ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ Γενικοί κανόνες ταξινόµηση των ορίων Αν και µπορούµε να αντιµετωπίσουµε τα όρια µε έναν ενιαίο τρόπο, θα τα χωρίσουµε σε δύο µεγάλες οµάδες: Οµάδα Α. Όταν, Οµάδα B. Όταν ή Ως πρώτο βήµα εύρεσης του ορίου µπορούµε να έχουµε το εξής πλάνο: Θέλω να βρω το f () Αντικαθιστώ στην f(), =α και κάνω πρόχειρο υπολογισµό α Aν δεν έχω απροσδιοριστία εφαρµόζω ιδότητες των ορίων και βρίσκω το όριο Aν έχω απροσδιοριστία εφαρµόζω µέθοδο άρσης της απροσδιοριστίας και βρίσκω το όριο όπου α είναι ένα από τα ή ή Άσκηση Α f () 5 α) β) 5 f () f () 5 γ) δ) f() - g (), όταν f () = και g() =-6 g()f() ζ) ηµ ( ) ln η) (ln e ) θ), όταν f () = ηµ συν εφ ε) (ln e ) Εφαρµογή ιδιοτήτων Εδώ το όριο υπολογίζεται άµεσα αφού δεν υπάρχει απροσδιοριστία. Στην οµάδα Α εφαρµόζονται οι ιδιότητες και κάνουµε αντικατάσταση Στην οµάδα Β έχουµε υπ όψιν πως βρίσκουµε: Το όριο πολυωνυµικής (ασκ. Βα, Ββ) Το όριο ρητής (ασκ. Βγ, Βδ, Βε) Άσκηση Β α) (- -) δ) ζ) 5 ( ) β) ( 5 7-) γ) ε) 6 7 η) ( 8 ) θ)

2 Άσκηση Α 5 α) β) γ) δ) 5 ε) ζ) ( ) θ) ια) 5 ιγ) η) ι) ιβ) ιδ) Απροσδιόριστη µορφή Αν το µηδενίζει αριθµητή και παρονοµαστή, κάνουµε παραγοντοποίηση στους όρους του κλάσµατος και αφού διαγράψουµε τους κοινούς παράγοντες βρίσκουµε το όριο. Αν υπάρχουν ριζικά, πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή παράσταση,οπότε εµφανίζεται κοι νός παράγοντας τον οποίο διαγράφουµε και βρίσκουµε το όριο Συζυγείς παραστάσεις: y, y α-β, α ν- α ν- β α ν- β αβ ν- β ν- (όπου α, β ριζικά της ίδιας τάξης) Για ριζικά διαφόρων τάξεων εφαρµόζουµε την µέθοδο της αντικατάστασης ή την µέθοδο της διάσπασης Στις εκθετικές φτιάχνουµε όλες τις δυνάµεις στη µορφή α και κάνουµε την αντικατάσταση y=µ (= η µικρότερη δύναµη) Οι ασκήσεις της οµάδας Β παίρνουν την µορφή και εξετάζονται στην περίπτωση εκείνη ιε) f () ι, αν f () = f () Άσκηση Β α) 5 9 β) Άσκηση Α α) Άσκηση Β α) γ) ε) ( ) β) γ) β) (5 ) ( ) δ) ( ) ( 9 ) ( 9 5 ) Απροσδιόριστη µορφή Βγάζουµε κοινό παράγοντα την µεγιστοβάθµια δύνα- µη του, οπότε παρουσιάζονται οι περιπτώσεις: α) Προκύπτει η µορφήl, µεl Τότε το όριο υπολογίζετε άµεσα από τις ιδιότητες β) Προκύπτει η µορφή Τότε στο αρχικό όριο πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε µε την συζυγή παράσταση Όταν έχουµε περισσότερα από δύο ριζικά προσθαφαιρούµε κατάλληλα και το όριο «σπάει» σε περισσότερα όρια και υπολογίζονται όπως παραπάνω. Οι ασκήσεις της οµάδας Α, παίρνουν την µορφή α και εξετάζονται στην περίπτωση εκείνη

