Verovatnoća i Statistika. II deo. Osnovi Statistike. Beleške Prof. Aleksandra Ivića

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Verovatnoća i Statistika. II deo. Osnovi Statistike. Beleške Prof. Aleksandra Ivića"

Transcript

1 Verovatoća i Statistika II deo. Osovi Statistike Beleške Prof. Aleksadra Ivića 0.1 Osove statističke veličie Osovi zadatak matematičke statistike sastoji se u tome da se iz jedog dela eke geerale kolekcije (skupa) predmeta zaključi o ekom kvatitativom svojstvu cele kolekcije. Deo koji se ispituje zove se uzorak, a aš cilj ovde je da se upozamo sa ekim osovim uzoračkim statistikama. Neka je izvršeo posmatraja uzoraka pri čemu je 1 puta registrovaa vredost x 1, puta vredost x,..., k puta vredost x k, pri čemu je k =. Ozačimo sa x broj posmatraja slučaje veličie X u kojima je zabeležea vredost maja od x. Fukcija F (x) = x / je empirijska fukcija raspodele X, a povezaa je sa teorijskom fukcijom raspodele F (x) preko relacije P { sup F (x) F (x) 0, x (, ) } = 1, (1) koja predstavlja jeda od oblika cetrale graiče teoreme. Iz (1) sledi da se za veliko fukcija raspodele F (x) može dobro aproksimirati sa empirijskom fukcijom F (x), u čemu se i ogleda jeda od osovih pricipa statistike, a utvr - divaje oblika fukcije raspodele ispitivae slučaje promeljive X je jeda od osovih problema statistike. Primer 4.1. Naći empirijsku fukciju raspodele za sledeći uzorak: x i i Ovde je obim uzoraka = = 50, a kako je x i 1 to je F (x) = x / = 0 za x 1. Izme - du x = 1 i x < 3 je samo vredost x = 1, te je F (x)/ = 10/50 = 0, za 1 < x 3. Nastavljajući tako dobija se F (x) = 0 x 1, 0, 1 < x 3, 0, 5 3 < x 8, 1 x > 8. Ukoliko je moguće sazati da se radi o ekoj raspodeli kao što je bioma, ormala, Puasoova itd., oda se kao važa problem javlja ocea pojediih parametara kao pr. parametra 1

2 λ u Puasoovoj raspodeli ili parametara µ i σ u ormaloj raspodeli. Ako se uočee vredosti x 1, x,..., x iterpretiraju kao vredosti slučajih promeljivih X 1, X,..., X, tada ćemo smatrati da su te slučaje promeljive ezavise i da sve imaju istu raspodelu, tj. da se radi o prostom slučajom uzorku. Da bi smo oceili parametar θ koji se pojavljuju u fukciji raspodele posmatraćemo fukciju θ = f(x 1, X,..., X ), koja služi kao tačkasta statistička ocea epozatog parametra. Ovde fukcija f treba da bude podeso izabraa tako da zadovoljava eka svojstva, kao što su: a) cetriraost: E(θ ) = θ, b) efikasost: σ (θ ) = mi σ (θ ), gde je θ bilo koja druga ocea parametra θ, c) stabilost: P (sup θ θ 0, ) = 1, pri čemu je θ vredost slučaje promeljive θ koja je registrovaa u uzorku, a σ je varijasa, kao što je uvedeo u glavi o verovatoći, dok je E matematičko očekivaje. Ovde ćemo pomeuti eke osove uzoračke sredie i statistike. Opet pretpostavimo da ima k veličia x 1, x,..., x k koje se javljaju 1,,..., odoso k puta, pri čemu je x 1 < x < < x k. Aritmetička sredia x 1, x,..., x k je A = x = x 1 + x + + x k, () k dok je aritmetička sredia sa težiama (tzv. poderisaa sredia) A = x = 1x 1 + x + + k x k k. (3) Geometrijska težia x 1, x,..., x k (x 1, x,..., x k 0) je G = k x 1 x x k, (4) dok je geometrijska sredia sa težiama (poderisaa geometrijska sredia) G = ( x 1 1 x x k Najzad, harmoijska sredia x 1, x,..., x k je k ) k (5) k H = , (6) x 1 x x k dok je harmoijska sredia sa težiama (poderisaa harmoijska sredia)

3 Za odgovarajuće sredie (sa ili bez težia) važi uvek H = k (7) k x 1 x x k x 1 < H < G < A < x k, (8) što zači da je svaka sredia veća od ajmajeg, a maja od ajvećeg me - du brojevima x 1, x,..., x k. Prva i posledja ejedakost u (8) su očiglede, a ostale ejedakosti slede iz A G, pri čemu zak jedakosti važi samo ako su svi brojevi x i jedaki. Da se to vidi, primetimo da za f(x) = e x x 1 važi f (x) = e x 1, f (x) = e x 0 ( x), pa za x = 0 fukcija f(x) dostiže miimum f(0) = 0. Stoga je f(x) = e x x 1 f(0) = 0, e x 1 x ( x), smeom x sa x 1 u prvoj ejedakosti. Ako se stavi x = x i /A i izmože astale ejedakosti za i = 1,..., k, dobiće se k k (x x e i/a 1) i A. No zbog A = (x 1 + x k )/k leva straa je jedaka e (x x k )/A k = e 0 = 1, pa sledi 1 (x 1 x k )/A k, tj. A (x 1 x k ) 1/k = G, što je i trebalo pokazati. Pored avedeih sredia koriste se i druge sredje vredosti. Medijaa (cetrala vredost) je oa sredja vredost promeljive X koja deli celokupu masu raspodela a dva jedaka dela, tj. zadovoljava jedačiu F (x) = 1/, gde je F (x) fukcija raspodele X. Medijaa se obeležava sa µ e i uvek postoji. Ako F (x) ima gustiu f(x), oda je µ e f(x) dx = µ e f(x) dx. (9) Sredje apsoluto odstupaje slučaje promeljive X od očekivae vredosti µ = EX je e m = E( X µ ). Ukoliko je X eprekida slučaja promeljiva sa gustiom f(x), oda je e m = x µ f(x) dx, (10) a u slučaju diskrete slučaje promeljive običo sredje apsoluto odstupaje je e m = 1 k ( x 1 x + x x + + x k x ), (11) 3

4 dok je sredje apsoluto odstupaje sa težiom e m = 1 x 1 x + x x + + k x k x k, (1) pri čemu je x odgovarajuća aritmetička sredia. Ako su X 1, X,..., X ezavise slučaje promeljive sa istom raspodelom, oda su osove statističke sledeće: a) uzoračka sredia X b) uzoračka disperzija S c) korigovaa disperzija S 0. Neke raspodele statistike X = X 1 + X + + X, (13) ( S X1 = X ) ( + X X ) ( + + X X ), (14) S = S 1. (15) U delu ovoga teksta o verovatoći upozali smo se sa ekim od osovih raspodela slučajih promeljivih. Sem tih, postoji još i odre - de broj raspodela koje su od izuzetog začaja u statistici, te ćemo ovde dati pregled ekih od jih. 1. Log ormala raspodela. Fukcija gustie je 1 (l x b) ax π e a x > 0 (a > 0), f(x) = 0 x 0. (16) Da se pokaže da je ovo doista gustia primetimo da je, smeom l x b a = y, dx ax = dy, f(x) dx = Ovde je k ti momet EX k = e bk+ 1 a k, pa je 0 1 ax (l x b) π e a dx = 1 e y dy = 1. π ( ) µ = EX = e b+ 1 a, σ = VarX = µ e 1 a 1. 4

5 . Vejbulova raspodela (Weibull). Za x > x 0 fukcija gustie je ( ) ( ) b b x b 1 x x0 0 x θ x f(x) = e 0, (17) x x 0 θ x 0 gde su x 0, θ i b parametri raspodele, a za x x 0 ja f(x) = χ raspodela (hi-kvadrat). Neka su X 1, X,..., X ( ) ezavise slučaje promeljive sa ormalim raspodelama koje imaju parametre µ i i σ i (i = 1,,..., ) i eka je ( ) X1 µ ( ) 1 X µ ( X µ Z = σ 1 ova slučaja promeljiva. Tada Z ima raspodelu sa gustiom σ σ ) ( 1 z f(z) = Γ( ) ) 1 e z z 0, 0 z < 0, (18) koja se zove χ raspodela. Broj aziva se broj stepea slobode i ukoliko izme - du slučajih promeljivih X 1, X,..., X postoji eka veza o se smajuje za ooliko koliko postoji veza. Za dato i α alazi se vredost χ α tako da je P {χ χ α} = α iz posebih tablica. Takve tablice se ajčešće prave do = 30, jer za > 30 promeljiva χ a ima približo ormalu raspodelu. Da se vidi da je (18) gustia, primetimo da je (z = x) f(z) dz = 1 Γ ( ) po defiiciji gama-fukcije. 0 ( z ) 1 e z 1 dz = Γ ( ) 0 x 1 e x dx = 1 4. Studetova raspodela. Dobila ime po hemičaru W.S. Gosset-u, koji je u svojim aučim radovima koristio pseudoim studet. Ako Y ima ormalu raspodelu sa parametrima µ = 0 i σ = 1, a Z ima χ raspodelu i Y i Z su ezavise promeljive, tada promeljiva t = Y/ Z/ ima Studetovu raspodelu sa gustiom ( +1 ) f(x) = 1 ( Γ π Γ ( ) 1 + x Da se vidi da je (19) gustia podimo - od ( ) f(x) dx = Γ +1 π Γ ( ) ) (+1) ( 0, < x <. (19) 1 + x ) (+1) jer je f(x) para fukcija. Ako se izvrši smea 1 + x = 1 u, x = ( ) 1 1/ u 1, dx = (1 u) 1/ u 3/ du, 5 dx,

6 sledi da je itegral a desoj strai jedak 1 0 u / 1 (1 u) 1/ 1 du = jer je po svojstvu tzv. beta-itegrala i gama-fukcije Γ( )Γ( 1 ) π Γ( +1 ) = Γ( ) Γ( +1 ), 1 0 x p 1 (1 x) q 1 dx = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) (p, q > 0) i Γ( 1 ) = π. Stoga je f(x) dx = 1, pa je (19) zaista gustia. Ovde je µ = EX = 0, σ = za >, a se zove stepe slobode. Kao i za χ raspodelu i za Studetovu raspodelu se koriste posebe tablice. 5. Fišerova raspodela (Fisher). Gustia raspodele je, za date brojeve m, N, >, f m, (x) = Γ ( ) m+ Γ ( ) ( m Γ ) x m 1 (1 + x) m+, x > 0, 0 x 0. (0) Ovde je σ = µ = m m(m + ) ( ) ( 4) (za > ), (za > 4). Promeljiva F m, koja ima gustiu (0) ima F -raspodelu sa (m, ) stepea slobode. Smeom X = m F m, dobija se promeljiva koja ima tzv. Sedecor-ovu F -raspodelu sa ν 1 i ν stepea slobode i gustiom ν 1 ν f(x) = ν1 ν Γ ( ν 1 +ν ) Γ ( ν 1 ) Γ ( ν )x ν1 1 (ν + ν 1 x) ν 1 +ν, (x > 0). (1) Da su fukcije u (0) i (1) zaista gustie, dokazuje se svo - dejem a beta-itegral kao u slučaju Studetove raspodele. 6

7 0.3 Itervali poveraja U primei statistike začaje su tzv. itervale ocee koje ćemo prikazati u ovom odeljku. Ako je θ epozati parametar raspodele, a θ jegova tačkasta ocea, oda je verovatoća P { θ θ < δ} = P {θ δ < θ < θ + δ} = α () pouzdaost ocee parametra θ pomoću θ, a iterval I = (θ δ, θ + δ) (3) je iterval povereja za parametar θ. Verovatoća α u () se često aziva koeficijet sigurosti, a suprota verovatoća 1 α se zove koeficijet rizika. U praksi se javlja više itervala povereja, od kojih ćemo spomeuti eke začajije. 1. Iterval povereja za matematičko očekivaje µ kada je pozata varijasa σ Koristi se čijeica da kod velikog uzorka statistika X (v. (13)) ima asimptotski ormalu σ raspodelu sa parametrima µ i, a kod malog broja uzoraka pretpostavlja se da promeljiva X ima ormalu raspodelu sa parametrima µ i σ. Tada važi gde se vredosti fukcije } σ σ P {X z α < µ < X + z α = Φ (z α ), Φ(z) = 1 π z 0 e x dx očitavaju iz posebih tablica. Ovde je zači iterval povereja oblika ) σ σ I = (X z α, X + z α. (4) Primer 4.. Pri aalizi materijala utvr - deo je da je stadaro odstupaje gvož - da u jemu 18 %. Naći 95 %-ti iterval povereja za taču vredost sadržie gvož - da u materijalu ako se a osovu 8 aaliza dobije sredja sadržaost gvož - da od 43, 18 %. U ovom primeru je α = 0, 95, = 8, σ = 0, 18, X = 43, 18, a potrebo je odrediti z 0,95. Iz relacije Φ(z 0,95 ) = 0, 95 i tablice alazi se z 0,95 = 1, 96, pa je a osovu (4) tražei iterval povereja [ ] 0, 18 0, 18 43, 18 1, 96 ; 43, , 96 = [43, 055; 43, 305]

8 . Iterval povereja za matematičko očekivaje µ kada je varijasa σ epozata Pretpostavlja se da promeljiva X ima ormalu raspodelu sa parametrima µ i σ uvodi statistika t 1 = 1 X µ S, (5) koja ima Studetovu raspodelu sa gustiom (19) i 1 stepea slobode. Tada je { } X µ α = P 1 S t 1,α, gde je t 1,α = t 1,1 α veličia koja se odre - duje iz tablica za Studetovu raspodelu. Iterval povereja glasi ovde I = [ X t 1,α 1 S, ] X + t 1,α S Iterval povereja za epozatu varijasa σ Ako su X 1, X,..., X promeljive sa ormalom raspodelom koja ima parametre µ i σ, oda statistika S σ ima χ 1 raspodelu, te se iz tablica ove raspodele za dato i α alazi veličia χ 1,α za koju je α = P { S σ } { χ S 1,α = P χ 1,α σ }. Tada je tzv. jedostrai iterval povereja σ oblika [ 0, ] S χ 1,α. (6) Ako je dalje χ 1,α = χ 1, α 1, χ 1,α = χ 1, α+1, 8

9 oda je 1 α = P { S σ χ 1,α }, 1 α = P { S σ χ 1,α }, pa je tzv. dvostrai iterval povereja za σ oblika [ S, χ 1,α ] S. (7) χ 1,α 4. Iterval povereja za epozatu verovatoću p Neka je m broj realizacija doga - daja A u ezavisih opita, a p epozata verovatoća realizacije doga - daja A u samo jedom opitu. Tada važi { } m p α = P z α, p(1 p) gde se kao u itervalu pomeraja (4) vredost z α čita iz tablice za ormalu raspodelu, tj. Φ (z α ) = α, gde je isto kao i raije Iterval povereja za p glasi oda Φ(x) = 1 π I = m + z α + z α z α m + z α + z α + z α x 0 e y dy. (8) m( m) m( m) + ( ) zα +, ( ) zα. 0.4 Testiraje statističkih hipoteza Na osovu teorijskih ili ituitivih razliga često se u toku razih ispitivaja vrši testiraje hipoteze H da vredost parametra θ fukcije raspodele F (X, θ) promeljive X ima vredost θ 0, što se ozačava kao H(θ = θ 0 ). Drugi začaja problem je testiraje hipoteze θ 1 = θ, gde su θ 1 i θ parametri u fukcijama raspodele F 1 (X, θ 1 ) i F (Y, θ ) promeljive X odoso Y. Postupak testiraja se sastoji u formiraju statistike U = U (X 1, X,..., X ), gde je (X 1, X,..., X ) prost uzorak obeležja X i registrovaju vredosti statistike U iz dobijeog uzorka. Zatim se izračuava verovatoća odstupaja registrovae vredosti statistike U od očekivae vredosti (pod uslovom da je hipoteza H(θ = θ 0 ) tača), pa ako je ta verovatoća 9

10 maja od izabrae verovatoće (koja se aziva prag začajosti), oda se hipoteza H(θ = θ 0 ) odbacuje, a ako je veća ili jedaka α, može se kostatovati da uzorak e protivreči hipotezi H(θ = θ 0 ). Prag začajosti α se bira u zavisosti od prirode problema, a ajčešće se uzima α = 0, 01 ili α = 0, 05. Ovde će biti opisa postupak za testiraje ekoliko ajčešće statističkih hipoteza. Valja apomeuti da prilikom testiraja hipoteza dolazi do tzv. grešaka prve i druge vrste. Greške prve vrste astaju kada se odbacuje hipoteza iako je oa ustvari tača, a greške druge vrste astaju kada se prihvata hipoteza iako je oa pogreša. 1. Testiraje hipoteze H(µ = µ 0 ) ako je varijasa σ pozata Pretpostavimo da promeljiva X ima ormalu raspodelu sa parametrima µ i σ (ako je 30, tj. uzorak dovoljo veliki, oda ta pretpostavka ije potreba) i formirajmo statistiku X = 1 X i, gde je (X 1, X,..., X ) prost uzorak obeležja X, a x vredost statistike X koja je registrovaa u uzorku. Iz teorije verovatoće je pozato da tada važi { X P µ 0 x µ 0 } = 1 Φ x µ 0 σ, (9) gde je Φ dato preko (8). Ako desu strau (9) ozačimo sa α, oda je zaključak sledeći: ako je α α gde je α dati prag začajosti, oda se hipoteza H(µ = µ 0 ) odbacuje, a ako je α > α oda uzorak e protivreči hipotezi. Ovde je verovatoća astaka greške prve vrste jedaka izabraom pragu začajosti α. Što se tiče greške druge vrste, oa se ovde odre - duje a sledeći ači. Ako Z ima ormalu raspodelu sa parametrima 0 i 1, tada se za dato x iz tablica odre - duje broj z α tako da važi P { Z < z α } = α. Neka je sada tača hipoteza H(µ = µ 1 ), a mi smo prihvatili hipotezu H(µ = µ 0 ), pri čemu µ µ 1. Verovatoća da se ovo dogodi (tj. verovatoća greške druge vrste) izosi P { z α d Z 1 z α d }, gde je d = µ 1 µ 0, a Z 1 je slučaja promeljiva koja ima ormalu raspodelu sa parametrima σ 0 i 1. Primer 4.3. Pozato je da se proceat metala u rudi p dobija sa odstupajem σ = 0, 03. Ako su izmeree vredosti proceata jedake 7, 14; 7, 17; 7, 15; 7, 1; 7, 14; 7, 16; testirati, sa pragom začajosti α = 0, 05, hipotezu µ = 7,

11 Ovde je = 6, µ 0 = 7, 15, σ = 0, 03, x = 7, Stoga je 1 Φ te stoga uzorak e protivreči hipotezi. ( ) x µ 0 σ/ = 1 Φ(0, 694) = 1 0, 106 = 0, 788,. Testiraje hipoteze H(µ = µ 0 ) ako je varijasa σ epozata Neka obeležje X ima ormalu raspodelu sa parametrima µ i σ i eka je t 1 = X µ 0, S 1 pri čemu je S dato preko (14), a sa t 1 će se ozačavati registrovaa vredost statistike t 1. Promeljiva t 1 ima Studetovu raspodelu, i za dato i α iz tablica se odreduje - veličia t 1,α za koju važi P { t 1 t 1,α } = α. Ako t 1 t 1,α, tada se hipoteza H(µ = µ 0 ) odbacuje, a ako je t 1 < t 1,α, oda uzorak e protivreči hipotezi H(µ = µ 0 ). 3. Testiraje hipoteze H(µ 1 = µ ) ako je σ 1 = σ Pretpostavimo da obeležje X ima ormalu raspodelu sa parametrima µ 1 i σ 1, a obeležje Y ormalu raspodelu sa parametrima µ i σ. Ako je σ1 = σ, tada statistika X 1 Y 1 S 1 (X) + S (Y ) ( 1 + ) ima raspodelu Studeta sa 1 + stepea slobode, tj. t 1 +. Ako se kao i malopre sa t 1 + ozači registrovaa vredost statistike t 1 +, oda važi sledeći zaključak: ako je t 1 + t 1 +,α tada se hipoteza H(µ 1 = µ ) odbacuje, a ako je t 1 + < t 1 +,α, oda uzorak e protivreči hipotezi H(µ 1 = µ ). 4. Testiraje hipoteze H(σ = σ 0 ) Neka je s registrovaa vredost statistike S, a α = P { } { S s = P χ 1 s } σ0. 11

12 Ako je α α, gde je α dati prag začajosti, hipoteza H ( σ = σ 0) se odbacuje, a ako je α > α oda uzorak e protivreči hipotezi H ( σ = σ 0). 5. Testiraje hipoteze H(σ 1 = σ ) Pretpostavimo da X i Y imaju ormalu raspodelu sa parametrima µ 1 i σ 1, odoso µ i σ. Tada statistika 1 S 1 (X) 1 1 S (Y ) 1 = F 1 1, 1 ima Sedekorovu F raspodelu sa parametrima ν 1 = 1 1, ν = 1. U tablicama F fukcije se za dato 1, i α alazi vredost F 1 1, 1,α tako da je P {F 1 1, 1 F 1 1, 1,α} = α. Ukoliko je F 1 1, 1 F 1 1, 1,α oda se hipoteza H(σ1 = σ ) odbacuje, a u protivom uzorak joj e protivreči. 6. Testiraje hipoteze H(µ 1 = µ ) ako je σ 1 σ Formira se statistika t X 1 Y = S 1 (X) + S (Y ) 1. Neka je 1 = = i t registrovaa vredost statistike t. Ako je t t 1,α (jer t ima Studetovu raspodelu) hipoteza H(µ 1 = µ ) se odbacuje, a u suprotom uzorak joj e protivreči. Ako je 1, vredost t statistike t se uporeduje - sa t α = S t 1 (X) S 1 1,α + t (Y ) 1,α 1 S 1 (X) + S (Y ) 1, i ako je t t α hipoteza H(µ 1 = µ ) se odbacuje, a u suprotom joj uzorak e protivreči. 1

13 7. Testiraje hipoteze H(p = p 0 ) Ovo je tzv. testiraje pomoću proporcije uzoraka. Iz osovog skupa se uzima uzorak od elemeata ( 30) i posmatra m od jih sa uočeim svojstvima. Ako se stavi p = m/, tada slučaja promeljiva t = p p 0 p(1 p) ima ormalu raspodelu sa parametrima 0 i 1. Ako je t registrovaa vredost statistike t i t > z α, gde je kao i raije Φ(z α ) = α, oda se hipoteza H(p = p 0 ) odbacuje, dok u suprotom uzorak e protivreči hipotezi H(p = p 0 ). 8. Testiraje hipoteze H(p 1 = p ) Postupak je sliča kao u prethodom slučaju. Neka su iz dva osova skupa sa epozatim proporcijama p 1 i p ekog svojstva uzeta dva velika uzorka sa statističkim verovatoćama p 1 i p. Ako je p = m 1+m 1 +, tada slučaja promeljiva t = p 1 p ( 1 p(1 p) + 1 ) 1 ima ormalu raspodelu sa parametrima 0 i 1. Ako je t z α hipoteza H(p 1 = p ) se odbacuje, a u protivom uzorak e protivreči hipotezi H(p 1 = p ). 9. Pearso-ov χ test Ovaj test se koristi za testiraje hipoteze o tome da li je F (x) fukcija raspodele obeležja X. Neka je (X 1, X,..., X ) uzorak obeležja X, S 1, S,..., S r disjukti podskupovi skupa realih brojeva R tako da je r S i = R, p i = P {X S i } (i = 1,..., r) pod pretpostavkom da je F (x) fukcija raspodele obeležja X. Dalje, eka je m i (i = 1,..., r) broj slučajih promeljivih iz uzorka (x 1,..., x ) čije su vredosti S i, r m i =. Tada je E(m i ) = pi, a r χ (m i pi ) = pi 13

14 Pearso ova statistika. Nje začaj je u tome što je, za veliko, χ χ r 1, tj. χ raspodela sa r 1 stepea slobode. Dalje se sa χ statistikom postupa kao sa običom χ r 1 promeljivom. Postoji jeda jedostava test (tzv. test Romaovskog) i hipoteza o raspodeli F (x) se prihvata ako je χ (r 1 k) 3 (r 1 k), a u protivom se odbacuje. Ovde se parametri θ 1, θ,..., θ k koji figurišu u fukciji raspodele F (x) zamejuju odgovarajućim uzoračkim oceama. 0.5 Aaliza varijase Ovde se javlja tzv. jedofaktorski, odoso dvofaktorski (ili čak višefaktorski) problem. Matematički model jedofaktorska problema je sledeći: jeda faktor ima k ivoa koji se mogu opisati kvatitativo ili kvalitativo. Neka je X obeležje koje ispitujemo, i u j-tom ivou biramo prost uzorak veličie j : (X j1, X j,..., X ji ) j = 1,,..., k. Ako se sa m j ozači matematičko očekivaje obeležja X u populaciji koja je pod dejstvom j-tog ivoa uočeog faktora, oda se µ j = m j EX aziva efekat j-tog ivoa. Pretpostavlja se da je X ji = m + µ + ε ij, (i = 1,..., j = 1,..., k) gde su ε ij ezavise slučaje veličie koje imaju ormalu raspodelu sa parametrima 0 σ. Ovde se pretpostavlja da je dejstvo faktora aditivo (dodavaje µ j pojediim ivoima), a da su slučaje veličie ε ij ormalo raspore - dee sa istom varijasom. Ovo posledje često ije ispujeo u praksi te su razra - dei razi postupci kojima se taj edostatak otklaja. U praksi se često postupa a sledeći ači: uvedu se ozake Dalje se formira statistika j X j = 1 X ji, j (j = 1,,..., k) X = 1 k j k X ji, = j j=1 j=1 k j ( ) B = X ji X, k C = j X j X. j=1 j=1 14

15 ( k)c F k l, k = (k l)b i vrši upore - divaje registrovae vredosti F k l, k statistike F k l, k sa vredošću F k l, k,α iz tablica. Ako je F k l, k F k l, k,α, oda hipotezu H (µ 1 = µ = = µ k = 0) odbacujemo, a u suprotom uzorak e protivreči hipotezi. Kod dvofaktorskog problema imamo dva uzorka, recimo x 11, x 1,..., x 11 x 1, x,..., x, i a koje deluju faktori A 1, odoso A. Aritmetičke sredie i varijase posmatraih uzoraka su odoso x 1 = 1 1 x 1i, x = 1 x j, 1 j=1 s 1 = 1 1 (x 1i x 1 ), s = 1 (x j x ). 1 j=1 Ukupa aritmetička sredia uzorka će biti a totala disperzija S t će biti x = 1x 1 + x 1 +, što se može pisati kao 1 St = (x 1i x) + (x j x), j=1 gde smo stavili S t = S r + S A, 15

16 1 Sr = (x 1i x 1 ) + (x j x ) = 1 s 1 + s, j=1 SA = 1 (x 1 x) + (x x). Ako se još uvedu veličie W t = S r 1 1, W A = S A 1, W r = S r 1 + 1, oda je W t ocea varijase osovog skupa, W A je varijasa sredie dve grupe uzoraka i zove se faktorska varijasa, a W r je ocea varijase osovog skupa iz koga je elimiisa uticaj faktora A 1 i A, i zove se reziduala varijasa. Ako faktori A 1 i A emaju različita dejstva, tada varijase W A i W r treba da predstavljaju istu varijasu tj. da se malo razlikuju, te jihov količik treba da je blizak jediici. U praksi se formira statistika F 1,1 + = W A W r = ( 1 + ) S A S r koja ima F raspodelu sa parametrima 1 i 1 +. Dalji postupak je oda isti kao kod jedofaktorskog problema. 0.6 Korelacija i regresija Koeficijet korelacije dve slučaje promeljive X i Y defiisa je u poglavlju o verovatoći kao ϱ = E(X EX)(Y EY ) E(X EX) E(X EX)(Y EY ) =, E(Y EY ) σ x σ y gde je σx varijasa X, a σy varijasa Y. Za koeficijet korelacije važi uvek 1 ϱ 1. Dalje ϱ = 1 ako izmedu - X i Y postoji lieara zavisost, tj. Y = AX + B, dok je ϱ = 0 ako su X i Y dve ezavise slučaje promeljive. Ako je 0 < ϱ < 1, kažemo da izmedu - X i Y postoji delimiča ili stohastička lieara zavisost. Ako je ϱ blisko jediici, oda se kaže da postoji visoka korelacioa ili jaka stohastička veza izmedu - X i Y. Takode - valja reći da se koeficijet korelacije ϱ e meja ako se X i Y zamee proizvoljim liearim fukcijama, odoso ako se umesto X i Y posmatraju ove promeljive ξ = ax + b, η = cy + d. Ako želimo da proceimo ρ a osovu izmereog uzorka (x 1, y 1 ),..., (x, y ) oda se koriste uzoračke sredie σx (x i x) =, σ (y i ȳ) y =, 16

17 gde je x = (x x ), ȳ = (y y ). Za E(X EX)(Y EY ) = E(XY ) EX EY koristi se izraz (x i x)(y i ȳ), pa se oda dobija tzv. uzorački koeficijet korelacije ρ = (x i x)(y i ȳ). (x i x) (y i ȳ) Za gorji izraz ejedakost ρ 1 eposredo sledi iz ejedakosti Koši Švarca Naime, kvadrata fukcija ( ) a i b i a i b i (a i, b i 0, i = 1,..., ). f(x) = (a i xb i ) = b i x a i b i x + a i je eegativa, pa jea diskrimiata D = b 4ac mora biti epozitiva, tj. ( ) D = 4 a i b i 4 a i b i 0, odakle sledi ejedakost Koši Švarca. U praksi se često koristi tzv. Spearma-ov koeficijet korelacije raga. To je dosta jedostava postupak, koji se sastoji u sledećem. Pretpostavimo da smo za isti uzorak a dva ačia odredili dva rag mesta, tj. uzorak a i (i = 1,,..., N) ima u rag listi X rag (redi broj) x i (i = 1,,..., N), a u rag listi Y rag y i (i = 1,,..., N). Ako se stavi d i = x i y i, oda je Spearma-ov koeficijet korelacije raga dat preko formule ϱ = 1 6 N d i N 3 N. (30) Ako su rag liste idetiče x i = y i, pa je d i = 0, tj. (30) daje ϱ = 1, dok je ϱ = 1 ako su rag liste idetiče, ali iverze jeda drugoj. Primer 4.4. Neka X ozačava rag gradova po dohotku u privredi, a Y po dohotku u vaprivredim delatostima i eka je rag dat sledećom tabelom (1). 17

18 N Ovde je N = 8, d i = 10, pa je ϱ = = 0, Spearma-ov koeficijet korelacije raga u ovom slučaju. Vidi se da postoji dosta visoka korelacija raga izmedu - obe rag liste, ali ipak e toliko da bismo jedu mogli zameiti drugom. Tabela 1 Rag po X Rag po Y d i d i Kruševac Sombor Niš Beograd 4 4 Novi Sad Leskovac Zrejai Negoti Kod jedozače fukcioale zavisosti izme - du obeležja X i Y svakoj vredosti X = x odgovara jeda potpuo odre - dea vredost Y = y. Ukoliko je zavisost izme - du slučajih promeljivih X i Y samo delimiča, odre - deoj vredosti X = x odgovarajuće obeležje Y sa uslovom raspodelom za X = x. U slučaju eprekide raspodele Y će za X = x imati uslovu gustiu f(y x). Kako izme - du X i Y e postoji sada odre - dea fukcioala veza, to možemo uspostaviti izme - du jih jedio očekivau vezu, uzimajući da vredosti X = x odgovara uslova očekivaa vredost, tj. y = E(Y X = x) = y(x). tj. Obruto se kaže da vredosti Y = y odgovara očekivaa vredost obeležja X za Y = y, x = E(X Y = y) = x(y), a grafici krivih y = y(x) i x = x(y) se azivaju regresive krive, i oe se u opštem slučaju e poklapaju. U praksi se često javlja slučaj da je y(x) = ax + b, (31) pa se traži da se odrede parametri a i b. Ovo je tzv. model lieare regresije. Neka su y 1, y,..., y izmeree veličie skupa ezavisih promeljivih Y 1, Y,..., Y, od kojih svaka 18

19 ima ormalu raspodelu sa istom varijasom σ i parametrima µ i = E(Y i X i ) = ax i + b (i = 1,,..., ). Tada se a i b mogu odrediti iz sistema liearih jedačia Rešavajem sistema (3) i (33) dobija se b = b + a x i = y i, (3) b x i + a x i = x i y i. (33) a = x i y i ( x i x i y i x i y i x i ), (34) x i x i y i Ovaj izbor parametra a i b ima osobiu da je suma kvadrata ( ). (35) x i x i (y i b ax i ) miimala, pa se kaže da su a i b odredei - metodom ajmajih kvadrata. Primer 4.5. Neka su iz 13 mereja dobivee vredosti u zavisosti od x putem sledeće tabele : Tabela x y Odrediti liearu zavisost izme - du y i x. Ovde se koriste jedačie (34) i (35) te se dobija a 0, 56, b 3, 9, tj. y = 0, 56x 3, 9. Ilustraciju eliearog modela regresije imamo a sledećem primeru. Pretpostavimo da imamo regresivu fukciju y(x) = E(Y x) = a + be cx čije su vredosti izmeree a skupu tačaka (x i, y i ), i = 1,,...,. Metod ajmajih kvadrata kaže da se za a, b i c uzimaju oe vredosti za koje fukcija 19

20 G(a, b, c) = (y i a be cx i ) dostiže miimum. Tražejem parcijalih izvoda G po a, b i c i izjedačavajem sa ulom sledi da a, b i c treba da zadovoljavaju sistem jedačia a + b e cx i = y i, a e cx i + b e cx i = e cx i y i, a x i e cx i + b x i e cx i = x i y i e cx i. Za razliku od sistema (3) i (33) ovaj sistem ije lieara u odosu a parametre a, b i c i jegovo rešeje je dosta složeo; dobri približi rezultati se mogu dobiti iterativim metodama umeričke aalize. Valja apomeuti da se eki problemi elieare regresije mogu, podesim smeama, svesti a probleme lieare regresije, kao što ilustruju sledeći primeri. 1. Za y = a log x + b, smeom z = log x dobijamo y = az + b.. Za y = a x + b, smeom z = 1/x dobijamo y = az + b. 3. Za y = 1 ax+b, smeom z = 1/y dobijamo z = ax + b. 4. Za y = ax b logaritmovajem sledi log y = log a + b log x, pa smeama z = log y, a = log a, x = log x dobijamo z = bx + a. 5. Za y = ab x logaritmovajem sledi log y = log a + x log b, pa smeama z = log y, a = log a, b = log b sledi z = a x + b. Od eliearih metoda treba avesti često korišćeu kvadratu regresiju y = ax + bx + c (a 0). Ovde se parametri a, b, c, shodu Gausovom pricipu ajmajih kvadrata, odreduju - tako da se miimizira izraz F (a, b, c) := (y i ax i bx i c). Iz uslova F (a, b, c) F (a, b, c) = = a b dobija se sistem liearih jedačia po a, b, c: F (a, b, c) c a x i + b x i + c = y i, a x 3 i + b x i + c x i = x i y i, 0 = 0

21 a x 4 i + b x 3 i + c x i = x i y i, a sličim postupkom (svo - dejem a komplikovaiji sistem od sistema +1 liearih jedačia) odre - duje se polioma elieara regresija y = P (x), gde je P (x) poliom -tog stepea čije koeficijete treba odrediti. S druge strae, model lieare regresije se može bez većih teškoća upotrebiti za višestruku liearu regresiju, tj. recimo kada je regresioa fukcija E(Y x 1, x, x 3 ) = a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 + x 4 lieara u odosu a promeljive x 1, x, x 3. Ako se zaju vredosti y i koje odgovaraju trojkama (x i1, x i, x i3 ) (i = 1,,..., ), oda se a 1, a, a 3, a 4 alaze kao vredosti za koje fukcija G(a 1, a, a 3, a 4 ) = (y i a 1 x i1 a x i a 3 x i3 a 4 ) dostiže miimum, što se svodi a rešavaje sistema liearih jedačia (y i a 1 x i1 a x i a 3 x i3 a 4 ) = 0, (y i a 1 x i1 a x i a 3 x i3 a 4 ) x i1 = 0, (y i a 1 x i1 a x i a 3 x i3 a 4 ) x i = 0, (y i a 1 x i1 a x i a 3 x i3 a 4 ) x i3 = 0. U opštem modelu lieare regresije traži se da je E(Y i ) = β i x i1 + + β k x ik, (i = 1,,..., ) što predstavlja liearu regresiou fukciju od k fiksih promeljivih. U matričom zapisu to postaje gde je Y = y 1. y, β = E(Y ) = Xβ, β 1. β, X = x x 1k..... x 1... x k, 1

22 te se problem svodi a odre - divaje elemeata vektora koloe β, ako je pozata matrica X formata k. Ako su y i (i = 1,..., ) izmeree vredosti promeljivih Y i, oda treba da se odredi miimum fukcije (y i β 1 x i1 β k x ik ) da bi se dobilo β metodom ajmajih kvadrata. Ako je y vektor sa kompoetama y i (i = 1,..., ), oda je tražeo rešeje u matričom obliku β = (X X) 1 X y, pri čemu X ozačava traspoovau matricu X, tj. matricu koja se dobija iz X zameom vrsta sa koloama. Gorje rešeje u matričom obliku ima relativo jedostava zapis, o praktiča izračuavaja za veliko i k mogu biti praktičo komplikovaa. 1 Primea statistike U dvadesetim godiama ovoga veka pojavile su se prve precize formulacije osova matematičke statistike. Smatra se da su tvorci savremee statističke metodologije Nejma i Vold, koji u svojim radovima idetifikuju i razvijaju osove tri oblasti statistike: teoriju ocee, teoriju provere statističkih hipoteza i teoriju plairaja eksperimeata. Na kritici Fišerove teorije, Nejma je postavio osove savremee teorije ocee, zasivajući je a itervalima povereja (pouzdaosti). Začaja doprios dali su Kolmogorov i Smirov u istraživajima a ovom polju, aročito u oblasti eparametarske teorije ocee i izučavaja itervala povereja koji sa datom verovatoćom sadrže epozatu fukciju raspodele. Veliki doprios razvoju teorije provere statističkih parametarskih hipoteza pored Nejmaa dao je i Pirso. U oblasti eparametarskih hipoteza svojim radovima uticali su a razvoj teorije pored Kolmogorova i Smirova, Šefe, Stej, Lemo i drugi. Teorija plairaja eksperimeata je ajmlada - oblast statistike. Istraživaja u ovoj oblasti započeli su Fišer i Nejma, a Vold je svojim radovima začajo doprieo daljem razvoju. Začaje dopriose razvoju matematičke statistike dali su osim avedeih i mogi drugi matematičari. Matematička statistika je jeda od oblasti sa izuzeto velikim brojem primea. Broj primea teško je i pobrojati. Pored toga postoji ozbilja opasost od grešaka kod ocee jee primeljivosti u razim sferama društveih, biomediciskih, prirodomatematičkih, tehičkih, školskih, privredih, vojih i drugih delatosti. Savremei ivo rudarstva i geologije u aučom i privredom smislu, karakteriše eophodost postupe aalize velike mase podataka i iformacija i zahtev za pouzdaim, odoso, aučo zasovaim ulazima (iput - ima). Ispujeje ovih zahteva široko otvara vrata uvodeju - matematičke statistike u praksu geologije i rudarstva, a savremea račuarska tehika sa izvaredim mogućostima ovaj proces začajo podupire i pospešuje. Primea statistike u geologiji i rudarstvu ima slojevitost koja je posledica pre svega razudeosti - i različitosti uutar ovih oblasti.

23 Statistika se koristi od prelimiarih ocea i sagledavaja pa preko ižejerskih aaliza i viših ivoa projektovaja do operative primee u proizvodim i tehološkim procesima. Navešćemo samo začajije geološke i rudarske probleme i zadatke u čijem rešavaju statistika pruža adekvate alate. To su: Obrada podataka dobijeih geološkim istraživajima sa koačim produktima: matematičkostatistički opis geoloških objekata, pore - deje i klasifikacija geoloških objekata, opis zavisosti izme - du obeležja geoloških objekata i sličo. Itervalske ocee estabilosti promea geološko-istražih pokazatelja, obuhvataju: itervalsku oceu sredje vredosti slučajih veličia, itervalsku oceu sredje vredosti fukcija slučajih veličia - kompleksi modeli obeležja geoloških objekata itd. Obrada podataka geohemijskih istraživaja ležišta mieralih sirovia. Za defiisaje geohemijskih polja primejuju se sledeći matematičko-modelski pristupi: aditivi, multiplikativi i aditivo-multiplikativi. Kod formiraja ovih modela, a matematičkoj statistici počivaju postupci izdvajaja determiisaih kompoeata geohemijskih polja, zatim defiisaje geohemijskih specifičosti aomalih geohemijskih polja, ormiraje multiplikativih geohemijskih pokazatelja itd. Razgraičavaje geoloških objekata a osovu kompleksa geoloških obeležja. Jeda od osovih geoloških radji je kartiraje, odoso modeliraje izučavaog dela zemljie kore u zadatoj razmeri. Ovaj zadatak rešava se u svim stadijumima geoloških istraživaja. Daas aglo arasli zahtevi za pouzdaim kartirajem, u praksu kartiraja sve više uvode statističke metode. U ižejerskoj aalizi i projektovaju u rudarstvu i geologiji koriste se egzakti podaci iz proizvodje ili procejee iskustvee vredosti. I u jedom i u drugom slučaju statistički aparat pruža mogućost pouzdae procee sredje vredosti, mogućih odstupaja, raspoa odstupaja, grešaka i sličo. Operativo vo - deje teholoških procesa u eksploataciji čvrstih mieralih sirovia, afte i gasa podrazumeva i stalo praćeje, registrovaje, obradu i aalizu velikog broja podataka i iformacija vezaih za radu srediu, tehološki proces, tržišo - ekoomske i ekološke uslove. Zahtevi u pogledu ažurosti praćeja i registrovaja ovih podataka kao i u pogledu brzie i pouzdaosti aalitičkih procea, ameću potrebu za uvo - dejem statističkih metoda i račuarske tehike u adzor i upravljaje tehološkim procesima u mieraloj idustriji. Za laboratorijske opite u rudarstvu i geologiji (mehaika tla, mehaika stea, priprema mieralih sirovia, vetilacija,...) karakterističo je da se eksperimeti i mereja izvode sa mogostrukim poavljajima ili merejima a velikom broju uzoraka. Statistika se koristi u obradi eksperimetalih rezultata radi utvrdivaja - zakoitosti i veza, ali i kod plairaja eksperimeata. Pobrojae primee matematičke statistike e ome - duju prostore, već ilustruju širiu, mogućosti i začaj jee primee u rudarstvu i geologiji. Mogo je kokretih problema i zadataka različitih začaja i lokacija u geologiji i rudarstvu, za čije delimičo ili potpuo rešavaje 3

24 statistika udi alate. No primeljivost je jedo, a primea drugo. Za adekvatu primeu statističkih metoda potrebo je dobro pozavaje problema koji je predmet pažje, zatim brojost i kvalitet ulazih podataka kao i pozavaje matematičke filozofije statističkih pristupa koji se koriste. Ukoliko se e vodi račua o avedeim čiiocima greške su emiove. Savremea račuarska poslovica: U račuar uesi smeće iz račuara ćes dobiti smeće, lepo ilustruje zavisosti i upućuje a zaključak da je matematička statistika moćo i koriso oru - de u rukama ooga ko za da je koristi, ali je i vrlo opasa jea primea ukoliko se eadekvato koristi. Naredi iz kokretih primera čitaocu treba da pruži osova račuarsko-maipulativa zaja o praktičoj primei statistike ali i da ispiriše i pobudi razmišljaja o drugim primeama u geologiji i rudarstvu. S obzirom a prirodu, ciljeve i obim kjige, autori su ube - dei da je ovakav ači prezetacije matematičke statistike primere. Ukoliko zaiteresova čitalac želi više iformacija o ekom kokretom problemu iz statistike, odgovore može potražiti u vrlo bogatoj domaćoj i straoj literaturi iz statistike. 1.1 Izračuavaje sa malim brojem podataka Ležište polimetaliče sirovie istražuje se podzemim istražim radovima. U delu istražog hodika uzeto je 30 proba. Na slici 4.1 prikazai su položaji uzimaja proba sa kumulativim sadržajima metala po probama. Učestalosti pojediih kumulativih sadržaja metala dati su u tabeli 3. Tabela 3 Sadržaj Broj Učestalost metala [%] proba 1 4 0,13 3 0, , , , , ,13 8 0, , ,00 Sredji aritmetički sadržaj metala u rudi izosi: x = x i p i x = 1 0, , , , , , , , , 1 = 4, 85[%]. Disperzija sadržaja metala odreduje - se: 4

25 x S i = x 1, S = [0, 13(1 4, 85) + 0, 1( 4, 85) + 0, 1(3 4, 85) + 0, 1(4 4, 85) + 0, 17(5 4, 85) + 0, 1(6 4, 85) + 0, 13(7 4, 85) + 0, 07(8 4, 85) + 0, 1(9 4, 85) ] 30 = 6, Stadardo ili sredje kvadrato odstupaje je: Koeficijet varijacije je: e = S = 6, 55 =, 554. V = e x, = 100 = 5, 66 [%]. 4, 85 Za defiisaje osovih svojstava raspodela slučajih veličia koriste se mometi. Momet k-tog stepea je sredja vredost k-tog stepea odstupaja veličie x od eke stale vredosti C α k = (x i C) k. Ukoliko se pri izračuavaju mometa koristi učestalost ili frekveca, momeat se aziva empirijskim, a ukoliko se koristi verovatoća - aziva se teorijskim. Empirijski momet k-tog stepea račua se preko obarsca: a k = (x i C) k p i. p i Radi jedostavijeg račuaja uzećemo C = 5 (blisko vredosti x), tada uslovi 1 mometi prvog, drugog, trećeg i četvrtog stepea izose: α 1 = (1 5)0, 13 + ( 5)0, 1 + (3 5)0, 1 + (4 5)0, 1 + (5 5)0, (6 5)0, 1 + (7 5)0, 13 + (8 5)0, 07 + (9 5)0, 1 = 0, 15 1 Momeat azivamo uslovim kada je vredost za C proizvolja, a kada je C = x momeat azivamo cetralim. 5

26 α = (1 5) 0, 13 + ( 5) 0, 1 + (3 5) 0, 1 + (4 5) 0, 1 + (5 5) 0, (6 5) 0, 1 + (7 5) 0, 13 + (8 5) 0, 07 + (9 5) 0, 1 = 6, 33 α 3 = (1 5) 3 0, 13 + ( 5) 3 0, 1 + (3 5) 3 0, 1 + (4 5) 3 0, 1 + (5 5) 3 0, (6 5) 3 0, 1 + (7 5) 3 0, 13 + (8 5) 3 0, 07 + (9 5) 3 0, 1 =, 49 α 4 = (1 5) 4 0, 13 + ( 5) 4 0, 1 + (3 5) 4 0, 1 + (4 5) 4 0, 1 + (5 5) 4 0, (6 5) 4 0, 1 + (7 5) 4 0, 13 + (8 5) 4 0, 07 + (9 5) 4 0, 1 = 76, 43. Izme - du cetralih i uslovih momeata postoje sledeće veze: Za aš primer cetrali mometi su: α 0 = α α 1, α 0 3 = α 3 3α 1 α + α 3 1, α 0 = 6, 33 ( 0, 15) = 6, 3075, α 0 4 = α 4 4α 1 α 3 + 6α α 1 3α 4 1. α 0 3 =, 49 3( 0, 15)6, 33 + ( 0, 15) = 0, 3517, α 0 4 = 76, 43 4( 0, 15) (, 49) + 6 6, 33( 0, 15) 3(0, 15) 4 = 75, 789. Zajući cetrale momete, možemo izračuati karakter odstupaja raspodele sadržaja metala od simetriče ormale raspodele u 30 proba. Koeficijet simetrije izosi Ekces ili koeficijet spljošteosti K A = α0 3 0, 3517 = = 0, 011. e3 16, 659 K E = α0 4 75, 789 = = 1, 781. e4 4, 548 Na osovu vredosti za asimilaciju i ekces, može se zaključiti da raspodela učestalosti sadržaja metala u probama ema asimetrije i spoljašjost krive raspodele maju od ormale, odoso izraže vrh. Napomeimo ako je koeficijet asimetrije K A = 0, tada je raspodela frekvecije simetriča u odosu a pravu x = x. Ako je K A < 0 asimetrija je egativa - pomerea ulevo, a kada je K A > 0, asimetrija je pozitiva - pomerea udeso. Što je koeficijet asimetrije veći po apsolutoj vredosti, raspodela je više asimetriča. Ako je K A < 0, 1 smatra se da asimetrije ema, ako je 0, 1 < K A < 0, 5 asimetrija je mala. Kada je 0, 5 < K A < 0, 5 asimetrija je sredja, a ukoliko je K A > 0, 5 asimetrija je velika. 6

27 Ekces ili koeficijet spljošteosti K E jedak je uli za ormalu raspodelu. Ako je K E > 0, tada je spljošteost krive raspodele maja od ormale, a kada je K E < 0 spljošteost je veća od ormale. Ako koeficijeti asimetrije i ekcesa bito e odstupaju od ule, smatra se da postoji osov za pretpostavku da je uzorak deo celokuposti u kojoj obeležje x kao slučaja promeljiva ima ormalu raspodelu učestaosti. Prof. Aleksadar Ivić Katedra Matematike RGF-a Uiverzitet u Beogradu -Dušia 7, Beograd Tel: , ivic@rgf.bg.ac.yu 7

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena. Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t

Διαβάστε περισσότερα

Tačkaste ocene parametara raspodele

Tačkaste ocene parametara raspodele Tačkaste ocee parametara raspodele Na osovu uzorka treba da se odredi kakva je raspodela obeležja a populaciji Ako je tip raspodele pozat, treba da se odrede parametri raspodele Pošto je realizovaa vredost

Διαβάστε περισσότερα

TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE

TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE //0 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Z-TEST I T-TEST Beograd, 0 Ass. dr Zora Bukumirić Z-TEST I T-TEST z-testom i Studetovim t-testom testiramo razliku: jede aritmetičke sredie i pretpostavljee vredosti

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA. 1. Osnovni pojmovi

STATISTIKA. 1. Osnovni pojmovi STATISTIKA. Osovi pojmovi Matematička statistika se bavi proučavajem skupova sa velikim brojem elemeata, koji su jedorodi u odosu a jedo ili više zajedičkih kvalitatitvih ili kvatitativih svojstava. Kako

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Greške merenja i statistička obrada podataka

Greške merenja i statistička obrada podataka Vežbe iz Električih mereja http://www.kelm.ft.us.ac.rs Greške mereja i statistička obrada podataka. Greške mereja Osovi zadatak mere tehike je da odredi pravu vredost meree veličie, imajući u vidu okolosti

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Teorija verovatnoće. Definicija: Skup svih mogućih ishoda nekog eksperimenta nazivamo skup elementarnih dogaďaja i označavamo sa.

Teorija verovatnoće. Definicija: Skup svih mogućih ishoda nekog eksperimenta nazivamo skup elementarnih dogaďaja i označavamo sa. Teorija verovatoće 1 Teorija verovatoće Slučaji događaji Defiicija: Skup svih mogućih ishoda ekog eksperimeta azivamo skup elemetarih dogaďaja i ozačavamo sa Primer Odrediti skup elemetarih dogaďaja u

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2. 4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Testiranje statistiqkih hipoteza

Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj Sadrˇzaj 12 TEORIJA PROCJENA

Sadrˇzaj Sadrˇzaj 12 TEORIJA PROCJENA Sadrˇzaj Sadrˇzaj 2 TEORIJA PROCJENA 3 2. TOČKASTE PROCJENE......................... 5 2.2 REGRESIJSKA ANALIZA........................ 2.3 ML-PROCJENITELJI tko želi zati više................. 5 2.4 Poovimo.................................

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( ) Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Str. 454;139;91.

Str. 454;139;91. Str. 454;39;9 Metod uzorka Predavač: Dr Mirko Savić avicmirko@eccf.u.ac.yu www.eccf.u.ac.yu Statitička maa može da e pomatra a jeda od ledeća dva ačia: potpuo pomatraje, delimičo pomatraje (metod uzorka).

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 26. jun Katedra za Računarsku tehniku i informatiku

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 26. jun Katedra za Računarsku tehniku i informatiku Elektrotehički fakultet uiverziteta u Beogradu 6. ju 008. Katedra za Račuarku tehiku i iformatiku Performae račuarkih itema Rešeja zadataka..videti predavaja.. Kretaje Verovatoća Opi 4 4 Kretaje u itom

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA-POJAM. Definicija vjerovatnoće Σ = f x f. f f. f x f. f f ... = Σ = Σ. i...

VJEROVATNOĆA-POJAM. Definicija vjerovatnoće Σ = f x f. f f. f x f. f f ... = Σ = Σ. i... VJEROVATNOĆA-OJAM Defiicija vjerovatoće f f f f f f f m X i i... ) + + + Σ p p p p f f f f f i i i i i i i ) )... ) )... + + + Σ + + Σ + Σ Σ Σ µ µ Aditivo i multiplikativo pravilo. Ako su E i E slučaji

Διαβάστε περισσότερα

2.9. Regresiona analiza

2.9. Regresiona analiza .9. Regresioa aaliza U prethodom tekstu je avedeo da se u ekoomskim aalizama mogu koristiti različite matematičke fukcije za opisivaje zavisosti između posmatraih veličia. Za fukciju ukupih troškova, a

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006

Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006 Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA

TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA Matematički kolokvijum (Baja Luka) MAT-KOL (Baja Luka) XIV()(2008), 59-83 TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA Uvod Aleksadra Vasilić Prirodo-matematički fakultet Baja Luka, Mladea

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE

PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE Iferecijala statistika je skup postupaka kojima se a osovi rezultata iz uzorka doose zaključci o populaciji. INFERENCIJALNA STATISTIKA Procjee parametara Testiraje hipoteza

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva

Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i statistika idealni model i pojavni oblici

Verovatnoća i statistika idealni model i pojavni oblici Verovatoća i statistika ideali model i pojavi oblici Dr Biljaa Popović, redovi profesor Prirodo matematički fakultet u Nišu 3. april 2004. godie Matematička statistika je primejea matematička disciplia

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Sarajevu Građevinski fakultet Katedra za matematiku, programiranje, nacrtnu geometriju i fiziku

Univerzitet u Sarajevu Građevinski fakultet Katedra za matematiku, programiranje, nacrtnu geometriju i fiziku Uiverzitet u Sarajevu Građeviski fakultet Katedra za matematiku, programiraje, acrtu geometriju i fiziku Ispita pitaja za drugi parc. ispit iz teor. osova predmeta «VJEROVATNOĆA I STATISTIKA» Akademska

Διαβάστε περισσότερα

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

Osnove teorije uzoraka

Osnove teorije uzoraka Oove teorije uzoraka Oove teorije uzoraka UZORAK: lučaji, reprezetativi dio oovog kupa populacije Uzorci: 1.uzorak:,, 1 1.uzorak:,, i.uzorak:,, i i Razdioba aritmetičke redie uzorka f ( ) f ( ) razdioba

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Osnovi teorije grešaka

Osnovi teorije grešaka Osovi teorije grešaka Pozato je da svakoj fizičkoj pojavi u prirodi možemo pristupiti kvalitativo (opiso). To bi začilo objasiti suštiu same fizičke pojave,ači, uzroke i uslove pod kojima se oa odigrava.

Διαβάστε περισσότερα

Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi.

Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi. Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi. U SPSS-u su obradjeni: t test razlike između aritmetičke sredine osnovnog skupa i uzorka t test razlike

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetički i geometrijski niz

Aritmetički i geometrijski niz Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Ponovimo... 15

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Ponovimo... 15 Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 11 MATEMATIČKA STATISTIKA 3 11.1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA..................... 5 11. Poovimo................................. 15 1 Radi materijal Poglavlje 11 MATEMATIČKA STATISTIKA

Διαβάστε περισσότερα

Statistika. Statističke metode služe nam da uočimo pravilnosti i zakonitosti po kojima se vlada cijeli kolektiv, a ne jedna odredena jedinka.

Statistika. Statističke metode služe nam da uočimo pravilnosti i zakonitosti po kojima se vlada cijeli kolektiv, a ne jedna odredena jedinka. Statistika Statistika je zastvea disciplia koja se bavi prikupljajem podataka, jihovim orgaizirajem (sistematizirajem) i aalizirajem, te iiterpretacijom dobiveih rezultata Sami podaci mogu biti umeričke

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE

UVOD U STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 1/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 2/22 UVOD U STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE riječ STATISTIKA (lat. status = staje) Statistika deskriptiva iferecijala

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 644;1;148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Hi-kvadrat testovi χ Str. 646;1;149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα