FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA: MATEMATICĂ LUCRARE DE LICENŢĂ. C 0 -Semigrupuri

Transcript

1 FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA: MATEMATICĂ LUCRARE DE LICENŢĂ Funcţia Exponenţială şi C -Semigrupuri COORDONATOR: Prof. dr. Preda Pere CANDIDAT: Bogoşel Beniamin TIMIŞOARA 21

2 FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA: MATEMATICĂ LUCRARE DE LICENŢĂ Funcţia Exponenţială şi C -Semigrupuri COORDONATOR: Prof. dr. Preda Pere CANDIDAT: Bogoşel Beniamin TIMIŞOARA 21

3 Absrac Tis paper eniled Te exponenial funcion and C -semigroups is mean o be an inroducion o e eory of C -semigroups. Te firs par is concerned wi e equivalend definiion and essenial properies of e exponenial funcion, wic lead us o considering e exponenial of a bounded operaor on a Banac space and finally e definiion of C -semigroups. Te res of e firs caper deals wi e properies of e new objecs a were defined. Like e exponenial funcion, eac C -semigroup as a generaor wic is an operaor on a dense subdomain of e main Banac space, and is generaor as some ineresing properies. Te main references for is caper are [11] and [6]. Te second caper presens some of e resuls in generaion eory, namely, e necessary and suficien condiions for an operaor o be e generaor for a C -semigroup. In order o presen some applicaions o parial differenial equaions, we presen e connecion beween e absrac Caucy problem and C -semigroups. Te main references for is caper are [11],[16] and [15]. Te ird caper presens e exponenial sabiliy and insabiliy conceps, essenial sabiliy eorems and eir applicaions o prove e Dako-Pazy eorem and Perron ype eorems. An ineresing case is presened wen canging e inpu-oupu spaces in Perron ype eorem from (C, C) o (L p, L q ), namely, wen (p, q) (1, ) (L p, L q ) admissibiliy implies exponenial sabiliy. Bogoşel Beniamin i

4 Inroducere Funcţia exponenţială are un loc cenral în analiza maemaică. Aceasa se înâlneşe pese o, de la calculul unor limie, derivae şi inegrale, până la rezolvarea de ecuaţii diferenţiale. După cum vom vedea în prima pare a acesei lucrări exisă mule moduri în care se poae defini funcţia exponenţială, unele dinre acesea puând fi exinse dincolo de cadrul numerelor reale, cum ar fi exponenţiala unei marici sau a unui operaor liniar şi m rgini înr-un spaţiu Banac. Funcţia exponenţială ese de mare ajuor în rezolvarea sisemelor de ecuaţii diferenţiale liniare aunci când spaţiul de lucru ese fini dimensional. Problema apare aunci când dimensiunea spaţiului nu mai ese finiă, sau când operaorul căruia am vrea să îi calculăm exponenţiala nu mai ese mărgini. Aici inervin semigrupurile de operaori, şi mai precis C -semigrupurile. Primul capiol se ocupă cu sudierea proprieăţilor elemenare ale semigrupurilor, proprieăţi care vor fi folosie mai depare în capiolele urmăoare penru a le sudia în profunzime. Pare din ideile şi srucura acesui capiol provin din cărţile One-Parameer Semigroups for Linear Evoluion Equaions de K.J. Nagel şi R. H. Nagel [6], penru parea care prezină definiţiile şi proprieăţile funcţiei exponenţiale, şi Teorie Caliaivă penru Ecuaţii de Evoluţie de P. Preda şi C. Preda [11], penru proprieăţile de bază ale C -semigrupurilor. Al doilea capiol se ocupă cu generarea C -semigrupurilor. La fel cum un operaor liniar şi mărgini pe un spaţiu Banac generează funcţia sa exponenţială, fiecare C - semigrup admie un asfel de generaor infiniezimal, fap ce a fos demonsra în primul capiol. Acum ne punem problema inversă. Ce proprieăţi rebuie să saisfacă un operaor penru ca acesa să fie generaorul unui C -semigrup, şi care dinre acese condiţii sun suficiene. Binecunoscua eoremă a lui Hille şi Yosida va fi sudiaă în aces capiol, şi ale eoreme înrudie cu aceasa. În înceierea capiolului sun prezenae câeva aplicaţii în sudiul ecuaţiilor cu derivae parţiale, şi vom vedea cum puem deduce exisenţa şi uniciaea soluţiei unei ecuaţii cu derivae parţiale folosind semigrupurile şi proprieăţile acesora. Penru parea de eorie a acesui capiol am folosi cărţile Teorie Caliaivă penru Ecuaţii de Evoluţie de P. Preda şi C. Preda [11], respeciv Dynamical Sysems and Evoluţion Equaions de J.A. Walker [16], iar penru aplicaţii Semigrupuri de operaori liniari şi aplicaţii de Ioan I. Vrabie [15] şi [16]. Am văzu în capiolul anerior că semigrupurile po fi uilizae în sudiul ecuaţiilor cu derivae parţiale. De mule ori, când avem de aface cu ecuaţii diferenţiale, sau siseme de asfel de ecuaţii, acesea nu po fi rezolvae explici sau dimensiunea sisemului şi numărul mare de ecuaţii diferenţiale sau cu derivae parţiale care îl compun fac sudierea ii

5 proprieăţilor soluţiilor foare dificilă. În mule cazuri, când nu se po găsi explici soluţiile sunem ineresaţi să şim măcar comporarea sisemului pe perioade lungi de imp, în limbaj maemaic, asimpoic, sau lăsând impul să meargă căre infini. Sunem ineresaţi dacă soluţia sisemului ese sabilă, adică nu depăşeşe anumie limie, asimpoic sabilă, adică se apropie de aunci când impul se apropie de infini, sau insabilă, ceea ce înseamnă că exisă o îndepărare faţă de când impul inde la infini. Capiolul al reilea se ocupă cu sudierea sabiliăţii C -semigrupurilor folosind diferie meode de sudiu. Vom prezena câeva caracerizări elemenare ale sabiliăţii şi insabiliăşii, câ şi unele Teoreme de sabiliae cum ar fi Teorema Dako-Pazy, Rolevicz sau Perron penru sabiliaea şi insabiliaea C -semigrupurilor. Ideile prezenae în aces capiol au fos inspirae în mare pare de Teorie Caliaivă penru Ecuaţii de Evoluţie de P. Preda şi C. Preda [11]. Lucrarea de faţă ese doar o inroducere modesă înr-o ramură frumoasă a maemaicii în coninuă expansiune în ulimii ani. Se folosesc mul enici de analiză funcţională şi eoria operaorilor cum ar fi Principiul Mărginirii Uniforme, Principiul Graficului Încis câ şi noţiuni de eoria măsurii şi inegrării. În final aş dori să îi mulţumesc domnului Prof. dr Pere Preda penru înreg sprijinul acorda în realizarea acesei lucrări de diplomă, sfaurile şi îndrumările dumnealui fiindumi exrem de uile în a da clariae şi consisenţă ideilor expuse. iii

6 Cuprins Absrac Inroducere i ii 1 Funcţia exponenţială şi C -semigrupuri Funcţia exponenţială Generaorul Infiniezimal Semigrupuri în Spaţii Hilber Teoreme de generare penru C -semigrupuri Teorema Hille-Yosida Aplicaţii Sabiliae Exponenţială penru C -Semigrupuri Definirea concepelor şi proprieăţi imediae Teoreme de Sabiliae de ip Dako Teoreme de sabiliae de ip Perron Concluzii 59 Bibliografie 6 iv

7 Capiolul 1 Funcţia exponenţială şi C -semigrupuri 1.1 Funcţia exponenţială Considerăm ecuaţia funcţională a lui Caucy (C) f : R R, f(x + y) = f(x) + f(y), x, y R. Luând x = y = obţinem f() =, şi penru y = x obţinem f( x) = f(x), adică f ese impară. Prin recurenţă deducem că penru orice x 1,..., x n R avem f(x x n ) = f(x 1 ) f(x n ), de unde puem rage concluzia că f(nx) = nf(x), n N, x R. Din impariae rezulă că f(nx) = nf(x), n Z, x R. Acum sunem pregăiţi să găsim forma lui f pe mulţimea numerelor raţionale. Fie q = m Q, m, n Z, n. Aunci n ( m ) ( ) 1 f(q) = f = mf = m ( ( )) 1 nf = m f(1) = qf(1). n n n n n Noând cu a = f(1) R, am obţinu că f(q) = aq, q Q. Aces rezula nu poae fi exins la R fără a face ale presupuneri asupra lui f. Georg Hamel a arăa în 195 că exisă o infiniae de soluţii penru ecuaţia funcţională a lui Caucy folosind axioma alegerii şi baze Hamel. Mai depare, vom fi ineresaţi doar de soluţiile coninue ale ecuaţiei (C), deci presupunem că f ese o funcţie coninuă. Penru că valorile lui f pe numere raţionale ne 1

8 sun cunoscue, vom alege x R \ Q. Din densiaea lui Q în R şim că exisă (q n ) Q asfel încâ lim n q n = x. Folosind coninuiaea obţinem că f(x ) = lim n f(q n ) = lim n aq n = ax. Penru că x a fos ales arbirar, puem afirma că f(x) = ax penru orice x real. Mai depare, considerăm o ală ecuaţie funcţională înrudiă cu prima şi anume (E) f : R R, f(x + y) = f(x) f(y), x, y R. Sunem ineresaţi numai de soluţiile coninue, şi neconsane. Puem observa că dacă f se anulează înr-un punc, aunci f ese idenic nulă, ceea ce ne conduce la concluzia că f(x), x R. Mai depare, penru x = y = obţinem că f() = 1, şi penru x = y, f(2x) = f(x) 2 >. Prin urmare f ia doar valori poziive. Analog ca şi la prima ecuaţie, din (E) deducem că ( m ) f = f(1) m n, m, n Z, n, n de unde prin recere la limiă obţinem că f(x) = f(1) x. Asfel, prin alegerea convenabilă a lui f(1) ecuaţia (E) are o unică soluţie coninuă, neconsană, şi sunem conduşi la urmăoare definiţie a funcţiei exponenţiale: Definiţia Funcţia exponenţială ese unica soluţie coninuă şi neconsană a ecuaţiei (E) cu condiţia f(1) = e. Penru a jusifica aceasă definiţie fără a folosi coninuiaea funcţiei exponenţiale ca şi mai sus, vom folosi o proprieae cunoscuă a fincţiei exponenţiale. Propoziţia Fie g() = e a penru un anume a R penru orice. Aunci funcţia g ese diferenţiabilă şi saisface ecuaţia diferenţială { d g() = ag(), d (ED) a g() = 1 Reciproc, funcţia g : R + R + definiă prin g() = e a penru un anume a R ese singura funcţie derivabilă care saisface ecuaţia diferenţială (ED) a. Teorema Fie f : R + R o funcţie coninuă care saisface (E). Aunci f ese derivabilă şi exisă un unic a R asfel încâ f verifică (ED) a. () = Demonsraţie: Deoarece f ese coninuă pe R +, funcţia : R + R definiă prin Prin urmare f(s)ds penru orice ese derivabilă şi () = f() penru orice. () lim + = () = f() = 1, 2

9 ceea ce implică fapul că ( ) ese diferi de zero penru un Aunci avem urmăoarele relaţii: > suficien de mic. f() = ( ) 1 ( )f() = ( ) 1 f( + s)ds + = ( ) 1 f(s)ds = ( ) 1 (( + ) ()) penru orice. Deoarece e derivabilă rezulă că şi f e derivabilă cu f f( + ) f() () = lim = f() f() = lim f() = f ()f() Aceasa araă că f esisface (ED) a cu a = f (). Teorema de mai sus ne araă că definiţia funcţiei exponenţiale cu ajuorul ecuaţiei funcţionale (E) ese corecă. Deşi eorema de mai sus a fos demonsraă pe R +, ea se poae exide uşor la R ţinând con că ecuaţia funcţională (E) implică f(x)f( x) = f() = 1 penru orice x R +. O ală definiţie a funcţiei exponenţiale o puem da cu ajuorul seriilor. Definiţia Penru orice x R seria k= x k k!, ese absolu convergenă, şi asfel puem defini exponenţiala e x = k= x k k!, penru orice x R. Înr-adevăr, din crieriul raporului obţinem că x k+1 (k+1)! x k k! = x k + 1 k, ceea ce ne asigură absolu convergenţa seriei, penru orice x R. Mai depare, vom verifica unele dinre proprieăţile clasice ale funcţiei exponenţiale. Se observă imedia că penru x = obţinem e = 1, oţi ceilalţi ermeni ai seriei fiind nuli. 3

10 Din Teorema lui Merens, obţinem că e x e y = k= x k k! k= y k k! = n n= k= x k k! y n k (n k)! = k= (x + y) k k! = e x+y. După acelaşi model, se poae consrui exponenţiala unui operaor A B(X). Da k A k fiind că A <, obţinem că seria ese absolu convergenă şi penru că X k! k= ese un spaţiu Banac ese şi convergenă. Asfel puem defini e A k A k =. Prinre k! k= proprieăţile acesei exponenţiale avem: i) e = I ii) e (s+)a = e sa e A iii) lim e A x = x În coninuare generalizăm concepul de exponenţială şi inroducem semigrupurile de operaori, obiecul principal de sudiu al acesei lucrări. Definiţia O aplicaţie T : R + B(X) cu proprieăţile: (i) T () = I, unde I ese operaorul ideniae pe X; (ii) T (s + ) = T (s)t (), penru orice, s se numeşe semigrup de operaori. Un semigrup de operaori care saisface în plus (iii) lim + T () I = se numeşe semigrup uniform coninuu. Un exemplu de semigrup uniform coninuu ar fi exponenţiala unui operaor mărgini. Exemplul Fie A B(X). Aunci T () = e A k A k = ese C -semigrup. k! Penru a demonsra aces lucru, în primul rând rebuie să arăăm în primul rând că definiţia ese corecă, adică seria consideraă ese convergenă în opologia spaţiului X. Penru a demonsra aces lucru, ţinem con că înr-un spaţiu Banac, o serie ese convergenă dacă şi numai dacă ese absolu convergenă. Înr-adevăr, k= k A k k! k A k k! 4 k= = e A <,

11 ceea ce ne araă că seria daă ese absolu convergenă, şi prin urmare convergenă. Ese eviden că T () = e = I. Deasemenea, folosind eorema lui Merens se obţine imedia proprieaea T (s + ) = T (s)t (), înr-o manieră comple analoagă demonsraţii proprieăţilor funcţiei exponenţiale demonsrae în începuul acesui capiol. Proprieaea a reia se verifică prin calcul direc. k A k T () I = k! k A k = e A 1, k! k=1 care are limia penru +. Din crieriul comparaţiei rezulă afirmaţia ceruă. k=1 O ală clasă de semigrupuri de operaori ese daă de Definiţia O aplicaţie T : R + B(X) care verifică proprieăţile (i) T () = I; (ii) T (s + ) = T (s)t (), penru orice s, ; (iii) lim + T ()x = x, penru orice x X se numeşe semigrup de clasă C sau are coninuu. { } Exemplul Fie X = l 1 (N, R) = (x n ) : x n < cu norma x 1 = Definim T () : X X prin T ()x = (e n x n ). Aunci {T } ese un C -semigrup. Penru a demonsra aces lucru procedăm în felul urmăor. e n x n = e n x n x n = x 1, n=1 n=1 n=1 n=1 x n. ceea ce implică T ()x 1 x 1 penru orice x l 1 (N, R). Asfel puem vedea că operaorii T () sun corec definiţi. Ese eviden că T () = I şi T ( + s)x = ( e n(+s) x n ) = (e n e ns x n ) = T ()T (s)x. Penru cea de-a reia proprieae de verifica, calculăm T ()x x 1 = (1 e n ) x n. n=1 Penru că (1 e n ) x n ( x n penru orice, penru x l 1 (N, R), din crieriul ) lui Weiersrass rezulă că (1 e n ) x n ese uniform convergenă pe R +. Asfel n=1 puem inerscimba limia cu suma seriei în modul urmăor lim T ()x x 1 = lim (1 e n ) x n = lim (1 e n ) x n =, n=1 5 k=1 n=1

