(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0."

Transcript

1 1. Προβλήματα αρχικών τιμών Στο μεγαλύτερο μέρος αυτού του βιβλίου θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (Σ.Δ.Ε.). Στο πρώτο κεφάλαιο δίνονται ορισμένα στοιχεία από τη θεωρία των προβλημάτων αρχικών τιμών για Σ.Δ.Ε., έτσι ώστε και ο μη μυημένος στο θέμα αναγνώστης να μπορεί να κατανοήσει τα θέματα αριθμητικής επίλυσης τέτοιων προβλημάτων. Στα επόμενα τέσσερα κεφάλαια μελετάμε αριθμητικές μεθόδους για προβλήματα αρχικών τιμών. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε αρκετά λεπτομερώς τη μέθοδο του Euler, εν είδει εισαγωγής στο θέμα της αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών. Η απλή αυτή μέθοδος δεν είναι χρήσιμη στην πράξη ο σκοπός μας είναι να εξοικειωθεί ο αναγνώστης με διάφορες έννοιες, και αυτό είναι αρκετά πιο εύκολο να γίνει στην περίπτωση αυτής της απλής μεθόδου παρά σε πιο πολύπλοκες. Το τρίτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στις μεθόδους των Runge Kutta, ενώ το τέταρτο στις πολυβηματικές μεθόδους. Ευσταθείς μέθοδοι με υψηλή τάξη ακρίβειας από αυτές τις δύο κατηγορίες μεθόδων χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην πράξη. Το πέμπτο κεφάλαιο αναφέρεται σε πιο πρόσφατες μεθόδους, τις λεγόμενες μεθόδους του Galerkin, τόσο τις ασυνεχείς όσο και τις συνεχείς. Αυτές οι μέθοδοι (οι οποίες είναι στην ουσία τους μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων) αποκτούν όλο και μεγαλύτερη σημασία τα τελευταία χρόνια. Αρχίζουμε αναφέροντας, εντελώς συνοπτικά, ορισμένα βασικά αποτελέσματα από τη θεωρία των προβλημάτων αρχικών τιμών για Σ.Δ.Ε. Έστω a, b R, a < b, f : [a, b] R R μία συνάρτηση, και y R. Το τυπικό πρόβλημα αρχικών τιμών που θα μας απασχολήσει είναι το εξής: Ζητείται μία συνάρτηση y : [a, b] R, τέτοια ώστε (1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y. Έστω ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση για (t, y) [a, b] R. (Γράφουμε f C([a, b] R).) Κάθε συνάρτηση y C 1 [a, b], η οποία ικανοποιεί τόσο τη διαφορική εξίσωση στην (1.1) όσο και την αρχική συνθήκη y(a) = y, λέγεται λύση του προβλήματος αρχικών τιμών (1.1). 1

2 2 1. Προβλήματα αρχικών τιμών Η γενική θεωρία των Σ.Δ.Ε. μελετά το πρόβλημα (1.1), ειδικότερα, π.χ., όσον αφορά συνθήκες για την f οι οποίες εξασφαλίζουν ύπαρξη ή/και μοναδικότητα της λύσης, και εξετάζει κατά πόσον η λύση εξαρτάται συνεχώς από τα αρχικά δεδομένα. Συνεχής εξάρτηση σημαίνει εδώ το εξής: Αν y η λύση του (1.1), και ỹ η λύση του αντίστοιχου προβλήματος με αρχική τιμή ỹ αντί y, τότε, όταν η διαφορά y ỹ είναι μικρή, θέλουμε και η αντίστοιχη διαφορά των λύσεων y ỹ να είναι μικρή. (Η επιλογή της νόρμας συναρτήσεων ορισμένων στο [a, b], στην οποία μετράμε τη διαφορά, αποτελεί, γενικά, μέρος του προβλήματος.) Στην ειδική περίπτωση στην οποία η f είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού ως προς y, η αντίστοιχη Σ.Δ.Ε. λέγεται γραμμική και το πρόβλημα (1.1) γράφεται στη μορφή (1.2) y (t) = p(t) y(t) + q(t), a t b, y(a) = y. Αν p, q C[a, b], τότε το πρόβλημα (1.2) έχει μία ακριβώς λύση, η οποία μάλιστα δίνεται από τον τύπο } (1.3) y(t) = e R t a p(s)ds y + a q(s) e R s a p(τ)dτ ds, a t b. Στη σχέση (1.3) μπορούμε να οδηγηθούμε ως εξής: Στην περίπτωση p =, το πρόβλημα λύνεται με απλή ολοκλήρωση. Αν πολλαπλασιάσουμε με κατάλληλο ολοκληρωτικό παράγοντα, η γενική περίπτωση μπορεί να αναχθεί στην προηγούμενη. Πράγματι, μπορούμε να γράψουμε τη διαφορική εξίσωση στη μορφή y (s) p(s) y(s) = q(s) ή, ισοδύναμα, (e R ) s a p(τ) dτ y(s) = e R s a p(τ) dτ q(s). Ολοκληρώνοντας αυτή τη σχέση από a έως t, λαμβάνουμε την (1.3). Για γενική συνάρτηση f όμως τα πράγματα είναι εντελώς διαφορετικά. Γενικά, όχι μόνο δεν μπορεί κανείς να δώσει τη λύση σε κλειστή μορφή, αλλά ούτε καν να εγγυηθεί ύπαρξη ή/και μοναδικότητά της. Είναι πράγματι δυνατόν να μην υπάρχει λύση ή να υπάρχουν πολλές λύσεις. Ας θεωρήσουμε παραδείγματος χάριν το πρόβλημα (1.4) y = y 2, t 2, y() = 1. Για t < 1 η μόνη λύση είναι y(t) = 1 1 t,

