18. kapitola. Ako navariť z vody
|
|
- Ειρηναίος Καλάρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom a podarilo sa mu s tým spraviť zaujímavú vec. V tejto kapitole sa pokúsime o to druhé. Z mála informácií sa pokúsime vyťažiť zaujímavú matematiku. A nástroj, ktorý budeme na to používať, sa nazýva diferenciálna rovnica. Začneme príkladom zo sveta fyziky tentokrát jadrovej. V periodickej tabuľke môžete nájsť pri každom prvku údaj zvaný atómová hmotnosť. Ten údaj hovorí, koľkokrát je priemerný atóm daného prvku ťažší, než jednoprotónový atóm vodíka. Na tomto čísle je zvláštne to, že napriek tomu, že protón a neutrón vážia prakticky rovnako a elektróny sú oproti ním oveľa ľahšie (asi tisíckrát) a je ich málo, tak toto číslo často nie je celé. Napríklad atómová hmotnosť uhlíka je 12,011. Čo tam robí to 0,011? Pointa je v tom, že neexistuje len jeden uhlík, ale tri rôzne uhlíky 1. Najčastejšie sa vyskytuje uhlík, ktorý má v jadre šesť protónov a šesť neutrónov. Označuje sa 12 C. Jeho atómová hmotnosť je 12. Takto vyzerá 98,9% všetkých uhlíkov. Okrem toho sa občas stane, že uhlík nemá v jadre neutrónov šesť, ale sedem. Takýchto uhlíkov 13 C je 1,1% a keďže v 1,1% prípadov pribudne jeden neutrón, vyrobí to presne tých priemerných 0,011 protónov navyše. Ľudia s bystrejším postrehom si všimli, že 98,9% a 1,1% je 100%. Tým pádom na ten zvyšný typ uhlíka už neostalo miesto. Áno, tých zvyšných uhlíkov je naozaj veľmi málo. Konkrétne uhlíka 14 C, ktorý má v jadre okrem šiestich protónov až osem neutrónov, je iba 0, %. Takýto uhlík je teda jeden atóm z bilióna. Ale z tých troch typov uhlíka má len ten posledný jednu zaujímavú vlastnosť je nestabilný. Znamená to, že keď necháte atóm 12 C alebo 13 C stáť a nebudete ho ostreľovať žiadnymi inými časticami, tak sa ten atóm nijako meniť nebude. Ostane taký, aký je, pokojne miliardy rokov. Zato atóm 14 C sa správa zvláštne. Z času na čas sa stane, že jeden neutrón v jeho jadre sa rozpadne na protón, elektrón a antineutríno. A v jadre je zrazu namiesto šiestich protónov sedem, na obale je sedem elektrónov a zrazu to nie je uhlík, ale dusík. Transmutácia v priamom prenose. Pre konkrétny atóm nevieme nijak predpovedať, kedy sa to stane. Vieme iba, že pravdepodobnosť, že sa tak stane počas najbližšieho roka, je pre každý atóm rovnaká. To, čo bolo povedané v predošlom odstavci, je presne to málo, z ktorého sa teraz pokúsime niečo zaujímavé vypočítať. Tá jediná informácia, ktorú máme o uhlíku 14 C (a aj o iných nestabilných izotopoch) k dispozícii je, že každý jeden atóm sa počas dopredu daného časového úseku môže s rovnakou pravdepodobnosťou rozpadnúť. A z tejto jedinej informácie sa pokúsime zistiť, aká funkcia nám povie, koľko atómov sa ešte v danom čase nerozpadlo. Začneme jednoduchšími úlohami. Úloha 1: Predpokladajme, že máme nestabilný izotop, ktorého pravdepodobnosť rozpadu jedného atómu počas najbližšieho roka je 0,03 (teda 3%). Koľko atómov sa vám priemerne za rok rozpadne, keď ich bolo na začiatku 1 000? Koľko sa ich za rok rozpadne, keď ich bolo na začiatku ? Ak tých atómov bolo na začiatku (to je približne jeden mol, v prípade uhlíka by to bolo asi 12 gramov), koľko by ich bolo po roku? Po dvoch rokoch? Po troch rokoch? 1 Toto nie je celkom pravda. Tých typov uhlíka je až 15 od 8 C do 22 C. Tie zvyšné sú ale vyrobené umelo a v prírode sa nevyskytujú. 1
2 Predošlá úloha bol jednoduchá, počas jej riešenia ste ale získali jednu zaujímavú skúsenosť. Zistili ste, že čím viac tých atómov je, tým viac sa ich za jednotku času rozpadne. Inými slovami rýchlosť rozpadu látky je priamo úmerná množstvu látky, ktorú práve máme. Posledná veta prepísaná do jazyka rýchlostí a derivácií bude vyzerať takto: ṅ= kn alebo dn dt = kn Pritom n označuje počet molekúl v danom čase, ṅ označuje, ako rýchlo sa ten počet mení a k je nejaká konštanta, ktorá môže byť pre každý nestabilný izotop iná. To mínus je tam iba na to, aby sme zdôraznili, že tá derivácia bude záporná a tých atómov bude ubúdať, pokojne by sa dalo schovať do tej konštanty. Pre tých, ktorí si zvykli viac na matematickú, než na fyzikálnu symboliku, môžeme prepísať túto rovnicu do tvaru f ' (x)= k f (x). Takýto vzťah, ktorý hovorí, ako závisí derivácia od pôvodnej funkcie, prípadne od samotnej premennej, sa nazýva diferenciálna rovnica prvého rádu. To prvého rádu pritom hovorí, že v rovnici sa vyskytuje iba prvá derivácia. Úloha 2: Vezmime jednoduchý prípad a položme k =1. Skúste uhádnuť riešenie diferenciálnej rovnice f ' ( x)= f ( x). Teda nájdite takú funkciu, ktorú keď zderivujete, dostanete rovnakú, ale s mínusom. Úloha 3: A teraz skúste uhádnuť riešenie diferenciálnej rovnice f ' (x)= k f (x). Úloha 4: Funkcia y=e kx (alebo jej fyzikálny proťajšok n=e kt ), ktorú sa vám pravdepodobne podarilo uhádnuť ako riešenie úlohy 3, má jednu slabinu. Ak do nej dosadíte čas t=0, dostanete hodnotu e 0 =1. To znamená, že na začiatku sme mali iba jeden atóm. Čo je ale horšie, tak pre časy t>0 nám tá funkcia vráti čísla medzi z intervalu (0;1) a toľko atómov sa nedá dosť dobre mať. Predpokladajme teda, že máme 12 gramov uhlíka 14 C. Chceme teda funkciu, ktorá bude jednak spĺňať diferenciálnu rovnicu f ' (x)= k f ( x) a okrem toho bude platiť, že f (0)= Vymyslite aj takú. (Podmienka, ktorá nám hovorí, akú hodnotu musí mať funkcia na kraji, sa prekvapivo nazýva okrajová podmienka.) 2
3 Keď si skúsenosti z predošlých úloh dáme dohromady, vidíme, že funkcia, ktorá nám prezradí, koľko atómov nestabilnej látky budeme mať k dispozícii v čase t, bude n=n 0 e kt, pričom n 0 je počet atómov tej látky na začiatku. Skôr, než sa budeme ďalej venovať diferenciálnym rovniciam, ostaňme ešte na chvíľu pri nestabilných atómoch. Pravdepodobne ste už niekde počuli slovné spojenie polčas rozpadu. 2 To je taký čas, za ktorý sa rozpadne polovica danej nestabilnej látky. To znamená, že je to čas, ktorý musí spĺňať rovnosť n 0 2 =n 0 e kt Keď budete riešiť túto rovnicu, tak hneď v prvom kroku vám z oboch strán vypadne n 0. Znamená to, že doba polpremeny nebude závisieť od toho, koľko tej látky na začiatku máte, ale len od tej pravdepodobnosti k, s akou sa budú atómy za daný časový úsek rozpadať. Úloha 5: Z uvedenej rovnice vypočítajte t. Zistíte tak, ako závisí doba polpremeny od pravdepodobnosti k. Úloha 6: Pravdepodobnosť, že sa jeden atóm 14 C v danom roku rozpadne, je 0, teda 0,0121 %. Aká je doba polpremeny uhlíka 14 C? Tá doba polpremeny uhlíka 14 C nevyšla (vzhľadom na vek Zeme) príliš veľká. A zvedavejších možno napadlo, že čím to je, že sa vôbec v prírode vyskytuje. Nemal sa všetok dávno rozpadnúť? Dôvod, prečo sa nejaký uhlík tohto typu v prírode vyskytuje stále, je ten, že uhlíka 14 C nielen ubúda, ale aj pribúda. A za to pribúdanie môže jednak Slnko, jedna to, že naša atmosféra je hlavne z dusíka. Slnko totiž našim smerom posiela množstvo častíc, ktoré majú dosť vysokú energiu. A keď takáto častica vletí do našej atmosféry, tak sa často zrazí s nejakým atómom a rozbije ho na márne kúsky. Takýto márny kúsok môže byť napríklad neutrón. A takémuto potulnému neutrónu sa občas podarí vraziť do jadra atómu dusíka, vyrazí odtiaľ protón a nahradí ho. A z dusíka (najbežnejší izotop má 7 protónov a 7 neutrónov, teda 14 N ) je zrazu prvok, ktorý má 6 protónov a 8 neutrónov, teda 14 C. Týmto dopĺňaním vo vrchných vrstvách atmosféry sa teda udržiava stála aj keď malá koncentrácia uhlíkov 14 C medzi všetkými uhlíkmi. Tieto uhlíky sa zúčastňujú na všetkej bežnej chémii. V prípade Zeme je to z veľkej miery chémia organická. Rastliny ich vstrebávajú, bylinožravce ich žerú v tých rastlinách a mäsožravce v tých bylinožravcoch. Výsledný efekt je, že všetky živočíchy si počas svojho života udržiavajú približne rovnaké percento uhlíka 14 C, ako je v atmosfére, čiže približne jeden uhlík 14 C na bilión iných uhlíkov. Zmena nastane, keď rastlina či živočích odumrie. Do jeho telesnej schránky vtedy prestane pribúdať akýkoľvek uhlík včítane toho nestabilného. A ten nestabilný sa začne pomaly rozpadať. 2 Alebo ste aspoň hrali Half life. Half life je anglický ekvivalent nášho polčasu rozpadu. Inak správny slovenský termín, ktorý budeme ďalej používať, je doba polpremeny. 3
4 A vzhľadom na to, že funkciu, ktorá ten rozpad popisuje, poznáme, môže nám jeho množstvo slúžiť ako hodiny, ktoré nám povedia, koľko času od úmrtia či uhynutia uplynulo. Úloha 7: Na výlete v Egypte ste našli dosku. Zobrali ste ju do laboratória a zistili ste, že koncentrácia 14 C v celkovom množstve uhlíka je 0, (Takéto meranie vedia spraviť napríklad na bratislavskom Matfyze.) Aká je doska stará? Z obdobia vlády ktorého faraóna pochádza? V prípade nestabilného uhlíka je táto metóda použiteľná približne do t= rokov. Potom sa už toho uhlíka rozpadne príliš veľa a nedá sa to rozumne merať. (Na chybu merania vplýva niekoľko ďalších detailov, ktoré sme tu nerozoberali.) Na datovanie starších vecí sa preto používajú iné nestabilné izotopy. Na záver ešte pripomeňme, že uvedené pravidlo čím je toho viac, tým rýchlejšie to ubúda, spĺňajú nie len nestabilné atómy, ale aj mnohé iné veci, napríklad bublinky v pene na pive. Hladina peny bude tým pádom klesať podľa toho istého vzťahu. Niekedy si to môžete skúsiť odmerať. Celkom pekne sme z tej vody navarili. Dokonca pivo. Diferenciálna rovnica y'= ky je jedna z najjednoduchších a jej výsledok sa s trochou šťastia dal uhádnuť. Poďme si ukázať nejaké ďalšie triky, ktoré nám umožnia lepšie hádať, prípadne rovno určiť funkcie, ktoré sú riešením diferenciálnej rovnice. Zoberme si nejakú inú diferenciálnu rovnicu napríklad y'= x. Prvý trik, ktorý môžeme y využiť, bude geometrický. Už kedysi v piatej kapitole sme spomenuli, že derivácia nám hovorí, ktorým smerom v danom bode funkcia práve ide. A naša diferenciálna rovnica nám v každom bode deriváciu prezradí. Ak si teda vyberieme napríklad bod [2; 1] dozvieme sa, že funkcia, ktorá vyhovuje diferenciálnej rovnici, bude mať v tom bode deriváciu (teda sklon) 2 čiže 2. 1 Môžeme si v tom bode nakresliť malú čiarku správnym smerom. A môžeme to tak spraviť nie len v bode [2;1] ale v toľkých bodoch, v koľkých budeme vládať. Tieto malé čiarky nám dajú dobrú predstavu o tom, aký bude tvar grafu funkcie. Samozrejme jedna funkcia nemôže prechádzať cez všetky body. Ale že jednej diferenciálnej rovnici zodpovedá viacero funkcií a že sa tá vybrať taká, ktorá má v danom bode správnu hodnotu sme videli už pri rádioaktívnom rozpade. Keď sa nám nebude chcieť kresliť, môžeme si na internete nájsť softvér, ktorý to spraví za nás. Pekný nástroj vytvorený v GeoGebre môžete napríklad nájsť na adrese Takáto sústava čiaročiek, ktorá nám popisuje, ktorým smerom sa v jednotlivých bodoch budú riešenia uberať, sa nazýva smerové pole diferenciálnej rovnice. Pre našu diferenciálnu rovnicu ho môžete vidieť na obrázku 1. Keď sa na to smerové pole zahľadíte, dá sa uvidieť, že čiaročky vytvárajú kružnice okolo počiatku súradnicovej sústavy. Znalci vedia, že každý bod [x, y] kružnice so stredom v počiatku a s polomerom r musí kvôli Pytagorovej vete spĺňať rovnosť x 2 + y 2 =r 2. A keď z tohto vzťahu vypočítame y, dostaneme y=± r 2 x 2. Keďže r 2 je nejaká konštanta, môžeme to písať aj ako y=± c x 2. 4
5 Obrázok 1: Smerové pole diferenciálnej rovnice Úloha 8: Vyskúšajte, či je funkcia y=± c x 2 skutočne riešením diferenciálnej rovnice y '= x y. Úloha 9: Nechajte si nakresliť smerové pole diferenciálnej rovnice y '= y. Z obrázka uhádnite, x ako vyzerá riešenie. Vyskúšajte, či vami uhádnuté riešenie skutočne funguje. 5
6 To, že vám diferenciálna rovnica pre daný bod povie, akým smerom z neho funkcia ide, sa dá okrem kreslenia smerového poľa využiť ešte inak. Zoberme si našu osvedčenú diferenciálnu rovnicu y'= x (To je tá, čo vyšli riešenia kružnice v počiatku súradnicovej sústavy, ale na chvíľu y sa tvárme, že sme riešenie zabudli.) Zaujímalo by nás riešenie, ktoré prechádza bodom [0; 3], teda y(0)=3. Ako odhadneme hodnotu tej funkcie v bode 0,01? Zistíme si v bode 0 deriváciu. Tá bude podľa našej diferenciálnej rovnice y' (0)= 0 3, čiže 0.3 Znamená to, že funkcia sa príliš meniť nebude a aj hodnota v bode 0,01 bude 3. Aká bude derivácia v bode [0,01;3]? Opäť ten bod dosadíme do diferenciálnej rovnice a dostaneme y' (0,01)= 0,01 0, V tomto bode 3 teda funkcia trochu klesá (konkrétne rýchlosťou 0, y na jeden x ). Po x=0,02 teda klesne o 0,01.( 0, )= 0, Hodnotu funkcie pre x=0,02 teda odhadneme na 3 0, , A takto môžeme pokračovať ďalej. Hodnota derivácie v bode [0,02;2, ] bude približne y' (0,02)= 0,02 0, , takže hodnota funkcie 2, v x=0,03 bude 2, ,01.0, ,9999. Približne v tejto fáze by vás mohlo prestať baviť drať kalkulačku tým, že opakujete stále ten istý postup a siahnuť po nástroji, ktorý by to počítal za vás. Tí, čo vedia programovať, by už mohli začať písať nejaký program, tým, čo nevedia, ostáva použiť tabuľkový kalkulátor. Zažneme tak, že si do bunky A 1 vložíme hodnotu 0,01 a nazveme ju krok. To sa nám bude hodiť, keby sme v budúcnosti chceli s touto hodnotou experimentovať napríklad zisťovať, ako sa mení presnosť metódy v závislosti od kroku. Toto úvodné nastavenie môžete vidieť na obrázku 2. Názov bunky meníte tam, kde je to na obrázku zakrúžkované. 4 Obrázok 2: Nastavenie kroku Výpočet bude prebiehať v troch stĺpcoch. V druhom a treťom si budeme ukladať aktuálne súradnice x a y, v prvom z nich budeme počítať hodnotu y'. V prvom výpočtovom riadku teda nastavíme x a y na 0 a 3 a y' necháme prázdnu. Tento stav môžete vidieť na obrázku 3. Obrázok 3: Úvodné nastavenia 3 Bod [0;3] sme dosadili do diferenciálnej rovnice. 4 Pri vytváraní tejto lekcie sme použili tabuľkový kalkulátor Calc z balíku LibreOffice. Ak používate iný tabuľkový kalkulátor (napríklad od Googlu alebo od Microsoftu), pravdepodobne poskytuje rovnakú funkcionalitu aj keď vizuálne môžu veci vyzerať trochu odlišne. 6
7 Vo výpočtoch teraz budeme pokračovať tak, že v každom riadku najprv vypočítame z predošlého riadku hodnotu derivácie a potom s jej pomocou vypočítame hodnotu funkcie pre ďalšie x. Ak teda ideme počítať hodnotu derivácie v bunke A 5, vložíme do bunky vzorec =-(B4/C4), pretože v bunke B 4 máme starú hodnotu x, v bunke C 4 máme starú hodnotu y a diferenciálna rovnica, ktorú riešime, nám hovorí, že y'= x. Stav bude podobný, ako na y obrázku 4. Obrázok 4: Výpočet derivácie Novú hodnotu x vypočítame jednoducho zväčšíme predošlú hodnotu o číslo, ktoré sme si uložili do kolónky krok. Vzorec pre B 5 teda bude =B4+krok. Situáciu môžete vidieť na obrázku 5. Obrázok 5: Nová hodnota x Keďže hodnota y' nám povie, o koľko sa zmení y, ak sa x zmení o jedna, tak zmena x o krok spôsobí, že y sa zmení o y'. krok. Patričný vzorec pre C 5 bude teda =C4+A5*krok. Pozrieť sa môžete na obrázku 6. Obrázok 6: Nová hodnota y Výhoda toho, že používame tabuľkový kalkulátor je v tom, že keď správne vyplníme tento jeden riadok, netreba už ručne vypĺňať ďalšie stačí jednoduchý trik a vyplnia sa správne samy. Stačí vyznačiť myšou naraz všetky tri vzorce v piatom riadku a potom ťahať za malý čierny štvorček smerom nadol. (Pozri obrázok 7.) Vzorce sa tak prekopírujú do nižších riadkov, ale pri tej príležitosti sa správne zmenia, takže napríklad vzorec z bunky C 6 sa nebude odvolávať na bunky C 4 a A 5, ale na bunky C 5 a A 6. 7
8 Obrázok 7: Vybrať a ťahať Keď to potiahnete, dozviete sa dosť presne, ako sa bude funkcia vyvíjať. Keďže krok je relatívne malý, ak chcete zistiť hodnoty funkcie aspoň na intervale 0; 3, budete potrebovať 300 riadkov. Výsledok môžete vidieť na obrázku 8. Na obrázku je vidno, že pri takomto postupnom aproximovaní vznikla drobná chyba. Funkcia nenadobudla hodnotu 0 pre x=3, ale až kúsok neskôr. Obrázok 8: Riešenie diferenciálnej rovnice Zostáva už len dodať, že táto metóda sa volá podľa svojho objaviteľa Eulerova. Úloha 10: Graf funkcie sme prestali kresliť tak, aby sme dostali pekný obrázok. Aké výsledky bude Eulerova metóda dávať pre x väčšie, ako 3? Nakreslite si graf. Prečo to robí to, čo to robí? Úloha 11: Nájdite pomocou Eulerovej metódy riešenie diferenciálnej rovnice y'= y x, ktoré prechádza bodom [2; 2]. Porovnajte ho s tým riešením úlohy 9, ktoré prechádza bodom [2;2]. O koľko sa líšia hodnoty pre x=4? 8
9 Predstavte si, že máte drevenú kocku so stranou 10cm, ktorá váži pol kila (a teda má hustotu ϱ=0,5kg/l ). Tú kocku ponoríte do vody tak, že budú trčať iba horné dva centimetre a potom ju pustíte. Ako sa bude kocka pohybovať? Táto úloha vyžaduje dve veci. V prvom rade bude treba vypočítať silu, ktorá na kocku pôsobí, keď je ponorená v nejakej konkrétnej hĺbke h. (Toto h nám bude hovoriť, ako vysoko nad hladinou je stred kocky. Ak sme teda kocku potlačili do vody tak, že trčia von len dva centimetre, stred kocky je 3 centimetre pod hladinou a teda h= 0,03.) Tá sila, ktorá na kocku pôsobí, sa skladá z dvoch zložiek. Jedna je gravitačná. Tá ťahá kocku dole a má veľkosť 0,5. g, kde g je gravitačné zrýchlenie, 0,5 je pol kila, ktoré tá kocka váži a to mínus hovorí, že sila pôsobí smerom dole. Na zemi teda táto sila bude asi 5N. Druhá zložka je vztlak. Podľa Archimedovho zákona je táto sila rovnako veľká, ako tiaž kvapaliny s rovnakým objemom, ako je ponorená časť kocky. Objem ponorenej časti (v metroch kubických) bude 0,1.0,1.(0,05+h). Keďže hustota vody je 1000 kg/m 3, hmotnosť vody s rovnakým objemom bude ,1.0,1.(0,05 h)=10(0,05 h) = 0,5 10h kilogramu. A tiaž tej vody bude g krát toľko, čiže pri pozemskej gravitácii h N. Keď sa tieto dve sily sčítajú, dostaneme presne 100 h Newtonov. To mínus znova hovorí, že ak bude h kladné, sila bude pôsobiť smerom dole a ak bude h záporné, sila bude pôsobiť smerom hore. Druhá vec, ktorú potrebujeme vedieť, je Newtonov zákon sily. Ten hovorí, že a= F m, teda v preklade do slovenčiny: Teleso bude zrýchľovať tým viac, čím silnejšie na neho budete tlačiť, ale vagón roztlačíte ťažšie, ako káru. Okrem toho si treba uvedomiť, že zrýchlenie hovorí, ako rýchlo sa mení rýchlosť (teda je to derivácia rýchlosti) a rýchlosť hovorí, ako rýchlo sa mení poloha (teda je to derivácia polohy). Zrýchlenie je teda druhá derivácia polohy, v našom prípade h. Nám ide o to, aby sme našli funkciu h(t ), ktorá nám povie, ako hlboko bude kocka ponorená v čase t. Keď dáme dokopy to, čo sme povedali v predošlých dvoch odsekoch, dostaneme, že zrýchlenie (teda h' '(t ) ) je to isté, ako sila deleno hmotnosť, teda 100h(t ). Máme 0,5 teda diferenciálnu rovnicu h' '(t )= 200 h(t) O funkcii h(t) ešte navyše vieme nejaké okrajové podmienky. Jednak vieme, že na začiatku je h(0)= 0,03, pretože sme kocku potlačili do vody tak, že stred je 3 centimetre pod hladinou a že h '(0)=0, pretože derivácia polohy je rýchlosť a na začiatku sa kocka nehýbe (rýchlosť je nulová), pretože ju držíme. Táto diferenciálna rovnica sa od všetkých, s ktorými sme sa doteraz stretli, v jednom detaile líši. Doteraz v našich rovniciach vystupovala vždy iba prvá derivácia a v tejto vystupuje druhá derivácia. Takáto rovnica sa nazýva diferenciálna rovnica druhého rádu. Predstavuje to pre nás problém, našťastie nie neprekonateľný a Eulerovu metódu budeme môcť úspešne použiť aj tu. Druhá derivácia nám totiž hovorí, ako rýchlo sa mení prvá derivácia. V každom riadku teda budeme najprv počítať novú hodnotu druhej derivácie tak, ako nám hovorí diferenciálna rovnica, potom s jej pomocou vypočítame novú hodnotu prvej derivácie a potom konečne pomocou prvej derivácie vypočítame novú hodnotu h. Počiatočné hodnoty polohy kocky aj prvej derivácie našťastie poznáme. Úloha 12: Pokúste sa pomocou uvedených vecí a tabuľkového kalkulátora vypočítať, ako sa bude kocka pohybovať počas prvej sekundy (pri kroku 0,01 sekundy). Ak by sa vám veľmi nedarilo, môžete použiť nápovedu, ktorá je na obrázku 9, ale najprv to skúste bez toho. 9
10 Obrázok 9: Nápoveda k 12. úlohe Úloha 13: Ak ste počítali správne, vyšla vám periodická funkcia. Aká je jej amplitúda? Aká je jej perióda? Koľkokrát je tá perióda menšia, než perióda podobných funkcií, ktoré poznáte? Ako toto číslo môže súvisieť s tou konštantou 200 z diferenciálnej rovnice? Uhádnite pomocou odpovedí na tieto otázky funkciu, ktorá je riešením tejto diferenciálnej rovnice a vyskúšajte, či je naozaj riešením. Posledný trik na riešenie diferenciálnych rovníc, o ktorom si v tejto kapitole povieme, sa nazýva metóda separácie premenných a vymyslel ju slávny francúzsky matematik Joseph Fourier. Predvedieme ju na úplne prvej diferenciálnej rovnici, ktorú sme kedy riešili, na rovnici popisujúcej rádioaktívny rozpad. Použijeme túto formu: dn dt = kn V rovnici sa vyskytujú dve premenné n a t. (To k nie je premenná, ale konštanta, ktorá prislúcha danému nestabilnému izotopu.) Prvý krok je upraviť rovnicu tak, aby sme na každej strane rovnosti mali iba jednu premennú 5, pričom hodnotami dn a dt by sa nemalo deliť. V našom prípade tomuto popisu vyhovuje napríklad tvar dn = k.dt n Teraz sa bude treba nejako zbaviť tých d čok. A tak použijeme jediný úkon, pri ktorom nám d čka spoľahlivo zmizli obe strany zintegrujeme. Dostaneme tak rovnosť dn n = k.dt Vieme, že integrál z 1 n. dn je ln n +c 1 (spomeňme 10. kapitolu) a integrál z k.dt je kt+c 2. Jednotlivé aditívne konštanty sme rozlíšili koeficientami. Po zintegrovaní teda dostávame 5 Toto sa nemusí dať vždy. Diferenciálne rovnice, pri ktorých sa to dá, sa nazývajú separovateľné. 10
11 ln n +c 1 = kt +c 2 Z tejto rovnosti nám stačí vypočítať n a budeme vedieť, koľko molekúl daného izotopu budeme mať v čase t. V prvom rade si presunieme všetky aditívne konštanty vpravo. Dostaneme ln n = kt +c 2 c 1 Hodnota c 2 c 1 bude tiež konštanta, môžeme si ju teda nahradiť jedným písmenkom c. Máme teda rovnicu ln n = kt +c Keďže chceme vypočítať n, potrebujeme sa zbaviť toho logaritmu. Keďže sa uvedené výrazy rovnajú, budú sa rovnať aj výrazy čiže e ln n =e kt+c n =e kt.e c Z fyzikálnej podstaty veci vieme, že n je kladné číslo, takže tá absolútna hodnota je tam len na ozdobu. Keby sme ale chceli nájsť všetky funkcie, ktoré našej diferenciálnej rovnici vyhovujú, tak by sme museli pripustiť aj záporné možnosti. Či už tak, alebo tak, vieme, že n =±1. n pričom +1 alebo 1 volíme podľa toho, či je to n kladné, alebo záporné. 6 Z toho dostaneme a teda ±1.n=e kt. e c n=e kt. ec ±1 Vieme, že e c je nejaká kladná konštanta. A keď ju vydelíme plus alebo mínus jednotkou, dostaneme nejakú inú, aj keď nie nutne kladnú konštantu. Tú si pri troche drzosti môžeme znovu označiť c, aj keď máme na vedomí, že je to iné c, ako pred chvíľou. Všeobecné riešenie našej diferenciálnej rovnice teda bude n=c. e kt Keď ešte naviac dostaneme zadanú okrajovú podmienku, že n(0)= , tak po dosadení tejto hodnoty do výsledku dostaneme =c.e k.0 z čoho plynie, že c= (pretože e k.0 =e 0 =1 ). Funkcia, ktorá spĺňa aj okrajovú podmienku, bude teda n= e kt. 6 Toto je trochu rýchly uzáver. Nijak sme nevylúčili možnosť, že to, či zvolíme +1 alebo 1 bude závisieť od t. To by ale naša funkcia musela byť nespojitá a teda by sa nedala všade derivovať. 11
12 Úloha 14: Skúste metódou separácie premenných vyriešiť diferenciálnu rovnicu y'= x To je tá y diferenciálna rovnica, kde vyšli tie kružnice. Mali by ste teda (podľa úlohy 8) dostať funkcie y=± c x 2. (Ak ste nedostali vo výsledku žiadne c, tak ste na niečo zabudli.) Úloha 15: Skúste rovnakou metódou vyriešiť diferenciálne rovnice y'= y x, y'= x a y'= y y x. Nechajte si nejakým softvérom nakresliť grafy výsledkov (a namiesto c vo vašom výsledku skúste dosadiť kladné aj záporné hodnoty). Je zaujímavé, že také malé zmeny v diferenciálnej rovnici vedú k takým veľkým zmenám v povahe výsledných funkcií. 12
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραCHÉMIA Ing. Iveta Bruončová
Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραDiferenciálne rovnice. Základný jazyk fyziky
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa padajúceho v gravitačnom poli.
Διαβάστε περισσότεραAnalýza údajov. W bozóny.
Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria pre tých, ktorí jej potrebujú rozumieť
Škola pre Mimoriadne Nadané Deti a Gymnázium, Teplická 7, 831 02 Bratislava Anino BELAN Analytická geometria pre tých, ktorí jej potrebujú rozumieť učebný text pre septimu osemročného gymnázia BRATISLAVA
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραAko sa hravo naučiť počtu derivačnému
Škola pre Mimoriadne Nadané Deti a Gymnázium, Teplická 7, 8 0 Bratislava Anino BELAN Ako sa hravo naučiť počtu derivačnému učebný text pre septimu osemročného gymnázia BRATISLAVA 06 Obsah Ako zachytiť
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραDiferenciálne rovnice
Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované
Διαβάστε περισσότεραSpriahnute oscilatory
Spriahnute oscilatory Juraj Tekel 1 Tema spriahnutych oscilatorov je na strednej skole vacsinou vynechana. Je vsak velmi zaujimava a velmi dolezita. Ide o situaciu, ked sa sustava sklada z viacerych telies,
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότεραStavba atómového jadra
Objavy stavby jadra: 1. H. BECQUEREL (1852 1908) objavil prenikavé žiarenie vysielané zlúčeninami prvku uránu. 2. Pomocou žiarenia α objavil Rutherford so svojimi spolupracovníkmi atómové jadro. Žiarenie
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραZrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραFaculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif
Numerické riešenie diferenciálnych rovníc Jela Babušíková Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava Klasifikácia diferenciálnych rovníc: obyčajné - počiatočná a okrajová
Διαβάστε περισσότεραM8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie"
M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie" Úlohy: 1. Zostavte matematický popis modelu M8 2. Vytvorte simulačný model v prostredí: a) Simulink zostavte blokovú schému, pomocou rozkladu
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015
riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραSLOVENSKÁ KOMISIA CHEMICKEJ OLYMPIÁDY CHEMICKÁ OLYMPIÁDA. 54. ročník, školský rok 2017/2018 Kategória C. Študijné kolo
SLOVENSKÁ KOMISIA CHEMICKEJ OLYMPIÁDY CHEMICKÁ OLYMPIÁDA 5. ročník, školský rok 017/018 Kategória C Študijné kolo RIEŠENIE A HODNOTENIE PRAKTICKÝCH ÚLOH RIEŠENIE A HODNOTENIE ÚLOH PRAKTICKEJ ČASTI Chemická
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραRiešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody
Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότεραu R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραElektrónová štruktúra atómov
Verzia z 29. októbra 2015 Elektrónová štruktúra atómov Atóm vodíka a jednoelektrónové atómy Najjednoduchším atómom je atóm vodíka. Skladá sa z jadra (čo je len jediný protón) a jedného elektrónu. Atóm
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραREZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických
REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu
Διαβάστε περισσότερα