12 ceea ce implică fapul că {T } ese un C -semigrup. În coninuare vom deduce câeva proprieăţi imporane ale unui C semigrup. Propoziţia Fie {T } un C semigrup. Aunci exisă δ > şi exisă M 1 asfel încâ T () M, oricare ar fi [, δ]. Demonsraţie: Presupunem conrariul, şi anume că oricare ar fi δ >, şi oricare ar fi M 1, exisă [, δ] cu proprieaea c s T () > M. Asfel, penru δ = 1 n, M = n exisă n [, 1 n ] asfel încâ T ( n) > n. Deci exisă un şir ( n ), cu n >, n + cu proprieaea că T ( n ) > n. Dar T ()x x penru +, oricare ar fi x X. Asfel avem şi T ( n )x x penru n, şi asfel, oricare ar fi x X exisă M x > cu proprieaea că T ( n )x M x, n N. Din Principiul Mărginirii Uniforme rezulă că exisă M > (fini) asfel încâ T ( n )x M x, oricare ar fi x X şi oricare ar fi n N. Asfel T ( n ) M, oricare ar fi n N. Din cele de mai sus am obţinu că n < T ( n ) M, oricare ar fi n N, de unde, penru n obţinem conradicţia M =. Prin urmare, presupunerea făcuă ese falsă şi propoziţia ese demonsraă. Inegaliaea M 1 ese necesară, deoarece 1 = T () M. Teorema (Teorema de creşere exponenţială) Fie {T } un C -semigrup. Aunci exisă M 1 şi exisă ω R cu proprieaea T () < Me ω, oricare ar fi. Demonsraţie: Fie şi n =, parea înreagă a lui, cu δ din Propoziţia δ δ Aunci n n < n + 1 şi asfel nδ < (n + 1)δ, de unde obţinem că δ T () = T ( nδ + nδ) = T ( nδ)t (nδ) T ( nδ) T (δ) n M T (δ) n, unde M ese cel din Propoziţia Deoarece T (δ) M, deducem că T () M M n. Noăm M = e ω şi obţinem ω = 1 δ ln M. Aunci T () Meωnδ Me ω, oricare ar fi. Asfel exisă M 1 şi exisă ω = 1 δ ln M asfel încâ T () Meω, penru orice. Remarca Aceasă eoremă va fi folosiă deseori în proprieăţi de mărginire. Aşa cum puem vedea şi din demonsraţia eoremei, ω poae fi considera poziiv, lucru pe care îl vom presupune şi noi penru a evia unele discuii în legăură cu maximul funcţiei Me ω pe un inerval de lungime finiă. Conform eoremei precedene, puem da urmăoarea definiţie. Definiţia Fie {T } un C -semigrup. Numărul ω (T ) = inf{ω R : M > asfel încâ T () Me ω, } se numeşe indicele de creşere exponenţială al C -semigrupului {T }. 6

13 Propoziţia Dacă {T } ese un C -semigrup, aunci exisă ln T () lim ln T () Demonsraţie: Noăm α = inf > = inf > ln T (). R. Considerăm două cazuri. Cazul 1. Presupunem α R. Aunci, din definiţia infimumului rezulă că ln T () a) α, > ; b) ε >, > : ln T ( ) < α + ε. Din a) obţinem că e α T (), penru orice > şi din b) obţinem că penru orice ε > exisă > asfel încâ T ( ) < e (α+ε). Fie şi noăm cu n =, de unde rezulă că n < n + 1, adică n < (n + 1). Aunci, folosind proprieăţile semigrupurilor, avem urmăoarele relaţii: T () = T ( n + n ) = T ( n )T (n ) = T ( n )T ( ) n. Trecând la normă obţinem T () T ( n ) T ( ) n T ( n ) T ( ) n. Logarimând aceasă relaţie avem ln T () ln T ( n ) + n ln T ( ) ln Me ω + n ln T ( ) = = ln M + ω + n ln T ( ), de unde rezulă că ln T () ln M + ω + n ln T ( ) = ln M + ω + (α + ε) α + ε. Prin urmare lim sup Penru ε obţinem lim sup lim inf ln T () α. Asfel avem α lim inf ln T () ln T () ln T () α + ε, ε >. α. lim sup 7 Din relaţia a) rezulă deasemenea că ln T () α,

14 de unde rezulă că exisă lim n ln T () = α = inf > ln T (). Cazul 2. Presupunem că α =. Aunci penru orice y R exisă asfel încâ ln T () < y. Analog ca şi la cazul preceden obţinem relaţia ln T () ln M + ω + n ln T ( ) = ln M Deoarece y a fos ales arbirar, rezulă că lim sup = inf > ln T () + ω + y y. =, adică lim T () ln T (). s Remarca În demonsraţia de mai sus am folosi fapul că lim = 1. Aces lucru s s se demonsrează folosind urmăoarele inegaliăţi elemenare din definiţia părţii înregi s 1 < s s, de unde deducem că s 1 < s s s s s. Din crieriul cleşelui rezulă că limia căuaă ese înr-adevăr egală cu 1. Teorema Dacă {T } ese un C -semigrup, aunci ω (T ) = lim ln T () = inf > ln T (). Demonsraţie: Fie ω > ω (T ). Aunci exisă M ω > asfel încâ T () M ω e ω, ln T () oricare ar fi. De aici rezulă că ln M ω + ω. Trecând la limiă penru, obţinem lim n ln T () după ω, obţinem că lim n ln T () ω, şi asa penru orice ω > ω (T ). Trecând la infimum ω (T ). ln T () Fie α > inf. Aunci exisă > asfel încâ ln T ( ) < α. Penru > considerăm din nou n =, ceea ce ese ecivalen cu n < (n + 1). Aunci avem T () = T ( n )T (n ) T ( n ) T ( ) n T ( n ) e αn = = T ( n ) e α( n ) e α. ( ) Mai depare, considerăm funcţia φ : [, ] R +, φ(s) = T (s) e αs. Din Teorema de Creşere exponenţială şim că exisă M 1, ω R asfel încâ φ(s) Me ωs e αs. 8 =

15 Membrul drep al inegaliăţii precedene ese o funcţie coninuă pe [, ] şi asfel mărginiă superior pe aces inerval. Prin urmare exisă M α = sup T (s) e αs. Din aceasă relaţie s [, ] şi din ( ) obţinem că T () M α e α,. ln T () De aici deducem că ω (T ) α, α > inf. Trecând la infimum după α în relaţia > ln T () precedenă avem ω (T ) inf >. Sineizând rezulaele obţinem ln T () ω (T ) inf > ceea ce demonsrează egaliaea ceruă. = lim n ln T () ω (T ), Propoziţia Fie {T } un C -semigrup şi x X. Aunci funcţia T ()x : R + X ese coninuă pe R +. Demonsraţie: Coninuiaea la dreapa în rezulă din T ( + )x T ()x T () T ()x x +. Coninuiaea la sânga în > rezulă din T ( )x T ()x = T ( )x T ( )T ()x T ( ) T ()x x Me ω( ) T ()x x +, unde M şi ω sun din Teorema de Creşere Exponenţială. 1.2 Generaorul Infiniezimal Definiţia Fie {T } un C -semigrup. Noăm { } T ()x x D(A) = x X : lim + şi definim T ()x x A : D(A) X, Ax = lim. + Operaorul A se numeşe generaorul infiniezimal al C -semigrupului {T }. Exemplul Fie semigrupul uniform coninuu {T }, T () = e A, unde A B(X). Aunci A ese generaorul infiniezimal al semigrupului {T }. 9

16 Demonsraţie: Calculăm T () I A = 1 k A k A k! = k 1 A k A k! = k 1 A k k! k=1 k=1 k=2 k 1 A k i A i+1 i A i = A = A (e A 1), k! (i + 1)! i! k=2 i=1 şi observăm că aces ulim ermen inde la când +. Prin urmare T () I converge la A în norma din B(X). Deoarece convergenţa în normă implică convergenţa puncuală, T ()x x rezulă că lim = Ax, oricare ar fi x X. + A. i=1 Prin urmare, generaorul infiniezimal al semigrupului uniform coninuu {e A } ese Să privim în coninuare la anumie proprieăţi ale generaorului infiniezimal. Propoziţia Dacă x D(A), aunci: i) T ()x D(A), penru orice şi AT ()x = T ()Ax; ii) Aplicaţia T ( )x : R + X ese derivabilă şi iii) T ()x T (s)x = s T (τ)axdτ. d T ()x = AT ()x = T ()Ax; d T ()T ()x T ()x Demonsraţie: i) Observăm că = T () T ()x x penru +. De aici deducem că T ()x D(A) şi AT ()x = T ()Ax. T ()Ax, T ( + )x T ()x ii) Fie > şi x D(A). Aunci = T () T ()x x T ()Ax, penru + şi asfel derivaa la dreapa în T ()x exisă şi ese egală cu d+ T ()x exisă d + şi ese egală cu T ()Ax. Penru calculul derivaei la sânga avem T ( )x T ()x T ()Ax = T ( + )x T ( )x T ()Ax = = ()x x T ( )T T ( )T ()Ax T ( ) T ()x x T ()Ax Me ω( ) T ()x x T ()Ax T ()x x Meω( ) Ax + +Me ω( ) T ()Ax Ax, 1

17 aunci când +, şi asfel derivaa la sângă exisă şi ese egală cu d T ()x d = AT ()x = T ()Ax. iii) Fie x D(A). obţinem s Aunci T (τ)axdτ = d T ()x = T ()Ax = AT ()x. d s d T (τ)xdτ = T ()x T (s)x. dτ Propoziţia Penru orice x X şi penru orice avem şi A T (τ)xdτ = T ()x x. Demonsraţie: Avem T () T (τ)xdτ T (τ)xdτ 1 + T (s)xds 1 = 1 T (s)xds = 1 T ( + τ)xdτ 1 + T (s)xds 1 Ulimul ermen, penru + inde la T ()x x, ceea ce ne araă că şi ( ) A T (τ)xdτ = T ()x x. Inegrând de la s la Propoziţia Dacă {T } ese un C -semigrup, aunci D(A) = X. 1 n Demonsraţie: Fie x X. Aunci 1 n rezulă că n T (τ)xdτ D(A) penru orice n N. Dar şim că 1 1 n T (τ)xdτ D(A) T (τ)dτ = T (s)xds. T (τ)sdτ D(A) T (τ)dτ D(A), penru orice n N. De aici 1 n T (τ)xdτ x, ceea ce implică fapul că X D(A). Cum incluziunea reciprocă ese evidenă din definiţia lui D(A), rezulă că D(A) = X. Teorema (Teorema de uniciae a generării) Fie {T } şi {S } două C -semigrupuri, care au acelaşi generaor A. Aunci rezulă că T () = S(), penru orice. Demonsraţie: Fie x D(A) şi >. Definim u : [, ] X, u(s) = T ( s)s(s)x. Aunci u(s) = T ( s)as(s)x + T ( s)as(s)x =, penru orice s [, ], de unde rezulă că u ese consană pe [, ], şi asfel u() = u(), ceea ce ese ecivalen cu T ()x = S()x, penru orice x D(A). Cum D(A) = X, rezulă că T () = S(),. 11

18 Teorema Dacă {T } ese C -semigrup şi A ese generaorul său infiniezimal, aunci A ese încis. Demonsraţie: Vom folosi Principiul Graficului Încis. Fie x n x, x n D(A) şi Ax n y. Vom demonsra că x D(A) şi Ax = y. Din x n D(A), x n x rezulă Mai depare avem T ()x n x n = T (τ)ax n dτ n T ()x x. T (τ)ax n T (τ)y T (τ) Ax n y Me ωτ Ax n y n, de unde rezulă că T ( )Ax n converge uniform pe [, ] la T ( )y, asfel, inerscimbând limia cu inegrala avem Asfel T ()x x = T (τ)ydτ şi T (τ)ax n dτ n T (τ)ydτ. Deci x D(A) şi Ax = y. T ()x x = 1 T (τ)ydτ + y. Exemplul (Semigrupul de ranslaţii) Fie X = {f : R R : f uniform coninuă şi mărginiă pe R + }, cu f = sup f() şi T () : X X, (T ()f)(s) = f( + s). Aunci {T } ese un C -semigrup, cu generaorul infiniezimal A : D(A) X cu D(A) = {f X : f derivabilă pe R +, f X} şi Af = f. Demonsraţie: Se observă eviden că T () = I şi T (s + ) = T (s)t (). Penru proprieaea de C -semigrupprocedăm în felul urmăor. Calculăm T ()f f = sup s T ()f(s) f(s) = sup f(s + ) f(s). s Penru că f ese uniform coninuă pe R +, şim că penru orice ε > exisă δ > asfel încâ penru orice u, v asfel încâ u v < δ avem f(u) f(v) < ε. Prin urmare, penru < δ avem f(s + ) f(s) < ε, s. Trecând la supremum, şi folosind calculele de mai sus obţinem că penru orice ε > exisă δ > asfel încâ T ()f f = sup f(s + ) f(s) ε, s 12

19 penru orice < δ. Prin urmare lim + T ()f = f penru orice f X. Arăăm în coninuare că D(A) = {f X : f derivabilă pe R +, f X} şi Af = f. Fie f D(A). Aunci T ()f f Af +, ceea ce ese ecivalen cu fapul că sup T ()f() f() Af() +, de unde obţinem că f( + ) f() Af() +. sup Asfel, oricare ar fi avem f( + ) f() lim + = Af(), de unde rezulă că f e derivabilă la dreapa şi d+ f() = Af(), oricare ar fi. Noăm, d + penru simplificarea calculelor ce urmeazu a Af = g X. Vrem acum să demonsrăm exisenţa derivaei la sângă, şi penru aceasa considerăm > > şi noăm = s. Aunci f( ) f() g(s + ) = f() f( ) g(s + ) = = f(s + ) f(s) g(s + ) = T ()f(s) f(s) g(s) + g(s) g(s + ) T ()f(s) f(s) g(s) + g(s + ) g(s) = = T ()f(s) f(s) g(s) + T ()g(s) g(s) T ()f f g + T ()g g +. Prin urmare f admie derivaa la sânga egală cu Af, ceea ce demonsrează fapul că f ese derivabilă pe R + şi Af = f. Asfel am demonsra că D(A) {f X : f derivabilă pe R +, f X} şi Af = f. Penru demonsrarea incluziunii inverse calculăm T ()f f f = sup f( + ) f() f () = = sup f (c) f (), 13

20 unde c (, + ) din Teorema lui Lagrange. Deoarece f X rezulă ca f ese uniform coninuă pe R +, şi aces fap demonsrează că lim f (c) f () = penru că sup + c <. Din crieriul comparaţiei rezulă că Af = f. Prin urmare f D(A), fap ce demonsrează şi incluziunea inversă. Se poae consaa uşor că generaorul infiniezimal al semigrupului de ranslaţii ese nemărgini dacă considerăm { f n () = (1 ) n, 1., > 1 Aunci f n D(A) şi Af n = n, penru orice n 2. Teorema (Teorema de caracerizare a semigrupurilor uniform coninue) Fie {T } un C -semigrup. Aunci {T } ese uniform coninuu dacă şi numai dacă generaorul său infiniezimal A B(X). Demonsraţie: Suficienţa: Considerăm S() = e A, care ese un C -semigrup cu generaorul infiniezimal A. Dacă A ese şi generaorul infinielui T, aunci, din eorema de generare T () = S() = e A penru orice. Prin urmare {T } geq ese semigrup uniform coninuu. Necesiaea: Dacă {T } ese semigrup uniform coninuu, aunci lim T () I =. Aunci avem 1 T (τ)dτ I = 1 (T (τ) I)dτ 1 T () I dτ. Fie < ε < 1 penru care exisă δ > asfel încâ T () I < ε, [, δ]. Aunci, din inegaliaea demonsraă mai sus avem 1 T (τ)dτ < ε < 1, [, δ]. ( 1 ρ 1 Alegem ρ [, δ]. Conform Teoremei Lui Riesz exisă T (τ)dτ) B(X), ρ ( ρ 1 ceea ce implică exisenţa lui T (τ)dτ) B(X). Penru > avem T () I ρ T (τ)dτ = 1 = 1 ρ ρ+ T (τ + )dτ 1 T (s)ds 1 ρ ρ T (τ)dτ = T (s)ds = 1 ρ+ ρ T (s)ds 1 T (s)ds. 14

21 Folosind inversabiliaea lui ρ T (τ)dτ obţinem T () I = ( 1 ρ+ ρ + (T (ρ) I) T (τ)dτ 1 ( ρ 1 T (τ)dτ) B(X). ) ( ρ 1 T (τ)dτ T (τ)dτ) + Prin urmare A B(X). Definiţia Fie X un spaţiu Banac pese C. Penru un operaor A : D(A) X X se defineşe mulţimea sa rezolvenă ca fiind ρ(a) = {λ C : (λi A) 1 }, şi se defineşe rezolvena lui A ca fiind R(λ; A) = (λi A) 1. Se numeşe specrul lui A mulţimea σ(a) = C \ ρ(a). Teorema (Transformaa Laplace a C -semigrupului {T } Dacă {T } ese un C -semigrup şi λ C cu proprieaea Reλ > ω (T), aunci λ ρ(a) şi R(λ; A)x = e λ T ()xd. Demonsraţie: Fie x X, λ C cu proprieaea că Reλ > ω (T) şi R λ x := e λ T ()xd. Aunci e λ T ()x d = e λ T ()x d = e Reλ T ()x d. Fie acum ω asfel încâ ω (T ) < ω < Reλ. Aunci exisă M > asfel încâ T () Me ω, oricare ar fi. Asfel Prin urmare R λ x T ()R λ x R λ x e λ T ()x d Me Reλ e ω x d = M x Reλ ω <. M x, oricare ar fi x X. Mai depare avem Reλ ω = 1 = 1 = eλ e λ T ( + )xd 1 e λ(s ) T (s)xds 1 e λs T (s)xds 1 = eλ 1 R λ x e λ 1 e λ T ()xd = e λs T (s)xds = e λs T (s)xds = e λs T (s)xds + λr λ x x. Asfel rezulă că R λ x D(A), AR λ x = λr λ x x şi asfel λr λ x AR λ x = x, oricare ar fi x X. 15

22 Fie acum x D(A). Aunci R λ Ax = e λ T ()Axd = e λ d d T ()xd = = e λ T ()x + λ e λ T ()xd = x + λr λ x. Asfel rezulă că x = R λ (λi A) penru orice x D(A), ceea ce araă că λ ρ(a) şi R(λ; A)x = (λi A) 1 x = R λ x = e λ T ()d. Propoziţia Dacă A B(X), σ(a) ese specrul lui A şi Γ ese o curbă încisă, recificabilă Jordan, ce conţine σ(a), aunci e A = 1 e λ R(λ; A)dλ. 2πi Γ Demonsraţie: Vom folosi eorema Caucy Goursa care spune că dacă o funcţie ese olomorfă înr-un disc, aunci inegrala pe orice curbă încisă conţinuă în acel disc ese nulă. Asfel, având o curbă încisă Γ şi o ala Γ care o conţine pe aceasa şi de aceeaşi orienare, inegalele funcţiei noasre au aceeaşi valoare pe Γ şi Γ. Asfel, alegem un disc suficien de mare, ce conţine specrul lui A şi curba Γ, si are raza mai mare decâ A. Aunci, conform celor de mai sus puem alege Γ cu proprieaea că λ > A penru orice λ Γ. Aunci vom avea 1 λ A < 1, şi din eorema lui Riesz avem ( I 1 ) 1 λ A 1 = λ k Ak, de unde deducem că k= R(λ; A) = 1 λ ( I 1 λ A ) 1 = k= 1 λ k+1 Ak. Înmulţind cu e λ, inegrând şi ţinând con că convergenţa seriei ese uniformă, conform crieriului lui Wieresrass obţinem 1 e λ R(λ; A)dλ = 1 2πi Γ 2πi Γ k= e λ λ dλ = k+1 k= 1 2πi Γ e λ λ k+1 dλ Ak. Acum folosim formula lui Caucy penru calculul derivaei unei funcţii olomorfe în Ω çu C un cerc conţinu în Ω f (n) (z) = n! f(u) du, 2πi C (u z) n+1 16

23 penru z din ineriorul lui C. Având în vedere discuţia de mai sus, aceasă formulă rămâne adevăraă dacă înlocuim C cu o ală curbă încisă care conţine C. Prin urmare, în cazul nosru penru f(λ) = e λ calculul derivaei de ordinul k în ne conduce la ( d k k = dλ k eλ adică 1 e λ k dλ =, prin urmare 2πi Γ λk+1 k! ) 1 e λ R(λ; A)dλ = 2πi Γ () = k! e λ dλ, 2πi Γ λk+1 k= k k! Ak = e A. Teorema Dacă T () = e A şi A B(X), aunci ω (T ) = sup Reσ(A). Demonsraţie: Fie λ σ(a). Conform eoremei în mod necesar vom avea Reλ ω (T), de unde rezulă imedia că sup Reσ(A) ω (T), penru orice A generaor infiniezimal al unui C -semigrup. Să presupunem acum că sup Reσ(A) < ω (T), ceea ce implică exisenţa lui ν (sup Reσ(A), ω (T)). Fie Γ o curbă încisă, recificabilă Jordan, poziiv orienaă ce conţine σ(a), cu proprieaea că penru orice λ Γ să avem Reλ < ν. Aunci, din eorema precedenă e A = T () = 1 e λ R(λ; A)dλ 2πi Γ 1 e Reλ R(λ; A) dλ 1 2π Γ 2π l(γ)eν sup R(λ; A) = Me ν, λ Γ { } 1 unde l(γ) ese lungimea curbei Γ şi M = max l(γ) sup R(λ; A), 1. Prin urmare 2π λ Γ din definiţia lui ω (T ) ar rezula că ω (T ) ν, ceea ce ese în conradiţie cu presupunerea făcuă. În concluzie sup Reσ(A) = ω (T). Remarca După cum am văzu în Teorema orice număr complex λ cu Reλ > ω (T) se află în rezolvena lui A, şi în concluzie are loc inegaliaea sup Reσ(A) ω (T). În eorema precedenă am văzu că apare egaliaea în cazul în care generaorul ese operaor mărgini. În general, inegaliaea poae fi şi srică, după cum se poae vedea înr-un exemplu da de Zabczyk în [17]. Mai mul, penru orice două numere reale a < b se poae consrui un C semigrup {T } cu generaorul infiniezimal A, asfel încâ a = sup Reσ(A) şi b = ω (T ). Penru mai mule dealii vezi [13] Propoziţia Fie {T } un semigrup de operaori asfel încâ exisă > cu T ( ) operaor inversabil. Aunci T () ese inversabil penru orice. 17

24 Demonsraţie: Dacă (, ) aunci T ( ) = T ( )T () = T ()T ( ) ceea ce implică fapul că T () ese inversabil. Dacă > noăm cu n = N şi obţinem n < (n + 1). Asfel T () = T ( n )T ( ) n, ceea ce ese o compunere de operaori inversabili penru că n < ( vezi cazul anerior ) şi T ( ) ese inversabil din ipoeză. În concluzie T () ese inversabil. Propoziţia Dacă {T } ese un C -semigrup de operaori inversabili, aunci } ese deasemenea un C -semigrup. {T 1 Demonsraţie: Proprieaea de semigrup ese imediaă. Penru a demonsra proprieaea de C -semigrup, procedăm după cum urmează. Fie x X şi (, 1). Aunci T (1) = T ()T (1 ), de unde deducem că T 1 ()x = T (1 )T 1 (1)xşi prin recere la limiă penru + se obţine rezulaul dori. Propoziţia Fie {T } un C -semigrup de operaori inversabili cu generaorul infiniezimal A. Aunci A ese generaorul infiniezimal al C -semigrupului {T 1 }. Demonsraţie: Fie x D(A). Aunci T 1 ()x x + Ax = T 1 () x T ()x + Ax T 1 () x T ()x + Ax + Ax T ()Ax Me ω T ()x x Ax + T ()Ax Ax + de unde rezulă că A ese generaorul infiniezimal al semigrupului {T 1 ()}. 18

25 1.3 Semigrupuri în Spaţii Hilber În aceasă secţiune, vom demonsra fapul că adjuncul unui semigrup defini pe un spaţiu Hilber ese deasemenea un C -semigrup, şi vom găsi relaţia dinre generaorul infiniezimal al semigrupului iniţial şi generaorul infiniezimal al adjuncului semigrupului iniţial. Fie X un spaţiu Hilber, {T } un C -semigrup cu generaorul infiniezimal A : D(A) X X. Vom noa cu D(A ) = {y X : x Ax, y : D(A) R sau C ese mărginiă}. Aunci din eorema de reprezenare a lui Riesz exisă un singur y X cu Ax, y = x, y, penru orice x D(A). Definim A : D(A ) X, prin A y = y denumi adjuncul lui A. Proprieaea caracerizană a adjuncului ese Ax, y = x, A y, x D(A), y D(A ), Urmăoarea eoremă demonsrează fapul că A ese dens defini. Teorema D(A ) = X. Demonsraţie: Să presupunem prin reducere la absurd că D(A ) X. Aunci exisă y X, y asfel încâ y, y = penru orice y D(A ), fap care rezulă din descompunerea X = D(A ) D(A ). Deoarece A ese operaor liniar încis, deducem că graficul său G A = {(x, Ax) : x D(A)} ese un subspaţiu liniar încis în X X cu proprieaea că (, y ) / G A. Aplicăm eorema Han-Banac, care spune că exisă o funcţională liniară definiă pe X X care se anulează pe G A şi nu se anulează în (, y ). Fiind o funcţională în spaţiul Hilber X X cu produsul scalar (a, b), (c, d) = a, c + b, d, din eorema de reprezenare a lui Riesz, şim că exisă (u, v) X X asfel încâ funcţionala noasră să aibă forma (x, y) (x, y), (u, v). Prin urmare, din definţia acesei funcţionale avem şi (, y ), (u, v) = u, + v, y, (x, Ax), (u, v) = u, x + v, Ax =, x D(A). Prin urmare Ax, v = x, u, x D(A), ceea ce ne araă că v D(A ), adică y, v =, ceea ce conrazice relaţia (, y ), (u, v). Asfel am ajuns la o conradicţie, ceea ce ne araă că presupunerea făcuă a fos falsă. Prin urmare D(A ) = X. Teorema Fie X un spaţiu Hilber şi {T } un C -semigrup cu generaorul infiniezimal A. Aunci {T } ese un C -semigrup cu generaorul A. 19

26 Demonsraţie: Proprieaea de semigrup ese imediaă, prin recere la adjuncţi. Să demonsrăm acum proprieaea de C -semigrup. Fie x D(A), y D(A ). x, T ()y y = T ()x x, y = AT (τ)xdτ, y = = AT (τ)x, y dτ = T (τ)x, A y dτ T (τ)x, A y dτ Me ω x A y, unde M şi ω sun din proprieaea de creşere exponenţială a lui {T } şi ulima inegaliae ese inegaliaea Caucy-Buniakowski-Scwarz înre produsul scalar şi norma generaă de acesa. Deoarece D(A) = X, penru un şir (x n ) D(A) care converge la T ()y y folosind inegaliaea descoperiă mai sus obţinem că T ()y y Me ω A y, y D(A ), şi asfel penru + se obţine lim + T ()y = y, y D(A ). Dar deasemenea D(A ) = X, ceea ce implică imedia fapul că lim T ()y = y, y + X, adică {T } ese un C -semigrup. Fie B generaorul lui {T }, x D(A) şi y D(B). Aunci x, T ()y y T ()x x =, y, >, ceea ce ese ecivalen cu x, Bx = Ax, x, x D(A). Asfel deducem că funcţionala x Ax, y : D(A) R(C) ese mărginiă (coninuă), de unde rezulă că y D(A ) şi A y = By, y D(B). Prin urmare D(B) D(A ) şi A y = By, y D(B). Fie acum x D(A) şi y D(A ). Avem x, T ()y y = T ()x x, y = = x, T (τ)a y dτ = AT (τ)xdτ, y = x, AT (τ)x, y dτ = T (τ)a dτ, x D(A). Deoarece D(A) = X vom avea T ()y y = T (τ)a ydτ, y D(A ), şi asfel T ()y y lim + 1 = lim + T (τ)a ydτ = A y. Prin urmare y D(B) şi By = A y ceea ce implică D(A ) D(B). În concluzie D(A ) = D(B) şi A = B. 2

27 Capiolul 2 Teoreme de generare penru C -semigrupuri În capiolul preceden am văzu că fiecare C -semigrup are un generaor infiniezimal A : D(A) X, care are urmăoarele proprieăţi: generaorul ese operaor încis domeniul de definiţie ese dens în X specrul său ese conţinu înr-un semiplan sâng al planului complex Acese condiţii nu sun suficiene, aşa cum puem vedea din urmăorul exemplu. Exemplul Pe spaţiul X := {f C (R + ) : f derivabilă cu derivaa coninuă pe [, 1]} doa cu norma f = sup f(s) + sup f (s), considerăm operaorul (A, D(A)) defini s R + s [,1] prin Af = f penru f D(A) := {f C(R 1 + ) : f X}. Spaţiul C (R + ) fiind spaţiul funcţiilor coninue pe R + care se anulează la infini, puem vedea că definiţiile de mai sus sun corece, şi operaorul A ese dens defini şi încis. Penru λ C cu parea reală sric poziivă, observăm că (λi A)(f) = λf f. Ne ineresează dacă aces operaor ese inversabil, adică din relaţia λf f = g, unde g X să puem afla pe f în funcţie de g. Aces lucru ese posibil în modul urmăor. λf f = g ( e λ f()) = e λ g() e λ f() = f() = e λ(s ) f(s)ds. 21 e λs g(s)ds

28 Am inegra de la la penru că la infini funcţiile considerae aveau limia. Prin urmare R(λ; A)(f)() = e λ(s ) f(s)ds penru f X,. Să presupunem acum că A generează un C -semigrup {T } pe X. Penru f D(A) şi s, definim ξ(τ) := (T ( τ)f)(s + τ), τ [, ] care e o funcţie derivabilă şi derivaa ei saisface ξ(τ) = (T ( τ)af)(s + τ) + (T ( τ)f )(s + τ) = şi prin urmare (T ()f)(s) = ξ() = ξ() = f(s + ). Aceasa ne araă că {T } ar rebui să fie semigrupul de ranslaţii, însă acesa nu îl invariază pe X. Prin urmare condiţiile enunţae nu sun suficiene penru ca A să fie un generaor de C -semigrup. O ală condiţie necesară se poae obţine folosind ransformaa Laplace a semigrupului ( Teorema ). Penru x X, λ C cu Reλ > ω (T) şi ω (ω (T ), Reλ) şi M pe care îl puem găsi asfel încâ T () Me ω avem R(λ; A) M x e Reλ T () x d e (Reλ ω) d = M x, x X. Reλ ω M Prin urmare o ală relaţie necesară ese R(λ; A) Reλ ω penru ω > ω (T ), Reλ > ω (T), ω (ω (T), Reλ). Aceasă condiţie se va dovedi şi suficienă în cazul în care M = 1. În eorema ce urmează vom considera condiţii de aces ip care ne asigură exisenţa unui semigrup genera de A. Cazul în care A ese operaor mărgini ese simplu, prin folosirea funcţiei exponenţiale. Aunci când operaorul ese nemărgini apar problemele. Exisă mai mule moduri în care puem defini exponenţiala unui operaor mărgini e A = k= e A = 1 2πi e A = lim n n n! An Γ e λ R(λ; A)dλ ( I + n A ) n = lim n ( I n A ) n. 22

29 Ne ineresează ce meode am puea folosi penru a puea defini exponenţiala unui anumi operaor nemărgini. Primele două formule nu ne dau prea mule indicaţii în aces sens, dar parea a doua din formula a reia o puem scrie ca şi e A = lim n [ n R ( n ; A )] n, formulă ce implică folosirea de pueri de operaori mărginiţi, şi aceasa a fos şi ideea lui Hille de a folosi aceasă formulă şi a demonsra că în anumie cazuri aceasă limiă exisă, şi defineşe un C -semigrup. Deoarece şim cum să definim exponenţiala unui operaor mărgini, am puea să încercăm să aproximăm un operaor nemărgini A prinr-un şir de operaori mărginiţi (A n ) n şi să sperăm că exisă limia lim e An, care ar puea fi C -semigrupul căua. n Aceasa a fos ideea lui Yosida, şi o vom vedea la lucru în eorema urmăoare. 2.1 Teorema Hille-Yosida Teorema (Teorema Hille-Yosida) Fie A : D(A) X X un operaor liniar, încis, cu D(A) = X. Dacă exisă M > şi ω R asfel încâ: i) (ω, ) ρ(a); ii) R(λ; A) n M, oricare ar fi λ > ω şi oricare ar fi n N, (λ ω) n aunci exisă un unic C -semigrup {T }, având pe A ca şi generaor infiniezimal, şi T () Me ω, oricare ar fi. Demonsrţie: Penru a srucura ideile, vom împâţi demonsraţia în mai mule eape. Eapa 1. Arăăm că: lim λr(λ; A)x = x, oricare ar fi x X. λ Fie x D(A). Aunci R(λ; A)(λI A)x = x, de unde obţinem Prin recere la normă deducem că λr(λ; A)x x = R(λ; A)Ax. λr(λ; A)x x = R(λ; A)Ax R(λ; A) Ax ceea ce araă că lim λ λr(λ; A)x = x, penru orice x D(A). 23 M Ax λ ω, λ

30 Fie acum x X şi ε >. Din densiaea lui D(A) în X şim că exisă y D(A) asfel încâ x y < ε. Aunci λr(λ; A)x x λr(λ; A)x λr(λ; A)y + λr(λ; Ay y + x y λr(λ; A) x y + λr(λ; A)y y + y x λ M x y + λr(λ; A)y y + y x λ ω Trecând la limiă superioară penru λ în inegaliaea obţinuă avem lim sup λr(λ; A)x x M x y + x y (M + 1)ε. λ Cum ε > a fos ales arbirar, rezulă că lim sup λr(λ; A)x x =, iar din λ inegaliăţile lim inf λ λr(λ; A)x x lim sup λr(λ; A)x x =, rezulă că exisă lim λ λr(λ; A)x x =. Eapa a 2-a. Arăăm că λ lim λ λ2 R(λ; A)x λx = Ax, oricare ar fi x D(A). Fie x D(A). Aunci, din aceaşi egaliae R(λ; A)(λI A)x = x, obţinem R(λ; A)x x = R(λ; A)Ax, care prin înmulţire cu λ devine λ 2 R(λ; A)x λx = λr(λ; A)Ax. Trecem la limiă penru λ în inegaliaea precedenă, şi folosim Eapa 1. penru a obţine ceea ce ne-am propus. Eapa a 3-a. Noăm S λ () = e A λ, unde Aλ = λ 2 R(λ; A) λi şi arăăm că exisă lim S λ()x care ese uniformă pe orice inerval mărgini [, b], penru fiecare λ x X. Avem S λ () = e λ+λ2 R(λ;A) = e λ e λ2r(λ;a) = = e λ k (λ 2 R(λ; A)) k k! e λ e λ k= k= (λ 2 ) k M k!(λ ω) = k Me λ e λ 2 λ ω k= k (λ 2k R(λ; A) k k! = Me λω λ ω. 24

31 Fie r > 1. Deoarece lim λ λ λ λ ω = 1, exisă δ(r) > asfel încâ oricare ar fi λ > δ să avem < r, ceea ce e ecivalen cu λ < λr ωr. Mai depare, λ(1 r) < ωr, de λ ω unde obţinem λ > ωr, pe care îl alegem pe pos de δ(r). Asfel, oricare ar fi r > 1 şi r 1 oricare ar fi λ > δ(r) avem S λ () Me rω, ceea ce ne araă că S λ () priviă ca şi funcţie de λ ese o funcţie mărginiă pe (δ(r), ). Fie x D(A). Aunci A λ x Ax penru λ, conform eapei 2. Prin urmare S λ ()x S µ ()x = = = Trecând la normă obţinem S λ ()x S µ ()x penru orice λ, µ > δ(r) şi r > 1. d ds esa λ e (1 s)aµ xds = ( e sa λ e (1 s)aµ A λ x e sa λ e (1 s)aµ A µ x ) ds e sa λ e (1 s)aµ (A λ x A µ x)ds. 1 Penru [, b], b R + avem ( S λ ()x S µ ()x e sa λ e (1 s)aµ A λ x A µ x ds A λ x A µ x A λ x A µ x 1 1 = M 2 A λ x A µ x e sa λ e (1 s)aµ ds Me rωs Me rω(1 s) ds = 1 M 2 e rω A λ x A µ x, e rω ds ) sup M 2 se rωs A λ x A µ x. s [o,b] λ,µ Cum S λ () ese uniform mărgini după λ > δ(r) rezulă că exisă lim λ S λ ()x care ese uniformă pe fiecare inerval [, b] şi noăm cu T ()x = lim λ S λ ()x, penru orice x X. Eapa a 4-a. Demonsrăm caum că {T } ese C -semigrupul căua. Avem S λ ()x = Ix = x, penru orice λ, de unde deducem că T ()x = x, oricare ar fi x X, adică T () = I. Analog, dacă s, avem S λ (s + )x = e (s+)a λ x = e sa λe A λx = Sλ (s)s λ ()x, penru orice λ. Prin recere la limiă cu λ avem T (s+)x = T (s)t ()x, oricare ar fi x X. 25

32 Penru, avem S λ ()x Me rω x, oricare ar fi λ > δ(r) şi x X, penru λ obţinem T ()x Me rω x, oricare ar fi x X, şi oricare ar fi r > 1. Penru r 1 deducem T ()x Me ω x, oricare ar fi x X, ceea ce implică T () Me ω. Verificăm acum proprieaea de are coninuiae. Din lim + S λ ()x = x, penru orice x X şi lim λ S λ ()x = T ()x uniform pe [, b], ţinând con că puem inerscimba limiele înre ele, una fiind uniformă rezulă că lim T ()x = lim lim S λ ()x = lim lim S λ ()x = lim x = x, x X. + + λ λ + λ Asfel {T } ese un C -semigrup. Asfel exisă B, generaorul infiniezimal al lui {T }. demonsrăm că A = B. În coninuare, dorim să Fie x D(A). Avem urmăoarele relaţii: S λ (τ)a λ x T (τ)ax = S λ (τ)a λ x S λ (τ)ax + S λ (τ)ax T (τ)ax S λ (τ) A λ x Ax + S λ (τ)ax T (τ)ax Me rωτ A λ x Ax + S λ (τ)ax T (τ)ax ( ) sup Me reωs A λ x Ax + S λ (τ)ax T (τ)ax. s [,] Trecând la limiă penru λ obţinem că lim S λ (τ)a λ x T (τ)ax = uniform în λ rapor cu τ [, ]. Penru x D(A) avem S λ ()x x = S λ (τ)a λ xdτ. Trecând la limiă penru λ şi folosind convergenţa uniformă penru a scimba limia cu inegrala obţinem că T ()x x = T (τ)axdτ, oricare ar fi x D(A). Asfel avem T ()x x = 1 T (τ)axdτ + T ()Ax = Ax. Asfel am obţinu că D(A) D(B) şi Bx = Ax, oricare ar fi x D(A). Fie λ R, λ > ω. Aunci λ ρ(b) ρ(a) şi (λi A)(D(A)) = (λi B)(D(A)) (λi B)(D(B)). Cum λi A : D(A) X ese inversabil, rezulă că (λi A)(D(A)) = X şi din incluziunea precedenă (λi B)(D(A)) = X. Cum, deasemenea λ ρ(b) avem R(λ; B)X = R(λ; B)(λI B)(D(A)), adică R(λ; B)X = D(A), ceea ce ese ecivalen cu D(A) = D(B). Prin urmare A = B, şi {T } ese semigrupul căua. O consecinţă imediaă a eoremei de mai sus ese Corolarul Fie A : D(A) X X un operaor liniar încis, cu D(A) = X penru care exisă ω R asfel încâ 26

33 i (ω, ) ρ(a); ii) R(λ; A) 1, λ > ω. λ ω Aunci exisă {T } un C -semigrup cu T () e ω, oricare ar fi, avându-l pe A ca şi generaor infiniezimal. Demonsraţie: Avem R(λ; A) n R(λ; A) n 1, oricare ar fi n N, (λ ω) n oricare ar fi λ > ω. Din Teorema Hille-Yosida (M = 1) rezulă că exisă un unic C - semigrup {T } care îl are pe A ca şi generaor infiniezimal şi T () e ω, oricare ar fi. Teorema Hille-Yosida ese foare greu de folosi în aplicaţii concree penru M > 1, daoriă condiţiei iii), care necesiă o infiniae de verificări. Vom prezena mai depare o ală eoremă, ecivalenă cu Teorema Hille-Yosida, care poae fi folosiă mul mai uşor în aplicaţii. Definiţia Un operaor T : D(T ) X X, unde X ese un spaţiu Banac se numeşe acreiv dacă penru orice λ > avem (I + λt )x (I + λt )y x y, x, y D(T ), λ >. Remarca În cazul în care X ese un spaţiu preilberian, un operaor T : D(T ) X X se numeşe monoon dacă Re Fx Fy, x y, penru orice x, y D(T ). Aunci are loc ecivalenţa T ese acreiv T ese monoon În coninuare, penru un operaor T : D(T ) X X vom noa cu R(T ) imaginea lui D(T ) prin T. Vom avea nevoie de urmăoarea propoziţie: Propoziţia Dacă {T } ese un C -semigrup aunci exisă ω R şi o normă ecivalenă e pe X asfel încâ T ()x e e ω x e penru orice x X şi orice. Demonsraţie: Din proprieaea de creşere exponenţială exisă M, ω R, M 1, asfel încâ T ()x Me ω x penru orice şi orice x X. Definim x e = sup e ω T ()x ( M), x X, şi observăm că x x e M x şi αx e = α x e penru orice x X şi α R. Deasemenea x e = implică x = adică x =. Mai mul x + y e = sup e ω T ()x + T ()y sup e ω T ()s + sup e ω T ()y = = x e + y e, x, y X. 27

34 Prin urmare e ese o normă ecivalenă cu norma iniţială. În sfârşi T ()x e = sup τ e ω T ( + τ)x = sup e ω(s ) T (s)x s e ω sup e ωs T (s)x = e ω x e, R +, x X. s Teorema Un operaor liniar A : D(A) X X, unde X ese un spaţiu Banac, ese generaorul infiniezimal al unui C -semigrup {T } care saisface T () Me ω, penru orice dacă şi numai dacă D(A) ese dens în X, R(λI A) = X penru orice λ > suficien de mic, exisă o normă ecivalenă e pe X asfel încâ ωi A ese acreiv în rapor cu norma e şi T ()x e e ω x e penru orice şi penru orice x X. Demonsraţie: Necesiaea: Conform Propoziţiei exisă ω R şi o normă ecivalenă e asfel încâ T ()x e e ω x e, penru orice x X şi penru orice. Definim F λ B(X) penru λ > şi λω < 1 prin şi observăm că F λ x = 1 λ F λ x e x e λ e /λ T ()xd, x X, e (ω 1/λ) d = x e 1 1 λω, penru orice x X, şi λ > cu λω < 1. Deasemenea, dacă > şi x X avem 1 (T () I)F λx = 1 λ = 1 λ e /λ (T ( + )x T ()x)d e (τ )/λ T (τ)xdτ 1 λ e τ/λ T (τ)xdτ = 1 (e/λ 1)F λ x 1 λ e/λ 1 + λ F λx 1 λ x e τ/λ T (τ)xdτ Prin urmare F λ x D(A) şi λaf λ x = F λx x penru orice x X. De aici deducem că R(I λa) = X şi (I λa)f λ = I. Folosind lineariaea lui A şi fapul că A ese încis, observăm că penru orice x D(A) avem λf λ Ax = e /λ T ()Axd = A(e /λ T ()x)d ( ) = A e /λ T ()xd = λaf λ x 28

35 Asfel am obţinu că (I λa)f λ x = F λ (I λa)x = x penru orice x D(A). Prin urmare I λa ese inversabil cu (I λa) 1 = F λ B(X). Mai depare, penru λ > λ cu λω < 1 dacă luăm µ = 1 λω, aunci esimarea precedenă penru F λx e implică fapul că x + µ(ωi A)x e = (1 λω) 1 (1 λω)x + λ(ωi A)x e = (1 λω) 1 (I λa)x e x e penru orice x D(A). Prin urmare ωi A ese acreiv. D(A) ese dens în X, penru că A ese generaorul unui semigrup. Asfel, demonsraţia necesiăţii ese finalizaă. Suficienţa: Fiind daă norma e asfel încâ x+µ(ωi A)x e x e penru orice x D(A), şi penru orice µ >, fiind da λ > asfel încâ λ ω < 1 şi R(I λa) = X penru orice λ (, λ ) penru orice λ (, λ ) avem x µ 1 + µω Ax e µω x e µ penru orice x X, µ > cu µω > 1. Definind λ = observăm că 1 + µω x λax (1 λω) x e penru orice x D(A) şi λ (, λ ). De aici deducem că I λa ese inversabil pe R(I λa) = X penru < λ < λ. Dacă definim J λ = (I λa) 1 1 B(X) penru λ (, λ ) aunci J λ x e 1 λω x e penru x X. Prin urmare J λ ese operaor încis penru λ (, λ ) şi prin urmare A ese încis. Mai depare, deoarece I λa ese inversabil penru λ suficien de mic (λ (, λ )), puem afirma că ( 1 λ, ) ρ(a). Deasemenea, din inegaliaea J λ x e (1 λω) 1 x e, penru orice x X, deducem că penru µ > 1 λ avem R(µ, A) e = 1 µ J 1 e 1 1 µ µ 1 ω µ = 1 µ ω 1 µ 1 λ. Deoarece norma e ese ecivalenă cu norma iniţială, deducem că exisă a, b > asfel încâ a x x e b x. Folosind inegaliăţile de mai sus obţinem că R(µ; A) n 1 1 (µ ω) n ( ) n. Asfel, folosind ecivalenţa normelor obţinem µ 1 λ R(µ; A) n x 1 a R(µ; A)n x e 1 x e a (µ ω) 1 x ( e ) n n b x ) n. a µ 1 a λ (µ 1λ Noând cu M = b/a obţinem că operaorul A verifică şi condiţia a reia din Teorema Hille Yosida, şi asfel A ese generaorul unui C -semigrup {T }. Deoarece T ()x e e ω x e avem în aceeaşi manieră ca şi mai sus T ()x 1 a T ()x e 1 a eω x e b a eω x Me ω x. 29

36 Aplicaţii ale Teoremei se po găsi în [16]. Penru aplicaţii avem nevoie de urmăoarea eoremă, care face legăura înre C - semigrupuri şi problemele Caucy. Teorema ( Teorema de exisenţă şi uniciae penru problema Caucy neomogenă ) Fie A generaorul infiniezimal al C -semigrupului {T } şi f : R + X, f de clasă C 1 pe R +. Problema Caucy { ẋ() = Ax() + f() are soluţie unică daă de x() x() = T ()x + = x D(A) T ( s)f(s)ds. Demonsraţie: Noăm y() = Făcând scimbarea de variabilă τ = s obţinem Mai depare calculăm y() = T ( s)f(s)ds şi arăăm că ẏ() = Ay() + f(). T (τ)f( τ)dτ. y( + ) y() = 1 = 1 = + T (τ)f( + τ)dτ 1 T (τ)(f( + τ) f( τ))dτ + 1 T (τ) f( + τ) f( τ) dτ + 1 T (τ)f( τ)dτ = + + T (τ)f( + τ)dτ = T (τ)f( + τ)dτ. Mai depare, lim f( + τ) f( τ) oricare ar fi τ [, ]. + τ) f( τ) lim T (τ)f( = f ( τ), de unde obţinem că = T (τ)f ( τ), Folosind Teorema lui Lagrange şi noând cu S = sup Me ωs cu M, ω din proprieaea s [,] de creşere exponenţială, avem + τ) f( τ) T (τ)f( = T (τ)f (c) S sup c [,2] 3 f (c), [, ].

37 Din Teorema Convergenţei Dominae a lui Lebesgue, obţinem că Prin urmare f( + τ) f( τ) lim T (τ) dτ = + y( + ) y() lim = lim T (τ) lim = de unde rezulă că y e derivabilă şi Mai depare avem ẏ() = T (τ)f ( τ)dτ. f( + τ) f( τ) dτ+ T (τ)f( + τ)dτ = T (τ)f ( τ)dτ + T ()f(), T (τ)f ( τ)dτ + T ()f(). T ()y() y() = T ( + s)f(s)ds T ( s)f(s)ds şi y( + ) y() = T ( + s)f(s)ds T ( s)f(s)ds + Combinând cele două rezulae de mai sus obţinem + T ( + s)f(s)ds. T ()y() y() = y( + ) y() + T ( + s)f(s)ds = y( + ) y() = 1 + T ( + s)f(s)ds Asfel obţinem că T ()y() y() lim + = ẏ() T ()f() = ẏ() f(). Prin urmare y() D(A) şi Ay() = ẏ() f(), de unde rezulă că ẏ() = Ay()+f(). Înlocuind în expresia lui ẋ() obţinem ẋ() = AT ()x + Ay() + f() = Ax() + f(). 31

38 Condiţia x() = x ese eviden verificaă, ceea ce ne araă că x ese soluţie penru problema Caucy din enunţul Teoremei. Având verificaă exisenţa soluţiei, să demonsrăm şi uniciaea aceseia. Presupunem prin absurd că ar exisa două soluţii x 1, x 2 penru problema Caucy consideraă. Aunci, dacă noăm z() = x 1 () x 2 () observăm că z verifică problema Caucy { ż() = Az(). z() = Penru > definim pe inervalul [, ] funcţia u(s) = T ( s)z(s) şi observăm că u(s) = T ( s)az(s) + T ( s)az(s) =, s [, ]. Aces rezula ne araă că u ese consană pe [, ] şi în consecinţă u() = u(), fap ce se raduce ecivalen prin T ()z() = z() =. Prin urmare z ese funcţia idenic nulă şi x 1 x 2. Luând în Teorema precedenă funcţia f ca fiind funcţia idenic nulă obţinem colorarul urmăor. Corolarul Fie A generaorul infiniezimal al C -semigrupului {T }. Problema Caucy { ẋ() = Ax() are soluţie unică daă de x() = x D(A) x() = T ()x. 2.2 Aplicaţii Vom vedea în coninuare cum se po aplica eoremele demonsrae mai sus în demonsrarea fapului că un operaor ese înr-adevăr generaorul unui C -semigrup. Aplicaţia 1. ([15]) Operaorul A : D(A) L 2 (, π) L 2 (, π), defini prin { D(A) = H 1 (Ω) H 2 (Ω) Au = u penru u D(A) ese generaorul infiniezimal al unui C -semigrup de conracţii. Demonsraţie: Vom aplica Teorema Hille Yosida penru M = 1 şi ω = pe spaţiul X = L 2 (, π). Din definiţia spaţiului H 2 (, π) rezulă că D(A) ese dens în L 2 (, π) (vezi [3]). Mai depare, vrem să arăăm că penru orice λ > operaorul λi A ese bijeciv. Penru aceasa considerăm f L 2 (, π) şi observăm că ecuaţia (λi A)u = f se rescrie ecivalen sub forma { λu u = f. u(p) = u(π) = 32