Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων"

Transcript

1 Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό ή σχετικό ακρότατο της f αν είναι είτε τοπικό ελάχιστο είτε τοπικό μέγιστο της f Υποθέτουμε περαιτέρω ότι U ανοικτό υποσύνολο στον R και f διαφορίσιμη συνάρτηση, το σημείο λέγεται κρίσιμο σημείο της f αν, f f για κάθε i,,, Ένα κρίσιμο σημείο που δεν είναι i τοπικό ακρότατο λέγεται σαγματικό σημείο για την f Κατ αναλογία με τον Λογισμό συναρτήσεων μιας μεταβλητής ισχύει η ακόλουθη γενίκευση του θεωρήματος Frmat: Θεώρημα Αν U R ανοικτό, η f : U R R είναι διαφορίσιμη στο τότε U και η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο U f, δηλαδή το είναι κρίσιμο σημείο για την f Απόδειξη: Υποθέτουμε χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο U Αν h R με t th, δηλαδή θεωρούμε την gt f th κατάλληλο διάστημα,, g f f th gt για κάθε t, h περιορίζουμε την f στην ευθεία η οποία ορίζεται σε Παρατηρούμε ότι,, για κάποιο δηλαδή η g παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο Επειδή η g ως σύνθεση t και διαφορίσιμων ( της, έπεται από το θεώρημα Frmat για διαφορίσιμες συναρτήσεις μιας μεταβλητής ότι f i i Το ίδιο συμπέρασμα έπεται από το γεγονός ότι, f ) είναι διαφορίσιμη στο g ' Όμως από τον κανόνα της αλυσίδας, g' hi f h, h h,, h f στο g ' ισούται με την παράγωγο της f g f h h, όπου στην κατεύθυνση h, δηλαδή ' h h,, h με h Έπεται από τα παραπάνω ότι: f h για κάθε i i h f R i i για κάθε hh h R Έτσι συμπεραίνουμε ότι, f κάθε i,,,,, f i i h i για

2 Σημείωση Το προηγούμενο αποτέλεσμα μας λέει ότι αν αναζητούμε τα τοπικά ακρότατα μιας διαφορίσιμης συνάρτησης f : U R R, τότε θα πρέπει να ψάξουμε στα κρίσιμα σημεία Εφόσον: τοπικό ακρότατο της f κρίσιμο σημείο της f Παραδείγματα: ) Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία της f y, y y f f Έχουμε ότι, y y, y y Εξισώνοντας τις μερικές παραγώγους με μηδέν παίρνουμε το σύστημα : y y αφαιρώντας, παίρνουμε y y y Αντικαθιστώντας το y στην πρώτη εξίσωση, βρίσκουμε ότι y y y οπότε y και άρα Αν y, τότε y y y, δηλαδή y και επομένως Επομένως το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f είναι το, Επειδή f, το το οποίο παίρνει και θετικές και αρνητικές για κοντά στο,, δεν είναι τοπικό ακρότατο της f, επομένως είναι σαγματικό σημείο της f )Έστω f y, y f f Παρατηρούμε ότι και y y f Επομένως το σύστημα: y f y y Έτσι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f είναι το, Επειδή f, f, y y για κάθε, y R το σημείο, είναι τοπικό ( μάλιστα oλικο ) ελάχιστο για την f ) Έστω f y, y f f f Παρατηρούμε ότι, y Συνεπώς το σύστημα, y f y έχει ως μόνη λύση το, Συμπεραίνουμε ότι το μόνο κρίσιμο σημείο της f είναι το, Εξετάζοντας απ ευθείας τις τιμές της f σε σημείο κοντά στην αρχή των αξόνων, βλέπουμε ότι f, f, και f y y f,,

3 4 σαγματικό σημείο για την f Έπεται ότι το, δεν είναι τοπικό ακρότατο για την f, επομένως είναι 4) Έστω f y, y Τότε έχουμε f y, f και το σύστημα y ως μόνη λύση το σημείο, Το σημείο f και είναι σαγματικό σημείο αφού για, y ομόσημα έχουμε για, y ετερόσημα έχουμε, f, y y Παρατηρούμε ότι, f y, y y f,έχει f y, είναι το μόνο κρίσιμο σημείο της f, y y και, άρα αν θέσουμε u y και 4 v y η συνάρτηση γίνεται f uv,, yuv, u v, που είναι η 4 περίπτωση του παραδείγματος () 5)Θεωρούμε την συνάρτηση, f y, y a y y y, όπου, και a,,, τυχόντες πραγματικοί αριθμοί Παρατηρούμε ότι, αν θέσομε, y a y y y y, y,, τότε, lim y Πράγματι, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι, y y y y y y y Έπεται ότι, υπάρχει και y y y y y και παρομοίως για τις συναρτήσεις, y, r :, όταν y r y Συνεπώς, f y y y y f,,, για y r, Παρατηρούμε ότι το δευτεροβάθμιο μέρος της συνάρτησης κυριαρχεί και καθορίζει την συμπεριφορά της συνάρτησης πλησίον του σημείου,, που σημαίνει ότι η f έχει τοπικό ελάχιστο στο,

4 5 Τετραγωνικές μορφές Μια πολυωνυμική συνάρτηση f : R R ομογενής και ου βαθμού ονομάζεται τετραγωνική μορφή ή και τετραγωνική συνάρτηση ( όλα τα μονώνυμα της f είναι της μορφής, i, j ) Παραδείγματα ) i j f y, a y y, y, R, a,, R είναι τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών ( γενική μορφή ) ) Η f yz,, a y z yz yz,, yz, R είναι τετραγωνική μορφή μεταβλητών ( γενική μορφή ) ) Οι f, y y και, a,,,,, R g, y y y δεν είναι τετραγωνικές μορφές αφού στην f εμφανίζεται σταθερός όρος ( μονώνυμο μηδενικού βαθμού ) και στην g το πρωτοβάθμιο μονώνυμο 4)Η f y, y και,, μεταβλητών αντίστοιχα f yz y zείναι τετραγωνικές μορφές και Παρατηρήσεις: () Μια τετραγωνική μορφή f : R R γράφεται στην γενική της μορφή ως, f,, aij i j a ii i a ij i j () i, j i i j Με την βοήθεια του πίνακα a ij μπορούμε να γράψουμε την () ως εξής, f,,,, () είναι συμμετρικός ( δηλαδή aij aji Μπορούμε ακόμη να υποθέσουμε ότι ο a ij για κάθε i, j ) αφού η f δεν μεταβάλλεται αν αντικαταστήσουμε το aij a ji bij, αφού ij ji (Άρα, f,, aiii aijij ) i ij )Ο τετραγωνικός χαρακτήρας της f φαίνεται και από την f,, f,,, R a ij με το Μας ενδιαφέρουν κυρίως οι τετραγωνικές μορφές δύο μεταβλητών και δευτερευόντως οι τετραγωνικές μορφές τριών ή περισσοτέρων μεταβλητών Παράδειγμα: Έστω f y, a y y η γενική τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών Θέτοντας ', μπορούμε να γράψουμε:

5 6, ' f y a y y Η f δίνεται από τον συμμετρικό πίνακα a a ' a ', αφού f y, a ' y y y, ' ' y Έτσι μια τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών θα γράφεται: f y, a y y Σημειώνουμε ότι αν ο πίνακας της f είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή αν, τότε το, είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f ( γιατί; ) Ορισμός Μια τετραγωνική μορφή f : R R λέγεται: R με και (α) Θετικά ορισμένη, αν f για κάθε (β) Αρνητικά ορισμένη, αν f για κάθε R (γ) Η f λέγεται θετικά ημιορισμένη αν f για κάθε με R Ανάλογα ορίζεται και η αρνητικά ημιορισμένη τετραγωνική μορφή (δ) Η f λέγεται αόριστη αν υπάρχουν, y R f f y Προφανώς, ώστε f για κάθε τετραγωνική μορφή, αφού δεν περιέχει σταθερό όρο ( διάφορο του μηδενός ) Παρατηρούμε ότι: ) Αν η f είναι θετικά ( αντιστοίχως αρνητικά ) ορισμένη τότε το R είναι ολικό ελάχιστο ( αντιστοίχως ολικό μέγιστο ) για την f Ανάλογες παρατηρήσεις ισχύουν και για τις ημιορισμένες τετραγωνικές μορφές ) Αν η f είναι θετικά ή αρνητικά ορισμένη τότε ο συμμετρικός πίνακας Α που ορίζει την f (υπενθυμίζουμε ότι, f,,,, για κάποιο συμμετρικό πίνακα Α ) είναι αντιστρέψιμος ( γιατί; ) Η συμπεριφορά μιας τετραγωνικής μορφής δύο μεταβλητών κοντά στο σημείο, περιγράφεται στην επόμενη 4 Πρόταση Έστω f y, a y y τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών Τότε, ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Αν a και a τότε η f είναι θετικά ορισμένη άρα το, είναι ολικό ελάχιστο για την f (ιι) Αν a και a τότε η f είναι αρνητικά ορισμένη άρα το, είναι ολικό μέγιστο για την f (ιιι) Αν a, το σημείο, είναι σαγματικό σημείο της f (ιν) Αν a, έχει, (α) μέγιστο ή ελάχιστο ανάλογα αν τότε η f στο a ή a και (β) αν a, μέγιστο ή ελάχιστο ανάλογα αν ή

6 7 Απόδειξη: Αν a f y, yμε και εύκολα βλέπουμε ότι το, είναι σαγματικό σημείο της f ( δες και το παράδειγμα (4)) Παρατηρούμε ακόμη ότι τότε a και η περίπτωση αυτή εντάσσεται στην (ιιι) Υποθέτουμε λοιπόν χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι a Αντιμετωπίζοντας την f ως συνάρτηση του ή του y και ενθυμούμενοι ότι ένα τριώνυμο παραγοντοποιείται «συμπληρώνοντας τα τετράγωνα» έχουμε, f y, a y y a a y y y a y a a a a a a y y ( Αν, τότε εναλλάσσοντας το a με το και το a a με το y έχομε: f y, y ) Έπεται ότι: (ι) Αν a και a, στο σημείο, η f έχει ελάχιστη τιμή (ιι) Αν a και a στο σημείο, η f παίρνει μέγιστη τιμή (ιιι) Αν a το σημείο, είναι σαγματικό σημείο της f Πράγματι, αν f, y ως προς, είναι οι τότε y τότε οι ρίζες της εξίσωσης a y y και y y, όπου, i, i, a Έπεται εύκολα ότι για y με y μικρό αριθμό, υπάρχουν, R με, μικρούς αριθμούς ώστε f, y και f, y ( ο θα είναι εκτός του διαστήματος των ριζών y και y και ο θα επιλεγεί εντός αυτού του διαστήματος ) Συνεπώς το, είναι σαγματικό σημείο της f Σημειώνουμε ότι το τελευταίο συμπέρασμα ισχύει ακόμη και αν a ( με την προϋπόθεση ότι a ) Πράγματι αν, εναλλάσσοντας τους ρόλους των a και βρίσκουμε f, y y Από όπου εύκολα συμπεραίνουμε ότι το, είναι πράγματι σαγματικό σημείο της f y (ιν) Αν a και a τότε f, ya a Από όπου έπεται αμέσως ο πρώτος ισχυρισμός Αν a και a, τότε f y, y δεύτερος ισχυρισμός και άρα, από όπου έπεται ο

7 Παρατήρηση Έστω f a,, ij i j i, j ορίζεται από τον συμμετρικό πίνακα ij, a i j Άλγεβρας αποδεικνύεται ότι: )Η f είναι θετικά ορισμένη ( f για κάθε όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι θετικές )Η f είναι αρνητικά ορισμένη ( f για κάθε όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι αρνητικές ) Η f είναι θετικά ημιορισμένη ( f για κάθε ιδιοτιμές του είναι Η f είναι αρνητικά ημιορισμένη ( f για κάθε 8, μια τετραγωνική μορφή που Στο μάθημα της Γραμμικής R με R με R R ) αν και μόνο αν ) αν και μόνο αν ) αν και μόνο αν όλες οι ) αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του είναι 4) Η f είναι αόριστη αν και μόνο αν ο έχει αρνητικές και θετικές ιδιοτιμές Δηλαδή η f δεν είναι θετικά αλλά ούτε αρνητικά ημιορισμένη Επίσης υπενθυμίζουμε τα ακόλουθα για ένα τετραγωνικό πίνακα 5) Οι ιδιοτιμές του είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ( χαρακτηριστικού πολυωνύμου ) του, δηλαδή της dt, όπου ο ταυτοτικός πίνακας 6) Για την ορίζουσα dt του ισχύει ότι dt το γινόμενο των ιδιοτιμών του 7) Αν ο είναι επιπλέον συμμετρικός τότε οι ιδιοτιμές του είναι όλες πραγματικές Είναι εύκολο να ελέγξουμε τους ισχυρισμούς (), (), () και (4) στην περίπτωση μιας τετραγωνικής μορφής δύο μεταβλητών a Έστω, f, ya y y, y y a Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι το dt a Επομένως a a a Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι η a 4 Οι πραγματικές ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι a a οι, και Οι ρίζες αυτές είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι το dt a το δε άθροισμα των Α Το γινόμενο των ριζών του ριζών του είναι το S a Εύκολα τώρα διαπιστώνουμε τους παραπάνω ισχυρισμούς Παρατηρούμε ότι αν οι ρίζες είναι ετερόσημες, δηλαδή το a ( η f είναι αόριστη τετραγωνική μορφή )τότε το, είναι σαγματικό σημείο της f

8 9 5 Ορισμός Έστω U κλάσης R ανοικτό, U και f : U R συνάρτηση της C Η Εσσιανή ( Hssia) της f στο είναι η τετραγωνική μορφή Hf : R R που ορίζεται ως, f Hf h h h i j, i, j i j,, h h h R Παρατηρούμε ότι: ) Η f είναι ακριβώς το διαφορικό δεύτερης τάξης της f, δηλαδή f D f στο Υπενθυμίζουμε ότι από την συνέχεια των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης της f, έχουμε ότι αν,, h h h R τότε: f f D f h h hh και άρα η Εσσιανή είναι i i j i i ijij πράγματι τετραγωνική μορφή Ακόμη ότι το ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης της f στο είναι το f h f Df h Df h Rh, όπου Rh, είναι το! υπόλοιπο Taylor της f στο για το οποίο ισχύει R h, lim h h ) Ο πίνακας ( Hss ) που δίνει την τετραγωνική μορφή f, δηλαδή την Εσσιανή, είναι ο συμμετρικός πίνακας f f f f f f f f f f των δευτέρων μερικών παραγώγων της f στο

9 4 h f f h h h f hh i j, i, jij h f f f Παρατηρούμε ότι,,, όπου hh h R και ακόμη ότι,, 6 Λήμμα Έστω : R R τετραγωνική μορφή Αν η είναι θετικά ορισμένη τότε υπάρχει σταθερά h h για κάθε h R Απόδειξη: Έστω ώστε, h aijhh i j και S h R : h i, j συνάρτηση g: S R: gh h, ορίζουμε την, δηλαδή περιορίζουμε την στο S Επειδή η g είναι συνεχής ( η είναι συνεχής στον R ως πολυώνυμο) και η επιφάνεια S της μοναδιαίας σφαίρας του R είναι συμπαγές σύνολο η g επιτυγχάνει ελάχιστη τιμή στην S, η οποία είναι βεβαίως θετικός αριθμός, αφού η είναι θετικά ορισμένη Έστω mi gh : h Επειδή η είναι τετραγωνική μορφή θα έχουμε, ότι αν h τότε, h h h h h h h g h h h h Αν h το αποτέλεσμα είναι προφανώς σωστό Πρόκειται να αποδείξουμε ένα αποτέλεσμα για διαφορίσιμες συναρτήσεις πολλών μεταβλητών που γενικεύει το ακόλουθο κλασσικό αποτέλεσμα για μια πραγματική μεταβλητή Αν R είναι ανοικτό διάστημα, και f : R είναι μια συνάρτηση της κλάσης f ' τότε: C ώστε (ι) Αν f '', το (ιι) Αν '' Έστω f, το U R ανοικτό, είναι τοπικό ελάχιστο της f είναι τοπικό μέγιστο της f U και f : U είναι κρίσιμο σημείο της f Επειδή τότε R συνάρτηση της κλάσης f στο, δεύτερης τάξης γράφεται ως εξής: f h f f h Rh, C ώστε το f, το ανάπτυγμα Taylor της

10 4 Η γενίκευση στην οποία αναφερθήκαμε έχει ως ακολούθως 7 Θεώρημα (Κριτήριο της δεύτερης παραγώγου ) Αν η f : U R R είναι της κλάσης C και το U είναι ένα κρίσιμο σημείο της f τότε: (ι) Αν η Εσσιανή f είναι θετικά ορισμένη, δηλαδή αν οι ιδιοτιμές του Εσσιανού πίνακα f της f είναι όλες θετικές, τότε το είναι τοπικό ελάχιστο για την f (ιι) Αν η Εσσιανή f είναι αρνητικά ορισμένη, δηλαδή αν οι ιδιοτιμές του f είναι όλες αρνητικές, τότε το είναι τοπικό μέγιστο για την f (ιιι) Αν η Εσσιανή f δεν είναι θετικά αλλά ούτε αρνητικά ημιορισμένη, δηλαδή ο είναι σαγματικό f έχει αρνητικές και θετικές ιδιοτιμές τότε το σημείο της f Απόδειξη: Όπως παρατηρήσαμε ήδη ο τύπος του Taylor στο, δεύτερης τάξης R h, γράφεται f h f f h R h, όπου lim h h (ι) Επειδή η H f είναι θετικά ορισμένη από το προηγούμενο Λήμμα έπεται ότι υπάρχει ώστε f h h για κάθε h R Rh, Αφού, υπάρχει : h τότε R h, h h h Συνεπώς, αν h τότε,, f R h f h f Άρα f f h για κάθε h με h, δηλαδή το είναι ( γνήσιο! ) τοπικό ελάχιστο για την f Η απόδειξη στην περίπτωση που η f είναι αρνητικά ορισμένη είναι παρόμοια ( εξάλλου έπεται αν εφαρμόσουμε τα παραπάνω στην f ) και έτσι παραλείπεται (ιιι) Έστω h, h R ώστε, f h και f h Είναι Rth, σαφές ότι υπάρχει ώστε : t h και th, R th h th Έπεται ότι αν t τότε, f th f f thrth, f f ht Rth, f t Rth, f, t R th, t R th, t R th, ) ( εφόσον

11 4 Ανάλογα βρίσκουμε: f th f f thrth, f t Rth, f Άρα για t έχουμε, f th f f th, από όπου συμπεραίνουμε ότι η f δεν έχει τοπικό ακρότατο στο Δηλαδή το είναι σαγματικό σημείο της f Ακολούθως εφαρμόζουμε το προηγούμενο θεώρημα και την πρόταση 4 σε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών πραγματική συνάρτηση της κλάσης C, ορισμένη στο ανοικτό υποσύνολο U του R και, yu κρίσιμο σημείο της f, δηλαδή f f y Θέτομε, a f, f, f και a y y Η ποσότητα a ονομάζεται διακρίνουσα και ισούται με την ορίζουσα του, y ( Παρατηρούμε ότι ο Εσσιανός πίνακας της Έστω λοιπόν z f, y Εσσιανού πίνακα της f στο f στο ακόλουθο θεώρημα είναι αντιστρέψιμος, εφόσον η ορίζουσά του ισούται με a ) 8 Θεώρημα Ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Αν a και a, y (ιι) Αν a και a, y (ιιι) Αν a, y είναι σαγματικό σημείο της f y, η f έχει τοπικό ελάχιστο στο, η f έχει τοπικό μέγιστο στο, το Απόδειξη: Ας συμβολίσουμε με Q την Εσσιανή f, y, h, h R της f στο Q h h h hh h, όπου y y f f f Τότε έχουμε,, Συνεπώς σύμφωνα με τον συμβολισμό που υιοθετήσαμε Q h, h ah hh h, h, h R Οι ισχυρισμοί (ι), (ιι) και (ιιι) είναι τώρα εύκολη συνέπεια του προηγούμενου θεωρήματος σε συνδυασμό με την πρόταση 4 Σημείωση Μια ενδιαφέρουσα απευθείας απόδειξη του ισχυρισμού (ιιι) του θεωρήματος 8 έχει ως ακολούθως: Παρατηρούμε ότι επειδή

12 4 από τον ισχυρισμό (ιιι) της πρότασης 4 το a, είναι σαγματικό του R ώστε Qu και Qv Υποθέτουμε, όπως μπορούμε, ότι u v Έστω :, U, θεωρούμε τις συναρτήσεις ( της κλάσης C ) που ορίζονται από τους τύπους, t f tu και t f tv για t Εφαρμόζοντας τον κανόνα αλυσίδας δύο φορές στις συναρτήσεις και ( δηλαδή στις και ' και και ' ), υπολογίζουμε ότι ' f u και '' Qu ' f vκαι '' Qu Έπεται από την θεωρία της μιας πραγματικής μεταβλητής ότι η επιτυγχάνει στο τοπικό ελάχιστο και η τοπικό μέγιστο Συμπεραίνουμε ότι, f tv t f t f tu για αρκετά μικρό t Είναι σαφές από αυτές τις ανισότητες ότι η f δεν μπορεί να έχει στο σημείο, y τοπικό ακρότατο, έτσι το, y είναι πράγματι σαγματικό σημείο της f σημείο της Q, επομένως υπάρχουν σημεία u u, u και v v, v Οι υπολογισμοί, με τον κανόνα της αλυσίδας, των ' και '' στην προηγούμενη απόδειξη έχουν ως εξής: Για t, έχουμε, f f f ' t tuu tuu, άρα, '' t tuu u y f f f tuu u y tuu u y tuu u y y f f f tuu tuuu tuu y y f f Συνεπώς, ' f u και '' u uu y f u Qu y Οι υπολογισμοί για τις ' και '' είναι παρόμοιοι Παρατηρήσεις: ) Η συμπεριφορά μιας συνάρτησης f της κλάσης C κοντά στο κρίσιμο σημείο υπό την προϋπόθεση ότι ο Εσσιανός πίνακας f είναι αντιστρέψιμος ( στην περίπτωση που η f είναι δύο μεταβλητών αυτό σημαίνει ότι η διακρίνουσα, a ) καθορίζεται από το δευτεροβάθμιο μέρος της, δηλαδή την Εσσιανή f της f Τα κρίσιμα σημεία στα οποία ο f είναι

13 44 αντιστρέψιμος ονομάζονται μη εκφυλισμένα, τα υπόλοιπα κρίσιμα σημεία όπου ο f δεν είναι αντιστρέψιμος ονομάζονται εκφυλισμένα )Η μελέτη μιας C συνάρτησης δύο μεταβλητών συνοψίζεται ως εξής: f (α) Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f λύνοντας το σύστημα f y (β) Υπολογίζουμε τις Εσσιανές των κρίσιμων σημείων της f : (ι) κάποιες από αυτές μπορεί να είναι θετικά ορισμένες, υποδεικνύοντας τα σχετικά ελάχιστα, κάποιες μπορεί να είναι αρνητικά ορισμένες υποδεικνύοντας τα σχετικά μέγιστα ( a ) (ιι) Κάποιες μπορεί να μην είναι ούτε θετικά ούτε αρνητικά ορισμένες υποδεικνύοντας τα σαγματικά σημεία ( αν ) (γ) Τα κρίσιμα σημεία για τα οποία a ( μη εκφυλισμένα κρίσιμα σημεία ) είναι ( τοπικά ) μέγιστα και ελάχιστα ή σαγματικά σημεία Τα υπόλοιπα κρίσιμα σημεία όπου εκφυλισμένα κρίσιμα σημεία), συνήθως ελέγχονται απευθείας ) Το Κριτήριο της δεύτερης παραγώγου ( θεώρημα 7) μπορεί να αποφανθεί υπό την προϋπόθεση ότι το κρίσιμο σημείο είναι μη εκφυλισμένο, διότι τότε όλες οι ιδιοτιμές του Εσσιανού πίνακα είναι μη μηδενικές, από όπου έπεται ότι μια από τις τρείς περιπτώσεις του θεωρήματος ισχύει Παραδείγματα όπως τα f y, y και y, δείχνουν ότι η f μπορεί να έχει ελάχιστο, μέγιστο ή σαγματικό σημείο αντίστοιχα στο,, ενώ ο Εσσιανός πίνακας στο σημείο αυτό είναι ο μηδενικός πίνακας Παραδείγματα: ) Να μελετηθούν τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f y, y y 4 y, y, R f f Λύση y, y4 Επιλύουμε το σύστημα y f y y y f y 4 y4 y 4 y 4 y Το πρώτο σύστημα έχει ως λύσεις τις και y 4 Το δεύτερο σύστημα είναι ισοδύναμο με το y 4 και έχει ως λύσεις τις και y και 4 και y 6 Έτσι οι λύσεις του αρχικού συστήματος είναι:,,,, 4,6 Έπεται ότι τα κρίσιμα σημεία της f είναι,,,, 4,6

14 45 Οι δεύτερες μερικές παράγωγοι της f είναι: f f f f 6 y, και y y y Στο κρίσιμο σημείο, Εσσιανή είναι:,,,, y η f f f Q h h y h y hh y h y y (Ι) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a 4,, Επομένως a και 4 8 Άρα η f έχει στο, a τοπικό μέγιστο (ΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: f a, 6 6, f f, και, y y Συνεπώς a και άρα το, είναι σαγματικό σημείο για την f (ΙΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο 4,6 έχουμε: f f a 4,66464, 4, 648 και y f 4,6 Συνεπώς, a και y το 4,6 είναι σαγματικό σημείο για την f Η μελέτη μας μπορεί να συνοψισθεί στον ακόλουθο πίνακα: y a f fy f yy a Κατάταξη 4 8 Τοπικό μέγιστο Σαγματικό σημείο Σαγματικό σημείο ) Μελετήστε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f y, y 5 8y5 y, y, R ( Πρβλ το παράδειγμα (5) μετά το θεώρημα ) f f Λύση y 8y και y 8 y y f y 8y Έτσι έχουμε να επιλύσουμε το σύστημα δηλαδή το f () y8y y Παρατηρούμε ότι αν τότε ( και μόνο τότε ) y

15 46 Άρα μία λύση είναι η y,, Υποθέτοντας ότι ( και άρα y ) πολλαπλασιάζουμε την δεύτερη εξίσωση με y και την πρώτη με και y 8y καταλήγουμε στο y 8yy y Συνεπώς με την υπόθεση ότι ( και y ) το αρχικό σύστημα ισοδυναμεί με το και y y και y y8y και y και y Έτσι οι λύσεις του συστήματος () και άρα τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα ακόλουθα,,,,,,,,, Οι δεύτερες μερικές παράγωγοι της f είναι: f y f, 4y 8 και y f y Η Εσσιανή της f στο κρίσιμο σημείο, y f f f είναι: Q, yh, h, yh, yhh, yh y y (Ι) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: f f f a,,,8 και, y y Συνεπώς a και a Άρα το, είναι τοπικό μέγιστο για την f f f (ΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a, 8,,, y f, 8 y Συνεπώς ( a 8 ) και a Άρα το, είναι σαγματικό σημείο για την f f f (ΙΙΙ) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a,8,,, y f,8 y Συνεπώς ( a 8 ) και a Άρα το, είναι σαγματικό σημείο για την f

16 47 (IV) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a f,4 8 8 y Συνεπώς ( a 8 και ) a σαγματικό σημείο για την f f f, 8 y και Έτσι το, 8, είναι επίσης f (V) Στο κρίσιμο σημείο, έχουμε: a, 8, f f, και, 8 y y Έπεται όπως προηγουμένως ότι a Έτσι και το σημείο, είναι επίσης σαγματικό σημείο για την f )Να μελετηθούν τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f yz,, y9y z Λύση Οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της f είναι οι, f, f f y 9, z y z f f Οι μερικές παράγωγοι της f δεύτερης τάξης είναι οι 6, 6y, y f όλες οι υπόλοιπες μικτές παράγωγοι της f δεύτερης τάξης είναι ταυτοτικά z f f μηδέν (,, κτλ) y z Έπεται ότι ο Εσσιανός πίνακας της f στο, y, z είναι ο 6 f, y, z 6y Η Εσσιανή Q f, y, z είναι η τετραγωνική μορφή: f f f Qh, h, h, y, zh, y, zh, y, z h y z f f f, y, zhh, y, zhh, y, zhh y z yz 6 h 6y h h, hh, h, h R,

17 48 Τα κρίσιμα σημεία,, y z της f είναι οι λύσεις του συστήματος f f y y y z z f z Συνεπώς τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα ακόλουθα: (α) (γ),, και (δ),, Έτσι έχουμε:,,, (β),, (α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6, είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, Επειδή οι ρίζες αυτές είναι ετερόσημες το κρίσιμο σημείο,, είναι σαγματικό σημείο της f (β) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6 είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, οι οποίες είναι θετικές, άρα το κρίσιμο σημείο,, είναι τοπικό ελάχιστο της f (γ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6 είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, Επειδή οι ρίζες αυτές είναι ετερόσημες το κρίσιμο σημείο,, είναι σαγματικό σημείο της f (δ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα f,, 6 6 είναι το, που έχει ρίζες τις 6, 6, Επειδή οι ρίζες αυτές είναι ετερόσημες το κρίσιμο σημείο,, είναι σαγματικό σημείο της f a by f y y R, όπου a b y 4)Έστω,,, f έχει ολικό μέγιστο στο σημείο,, Λύση, y R y f y Έπεται ότι ( λόγω συμμετρίας): y y a by a by f y ba by y y Αποδείξτε ότι η συνάρτηση,, y R aa by = y,

18 49 Η συνάρτηση f, y είναι βέβαια C διαφορίσιμη στο R ως πηλίκο των C y διαφορίσιμων συναρτήσεων a by ( πολυωνυμική ) και της f Λύνουμε τώρα το σύστημα για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία της f f y Έτσι έχουμε το αλγεβρικό σύστημα: a a by y a by a () y b a by y a by b y Μια προφανής λύση του συστήματος () είναι η y Οι υπόλοιπες λύσεις του () είναι οι λύσεις των συστημάτων και by b y, οι οποίες είναι οι, y και, y για το πρώτο και a a, y και, y για το δεύτερο Έτσι οι λύσεις του () και άρα τα κρίσιμα σημεία της f είναι οι ακόλουθες:,,,,,,,,, b a () lim f, y a, Παρατηρούμε ότι: f,, f, f, και f, f, άρα η μεγαλύτερη τιμή είναι η f, f,, y R Ισχυρισμός: y, a y, y z y και παρατηρούμε ότι Απόδειξη ισχυρισμού Προφανώς ισχύει f, y Θέτουμε z z, y Όπως είναι γνωστό από τον Απειροστικό Λογισμό μιας μεταβλητής z az για κάθε a R z z z z a y a by Έπεται ότι, f y y,, y y y, a Έστω τώρα αρκετά μεγάλο ώστε: y, fy, ( Η ύπαρξη τέτοιου έπεται από τον ισχυρισμό ) Είναι τότε σαφές ότι,,, Έπεται τότε ότι: a f, sup f, y sup f, y () y, y, R

19 5 Από την () συμπεραίνουμε ότι για να βρούμε το y, R sup f y, αρκεί να περιοριστούμε στον κλειστό δίσκο, Επειδή η f συνεχής και, συμπαγές σύνολο η f επιτυγχάνει μέγιστη τιμή, y στον δίσκο, άρα και στον R Το σημείο, y θα είναι ένα από τα κρίσιμα σημεία της f, δηλαδή ένα από τα,,,,,,,,, Επειδή από την () την μεγαλύτερη τιμή την παίρνει στο,,( και το, ) και η a τιμή αυτή είναι f, f,, έπεται ότι στο, ( και στο, ) η f παίρνει την μέγιστη τιμή της Συμπέρασμα: Αν a b τότε, a by a f, y f, f, y για κάθε, y R Παρατήρηση Το παράδειγμα 4 μπορεί να αντιμετωπιστεί και ως εξής: Η συνάρτηση z gz, z παίρνει την μέγιστη τιμή της στο z ( όπως μπορεί να ελεγχθεί με z παραγώγους ή με ένα επιχείρημα συμπάγειας όπως στο παράδειγμα 4) Θέτομε a by y z a z y και παρατηρούμε ότι: a a, z y y z a Επειδή, f,, έπεται ότι το, είναι θέση ολικού μεγίστου για την f Ασκήσεις )Έστω f : R, συνεχής συνάρτηση ώστε f y lim, Αποδείξτε y, ότι η f επιτυγχάνει μέγιστη τιμή στον R Γενικεύστε στον R )Έστω f : R R μια τετραγωνική συνάρτηση τριών μεταβλητών ώστε,,, f yz a y z yz yz Αποδείξτε ότι μπορούμε να f yz yz y, z όπου Α ο συμμετρικός πίνακας, a Γενικεύστε για μια τετραγωνική συνάρτηση μεταβλητών γράψουμε,,,,, )Μελετήστε τα κρίσιμα σημεία των συναρτήσεων:

20 5 y (α), f y y, y 9 y, (β) y (γ) f y,, (δ) f y, y y f (ε) f, y y, (στ) f yz,, yz4 y z y 4)Δείξτε ότι η f yz,, y z έχει ένα κρίσιμο σημείο, το οποίο δεν είναι τοπικό ακρότατο Περιγράψτε τις επιφάνειες στάθμης της f 5)Έστω f, y, z y z y z Δείξτε ότι το είναι η ελάχιστη τιμή της f 6) Θεωρούμε την συνάρτηση f του παραδείγματος 5( μετά το θεώρημα ) (α) Αποδείξτε ότι το, είναι κρίσιμο σημείο για την f (β) Υπολογίστε την Εσσιανή f, και συμπεράνατε ότι το τοπικό ελάχιστο για την f 7)(*) Έστω a ij συμμετρικός όπου,,,,, πίνακας Θέτομε, Αποδείξτε ότι:, είναι y a y i, j y y y R (α) Η Β είναι μια συμμετρική διγραμμική μορφή επί του R, δηλαδή ισχύουν:, y y,, y, y, y, R, (ι), (ιι) (ιιι), y, y, y και (άρα) (ιν), y y y, y, (β) Η απεικόνιση R, ij i j είναι μια τετραγωνική μορφή επί του R (γ) Αν η Β είναι μια συμμετρική διγραμμική μορφή επί του R με την επιπλέον ιδιότητα ότι,, ( η Β είναι θετικά ορισμένη) Τότε η Β λέγεται ένα εσωτερικό γινόμενο επί του R ( Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο το, y που ορίζει ο ταυτοτικός παίρνουμε θεωρώντας την διγραμμική μορφή πίνακας ) Αποδείξτε ότι:, y ισχύει η ανισότητα Cauchy-Schwartz, ) Για ένα εσωτερικό γινόμενο, y, y, y ) Η απεικόνιση R,, έχει τις ιδιότητες της Ευκλείδειας νόρμας: (ι), R και, (ιι), R, R και (ιιι) y y,, y R ( τριγωνική ανισότητα) Μια τέτοια απεικόνιση ονομάζεται νόρμα επί του R [ Υπόδειξη Για το (γ) ) Έστω, y R με y Παρατηρούμε ότι, ty, ty, t, y t y, y ()

21 5 για κάθε t R Η δεξιά πλευρά της ταυτότητας () είναι ένα τριώνυμο φ(t) ως προς, y t με ελάχιστη τιμή στο t Αντικαθιστώντας το t με το y, y t στην, y ταυτότητα () βρίσκουμε ty, ty,, από όπου yy, έπεται η ζητούμενη ανισότητα ( Εναλλακτικά παρατηρούμε ότι, επειδή t, t R και ο συντελεστής yy, του t είναι θετικός, θα πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύμου να είναι, y yy επομένως,, y, y, y 4, 4,, ) [Καθόσον αφορά το (γ) ), χρησιμοποιήστε την ανισότητα Cauchy-Schwartz για να αποδείξετε την τριγωνική ανισότητα] Άσκηση 8) (*) Έστω τυχούσα νόρμα στον R Αν συμβολίζει την Ευκλείδεια νόρμα, αποδείξτε ότι, υπάρχουν σταθερές m και ώστε για κάθε m [ Υπόδειξη Θέτομε ma,, R Αν, όπου R,,, η συνήθης βάση του,, R τότε, άρα i i i i i Όμως, i,,, Επομένως () Από την () έπεται ότι i y y,, y R η οποία έπεται ότι η είναι ( Lipschitz και άρα ) συνεχής συνάρτηση επί του R Η ως συνεχής επιτυγχάνει ελάχιστη τιμή επί του συμπαγούς συνόλου S R : Έστω m S mi : Η ανισότητα m, R αποδεικνύεται όπως η αντίστοιχη ανισότητα στο Λήμμα 6] Σχόλιο (*) Έχοντας μια νόρμα στον R μπορούμε να ορίσουμε σφαίρες ανοικτά και κλειστά σύνολα ( όρια συναρτήσεων και ακολουθιών ) ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως και για την Ευκλείδεια νόρμα Το αποτέλεσμα που περιγράφεται στην άσκηση 8) μας λέει ότι όλες οι νόρμες στον R είναι μεταξύ τους ισοδύναμες και άρα ορίζουν τα ίδια ανοικτά σύνολα ( τις ίδιες συγκλίνουσες ακολουθίες, συνεχείς συναρτήσεις κτλ) με την Ευκλείδεια νόρμα Ακόμη σημειώνουμε ότι δεν προέρχονται όλες οι νόρμες στον R από κάποιο εσωτερικό γινόμενο ( όπως περιγράφεται στην άσκηση 7)) Ένα παράδειγμα τέτοιας νόρμας είναι η,,, R Προσοχή η επόμενη παράγραφος που είναι «το θεώρημα της αντίστροφης απεικόνισης» αρχίζει πάλι από την σελίδα 5 i i

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20 Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων Ισαάκ Η Λαγαρής 1 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιον Ιωαννίνων 1 Με υλικό από το υπό προετοιμασία βιβλίο των: Βόγκλη,

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα