ΕΡΓΑΣΙΑ 2 (Παράδοση:.) Λύση Ι. Το πεδίο ορισµού Α, θα προκύψει από την απαίτηση ο παρονοµαστής να είναι διάφορος του µηδενός.

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΙΑ (Παράδοση:.) Σηείωση: Οι ασκήσεις είναι βαθολογικά ισοδύναες Άσκηση Να προσδιορίσετε τα όρια: sin( ) I. lim, II. lim sin, III. lim ( ln ) sin z Όπου χρειαστεί να θεωρήσετε γνωστό ότι lim z z Ι. Το πεδίο ορισού Α, θα προκύψει από την απαίτηση ο παρονοαστής να είναι διάφορος του ηδενός. Έτσι, Α R {,} sin( ) sin( ) sin( ) lim lim lim lim (Α) επειδή όως: sin( ) sin u lim lim (έχουε αντικαταστήσει: -u, οπότε για το u ). u u και lim η σχέση (Α) δίνει lim sin( ) ΙΙ. Θα πρέπει αφ ενός εν η υπόριζη παράσταση να είναι θετική, αφ ετέρου ο παρονοαστής να είναι διάφορος του ηδενός. ηλ.:, απ όπου προκύπτει: και άρα το πεδίο ορισού είναι: [,) (, ) (sin ) lim (sin ) sin ( ) lim lim sin sin lim ( ) lim lim( ) ΙΙΙ. Το πεδίο ορισού: (, ) lim ln (ln ) ( ln ) () ( ) lim lim lim lim ( )

2 Άσκηση ίνεται η συνάρτηση:,,, [,) f( ),, (, ], (, ) ( ) ( ) Να παρασταθεί γραφικά και να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:.) lim f ( ),.) lim f ( ),.) lim f ( ) lim f lim f lim f lim f lim f, 4.) ( ), 5.) lim f ( ), 6.) ( ), 7.) ( ), 8.) ( ), 9.) ( ),.) lim f ( ),.) lim f ( ) 5 και.) lim f ( ).5 Η γραφική παράσταση της f() φαίνεται στο παρακάτω σχήα: y lim lim.) f ( ).) lim f ( ) lim lim ( ) -.) Το όριο: lim f ( ) δεν υπάρχει, αφού το lim f ( ) είναι ίσο ε το lim f ( ). 4.) lim f ( ) lim ( ) 5.) lim f ( ) lim 6.) Το lim f ( ) αφού lim f ( ) lim f ( ) 7.) lim f ( ) lim ( ) (Ο αριθητής είναι πάντα - και ο παρονοαστής πάντα θετικός αριθός που τείνει στο ηδέν. Έτσι, το όριο δεν υπάρχει) lim f lim 8.) ( ) ( ) 9.) Το όριο: lim f ( ) δεν υπάρχει, αφού το lim f ( ) δεν είναι ίσο ε το lim f ( ).) lim f ( ) lim 9 ( ) δεν

3 9 lim lim.5.5.) lim f ( ) lim 5 5 ( ).) f ( ) ( ).5.5 Άσκηση a b c Α) ίδεται η συνάρτηση f ε f( ), που έχει κατακόρυφες ασύπτωτες τις ευθείες d e και, ια πλάγια ασύπτωτη ε συντελεστή διεύθυνσης λ και ακρότατο το f ( ).Να ευρεθούν τα α, b, c, d, e. Β) Να ευρεθεί η συνάρτηση f() η οποία είναι παραγωγίσιη στο διάστηα (, ) και για την οποία ισχύει df ( ) d σηείο (, ( ) ) f ( ) e. Επίσης η εφαπτοένη της γραφικής της παράστασης στο M f να έχει συντελεστή διεύθυνσης 7 λ. 6 Α) Η συνάρτηση f() έχει πλάγια ασύπτωτη ε συντελεστή διεύθυνσης λ. Εποένως εξ f( ) f( ) f( ) f( ) ορισού ισχύει ότι : λ lim lim. Αλλά: λ lim lim a. Εποένως a. Η συνάρτηση έχει επίσης κατακόρυφες ασύπτωτες τις ευθείες και. Εποένως οι αριθοί και πρέπει να είναι ρίζες του παρονοαστού της. Άρα προκύπτει εύκολα d και e. b c Η συνάρτηση έχει τώρα την ορφή: f( ) Πρέπει να υπολογίσουε τα b και c. ' Η συνάρτηση έχει ακρότατο στο σηείο. Αυτό σηαίνει ότι: f ( ) Οπότε ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις : ' f ( ) f ( ) Προκύπτει δηλαδή ένα σύστηα από το οποίο υπολογίζουε τα b και c.προκύπτουν οι τιές: b c. Εποένως η συνάρτηση είναι η f( ) df ( ) d e e d e d f Β) ίδεται ότι: ( ) f ( ( ) ) f ( ( ) ) ( ) d d f ( ) e c f( ) ln( c), όπου c R. Ισχύει επίσης ότι: λ f () 7 6 ( ). Είναι όως f ( ) ln ( c) c. Εποένως:

4 4 f ( ) και άρα: c c f ln ε >. ορφή: ( ) ( ) 4 7 c c 6. Εποένως η συνάρτηση έχει την Άσκηση 4 ίδεται η συνάρτηση: π asin cos,, 4 f( ). Να υπολογίσετε το ολοκλήρωα: π π tan a cot,, 4 π f ( ) π Η συνάρτηση f() είναι συνεχής στα διαστήατα, 4 και π 4, π. Πρέπει να είναι συνεχής π π και στο σηείο. Πρέπει δηλαδή να ισχύει: lim f( ) lim f( ) f 4 π π 4. Οπότε προσδιορίζεται η τιή a. 7 Υπολογίζουε το ολοκλήρωα: d π π π 4 4 ( ) ( ) ( ) ( sin cos ) ( tan cot ) f d f d f d a d a d π π π π a sin d cos d tan d a cot d a sin d cos d tan d a cot d Αλλά: sin d [ cos ], cos d [ sin ] π π tan d ln cos ln και, π π cot d ln sin ln ln ( ) π f ( ) d ln ln ln 7 7 Εποένως: 6 4 ln ln Άσκηση 5 Α) Να υπολογίσετε το εβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καπύλες y e, y e και την ευθεία. Β) Να υπολογίσετε το εβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον κύκλο y 8 και την παραβολή y Γ) Έστω η παραγωγίσιη συνάρτηση f() για την οποία ισχύει: f ( ) και f () e

5 Ι) Να ευρεθεί η συνάρτηση. ΙΙ) Να υπολογίσετε το εβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές f ( ) παραστάσεις των συναρτήσεων f και g ε g ( ), τον άξονα y y και την ευθεία. Α) Οι δύο καπύλες έχουν σηεία τοής τα οποία υπολογίζονται από την εξίσωση: f( ) g( ) e e, ισχύει ότι e e.. Επίσης για κάθε [ ] Εποένως: ( ) E e e d e e e e Β) Έχουε y 8 y ± 8. Η παραβολή y κάθε. Εποένως τα κοινά σηεία (σηεία τοής) των δύο καπύλων προσδιορίζονται από την 4 4 λύση της εξίσωσης: Εποένως το ζητούενο εβαδόν υπολογίζεται από το ολοκλήρωα: E ( f( ) g( ) ) d ( 8 )) d d Υπολογίζουε πρώτα το ολοκλήρωα: ολοκλήρωα: ( 8 )) 8 d 6 λαβάνει όνο θετικές τιές για. Στην συνέχεια υπολογίζουε το π π d : θέτουε: sinz ε z, 4 4 και έχουε: ( 8 ) 8 8sin ( sin ) d z z dz π 4 ( ( ) ) ( ) 8 sin z cos z dz cos z cos z dz 8cos z dz... π 4 π 4 Τελικά: ( ) 8 4 E f( ) g( ) d π 4 π Γ.Ι) Εφόσον f ( ) f ( ) d ( ) e d e e e d e e d e e d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e c e c Είναι όως: f() c c. Εποένως η συνάρτηση είναι η ( ) f ( ) e f( ) Γ.ΙΙ) Βρίσκουε την συνάρτηση g ( ) e. Επειδή f( ) g( ) ( ) e e e Εποένως το ζητούενο εβαδόν είναι: για κάθε [, ]

6 E g f d e d e d e e d ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) e d e 4 e e e Άσκηση 6 A. Να ελετηθεί η συνάρτηση y ln ( 4 ) και να γίνει η γραφική της παράσταση. B. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώατα: α) 4d, β) d, γ) ( ) sin b d, δ) 4 d Α. Το πεδίο ορισού της συνάρτησης είναι Β. Η καπύλη της συνάρτησης τένει τον άξονα y στο σηείο (, ln4). Για τον υπολογισό του σηείου τοής ε τον άξονα πρέπει να λυθεί η εξίσωση y ln 4 ( ) ± 4 Γ. Ισχύει ότι f ( ) f ( ), άρα είναι άρτια και κατά συνέπεια συετρική ως προς τον άξονα y.. Κατακόρυφες ασύπτωτες.: Επειδή οι ευθείες και είναι οι κατακόρυφες ασύπτωτες. Ε. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης δίνεται από την σχέση Επειδή η f ( ) > για (-,) και φθίνουσα στο (,). f < < και f ( ) Ε. Επειδή η ( ) για, η τιή ( ) ΣΤ. Η δεύτερη παράγωγος της f δίνεται από την σχέση < για < <, η f είναι αύξουσα στο διάστηα f ln4αποτελεί τοπικό ακρότατο. Επειδή f ( ) < η γραφική της παράσταση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω και επιπλέον δεν εφανίζει σηείο καπής. Με βάση τα παραπάνω η γραφική της παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήα:

7 Β. α). Στο διάστηα [,4] ισχύει ότι ( ) ( ) 4<. Άρα 4 d 4 d 4 d 6 β) u u, d u du. Άρα u u d du du ln ( u ) C ln ( ) C u u u γ) b sin d b cos b cos d ( b) cos ( ) sin sin b d ( b) cos ( b) sin cos C 4 4 ( ) ( ) ( ) δ) u 4. Άρα το ζητούενο ολοκλήρωα γίνεται udu du d 8 4 ( u ) u ( u ) 4 A B C D u u u u u u u. Από ανάλυση σε απλά κλάσατα προκύπτει ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Au u Bu Cu u Du Αν u D, u B. Εξισώνοντας ε τους συντελεστές του u παίρνουε 4 4 A C. Εξισώνοντας ε τους συντελεστές του παίρνουε A B C D και άρα A καιc. Τότε το ολοκλήρωα παίρνει την ορφή 4 4

8 d 8 du 4 u ( ) u ( ) ( u ) ( u) du u u ln u ln u C u u ln( 4 ) ln 4 C 4 4 u u Άσκηση 7 Υπόδειξη: Η άσκηση αυτή δεν απαιτεί γνώσεις Μηχανικής. Θα πρέπει να θεωρήσετε ότι η δύναη F είναι συνάρτηση της γωνίας θ Σώα βάρους W τοποθετείται σε οριζόντιο επίπεδο και ετακινείται ε την βοήθεια τεντωένου σχοινιού. Όταν το σχοινί σχηατίζει γωνία θ ε το οριζόντιο επίπεδο, τότε η δύναη, F, που ασκείται στο σώα έσω του W σχοινιού δίνεται από την σχέση: F, sinθ cosθ όπου είναι ια σταθερά που παίρνει πάντα θετικές τιές (συντελεστής τριβής) και θ π. είξτε ότι η δύναη ελαχιστοποιείται όταν tanθ. Θα πρέπει να θεωρήσουε ότι η δύναη F είναι συνάρτηση της γωνίας θ, δηλ. F F(θ). Αφού η df F(θ) γίνεται ελάχιστη πρέπει dθ. Άρα Έτσι, Τώρα πρέπει να αποδείξουε, αν το τοπικό ακρότατο που εφανίζει η F(θ) όταν tanθ, είναι απόλυτο ελάχιστο. Αντικαθιστώντας στην F(θ), όπου tanθ, βρίσκουε ότι Με δεδοένο ότι sinθ tanθ tan θ, η F γίνεται F( ) W. Συγκρίνουε την τιή αυτή π ε τις τιές που παίρνει η F στα άκρα του διαστήατος,, όπου tan και tan π ±. Τότε F( ) W και lim F( ) lim W W W. Επειδή όως ισχύει ότι ± ±

