ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ. και ( 2 2)

Transcript

1 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_.ΒΜλΘ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω δύο σηµεία Α ( x, y) και ( ) ( ) B x, y του καρτεσιανού επιπέδου και x, y οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ. Να x+ x y+ y αποδείξετε ότι ισχύει: x= και y=. Μονάδες 9 Α. Να δώσετε το ορισµό του εσωτερικού γινοµένου α β δύο µη µηδενικών διανυσµάτων α και β. Πώς ορίζουµε το α β όταν α = 0 ή β = 0 ; Μονάδες 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α = x, y είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα του καρτεσιανού επιπέδου, α) Αν ( ) τότε σε κάθε περίπτωση ο συντελεστής του, λ α, είναι ίσος µε το πηλίκο y x. β) Έστω α,v δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου µε α 0. Τότε ισχύει ότι: α v = α προβ α v. γ) Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής: Α x + Β y + Γ = 0 µε Α, Β, Γ R. ÈÅÌÁÔÁ 05 δ) Οι διχοτόµοι των γωνιών xoy και yox των αξόνων του συστήµατος συντεταγµένων, έχουν εξισώσεις y= x και y= x αντιστοίχως. ε) Η εφαπτοµένη του κύκλου x + y = ρ στο σηµείο του Α ( x, y ), έχει εξίσωση xx yy + = ρ. Μονάδες 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

2 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_.ΒΜλΘ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνεται ευθεία ε µε εξίσωση: x+ 4y=. Β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε 9 και διέρχεται από το σηµείο Α,. Μονάδες 8 Β. Να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαράλληλης ευθείας η των ευθειών ε και ζ. Μονάδες 9 Β. Αν η ευθεία ε τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο Β και η ευθεία ζ τον άξονα x x στο σηµείο Γ, να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ α = Έστω ( x,4y ), β = ( x,), µε x, y R, δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου, τα οποία είναι κάθετα µεταξύ τους. Γ. Να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων M( x, y ) είναι η παραβολή C, Γ. µε εξίσωση: x = 8y, της οποίας να βρείτε την εστία Ε και την διευθετούσα δ. Μονάδες 8 i) Να βρείτε τις εξισώσεις ε, ε των εφαπτοµένων στην παραβολή C, στο x σηµείο N x,, x 0, οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Α(, ). 8 Μονάδες 6 ii) Να δείξετε ότι για την αµβλεία γωνία ω των εφαπτοµένων ε, ε, ισχύει: 0 συνω =. 0 Γ. ίνεται, επιπλέον, σηµείο ( x, y ) ÈÅÌÁÔÁ 05 Μονάδες Β 0 0 της παραβολής C, µε x0< 0 που απέχει από την διευθετούσα δ αυτής απόσταση ίση µε 0.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C, ο οποίος έχει διάµετρο το τµήµα µε άκρα τα σηµεία Ε και Β. Μονάδες 8 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

3 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_.ΒΜλΘ(ε) ΘΕΜΑ Έστω η εξίσωση x y y 0,() + λ =, µε λ R.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο C λ, για κάθε λ R, του οποίου να υπολογίσετε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. Μονάδες 6. i) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C λ, για κάθε λ R, διέρχονται από δύο σταθερά σηµεία Α και Β, των οποίων να βρείτε τις συντεταγµένες. Μονάδες 4 ii) Αν Α(,0), να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου C λ στο σηµείο Α. Μονάδες 4. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, µε εστίες τα σηµεία Α, Β και εκκεντρότητα. Μονάδες 6 4. Αν Μ είναι ένα κοινό σηµείο των C λ, C, να υπολογίσετε τις τιµές του R λ, έτσι ώστε: (ΜΑ)+(ΜΒ) = (ΜΚ). Μονάδες 5 ÈÅÌÁÔÁ 05 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

4 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_.ΒΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα 4, ορίζουµε α β = 0. Α. α) (Λ), β) (Σ), γ) (Λ), δ) (Σ), ε) (Σ). ΘΕΜΑ B Β. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι λ ε =. εδοµένου ότι ε / / ζ 4 έχουµε: λ ε = λ ζ =. Εποµένως η εξίσωση ευθείας ζ η οποία διέρχεται από 4 9 το Α, και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ =, είναι: 4 9 y = ( x ), 4 9 οπότε ισοδύναµα y+ = x+ 4y + 8 = x + 6 x+ 4y=. 4 Β. Ένα τυχαίο σηµείο Μ ( x, y) ανήκει στη µεσοπαράλληλη ευθεία η των ε, ζ αν ÈÅÌÁÔÁ 05 και µόνο αν: x + 4y + x + 4y d( M, ζ ) = d( M, ε) = x + 4y + = x + 4y x + 4y + = x + 4y 0x + 0y = 4, αδύνατη ή ή x 4y x 4y + + = + x + 4y = 0. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

5 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_.ΒΜλΘ(α) Η εξίσωση x+ 4y= 0 επαληθεύεται µόνο από τα σηµεία του επιπέδου για τα οποία ισχύει: d( M, ζ ) = d( M, ε ). Άρα η x+ 4y= 0 είναι η εξίσωση της µεσοπαράλληλης ευθείας η. B - Τρόπος Ισχύει: η / / ε / / ζ, άρα λ η =. 4 Οπότε η εξίσωση της µεσοπαράλληλης έχει τη µορφή y = x + κ, κ R, η 4 οποία γράφεται ισοδύναµα x+ 4y= 4κ. Αν Κ, Λ, Μ τα σηµεία όπου οι ευθείες ε, ζ και η αντίστοιχα, τέµνουν τον άξονα x x, τότε το Μ είναι µέσο του ΚΛ. x + 4y = x = 4 Εύρεση του Κ :. y = 0 y = 0 x + 4y = x = 4 Εύρεση του Λ:. y = 0 y = 0 Οπότε ( 4,0) 4 x 4y 4 κ + = κ x = Εύρεση του Μ:. Οπότε y = 0 y = 0 x K + xλ 4 4 x M = = x M = 0 M µέσο ΚΛ: yk + yλ ym = 0 y M = Κ. Οπότε Λ( 4,0). 4 κ Μ,0., άρα ( 0,0) Μ. Οπότε κ = κ =, εποµένως η εξίσωση της µεσοπαράλληλης η είναι: x 4y 0 + =. ÈÅÌÁÔÁ 05 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

6 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_.ΒΜλΘ(α) Β. Σηµείο τοµής της ε : x + 4y = µε τον άξονα y y : ΘΕΜΑ Γ εποµένως B( 0, ). Σηµείο τοµής της : x 4y x = 0 x = 0, x + 4y = y = ζ + = µε τον άξονα x x : y = 0 y = 0, εποµένως Γ( 4,0) (είναι το Λ στον Β τρόπο x + 4y = x = 4 λύσης του Β ερωτήµατος). Υπολογίζουµε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΑΒ 5 9 και ΑΓ. Είναι ΑΒ =, και ΑΓ = 6,. Άρα το εµβαδόν του 5 τριγώνου είναι: ( ΑΒΓ ) = det( AB,AΓ ) = = = 8 τ. µ. 9 6 α β α β = 0 x,4y x, = 0 x + 8y = 0 x = 8y. Η τελευταία εξίσωση είναι εξίσωση παραβολής µε άξονα συµµετρίας τον y y, Γ. Ισχύει ( ) ( ) κορυφή την αρχή Ο( 0,0) και παράµετρο p= 4. Εποµένως και p δ : y = y =. Γ. i) Παρατηρούµε ότι το σηµείο p Ε 0, ή Ε ( 0,) x Ν x,, x 0, ανήκει στην παραβολή. 8 x x = 4 y + y, όπου Η εξίσωση της εφαπτοµένης ε στη παραβολή είναι: ( ) ( x, y ) το σηµείο επαφής. To Α(, ) ε, οπότε ισχύ ει : x = 4( y ) x = 4y 4, () x Όµως y=, άρα η () γίνεται: 8 x x x = 4 4 x = 4 x = x 8 8 x x 8= 0, η οποία έχει λύσεις x= 4, x=. Για x= 4 είναι y=, ενώ για x= είναι y=. Στο( 4, ) η εξίσωση εφαπτοµένης είναι ε : 4x = 4 ( y + ) x y = 0. ÈÅÌÁÔÁ 05 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

7 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_.ΒΜλΘ(α) Στο, η εξίσωση εφαπτοµένης είναι ε : x = 4 y + x + y + = 0. ii) Βρίσκουµε τα διανύσµατα δ = ( ) δ δ ( ) +, / / ε, δ = ( ) 0 συνω = = = =. δ δ 5 0 0, / / ε. Είναι: Γ. Το σηµείο Β ( x, y ) ανήκει στη παραβολή άρα ισχύει: = ( ) ΘΕΜΑ. Επίσης ( ) d B, 0 0 Για y0= η ( ) x 8y,. 0 0 y + δ = = y0 + = 0 y0 = 8 ή y0=. 0 + γίνεται x = 96, αδύνατη. Για y0= 8 η ( ) γίνεται 0 x0 = 64 x0 = 8 ή x0= 8. εκτή η x0= 8 λόγω της υπόθεσης ότι x0< 0. Άρα Β( 8,8). Έστω Κ το κέντρο του ζητούµενου κύκλου. Επειδή ΒΕ διάµετρος, τότε το Κ µέσο του ΒΕ. Συνεπώς: x B + x E x K = = = 4. Άρα Κ( 4,5). Αν ρ η ακτίνα του ζητούµενου yb + ye 8 + yk = = = 5 ρ = ΚΒ = = = 5 = 5. κύκλου τότε: ( ) ( ) ( ) C : x+ 4 + y 5 = 5. Εποµένως η εξίσωση του κύκλου είναι: ( ) ( ) ( ) ÈÅÌÁÔÁ 05 x + y λy = 0 x + y λ y + λ = + λ x + (y λ ) = + λ, (). Η () παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ(0,λ) και ακτίνα ρ = λ +, για κάθε λ R. Σηµείωση: Το ερώτηµα θα µπορούσε να λυθεί µε την συνθήκη: A + B 4Γ > 0, µε A = 0, B = λ, Γ =. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 6

