LINEARNE JEDNAČINE. za koji važi: a x b

Transcript

1 LINERNE JEDNČINE Pod linernom jednčinom po x podrzumevmo svku jednčinu s nepozntom x koj se ekvivlentnim trnsformijm svodi n jednčinu olik: gde su i dti relni rojevi. x Rešenje ove jednčine je svki reln roj x 0 z koji vži: x 0 ko nm posle rešvnj ostne jednčin većeg stepen (drugog, trećeg ) ond nju prom d rstvimo n činioe i koristimo: Z svku linernu jednčinu vži: x x 0, 0 ko je 0 0 Nem rešenj Primer: im eskončno Primer x 0 mnogo rešenj 0 x 7 0 Primer: 7 x x 5 0 x 0 x? Svki roj je rešenje 0 Deljenje s 0 nije dozvoljeno (z sd)

2 Kko rešvti jednčinu? - Prvo se osloodimo rzlomk (ko ih im) tko što elu jednčinu pomnožimo s NZS - Ond se osloodimo zgrd (ko ih im) množeći svki s svkim. - Nepoznte preimo n jednu poznte n drugu strnu znk =. (PZI: prilikom prelsk s jedne n drugu strnu menj se znk) - sredimo oe strne (oduzmemo i seremo) i doijemo x - Izrzimo nepozntu x VŽNO: ko negde vršimo skrćivnje mormo voditi rčun d tj izrz koji krtimo mor iti rzličit od nule. U suprotnom se može desiti psurdn situij. x Primer: Rešiti jednčinu: 0 x ko skrtimo x x 0 x 0? x Ne smemo skrtiti jer je uslov x 0 ZDI: ) Reši jednčinu 9x5x x5x9 7x 7 7 x 7 x Nem rzlomk i zgrd tko d odmh preujemo nepoznte n jednu poznte n drugu strnu. ) Reši jednčinu 3 ( 3x) 4(6x ) 0 x (osloodimo se zgrd) 3(3 x) 4(6x) 0x 6 9x4x44 0 x 9x4xx0644 6x x 6 x 3

3 ) Reši jednčinu y y y 7 4 y 5 y 3 6y 5 / 4 Ndjemo NZS z 7, i 4; to je 4. elu jednčinu 7 4 ( y 5) 8 7(y 3) (6 y 5) pomnožimo s 4. y084y6y5 y4y6y 508 6y y 6 y 3 4) Reši jednčinu ( x 3) ( x 4) x 3 ( x 3) ( x 4) x 3 ( x 6x9) ( x 8x6) x3 x 6x9x 8x6x3 6x8xx396 x 6 6 x x 5) Reši jednčinu x x 3 PZI: Ovde odmh postvi uslove: x 0 x x 3 0 x 3 x x 3 Množe se unkrsno : ( x 3) ( x ) x6 x xx6 x 8 3

4 6) Reši jednčinu x 5 x 3 3x 6 x 4 x5 x3 /6( x ) 3( x) ( x) ( x5) 3( x) 3(x3) x03x66x9 x3x6x690 7x 5 5 x 7 Uslovi: x 0 x 7) Reši jednčinu x 8 x x 4x x x 8 x.../ ( x )( x ) x (x)(x) x (x) 8 (x) Uslovi: x 0 x 0 x x 4x 4x84x 4x 4x 4x4x 4x8 x x 8x8x x 8) Reši jednčinu 5x x Ovd mormo njpre d definišemo psolutnu vrednost:, 0, 0 Dkle: x 5x, z 5x0 5x, 5 5x = (5x ), z 5x 0 (5x ), x 5 Sd rešvmo dve jednčine: 4

5 Uslov x Uslov x 5 5 5xx (5x) x 6x 5xx 6x 3 4x 3 4x x 6 x 4 x Ovo rešenje je ''doro'' jer je I ovo je doro jer je ) Reši jednčinu x 4 x 3 Njpre definišemo oe psolutne vrednosti: x 4, x 4 0 x 4, x 4 I Uslov x 4 = ( x 4), x 4 0 ( x 4). x 4 II Uslov 3 x x 3, x 3 0 x 3, x 3 = III (x 3), x 3 0 (x 3), 3 IV x Zdtk ćemo podeliti n 4 del u zvisnosti od uslov: i) I i III uslov: Uslov Uslov 3 x 4 i x ( x 4) (x 3) x 4 x 3 x 4 3 x 9 x 9 Nije ''doro'' rešenje jer ne zdovoljv x 4, x 4, ii) I i IV uslov 3 x 4, x Ovde nem rešenj x 5

6 iii) II i III uslov x 4 i ( x 4) (x 3) x 4 x 3 3x 3 4 3x x 3 3 x 3 x, 4 3 Doro je rešenje,4 3 iv) II i IV uslov x 4, i 3 x ( x 4) (x 3) x 4 x 3 x 4 3 x 5 Doro rešenje, jer 3 5, Zključk: rešenj su x i x x, 0) Rešiti i diskotuvti jednčinu u zvisnosti od prmetr ) mx 3m 5x sve s x preujemo n jednu strnu, sve što nem x n drugu mx 5x 3m Izvučemo x ko zjednički ispred zgrde x( m 5) 3m 3m x m 5 6

7 Diskusij: Z m 5 Z m 5 35 x nemoguć, nem rešenj 0 3m x jednčin im rešenj I to eskončno mnogo jer m R m 5 ) x x x 5x x(5) x 5 Diskusij: Z 5 0 Z Jednčin nemoguć 5 jednčin im mnogo rešenj Jednčine imju veliku primenu u rešvnju tkozvnih prolemskih zdtk. Vžno je doro proučiti tekst, ko tre skiirti prolem i nći vezu izmedju podtk. ) Ot im 43 godine sin 8, kroz koliko će godin ot iti dv put striji od sin? Oeležimo s X-roj godin koji tre d prodje. Ot 43 godine Sin 8 godin Kko godine teku i z o i z sin, to je: Ot 43+X Sin 8+X U zdtku se kže d će ot iti dv put striji od sin: (8 x) 43x 36 x 43x xx4336 x 7 7

8 Proverimo: Kroz 7 godin ot će imti 43+7=50 godin, sin 8+7=5 godin, p je ot zist dv put striji od sin. ) Koji roj tre dodti rojiou i imeniou rzlomk 5 d i smo doili rzlomk 7 5? x 5 x 5 7 Množimo unkrsno 7( x) 5(5 x) 4 7x 5 5x 7x5x5 4 x x 3) Učenik je prvog dn pročito 4 knjige, drugog dn 3 od osttk knjige, trećeg dn poslednjih 40 strni. Koliko im strni t knjig? Oeležimo s x-roj strni knjige. x I Dn x II Dn 40 str. III dn 3 x x 40 x x x40 x x40 x 4 3 x x40 4 x 40 4 x 60 Knjig im 60 strn. 8

9 4) Jedn rdnik može d zvrši poso z 9, drugi z dn. ko se njim pridruži treći rdnik, oni će tj poso zvršiti z 4 dn. Z koje i vreme trei rdnik sm zvršio poso? Nek je x-vreme z koje treći rdnik zvrši poso. Kko rzmišljmo? ko prvi rdnik sm zvrši poso z 9 dn ond će z dn odrditi 9 posl. Slično će drugi rdnik z dn odrditi posl, treći x deo posl. Znči d oni zjedno z dn odrde 4 9 x / 36 x 9 x 6xx44 36x 8x36x44 8x 44 x 8 deo posl, Kko rde 4 dn, to je: 9 x Dkle, treći rdnik i sm zvršio poso z 8 dn. 9

10 8 8 LINERNE NEJEDNČINE Linerne nejednčine rešvmo slično ko i jednčine (vidi linerne jednčine) koristeći ekvivlentne trnsformije. Vžno je reći d se smer nejednkosti menj kd elu nejednčinu množimo (ili delimo) negtivnim rojem. Primer: x 0 0 x x 5 x 0 Pzi: delimo s (-), mormo okrenuti smer nejednkosti 0 x x 5 Nrvno i ovde se može deliti d nejednčin im rešenj, nem rešenj ili ih pk im eskončno mnogo (u zvisnosti u kom skupu rojev posmtrmo dtu nejednčinu) ) Reši nejednčinu: 3( x) 9x( x3) 8 osloodimo se zgrd 3x 6 9x x 6 8 nepoznte n jednu, poznte n drugu strnu 3x9xx68 6 0x 0 0 x 0 x Uvek je prolem kko zpisti skup rešenj? Možemo zpisti x R x ko je potreno to predstviti i n rojevnoj prvoj: - x (,) Pzi: Kd i uvek idu mle zgrde ( ) Kod znkov < i > mle zgrde i przn kružić Kod <, > idu srednje zgrde i pun kružić Mle zgrde nm govore d ti rojevi nisu u skupu rešenj, dok, govore d su i ti rojevi u rešenju.

11 3 ) Reši nejednčinu: 3 3 elu nejednčinu pomnožimo s 6 (NZS z 3 i ) 3 ( ) 3(3 ) pzi: delimo s (-5) p se znk okreće U skupu R su rešenj, 5 PZI: D nm npr. trže rešenj u skupu N (prirodni rojevi), ond i to ili smo {,} 3) Reši nejednčinu: x x 3 x x 3 nepoznte n jednu, poznte n drugu strnu x x 3 x( ) 3 Kko sd? D li je izrz situije!!! pozitivn ili negtivn, ili možd nul? Mormo ispisti sve 3 x( ) 3 3 x okreće se znk 0x x 0x 3 Ovde je svki x R rešenje

12 Rešenje i zpisli: 3 Z x, Z x R 3 Z x, 4) Rešiti nejednčine: ) ( x ) ( x 4) 0 ) ( x 3) ( x 5) 0 Kod ovog tip nejednčin koristićemo d je: 0 ( 0, 0) v ( 0, 0) 0 ( 0, 0) v ( 0, 0) Nrvno iste šlone koristimo i z znkove > i < z 0 gde još vodimo rčun d je 0. i 0 ) ( x)( x4) 0 ( x 0, x 4 0) v ( x 0, x 4 0) ( x, x 4) v ( x, x 4) Sd rešenj spkujemo n rojevnoj prvoj!!! Rešenje je x (,) ( 4, ) x ( 4, ) x (,) 3

13 ) ( x 3) ( x 5) 0 ( x 3 0, x 5 0) v ( x 3 0, x 5 0) ( x 3, x 5) v ( x 3, x 5) x3,5 Dkle, končno rešenje je x 3,5 przn skup 5) Reši nejednčinu 6 x 3 x 6 x PZI: D i koristili šlon n desnoj strni mor d 3 x je nul, p ćemo zto - preiti n levu strnu!!! 6 x 0 3 x 6 x (3 x) 0 3 x 6 x 6 x 0 3 x 3x 0 sd može šlon 3 x ( 3x x 0) ili ( 3x x 0) ( 3x -x< 3) ( 3x -x 3) ( x 4, x 3) ili ( x 4, x 3) x (3,4) končno rešenje przn skup 6) Rešiti nejednčinu: (po n ) n 3 5 n Ovde mormo rešiti nejednčine, p ćemo upkovti njihov rešenj. 4

14 Prv nejednčin: n n Ili n n n3n3 0 n 4n 0 n Dkle: 4 n 0 n ( 4n 0 n 0) ili ( 4n 0 n 0) ( n n ) ili ( n n ) n, n, Z I deo rešenje je n,, Drug nejednčin: n 5 n n 5 0 n n 5n 5 0 n 4n 6 Dkle: 0 n ( 4n 6 0 n 0) ili ( 4n 6 0 n 0) 3 3 ( n n ) ili ( n n ) 5

15 3, n n, Z II deo rešenje je 3, n, Upkujmo sd I i II rešenje d i doili končno rešenje ove dvojne nejednčine: Rešenje prve nejednčine smo šrfirli udesno, druge ulevo N tj nčin vidimo gde se seku, odnosno gde je končno rešenje Dkle, končno rešenje je: n 3,, NPOMEN: Umesto šlon ovde smo mogli koristiti i tlično rešvnje koje je detljno ojšnjeno u delu kvdrtne nejednčine. 6

16 Zdi: Linerne nejednčine Zdi z veznje Zdtk : Rešiti nejednčine )7x+ 4> 0 ) 7x+ 4< 0 ) 4x+ x 4 d) x+ 4( x ) 4x 3 Zdtk : Rešiti nejednčine ) x 7 x 4 ) x x 3 x x ( + ) + > ( + ) ( + )( + ) + ( ) < ( ) ) (3x ) < 3(4x+ ) + 6 d)( x )(x+ 3) (x 5)( x+ 4) 3 3 e) 4x+ x > x 5 x+ f ) x+ + x x+ x + x ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Zdtk 3: Rešiti nejednčine ) ( x ) ( x+ 3) > 0 ) x( x 3) 0 x 3x ) < 0 d) 0 x+ 4x+ 5 x 3 x 5 e) < f) x 4 x+ 3 Zdtk 4: Rešiti sledeće sisteme nejednčin. Rešenj: 4 x < 0 ( x )( x+ 3) ( x 5)( x+ 4) ) ) 5x 3> + x ( 4x+ )( x ) > ( x 5)( x+ ) 3x< x 5 3 Zdtk : ) x > ) x > ) x d) x Zdtk : 4 x ), x ) (, ) x ) > d) x e) x > f) x (, ] Zdtk 3: x ) (, 3 ) (, ) x ) (, 3) 5 ) < x < d) x,, 4 3 [ ) f x ( ) ( ) ex ),4 ), 3, Zdtk 4: 7 ) x, + ) x 4, + ( )

17 LINERN FUNKIJ I NJEN GRFIK Nek su dti skupovi i. ko svki element x odgovr tčno jedn element y, kžemo d se skup preslikv u skup. Tkvo preslikvnje nzivmo funkijom. Zpisujemo: f : ili y = f (x) Domen Kodomen Njpozntiji olik linerne funkije je: y = kx + n (ekspliitni) Grfik ove funkije je prv. K- je koefiijent prv, odnosno k = tgα gde je α - ugo koji prv grdi s pozitivnim smerom x-ose, n - je odsečk n y-osi Pošto je prv odredjen s dve svoje tčke, grfik urtmo tko što u mlu tliu uzmemo proizvoljne vrednosti z x, p izrčunmo y ili još olje, x = 0 i y = 0, p ndjemo nepoznte: y = x + Z y = 0 Zz z x=0 x + = 0 y = 0 + = x =

18 PZI: ko je funkij smo y = kx (ez n) ond grfik prolzi kroz kordintni početk i mormo uzimti dve rzličite vrednosti z x. Primer: y = x x = 0 p je y = 0 x = p je y = - Kko nrtti grfike x = ili y = 3? Vžno je zpmtiti: y = 0 je x-os x = 0 je y-os x =, grfik je prleln s y-osom i prolzi kroz y =, grfik je prleln s x-osom i prolzi kroz

19 Dkle: x = y = 3 Nul Funkije: je mesto gde grfik seče x-osu doij se kd stvimo y = 0 p n izrčunmo koliko je x. x = Funkij može iti rstuć ili opdjuć. ko je k>0 k funkij je rstuć i s pozitivnim smerom x-ose grdi oštr ugo, ko je k<0 funkij je opdjuć i s pozitivnim smerom x-ose grdi tup ugo. Znk funkije: Funkij je pozitivn z y>0 tj. kx + n > 0 i grfik je iznd x-ose. Funkij je negtivn z y<0 tj. kx + n < 0 i grfik je ispod x-ose 3

20 Rstuć Opdjuć k k y = 0 z x = y = 0 z x = n n k k y > 0 z x, y > 0 z x, n n k k y < 0 z x, y < 0 z x, n n ko se u zdtku kže d grfik prolzi kroz neku tčku ( x 0, y0 ) ond koordinte te tčke smemo d zmenimo umesto x i y u dtoj jednčini y = kx + n Dkle: y kx + n 0 = 0 Dv grfik y = kx + n i y = kx + n će iti prleln ko je k = k, normln ko je k k =. Dkle: - uslov prlelnosti je k = k - uslov normlnosti je k k = D ns ne zuni: Prv može iti zdt i u drugim oliim: x + y + = 0 ili + = x y Mi ovde izrzimo y (ipsilon) i pročitmo k i n : 4

21 x + y + = 0 y = x y = x p je: k =, n = x y + = / x + y = y = x + / : y = x + p je: k =, n = ) Proučiti promene i grfički prikži funkije: ) y = x ) y = x + 4 ) y = x z x = 0 y = 0 = z y = 0 x = 0 x =. Olst definisnosti: x R. Nul finkij: x = 3. Znk: y > 0 z x (, ) y < 0 z x (,) 4. Monotonost: Funkij je rstuć jer je k = > 0 5

22 ) y = x + 4 z x = 0 y = = 4 z y = 0 x + 4 = 0 x =. Olst definisnosti: x R. Nul funkije: x = 3. Znk: y > 0 z x (,) y < 0 z x (, ) 4.Monotonost: funkij je opdjuć jer k = < 0 5) U skupu finkij y=(-4)x-(3-0). ( reln prmetr), odrediti prmetr tko d tčk M(,) pripd grfiku funkije. Z ndjenu vrednost prmetr ispitti funkiju i skiirti njen grfik. y = ( 4) x (3 0) = ( 4) (3 0) = = + 6 = 6 = 4 = M(,) tčk pripd grfiku p njene koordinte Stvljmo umesto x i y. x = i y = y = ( 4) x (3 0) y = x + 4 y = x ( 4) y = x + 4 6

23 6) U skupu funkij f ( x) = ( ) x + 3, odrediti prmeter tko d grfik funkije odse n y-osi odsečk dužine 5. f ( x) = ( ) x + 3 y = kx + n Pošto je n -odsečk n y-osi, ovde je n = + 3, to mor iti: + 3 = 5 = 5 3 = = 7) Dte su fmilije funkij y = ( m 5) x + 7 i y = ( 0 m) x 3 Z koje su vrednosti prmetr m grfii ovih funkij prlelni? y = ( m 5) x + 7 k = m 5 y = ( 0 m) x 3 k = 0 m uslov prlelnosti je d imju iste k. Dkle: m 5 = 0 m m + m = m = 5 m = m = ) Nrtti grfik funkije y = x Njpre definišemo psolutnu vrednost: x x, x 0 = x, x < 0 Dkle,tre nrtti dv grfik 7

24 y = x y = x y = x z x 0 z x < 0 y = x y = x Kko grfik y = x vži smo z x 0 njegov deo (isprekidno) z x < 0 nm ne tre. Kko grfik y = x vži z x < 0 i njegov isprekidni deo nm ne tre. 9) Dt je skup funkij y=(4m)x-(3m-), (m reln roj) ) Odrediti m tko d funkij im nul x= ) Z ndjenu vrednost m ispitti promene i konstruisti grfik funkije. y=(4m-6)x-(3m-) ) x = z y = 0 (4m 6) (3m ) = 0 8m 3m + = 0 5m 0 = 0 m = 8

25 y = (4 6) x (3 ) y = x 4 0) Dt je skup funkij y = ( k ) x ( k ), gde je k reln prmeter. Odrediti prmetr k tko d njen grfik ude prleln s grfikom funkije y = x 6. Z doijenu vrednost k, ispisti funkiju i konstruisti njen grfik. y = ( k ) x ( k ) y = x 6 k = k = 4 y = (4 ) x (4 ) y = x 3 9

26 TROUGO Mnogougo koji im tri strnie zove se trougo. Osnovni elementi trougl su : - Temen,, - Strnie,, ( po dogovoru strnie se oeležvju nsuprot temenu, npr nsprm temen je strni, itd) - Uglovi, unutršnji α, β, γ i spoljšnji α, β, γ γ α β β Osnovne relije z uglove i strnie trougl su: ) Zir unutršnjih uglov u trouglu je 80 0 tj. α +β +γ = 80 0 ) Zir spoljšnjih uglov je tj. α + β + γ = ) Spoljšnji i njemu susedni unutršnji ugo su uporedni,tj. α + α =β + β =γ + γ =80 0 4) Spoljšnji ugo trougl jednk je ziru dv nesusedn unutršnj ugl, tj α =β +γ β =α +γ γ =α +β 5) Svk strni trougl mnj je od zir već od rzlike druge dve strnie, tj < < + < < + < < + 6) Nsprm većeg ugl nlzi se već strni i ornuto. ko je α =β ond je = ko je = ond je α =β

27 Četiri znčjne tčke trougl su: ) Ortoentr (H) ) Težiste (T) 3) entr upisne kružnie (S) 4) entr opisne kružnie (O) Ortoentr se nlzi u preseku visin trougl h,h, h. ( Visin je njkrće rstojnje od temen do nsprmne strnie). Kod oštrouglog trougl je u trouglu, kod prvouglog u temenu prvog ugl kod tupouglog vn trougl. h H h h h h h = H Ortoentr Težišn duž trougl je duž koj spj teme s sredinom nsprmne strnie. Težišne duži seku se u jednoj tčki, to je TEŽIŠTE TROUGL. Težište deli težišnu duž u rzmeri :. t t T t t t t = T T : T T : T T : T = : = : = :

28 entr upisne kružnie je tčk presek simetrl uglov i kod svih trouglov je u olsti trougl. S S S r S β s s s = α β γ S entr opisne kružnie je tčk presek simetrl strni. Kod oštrouglog trougl je u trouglu, kod prvouglog n sredini hipotenuze i kod tupouglog vn trougl. s s r o s s s s = O 3

29 Vrste trouglov: Trouglovi se dele prem strnim i prem uglovim. Prem strnim: Prem uglovim: ) jednkostrnični ) oštrougli ) jednkokrki ) prvougli 3) nejednkostrnični 3) tupougli Nejednkostrnični β O = + + h P= h h = = ili P = s( s )( s )( s ) ili P= r s ili P= 4 R gde je: + + s poluoim s =, r-poluprečnik upisne kružnie i R-poluprečnik opisne kružnie. 4

30 Prvougli: p h q O = + + P= ili h P= odvde je: h = + = Pitgorin teorem + R = ; r = ; h = pq ; = p ; = q ; = p+q Jednkokrki : h h _ Ovde je osnov i krk ( kri) h h O = + P= = Primen Pitgorine teoreme: h +( ) = 5

31 Jednkostrnični: r o h r y 3 O = 3 i P = 4 3 Visin h = ; 3 r y = h= ; 3 6 r o = h= Kod ovog trougl sve četiri znčjne tčke se nlze u jednoj tčki. Srednj linij trougl (m) je duž koj spj sredine dve strnie i uvek je jednk polovini prlelne strnie. m=/ m=/ m=/ 6

32 Podudrnost (SSS) ko su sve strnie jednog trougl jednke odgovrjućim strnim drugog trougl. (SUS) ko su dve strnie i zhvćeni ugo jednog trougl jednki dvem strnim i zhvćenom uglu drugog trougl. (USU) ko su strni i n nju nlegli uglovi jednog trougl jednki s strniom i n nju nleglim uglovim drugog trougl. (SSU) ko su dve strnie i ugo nsprm veće od njih jednog trougl jednki dvem strnim i uglu nsprm veće od njih drugog trougl. Sličnost ~ =, =, = : = : = : - ko su dv ugl jednog trougl jednk s dv ugl drugog trougl. - ko su tri strnie jednog trougl proporionlne trim strnim drugog trougl. - ko su dve strnie jednog trougl proporionlne dvem strnim drugog trougl i uglovi izmedju tih strni jednki. - ko su dve strnie jednog trougl proporionlne s odgovrjućim strnim drugog trougl, uglovi nsprm dveju od tih odgovrjućih strni su uglovi iste vrste (ili oštri, ili prvi, ili tupi). 7

33 PODUDRNOST TROUGLOV Po definiiji, dv trougl i su podudrni ko postoji izometrij koj prevodi u. Oično se podudrnost oznčv s. Znči, ko su dv trougl podudrn ond je: =, =, =, α = α, β = β, γ = γ Postoje 4 teoreme ( stv ) o podudrnosti trouglov: Stv SSS Dv trougl su podudrn ko i smo ko su strnie jednog trougl jednke odgovrjućim strnim drugog trougl. = = = Stv SUS Dv trougl su podudrn ko i smo ko su dve strnie jednog trougl i ugo zhvćen njim jednki odgovrjućim strnim i uglu drugog trougl. γ γ α α β β = = α = α = = γ = γ = = β = β Stv USU Dv trougl su podudrn ko i smo ko imju jednku po jednu strniu i o odgovrjuć ugl nlegl n tu strniu. γ γ γ γ α β α β α α β β = β = β α = α = γ = γ α = α = β = β γ = γ Stv SSU Dv trougl su podudrn ko i smo ko su dve strnie i ugo nsprm jedne od njih u jednom trouglu jednki s dve odgovrjuće strnie i uglom u drugom trouglu, uglovi nsprm druge strnie u o trougl su iste vrste ( o oštr ili o prv ili o tup) Ovj stv njčešće primenjujemo kod prvouglog ili tupouglog trougl... β β β β α α 0 = = γ = γ= 90 α 0 = = γ = γ = α 90

34 Primer. Dokzti d su trouglovi i podudrni kd su im jednki sledeći odgovrjući elementi: ) ) ) d) =, =, h = h =, =, t = t =,, t = t h = h γ = γ, =, s = s γ γ Rešenje: ) =, =, h = h Nrmo njpre sliku i n njoj drugom ojom ( kod ns rvenom) oeležimo dte jednke elemente! D D h h Uvek prvo dokzujemo z delove koji se više šrene! Dkle prvo dokzujemo d je D D Mormo d ndjemo tri element koj su jednk I d kžemo koji je stv u pitnju! = h = h D D SSU 0 = = 90 D D E sd, odvde mormo izvesti neki zključk koji će nm pomoći d dokžemo d je D D D D h h Ovde je tj zključk d je D= D jer je = dto u zdtku mi smo dokzli d je D= D

35 Sd možemo dokzti d je D D D= D h = h D D SUS 0 = = 90 D D Iz sveg sledi d je ) =, =, t = t Dkle, nrtmo sliku i ofrmo zdte jednke elemente: t t D D / / / / Sd krećemo od desnih trouglov: = t = t D D SSS = D izvučemo zključk koji nm tre z drugi deo dokz: D = D D = D ( Dopun do opruženog ugl) / D / / D / D = D t = t D D SUS = Iz sveg sledi d je 3

36 ) =,, t = t h = h h t h t M M D D / / / / Pzite, ovde dokz mormo izvesti z sv tri trougl. Krećemo od srednjeg. t = t h = h SSU 0 = = 90 M M DM DM Ovde mormo izvući dv zključk: M / D / / D / h t h M t MD = MD D= D ( ovo nm tre z desni trougo) MD= MD M= M ( ovo nm tre z levi trougo) M= M h = h M M ( z levi trougo ) SUS 0 = = 90 M M = t = t SUS D = D D D ( z desni trougo) Iz sveg sledi d je 4

37 d) γ = γ, =, s = s γ γ D se podsetimo s γ je dužin simetrle ugl γ ( deli ugo n dv jednk del ) γ/ γ/ γ / γ / s γ s γ D D γ γ = sγ = sγ D D SUS = γ/ γ/ γ / γ / s γ s γ D D Zključk koji nm tre: D= D D= D Sd dokz z desni trougo: γ γ = sγ = sγ USU D= D D D Iz sveg sledi d je 5

38 Primer. Dokzti d su dv jednkokrk trougl podudrn ko su im jednki elementi =, h = h Rešenje: D D h h = h = h D D SSU 0 = = 90 D D D D h h Izvučemo zključk iz prvog del dokz d je: D= D D= D jer je početni trougo jednkokrk. D= D h = h USU 0 = = 90 D D D D Iz sveg sledi d je 6

39 Primer 3. N visini D koj odgovr osnovii jednkokrkog trougl uočen je tčk M. Dokzti d je M = M. Rešenje: Jednostvno uočimo dv trougl koji sdrže dte duži i dokžemo d su oni podudrni ond sledi d te duži morju d udu jednke. h M / D / Uzećemo d je tčk M unutr trougl, dokz i io isti i d je n visini vn trougl. = MD= MD DM DM odvde sledi d je M = M SUS 0 D= D = 90 Primer 4. Dt je trougo. N njegovim strnim spolj konstruisni su jednkostrnični trouglovi M, N i P. Dokzti d su duži N, P i M jednke. Rešenje: D nrtmo njpre sliku i postvimo prolem: N P M 7

40 Uočimo trouglove koji sdrže duži M i N. N P > > 60 o x 60 o Dokzujemo d su trouglovi M i N podudrni ( rveni i plvi n slii ) M = N = M= = M N p je odvde M = N sus 0 = = 60 + x M N Uočimo trouglove koji sdrže N i P. To su trouglovi N i P N P 60 o 60 o x = N = P= = sus 0 = = 60 + x P N P N p je odvde N = P M Iz sveg sledi d su duži N, P i M jednke! 8

41 Mnogougo koji im četiri strnie nziv se četvorougo. D ČETVOROUGO δ δ γ α β β Z svki četvorougo vži d im je zir unutršnjih i spoljšnjih uglov isti i iznosi α +β +γ +δ =360 0 α + β + γ + δ = Njpre d kžemo d četvorouglovi mogu iti : konveksni i nekonveksni. Četvorougo je konveksn ko duž koj spj ilo koje dve tčke unutršnje olsti ostje unutr četvorougl. D Četvorougo je nekonveksn ko duž koj spj ilo koje dve tčke unutršnje olsti izlzi iz nje. D

42 Podel četvorouglov može se izvršiti n više nčin.prvu podelu izvršio je još Euklid. On ih je podelio u pet grup: kvdrti, prvougonii,romovi,romoidi i trpezi. Meñutim, dns je podel izvršen n sledeći nčin: ) Prlelogrmi (imju po dv pr prlelnih strni) ) Trpezi (imju jedn pr prlelnih strni) 3) Trpezoidi (nemju prlelne strnie) Prlelogrm je četvorougo čije su nsprmne strnie prlelne. KVDRT - Sv četiri ugl su mu prv - Sve strnie su jednke - Dijgonle su jednke i meñusono se polove pod prvim uglom - entrlno simetričn je figur - Im 4 ose simetrije d r o r y O= 4 P = ili d P=, r y = i d r o = = d= i ko nm tre dužin strnie immo dužinu dijgonle d =

43 PRVOUGONIK - Sv četiri ugl su mu prv - Prlelne strnie su jednke - Dijgonle su jednke i meñusono se polove - entrlnosimetričn figur - Im ose simetrije d r o O = + P = d r o = dijgonlu nlzimo iz Pitgorine teoreme: d = + - Sve četiri stnie su jednke ROM - Nsprmni uglovi su jednki uzstopni su suplementni - Dijgonle se meñusono polove pod prvim uglom - entrlnosimetričn figur - Im dve ose simetrije d d h O = 4 P= d d ili P = h Može se upisti kružni čiji je poluprečnik h r y = Pitgorin teorem se primenjuje n osenčeni trougo: d = ( ) d + ( ) 3

44 ROMOID - Prlelne strnie su jednke - Nsprmni uglovi su jednki uzstopni su suplementni - Dijgonle se meñusono polove - entrlnosimetričn figur h h O = + P= h ili P= h Ne može d se upiše niti d se opiše kružni. Četvorougo čije su smo dve nsprmne strnie prlelne zove se TRPEZ. Prlelne strnie se zovu osnovie, druge dve kri. d m h Strnie i su osnovie, i d kri. Duž koj spj središt krkov je srednj linij trpez m = +. Nrvno m je prleln i s i s. + O = +++d ; P= h ili P = mh 4

45 JEDNKOKRKI TRPEZ d h + - O = P= h ili P = mh Primen Pitgorine teoreme: ( ) + h = ( n zeleni trougo) + ( ) + h = d ( n rveni trougo) PRVOUGLI TRPEZ d=h h - O = h + P= h ili P = mh Primen Pitgorine teoreme: ( ) + h = 5

46 Njpozntiji trpezoid je deltoid. DELTOID -Deltoid je trpezoid koji im dv pr jednkih uzstopnih strni. -Dijgonle deltoid su meñu soom normlne. -Simetrl deltoid je simetrl i njegovih uglov koje orzuju jednke strnie -Uglovi koje orzuju nejednke strnie su meñu soom jednki. -Dijgonle su istovremeno i simetrle uglov. d d O = + P= Tetivni četvorougo d d To je četvorougo oko kog može d se opiše kružni. o Uslov je: α + je= β + δ = 80 δ α d d γ β ( + d)( d+ ) d = jedn dijgonl + d ( + d)( + d) d = drug dijgonl + d = dd P sinϕ (ϕ je ugo izmedju dijgonl) 6

47 Tetivni četvorougo To je četvorougo u koji može d se upiše kružni. Uslov je: + = + d P = ( + ) r ili P = ( + d) r O = ( + ) ili O = ( + d) 7

48 Njjednostvnije rečeno, vektori su usmerene duži. Osnovne krkteristike vektor su : - prv - smer - intenzitet - početk i krj vektor VEKTORI U RVNI Prv vektor je prv n kojoj se on nlzi li i sve prve prlelne s njom, što vektoru dozvoljv d skče s jedne n drugu prlelnu prvu. Smer vektor se zdje streliom. Intenzitet vektor je njegov dužin i njčešće se oeležv s je početk je krj vektor. Oeležv se = Kko se vektor zdje? r r r = i+ j r ili jednostvnije = (, ) ; intenzitet je = + i i j su jedinični vektori (ortovi) koji služe z izržvnje drugih vektor. i =(,0) i intenzitet ovog vektor je i= j =(0,) i tkodje je j =

49 Kko izrziti vektor ko su dte koordinte njegovog početk i krj? =(x -x, y -y ) i njegov intenzitet je ond = ( x y x ) + ( y ) Sirnje i oduzimnje vektor Z sirnje i oduzimnje vektor immo dv prvil: ) Prvilo prlelogrm Dv dt vektor dovedemo n zjednički početk prlelnim pomernjem.nd njim ko strnim oformimo prlelogrm. Dijgonl prlelogrm je njihov zir (on dijgonl koj polzi iz sstv t dv vektor). ) Prvilo poligon (ndovezivnj) N krj prvog vektor prlelnim pomernjem dovedemo početk drugog, n krj drugog dovedemo početk trećeg vektor... Rezultnt (njihov zir) je vektor koji spj početk prvog i krj zdnjeg vektor. Evo to n slii:

50 Nš predlog je d upotreljvte prvilo ndovezivnj, jer je po nšoj proeni lkše... Svki vektor im svoj suprotn vektor, koji im isti prv i intenzitet li suprotn smer s početnim vektorom. - + = 0 i + ( ) = 0 Nul vektor 0 je onj čiji se početk i krj poklpju. Kko oduzeti dv vektor? Reimo d su dti vektori i,.postupk je sličn ko kod sirnj vektor(prvilo ndovezivnj) smo što umesto vektor + n krj prvog nnosimo

51 - Primer: ) Dte su duži i D. Tčke E i F su sredine ove dve duži. Dokzti d je : + D= EF Rešenje: Nrvno d je ovde njitnije nrtti sliku i s nje urditi zdtk! D E F Sd spojimo tčke koje formirju vektore. D E F Idej je d se vektor EF izrzi n oe strne p se te jednkosti seru! EF = E+ + F + EF = E+ D+ DF EF = + D jer su vektori E i E suprotni, p se skrte tkođe su suprotni i vektori F i DF p se i oni skrte. 4

52 Rčunski sirnje i oduzimnje vektor ide vrlo lko: ko je r = i+ j to jest = (, ) i r = i+ j, to jest = (, ) + = (, ) + (, ) = ( +, + ) - = (, ) (, ) = (, ) Dkle, rdimo tko što seremo (oduzmemo) koordintu s koordintom. Množenje vektor sklrom (rojem) Proizvod sklr k i vektor je vektor k (ili k) koji im isti prv ko vektor, intenzitet k = k i smer: - isti ko vektor ko je k>0 - suprotn od vektor ko je k<0 Primer: Dt je vektor, ndji : i -3 Rešenje: -3 Svki vektor se može predstviti u oliku = 0, gde je 0 jedinični vektor vektor. Linern zvisnost vektor ko su k,k,,k n relni rojevi i x, x,, x n vektori rzličiti od nule, ond se zir: k x +k x + +k n zove linern kominij vektor x, x,, x n Izjednčimo ovu linernu kominiju s nulom: k x +k x + +k n x n = 0 x n 5

53 i) ko je k =k = =k n, ond su vektori x, x,, x n linerno nezvisni ii) ko je r jedn od k,k,,k n rzličit od nule ond su vektori x, x,, x n linerno zvisni Vži još: Dv vektor su kolinern ko i smo ko su linerno zvisni (kolinerni znči d leže n istoj prvoj). Vektori x, y, z su komplnrni ko i smo ko su linerno zvisni (komplnrni znči d leže u istoj rvni). Rzlgnje vektor n komponente ko su vektori x i y linerno nezvisni vektori jedne rvni, ond z svki vektor z te rvni,postoje jedinstveni rojevi p i q tkvi d je : z = px+ qy Primer: Rešenje: Vektor v =(4,) rzložiti po vektorim =(,-) i = (-4,3) v = p + q (4,) = p(,-) + q(-4,3) (4,) = (p,-p) + (-4q,3q) Odvde prvimo sistem: 4=p 4q =-p + 3q p 4q = 4 -p + 3q = p q = -p+3q = q = 4 p-4q = 4, p je p 6 = 4, p p = 0 i končno p = 0. Dkle, rzlgnje vektor je v =

54 VEKTORI U RVNI II DEO Primer. uuur uuur uuuur Tčk M je središte strnie trougl. Dokzti d je + = M Rešenje: Nrtjmo njpre sliku i postvimo prolem... M M M slik. slik. slik 3. N slii. su oeleženi vektori koji su dti u zdtku. Št je idej? Kod ovkvog tip zdtk vektor u sredini izrzimo n oe strne! uuuur uuur uuuur N slii. je vektor M izržen ( plvom putnjom) preko: M = + M. uuuur uuur uuuur N slii 3. je vekor M izržen ( žut putnj) preko: M = + M Dlje ćemo ove dve jednkosti npisti jednu ispod druge i srti ih: uuuur uuur uuuur M = + M uuuur uuur uuuur M = + M uuuur uuur uuuur uuur uuuur M = + M + + M pretummo mlo uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur M = + + M + M pogledjmo zdnj dv vektor n slii...suprotni su, p je M + M = 0 uuuur uuur uuur M = + Doili smo trženu jednkost.

55 Primer. uuur uuuur U trouglu tčke M i K su središt strni i. Dokzti d je = MK Rešenje: Opet mor slik: K K K M M M slik. slik. slik 3. Slično ko u prethodnom zdtku, vektor u sredini MK, izržvmo n oe strne. uuuur uuur uuur uuur N slii. idemo ulevo: KM = M+ + K uuuur uuur uuur N slii 3. idemo udesno: KM = M+ K Npišemo jednkosti jednu ispod druge i seremo ih: uuuur uuur uuur uuur KM = M+ + K uuuur uuur uuur uuuuuuuuuuuuuuuuu KM = M+ K uuuur uuur uuur uuur uuur uuur KM = M+ + K+ M+ K Sd pogledmo sliku i uočimo suprotne vektore ( istog prv i intenzitet suproznog smer). uuuur uuur uuur uuur uuur uuur KM = + M+ M + K+ K Uokvireni su nul vektori, p je: uuuur uuur KM = Primer 3. Dt je trpez D. ko je M središte strnie D, N središte strnie, td je MN = ( + D) Dokzti. Rešenje: uuuur uuur uuur Ovo je ustvri dokz činjenie d je srednj linij trpez jednk polovini zir osnovi + m=

56 D D D M N M N M N slik. slik. slik 3. Njpre ćemo vektor MN izrziti odozdo ( slik.) p odozgo ( slik 3.), p to srti uuuur uuur uuur uuur MN = M + + N uuuur uuuur uuur uuur MN = MD + D+ N uuuur uuur uuur MN = + D suprotni vektori se potiru, to jest dju nul vektor uuuur uuur uuur. Još d elu jednkost podelimo s i doijmo MN = ( + D) Primer 4. Nek su M i N središt neprlelnih strni i D trpez D, E i F presečne tčke duži MN i uuur uuur uuur dijgonl i D. Td je EF = ( D) Rešenje: I u ovom zdtku se koristi isti trik, l je putnj izržvnj vektor u sredini mlo čudn, d vidimo: D D D E F E F E F slik. slik. slik 3. uuur uuur uuur uuuv N slii. vektor EF izržvmo preko: EF = E+ + F. uuur uuur uuur uuuv N slii 3. vektor EF izržvmo preko: EF = E+ D+ DF Npišemo ove dve jednkosti jednu ispod druge, seremo ih i potremo suprotne vektore uuur uuur uuur uuuv EF = E + + F uuur uuur uuur uuuv EF = E + D+ DF uuur uuur uuur EF = + D 3

57 Znmo d vži : D uuuv = uuur D uuur uuur uuur, uimo ovo u doijenu jednkost i evo rešenj: EF = D. uuur uuur uuur. Nrvno,ovo sve podelimo s i doijmo: EF = ( D) Primer 5. uuuur uuur uuur uuuur uuuur ko je M proizvoljn tčk u rvni prlelogrm D, td je 4MO= M+ M+ M+ MD, gde je O tčk presek dijgonl prlelogrm. Dokzti. Rešenje: D O M Vektor MO ćemo izrziti n 4 nčin p te jednkosti srti: uuuuv uuur uuur MO= M+ O uuuuv uuur uuur MO= M+ O uuuuv uuuur uuur MO= M+ O uuuuv uuuur uuur MO= MD+ DO uuuuv uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur 4MO= M+ O+ M+ O+ M+ O+ MD+ DO Pretumjmo mlo ovu jednkost u smislu d uočimo suprotne vektore: uuuuv uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur 4MO= M+ M+ M+ MD+ O+ O + O+ DO uuuuv uuur uuur uuuur uuuur 4MO= M+ M+ M+ MD ( pogledjte n slii, ovo su suprotni vektori) 4

58 Primer 6. uur uur uuur ko je T težište trougl, td je T+ T+ T= 0. Dokzti. Rešenje: D se podsetimo: težišn duž spj teme i sredinu nsprmne strnie; sve tri težišne duži seku se u jednoj tčki T koj je težište trougl; težište deli težišnu duž u odnosu :. D nrtmo sliku: T uur uur uuur Krenućemo od T+ T+ T= i dokzti d je ovj zir nul. Rekosmo d težište deli težišnu duž u odnosu :, p je: uur uuur T= 3 uur uuur T= 3 uuur uuuur T= 3 uur uur uuur Seremo ove tri jednkosti i doijmo: uuur uuur uuuur T+ T+ T= ( ) Dlje ćemo izrziti svki od ovih vektor ( pogledj n slii, to su isprekidno nrtni vektori): T T T uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = + = + = + Seremo ove tri jednkosti: 5

59 uuur uuur uuur = + uuur uuur uuur = + uuuur uuur uuur = + uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur + + = Pretumjmo mlo desnu strnu jednkosti: uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur + + = Zokruženi vektori imju zir nul, jer se zdnji vektor zvršv gde počinje prvi... uuur uuur uuur Pogledjmo sd preostli zir + +, i on je nul, jer je: uuur uuur = uuur uuur = uuur uuur = uuur uuur uuur uuur uuur uuur + + = ( + + ) = 0= 0 E, ovim je dokz končno zvršen. Primer 7. ko je M proizvoljn tčk u rvni trougl, td je MT = ( M+ M+ M) Dokzti. Rešenje: Njpre mormo vektor MT izrziti preko vektor M,M i M. uuur 3 uuur uuur uuuur, gde je T težište trougl. T M 6

60 uuur uuur uuur MT = M+ T uuur uuur uuur MT = M+ T uuur uuuur uuur MT = M+ T seremo ove tri jednkosti... uuur uuur uuur MT = M+ T uuur uuur uuur MT = M+ T uuur uuuur uuur MT = M+ T uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur 3MT = M+ M+ M+ T+ T+ T uuur uuur uuur uuuur U prethodnom primeru smo videli d ovo uokvireno dje nul vektor, p je: 3MT = M+ M+ M, to smo i treli dokzti. 7

61 TRNSLIJ ko je dt figur F i vektor r t u rvni α i ko je F ` skup svih tčk u koje se trnslijom Tr preslikvju tčke t figure F, td kžemo d se figur F preslikv n figuru F ` trnslijom Tr i pišemo Tr t t ( F ) = F `. t F F` α Kretnje mnogih ojekt u životnoj sredini soir n trnsliju. N primer : uspinjč n plnini, lift ili ilo koje prvolinijsko kretnje ( pogledj slike) t t t uspinjč lift prvolinijsko kretnje primer. Dt je trougo i vektor trnslije t r ( n slii). Odredi sliku ovog trougl nstlu trnslijom z vektor t r. t

62 Rešenje: Kko ide postupk kod trnslije? Njpre prlelno i u smeru vektor trnslije povučemo poluprve iz svkog temen dte figurie, u ovom slučju trougl ( slik.) t t t ` ` ` ` ` ` slik. slik. slik 3. Ztim u otvor šestr uzmemo dužinu vektor trnslije i iz svkog temen nnesemo n nrtne poluprve (slik.) Oeležimo doijene tčke s `, `, ` i to spojimo ( slik 3.) primer. Dt je kvdrt D. Odrediti njegove slike nstle trnslijom tko d se: ) teme preslikv u teme ) teme preslikv u središte strnie ) teme preslikv u presek dijgonl Rešenje: ) D` ` D` ` D D ` ` D ` ` t t = slik. slik. slik 3.

63 Postupk : r uuur Njpre smo oznčili dti vektor trnslije t=. U njegovom smeru i prlelno s njim, iz svih temen povlčimo uuur poluprve. U otvor šestr uzimmo dužinu vektor trnslije i prenosimo... Jsno je d se teme ovom trnslijom slik u teme, p je `, ostl temen oeležvmo s `,`,D`. r uuur Spjnjem ovih temen doijmo kvdrt ```D` koji je nsto trnslijom kvdrt D z vektor t=. ) D` ` D` ` D D D t M M ` ` M ` ` t =M slik. slik. slik 3. r uuuur Oeležimo sredinu strnie s M. Td je vektor trnslije t= M. Postupk ndlje isti... ) D` ` D` ` D D D O ` t =O ` O ` ` O ` slik. slik. slik 3. r uuur Nrtmo presek dijgonl i oeležimo g s O. Vektor trnslije je t= O i jsno je d će iti ` O, z ostle tčke rdimo poznti postupk... 3

64 primer 3. Dt je kružni k( O, r ) s prečnikom. Odrediti trnslije koje preslikvju: ) tčku O u tčku ) tčku u središte poluprečnik O ) tčku u dtu tčku M n kružnii Rešenje: ) O O`= O slik. slik. Kod trnslije kružnie je dovoljno preslikti njen entr poluprečnik ostje isti. Koristimo poznti postupk ) O M O M slik. slik. ) M O` M O` M O O O slik. slik. slik

65 primer 4. Konstruisti jednkostrničn trougo dte strnie čij dv temen pripdju dvem prlelnim prvm, treće teme pripd trećoj prvoj koj seče dte prlelne prve. Rešenje: ` ` ` ` ` ` ` ` ` dužin strnie trougl t =` slik. slik. slik 3. Uzeli smo proizvoljno dužinu strnie trougl. N prvoj uzmemo proizvoljno tčku `, u otvor šestr uzmemo dužinu strnie trougl, presečemo prvu i doili smo teme `. Nđemo teme ` u preseku lukov dužine strnie trougl nnetih iz ` i `. N ovj nčin smo doili trougo ``` ( slik.) Pošto jedno teme trženog trougl mor iti n prvoj, izvršićemo trnsliju ovog trougl ``` z vektor r uuuur t= ` koji je prleln s prvm i. ( slike. i 3.) Vidimo d nije ilo teško rešiti ovj zdtk, međutim Ovo je konstruktivn zdtk, koji se, ko se sećte rdi iz 4 del: nliz, konstrukij, dokz i diskusij. Ovde je vrlo znimljiv diskusij. Oeležimo rstojnje između prvih i s d. U nšoj konstrukiji smo uzeli d je dužin strnie trougl već od rstojnj d između prvih i. Rzlikovćemo tri situije: i) ko je dužin strnie trougl već od rstojnj d između prvih i ( > d ) U ovoj situiji zdtk im 4 rešenj: 5

66 ` ` ` ` ` `. rešenje. rešenje ` ` ` ` ` 3. rešenje 4. rešenje ` ii) ko je dužin strnie trougl jednk rstojnju d između prvih i ( = d ) U ovoj situiji zdtk im dv rešenj: ` ` ` ` ` `. rešenje. rešenje iii) ko je visin trougl jednk rstojnju d između prvih i ( h= d ) I ovde im dv rešenj ` h=d ` ` ` ` h=d `. rešenje. rešenje Ond je: 3 3 d d 3 d 3 h= d = = = =

67 iv) ko je dužin strnie trougl već od rstojnj d između prvih i ( = d ) Ovde zdtk nem rešenj 7

68 Nrtjmo jednu duž. Nek je S njeno središte. ENTRLN SIMETRIJ S Jsno je d je S = S. Z tčke i kžemo d su simetrične u odnosu n tčku S. Tčk S je entr simetrije. Još se može reći i d je tčk simetričn s tčkom u odnosu n tčku S, odnosno d je simetričn s u odnosu n S. Preslikvnje koje svku tčku neke rvni α prevodi u tčku ` koj je simetričn s tčkom u odnosu n tčku S te rvni α, nziv se entrln simetrij rvni α s entrom u S. entrln simetrij se njčešće oeležv s I S, nrvno ko vš profesor to drugčije oeležv i vi rdite tko... D vs ne zuni, osn simetrij se slično oeležv I s, s tim d je dole u indeksu mlo slovo s. Z figuru F rvni α kžemo d se preslikv n figuru F` entrlnom simetrijom I S ko svkoj tčki figure F odgovr tčk ` figure F` koj je entrlno simetričn tčki : ` = I ( ) i ornuto. S primer. Dt je duž. Konstruisti joj entrlno simetričnu duž ko entr simetrije, tčk S, ne pripd duži. Rešenje: ` ` S S S ` ` slik. slik. slik 3. Spojimo temen dte duži s entrom simetrije S i produžimo n drugu strnu...( slik.) Uodemo šestr u tčku S, uzmemo rstojnje do ( to jest S) i preimo, doili smo tčku А`; isto to odrdimo i z tčku, dkle rstojnje S preimo n drugu strnu i doijmo ` ( slik.) Spojimo doijene tčke А` i `, doili smo duž А`` koj je entrlno simetričn s u odnosu n tčku S(slik 3.)

69 primer. Konstruisti trougo ``` entrlno simetričn dtom trouglu ko je entr simetrije: ) unutr trougl ) vn trougl Rešenje: ) ` S S S ` ` slik. slik. slik 3. Izeremo tčku S unutr trougl ( proizvoljno), što vidimo n slii. Spojimo temen trougl s entrom simetrije S i produžimo Doili smo tri poluprve. Zodemo šestr u tčku S i prenosimo rstojnj do, i s druge strne n odgovrjuće poluprve. ( slik.) Spojimo doijene tčke i eto trženog trougl А``` koji je entrlno simetričn s dtim trouglom u odnosu n tčku S koj je unutr trougl. ) ` ` S S ` slik. slik. Postupk je nlogn ko pod ) smo tčku S irmo proizvoljno vn trougl.

70 primer 3. Konstruisti kvdrt ```D` entrlno simetričn dtom kvdrtu D ko je entr simetrije: ) teme ) n strnii Rešenje: ) ` ` ` ` D =` S= D S= =` D` D S= = ` D` slik. slik. slik 3. Kko je zdto d je teme entr simetrije, to je ono istovremeno i svoj slik, to jest `, z ostle tčke rdimo postupk... ) D D ` ` S S ` D` slik. slik. Proizvoljno izeremo tčku S n strnii i rdimo sve po postupku... 3

71 primer 4. Dti ugo xoy preslikti entrlnom simetrijom u odnosu n tčku S ( pogledj sliku) y S O x Rešenje: O` y ` O` y x` ` O` y S S S O x O y` slik. slik. slik 3. x O x Njpre preimo teme dtog ugl ( slik.) D i preili krk Ox, uzećemo proizvoljnu tčku n krku i preiti g ( slik.) Spojimo O` i ` i n tj nčin doijmo krk O`x` ( slik 3.) primer 5. Dt su dv krug, k i k, s rzličitim entrim O i O, koji se seku. Kroz jednu od tčk presek kružni povući prvu p koj n ovim krugovim odse jednke tetive. 4

72 Rešenje: k k k O O O O k O k P O k k` O` k` O` Q slik. slik. slik 3. N slii. smo nrtli dv zdt krug i oeležili s jednu od tčk presek njihovih kružni. Idej je d entrlnom simetrijom preslikmo kružniu k u odnosu n tčku. D i smo to odrdili dovoljno je d preslikmo entr O kružnie k, poluprečnik će nrvno ostti isti. ( slik.) Presek novodoijene kružnie k` s kružniom k nm dje tčku P. Povučemo prvu kroz tčke i P, doijmo tčku Q n kružnii k. Tetive P i Q su jednke. ( slik 3.) Zšto? Uočimo trouglove PO` i OQ. Ov dv trougl su podudrn, p je P=Q. 5

73 OSN SIMETRIJ Preslikvnje rvni, pri kojem se svk tčk te rvni preslikv u tčku `, simetričnu s u odnosu n prvu s te rvni, nzivmo osnom simetrijom u odnosu n prvu ( osu ) s. Njčešć oznk z osnu simetriju je I s. Nrvno, vi oeležvjte kko kže vš profesor. Z dve figure F i F ` neke rvni kžemo d su simetrične u odnosu n prvu s te rvni ( osno simetrične), ko svkoj tčki P figure F odgovr tčk P` figure F `, tko d je I s ( P ) = P`. Nrvno, vži i ornuto, svkoj tčki Q` figure F ` odgovr tčk Q figure F tko d je I s ( Q ) = Q`. Osn simetrij se još nziv i osn refleksij ili smo refleksij. Evo nekoliko primer osno simetričnih figur s jednom ili više os simetrije jedn os simetrije jedn os simetrije dve ose simetrije tri os simetrije svki \ / etiri os simetrije \ / prenik je os simetrije Ko što vidimo n slikm, jednkokrki trpez i jednkokrki trougo imju po jednu osu simetrije. Prvougonik im dve ose simetrije, jednkostrnični trougo tri ose simetrije, kvdrt četiri,dok je kod krug svki prečnik os simetrije.

74 Pre nego li krenemo s zdim, podsetićemo se jedne konstrukije koju mormo rditi ( ko zhtev profesor) kod svkog zdtk. Tremo iz dte tčke konstruisti normlu n dtu prvu p. P Q p P Q p P Q p slik. slik. slik 3. Iz tčke opišemo luk n prvoj p ( slik.) Uodemo šestr u tčku P, uzmemo otvor mlo veći od polovine rstojnj PQ i opišemo mli luk. Isti luk opišemo iz tčke Q ( slik.) Presek tih lukov spojimo s tčkom i eto normle ( slik 3.) Nrvno, ko vš profesor dozvoljv, lkše je koristiti prv ugo n trouglu ( lenjiru). primer. Dtoj duži konstruisti duž `` simetričnu u odnosu n prvu s koj ne seče duž. Rešenje: ` ` s s s slik. slik. slik 3. Iz tčk i konstruišemo normle n prvu s ( os simetrije) što vidimo n slii. U tčkm u kojim normle seku osu zodemo šestr i preimo rstojnj do, odnosno n drugu strnu, i doili smo tčke ` i `, što vidimo n slii. Spojimo doijene tčke i eto tržene simetrične duži ( slik 3.)

75 Npomen Pzite, ovo je konstrukijski zdtk, što znči d i trelo rditi sve po korim: nliz, konstrukij, dokz, diskusij. Mi ćemo vm ojsniti kko se konkretno rdi osn simetrij vi, opet ponvljmo, ko vš profesor trži, morte sve detljno rditi... primer. Dt je trougo. Konstruisti njemu simetričn trougo u odnosu n prvu s koj sdrži teme tog trougl i ne seče strniu. Rešenje: s s ` ` ` slik. slik. Ovde immo jednu znčjnu stvr d zpmtimo: ko je tčk n osi simetrije, ond se on ne mor preslikvti, jer je njen osno simetričn tčk š t tčk, to jest `. Postupk je uvek isti, iz temen i povučemo normle n osu s i preimo rstojnj n drugu strnu ose s. Spojimo doijene tčke i eto rešenj. primer 3. Prv s sdrži teme kvdrt D i seče strniu. Konstruisti kvdrt simetričn kvdrtu D. 3

76 Rešenje: D s D s =- ` ` D` ` slik. slik. Tčk je n osi, p je ` z ostle tčke rdimo poznti postupk primer 4. Dt je oštr ugo O i u njemu tčk. Konstruisti tčke i,, tko d oim trougl ude njmnji. Rešenje: O O O slik. slik. slik 3. Njpre konstruišemo tčke i koje su simetrične s tčkom u odnosu n krke O i O. ( slik.) Spojimo duž. Presek ove duži s krim O i O nm dje tčke i ( slik.). Spojimo tčke, i d doijemo trougo njmnjeg oim. ( slik 3.) Nrvno, sd se pitmo zšto je š ovj trougo njmnjeg oim? Njgov oim je O= + +, kko je = i =, možemo reći d je oim : O= + +, odnosno, oim je duž. 4

77 ko i uzeli neke dve druge tčke i, imli ismo: O Oim ovog trougl i io: O = + + kko je = i = to je oim : O = + + to je izlomljen linij koj je sigurno krć od. ( vidi sliku) primer 5. Dv rod, rod i rod nlze se usidreni n moru, nedleko od prvolinijske ole p. S rod čm tre d preveze jednog putnik do ole ztim d dodje do rod. Odrediti ( konstruisti) njkrći put kojim čm tre d plovi d i ovio postvljeni zdtk. Rešenje: Nčin rzmišljnj je sličn ko u prethodnom zdtku: rod rod rod rod ol p P ol p ` slik. ` slik. 5

78 Ndjemo tčku ` simetričnu s u odnosu n olu p ko osu simetrije. Spojimo tčku ` s tčkom. U preseku te duži i prve p je tržen tčk P n kojoj tre iskrti putnik. Dokz d je ovo njkrći put kojim čm plovi je nlogn dokzu prethodnog zdtk. Reimo d se putnik iskr n nekom drugom mestu, n primer u tčki Q. rod rod ol p P Q ` Njkrći put koju smo nšli konstrukijski je P+P, odnosno `P+P, to jest `P+P=`. Putnj Q+ Q je duž, jer je to ustvri putnj `Q+ Q, koj predstvlj zir dve strnie trougl `Q, znmo d je zir dve strnie uvek veći od dužine treće strnie! 6

79 ROTIJ Kod zdtk iz rotije vš profesor mor zdti tri stvri: - figuriu koju tre rotirti ( trougo, četvorougo...) - gde je entr rotije ( unutr figurie, vn, u nekom temenu, n strnii...) - ugo rotije Što se tiče ugl rotije mormo pziti d li je tj zdti ugo pozitivn ili negtivn. ko je ugo pozitivn, rotiju vršimo u smeru suprotnom od kretnj kzljke n stu + ko je ugo negtivn, rotiju vršimo u smeru kretnj kzljke n stu - Dkle ovde se rdi o uglu koji se nziv orijentisni ugo, p je i nčin oeležvnj mlo drugčiji, to jest, kod orijentisnog ugl se stvi znk z vektor : α ur - ovo je orijentisni ugo lf, ϕ ur - ovo je orijentisni ugo fi itd. Mi, nrvno, nećemo insistirti n ovkvom oeležvnju ugl, opet, vi rdite kko zhtev vš profesor! Sm rotij se njčešće oeležv s R ur O, ϕ, gde je tčk O entr rotije ur ϕ tj orijentisni ugo. Definiij rotije kže: F F ϕ ur O ko je dt rvn figur F, tčk O i orijentisni ugo ur ϕ i ko je figur F` skup svih tčk u koje se rotijom R ur O, ϕ preslikvju tčke figure F, td kžemo d se figur F rotijom R ur O, ϕ preslikv n figuru F`. Ovo oznčvmo s: R ur ( F) F` O, ϕ =

80 jmo d rotirmo jednu tčku M oko tčke O z proizvoljn pozitivn ugo ϕ ur, d i nučili postupk: M O ϕ ur Rotiju vršimo oko tčke O, koj je entr rotije, idemo u suprotnom smeru od kretnj kzljke n stu jer je ugo pozitivn. M M M` M O ϕ ur O ϕ ur O slik. slik. slik 3. Njpre spojimo entr rotije O s tčkom M ( slik.) Prenesemo zdti ugo ur ϕ li pzimo n smer. OM je jedn krk tog ugl, tčk O je teme. ( slik.) Uodemo šestr u tčku O ( entr rotije), uzmemo rstojnje do M i prenesemo g lukom do drugog krk nnetog ugl ( slik 3.) N tj nčin smo doili tčku M`. Nije teško, zr ne? li pzite, ovj postupk mormo rditi z svko teme dte figurie! primer. Dtu duž rotirti oko tčke O ( ne pripd duži) z ugo od Rešenje: Mormo plnirti i gde ćemo rtti sliku u svesi! Pošto je ugo negtivn, rotij ide u smeru kzljke n stu, p duž nrtjte n levoj strni sveske... Nrvno, njpre n strnu nrtmo ugo od 60 stepeni.

81 60 o ` ` ` ` ` 60 o 60 o O O O slik. slik. slik 3. Opisnim postupkom njpre rotirmo teme duži. ( slik.) Ztim vršimo rotiju temen ( slik.) Spojimo doijene tčke `` i eto rešenj. primer. 0 Dt je trougo i ugo α = 0. Rotirti trougo z dti ugo ko se entr rotije poklp s jednim temenom trougl. Rešenje: Nek se entr rotije poklp s temenom. Ond će iti O `. Z tčke i mor postupk... 0 o ` 0 o ` ` 0 o = O = ` = O = ` = O = ` ` ` slik. slik. slik 3. 3

82 primer 3. Rotirti kvdrt D oko tčke O koj je vn kvdrt,z ugo Rešenje: Opet plnirjte kko će izgledti slik, rdimo u smeru kzljke ` D` D ` ` - 75 o O Evo i pr mlo težih, prolemskih zdtk iz ove olsti: primer 4. Konstruisti jednkostrnični trougo čij temen pripdju trim dtim prlelnim prvm. Rešenje: Nrtmo tri prlelne prve :, i. Uzmimo tčku d pripd prvoj. Idej je d rotirmo prvu oko tčke z strniu trougl T rotirn prv ` će seći prvu u tčki i doićemo jednu E sd, z rotiju prve je dovoljno rotirti njenu normlu, li ćemo mi, d i ilo jsnije, uzeti dve proizvoljne tčke, reimo M i N n prvoj, i njih rotirti oko tčke. 4

83 N` 60 o 60 o M N M M` N slik. slik. N slii. smo uzeli dve proizvoljne tčke, n slii. ih rotirli oko tčke z prvu ` Spjnjem M` i N` doijmo ` ` N` N` M M` N M M` N slik 3. slik 4. Prv ` seče prvu u tčki. Doili smo jednu strniu trougl. ( slik 3.) Sd jednostvno, uzmemo to rstojnje i presečemo prvu ili iz ili iz. Doijmo teme, odnosno trženi trougo. primer 5. Dte su tri kružnie k, k i k 3 s zjedničkim entrom S ( konentrične kružnie). Konstruisti jednkostrničn trougo kome temen pripdju redom dtim kružnim. Rešenje: S k3 k k 0 Idej je d n kružnii k uzmemo proizvoljnu tčku i oko nje rotirmo entr S z

84 Doićemo tčku S` koj je entr kružnie k `, to jest rotirli smo kružniu k oko tčke z o 60 o S k3 k k S` S k3 k k S` S k3 ` k k slik. slik. slik 3. ` k Kružni k ` seče kružniu k 3 u dvem tčkm ( i `). Ovo nm govori d immo dv rešenj! 60 o 60 o S` S k 3 k k S` S k 3 k k k ` k ` Spojimo i eto strnie trženog jednkostrničnog trougl. Uzmemo dužinu te strnie i presečemo kružniu k, ili iz temen ili iz. Doili smo prvo rešenje. Z drugo rešenje slično rdimo

85 TLESOV TEOREM ko prlelne prve i preseju prvu p u tčkm i, prvu q u tčkm i, i ko je S zjedničk tčk prvih p i q, td vži: S S S S N slii i to izgledlo ovko: p S q N osnosu Tlesove teoreme možemo izvući jedn vžn zključk: ko dve proizvoljne prve p i q prese niz prlelnih prvih, tko d su odseči n jednoj prvoj jednki među soom, ond su i odseči n drugoj prvoj međusono jednki: p p D E D E S q S D E q slik. slik. N slii. immo niz prlelnih prvih koje prve jednke odsečke n Sp, to jest D DE. Ond su i odseči, po Tlesovoj teoremi, n Sq tkodje jednki : D DE ( slik.)

86 Ovj zključk se direktno primenjuje kod podele duži n jednke delove. Primer. Dtu duž podeliti n pet jednkih delov. Rešenje Uzmemo proizvoljnu duž : Iz tčke nnesemo poluprvu p ( n ilo koju strnu) i n njoj proizvoljnim otvorom šestr nnesemo 5 jednkih duži. p Zdnju nnesenu rtku ( podeljn n slii), spojimo s tčkom. Prlelno s ovom prvom kroz rtie n p nnosimo prve: p p Ovim je dt duž podeljen n 5 jednkih delov.

87 Sličn postupk i io i d smo duž treli podeliti n više delov... Primer. Dtu duž MN podeliti u rzmeri 5:. Rešenje Kd nm trže d duž podelimo u nekoj rzmeri, mi njpre seremo sve delove: 5+=7. Dkle, ko d delimo duž n 7 jednkih delov: M N p Nneli smo poluprvu Mp i n njoj proizvoljnim otvorom šestr nneli 7 jednkih duži. Spojićemo tčku N i zdnju rtku, ztim idemo s prlelnim prvm M N M S N p p Dkle, podelili smo duž MN n 7 jednkih delov. Jednostvno prerojimo 5 del i tu stvimo tčku, reimo S. Sigurni smo d vži: MS : SN 5: 3

88 Primer 3. Dte su proizvoljne duži, i. Konstruisti duž x tko d vži: : = : x Rešenje Kod ovkvih zdtk se direktno primenjuje Tlesov teorem. Vžno je d u proporiji x ude n zdnjem mestu, što je u ovom slučju zdovoljeno( inče i morli d pretummo proporiju i d nprvimo d x ude n zdnjem mestu...) Uzmimo njpre tri proizvoljne duži: Nrtmo proizvoljn konveksn ( njolje oštr) ugo poq i nnesemo redom: q O p N Op nnesemo duž, n Oq nnesemo duž, p n Op u produžetku nnesemo duž. N ovj nčin mi ustvri prtimo zdtu rzmeru: : = : x. Spojimo tčke gde se zvršvju duži i jednom prvom i povučemo prlelu s njom iz tčke gde se zvršv duž. Doili smo trženu duž x. q q x O p O p 4

89 Primer 4. Dte su proizvoljne duži i. Konstruisti sledeće duži: i) x ii) iii) x x Rešenje i) x Odvde mormo d nprvimo proporiju, li tko d x ude n zdnjem mestu. x kod x njpre dodmo x x tre d je n zdnjem mestu, to nm govori d je n prvom : : x Iskoristili smo dkle osoinu proporije d se množe spoljšnji s spoljšnjim unutršnji s unutršnjim člnovim proporije. Dlje rdimo ko i u prethodnom primeru: q q q x O p O slik. slik. p O slik 3. p Uzmemo proizvoljne duži i. Nnesemo jediničnu duž ( reimo m ili koliko vi oderete ) n poluprvu Oq ztim duž n poluprvu Oq i nkrju duž n poluprvu Op, tmo gde se zvršv jediničn duž.( slik.) Spojimo zvršetke jedinične duži i duži jednom prvom.( slik.) Povučemo prlelu s ovom prvom li tko d on prolzi kroz zvršetk duži. N poluprvi Oq smo doili tu trženu duž x kojoj odgovr jednkost x ( slik 3.) 5