PETRA GROŠELJ MATEMATIČNE METODE ZA ŠTUDENTE BIOTEHNIŠKE FAKULTETE

Transcript

1 PETRA GROŠELJ MATEMATIČNE METODE ZA ŠTUDENTE BIOTEHNIŠKE FAKULTETE UNIVERZA V LJUBLJANI, BIOTEHNIŠKA FAKULTETA LJUBLJANA, 7

2 Avtorica: Petra Grošelj Naslov: Matematične metode za študente Biotehniške fakultete, univerzitetni učbenik Izdajatelj: Univerza v Ljubljani, Biotehniška fakulteta, Jamnikarjeva, Ljubljana Univerzitetni učbenik Matematične metode za študente Biotehniške fakultete avtorice doc. dr. Petre Grošelj, ki se uporablja kot učbenik za študente prvostopenjskega visokošolskega strokovnega študija Lesarsko inženirstvo pri predmetu Matematične metode, za študente prvostopenjskega univerzitetnega študija Gozdarstvo pri predmetu Kvantitativne metode, za študente prvostopenjskega visokošolskega strokovnega študija Kmetijstvo živinoreja in Kmetijstvo agronomija in hortikultura pri predmetu Matematični praktikum, za študente prvostopenjskega univerzitetnega študija Kmetijstvo zootehnika in Kmetijstvo agronomija pri predmetu Matematika in za študente prvostopenjskega univerzitetnega študija Živilstvo in prehrana pri predmetu Matematične metode, je izdan na podlagi sklepa dekana Biotehniške fakultete prof. dr. Mihe Humarja z dne Recenzenta: doc. dr. Boštjan Kuzman, doc. dr. Gregor Cigler Odgovorni in tehnični urednik: Petra Grošelj Leto izida: 7 URL: Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani COBISS.SI-ID986 ISBN (pdf)

3 Kazalo Enačbe in neenačbe 7. Eksponentne enačbe Logaritemske enačbe Absolutna vrednost Rešitve Zaporedja 7. Zaporedja Limite zaporedij Rešitve Obrestni račun. Obrestni račun Rešitve Naravna rast 9. Naravna rast Rešitve Funkcije 6 Odvod 5 6. Računanje odvodov Tangente Limite funkcij Analiza funkcij Ekstremalne naloge Rešitve Funkcije dveh spremenljivk 7 7. Funkcije dveh spremenljivk Metoda najmanjših kvadratov Rešitve Integral 5 8. Nedoločeni integral Določeni integral Ploščine in prostornine Rešitve Kombinatorika, verjetnost in slučajne spremenljivke 6

4 9. Kombinatorika in verjetnost Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov Diskretne slučajne spremenljivke Zvezne slučajne spremenljivke Rešitve Matrike in determinante 7. Računanje z matrikami Determinante Determinante Determinante Inverzne matrike Matrične enačbe Rešitve Sistemi linearnih enačb 8. Sistemi linearnih enačb Rešitve Vektorji 9. Vektorji Rešitve Linearno programiranje 97. Splošni linearni programi Proizvodni problemi Prehrambni problemi Transportni problemi Rešitve Teorija odločanja. Teorija odločanja Rešitve Mrežno planiranje 5. Mrežni plan Rešitve Stvarno kazalo 5

5 Uvod V učbeniku so obravnavana poglavja, ki jih na Biotehniški fakulteti obravnavamo pri matematičnih predmetih v. letniku študija. Učbenik se začne s ponovitvijo eksponentnih in logaritemskih enačb ter absolutne vrednosti. Zatem sledijo poglavja o zaporedjih, obrestnem računu in naravni rasti. Sklop o matematični analizi se začne s pregledom elementarnih funkcij, ki mu sledijo poglavja o odvodu, funkcijah dveh spremenljivk in integralu. Nato sledi poglavje o kombinatoriki, verjetnosti in slučajnih spremenljivkah. Sklop o linearni algebri sestavljajo matrike in determinante, sistemi linearnih enačb in vektorji. Učbenik se zaključi s poglavji iz operacijskih raziskav: linearnim programiranjem in teorijo odločanja ter poglavjem o mrežnem planiranju. Učbenik je namenjen predvsem študentom Biotehniške fakultete in se uporablja kot predpisano učno gradivo pri več matematičnih predmetih. Ker imajo podoben učni načrt matematike tudi na več drugih nematematičnih fakultetah, pa lahko učbenik s pridom uporabljajo tudi drugi študenti. Vsako poglavje se začne z uvodom, v katerem so predstavljeni osnovni matematični pojmi in formule, ki jih potrebujemo za reševanje nalog. Poleg tega je v uvodu nekaj podrobno rešenih zgledov. Zatem sledijo naloge za samostojno reševanje. Večino nalog so študenti v preteklih letih reševali na kolokvijih in izpitih. Na koncu vsakega poglavja so rešitve vseh nalog. Da bo reševanje nalog bolj učinkovito, naj si študenti pri reševanju pomagajo z zapiski predavanj in vaj, dovoljena pa je tudi uporaba kalkulatorja. Nekaj nalog je prispeval dr. Gregor Dolinar, asistent na Biotehniški fakulteti, s katerim že vrsto let dobro sodelujeva. Zahvaljujem se mu tudi za vso podporo in pomoč pri nastajanju tega učbenika. Hvala obema recenzentoma, ki sta učbenik strokovno pregledala in prispevala številne popravke, ki so pripomogli k izboljšavi učbenika. Za vse preostale napake nosim odgovornost sama in bom vesela vseh popravkov na petra.groselj@bf.uni-lj.si.

6

7 Enačbe in neenačbe Zgled Rešite eksponentno enačbo x+ x + x. Najprej izpostavimo člen z najmanjšim eksponentom. x ( + ) x (9 6 + ) x 7 x Ker sta osnovi na levi in desni strani enačaja enaki, morata biti enaka tudi eksponenta. x x Pravila za računanje s potencami: a, a a a, a a x a x, a a n n a, n N a x a y a x+y (a x ) y a xy a x a y x y Zgled Rešite logaritemsko enačbo log (x+) (x + 5). Najprej enačbo poenostavimo, tako da jo delimo z. log (x+) (x + 5) Nato enačbo antilogaritmiramo. x + 5 (x + ) x + 5 9x + 6x + 9x + 5x Za rešitev kvadratne enačbe imamo dve možnosti. Enačbo lahko razstavimo po Vietovem pravilu (x + )(9x ) ali pa uporabimo formulo za iskanje ničel kvadratne enačbe. D 5 9 ( ) 69, x, 5± Dobimo rešitvi: x, x 9. Za dobljeni rešitvi moramo preveriti, če je logaritem v začetni enačbi definiran, kar pomeni, da sta osnova in argument pozitivna in osnova ni enaka. Vrednost x ni rešitev, saj osnova logaritma v začetni enačbi ni pozitivna. Vrednost x 9 je rešitev. Pravila za računanje z logaritmi: log a x y x a y, a >, a log x logx log e x lnx log a a log a x + log a y log a (xy) log a x log a y log a ( x y ) log a x y ylog a x nova osnova: log a x log b x log b a Rešitev kvadratne enačbe: ax + bx + c x, b± D a, D b ac Zgled Rešite logaritemsko enačbo log x log (x ) log + log (x ). V prvem koraku vsa števila, ki so pred logaritmi, damo v eksponent argumenta. log x log (x ) log + log (x ) Nato upoštevamo pravili za vsoto in razliko logaritmov.

8 8 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete x log x log ((x )) Ker imata logaritma enako osnovo, lahko enačbo antilogaritmiramo. x x (x ) x (x 6)(x ) x 5x + 8 Za iskanje ničel kvadratne enačbe uporabimo Vietovo pravilo (x )(x 6) in dobimo x 6, x. Preizkusimo rešitvi: x 6 je rešitev, x ni rešitev, ker za x niso vsi argumenti v začetni enačbi pozitivni. Definicija { absolutne vrednosti: a, če je a a a, če je a < Zgled: 5 5 in. Lastnosti absolutne vrednosti: a a a a b b a a b a b a b a b trikotniška neenakost: a + b a + b Zgled Rešite enačbo x x 6. Najprej enačbo poenostavimo. x + x Predznak izraza v absolutni vrednosti se spremeni v točki, kjer je izraz enak, zato enačbo z eno absolutno vrednostjo rešujemo na dveh intervalih. + x < x Najprej rešimo enačbo za x <. Tam je izraz znotraj absolutne vrednosti negativen, zato mu spremenimo predznak, ko upoštevamo definicijo absolutne vrednosti. (x + ) x x x x Dobimo x >, zato to ni rešitev. Zdaj rešimo enačbo še za x. Tam je izraz znotraj absolutne vrednosti pozitiven, zato mu ne spremenimo predznaka, ko upoštevamo definicijo absolutne vrednosti. x + x x 5 Dobimo x 5, ki je rešitev. Nalogo lahko rešimo tudi grafično, tako da narišemo grafa leve in desne strani enačbe. Presečišča obeh grafov so rešitve enačbe. Zgled 5 Rešite neenačbo x + 5 > x. Najprej enačbo poenostavimo. x + 5 > x + Neenačbo z eno absolutno vrednostjo prav tako kot enačbo rešujemo na dveh intervalih. 5 + x < 5 x 5 Najprej rešimo neenačbo za x < 5. Pri tem izrazu znotraj absolutne vrednosti spremenimo predznak, saj je na tem intervalu negativen. (x + 5) > x +

9 Enačbe in neenačbe 9 5x > 6 Neenačbo delimo z 5, zato se neenačaj obrne. Neenačaj se obrne, kadar neenačbo množimo ali delimo z negativnim številom. x < 6 5 Ker je 5 < 5 6 (, je rešitev zgolj interval, 5 ). Zdaj rešimo neenačbo še za x 5. Na tem intervalu je izraz znotraj absolutne vrednosti pozitiven, zato mu ne spremenimo predznaka. x + 5 > x + x > Neenačbo delimo z, zato se neenačaj spet obrne. x < Rešitev je interval [ 5,). Končna rešitev neenačbe je unija rešitev na obeh intervalih. x (,) Tudi neenačbo lahko rešimo grafično. Rešitev neenačbe je interval, na katerem graf leve strani neenačbe y x + 5 leži nad grafom desne strani neenačbe y x +. Grafična rešitev zgleda : Grafična rešitev zgleda 5: 5 y x 5 y x + 5 y x y x Eksponentne enačbe. Rešite naslednje eksponentne enačbe. (a) 6 x+ 6 x+ 6 x 8 (b) x+ + 5 x+ + x 7 (c) 6 x+ 8 6 x 6 x 8 (d) 5 x+ 5 x x 765 (e) x+ + x+ + 7 x 68 (f) x+ x+ x (g) x+ x+ 5 x 8 (h) x+ + x + x 7 (i) x+ 5 x + x 8 (j) x+ x 5 x (k) x+ + 5 x+ x 6 (l) x+ + 5 x+ 6 x (m) x 6 x x 6 (n) x+ x + 6 x (o) 7 x+ 7 x+ 5 7 x 7889 (p) x+ + 5 x + x 5

10 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete. Logaritemske enačbe. Rešite naslednje logaritemske enačbe in preverite, če je dobljeni rezultat res rešitev. (a) log x (x + x 6) (b) log (x+) (x + 9x + 5) (c) log x (x + x 9) (d) log (x+) (x + x + 6) (e) log (x) (x + x 8x ) (f) log (x+) (x + x + x 57) (g) log (x+) (x + 7x + 5) (h) log (x ) (x + ). Rešite naslednje logaritemske enačbe in preverite, če je dobljeni rezultat res rešitev. (a) log 6 (x ) + log 6 (x ) log 6 + log 6 (x + 5) (b) log (x + ) + log (x ) log + log (6 x) (c) log (x + ) + log (x + 6) log x + log (x + 9) (d) log (x + ) log (x + ) log (x) log (x ) (e) log (x 5) log (x ) log (x + ) log (x ) (f) log(x ) log(x ) log(x + ) log(x + ) (g) log (x + ) log x log (x + ) log (x ) (h) log (x ) log (x + 5) log (x + ) log x (i) log + log(x + ) log(x ) logx (j) ln + ln(x ) ln(x + ) lnx ln (k) logx log(x ) log + log(x ) (l) log 5 (x + ) + log 5 (x + ) log 5 (x ) + log 5 (x ) (m) log(x ) log(x + ) log(x ) log(x) (n) log(x ) log(x + ) log(x ) logx (o) log(x ) logx log(x 5) (p) log(x ) + log log(x + ) log(x + 5) (q) log 5 (x + ) + log 5 (x ) log 5 (x + ) + log 5 x (r) log(x ) log(x + 7) log(x ) log(x). Absolutna vrednost. Rešite enačbe z absolutnimi vrednostmi. (a) x x + 6 x + (b) x + x + (c) + x + x + (d) x + x 5 (e) x + x + x + (f) x 6 x x 5. Rešite neenačbe z absolutnimi vrednostmi. (a) x + x x + 5 (b) x + x x + (c) x 5 + x 5x (d) x + x > x 6 (e) x 5 + x > x 6 x+5 (f) x 6. Rešite enačbe z absolutnimi vrednostmi. (a) x 5 x (b) x + x + (c) x x 6 (d) x + x + 5

11 Enačbe in neenačbe. Rešitve.(a) 6 x (6 6 ) 8 6 x (6 8 ) 8 6 x x 6 x x (b) x ( ) 7 x 7 7 x x (c) 6 x ( ) 8 6 x x 6 6 x 6 x (d) 5 x ( ) x x 5 5 x (e) x ( + + 7) 68 x 7 68 x x (f) x ( ) x, x (g) x ( 5) 8 x 6, x (h) x ( + + ) 7 x, x, x (i) x ( 5 + ) 8, x (j) x ( 5), x (k) x ( + 5 ) 6, x (l) x ( + 5 6), x (m) x ( 6 ) 6, x (n) x ( + 6), x (o) 7 x (7 7 5) 7889, x (p) x ( ) 5, x.(a) x + x 6 x x 6, x (b) x + 9x + 5 (x + ) x + 9x + 5 x + 6x + 9 x + x (x + )(x ) x ni rešitev, x je rešitev. (c) x + x 9 x x (d) x + x + 6 (x + ) x (e) x + x 8x (x) x 7x 8x x (x 8)(x + ) x ni rešitev, x 8 je rešitev, x ni rešitev. (f) x + x + x 57 (x + ) x + x + x 57 x + 9x + 7x + 7 6x x 8 6(x + x + ) D <, zato enačba nima rešitve. (g) x + 7x + 5 (x + ) x + 7x + 5 x + x + x + x + x x x (x + ) (x + ) (x )(x + ) (x )(x + )(x + ) x je rešitev, x ni rešitev, x ni rešitev. (h) x + (x ) (x )(x + ) x.(a) log 6 ((x )(x )) log 6 ((x + 5)) (x )(x ) (x + 5) x x x + x + x 6x 7 (x 9)(x + ) x 9 je rešitev, x ni rešitev. (b) log ((x + )(x )) log ((6 x)) (x + )(x ) (6 x) x 8x + 6x 5 x x 6 / : x 6 (x )(x + ) x je rešitev, x ni rešitev. (c) log ((x + )(x + 6)) log (x(x + 9)) (x + )(x + 6) x(x + 9) x + 8x + x + 9x x (d) log x+ x+ log x x

12 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete x+ x+ x x x + 6x x x + 8x x ni rešitev. x 5 (e) log x log x+ x x 5 x x+ x x 6x + 5 x x + 6x 7 (x + 7)(x ) x 7 ni rešitev, x ni rešitev. (f) log x x x x x+ x+ log x+ x+ (x )(x + ) (x )(x + ) x x 5x 5x x 5 ni rešitev. x + x + (g) log log x x x + x + x x (x + )(x ) (x + )x x 6, x ni rešitev. x (h) log x + 5 log x + x x x + 5 x + x (x )x (x + )(x + 5) x 5, x ni rešitev. (i) log((x + )) log (x ) x (x + ) (x ) x x + 8x 9 (x + 9)(x ) x 9, x nista rešitvi. (j) ln((x )) ln (x+) x (x ) (x+) x x 8x 9 (x 9)(x + ), x 9 je rešitev, x ni rešitev. (k) log x log((x )) x x x (x ) x x + 6 (x 8)(x 8) x 8 ni rešitev, x 8 je rešitev. (l) log 5 ((x + )(x + )) log 5 ((x )(x )) (x + )(x + ) (x )(x ) x ni rešitev. (m) log x+ x x x+ x x x log x x (n) log x x x+ log x x x+ x x x + nima rešitve. (o) log (x ) x log(x 5) (x ) x x 5 x 9 (p) log(x ) log (x+) x+5, x 9 (q) log 5 ((x + )(x )) log 5 ((x + )x) x ni rešitev. (r) log x+7 x x log x x 7.(a) x x + 6 Enačbo rešujemo na dveh intervalih: x < x 6 ) x < 6 x (x + 6) x ni rešitev. ) x 6 x x + 6 x je rešitev. Grafična rešitev a: y x 8 6 y x + 6 Grafična rešitev b: 5 y x y x

13 Enačbe in neenačbe (b) x + x + 7 Enačbo rešujemo na dveh intervalih: + x < x ) x < (x + ) x + 7 x 8 ) x x + x + 7 x 6 (c) Enačbo rešujemo na dveh intervalih: x < + x ) x < (x + ) x + x 8 ) x + x + x + x Grafična rešitev c: y + x y x (d) ) x < x + + x 5 x (e) ) x < x x + x + x + 6x + 5 (x + 5)(x + ) x 5 je rešitev, x ni rešitev. (f) ) x < x + 6 x x x x 6 (x )(x + ) x ni rešitev, x je rešitev. ) x x + x 5 x To ni rešitev. ) x x + x + x + x + x (x + )(x ) x ni rešitev, x je rešitev. ) x x 6 x x x 5x + 6 (x )(x ) x je rešitev, x ni rešitev. 5.(a) x x + 5 Neenačbo rešujemo na dveh intervalih: + x < x ) x < (x ) x + 5 x 5 Rešitev: x [ 5, )

14 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete ) x x x + 5 x 6 Rešitev: x [, ) Končna rešitev: x [ 5, ) Grafična rešitev 5a: Grafična rešitev 5b: 8 6 y x + 5 y x y x + y x (b) x + x + x < ) x < (x + ) x + x Rešitev: x (, ) Končna rešitev: x (, ] + x ) x x + x + x Rešitev: x [, ] (c) ) x 5 x 5 + x 5x x x [ 5, ) Končna rešitev: x [, ) ) x < 5 x x 5x x x [, 5 ) (d) ) x x + x > x 6 x < x [, ) Končna rešitev: x [, ) ) x < x x > x 6 x < 7 x [, ) (e) ) x 5 x 5 + x > x 6 x > x [ 5, ) Končna rešitev: x (, ) ) x < 5 x x > x 6 x < x [, 5 ) (f) x + 5 x, x ) x < x + 5 x + x 7 ) x > x + 5 x x 7 x (, ] 7 [ 7, ) 6.(a) Enačbo z dvema absolutnima vrednostima rešujemo na treh intervalih: x < x < 5 x 5

15 Enačbe in neenačbe 5 ) x < (x 5) (x + ) + 5 x je rešitev. ) x < 5 (x 5) x x 5 je rešitev. ) x 5 x 5 x x ni rešitev. Grafična rešitev 6a: 8 y x y x (b) Enačbo rešujemo na treh intervalih: + + x < x < x ) x < (x + ) + (x + ) x ni rešitev. (c) ) x < x + x + 6 x ni rešitev. ) x < x + + (x + ) x ni rešitev. ) x < x x + 6 x 8 je rešitev. ) x x + (x + ) x ni rešitev. ) x x x 6 x je rešitev. (d) ) x < (x ) (x + ) 5 x 7 ni rešitev. ) x < (x ) + x + 5 x je rešitev. ) x x + x + 5 x je rešitev.

16

17 Zaporedja Zgled Zapišite prvih pet členov zaporedja a n n, narišite graf zaporedja in ugotovite, ali je zaporedje monotono in n + omejeno. Izračunajmo prvih pet členov zaporedja in narišimo graf zaporedja. a 5, a, a 9, a 7, a Zaporedje je navzdol omejeno, če obstaja realno število A, da so vsi členi zaporedja večji ali enaki A: a n A za vsak indeks n. A imenujemo spodnja meja zaporedja. Največjo med spodnjimi mejami imenujemo natančna spodnja meja (infimum) in jo označimo z m ali infa n..5 5 n Zaporedje je navzgor omejeno, če obstaja realno število B, da so vsi členi zaporedja manjši ali enaki B: a n B za vsak indeks n. B imenujemo zgornja meja zaporedja. Najmanjšo med zgornjimi mejami imenujemo natančna zgornja meja (supremum) in jo označimo z M ali supa n. Zaporedje je omejeno, če je navzdol in navzgor omejeno. Dokažimo, da je zaporedje naraščajoče, tako da pokažemo, da je a n+ a n oziroma a n+ a n za vsak n N. a n+ a n (n+) (n+)+ n+ n n+ n+5 n+ n (n+)(n+) n(n+5) (n+5)(n+) n +n+n+ (n +5n) > za vsak n N (n+5)(n+) (n+5)(n+) Iz grafa razberemo, da je natančna spodnja meja zaporedja enaka prvemu členu zaporedja: m a 5. Natančna zgornja meja zaporedja je enaka limiti zaporedja, saj so vsi členi n zaporedja manjši od limite: M lim n n +. Ker ima zaporedje obe meji, je omejeno. Zgled Izračunajte limito zaporedja: n + 9n lim + n n n + 6n n. Pri računanju limite v obliki ulomka najprej določimo najvišjo stopnjo, s katero nastopa člen n v števcu in imenovalcu. Če računamo limito ulomka polinomov, velja: ) Če je stopnja, s katero nastopa n v imenovalcu, večja, je limita zaporedja enaka. n + Zgled: lim n n ) Če je stopnja, s katero nastopa n v števcu, večja, je limita zaporedja enaka ±. Zaporedje je monotono, če je naraščajoče ali padajoče. Zaporedje je naraščajoče, če velja a n+ a n za vsak n N. Zaporedje je padajoče, če velja a n+ a n za vsak n N Zgled naraščajočega zaporedja. n

18 8 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete Zgled: lim n n n n Zgled padajočega zaporedja Zgled zaporedja, ki ni monotono. Če sta zaporedji s splošnima členoma a n in b n konvergentni, velja: lim (a n + b n ) lim a n + lim b n n n n lim (a n b n ) lim a n lim b n n n n lim (a n b n ) lim a n lim b n n n n Če je b n in lim b n, potem n a n velja lim lim n a n. n b n lim n b n lim n n lim n an, če je < a < n k lim, če je k R in a > n an n ) Če sta najvišji stopnji števca in imenovalca enaki, je limita zaporedja enaka količniku vodilnih koeficientov pri členih najvišjih stopenj. n + Zgled: lim n 5n 5 Pri bolj zapletenih ulomkih pri enakih stopnjah števca in imenovalca delimo števec in imenovalec z najvišjo stopnjo n. V našem primeru sta stopnji števca in imenovalca enaki, zato števec in imenovalec delimo z n. (Pazite! n n ) n + 9n lim + n n n + 6n / : n n / : n lim n n n + n n n + n lim n n n 9n n + n n n n n n 9 + n n + 6 n n n Zgled Izračunajte limito zaporedja lim n ( ) n n n + n. Limito razlike pretvorimo v limito ulomka, tako da števec in imenovalec pomnožimo z vsoto korenov in upoštevamo pravilo za razliko kvadratov a b (a b)(a + b). ( ) lim n n n + n n ( n n )( n n + n n + n + n) lim n n n + n + n n n (n + n) lim n n n + n + n 7n lim n n n + / : n n + n / : n 7n lim n n n n n + + n n n n n 7 lim n 7 n + + n n n+ + n Zgled Izračunajte limito zaporedja lim n n + n. Pri limiti, kjer n nastopa v eksponentu, najprej poskrbimo, da je povsod v eksponentu le n (in ne npr. n), nato pa števec in imenovalec delimo z a n, kjer je a največja osnova, ki nastopa v izrazu. n n+ + n n + n lim n n n + n / : n lim n n + n / : n ( 8 ) n + n lim n n

19 Zaporedja 9. Zaporedja. Zapišite prvih pet členov zaporedja, ki je podano s splošnim členom, narišite njegov graf in ugotovite, ali je zaporedje monotono in omejeno. Izračunajte še limito zaporedja, če obstaja. (a) a n 6n n + (b) a n n (c) a n n n 5 (d) a n n + n + (e) a n n (f) a n n + 5 n (g) a n n n + (h) a n ( )n n n (i) a n n n (j) a n n+ 8 n. Limite zaporedij. Izračunajte limite zaporedij: n + n (a) lim n n n + n n n + n (b) lim n + 5 n n + + 6n + n + + 5n (c) lim n n + n n + (n + ) + 9n + 5n (d) lim + 7 n n + 5n + n + 6 n + n (e) lim + 5 n n 5 n 6n + 5n n n + n n (f) lim 5n + n n + 6n + n (g) lim n + n + 5 n n + 5 n n (n )n n (h) lim 5n + n n n + n + (n ). Izračunajte limite zaporedij: (a) (b) (c) ( lim n + n n lim ( n + n n lim ( 9n 9n n ) n n n ) n ) n + n (i) lim + n + (n + ) n 9n 5n + 5 n(n + ) 5n (j) lim 6n + 7 n n n + 5 n + 6n (k) lim n + 5n 5n n n + n n + n n (l) lim n + n + n + 5 n n n + + n + n n + n + n (m) lim + n + n n + 5 n + 5n (n) lim + n + + n + n + n n + + n + n (o) lim n + + 6n + n n + 5n n 8n + 5n (p) lim n n n n + + n n + n (d) lim ( n + 5n n + n ) n (e) lim ( n + 5 n + n + ) n (f) lim ( n n + n 6) n. Izračunajte limite zaporedij: (a) (b) 5 n+ + n + 6n lim n n + 5 n n n 6 n lim n 7 n + 5 n+ (c) (d) n+ + 5 n+ lim n n + 7 n+ + n + n n+ + n lim n n + 5 n+ + n

20 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete. Rešitve Slika : a, zaporedje a n 5 n 6n n+. Slika : b, zaporedje a n n. 5 Slika : c, zaporedje a n 5 n n n n 5. Slika : d, zaporedje a n n+ n+. 5 Slika : e, zaporedje a n n. n n.(a) a 5 6, a 7, a, a, a 5 Zaporedje je omejeno: m a 5 6, M lim 6n n n + 6. a n+ a n 6(n+) (n+)+ n+ 6n 6n+6 n+5 n+ 6n (6n+6)(n+) 6n(n+5) 8 > za vsak n N, zato je zaporedje naraščajoče. (n+5)(n+) (b) a, a, a 6, a, a 5 (n+5)(n+) Zaporedje ni omejeno: m a, nima zgornje meje. a n+ a n ((n + ) ) (n ) n + > za vsak n N, zato je zaporedje naraščajoče. Zaporedje nima limite. (c) a, a, a, a 8 7, a 5 Zaporedje je omejeno: m a, M a. n Zaporedje ni monotono, lim n n 5. (d) a 5, a 7, a 9, a 5, a 5 6 Zaporedje je omejeno: m a 5, M lim n + n n +. a n+ a n (n+)+ (n+)+ n+ n+ > za vsak n N, zato je (n+5)(n+) zaporedje naraščajoče. (e) a, a, a 7, a 5, a 5 Zaporedje je omejeno: m lim n n, M a. a n+ a n (n+) n < za vsak n N, zato je (n+)(n ) zaporedje padajoče. (f) a 6, a 9, a 9, a 6, a n Zaporedje je omejeno: m + 5 lim n n, M a 6. a n+ a n (n+) +5 n +5 n 5 < (n+) n (n+) n za vsak n N, zato je zaporedje padajoče. (g) a, a, a 7, a 8, a 5 7 a n+ a n (n+) (n+)+ n+ n > za vsak n N, zato je (n+6)(n+) zaporedje naraščajoče. Zaporedje je omejeno: m a, M lim n n n +. (h) a, a, a, a 6 5, a Zaporedje je neomejeno, ni monotono in nima limite. (i) a, a, a 5 7, a 5, a 5 9 Zaporedje je omejeno: m a, M a. Zaporedje ni monotono. n lim n n (j) a, a 9 9, a 7 7, a 5 8, a 5 7 Zaporedje je omejeno: m a, M lim n+ 8 n n. a n+ a n n+ 8 n+ 8 n+ n 6 > n+ za vsak n N, zato je zaporedje naraščajoče. n + n.(a) lim n / : n n n n + n n / : n lim + n n n n n n n + n n n n n

21 Zaporedja + n lim n + n n + + n n + n (b) lim n n n + 5 n n + + / : n 6n + / : n lim n + n + 5 n n n n n n + n + 6n + n n + n + 5 n lim + 5 n + n + 6 n + n n n + + 5n / : n (c) lim n n + n n + / : n lim + + 5n n n n n n n + n n n n n + n n lim n 7 n + + n n (n + ) + 9n + 5n (d) lim + 7 n n + 5n + n + 6 n + n + + 9n + 5n lim + 7 / : n n n + 5n + n + 6 / : n + n n lim n n n n n n n + n (e) lim + 5 n n 5 / : n n 6n + 5n n / : n n lim n n 5 n n n n n n + n n (f) lim 5n + / : n n n + 6n + / : n Slika : f, zaporedje a n n +5 n. 5 Slika : g, zaporedje a n n n+. 5 n n n + n 5 + n lim n n + 6 n + n n (g) lim n + n + 5 n n + 5 / : n n n / : n (h) n n lim n n n n n (n )n n lim 5n + n n n + n + (n ) n n n lim 5n + n n n + n + n n + (i) n 5 n n lim n + + n n n + n n + n lim + n + (n + ) n 9n 5n + 5 n(n + ) n + n lim + n + n + n + n 9n 5n + 5 n n + n + + n lim n + n n 9 5 n + 5 n n 5 / : n / : n / : n / : n Slika : h, zaporedje a n ( )n n n. 5 Slika : i, zaporedje a n n n. n

22 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete 5n (j) lim 6n + 7 n n n + 5 / : n n + / : n 6n (k) lim n + 5n 5n n n + n / : n n + n / : n n (l) lim n + n + n + 5 n n n + + / : n n + n / : n 5 n n + n + n (m) lim + n + / : n n n + 5 / : n Slika : j, zaporedje a n n+ 8 n. n + 5n (n) lim + n + + n + n + n n + + / : n n + / : n n (o) lim n + + 6n + / : n n n + 5n n / : n 8n + 5n (p) lim n n n n + + / : n 8 n n + n / : n ( n + n )( n n n + n + n n).(a) lim n n + n + n + n (n n) lim n n n n + n + n n 5n lim n n + n + / : n n n / : n lim 5 n 5 + n + n ( n + n n (b) lim )( n + n + n ) n n + n + n + lim n n n + n + / : n n / : n + ( 9n (c) lim 9n n )( 9n 9n + n ) n 9n 9n + 9n 9n + lim n n 9n 9n + n, saj je st. števca > st. imenovalca. ( n (d) lim + 5n n + n )( n + 5n + n + n ) n n + 5n + n lim n + n n n + 5n + / : n n + n / : n lim n n n (e) ( n lim + 5 n + n + )( n n + n + ) n n n + n + ( n n + n 6)( n n + + n 6) (f) lim n n n + + n 6 5 n 5 + n + 6n / : 5 n.(a) lim n n + 5 n 5 n / : 5 n lim + ( 5 ) n + 6n 5 n n ( ) n ( ) n n 6 n / : 6 n (b) lim n 7 n n / : 6 n lim ( ) 6 n ( 6 n 7 ) n (c) (d) 7 n + 5 n 5 / : 7 n lim n 6 n + 7 n 7 + n + n / : 7 n + 6 n + 9 n lim n 6 n + 5n 5 + n / : 6 n / : 6 n

23 Obrestni račun Če so obresti premo sorazmerne z dolžino obrestovanja, govorimo o navadnem obrestnem računu. Pri tem se vedno obrestuje le začetna glavnica G, zato so obresti v vseh kapitalizacijskih obdobjih enake. Glavnica narašča linearno in tvori aritmetično zaporedje. Naraščanje glavnice pri navadnem Naraščanje glavnice pri obrestno obrestnem obrestnem računu: računu: G G 5 6 leta 5 6 leta Pri obrestno obrestnem računu se obresti ob koncu kapitalizacijske dobe pripišejo glavnici in v naslednjem obdobju se obrestuje višja glavnica, zato so tudi obresti višje. Glavnica raste kot eksponentna funkcija in tvori geometrijsko zaporedje. Zgled Na začetku leta smo imeli na računu 8. evrov. Takrat smo začeli na račun konec vsakega leta polagati. evrov. Koliko bomo imeli na računu po pologu čez let? Letna obrestna mera je %. G a a a a a a a a a a G + S Obresti so nadomestilo za uporabo določenega denarnega zneska, glavnice, ki ga posojilodajalec za določen čas posodi posojilojemalcu. Navadni obrestni račun: G n G + no G + n G p G n glavnica po n obdobjih G začetna glavnica n število obrestovalnih obdobij o obresti v enem obrestovalnem obdobju p obrestna mera Obrestno obrestni račun: G n G q n q obrestovalni faktor q + p Obroke lahko vlagamo (varčevanje), dobivamo (renta) ali plačujemo (kredit) na začetku vsake kapitalizacijske dobe (leta, meseca,...) (prenumerandno) ali na koncu vsake kapitalizacijske dobe (postnumerandno). Vsota n obrokov skupaj z obrestmi, pri čemer je višina obroka enaka a, znaša: prenumerandno: S n aq qn q postnumerandno: S n a qn q Najprej izpišemo podatke G 8.e, a e, n let, p % in izračunamo letni obrestovalni faktor q + p +,. Nato izračunamo, koliko denarja bomo imeli iz začetne glavnice čez let. G G q 8., 8.9,5e Zatem izračunamo, koliko denarja nam bodo prinesli položeni obroki. To je postnumerandno varčevanje. S a q q.,, 8.,e Skupaj bomo na računu imeli G + S 66. evrov. Izračun mesečne obrestne mere iz letne obrestne mere: relativni način: p m p l konformni način: p m p l Zgled V banki smo. julija vzeli. evrov kredita. Kredit smo odplačali v enakih mesečnih obrokih. Prvi obrok smo plačali konec avgusta. Koliko znaša obrok, če je letna obrestna mera 7%, kapitalizacija mesečna in banka uporablja konformno obrestno mero?

24 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete G a a a a a a a a a a jul avg sep okt nov dec jan feb mar apr maj Najprej izpišemo podatke G.e, n mesecev, p l 7% in izračunamo letni obrestovalni faktor. q l + 7,7 Ker imamo mesečne obroke, moramo uporabiti mesečno obrestno mero, ki jo izračunamo na konformni način. q m q l,7,565 Odplačati moramo glavnico in obresti. Glavnica se bo do konca maja obrestovala -krat. G G q.,565.76,7e To je postnumerandno odplačevanje kredita, pri katerem imamo obrokov. G S a q m q m a S (q m ) 76,7 (,565 ), e q m,565 Obrok kredita bo znašal, evrov. Zgled Konec vsakega meseca bomo na račun položili 5 evrov. Koliko mesecev bomo morali varčevati, da bomo privarčevali. evrov, če nam banka obračunava obresti po obrestno obrestnem računu z mesečno obrestno mero, 5%? (Banke v resnici nimajo tako visokih obresti.) a a a a a S n Izpišemo podatke: a 5e, S n. e, p,5% in izračunamo obrestovalni faktor q,5. To je postnumerandno vlaganje. S n a qn q Iz enačbe želimo izraziti n. S n (q ) a q n q n S n(q ) a ( + ) n Sn (q ) log q a + Osnovo lahko zamenjamo v desetiško. ( ) ( ) Sn(q ) a + logq log. (,5 ) 5 + n log log,5 57, 7 Varčevati bomo morali 57,7 mesecev.. Obrestni račun. Osemkrat smo na začetku vsakega meseca položili na bančni račun enak obrok, tako da smo konec osmega meseca imeli na računu. evrov. Banka uporablja obrestno obrestni račun z letno obrestno mero %, mesečno kapitalizacijo in relativnim obrestovanjem. (a) Izračunajte mesečno obrestno mero. (b) Izračunajte višino obroka.. V banki smo vložili. evrov. Po nekaj letih smo imeli na računu. evrov. Koliko let smo varčevali, če banka obračunava obresti po obrestno obrestnem računu z letno obrestno mero %?. Od banke smo si sposodili. evrov pri letni obrestni meri 9%. Prvi obrok bomo vrnili na koncu meseca po prejemu kredita. Kredit bomo vračali v mesečnih obrokih. Koliko znaša obrok, (a) če bomo kredit vrnili v 5 obrokih pri konformnem obrestovanju; (b) če bomo kredit vrnili v 6 obrokih pri relativnem obrestovanju?