9 θα είναι Άρα το F( ) tanθ. W F και ( ) F( ) και F( ) F π. αποτελεί το απόλυτο ελάχιστο της συνάρτησης και συβαίνει όταν Άσκηση 8 Στο παρακάτω σχήα φαίνεται δοκός ήκους L. Τα δύο άκρα της είναι ακλόνητα συνδεδεένα (πακτωένα) σε τοίχους. Η εφαρογή ενός σταθερού φορτίου W, που κατανέεται οοιόορφα κατά ήκος της δοκού, έχει ως αποτέλεσα την αλλαγή του σχήατός της. Το νέο σχήα της δοκού περιγράφεται από την συνάρτηση Όπου Ε και Ι είναι θετικές σταθερές (Το Ε ορίζεται ως το έτρο ελαστικότητας Young της δοκού και το Ι ως η ροπή αδράνειας της δοκού). (α) Μελετήστε την συνάρτηση και (β) κάντε την γραφική της W παράσταση για να δείτε το νέο σχήα της δοκού αν 4EI. Η συνάρτηση y πορεί να γραφεί στην ορφή W WL WL 4 W y ( L L ) W ( L) 4EI EI 4EI 4EI 4EI όπου ( ) ( ) y c L (Ι) W c είναι ια αρνητική σταθερά και L. 4EI y y L, ενώ η πρώτη παράγωγος y θα είναι: Η σχέση (I) δίνει ότι ( ) ( ) y c ( L) ( L) c c( L) ( L) c( L)( L). ιάστηα < < L L < < L y - y Από τον πίνακα προκύπτει ότι η συνάρτηση y έχει απόλυτο ελάχιστο στο σηείο L, y L L, cl 4 6. ( ( )) ( ) Τέλος, υπολογίζεται η y ως y c( 6 6L L ). Τα σηεία στα οποία ηδενίζεται η y αποτελούν σηεία καπής και είναι δύο. Οι συντεταγένες τους θα είναι ± L 6. 6L± L

10 Στο πιο κάτω σχήα φαίνεται η ζητούενη γραφική παράσταση y -L 4 /6 L/ L Άσκηση 9 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνάει από τα σηεία Α(,), Β(,) και C(,). Η γενική εξίσωση του κύκλου είναι y A By Γ. Τα τρία σηεία Α, Β και C ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου, έτσι η γενική εξίσωση του κύκλου στα τρία σηεία ας παρέχει εξισώσεις ε αγνώστους: Α(,): Α Γ Β(,): Β Γ C(,): 4 4 A B Γ οι οποίες πορούν να γραφούν ως: Α Β Γ - Α Β Γ - Α Β Γ -8 Χρησιοποιώντας την έθοδο του Cramer έχουε: Α Β Γ 8 η ορίζουσα του πίνακα είναι (-)(-) - και οι επί έρους πίνακες για Α, Β και Γ βρίσκονται εύκολα και είναι 7, 7 και -4, αντίστοιχα. Τελικά βρίσκουε Α -7/, Β / και Γ 4/. Εποένως η εξίσωση του κύκλου είναι y y ή πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης ε :

11 y 7 7y 4 Άσκηση Α. Να γίνει πλήρης ελέτη της εξίσωσης 5y 4. Τι είδους καπύλη παριστά; Β. Αρχίζοντας ε την γενική εξίσωση A Ay D Ey F, A, δείξτε ότι D E 4AF r, όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου που ικανοποιεί την πάρα πάνω εξίσωση. 4A Α. Η προς ελέτη εξίσωση είναι δευτεροβάθια ως προς και γραική ως προς y, και άρα έχει χαρακτηριστικά παραβολής. ιαιρώντας ε (όχι τυχαία επιλογή αλλά ε τον συντελεστή του ) έχουε: 5 5 y y () Συπληρώνοντας το τετράγωνο των όρων ως προς και y ξεχωριστά ε την προσθήκη του όρου (-/4) (9/6) και στις δύο πλευρές της εξίσωσης η εξίσωση () γίνεται: ( ) y ( y ) () Η εξίσωση () είναι της ορφής ( h) 4 p( y k) () όπου βεβαίως h 4, k 4 και p 5. Σαφώς πρόκειται για παραβολή ε κορυφή V(/4, -/4) και άξονα συετρίας ( ) από την κορυφή στην εστία είναι p Τέλος, η απόσταση Β. ιαιρώντας την εξίσωση που ας δίνεται ε Α και οαδοποιώντας τους όρους ως προς και y, έχουε: D E F ( ) ( y y) () A A A Με τον γνωστό τρόπο της συπλήρωσης των τετραγώνων έχουε: D D y E E F A A A A A που ε ετακίνηση των αρνητικών όρων της αριστερής πλευράς της εξίσωσης δεξιά δίνει: ()

12 D E F D E D E 4AF y r A A A A A 4A Προφανώς η εξίσωση () είναι της ορφής ( ) ( ) ενός κύκλου ε κέντρο ( ab, ) όπου a D A και B E A () a y b r, δηλαδή εξίσωση D E 4AF r. 4A, ε ακτίνα