлар. 4 - Маъруза. ФУНКЦИЯНИНГ ДИФФЕРЕНЦИАЛЛАНУВЧАНЛИГИ. КОШИ- РИМАН ШАРТЛАРИ. W функция E C тупламда берилган булсин. Бу Е тупламда нуктани олиб унга шундай Натижада функция хам нуктада орттирма берайликки E булсин. W орттирмага эга булади. W -таъриф. Аагар да нисбатнинг лимити W lm lm мавжуд ва чекли булса бу лимит комплекс узгарувчили функциянинг нуктадаги хосиласи деб айтилади ва lm каби белгиланади: -таъриф: Агар функция E нукта булса функция нуктада дифференциалланувчи дейилади. хосилага эга Агар функция Е тупламнинг хар бир нуктасида дифференциалланувчи булса функция Е тупламда дифференциалланувчи дейилади. Айтайлик фнкция нуктада хосилага эга булсин. Унда 3

32 lm булиб булади.бу ерда ' α да α хам нолга интилади: α -теорема. функциянинг E нуктада дифференциалланувчи булиши учун унинг ортирмаси ни ушбу A α куринишда ифодаланиши зарур ва етарли. Бунда А микдор Мисол. хамда lm мавжуд эмас. α ларга боглик булмаган микдордир. lm -теорема. Агар ва g функция нуктада хсилага эга булсалар у холда ± g g g фукнциялар хам g хосилага эга булади бу хосилалар анализда утган формула оркали топилади. Исботи хам худди шундай булади Натижа. Ихтиёрий P... купхад комплекс текисликни ихтиёрий нуктасида хосилага эгадир. P Ихтиёрий R рационал функция Q нуктадан ташкарида Q хосилага эгадир. Фараз килайлик v 3

33 функция бирор D сохада D С берилган булиб D булсин. 3- таъриф: Агар хакикий узгарувчили ва v функциялар нуктада R диференциалланувчи булса функция нуктада хакикий анализ маъносида кискача диференциалланувчи дейилади. учун R маънода 3-теорема. функциянинг нуктада хосилага эга булиши нинг нуктада хакикий анализ маъносида диференциалланувчи булиши ва ушбу v v Коши-Риман шартларининг бажарилиши зарур ва етарли. Мисол. v v Теоремани исботи. Зарурлиги. v функция D нуктада хосилага эга булсин. Хосила таърифига кура lm яъни булади. Бу ерда α. [ v ] [ v ] [ ] [ v v ] v 33

34 булиб α эса ва ларга боглик ва улар нолга интилганда нолга интилади lm α. Энди хамда α ларни в α α α lm α lm α деб тенгликни куйидагига ёзамиз: v в α α Бу тенгликдан хакикий хамда мавхум кисимларини тенглаб топамиз: в α α v в α α Демак ва v фнкциялар дифференциалланувчи. Айни пайтда функция нуктада дифференциалланувчи булади. 3 нуктада R маънода Модомики функция нуктада хосилага эга экан унда жумладан булганда хам нисбатнинг лимити хар доим га тенг булавервди. 3 тенгликлар булганда α v в α 4 булганда эса в α v α 5 тенгликларга келади. 4 муносабатдан 34

35 35 в v 5 муносабатдан эса v в булишини топамиз. Бу тенгликлардан v v булиши келиб чикади. Етарлилиги. Айтайлик функция нуктада R маънода дифференциалланувчи булиб теоремада келтирилган иккинчи шарт бажарилсин. ва v функциялар нуктада дифференциалланувчи булгани учун v v v β β α α булади. Бу ерда да β β α α ларнинг хар бири нолга интилади. У холда v v v β β α α булади. Теоремани иккинчи шарти v v дан фойдаланиб топамиз: β α β α β α β α Бу тенгликдан эса

36 36 β α β α 6 булиши келиб чикади. Кейинги тенгликдаги β α β α ифода учун β α β α β α β α ε β α β α β α β α < булади чунки да яъни да β α β α Шуни эътиборга олиб 6 тенгликда да лимитга утиб lm булишини топамиз. Демак. функция нуктада хосилага эга ва булади. Теорема исбот булди. Эслатма. Юкорида келтирилган теорема функция хосиласининг мавжудлигини тасдиклабгина колмасдан уни хисоблаш йулини курсатади: v v v v Мисол. функция ихтиёрий C нуктада хосилага эга буладими. v бу функциялар R нуктада дифференциалланувчи. Иккинчи томондан.

37 v v.. булиб v v Демак функция C нуктада хосилага эга. Фараз килайлик v функция Д Д С нуктада R маънода дифференциалланувчи булсин. Ушбу v ифода функциянинг нуктадаги дифференциалланувчи дейилади ва каби белгиланади: Равшанки v v v v Шуни этиборга олиб топамиз: Демак v v v v 7 Куйидаги узгарувчиларни олайлик. Равшанки. Бу тенгликлардан 8 37

38 38 булишини топамиз. 7 ва 8 тенгликлардан булиши келиб чикади. Агар v v 9 куринишда белгиланса унда функция дифферецияли учун ушбу. тенгликка келамиз. Айтайлик ва v функуциялар бирор нуктада Коши-Риман шартларини бажарсин: v v Унда 9 тенгликка кура шу нуктада Аксинча функция учун бирор нуктада булсин. Равшанки 9 тенгликка кура шу нуктада v v булади. Демак бирор нуктада Коши-Риман шартларининг бажарилиши шу нуктада тенгликнинг уринли булишига экивалент экан. Агар W функция нуктада хосилага эга булса шу нуктада булиб Функциянинг хосиласи дифференцияли эса

39 куринишда булади. Комплекс анализда хосилага эга булган функциялар С-дифференциялланувчи функциялар дейилади. булсин. Фараз килайлик W функция бирор Д С сохада берилган 4-таъриф: Агар функция Д нуктанинг бирор U ε Д атрофида С-дифференцияланувчи булса нуктада голломорф ёки аналитик деб аталади. 5-таъриф: Агар функция Д сохонинг хар бир нуктасида голоморф булса функция Д сохада голоморф дейилади. Одатда D сохада голоморф булган функциялар синфи ϑ D каби белгиланиди. 6-таъриф: Агар g функция нуктада голоморф булса функция нуктада голоморф дейилади. 7-таъриф: Агар функция D нуктада голоморф булса функция нуктада антиголоморф дейилади. Айтайлик R фазодаги E R сохада F F функция берилган булиб у шу сохада иккинчи тартибли узлуксиз хусусий хосилаларга F F эга булсин. 8-таъриф: Агар Е соханинг хар бир нуктасида F F тенглик бажарилса F функция Е сохада гормоник функция дейилади. Одатда Лоплас тенгламаси дейилади ва куйидагича ёзилади: 39

40 4 F бунда Лоплас оператори учун 4 булишини этиборга олсак унда тенгликни куйидагича ёзиш мумкин. F 4-теорема. D С сохага голоморф булган хар кандай функциянинг хакикий хамда мавхум кисмлари шу сохада гормоник булади. Исбот. Айтайлик v функция D сохада голоморф булсин. Унда v v тенгликлар бажарилади. Бу тенгликлардан фойдаланиб топамиз: v v Агар v v булишини эътиборга олсак у холда юкоридаги тенгликлардан булиши келиб чикади. Бу эса функциянинг гармоник эканини билдиради. Худди шунга ухшаш v функциянинг гармониклиги курсатилади. Теорема исбот булди. Таянч иборалар: Функция ортирмаси функция хосиласи функция дифференциалланувчанлиги Коши-Риман шартлари С-дифференциалланув-

41 чи функциялар голоморф функциялар антиголоморф функциялар гормоник функциялар. Уз-узини теукшириш учун саволлар:. Хосила таърифини айтинг?. функция дифференциалланувчанлигини тушунтиринг? 3. Кошм-Риман шартларини айтинг? 4. Качон функция хакикий анализ маъносида дифференциалланувчанлиги дейилади? 5. функция дифференциаллаш тушнчасини айтинг? 6. С-дифференциалланувчи функция таърифини айтинг? 7. Нуктада голоморф функция таърифини айтинг? 8. Сохада голоморф функция таърифини айтинг? 9. Антиголоморф функция таърифини айтинг?. Гармоник функция таърифини айтинг? Адабиётлар: [] бетлар [] 3-38 бетлар [3] 48-6 бетлар [4] 6-68 бетлар [5] бетлар. 4

42 5 - Маъруза. ХОСИЛА МОДУЛИ ВА АРГУМЕНТИНИНГ ГЕОМЕРТИК МАЪНОСИ. КОНФОРМ АКСЛАНТИРИШЛАР Фараз килайлик W Функция бирор. D C сохада берилган булсин. Уни текисликнинг нукталарини w текислик нукталарига акслантириш деб караймиз. Бу W функция D нуктада ' ' хосилага эга булсин. Хосила таърифидан фойдаланиб топамиз: ' lm w Равшанки бу тенгликдан w w булиши келиб чикади. lm ' w w Демак етарлича кичик булганда хамда w w микдорлар пропорйионал булиб эса шу пропорционалликнинг коэффицентини ифодалайди. ' W акслантириш ёрдамида ч айлана чексиз кичик микдор аниклигида w w ' ч айлана аксланади. Агар ' < булса унда ч айлана сикилади ' > булганда эса чузилади. Демак функция хосиласининг модули W акслантиришда чузилиш коэффицентини билдирар экан чузилишнинг сакланиши. Энди хосила аргументининг геометрик маъносига тухталамиз. 4

43 Фараз килайлик W акслантириш нуктанинг бирор атрофида хосилага эга булиб ' булсин. нуктадан утувчи силлик { C : t α β } t Эгри чизикни олиб унинг йуналиши буйича шу эгри чизикка нуктада уринма утказамиз Бу уринманинг хакикий укнинг мусбат кисми билан ташкил этган бурчаги ϕ булсин. ϕ rg ' t W акслантириш эса эгри чизикни C w текисликда Г эгри чизикка утаказсин. { w C : w w t t α β} Г w t Мураккаб функциянинг хосиласини хисоблаш коидасига баноан. w' t ' ' t булиб tt да w' t ' ' t t α t β булади. Шартга кура ' ва ' t нинг силликлигидан булгани учун w ' t булади. Бинобарин W нуктада Г эгри чизикнинг уринмаси мавжуд. Бу уринманинг бурчак коэффицентини ϕ билан белгилаймиз: тенгликдан яъни ϕ rg w' t rg w ' t rg ' rg ' t ϕ rg ' ϕ кесиб чикади. 43

44 Агар Q ψ ϕ микдорнинг W акслантириш натижасида эгри чизикнинг нуктадаги бурилиши бурчаги эканлигини этиборга олсак у холда тенгликдан нуктадан утувчи барча силлик эгри чизиклар бир хил Q rg ' бурчакка бурилишини курамиз бурчакнинг сакланиш. Таъриф: Агар W акслантириш нуктада чузилиш ва бурчак сакланиш хоссаларига эга булса бундай акслантиришга нуктада конформ акслантириш дейилади. Юкоридагилардан куринадики агар W функция нуктанинг бирор атрофида голоморф булиб ' булса W акслантириш нуктада конформ булади. Агар W акслантириш Д сохада бир япрокли булиб соханинг хар бир нуктасида конформ булса у Д сохада конформ акслантириш дейиилади. Конформ акслантиришлар назариясида асосан куйидаги икки маала урганилиди: E C сохада W акслантриш берилган холда E ни топиш: иккита E C ва F Cw сохалар берилган холда Е ни F га конформ акслантирадиган W ни топиш: Бу масалаларни хал килишда куйидаги теоремалардан фойдаланилади. 44

45 Теорема. Риман Агар E C ва Cw F сохалар чегараси та нуктада кам булмаган бир богламли сохалар булса E сохани F сохага конформ акслантирувчи W функция мавжуд. Теорема. Соханинг сакланиши принципи Агар функция E сохада голоморф булиб ' cost булса E хам соха булади. Таянч иборалар: Хосила модулининг геметрик маъноси хосила аргументининг геометрик маъноси Конформ акслантирш Риман теоремаси соханинг сакланиш принцп. 45

46 6-7 Маъруза. ЧИЗИКЛИ ВА КАСР ЧИЗИКЛИ ФУНКЦИЯЛАР.Чизикли функция. wb Куринишдаги функция чизикли функция дейилади бунда а ва в лар узгармас комплекс сонлар ва а Бу функция функция булиб у куйидаги куринишга эга. C тупламда аникланган унга тескари функция хам чизикли ва акслантиришлардан C ва в w а C w текислик нукталари узаро бир кийматли мосликда эканлиги келиб чикади. Бунда да w булади ва аксинча. Демак Равшанки акслантириш wb C текисликни w`b` wb C w текисликка конформ акслантиради чизикли функцияни куйидаги 3 та акслантиришларни композицияси шаклида тасвирлаш мумкин.. e ϕ ϕ бурчакка буриш. m m марта чузиш 3. w b b векторга параллел силжитиш w функция бирор Е сохада Е C берилган булсин. Агар а Е нуктада 46

47 тенглик бажарилса нуктада w акслантиришнинг кузгалмас нуктаси дейилади. wb акслантириш а да кузгалмас нуктага в а да иккита кузгалмас нукталарга эга булади.. Каср - чизикли функция в w 3 C куринишдаги функция каср-чизикли функция дейилади бунда аbc лар узгармас комплекс сонлар -компелкс узгарувчи. биз учун кизикарли эмас. с булганда -bc булган хол w w 4 c c C булганда w деб караймиз. 3 муносабатни га нисбатан ечиш натижасида берилган каср-чизикли функцияга нисбатан тескари булган w в 5 Cw функцияга келамиз бу ерда хам с да c c c да деб караймиз. Демак функция C тупламда w C в 47

48 w в Cw функция эса C w тупламда аникланган. 3 функция C w туплам нукталарига узаро бир кийматли акслантиради. Равшанки булиб бу хосила w' C C в C в c вс C C \ C c : туплада чекли хамда 4 шартга биноан w. Демак акслантириш w C C \ C : c тупламда конформ акслантириш булади. Энди акслантиришнинг курсатамиз. 48 в C туплам нукталарини в w 3 C ва нукталарда конформ булишини c с булсин. Бу 3 нинг курсатиш учун ни караймиз. w w нуктада конформ булишини c

49 булиб Равшанки w w c в вc в ' c w c вс булади. Демак каралаётган акслантириш нуктада конформ булади. c 3 нинг нуктада конформ булшини курсатиш учун ни караймиз. Унда булиб булганда в w c c w' вс c вс w ' c булади. Демак 3 акслантириш нуктада конформ булади. с булсин. Бу холда w булиб нукта w нуктага аксланади. Агар w дейилса унда w в w в в 49

50 булиб нуктада w ' в w ' c булади. Демак 3 акслантириш нуктада конформ акслантириш булади. Шундай килиб акслантириш акслантирар экан. 3. Доиравийлик хоссаси в w c C текислик нукталарини Теорема-. Ихтиёрий каср-чизикли акслантириш C w текислик нукталарига конформ C даги ихтиёрий айлана ёки тугри чизикни C w даги айлана ёки тугри чизикка акслантиради. Исбот: с булганда чизикли акслантириш учун теорема исбот. Агар с булса у холда в в в c c вc B w A 4 c c c c c C c c c каср-чизикли функциянинг унга эквивалент булган бир нечта функция билан алмаштирамиз чунки бунда ζ C η w Bη A * ζ B w Bη A B A A ζ C вс A B c c 5

51 * да биринчи учинчи холларда айлана ёки тугри чизик айлана ёки тугри чизикка утади. учун исботлаймиз Соддалик учун деб белгилаймиз. Маълумки R текисликда η ζ w 5 Ех BCD 6 тенглама айланани агар Е булса тугри чизикни ифодалайди. Агар булишини эътиборга олсак у холда 6 тенглик куринишга келади бунда куйсак E F F D 7 FBC 7 айлананинг образини хосил килиш учун 5да Бу 8 тенглама хам деб 7 га w E Fw Fw Dww 8 C w да айлана ёки тугри чизикни ифодалайди. Таъриф: Агар ва * нукталар Г{ C : - r} йлана марказидан чиккан битта нурда ётиб бу нукталардан айлана марказигача булган масофалар купайтмаси айлана радиуси квадратига тенг булса ва * нукталар Г айланага нисбатан симметрик нукталар дейилади. 5

52 Равшанки бу холда булиб rg * - rg- * - - r * r булади. Теорема-: Ихтиёрий каср-чизикли акслантириш C даги ихтиёрий Г айланага нисбатан симметрик ва * нукталарни шу айлананинг образига нисбатан симметрик булган w ва w * нукталарга акслантиради. Исботи: мустакил. в w акслантиришда а булсин. Ухолда c в а в w c c деб ёзиш мумкин. Соддалик учун деб ёзиб оламиз. в w 9 c 5

53 Куйидаги масалани караймиз. C w текисликдаги w w w 3 акслантириш топилсин. w c в w C текисликдаги 3 нукталарни нукталарга мос куйувчи каср-чизикли c в w 3 c 3 3 в тенгликлардан bc ларни топиб 9 га куйсак изланаётган функция аникланади. Лекин бу йул узок булгани учун бошкача иш курамиз. в w w c c вс c c в вс c c в c в c c c вс 3 c c w w ; w3 w ; 3 w 3 вс вс c c w муносабатларга эга буламиз. Бу муносабатлардан фойдаланиб w w w3 w 3 : : w w w w муносабатни хосил киламиз. Бу муносабатга дейилади. w w w w 3 w w 3 3 w w вс 3 c c 3 ангармоник муносабат 3 та нуктани 3 та нуктага акслантирадиган формула. Демак куидаги теорема исбот булди. Теорема: * текисликдаги 3 нукталарни * текисликдаги W W W 3 нукталарга акслантирувчи каср-чизикли акслантириш мавжуд ва ягонадир. 5.Юкори ярим текисликни бирлик доирага акслантириш. 53

54 Юкори ярим текисликдаги бирор α сонни образи W булсин. Ох укига нисбатан α ва α сонлар симметрик булганлиги учун каср чизикли акслантириш натижасида α ни образи w га w айланага нисбатан симметрик булган w нуктага утиши керак.шунинг учун каср-чизикли акслантириш куйидаги шаклда булиши керак. α w α бу ерда узгармас коэффициентни топамиз. Ох уки w айланага аксланади деб каралсин -α-α-b --b -α -b буади. Бу ердан куринадики α α w α α яъни экан.шунинг учун ни куйидагича ёзиш мумкин: ϕ e cosϕ s ϕ бунда ϕ- узгармас сон. Шундай килиб юкори ярим текисликни бирлик доирага акслантирувчи каср чизикли функция ушбу w e ϕ α α куринишга эгадир. 6.Юкори ярим текисликни уз-узига акслантириш Ох укидан 3 та α β нукталарни олиб уларни 3 мос равишда w w w 3 нукталарга мос куямиз. 54

55 55 c c b b c b c b w β α β β β α α α * c да c α булади. c ни * га олиб бориб куйсак β α β β α β β α β с c ыормулага олиб бориб куямиз. Демак α β β α β α β β α β α c b w тенгликни хосил киламиз. Демак юкори ярим текисликни юкори ярим текисликка акслантирувчи каср чизикли акслантириш D C B A w шаклда булиб бунда ABCD лар хакикий сонлар бу акслантириш юкори ярим текисликни юкори ярим текисликка акслантирар экан. 7.Доирани уз-узга акс эттириш

56 доирадаги бирорта α нукта w нуктага утсин. айланага нисбатан α нуктага симметрик булган нукта α булганлиги учун α нукта W нуктага утиши керак. Шунинг учун каср чизикли акслантириш куйидаги шаклда булиши керак. α α α w α бунда -α α α α айлана w айланага утади деб хисобласак α α w булади. α α эканлигини эътиборга олсак α α α α α α бундан эканини хосил киламиз. Шунинг учун узгармас сон. Демак w e ϕ α α экан. ϕ e бунда ϕ Таянч иборалар: чизикли функция каср-чизикли функция симметрик нукталар ангармоник муносабат доиравийлик хоссаси юкори ярим текисликни бирлик доирага акслантириш юкори ярим текисликни уз-узига акслантириш доирани уз-узига акслантириш. Уз-узини текшириш учун саволлар:. Кандай функцияга чизикли функция дейилади?. Кандай функцияга каср-чизикли функция дейилади? 3. Каср-чизикли акслантириш хоссаларини айтинг. 4. Каср-чизикли акслантиришнинг доиравийлик хоссасини айтинг. 56

57 5. Кандай нукталар симметрик нукталар дейилади? 6. Юкори ярим текисликни бирлик доирага акслантиришни тушунтиринг. 7. Юкори ярим текисликни уз-узига акслантиришни тушунтиринг. 8. Доирани уз-узига акслантиришни тушунтиринг. Адабиётлар:[] бетлар [] бетлар [3] бетлар [4] бетлар. 57

58 8-маъруза. ДАРАЖАЛИ ФУНКЦИЯ. ЖУОКВСКИЙ ФУНКЦИЯСИ. Ушбу W куринишдаги функция даражали функция деилади бунда натурал сон. Бу функция бутун комплекс текисликда голоморф. W шарт нукталарда бажарилади. Демак W функция C \ {} сохадаги хар бир нуктада конформ экан. нуктада конформликнинг бузилишини шу нуктада бурчак катталикларининг сакламаслиги хам курсатади. С ва С W текисликларда кутб коорданаталарнинг киритамиз: re ϕ W ρe ψ Натижада: акслантирищ ушбу куринишга эга булади. Ундан эса ϕ rg ρ W ψ rgw ψ ρ e r e ϕ булиши келиб чикади. Демак ρ r ψ ϕ W акслантириш кутб координаталар системасида ушбу ρ r ψ ϕ акслантиришга утади. Бинобарин акслантиришни урганиш акслантиришни урганишга келади. акслантиришда топамиз: 58

59 ..rcost булганда ρcost булади. Демак нуктада булган айланаларни айланаларга акслантиради. С текисликдаги маркази С W текисликдаги маркази W нуктада булган.. ϕ cost булганда ψ cost булади. Демак акслантириш С текисликдаги нуктадан чиккан нурларни чиккан нурларга акслантиради. С W текисликка W нуктадан Айни пайтда акслантириш ϕ нурни хакикий мусбат йуналиш буйича олинган нурни ψ нурга С текисдаги акслантиради. Юкорида келтирилган тасдиклардан акслантириш С текисликдаги D { C : W π < rg < α } α < ψ α нурга сохани учи нуктада булган бурчакни секторни С W текисликдаги W D { W CW : < rgw < α} сохага учи W нуктада булган бурчакка секторга акслантириши келиб чикади. Даражали функция ёрдамида бажариладиган акалантиришда нуктада бурчак марта ошганлиги сабабли нуктада W Хусусан акслантириш > конформ булмайди. акслантириш ёрдамида W С текисликдаги соха бурчак-сектор С W текисликдаги π { C : < rg < } 3 { C : < rgw < π} W W 4 59

60 сохага юкори ярим текисликка утади. Демак W функция 3 соханинг 4 сохага конформ акслантиради. Энди С текисликда ушбу π D { C : < rg < α } α < 5 сохани учи нуктада томонлари rgrgπ/ нурлардан иборат бурчакки-секторни оламиз. Равшанки W функция ёрдамида бу соха С текисликдаги сохага аксланади. { C : < rgw < π} W W 6 Хулоса. W -функциямтз бутун текисликда голоморф функция бир япрокли эмас. Лекин С текисликни та булакка булсак орасидаги π бурчак га тенг булган. Функциямиз хар бир булакни конформ сохага акслантиради. C W \ R Практикада бу функциядан бурчак сохаларни юкори ярим текисликк π акслантиришда фойдаланилади. Агар сохани бучаги га тенг булса бизни функциямиз бундай сохани юкори ярим текисликка акслантиради. Мисол. Ушбу 3 W даражали функция ёрдамида С текисликдаги π.. E { C : < rg } 4 тупламнинг С W текисликдаги аксини топинг. Берилган Е тупламни 6

61 деб W E π π E { C : < rg } ϕ < r < 4 4 π { C : ψ 3 < ρ < } { W CW : rgw 4 3π } 4 Жуоквский функцияси. Ушбу W функцияга Жуковский функцияси дейилади. Функциямиз каср- чизикли функция эмас. Факат та каср-чизикли функция йигиндисидан иборат. Бу функция ва нукталардан ташкари бутун текисликда голоморф. Унинг хосиласи W агар ± булса. Бу ердан курини турибдики ихтиёрий чекли ; ± нуктада Жуковский функцияси конформ булар экан. Бу функциянинг нуктада конформлигини конформликнинг таърифидан фойдаланиб исботлаш мумкин. тенгликдан эса функциянинг нуктада хам конформлигикелиб чикади. Шундай килиб Жуковский функцияси ± нукталардан ташкари хамма ерда конформ экан. холда Энди бу функцияси та нукаларни битта нуктага утказсин. У W W 6

62 булади. эканлигидан тенгликни хосил киламиз. Шундай килиб Жуковсикий функциясининг бирорта D сохада бир варакли булиши учун бу соханинг тенгликни каноатлантирувчи ва нукталарни сакламаслиги зарур ва етарлидир. -функция куйидаги сохаларда бир япрокли а > б < в Im > г Im < Энди функциянинг геометрик маъносини текшириш учун куйидагича ёзиб оламиз: У холда re ϕ W v. ϕ ϕ v re re re ϕ re r Бундан ϕ r cosϕ r sϕ r r r cosϕ; v r sϕ 3 r r тенгламаларга эга буламиз. Энди Жуковский функцияси ёрдами билан айлананинг C текисликдаги r C w текисликдаги кандай чизикдан иборат эканини текширамиз. Бунда икки хол булади: < r < ва r >. а < r < булсин. Куйидагича белгилаб олайлик. 6

63 r r r ва b r r r бунда b >. У холда 3 нинг куриниши cosϕ v s ϕ ϕ π 3 r b r r булиб булади. Бу v r b r C w текисликда фокуслари ± нуктада ярим уклари r ва b r булган эллипсни ифодалайди. Энди эллипсдаги мусбат йуналишни аниклайлик. Агар айлана устидаги ихтиёрий нукта мусбат йуналиш буйича бир марта айланиб чикса ϕ булгани учун ϕ бурчак дан 4 бурчак дан π гача узгаради. 3 / эллипсда b < r π гача узгаради: π ϕ. Бунинг учун эллипс устидаги ихтиёрий W нукта соат стрелкаси буйича харакат килишга мажбур. Агар биз айлананинг r радиусини нолга якинлаштирсак r ; br ва r br r яъни эллипс катталиги бориб айлана шаклига якинлаша боради. Агар r r < булса у холда ; b яъни эллипс O укидаги [-;] кесмага тортилади. r Шундай килиб функция билан < доира O укининг [-;] кесмадан иборат булади. Шу билан бирга айлананинг юкори к исмига [-;] кесманинг куйи киргоги ва айлананинг пастки кисмига эса ниманинг юкори киргоги мос келади. б r > булсин. Бу холда 3 эллипс тенгламларидаги коэффицентлар r булгани учун r > ва r > r r r айлана билан эллипснинг йуналишлари бир хил булади. Агар r r > булса у холда: 63

64 b яъни эллипс [-;] кесмага тортилади. Агар r r r r булса у холда: r ; br ва r br яъни эллипс катташа бориб айлана шаклига якинлашади. Юкоридаги мулохазаларимиздан айлананинг ичига хам ташкарига хам [-;] кесманинг ташкариси мос келиши очик куриниб турибди. Энди ϕ re < r < 5 ϕ фиксирланган нурни карайлик. Жуковский функция билан акслантирищда бу нурнинг образи r cosϕ м r sϕ r r < r < 6 эгри чизик булади. 6 тенгликдан топамиз: cos v ϕ s ϕ ϕ π бутун сон 7-чизик фокуслари W ± ва асимптотаси v ±tgϕ булган гиперболадир. Хулоса: практикада Жуковский функциясидан кесма ёки эллипс билан чегараланган сохаларни бирлик доирага акслантиришда фойдаланилади. 7 Таянч иборалар: голоморф функция конформ акслантиришлар бир варакли функциялар. даражали функция даражали функция голоморфлиги конформлик сохаси. Уз-узини текшириш учун саволлар.. Даражали функцияни умумий куриниши кандай. Даражали функцияни кутб координатаоаридаги куриниши кандай 3. Даражали функцияни конформлик сохасини айтинг. 4. Жуковский функция нима? 64

65 5. Жуковский функциянинг конформлиги. 6. Жуковский функциясини бир вараклилик сохаси? 7. Жуковский функциясининг геометрик маъноси. Адабиётлар: [] бетлар. [] бетлар. [3] бетлар. [4] бетлар. 65

66 Маъруза КУРСАТКИЧЛИ ФУНКЦИЯ. ТРИГОНАМЕТРИК ВА ГИПЕРБОЛИК ФУНКЦИЯЛАР. Ушбу lm е Куринишдаги функцияга курсаткичли функция дейилади бунда С Сон учун лимитни мавжудлигини исбот киламиз. Шунинг учун e e lm lm lm rctg rg rg rctg lm rctg lm rg lm Лапитал коидасига кура

67 lm lm Демак lm rg Шундай килиб Демак lm rg Мавжуд экан. e lm яъни e e Cos S e Cos Эйлер формуласини хосил киламиз. Хоссалари. C нуктада e Cos S формула уринли экан. десак S W e фунция хосилага эга чунки U V e Cos V U e S Коши-Риман шартлари бажарилади. U V лар дифференциалланувчи. e ' e e Cos S e Cos S e e e e булганлиги учун хамда e > эканлигидан Re 67

68 e ' e e > эканлиги келиб чикади. W e акслантириш барча C нукталарда конформдир. 3 нукталар учун Хакикатан.хам e e Cos S e Cos S e Cos S e e e e e 4 e функция мавхум даврга эга булибуни асосий даври Хакикатан хам e πга тенг. булгани учун 3 хоссага кура e π Cos π S π Иккинчи тамондан агарда π π e e e e T e e булса бу тенгликнинг иккала тамонини e га купайтирсакe T ни хосил киламиз. T T T булса T CosT ST T e Бундан CosT ST экани келиб чикади. Бу тенгликни ечсак T π ларни хосил киламиз. Шунинг учун T T π π T Агар кандайдир D соха жуфтликларни сакламаса варакли булади. Чунки тенгликни каноатлантирадиган π W e акслантириш бу D сохада бир W e тенглама га нисбатан бир кийматли аникланади. Бундай сохага мисол сифатида { : < Jm < π} D полосани олиш мумкин. 68

69 Y π O Бу полосадаги { < < π} тугри чизик W e ёки ρ e ψ W ρe ψ десак акслантириш натижасида { ψ } нурга утади. Худди шунингдек { < < π} интервал { ρ e o < ψ < π} o Хулоса.Демак { : < Jm < π} ташланган W e акслантириш натижасида битта нуктада кесилган айланага утади. D полоса мусбат ярим ук чикариб W текисликка аксланар экан.{ : < Jm < π} полоса эса юкори ярим текисликка аксланади. Тригонаметрик ва гиперболик функциялар. Тригонаметрик хамда гиперболик функциялар курсаткичли функциялар оркали киритилади. Таъриф. Ушбу e e Сos e S e e e tg e e 69 e ctg e e e

70 Куринишдаги функциялар тригонаметрик функцциялар дейилади. W S ва WCos функциялар бутун кумплекс текслик C да аникланган Wtg функция π С \ C : π ; ± ±... тупламда Wctg функция эса C\{ C : π; ± ±... } тупламда аникланган. Куйидагига e e Сh e Sg e e e e th С th e e e e e аникланган функциялар гиперболик функциялар дейилади.тригонаметрик хамда гиперболик функциялар узаро куйидаги СosCh S-Sh th-tg ChCos Sh-S CthCtg муносабатлар билан богланган.биз улардан бирининг масалан Sh-S булишини курсатамиз: ва муносабатлардан фойдаланиб топомиз: S Демак e e e e e e Sh Sh-S Биз куйида тригонаметрик функцияларнинг баъзи хоссаларини келтирамиз. Ушбу s cos S S Cos Cos S 3 Cos Cos Cos S S 7

71 π π 4 S Cos Cos S 5 S π S Cos π Cos Бу формулаларнинг уринли булишини курсатиш кийин эмас.ws ва WCos Функцияларнинг таърифларидан фойдаланиб топамиз: S Cos e e e e e e 4 e e 4 Колган тенгликлар хам шунга ухшаш исботланади..ws ток функция WCos эса жуфт функция булади. Бу хоссанинг уринли булишини WSWCos функцияларнинг таърифларидан бевосита келиб чикади. Тригонаметрик функциялар даврий булиб WSWCos функцияларнинг давриπ га WtgWCtg функцияларнинг даври эса π га тенг. π Хакикатан WS функция таърифи хамда e олиб топамиз: π S e e π π π W Демак булишини этиборга π e e e e e S W π S S Бу эса WS даврий функция ва унинг даври π га тенг булишини билдиради. Wtg функция таърифидан фойдаланиб ушбу tg π тенгликка келамиз. Демак tgπtg. π π e e e π e π e e π π e π π e e e π e e e e e e e tg 7

72 Шунга ухшаш WCosWCtg функцияларнинг даврий функция эканлиги курсатилади.. WS ва WCos функциялар C да хосилага эга булиб S Cos Cos -S булади. Wtg функция булади. π C \ C : π : ±... да хосилага эга булиб tg ' 3 Cos Wсtg функция C \ { C : π: ±... } да хосилага эга булиб ctg s булади. Хакикатан хам e e s e e cos e e e e e e Худди шунга ухшаш 3 ва 4 формулаларнинг тугрилиги курсатилади. 4 e e cos e e s Изох. Хакикий аргументли s cos функцияларнинг кийматлари [-] кесмада булишини биламиз. Комплекс аргументли жихатдан бирдан катта булиши хам мумкин: s cos функцияларнинг кийматлари модул cos e e > 7

73 Таянч иборалар: курсаткичли функция курсаткичли функция даври курсаткичли функция бир вараклилик сохаси. тригонаметрик функция гиперболик функция тригонаметрик функцияларни даврийлиги. Уз-узини текшириш учун саволлар:. Курсаткичли функция деб нимага айтамиз?. Курсаткичли функция хоссаларини айтининг. 3. Кандай сохаларда бу функция бир варакли булади? 4. Тригонаметрик функциялар таърифини айтинг. 5. Гиперболик фуекциялар таърифини айтинг. 6. Тригонаметрик функция ва гиперболик функциялар орасидаги богланишларни айтинг. 7. Тригонаметрик функцияларнинг хоссаларини айтинг. Адабиётлар: []. 9- бетлар. [] бетлар. 73

74 -Маруза КОМПЛЕКС УЗГАРУВЧИЛИ ФУНКЦИЯНИНГ ИНТЕГРАЛИ ВА УНИНГ ХОССАЛАРИ. КОШИ ТЕОРЕМАСИ..интеграл таърифи. Комплекс сонлар текислиги С да бирор силлик булакли силлик АВ эгри чизик олайлик. АВ эгри чизикни A B нукталар ёрдамида та булакларга ажратамиз.... лар к... узунликлари l ларнинг к... энг каттасини λ билан белгилаймиз: λ m l Айтайлик эгри чизикда ихтиёрий функция берилган булсин. Хар бир да нукта олиб сунг функциянинг шу нуктадаги кийматини га купайтириб ушбу σ Йигиндини тузамиз. бу йигинди функциянинг интеграл йигиндиси дейилади. Равшанки функциянинг интеграл йигиндиси эгри чизикнинг булинишига хамда хар бир дан олинган нукталарга боглик булади. 74

75 Таъриф. Агар λ да функциянинг интеграл йигиндиси эгри чизикнинг булинишига хамда булакда нуктанинг танлаб олинишига боглик булмаган холда чекли лимитга эга булса бу лимит функциянинг эгри чизик буйича интеграли деб аталади ва каби белгиланади. Демак lm λ.интегралнинг мавжудлиги. Юкорида келтирилган таърифдан куринадики интеграл эгри чизикка хамда унда берилган функцияга боглик булади. эгри чизик Фараз килайлик AB C t t t куринишда берилган булсин. Бунда t t функциялар [ α β ] сегментда аникланган узлуксиз хамда узлуксиз t t хосилаларга эга t t > параметр α дан β га караб узгарганда t t нукта A дан B га караб AB ни чиза боради. эгри чизикда v узлуксиз булсин [ β ] функция аникланган ва α сегментни α t < t < t <... < t β нукталар ёрдамида та булакка ажратамиз t функция бу нукталарни эгри чизик нукталарига айлантиради. t аксларини дейлик A... B нукталарнинг даги 75