3 3 για την οποία ισχύει y(t) για t 1. Συνεπώς δεν υπάρχει λύση σε όλο το διάστημα [, 2]. Αντίθετα, το πρόβλημα (1.5) y = y, t 1, y() =, έχει πολλές λύσεις, π.χ. y(t) :=, t 1, και y(t) := (t 1 2 )2 4, t 1 2,, 1 2 < t 1. Γενικά, λύσεις προβλημάτων τα οποία δεν λύνονται μονοσήμαντα είναι πολύ δύσκολο να προσεγγισθούν αριθμητικά. Αρκετά απλούστερα είναι τα πράγματα στην περίπτωση προβλημάτων με μία ακριβώς λύση. Αποδεικνύουμε λοιπόν ένα κλασσικό θεώρημα, το οποίο, υπό ορισμένες συνθήκες φυσικά, εξασφαλίζει ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών (1.1). Θεώρημα 1.1 Έστω f C ( [a, b] R ) μία συνάρτηση, η οποία επί πλέον πληροί τη συνθήκη του Lipschitz ως προς y, ομοιόμορφα ως προς t, δηλαδή (1.6) L t [a, b] y 1, y 2 R f(t, y1 ) f(t, y 2 ) L y1 y 2. Τότε, για κάθε y R, το πρόβλημα (1.1) λύνεται μονοσήμαντα. Απόδειξη. Εισάγουμε κατ αρχάς τον ολοκληρωτικό τελεστή T : C[a, b] C[a, b], T x(t) := (T x)(t) := y + a f(s, x(s)) ds, a t b. Έστω τώρα y λύση του προβλήματος αρχικών τιμών (1.1). Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της Δ. Ε. στο διάστημα [a, t] διαπιστώνουμε ότι η y είναι επίσης λύση της ολοκληρωτικής εξίσωσης (1.7) y = T y. Αντιστρόφως, αν y C[a, b] είναι μία λύση της ολοκληρωτικής εξίσωσης (1.7), τότε y(a) = y. Επί πλέον, αφού υποθέσαμε ότι η f είναι συνεχής στο [a, b] R, η y είναι συνεχώς παραγωγίσιμη στο [a, b]. Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της (1.7) διαπιστώνουμε ότι y (t) = f(t, y(t)), για t [a, b], δηλαδή ότι η y είναι λύση του προβλήματος αρχικών τιμών (1.1). Συνεπώς, για να αποδείξουμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (1.1) έχει μία ακριβώς λύση, αρκεί να αποδείξουμε ότι η ολοκληρωτική εξίσωση (1.7) έχει μία ακριβώς λύση y C[a, b], δηλαδή ότι ο ολοκληρωτικός τελεστής T έχει ακριβώς ένα σταθερό σημείο. Εισάγουμε στον C[a, b] τη νόρμα, x := max a t b ( x(t) e 2Lt ).

4 4 1. Προβλήματα αρχικών τιμών Αμέσως διαπιστώνουμε ότι η είναι ισοδύναμη με τη νόρμα μεγίστου στον C[a, b]. Επομένως, επειδή, όπως είναι γνωστό, ο χώρος (C[a, b], ) είναι πλήρης, και ο (C[a, b], ) είναι χώρος Banach. Αν λοιπόν αποδείξουμε ότι ο T είναι συστολή στον (C[a, b], ), τότε, σύμφωνα με το θεώρημα σταθερού σημείου του Banach, ο T θα έχει ακριβώς ένα σταθερό σημείο. Τώρα, για x, z C[a, b] και t [a, b], έχουμε T x(t) T z(t) = a a [f(s, x(s)) f(s, z(s))]ds f(s, x(s)) f(s, z(s)) ds L a x(s) z(s) ds, όπου στην τελευταία ανισότητα χρησιμοποιήσαμε τη συνθήκη του Lipschitz (1.6) επομένως δηλαδή T x(t) T z(t) L a L x z x(s) z(s) e 2Ls e 2Ls ds a e 2Ls ds 1 2 x z e2lt, (1.8) T x T z 1 x z x, z C[a, b] 2 και έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη. Παρατήρηση 1.1 Μία ανισότητα της μορφής (1.8) με σταθερά L αντί για 1/2 ισχύει αν αντικαταστήσουμε τη νόρμα με τη νόρμα μεγίστου. Επειδή δεν θέλουμε να υποθέσουμε ότι η L είναι μικρότερη της μονάδας, χρησιμοποιήσαμε τη νόρμα. Σημειώνουμε πάντως ότι στη βιβλιογραφία συνήθως χρησιμοποιείται η νόρμα μεγίστου και αποδεικνύεται ότι μία απεικόνιση T T T (σύνθεση n φορές, για κατάλληλο n) είναι συστολή. Η συνθήκη του Lipschitz (1.6) είναι πολύ περιοριστική. Μια τόσο απλή συνάρτηση όπως η f(t, y) := y 2 δεν πληροί την (1.6), όπως διαπιστώνει κανείς αμέσως. Για p, q C[a, b] οι συναρτήσεις f(t, y) := p(t) y + q(t) (γραμμική Δ.Ε.) και f(t, y) := p(t) sin y, πληρούν την (1.6). Αν η f είναι παραγωγίσιμη ως προς τη δεύτερη μεταβλητή της και ισχύει M R t [a, b] y R fy (t, y) M, τότε η f πληροί την (1.6) (π.χ. με L := M ), όπως διαπιστώνει κανείς εύκολα με τη βοήθεια του θεωρήματος μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Όμως, η συνάρτηση f του προβλήματος (1.5), δηλαδή η f(y) := y, δεν ικανοποιεί την (1.6). Η (1.6) είναι γνωστή ως ολική συνθήκη του Lipschitz. Ολική γιατί ισχύει για όλους τους πραγματικούς y 1, y 2. Αν ισχύει αυτή η συνθήκη, έχουμε ύπαρξη και

5 5 μοναδικότητα της λύσης σε ολόκληρο το διάστημα [a, b]. Αντικαθιστώντας την (1.6) με μια τοπική συνθήκη του Lipschitz, την οποία πληρούν πολύ περισσότερες συναρτήσεις, μπορούμε να αποδείξουμε ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης, όχι όμως στο διάστημα [a, b] αλλά σε ένα υποδιάστημά του [a, b ], με κατάλληλο b. Το ακριβές αποτέλεσμα είναι: Θεώρημα 1.2 Έστω c > και f C ( [a, b] [y c, y + c] ). Αν η f πληροί στο [a, b] [y c, y + c] τη συνθήκη του Lipschitz ως προς y, ομοιόμορφα ως προς t, δηλαδή (1.9) L t [a, b] y 1, y 2 [y c, y + c] f(t, y1 ) f(t, y 2 ) L y1 y 2, τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών (1.1) λύνεται μονοσήμαντα, τουλάχιστον στο διάστημα [a, b ], όπου με A := max f(t, y) a t b y c y y +c έχουμε ( b := min b, a + c ). A H συνθήκη (1.9) είναι πολύ ασθενέστερη από την (1.6). Κάθε συνάρτηση f C ( [a, b] [y c, y + c] ), η οποία είναι συνεχώς παραγωγίσιμη ως προς τη δεύτερη μεταβλητή στο διάστημα [y c, y + c], πληροί την (1.9). Η απόδειξη του Θεωρήματος 1.2 δεν είναι δύσκολη, μπορεί δε να γίνει με κατάλληλη τροποποίηση της απόδειξης του Θεωρήματος 1.1. Σημειώνουμε επίσης ότι και μόνο η συνέχεια της f, f C ( [a, b] R ), εξασφαλίζει ύπαρξη λύσης του (1.1) σε κάποιο διάστημα της μορφής [a, c], c > a. Δεν εξασφαλίζει όμως, γενικά, μοναδικότητα, όπως φαίνεται και από το παράδειγμα (1.5). (Στο παράδειγμα αυτό εύκολα διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση f(y) := y δεν ικανοποιεί την τοπική συνθήκη του Lipschitz ως προς y σε κανένα διάστημα που περιέχει το μηδέν.) Πολύ σημαντική είναι η γενίκευση των παραπάνω για συστήματα Σ.Δ.Ε. πρώτης τάξης. Έστω m N, f : [a, b] R m R m, και y R m. Ζητείται συνάρτηση y : [a, b] R m τέτοια ώστε (1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y. Τα αποτελέσματα που αναφέραμε προηγουμένως ισχύουν και για το πρόβλημα (1.1), αν απλώς αντικαταστήσουμε την απόλυτη τιμή με μία οποιαδήποτε νόρμα του R m. Το ανάλογο του Θεωρήματος 1.1 φερ ειπείν είναι τώρα το εξής: Θεώρημα 1.3 Έστω f : [a, b] R m R m μία συνεχής συνάρτηση, η οποία πληροί τη συνθήκη του Lipschitz ως προς y, ομοιόμορφα ως προς t, ως προς μια νόρμα του

6 6 1. Προβλήματα αρχικών τιμών R m, δηλαδή (1.11) L R t [a, b] y 1, y 2 R m f(t, y 1 ) f(t, y 2 ) L y 1 y 2. Τότε, για κάθε y R m, το πρόβλημα (1.1) λύνεται μονοσήμαντα. Η συνθήκη (1.11) είναι, και πάλι, πολύ περιοριστική. Αν, για παράδειγμα, =, η f είναι συνεχώς παραγωγίσιμη για (t, y) [a, b] R m, και ισχύει ότι M := sup 1 i m (t,y) [a,b] R m n j=1 f i y j <, τότε η f πληροί την (1.11) με M = L. Το ανάλογο πρόβλημα του (1.2) είναι τώρα της μορφής (1.12) y (t) = A(t) y(t) + g(t), a t b, y(a) = y, όπου, για t [a, b], g(t) R m και A(t) R m,m. Το πρόβλημα αυτό έχει μοναδική λύση, αν, π.χ., τα δεδομένα g και A είναι συνεχείς συναρτήσεις του t, για t [a, b]. Προβλήματα της μορφής (1.1) παρουσιάζονται πολύ συχνά στις εφαρμογές. Επί πλέον, προβλήματα αρχικών τιμών Σ.Δ.Ε. ανώτερης τάξης μπορούν να αναχθούν σε προβλήματα αρχικών τιμών για συστήματα της μορφής (1.1). Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, το πρόβλημα αρχικών τιμών (1.13) y (m) (t) = f ( t, y(t), y (t),..., y (m 1) (t) ), a t b, y (i) (a) = y i, i =,..., m 1. Αν θέσουμε z(t) := ( y(t), y (t),..., y (m 1) (t) ) T, z := (y, y 1,..., y m 1 ) T, το πρόβλημα (1.13) γράφεται, όπως διαπιστώνουμε, στη μορφή z 2 (t) z 3 (t) z (t) =., a t b, (1.14) z m (t) f ( t, z 1 (t),..., z m (t) ) z(a) = z. Ακριβώς ανάλογα μπορεί να αναγάγει κανείς προβλήματα αρχικών τιμών ανώτερης τάξης για συστήματα σε προβλήματα της μορφής (1.1).

7 Ασκήσεις 7 Αποδείξεις θεωρημάτων ύπαρξης μοναδικότητας για τη λύση προβλημάτων αρχικών τιμών για Σ.Δ.Ε. καθώς και για συστήματα Σ.Δ.Ε. υπάρχουν σε πολλά βιβλία διαφορικών εξισώσεων, παραδείγματος χάριν στα βιβλία των Coddington και Levinson [11], Birkhoff και Rota [4], Αλικάκου και Καλογερόπουλου [3], και Φίλου [4]. (Οι αριθμοί αναφέρονται στη βιβλιογραφία στο τέλος του βιβλίου.) Ασκήσεις 1.1 Έστω p : [a, b] R μία συνεχής συνάρτηση. Αποδείξτε ότι κάθε λύση της ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης y (t) = p(t)y(t), t [a, b], είναι της μορφής y(t) = Ce R t a p(s)ds με μία σταθερά C. [Υπόδειξη: Με παραγώγιση διαπιστώνει κανείς αμέσως ότι οι συναρτήσεις της δεδομένης μορφής αποτελούν πράγματι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Για το αντίστροφο, υποθέστε ότι y είναι μία λύση της εξίσωσης, θεωρήστε τη συνάρτηση u, u(t) = e R t a p(s)ds y(t), t [a, b], και βεβαιωθείτε ότι u =, δηλαδή ότι η u είναι σταθερή συνάρτηση.] 1.2 (Η μέθοδος της μεταβολής των σταθερών.) Έστω p, q : [a, b] R συνεχείς συναρτήσεις. Αποδείξτε ότι οι λύσεις της μη ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης y (t) = p(t)y(t) + q(t), t [a, b], είναι της μορφής } y(t) = e R t a p(s)ds C + a q(s) e R s a p(τ)dτ ds, a t b, με μία σταθερά C, βλέπε την (1.3). [Υπόδειξη: Για να βεβαιωθείτε ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις, αρκεί να παρατηρήσετε ότι η διαφορά δύο λύσεων της μη ομογενούς εξίσωσης αποτελεί λύση της ομογενούς και να λάβετε υπ όψιν την Άσκηση 1.1. Για να προσδιορίσετε λύσεις, δοκιμάστε λύσεις της μορφής y(t) = C(t)e R t a p(s)ds, όπως στην Άσκηση 1.1, αλλά τώρα με μία συνάρτηση C στη θέση της σταθεράς C γι αυτόν ακριβώς το λόγο αυτή η τεχνική λέγεται μέθοδος της μεταβολής των σταθερών. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση C πληροί μία απλή διαφορική εξίσωση, η οποία είναι εύκολο να επιλυθεί.] 1.3 Θεωρήστε το πρόβλημα αρχικών τιμών y = y, t 2, y() = 1.

8 8 1. Προβλήματα αρχικών τιμών Αποδείξτε ότι για το πρόβλημα αυτό ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος 1.2 για κατάλληλα c και L. Προσδιορίστε τη λύση y με τη μέθοδο του χωρισμού μεταβλητών. 1.4 Θεωρήστε το πρόβλημα αρχικών τιμών (1.4). Ελέγξτε ότι το Θεώρημα 1.2 εξασφαλίζει ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του (1.4) τουλάχιστον σ ένα διάστημα της μορφής [, b ]. Επειδή η f ικανοποιεί τη συνθήκη του Lipschitz ως προς y σε οποιοδήποτε διάστημα της μορφής [1 c, 1 + c], μελετήστε το b ως συνάρτηση του c. 1.5 Θεωρήστε το πρόβλημα αρχικών τιμών y = 1 y 2, t, y() = 1. α) Γιατί πρέπει να αναμένεται ότι το πρόβλημα αυτό δεν έχει μοναδική λύση; β) Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις y(t) = 1 και y(t) = cosh t είναι λύσεις του προβλήματος σε κάθε διάστημα [, b], b >. γ) Ποιο είναι το μεγαλύτερο διάστημα της μορφής [, b) στο οποίο η y(t) = cos t είναι λύση; 1.6 Έστω t (, 1). Προσδιορίστε μία μη μηδενική σταθερά c τέτοια ώστε η συνάρτηση y : [, 1] R,, t t, y(t) := c(t t ) 2, t < t 1, να αποτελεί λύση του προβλήματος αρχικών τιμών (1.5). [Σημειώνουμε ότι για t = 1/2 μία τέτοια λύση δόθηκε στη θεωρία.] 1.7 Αποδείξτε το Θεώρημα 1.3. [Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορείτε να χρησιμοποιήσετε στον R m τη νόρμα μεγίστου.] 1.8 Έστω f : [a, b] R R μία συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε t [a, b] y 1, y 2 R ( f(t, y 1 ) f(t, y 2 ) ) (y 1 y 2 ). (Δηλαδή, για κάθε σταθερή τιμή t της πρώτης μεταβλητής, η συνάρτηση f(t, ) είναι φθίνουσα.) Έστω y και z οι λύσεις των προβλημάτων αρχικών τιμών y = f(t, y), t [a, b], y(a) = y, και z = f(t, z), t [a, b], z(a) = z, αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι, για κάθε t [a, b], ισχύει y(t) z(t) y z.

9 Ασκήσεις Θεωρούμε τα προβλήματα αρχικών τιμών της Άσκησης 1.8, υποθέτοντας αυτή τη φορά ότι η συνεχής συνάρτηση f : [a, b] R R ικανοποιεί τη συνθήκη t [a, b] y 1, y 2 R ( f(t, y 1 ) f(t, y 2 ) ) (y 1 y 2 ) ν(y 1 y 2 ) 2, για κάποια σταθερά ν. (Σημειώνουμε ότι για ν = η παρούσα συνθήκη συμπίπτει με εκείνη στην προηγούμενη Άσκηση.) Συνθήκες αυτής της μορφής αναφέρονται στη βιβλιογραφία ως μονόπλευρες συνθήκες του Lipschitz. Αποδείξτε ότι, για κάθε t [a, b], ισχύει y(t) z(t) e ν(t a) y z. 1.1 Οι Ασκήσεις 1.8 και 1.9 γενικεύονται και για συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Η γενίκευση της Άσκησης 1.8 είναι: Έστω f : [a, b] R m R m μία συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε t [a, b] y 1, y 2 R m ( f(t, y 1 ) f(t, y 2 ), y 1 y 2 ). Έστω y και z οι λύσεις των προβλημάτων αρχικών τιμών y = f(t, y), t [a, b], y(a) = y, και z = f(t, z), t [a, b], z(a) = z, αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι, για κάθε t [a, b], ισχύει y(t) z(t) y z. Συμβολίσαμε εδώ με (, ) και το Ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο και την Ευκλείδεια νόρμα, αντίστοιχα, στον R m Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών y = f(t, y), t [a, b], y(a) = y, και υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f πληροί τη μονόπλευρη συνθήκη του Lipschitz που δίνεται στην Άσκηση 1.9. Βεβαιωθείτε ότι με την αλλαγή μεταβλητής u(t) := e ν(t a) y(t) το πρόβλημα γράφεται στη μορφή u = F (t, u), t [a, b], u(a) = y, με F (t, v) := e ν(t a) f ( t, e ν(t a) v ) νv

10 1 1. Προβλήματα αρχικών τιμών και αποδείξτε ότι η συνάρτηση F ικανοποιεί τη συνθήκη που δίνεται στην Άσκηση 1.8, t [a, b] y 1, y 2 R ( F (t, y 1 ) F (t, y 2 ) ) (y 1 y 2 ) (Η ανισότητα του Gronwall σε ολοκληρωτική μορφή.) Έστω ϕ μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [, T ], και α, β R με β. Αν ισχύει αποδείξτε ότι ϕ(t) α + β ϕ(s)ds t [, T ], ϕ(t) α e βt t [, T ]. [Υπόδειξη: Θεωρήστε ένα θετικό ε και αποδείξτε ότι η συνάρτηση ψ, ψ(t) := (α + ε) e βt, t [, T ], ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση ψ(t) = α + ε + β ψ(s)ds t [, T ]. Προφανώς ϕ() < ψ(). Έστω t ο μικρότερος αριθμός στο διάστημα [, T ] για τον οποίον ϕ(t ) = ψ(t ). Αποδείξτε ότι αυτό δεν είναι δυνατόν, γιατί οδηγεί στη σχέση ϕ(t ) < ψ(t ).] 1.13 (Γενίκευση της Άσκησης 1.12.) Με τους συμβολισμούς της προηγούμενης Άσκησης, υποθέτουμε ότι ϕ(t) α + h(s)ϕ(s)ds t [, T ], όπου h μία συνεχής συνάρτηση στο [, T ], η οποία λαμβάνει μόνο μη αρνητικές τιμές. Αποδείξτε ότι ϕ(t) α e R t h(s)ds t [, T ]. [Υπόδειξη: Θεωρήστε ένα θετικό ε και αποδείξτε ότι η συνάρτηση ψ, ψ(t) := (α + ε) e R t h(s) ds, t [, T ], ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση ψ(t) = α + ε + Εργαστείτε όπως στην Άσκηση 1.12.] h(s)ψ(s)ds t [, T ] (Η ανισότητα του Gronwall σε διαφορική μορφή.) Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση ϕ της Άσκησης 1.12 είναι συνεχώς παραγωγίσιμη στο διάστημα [, T ] και ικανοποιεί την ανισότητα ϕ (t) βϕ(t) t [, T ]. Αποδείξτε ότι ϕ(t) ϕ() e βt t [, T ].

11 Ασκήσεις 11 [Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι ϕ(t) ϕ() + β ϕ(s)ds t [, T ] και χρησιμοποιήστε την Άσκηση Εναλλακτικός τρόπος απόδειξης: Γράψτε τη διαφορική ανίσωση στη μορφή ( e βs ϕ(s) ) και ολοκληρώστε από μέχρι t.] 1.15 (Γενίκευση της Άσκησης 1.14.) Υποθέτουμε ότι μία συνάρτηση ϕ είναι συνεχώς παραγωγίσιμη στο διάστημα [, T ] και ικανοποιεί την ανισότητα ϕ (t) h(t)ϕ(t) t [, T ], όπου h μία συνεχής συνάρτηση στο [, T ], η οποία λαμβάνει μόνο μη αρνητικές τιμές. Αποδείξτε ότι ϕ(t) ϕ() e R t h(s)ds t [, T ] Έστω a R και f : [, ) R μία συνεχής συνάρτηση. Αποδείξτε ότι η λύση y του προβλήματος αρχικών τιμών y (t) = ay(t) + f(t), t, δίνεται από τη σχέση y() = y y(t) = e at y + e a(t s) f(s) ds, t, βλ. την (1.3). Σημειώνουμε ότι ο πρώτος όρος στο δεξιό μέλος παριστά τη λύση του προβλήματος για την ομογενή εξίσωση x (t) = ax(t), t, x() = y ενώ η ολοκληρωτέα ποσότητα e a(t s) f(s) παριστά την τιμή στο σημείο t της λύσης του προβλήματος x (t) = ax(t), t s, x(s) = f(s) Έστω M R m,m ένας πίνακας.

12 12 1. Προβλήματα αρχικών τιμών α) Κατ αναλογίαν προς τον ορισμό της εκθετικής συνάρτησης e x για πραγματικό αριθμό x, ορίζουμε τον πίνακα e M ως e M := l= 1 l! M l. Έστω μία νόρμα πινάκων. Αποδείξτε ότι ε > n N k N n+k 1 l! M l ε, l=n δηλαδή ότι η σειρά συγκλίνει και συνεπώς ο πίνακας e M είναι καλά ορισμένος. [Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την εκτίμηση n+k n+k 1 l! M l 1 l! M l l=n l=n και το γεγονός ότι η σειρά l= 1 l! xl συγκλίνει για κάθε x R.] β) Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών y (t) = My(t), t, y() = y. Αποδείξτε ότι η λύση του y δίνεται από τη σχέση [Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι ( e tm ) = ( l= y(t) = e tm y, t. 1 l! tl M l) 1 = (l 1)! tl 1 M l = Me tm.] γ) Συμβολίζουμε με E(t) τον τελεστή λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών του μέρους β), δηλαδή E(t) = e tm, οπότε y(t) = E(t)y. Κατ αναλογίαν προς τη σχέση e x+y = e x e y για πραγματικούς αριθμούς x και y, ισχύει και για πίνακες A, B R m,m ότι e A+B = e A e B, υπό την προϋπόθεση ότι οι A και B αντιμετατίθενται, δηλαδή AB = BA. Δεχθείτε αυτό το γεγονός και αποδείξτε ότι ο τελεστής E(t) έχει την ιδιότητα της ημιομάδας, δηλαδή ότι l=1 E(σ + τ) = E(σ)E(τ) σ, τ. Αυτό σημαίνει ότι αν λύσουμε διαδοχικά τα προβλήματα x (t) = Mx(t), t σ, x() = y

13 Ασκήσεις 13 και x (t) = Mx(t), σ t σ + τ, x(σ) = E(σ)y ή το αρχικό πρόβλημα στο διάστημα [, σ+τ] παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα, y(σ + τ) = x(σ + τ). Με άλλα λόγια, στην τιμή της λύσης στη χρονική στιγμή σ + τ μπορούμε να οδηγηθούμε είτε λύνοντας το αρχικό πρόβλημα στο διάστημα [, σ +τ], είτε λύνοντας το πρόβλημα κατ αρχάς στο διάστημα [, σ] και εν συνεχεία στο διάστημα [σ, σ+τ], αλλά φυσικά με τη σωστή τώρα αρχική τιμή E(σ)y Έστω Λ = diag (λ 1,..., λ m ) ένας διαγώνιος πίνακας και M R m,m ένας διαγωνιοποιήσιμος πίνακας, M = UΛU 1 με Λ = diag (λ 1,..., λ m ). Αποδείξτε ότι α) e Λ = diag ( ) e λ 1,..., e λ m β) e M = Ue Λ U 1, οπότε, φυσικά, e tm = Ue tλ U 1, για t R Έστω f : [, ) R m μία συνεχής συνάρτηση. Με τους συμβολισμούς της Άσκησης 1.17, θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών y (t) = My(t) + f(t), t, y() = y. Αποδείξτε ότι ( e tm y(t) ) = e tm f(t) και οδηγηθείτε στο συμπέρασμα ότι y(t) = e tm y + e (t s)m f(s) ds, t. (Συγκρίνετε με το αντίστοιχο αποτέλεσμα στην Άσκηση 1.16.) Η σχέση αυτή γράφεται και στη μορφή y(t) = E(t)y + E(t s)f(s) ds, όπου E(t) = e tm, η οποία συνήθως αναφέρεται ως αρχή του Duhamel. Σημειώνουμε ότι ο πρώτος όρος στο δεξιό μέλος είναι η τιμή στο σημείο t της λύσης του αντίστοιχου ομογενούς προβλήματος x (t) = Mx(t), t, x() = y, ενώ η παράσταση E(t s)f(s) είναι η τιμή στο σημείο t της λύσης του προβλήματος x (t) = Mx(t), t s, x(s) = f(s).

14 14 1. Προβλήματα αρχικών τιμών 1.2 Έστω M R m,m ένας πίνακας με ιδιοτιμές λ 1,..., λ m με μη θετικό πραγματικό μέρος, Re λ i, i = 1,..., m. Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών y (t) = My(t), t, y() = y με y. Σκοπός μας στην παρούσα Άσκηση, καθώς και σε όσες ακολουθούν, είναι να μελετήσουμε τη συμπεριφορά του λόγου όπου μία νόρμα στον R m. α) Αν m = 1, αποδείξτε ότι y(t) y, y(t) y, t. ( ) 1 β) Αν m = 2, και M =, οπότε, προφανώς, λ 1 = λ 2 =, αποδείξτε ότι η λύση y(t) δίνεται από τη σχέση ( ) (y ) y(t) = 1 + (y ) 2 t, t, (y ) 2 όπου (y ) 1 και (y ) 2 οι συνιστώσες του y, και οδηγηθείτε στο συμπέρασμα ότι y(t), t, y σε αντιδιαστολή με την περίπτωση m = 1 που εξετάστηκε προηγουμένως Έστω µ R. Χρησιμοποιούμε ( ) τον συμβολισμό της Άσκησης 1.2 και υποθέτουμε τώρα ότι M =, οπότε οι ιδιοτιμές είναι λ 1 = 1 και λ 2 =. Η 1 µ λύση y(t) δίνεται από τη σχέση ( (y ) y(t) = 1 e t + (y ) 2 µ(1 e t ) ), t. (y ) 2 Ιδιαίτερα, για (y ) 1 = και μία νόρμα p (p 1) στον R 2, αποδείξτε ότι y(t) p y p µ, t. Συγκρίνετε πάλι με το αποτέλεσμα στην περίπτωση m = 1 που εξετάστηκε στην Άσκηση 1.2 α), όπου ο αντίστοιχος λόγος φράσσεται από τη μονάδα Έστω λ C ένας αριθμός με αρνητικό πραγματικό μέρος, Re λ <. Χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό της Άσκησης 1.2 και υποθέτουμε τώρα ότι ο πίνακας M

15 Ασκήσεις 15 έχει το λ στις θέσεις της διαγωνίου του, τη μονάδα στις θέσεις της υπερδιαγωνίου του και μηδενικά στις υπόλοιπες θέσεις, λ 1 λ 1. M =.....,... 1 λ οπότε οι ιδιοτιμές είναι λ 1 = = λ m = λ. Βεβαιωθείτε ότι η λύση y(t) = ( y1 (t),..., y m (t) ) T δίνεται από τις σχέσεις y n (t) = y n ()e λt, y i (t) = y i ()e λt + y i+1 (s)e λ(t s) ds, i = m 1,..., 1, και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η συνάρτηση ϕ, ϕ(t) := e λ(t s), είναι ομοιόμορφα φραγμένη, συμπεράνετε ότι y(t) C y, t, για κάποια σταθερά C. Συγκρίνετε με την περίπτωση που εξετάστηκε στην Άσκηση 1.2 β) Χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό της Άσκησης 1.2 και υποθέτουμε τώρα ότι, πέραν της υπόθεσης Re λ i, i = 1,..., m, ισχύει Re λ i <, αν το λ i είναι πολλαπλή ιδιοτιμή. Αποδείξτε ότι y(t) C y, t, για κάποια σταθερά C που εξαρτάται και από τη νόρμα. [Υπόδειξη: Επαγωγικά ως προς m. Για m = 1 ο ισχυρισμός ισχύει προφανώς. Για m > 1, έστω T R m,m ένας πίνακας τέτοιος ώστε T 1 MT = J να είναι η κανονική μορφή του Jordan του πίνακα M. Με x(t) := T 1 y(t) γράψτε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων στη μορφή x (t) = Jx(t). Το πρόβλημα διασπάται τώρα σε προβλήματα της μορφής που μελετήθηκαν στην Άσκηση 1.2 και προβλήματα με m = 1. Επομένως x(t) C x(), t, και η ισοδυναμία των νορμών στον R m οδηγεί στο αποτέλεσμα.] 1.24 Με τον συμβολισμό της Άσκησης 1.2, υποθέτουμε ότι ο πίνακας M R m,m είναι συμμετρικός, και ότι οι (πραγματικές) ιδιοτιμές του είναι μη θετικές, λ i, 1 i m.

16 16 1. Προβλήματα αρχικών τιμών α) Έστω ϕ : (, ] R μία φραγμένη, συνεχής συνάρτηση. Ο τελεστής ϕ(m) R m,m ορίζεται ως εξής: Θεωρούμε τα ορθομοναδιαία, ως προς το Ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο (, ) στον R m, ιδιοδιανύσματα του M, v (i), i = 1,..., m, τέτοια ώστε Mv (i) = λ i v (i), 1 i m. Για κάθε v R m ορίζουμε τη δράση του ϕ(m) από τη σχέση ( φασματική παράσταση του M) Αποδείξτε ότι ϕ(m)v = m ϕ(λ i )(v, v (i) )v (i). i=1 ϕ(m) 2 = max 1 i m ϕ(λ i), όπου 2 η νόρμα πινάκων που παράγεται από την Ευκλείδεια νόρμα στον R m. β) Χρησιμοποιώντας την παράσταση y(t) = e tm y(), t, της λύσης y του προβλήματός μας, αποδείξτε ότι ισχύει y(t) 2 e t(max i λ i ) y() 2, t. γ) Αποδείξτε ότι ο ορισμός του e tm που χρησιμοποιήσαμε εδώ είναι συμβατός με εκείνον της Άσκησης 1.17 α) Έστω M R m,m ένας μη θετικά ορισμένος πίνακας, (Mx, x) για κάθε x R m. Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών y (t) = My(t), t, y() = y. Αποδείξτε ότι η Ευκλείδεια νόρμα y( ) είναι φθίνουσα συνάρτηση Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών x (t) = 2x(t) + y(t), t, y (t) = 2x(t) 2y(t), t, x() = x, y() = y. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση [x( )] 2 + [y( )] 2 είναι φθίνουσα. ( ) 2 1 [Υπόδειξη: Ο πίνακας είναι αρνητικά ορισμένος. Βλέπε την Άσκηση ] 1.27 Έστω M R m,m ένας αντισυμμετρικός πίνακας, δηλαδή τέτοιος ώστε για τα στοιχεία του να ισχύει M ij = M ji, i, j = 1,..., m. Θεωρούμε το πρόβλημα

17 Ασκήσεις 17 αρχικών τιμών y (t) = My(t), t, y() = y. Αποδείξτε ότι η Ευκλείδεια νόρμα y( ) είναι σταθερή συνάρτηση, y(t) = y(), για κάθε t. [Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι (Mx, x) = για κάθε x R m. Πάρτε τώρα στο σύστημα των διαφορικών εξισώσεων το εσωτερικό γινόμενο με y(t) και χρησιμοποιήστε την προαναφερθείσα ιδιότητα.] 1.28 Έστω M R m,m ένας συμμετρικός πίνακας. Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών y (t) = i My(t), t, y() = y για μια συνάρτηση y : [, ) C, όπου i η φανταστική μονάδα. Αποδείξτε ότι η Ευκλείδεια νόρμα y( ) είναι σταθερή συνάρτηση, y(t) = y(), για κάθε t. [Υπόδειξη: Πάρτε στο σύστημα διαφορικών εξισώσεων το εσωτερικό γινόμενο με y(t) και χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι στη μιγαδική περίπτωση ισχύει d dt y(t) 2 = d ( ) ( y(t), y(t) = y (t), y(t) ) + ( y(t), y (t) ) = 2Re ( y (t), y(t) ), dt d δηλαδή Re ( y (t), y(t) ) = 1 2 dt y(t) 2. Επί πλέον ισχύει (Mz, z) R, για κάθε z C n.]

2. Η μέθοδος του Euler

2. Η μέθοδος του Euler 2. Η μέθοδος του Euler Ασκήσεις 2.5 Έστω a = t 0 < t 1 < < t N = b ένας διαμερισμός του [a, b]. Υποθέστε ότι ο διαμερισμός είναι ημιομοιόμορφος, ότι υπάρχει δηλαδή θετική σταθερά µ, ανεξάρτητη του N, τέτοια

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN

Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΛΑΝΔΡΑΚΗ ΓΑΡΥΦΑΛΙΑ Επιβλέπων καθηγητής : Μακριδάκης Χαράλαμπος Περιεχόμενα Εισαγωγή Κεφάλαιο 1. Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN 1.1 Προκαταρκτικά 1.2

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών 6 1 σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι για την επίλυση ΠΑΤ Δ.Ε.

Αριθμητικές Μέθοδοι για την επίλυση ΠΑΤ Δ.Ε. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι για την επίλυση ΠΑΤ Δ.Ε. 4.1 Προβλήματα αρχικών τιμών Στο κεφάλαο αυτό θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή. Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές. 3 d

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Για κάθε μία από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις πείτε αν είναι γραμμική ή όχι και προσδιορίστε την τάξη της. α. y + y +

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0 Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Μετασχηματισμός Laplace. 7.1 Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Laplace

Κεφάλαιο 7. Μετασχηματισμός Laplace. 7.1 Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Laplace Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace Σε αυτο το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace, η οποία αποτελεί μία από τις βασικές τεχνικές μαθηματικών προβλημάτων: μετασχηματίζει δύσκολα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 1 / 78 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα, γνωστά και ως συστήματα διαφορικών εξισώσεων, περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται συνεχώς στο χρόνο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση Κεφάλαιο 3 Πρόβλημα δύο σημείων Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μεθόδο πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα Σ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως, τα οποία καλούνται και προβλήματα δύο σημείων. Ο λόγος που θα ασχοληθούμε

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Κεφάλαιο 6 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων 1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτης τάξης µε συνθήκες αρχικών τιµών ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Να ευρεθεί συνάρτηση y = y(x) η οποία για x [a, b] ικανοποιεί την εξίσωση y = f(x, y) υπό την αρχική συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 3: Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 11 Κεφάλαιο 1o: Εισαγωγικά... 15 1.1 Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση... 15 1.2 Πηγές Σφαλμάτων... 17 1.2.1 Εισόδου... 17 1.2.2 Αριθμητικής Υπολογιστών... 18 1.2.3

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα