6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

Transcript

1 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских објеката дати су на слици. Слика На слици приказан је правоугаоник А чије су дужине страница 7 cm и. Исецањем модела правоугаоника и пресавијањем око праве, поклопиће се његови различито обојени делови. Слика. F P Q 7 cm P = P =, Q = Q =, Тачка се поклапа са тачком А, тачка С са тачком, али и обратно. Такође, нека тачка М се поклапа с неком одговарајућом тачком М (читај: ем-прим ), или обратно М се поклапа с тачком М. Све ово се краће записује овако:,, итд. Тачке P, Q,, F (и друге) које припадају правој, каже се да, су непокретне, тј. оне се поклапају свака сама са собом, што записујемо: P P, Q Q, итд.* Све што је речено за дати правоугаоник може се урадити са било којом фигуром приказаном на слици. 4

2 . За неку од тих фигура направи модел и изврши пресавијање ( пресликавање ), а за неке тачке то и запиши. Уопште, нека су дате неке тачке равни и нека права као њен подскуп ( * ) (слика 3). n О σ T N P Q T m F Слика 3. Права дели раван на две полуравни π и π. Исецањем и пресавијањем модела равни око праве (осе), полураван π се поклапа с полуравни π (π π ), и обратно (π π ). Тачка А А као и свака тачка прве полуравни поклапа се тачно са једном тачком друге полуравни, и обратно. Како за неку дату тачку равни одредити њену слику А, при савијању ових полуравни око осе? Права n и n лако се црта лењиром, као што је приказано на слици 3. Пресек осе и праве n ( n = {О}) је тачка О (О ). Тачка А се добија тако што се пренесе дуж ОА = ОА, тј. кружница k(о, ОА) сече праву n у тачки А. За сваку тачку равни (С, М,... Т, F,...) одређује се слика на исти начин као што је то урађено за тачку А. Одређујемо тачку Т слику тачке Т (погледај слику 3). Права m и TN = NT, тиме је тачка Т одређена. Права се назива оса симетрије. Свака тачка осе (P, N, Q,,,...) пресликава се у себе саму. Тачка А је симетрична тачка тачки А, у односу на праву, а такође и тачка А је симетрична тачки А у односу на праву. Тачка О је средиште дужи АА.. Нацртај праву и три дате тачке. У односу на ту праву, као осу симетрије, одреди слике датих тачака. 3. ) На квадратној мрежи одреди симетричне тачке за тачке А, В, Т, М, Е у односу на осу (слика 4). ) Шта је слика дужи АВ? T Слика 4. (*) У даљем раду се разматрају само геометријски објекти у равни. ОСНА СИМЕТРИЈА 5

3 4. Нека је права p оса симетрије. Одреди слику праве q која: ) сече праву p; ) је паралелна правој p; 3) је нормална на праву p. 5. Одреди слике дужи АВ и С у односу на осу симетрије m (слика 5). Слика 5. ) ) m ) б) m 6. Дат је угао α и права. Нацртај слику угла α ако је права оса симетрије (слика 6). Слика 6. Слика 7. T О X y α x F T S X Q P 7. Троугао АВС пресликај у односу на праву као осу симетрије (слика 7). Објашњење: и = XT и TX = TX итд. Слика АВС је А'В'С' ( АВС А В С ) Свака тачка Х троугла пресликава се у симетричну тачку Х у односу на праву. 8. Дат је правоугаоник АВС. Права ВС је оса симетрије. Нацртај слику датог правоугаоника. Слика 8. Слика 9. p 9. Дати квадрат АВС пресликај у односу на праву p (слика 9). 0. Дата је кружница k(о, r). Нека је њена тангента t оса симетрије. Нацртај слику кружнице k (слика 0). 6

4 υ t Слика 0. k У задатку 9 пресликали сте квадрат. Изрежи тај квадрат и његову слику, а затим покажи да се они могу поклопити. Уради то и за два осносиметрична троугла, правоугаоника. Може се закључити: Фигура и њена слика у односу на дату осу симетрије се поклапају (подударне су).. Дат је троугао АВС и оса симетрије. Нацртај слику датог троугла (слика ). ) ) Слика. X. Права је оса симетрије. Нацртај слику дате фигуре (слика ). ) ) 3) 4) Слика. 3. Праве и су међусобно нормалне ( ). Изломљену линију АВС пресликај: ) у односу на као осу симетрије; ) у односу на као осу симетрије (слика 3). ОСНА СИМЕТРИЈА 7

5 Слика Праве и су осе симетрије. Сваку од обојених фигура пресликај најпре у односу на а затим у односу на (слика 4). Слика 4. Већ сте уочили да неке фигуре имају осу симетрије (слика и слика ). Уочимо правоугаоник и квадрат и праве p и q (слика 5). p АВ АО = ОВ = 3 cm = = 3 cm q Слика 5. x 6 cm x x 4 cm q 6 cm p x Пресавијањем правоугаоника око праве p, поклопиће се тачке А и В, а такође тачке и С и тачке Х и Х'; дуж АО и дуж ОВ, дуж А и дуж ВС итд. То поклапање (пресликавање) једне половине правоугаоника на другу, у односу на праву p, краће се записује: p p p А В, Х Х', А ВС, итд. Права p, која има таква својства у односу на правоугаоник, назива се оса симетрије правоугаоника. Пресавијањем датог квадрата око праве q, извршиће се пресликавање квадрата АВС на самог себе, па је права q једна његова оса симетрије. q q q q Заиста, А, В С, Х Х', С АВ, итд. 8

6 Приметимо да је оса симетрије правоугаоника (квадрата) нормална на одговарајуће странице и полови те странице (дели их на два једнака дела). У овим случајевима, биће: АО = ОВ и АВ p (АО = О и А q). 5. Нацртај и исеци модел правоугаоника и квадрата, па утврди да: ) правоугаоник има две осе симетрије; ) квадрат има четири осе симетрије у равни. ( * ) Ако се нека фигура F пресликава у саму себе у односу на неку праву, кажемо да је фигура F F. Права је њена оса симетрије. F осносиметрична, што записујемо: 6. Разматрај фигуре са слике, па одреди број оса симетрије за сваку од њих. 7. Да ли постоје фигуре које немају осу симетрије? Одговор је потврдан. Постоје! Ево примера (слика 6): Слика 6. 3 cm 6 cm Приказане фигуре нису осносиметричне! 8. Фигуре имају осу симетрије (слика 7). Покажи да је то тврђење тачно. ) ) 3) Слика 7. b b 9. Одреди осе симетрије за фигуре приказане на слици 8. 3) * Слика Нацртај кружницу (круг) и покажи да та фигура има више оса симетрије. Колико? *. Одреди осе симетрије за фигуре (слика 9). (Тачка М је додирна тачка). (*) Истакнимо још једанпут да разматрамо само фигуре у равни! ОСНА СИМЕТРИЈА 9

7 Слика 9. ) k ) k k k *. Нека је дата права а. Да ли права има осу симетрије? Одговор: права а има више оса симетрије. Одредимо једну осу симетрије (слика 0). Нека А а. Нацртајмо праву а. Свака тачка Х праве а пресликава се у тачку Х, тако да је ХА = АХ. Слика 0. X X Слика. Тачка М М, за сваку тачку Х а, важи Х Х. Закључак: Свака тачка Х праве а пресликава се у неку тачку Х те праве у односу на праву, па је права једна оса симетрије дате праве а. Нацртај још неку осу симетрије праве а. Какав закључак можеш извести у погледу броја оса симетрије дате праве? 3. Неки геометријски објекти се користе као саобраћајни знаци (слика ). Који од тих знакова су осносиметрични? 0