Hviezdni dvojníci Slnka

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Hviezdni dvojníci Slnka"

Transcript

1 Hviezdni dvojníci Slnka J. Koza, Astronomický ústav SAV, Tatranská Lomnica, Abstrakt O jedenásťročnom cykle slnečnej aktivity vieme 166 rokov a pozorujeme ho 400 rokov. Fyzika Slnka má stále ďaleko k pochopeniu tohto prejavu činnosti magnetického dynama Slnka, ktoré z neho robí premennú hviezdu. Pozorovanie Slnku podobných hviezd a jeho dvojníkov pomáha pochopiť chovanie slnečného a hviezdneho magnetického dynama. Príspevok ponúka prehľad klasifikácie hviezd podobných Slnku, predstavuje ich využitie v rôznych odvetviach astrofyziky, stručne popisuje metódy výskumu ich variability a na záver sumarizuje celý životopis Slnka a jeho magnetickej aktivity, ktorý bol zostavený na základe štúdia veľkého štatistického súboru jemu podobných hviezd. 1. ÚVODNÉ JAZYKOVÉ OKIENKO V anglickej astronomickej literatúre je možné stretnúť sa s výrazom solar twin, ktorého korektný slovenský a český preklad by znel slnečné dvojča. V oboch jazykoch slovo dvojča označuje jedinca pochádzajúceho z rovnakého tehotenstva, ako druhé dvojča, ktorým je geneticky aj vzhľadovo totožný jedinec. Anglické solar twin preto navodzuje dojem, akoby z protosolarnej hmloviny, z ktorej vzniklo Slnko, zároveň vznikol aj jeho súrodenec, jeho dvojča, o ktoré Slnko nejakým spôsobom prišlo, a všetko, čo by súviselo s hľadaním a výskumom tohto hypotetického slnečného dvojčaťa by sa nieslo pod hlavičkou solar twin. Nevieme zatiaľ úplne spoľahlivo vylúčiť, že Slnko nemalo pri svojom počiatku jedného alebo viac hviezdnych súrodencov vzíducich zo spoločnej materskej protosolárnej hmloviny. Aj keby tomu tak bolo, čo je veľmi nepravdepodobné, hviezdna evolúcia nepozná mechanizmy analogické biologickým, ktoré by zachovávali akúsi genetickú zhodu hviezd. Preto platí axióma: Všetky hviezdy sú odlišné. Ak sa nám niektoré javia ako zhodné, potom sa nepozeráme pozorne. Háčik je v tom, že anglickým twin sa tu myslí dvojník, označujúci niekoho veľmi podobného, no bez priamej genetickej príbuznosti. Pre tento prípad má angličtina výstižnejšie ekvivalenty look-alike alebo z nemčiny prevzaté doppelganger, ktoré sú však pochopiteľne veľmi nepraktické a jazykovo neobratné, čo celkom dobre vysvetľuje, prečo sa zaužíval termín solar twin alebo solar twins, ktorý z vyššie uvedených dôvodov prekladáme ako dvojníci Slnka dominujúci aj názvu tohto článku. 2. KLASIFIKÁCIA Dvojníci Slnka sú len jednou podskupinou širšej skupiny hviezd, ktorých vybrané fyzikálne charakteristiky sú v istej miere podobné analogickým charakteristikám Slnka. Podľa miery ich podobnosti sú rozdelené do nasledujúcich troch skupín odrážajúcich presnosť pozorovacích metód, s ktorou sme schopní vybrané charakteristiky zmerať: hviezdy podobné Slnku (hviezdy slnečného u), slnečné analógy, dvojníci Slnka, habhviezdy. 3. HVIEZDY PODOBNÉ SLNKU Do tejto kategórie sú zaradené hviezdy hlavnej postupnosti, ktorých farebný index B-V je z intervalu 0,48 až 0,8 1. Len pre porovnanie, ten istý farebný index Slnka je 0,65. Podľa alternatívnej definície založenej na spektrálnom e patria do tejto kategórie hviezdy spektrálneho u F8 V až K2 V, pričom tomuto kritériu vyhovuje až 10 % hviezd. Hviezdy podobné Slnku sa prejavujú nápadnou závislosťou medzi rýchlosťou rotácie, chromosférickou a koronálnou aktivitou. Príklady blízkych jasných hviezd slnečného u ľahko identifikovateľných na oblohe sú v tabuľke č. 1, v ktorej sú aj počty známych exoplanét. Prvou v tabuľke je Eridani, ktorá je zo všetkých osamelých, voľným zrakom viditeľných hviezd treťou najbližšou. Je to pomerne mladá hviezda, ktorej vek je odhadovaný na menej ako jednu miliardu rokov. Tab. č. 1. Príklady hviezd slnečného u exoplanéty Eridani 3,7 10,5 K2 V τ Ceti 3,5 12 G8 V Eridani A (ο 2 Eridani) 4,4 16,5 K1 V jednotka farebného indexu mag je vynechaná v súlade so zaužívanou zvyklosťou

2 Obr. č. 2. Porovnanie veľkostí a farieb hviezd sústavy Centauri a Slnka. Autor: D. Benbennick. Obr. č. 1. Slnko (vľavo) je trochu väčšie, horúcejšie a aktívnejšie ako Ceti (vpravo). Autor: R.J. Hall. 4. SLNEČNÉ ANALÓGY Táto kategória je podskupinou predchádzajúcej a patria do nej hviezdy s teplotou líšiacou sa od teploty Slnka 5778 K o menej ako 500 K, metalicitou v rozsahu od 50 % do 200 % slnečnej metalicity a bez sekundárnej zložky s obežnou dobou kratšou ako 10 dní. Posledné kritérium súvisí s tým, že prípadná sekundárna zložka s kratšou obežnou periódou by slapovým gravitačným pôsobením, obrazne povedané, vnútila primárnej zložke synchrónnu rotáciu, ktorá je podstatne rýchlejšia, ako rotácia, ktorú by mala ako osamelá hviezda rovnakého veku. Prítomnosť blízkeho sekundáru by sa tak prejavila vysokou aktivitou hviezdy neprimeranou jej veku. Kritérium zároveň vylučuje možnosť prenosu hmoty medzi zložkami. Príklady blízkych jasných slnečných analógov ľahko identifikovateľných na oblohe sú v tabuľke č. 2 a na obrázku č. 2. Tab. č. 2. Príklady slnečných analógov 5 Centauri A 0,0 4,4 G2 V 5847 Centauri B 1,3 4,4 K1 V 5316 Draconis 4,7 19 K0 V 5297 Cassiopeiae A 3,4 19,4 G0 V DVOJNÍCI SLNKA Hviezdy tejto kategórie sú momentálne dostupnými prostriedkami takmer nerozlíšiteľné od Slnka a sú pochopiteľne úzkou podskupinou predchádzajúcej kategórie. Ich sa líši od teploty Slnka 5778 K o menej ako 50 K, metalicita je v rozsahu od 89 % do 112 % slnečnej, nemajú žiadneho sekundárneho sprievodcu a ich vek sa líši od veku Slnka, ktorý je 4,57 miliárd rokov, o menej ako 1 miliardu rokov. Príklady blízkych jasných dvojníkov Slnka sú v tabuľke č. 3, kde pre porovnanie sú uvedené aj vybrané charakteristiky Slnka ako aj vek v miliardách rokov. Existujú náznaky, že najvernejší doteraz známy dvojník Slnka 18 Scorpii má cyklus hviezdnej aktivity kratší o niekoľko rokov ako 11-ročný slnečný cyklus. Amplitúda aktivity, teda variácie jasnosti 18 Scorpii, je podobná slnečnej a má hodnotu 0,1 %. Tab. č. 3. Príklady hviezdnych dvojníkov Slnka vek [10 9 rokov] Slnko -26,7 0,0 G2 V ,57 18 Scorpii 5,5 45 G2 V ,2 HD (súhv. Drak) 6. HABHVIEZDY 8,7 208 G5 V ,5 Táto podskupina Slnku podobných hviezd bola zavedená iba nedávno a staršie štúdie ju preto neuvádzajú. Jej názov je slovný novotvar odvodený z anglického habitable star alebo habstar, teda obývateľná hviezda. Tým sa pochopiteľne myslí hviezda, ktorej fyzikálne charakteristiky sú natoľko blízke slnečným, že v jej okolí sú podmienky pre vznik Zemi podobných planét vhodných pre život v dlhodobo stabilnej obývateľnej zóne, v ktorej sa môže vyskytovať voda v kvapalnom stave. O zavedenie tejto kategórie sa významne zaslúžila Dr. Margaret Turnbull, ktorá je spoluautorkou habkatalógu viac ako blízkych habhviezd. Vek habhviezd je minimálne 3 miliardy rokov, sú na hlavnej postupnosti, neprejavujú výraznú variabilitu jasnosti a majú taký systém exoplanét, ktorý zabezpečuje dlhodobú dynamickú stabilitu obývateľnej zóny. Metalicita habhviezdy má byť dostatočne vysoká na to, aby v jej okolí mohli vzniknúť terestrické, teda Zemi podobné planéty. Uvedené podmienky spĺňajú hviezdy s hmotnosťou menšou ako 1,5 hmotnosti Slnka a chladnejšie ako F5 V. Prípadné kolísanie jasnosti habhviezdy by nemalo presiahnuť 3 % a jej metalicita by mala byť minimálne 40 % metalicity Slnka. Príkladom habhviezdy je hviezda HD v južnom súhvezdí Korma. Je to žltý trpaslík vzdialený 92 svetelných rokov s hmotnosťou a polomerom ako Slnko, je však o niečo chladnejší a menej svietivý. Vo vzdialenosti 3,2 AU ju obieha po takmer kruhovej dráhe hmotná, Jupiteru podobná exoplanéta. Podobnosť hviezdy so Slnkom zabezpečuje, že jej obývateľná zóna je približne vo vzdialenosti 1 AU a jej Exojupiter s hmotnosťou minimálne dvoch Jupiterov zabezpečuje stabilitu dráhy prípadnej Zemi podobnej exoplanéty s dráhou v obývateľnej zóne.

3 7. OBÝVATEĽNÁ ZÓNA Obývateľnou zónou (ďalej ako OZ) je myslená prstencová oblasť okolo hviezdy, v ktorej sa môže na terestrických planétach s dostatočným tlakom atmosféry vyskytovať tečúca voda. Hranice OZ sú určované na základe požiadaviek definovaných biosférou Zeme, jej polohou v Slnečnej sústave a množstvom žiarivej energie, ktorú prijíma zo Slnka. Odhady dolnej a hornej hranice OZ Slnečnej sústavy sa značne líšia. Jej vnútorný okraj kladú rôzni autori do vzdialenosti od 0,72 do 0,99 AU a jej vonkajší okraj do vzdialenosti od 1,01 AU až do 3 AU, teda hlboko do hlavného pásu asteroidov za dráhu trpasličej planéty Ceres. Vzdialenosť OZ od hviezdy rastie približne s druhou odmocninou jej svietivosti, čo ilustruje obrázok č. 3. Nasledujúci obrázok č. 4 dokumentuje závislosť vzdialenosti a šírky OZ od hmotnosti hviezdy pre prípad Slnečnej sústavy a sústavy šiestich exoplanét obiehajúcich okolo menej hmotného, červené trpaslíka Gliese 581 v súhvezdí Váhy. Zatiaľ nezávisle nepotvrdená exoplanéta Gliese 581 g leží takmer uprostred OZ. Je to prípad veľmi hmotnej, Zemi podobnej exoplanéty, takzvanej Superzeme. Ak sa jej existencia potvrdí a skutočne sa jedná o kamennú planétu s atmosférou, potom podmienky na jej povrchu by mali dovoľovať prítomnosť tečúcej vody. Obrázok č. 5 porovnáva veľkosť OZ Slnečnej sústavy a hviezdy podobnej Slnku 40 Eridani už skôr spomenutej v tabuľke č. 1. Koncepcia OZ ako rozhodujúceho faktoru podmieňujúceho výskyt života je narušená objavom kvapalnej vody ďaleko za hranicami OZ. Najznámejším príkladom je mesiac Jupiteru Európa, ktorý by mal mať rozsiahly podpovrchový oceán vody. V týchto prípadoch už nie je rozhodujúca žiarivá energia zo Slnka, ale napríklad gravitačný slapový ohrev mesiaca centrálnou planétou, rádioaktívny rozpad prvkov, pripadne vysoký tlak vyvolaný nadložnými vrstvami. Spolupôsobenie týchto a ďalších faktorov môže zabezpečovať dostatočný prísun energie pre udržanie kvapalného vodného oceánu. Podobne aj na ďalších mesiacoch veľkých planét je možná prítomnosť kvapalnej vody. Nasvedčuje tomu mohutný kriovulkanizmus vodného ľadu pozorovaný v roku 2005 sondou Cassini na Saturnovom mesiaci Enceladus, ktorý je na obrázku č ČÍM SÚ HVIEZDNI DVOJNÍCI SLNKA UŽI- TOČNÍ? Potreba identifikovať hviezdnych dvojníkov Slnka súvisí s nasledujúcimi astrofyzikálnymi problémami: vývoj Slnka na veľmi dlhých časových škálach rádovo miliárd rokov, pochopenie činnosti hviezdneho a slnečného magnetického dynama, hviezdna a slnečná aktivita a jej periodicita, spektroskópia objektov Slnečnej sústavy. Obr. č. 3. Závislosť vzdialenosti obývateľnej zóny d vyjadrenej v astronomických jednotkách AU od svietivosti centrálnej hviezdy I 0. Obr. č. 4. Závislosť vzdialenosti a šírky obývateľnej zóny od hmotnosti hviezdy pre prípad Slnečnej sústavy a sústavy šiestich exoplanét obiehajúcich okolo červeného trpaslíka Gliese 581 nachádzajúceho sa v súhvezdí Váhy. Obr. č. 5. Porovnanie veľkosti obývateľných zón Slnečnej sústavy a hviezdy podobnej Slnku 40 Eridani. Prvé tri zo spomenutých problémov navzájom veľmi úzko súvisia. Slnečná aktivita, ktorej najnápadnejším prejavom je variácia početnosti a veľkosti škvŕn (Obrázok č. 7), je vonkajším prejavom činnosti slnečného magnetického dynama. Toto dynamo funguje kváziperiodicky so základnou periódou približne 11 rokov a s meniacou sa amplitúdou. V jeho činnosti nastávajú hlboké výpadky, príčina ktorých je neznáma. Príkladom je takzvané Maunderovo minimum slnečnej aktivity v období od roku 1645 do roku 1715, v ktorom bolo zaznamenaný mimoriadne nízky počet slnečných škvŕn.

4 Obr. č. 7. Ročné priemerné počty slnečných škvŕn v rokoch 1609 až Nápadná absencia škvŕn v rokoch 1645 až 1715 sa nazýva Maunderovo minimum. Obr.č.6. Kriovulkanizmus alebo vodný vulkanizmus v oblasti južného pólu Saturnovho mesiaca Enceladus. Gejzíry vodného ľadu tryskajúce z puklín v povrchu zachytila sonda Cassini v roku Ďalším sekundárnym prejavom aktivity Slnka sú nepatrné periodické variácie celkového slnečného vyžarovania s amplitúdou približne 0,1 %, ktoré sú vo fáze s cyklom slnečných škvŕn (Obrázok č. 8). Práve tie však môžu hrať významnú úlohu vo vzťahoch Slnko-Zem. Teleskopické pozorovania cyklov slnečnej aktivity pokrývajú interval 400 rokov a éra jej kozmického výskumu začala iba pred 40 rokmi. Pritom vek Slnka je 4,57 miliárd rokov. Ak by úsečka predstavujúca vek Slnka mala 1 m, potom úsečka reprezentujúca éru jeho teleskopického výskumu by mala iba desatinu mikrometra. Pochopiteľne, z tak krátkeho úseku je možné robiť iba nepriame odhady, aká bola slnečná aktivita v dávnejšej minulosti a čo môžeme od nej očakávať v budúcnosti. Tento problém krátkeho časového pokrytia istého javu pozorovaniami astrofyzika rieši štúdiom veľkého počtu fyzikálne čo najpodobnejších objektov nachádzajúcich sa v rôznych vývojových štádiách. A práve tu majú nezastupiteľné miesto prvé tri kategórie hviezdnych dvojníkov Slnka, štúdiom ktorých môžeme nahliadnuť do minulosti a budúcnosti slnečnej magnetickej aktivity (Obrázok č. 9) a celého života Slnka. Posledný problém spektroskópie objektov Slnečnej sústavy súvisí s tým, že spektrum každého objektu slnečnej sústavy, či už planéty, kométy, alebo asteroidu, je súčtom slnečného a vlastného spektra objektu, ktoré ak chceme študovať, musíme od neho slnečné fotosférické spektrum odčítať. To je technicky možné iba tak, že po nasnímaní spektra objektu nasnímame rovnakou optickou sústavou a detektorom aj slnečné spektrum. Jeho zdrojom musí byť čo najvernejší dvojník Slnka, príklady ktorých sú uvedené v tabuľke č AKTIVITA A VARIABILITA DVOJNÍKOV SLNKA Pretože okrem Slnka všetky hviezdy sú aj v tých najväčších ďalekohľadoch iba body, ich magnetická aktivita a variabilita je študovaná nasledujúcimi nepriamymi metódy: presná širokopásmová fotometria celkovej jasnosti hviezdy, Obr. č. 8. Variácie celkového slnečného vyžarovania v rokoch 1978 až úzkopásmová fotometria jasnosti jadra spektrálnej čiary jedenkrát ionizovaného vápnika Ca II K s vlnovou dĺžkou 393,4 nm vo fialovej časti spektra, fotometria röntgenového žiarenia hviezdy. Prvá metóda poskytuje nepriamu informáciu o početnosti a ploche slnečných škvŕn a fakulových polí vo fotosfére hviezdy. Pretože centrum spektrálnej čiary Ca II K je formované v chromosfére, druhá metóda hovorí o celkovej ploche jasných chromosférických pláží, ktoré sú indikátorom magnetickej aktivity hviezdy (Obrázok č. 11). Vyššia magnetická aktivita hviezdy sa prejavuje väčšou celkovou plochou a ou pláží a tým aj väčším tokom žiarenia v jadre čiary Ca II K. Röntgenové žiarenie hviezdy pochádza z jej koróny a jeho pôvod súvisí s premenou energie magnetického poľa hviezdy na iné formy, jednou z ktorých je práve toto žiarenie (Obrázok č. 10). Aj v tomto prípade vyššia magnetická aktivita sa prejavuje vyšším tokom röntgenového žiarenie. 10. ZO ŽIVOTA SLNKA Na základe pozorovaní veľkého štatistického súboru hviezdnych dvojníkov Slnka rôzneho veku a všetkých troch kategórii bolo možné poskladať nasledujúci životopis Slnka a jeho magnetickej aktivity, ktorý v skratke ilustruje obrázok č. 12. Pre mladé Slnko v prvých desiatkach miliónov rokov života bola charakteristická rýchla rotácia, intenzívny slnečný vietor a vysoká magnetická aktivita, neporovnateľne vyššia ako súčasná. Gigantické škvrny spôsobovali

5 Obr. č. 9. Cyklus slnečnej aktivity. Mapy magnetického poľa Slnka pokrývajúce dve maxima slnečnej aktivity v rokoch 1991 (vľavo dolu) a 2001 (vpravo dolu) a minimum medzi nimi. Obr. č. 11. Chromosféra Slnka snímaná v jadre spektrálnej čiary Ca II K. Slnečné škvrny sú obklopené rozsiahlymi poľami jasných pláží. Obr. č. 10. Cyklus slnečnej aktivity z obrázku č. 9 v röntgenovom žiarení. pomerne veľké variácie jasnosti a mohli sa vyskytovať aj v polárnych oblastiach a boli zdrojom častých erupcií a výronov koronálnej hmoty. Magnetická aktivita v tomto období bola veľmi nepravidelná bez výraznejšej periódy. Bunky fotosférickej granulácie boli oválne a pretiahnuté v smere rotácie. Pre dospievanie Slnka do súčasnej podoby je charakteristické spomaľovanie rotácie v dôsledku straty momentu hybnosti unášaného hviezdnym vetrom. Bunky granulácie nadobúdajú nepravidelný tvar s ickým priemerom približne 1000 km. Intenzita magnetickej aktivity klesá, stáva sa kváziperiodickou a je prerušovaná veľkými minimami, príkladom ktorých je Maunderovo minimum. Pre záver života Slnka na hlavnej postupnosti je charakteristické ďalšie spomaľovanie rotácie a s tým súvisiace pohasínanie magnetickej aktivity. Disk Slnka je väčšinou bez škvŕn. Po expanzii Slnka na červeného obra je jeho povrch pokrytý enormne veľkými konvektívnymi bunkami. Obr. č. 12. Vývoj Slnka od protosolárnej hmloviny až po červeného obra. Autor: K. Schrijver. Poďakovanie Táto práca bola podporovaná Agentúrou na podporu výskumu a vývoja na základe zmluvy č. APVV Táto práca bola podporená Vedeckou grantovou agentúrou - projekt VEGA 2/0108/12.

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008) ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

2. Dva hmotné body sa navzájom priťahujú zo vzdialenosti r silou 12 N. Akou silou sa budú priťahovať zo vzdialenosti r/2? [48 N]

2. Dva hmotné body sa navzájom priťahujú zo vzdialenosti r silou 12 N. Akou silou sa budú priťahovať zo vzdialenosti r/2? [48 N] Gravitačné pole 1. Akou veľkou silou sa navzájom priťahujú dve homogénne olovené gule s priemerom 1 m, ktoré sa navzájom dotýkajú? Hustota olova je 11,3 g cm 3. [2,33 mn] 2. Dva hmotné body sa navzájom

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 % Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si

Διαβάστε περισσότερα

Hranice poznania. Aristoteles ( p.n.l.), Aristarchos ( p.n.l.),... Vesmír = slnečná sústava (sféry planét + sféra stálic), geocentrizmus

Hranice poznania. Aristoteles ( p.n.l.), Aristarchos ( p.n.l.),... Vesmír = slnečná sústava (sféry planét + sféra stálic), geocentrizmus NA KONIEC VESMÍRU Stroj času Hranice poznania Aristoteles (384 322 p.n.l.), Aristarchos (310 230 p.n.l.),... Vesmír = slnečná sústava (sféry planét + sféra stálic), geocentrizmus Hranice poznania Aristoteles

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

DOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2

DOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2 Mechanizmy s konštantným prevodom DOMÁCE ZADANIE - PRÍKLAD č. Príklad.: Na obrázku. je zobrazená schéma prevodového mechanizmu tvoreného čelnými a kužeľovými ozubenými kolesami. Určte prevod p a uhlovú

Διαβάστε περισσότερα

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

Monitoring mikrobiálnych pomerov pôdy na kalamitných plochách Tatier

Monitoring mikrobiálnych pomerov pôdy na kalamitných plochách Tatier Monitoring mikrobiálnych pomerov pôdy na kalamitných plochách Tatier Erika Gömöryová Technická univerzita vo Zvolene, Lesnícka fakulta T. G.Masaryka 24, SK960 53 Zvolen email: gomoryova@tuzvo.sk TANAP:

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

ČLOVEK A PRÍRODA. (neúplný) experimentálny učebný text

ČLOVEK A PRÍRODA. (neúplný) experimentálny učebný text ČLOVEK A PRÍRODA Zem náš domov (neúplný) experimentálny učebný text V Z D E L Á V A C I A O B L A S Ť Č L O V E K A P R Í R O D A tematický celok Zem náš domov Martin Mojžiš, František Kundracik, Alexandra

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore. Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies. ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

ROZSAH ANALÝZ A POČETNOSŤ ODBEROV VZORIEK PITNEJ VODY

ROZSAH ANALÝZ A POČETNOSŤ ODBEROV VZORIEK PITNEJ VODY ROZSAH ANALÝZ A POČETNOSŤ ODBEROV VZORIEK PITNEJ VODY 2.1. Rozsah analýz 2.1.1. Minimálna analýza Minimálna analýza je určená na kontrolu a získavanie pravidelných informácií o stabilite zdroja pitnej

Διαβάστε περισσότερα

Základy astronómie a astrofyziky

Základy astronómie a astrofyziky Univerzita P. J. Šafárika v Košiciach Prírodovedecká fakulta Základy astronómie a astrofyziky vysokoškolské učebné texty Košice 2014 Rudolf Gális Základy astronómie a astrofyziky 2014 doc. RNDr. Rudolf

Διαβάστε περισσότερα

SÚHVEZDIA A ORIENTÁCIA NA HVIEZDNEJ OBLOHE

SÚHVEZDIA A ORIENTÁCIA NA HVIEZDNEJ OBLOHE SÚHVEZDIA A ORIENTÁCIA NA HVIEZDNEJ OBLOHE 1. Čo pozorujeme: a) hviezdy a súhvezdia b) galaxie c) planéty d) obežnice planét mesiace e) meteory f) kométy g) umelé vesmírne telesá družice, rakety alebo

Διαβάστε περισσότερα

Heslo vypracoval : RNDr. Vojtech Rušin, DrSc. Astronomický ústav Slovenskej akadémie vied

Heslo vypracoval : RNDr. Vojtech Rušin, DrSc. Astronomický ústav Slovenskej akadémie vied astronómia encyklopedické heslo Vedný odbor, ktorý sa zaoberá výskumom vesmíru ako celku a všetkými nebeskými telesami, ktoré sa v ňom nachádzajú, napr. hviezdy, planéty a ich mesiace, medzihviezdna hmota,

Διαβάστε περισσότερα

Modul pružnosti betónu

Modul pružnosti betónu f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie

Διαβάστε περισσότερα

Analýza údajov. W bozóny.

Analýza údajov. W bozóny. Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003

Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003 Rozsah akreditácie 1/5 Názov akreditovaného subjektu: U. S. Steel Košice, s.r.o. Oddelenie Metrológia a, Vstupný areál U. S. Steel, 044 54 Košice Rozsah akreditácie Oddelenia Metrológia a : Laboratórium

Διαβάστε περισσότερα

A) gravitačné pole, Newtonov gravitačný zákon

A) gravitačné pole, Newtonov gravitačný zákon A) gravitačné pole, Newtonov gravitačný zákon (Hajko, II/78 - skrátené) 1. Vypočítajte potenciál φ gravitačného poľa kruhovej dosky (zanedbateľnej hrúbky) hmotnosti m a polomeru v bode P ležiacom na osi

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Riadenie elektrizačných sústav

Riadenie elektrizačných sústav Riaenie elektrizačných sústav Paralelné spínanie (fázovanie a kruhovanie) Pomienky paralelného spínania 1. Rovnaký sle fáz. 2. Rovnaká veľkosť efektívnych honôt napätí. 3. Rovnaká frekvencia. 4. Rovnaký

Διαβάστε περισσότερα

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky

Διαβάστε περισσότερα

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky

Διαβάστε περισσότερα

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom

Διαβάστε περισσότερα

Biogénne pozitrónové PET rádionuklidy

Biogénne pozitrónové PET rádionuklidy Netradičné rádionuklidy pre prípravu pravu PET rádiofarmák. P. Rajec 1,2, J. Ometáková 2 1.Biont, a.s., BIONT a.s., Karlovesk8 63, 842 29 Bratislava 2.Katedra jadrovej chémie Prírodovedecká fakulta Univerzity

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27

Διαβάστε περισσότερα

Východ a západ Slnka

Východ a západ Slnka Východ a západ Slnka Daniel Reitzner februára 27 Je všeobecne známe, že v našich zemepisných šírkach dĺžka dňa závisí od ročného obdobia Treba však o čosi viac pozornosti na to, aby si človek všimol, že

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

Vnútorná stavba a dynamika Slnka

Vnútorná stavba a dynamika Slnka Vnútorná stavba a dynamika Slnka A. Kučera, Astronomický ústav SAV, Tatranská Lomnica, akucera @astro.sk Abstrakt: Prehľadový referát podáva súčasný pohľad na vnútornú stavbu Slnka. V prvej časti je diskutovaná

Διαβάστε περισσότερα

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a ) Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým

Διαβάστε περισσότερα

Orientácia na Zemi a vo vesmíre

Orientácia na Zemi a vo vesmíre Orientácia na Zemi a vo vesmíre Orientácia na Zemi Podmienky: a) rovina b) smer podľazačiatku: 1) súradnice topocentrické 2) súradnice geocentrické 3) súradnice heliocentrické pravouhlá sústava súradníc

Διαβάστε περισσότερα

Zadání úloh. Úloha 4.1 Sirky. Úloha 4.2 Zvuk. (4b) (4b) Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4. Termín odeslání 24. 3.

Zadání úloh. Úloha 4.1 Sirky. Úloha 4.2 Zvuk. (4b) (4b) Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4. Termín odeslání 24. 3. Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4 Termín odeslání 24. 3. 2003 Milí kamarádi, jetunovéčíslonašehočasopisuasnímiprvníinformaceojarnímsoustředění.budesekonat3. 11.května2003vCelnémuTěchonínavokreseÚstí

Διαβάστε περισσότερα

Stavba atómového jadra

Stavba atómového jadra Objavy stavby jadra: 1. H. BECQUEREL (1852 1908) objavil prenikavé žiarenie vysielané zlúčeninami prvku uránu. 2. Pomocou žiarenia α objavil Rutherford so svojimi spolupracovníkmi atómové jadro. Žiarenie

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Analýza poruchových stavov s využitím rôznych modelov transformátorov v programe EMTP-ATP

Analýza poruchových stavov s využitím rôznych modelov transformátorov v programe EMTP-ATP Analýza poruchových stavov s využitím rôznych modelov transformátorov v programe EMTP-ATP 7 Obsah Analýza poruchových stavov pri skrate na sekundárnej strane transformátora... Nastavenie parametrov prvkov

Διαβάστε περισσότερα

18. kapitola. Ako navariť z vody

18. kapitola. Ako navariť z vody 18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

Teória pravdepodobnosti

Teória pravdepodobnosti 2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B . písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c

Διαβάστε περισσότερα

Strana 1/5 Príloha k rozhodnutiu č. 544/2011/039/5 a k osvedčeniu o akreditácii č. K-052 zo dňa Rozsah akreditácie

Strana 1/5 Príloha k rozhodnutiu č. 544/2011/039/5 a k osvedčeniu o akreditácii č. K-052 zo dňa Rozsah akreditácie Strana 1/5 Rozsah akreditácie Názov akreditovaného subjektu: CHIRANALAB, s.r.o., Kalibračné laboratórium Nám. Dr. A. Schweitzera 194, 916 01 Stará Turá IČO: 36 331864 Kalibračné laboratórium s fixným rozsahom

Διαβάστε περισσότερα

Test. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.

Test. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s. Test Matematika Forma A Štátny pedagogický ústav, Bratislava Ò NUPSESO a.s. 1. Koľkokrát je väčší najmenší spoločný násobok čísel 84 a 16 ako ich najväčší spoločný deliteľ. A. B. 3 C. 6 D.1. Koľko záporných

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

MOSTÍKOVÁ METÓDA 1.ÚLOHA: 2.OPIS MERANÉHO PREDMETU: 3.TEORETICKÝ ROZBOR: 4.SCHÉMA ZAPOJENIA:

MOSTÍKOVÁ METÓDA 1.ÚLOHA: 2.OPIS MERANÉHO PREDMETU: 3.TEORETICKÝ ROZBOR: 4.SCHÉMA ZAPOJENIA: 1.ÚLOHA: MOSTÍKOVÁ METÓDA a, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Wheastonovho mostíka. b, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Mostíka ICOMET. c, Odmerajte odpory predložených

Διαβάστε περισσότερα

Baumit StarTrack. Myšlienky s budúcnosťou.

Baumit StarTrack. Myšlienky s budúcnosťou. Baumit StarTrack Myšlienky s budúcnosťou. Lepiaca kotva je špeciálny systém kotvenia tepelnoizolačných systémov Baumit. Lepiace kotvy sú súčasťou tepelnoizolačných systémov Baumit open (ETA-09/0256), Baumit

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Rádioaktivita izotopy stabilita ich atómových jadier rádioaktivita žiarenie jadrové

2.2 Rádioaktivita izotopy stabilita ich atómových jadier rádioaktivita žiarenie jadrové 2.2 Rádioaktivita Koniec 19. storočia bol bohatý na významné objavy vo fyzike a chémii, ktoré poskytli základy na vybudovanie moderných predstáv o zložení atómu. Medzi najvýznamnejšie objavy patrí objavenie

Διαβάστε περισσότερα

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický

Διαβάστε περισσότερα

6 Gravitačné pole. 6.1 Keplerove zákony

6 Gravitačné pole. 6.1 Keplerove zákony 89 6 Gravitačné pole Pojem pole patrí k najzákladnejším pojmom fyziky. Predstavuje formu interakcie (tzv. silového pôsobenia) v prostredí medzi materiálnymi objektmi ako sú častice, atómy, molekuly a zložitejšie

Διαβάστε περισσότερα

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana. Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

1. Krátky úvod. 2. Galileo dieťa, študent a mladík ( , 0 až 25 rokov)

1. Krátky úvod. 2. Galileo dieťa, študent a mladík ( , 0 až 25 rokov) Niekoľko poznámok a jeden záväzok na tému Galileo Galilei (alebo čo dal Galileo fyzikom a čo by mohol dať učiteľom matematiky) Hynek Bachratý (Hynek.Bachraty@kst.uniza.sk), Katedra softvérových technológií,

Διαβάστε περισσότερα

Rentový počet. Rentový počet. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice.

Rentový počet. Rentový počet. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice. entový počet Monika Molnárová Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 entový počet Úvod Polehotná renta s konštantnou splátkou Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou Predlehotná

Διαβάστε περισσότερα

Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ

Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ Časová zložitosť Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ Laický pohľad skutočne môže naznačovať, že efektívne algoritmy vôbec nepotrebujeme. Veď predsa každý rok sa výrobcovia počítačov predbiehajú

Διαβάστε περισσότερα

PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO

PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené

Διαβάστε περισσότερα