Γεώργιος Ακρίβης. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

Transcript

1 Γεώργιος Ακρίβης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Γ. Α. Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

2 Προβλήματα δοκιμής Πρόκειται για απλές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις που παίζουν ρόλο προτύπου. Η σημασία τους έγκειται στο γεγονός ότι αριθμητικές μέθοδοι που μιμούνται τη συμπεριφορά των λύσεών τους, συμπεριφέρονται καλά και όταν εφαρμοστούν σε μια ευρύτατη αντίστοιχη κλάση διαφορικών διαφορικών εξισώσεων, π.χ., της Φυσικής. Εισήχθησαν από τον Germund Dahlquist ( ) Καθηγητή στο Πολυτεχνείο και το Πανεπιστήμιο της Στοκχόλμης ( ). Γ. Α. Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου 018 / 7

3 Στόχοι της παρουσίασης 1 Εξοικείωση με τα δύο προβλήματα δοκιμής Κατανόηση εκφράσεων της μορφής «αριθμητικές μέθοδοι μιμούνται τη συμπεριφορά λύσεων διαφορικών εξισώσεων» Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

4 Πρώτο πρόβλημα δοκιμής (1963) Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών { y (t) = λy(t), t 0, με λ C. y(0) = 1, Λύση: y(t) = λt, t 0. Αφού x = x + x (τύπος του Euler), για x R έχουμε x = 1, οπότε y(t) = ( λ)t, για λ > 0, 1, για λ = 0, 0, για λ < 0, καθώς t. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

5 Τύπος του Euler: x = x + x, για x R. x O x x x 1 Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

6 y t/ 1 O 0t = 1 t/ t Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

7 Ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα είναι η περίπτωση λ 0, γιατί τότε η λύση παραμένει φραγμένη. Ειδική επιλογή αρχικής τιμής; Η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών { y (t) = λy(t), t 0, y(0) = y 0, είναι y(t) = y 0 λt, t 0, και συμπεριφέρεται όπως και η λύση του αρχικού μας προβλήματος αρκεί να ισχύει y 0 0. Στο MathSciNet υπάρχουν 153 παραπομπές σε αυτήν την εργασία του Dahlquist. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

8 Δεύτερο πρόβλημα δοκιμής (1975) Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών { y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0, με f : [a, b] R d R d μια συνάρτηση. : Η f ικανοποιεί τη μονόπλευρη συνθήκη του Lipschitz ως προς τη δεύτερη μεταβλητή, t [a, b] x, x R d (f(t, x) f(t, x), x x) 0 με (, ) το Ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο στον R d. Διαφορικές εξισώσεις με f που πληροί αυτή τη συνθήκη λέγονται αποσβεστικές (dissipative). Καθοριστική συμβολή των John Butcher (1933 ), Michel Crouzeix (1944 ) Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

9 Ευστάθεια Θεωρούμε τώρα δύο προβλήματα αρχικών τιμών { y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, { z (t) = f ( t, z(t) ), a t b, y(a) = y 0, z(a) = z 0, και υποθέτουμε ότι η f ικανοποιεί τη μονόπλευρη συνθήκη του Lipschitz. : Πώς συμπεριφέρεται η Ευκλείδεια νόρμα της διαφοράς y(t) z(t) στο διάστημα [a, b]; Με ε(t) := y(t) z(t), a t b, έχουμε ε (t) = f ( t, y(t) ) f ( t, z(t) ), οπότε, παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο με ε(t), δηλαδή με y(t) z(t), έχουμε ( ε (t), ε(t) ) = ( f ( t, y(t) ) f ( t, z(t) ), y(t) z(t) ). Τώρα, σύμφωνα με την υπόθεσή μας, το δεξιό μέλος είναι μη θετικό, οπότε ( ε (t), ε(t) ) 0. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

10 Αλλά ( ε (t), ε(t) ) = ε 1(t)ε 1 (t) + + ε d (t)ε d(t) = 1 [( ε1 (t) ) ] 1[( + + εd (t) ) ] = 1 [( ε1 (t) ) ( + + εd (t) ) ] = 1 ε(t) ( ). Επομένως ( ε(t) ) 0, οπότε η ε(t) είναι φθίνουσα συνάρτηση στο διάστημα [a, b]. Άρα, και η ε(t) είναι φθίνουσα συνάρτηση στο διάστημα [a, b], a s t b y(t) z(t) y(s) z(s). Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο τέτοιες εξισώσεις λέγονται αποσβεστικές. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

11 y z 0 z(t) y(t) y 0 O a b t Στο MathSciNet υπάρχουν 47 παραπομπές σε αυτήν την εργασία του Dahlquist. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

12 Κατανόηση της μονόπλευρης συνθήκης του Lipschitz Ειδικές περιπτώσεις: Στη βαθμωτή περίπτωση (d = 1), η μονόπλευρη συνθήκη του Lipschitz γράφεται ως t [a, b] x, x R ( f(t, x) f(t, x) ) (x x) 0 και σημαίνει απλούστατα ότι η f(t, ) είναι φθίνουσα συνάρτηση ως προς τη δεύτερη μεταβλητή της, για κάθε t [a, b]. (Γενικά, η μονόπλευρη συνθήκη του Lipschitz αναφέρεται και ως συνθήκη μονοτονίας ή ως συνθήκη αντιμονοτονίας.) Στη γραμμική περίπτωση, η f(t, x) = λ(t)x + µ(t) ικανοποιεί τη μονόπλευρη συνθήκη του Lipschitz αν και μόνο αν λ(t) 0, για κάθε t [a, b]. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

13 Στη γραμμική διανυσματική περίπτωση, έχουμε f(t, x) = A(t)x + µ(t), A(t) R d,d, µ(t) R d, οπότε f(t, x) f(t, x) = A(t)(x x), και η μονόπλευρη συνθήκη του Lipschitz ικανοποιείται αν και μόνο αν t [a, b] x R d (A(t)x, x) 0, δηλαδή αν ο πίνακας A(t) είναι μη θετικά ορισμένος, για κάθε t [a, b]. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

14 Σχέση μεταξύ των δύο προβλημάτων δοκιμής; Αν y 1 και y είναι το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της y, αντίστοιχα, και α, β το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του λ, αντίστοιχα, τότε η γραμμική εξίσωση y = λy του πρώτου προβλήματος δοκιμής γράφεται ως πραγματικό σύστημα στη μορφή ( y1 ) = y β ( α β α )( y1 ) y Ο πίνακας A, ικανοποιεί τη σχέση ( ) α β A :=, β α (Ax, x) = α x x R. Ιδιαίτερα, δηλαδή, στην ενδιαφέρουσα περίπτωση που το πραγματικό μέρος του λ είναι μη θετικό, το πρώτο πρόβλημα δοκιμής αποτελεί ειδική περίπτωση του δεύτερου προβλήματος δοκιμής. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

15 Παρατήρηση: Η διαφορά ε(t) := y(t) z(t), a t b, δύο λύσεων μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης, ικανοποιεί την αντίστοιχη ομογενή εξίσωση, } y (t) = λ(t)y(t) + µ(t) z ε (t) = λ(t)ε(t). (t) = λ(t)z(t) + µ(t) Γι αυτό στην περίπτωση της ευστάθειας για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις αρκεί να μελετήσουμε τη συμπεριφορά των λύσεων της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

16 Διακριτοποίηση Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών { y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0. Έστω N N, h := (b a)/n, και t n := a + nh, n = 0,..., N. Οι αριθμητικές μέθοδοι δίνουν προσεγγίσεις y m των τιμών y(t m ) της λύσης στους κόμβους του διαμερισμού. y y(t n ) y n a t n b t Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

17 Κάποιες απλές αριθμητικές μέθοδοι Με y 0 := y 0 (την ακριβή αρχική τιμή), ορίζουμε προσεγγίσεις y m των τιμών y(t m ) της λύσης στους κόμβους αναδρομικά ως εξής: (1) y n+1 := y n + hf(t n, y n ) (μέθοδος του Euler) () y n+1 = y n + hf(t n+1, y n+1 ) (πεπλεγμένη μέθοδος του Euler) (3) y n+1 = y n + h [ f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 ) ] (μέθοδος του τραπεζίου) ( t (4) y n+1 = y n n + t n+1 + hf, yn + y n+1 ) n = 0,..., N 1. (μέθοδος του μέσου) Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

18 Κατασκευή αυτών των μεθόδων Έχουμε οπότε t n+1 t n+1 y (t) = f(t, y(t)) y (t) dt = t n y(t n+1 ) y(t n ) = t n+1 t n t n f(t, y(t)) dt. f(t, y(t)) dt, Προσεγγίζοντας το ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος με hf(t n, y(t n )) (αριστερός τύπος του ορθογωνίου) hf(t n+1, y(t n+1 )) (δεξιός τύπος του ορθογωνίου) h[ f(t n, y(t n )) + f(t n+1, y(t n+1 )) ] (τύπος του τραπεζίου), αντίστοιχα, και αντικαθιστώντας το με = και τις ακριβείς τιμές y(t m ) με προσεγγίσεις y m οδηγούμαστε στις τρεις πρώτες μεθόδους. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

19 Υπενθύμιση: Τύποι αριθμητικής ολοκλήρωσης y y f(x) f(x) Q(f) Q(f) a b x a b x y y f(x) f(x) Q(f) Q(f) a b x a (a + b)/ b x Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

20 Μια αριθμητική μέθοδος λέγεται A-ευσταθής, αν μιμείται την ιδιότητα της ακριβούς λύσης του πρώτου προβλήματος δοκιμής για λ 0, δηλαδή αν η ακολουθία ( y n ) n N0 είναι φθίνουσα (για όλα τα θετικά h). Μια αριθμητική μέθοδος λέγεται B-ευσταθής, αν μιμείται την ιδιότητα της ακριβούς λύσης του δεύτερου προβλήματος δοκιμής, δηλαδή αν η ακολουθία ( y n z n ) n=0,...,n είναι φθίνουσα. B-ευστάθεια Α-ευστάθεια, Α-ευστάθεια Β-ευστάθεια (Στην περίπτωση πολυβηματικών μεθόδων απαιτείται μια μικρή τροποποίηση των ορισμών.) Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

21 H μέθοδος του Euler δεν είναι A-ευσταθής Εφαρμόζοντας τη μέθοδο στο πρώτο πρόβλημα δοκιμής, παίρνουμε y n+1 = (1 + λh)y n y n+1 = 1 + λh y n. Για λh έξω από τον μοναδιαίο δίσκο στο μιγαδικό επίπεδο με κέντρο το 1, έχουμε 1 + λh > 1, συνεπώς y n+1 > y n. Άρα, η μέθοδος δεν είναι A-ευσταθής. y λh 1 C x Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

22 H πεπλεγμένη μέθοδος του Euler είναι Β-ευσταθής Έχουμε y n+1 = y n + hf(t n+1, y n+1 ) και z n+1 = z n + hf(t n+1, z n+1 ), οπότε y n+1 z n+1 = (y n z n ) + h [ f(t n+1, y n+1 ) f(t n+1, z n+1 ) ]. Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο με y n+1 z n+1, ο τελευταίος όρος είναι μη θετικός, οπότε y n+1 z n+1 (y n z n, y n+1 z n+1 ). Συνεπώς, σύμφωνα με την ανισότητα των Cauchy Schwarz, y n+1 z n+1 y n z n y n+1 z n+1. Άρα, y n+1 z n+1 y n z n, που είναι η επιθυμητή ιδιότητα. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου 018 / 7

23 H μέθοδος του τραπεζίου είναι A-ευσταθής Εφαρμόζοντας τη μέθοδο στο πρώτο πρόβλημα δοκιμής, παίρνουμε y n+1 = y n + h (λyn + λy n+1 ) y n+1 = Για λh στο μη θετικό μιγαδικό ημιεπίπεδο έχουμε + λh λh yn. + λh λh, συνεπώς y n+1 y n. Άρα, η μέθοδος είναι όντως A-ευσταθής. y λh x Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

24 H μέθοδος του τραπεζίου δεν είναι Β-ευσταθής Εφαρμόζοντας τη μέθοδο σε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών για μια ομογενή γραμμική διαφορική εξίσωση της μορφής y (t) = λ(t)y(t), με λ(t) 0, έχουμε y n+1 = + hλ(tn ) hλ(t n+1 ) yn. Σταθεροποιούμε ένα βήμα h και επιλέγουμε, π.χ., τη συνάρτηση λ έτσι ώστε hλ(t n ) = 8 και hλ(t n+1 ) = 1. Τότε, y n+1 = yn = y n, συνεπώς y n+1 = y n. Άρα, η μέθοδος δεν είναι Β-ευσταθής. Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

25 H μέθοδος του μέσου είναι Β-ευσταθής Έχουμε ( ) y n+1 = y n + hf t n +t n+1, yn +y n+1 οπότε (y n+1 z n+1 ) (y n z n ) [ ( t n + t n+1 = h f, yn + y n+1, z n+1 = z n + hf ) f ( t n + t n+1 ( ) t n +t n+1, zn +z n+1, zn + z n+1 )]. Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο με yn +y n+1 zn +z n+1, το δεξιό μέλος είναι μη θετικό, οπότε 1 δηλαδή Άρα, ( (y n+1 z n+1 ) (y n z n ), (y n+1 z n+1 ) + (y n z n ) ) 0, που είναι η επιθυμητή ιδιότητα. y n+1 z n+1 y n z n 0. y n+1 z n+1 y n z n, Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

26 Ανακεφαλαίωση 1 Γνωρίσαμε τα δύο προβλήματα δοκιμής του Dahlquist Είδαμε αριθμητικές μεθόδους που δεν μιμούνται τη συμπεριφορά των λύσεων κανενός από τα δύο προβλήματα δοκιμής 3 Είδαμε αριθμητικές μεθόδους που μιμούνται τη συμπεριφορά των λύσεων του πρώτου προβλήματος δοκιμής (Α-ευστάθεια) 4 Είδαμε αριθμητικές μεθόδους που μιμούνται τη συμπεριφορά των λύσεων του δεύτερου προβλήματος δοκιμής (Β-ευστάθεια) 5 Μάθαμε ότι: Β-ευστάθεια A-ευστάθεια 6 Μάθαμε ότι: A-ευστάθεια B-ευστάθεια Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου / 7

27 Σας ευχαριστώ πολύ!