Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων"

Transcript

1 Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό ή σχετικό ακρότατο της f αν είναι είτε τοπικό ελάχιστο είτε τοπικό μέγιστο της f Υποθέτουμε περαιτέρω ότι U ανοικτό υποσύνολο στον R και f διαφορίσιμη συνάρτηση, το σημείο λέγεται κρίσιμο σημείο της f αν, f f για κάθε i,,, Ένα κρίσιμο σημείο που δεν είναι i τοπικό ακρότατο λέγεται σαγματικό σημείο για την f Κατ αναλογία με τον Λογισμό συναρτήσεων μιας μεταβλητής ισχύει η ακόλουθη γενίκευση του θεωρήματος Frmat: Θεώρημα Αν U R ανοικτό, η f : U R R είναι διαφορίσιμη στο τότε U και η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο U f, δηλαδή το είναι κρίσιμο σημείο για την f Απόδειξη: Υποθέτουμε χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο U Αν h R με t th, δηλαδή θεωρούμε την gt f th κατάλληλο διάστημα,, g f f th gt για κάθε t, h περιορίζουμε την f στην ευθεία η οποία ορίζεται σε Παρατηρούμε ότι,, για κάποιο δηλαδή η g παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο Επειδή η g ως σύνθεση t και διαφορίσιμων ( της, έπεται από το θεώρημα Frmat για διαφορίσιμες συναρτήσεις μιας μεταβλητής ότι f i i Το ίδιο συμπέρασμα έπεται από το γεγονός ότι, f ) είναι διαφορίσιμη στο g ' Όμως από τον κανόνα της αλυσίδας, g' hi f h, h h,, h f στο g ' ισούται με την παράγωγο της f g f h h, όπου στην κατεύθυνση h, δηλαδή ' h h,, h με h Έπεται από τα παραπάνω ότι: f h για κάθε i i h f R i i για κάθε hh h R Έτσι συμπεραίνουμε ότι, f κάθε i,,,,, f i i h i για

2 Σημείωση Το προηγούμενο αποτέλεσμα μας λέει ότι αν αναζητούμε τα τοπικά ακρότατα μιας διαφορίσιμης συνάρτησης f : U R R, τότε θα πρέπει να ψάξουμε στα κρίσιμα σημεία Εφόσον: τοπικό ακρότατο της f κρίσιμο σημείο της f Παραδείγματα: ) Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία της f y, y y f f Έχουμε ότι, y y, y y Εξισώνοντας τις μερικές παραγώγους με μηδέν παίρνουμε το σύστημα : y y αφαιρώντας, παίρνουμε y y y Αντικαθιστώντας το y στην πρώτη εξίσωση, βρίσκουμε ότι y y y οπότε y και άρα Αν y, τότε y y y, δηλαδή y και επομένως Επομένως το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f είναι το, Επειδή f, το το οποίο παίρνει και θετικές και αρνητικές για κοντά στο,, δεν είναι τοπικό ακρότατο της f, επομένως είναι σαγματικό σημείο της f )Έστω f y, y f f Παρατηρούμε ότι και y y f Επομένως το σύστημα: y f y y Έτσι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f είναι το, Επειδή f, f, y y για κάθε, y R το σημείο, είναι τοπικό ( μάλιστα oλικο ) ελάχιστο για την f ) Έστω f y, y f f f Παρατηρούμε ότι, y Συνεπώς το σύστημα, y f y έχει ως μόνη λύση το, Συμπεραίνουμε ότι το μόνο κρίσιμο σημείο της f είναι το, Εξετάζοντας απ ευθείας τις τιμές της f σε σημείο κοντά στην αρχή των αξόνων, βλέπουμε ότι f, f, και f y y f,,

3 4 σαγματικό σημείο για την f Έπεται ότι το, δεν είναι τοπικό ακρότατο για την f, επομένως είναι 4) Έστω f y, y Τότε έχουμε f y, f και το σύστημα y ως μόνη λύση το σημείο, Το σημείο f και είναι σαγματικό σημείο αφού για, y ομόσημα έχουμε για, y ετερόσημα έχουμε, f, y y Παρατηρούμε ότι, f y, y y f,έχει f y, είναι το μόνο κρίσιμο σημείο της f, y y και, άρα αν θέσουμε u y και 4 v y η συνάρτηση γίνεται f uv,, yuv, u v, που είναι η 4 περίπτωση του παραδείγματος () 5)Θεωρούμε την συνάρτηση, f y, y a y y y, όπου, και a,,, τυχόντες πραγματικοί αριθμοί Παρατηρούμε ότι, αν θέσομε, y a y y y y, y,, τότε, lim y Πράγματι, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι, y y y y y y y Έπεται ότι, υπάρχει και y y y y y και παρομοίως για τις συναρτήσεις, y, r :, όταν y r y Συνεπώς, f y y y y f,,, για y r, Παρατηρούμε ότι το δευτεροβάθμιο μέρος της συνάρτησης κυριαρχεί και καθορίζει την συμπεριφορά της συνάρτησης πλησίον του σημείου,, που σημαίνει ότι η f έχει τοπικό ελάχιστο στο,

4 5 Τετραγωνικές μορφές Μια πολυωνυμική συνάρτηση f : R R ομογενής και ου βαθμού ονομάζεται τετραγωνική μορφή ή και τετραγωνική συνάρτηση ( όλα τα μονώνυμα της f είναι της μορφής, i, j ) Παραδείγματα ) i j f y, a y y, y, R, a,, R είναι τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών ( γενική μορφή ) ) Η f yz,, a y z yz yz,, yz, R είναι τετραγωνική μορφή μεταβλητών ( γενική μορφή ) ) Οι f, y y και, a,,,,, R g, y y y δεν είναι τετραγωνικές μορφές αφού στην f εμφανίζεται σταθερός όρος ( μονώνυμο μηδενικού βαθμού ) και στην g το πρωτοβάθμιο μονώνυμο 4)Η f y, y και,, μεταβλητών αντίστοιχα f yz y zείναι τετραγωνικές μορφές και Παρατηρήσεις: () Μια τετραγωνική μορφή f : R R γράφεται στην γενική της μορφή ως, f,, aij i j a ii i a ij i j () i, j i i j Με την βοήθεια του πίνακα a ij μπορούμε να γράψουμε την () ως εξής, f,,,, () είναι συμμετρικός ( δηλαδή aij aji Μπορούμε ακόμη να υποθέσουμε ότι ο a ij για κάθε i, j ) αφού η f δεν μεταβάλλεται αν αντικαταστήσουμε το aij a ji bij, αφού ij ji (Άρα, f,, aiii aijij ) i ij )Ο τετραγωνικός χαρακτήρας της f φαίνεται και από την f,, f,,, R a ij με το Μας ενδιαφέρουν κυρίως οι τετραγωνικές μορφές δύο μεταβλητών και δευτερευόντως οι τετραγωνικές μορφές τριών ή περισσοτέρων μεταβλητών Παράδειγμα: Έστω f y, a y y η γενική τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών Θέτοντας ', μπορούμε να γράψουμε:

5 6, ' f y a y y Η f δίνεται από τον συμμετρικό πίνακα a a ' a ', αφού f y, a ' y y y, ' ' y Έτσι μια τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών θα γράφεται: f y, a y y Σημειώνουμε ότι αν ο πίνακας της f είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή αν, τότε το, είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f ( γιατί; ) Ορισμός Μια τετραγωνική μορφή f : R R λέγεται: R με και (α) Θετικά ορισμένη, αν f για κάθε (β) Αρνητικά ορισμένη, αν f για κάθε R (γ) Η f λέγεται θετικά ημιορισμένη αν f για κάθε με R Ανάλογα ορίζεται και η αρνητικά ημιορισμένη τετραγωνική μορφή (δ) Η f λέγεται αόριστη αν υπάρχουν, y R f f y Προφανώς, ώστε f για κάθε τετραγωνική μορφή, αφού δεν περιέχει σταθερό όρο ( διάφορο του μηδενός ) Παρατηρούμε ότι: ) Αν η f είναι θετικά ( αντιστοίχως αρνητικά ) ορισμένη τότε το R είναι ολικό ελάχιστο ( αντιστοίχως ολικό μέγιστο ) για την f Ανάλογες παρατηρήσεις ισχύουν και για τις ημιορισμένες τετραγωνικές μορφές ) Αν η f είναι θετικά ή αρνητικά ορισμένη τότε ο συμμετρικός πίνακας Α που ορίζει την f (υπενθυμίζουμε ότι, f,,,, για κάποιο συμμετρικό πίνακα Α ) είναι αντιστρέψιμος ( γιατί; ) Η συμπεριφορά μιας τετραγωνικής μορφής δύο μεταβλητών κοντά στο σημείο, περιγράφεται στην επόμενη 4 Πρόταση Έστω f y, a y y τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών Τότε, ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Αν a και a τότε η f είναι θετικά ορισμένη άρα το, είναι ολικό ελάχιστο για την f (ιι) Αν a και a τότε η f είναι αρνητικά ορισμένη άρα το, είναι ολικό μέγιστο για την f (ιιι) Αν a, το σημείο, είναι σαγματικό σημείο της f (ιν) Αν a, έχει, (α) μέγιστο ή ελάχιστο ανάλογα αν τότε η f στο a ή a και (β) αν a, μέγιστο ή ελάχιστο ανάλογα αν ή

6 7 Απόδειξη: Αν a f y, yμε και εύκολα βλέπουμε ότι το, είναι σαγματικό σημείο της f ( δες και το παράδειγμα (4)) Παρατηρούμε ακόμη ότι τότε a και η περίπτωση αυτή εντάσσεται στην (ιιι) Υποθέτουμε λοιπόν χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι a Αντιμετωπίζοντας την f ως συνάρτηση του ή του y και ενθυμούμενοι ότι ένα τριώνυμο παραγοντοποιείται «συμπληρώνοντας τα τετράγωνα» έχουμε, f y, a y y a a y y y a y a a a a a a y y ( Αν, τότε εναλλάσσοντας το a με το και το a a με το y έχομε: f y, y ) Έπεται ότι: (ι) Αν a και a, στο σημείο, η f έχει ελάχιστη τιμή (ιι) Αν a και a στο σημείο, η f παίρνει μέγιστη τιμή (ιιι) Αν a το σημείο, είναι σαγματικό σημείο της f Πράγματι, αν f, y ως προς, είναι οι τότε y τότε οι ρίζες της εξίσωσης a y y και y y, όπου, i, i, a Έπεται εύκολα ότι για y με y μικρό αριθμό, υπάρχουν, R με, μικρούς αριθμούς ώστε f, y και f, y ( ο θα είναι εκτός του διαστήματος των ριζών y και y και ο θα επιλεγεί εντός αυτού του διαστήματος ) Συνεπώς το, είναι σαγματικό σημείο της f Σημειώνουμε ότι το τελευταίο συμπέρασμα ισχύει ακόμη και αν a ( με την προϋπόθεση ότι a ) Πράγματι αν, εναλλάσσοντας τους ρόλους των a και βρίσκουμε f, y y Από όπου εύκολα συμπεραίνουμε ότι το, είναι πράγματι σαγματικό σημείο της f y (ιν) Αν a και a τότε f, ya a Από όπου έπεται αμέσως ο πρώτος ισχυρισμός Αν a και a, τότε f y, y δεύτερος ισχυρισμός και άρα, από όπου έπεται ο

7 Παρατήρηση Έστω f a,, ij i j i, j ορίζεται από τον συμμετρικό πίνακα ij, a i j Άλγεβρας αποδεικνύεται ότι: )Η f είναι θετικά ορισμένη ( f για κάθε όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι θετικές )Η f είναι αρνητικά ορισμένη ( f για κάθε όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι αρνητικές ) Η f είναι θετικά ημιορισμένη ( f για κάθε ιδιοτιμές του είναι Η f είναι αρνητικά ημιορισμένη ( f για κάθε 8, μια τετραγωνική μορφή που Στο μάθημα της Γραμμικής R με R με R R ) αν και μόνο αν ) αν και μόνο αν ) αν και μόνο αν όλες οι ) αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του είναι 4) Η f είναι αόριστη αν και μόνο αν ο έχει αρνητικές και θετικές ιδιοτιμές Δηλαδή η f δεν είναι θετικά αλλά ούτε αρνητικά ημιορισμένη Επίσης υπενθυμίζουμε τα ακόλουθα για ένα τετραγωνικό πίνακα 5) Οι ιδιοτιμές του είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ( χαρακτηριστικού πολυωνύμου ) του, δηλαδή της dt, όπου ο ταυτοτικός πίνακας 6) Για την ορίζουσα dt του ισχύει ότι dt το γινόμενο των ιδιοτιμών του 7) Αν ο είναι επιπλέον συμμετρικός τότε οι ιδιοτιμές του είναι όλες πραγματικές Είναι εύκολο να ελέγξουμε τους ισχυρισμούς (), (), () και (4) στην περίπτωση μιας τετραγωνικής μορφής δύο μεταβλητών a Έστω, f, ya y y, y y a Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι το dt a Επομένως a a a Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι η a 4 Οι πραγματικές ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι a a οι, και Οι ρίζες αυτές είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι το dt a το δε άθροισμα των Α Το γινόμενο των ριζών του ριζών του είναι το S a Εύκολα τώρα διαπιστώνουμε τους παραπάνω ισχυρισμούς Παρατηρούμε ότι αν οι ρίζες είναι ετερόσημες, δηλαδή το a ( η f είναι αόριστη τετραγωνική μορφή )τότε το, είναι σαγματικό σημείο της f

8 9 5 Ορισμός Έστω U κλάσης R ανοικτό, U και f : U R συνάρτηση της C Η Εσσιανή ( Hssia) της f στο είναι η τετραγωνική μορφή Hf : R R που ορίζεται ως, f Hf h h h i j, i, j i j,, h h h R Παρατηρούμε ότι: ) Η f είναι ακριβώς το διαφορικό δεύτερης τάξης της f, δηλαδή f D f στο Υπενθυμίζουμε ότι από την συνέχεια των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης της f, έχουμε ότι αν,, h h h R τότε: f f D f h h hh και άρα η Εσσιανή είναι i i j i i ijij πράγματι τετραγωνική μορφή Ακόμη ότι το ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης της f στο είναι το f h f Df h Df h Rh, όπου Rh, είναι το! υπόλοιπο Taylor της f στο για το οποίο ισχύει R h, lim h h ) Ο πίνακας ( Hss ) που δίνει την τετραγωνική μορφή f, δηλαδή την Εσσιανή, είναι ο συμμετρικός πίνακας f f f f f f f f f f των δευτέρων μερικών παραγώγων της f στο

9 4 h f f h h h f hh i j, i, jij h f f f Παρατηρούμε ότι,,, όπου hh h R και ακόμη ότι,, 6 Λήμμα Έστω : R R τετραγωνική μορφή Αν η είναι θετικά ορισμένη τότε υπάρχει σταθερά h h για κάθε h R Απόδειξη: Έστω ώστε, h aijhh i j και S h R : h i, j συνάρτηση g: S R: gh h, ορίζουμε την, δηλαδή περιορίζουμε την στο S Επειδή η g είναι συνεχής ( η είναι συνεχής στον R ως πολυώνυμο) και η επιφάνεια S της μοναδιαίας σφαίρας του R είναι συμπαγές σύνολο η g επιτυγχάνει ελάχιστη τιμή στην S, η οποία είναι βεβαίως θετικός αριθμός, αφού η είναι θετικά ορισμένη Έστω mi gh : h Επειδή η είναι τετραγωνική μορφή θα έχουμε, ότι αν h τότε, h h h h h h h g h h h h Αν h το αποτέλεσμα είναι προφανώς σωστό Πρόκειται να αποδείξουμε ένα αποτέλεσμα για διαφορίσιμες συναρτήσεις πολλών μεταβλητών που γενικεύει το ακόλουθο κλασσικό αποτέλεσμα για μια πραγματική μεταβλητή Αν R είναι ανοικτό διάστημα, και f : R είναι μια συνάρτηση της κλάσης f ' τότε: C ώστε (ι) Αν f '', το (ιι) Αν '' Έστω f, το U R ανοικτό, είναι τοπικό ελάχιστο της f είναι τοπικό μέγιστο της f U και f : U είναι κρίσιμο σημείο της f Επειδή τότε R συνάρτηση της κλάσης f στο, δεύτερης τάξης γράφεται ως εξής: f h f f h Rh, C ώστε το f, το ανάπτυγμα Taylor της

10 4 Η γενίκευση στην οποία αναφερθήκαμε έχει ως ακολούθως 7 Θεώρημα (Κριτήριο της δεύτερης παραγώγου ) Αν η f : U R R είναι της κλάσης C και το U είναι ένα κρίσιμο σημείο της f τότε: (ι) Αν η Εσσιανή f είναι θετικά ορισμένη, δηλαδή αν οι ιδιοτιμές του Εσσιανού πίνακα f της f είναι όλες θετικές, τότε το είναι τοπικό ελάχιστο για την f (ιι) Αν η Εσσιανή f είναι αρνητικά ορισμένη, δηλαδή αν οι ιδιοτιμές του f είναι όλες αρνητικές, τότε το είναι τοπικό μέγιστο για την f (ιιι) Αν η Εσσιανή f δεν είναι θετικά αλλά ούτε αρνητικά ημιορισμένη, δηλαδή ο είναι σαγματικό f έχει αρνητικές και θετικές ιδιοτιμές τότε το σημείο της f Απόδειξη: Όπως παρατηρήσαμε ήδη ο τύπος του Taylor στο, δεύτερης τάξης R h, γράφεται f h f f h R h, όπου lim h h (ι) Επειδή η H f είναι θετικά ορισμένη από το προηγούμενο Λήμμα έπεται ότι υπάρχει ώστε f h h για κάθε h R Rh, Αφού, υπάρχει : h τότε R h, h h h Συνεπώς, αν h τότε,, f R h f h f Άρα f f h για κάθε h με h, δηλαδή το είναι ( γνήσιο! ) τοπικό ελάχιστο για την f Η απόδειξη στην περίπτωση που η f είναι αρνητικά ορισμένη είναι παρόμοια ( εξάλλου έπεται αν εφαρμόσουμε τα παραπάνω στην f ) και έτσι παραλείπεται (ιιι) Έστω h, h R ώστε, f h και f h Είναι Rth, σαφές ότι υπάρχει ώστε : t h και th, R th h th Έπεται ότι αν t τότε, f th f f thrth, f f ht Rth, f t Rth, f, t R th, t R th, t R th, ) ( εφόσον

11 4 Ανάλογα βρίσκουμε: f th f f thrth, f t Rth, f Άρα για t έχουμε, f th f f th, από όπου συμπεραίνουμε ότι η f δεν έχει τοπικό ακρότατο στο Δηλαδή το είναι σαγματικό σημείο της f Ακολούθως εφαρμόζουμε το προηγούμενο θεώρημα και την πρόταση 4 σε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών πραγματική συνάρτηση της κλάσης C, ορισμένη στο ανοικτό υποσύνολο U του R και, yu κρίσιμο σημείο της f, δηλαδή f f y Θέτομε, a f, f, f και a y y Η ποσότητα a ονομάζεται διακρίνουσα και ισούται με την ορίζουσα του, y ( Παρατηρούμε ότι ο Εσσιανός πίνακας της Έστω λοιπόν z f, y Εσσιανού πίνακα της f στο f στο ακόλουθο θεώρημα είναι αντιστρέψιμος, εφόσον η ορίζουσά του ισούται με a ) 8 Θεώρημα Ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Αν a και a, y (ιι) Αν a και a, y (ιιι) Αν a, y είναι σαγματικό σημείο της f y, η f έχει τοπικό ελάχιστο στο, η f έχει τοπικό μέγιστο στο, το Απόδειξη: Ας συμβολίσουμε με Q την Εσσιανή f, y, h, h R της f στο Q h h h hh h, όπου y y f f f Τότε έχουμε,, Συνεπώς σύμφωνα με τον συμβολισμό που υιοθετήσαμε Q h, h ah hh h, h, h R Οι ισχυρισμοί (ι), (ιι) και (ιιι) είναι τώρα εύκολη συνέπεια του προηγούμενου θεωρήματος σε συνδυασμό με την πρόταση 4 Σημείωση Μια ενδιαφέρουσα απευθείας απόδειξη του ισχυρισμού (ιιι) του θεωρήματος 8 έχει ως ακολούθως: Παρατηρούμε ότι επειδή

12 4 από τον ισχυρισμό (ιιι) της πρότασης 4 το a, είναι σαγματικό του R ώστε Qu και Qv Υποθέτουμε, όπως μπορούμε, ότι u v Έστω :, U, θεωρούμε τις συναρτήσεις ( της κλάσης C ) που ορίζονται από τους τύπους, t f tu και t f tv για t Εφαρμόζοντας τον κανόνα αλυσίδας δύο φορές στις συναρτήσεις και ( δηλαδή στις και ' και και ' ), υπολογίζουμε ότι ' f u και '' Qu ' f vκαι '' Qu Έπεται από την θεωρία της μιας πραγματικής μεταβλητής ότι η επιτυγχάνει στο τοπικό ελάχιστο και η τοπικό μέγιστο Συμπεραίνουμε ότι, f tv t f t f tu για αρκετά μικρό t Είναι σαφές από αυτές τις ανισότητες ότι η f δεν μπορεί να έχει στο σημείο, y τοπικό ακρότατο, έτσι το, y είναι πράγματι σαγματικό σημείο της f σημείο της Q, επομένως υπάρχουν σημεία u u, u και v v, v Οι υπολογισμοί, με τον κανόνα της αλυσίδας, των ' και '' στην προηγούμενη απόδειξη έχουν ως εξής: Για t, έχουμε, f f f ' t tuu tuu, άρα, '' t tuu u y f f f tuu u y tuu u y tuu u y y f f f tuu tuuu tuu y y f f Συνεπώς, ' f u και '' u uu y f u Qu y Οι υπολογισμοί για τις ' και '' είναι παρόμοιοι Παρατηρήσεις: ) Η συμπεριφορά μιας συνάρτησης f της κλάσης C κοντά στο κρίσιμο σημείο υπό την προϋπόθεση ότι ο Εσσιανός πίνακας f είναι αντιστρέψιμος ( στην περίπτωση που η f είναι δύο μεταβλητών αυτό σημαίνει ότι η διακρίνουσα, a ) καθορίζεται από το δευτεροβάθμιο μέρος της, δηλαδή την Εσσιανή f της f Τα κρίσιμα σημεία στα οποία ο f είναι

13 44 αντιστρέψιμος ονομάζονται μη εκφυλισμένα, τα υπόλοιπα κρίσιμα σημεία όπου ο f δεν είναι αντιστρέψιμος ονομάζονται εκφυλισμένα )Η μελέτη μιας C συνάρτησης δύο μεταβλητών συνοψίζεται ως εξής: f (α) Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f λύνοντας το σύστημα f y (β) Υπολογίζουμε τις Εσσιανές των κρίσιμων σημείων της f : (ι) κάποιες από αυτές μπορεί να είναι θετικά ορισμένες, υποδεικνύοντας τα σχετικά ελάχιστα, κάποιες μπορεί να είναι αρνητικά ορισμένες υποδεικνύοντας τα σχετικά μέγιστα ( a ) (ιι) Κάποιες μπορεί να μην είναι ούτε θετικά ούτε αρνητικά ορισμένες υποδεικνύοντας τα σαγματικά σημεία ( αν ) (γ) Τα κρίσιμα σημεία για τα οποία a ( μη εκφυλισμένα κρίσιμα σημεία ) είναι ( τοπικά ) μέγιστα και ελάχιστα ή σαγματικά σημεία Τα υπόλοιπα κρίσιμα σημεία όπου εκφυλισμένα κρίσιμα σημεία), συνήθως ελέγχονται απευθείας ) Το Κριτήριο της δεύτερης παραγώγου ( θεώρημα 7) μπορεί να αποφανθεί υπό την προϋπόθεση ότι το κρίσιμο σημείο είναι μη εκφυλισμένο, διότι τότε όλες οι ιδιοτιμές του Εσσιανού πίνακα είναι μη μηδενικές, από όπου έπεται ότι μια από τις τρείς περιπτώσεις του θεωρήματος ισχύει Παραδείγματα όπως τα f y, y και y, δείχνουν ότι η f μπορεί να έχει ελάχιστο, μέγιστο ή σαγματικό σημείο αντίστοιχα στο,, ενώ ο Εσσιανός πίνακας στο σημείο αυτό είναι ο μηδενικός πίνακας Παραδείγματα: ) Να μελετηθούν τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f y, y y 4 y, y, R f f Λύση y, y4 Επιλύουμε το σύστημα y f y y y f y 4 y4 y 4 y 4 y Το πρώτο σύστημα έχει ως λύσεις τις και y 4 Το δεύτερο σύστημα είναι ισοδύναμο με το y 4 και έχει ως λύσεις τις και y και 4 και y 6 Έτσι οι λύσεις του αρχικού συστήματος είναι:,,,, 4,6 Έπεται ότι τα κρίσιμα σημεία της f είναι,,,, 4,6

14 45 Οι δεύτερες μερικές παράγωγοι της f είναι: f f f f 6 y, και y y y Στο κρίσιμο σημείο, Εσσιανή είναι:,,,, y η f f f Q h h y h y hh y h y y (Ι) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a 4,, Επομένως a και 4 8 Άρα η f έχει στο, a τοπικό μέγιστο (ΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: f a, 6 6, f f, και, y y Συνεπώς a και άρα το, είναι σαγματικό σημείο για την f (ΙΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο 4,6 έχουμε: f f a 4,66464, 4, 648 και y f 4,6 Συνεπώς, a και y το 4,6 είναι σαγματικό σημείο για την f Η μελέτη μας μπορεί να συνοψισθεί στον ακόλουθο πίνακα: y a f fy f yy a Κατάταξη 4 8 Τοπικό μέγιστο Σαγματικό σημείο Σαγματικό σημείο ) Μελετήστε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f y, y 5 8y5 y, y, R ( Πρβλ το παράδειγμα (5) μετά το θεώρημα ) f f Λύση y 8y και y 8 y y f y 8y Έτσι έχουμε να επιλύσουμε το σύστημα δηλαδή το f () y8y y Παρατηρούμε ότι αν τότε ( και μόνο τότε ) y

15 46 Άρα μία λύση είναι η y,, Υποθέτοντας ότι ( και άρα y ) πολλαπλασιάζουμε την δεύτερη εξίσωση με y και την πρώτη με και y 8y καταλήγουμε στο y 8yy y Συνεπώς με την υπόθεση ότι ( και y ) το αρχικό σύστημα ισοδυναμεί με το και y y και y y8y και y και y Έτσι οι λύσεις του συστήματος () και άρα τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα ακόλουθα,,,,,,,,, Οι δεύτερες μερικές παράγωγοι της f είναι: f y f, 4y 8 και y f y Η Εσσιανή της f στο κρίσιμο σημείο, y f f f είναι: Q, yh, h, yh, yhh, yh y y (Ι) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: f f f a,,,8 και, y y Συνεπώς a και a Άρα το, είναι τοπικό μέγιστο για την f f f (ΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a, 8,,, y f, 8 y Συνεπώς ( a 8 ) και a Άρα το, είναι σαγματικό σημείο για την f f f (ΙΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a,8,,, y f,8 y Συνεπώς ( a 8 ) και a Άρα το, είναι σαγματικό σημείο για την f

16 47 (IV) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a f,4 8 8 y Συνεπώς ( a 8 και ) a σαγματικό σημείο για την f f f, 8 y και Έτσι το, 8, είναι επίσης f (V) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a, 8, f f, και, 8 y y Έπεται όπως προηγουμένως ότι a Έτσι και το σημείο, είναι επίσης σαγματικό σημείο για την f )Να μελετηθούν τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f yz,, y9y z Λύση Οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της f είναι οι, f, f f y 9, z y z f f Οι μερικές παράγωγοι της f δεύτερης τάξης είναι οι 6, 6y, y f όλες οι υπόλοιπες μικτές παράγωγοι της f δεύτερης τάξης είναι ταυτοτικά z f f μηδέν (,, κτλ) y z Έπεται ότι ο Εσσιανός πίνακας της f στο, y, z είναι ο 6 f, y, z 6y Η Εσσιανή Q f, y, z είναι η τετραγωνική μορφή: f f f Qh, h, h, y, zh, y, zh, y, z h y z f f f, y, zhh, y, zhh, y, zhh y z yz 6 h 6y h h, hh, h, h R,

17 48 Τα κρίσιμα σημεία,, y z της f είναι οι λύσεις του συστήματος f f y y y z z f z Συνεπώς τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα ακόλουθα: (α) (γ),, και (δ),, Έτσι έχουμε:,,, (β),, (α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6, είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, Επειδή οι ρίζες αυτές είναι ετερόσημες το κρίσιμο σημείο,, είναι σαγματικό σημείο της f (β) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6 είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, οι οποίες είναι θετικές, άρα το κρίσιμο σημείο,, είναι τοπικό ελάχιστο της f (γ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6 είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, Επειδή οι ρίζες αυτές είναι ετερόσημες το κρίσιμο σημείο,, είναι σαγματικό σημείο της f (δ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6 είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, Επειδή οι ρίζες αυτές είναι ετερόσημες το κρίσιμο σημείο,, είναι σαγματικό σημείο της f a by f y y R, όπου a b y 4)Έστω,,, f έχει ολικό μέγιστο στο σημείο,, Λύση, y R y f y Έπεται ότι ( λόγω συμμετρίας): y y a by a by f y ba by y y Αποδείξτε ότι η συνάρτηση,, y R aa by = y,

18 49 Η συνάρτηση f, y είναι βέβαια C διαφορίσιμη στο R ως πηλίκο των C y διαφορίσιμων συναρτήσεων a by ( πολυωνυμική ) και της f Λύνουμε τώρα το σύστημα για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία της f f y Έτσι έχουμε το αλγεβρικό σύστημα: a a by y a by a () y b a by y a by b y Μια προφανής λύση του συστήματος () είναι η y Οι υπόλοιπες λύσεις του () είναι οι λύσεις των συστημάτων και by b y, οι οποίες είναι οι, y και, y για το πρώτο και a a, y και, y για το δεύτερο Έτσι οι λύσεις του () και άρα τα κρίσιμα σημεία της f είναι οι ακόλουθες:,,,,,,,,, b a () lim f, y a, Παρατηρούμε ότι: f,, f, f, και f, f, άρα η μεγαλύτερη τιμή είναι η f, f,, y R Ισχυρισμός: y, a y, y z y και παρατηρούμε ότι Απόδειξη ισχυρισμού Προφανώς ισχύει f, y Θέτουμε z z, y Όπως είναι γνωστό από τον Απειροστικό Λογισμό μιας μεταβλητής z az για κάθε a R z z z z a y a by Έπεται ότι, f y y,, y y y, a Έστω τώρα αρκετά μεγάλο ώστε: y, fy, ( Η ύπαρξη τέτοιου έπεται από τον ισχυρισμό ) Είναι τότε σαφές ότι,,, Έπεται τότε ότι: a f, sup f, y sup f, y () y, y, R

19 5 Από την () συμπεραίνουμε ότι για να βρούμε το y, R sup f y, αρκεί να περιοριστούμε στον κλειστό δίσκο, Επειδή η f συνεχής και, συμπαγές σύνολο η f επιτυγχάνει μέγιστη τιμή, y στον δίσκο, άρα και στον R Το σημείο, y θα είναι ένα από τα κρίσιμα σημεία της f, δηλαδή ένα από τα,,,,,,,,, Επειδή από την () την μεγαλύτερη τιμή την παίρνει στο,,( και το, ) και η a τιμή αυτή είναι f, f,, έπεται ότι στο, ( και στο, ) η f παίρνει την μέγιστη τιμή της Συμπέρασμα: Αν a b τότε, a by a f, y f, f, y για κάθε, y R Παρατήρηση Το παράδειγμα 4 μπορεί να αντιμετωπιστεί και ως εξής: Η συνάρτηση z gz, z παίρνει την μέγιστη τιμή της στο z ( όπως μπορεί να ελεγχθεί με z παραγώγους ή με ένα επιχείρημα συμπάγειας όπως στο παράδειγμα 4) Θέτομε a by y z a z y και παρατηρούμε ότι: a a, z y y z a Επειδή, f,, έπεται ότι το, είναι θέση ολικού μεγίστου για την f Ασκήσεις )Έστω f : R, συνεχής συνάρτηση ώστε f y lim, Αποδείξτε y, ότι η f επιτυγχάνει μέγιστη τιμή στον R Γενικεύστε στον R )Έστω f : R R μια τετραγωνική συνάρτηση τριών μεταβλητών ώστε,,, f yz a y z yz yz Αποδείξτε ότι μπορούμε να f yz yz y, z όπου Α ο συμμετρικός πίνακας, a Γενικεύστε για μια τετραγωνική συνάρτηση μεταβλητών γράψουμε,,,,, )Μελετήστε τα κρίσιμα σημεία των συναρτήσεων:

20 5 y (α), f y y, y 9 y, (β) y (γ) f y,, (δ) f y, y y f (ε) f, y y, (στ) f yz,, yz4 y z y 4)Δείξτε ότι η f yz,, y z έχει ένα κρίσιμο σημείο, το οποίο δεν είναι τοπικό ακρότατο Περιγράψτε τις επιφάνειες στάθμης της f 5)Έστω f, y, z y z y z Δείξτε ότι το είναι η ελάχιστη τιμή της f 6) Θεωρούμε την συνάρτηση f του παραδείγματος 5( μετά το θεώρημα ) (α) Αποδείξτε ότι το, είναι κρίσιμο σημείο για την f (β) Υπολογίστε την Εσσιανή f, και συμπεράνατε ότι το τοπικό ελάχιστο για την f 7)(*) Έστω a ij συμμετρικός όπου,,,,, πίνακας Θέτομε, Αποδείξτε ότι:, είναι y a y i, j y y y R (α) Η Β είναι μια συμμετρική διγραμμική μορφή επί του R, δηλαδή ισχύουν:, y y,, y, y, y, R, (ι), (ιι) (ιιι), y, y, y και (άρα) (ιν), y y y, y, (β) Η απεικόνιση R, ij i j είναι μια τετραγωνική μορφή επί του R (γ) Αν η Β είναι μια συμμετρική διγραμμική μορφή επί του R με την επιπλέον ιδιότητα ότι,, ( η Β είναι θετικά ορισμένη) Τότε η Β λέγεται ένα εσωτερικό γινόμενο επί του R ( Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο το, y που ορίζει ο ταυτοτικός παίρνουμε θεωρώντας την διγραμμική μορφή πίνακας ) Αποδείξτε ότι:, y ισχύει η ανισότητα Cauchy-Schwartz, ) Για ένα εσωτερικό γινόμενο, y, y, y ) Η απεικόνιση R,, έχει τις ιδιότητες της Ευκλείδειας νόρμας: (ι), R και, (ιι), R, R και (ιιι) y y,, y R ( τριγωνική ανισότητα) Μια τέτοια απεικόνιση ονομάζεται νόρμα επί του R [ Υπόδειξη Για το (γ) ) Έστω, y R με y Παρατηρούμε ότι, ty, ty, t, y t y, y ()

21 5 για κάθε t R Η δεξιά πλευρά της ταυτότητας () είναι ένα τριώνυμο φ(t) ως προς, y t με ελάχιστη τιμή στο t Αντικαθιστώντας το t με το y, y t στην, y ταυτότητα () βρίσκουμε ty, ty,, από όπου yy, έπεται η ζητούμενη ανισότητα ( Εναλλακτικά παρατηρούμε ότι, επειδή t, t R και ο συντελεστής yy, του t είναι θετικός, θα πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύμου να είναι, y yy επομένως,, y, y, y 4, 4,, ) [Καθόσον αφορά το (γ) ), χρησιμοποιήστε την ανισότητα Cauchy-Schwartz για να αποδείξετε την τριγωνική ανισότητα] Άσκηση 8) (*) Έστω τυχούσα νόρμα στον R Αν συμβολίζει την Ευκλείδεια νόρμα, αποδείξτε ότι, υπάρχουν σταθερές m και ώστε για κάθε m [ Υπόδειξη Θέτομε ma,, R Αν, όπου R,,, η συνήθης βάση του,, R τότε, άρα i i i i i Όμως, i,,, Επομένως () Από την () έπεται ότι i y y,, y R η οποία έπεται ότι η είναι ( Lipschitz και άρα ) συνεχής συνάρτηση επί του R Η ως συνεχής επιτυγχάνει ελάχιστη τιμή επί του συμπαγούς συνόλου S R : Έστω m S mi : Η ανισότητα m, R αποδεικνύεται όπως η αντίστοιχη ανισότητα στο Λήμμα 6] Σχόλιο (*) Έχοντας μια νόρμα στον R μπορούμε να ορίσουμε σφαίρες ανοικτά και κλειστά σύνολα ( όρια συναρτήσεων και ακολουθιών ) ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως και για την Ευκλείδεια νόρμα Το αποτέλεσμα που περιγράφεται στην άσκηση 8) μας λέει ότι όλες οι νόρμες στον R είναι μεταξύ τους ισοδύναμες και άρα ορίζουν τα ίδια ανοικτά σύνολα ( τις ίδιες συγκλίνουσες ακολουθίες, συνεχείς συναρτήσεις κτλ) με την Ευκλείδεια νόρμα Ακόμη σημειώνουμε ότι δεν προέρχονται όλες οι νόρμες στον R από κάποιο εσωτερικό γινόμενο ( όπως περιγράφεται στην άσκηση 7)) Ένα παράδειγμα τέτοιας νόρμας είναι η,,, R Προσοχή η επόμενη παράγραφος που είναι «το θεώρημα της αντίστροφης απεικόνισης» αρχίζει πάλι από την σελίδα 5 i i

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ

III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ.Ολικά και τοπικά ακρότατα..εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3.Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Περισσότερες μεταβλητές.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία

Διαβάστε περισσότερα

= lim. e 1. e 2. = lim. 2t 3

= lim. e 1. e 2. = lim. 2t 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ, 6/06/017 Θέμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(0, 0) = 0 και f(x, y) = x3 + y 3 x + y αν (x, y) (0, 0). (i) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (ii) Αν u

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΕΚΑΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Χρησιμοποιούμε τα σύμβολα f και f() d για να συμβολίσουμε όλα μαζί τα αόριστα ολοκληρώματα της f σε ένα διάστημα I. Δηλαδή, γράφουμε f = f + c ή f() d =

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w :

(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w : ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Οι εξισώσεις: {=, + = w} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {,w}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: (,g) (,,, w) = = (,)

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός 2.1.1. Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων. Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 208-9.. Για καθεμία από τις ανισότητες Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων. x + > 2, x x +, x x+2 > x+3 3x+, (x )(x 3) (x 2) 2 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

sin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0.

sin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι, Φυλλάδιο 3 Λύσεις Ασκήσεων. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια. sia) i) ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν για τα a, β ώστε να έχει νόημα το όριο;) 0 siβ) si5 ) si4) cos cos

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα