Δ.Δ.Παντείου. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Οικονομικά Μαθηματικά. Kglykos.gr. 517 ασκήσεις σε 34 σελίδες & 14 θέματα εξεταστικών. εκδόσεις.

Transcript

1 Δ.Δ.Παντείου Κώστας Γλυκός Οικονομικά Μαθηματικά 57 ασκήσεις σε 4 σελίδες & 4 θέματα εξεταστικών Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Kglykos.gr 9 / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 τηλ. Οικίας : κινητό : Οικονομικά μαθηματικά Παντείου Να βρεις τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων :. f () 9 f. (). 4. f () f () f () f () 6 7. Δίνεται συνάρτηση 8. Δίνεται συνάρτηση f f f f () Πεδίο ορισμού : h() f ()() 0 g g () f ()()() g0 g f () ln()() g 0 g υπολόγισε : f 0, f, f, f, f, f, f f f () Να βρεις πεδίο ορισμού Να βρεις τα α,β Να βρεις που τέμνει άξονες Να δείξεις ότι f (), να λύσεις τις εξισώσεις : 9. Δίνεται συνάρτηση f () 7, να βρεις : Πεδίο ορισμού f, f Να λύσεις 7 f Πρόσημο τριωνύμου: a b c Βρίσκεις ρίζες(αν υπάρχουν) και τις βάζεις στον πίνακα τιμών. Ξεκίνα από δεξιά με το πρόσημο της μεγαλύτερης δύναμης και κάθε φορά που περνάς από ρίζα αλλάζεις πρόσημο. Το νου σου : Αν Δ=0, θα έχω διπλή ρίζα, άρα δε θα έχω εναλλαγή προσήμου.

3 τηλ. Οικίας : κινητό : Να λυθούν οι ανισώσεις γινομένου και πηλίκου : Ανίσωση P 0 Q τότε λύνεις την ανίσωση : P Q Όρια Να υπολογίσεις τα όρια : 6., 8 5. Να υπολογίσεις τα όρια : , 4, 6 9 6, , 8 5. Να υπολογίσεις τα όρια :, , 4, 6 Σε όριο Α.Μ. 0 0 έχεις επιλογές Hornrσε αριθμητή- παρονομαστή Συζυγή παράσταση σε άρρητες μορφές D l Hospital Σε ριζικά με το ίδιο υπόριζο διαφορετικών τάξεων βρίσκεις το ΕΚΠ των τάξεων και θέτεις f () y Αν δίνεται όριο ποσότητας που περιέχει την f() και ζητείται το ()f τότε ΘΕΤΩ βοηθητική συνάρτηση g(). Όριο που περιέχει απόλυτο : σε περίπτωση Α.Μ. κάνε το πινακάκι για το απόλυτο ώστε να δεις το πρόσημό του.στην χειρότερη περίπτωση μπορεί να χρειαστείς πλευρικά όρια Κριτήριο παρεμβολής : Αν για τη συνάρτηση fισχύει...() f... τότε οποιοδήποτε όριο το δουλεύεις κατασκευαστικά.

4 τηλ. Οικίας : κινητό : , 0 0 4,, Να υπολογίσεις τα όρια :.., , h 4 5,,, h h 6 a,. Αν f (), να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο,, 4. Αν f () 5,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, a, 5. Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το 5 a, () f a, 6. Αν f (), να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο 4, 4, 7. Αν f () 4,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, 8. Αν f () 8, 4 4 6, 4, να βρεις το όριο της συνάρτησης στο και στο 4 9. Αν (), f, να βρεις το όριο στο, στο και στο 5 5, 5, 40. Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να έχει όριο στο a, a, 4. Αν f () 5 a,, να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το () f, 4. Αν f (), (),(),(),() f f f f 5, 0 a, 4. Αν f (), να υπολογίσεις (), f () f, 44. Δίνεται συνάρτηση, f () 5,, να βρεις : f (),(),(),() f f f 45. Δίνεται συνάρτηση f () 9, 09, να βρεις f (0),(),(),() f f f

5 τηλ. Οικίας : κινητό : Συνέχεια 46. Αν f () 8, 4 4 6, 4, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο Αν (), f, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού 5, 5, 48. Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση a, 49. Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης, f () 5, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της 50. Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης f () 5. Να μελετήσεις τη συνέχεια των συναρτήσεων : 9, 09,, 0 5. Ομοίως : f (),() f,() f f (),() 69 4,, 0, 0, 0 4, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της,, 0 f 4,, 0 5. Να βρεις το α ώστε να είναι συνεχείς οι συναρτήσεις : f (),() ab, 54. Αν είναι συνεχής η f (),, να βρεις τα α,β a b5,, 55. Να βρεις τα α,β ώστε να είναι συνεχής η f () b, a, a b, 56. Να βρεις τα α,β αν είναι συνεχής η συνάρτηση : f () a b,,,, a a a 5, f a, a b, 5, 57. Δίνεται η συνάρτηση f () (a ) b,, ή a, b ; b, 58. Αν η συνάρτηση διέρχεται από Α(,), f (), ή a, b ; a6, Επαναληπτικές ασκήσεις 59. Να βρεις τα όρια : ( ) a a,, a a Να υπολογίσεις :,, 9 4

6 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογίσεις : a, a a 6. Να υπολογίσεις : 4 5, 0 4 5, 6. Αν f (), (),(),(),() f f f 5, 0 f a, 64. Αν f (), να υπολογίσεις (), f (), f Υπολόγισε τα όρια :,, ,, 0 g() (),() (),, f ()() 67. Αν f g f 68. Αν 69. Αν f () () f ;,() ; f 9 f () g f ()()()() h f f h f f ()(),(), f f, h ; h h 0 h 70. Να υπολογίσεις τα όρια : , 4, , Να υπολογίσεις τα όρια :, , Δίνεται συνάρτηση f () a b η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0,) και Β(,5), να βρεις α,β 76. Δίνεται συνάρτηση 77. Δίνεται συνάρτηση f (), να βρεις τα α,β όταν () f,() 4f f () a b a, να βρεις α,β ώστε () f b Να εξετάσεις αν είναι συνεχείς οι συναρτήσεις : f (),() g και να διέρχεται από Α(,),0 4, 5,48 4,5 79. Δίνεται η συνάρτηση Να βρεις α,β. a 4 f (),, a b,(, A ), B, b 7 τα σημεία από τα οποία διέρχεται. 5

7 τηλ. Οικίας : κινητό : Να εξετάσεις αν είναι συνεχής η f (), 0, 0 65, 8. Να εξετάσεις αν είναι συνεχής η συνάρτηση f () 5, 4, 8. Να εξετάσεις αν έχει όριο στο η συνάρτηση h() 5, και επιπλέον αν είναι συνεχής η συνάρτηση, 6, 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g :() f ab,(), g, ab(),(), f, g; a b Όλα είναι παράγωγοι... Παραγώγιση συναρτήσεων f f () () 86. f () 87. f () 88. f () 89. f () 90. f () 9. () 9. () 9. f f f () f 94. () 95. f () ln 96. f () ln 97. f () ln f 98. () Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων ' 0 ' ' 0 a' 0 a' ' ' ' ' ' ' ' v v a ' v ln ' ' Κανόνες παραγώγισης f g ' f ' g ' f g ' f ' g f g ' f f ' g f g ' ' g g ' 6

8 τηλ. Οικίας : κινητό : f () 00. f () 0. f () 0. f () 0. f () 04. f () 05. f () 06. f () 07. f () ln 08. f () 09. f () ln 0. f (). () f f () ln f () f () f () 6. f () 7. f () ln 8. f 9. f () 4 0. f (). f () ln () 7

9 τηλ. Οικίας : κινητό : f () f. () f () f () f 6. () f () 4 ln f () f () ln f () f (). () f () 9 5 f f () ln f () f () ln f () 5 f () 9. f () ln 8

10 τηλ. Οικίας : κινητό : Μονοτονία ακρότατα Να υπολογίσεις τη μονοτονία και τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων 40. f () 4 4. f () 4. f () ln () f () f f () ln f () 8 f f () () 7 f () f () 4 f () f () 54. () 4 4 f () f 55. f (),, 56. f () f f () 57. () f () 60. f () 6. f () ln f () f () Μονοτονία Ακρότατα Υπολογίζω f '() Λύνω f '() 0 Φτιάχνω πινακάκι για f '() 9

11 τηλ. Οικίας : κινητό : f () f 66. f () 67. () 6 5 f () f () 69. f () ln f () 7. () 7. f () f f () ln 74. f () ln 75. f () ln 76. f () 77. f () 78. f () 79. f () 80. f () ln f () ln f () f () ln 84. f 85. f () f () ln 87. () () f 88. f () 4 ln 0

12 τηλ. Οικίας : κινητό : f () f () f () f () 9 5 f () ln f () f () f () 97. f () f () f () f () f () Σύνθετη παραγώγιση f () f () 04. f () ln 05. f () 06. f () 07. f () 5 Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων f () 4 f () 6 5

13 τηλ. Οικίας : κινητό : f () ln. f () ln. f () ln. f ()( ) 4. f () 5. f () ln 6. f () 7. f () ln 8. f () 9. f () 0. f (). f ().. f () f () 4. f () ln f () f () 7. f () f 8. () 9. f () 0. f () ln 5. f () ln. f (). f () ln 4. f () ln f () f () ln 7. f () 8. f () ln f () f () f ()() f ' f '() f () ' f'() () f f () '() '() f f f () '() '() f f f () ' f () f '() f () ' f () f '() ()() v v f v '() f f ln() f ' '() f f () Το νου σου a ' a ln a ln ln ' ' '...

14 τηλ. Οικίας : κινητό : f () ln 4. f () Να βρεις μονοτονία και ακρότατα 4. f () 44. f () ln 45. f () ln 9 f () 46. f () f () f () f () ln 5. f () () f f () f () f () f () f () 58. f () f () f () f () ln f () ln f () f 64. ()

15 τηλ. Οικίας : κινητό : Προβλήματα 65. Απ όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με εμβαδό 5, ποιο είναι εκείνο που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα 66. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 00 να βρεις εκείνο με το μέγιστο εμβαδό 67. Απ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 64 να βρεις εκείνο με την ελάχιστη περίφραξη 68. Ένα ορθογώνιο φύλλο με εμβαδό 600, έχει περιθώρια πάνω κάτω 4 ενώ δεξιά και αριστερά. Να βρεις τις διαστάσεις του φύλλου ώστε η ωφέλιμη επιφάνεια να γίνεται μέγιστη 69. Σε σφαίρα ακτίνας να εγγράψεις κύλινδρο με μέγιστο όγκο 70. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει περίμετρο 0 και χ μία οξεία του γωνία. Ν.δ.ο. η υποτείνουσα 0 a. Να βρεις το χ ώστε η υποτείνουσα να γίνεται ελάχιστη 7. Αγρότης δουλεύει στο χωράφι του που απέχει από το κοντινότερο σημείο Α του δρόμου που οδηγεί στο σπίτι του. Ενδιαφέρεται να φτάσει στον ελάχιστο δυνατό χρόνο στο σπίτι Σ που απέχει 0 από το Α, Ποια διαδρομή να ακολουθήσει αν στο χωράφι βαδίζει με ταχύτητα ενώ στο δρόμο με διπλάσια ταχύτητα 7. Κυλινδρικό δοχείο ανοικτό από πάνω έχει χωρητικότητα 6. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του να χρειαστεί για την κατασκευή του ελάχιστο υλικό Θυμίζω : τετμημένη, o τεταγμένη y, yo Μορφή εφαπτομένης (ε) y y o o y0 f o f ' 7. Δίνεται f () a, να βρεις το α ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη να είναι Δίνεται o o f () Εφαπτομένη συνάρτησης, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με (ε) διέρχεται από :, y (ε) στο :, y (ε) / / ' 0 o (ε) / / y (ε) y o (ε) σχηματίζει γωνία ω με ' () τετμημένη Δίνεται 76. Δίνεται f () 5 6, να βρεις την εφαπτομένη που είναι // στον οριζόντιο άξονα f () a, να βρεις το α ώστε η εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη να σχηματίζει 45 με οριζόντιο άξονα 77. Να βρεις τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της f (), ' στο σημείο με τετμημένη 4 4

