SÚHVEZDIA A ORIENTÁCIA NA HVIEZDNEJ OBLOHE
|
|
- Τίμω Αλεξάνδρου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SÚHVEZDIA A ORIENTÁCIA NA HVIEZDNEJ OBLOHE 1. Čo pozorujeme: a) hviezdy a súhvezdia b) galaxie c) planéty d) obežnice planét mesiace e) meteory f) kométy g) umelé vesmírne telesá družice, rakety alebo vesmírne stanice h) atmosférické javy polárna žiara a i. Najvýraznejší pohyb na nočnej oblohe pritom vykazujú telesá, ktoré sa voči nám pohybujú najbližšie (c, d, e, f, g, h). Na základe toho aj boli odlíšené od tzv. stálic (a, b), ktoré vďaka svojej mimoriadnej vzdialenosti zdanlivo nevykazujú nijaký pohyb, okrem pohybu samotnej hviezdnej sféry. 2. Čo nám umožňuje orientovať sa na oblohe: a) súhvezdia a ich najjasnejšie hviezdy b) najbližšie planéty c) niektoré obežnice planét najmä Mesiac Súhvezdia sú výrazné, charakteristické zoskupenia hviezd, ktoré vďaka tomu dostali názvy vyjadrujúce ich približný tvar alebo podobu niektorým známym predmetom alebo osobám. Názvy mnohých z nich vychádzajú z gréckej mytológie a sú vlastne menami hrdinov a hrdiniek gréckych báji, resp. zvierat a vecí, ktoré ich obklopovali. Mnohé názvy hviezd sú zase arabského a egyptského pôvodu, čo úzko súvisí s tým, že Ptolemaiov astronomický odkaz (slávny Almagest) rozvíjali najmä arabskí stredovekí astronomovia. Vďaka určitej konkretizácii a personifikácii či priamemu zobrazeniu určitých osôb a vecí tak súhvezdia rozčleňujú oblohu na jednotlivé výrazné oblasti (regióny) a umožňujú nám orientovať sa na nej. Zdôrazniť však treba, že súhvezdia ako také nie sú skutočné fyzikálne objekty s interagujúcimi časťami, čiže nie sú navzájom priamo gravitačne viazané. Gravitačne viazané alebo späté sú len v rámci našej galaxie ako celku. 1
2 3. Čo musíme zohľadniť pri pozorovaní: a) Kvalitu pozorovacích podmienok na Zemi ako planéte: Zem ako taká je totiž geologicky aktívna, pomerne zvlnená planéta s rozľahlým vodným obalom (resp. oceánom) a pomerne vysokou, najmä však hustou atmosférou nasýtenou kvapôčkiami vodnej pary, ľadu a dažďa. Preto je pri pozorovaní nevyhnutné dostať sa čo najvyššie nad terén, aby sme mali čo najlepší výhľad k horizontu. Vo veľkých výškach je tiež nižšia koncentrácia vzduchu a vodných prímesí atmosféry, čo vplýva pozitívne na kvalitu pozorovania. Relatívne stále a stabilné podmienky na pozorovanie, teda vysoká kvalita atmosféry sú okrem veľkých výšok najmä v prímorských oblastiach. Je preto výhodné pozorovať vesmír vysoko a v blízkosti mora, a tak nie náhodou sa najsilnejšie pozemské optické ďalekohľady nachádzajú práve tam, t. j. na havajských ostrovoch, čílskej horskej planine La Silla či na Kanárskych ostrovoch, ktoré spĺňajú práve vyššie uvedené podmienky. b) Vlastný pohyb, resp. rotáciu Zeme ako planéty: Zem sa totiž otáča okolo vlastnej osi, čiže má vlastnú rotáciu. Okolo svojej osi sa pritom v súčasnosti otočí raz za 24 hodín. Rotáciu Zeme silne ovplyvňuje Mesiac so Slnkom, ktoré zapríčiňujú postupné spomaľovanie a predlžovanie zemskej rotácie a zároveň aj ďalšie javy, napríklad mierne elipsovité vychyľovanie zemskej osi z jej zdanlivo stabilnej polohy, t. j. precesiu a nutáciu. Hlavným dôsledkom vlastnej rotácie Zeme je však tzv. rotačná ilúzia, t. j. falošná predstava o pohybe vesmírnych telies (Slnka, planét a hviezd) okolo Zeme. Vďaka rotácii totiž putuje zdanlivo po oblohe Slnko (vychádza a zapadá), čo znamená, že smer zemskej rotácie je opačný, t. j. od západu k východu. Rovnako preto vychýádza a zapadá Mesiac, planéty a hviezdy. Pohyby Mesiaca a planét po oblohe sú však zložitejšie, pretože tieto telesá sú pomerne blízko a rýchlo sa pohybujú, naviac ich sledujeme z pohybujúej sa Zeme. Výsledkom sú pozoruhodné krivky a slučky dráh planét, ktoré privádzali do zúfalstva starovekých astronómov, vychádzajúcich z geocentrizmu. c) Precesia zemskej osi: Precesia býva definovaná ako dlhodobý kužeľovitý pohyb zemskej osi okolo kolmice na zemskú obežnú dráha alebo ako posúvanie bodov jarnej a jesennej rovnodennosti. To znamená, že pri precesii je zemská os vychyľovaná a rozkolísaná podobne ako pri rotácii gravitačným pôsobením Mesiaca a Slnka, ktoré je vďaka veľkej vzdialenosti Slnka od Zeme a malej vzdialenosti Mesiaca od Zeme približne rovnaké u oboch 2
3 vplývajúcich telies. Obrazne povedané Mesiac a Slnko akoby si postupne priťahovali zemskú os. V dôsledku toho potom zemská os vykonáva spomenutý dlhodobý kužeľovitý pohyb, ktorého perióda je zhruba rokov. Precesia okrem toho zapríčiňuje, že priesečník rovníka a ekliptiky (čo sú pojmy, ktoré si onedho vysvetlíme), t. j. jarný bod, sa voči hviezdam pozvoľna posúva. Preto sa dnešné polohy súhvezdí nekryjú so znameniami ekliptiky, a teda keď Slnko vstupuje do znamenia Barana, je v skutočnosti v znamení Rýb atď. Vďaka precesii sa totiž severný pól hviezdnej oblohy postupne presúva po hviezdnej oblohe a dnes je najbližšie k Polárke. 3
4 d) Nutácia zemskej osi: Býva definovaná ako periodické výkyvy zemskej osi okolo jej rovnovážnej polohy, vznikajúce v dôsledku sústavne sa meniacej príťažlivosti Mesiaca vyvolanej zmenou polohy mesačnej dráhy. Pri nutácii teda musíme brať do úvahy, že Mesiac neobieha Zem presne v rovine ekliptiky, keďže jeho obežná dráha zviera s ekliptikou uhol 5,1 o. A práve v dôsledku takéhoto pohybu a pôsobenia Mesiaca nie je precesný kužeľ hladký, ale má vzhľad vlnitého plechu. Drobné nutačné vlnky sa pritom vytvárajú v intervale (časovom úseku) alebo perióde 18,7 roka. No a práve toto vlnenie precesného kužeľa je nutácia. e) Obeh Zeme okolo Slnka: Základný pohyb Zeme v Slnečnej sústave je však jej pohyb (alebo obeh) okolo Slnka. Ako všetci vieme, uskutočňuje sa v perióde jedného roka, resp. 365 dní. Vplýva významne najmä na časovú podmienenosť, čiže časové vlastnosti (parametre) pozorovania, a to najmä vtedy, ak tento obeh prepojíme alebo usúvzťažníme s rotáciou Zeme. Ak totiž budete sledovať hviezdnu oblohu po viacero večerov za sebou, objavíte čoskoro ďalší úkaz súvisiaci s rotáciou a obehom Zeme okolo Slnka. Tie isté hviezdy sa na danom mieste na nebi vyskytujú každý deň o niečo skôr. Časový rozdiel okamžikov, kedy v nasledujúcich dňoch má hviezdna obloha voči svetovým stranám tú istú podobu, sú necelé 4 minúty. Ale za mesiac vyrastie tento rozdiel na 2 hodiny a za rok na celý deň. Jednoduchá úvaha ukáže, že jav je spôsobený obehom Zeme okolo Slnka po mierne eliptickej, 4
5 takmer kruhovej dráhe. Keďže Zem rotuje okolo svojej osi, ale súčasne obieha okolo Slnka, dostane sa do tej istej polohy voči vzdialeným hviezdam o niečo skôr ako do tej istej polohy voči Slnku. Naše meranie času sa totiž vzťahuje k polohe určitého miesta na Zemi voči Slnku (a nie voči hviezdam či hviezdnej oblohe), a tak je hviezdny deň presne o 3 minúty a 56, 6 sekundy kratší ako obyčajný občiansky alebo slnečný deň. Z toho istého dôvodu sa nám počas roka menia súhvezdia na nočnej oblohe a Slnko prechádza z jedného znamenia zverokruhu (zodiaku) alebo z jedného zvieratníkového súhvezdia do druhého. Astronómovia teda na rozdiel od väčšiny ľudí, poznajú niekoľko druhov rôzne dlhých dní, ktoré si ďalej detailne opíšeme. Deň je teda vedľajšia časová jednotka v sústave SI na meranie času a je definovaná rotáciou Zeme okolo vlastnej osi. Jedno otočenie Zeme okolo vlastnej osi tak môžeme vzťahovať vzhľadom k polohe Slnka (rôzne definovanej), k istej hviezde alebo k jarnému bodu. Podľa toho rozoznávame niekoľko dní: slnečný deň, pravý slnečný deň, stredný slnečný deň, hviezdny deň alebo pravý hviezdny deň a siderický deň. V bežnom občianskom živote sa pod slovom deň rozumie čas, ktorý uplynie medzi východom a západom Slnka, teda čas, keď je Slnko nad horizontom. Dĺžka dňa je premenlivá a závisí od zemepisnej šírky a postavenia Zeme na ekliptike voči Slnku. Najmenšie rozdiely medzi dňom a nocou sú v okolí rovníka, najväčšie v okolí pólov. Napríklad, na severnom póle jeden deň trvá od jarnej do jesennej rovnodennosti, na južnom póle je vtedy noc. Úloha dňa a nocí na póloch Zeme sa vymení od jesennej do jarnej rovnodennosti, keď je Slnko nad južnou pologuľou. Opakom dňa je noc. Medzi dňom a nocou existuje súmrak, ktorého dĺžka sa mení so zemepisnou šírkou a pre dané miesto v priebehu roka s výškou Slnka nad obzorom. Pre dané zemepisné miesto sa čas východu a západu Slnka dá nájsť na www stránkach. Slnečný deň je doba, ktorá uplynie medzi dvoma po sebe nasledujúcimi prechodmi Slnka miestnym poludníkom. Slnečný deň je o 4 minúty dlhší ako otočenie sa Zeme o 360 stupňov (to je hviezdny deň). Slnko sa totiž za jeden deň na svojej dráhe voči hviezdam posunie približne o jeden stupeň a Zem, aby sa pootočila o tento uhol potrebuje približne 4 minúty. Pravé Slnko sa po svojej zdanlivej dráhe medzi hviezdami (ekliptike) v dôsledku eliptickej dráhy Zeme okolo Slnka nepohybuje rovnomerne (dôsledok 2. Keplerovho 5
6 zákona), preto aj dĺžka pravého slnečného dňa je premenlivá a nehodí sa za základ občianskej časomiery. Nerovnomernosť pravého slnečného dňa odstraňuje druhé stredné Slnko myslený bod na oblohe, ktorý sa rovnomerne pohybuje po svetovom rovníku, takže stredný slnečný deň sa v priebehu roka nemení. Stredný slnečný deň je základom občianskej časomiery a začiatok dňa sa meria od polnoci, teda od prechodu druhého stredného Slnka dolným poludníkom. Stredný slnečný deň má presne 24 hodín alebo 3600 minút, alebo sekúnd. Pravý slnečný deň je doba, ktorá uplynie medzi dvomi po sebe nasledujúcimi kulmináciami pravého Slnka (spravidla sa berie stred slnečného disku, pretože zdanlivá uhlová veľkosť Slnka je okolo ½ oblúkového stupňa). Keďže sa pravé Slnko po ekliptike pohybuje nerovnomerne, je aj dĺžka pravého slnečného dňa premenlivá. Veľkosť tejto odchýlky od stredného slnečného dňa sa v priebehu roka mení a dobre ju vyjadruje krivka, ktorá má tvar osmičky a nazýva sa analema.vzhľad analemy závisí od zemepisnej šírky. Analema podáva informáciu o polohe Slnka v čase poludnia. Vertikálna súradnica nám hovorí o tom, aká je výška Slnka nad obzorom v deň jeho fotografovania. Na strane druhej, horizontálna súradnica nám hovorí, aký je pre daný deň časový rozdiel medzi pravým a stredným slnečným časom. V priebehu roka bola poloha Slnka fotografovaná stále v rovnakom dennom okamihu, spojením týchto bodov vzniká analema, obrázok je fotený zo severnej pologule. Ak pozorovateľ v daný časový interval (napr. na poludnie) zaznamenáva polohu Slnka v priebehu roka, zistí, že sa Slnko pohybuje približne po osmičke, stúpajúcej a klesajúcej ~23,5 nad a pod ekliptiku. Tento zdanlivý pohyb po oblohe je daný najmä sklonom zemskej rotačnej osi k ekliptike, ale z menšej časti je tiež ovplyvňovaný excentricitou dráhy Zeme. 6
7 Hviezdny deň (tropický deň) je doba ktorá uplynie medzi dvoma po sebe nasledujúcimi hornými kulmináciami jarného bodu (jarný bod = priesečník ekliptiky so svetovým rovníkom Slnko ním prechádza v čase jarnej rovnodennosti, keď prechádza z južnej na severnú pologuľu). Táto doba je o 0,008 sekúnd kratšia než úplné otočenie Zeme vzhľadom k nejakej hviezde, a je spôsobená vplyvom precesie jarného bodu. Presné otočenie o 360 stupňov je siderický deň. Hviezdny deň je o 3 min a 56,55542 sekúnd kratší ako stredný slnečný deň, alebo povedané inak, trvanie hviezdneho dňa je 23 hodín 56 minút a 4,09 sekúnd. Tento rozdiel je spôsobený tým, že kým sa Zem okolo svojej osi voči nejakej hviezde otočí o 360 stupňov, na svojej dráhe okolo Slnka sa posunie asi o 2,5 milióna kilometrov, takže Slnko v danom okamihu nie je na rovnakom mieste oblohy, ako bolo na začiatku hviezdneho dňa. Za jeden rok urobí Zem voči vzdialeným hviezdam o jednu otočku viac ako voči Slnku, ktorý práve obehla. Prepočítaný rozdiel je vyššie uvedená hodnota. Raz za rok má hviezdny a slnečný čas rovnakú hodnotu. Siderický deň je doba, ktorá uplynie medzi dvoma po sebe nasledujúcimi hornými kulmináciami tej istej hviezdy. Siderický deň je 0,008 s dlhší ako hviezdny (tropický) deň. Dôvodom tohoto rozdielu je precesia jarného bodu (50,40 oblúkových sekúnd za rok), ktorý sa posúva západným smerom, proti smeru zdanlivého pohybu Slnka. Mimochodom, precesiu objavil už Hipparochos okolo roku 125 pred n. l. na základe porovnania polôh hviezd v jeho dobe s polohami hviezd, ktoré boli zaznamenané skôr. V astronómii sa používa aj termín lunárny deň. Je to čas, za ktorý sa Mesiac otočí okolo svojej osi vzhľadom na Slnko. Trvá 29 dní 12 hodín 44 minút a 3 sekundy. Počas tejto doby sa na povrchu Mesiaca vystrieda svetlo a tma, alebo mesačný deň a mesačná noc. Hranica medz i svetlom a tmou na Mesiaci sa nazýva veľmi príznačne terminátor. Ešte viac a lepšie celej problematike porozumieme, ak sa bližšie pozrieme na pojmy, ktoré sa používajú v rámci sférickej a súradnicovej astronómie. f) Sférická astronómia: Je astronomická disciplína, ktorá sa zaoberá matematickými metódami určovania zdanlivých polôh a zdanlivých pohybov vesmírnych telies premietnutých na nebeskú sféru. 7
8 Slnko je jednou z miliárd hviezd tvoriacich našu Galaxiu. V noci, keď stojíme pod hviezdnou oblohou, môžeme voľným okom vidieť až 3000 hviezd. Zdá sa, ako by boli rozmiestnené po vnútornom povrchu gule s veľkým polomerom. Túto guľu nazývame svetovou či nebeskou sférou. Pod nebeskou sférou teda rozumieme guľu s ľubovoľným až nekonečným polomerom, na ktorú sa z pozorovacieho miesta premietajú všetky nebeské telesá. Pozorovateľ na jednom zo zemských pólov má jednu polovicu sféry vždy nad hlavou a druhá je pre neho nepozorovateľná. Pre pozorovateľa na inej zemepisnej šírke rotácia Zeme prináša nové časti nebeskej sféry a iné sa naopak strácajú. To znamená, že napríklad pozorovateľ na 60 severnej alebo južnej zemepisnej šírky môže v priebehu noci vidieť najmenej tri štvrtiny nebeskej sféry a pozorovateľ na rovníku môže postupom času vidieť každý bod nebeskej sféry. 8
9 Pod nebeskou (svetovou) sférou teda rozumieme guľu s ľubovoľným, prípadne nekonečným polomerom, na ktorú sa z pozorovacieho miesta premietajú všetky nebeské telesá. Pozorovacie miesto sa pokladá za stred nebeskej sféry. Je miestom, odkiaľ sa určujú smery (nie vzdialenosti) k jednotlivým nebeským telesám, ako k bodom na nebeskej sfére. Každá rovina prechádzajúca stanovišťom pozorovateľa pretína nebeskú sféru 9
10 v najväčšej, hlavnej kružnici. Ostatné roviny pretínajú nebeskú sféru vo vedľajších kružniciach. Zdanlivá poloha telesa na sfére sa udáva sférickými súradnicami, ich určením sa zaoberá sférická astronómia. Rovina prechádzajúca zemským rovníkom pretína nebeskú sféru v najväčšej kružnici, ktorá sa nazýva svetový či nebeský rovník. Priamka prechádzajúca zemskými pólmi pretína nebeskú sféru v bodoch nazývaných svetové alebo nebeské póly. Vplyvom rotácie Zeme sa nebeská sfére denne otočí okolo Zeme a v dôsledku toho nebeské telesá opisujú okolo svetového pólu na nebeskej sfére zdanlivo kruhové dráhy, tento jav nazývame denný pohyb. Myslená priamka, ktorá je predĺženou spojnicou miesta pozorovateľa a stredu Zeme v smere zemskej tiaže pretína nebeskú sféru v dvoch bodoch. V najvyššom bode oblohy nazývanom zenit a v protiľahlom bode nazývanom nadir. Vodorovnú rovinu, ktorá pretína nebeskú sféru v hlavnej kružnici nazývame obzor alebo horizont. Smer tiažovej priamky sa v rôznych miestach Zeme mení a tak má každé pozorovacie miesto vlastný zenit, nadir a horizont. Významnou rovinou na nebeskej sfére je ekliptika (najväčšia hlavná kružnica na nebeskej sfére). Je to rovina, po ktorej sa počas roka zdanlivo pohybuje Slnko. Vplyvom pohybu Zeme okolo Slnka sa spojnica Zem - Slnko v priestore mení a pretína nebeskú sféru v rôznych bodoch ekliptiky. Môžeme teda povedať, že ekliptika je množina bodov, na ktorej je počas roka pozorovaný stred pravého Slnka. Svetový rovník pretína ekliptiku v 2 bodoch, ktoré nazývame jarný a jesenný bod. V čase jarnej rovnodennosti sa Slnko na ekliptike nachádza v jarnom bode; v okamihu jesennej rovnodennosti v jesennom bode. V súčasnosti sa jarný bod nachádza v súhvezdí Rýb. Ak miestom pozorovateľa vedieme priamku kolmú na rovinu ekliptiky, táto priamka potom pretína nebeskú sféru v dvoch bodoch, v severnom póle ekliptiky a v južnom póle ekliptiky. Severný pól ekliptiky leží v súhvezdí Draka vo vzdialenosti 23,5 stupňa od severného svetového pólu. Ekliptika prechádza súhvezdiami Rýb, Barana, Býka, Blížencov, Raka, Leva, Panny, Váh, Škorpióna, Hadonosa, Strelca, Kozorožca a Vodnára. Rovina svetového rovníka a ekliptiky zvierajú uhol 23,5. Svetová os a gravitačná ťažnica zvierajú uhol 90 φ, kde φ je zemepisná šírka pozorovateľa. Pól ekliptiky je od svetového pólu vzdialený o 23,5 a preto ekliptika počas dňa mení voči horizontu svoju polohu. 10
11 g) Cirkumpolárne a zvieratníkové súhvezdia: Súhvezdia delíme na viacero skupín, najmä podľa ich pozorovateľnosti. V našich zemepisných šírkach poznáme tzv. cirkumpolárne (sústredené okolo severného pólu) súhvezdia, zvané aj nezapadajúce, ďalej zapadajúce a neviditeľné súhvezdia. Neviditeľné sú tie súhvezdia, ktoré sú na južnej oblohe, zhruba 40º pod svetovým rovníkom a južnejšie. Pre pozorovateľa na rovníku je situácia iná, ten nepozná neviditeľné súhvezdia, ani súhvezdia nezapadajúce. Pozorovateľ na severnom póle pozná len severné súhvezdia, tie sú nezapadajúce a pozorovateľ na južnom póle nepozná súhvezdia severnej oblohy, len južné súhvezdia. V našich zemepisných šírkach delíme ešte súhvezdia do skupín podľa sezónnej pozorovateľnosti. Medzi najznámejšie súhvezdia jarnej oblohy patria Lev a Váhy (ktoré sú súčasne zvieratníkovými súhvezdiami), Severná koruna, a v okolí zenitu sa nachádza súhvezdie Veľkej medvedice, ktoré je nezapadajúcim súhvezdím. Letnej oblohe dominuje tzv. Letný trojuholník, ktorý vytvárajú najjasnejšie hviezdy troch súhvezdí: Lýry, Labute a Orla. Pekné je aj súhvezdie Herkula. Na jesennej oblohe sú výrazné súhvezdia Andromédy a Perzea, v zenite je výrazná Kasiopeja. Na zimnej oblohe upútajú pozornosť Orión, Býk a Blíženci (obidve sú súčasne zvieratníkovými súhvezdiami). Zvláštnu skupinu tvoria zvieratníkové súhvezdia. Pokrývajú nepravidelnú oblasť okolo ekliptiky, širokú približne 15º na sever aj na juh od ekliptiky. Túto skupinu tvorí 12 súhvezdí: Baran, Býk, Blíženci, Rak, Lev, Panna, Váhy, Škorpión, Strelec, Kozorožec, Vodnár a Ryby. (Aj tie sa ešte delia na jarné, letné, atď. podľa kulminácie na oblohe v zodpovedajúcom ročnom období.) Ich úlohou v staroveku bolo nahrádzať súčasné kalendáre a slúžili hlavne v starovekom Egypte na plánovanie poľnohospodárskych prác. Ich objavenie sa (východ) nad obzorom, prípadne zmiznutie z oblohy (po západe) signalizovalo potrebu začatia konkrétnych prác. Neskôr, keď Hipparchos vytváral svoj katalóg hviezd a súhvezdí, rozdelil ekliptiku na 12 presne rozdelených úsekov, vzájomne vzdialených o 30º. Každý z týchto úsekov bol označený symbolom súhvezdia, v ktorom sa v tej dobe (2. storočie pr. n. l.) nachádzal. Na ekliptike tak bolo vyznačených 12 rovnomerne rozložených zvieratníkových znamení. 11
12 Kontrolné otázky: 1. Ktoré vesmírne telesá vykazujú na oblohe najvýraznejší pohyb? 2. Čo sú to stálice? 3. Podľa ktorých objektov sa orientujeme na hviezdnej oblohe? 4. Na ktorých miestach na Zemi sú najlepšie podmienky na pozorovanie vesmírnych telies a prečo? 5. Skús uviesť všetky základné pohyby, ktorá vykonáva Zem a jej os! 6. Čo je to precesia? 7. Aký je smer zemskej rotácie, t. j. odkiaľ kam sa Zem točí? 8. Kryjú sa dnešné polohy zvieratníkových súhvezdí so znameniami ekliptiky? 9. Čo je to nutácia? 10. O koľko minút vystupujú hviezdy na nočnej oblohe každý deň skôr? 11. Aké druhy dní astronómovia poznajú a rozlišujú? 12. Aký dlhý je lunárny deň? 13. Čo je to terminátor? 14. Čím sa zaoberá sférická astronómia? 15. Koľko hviezd môžeme v noci zhruba vidieť voľným okom? 16. Na ktorom mieste na Zemi môže pozorovateľ v noci postupne vidieť každý bod nebeskej sféry? 17. Ako sa nazýva najvyšší bod hviezdnej oblohy a ako najnižší alebo jemu protiľahlý bod (pre daného pozorovateľa)? 18. Čo je to ekliptika? 19. Ktorými súhvezdiami ekliptika prechádza? 20. Čím sa vyznačujú cirkumpolárne súhvezdia? 12
Heslo vypracovala: Mgr. Zuzana Krišandová Astronomický ústav Slovenskej akadémie vied
Sférická astronómia encyklopedické heslo Sférická astronómia časť astronómie, ktorá sa zaoberá matematickými metódami určovania zdanlivých polôh a zdanlivých pohybov vesmírnych telies premietnutých na
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραOrientácia na Zemi a vo vesmíre
Orientácia na Zemi a vo vesmíre Orientácia na Zemi Podmienky: a) rovina b) smer podľazačiatku: 1) súradnice topocentrické 2) súradnice geocentrické 3) súradnice heliocentrické pravouhlá sústava súradníc
Διαβάστε περισσότερα2. GEODETICKÁ ASTRONÓMIA
2. GEODETICKÁ ASTRONÓMIA Jednou z častí všeobecnej astronómie je geodetická astronómia. Pojednáva o určení zemepisnej astronomickej šírky ϕ a, zemepisnej astronomickej dĺžky λ a a astronomického azimutu
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραVýchod a západ Slnka
Východ a západ Slnka Daniel Reitzner februára 27 Je všeobecne známe, že v našich zemepisných šírkach dĺžka dňa závisí od ročného obdobia Treba však o čosi viac pozornosti na to, aby si človek všimol, že
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότερα2. Dva hmotné body sa navzájom priťahujú zo vzdialenosti r silou 12 N. Akou silou sa budú priťahovať zo vzdialenosti r/2? [48 N]
Gravitačné pole 1. Akou veľkou silou sa navzájom priťahujú dve homogénne olovené gule s priemerom 1 m, ktoré sa navzájom dotýkajú? Hustota olova je 11,3 g cm 3. [2,33 mn] 2. Dva hmotné body sa navzájom
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότερα0. Úvod, obsah kap. 1 kap. 2 kap. 3 kap. 7-9 kap. 5 pojednanie o excentricite kap. 5 kap. 6
Vypracoval: Jakub Imriška Dátum: 9.9.008 0. Úvod, obsah Tento text vznikol na základe otázok, ktoré si autor kládol a nechcelo sa mu hľadať odpovede na ne cez vešticu Google. Všetko to začalo jedným príkladom
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραZrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραFyzika Zeme. Prednáška pre poslucháčov geológie bakalárskeho štúdia. Adriena Ondrášková
U Fyzika Zeme Prednáška pre poslucháčov geológie bakalárskeho štúdia Adriena Ondrášková 1. Určovanie veku hornín.- 3. eizmológia (zemetrasenia a šírenie vĺn Zemou) 4.- 6. Tvar Zeme a slapy 7. Termika (zdroje
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραKapitola K2 Plochy 1
Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραA) gravitačné pole, Newtonov gravitačný zákon
A) gravitačné pole, Newtonov gravitačný zákon (Hajko, II/78 - skrátené) 1. Vypočítajte potenciál φ gravitačného poľa kruhovej dosky (zanedbateľnej hrúbky) hmotnosti m a polomeru v bode P ležiacom na osi
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραHvezdárský ďalekohľad FirstScope Telescope Manuál Model # 21024
Hvezdárský ďalekohľad FirstScope Telescope Manuál Model # 21024 1 OBSAH Úvod... 3 Montáž... 5 Inštalácia okuláru... 5 Zacielene teleskopu... 5 Základy používania... 6 Orientácia obrazu... 6 Zaostrovanie...
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραČLOVEK A PRÍRODA. (neúplný) experimentálny učebný text
ČLOVEK A PRÍRODA Zem náš domov (neúplný) experimentálny učebný text V Z D E L Á V A C I A O B L A S Ť Č L O V E K A P R Í R O D A tematický celok Zem náš domov Martin Mojžiš, František Kundracik, Alexandra
Διαβάστε περισσότεραu R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Διαβάστε περισσότερα3. VPLYV ATMOSFÉRICKEJ REFRAKCIE NA ŠÍRENIE ZVUKU
VPLYV METEOROLOGICKÝCH PODMIENOK NA ŠÍRENIE ZVUKU Milan DRAHOŠ 1, Richard Drahoš 1,2 1 D2R engineering, s.r.o., Na letisko 42, 058 01 Poprad, Slovensko, d2r@d2r.sk 2 Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka
Διαβάστε περισσότεραMeranie vzdialenosti Zem Slnko z prechodu Venuše pred slnečným diskom
Meranie vzdialenosti Zem Slnko z prechodu Venuše pred slnečným diskom RNDr. Miroslav Znášik Hvezdáreň v Žiline, Horný Val 20/41, 010 01 Žilina Abstrakt : Prechod Venuše pred slnečným diskom je jednou z
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότεραFyzika. Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci štúdia geológie Druhá prednáška mechanika (1)
Fyzika Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci štúdia geológie Druhá prednáška mechanika (1) 1 Poznámka: Silové interakcie definované v súčasnej fyzike 1. Gravitačná interakcia:
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραMechanika hmotného bodu
Meno a priezvisko: Škola: Školský rok/blok: Skupina: Trieda: Dátum: Bilingválne gymnázium C. S. Lewisa, Beňadická 38, Bratislava 2008-2009 / B Teória Mechanika hmotného bodu Kinematika Dynamika II. Mechanika
Διαβάστε περισσότεραKATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότεραPDF created with pdffactory Pro trial version
7.. 03 Na rozraní sla a vody je ovrc vody zarivený Na rozraní sla a ortuti je ovrc ortuti zarivený JAY NA OZHANÍ PENÉHO TELES A KAPALINY alebo O ailárnej elevácii a deresii Povrc vaaliny je dutý, vaalina
Διαβάστε περισσότεραHarmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť
Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky
Διαβάστε περισσότερα6 Gravitačné pole. 6.1 Keplerove zákony
89 6 Gravitačné pole Pojem pole patrí k najzákladnejším pojmom fyziky. Predstavuje formu interakcie (tzv. silového pôsobenia) v prostredí medzi materiálnymi objektmi ako sú častice, atómy, molekuly a zložitejšie
Διαβάστε περισσότεραVektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότεραProjekt KEGA Vyučovanie fyziky programovaním modelov fyzikálnych javov a pomocou interaktívneho softvéru
Projekt KEGA Vyučovanie fyziky programovaním modelov fyzikálnych javov a pomocou interaktívneho softvéru Gravitačné laboratórium Boris Gažovič Alexander Tomori Slavomír Tuleja Humenné 2005 Autori: Boris
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραŠkola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium. Teória 2 Mechanika hmotného bodu 2.1 Kinematika
Meno a priezvisko: Škola: Školský rok/blok: Predmet: Skupina: Trieda: Dátum: Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium Teória 2 Mechanika hmotného bodu 2.1 Kinematika 2.1.0 Úvod do kinematiky Najstarším
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότεραANULOID GEOMETRICKÉ VARIÁCIE NA TÉMU ANULOID
ANULOID ÚVOD Matematická analýza a deskriptívna (prípadne konštrukčná) geometria sú dva rôzne predmety, ktoré úzko spolu súvisia. Anuloid a guľová plocha sú plochy technickej praxe.v texte sú z geometrického
Διαβάστε περισσότερα4. domáca úloha. distribučnú funkciu náhodnej premennej X.
4. domáca úloha 1. (rovnomerné rozdelenie) Električky idú v 20-minútových intervaloch. Cestujúci príde náhodne na zastávku. Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραMarťanské hodinky. Michael Šimo, 2. ročník, IKDS Školiteľ: RNDr. Peter Šín, PhD.
Marťanské hodinky Michael Šimo, 2. ročník, IKDS Školiteľ: RNDr. Peter Šín, PhD. Ciele práce Cieľom tejto práce je navrhnúť marťanský kalendár pre prvých kolonistov planéty Mars, prvá ľudská výprava na
Διαβάστε περισσότεραHeslo vypracoval : RNDr. Vojtech Rušin, DrSc. Astronomický ústav Slovenskej akadémie vied
astronómia encyklopedické heslo Vedný odbor, ktorý sa zaoberá výskumom vesmíru ako celku a všetkými nebeskými telesami, ktoré sa v ňom nachádzajú, napr. hviezdy, planéty a ich mesiace, medzihviezdna hmota,
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραZateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu
Zateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu Austrotherm GrPS 70 F Austrotherm GrPS 70 F Reflex Austrotherm Resolution Fasáda Austrotherm XPS TOP P Austrotherm XPS Premium 30 SF Austrotherm
Διαβάστε περισσότεραŠpeciálna teória relativity v Loedelových diagramoch. Boris Lacsný, Aba Teleki
Špeciálna teória relativity v Loedelových diagramoch Boris Lacsný, Aba Teleki Nitra, august 2007 Kapitola 1 Špeciálna teória relativity Teória relativity je cesta poznania nášho sveta. Hovorí nie len o
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότερα2. UHLY. Zapisovanie uhlov 1. spôsob pomocou troch bodov. Pri zápise uhla pomocou troch bodov je VRCHOL VŽDY V STREDE ZÁPISU.
2. UHLY 2.1 ZÁPIS A OZNAČOVANIE UHLOV Dve polpriamky VA, VB, ktoré majú spoločný začiatok v bode V delia rovinu na dve časti. Tieto časti nazývame uhly. UHOL je časť roviny ohraničená dvoma polpriamkami,
Διαβάστε περισσότερα3 Kinematika hmotného bodu
29 3 Kinematika hmotného bodu Pohyb vo všeobecnosti zahŕňa všetky zmeny a procesy, ktoré prebiehajú vo vesmíre. Je neoddeliteľnou vlastnosťou hmoty. Časť fyziky, ktorá sa zaoberá popisom pohybu telies,
Διαβάστε περισσότεραRiadenie elektrizačných sústav
Riaenie elektrizačných sústav Paralelné spínanie (fázovanie a kruhovanie) Pomienky paralelného spínania 1. Rovnaký sle fáz. 2. Rovnaká veľkosť efektívnych honôt napätí. 3. Rovnaká frekvencia. 4. Rovnaký
Διαβάστε περισσότερα[ v 0 = at r + (at r ) 2 + 2as = 16,76 m/s ]
Posledná aktualizácia: 22. mája 202. Čo bolo aktualizované (oproti predošlej verzii zo 6. marca 2009): Rozsiahle zmeny, napr.: Dodané postupy riešení ku niektorým príkladom. Dodané niektoré nové príklady.
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότεραdoc. Ing. František Palčák, PhD., Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, Strojnícka fakulta STU v Bratislave,
-550 Technická mechanika I 9. rednáška Kinematika bodu, translačný, rotačný a všeobecný pohyb telesa Ciele v kinematike. remiestňovanie súradnicovej sústavy po priestorovej krivke. riamočiary pohyb bodu.
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραSLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE. Chemickotechnologická fakulta. Doc. RNDr. Viliam Laurinc, CSc. a kolektív FYZIKA I
SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE Chemickotechnologická fakulta Doc. RNDr. Viliam Laurinc, CSc. a kolektív FYZIKA I Zbierka príkladov a problémov Predslov Cieľom výpočtových cvičení z fyziky
Διαβάστε περισσότερα