8 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_.ΒΜλΘ(α). i) Για λ = 0, η () γράφεται η () γράφεται x + y 0 y = 0 x + y =. Για λ =, x + y y = 0 x + y = + y. Θεωρούµε το x + y = σύστηµα:, οπότε: x + y = + y x + y = x + y = x = x = x = ηɺ. 0 = y y = 0 y = 0 y = 0 y = 0 Θα αποδείξουµε ότι όλοι οι κύκλοι που παριστάνει η (), διέρχονται από τα σηµεία Α(,0) και Β(-,0). Πράγµατι, αν θέσουµε x =, y = 0 ή x = -,y = 0 η () επαληθεύεται για κάθε λ R. ii) Έστω M(x,y) τυχαίο σηµείο της ζητούµενης εφαπτοµένης ε, τότε: AM = (x, y 0) = (x, y), KA = ( 0, 0 λ ) = (, λ) KA AM = 0 (, λ) (x, y) = 0 x λ y = 0. Σηµείωση: Το ερώτηµα θα µπορούσε να λυθεί βρίσκοντας την εφαπτοµένη ως ευθεία κάθετη στην ευθεία ΚΑ, που διέρχεται από το σηµείο Α. Ο τρόπος αυτός έχει το µειονέκτηµα ότι χρειάζεται περιορισµός λ 0, όταν υπολογίζουµε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης. ÈÅÌÁÔÁ 05. Η έλλειψη έχει εστίες Α(,0) και Β(,0), άρα γ = ή γ =. γ = = α = α = α α x y x y C : α + β = + =. και β = α γ = =. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 6

9 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_.ΒΜλΘ(α) 4. Το Μ είναι κοινό σηµείο του κύκλου και της έλλειψης. Το Μ είναι σηµείο της έλλειψης, άρα, σύµφωνα µε τον ορισµό ισχύει:(ma) + (MB) = α =. Το Μ είναι σηµείο του κύκλου, άρα η απόστασή του από το κέντρο Κ θα ισούται µε την ακτίνα ρ του κύκλου, εποµένως Έχουµε: (MA) + (MB) = (MK) = λ + λ = λ= ή λ=. (MK) = ρ = λ +. = λ + = λ + ÈÅÌÁÔÁ 05 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 6

10 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_.AΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να αποδείξετε ότι: α β λ λ =, όπου λ= λ α και λ= λ β, εφόσον α,β y y. (Μονάδες 5) Α. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό σας ως σωστή (Σ) ή λανθασµένη (Λ) καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν α β, τότε, α β = 0 και αντιστρόφως. β) Αν λα = µα,τότε σε κάθε περίπτωση λ = µ. γ) Η εξίσωση Ax + By + Γ = 0,όπου A, B, Γ R σε κάθε περίπτωση παριστάνει ευθεία. δ) Κάθε διάνυσµα α του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή α= xi+ y j. ε) Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των γινοµένων των οµωνύµων συντεταγµένων τους. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Β Για δύο διανύσµατα α, β του καρτεσιανού επιπέδου ισχύουν οι σχέσεις: α+ β = (0, 5) και α β = (, ). Β. Να αποδείξετε ότι α = (, ) και β = (, ). Β. Να υπολογίσετε την γωνία ÈÅÌÁÔÁ 05 ( α,β ). (Μονάδες 7) (Μονάδες 9) Β. Να βρείτε τo διάνυσµα προβ α β. (Μονάδες 9) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

11 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_.AΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Γ ίνονται τα σηµεία Α(-, ), Β(, ) και Γ(4, ) του επιπέδου Oxy. Γ. Να δείξετε ότι τα σηµεία Α, Β και Γ δεν είναι συνευθειακά. (Μονάδες 7) Γ. Να δείξετε η µεσοκάθετος (ε) του ευθύγραµµου τµήµατος ΒΓ έχει εξίσωση y= x. (Μονάδες 8) Γ. Να βρείτε τις συντεταγµένες του συµµετρικού του σηµείου Α ως προς την ευθεία (ε). (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Σε ένα καρτεσιανό επίπεδο Οχψ θεωρούµε τα µη µηδενικά διανύσµατα α, β και τα A α β, 0 B 0, α β, έτσι ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι ισοσκελές. σηµεία ( ), ( ). Να αποδείξετε ότι α / / β. (Μονάδες 8). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας, που διέρχεται από τα σηµεία Α και B είναι ε : y = x α β ή ε : y = x + α β. (Μονάδες 8). Αν η ευθεία x = τέµνει τις διαφορετικές ευθείες ε : y = x α β, ε : y = x + α β στα Λ, Κ αντίστοιχα και ισχύει OK OΛ =, να βρείτε το εσωτερικό γινόµενο α β. ÈÅÌÁÔÁ 05 Σας ευχόµαστε Επιτυχία (Μονάδες 9) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

12 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_.ΑΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες A. Σελίδα 4 σχολικού Βιβλίου. Α. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α + β = ( 0,5 ) ( ) α β = (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Β. Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις: α =, + 0,5 α = + 0,+ 5 α =,6 προκύπτει: α = (,6) α =, 6 α = (,) Η σχέση () για α = (,) γίνεται:, +β = 0,5 β = 0,5, β = 0,5 β =, ÈÅÌÁÔÁ 05 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

13 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_.ΑΜλΘΤ(α) Β. α β ( ) ( x x + y y α β α β συν α, β = συν α, β ) = α β x + y x + y ( ) + 5 συν( α, β ) = συν ( α, β ) = ( ) 5 ( ) ( 5 συν α, β = συν α, β ) = ( ) ( συν α, β = συν α, β ) = 5 ( ) συν α, β = άρα α, β ( ) B. Ισχύει: α β = β προβ α ( ) ΘΕΜΑ Γ β π = 4 α α β β όµως προβ α / / β προβ α = λ β, λ R. Εποµένως η () γίνεται: β β α β = β( λ β) α β = λ β α β = λ β 5 = λ 0 λ = Άρα: προβ α = λ β προβ α = (, ) προβ α =, β β β ÈÅÌÁÔÁ 05 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

14 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_.ΑΜλΘΤ(α) Γ. Βρίσκουµε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΑΒ, ΒΓ. ( B A B A) ( ) ΑΒ= x x, y y = (+, ) = (5,) ΒΓ= x x, y y = (4, ) = (, ) Γ Β Γ Β 5 Εποµένως det(αβ, ΒΓ) = = 0 = 0, άρα τα διανύσµατα ΑΒ, ΒΓ δεν είναι παράλληλα, οπότε τα Α,Β και Γ όχι συνευθειακά. Γ. Η µεσοκάθετος (ε) του ευθύγραµµου τµήµατος ΒΓ διέρχεται από το µέσο του Μ και το τέµνει κάθετα. Βρίσκουµε τις συντεταγµένες του σηµείου Μ: x B + x Γ + 4 y B + y Γ + x M = x M = x M =, y M = y M = y M = Άρα, Μ(, ). Υπολογίζουµε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ. y Γ y B λβγ = λβγ = λβγ =. x x 4 Γ B Ισχύει ( ) ε ΒΓ ε ε (ΒΓ) λ λ = λ =. Άρα η εξίσωση της µεσοκαθέτου (ε) του ευθύγραµµου τµήµατος ΒΓ είναι: ε : y y = λ x x y = x y = x. ( ) ( ) M ε M Γ. Έστω Α το συµµετρικό του Α ως προς την ευθεία(ε). Θα βρούµε την εξίσωση ευθείας (ζ) η οποία διέρχεται από το Α και τέµνει κάθετα την (ε). Ισχύει: ( ) ΒΓ ζ ζ ( ) ( ) ΒΓ (ζ) λ = λ λ =, εποµένως η ευθεία (ζ) έχει εξίσωση ζ : y y = λ x x y = (x + ) y = x Α ζ Α Έστω Κ το σηµείο τοµής των ευθειών (ε) και (ζ), του οποίου οι συντεταγµένες θα βρεθούν λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών αυτών. y = x y = x y = x y = Πράγµατι: y = x x = x x = 0 x = 0 Άρα Κ(0, ). Λόγω συµµετρίας το Κ είναι το µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΑ. x A + x Α + x Α x K = 0 = x Α = και y A + y Α + y Α y K = = y Α = 4 Άρα το συµµετρικό του Α ως προς την ευθεία (ε) είναι το Α (,-4) ÈÅÌÁÔÁ 05 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

15 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_.ΑΜλΘΤ(α) ΘΕΜΑ. Αφού το τρίγωνο ΟΑΒ µε Ο ˆ = 90 OA = OB, εποµένως a β = α β ή a β = α β. Αν φ είναι γωνία των διανυσµάτων α και β η τελευταία ισότητα γράφεται: a β = α β συνϕ α β = α β συνϕ από την οποία προκύπτει ότι συνϕ =, αφού τα α, β είναι µη µηδενικά διανύσµατα και εποµένως είναι α 0 και β 0. Άρα ( συνϕ= ή συνϕ= ) () οπότε φ =80 ή φ=0. Σε κάθε περίπτωση είναι α / / β. είναι ισοσκελές έχουµε ( ) ( ). Έχουµε α β = α β συνϕ. Από τις σχέσεις () προκύπτει ότι α β = α β ή α β = α β αντιστοίχως. ÈÅÌÁÔÁ 05 ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις: α) Αν α β = α β είναι Β( 0, α β ). Αναλόγως έχουµε: α β 0 λαβ = =. 0 α β ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 5

16 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_.ΑΜλΘΤ(α) y 0 = x a β ή ε : y= x+ a β. ε : ( ) β) Αν α β = α β είναι Β ( 0, α β ). Τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α και Β είναι α β 0 λαβ = = και αφού διέρχεται από το Α είναι 0 α β y 0 = x α β ή ε : y = x a β ε : ( ). Βρίσκω τα σηµεία τοµής Λ και Κ αντίστοιχα των ευθειών (ε ), ευθεία x=. Για x = η Για x = η (ε ) µε την (ε ) γίνεται y = α β. Άρα: Λ(, α β ). (ε ) γίνεται y = + α β. Άρα: K(, + α β ).. + οπότε ΟΛ = (, κ), ΟK = (,+ κ). Για χάρη ευκολίας θέτω α β = κ > 0 Άρα, Λ(, κ), K(, κ) Ισχύει: ΟΚ ΟΛ = (, + κ)(, κ) = + ( + κ)( κ) = κ> 0 κ κ κ = κ + κ = 0 κ = ή κ = κ = Άρα α β =, εποµένως α β = ή α β =. ÈÅÌÁÔÁ 05 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 5

17 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης ε του κύκλου ένα σηµείο του A(x,y ) είναι ε : xx + yy = ρ. c :x + y = ρ σε Μονάδες 0 Α.. Να γράψετε τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων α και β. Α.. Μονάδες 5 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ): i. Το εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ µε Α, Β, Γ τρία σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου, δίνεται από τον τύπο: ( ΑΒΓ ) = det ( ΑΒ,AΓ). ii. Αν για τις ευθείες ε, ε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης τότε ε // ε. iii. Ένα παράλληλο διάνυσµα προς την ευθεία ε : Αx+ Βy+ Γ= 0 είναι το διάνυσµα δ = ( Β, Α). iv. Στην παραβολή y = px ο αριθµός p εκφράζει την απόσταση της εστίας Ε από τη διευθετούσα δ. v. Οι ασύµπτωτες της υπερβολής y x c : = α β έχουν εξίσωση β x = ± y. α ÈÅÌÁÔÁ 04 Μονάδες 5x ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

18 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνονται τα διανύσµατα α, β, γ για τα οποία ισχύει α = β = 4 κ R π και α, β = rad. Β.. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων α και β. Β.. Να υπολογίσετε το κ R ώστε α γ. Β.. Για κ = 4 ΘΕΜΑ Γ i. Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσµάτων β και γ. ii. Να αποδείξετε ότι ίνονται οι εξισώσεις προβ γ= β. β x y x+ = 0 () ( ) x ( ) y 6 0 ( ) λ λ + + λ + λ + λ = και λ R, γ = α + κβ ÈÅÌÁÔÁ 04 µε Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 7 Μονάδες 6 Γ.. Να δείξετε ότι η () παριστάνει δύο ευθείες ε, ε κάθετες και να βρεθεί το σηµείο τοµής τους Ε. Μονάδες 6 Γ.. Να δείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε λ R και ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας αυτής διέρχονται από το ίδιο σηµείο Ζ. Μονάδες 7 ε, ε και Z(, ) το σταθερό σηµείο του Γ.. Αν E(,0) το σηµείο τοµής των ερωτήµατος Γ.. τότε i. να βρείτε την εξίσωση και τη διευθετούσα της παραβολής c, η οποία έχει εστία Ε, κορυφή O(0,0) και άξονα συµµετρίας τον xx, Μονάδες 6 ii. να βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής c που έχει µέσο το σηµείο Ζ. Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

19 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ ίνονται τα σηµεία N(6µ,6 λ ) µε λ,µ R και ισχύει ότι Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ν βρίσκονται στον κύκλο c : (x+ ) + y = 6. µ λ + =. Μονάδες 7 Να βρείτε τις εφαπτόµενες του παραπάνω κύκλου c που διέρχονται από το σηµείο (4,8). Μονάδες 8 Αν τα σηµεία A(4,0) και Ε είναι τα σηµεία επαφής των παραπάνω εφαπτόµενων µε τον κύκλο c, να βρείτε το εµβαδόν του τετραπλεύρου ΕΚΑ, όπου Κ το κέντρο του κύκλου c. Μονάδες 5 Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των κέντρων Μ των κύκλων, που εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου c και διέρχονται από το σηµείο Σ (,0). Μονάδες 5 ÈÅÌÁÔÁ 04 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

20 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Σχολικό βιβλίο σελ. 8. Α.. Σχολικό βιβλίο σελ. 4. Α.. i. Σωστό ii. Σωστό iii. Σωστό iv. Λάθος v. Σωστό Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β.. Είναι α= 4 και β = 4 β =, οπότε Β.. π α β = α β συν( α,β ɵ ) = 4 συν = 4 = 4 α γ α γ = 0 α ( α + κβ) = 0 α + καβ = 0 α + κ 4 = 0 4κ + 6 = 0 κ = 4 Β.. i. Είναι συν( β, ɵγ) ÈÅÌÁÔÁ 04 β γ = και αφού β γ β γ = β α 4β = α β 4β = 4 4 β = 4 4 = ( ) και ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

21 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΘΤ(α) γ = α 4β = α 4β = α 8α β + 6β = α β ( ) = = 48 θα είναι γ= 48= 4 (αφού γ 0 ) Άρα συν( β ɵ,γ) = = =. 4 Είναι 0 ( β, ɵ γ) π, οπότε ( ) π 5π β,γ ɵ = π = 6 6. ii. Αφού προβγ β θα υπάρχει λ R ώστε προβγ= λβ. Οπότε ΘΕΜΑ Γ Γ.. ηλαδή Έχουµε β β προβ γ = β. β γ = β προβ γ β β ( α 4β ) = β ( λβ ) = = α β 4β λβ 4 4 λ 4λ = λ = x y x 0 x x y 0 + = + = ( ) ( )( ) x y = 0 x y x + y = 0 x y = 0 ή x + y = 0 y = x ή y = x + Οπότε η () παριστάνει τις ευθείες ε : y= x και ε : y= x+, µε κλίσεις αντίστοιχα λ= και λ =. Αφού λ λ = ( ) = θα είναι ε ε. Λύνουµε το σύστηµα ( ) y = Σ x. y = x + Με πρόσθεση κατά µέλη προκύπτει ότι y = 0 y = 0, οπότε το (Σ) ισοδύναµα γράφεται y = 0 y = 0 x = y = x 0 = x y = 0 Άρα το σηµείο τοµής των ευθειών είναι το Ε(,0). ÈÅÌÁÔÁ 04 β ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

22 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΘΤ(α) Γ. (Α τρόπος) Γ.. Η εξίσωση ( ) ( ) x y 6 0, λ λ + + λ + λ + λ = µε λ R είναι της µορφής Ax+ By+ Γ= 0 µε Β= λ+ 0, οπότε παριστάνει ευθεία για κάθε λ R. ε : λ λ+ x+ λ+ y λ+ 6λ = 0, τότε Αν λ ( ) ( ) Για λ= 0 η παραπάνω εξίσωση γίνεται ε : x+ y = 0 Για λ= η παραπάνω εξίσωση γίνεται 4 y = x = ε : y + = 0 y =. Οπότε έχουµε. x + y = 0 y = ηλαδή οι ευθείες ε και ε 4 έχουν κοινό σηµείο το Ζ(,-). Όµως για x= και y= η () γίνεται. ( ) ( ) ( ) λ λ + + λ + λ + 6λ = 4λ 6λ + λ λ + 6λ = 0 Άρα το Ζ ελ. Εποµένως όλες οι ευθείες της παραπάνω οικογένειας θα διέρχονται από το σηµείο Ζ(,-). (Β τρόπος) Από την ( ) ( ) x y 6 0, λ λ + + λ + λ + λ = µε λ R, έχουµε λ x λx x λ y y λ 6λ = ( ) ( ) ( ) λ x + y + λ x x + y = 0 Για να είναι µηδενικό πολυώνυµο του λ, πρέπει x + 6 = 0 x = x = x + y = 0 + y = 0 y = x y 0 y 0 + = + = y = x = Η λύση του συστήµατος είναι το, άρα όλες οι ευθείες της παραπάνω y = Z,. ÈÅÌÁÔÁ 04 οικογένειας διέρχονται από το ( ) i. Η ζητούµενη παραβολή είναι της µορφής y = px. Αφού Ε(,0) η εστία της, θα είναι p p = =, οπότε η παραβολή θα είναι η c : y = 4x. p Η διευθετούσα της είναι η δ : x=, δηλαδή δ : x=. B x, y τα άκρα της χορδής της c µε µέσο το σηµείο Ζ, ii. Αν ( ) τότε A x, y και ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

23 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΘΤ(α) ΘΕΜΑ y 4x = και y = 4x. Αφαιρώντας κατά µέλη έχουµε: y y = 4 x x y y y + y = 4 x x ( ) ( )( ) ( ) ( ) Όµως το Z(, ) είναι µέσο του ΑΒ οπότε y + y = + = Εποµένως η () γίνεται y y = 4 x x y y ( )( ) ( ) Αν x= x, τα σηµεία Α και Β είναι συµµετρικά ως προς x x, οπότε το Ζ, που είναι µέσο του ΑΒ, θα βρίσκεται στον x x. Αυτό είναι άτοπο, αφού η τεταγµένη του Ζ είναι -, οπότε x x. Εποµένως y y 4 ( y y)( ) = 4( x x) = λαβ =, x x λ η κλίση της ΑΒ. Αφού ( ) ( ) όπου ΑΒ Z, σηµείο της, έχουµε ΑΒ : y + = x y = x +.. Είναι N( 6µ ),6λ, µε µ,λ R ( ) = = + = + Αν Ν( x,y ) τότε y 6λ 6λ y = = 6λ = y Προσθέτοντας κατά µέλη προκύπτει ότι και αφού x 6µ 6µ x 6µ x ( ) ( ) ( ) 6µ + 6λ = x + + y x + + y = 6 µ + λ µ λ.. Είναι ( ) ( ) ÈÅÌÁÔÁ 04 + =, η παραπάνω γίνεται ( ) ( ) ( ) x+ + y = 6. Κ = = = 6+ 64= 00= 0> ρ, άρα το είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου. (Α τρόπος) Παρατηρούµε ότι η ευθεία ε : x= 4 εφάπτεται στον κύκλο c, διότι ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 6

24 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΘΤ(α) d( K,ε) = = 6= ρ + 0 Επίσης από το διέρχονται και άπειρες ευθείες της µορφής ε : y 8 = λ x 4 λ x y + 8 4λ = 0 ( ) ε ε ε Για να εφάπτεται στον κύκλο θα πρέπει λ ε + 8 4λε d( K,ε) = 6 = 6 λ + ε ( ) 4 6 λ ε = 6 λε + ( ε ) 4 λ ε = λ λ ε λ ε + = λ ε λε + 6 = 9 λε = Άρα ε : x y = 0 7x 4y + 64 = (Β τρόπος) Η ζητούµενη ευθεία είναι της µορφής ε : Αx+ By+ Γ= 0, µε A 0 ή B 0. 4,8 ε, οπότε 4Α + 8Β + Γ = 0 Γ = 4Α 8Β και µε Όµως ( ) αντικατάσταση στην παραπάνω προκύπτει: ε : Αx+ By 4A 8B= 0 ( ) Για να είναι εφαπτόµενη στον κύκλο c πρέπει και αρκεί Α + 0Β 4Α 8Β d( K,ε) = 6 = 6 Α + Β ( ) ÈÅÌÁÔÁ 04 6Α + 8Β = 6 Α + Β 6Α + 8Β = 6 Α + Β 6Α + 96ΑΒ + 64Β = 6Α + 6Β ( ) 96ΑΒ 8Β 0 4Β 4Α 7Β 0 + = + = 4 Β = 0 ή Β = Α 7 Αν Β= 0 τότε είναι Α 0, διότι η () παριστάνει ευθεία. Οπότε από την () έχουµε: Αx + 0y 4A 8 0 = 0 Ax = 4A x = 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 6

25 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΘΤ(α).. 4 Αν B = A τότε είναι Α 0, διότι αν ήταν A= 0 θα είχαµε και Β=0, 7 που είναι άτοπο διότι η () παριστάνει ευθεία. Οπότε από () θα έχουµε: Ax Ay 4A 8 A = 0 x y 4 + = x 4y x 4y + 64 Άρα οι ζητούµενες ευθείες είναι οι: ε : x= 4 και ε : 7x 4y+ 64= 0 Παρατηρούµε ότι τα τρίγωνα ΚΑ και ΚΕ είναι ίσα, διότι Ορθογώνια τρίγωνα ( ο Ε= Α= 90 ) Κ κοινή πλευρά (υποτείνουσα) ΚΑ=ΚΕ=ρ ΚΑ = ΚΕ. Έτσι Οπότε ( ) ( ) ΕΚΑ = ΚΑ = 6 8 = 48τ.µ. ( ) ( ).4. Αν ( Μ,ρ ) κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στον κύκλο c και διέρχεται από το σηµείο Σ(,0 ), πρέπει και αρκεί ( ΚΜ) = ( KN) ( MN) = ρ ρ, ( ρ< ρ) και ( ΜΣ) = ρ ηλαδή έχουµε ΚΜ = ρ ΜΣ ΜΣ + ΜΚ = ρ = 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Αφού ( ΚΣ) 4 6 ( ΜΚ) ( ΜΣ) = < = + ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ είναι η έλλειψη µε εστίες Σ και Κ και µεγάλο άξονα 6. Εποµένως γ=, α= και β= α γ = 5. Και η εξίσωσή της είναι: ÈÅÌÁÔÁ 04 x y + = 9 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 6

26 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.. Έστω α, ν δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0. Αν προβ αν είναι η προβολή του ν πάνω στο α, να αποδείξετε ότι: α ν = α προβ αν. Μονάδες 7 Α.. Α.. Α.4. Να δώσετε τον ορισµό της έλλειψης. Μονάδες 4 Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσµατος α µε α // y y; Μονάδες 4 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ): i. Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο A(x 0, y 0) είναι της µορφής y y 0 = λ(x x 0), όπου λ R. ii. Αν α, β 0 και α β = α β, τότε α β. iii. x y Η εκκεντρότητα της έλλειψης (C) : + =, όπου α > β > 0 είναι α β πάντοτε ίση µε β α. iv. Αν Α (x, y ) είναι σηµείο του κύκλου C : x y ρ η εφαπτοµένη του C στο Α έχει εξίσωση: + =, όπου 0 < ρ τότε x x+ y y = ρ. ÈÅÌÁÔÁ 0 v. Οι ασύµπτωτες της υπερβολής x y β (C) : = είναι οι ευθείες y = ± x. α β α Μονάδες 5x=0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

27 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Β κ 4 ίνονται τα σηµεία Α,, Β(, ) και Γ κ,, κ R. Β.. Να βρείτε τα διανύσµατα AB, BΓ και να αποδείξετε ότι τα σηµεία A,B, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 9 Β.. Να αποδείξετε ότι η γωνία των διανυσµάτων AB και BO είναι αµβλεία, όπου O είναι η αρχή των αξόνων. Μονάδες 8 Β.. ΘΕΜΑ Γ Αν ΑΒ ΑΓ = ΒΓ, να βρείτε τον αριθµό κ ( κ R ). Μονάδες 8 ίνεται η εξίσωση + x λ ( x) λ y + = 0 (), όπου λ R. 4 Γ.. Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ευθείες, για κάθε λ R. Γ.. Μονάδες 5 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σηµείο από το οποίο να διέρχονται όλες οι ευθείες της µορφής(). Μονάδες 8 Γ.. Αν ( ), ε ( ε ) είναι οι ευθείες που προκύπτουν από την () για λ = και λ = αντίστοιχα, να υπολογίσετε το εµβαδό του τριγώνου που σχηµατίζουν οι ( ε ), ( ε ) µε τον άξονα y' y. Μονάδες 6 Γ.4. Να βρείτε το σηµείο της ( ) ε, το οποίο απέχει από την αρχή των αξόνων τη µικρότερη απόσταση. Μονάδες 6 ÈÅÌÁÔÁ 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

28 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ ίνεται η εξίσωση: x y ( 4)x ( 4)y 0 () + + λ + λ + + λ =, όπου λ R... Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες πραγµατικές τιµές του λ η εξίσωση () παριστάνει ίσους κύκλους. Μονάδες Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων είναι σηµεία της ευθείας ( ε ) µε εξίσωση: x y = 0. Μονάδες 4 Να αποδείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι της µορφής () εφάπτονται δύο ευθειών ( δ ),( δ ) των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. Μονάδες 9 Έστω η παραβολή (C) : x = py και η ευθεία (ε) του ερωτήµατος.. Αν η (ε) είναι εφαπτοµένη της παραβολής, να βρείτε: i. την παράµετρο p, την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής. Μονάδες 4 ii. την εφαπτοµένη ( η ) της παραβολής, η οποία είναι κάθετη στην ( ε ). Μονάδες 4 Σας ευχόµαστε επιτυχία ÈÅÌÁÔÁ 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

29 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 45. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 00. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 8. Α.4. i. Λάθος ii. Σωστό iii. Λάθος iv. Λάθος v. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β.. Β.. Έχουµε,, κ 4 κ ΑΒ = + = και ΒΓ = κ, + = κ, κ κ Είναι det ( ΑΒ, ΒΓ ) = κ κ = = 0,οπότε ΑΒ ΒΓ. Επειδή τα διανύσµατα ΑΒ, ΒΓ έχουν κοινό το σηµείο Β, τότε έχουν τον ίδιο φορέα. Έτσι, τα, ÈÅÌÁÔÁ 0 Α Β και Γ είναι συνευθειακά. Είναι ΑΒ =, και ΒΟ = (,).Έχουµε ΑΒ ΒΟ = + = < 0, άρα συν ΑΒ, ΒΟ < 0. Οπότε η γωνία ΑΒ, ΒΟ είναι αµβλεία. ( ) ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

30 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) Β.. ΘΕΜΑ Γ κ 4 κ κ Είναι ΑΒ =,, ΑΓ = κ, + = κ, και ΒΓ = κ,. κ 5κ 5 Άρα ΑΒ ΑΓ = κ + = και ( ) ( ) ( ) κ 5 κ ΒΓ = κ + = ( κ ) 5 = = 5κ 5 Πρέπει κ ( κ ) 4 4 κ = κ 8κ + 8 κ 9κ + 9 = 0. Έχουµε = = 9,οπότε κ = ή κ =. Γ.. Η εξίσωση () είναι ισοδύναµη µε την : + x λ λ x λy + = 0 4λ 4λ x 4λy + + x = 0 ( 4λ ) x 4λy + + 4λ = 0 () 4 Έστω ότι η () δεν παριστάνει ευθεία. Τότε 4λ = 0και 4λ= 0 δηλ. λ = ± και λ= 0 που είναι αδύνατο. Άρα η () για κάθε λ R, παριστάνει ευθεία. Γ. ος τρόπος : Στην ()θέτουµε διαδοχικά: λ= και λ= 0 οπότε έχουµε : y+ = 0 και x + = 0 y = και x=. Στην () θέτουµε x= και y=οπότε έχουµε : + 4λ 4λ + + 4λ = 0 8λ 4λ = 0 λ = 0 ή λ =. Η () λοιπόν δεν ισχύει για κάθε λ R, οπότε δεν υπάρχει σηµείο από το οποίο να διέρχονται όλες οι ευθείες της µορφής () ος τρόπος : ÈÅÌÁÔÁ 0 Έστω ότι όλες οι ευθείες της µορφής () διέρχονται από το σηµείο ( x, y ) Μ. + x0 Η εξίσωση () γίνεται : λ ( x0) λy0+ = 0 (). Η εξίσωση () πρέπει να ισχύει για κάθε λ R,οπότε x0 = 0 x0 =, y0 = 0 + x0 και = 0 x0 = που είναι αδύνατο. 4 Έτσι, δεν υπάρχει σηµείο από το οποίο να διέρχονται όλες οι ευθείες της µορφής (). 0 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

31 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) Γ.. Η () για = λ γίνεται: ( ) ( ε ) : x+ 4y+ 5= 0. Τα σηµεία τοµής των ( ),( ) ε ε µε τον ' 5 αντίστοιχα: Α 0, και 5 Β 0, 4 4. Το σηµείο τοµής Γ των ( ),( ) x 4y+= 5 0 ( Σ){ + 4 += 5 0} x y. ε : x 4y+ 5= 0 και για λ = γίνεται y y,δηλαδή µε την ευθεία ( ε) : x= 0 είναι ε ε προκύπτει από την λύση του συστήµατος: 5 Με πρόσθεση και αφαίρεση κατά µέλη έχουµε : 6x + 0 = 0 x = και 5 8y = 0 y = 0 οπότε Γ, Έχουµε ΑΒ = 0, και ΑΓ =, Οπότε ( ΑΒΓ ) = det ( ΑΒ, ΑΓ ) = 5 5 = = τ. µ.. 6 Γ.4. Από το ( 0,0) 4 Ο φέρνουµε ευθεία ( δ) κάθετη στην ( ) Είναι λ( ε ) = άρα ( ) Η εξίσωση της ( ) ε. 4 λ δ =. 4 4 δ είναι : y = x 4x y = 0. ε είναι το ζητούµενο σηµείο, το οποίο Το σηµείο τοµής των ( δ) και ( ) 4x y= 0 προκύπτει από τη λύση του συστήµατος ( Σ){ x 4y = 5} Είναι Άρα 4 D = 4= 6 9= 5, 5 x = = και y = =, οπότε 5 5 D = = και D x , 5 5. ÈÅÌÁÔÁ 0 y = = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

32 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) ΘΕΜΑ λ x + y + λ x + λ + y + = 0 (). Είναι Α = λ, Β = λ + και Γ = λ, οπότε λ Α + Β 4Γ = ( λ ) + ( λ + ) 4 = 8 > 0. 8 Έτσι, η () παριστάνει ίσους κύκλους µε ακτίνα ρ = =... Η () είναι ισοδύναµη µε την ( ) ( ) λ λ Τα κέντρα των παραπάνω κύκλων είναι: Κ,, για κάθε λ R. λ λ Έστω x= και y= και µε αφαίρεση κατά µέλη έχουµε: x y =. ηλ. τα κέντρα των κύκλων κινούνται στην ευθεία ( ε ) : x y = 0. (Ένας άλλος τρόπος λύσης θα ήταν µε απαλοιφή του λ από τις συντεταγµένες του Κ). Επειδή οι κύκλοι είναι ίσοι, τότε η (ε) είναι η µεσοπαράλληλος των, d ε, δ = d ε, δ =. ( δ) ( δ ) µε ( ) ( ) Οι ευθείες ( ),( ) ( δ) : x y+ γ = 0. Έστω (,0) δ δ αφού είναι παράλληλες της (ε) είναι µορφής: Β ένα σηµείο της (ε) τότε : d(ε, δ) = d( Β, δ) = + γ = + γ = + γ = ή + γ = άραγ = 0 ή γ = 4. Οπότε ( δ ) : x y= 0 και ( δ ) : x y 4= 0. ÈÅÌÁÔÁ 0 i. Επειδή η (ε) δεν είναι κατακόρυφη και εφάπτεται της παραβολής, πρέπει το σύστηµα των εξισώσεων : x = py και x y = 0 να έχει µοναδική x = p x x px + 4 p = 0. λύση. Έτσι, έχουµε : ( ) Πρέπει λοιπόν η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης, να είναι ίση µε µηδέν. ηλαδή 4 p 6 p = 0 p = 4 γιατί p 0. p Έτσι ( C) : x = 8y µε εστία Ε 0, δηλαδή Ε( 0,) και διευθετούσα δ y= ( ) : ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 5

33 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) ii. Έστω Α( x, y) ( C ) τότε = 8 ( ) ( ) xx = y + y x x y y = η : x y. Η εφαπτοµένη της (C) στο Α είναι : x Επειδή ( η) ( ε ) και x λη=, λ ε=, τότε = x = Από την () έχουµε: 6 = 8y y =. Έτσι, η εξίσωση της (η) είναι: 4x 4y 8 = 0 x + y + = 0. ÈÅÌÁÔÁ 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 5

34 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή 8 Απριλίου 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω τα διανύσµατα α,β, τα οποία δεν είναι παράλληλα µε τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διευθύνσεως λ,λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε την ισοδυναµία: α β λλ =. Μονάδες 9 A. Να ορίσετε το συντελεστή διεύθυνσης λ µίας ευθείας ε, µη παράλληλης µε τον άξονα y y. Μονάδες A. Έστω Oxy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και C ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ, ο οποίος έχει εξίσωση x +y = ρ. Αν A(x,y ) είναι σηµείο του κύκλου C, να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας ε στον κύκλο C, στο σηµείο του Α. Μονάδες A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Αν τα διανύσµατα α και β είναι οµόρροπα τότε α β = α β αντιστρόφως. και ÈÅÌÁÔÁ 0 β. Η απόσταση του σηµείου Μ ο (x o,y o ) από την ευθεία ε µε εξίσωση Ax ο+by ο+γ Αx+Βy+Γ= 0 δίνεται πάντοτε από τον τύπο d(μ ο, ε) =. Α +Β γ. Η εξίσωση κύκλο µε ακτίνα ρ = x +y +Ax+By+Γ = 0 µε A +B - 4Γ > 0παριστάνει πάντοτε Α +Β -4Γ. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

35 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) δ. Η κάθετη στην εφαπτοµένη µιας έλλειψης στο σηµείο επαφής Μ διχοτοµεί τη γωνία ' Ε ΜΕ, όπου ' Ε, Ε είναι οι εστίες της έλλειψης. ε. Αν C είναι µία παραβολή µε εξίσωση y =px, p R τότε σε κάθε περίπτωση o p ισούται µε την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα της παραβολής. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β ίνονται τα διανύσµατα α, β α + β α β. ( ) ( ) Β. Να αποδείξετε ότι: α β =. Β. Να βρείτε τη γωνία των διανυσµάτων α, β. Β. Να αποδείξετε ότι: α + β = α β. για τα οποία ισχύει α =, β = και Μονάδες 5 Μονάδες 5 Μονάδες 7 Β4. Να βρείτε την προβολή του διανύσµατος α β στο διάνυσµα α. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές τα σηµεία A(5, ), B(4,4) και Γ (,). Γ. Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ και του ύψους Γ του τριγώνου. Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την κορυφή Γ του τριγώνου και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση µε µονάδες. ÈÅÌÁÔÁ 0 Μονάδες 8 Γ. i) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που διέρχεται από την κορυφή Γ του τριγώνου, έχει κορυφή το Ο(0,0) και άξονα συµµετρίας τον y y. Μονάδες 5 ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής C, η οποία είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

36 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ ίνεται η έλλειψη C µε εξίσωση µε εξίσωση C : x 7 + y =. C : x 4y + = και εστίες Ε, Ε και ο κύκλος C. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΕΕ είναι ισόπλευρο, όπου Β είναι ένα από τα άκρα του µικρού άξονα της έλλειψης. Μονάδες 5. Να αποδείξετε ότι το σηµείο P, είναι κοινό σηµείο των δύο κωνικών τοµών C, C και να υπολογίσετε όλα τα κοινά τους σηµεία. Μονάδες 4. Να υπολογίσετε τα σηµεία M( x 0, y0) τα οποία είναι τέτοια ώστε: ( OM) = 7 και ( ME) ( ME ') 4 + =,όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. 4. Να υπολογίσετε την εξίσωση της διχοτόµου της γωνίας P,. Σας ευχόµαστε επιτυχία Μονάδες 8 ÈÅÌÁÔÁ 0 ' Ε PΕ, όπου Μονάδες 8 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

37 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή 8 Απριλίου 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Θεωρία. Σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία Σελίδα 58 του σχολικού βιβλίου. A. Θεωρία. Σελίδα 8 του σχολικού βιβλίου. A4. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β α + β α β Β. ( ) ( ) α + β α β = 0 ( ) ( ) α = α α α β + α β β = 0 α α β β = 0 α β = 0 α β =. ( ) Β. Έστω φ= ( α, β), τότε γνωρίζουµε ότι: (B) α β συνφ = συνφ = συνφ =, άρα ˆφ = 45 ο. α β Β. ( ) ( ) ÈÅÌÁÔÁ 0 α + β = α + β = α + α β + β = + + = 5 α + β = 5 α β = ( α β) = ( α) α β + ( β) ( ) = = 5 α β = 5 Οπότε α+ β= α β. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

38 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) εύτερος τρόπος. Αρκεί να αποδείξουµε ότι: α+ β= α β ή ( α+ β) = ( α β) ή α + α β + β = 4α α β + 9β ή α 4α β + 8β = 0 ή = 0, ισχύει. Β4. Έστω γ= προβα( α β) ΘΕΜΑ Γ, τότε γνωρίζουµε ότι γ / /α δηλαδή υπάρχει πραγµατικός αριθµός µ ώστε να ισχύει γ = µ α (). Σύµφωνα µε τον τύπο α ( α β) = α προβα( α β) έχουµε: () α ( α β) = α γ α ( α β) = α ( µ α) α ( α β ) α α β α ( α β ) = µ α µ = µ = α α µ = µ =. Τελικά από τη σχέση () προκύπτει: γ = α. Γ. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τις κορυφές Β, Γ του y Γ y Β 4 τριγώνου είναι: λbγ= = = =. x Γ x Β 4 Η εξίσωση της πλευράς ΒΓ του τριγώνου θα είναι: y yγ = λ BΓ( x x Γ) y = ( x ) y = x y = x + y = x y = x 4 x y 4 = 0. To ύψος Γ του τριγώνου είναι κάθετο στην πλευρά ΑΒ οπότε θα ισχύει: Γ ΑΒ λ λ = Όµως Γ ÈÅÌÁÔÁ 0 ΑΒ ( ) ( ) y y 4 4+ Β Α λαβ= = = = 5 x Β x Α 4 5 λγ 5 = λγ =. 5 Από ( ) ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

39 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) Η εξίσωση του ύψους Γ του τριγώνου θα είναι: y yγ = λγ ( x x Γ) y = ( x ) y = x y = x + 5y = x + x 5y + = Γ. Για τις ευθείες που διέρχονται από την κορυφή Γ του τριγώνου διακρίνουµε τις περιπτώσεις: η περίπτωση: Εξετάζουµε αν η κατακόρυφη ευθεία ε : x = x = 0 είναι λύση, δηλαδή αν d( O,ε) =. Αxo + Byo + Γ Έχουµε: d( O,ε) = = = = =. Α + Β + 0 Άρα η κατακόρυφη ευθεία ε : x= αποτελεί λύση. η περίπτωση: Εξετάζουµε αν υπάρχουν ευθείες της µορφής: ε : y y = λ x x y = λ x y = λx λ λx y + λ = 0 Γ ( ) ( ) Γ που να αποτελούν επίσης λύση. Πρέπει και αρκεί: Αx o + Byo + Γ λ λ d( O,ε) = = = Α + Β λ + λ λ + ( ) ( ) λ 0, λ + > 0 = λ = λ + λ = λ + ( ) ( ) λ = 4 λ + 4λ + 4λ = 4λ + 4 4λ = λ = 4 Άρα η ευθεία, ε : x y + = 0 x y + + = 0 x 4y + 0 = αποτελεί επίσης λύση. ÈÅÌÁÔÁ 0 Γ. i) Αφού η παραβολή C έχει κορυφή το O(0,0) και άξονα συµµετρίας τον y y, θα έχει εξίσωση της µορφής C : x = py. ( ) Γ, C x = py = p p = 4 p =. Γ Γ Άρα η εξίσωση της παραβολής είναι C : x = y x = 4y. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

40 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) ii) Έστω ε η εφαπτοµένη της C που είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ. M x, y το σηµείο επαφής της ε µε την C θα είναι: Αν ( ) p= ( ) ( ) ε : xx = p y + y xx = y + y x xx = y + y y = xx y y = x y ( ) x Αφού η ε // ΒΓ λε = λ ΒΓ = x =. 9 Όµως το M( x, y) C x = 4y = 4y 4y = 9 y = ( ) y = x 4y = 4 x 4 4y = 6x 9 6x 4y 9 = ΘΕΜΑ x y. C : x + 4y = + =, 4 Έχουµε: α = 4, β = και επειδή 4 > οι εστίες της C βρίσκονται στον x x. β = α γ γ = α β γ = 4 γ = γ =. Ε (-,0), Ε(,0) και B(0, ) ή B(0, ). (BE ') = (x x ) + (y y ) = ( 0) + (0± ) = + = E ' B E ' B (BE) = ( 0) + (0± ) = + = (E 'E) = (+ ) + (0 0) = = Το τρίγωνο ΒΕ Ε είναι ισόπλευρο. εύτερος τρόπος ΒΟ (ή Β Ο) ύψος και διάµεσος του τριγώνου ΒΕ Ε (ή Β Ε Ε), άρα ΒΕ = ΒΕ. Το Β είναι σηµείο της έλλειψης α= ÈÅÌÁÔÁ 0 (BE) + (BE ') = α (BE) = (BE ') =. BE= BE ' Επίσης (Ε Ε) =, εποµένως το τρίγωνο είναι ισόπλευρο πλευράς.. Αν αντικαταστήσουµε (x, y) = (, ) στις εξισώσεις των δύο κωνικών, παρατηρούµε ότι επαληθεύονται. 7 Πράγµατι: ( ) + 4( ) = + 4 = και ( ) + ( ) = + =, ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 6

41 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) άρα το σηµείο P(, ) είναι κοινό των C,C. Το σύστηµα των εξισώσεων των C,C µπορεί να θεωρηθεί ως σύστηµα µε αγνώστους x,y. εδοµένου ότι έχει τη λύση (x, y) = (, ) οι υπόλοιπες λύσεις θα είναι: (, ) η ɺ (, ) η ɺ (, ),που είναι και οι συντεταγµένες των υπολοίπων κοινών σηµείων. εύτερος τρόπος. Τα σηµεία τοµής των κωνικών προκύπτουν από τις λύσεις του συστήµατος. x + 4y = x = x + 4y = x + 4y = 7 x + y = 4x + 4y = 4 x = y = x = x = x = x = ηɺ ηɺ ηɺ y = y = y = y = Τρίτος τρόπος Αφού παρατηρήσουµε ότι P(, ) είναι κοινό σηµείο των C,C και γνωρίζοντας ότι οι κωνικές έχουν άξονες συµµετρίες x x, y y και κέντρο συµµετρίας το Ο, συµπεραίνουµε ότι τα υπόλοιπα κοινά σηµεία είναι: (, ) η ɺ (, ) η ɺ (, ). OM = 7 (OM) =, άρα το Μ θα είναι σηµείο του κύκλου C.. ( ) 7 ÈÅÌÁÔÁ 0 α= ( ) ( ) ( ) ( ) ME + ME ' = 4 ME + ME' = α, άρα το Μ είναι σηµείο της έλλειψης C. To M είναι κοινό σηµείο των C, C, εποµένως από το, M(, ) ηɺ M(, ) ηɺ M(, ) ηɺ M(, ). ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 6

42 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) 4. Η εξίσωση της εφαπτοµένης της C, έστω ε P, στο P, είναι: xx yy ε P : + = xx + 4yy = x + 4y =. 4 Η εp έχει συντελεστή διευθύνσεως λ= = =. 4 Σύµφωνα µε την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης η διχοτόµος της γωνίας ' Ε PΕ, έστω δ, είναι η ευθεία που είναι κάθετη στην εφαπτοµένη εp στο σηµείο Ρ, εποµένως αν λ είναι ο συντελεστής διευθύνσεως της δ, τότε: λ λ ' = λ ' =. Η ευθεία δ διέρχεται από το P, και έχει συντελεστή διευθύνσεως λ ' =, άρα, δ : y = (x ). ÈÅÌÁÔÁ 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 6

43 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ α. ώστε τους ορισµούς: Ι. Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. ΙΙ. Παραβολή µε διευθετούσα την ευθεία δ και εστία το σηµείο Ε εκτός της δ. β. Γράψτε τον τύπο της απόστασης του σηµείου Μ(χ 0,ψ 0 ) από την ευθεία ε: Αχ+Βψ+Γ=0 (x µονάδες) γ. Αποδείξτε ότι η εξίσωση µιας ευθείας, που διέρχεται από το σηµείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι y-y 0 =λ(χ-χ 0 ). (9 µονάδες) δ. Σηµειώστε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ για τις προτάσεις: Ι. Η ευθεία µε εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 µε Α 0 ή Β 0 είναι κάθετη στο διάνυσµα δ = ( Α, Β). ΙΙ. Ο κύκλος µε εξίσωση χ +ψ +Aχ+Bψ+Γ=0 έχει πάντοτε κέντρο Α Β K,. ΙΙΙ. Η απόσταση της εστίας Ε, της παραβολής χ =pψ, από την διευθετούσα ευθεία δ είναι ίση µε p. ΙV. Αν Ε, Ε σταθερά σηµεία και για το µεταβλητό σηµείο Μ ισχύει (ΜΕ)+(ΜΕ ) =α, α>0 τότε το Μ κινείται σε έλλειψη µε εστίες Ε(γ,0) και Ε (-γ,0) V. Αν για τα µη παράλληλα στους άξονες x x και y y διανύσµατα α και β ισχύει α β=0 τότε οι συντελεστές διεύθυνσής τους είναι αντίστροφοι αριθµοί. (5x µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 0 Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)

44 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 ΘΕΜΑ ο ίνονται τα διανύσµατα α, β, γ µε α=, β =, α (α - β) και (γ+α) β. α. Να δείξετε ότι α β=4 και β γ = -. (8 µονάδες) β. Να δείξετε ότι α β = 5. (5 µονάδες) γ. Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι γ-α = λ(α - β), λ R να βρείτε την τιµή του λ. (6 µονάδες) δ. Για λ=4 να γραφεί το διάνυσµα γ σαν γραµµικός συνδυασµός των α και β και να δείξετε ότι η γωνία των διανυσµάτων γ και α-β είναι οξεία. ΘΕΜΑ ο (6 µονάδες) Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α(, ), η εξίσωση του ύψους Β : χ-4ψ-5=0 και η εξίσωση της διαµέσου ΓΜ: χ+ψ+=0. α. Βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ και τις συντεταγµένες της κορυφής Γ. (6 µονάδες) β. Βρείτε τις συντεταγµένες του µέσου Μ της πλευράς ΑΒ και της κορυφής Β. (7 µονάδες) γ. Αν Ε το σηµείο τοµής των ΓΜ και Β τότε να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΕΒΓ. (6 µονάδες) δ. ίνεται η γραµµή (C) µε εξίσωση x + y + λx+ ( λ+ 8) y+ = 0 (). Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ R και να βρείτε την τιµή του λ, ώστε ο κύκλος () να έχει διάµετρο την πλευρά ΒΓ. (6 µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 0 Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)

45 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η εξίσωση x y x y y + + ( + 4) = 0 (). α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες (ε ) και (ε ) οι οποίες είναι παράλληλες. (7 µονάδες) β. Αν (ε ): x+y+=0 και (ε ): x+y+6=0 είναι οι δύο ευθείες που παριστάνει η (), να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στις ευθείες (ε ) και (ε ) και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία (ε): y=x. (7 µονάδες) γ. Βρείτε την ελάχιστη και την µέγιστη απόσταση του σηµείου τοµής των ευθειών (ε ) και (ε) από τον κύκλο C. (6 µονάδες) δ. Βρείτε την εξίσωση της υπερβολής (C ) µε εστίες στον άξονα x x, που έχει ασύµπτωτη την (ε): y=x και εστιακή απόσταση γ=0ρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου C. (5 µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 0 Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)

46 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο α. I. Σχολικό βιβλίο σελ. 4. ΙΙ. Σχολικό βιβλίο σελ. 89. β. Σχολικό βιβλίο σελ. 7. γ. Σχολικό βιβλίο σελ.60. δ. Σ, Λ, Σ, Λ, Λ. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α. α (α - β) α (α - β) = 0 α α β=0 α = α β α β = = 4 και (γ + α) β (γ + α) β=0 γβ + α β = 0 β γ = -αβ= - 4=- (Ι) β. ( ) α - β = α - β = α α β + β = α 4 + β = = = 5 α - β = 5. γ. Όµως (γ - α) = λ(α β ) γ - α = λα λβ γ = λα+α λβ οπότε η (Ι) γράφεται: β(λα+α λβ )= - λαβ+αβ λβ = - λ λ 9 = + 8 = 5λ λ = 4. δ. Αφού λ= 4 τότε γ = 4α + α - 4 β γ = 6 α 4 β. Τότε γ ( α β) = γα γβ= (6α 4 β ) α βγ= 6α 4αβ βγ= = = = 0 > 0. γ ( α β ) δηλ. συν ( γ, α β) = > 0 γ α β δηλ. η γωνία των γ, α β είναι οξεία. ÈÅÌÁÔÁ 0 Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)

47 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 ΘΕΜΑ ο α. Αφού ΑΓ Β και λ Β = = θα είναι λ ΑΓ =-4 και 4 4 ΑΓ : y = 4(x ) y = 4x + 4 4x + y 6 = 0. Λύνω το (Σ) των εξισώσεων ΑΓ : 4x + y 6 = 0 x = δηλαδή Γ(,-6). ΓΜ : x + y + = 0 y = 6 xβ + yβ + β. Αν Β(x β, y β ), τότε το µέσο Μ της ΑΒ είναι M, συντεταγµένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ΓΜ δηλαδή xβ + yβ = 0 xβ + + yβ = 0 x + y = (Ι) β β και οι Όµως οι συντεταγµένες του Β επαληθεύουν και την εξίσωση του Β δηλαδή x β -4y β 5 = 0 (ΙΙ) xβ 4yβ = 5 yβ = Λύνω το (Σ) δηλαδή Β(-,-). xβ + yβ = xβ =. Τότε Μ(,0) γ. Για να βρω τις συντεταγµένες του Ε x = x 4y 5 = 0 7 λύνω το (Σ) δηλ. x + y + = 0 9 y = Τότε EB, - και ΕΓ =, ÈÅÌÁÔÁ 0 9 E, 7 7. Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)

48 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Οπότε (ΕΒΓ)= det ( EB, EΓ) = = + = = τ.µ δ. Είναι A + B 4 Γ = λ + ( λ + 8) 4 = = λ + λ + 6λ+ 64 = λ + 6λ+ 5 που είναι τριώνυµο µε = = = 60 < 0 δηλ. λ +6λ+5>0 για κάθε λ R. Άρα η εξίσωση () παριστάνει κύκλο για κάθε λ R. λ λ 8 λ + 6λ + 5 µε K, και ρ=. Για να έχει διάµετρο ΒΓ, πρέπει το κέντρο του Κ να είναι το µέσο της πλευράς ΒΓ και η ακτίνα να είναι ίση µε το µισό του µήκους της ΒΓ ή οι συντεταγµένες των Β και Γ να επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου. Το µέσο Κ του ΒΓ είναι Κ(0,-4). λ = 0 Πρέπει λοιπόν λ = 0 λ 8 = 4 Για λ=0 η εξίσωση του κύκλου γράφεται ακτίνα, ΘΕΜΑ 4 ο 5 ( ΒΓ) ρ = = ( c) : x y 8y = που έχει αφού (BΓ)= ( ) + ( + 6) = 6+ 6= 5 ή διαπιστώνουµε ότι επαληθεύεται από τις συντεταγµένες των Β και Γ. α. α τρόπος: Η εξίσωση () γράφεται: χ +y +χψ+8χ+8ψ+=0 (χ+ψ) +8(χ+ψ)+=0, =64-48=6 οπότε: χ+ψ=-6 ή χ+ψ=- δηλ. χ+ψ+6=0 (ε ) ή χ+ψ+=0 (ε ), που είναι εξισώσεις παράλληλων ευθειών, αφού έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ=- ÈÅÌÁÔÁ 0 ή β τρόπος: η εξίσωση () γράφεται: χ + y +χψ+8χ+8ψ+=0 y +(χ+8)ψ+ χ +8χ+=0. =(χ+8) -4(χ +8χ+)=6 οπότε ψ=-χ-4+ ή ψ=-χ-4- δηλ.χ+ψ+6=0 (ε ) ή χ+ψ+=0 (ε ),που είναι εξισώσεις παράλληλων ευθειών αφού έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ=-. Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)

49 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 4 β. Το κέντρο Κ του κύκλου είναι το σηµείο τοµής της µεσοπαράλληλης (η) των (ε ) και (ε ) και της (ε):y=x. H (ε ) τέµνει τον y y στο Α(0,-) και η (ε ) τον y y στο Β(0,-6). Άρα η (η) τέµνει τον y y στο µέσο Μ(0, -4) του ΑΒ. ηλαδή η: x+y+4=0 γ. x + y + 4 = 0 x = Λύνω το (Σ): δηλ. Κ(-, -) y = x y = + και ρ=d(k, ε )= = =. + Άρα C: (x+) + (y+) =. x = x + y + = 0 x + x = δηλ. Μ -,. y = x y = x y = Άρα η ελάχιστη απόσταση του Μ από τον κύκλο είναι 9 ΜΚ ρ = = + = = = και η µέγιστη απόσταση του Μ από τον κύκλο 4 9 είναι MK + ρ = = + + = = + = + 4 δ. Είναι γ = 0 = 0 δηλαδή γ=0 και β = β=α. Όµως γ =α +β 00 = α + 9α = 0α α δηλαδή α =0 και β =90. Άρα : x y C = 0 90 ÈÅÌÁÔÁ 0 Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ) 4

50 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω τα διανύσµατα α,β, τα οποία δεν είναι παράλληλα µε τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ,λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε την ισοδυναµία α β λλ =. Μονάδες 0 Β. Να δώσετε τον ορισµό της παραβολής, µε εστία το σηµείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ. Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. ΘΕΜΑ ο α) Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι διάνυσµα. β) Η ευθεία µε εξίσωση Αx+By+Γ = 0 είναι παράλληλη µε το διάνυσµα δ = (B, A). γ) Η απόσταση της αρχής Ο των συντεταγµένων από την ευθεία ε µε Γ εξίσωση Αx+By+Γ = 0, ισούται µε. A + B x y δ) Η εξίσωση + =,όπου α > 0, παριστάνει έλλειψη µε εστίες α (α+ ) πάνω στον άξονα x x. ε) Η εκκεντρότητα µιας υπερβολής είναι πραγµατικός αριθµός, µικρότερος της µονάδας. Μονάδες 5x ÈÅÌÁÔÁ 00 ίνονται τα σηµεία Α( 5,), Β(, ) και Γ(4,) του καρτεσιανού επιπέδου. α. Να βρείτε το εσωτερικό γινόµενο AB BΓ. Ποιο είναι το συµπέρασµά σας για τα διανύσµατα AB, BΓ ; Μονάδες 8 β. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 8 γ. Να αποδείξετε ότι η γωνία φ των διανυσµάτων AB και ΑΓ ισούται µε 45 o. Μονάδες 9 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

51 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση: (x+y +) + κ(x y 5) = 0 (), όπου κ R. α. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου κ η εξίσωση () παριστάνει ευθεία γραµµή. Μονάδες 7 β. Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (), διέρχονται από το σηµείο Α(, ). Μονάδες 4 γ. Να βρείτε την τιµή του κ, για την οποία η () παριστάνει ευθεία ε κάθετη στον άξονα x x. Ποια η εξίσωση της ευθείας ε; Μονάδες 5 δ. Αν K(x 0,0) είναι η προβολή του σηµείου Α(, ) στον άξονα x x, να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου, τα οποία ισαπέχουν από το σηµείο ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η εξίσωση: E( x,0) και την ευθεία ε του γ ερωτήµατος. o x y (λ 4)x λy λ = (), όπου λ R. Μονάδες 9 α. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου λ η εξίσωση () παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. Μονάδες 8 β. Να δείξετε ότι το κέντρο Κ του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση (), κινείται σε µια ευθεία γραµµή, καθώς το λ µεταβάλλεται στο R. Μονάδες 4 γ. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, που έχει εστίες τα σηµεία E (0, ), E(0, ) και µεγάλο άξονα (Α Α) = 8. Μονάδες 5 δ. Αν η εφαπτοµένη ε της έλλειψης C του ερωτήµατος γ, στο σηµείο της M (x, y ) εφάπτεται και του κύκλου C, ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση () για λ = 0, να δείξετε ότι: ÈÅÌÁÔÁ 00 i. y = 64( x ) Μονάδες 4 ii. Τα διανύσµατα α = (x,4) και β = (x, 4x ) είναι µεταξύ τους κάθετα. Μονάδες 4 ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

52 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο Α. Σελίδα 4 Σχολικού Βιβλίου. Β. Σελίδα 89 Σχολικού Βιβλίου. Γ. α) Λάθος β) Σωστό γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α. Τα διανύσµατα AB, BΓ έχουν συντεταγµένες: AB = ( +5, ) = (4, 5) και BΓ = (4+,+) = (5,4). Το εσωτερικό τους γινόµενο είναι AB BΓ = 4 5+( 5) 4 = 0 0 = 0, εποµένως τα διανύσµατα AB, BΓ είναι κάθετα. β. Πρώτος τρόπος Το διάνυσµα AΓ έχει συντεταγµένες AΓ = (4+5, ) = (9, ). Η ορίζουσα των διανυσµάτων AB, AΓ είναι: 4 5 det( AB, AΓ ) = = 4( ) 9( 5) = 4+45 = 4 9 Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι: (ΑΒΓ) = 4 det( AB, AΓ ) = 4 = τ.µ. εύτερος τρόπος : Αφού AB BΓ,το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στην κορυφή Β, άρα το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι: (ΑΒΓ) = AB BΓ = ( 5) = 4 4 = τ.µ. ÈÅÌÁÔÁ 00 γ. Πρώτος τρόπος : Τα µέτρα των διανυσµάτων AB, AΓ είναι αντίστοιχα: AB = 4 + ( 5) = 4 και AΓ = 9 + ( ) = 8 = 4 Το συνηµίτονο της γωνίας φ είναι: ABAΓ ( 5) ( ) 4 συνφ = = = = AB AΓ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

53 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Εποµένως, φ = 45 ο, επειδή 0 ο φ 80 ο. εύτερος τρόπος : AB BΓ και AB = BΓ = 4, άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε συµπεραίνουµε ότι φ = 45 ο. ΘΕΜΑ ο α. Η () ισοδυναµεί µε την εξίσωση: ( + κ)x + ( κ)y + ( 5κ) = 0. Οι συντελεστές των x,y δεν µηδενίζονται για την ίδια τιµή του κ. Πράγµατι, ο συντελεστής του x µηδενίζεται για κ =, ενώ ο συντελεστής του y µηδενίζεται για κ =. Άρα η () παριστάνει ευθεία για κάθε κ R. β. Θέτουµε στην (), x = και y =, οπότε προκύπτει: 0+ κ0 = 0, που ισχύει για κάθε κ R. Άρα όλες οι ευθείες που παριστάνει η (), διέρχονται από το Α(, ). γ. ( + κ)x + ( κ)y + ( 5κ) = 0. Η εξίσωση παριστάνει ευθεία παράλληλη στον x x, αν + κ 0, άρα, κ =. κ = 0 Η () για κ =, γίνεται: x 4 = 0 ή x =. δ. Κ είναι η προβολή του Α στον x x, άρα x0=. Έχουµε Κ(,0), άρα Ε(,0) Ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η παραβολή C, µε εστία Ε(,0) και διευθετούσα την ευθεία ε: x =. ΘΕΜΑ 4 ο ( p p 4 = =,άρα η παραβολή έχει εξίσωση C : y = 8x Η εξίσωση της παραβολής, δεν είναι απαραίτητο, να βρεθεί.) α. Στην εξίσωση ( ) A = ( λ + 4 ), Β = λ, Γ = λ, οπότε: x + y λ + 4 x + λ y + λ = 0 έχουµε: ( ) ( ) Α + Β 4Γ = λ λ 8λ = λ + 8 > 0, για κάθε R λ και εποµένως η εξίσωση () παριστάνει κύκλο για κάθε τιµή της παραµέτρου λ. Για το κέντρο Κ και την ακτίνα R του κύκλου ισχύουν: ÈÅÌÁÔÁ 00 Α Β Κ, και Α + Β 4Γ R =, εποµένως ( λ + ) 8 R =. β. Έστω ( ) λ + 4 λ Κ, και K x, y το κέντρο του κύκλου (), τότε (από α ερώτηµα): λ + 4 λ x = και y = Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

54 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 λ + 4 x = x 4 Έχουµε λοιπόν το σύστηµα = λ + λ y = λ y = Απαλείφουµε το λ από τις εξισώσεις και βρίσκουµε x + y 4 = 0 ή ισοδύναµα x + y = 0. Άρα το κέντρο Κ του κύκλου () κινείται στην ευθεία x + y = 0. γ. Έχουµε α = 8 α = 4 και γ =. Ισχύει ( ) 4 β = β = 6 β = 4. Εποµένως η εξίσωση της έλλειψης C είναι: Ε, Ε βρίσκονται στον άξονα y y. β = α γ, οπότε x y + =, εφόσον οι εστίες της 4 6 δ. Η εξίσωση () της υπόθεσης για λ = 0 γίνεται x + y 4x = 0 που είναι η εξίσωση του κύκλου C µε κέντρο το σηµείο K (, 0 ) και ακτίνα ρ =. M x, y είναι: Η εξίσωση της εφαπτοµένης ε της έλλειψης C στο σηµείο της ( ) x x y y + = ή ισοδύναµα 4 x x + y y 6 = Η ε εφάπτεται και του κύκλου C, άρα ισχύει: d( K, ε ) = ρ, (). i. Από την σχέση () έχουµε ισοδύναµα ( ) + = + y 64( x ) 8 x = 6x + y 6 x = 6x + y 6x 64x 64 6x y ii. Το σηµείο ( ) =. 4 x + 0 y 6 ( 4x ) + y = x y M x, y ανήκει στην έλλειψη C : + =, άρα, 4 6 x y + = 4x + y = 6 y = 6 4x (). 4 6 y = 64 x λόγω της (), γράφεται: Έτσι η σχέση ( ) 6 4x 64( x ) Τα διανύσµατα α = ( x, 4) = 4x 64x + 48 = 0 x 6x + = 0 (4) β = x, 4x είναι µεταξύ τους κάθετα, όταν: α β =0 ÈÅÌÁÔÁ 00 και ( ) ή ισοδύναµα ( ) που ισχύει λόγω της (4). x x + 4 4x = 0 x 6x + = 0, Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

55 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Nα δείξετε ότι η εφαπτοµένη του κύκλου C: Α(χ,ψ ) έχει εξίσωση χ.χ +ψ.ψ =ρ. Β. x + ψ = ρ σε ένα σηµείο του (9 µονάδες) α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτωνa και β. β. ώστε τον ορισµό της υπερβολής µε εστίες Ε και Ε. (.=6 µονάδες) Γ. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ) καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις:. Για δύο οποιαδήποτε διανύσµατα a και ισχύει( a. β) = a. β. β του επιπέδου. Η ευθεία ε: Ax + By + Γ = 0, µεα, Β, Γ R και Α.Β>0 σχηµατίζει αµβλεία γωνία µε τον άξονα x x.. P Η παραβολή c: y = px έχει εστία το σηµείο E, x x y Αν οι ελλείψεις c : και c : a ψ β a β α =α και β =β. 5. Το εµβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο: (ΑΒΓ)= det( AB, ΑΓ). (5x µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 009 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

56 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις α. aβ. β. a + β γ. a β AB = α+β, ΑΓ = α + β µε α= β ^ π = και α, β = (9 µονάδες). Έστω Μ µέσο του ΒΓ. Να εκφράσετε τα διανύσµατα ΑΜ και ΒΓ σαν γραµµικό συνδυασµό των a και β. (4 µονάδες). Να υπολογίσετε το συνηµίτονο της γωνίας ( ΑΜ, ΒΓ ) 4. Να βρεθεί το µέτρο της προβολής του ΑΜ στο ΒΓ. ΘΕΜΑ ο (5 µονάδες) (7 µονάδες) Έστω παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε εξισώσεις διαγωνίων (Β ):y=x+ και (ΑΓ):y=x-. Η διαγώνιος B είναι η µεσοπαράλληλος των ευθειών ε,ε,των οποίων η µεταξύ τους απόσταση είναι d= και οι οποίες διέρχονται από τις κορυφές Α και Γ αντιστοίχως. Αν A = (4,6), τότε:. Να βρείτε τις συντεταγµένες του κέντρου Κ του παραλληλογράµµου ΑΒΓ. (5 µονάδες). Να δείξετε ότι οι ευθείες ε,ε έχουν εξισώσεις (ε ):x-y-=0 και (ε ):x-y+=0. (8 µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 009. Να βρείτε τις συντεταγµένες των κορυφών Α, Β, Γ, του παραλληλογράµµου. (8 µονάδες) 4. Να βρείτε το εµβαδόν (ΑΒΓ ) του παραλληλογράµµου. (4 µονάδες) Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

57 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η εξίσωση C : x + y ( ηµθ ) x + 4( συνθ ) y + ηµ θ = 0, () µε θ 0, π. Να δείξετε ότι:. Η εξίσωση () παριστάνει για κάθε θ 0, π κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ(x 0, y 0 ) και την ακτίνα ρ ως συνάρτηση της γωνίας θ. (6 µονάδες). Τα κέντρα των κύκλων Κ(x 0, y 0 ) που προκύπτουν από την (), ανήκουν σε έλλειψη της οποίας να βρείτε τα µήκη του µεγάλου Α Α και µικρού Β Β άξονα της, τις εστίες της Ε, Ε καθώς και την εκκεντρότητα της ε. (9 µονάδες). Για τις συντεταγµένες των κέντρων Κ(x 0, y 0 ) των κύκλων που προκύπτουν από την (), ισχύουν : x 0 >0, y 0 <0 και στην συνέχεια να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Κ(x 0, y 0 ). (4 µονάδες) 4. Η ελάχιστη και η µέγιστη απόσταση, της εστίας Ε (µε θετική συντεταγµένη) από τυχαίο σηµείο του κύκλου ο οποίος προκύπτει από την () για θ= Π, είναι d= + και d = +, αντιστοίχως. (6 µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 009 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

58 ÈÅÌÁÔÁ 009 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία από βιβλίο ΟΕ Β σελ 8 Β. α. Θεωρία από βιβλίο ΟΕ Β σελ 4 β. Θεωρία από βιβλίο ΟΕ Β σελ Γ.. Λ. Σ. Σ 4. Λ 5. Λ ΘΕΜΑ ο. α... ^,. = = = β α β συν α αβ β. ( ) = + + = + + = + + = + = + 7. β α αβ β α β α β α 7 = + β α γ. ( ). = = + = + = = β α αβ β α β α β α. α. ( ) ( ) ( ) ( ) β α β α β α β α + = + = = ΑΒ + ΑΓ ΑΜ = β. ( ) ( ) β α β α β α = + + ΑΓ ΑΒ = Γ = Β

59 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ^.. ΑΜ ΒΓ συν ΑΜ, ΒΓ = ( i). ΑΜ ΒΓ. A M ΒΓ = α + β α β και ΑΜ = α + β = 7 ΒΓ = α β = Είναι ( )( ) = ( α β ) = ( 4 ) Άρα (i) 9 ^ συν ΑΜ, ΒΓ = = = = 7 4. Αν A = προβ ΑΜ τότε Α ΑΓ ΑΓ // δηλαδή A = λ ΑΓ και ΑΜ.. ΑΓ = Α ΑΓ ( )( + + ). α β α β = λ ΑΓ ( α αβ βα β ) λ( 4α β 4αβ = + ) + αβ 9 α + + β = 4λα + λβ + 4λαβ = 6λ + λ + 4λ = λ λ = = δηλαδή Α = ΑΓ Α = ΑΓ = αφού ΑΓ = ΑΓ = α + β = 4α + 4αβ + β = ΑΓ = ÈÅÌÁÔÁ 009 = 9 7 ( ) Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

60 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ ο. Το κέντρο Κ του παραλληλόγραµµου είναι σηµείο τοµής των διαγωνίων του ΑΓ και y = x x = x + x = 4 Β. Λύνω το (ε) δηλαδή Κ(4,5) y = x + y = x + y = 5. Η διαγώνιος ΑΓ έχει εξίσωση y=x- x-y-=0 και η Β έχει εξίσωση y=x+ x-y+=0 και ε //ε //Β. Αν Μ(α, β) σηµείο της ευθείας (ε ). Τότε: dε (, ε) Θα είναι d(m,b )= Άρα (ε ):x-y-=0 και (ε ):x-y+=0. a β + ( ) + = a β + = a β + = α β = 0 ή ή α β + = α β + = 0. Βρίσκουµε τις συντεταγµένες των κορυφών του ΑΒΓ. Για την εύρεση του Α λύνω το (Σ) των εξισώσεων των (ε ) και (ΑΓ) και για του Γ το (Σ ) των (ε ) και (ΑΓ). Έτσι έχουµε: x y = 0 x x + = 0 x = άρα y = x y = x y = Α(,) x y + = 0 x x + + = 0 x = 6 δηλαδή Γ(6,9). y = x y = x y = 9 Αφού Α = ( 4,6) ÈÅÌÁÔÁ 009 και Α(,) τότε αν (x, y ) θα είναι: x = 4 x = 6 δηλαδή (6,7) και αφού Κ µέσο Β θα είναι: y = 6 y = 7 και Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

61 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ xκ = xβ + x xβ = xβ = δηλαδή B(,) y Β+ y yβ + 7 y = 5 = yκ = 4. (ΑΒΓ )=(ΑΒ )= ΘΕΜΑ 4 ο 0 det( ΑΒ, Α ) = = 0 8 = 8 τ. µ Είναι Α + Β 4 Γ = ( ηµθ ) + (4 συνθ ) 4ηµ θ = Π = 4ηµ θ + 6συν θ 4ηµ θ = 6. συν θ > 0 αν θ 0, A B Άρα είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο Κ, ακτίνα Α + Β 4Γ 4συνθ ρ = = = συνθ. ÈÅÌÁÔÁ 009 δηλαδή Κ(ηµθ,-συνθ) και = = κ κ ηµθ ηµθ x x y. Είναι yκ οπότε ηµ θ+ συν θ= x y = συνθ = κ συνθ + κ 4 = κ δηλαδή τα κέντρα των κύκλων κινούνται σε έλλειψη µε εστίες στον άξονα y y. Είναι a = 4 a = και β = β = οπότε γ = α β = 4 = γ =. Έχει λοιπόν εστίες Ε (0,- ) και Ε(0, ) µεγάλο άξονα α=.=4 και µικρό άξονα β= γ και εκκεντρότητα ε= α =.. Είναι x0= ηµθ> 0 και y0 = συνθ < 0 γιατί θ (0, π/) οπότε τα σηµεία Κ ανήκουν στο τµήµα της έλλειψης που βρίσκεται στο 4 ο τεταρτηµόριο δηλαδή το Α Β. Π 4. Αν θ= τότε ο κύκλος έχει κέντρο Κ, και ρ=. Τότε η ελάχιστη απόσταση της ευθείας Ε(0, d = ) από τον κύκλο είναι =(ΕΜ)=(ΕΚ)-ρ= ( ) = = + = 4 4 = + ενώ η µέγιστη είναι d =(ΕΖ)=(ΕΚ)+ρ= =+. Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας 4

62 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ÈÅÌÁÔÁ 009 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας 5