16 τηλ. Οικίας : κινητό : Να βρεις τα σημεία όπου οι εφαπτομένες της 79. Δίνεται f () / / ' f (), να βρεις το λ των εφαπτομένων στα σημεία με τεταγμένη Δίνεται η συνάρτηση f (), να βρεις την εφαπτομένη που σχηματίζει 5 με οριζ. άξονα 8. Να βρεις την εφαπτομένη της 8. Να βρεις την εφαπτομένη της f () που είναι / / y f () που είναι 4y 0 8. Να βρεις τα α,β ώστε οι συναρτήσεις σημείο με τετμημένη χ= f () a,() b g, να έχουν κοινή εφαπτομένη στο 84. Να εξετάσεις αν η ευθεία y είναι εφαπτομένη της Αν f () a f''() () f f () b. Να βρεις α,β όταν f (), f '() f () a b f''()() 0a f 87. Αν 88. Αν f () f''() '()() f 0 f 89. Αν f () () ''() f0 f Επαναληπτικές ασκήσεις 90. Να βρεις παραγώγους f (),() f,() f ln,() f f () ln,() f ln 4,() f,() f 5,() f ln f (),() f,() lnf,() f 9. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού f 0 (),() ln,() ln,() f f f 0 f (),() f,() f. 9. Να βρείς μονοτονία,ακρότατα (πρώτα πεδίο ορισμού) (),() f f,() f ln,() ln f, f () ln 4, 5

17 τηλ. Οικίας : κινητό : f () 4,() f ln 9,() f 4,() ln f 6,. f (),() f 6 9,() f 0 9. Να βρείς τα α,β ώστε f a b f f 94. Να βρείς τα α,β,γ ώστε 95. Να βρείς τα α,β ώστε 96. Να βρείς τα α,β ώστε (),,. f (),(0) f,(0) f, ''(0) f. f (),() f, '() f. f (),(0) f, '(0) f. f () ln,() f 4,() lnf 9,() f 97. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού 98. Ομοίως 0 6 f (),() f,() f ln 5,() f f () ln Ομοίως 0, f () 6,() f,() f Να βρεις πεδίο ορισμού και μονοτονία,ακρότατα (),() f f,() fln,() ln 5 f, f () 6,() f ln 8,() f 4,() ln f,. f (),() f 4 4,() f 0 0. Να βρείς τα α,β ώστε f a b f f 0. Να βρείς τα α,β,γ ώστε 0. Να βρείς τα α,β ώστε 04. Συμπλήρωσε τον πίνακα : fέχει τ.ε. στο χ=5 f έχει τ.μ. στο χ=- f έχει ακρότατο στο χ=0 f έχει τ.ε. στο χ= με τιμή f έχει τ.μ. στο χ=- με τιμή f έχει ακρότατο στο χ=-5 με τιμή () 5, 0 0, '. f () a,() f,() f, ''() f. f (),() f, '() f Να βρείς τα α,β ώστε f (),() f, '() f. 06. Να βρείς το α ώστε 07. Να βρείς τα α,β ώστε f (),να έχει ακρότατο στο χ=. f (),να έχει τ.μ. στο χ= με τιμή 6. 6

18 τηλ. Οικίας : κινητό : Να βρείς τα α,β ώστε f (), να έχει τ.ε. στο χ=- με τιμή. 09. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής των συναρτήσεων f (),() f ln,() f 0. Να βρεις τα α, β ώστε η συνάρτηση να διέρχεται από το Α(,) και να έχει ρυθμό μεταβολής στο χ= με τιμή 5 όταν f () a b.. Να βρεις μονοτονία και ακρότατα της f (). Να βρεις μονοτονία και ακρότατα της f '() όταν.. Να βρεις το ρυθμό του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης : f () f () 4. Ορθογώνιο έχει περίμετρο 00. Να βρεις διαστάσεις του ώστε να έχει μέγιστο εμβαδό 5. Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 0. Να βρεις τους αριθμούς ώστε το γινόμενο του ενός επί το τετράγωνο του άλλου να γίνεται μέγιστο 6. Αν f () a b c, a, b c ; όταν η συνάρτηση διέρχεται από το Α(-,), έχει ελάχιστο στο χ= και έχει ρυθμό μεταβολής στο χ= ίσο με 7. Δίνεται τετράγωνο πλευράς χ. Να βρεις την περίμετρο και το εμβαδό του. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής της περιμέτρου και του εμβαδού όταν η πλευρά είναι 8. Δίνεται κύβος πλευράς χ. Να βρεις εμβαδό και όγκο. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού και του όγκου όταν το χ= 9. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με τετράγωνη βάση πλευράς χ και ύψος χ. Να βρεις το εμβαδό και τον όγκο. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού και του όγκου όταν χ= 0. Να βρεις μονοτονία και ακρότατα του ρυθμού μεταβολής της. Να βρείς τα α,β ώστε. Να βρείς τα α,β ώστε f (). Να βρεις τα ακρότατα της f () f () ln,να έχει τ.μ. στο χ= με τιμή 5., να έχει τ.ε.στο χ= με τιμή. f ''() :() f 4 f () 4. Αν fάρτια, gπεριττή και,() g ()() f; g Όρια 0 a Μορφή 0 a : δίνει αποτέλεσμα 5. Να υπολογίσεις τα όρια : 6. Αν 4 () g ; g() 4 6 8,, 0 Hornr σε παρονομαστή Βρες το προβληματικό Σπάσε σε όρια Υπολόγισε το πρώτο και στο δεύτερο κάνε πλευρικά όρια. Το νου σου στο τέλος μπορεί να πάρεις,, (δεν υπάρχει) 7

19 τηλ. Οικίας : κινητό : Αν g() 8 () g ; () f 5() 7f () f 4 () ;, f ; f () 8. Αν 9. Να υπολογίσεις τα όρια : 0, τα α,β ώστε να υπάρχει το a b 0. Αν. Αν g() g() a, b, a b ; b, f (), () f, a; b a6,. Να υπολογίσεις για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων α,β το 4 a 9 b 4. Να βρεις αν υπάρχουν τα όρια ( ), 4 4. Να βρεις το όριο Να βρεις το όριο 0 Όρια Όρια στο : παίξε με τη μεγαλύτερη δύναμη παντού, σε αριθμητή, παρονομαστή, μέσα στη ρίζα, έξω από τη ρίζα, , 4 6,, 6. Να υπολογίσεις τα όρια : , 6 5, 4, 4, 5,, 4, 9, 9 4, 4 9 5, 8

20 τηλ. Οικίας : κινητό : Για τις διάφορες τιμές του α να βρεις το 9( ) 5 a a a 8. Να υπολογίσεις για τις διάφορες τιμές του α το a ( a ) 4 ( ) a a 9. Για τις διάφορες τιμές του α να βρεις το ( ) a a 40. Αν ( a 4)( 4) a b ( b ) 6 a, b ; 4. Αν b 4 a, b ; a 4. Για τις διάφορες τιμές του α να υπολογίσεις τα όρια : 4, 9 4 a a a 4. Αν a b a, b ; 44. Να υπολογίσεις τα όρια : Όρια εκθετικά-λογαριθμικά, Μορφή με α> δίνει με α< δίνει 0 με α> δίνει 0 με α< δίνει 45. Να υπολογίσεις τα εκθετικά όρια : ,, Να υπολογίσεις :, Να υπολογίσεις : 4 5 5, Να βρεις για κάθε θετική τιμή του α το a a 0 0 Εκθετικά όρια στο Στο βγάλε κοινό παράγοντα τη μεγαλύτερη εκθετική Στο βγάλε κοινό παράγοντα τη μικρότερη εκθετική Λογαριθμικά όρια στο : Απλά εφάρμοσε ιδιότητες λογαρίθμων της ΒΛ. ln ln ln,, ln 50. Να υπολογίσεις τα όρια : 0 4ln ln 9

21 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογίσεις το k ln για τις διάφορες τιμές του κ 5. Να βρεις τα όρια, Να βρεις τα όρια : (5 ), 4, Να βρεις το όριο 55. Να βρεις το όριο 56. Να βρεις το όριο Δίνεται το όριο () f 5, να βρεις το όριο της f() 58. Να βρεις το όριο ( )( ) Να βρεις το όριο k Παραμετρικά όρια 60. Να βρεις α,β ώστε 6. Να βρεις α, β ώστε a b 0 a b 6. Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ να υπολογίσεις το όριο : Παραμετρικά όρια 0 : Αν το λ=0 τότε έχω μορφή 0/0 και δουλεύω ανάλογα. Αν το 0 τότε δούλεψε όπως μορφή α/ο αλλά θα χρειαστείς να πάρεις περιπτώσεις για το πρόσημο του λ. ( ) 6. Δίνεται η συνάρτηση f()=.να βρεις το όριο της συνάρτησης στο για τις διάφορες τιμές του λ 0

22 τηλ. Οικίας : κινητό : Δίνεται η συνάρτηση f() =, 5,.Να βρεις τα κ,λ ώστε να υπάρχει το όριο στο 65. Δίνεται η συνάρτηση f()=,να βρεις τα α,β ώστε 66. Δίνεται η συνάρτηση f() =.Να βρεις τους α,β ώστε () f Έστω η συνάρτηση f(α, + ) R τέτοια ώστε τιμή του λ f () () f, 4, να βρεις την 68. Να υπολογίσεις το όριο 4 για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού μ. 69. Δίνεται η συνάρτηση f() = πραγματικός αριθμός a,,.να βρεις τα α,β όταν το όριο της συνάρτησης στο είναι 70. Να υπολογίσεις τα παραμετρικά όρια : 4,, b a a b και a b a, ( a ) 7 a b P()() P 7. Να βρεις πολυώνυμο Ρ(χ) ώστε, () P, 7. Να υπολογίσεις τα α,β όταν : f (), () f, () f a b 7. Να υπολογίσεις τα α,β όταν : a ( b ) a b 4 «Περίεργα» όρια 74. Να υπολογίσεις τα όρια :,, 4 0

23 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογίσεις τα όρια :,,, 0 4, 5, Ν.δ.ο ln 84. ln ln ln ln ln, (),() Μορφή ά 0 0 Μορφή 0 : Πέτα τη μία συνάρτηση κάτω από την άλλη οπότε θα δημιουργήσεις μορφή 0 0 ή και θα συνεχίσεις με DlHospital. Μορφές 0 0 ή της ιδιότητας ΒΛ : Κάνε χρήση ln a Αν εμφανίζονται σε πολ/μο ή διαίρεση βάλε απόλυτα και συνέχισε με κριτήριο παρεμβολής Αν εμφανίζονται σε πρόσθεση ή αφαίρεση βγάλε κοινό παράγοντα για να δημιουργήσεις πολ/μο ή διαίρεση.

24 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογίσεις το όριο Απροσδιόριστη μορφή Κάνε συζυγή αν έχεις άρρητη συνάρτηση.προσοχή αν δε μπορείς να κάνεις συζυγή ίσως να χρειαστεί να προσθαφαιρέσεις χ. Βγάλε κοινό παράγοντα δύναμη του χ ή ή ln. Στα επιμέρους κλάσματα θα χρειαστείς Dl Hospital. 40. Να υπολογίσεις τα όρια :, 4 ln 40. Να βρεις τα ακόλουθα όρια : ln 4 ln, ln() ln 404. Να υπολογίσεις το Nwton-Raphson Αν η άσκηση αναφέρεται σε διάστημα a, b θα πρέπει να ελέγξεις αν εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano : Δηλαδή ότι η συνάρτηση είναι συνεχής και τα f (),() a f b ετερόσημα ο βήμα : επιλέγεις αρχική τιμή o (καλή επιλογή το ο βήμα : υπολογίζεις την f '() ο βήμα : χρησιμοποιείς τον τύπο k k f f ' k k o a b ) 4 ο βήμα : επαναλαμβάνεις τη διαδικασία έως ότου k k 405. Να βρεις με τη μέθοδο Nwton-Raphson τη ρίζα της εξίσωσης : 4 5 0, o, Με τη μέθοδο Nwton-Raphson να λύσεις : Η ρύπανση λίμνης σε σχέση με το χρόνο είναι t 0.t A() t 80 0, t 0, να εξετάσεις πότε η ρύπανση θα γίνει 0 μονάδες 4

25 τηλ. Οικίας : κινητό : Μέθοδος τέμνουσας - Scand Μεγάλο πλεονέκτημα : δε χρειάζεσαι παράγωγο ο βήμα : επιλέγεις δύο αρχικές τιμές, o ο βήμα : χρησιμοποιείς τον τύπο f k k k k k f f ο βήμα : επαναλαμβάνεις τη διαδικασία έως ότου k k k k 407. Με τη μέθοδο τέμνουσας (scand) να λύσεις την 6 0,, 0, 0 o Μέθοδος σταθερού σημείου fi point Έχεις να λύσεις την εξίσωση f () 0 ο βήμα : επιλέγεις να λύσεις την f () 0() g, δηλαδή ως προς χ οπότε το ο μέλος το ονομάζεις : g() ο βήμα : χρησιμοποιείς αρχική τιμή και τον τύπο g ο βήμα : εύκολα η σχέση μπορεί να αποκλίνει και θα ήταν καλό αν g '(), στην περιοχή που πιστεύεις ότι είναι η ρίζα k k 408. Να λύσεις με μέθοδο σταθερού σημείου : Θα μπορούσες να δεις : g(),() g,() g Να λύσεις με μέθοδο σταθερού σημείου : 0 Θα μπορούσες να δεις : g(),() g ln 40. Να λύσεις με μέθοδο σταθερού σημείου :

26 τηλ. Οικίας : κινητό : Taylor - MacLaurin f '() a f''() a '''() f a!!! f '(0) f ''(0) f '''(0) MacLaurin: f ()(0) f...!!! Taylor: f ()() f a a a... a 5 7 n n sin...! 5! 7!! n0 n 4 6 n n cos...! 4! 6!! n0 n tan arc tan n n 5 7 n0 n n0 5 7 n sinh...! 5! 7! n! 4 6 n cosh...! 4! 6! n! 4 ln...!! 4! n0 4 n...!! 4! n! 4...!! 4! n, n0 n n, n0 n0 n0 n n ln, n n ln, n n0 4. Να υπολογίσεις προσεγγιστικά : ln,, 5

27 τηλ. Οικίας : κινητό : Με τη βοήθεια του αναπτύγματος Maclaurin της συνάρτησης f () cos, να υπολογιστεί το όριο cos. 4 Επομένως το ανάπτυγμα Maclaurin της f έως και όρους τέταρτης τάξης : f () άρα 0 4 cos Να υπολογισθεί προσεγγιστικά το ολοκλήρωμα Με ανάπτυγμα Mac Laurin θα έχεις sin I d 0 f ()... I sin d d Μερική παράγωγος για την f, y Πρώτης τάξης : ως προς ως προς :, y : f y f y (θεωρώ τη μεταβλητή χ σταθερά) Δεύτερης τάξης : ως προς : f δύο τελευταίες καλούνται μικτές μερικές παράγωγοι, y (θεωρώ μεταβλητή y σταθερά) και, y, ως προς : yy, y f y, ως προς, y :,, f y f y y y, οι Να βρεις μερικές παραγώγους ης και ης τάξης 44. f (, y,) z sin() yz y z 45. f (, y,) z z y z yz 46. f (, y,) z y z f (,) y 5 y f y y (,) f, y 4 y y f y y y (,) 9 7 Ασκήσεις για λύση : 6

28 τηλ. Οικίας : κινητό : f (,) y y y y f (,) y 9 y y 6 y f (,) y y 8 y 44. f (,) y y y f (,) y y 5 8 y 5 y f (,) y 4 y 9 y 4 y f (,) y 6 y y f (,) y y f (,) y y y f (,) y sin sin y sin y,0, y y 8 f (,) y 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΩΣΟΥ ΧΩΡΙΚΟΥ A B y Άθροισμα : 855 Διπλασιάζουμε τον Α και υποδιπλασιάζουμε τον Β αγνοώντας τα δεκαδικά ψηφία Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι το Β = Προσθέτεις τους αριθμούς της στήλης Α όπου ο αντίστοιχος αριθμός στη στήλη Β είναι περιττός Το άθροισμα που προκύπτει ισούται με το γινόμενο των δύο αριθμών Συνάρτηση ζήτησης : q D p Συνάρτηση προσφοράς : q S p D S Οικονομικές Συναρτήσεις Σημείο Ισορροπίας : markt quilibrium : το σημείο στο οποίο q S q D z p D p S p Συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης : Νεκρό σημείο : brak vnt point : το σημείο όπου το κέρδος είναι 0 (έσοδα=έξοδα) Συνολική συνάρτηση : f () Οριακή συνάρτηση : dy d 7

29 τηλ. Οικίας : κινητό : Μέση συνάρτηση : f () Συνολικά έσοδα : total rvnu : TRq Οριακό κόστος : marginal cost : MC q dtc q μικρή μεταβολή κατά μία μονάδα της παραγόμενης ποσότητας Μέσο κόστος : avrag cost : AC q Οριακό έσοδο : marginal rvnu : MR q TC q q dq εκφράζει τη μεταβολή του κόστους που οφείλεται σε και εκφράζει το κόστος ανά μονάδα προιόντος dtr q στη μεταβολή κατά μονάδα της παραγόμενης ποσότητας Μέσο έσοδο : avrag rvnu : AR q TRq q dq, εκφράζει τη μεταβολή των εσόδων που οφείλεται, εκφράζει το έσοδο κατά μονάδα προιόντος y Ελατικότητα : lasticity : της y ως προς ορίζεται ο λόγος :, εκφράζει τη μεταβολή της y εξαρτημένης μεταβλητής όταν η ανεξάρτητη μεταβληθεί κατά % Αν p η τιμή, q η ποσότητα q D p d Τελείως ελαστική dq p d ελαστικότητα ζήτησης dp q d Ελαστική : αν η τιμή του μεταβληθεί κατά ένα ποσοστό τότε η ζητούμενη ποσότητα μεταβάλλεται κατά ένα μεγαλύτερο ποσοστό στην αντίθετη κατεύθυνση d Μοναδιαία ελαστικότητα : αν η τιμή του μεταβληθεί κατά ένα ποσοστό τότε η ζητούμενη ποσότητα μεταβάλλεται κατά το ίδιο ποσοστό στην αντίθετη κατεύθυνση 0 d Ανελαστική : αν η τιμή του μεταβληθεί κατά ένα ποσοστό τότε η ζητούμενη ποσότητα μεταβάλλεται κατά ένα μικρότερο ποσοστό στην αντίθετη κατεύθυνση 0 Τελείως ανελαστική d Ελαστικότητα της ζήτησης Q ως προς το εισόδημα Ι: I I I Κανονικά αγαθά Κατώτερα αγαθά Ουδέτερα αγαθά I dq I di Q 8

30 τηλ. Οικίας : κινητό : Τεχνικές ολοκλήρωσης Απλές περιπτώσεις θεωρούνται όλες εκείνες όπου αντιμετωπίζονται με ένα απλό θέτω ή μία παραγοντική ολοκλήρωση. Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων : Αν ο βαθμός παρονομαστή > βαθμό αριθμητή ρίχνω μία ματιά μήπως ο αριθμητής είναι παράγωγος του παρονομαστή οπότε θέτοντας τον παρονομαστή λύνεται εύκολα αλλιώς παραγοντοποιώ τον παρονομαστή όσο περισσότερο μπορώ σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων (το καλύτερο) και γράφω το κλάσμα σε άθροισμα κλασμάτων. Προσοχή στην παραγοντοποίηση : αν οι όροι A είναι της μορφής : Πρωτοβάθμιος π.χ., αν δευτεροβάθμιος π.χ. B, αν έχω A B πολ/τα κάποιας ρίζας π.χ. το με πολλαπλότητα τότε.(τεχνική Α,Β).Δίνονται μερικά ( ) A B παραδείγματα : 4( )( )... A B ( ). ή... A B ή Αν βαθμός αριθμητήπαρονομαστή τότε : με πολυωνυμική διαίρεση (σπάνια με Hornr) απλοποιώ το κλάσμα Ολοκλήρωση εκθετικών συναρτήσεων : οι εκθετικές έχουν την ιδιαιτερότητα να αντιμετωπίζονται με θέτω t.προσοχή να έχουν μετατραπεί όλες οι εκθετικές με αρνητικό εκθέτη πριν εφαρμόσεις το θέτω. Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων : εδώ έχουμε πολλές περιπτώσεις και συχνά χρειάζεται η φαντασία του μαθητή για να αντιμετωπίσει μια τριγωνομετρική συνάρτηση. Θα προσπαθήσω να τις βάλω σε κατηγορίες διακριτές μεταξύ τους. Δυνάμεις μόνο μίας τριγωνομετρικής : d c, d d..., () d d d (θέτω συν=t )=... οπότε ανάλογα συνεχίζω με άρτιες ή περιττές δυνάμεις του ημιτόνου.η ίδια φιλοσοφία ισχύει για δυνάμεις συνω. d d (θέτω συν=t)=, d d d (σπάω το κλάσμα)=, οποιαδήποτε μεγαλύτερη δύναμη 9

31 τηλ. Οικίας : κινητό : αντιμετωπίζεται ως εξής : θα απομονώνω το ()' και συνεχίζω με παραγοντική ολοκλήρωση. Η ίδια φιλοσοφία ισχύει για δυνάμεις σφω. ημω,συνω χωρίς δυνάμεις :Χρησιμοποιώ τύπους:ημαημβ=συν(β-α)-συν(α+β), συνασυνβ=συν(α+β)+συν(α-β ), ημασυνβ=ημ(α+β)+ημ(α-β) ημω,συνω με δυνάμεις: δεν ομαδοποιούνται αλλά μπορείς να πάρεις μερικές ιδέες : d d () d (θέτω συνχ=t)=, 4 d τύποι απoτετραγωνισμού και κουράγιο =, d d σπάω και συνεχίζω=, Πανεπιστημιακό : αυτό που ξετινάζει πολλά τριγωνομετρικά όρια είναι το θέτω dt, t, t, t t d, t t t t t t Ολοκλήρωση λογαριθμικών συναρτήσεων : κατά κανόνα πρέπει να χρησιμοποιείς τριγωνομετρική ολοκλήρωση ξεκινώντας από την ποσότητα που βρίσκεται δίπλα στο λογάριθμο. Ολοκλήρωση άρρητων συναρτήσεων : Συνήθως θέτεις το υπόρριζο Αόριστο ολοκλήρωμα d, d, 5 5 d, d d, d, 47. d,(), d 48. d, d () 6 d c d c d c 0d 0 c ad a c 0 Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f καλείται η παραγωγίσιμη συνάρτηση F όπου F ()=f(). Όλες οι συναρτήσεις της μορφής F()+cείναι αρχικές της f. Αν F,Gαρχικές της f τότε G()=F()+c. d c d c 4 d c 4 0 d c v v d c v d c d c d c d c d ln c

32 τηλ. Οικίας : κινητό : d, 44. d 440. d d 44. d 44. d 444. d d d d d 5 d d d d d d 4 d d 4 d 5 0 d

33 τηλ. Οικίας : κινητό : ( ) d, d d, (), d 46. ( ) d, d 46. ln d, d 464. ln d, d, ln d, d, d d ln, d, d ln d, d, d, d 47. d, d, d, d 4 d, d d d 4 4 ( ),, d, d 476. ln d,( ) ln( ) d 477. ln d, ln d, ab ab d c a ()() a b d a b c a ()() a b d a b c a d ln() a b c a b a d a b c, βέβαια θα a b a Αξίζει να θυμάσαι ότι :,,,, μπορούσες με την τεχνική του Θέτω αχ+β=t να τα υπολογίσεις πολύ εύκολα Το ίδιο ισχύει και για τα επόμενα θέτοντας f()=t v v f () f () f'() d c v f '() d ln() f c f () f ()() f f '() d c f '() d () f c f () f () f'()() d f c f () f'()() d f c Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Αν ο βαθμός του αριθμητή < του παρονομαστή τότε έχω δύο επιλογές Θέτω τον παρονομαστή με t όταν ο αριθμητής εκφράζει την παράγωγο του παρονομαστή Εφαρμόζω την τεχνική Α,Β Αν ο βαθμός του αριθμητή του παρονομαστή κάνουμε την διαίρεση των πολυωνύμων

34 τηλ. Οικίας : κινητό : d, d ln,, d d d, d d, d, 4 d, d d, d, , 5 d d 4 4 d, d, d d d, d, 488. d, d d, d, ln, ln d d d, d,, 4 d d d d, 9, d d,, Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα : d, d d, d,, 496. Είναι προφανές ότι f '()() d f c f () d'() f Παραγοντική Ολοκλήρωση f ()()() g '() d f G d f ()() G '()() f G d Η σειρά προτίμησης για την εκκίνηση της διαδικασίας είναι :,, ln Προσοχή : στην περίπτωση εμφάνισης εκθετικής με τριγωνομετρική τότε δημιουργείται κυκλική διαδικασία. Αναγωγικοί τύποι Δημιουργούνται όταν ολοκληρώματα I έχουν μέσα τους δυνάμεις με εκθέτη το ν. Συνήθως εφαρμόζουμε παραγοντική ολοκλήρωση και δημιουργούμε ποσότητες όπως το I, I v v v

35 τηλ. Οικίας : κινητό : , , d d, 4 5 d d,, d d 4, d, 4 d, 50. ln d, d, d () d d d 50.,, (6 ), Να υπολογίσεις τα παρακάτω ολοκληρώματα : 4,,,, d d d d d, d 4 4, d, d, d, d, d, 8 d, d, d, 4 4 Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα : d, d, d, d, d d ln ( ), ln, ln d, 4 ln d, ln d, d, d d,, d, d, d, ln 4 Τριγωνομετρικά ολοκληρώματα : Αν εμφανίζονται αθροίσματα ή διαφορές ημαχ,συνβχ τότε σπάμε το ολοκλήρωμα. Αν εμφανίζονται απλά γινόμενα τότε ακολουθώ τους τριγωνομετρικούς τύπους : ημασυνβ=ημ(α+β)+ημ(α-β) συνασυνβ=συν(α+β)+συν(α-β) ημαημβ=συν(α-β)-συν(α+β) Αν εμφανίζονται γινόμενα με δυνάμεις d τότε αν ν άρτιο, μ περιττό σπάω τη δύναμη που έχει εκθέτη το μ σε γινόμενο ώστε μ- να είναι άρτιο και χρησιμοποιώ τους τύπους ή και συνεχίζω με θέσιμο αν ν,μ άρτια τότε χρησιμοποιώ τύπους αποτετραγωνισμού : ή αν ν,μ περιττοί τότε κάνουμε διάσπαση στο μικρότερο περιττό εκθέτη και ακολουθώ τα βήματα της πρώτης περίπτωσης Σε τριγωνομετρικές ολοκληρώσεις είναι χρήσιμο να θέσω =π-u

36 τηλ. Οικίας : κινητό : ln ( ) d, 4 d, d, ln d, 5 4 d, 4 d d d ,,, 4 d, d, 4 d, ln ln d, d, d, d, 7 0 ln Ολοκλήρωση εκθετικών : Θέτω t d, d 0 d, d, d, d 5 d 5, d, 6 Ορισμένο ολοκλήρωμα Ορισμένο ολοκλήρωμα Αν Fη παράγουσα της f τότε b f ()()() d F b F a, αξίζει να θυμάσαι ότι : a Αν α=β τότε αποτέλεσμα 0 Αν f () 0 τότε εκφράζει το εμβαδό που περικλείεται μεταξύ της f(), και τις ευθείες χ=α,χ=β b a f ()() d f d a b f b ()()() d f d f d a Αν f () 0() 0f d a f ()()()() g f d g d b b a b a b a d, d 0 0 d, d, 4 d d 6,, 4 6 d, d d, d 0 5 Ολοκλήρωμα συνάρτησης πολλαπλού τύπου : Εξετάζω αν η συνάρτηση είναι συνεχής και σπάω το ολοκλήρωμα σύμφωνα με τα όρια ολοκλήρωσης και το πεδίο ορισμού των κλάδων. Ολοκλήρωμα που περιέχει απόλυτο : βγάζω το απόλυτο και δουλεύω όπως πριν.

37 τηλ. Οικίας : κινητό : d d d 5. 4 d 5. 4 d 5. 4 d d 4 d 4 7 d 4 d 4 5 d 4 d d d d, d, d, d d, d, 5 0 d, d d, d, 6

38 τηλ. Οικίας : κινητό : ln d, ln( ) d,, 4 d 0 d 0 d, d d, d, 0 ln ( ) d, d 0 d, d, ln 0 d, d ln() d d d 0 6,, 5 d ln d d d d,, 0 0 Να βρεις κυρτότητα και σημεία καμπής των συναρτήσεων : f () f () f () f () 56. f () ln f () 8 07 f () f 564. () 565. ln f 5 4 () 4 5 Κυρτότητα και σημεία καμπής Υπολογίζεις την f (χ)=0 και φτιάχνεις το πινακάκι της. Η κυρτότητα διαβάζεται από το πρόσημο,δηλαδή, για τα χ όπου το πρόσημο είναι θετικό έχω κυρτή και για τα χ όπου είναι αρνητικό έχω κοίλη. Στα σημεία όπου αλλάζει το πρόσημο έχω τα σημεία καμπής f () 7

39 τηλ. Οικίας : κινητό : f () f () ln 569. f () f 570. () f () f () f () 4 Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα : 4 d d d 4 6 d d 4 d Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα : d 4 d d 8

40 τηλ. Οικίας : κινητό : d d Θέματα εξεταστικών 585. Να βρεις το γινόμενο * (ρώσος χωρικός) 586. Να βρεις τα όρια : ,,, ln d y y y y dy Να βρεις την παράγωγο : 4, 5, ln 5 Προσοχή : η η σχέση είναι εύκολη στον υπολογισμό αλλά η η και η θα έπρεπε να λυθούν ως προς χ το d οποίο είναι δύσκολο dy f ' Να βρεις :, ln d d 589. Κολυμβητής στη θέση Α θέλει να κολυμπήσει προς τη στεριά και μετά να περπατήσει ως το σημείο Β. Κολυμπά με ταχύτητα και περπατά με 6 χμ/ώρα. Να βρεις τη συνάρτηση του χρόνου και τον ελάχιστο χρόνο που χρειάζεται 590. Να βρεις παράγωγο του ln 59. Να βρεις το ολοκλήρωμα του ln 59. Να βρεις το γινόμενο *6 (ρώσος χωρικός) 59. Να βρεις τα όρια : 4,,, ln d y y y y dy 594. Να βρεις την παράγωγο :,, p 595. Να βρεις :,, ln d d d 596. Να προσεγγίσεις την τιμή της ln στο χ=,5 χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα κατά Taylor δευτέρου βαθμού γύρω από το σημείο 597. Να βρεις παράγωγο του Να βρεις το ολοκλήρωμα του 9

41 τηλ. Οικίας : κινητό : Να βρεις παράγωγο του ln 600. Να βρεις το ολοκλήρωμα του ln 60. Να βρεις το γινόμενο 47* (ρώσος χωρικός) 60. Να βρεις τα όρια : 5 ln,, Να βρεις ακρότατα και σημεία καμπής της f () Να βρεις με αριθμητική παραγώγιση την παράγωγο της : Να βρεις : p, ln d d 606. Να βρεις την ρίζα της συνάρτησης 607. Να βρεις παράγωγο του ln 608. Να βρεις το ολοκλήρωμα του 609. Να βρεις το ολοκλήρωμα του 60. Να βρεις τα όρια : 6. Να βρεις ακρότατα της y 4 0 f () tan arctan,, 0, f () 5, o με τη μέθοδο Nwton-Raphson ln log ή 5,, ln 0 d y y y y dy 6. Να βρεις την παράγωγο : 5,, ln Να βρεις την ρίζα της συνάρτησης f () 0 0, o με τη μέθοδο Nwton-Raphson 64. Να βρεις : d, ln d 40