3 Άσκηση Β 5 α) β) 5 5 γ) ε) ζ) 5 δ) η) 5 5 Απροσδιόριστη µορφή Βγάζουµε κοινό παράγοντα από αριθµητή και παρονοµαστή την µεγιστοβάθµια δύναµη του Αν έχουµε ριζικά, βγάζουµε έξω από τις ρίζες την µεγιστοβάθ- µια δύναµη του και κάνουµε γινόµενο Τις εκθετικές τις φέρνουµε πρώτα στη µορφή α οπότε: α) Αν, βγάζουµε κοινό παράγοντα την εκθετική µε την µεγαλύτερη βάση β) Αν, βγάζουµε κοινό παράγοντα την εκθετική µε την µικρότερη βάση Οι ρητές συναρτήσεις µπορούν να θεωρηθούν απροσδιόριστες µορφές Άσκηση 5Α α) ( ) δ) ζ) - - ι) -συν ιγ) συν π 5 β) - ε) - - η) - ια) ηµ - ιδ) γ) (-) θ) (-) - ιβ) ηµ ιε) - ln( ) ι ιζ) (e )( ) ιη) συν Η «ενοχλητική» µορφή α µε α (που ισοδυναµεί µε την α) f () Όταν f()=α και g()=,το g() ή το ή δεν θα υπάρχει. Τι κάνουµε: θα είναι το Αν ο παρονοµαστής έχει γνωστό πρόσηµο κοντά στο, το τελικό όριο είναι το ή το αναλόγως µε τα πρόσηµα των όρων Αν το πρόσηµο του παρονοµαστή αλλάζει εκατέρωθεν του, παίρνουµε πλευρικά όρια στο, οπότε το όριο δεν υπάρχει Αν το πρόσηµο του παρονοµαστή δεν προκύπτει άµεσα, τότε παραγοντοποιούµε και αποµονώνουµε τον παράγοντα (- ) µπροστά από το κλάσµα (µορφή α) Άσκηση 6Α Να βρεθούν τα όρια των:, - < α) f () =, < < στο =, =, = 7, < ηµ, < π β) f () =, = στο =, =, =, < < Συναρτήσεις µε πολλαπλό τύπο Παρουσιάζουν ενδιαφέρον όταν θέλου- µε να βρούµε όριο σε σηµείο αλλαγής τύπου (κρίσιµο σηµείο): Βρίσκουµε τα πλευρικά όρια στο α) Aν είναι ίσα, το όριο υπάρχει β) Aν είναι άνισα, το όριο δεν υπάρχει

4 Άσκηση 7Α ( ) α) β) δ) ε) ζ) η) 5-8 f ()-f()- - f()- - ι), αν f() = f()- γ) θ) 5 Συναρτήσεις µε απόλυτα Με ένα απόλυτο: α) Αν το µηδενίζει το απόλυτο, παίρνουµε πλευρικά όρια στο β) Αν το δεν µηδενίζει το απόλυτο, περιορίζουµε την συνάρτηση κοντά στο, και διώχνουµε το απόλυτο. Με δύο ή περισσότερα απόλυτα: Πρώτα η ενέργεια β) και µετά η α) Οµοίως εργαζόµαστε και σε απόλυτα που περιέχουν συναρτήσεις µε γνωστό όριο Άσκηση 8Α συν Να βρεθούν τα όρια α) ηµ β) συν γ) f() δ) Αν 6-6 f(), >, να βρεθεί το 9 9 ε) Αν f() f(), >-, να βρεθεί το f() Αν για κάθε : ηµ- f() ηµ f() να βρεθεί το ηµ ζ) Αν για κάθε είναι: ηµ f(), να βρείτε τα όρια i) f() ii) f()ηµ Τρεις συναρτήσεις (παρεµβολή) Αν δίνεται διπλή ανισοτική σχέση, κάνουµε χρήση του κριτηρίου παρεµβολής Μερικές φορές όταν έχουµε σχέση της µορφής f() g() δηµιουργούµε εµείς την διπλή ανισότητα, µε την γνωστή ιδιότητα των απολύτων τιµών Άσκηση 8Β α) Αν για κάθε : f() -, να βρεθεί το β) Αν για κάθε είναι f (), να βρεθεί το γ) i) Aν f () =, να δειχθεί f() = ii) Έστω η συνάρτηση g για την οποία [g () g()] f() f() =. Να υπολογίσετε το g()

5 Άσκηση 9Α α) e γ) ηµ ε) π π - ηµ ζ) ηµ ηµ(-) θ) 7 Άσκηση 9Β - α) ln - β) - - ηµ δ) συν5 εφ σφ5 ηµ(α ) -ηµ(α - ) η) ι) ( ηµ ) β) ln(e ) Όριο σύνθετης συνάρτησης Εφαρµόζεται συνήθως εκτός των άλλων: Σε τριγωνοµετρικά όρια που παίρνουν την µορφή ηµ(α) α Σε εκθετικά όρια e g() οπότε το όριο µεταφέρεται στον εκθέτη, Αλλαγή µεταβλητής-αντικατάσταση Κάνουµε αντικατάσταση στα δύσκολα όρια και ειδικότερα: Σε τριγωνοµετρικά όρια που έχουν και παραστάσεις του Όταν έχουµε πολλά ριζικά διαφορετικής τάξης. Αντικαθιστούµε y= κ g(), όπου κ είναι το Ε.Κ.Π. των δεικτών και g() η κοινή υ- πόριζη ποσότητα. Όταν έχουµε πολλές εκθετικές δυνάµεις-λογαριθµικές δυνάµεις. Φτιάχνουµε όλες τις δυνάµεις στη µορφή α και κάνουµε την αντικατάσταση y=µ (= η µικρότερη δύναµη) Άσκηση Α Να βρεθούν τα όρια ηµ ηµ α) β) - - δ) - ε) ηµ συν ηµ ζ) ( συν ) η) - ηµ Άσκηση Β α) ηµ συν δ ηµ ζ) 8 Να βρεθούν τα όρια β) συν ε) ηµ ηµ η) συν συν ηµ ι) (ηµ ) ια) -συν γ) εφ εφ θ) ηµ ηµ γ) ηµ ηµ θ) ηµ ιβ) ηµ ι) Τριγωνοµετρικά όρια Όταν υπάρχει απροσδιοριστία προσπαθούµε: Να µετασχηµατίσουµε κατάλληλα ώστε να εµφανίσουµε παραστάσεις της µορφής ηµ(λ) λ (ο παρονοµαστής να είναι ίδιος µε το τόξο) κ.τ.λ. Να κάνουµε αλλαγή µεταβλητής ώστε να πάρουµε γνωστό όριο Να χρησιµοποιήσουµε το κριτήριο παρεµβολής και τις γνωστές ιδιότητες ηµ, ηµ, αβ α β κ.τ.λ. Αν χρειαστεί βρίσκουµε το όριο τµηµατικά Άσκηση Α α)αν f() = να βρεθεί το f() [f () g()] = β) Αν [ f () g()] = f() f() γ) Αν = 5 να βρεθεί το να βρεθούν τα f(), g() Όριο της f από γνωστό όριο µιας άλλης παράστασης (χρήση βοηθητικής) Θέτουµε g() την δοσµένη παράσταση Λύνουµε ως προς f() και βρίσκουµε το όριο ηµf() δ) Αν =- να βρεθεί το f() -

6 Άσκηση Β f() α) Αν = l να βρεθεί το f() - f() f() -8 β) Αν = να βρεθεί το f() Άσκηση Α α) Έστω f: για την οποία ισχύει f(y)=f()f(y) για κάθε,y f() f() f() Aν = 9, να βρεθεί το β) Έστω f: για την οποία ισχύει f(y)=f()συνyf(y)συν,,y f() f()-f(α) Aν = δείξετε ότι = συνα για κάθε α α -α Συναρτησιακές σχέσεις Όταν ζητείται το f() α) Θέτουµε = h και γίνεται αλλαγή µεταβλητής:, h β) Στο ζητούµενο όριο γίνεται χρήση της ιδιότητας f() f( h) = h και της συναρτησιακής σχέσεως. Παραµετρικά όρια Άσκηση Α Να βρεθεί η τιµή των α, β ώστε η συνάρτηση α) f()= -αβ, < να έχει όριο στο και η C β-α, < f να διέρχεται από το Μ(,) -(α)α α β-, <, < β) f()= - να έχει f() =- γ) f()= -, << αβ, < β -α6, < Συναρτήσεις µε πολλαπλό τύπο Βρίσκουµε τα πλευρικά όρια στα κρίσιµα σηµεία και τα εξισώνουµε να έχει όριο στο =, = Άσκηση Α µ- α) Αν f()= βρεθεί το µ ώστε να υπάρχει στο το f() - α-β β) Αν = να βρεθούν τα α, β -α α γ) Για τις διάφορες τιµές του α να υπολογισθεί το - αβ- δ) Για τις διάφορες τιµές των α, β να υπολογισθεί το α ε) Αν f()=, α. Για ποιες τιµές του α είναι f() = ; -α Άσκηση Β α) Να βρεθεί το [(α -α) -α (α-)] β) Για τις διάφορες τιµές του µ να βρεθεί το όριο για τα διάφορα α (µ-) µ - (µ-) Εύρεση παραµέτρου για να υπάρχει το όριο Κάποιες τεχνικές: Θέτουµε l το όριο, λύνουµε τον τύπο της f ως προς.(αναλόγως) και παίρνουµε τα όρια (ασκ. Αα), συνεχίζουµε στο αρχικό όριο (ασκ. Αβ) Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη του τύπου κατάλληλα π.χ. µε / (ασκ. Βδ, Βε), ώστε να εξαλειφθεί η απροσδιοριστία και παίρνουµε τα όρια, συνεχίζουµε στο αρχικό όριο Ως γενική τεχνική: Κάνουµε την διερεύνηση του παραµετρικού ορίου αναλόγως µε την µορφή της συνάρτησης- ασκ. (Αγ, Αδ, Βα, Ββ, Βγ ) γ) Να βρεθεί το ( --λ) για τις διάφορες τιµές του α δ) Να βρεθούν οι παράµετροι α, β ώστε να είναι ε) Αν f()= -λµ να βρεθούν τα λ, µ ώστε ( --α-β)= f() =

7 f() f()λ- Αν f : (, ) και =5 και [f() 5] =, να βρείτε το λ ώστε f()-5 = ζ) Αν f : (, ) µε i) Nα βρείτε το f() f() = να βρείτε: f()α ii) Nα βρείτε το α, αν =