25 Obrestni račun 5. Devetkrat smo na koncu vsakega meseca položili na bančni račun enak obrok, tako da smo po pologu konec devetega meseca imeli na računu. evrov. Banka uporablja obrestno obrestni račun z letno obrestno mero 8%, mesečno kapitalizacijo in relativnim obrestovanjem. (a) Izračunajte mesečno obrestno mero. (b) Izračunajte višino obroka.. Na začetku leta smo imeli na računu. evrov. Takrat smo začeli na račun konec vsakega leta polagati evrov. Koliko bomo imeli na računu po pologu čez 5 let? Letna obrestna mera je 6%. 5. Sedemkrat smo na začetku vsakega meseca položili na bančni račun enak obrok, tako da smo konec sedmega meseca imeli na računu. evrov. Banka uporablja obrestno obrestni račun z letno obrestno mero 5%, mesečno kapitalizacijo in relativnim obrestovanjem. (a) Izračunajte mesečno obrestno mero. (b) Izračunajte višino obroka. 6. V banki najamemo 5. evrov kredita. Začnemo ga odplačevati čez 6 mesecev in ga nato odplačamo v enakih mesečnih obrokih. Odplačevanje je postnumerandno, banka pa uporablja obrestno obrestni račun. Kolikšen je obrok, če je letna obrestna mera 8%, obrestovanje relativno in kapitalizacija mesečna? 7. Devetkrat smo na koncu vsakega meseca položili na bančni račun enak obrok, tako da smo po pologu konec devetega meseca imeli na računu. evrov. Banka uporablja obrestno obrestni račun z letno obrestno mero 7%, mesečno kapitalizacijo in relativnim obrestovanjem. (a) Izračunajte mesečno obrestno mero. (b) Izračunajte višino obroka. 8. V banki ste mesecev zaporedoma na začetku vsakega meseca vložili 8 evrov. Banka obrestuje po obrestno obrestnem računu z letno obrestno mero 6%. Koliko znaša relativna mesečna obrestna mera? Izračunajte, koliko boste imeli na računu na koncu štiridesetega meseca. 9. Sposodili smo si. evrov, ki jih bomo vrnili čez mesecev. Koliko bomo morali vrniti pri letni obrestni meri 8%, če je obrestovanje relativno, kapitalizacija mesečna in uporabljamo obrestno obrestni račun?. Na računu imamo 5. evrov. Konec vsakega meseca bomo mesecev dobivali rento. Koliko bo znašala renta, če je mesečna obrestna mera, 55%, pripis obresti je mesečen, obresti pa se računajo po obrestno obrestnem računu?. Na varčevalni račun bomo vsak mesec položili evrov. Koliko mesecev bomo morali varčevati, če želimo po zadnjem pologu imeti na računu 5. evrov. Letna obrestna mera je 5%, pripis obresti je mesečen, obrestovanje pa relativno.. V banki smo. januarja vzeli 5 evrov kredita. Kredit bomo odplačali v 9 enakih mesečnih obrokih. Prvi obrok smo plačali konec marca. Koliko znaša obrok, če je letna obrestna mera 6%, kapitalizacija mesečna in banka uporablja konformno obrestno mero?. Na bančni račun smo ob koncu vsakega meseca položili evrov. Mesečna obrestna mera je,%. Čez koliko časa bodo naši prihranki prvič presegli 5 evrov, če je kapitalizacija mesečna?. V banki smo si sposodili. evrov pri letni obrestni meri %. Prvi obrok bomo vrnili na koncu meseca po prejemu kredita. Kredit bomo vračali v mesečnih obrokih. Koliko znaša obrok, (a) če bomo kredit vrnili v obrokih pri konformnem obrestovanju; (b) če bomo kredit vrnili v 5 obrokih pri relativnem obrestovanju? 5. V banki smo. januarja vzeli. evrov kredita. Kredit bomo odplačali v enakih mesečnih obrokih. Prvi obrok smo plačali konec februarja. Koliko znaša obrok, če je letna obrestna mera 7%, kapitalizacija mesečna in banka uporablja konformno obrestno mero? 6. V začetku leta 7 smo na bančnem računu imeli. evrov. Takrat smo začeli z računa na koncu vsakega leta dvigovati. evrov. Koliko bomo imeli na računu po dvigu konec leta, če banka uporablja obrestno obrestni račun, letna obrestna mera je 5%, pripis obresti pa leten? 7. V banki smo si sposodili. evrov, ki jih bomo vrnili čez 6 mesecev pri mesečni kapitalizaciji. Koliko bomo vrnili pri letni obrestni meri 6%, če je obrestovanje (a) relativno; (b) konformno?

26 6 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete 8. Odločili smo se, da bomo desetkrat na koncu vsakega meseca položili na bančni račun enak znesek, tako da bomo po zadnjem pologu imeli na računu 5. evrov. Banka nam vloge obrestuje po obrestno obrestnem računu z letno obrestno mero 6% in mesečno kapitalizacijo na konformni način. Kolikšen naj bo naš obrok? 9. Na varčevalni račun bomo vsak mesec položili evrov. Koliko mesecev bomo morali varčevati, če želimo po zadnjem pologu imeti na računu. evrov? Letna obrestna mera je 8%, pripis obresti je mesečen, obrestovanje pa relativno.. Na računu imamo. evrov. Konec vsakega meseca (-krat) bomo nanj položili evrov. Koliko bomo imeli na računu po zadnjem pologu, če je pripis obresti mesečen? Obresti se obračunavajo po obrestno obrestnem računu na konformni način. Letna obrestna mera je 5%.. V banki smo vzeli.5 evrov kredita, ki ga bomo odplačali v osmih mesečnih obrokih. Prvi obrok bomo vrnili konec meseca po prejemu kredita. Letna obrestna mera je 6%, obrestovanje relativno, banka pa uporablja obrestno obrestni račun. (a) Izračunajte mesečno obrestno mero. (b) Izračunajte, koliko bo znašal obrok.. Vsak mesec bomo na račun položili enak znesek. Prvi obrok bomo položili konec avgusta, zadnji pa konec decembra. S privarčevanim denarjem si bomo kupili avto, zato želimo imeti konec decembra na računu. evrov. Kolikšen naj bo naš obrok, da bomo dosegli zastavljeni cilj, če nam banka obrestuje vloge po obrestno obrestnem računu z mesečno obrestno mero, 5%?. V banki smo vzeli. evrov kredita, ki ga bomo vrnili v enakih mesečnih obrokih. Prvi obrok bomo plačali na koncu meseca po prejemu kredita. Izračunajte višino obroka, če je mesečna obrestna mera, 5% in banka uporablja obrestno obrestni račun.. V začetku leta 7 smo na bančnem računu imeli. evrov. Takrat smo začeli na račun na koncu vsakega leta polagati.5 evrov. Koliko bomo imeli na računu po pologu konec leta, če banka uporablja obrestno obrestni račun, letna obrestna mera je %, pripis obresti pa leten?. Rešitve.(a) Mesečna obrestna mera: p m p l %,8% q (b) To je prenumerandno varčevanje: S 8 aq 8 m m q m, q m + p m,8 a S 8(q m ) q m (q 8 M ). (,8 ),8 (,8 8 ).6 Obrok znaša.6 evrov. a a a a a a a a S 8. G n G q n, q,, n Varčevali smo 8,6 let. log Gn G logq log.. log, 8,6.(a) Mesečna obrestna mera: p m p l 8%,6667% (b) To je postnumerandno varčevanje: S 9 a q9 q, q m,6667 a S 9(q ). (,6667 ).98, q 9, Višina obroka znaša 98, evrov. a a a a a a a a a. q,5, G 5 G q 5., ,5e To je postnumerandno varčevanje: S 5 a q5 q,65,6.69,e Skupaj bomo na računu imeli G 5 + S 5.67,6 evrov. S 9

27 Obrestni račun 7 G a a a a a G 5 + S 5 5.(a) p m p l 5%,667% Mesečna obrestna mera je,667%. (b) q m + p m,667, prenumerandno vlaganje: S 7 aq q7 q, a S 7(q ) Obrok znaša 8 evrov. a a a a a a a S 7 q(q 7 ). (,667 ),667 (,667 7 ) 8 6. p m p l,67%, q m,67 G q 5 a q q a G q 5 (q ) 5.,675 (,67 ) q,67 Obrok znaša 56 evrov. 56 G a a a a a a a a a a 7.(a) p m p l 7%,58% Mesečna obrestna mera je,58%. (b) q m + p m,58, postnumerandno vlaganje: S 9 a q9 q, a S 9(q ) q 9 Obrok znaša, evrov. a a a a a a a a a. (,58 ),58 9 G 5 S, 8. p m p l,5%, q m,5, prenumerandno vlaganje: S n aq qn q 8,5,5.5,7 Na računu bomo imeli.5,7 evrov. a a a a G S 9 9. p m p l 8%,67%, q m,67 G G q m.,67.69 Vrniti bomo morali.69 evrov.. G G q 5.,55 5.,7, G S Postnumerandna izplačila: S a q q, a S (q ),55 5.,7 q,55,7 Mesečna renta bo znašala,7 evrov. G a a a a a a a a a a a a. p m p l 5%,7%, q m,7 ) S n a qn a + ( q, n log Sn(q ) logq Varčevati bomo morali 6 mesecev.. q m q l,6,87 G G q 5,87 57,5 ) + ( log 5. (,7 ) log,7 6 G S 9, S 9 a q9 q, a S 9(q ) 57,5 (,87 ) 57,5e q 9,87 9 G a a a a a a a a a G S jan feb mar apr maj jun jul avg sep okt nov G S 9. q m,, S n a qn q, qn S n(q ) a + n log ( ) ( ) Sn(q ) a + logq log 5. (, ) + log, 5, 7 mesecev

28 8 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete. postnumerandno: S n a qn q, S n G n G q n a G q n (q ) q n (a) q m q l,,797 a.,797 (,797 ) 5,e,797 (b) p m p l,8%, q m,8 a.,85 (,8 ) 5e, q m q l,7,565 G G q,565.7,87 G S, S a q q, a S (q ).7,87 (,565 ) 7,e q,565 G a a a a a a a a a a jan feb mar apr maj jun jul avg sep okt nov G S 6. G 6 G q 6., ,9e S 6 a q6 q.,56,6.6,5e Na računu bomo imeli G 6 S ,9 evrov. G a a a a a a G 6 S 6 7.(a) p m,5%, q m,5 G 6 G q 6 m.,5 6,8e (b) q m q l,6,87, G 6., ,8e 8. q m,6,87 S a q q, a S (q ) 5. (,87 ) 89e q,87 G a a a a a a a a a a 9. p m p l,67%, q m,67 ( Sn(q ) ) (.(,67 ) S n a qn q, n log a + logq log + log,67 55, mesecev. q m,5,7 G n G q n, G.,7.8,6 S n a qn q, S,7,7.79,5 G + S.6,87e.(a) p m p l,5% (b) G q 8 a q8 q, a G q 8 (q ).5,58 (,5 ) 9,7 q 8,5 8. Postnumerandno: S n a qn q, n 7, a S n(q ) q n ).(,5 ),5 7. q,5 G q a q q, a G q (q ).,5 (,5 ),7e q,5 S 69,5e. G 8 G q 8., 8.685,69, S 8 a q8 q.5,8,.5,57 Na računu bomo imeli G 8 + S 8 6.7,6 evrov. G a a a a a a a a G 8 + S 8

29 Naravna rast Zgled Zajci na travniku se razmnožujejo po zakonu naravne rasti. Pred desetimi leti jih je bilo, pred štirimi leti pa 6. Koliko zajcev bo letos na travniku? Najprej si izpišemo podatke in jih časovno oštevilčimo. pred leti... y pred leti... 6 y 6 letos...? y Iz prvih dveh podatkov izračunamo neznano stopnjo rasti k, da lahko nato izračunamo y. y 6 y e 6k e 6k y 6 y Tu imamo na voljo dve podobni možnosti za izračun. ) e k 6 y6 y 6 6 6,9 y y e k ),9 8 ) 6k ln( y6 y ( y6 k ln ln( 6 ) y y e k e.8 8 y ) Letos bo na travniku 8 zajcev. Zakon naravne rasti pravi, da je hitrost spreminjanja spremenljivke premo sorazmerna njeni trenutni velikosti. To pomeni, da neka populacija neprestano narašča (ali pada) s konstantno stopnjo rasti k. To zapišemo z diferencialno enačbo y ky. Naravna rast je poseben primer obrestovanja, kjer se obresti pripisujejo neprekinjeno. Naravna rast opisuje rast in razmnoževanje brez upoštevanja bioloških in fizikalnih omejitev. V naravi zaradi omejenih virov in drugih omejitev eksponentna rast na neki točki preneha, kar opisuje logistična krivulja. Zakon naravne rasti: y t y e kt. Naravna rast. V ribniku je bilo pred šestimi leti 8 rib, letos pa jih je 5. Koliko jih bo čez leta, če se razmnožujejo po zakonu naravne rasti?. Drevo raste po zakonu naravne rasti. Ob prvi meritvi je bil premer njegovega debla cm, čez leta pa 5 cm. Kolikšen bo premer tega drevesa 8 let po prvi meritvi?. Krompir raste po zakonu naravne rasti. Pri starosti mesec je tehtal 5 g, pri starosti mesecev pa je tehtal g. Koliko bo tehtal pri starosti mesecev?. V hlevu je bilo pred tremi meseci muh. Danes jih je že. Koliko muh bo v hlevu čez dva meseca, če se muhe razmnožujejo po zakonu naravne rasti? 5. Na travniku je bilo pred šestimi leti glodalcev, lani pa jih je bilo 6. Koliko jih bo letos, če se razmnožujejo po zakonu naravne rasti?

30 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete 6. Koruza raste po zakonu naravne rasti. Pri starosti mesec je bila visoka 5 cm, pri starosti mesecev pa je bila visoka cm. Kako visoka bo pri starosti 5 mesecev? 7. Pred osmimi leti je bilo 5 ha neke parcele zaraščene z grmovjem, danes pa je z grmovjem zaraščene že ha te parcele. Kolikšna površina bo zaraščena čez leta, če se parcela zarašča po zakonu naravne rasti? 8. Miši se razmnožujejo po zakonu naravne rasti. Pred štirimi leti jih je bilo, danes pa jih je 6. Koliko jih bo čez leta? 9. Obseg drevesnega debla je bil pred dvemi leti 6 cm, lani pa 6 cm. Kolikšen bo obseg debla tega drevesa čez osem let, če drevo raste po zakonu naravne rasti?. Polhi se razmnožujejo po zakonu naravne rasti. Pred petimi leti jih je bilo 8, danes pa jih je. Koliko jih bo čez leta?. Rešitve. pred 6 leti... 8 y letos... 5 y 6 čez leta...? y 9 y 6 y e 6k e k 6 y6 y 6 5 8,699 y 9 y e 9k 8, Čez leta bo v ribniku 75 rib.. prva meritev... cm y čez leta... 5 cm y čez 8 let...? y 8 y y e k e k y y 5,7 y 8 y e 8k,7 8 9,5 Premer drevesa 8 let po prvi meritvi bo 9,5 cm.. pri enem mesecu... 5 g y pri treh mesecih... g y pri štirih mesecih...? y y y e k e k y y 5,599 y y e k 5,599 8,6 Krompir bo tehtal 8,6 grama.. pred meseci... y danes... y čez meseca...? y 5 e k y y,59 y 5 y e 5k, Čez meseca bo 7 muh. 5. pred 6 leti... y lani... 6 y 5 letos...? y 6 e k 5 y5 y 5 6,695 y 6 y e 6k, Letos bo 5 glodalcev. 6. pri enem mesecu... 5 cm y pri štirih mesecih... cm y pri petih mesecih...? y e k 5,88, y 5,88 88 Koruza bo visoka 88 cm. 7. pred 8 leti... 5 ha y danes... ha y 8 čez leta...? y y 5,75, Zaraščenih bo, ha. 8. pred leti... y danes... 6 y čez leta...? y 7 y 7, Čez tri leta bo 99 miši. 9. pred leti... 6 cm y lani... 6 cm y čez 8 let...? y e k y y,5, y 6,5 98 Obseg drevesa bo 98 cm.. pred 5 leti... 8 y danes... y 5 čez leta...? y 9 Čez leta bo polhov.

31 5 Funkcije V tem poglavju bomo ponovili osnovne funkcije, ki jih potrebujemo v drugih poglavjih. Zgled Funkcijo, definirano s predpisom f (x) kx + n, imenujemo linearna funkcija, kjer je k smerni koeficient in n odsek na ordinatni osi. To je eksplicitna oblika linearne funkcije. Definicijsko območje in zaloga vrednosti linearne funkcije za k so vsa realna števila. Smerni koeficient lahko izrazimo tudi z naklonskim kotom: k tg ϕ. Linearno funkcijo lahko zapišemo še v implicitni obliki ax + by + c in v odsekovni (segmentni) obliki, pri čemer sta m in n odseka na abscisni oziroma ordinatni osi. x m + y n Če je k >, je f naraščajoča, če pa je k <, je f padajoča funkcija. Premici y k x + n in y k x + n sta vzporedni natanko tedaj, ko je k k. Premici sta pravokotni natanko tedaj, ko velja k k. Dve točki T (x,y ) in T (x,y ) natanko določata linearno funkcijo, pri čemer je k y y x x, enačba pripadajoče premice pa je y y k(x x ). Zgled Kvadratna funkcija je definirana s predpisom f (x) ax + bx + c, kjer so a, b, c realna števila in a. Kvadratni funkciji priredimo diskriminanto D b ac. Kvadratno funkcijo lahko zapišemo v temenski obliki f (x) a(x p) + q, p a b, q a D, pri čemer je T (p,q) teme kvadratne funkcije, ali v ničelni obliki f (x) a(x x )(x x ). Ničle kvadratne funkcije lahko poiščemo z Vietovim pravilom y x (x + x )x + x x (x x )(x x ) ali s pomočjo diskriminante x, b± D a. Zgled Funkcijo oblike f (x) x n, kjer je n Z, imenujemo potenčna funkcija. Število n imenujemo eksponent. Če je n, dobimo f (x). Če je n, dobimo f (x) x. To sta linearni funkciji. Ločimo različne grafe, glede na to ali je n pozitivno ali negativno število in glede na to ali je n sodo ali liho. Zgled Korenska funkcija je funkcija oblike f (x) n x x n, kjer je n N in n >. Definicijsko območje korenske funkcije so vsa realna števila, če je n liho število, in nenegativna realna števila, če je n sodo. Korenska funkcija je inverzna funkcija potenčne funkcije. Če je n liho, velja zveza: y n x x y n. ϕ 5 y x y x x 5 (x + )(x 5) 8 6 N (, ) T (, 9) N (5, ) 5 x x

32 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete Graf f (x) x n za pozitiven sod eksponent: Graf f (x) x n za negativen sod eksponent: Graf f (x) x n za pozitiven lih eksponent: Graf f (x) x n za negativen lih eksponent: f (x) x x 9x + x (x ) (x + )(x ) 5 5 Zgled 5 Funkcijo oblike f (x) a n x n + a n x n + + a x + a, a n, a i R, n N imenujemo polinom n-te stopnje. Polinom n-te stopnje ima največ n ničel. Včasih jih lahko poiščemo s Hornerjevim algoritmom. Zgled 6 Racionalna funkcija je količnik dveh polinomov: f (x) p(x) q(x), kjer sta p(x) in q(x) polinoma. Privzeli bomo, da polinoma nimata skupne ničle. Ničle polinoma p(x) so ničle racionalne funkcije. Ničle polinoma q(x) so poli racionalne funkcije. Poli so tiste točke racionalne funkcije, za katere funkcija ni definirana. Velja: D f R {x;q(x) }. Če je stopnja polinoma p manjša od stopnje polinoma q, ima racionalna funkcija vodoravno asimptoto y. Če je stopnja polinoma p večja ali enaka stopnji polinoma q, asimptoto racionalne funkcije dobimo kot količnik pri deljenju polinomov p in q. Narišite graf funkcije f (x) ničle: x,. stopnje poli: x, x,. stopnje asimptota: y začetna vrednost: f () x x +x x (x+)(x ).

33 Funkcije Zgled 7 Funkcijo oblike f (x) a x, a >, a imenujemo eksponentna funkcija. Njeno definicijsko območje so vsa realna števila, zaloga vrednosti pa interval (, ). Za a > je f (x) a x strogo naraščajoča funkcija, za < a < pa strogo padajoča funkcija. Zgled 8 Logaritemska funkcija je funkcija oblike f (x) log a x, kjer je a > in a. Njeno definicijsko območje so pozitivna realna števila, zaloga vrednosti pa vsa realna števila. Logaritemska funkcija je inverzna funkcija eksponentne funkcije. Za a > je logaritemska funkcija strogo naraščajoča, za < a < pa strogo padajoča. Zgled 9 Kotne funkcije definiramo s pomočjo razmerij v pravokotnem trikotniku ali s pomočjo krožnice polmera. Osnovni funkciji sta f (x) sinx, in f (x) cosx. Definicijski območji sinusa in kosinusa so vsa realna števila, njuna zaloga vrednosti pa interval [, ]. Obe sta periodični s periodo π. S pomočjo funkcij sinus in kosinus definiramo še funkciji f (x) tgx sinx cosx, in f (x) ctgx cosx sinx. Funkcija tangens ni definirana v točkah π + kπ, k Z, funkcija kotangens pa v točkah kπ, k Z. Zaloga vrednosti obeh funkcij so vsa realna števila. Zgled Risanje funkcij s pomočjo premikov: ) premik v smeri osi x: Za a > je graf y f (x a) premaknjen v desno glede na graf y f (x), graf y f (x + a) pa dobimo s premikom grafa y f (x) v levo. ) premik v smeri osi y: Za b > dobimo graf y f (x) + b s premikom grafa y f (x) navzgor, graf y f (x) b pa s premikom navzdol. Narišite graf funkcije f (x) x. Najprej narišemo graf y x. Zatem graf premaknemo za v desno in dobimo graf y x. Dobljeni graf premaknemo še za navzdol in dobimo graf y x.

34

35 6 Odvod Zgled Izračunajte odvod funkcije f (x) ex (x + 6x + 7) cos(x). Najprej uporabimo formulo za odvod količnika funkcij. ( ) ( e x (x +6x+7) (ex (x +6x+7)) ) cos(x) e x (x +6x+7) cos(x) cos(x) cos(x) Za odvod funkcije e x (x + 6x + 7) uporabimo formulo za odvod produkta in upoštevamo verižno pravilo za odvod sestavljene funkcije e x. Za odvod funkcije cos(x) upoštevamo verižno pravilo. (ex (x +6x+7)+e x (6x+6)) cos(x) e x (x +6x+7) cos(x) ( sin(x)) cos(x) Zgled Določite enačbo tiste tangente na krivuljo f (x) x x + 6, ki je pravokotna na premico y + x + 5. Premico zapišemo v eksplicitni obliki, da lahko preberemo njen smerni koeficient. y x 5 k p Pravokotni premici imata nasproten in obraten k. k t k p Odvod funkcije je enak k t. f (x) x f (x) k t x Rešimo enačbo in dobimo dotikališče tangente. x, y f () 6, T (,6) Zapišemo enačbo tangente. y y k t (x x ) y 6 (x ) y x + x + x 6x Zgled Izračunajte limito funkcije lim x x + x. Najprej vstavimo v ulomek in dobimo izraz, ki je nedoločen Zdaj imamo dve možnosti. Pravila odvajanja: funkcija odvod c x n nx n x x e x e x a x a x lna lnx x log a x xlna sinx cosx cosx sinx f (u(x)) f (x)g(x) f (x) g(x) f (u(x)) u (x) f (x)g(x) + f (x)g (x) f (x)g(x) f (x)g (x) g (x) Naj bo dana zvezna funkcija f : R R. Če obstaja limita diferenčnega količnika, ko gre h proti, ji pravimo odvod funkcije f v točki x in jo označimo z f (x). Torej je f f (x + h) f (x) (x) lim. h h Geometrijsko to pomeni, da je odvod smerni koeficient tangente na graf funkcije f v točki T. Tangenta na krivuljo z dotikališčem T (x,y ) ima smerni koeficient k t f (x ). L Hôpitalovo pravilo Če veljajo pogoji lim f (x) lim g(x) ali ±, x x x x f (x) limita lim x x g (x) obstaja, v okolici točke x velja g (x), potem je lim x x f (x) g(x) lim x x f (x) g (x). ) Imenovalec in števec ulomka lahko razstavimo in ulomek okrajšamo.

36 6 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete Naj bo dana odvedljiva funkcija f : (a,b) R. Če je f (x ) >, funkcija v točki x narašča. Če je f (x ) <, funkcija v točki x pada. Točki x (a,b), za katero velja f (x), pravimo stacionarna točka. Vsi lokalni ekstremi so stacionarne točke, vse stacionarne točke pa niso lokalni ekstremi. Stacionarna točka je lahko tudi sedlo. Naj ima funkcija f v točki x stacionarno točko, torej f (x ). Če je f (x ) > je v x lokalni minimum. Če je f (x ) < je v x lokalni maksimum. Funkcija f je konveksna na intervalu (a,b), če je f (x) > za vsak x (a,b). Funkcija f je konkavna na intervalu (a,b), če je f (x) < za vsak x (a,b). Če je f (x ) in f spremeni predznak pri prehodu čez točko x, je v točki x prevoj. Graf funkcije f (x) x e x iz zgleda 5. x + x 6x lim x x + x lim x x(x + )(x ) (x + 5)(x ) lim x(x + ) x x + 5 (+) +5 7 ) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo in odvajamo posebej števec in imenovalec ulomka. x + x 6x lim x x + x lim x + x lim x x + x + Zgled Določite lokalne ekstreme funkcije f (x) x 5 x+. 7 Lokalni ekstremi so stacionarne točke. Zato najprej ugotovimo, kje je odvod funkcije enak. f (x) x(x+) (x 5) (x+5)(x+) (x+) (x+) Dobimo dve točki. Koordinato y dobimo tako, da x vstavimo v funkcijo f. x 5, f ( 5) ( 5) 5 5+, T ( 5, ) x, f ( ) ( ) 5 +, T (, ) S pomočjo drugega odvoda ugotovimo, ali so dobljene stacionarne točke tudi lokalni ekstrem. f (x) (x+6)(x+) (x +6x+5) (x+) (x+) 8 (x+) f ( 5) <, zato je v točki T lokalni maksimum. f ( ) >, zato je v točki T lokalni minimum. Zgled 5 Za dano funkcijo f (x) x e x izračunajte ničle, pole, lokalne ekstreme, prevoje in asimptoto funkcije. Narišite graf funkcije. Zapišite njeno definicijsko območje, zalogo vrednosti, intervale naraščanja in padanja ter intervale konveksnosti in konkavnosti. Ničle dobimo iz enačbe f (x), ki ima rešitev x, ki je ničla. stopnje. Asimptota: y za x Iz enačbe f (x), dobimo kandidate za lokalne ekstreme. f (x) xe x x e x ( ) xe x ( + x) x, T (,) x, T (, 8e ) S pomočjo drugega odvoda določimo vrsto lokalnega ekstrema. f (x) e x + xe x + xe x x e x e x (x x + ) f () e <, zato je v T lokalni maksimum. f () e >, zato je v T lokalni minimum. Prevoje dobimo v točkah, kjer je drugi odvod enak nič. e x (x x + ), x, x + Definicijsko območje tvorijo vrednosti x, za katere je funkcija definirana: D f R Zalogo vrednosti tvorijo vrednosti y, ki jih funkcija zavzame. Zalogo vrednosti preberemo z grafa: Z f (,]. Iz predznaka odvoda, ki se lahko spremeni v stacionarnih točkah, sklepamo, da funkcija narašča na (,) (, ) in pada na (,). Iz predznaka drugega odvoda, ki se lahko spremeni v prevojnih točkah, ugotovimo, da je funkcija konveksna na (, + ) in konkavna na (, ) ( +, ).

37 Odvod 7 6. Računanje odvodov. Izračunajte odvode naslednjih funkcij: (a) f (x) 6x + 7x + 8x + 9 (b) f (x) x + x + x 5 x x 5 (c) f (x) (x )(x + ) (d) f (x) e x sinx (e) f (x) x x (f) f (x) e x (6x + x ) (g) f (x) x (h) f (x) (x )cosx (i) f (x) x 5 x (j) f (x) cosx sin5x (k) f (x) ln x + x + (l) f (x) (x ) (m) f (x) ln x+ x (n) f (x) x log (x + ) 6. Tangente. Določite enačbo tangente na krivuljo y x + 5x + v točki x.. Določite enačbo tangente na graf funkcije f (x) x x +, ki je pravokotna na premico x + y 6.. Določite enačbo tangente na graf funkcije f (x) x + 5x, ki je vzporedna premici x + y Določite enačbo tangente na graf funkcije f (x) x + x + v točki T (,y). 6. Določite vse tangente na graf funkcije f (x) x+ x+, ki so vzporedne premici y x Določite enačbo tangente na krivuljo y x + v točki T (,y). 8. Določite enačbo tangente na krivuljo y ln(x 7) v točki T (,y). 9. Izračunajte enačbo tangente na graf funkcije f (x) x + x +, ki je pravokotna na premico x y. Določite enačbo tangente na krivuljo y e x + x + 5 v točki T (,y).. Določite enačbo tangente na krivuljo y x + 7x + 6 v točki T (,y).. Zapišite enačbo tangente na krivuljo y x 6x + x, ki je vzporedna premici y + x.. Zapišite enačbo tangente na krivuljo y x + 6x + 5x +, ki je pravokotna na premico y + x.. Zapišite enačbo tangente na krivuljo y x + 9x + 6x, ki je pravokotna na simetralo lihih kvadrantov. 5. Določite enačbo tangente na krivuljo y x x + 7, ki je pravokotna na premico y + x Limite funkcij 6. Izračunajte limite funkcij: (a) lim x x x 8x x + x (b) lim x x 5x + x + x (c) lim x e x x x (d) lim x xcosx sinx x (e) lim x x(e x + ) (e x ) x (f) lim x tgx x x (g) lim x tgx sinx x sinx x x 8x + (h) lim x x x + x x 5x (i) lim x sinx cos x (j) lim x x e x sinx (k) lim x ( x x (l) lim x x ) sinx + x x (m) lim x x

38 8 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete 6. Analiza funkcij 7. Določite lokalne ekstreme naslednjih funkcij: (a) f (x) x 6x 5x (b) f (x) x + x (c) f (x) x x + 8 (d) f (x) x 6x + (e) f (x) x lnx (f) f (x) lnx 6x (g) f (x) x x (h) f (x) x 9x x + (i) f (x) e x +x+ (j) f (x) x x x (k) f (x) x + 9x + x (l) f (x) x + x (m) f (x) ln(x x + 5) (n) f (x) x e x (o) f (x) 6x x + (p) f (x) x e x+ (q) f (x) x + x + 8. Določite definicijsko območje funkcije, zalogo vrednosti, ničle, pole, asimptoto, lokalne ekstreme, intervale naraščanja in padanja ter narišite njen graf: (a) f (x) x 9x (b) f (x) x x + (c) f (x) x + (d) x 9 f (x) x x (e) f (x) x+ x (f) f (x) x x x (g) f (x) x x x (h) f (x) x x 8 x x 9. Določite definicijsko območje funkcije, zalogo vrednosti, ničle, pole, lokalne ekstreme, prevoje, intervale naraščanja in padanja, intervale konveksnosti in konkavnosti ter narišite njen graf: (a) (b) (c) (d) f (x) (x x + )e x f (x) x e x f (x) x x f (x) x e x (e) f (x) x 6 x (f) f (x) x e x (g) f (x) e x x (h) f (x) x e x 6.5 Ekstremalne naloge. Med vsemi pari števil z vsoto poiščite tisti par, katerega vsota kubov je minimalna.. Določite števili a in b tako, da bo a + b in bo izraz a + 5b minimalen.. Določite števili a in b tako, da bo a + b in bo izraz a + 6b minimalen.. Kmet bo del travnika ob reki spremenil v zelenjavni vrt pravokotne oblike. Zaradi živali bo vrt ogradil s treh strani. Na razpolago ima metrov ograje. Največ koliko lahko meri površina vrta?. Za živali potrebujemo del travnika velikosti 6 m, ki ga bomo ogradili v obliki pravokotnika. Razdelili ga bomo na dva enaka dela z ograjo, ki bo vzporedna eni od stranic. Kakšne naj bodo mere pravokotnika, da bo poraba ograje minimalna? 5. Tovarna konzerv izdeluje konzerve v obliki pokončnega valja s prostornino dl. V kakšnem razmerju morata biti premer in višina valja, da bo poraba pločevine minimalna? 6. Podjetnik je ocenil, da je funkcija povpraševanja po njegovem izdelku oblike P 8 Q, kjer je P cena izdelka, Q pa količina izdelkov. (a) Pri kateri ceni bo prihodek podjetnika maksimalen? Kolikšno bo tedaj povpraševanje? (b) Funkcija stroškov podjetnika ima naslednjo obliko: S 6 + Q + Q. Pri kateri količini ponudbe bodo stroški minimalni? (c) Pri kateri količini ponudbe bo dobiček podjetnika maksimalen?

39 Odvod 9 7. Kateri pravokotnik, včrtan četrtini kroga s polmerom 6 cm, je ploščinsko največji, če ena njegova stranica leži na polmeru kroga? 6.6 Rešitve.(a) f (x) 8x + x + 8 (b) f (x) x + x + 5x 6 x + 5 x 7 (c) f (x) (x + ) + (x )x x 8x + (d) f (x) e x cosx (e) f (x) x lnx + x x (f) f (x) e x (6x + x ) e x (x + ) e x (6x + 5x + ) (g) f (x) x ln (h) f (x) xcosx + (x )( sinx) (i) f (x) x(x 5) x x x (x 5) (x 5) (j) f (x) sinx sin5x cosxcos5x 5 sin 5x (k) f (x) x (6x + ) +x+ 6x+ x +x+ (l) f (x) (x ) (m) f (x) x x+ (x+) (x ) (x+) 7 (x )(x+) (x +x+) (n) f (x) x ln log (x + ) + x (x+)ln. f () + 5 +, T (,) f x+5 (x), k x t f () 7 +5x+ 8 Tangenta: y y k(x x ) y 7 8 (x ) y 7 8 x Premica: y x +, k p k t f (x) x k t, x x, f ( ), T (,) Tangenta: y y k(x x ) y (x + ) y x + 7. Premica: y x 5, k p k t f (x) 6x + 5 k t, 6x + 5 x, f ( ), T (, ) Tangenta: y y k(x x ) y + (x + ) y x 7 5. f () 5, T (,5) f x+ (x), k x t f () +x+ 5 Tangenta: y 5 5 (x ) y 5 x k p k t f (x) (x+) Dve rešitvi: x +, x, y, tangenta: y x + x +, x, y, tangenta: y x + 7. f () 6, T (,) f (x) 6x, k x t f () + x x 8x 6.(a) lim x x + x lim x(x )(x + ) x (x + 6)(x ) lim x Po L Hôpitalovem pravilu: lim x x x 8x x + x Enačba tangente: y x + 8. f ( ) ln(), T (,) f (x) x 7 x, k t f ( ) 8 Enačba tangente: y 8x 6 9. Premica: y x, k p, k t f (x) 8x +, x, y, T (,) Enačba tangente: y x. f () 8, T (,8) y e x +, k t y () Tangenta: y x + 8. f ( ), T (,) y 6x + 7, k t f ( ) Tangenta: y x +. y x +, k t f (x) x x +, (x ), x, y Tangenta: y x + 7. y x +, k t k p f (x) x + x + 5, (x + ), x, y Tangenta: y x 6. y x, k t k p f (x) x + 8x + 6 x + 6x + 9, x,, y Tangenta: y x 7 5. Premica: y x, k p, k t k p y x, x, y, T (,) Tangenta: y x x(x + ) 6 x + 6, x x 8 lim x x ,

40 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete x 5x + (b) lim x x + x lim (x )(x ) x (x + )(x ) lim x x x + x 5 Uporabimo lahko L Hôpitalovo pravilo: lim x x + e x x (c) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo (-krat): lim e x lim x x x x xcosx sinx (d) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo (-krat): lim x x cosx lim x x(e x + ) (e x ) (e) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo (-krat): lim x x e x + xe x e x lim x 6x 6 tgx x (f) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo (-krat): lim x x cos xsinx lim x 6x lim x 6cos xsin x + cos xcosx lim x 6 tgx sinx (g) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo (-krat): lim x x sinx cos xsinx + sinx lim lim(cos x + ) x sinx x 9e x lim x 9 cosx xsinx cosx sinx lim x x lim x x lim x x x 8x + (h) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo (-krat): lim x x x + x (i) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo: lim x x 5x sinx x x lim x xcosx e x + + xe x e x xe lim x x x e x + lim x x cos x cos x x lim x x cos x cosx cos x cosx lim cosx x cosx x x 8 lim x x 9x + lim x x cosx 5 lim x 6x x 8x 5 6 cos x cosxsinx sin x + cos (j) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo (-krat)o: lim x x lim x lim x x x e x sinx (k) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo (-krat): lim e x cosx e lim x x x x x x x + sinx lim ( x 6x (l) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo (-krat): lim x x ) ( ) sinx x cosx lim lim sinx x xsinx x sinx + xcosx sinx lim x cosx + cosx xsinx + x x (m) Uporabimo L Hôpitalovo pravilo (-krat): lim x x lim ( + x) x x lim ( + x) x x lim ( + x) x 8 7.(a) f (x) x x 5 (x 5)(x + ) x 5, y f (5), T (5, ) x, y f ( ) 8, T (,8) f (x) 6x f (5) 8 >, zato je v T lokalni minimum. f ( ) 8 <, zato je v T lokalni maksimum. (b) f (x) x(x ) (x +) (x ) (x )(x+) (x ) x, y f () + 6, T (,6) x, y f ( ) ( ) +, T (, ) f (x) (x )(x ) (x x ) (x ) 8 (x ) (x ) f () >, zato je v T lokalni minimum. f ( ) <, zato je v T lokalni maksimum. (c) f x (x) (x ) x x+8 x x+8

41 Odvod T (,) f (x) (d) f (x) x 6x+ T (, ) (e) f (x) x x+8 (x ) x (x ) x+8 x x+8 (x 6) x 6x+ (x ) x 6x+ f (x) x x (x )(x+) x x 6x+ (x 6), f () >, zato je v T lokalni minimum., f (), x, x T (,), T (,y ni definiran) f (x) + x, f () >, T lok. min >, zato je v T lokalni minimum. (f) f (x) x 6, x T (,ln ) f (x) x, f ( ) <, T lok. max (g) f (x) x x (x ), x, x T (,), T (,8) f (x) 8 (x ) f () <, T lok. max f () >, T lok. min (h) f (x) 6x 8x 6(x )(x + ) x, x, T (, 9), T (,6) f (x) x 8 f () >, T lok. max f ( ) <, T lok. min (i) f (x) e x +x+ (x + ), x, f ( ) e f (x) e x +x+ (x + ) + e x +x+, f ( ) e > T (,e ) lok. min (j) f (x) (x 6)(x ) (x ), x 6, x f (x) 8 (x ), f (6) >, f () < T (6,9) lok. min, T (,) lok. max (k) f (x) x + 8x + (x + )(x + ) x, x, f ( ), f ( ) 6 f (x) 6x + 8, f ( ) 6 >, f ( ) 6 < T (, ) lok. min, T (, 6) lok. max (l) f (x) x x x, x, x, y, y f (x) x f () <, T (,) lok. min f ( ) >, T (, ) lok. max (m) f (x) x x+5 (x ), f (x) (x x+5) (x )(x ) (x x+5), T (,) lok. min (n) f (x) xe x + x e x f (x) e x + xe x + xe x + x e x T (,) lok. min, T (, ) e lok. max (o) f (x) (x ), x, x 6x x+ f ( ) f (x) 6 6x (x ) x+ (6x ) 6x x+ 6x x+ (p) f (x) xe x+ x e x+ xe x+ ( x), f ( ) >, T (, ) lok. min

42 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete x, f () x, f () 8e f (x) e x+ ( x + x ), f () e >, f () e < T (,) lok. min, T (,8e ) lok. max (q) f x+ (x) (x + ) x +x+ x +x+ x (x+) +x+ (x+) f x (x) +x+ x, T (, ) lok. min +x+ 8.(a) f (x) x(x )(x + ), ničle: x, x, x f (x) x 9, x, x, T (, 6 ), T (,6 ) f (x) 6x, T lok. min, T lok. max D f R, Z f R, narašča: (, ) (, ), pada: (, ) f(x) x 9x f(x) x x + (b) f (x) (x )(x+) x, ničle: x +, x, poli: jih ni, asimptota: y f (x) x(x +) (x )x 6x (x +) (x +), T (, ) lok. min (preberemo z grafa) D f R, Z f [,), narašča: (, ), pada: (,) (c) f (x) x + (x )(x+), ničle: jih ni, poli: x, x, asimptota: y f (x) x(x 9) (x +)x 6x (x 9) (x 9), T (, 9 ) lok. max (preberemo z grafa) D f R {,}, Z f R ( 9,], narašča: (, ) (,), pada: (,) (, ) 8 f(x) x + x 9 8 f(x) x x (d) Ničla: x, pol: x, asimptota: y f (x) (x ) nima lokalnih ekstremov, D f R {}, Z f R {} Na obeh intervalih, ki sestavljata definicijsko območje, funkcija pada. (e) Ničle: x, poli: x (. stopnje), asismptota: y f (x) x ) lok. min (preberemo z grafa) x, T (, D f R {}, Z f [, ), narašča: (,), pada: (, ) 6

43 Odvod f(x) x+ x (f) Ničle: x 5, x, poli: x (. stopnje), asismptota: y f (x) x+ x, T (, 9 ) lok. max (preberemo z grafa) D f R {}, Z f (, 9 ( ], narašča:, ) (, ), pada: (, ) (g) Ničla: x, poli: x, x, asismptota: y f (x) x +x 7 (x x ), ni lok. ekstremov, D f R {,}, Z f R Na vsakem izmed treh intervalov, ki sestavljajo definicijsko območje, funkcija pada. 8 6 f(x) x x x f(x) x x x f(x) x x 8 x x (h) Ničle: x, x, poli: x, x, asimptota: y f (x) 6(x ) (x x), T (,9) lok. min (preberemo z grafa) D f R {,}, Z f (,) [9, ), narašča: (,) (, ), pada: (,) (,) 9.(a) D f R, Z f [, ), ničle: x (. stopnje) f (x) e x (x )(x + ), lokalni ekstremi T (,) min, T (,e ) max f (x) e x (x + x ), x, x + prevoja lim x (x x + )e x Narašča: (, ) (, ), pada: (,) Konveksna: (, ) ( +, ), konkavna: (, + ) f(x) (x x + )e x f(x) x e x (b) Ničle:x, poli: jih ni, asimptota: y, ko gre x f (x) ex ( x)e x x e x e x

44 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete T (, ) e f (x) x e x, f () > lok. minimum Prevoj: x, D f R, Z f [, ) e Narašča: (, ), pada: (,), konveksna: (,), konkavna: (, ) (c) D f (,), Z f [, ) ničle: x ni v D f, poli: x f x (x) ( x) f (x) +x ( x) 5 T (,) lokalni minimum, T (, ) prevoj Narašča: (, ), pada:(, ), konveksna:(, ), konkavna:(, ) 8 f(x) x x f(x) x e x (d) Ničle: x,. stopnje, asimptota: y za x f (x) 6xe x + x e x ( ) xe x ( x) x, T (,) lok. min x, T (,) lok. max f (x) 6e x 6xe x 6xe x + x e x e x (x x + ) f () 6e >, f () 6 < Prevoji: x x +, x, x + D f R, Z f [, ), narašča: (,), pada:(,) (, ) Konkavna: (, + ), konveksna: (, ) ( +, ) 6 8 (e) f (x) x 6 x Ničla: x,. stopnje, pol: x, asimptota: y x + f (x) x(x ) (x 6), f (x) 8 (x ) Lokalni ekstremi: T (,) max, T (, 8 ) min, prevoji: jih ni D f R {}, Z f (,] [ 8, ), narašča: (,) (, ), pada: (,) (,) Konveksna: (, ), konkavna: (, ) 5 f(x) x x 6 f(x) x e x

45 Odvod 5 (f) Ničle: x, poli: jih ni, asimptota: y, ko gre x f (x) ex (x )e x e x x e x T (, e ), f (x) x e x, f () < lok. maksimum, prevoj: x D f R, Z f (, e ], narašča: (,), pada: (, ) Konveksna: (, ), konkavna: (, ) (g) Ničle: jih ni, poli: jih ni, asimptota: y, f () f (x) e x x ( x ), x, T (,e) f (x) e x x (x + 8x + ), f ( ) <, zato je v T lok. maksimum. Prevoji: f (x), x, ± D f R, Z f (,e], narašča: (, ), pada: (, ) Konveksna: (, ) ( +, ), konkavna: (, + ) 5 f(x) x e x f(x) e x x 5 5 (h) Ničle: x,. stopnje, asimptota: y za x f (x) xe x + x e x ( ) xe x ( x) x, T (,) lok. min x, T (,8e) lok. max f (x) e x xe x xe x + x e x e x (x x + ) f () e >, f () e < Prevoji: x x +, x, x + D f R, Z f [, ), narašča: (,), pada:(,) (, ) Konkavna: (, + ), konveksna: (, ) ( +, ) 5 5. x + y, S x + y min S x + ( x) x.x +.., S 6x. x 5, y 5, S 6 > Za x 5 je to lok. minimum. Ker je S kvadratna funkcija spremenljivke x, je lokalni minimum hkrati tudi globalni minimum. Obe števili sta enaki 5.. I a + 5b ( b) + 5b 6b 8b + 576, I db di b 8 b, a, I > To je lokalni minimum. Ker je I kvadratna funkcija spremenljivke b, je lokalni minimum hkrati tudi globalni minimum.. I a + 6b a + 6 ( a ) a 8a + 6, I di da 8a 8 a, b 9, I 8 > To je lokalni minimum. Ker je I kvadratna funkcija spremenljivke a, je lokalni minimum hkrati tudi globalni minimum.

46 6 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete. a + b P ab ( b)b b b dp db b, b 5, a 5 dp < To je lokalni maksimum. Ker je P kvadratna d b funkcija spremenljivke b, je lokalni maksimum hkrati tudi globalni maksimum. Površina vrta je lahko največ m. reka vrt a b. o a + b, ab 6, b 6 8 a, o a + a do da.8a, a 9, a, b Mere pravokotnika naj bodo metrov. Porabili bomo + metrov ograje. a b 5. V πr v, v πr P πr + πrv πr + 6r dp dr πr 6r, r π r : v π π π : r v 6.(a) Prihodek: Pr PQ (8 Q)Q Q + 8Q (Pr) Q + 8, Q, P, (Pr) To je lokalni maksimum. Ker je Pr kvadratna funkcija spremenljivke Q, je lokalni maksimum hkrati tudi globalni maksimum. Prihodek bo maksimalen pri ceni. Takrat bo povpraševanje po izdelkih. (b) S + 6Q, Q 5 Q mora biti pozitiven. Najmanjši stroški bodo, če ne bo izdelal nič izdelkov. Stroški bodo pri tem 6.. (c) D Pr S 5Q + 7Q 6., D Q + 7 Q 7, P 66, D 8.5, D < To je lokalni maksimum. Ker je D kvadratna funkcija spremenljivke Q, je lokalni maksimum hkrati tudi globalni maksimum. Dobiček bo maksimalen pri ponudbi 7 izdelkov in ceni 66. Znašal bo Velja: a + b r 6, P ab a 6 a dp da 6 a + a 6 a ( a) 6 a 6 a a 8, b 8 Kvadrat s stranico 8 ima največjo ploščino. b r a

47 7 Funkcije dveh spremenljivk Zgled Določite lokalne ekstreme funkcije dveh spremenljivk f (x,y) x + y xy. Najprej funkcijo parcialno odvajamo po spremenljivki x. Pri tem y obravnavamo kot konstanto. f x x + y Nato funkcijo odvajamo še po y. f y + y x Pogoj za lokalni ekstrem je, da sta oba parcialna odvoda enaka. x y y x Najprej obe enačbi delimo s. x y y x Nato rešimo dobljeni sistem. Iz prve enačbe izrazimo y in ga vstavimo v drugo enačbo. y x x 6 x / 6 x 6x Dobljeno enačbo razstavimo. Pri tem uporabimo pravilo za razliko kubov: a b (a b)(a + ab + b ). x(x )(x + x + 6) Dobimo dve rešitvi. x, x Iz enačbe y x izračunamo y, nato pa x in y vstavimo v začetno funkcijo, da za stacionarni točki dobimo še tretjo koordinato z: y, z f (,), T (,,) y, z f (,) 6, T (,, 6) Izračunamo parcialne odvode. reda. Pri tem upoštevamo, da sta mešana odvoda enaka. f xx 6x f yy 6y f xy V druge odvode vstavimo koordinate dobljenih stacionarnih točk in z njihovo pomočjo klasificiramo stacionarni točki. A C B <, torej v T ni lokalnega ekstrema. A C B >, A >, torej je v T lokalni minimum. Funkcijo dveh spremenljivk f (x, y) lahko parcialno odvajamo po spremenljivki x (pri tem y obravnavamo kot konstanto) ali po spremenljivki y (pri tem x obravnavamo kot konstanto). Parcialni odvod po x označimo z f x, parcialni odvod po y pa z f y. Funkcija dveh spremenljivk f (x, y) ima lahko parcialne odvode. reda: f xx, f xy, f yx, f yy. Če mešana odvoda. reda f xy in f yx obstajata in sta zvezni funkciji, potem sta enaka. Točko (a,b), za katero velja f x (a,b) in f y (a,b), imenujemo stacionarna točka funkcije f. Stacionarne točke so lahko lokalni minimumi, lokalni maksimumi ali sedla. Naj bo (a, b) stacionarna točka dvakrat zvezno odvedljive funkcije f (x, y). Označimo: A f xx (a,b), B f xy (a,b), C f yy (a,b) Potem velja: Če je AC B >, potem je v točki (a, b) lokalni ekstrem in sicer lokalni minimum, če je A > in lokalni maksimum, če je A <. Če je AC B <, potem v točki (a, b) ni lokalnega ekstrema. Če je AC B, potem na podlagi drugih parcialnih odvodov ne vemo, ali je v (a,b) lokalni ekstrem.

48 8 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete Zgled Določite enačbo tiste premice, ki se po metodi najmanjših kvadratov najbolje prilega točkam iz spodnje tabele: Metoda najmanjših kvadratov: Iščemo premico y ax + b, ki se najbolje prilega danim točkam (x,y ), (x,y ),...,(x n,y n ): x k y k,9, 5, 6,8 Najprej izračunamo vsote, ki jih potrebujemo za izračun parametrov a in b: y ax + b 5 6 Iskana koeficienta izračunamo po formuli n n n n (x k y k ) k y k k a kx k ) n n x k b n k ( n k kx k n y k a x k k n vsota x k y k,9, 5, 6,8 6 xk 9 6 x k y k,9 6, 5, 7, 9, Izračunane vsote vstavimo v enačbi: n n n n (x k y k ) k y k k a kx k 9,8 6 ),96 n n x k n k kx k ( n k y k a n x k k n b 6,96,9 Dobimo enačbo iskane premice: y,96x,9. 7. Funkcije dveh spremenljivk. Izračunajte prve parcialne odvode naslednjih funkcij: (a) f (x,y) x + 5y 7x + y + (b) f (x,y) x x y + 5xy y (c) f (x,y) x y (d) f (x,y) (x y)(xy ) (e) f (x,y) xy x y (f) f (x,y) e xy (g) f (x,y) ln(x xy) (h) f (x,y) (e xy + x y). Določite lokalne ekstreme naslednjih funkcij: (a) f (x,y) x + y xy (b) f (x,y) xy x y (c) f (x,y) xy x y (d) f (x,y) x + y + xy (e) f (x,y) xy + x + y (f) f (x,y) x + xy + y x + (g) f (x,y) x + xy y + y + 5 (h) f (x,y) xy x + y (i) f (x,y) x y + y + xy (j) f (x,y) x + y x + y + xy + (k) f (x,y) e x +x y (l) f (x,y) e x (x y )

49 Funkcije dveh spremenljivk 9 7. Metoda najmanjših kvadratov. Poiščite enačbo premice, ki se po metodi najmanjših kvadratov najbolje prilega točkam iz spodnje tabele: x k y k,5, 5, 6,. Po metodi najmanjših kvadratov poiščite premico, ki se najbolje prilega podatkom: x k y k 6, 8,5 9,7, 5. Določite enačbo premice, ki se po metodi najmanjših kvadratov najbolje prilega točkam iz spodnje tabele: x k 6 8 y k,5 6, 8, 6. Določite enačbo premice, ki se po metodi najmanjših kvadratov najbolje prilega točkam iz spodnje tabele: x k 6 8 y k,7,5 8,,8 7. Po metodi najmanjših kvadratov določite parametra a in b tako, da se bo funkcija y ax +b najbolje prilegala podatkom: x k y k 6, 8,5,, 8. Po metodi najmanjših kvadratov določite parametra a in b tako, da se bo funkcija y alnx + b najbolje prilegala podatkom: x k 5 y k, 5, 6, 6,8 7, 9. V statističnem letopisu smo dobili podatke o pridelku ječmena v Sloveniji. (a) Podatke grafično prikažite. leto količina ječmena (v tonah) (b) Določite enačbo premice, ki se po metodi najmanjših kvadratov najbolje prilega danim podatkom.. Za meteoroloških postaj imamo podano število ur sončnega obsevanja in povprečno letno temperaturo zraka leta. Podatke prikažite in določite enačbo premice, ki se po metodi najmanjših kvadratov najbolje prilega podatkom. meteorološka postaja sončno obsevanje (h) povprečna temperatura ( C) Bilje.9, Celje.65,8 Lesce.8,6 Ljubljana Murska Sobota.787, Novo mesto.57, Portorož.8,9 Postojna.7, Rateče.55 8, Šmartno pri Slovenj Gradcu.67,

50 5 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete 7. Rešitve.(a) f x 8x x 7, f y + y + + y + (b) f x 6x 8xy + 5y, f y x + 5xy (c) f x x y x x y y x y ( y ) y x y (d) f x 8x(xy )+(x y) x x +x y 6x 6xy, f y (xy )+(x y) x x xy+ (e) f x y(x y ) xy x y(x +y ) (x y ) (x y ), f y x(x y ) xy ( y) x(x +y ) (x y ) (x y ) (f) f x e xy ( y ), f y e xy ( xy) (g) f x x y x xy, f y x x xy (h) f x (exy + x y) (e xy y + xy), f y (exy + x y) (e xy x + x ).(a) f x x y, f y y x f xx 6x, f yy 6y, f xy Pogoj za lokalni ekstrem je, da sta prva parcialna odvoda enaka : x y, y x Iz prve enačbe izrazimo y x, vstavimo v drugo enačbo x x in razstavimo x(x ). x, y, f (,), T (,,), A C B ( ) 9 <, zato v T ni lokalnega ekstrema. x, y, f (,), T (,, ), A C B 6 6 ( ) 7 >, A >, zato je v T lokalni minimum. (b) f x y x, f y x y Izrazimo y x iz druge enačbe, vstavimo v prvo x x in razstavimo x( x). f xx 6x, f yy, f xy T (,,), A C B ( ) <, zato v T ni lokalnega ekstrema. T (,, 5 ), A C B ( ) >, A <, zato je v T lokalni maksimum. (c) f x y x, f y x y Izrazimo y x iz prve enačbe,vstavimo v drugo x x in razstavimo x( 6x). f xx, f yy 6y, f xy T (,,), A C B ( ) <, zato v T ni lokalnega ekstrema. T ( 6,, 5 ), A C B ( ) >, A <, zato je v T lokalni maksimum. (d) f x x + y, f y y + x Izrazimo x y in vstavimo 7y + y y(y + )(9y y + ). Dobimo dve možni točki: T (,,), T (,, 7 ) f xx 6x, f yy 6y, f xy A C B <, zato v T ni lokalnega ekstrema. A C B >, A <, zato je v T lokalni maksimum. (e) f x y x, f y x y, T (,,8) f xx 8x, f yy y, f xy, AC B >, zato je v T lokalni minimum. (f) f x 6x + y, f y x + y, T (,,7) f xx 6, f yy, f xy, AC B <, zato v T ni lokalnega ekstrema. (g) f x x + y, f y x y +, T (,, ) 8 f xx, f yy, f xy, AC B <, zato v T ni lokalnega ekstrema. (h) f x y x, f y x + y f xx, f yy 6y, f xy T (,,), A C B 9 <, zato v T ni lokalnega ekstrema T ( 9,, 7 6 ), A C B ( 9) 9 >, A <, zato je v T lokalni maksimum. (i) f x xy + y, f y x + y + x T (,,), T (,,), T (,, ) f xx y, f yy, f xy x + A C B 6 <, zato v T, zato v T ni lokalnega ekstrema.

51 Funkcije dveh spremenljivk 5 A C B 6 <, zato v T, zato v T ni lokalnega ekstrema. A C B 8 >, A >, zato je v T lokalni minimum. (j) f x x + y, f y y + + x, T (6,, 8) f xx, f yy, f xy, AC B >, A >, zato je v T lokalni minimum. (k) f x e x +x y ( x + ), f y e x +x y ( y) T (,,e ), T (,,e ) f xx e x +x y (x x x + ), f yy e x +x y (y ), f xy ye x +x y ( x + ) A C B e >, A <, zato je v T lokalni maksimum. A C B e <, zato v T ni lokalnega ekstrema. (l) f x e x (x y + ), f y e x ( y) y, T (,, e ) f xx e x (x y + ), f yy e x, f xy ye x AC B 8e <, zato v T ni lokalnega ekstrema vsota x k y k,5, 5, 6, 7 xk 9 6 x k y k,5 6,8 5, 8,6 a b n n k n k n n (x k y k ) k kx k ) n x k n kx k ( n k y k a n x k k n y k 8,6 7, 7,, Enačba premice: y,x +, vsota x k y k 6, 8,5 9,7, 5,6 xk 9 6 x k y k 6, 7 9, 5, 97, a 97, 5,6,68 b 5,6,68,7 y,68x +,7 vsota x k 6 8 y k,5 6, 8,,8 xk x k y k 6 8 7, 6, a 6,8,85 b,8,85, y,85x +, vsota x k 6 8 y k,7,5 8,,8 6, xk x k y k, 8 8,6, 7, a 7, 6,,995 b 6,,995,5 y,995x,5 vsota x k y k 6, 8,5,, 5 xk 9 6 xk y k xk 6,, 6,9,8 57,8 Formule priredimo za kvadratno funkcijo: n n (x n k y k) x n k y k k k k a ) 57,8 5, n 5 n xk n k kx k ( n k n x k y k a k b n y,x +,78 5,,78

52 5 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete 8. vsota x k 5 5 y k, 5, 6, 6,8 7, 9,8 lnx k,69,,9,6,79 (lnx k )y k,7 6,8 9,,75,7 (lnx k ),8,,9,59 6, Formule priredimo za logaritemsko funkcijo: n n n n ((lnx k )y k ) k y k k a klnx k ( n n ) n (lnx k ) k k klnx 5,7,79 9,8,97 5 6,,79 n n k y k a lnx k k b n y,97lnx +,7 9,8,97,79 5,7 9. Da bomo računali z manjšimi vrednostmi, zapišemo letnice samo z zadnjima dvema števkama. (a) a , b , , y 98,x + 5.8, x k y k xk x k y k.9, , ,.8, , ,6.787, , ,.8, ,.7, , , , vsota ,7 5 9 (b) x k y k xk x k y k vsota a 7.98, , b 7,7,8 7.79, y,8x,96576

53 8 Integral x x + x x Zgled Izračunajte nedoločeni integral x dx. Najprej izraz znotraj integrala poenostavimo, kar pomeni, da vsak člen v števcu delimo z x. Nato izračunamo integral vsakega člena posebej. x x + x ( x x x dx x x x + x x x x ) x dx (x + ) x x x dx x x + ln x x + x +C Zgled S pomočjo uvedbe nove spremenljivke izračunajte tgx dx. sinx tgx dx cosx dx Uvedemo novo spremenljivko cosx t in z odvajanjem določimo njen diferencial: sinx dx dt. sinx cosx dx dt ln t +C ln cosx +C t Zgled S pomočjo integracije po delih (per partes) izračunajte xcosx dx. Uporabimo formulo za per partes in določimo: u x, du dx, dv cosx dx, integriramo v sinx. xcosx dx xsinx sinx dx xsinx + cosx +C Zgled Izračunajte nedoločeni integral x + x + 7x + dx. Integral racionalne funkcije, pri katerem lahko imenovalec razstavimo na linearne člene, računamo s pomočjo razcepa na parcialne ulomke. x+ x +7x+ x+ (x+5)(x+) x+5 a + x+ b x + ax + a + bx + 5b Dobimo sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama a + b, a + 5b, ki ima rešitev a, b (. ) x + x + 7x + dx x dx x + ln x ln x + +C Elementarni integrali: funkcija nedoločeni integral x n xn+ n+ x ln x e x e x a x lna ax sinx cosx cosx sinx cos x tgx sin x ctgx +x arctgx x x +a, n arcsinx ln x + a + x Uvedba nove spremenljivke: t g(x), dt g (x) dx, f (g(x))g (x) dx f (t) dt Per partes: u dv uv v du Integracija racionalnih funkcij f (x) p(x), pri katerih lahko q(x) imenovalec razcepimo na linearne člene: Če stopnja števca p(x) ni manjša od stopnje imenovalca q(x), števec delimo z imenovalcem: f (x) r(x) + p (x), kjer ima q(x) p (x) nižjo stopnjo od q(x). Racionalno funkcijo p (x) zapišemo kot vsoto parcialnih ulomkov, q(x) ki imajo v imenovalcu samo potence linearnih členov: p (x) p (x) q(x) (x x )(x x )(x x ) a b c d x x + x x + x x + (x x ) Integriramo posebej količnik r(x) in vsak parcialni ulomek.

54 5 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete Newton - Leibnizova formula: Naj bo f zvezna funkcija na intervalu [a,b]. Če je F poljuben nedoločeni integral funkcije f, je b f (x)dx F(x) b F(b) F(a). a a Povprečna vrednost funkcije na intervalu [a, b]: f [a,b] b f (x) dx b a a Ploščina lika pod krivuljo: f(x) π Zgled 5 Izračunajte določeni integral x cosx dx. Uvedemo novo spremenljivko, pri tem pa v integralu ustrezno spremenimo tudi meje, da se nam ni več treba vračati k stari spremenljivki. x t, x dx dt, nova spodnja meja: t() nova zgornja meja: t ( ) π π π π π x cosx dx cost dt π sint Za dobljeni nedoločeni integral uporabimo Newton - Leibnizovo formulo. sin π sin Zgled 6 Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo graf funkcije f (x) x + 8x + in obe koordinatni osi. a b p f (x) dx a b Najprej določimo ničle funkcije in narišemo njen graf. x + 8x + (x + 6)(x + ), x 6, x 8 Ploščina lika med grafoma zveznih funkcij f in g na intervalu [a,b] je b enaka P f (x) g(x) dx. a Prostornina in površina plašča vrtenine: b V π f (x) dx a b PL π f (x) + ( f (x)) dx a f(x) Ploščino izračunamo s pomočjo določenega integrala v mejah med in. ( ) x p (x + 8x + )dx + x + x ( ) ( ) + ( ) + ( ) Zgled 7 Izračunajte prostornino telesa, ki ga dobite, če graf funkcije f (x) x + 5x + 6 med ničlama zavrtite okoli osi x. a b Najprej določimo ničle funkcije: f (x) (x + )(x + ), x, x Pri izračunu uporabimo formulo za kvadrat tričlenika: (x + y + z) x + y + z + xy + xz + yz V π (x + 5x + 6) dx π (x + x + 7x + 6x + 6)dx ( ) x 5 π 5 + x + 7x + 6x + 6x ( ) ( ) 5 π + ( ) + 7( ) + 6( ) + 6( ) ( 5 ) ( ) 5 π + ( ) + 7( ) + 6( ) + 6( ) π 5,

55 Integral Nedoločeni integral. Izračunajte naslednje nedoločene integrale: (a) (x x + 7) dx (b) (x 9 x x ) dx (c) (6x 6x + x x + 6x ) dx (d) (x 5 + x 5 ) dx (e) x x dx (f) (g) (h) (i) (j) x x dx (x + )(x ) dx x x dx x x x dx x x x + 6 dx, x. S pomočjo uvedbe nove spremenljivke izračunajte naslednje nedoločene integrale: (a) x e x dx 6x (b) x + dx ln x + 6 (c) dx x x (d) (x 5) dx (e) 5x 9 (x + ) dx (f) x 5 x dx (g) ln x dx x (h) cos 5 xsinx dx (i) lnx dx x cosx (j) sinx dx 5x (k) x + dx x (l) + x dx (m) dx 6 x (n) x + 9 dx (o) cos 5 x dx (( sin x)cos x) dx e x (p) dx e x + sin x (q) cosx dx sinx x 5 (r) x + dx. Izračunajte naslednje nedoločene integrale s pomočjo integracije po delih (per partes): (a) (x )sinx dx. (b) lnx x dx. Izračunajte naslednje nedoločene integrale: (c) (d) xe x dx x cosx dx (a) (b) x 6 x 7x + dx dx x 9 (c) (d) x + x 7x + dx 6x + 8x x x 5 dx

56 56 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete 8. Določeni integral 5. Izračunajte naslednje določene integrale: (a) (b) (c) (d) (e) x dx x dx x π/ π xsin(x ) dx x x + 9 dx sinx cos x dx (f) (g) (h) (i) (j) π 6 (x + ) 5x + x + dx e cosx sinx dx x (x + ) x + dx (x + ) x + x dx x x + 5x + dx 8. Ploščine in prostornine 6. Izračunajte ploščino območja, ki ga omejujeta graf funkcije f (x) x + x + 6 in os x. 7. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo graf funkcije f (x) x in obe koordinatni osi. 8. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo y x, x in os x. 9. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta os x in krivulja y x + 7x.. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo graf funkcije f (x) x in obe koordinatni osi.. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo graf funkcije f (x) x 6x + 9 in obe koordinatni osi.. Poiščite ploščino območja, ki ga omejujeta grafa funkcij f (x) x 7x + 6 in g(x) x + x.. Izračunajte ploščino lika, ki ga oklepata grafa funkcij f (x) x x in f (x). +. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij f (x) e x+ in g(x) e x+ ter os y. 5. Izračunajte ploščino območja, omejenega z grafoma funkcij f (x) x x in g(x) x Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo grafa funkcij y x x in y x 8x + 8 ter os x. 7. Poiščite ploščino območja, ki ga omejujeta grafa funkcij f (x) x + 5, g(x) x + 5 in os x. 8. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij f (x) e x+ in g(x) e x+ ter os y. 9. Poiščite ploščino območja, ki ga omejujeta grafa funkcij f (x) x in g(x) x x +.. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo os x, premica x in krivulja y x x Izračunajte ploščino lika, ki ga oklepajo krivulja y x x, premica x in os x. +. Izračunajte prostornino vrtenine, ki jo dobite, če funkcijo f (x) x + zavrtite okrog x-osi med x in x.. Izračunajte prostornino telesa, ki nastane, če graf funkcije f (x) x + x med ničlama zavrtimo okrog osi x.. Izračunajte prostornino telesa, ki ga dobite, če graf funkcije f (x) x 7x + med ničlama zavrtite okoli osi x. 5. Izračunajte prostornino vrtenine, ki jo dobite, če graf funkcije f (x) x med ničlama zavrtite okrog osi x. 6. Izračunajte prostornino vrtenine, ki jo dobite, če funkcijo f (x) x 8 zavrtite okrog x-osi med x in x. 7. Izračunajte prostornino telesa, ki nastane z vrtenjem krivulje y e x x na intervalu [,] okoli osi x. 8. Rešitve.(a) (b) (c) (d) x x + 7x +C x x ln x + +C 6x 5 5 x x x + x x 5 x 6 6 x +C 5 +C

57 Integral 57 (e) x dx x 5 +C x C ( ) (f) x x x dx (x x) dx x x +C x ( x x (g) dx x x x x ) dx x ( ) (h) x ( ) dx x x x x ( x x dx x x 5 5 +C (x ) (i) (x )(x + ) dx (x dx arctgx +C + ) ( (j) x ) x + dx x x x x + ln x +C.(a) Nova spremenljivka: x t, x dx dt, x dx dt e x (x dx) e t dt et +C ex +C ) dx x x ln x +C (b) Nova spremenljivka: x + t, x dx dt (x dx) x + t dt ln t +C ln x + +C (c) Nova spremenljivka: lnx t, x dx dt ln x + 6 t x dx ( ) + 6 t dt + dt t 6 + t +C ln x + lnx +C 6 (d) Nova spremenljivka: x 5 t, dx dt, x t + 5 ( t + 5 t dt t + 5 ) (t t dt + 5t ) dt t + 5t +C t 5 t +C 5 +C (x 5) (x 5) (e) Nova spremenljivka: x + t, x 9 dx dt ( x + ) x 9 dx t t dt +C (x + ) +C (f) Nova spremenljivka: 5 x t, x dx dt, x dx dt t dt t +C t 6 +C (5 x ) +C 6 (g) Nova spremenljivka: lnx t, x dx dt t dt t +C ln x +C (h) Nova spremenljivka: cosx t, sinx dx dt t 5 dt t6 6 +C 6 cos6 x +C (i) Nova spremenljivka: lnx t, x dx dt t dt t (lnx ) +C +C (j) Nova spremenljivka: sinx t, cosx dx dt dt ln t +C ln sinx +C t (k) Nova spremenljivka: x + t, x dx dt 5 t dt 5 ln t +C 5 ln x + +C (l) Nova spremenljivka: x t, x dx dt ( + t ) dt arctgt +C arctgx +C (m) Nova spremenljivka: x t, dx dt dx dx 6( 6 x ) 6 x (n) Nova spremenljivka: x t, dx dt t dt arcsint +C arcsin x +C

58 58 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete ( ) 9 x 9 + dx (t + ) dx arctg t +C arctg x +C (o) Nova spremenljivka: sinx t, cosx dx dt ( sin x) cosx dx ( t ) dt ( t +t ) dt t t + t5 5 +C sinx sin x + sin5 x +C 5 (p) Nova spremenljivka: e x t, e x dx dt dt dt t ( ), nova spremenljivka: t dt u, du t du arcsinu +C arcsin t ex +C arcsin u +C (q) Nova spremenljivka: sinx t, cosx dx dt + t ( dt t t ) + t dt ln t + t +C ln sinx + sin x +C (r) Nova spremenljivka: x + t, x dx dt, x t x x ( t x + dx dt t ) dt t t ln t +C (x + ) ln x + +C.(a) Per partes: u dv uv v du, u x, du dx, dv sinx dx, v cosx (x )sinx dx (x )cosx ( cosx) dx (x )cosx + sinx +C (b) Per partes: u lnx, du x dx, dv x dx, v x lnx lnx dx x x + x dx lnx x x +C (c) Per partes: u x, du dx, dv e x dx, v ex xe x dx xex e x dx xex ex 9 +C (d) Per partes: u x, du x dx, dv cosx dx, v sinx x cosx dx x sinx xsinx dx Še enkrat uporabimo per partes. u x, du dx, dv sinx dx, v cosx x sinx + xcosx cosx dx x sinx + xcosx sinx +C ( x 6.(a) x 7x + dx x + ) dx ln x + ln x +C x x 6 (x )(x ) x a + x b x 6 ax a + bx b a + b, 6 a b a, b dx (b) x 9 ( x + ) dx (ln x + ln x + ) +C x + x 9 x a + x+ b ax + a + bx b a + b, a b a b ( ) x + 6 (c) x 7x + dx (x 5) 7 dx 6 (x ) ln x 5 7 ln x +C x+ x 7x+ x 5 a + x b x + ax a + bx 5b a + b, a 5b a 6, b 7

59 Integral 59 (d) Delimo in razbijemo na parcialne ulomke: (6x + 8x ) : (x x + 5) 6, ostanek je x 6x ( ) + 8x x x 5 dx x 6 + x dx x + 5 ( 6x + x 5 + ) dx 6x + ln x 5 + ln x + +C x + x x x 5 x 5 a + x+ b x ax + a + bx 5b a + b, a 5b a, b 5.(a) x x 6 (b) Nova spremenljivka: x t, x dx dt x dx dt x t (c) Nova spremenljivka: x t, x dx dt π/ sint dt cost π/ (d) Nova spremenljivka: x + 9 t, x dx dt x x + 9 dx 9 dt t 9 t dt t (e) Nova spremenljivka: cosx t, sinx dx dt π sinx cos x dx ( dt) t t t (f) Nova spremenljivka: t 5x + x +, dt (x + ) dx (x + ) 5x t + x + dx t dt (g) Nova spremenljivka: t cosx, dt sinx dx π e cosx sinx dx e t dt e t + e (h) Nova spremenljivka: x + t, x dx dt 6 x (x + ) x + dx 9 dt t t 9 (i) Nova spremenljivka: x + x t, (x + ) dx dt (x + ) x + x dx t dt t 5, 8 9 t 9 9,9 t dt t 9 9 t 9 (j) Delimo in razbijemo na parcialne ulomke: x : (x + 5x + ), ostanek je 5x. 5x x +5x+ x+ a + x+ b, a 6, b x ( x + 5x + dx 6 x + + ) ( dx x 6 x + ln x + + ) ln x + 6 ln8 + ln5 + 6 ln,8 6. f (x) x + x + 6 (x )(x + ) ) P ( x +x+6)dx ( x + x + 6x ( ) 7. ( x x ) dx ln x ) ) ( ( ( ) + ( ) + 6 ( ) 5 6 ln,8, P,8 ln

60 6 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete 6 f(x) x + x + 6 f(x) x 5 8. P x x dx P. f(x) x 5 ( x ( x + 7x )dx ( ) ( x x ) dx ln x f(x) x + 7x x ) 5 ln 8,7, P,7 ln 8 f(x) x + 7x 5 6 ) ) ( ( + 7,5 f(x) x 6x ( ) x. P (x 6x + 9) dx 6x + 9x 9. Presečišča: x 7x + 6 x + x, x, x P 5 6. Presečišča: (( x + x ) (x 7x + 6)) dx g(x) x + x f(x) x 7x + 6 x x +, x, ± 6 8 ( x + x 8) dx f(x) ) ( x + x 8x 9 x x + 5 6

61 Integral 6 + ( ) x P x + dx x + Nova spremenljivka: x + t, x dx dt dt t + ln t 8+ 8,8. Presečišče: e x+ e x+, x + x +, x P (e x+ e x+ )dx Za vsako funkcijo uvedemo novo spremenljivko: x + t, dx dt x + s, dx ds P 5 e t dt 5 e s ds e t 5 es 5 e + e e 5,8 5 f(x) e x+ g(x) x + 5 f(x) x x 5. Presečišča: x x x +, x, x ( ) P x + x ( dx x + x x + ) x 6. Presečišče: x x x 8x + 8, x ( x P (x x) dx + (x 8x + 8) dx f(x) x x g(x) x 8x x 6 5 ( x dx + x + ) ln x ln,5 ) 6 ( ) x 8 + 9x + 8x 5,9 6 g(x) x + 5 f(x) x Presečišča: x + 5 x + 5, x x + 5 x + 5, x je presečišče, x ni presečišče. Ničla: x + 5, x 5 9 dt P x + 5 dx + ploščina trikotnika t 5 + t 9 + 9,5 Nova spremenljivka: x + 5 t, dx dt 8. Presečišče: e x+ e x+, x + x +, x ( P e x+ e x+) dx Za vsako funkcijo uvedemo novo spremenljivko: x + t, dx dt x + s, dx ds P e t dt + e s ds e t + es e + e e 6,

62 6 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete 5 f(x) x g(x) x x + 5 f(x) e x+ g(x) e x Presečišče: x x x +, x x + x (x )(x + ), x P x dx + (x x + ) dx x ( ) x + x + x 7. Nova spremenljivka: x + 5 t, x dx dt Izrazimo: x dx x x dx t 5 dt ( ) P x x t 5 dt + 5 dx t ( ) t 5t dt t 5 8 8,5 5 t,5 5, 8 f(x) x x + f(x) x x + 5. Nova spremenljivka: x + t, x dx dt x 5 P x + dx dt t ln t 5 ln5,8 ( ) x. V π (x + ) dx π (x 6 + x 7 + ) dx π 7 + x + x,. f (x) (x + )(x ), ničle: x, x ( ) x V π (x +x ) dx π (x +x x 5 x+9) dx π 5 + x x 6x + 9x. f (x) (x )(x 5), ničle: x, x ( x V π (x 7x+) dx π (x x +69x 5 x+) dx π 8,π 5, 5. f (x) x (x + )(x ), ničle: x, x V π 6. V π (x ) dx π (x 8) dx π ( x (x 8x 5 + 6)dx π 5 8x ( x (x 6 6x 7 + 6) dx π ) + 6x 7 6x + 6x 5 5 π 7, 5 x + 9x x + x 5 5 π 7, ) 99, 7. Uporabimo integracijo po delih (per partes): u x, du dx, dv e x dx, ( v ex V π e x xe x dx x ) ( π e x dx π e 8 ) ( 7 ex π e8 + ) 6.89, 5 ) 5

63 9 Kombinatorika, verjetnost in slučajne spremenljivke Poskus in dogodek sta osnovna pojma v verjetnostnem računu. Poskusi so: met kocke, met kovanca, ustrelimo v tarčo, iz kupčka kart izberemo tri karte,... Poskus je realizacija natančno določenih pogojev, pri katerih opazujemo enega ali več dogodkov. Dogodek je vsak pojav, ki se v poskusu lahko zgodi ali pa tudi ne. Ali se je dogodek zgodil, je jasno šele po realizaciji poskusa. Popolni sistem dogodkov je množica paroma nezdružljivih dogodkov (dogodkov, ki se ne morejo zgoditi hkrati), katerih vsota je gotov dogodek. (Dogodek, ki se zgodi pri vsaki ponovitvi poskusa.) Če je dogodek A vsota m dogodkov iz popolnega sistema n enako verjetnih dogodkov, je njegova verjetnost enaka P(A) m n. Lastnosti verjetnosti: Verjetnost dogodka A je lahko največ : P(A). Vsota verjetnosti dogodka A in nasprotnega dogodka Ā je enaka : P(A) + P(Ā). Verjetnost gotovega dogodka je enaka, verjetnost nemogočega dogodka pa je enaka. Verjetnost vsote slučajnih dogodkov A in B je enaka P(A B) P(A) + P(B) P(A B). Naj bosta A in B dogodka v istem poskusu in naj velja P(B) >. Pogojna verjetnost P(A B) je verjetnost dogodka A pri pogoju, da se je zgodil dogodek B: P(A B) P(A B). P(B) Dogodka A in B sta neodvisna, če velja P(A B) P(A)P(B). Zgled Dane so črke C, E, L, O in V.. Koliko različnih razporedov teh črk obstaja? V vrsto bomo razporedili vse črke. Ker so vse črke različne, so to permutacije brez ponavljanja: P 5 5! 5. Črke naključno postavimo v vrsto. Kolikšna je verjetnost, da smo dobili besedo LOVEC? Ugoden je samo en razpored črk. Vseh možnih razporedov črk je. P(LOVEC). Iz danih črk sestavljamo -črkovne besede. Koliko različnih besed obstaja? Črke razporejamo v vrsto, vendar ne bomo izbrali vseh. To so variacije Pri permutacijah brez ponavljanja reda n razporejamo n med seboj različnih elementov v vrsto dolžine n. Njihovo število je enako P n n!. Pri permutacijah s ponavljanjem reda n razporejamo n ne nujno različnih elementov v nize dolžine n. Prvi element se pojavi n -krat, drugi element n -krat,...,r-ti element se pojavi n r -krat in n + n + + n r n. Število permutacij s ponavljanjem je enako p P n,n,...,n r n! n n!n! n r! Pri variacijah brez ponavljanja reda r razporejamo r različnih elementov iz množice n elementov v niz dolžine r, r n. Njihovo število je enako V r n n (n )... (n r + ) n! (n r)!. Variacije s ponavljanjem reda r so razporedi elementov iz množice z n različnimi elementi v niz dolžine r, pri čemer se lahko elementi ponavljajo. Njihovo število je enako p V r n n r. Kombinacije brez ponavljanja reda r iz n elementov so podmnožice z r elementi množice z n elementi, r n. Njihovo število je enako Cn r ( n r ) n! r!(n r)! n (n )... (n r+) r!, kjer je ( n r ) binomski simbol.

64 6 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete Kombinacije s ponavljanjem reda r so izbori r elementov iz množice z n elementi, pri čemer se lahko posamezni element v izboru poljubnokrat ponovi. Njihovo število je enako: pc r n C r n+r (n+r r ) Poskuse X,X,... imenujemo Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov, če je poljuben dogodek iz enega poskusa neodvisen od katerega koli dogodka ali produkta dogodkov iz drugih poskusov in se v vsakem poskusu lahko zgodi le dogodek A z verjetnostjo P(A) p ali nasprotni dogodek Ā z verjetnostjo P(Ā) p q. Bernoullijeva formula nam pove verjetnost, da se v n zaporednih poskusih dogodek A zgodi natanko k-krat: P n (k) ( n k )pk q n k. brez ponavljanja: V 5 5. Iz danih črk sestavljamo -črkovne besede. Kolikšna je verjetnost, da se bo dobljena beseda začela na soglasnik? Za prvo črko, ki mora biti soglasnik, imamo možne izbire. Za drugo črko imamo možne izbire, saj smo eno črko že porabili. Podobno imamo za tretjo črko le še možne izbire in za četrto možni izbiri. C,L,V 7 izbire izbire izbire izbiri To je skupaj 7 različnih besed, kar zapišemo v števec. V imenovalcu je število vseh možnih besed (), kar smo izračunali v prejšnji točki. P(beseda se začne na soglasnik) 7,6 5. Iz danih črk sestavljamo -črkovne besede. Kolikšna je verjetnost, da bomo sestavili besedo VOLK? P(VOLK), saj besede VOLK ne moremo sestaviti, ker nimamo črke K. 6. Naključno izberemo dve črki. Kolikšna je verjetnost, da smo izbrali E in O? Ker črke samo izbiramo, vrstni red ni pomemben. To so kombinacije. Ugodna je ena sama možnost (v števcu je ). P(E in O) C 5 ( 5 ) 5 7. Naključno izberemo dve črki. Kolikšna je verjetnost, da sta izbrani črki soglasnika? Spet govorimo o kombinacijah. Izmed treh soglasnikov moramo izbrati dve črki. C ( ) P(soglasnika) C C 5 8. Naključno izberemo dve črki. Kolikšna je verjetnost, da bo druga črka soglasnik, če je bila prva črka soglasnik? Izračunati moramo pogojno verjetnost. P(druga soglasnik prva soglasnik) P(obe soglasnika) P(prva soglasnik) 5 Zgled Študent je moral na izpitu pri vsakem od dvanajstih vprašanj obkrožiti pravilen odgovor izmed treh podanih odgovorov. Vsakokrat je bil pravilen natanko eden od odgovorov. Ker se študent na izpit ni pripravil, je obkrožal na slepo.. Kolikšna je verjetnost, da je pravilno rešil natanko šest vprašanj? Odgovori na vprašanja so med seboj neodvisni, možna pa sta samo dva izida: pravilen odgovor na vprašanje z verjetnostjo (ena pravilna možnost od treh) ali nepravilen odgovor z verjetnostjo. To je Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov. Zanima nas verjetnost, da bo v dvanajstih poskusih šest ugodnih izidov. P (6) ( 6 )( ) 6 ( ) ( 6),. Kolikšna je verjetnost, da ni pravilno rešil nobenega vprašanja? P () ( )( ) ( ),8. Kolikšna je verjetnost, da je pravilno rešil 7 ali 8 vprašanj? P (7) + P (8) ( 7 )( ) 7 ( ) ( 7) + ( 8 )( ) 8 ( ) ( 8),77 +,9,6 Za diskretne slučajne spremenljivke velja, da je njihova zaloga vrednosti končna ali števno neskončna. Diskretne slučajne spremenljivke predstavimo z verjetnostno shemo.

65 Kombinatorika, verjetnost in slučajne spremenljivke 65 ( ) x x x x n X : p p p p n Ta zapis pomeni, da spremenljivka X z verjetnostjo p k zavzame vrednost x k, p k P(X x k ), k,...,n. Ker tvorijo vrednosti x,x,... popoln sistem dogodkov, je vsota njihovih verjetnosti enaka. p + p + + p n Matematično upanje ali povprečna vrednost spremenljivke X je definirano n kot E(X) p k x k p x + p x + + p n x n. k Varianca ali disperzija slučajne spremenljivke X je enaka V (X) E(X E(X)) E(X ) E (X). Standardni odklon slučajne spremenljivke X je enak σ(x) V (X). Porazdelitvena funkcija slučajne spremenljivke X je enaka F(x) P(X < x). Za diskretno slučajno spremenljivko velja F(x) p k. k<x Zgled Štirikrat zaporedoma vržemo kovanec. Slučajna spremenljivka X meri število padlih cifer. Zapišite njeno verjetnostno shemo. Kolikšna je verjetnost, da bosta padli vsaj cifri? Izračunajte matematično upanje, varianco in standardni odklon slučajne spremenljivke X. Verjetnostna shema ima v prvi vrstici zapisane vrednosti, ki jih lahko zavzame slučajna spremenljivka X, v drugi vrstici pa verjetnosti za nastop teh vrednosti. Pri štirih metih kovanca lahko pade od do cifre. Verjetnosti izračunamo s pomočjo ( Bernoullijeve formule. ) X : P() ( ) 6, P() ( ) ( ), P() ( ) ( ) 8, P() ( ) ( ), P() ( ) ( ) 6 P(X ) P(X ) + P(X ) + P(X ) E(X) V (X) E(X ) E(X) σ(x) V (X) Zvezna slučajna spremenljivka ima zalogo vrednosti enako realnim številom ali nekemu intervalu. Zvezne slučajne spremenljivke so podane z zvezno funkcijo p(x) P(X x), ki jo imenujemo gostota verjetnosti. Slučajna spremenljivka X je zvezno porazdeljena, če lahko za vsak x R njeno porazdelitveno funkcijo zapišemo v obliki F(x) Velja: F (x) p(x). x p(t)dt. Ker je F(x) naraščajoča funkcija, je p(x). p(x)dx. x P(x X < x ) F(x ) F(x ) p(x)dx. P(X x). Matematično upanje zvezne slučajne spremenljivke je enako E(X) Zgled Dana je zvezna slučajna spremenljivka X z gostoto porazdelitve { (ax + ) p(x), x <., sicer x xp(x)dx. Naj bodo možni izidi nekega poskusa števila. Izid ponovitve poskusa naj bo odvisen od slučaja. Govorimo o slučajni spremenljivki. Množico vrednosti, ki jih lahko slučajna spremenljivka zavzame, imenujemo zaloga vrednosti. Porazdelitveni zakon pove, kakšne so verjetnosti, da slučajna spremenljivka zavzame posamezno vrednost iz svoje zaloge vrednosti. Binomsko porazdeljena slučajna spremenljivka X b(n, p) meri število ponovitev nekega dogodka A, ki se zgodijo v n zaporednih neodvisnih poskusih. Dogodek A se v vsakem poskusu zgodi z verjetnostjo p. Zaloga vrednosti binomske slučajne spremenljivke je {,,,,...,n}, verjetnosti pa računamo po Bernoullijevi formuli: P n (k) ( n k )pk q n k. Matematično upanje binomske slučajne spremenljivke je enako E(X) np, varianca pa V (X) npq. Gostota verjetnosti normalne ali Gaussove porazdelitve je enaka p(x) σ π e (x µ) σ. Zapišemo X N(µ,σ). Velja E(X) µ in V (X) σ N(, ) N(, ) N(,.5) Porazdelitev N(, ) imenujemo standardizirana normalna porazdelitev. Če je X N(µ,σ), jo pretvorimo v standardizirano normalno spremenljivko Z N(,) po formuli z x µ σ. Velja P(a X < b) Φ ( b µ σ ) Φ ( ) a µ σ, pri čemer vrednosti funkcije Φ najdemo v tabeli. Velja še: Φ( x) Φ(x), Φ( ), 5 in Φ(x > ),5.

66 66 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete Določite a (a ), izračunajte P( X < ) in E(X). Veljati mora p(x)dx. (ax + ) dx (a x + ax + ) a + a +, a P( X < ) ( x + ) dx (x x + x) E(X) xp(x)dx x( x + ) dx ( ) 9x x + x 9 + ) (a x + ax + x (9x 6x + ) dx (9x 6x + x) dx 9. Kombinatorika in verjetnost. Dane so črke A, D, G, O, R, Z. (a) Koliko različnih razporedov teh črk obstaja? (b) Črke naključno postavimo v vrsto. Kolikšna je verjetnost, da smo dobili besedo GOZDAR? (c) Iz danih črk sestavljamo -črkovne besede. Koliko različnih besed obstaja? (d) Iz danih črk sestavljamo -črkovne besede. Kolikšna je verjetnost, da boste sestavili besedo ROKA?. V gozdu smo našli tri vrste hroščev: 5 rogačev, 6 bukovih rilčkarjev in hrastove kozličke. Hrošči iste vrste se med seboj razlikujejo. (a) Na koliko različnih načinov lahko vse hrošče postavimo v vrsto? (b) Na koliko različnih načinov lahko izberemo 5 hroščev, da jih pokažemo sošolcem? (c) Kolikšna je verjetnost, da bodo med 5 izbranimi hrošči sami rogači? (d) Kolikšna je verjetnost, da bodo med 5 izbranimi hrošči bukovi rilčkarji in hrastova kozlička?. Na voljo imamo števke,, 5, 7, 9 s katerimi zapisujemo naključna štirimestna števila. (a) Koliko različnih števil lahko zapišemo, če se števke ne smejo ponavljati? (b) Koliko različnih števil lahko zapišemo, če se števke lahko ponavljajo? (c) Kolikšna je verjetnost, da bomo zapisali število, ki je večje od, če se števke ne smejo ponavljati? (d) Kolikšna je verjetnost, da bomo zapisali število, ki je manjše od, če se števke lahko ponavljajo?. Na voljo imamo števke,,,, 5, 6, 7, s katerimi zapisujemo naključna štirimestna števila. (a) Koliko različnih števil lahko zapišemo, če se števke ne smejo ponavljati? (b) Koliko različnih števil lahko zapišemo, če se števke lahko ponavljajo? (c) Kolikšna je verjetnost, da bomo zapisali število 6, če se števke ne smejo ponavljati? (d) Kolikšna je verjetnost, da bomo zapisali število, ki je večje od, če se števke lahko ponavljajo? 5. Na voljo imamo števke,,,, 5, 6, 7, 8, s katerimi zapisujemo naključna trimestna števila. (a) Koliko različnih števil lahko zapišemo, če se števke ne smejo ponavljati? (b) Koliko različnih števil lahko zapišemo, če se števke lahko ponavljajo? (c) Kolikšna je verjetnost, da bomo zapisali število, če se števke lahko ponavljajo? (d) Kolikšna je verjetnost, da bomo zapisali število, ki je manjše od 5, če se števke ne smejo ponavljati? 6. Na listkih so zapisane črke A, E, J, L, M, Z. (a) Vse listke zložimo v vrsto. Koliko različnih "besed"lahko sestavimo? (b) Vse listke zložimo v vrsto. Kolikšna je verjetnost, da bomo dobili besedo ZEMLJA? (c) Izberemo štiri listke in jih zložimo v vrsto. Koliko različnih "besed" lahko sestavimo? (d) Koliko besed iz točke (c) se konča s črko E?

67 Kombinatorika, verjetnost in slučajne spremenljivke Na listkih so zapisane črke E, J, L, O, P. (a) Vse listke zložimo v vrsto. Koliko različnih "besed"lahko sestavimo? (b) Vse listke zložimo v vrsto. Kolikšna je verjetnost, da bomo dobili besedo POLJE? (c) Izberemo tri listke in jih zložimo v vrsto. Koliko različnih "besed"lahko sestavimo? (d) Koliko besed iz (c) se začne s črko L? 8. Na pašniku se pase 6 rjavih krav in črno-bele krave. (a) Na koliko različnih načinov lahko izmed njih izberemo krave? (b) Kolikšna je verjetnost, da bosta dve izbrani kravi rjavi in dve črno-beli? 9. Na pašniku se pase 7 koz burske pasme in 6 koz drežniške pasme. (a) Na koliko različnih načinov lahko izmed njih izberemo 5 koz? (b) Kolikšna je verjetnost, da bodo izbrane koze burske pasme in kozi drežniške pasme?. V hlevu imamo lipicance in mustange. (a) Na koliko različnih načinov lahko izmed njih izberemo konja? (b) Kolikšna je verjetnost, da bosta oba izbrana konja lipicanca?. V posodi je 5 enakih rdečih in 8 enakih modrih kroglic. (a) Na koliko različnih načinov lahko vse kroglice razvrstimo v vrsto? (b) Iz posode povlečemo dve kroglici. Kolikšna je verjetnost, da sta obe modri? (c) Iz posode povlečemo dve kroglici. Kolikšna je verjetnost, da sta obe modri ali pa obe rdeči? (d) Iz posode povlečemo dve kroglici. Kolikšna je verjetnost, da je druga modra, če je prva modra?. V vrečki imamo 5 zrn belega fižola, zrna rdečega fižola in zrna rjavega fižola. Na slepo izvlečemo tri zrna. (a) Kolikšna je verjetnost, da so vsa tri zrna bela? (b) Kolikšna je verjetnost, da je eno zrno rdeče in dve zrni rjavi? (c) Kolikšna je verjetnost, da je tretje zrno rdeče, če sta bili prvi dve rjavi?. Na listkih so črke K, O, K, O, Š, K in A. Vse listke na slepo postavimo v vrsto. (a) Koliko različnih besed lahko sestavimo na tak način? (b) Koliko besed se začne na črko Š?. Na listkih so črke V, E, T, E, R, I, N, A in R. Vse listke na slepo postavimo v vrsto. (a) Koliko različnih besed lahko sestavimo na tak način? (b) Koliko besed se začne na črko T? 5. V škatli je pet listkov s številkami,, 5, 6 in 7. Na slepo izvlečemo tri listke in jih postavimo v vrsto. (a) Koliko različnih števil lahko dobimo na tak način? (b) Koliko števil je večjih od? 6. V škatli je sedem listkov s številkami,,, 5, 6, 7 in 8. Na slepo izvlečemo pet listkov in jih postavimo v vrsto. (a) Koliko različnih števil lahko dobimo na tak način? (b) Koliko števil je manjših od 5? 7. Na polici imamo rdečih, 8 belih in 6 modrih knjig. Naključno izberemo knjige. (a) Kolikšna je verjetnost, da so vse izbrane knjige različnih barv? (b) Kolikšna je verjetnost, da sta vsaj knjigi rdeči? (c) Kolikšna je verjetnost, da so vse tri knjige rdeče ali da so vse tri knjige modre? (d) Kolikšna je verjetnost, da niso vse tri knjige modre? (e) Kolikšna je verjetnost, da je tretja knjiga bela, če sta prvi dve izbrani knjigi tudi beli? 8. Koliko različnih kosil lahko sestavimo, če imamo na voljo 7 različnih jedi in izberemo ali jedi? 9. Kupili smo 9 bukovih, 8 smrekovih in 6 hrastovih desk. Desk iste vrste ne ločimo med seboj. Deske smo zložili eno na drugo. (a) Koliko različnih razporedov lahko naredimo? (b) Kolikšna je verjetnost, da je na vrhu smrekova deska?. Iz kompleta 5 običajnih kart na slepo izvlečemo karti. Kolikšna je verjetnost, (a) da dobimo asa in fanta?

68 68 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete (b) da sta izvlečeni karti iste barve (pik, križ, karo ali srce)? (c) da nista obe izvlečeni karti križevi? (d) da je prva karta kralj, če sta obe karti srčevi? (e) da sta obe karti kralja, če sta obe karti srčevi?. V zaboju imamo 9 jabolk. Dve jabolki sta na spodnji strani gnili. Naključno izberemo jabolka. Kolikšna je verjetnost, da ne bo nobeno jabolko gnilo?. Na polici je otroških knjig. knjige so otroci porisali. Naključno izberemo knjigi. Kolikšna je verjetnost, da ne bo nobena knjiga porisana?. Študent želi obedovati. Izbira lahko med tremi restavracijami, ki ponujajo različne jedi. V prvi restavraciji imajo na voljo tri različne juhe, pet glavnih jedi in dve sladici, v drugi dve juhi, štiri glavne jedi in tri sladice, v tretji restavraciji pa dve juhi, 6 glavnih jedi in štiri sladice. Koliko različnih menijev ima študent na voljo, če se odloča med meniji prve, druge ali tretje restavracije?. Podjetnik ima stroje. Verjetnost, da se v delovnem dnevu pojavi napaka na stroju S je,5. Verjetnost za napako na stroju S je,, na stroju S je verjetnost za napako,8 in na stroju S je,9. Napake na strojih se pojavljajo neodvisno druga od druge. (a) Kolikšna je verjetnost, da se bo danes pojavila napaka na vseh štirih strojih? (b) Kolikšna je verjetnost, da se bo danes pojavila napaka na natanko enem stroju? (c) Kolikšna je verjetnost, da bodo danes delali vsi stroji brez napake? (d) Kolikšna je verjetnost, da se je včeraj pojavila napaka na stroju S, če vemo, da se je včeraj pojavila napaka na natanko enem stroju? 9. Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov 5. Študent se je od 5 vprašanj za izpit naučil vprašanj. Kolikšna je verjetnost, da izpit naredi, če (a) mora znati odgovoriti na vsa tri vprašanja na listku; (b) mora znati odgovoriti vsaj na dve vprašanji na listku? 6. Kolikšna je verjetnost, da bo v družini s 5 otroki več deklic kot dečkov? 7. Igralno kocko vržemo dvajsetkrat. (a) Kolikšna je verjetnost, da bomo dobili natanko eno šestico? (b) Kolikšna je verjetnost, da bomo dobili tri petice? 8. Igralec pri košarki zadene koš z verjetnostjo 9. (a) Kolikšna je verjetnost, da bo pri desetih metih vsakič zadel? (b) Kolikšna je verjetnost, da bo od desetih metov zadel natanko 8 košev? (c) Kolikšna je verjetnost, da bo pri desetih metih prvič zadel pri 5. metu? 9. Diskretne slučajne spremenljivke 9. Dana je diskretna slučajna spremenljivka z verjetnostno shemo X : Izračunajte p, E(X) in σ(x).. Dana je diskretna slučajna spremenljivka z verjetnostno shemo Y : Izračunajte p in a, če je E(Y ) 6. ( ( 5 7 9,,,, p a,,,5, p. Hkrati vržemo kocki. Naj bo Z slučajna spremenljivka, ki meri število padlih šestic. Zapišite verjetnostno shemo za spremenljivko Z. Kolikšna je verjetnost, da bo padla vsaj ena šestica? Izračunajte matematično upanje slučajne spremenljivke Z.. Sočasno vržemo dve igralni kocki. Slučajna spremenljivka X meri vsoto pik na kockah. Zapišite njeno verjetnostno shemo. Kolikšna je verjetnost, da bo vsota pik 6 ali 7? ) )

69 Kombinatorika, verjetnost in slučajne spremenljivke 69. V posodi so bele in 6 rdečih kroglic. Iz posode na slepo izvlečemo kroglice. Slučajna spremenljivka T meri število izvlečenih rdečih kroglic. Zapišite njeno porazdelitveno shemo in izračunajte njeno matematično upanje.. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena binomsko b(, p). Njena varianca je 5 8. Izračunajte p in E(X). 9. Zvezne slučajne spremenljivke 5. Določite parameter a tako, da bo p(x) { ax + ax, x <, sicer gostota neke zvezne porazdelitve. Izračunajte še E(X). x, x < a 6. Določite parameter a > tako, da bo p(x) 5a x, a x < a gostota neke zvezne porazdelitve in izračunajte, sicer P( X < )., x < 7. Določite parameter a tako, da bo F(x) ax x, x < porazdelitvena funkcija zvezne slučajne spremenljivke X in izračunajte njeno, x gostoto. 8. Naj bo slučajna spremenljivka Z porazdeljena standardizirano normalno. Izračunajte naslednje verjetnosti: (a) P( Z <,) (b) P(Z >,) (c) P(,6 Z <,8) (d) P(,5 > Z) 9. Naj bo slučajna spremenljivka Z porazdeljena standardizirano normalno. Določite vrednost parametra b tako, da bo P(,5 Z < b),5.. Naj bo slučajna spremenljivka Y porazdeljena normalno, Y N(5,, 8). Izračunajte naslednje verjetnosti: (a) P( Y < ) (b) P( Y < 7) (c) P(Y > 6,5) (d) P(Y,). Inteligenčni količnik je porazdeljen normalno s povprečjem in standardnim odklonom 5. (a) Kolikšna je verjetnost, da ima slučajno izbrana oseba IQ med 95 in 5? (b) Za koliko ljudi v Sloveniji pričakujemo, da bodo imeli IQ nad 5? (c) Kolikšen IQ ima 5% ljudi na sredini normalne porazdelitve? 9.5 Rešitve.(a) P 6 6! 7 (b) P(GOZDAR) 7 (c) V (d) P(ROKA).(a) P! 8,7 (b) C 5 ( 5 ) 5 (c) P(sami rogači) C5 5 C 5,5 (d) P( bukovi rilčkarji in hrastova kozlička) C 6 C C 5,.(a) V 5 5 (b) pv (c) 5,7,9 7 možnosti za število večje od P(število, večje od ) 7,6 (d) P(število, manjše od ).(a) V (b) pv7 7 (c) P(6) 8, (d) P(število, večje od ) ,57 5.(a) V

70 7 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete (b) pv8 8 5 (c) P() 5,95 (d) P(število, manjše od 5) 7 6 6,5 6.(a) P 6 6! 7 (b) P(ZEMLJA) 7, (c) V (d) E (a) P 5 5! (b) P(POLJE),8 (c) V5 5 6 (d) L 8.(a) C ( ) (b) P( rjavi in črno-beli) C 6 C C 9.(a) C 5 ( 5 ) 87 (b) P( burske in drežniški) C 7 C 6 C 5.(a) C7 (7 ) 5 6, (b) P(oba lipicanca) C C7,.(a) pp 5,8 5!8!! 87 (b) P(obe modri) C 8 (8 C ) 8 ( ) 78,6 (c) P(obe modri ali obe rdeči) P(obe modri) + P(obe rdeči),6 + C 5 C (d) P(druga modra prva modra) ,58,6 +,,9.(a) P(vsa tri zrna bela) C 5 C (b) P( zrno rdeče in rjavi) C C C , P(obe modri) P(prva modra) (5 ) ( ),5,8 (c) P(. zrno rdeče prvi dve rjavi).(a) pp, 7!! 7! ( )( ) ( ) (b) pp, 6!! 6! 6.(a) pp, 9!! 9! 97 (b) pp, 8!! 8! 8 5.(a) V5 5 6 (b) 8 6.(a) V (b) (a) P(knjige različnih barv) C C 8 C 6, C (b) P(vsaj rdeči knjigi) C C +C,7 C (c) P( rdeče knjige ali modre knjige) P( rdeče knjige) + P( modre knjige) C +C6,69 C (d) P(ne vse knjige modre) P(vse knjige modre) C 6,99 C (e) P(. bela knjiga prvi dve beli knjigi) C 8 P(vse tri knjige bele) P(prvi dve beli knjigi) C C 8 C,7 8. C7 +C (a) pp 9,8,6 557 (b) P(na vrhu smrekova deska) 8.(a) P(as in fant), C5 (b) P(iste barve) C,5 C5 (c) P(nista obe križevi) P(obe križevi) C,9 C5 (d) P(prva kralj obe srčevi) P(prva srčev kralj, druga srčeva) P(obe srčevi) C,5 (e) P, saj ni dveh srčevih kraljev.. P(nobeno gnilo) C 7 (7 C9 ) 5 ( 9 ) 8,7. P(nobena porisana) C 6 (6 C ) 5 ( ) 5, (a) P(napaka na vseh štirih strojih),5,,8,9, (b) P(napaka na natanko enem stroju) P(napaka na S, ostali brez napake)+p(napaka na S, ostali brez napake)+ +P(napaka na S, ostali brez napake) + P(napaka na S, ostali brez napake),5(,)(,8)(,9) + (,5),(,8)(,9)+ +(,5)(,),8(,9) + (,5)(,)(,8),9,6 (c) P(vsi brez napake),95,88,9,9,7 (d) P(napaka na S napaka na natanko enem stroju) P(napaka na S,ostali brez napake) P(napaka na natanko enem stroju),5,88,9,9,6, 5. Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov: (a) P () ( )( 5 ) ( (b) P () + P () ( )( 5 5) ( ),5 ) ( 5) ( ) +,5,8 +,5, Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov: P 5 () + P 5 () + P 5 (5) ( 5 )( ) ( ) (5 ) + ( 5 )( ) ( ) (5 ) + ( 5 5 )( ) 5 ( ) (5 5),5 +,56 +,,5

71 Kombinatorika, verjetnost in slučajne spremenljivke 7 7. Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov: (a) P () ( )( ) ( 56 ) ( ) 6, (b) P () ( )( ) ( 56 ) ( ) 6, 8. Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov: (a) P () ( )( ) 9 ( ) ( ),5 (b) P (8) ( 8 )( ) 9 8 ( ) ( 8),9 (c) P(prvič zadene v 5. metu) P(-krat zgreši, nato zadene) ( ) ( 9 ),9 9. p,,,,, E(X), +, + 5, + 7, + 9, 5, V (X) E(X ) E (X), + 9, + 5, + 9, + 8, 5, 8,6, σ(x) V (X),9. p,,,5,,5 E(Y (), +, ) +,5 +, + a,5 6, a 8,. Z : Bernoulli: P() ( ) 5, 6 P() ( ) 6 56, P() ( ) ( ) 6 P(Z > ) P(Z ) + P(Z ) E(Z) ( ) X : P(X ( 6) + P(X 7) ) K : E(K) V (X) np( p) p( p) 5 8, p p + 6 p, E(X ) np 5 p, E(X ) np Veljati mora p(x) dx. ( ) ax (ax + ax ) dx + ax x 8 a + a 6, a ( E(X) xp(x)dx x x + ) ( x dx x + ) x x dx ( ) x 8 + 7x x,8 6. Veljati mora p(x) dx. a a x dx + (5a x) dx x a + ( 5ax x ) a a a + 5a 9a 5a + a a, a a ) ( ) P( X < ) x dx + (5 x dx x + 5 x x , Veljati mora F() in F(). Dobimo 8a, { a p(x) F (x) 8 x, x <, sicer 8.(a) P(, Z <,) Φ(,) Φ(,),55,98,56 (b) P(Z >,) Φ( ) Φ(,),5,8,79 (c) P(,6 Z <,8) Φ(,8) + Φ(,6),656 +,95,95 (d) P(,5 > Z) Φ(,5) Φ( ),79 +,5,879 6

72 7 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete 9. P(,5 Z < b) Φ(b) Φ(,5),5 Φ(b),868, b,795 ) ).(a) P( Y < ) Φ( 5,8 Φ( 5,8 Φ(,5) Φ(,75),98 +,999,6 ) ) (b) P( Y < 7) Φ( 7 5,8 Φ( 5,8 Φ(,5) Φ(,5),98,9,99 ) (c) P(Y > 6,5) Φ( ) Φ,5 Φ(,88), (d) P(Y,) Φ (, 5,8 ( 6,5 5,8 ) Φ( ) Φ(,75) +,5,66.(a) P(95 IQ < ) Φ( 5 ) Φ( 95 5 ) Φ(,67) Φ(,),86 +,9,779 (b) P(IQ > 5) P(5 IQ < ) Φ( ) Φ( 5 5 ),5 Φ(),5,987,,.., 6 ljudi (c) P( t IQ < + t) Φ( +t 5 ) Φ( t 5 ) Φ( 5 t ),5 Φ( 5 t ),5, t 5,68, t, 5% ljudi na sredini normalne porazdelitve ima IQ med 89,8 in,. Tabela vrednosti za standardizirano normalno porazdelitev P( Z < z) Φ(z) z e x / dx. π σ µ z z,,,,,,5,6,7,8,9,,,,8,,6,99,9,79,9,59,,98,8,78,57,557,596,66,675,7,75,,79,8,87,9,98,987,6,6,,,,79,7,55,9,,68,6,,8,57,,55,59,68,66,7,76,77,88,8,879,5,95,95,985,9,5,88,,57,9,,6,57,9,,57,89,,5,86,57,59,7,58,6,6,67,7,7,76,79,8,85,8,88,9,99,967,995,,5,78,6,,9,59,86,,8,6,89,5,,65,89,,,8,6,85,58,5,55,577,599,6,,6,665,686,78,79,79,77,79,8,8,,89,869,888,97,95,9,96,98,997,5,,,9,66,8,99,5,,7,6,77,,9,7,,6,5,65,79,9,6,9,5,,5,57,7,8,9,6,8,9,,6,5,6,7,8,95,55,55,55,55,55,7,55,56,57,58,59,599,68,66,65,6,8,6,69,656,66,67,678,686,69,699,76,9,7,79,76,7,78,7,75,756,76,767,,77,778,78,788,79,798,8,88,8,87,,8,86,8,8,88,8,86,85,85,857,,86,86,868,87,875,878,88,88,887,89,,89,896,898,9,9,96,99,9,9,96,,98,9,9,95,97,99,9,9,9,96,5,98,9,9,9,95,96,98,99,95,95,6,95,955,956,957,959,96,96,96,96,96,7,965,966,967,968,969,97,97,97,97,97,8,97,975,976,977,977,978,979,979,98,98,9,98,98,98,98,98,98,985,985,986,986,,987,987,987,988,988,989,989,989,99,99,,999,99,99,99,99,99,99,99,99,99,,99,99,99,99,99,99,99,995,995,995,,995,995,996,996,996,996,996,996,996,997,,997,997,997,997,997,997,997,997,997,998,5,998,998,998,998,998,998,998,998,998,998,6,998,999,999,999,999,999,999,999,999,999,7,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,8,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,9,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5

73 Matrike in determinante Zgled Izračunajte matriko A A T, če je A. Izračunajte še determinanto matrike A A T. Če v matriki A zamenjamo vrstice in stolpce, dobimo transponirano matriko A T. Najprej izračunajmo A. To ne pomeni, da kvadriramo vsak element posebej, ampak matriko A pomnožimo samo s seboj. Pri množenju matrik vrstice iz prve matrike množimo skalarno s stolpci iz druge matrike. A A A Matriki lahko seštejemo (ali odštejemo), če sta enakih dimenzij. Matriki seštejemo (ali odštejemo) tako, da seštejemo (ali odštejemo) njune istoležne elemente. + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + ( ) + + ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) Transponirano matriko dobimo tako, da zamenjamo vrstice in stolpce v matriki A. Nato z pomnožimo vsakelement v matriki. A T 6 Dobljeni matriki odštejemo po elementih. 5 6 A A T Determinanto reda izračunamo s pomočjo Sarrusovega pravila. Pod determinanto prepišemo prvi dve vrstici (ali na desno stran prva dva stolpca). Vrednosti na dobljenih diagonalah zmnožimo. Zmnožke na diagonalah, ki potekajo od levo zgoraj do desno spodaj seštejemo, na preostalih diagonalah pa odštejemo. Matriko pomnožimo s skalarjem (številom) tako, da vsak element pomnožimo s skalarjem. Determinanto pomnožimo s skalarjem tako, da elemente ene vrstice ali enega stolpca pomnožimo s skalarjem. Dve matriki lahko zmnožimo, če ima prva matrika toliko stolpcev kot ima druga vrstic. Naj bosta dani matriki A [a i j ] mn in B [b i j ] np. Potem je C AB, C [c i j ] mp, pri čemer je n c i j a ik b k j. k V splošnem AB BA.

74 7 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete Enotska matrika je diagonalna matrika z enkami na glavni diagonali. Zgled: I Determinanta. reda: a b c d ad bc Naj bo dana kvadratna matrika A [a i j ] nn. Če v njej pobrišemo i-to vrstico in j-ti stolpec, dobimo matriko velikosti (n ) (n ), ki jo imenujemo podmatrika matrike A. Njeno determinanto imenujemo poddeterminanta in jo označimo z A i j. Determinanto lahko izračunamo tudi s pomočjo poddeterminant. Postopek imenujemo razvoj determinante po stolpcu (ali vrstici). Razvoj determinante po j-tem stolpcu: AB n det(a) ( ) i+ j a i j A i j i [ ][ ] [ ( 7) ( ) + ( ) ( 7) 5 Zgled Izračunajte determinanto 5 6 Determinanto reda lahko izračunamo na več načinov. Tukaj si bomo ogledali, kako tako determinanto pretvorimo v determinanto reda. Determinanta se ne spremeni, če vrstico pomnožimo s skalarjem in dobljeno vrstico prištejemo neki drugi vrstici. Ta postopek izvedemo trikrat, da dobimo ničle v prvem stolpcu. 5 ( ) ( ) ( ) Nato naredimo razvoj determinante po prvem stolpcu. Ker samo en element ni enak, samo tega pomnožimo z ustrezno poddeterminanto. 9 7 Skalar prenesemo v determinanto tako, da z njim pomnožimo samo eno vrstico. Nato uporabimo Sarrusovo pravilo [ ] [ Zgled Izračunajte (AB A T ), kjer je A in B ] [ ] + ( ) ( ) + ( ) 8 + ( ) + [ ] [ ] [ ] AB A T 8 6. ]. Inverzna [ matrika ] reda : [ a b d c d ad bc c b a ] Za izračun inverzne [ matrike reda ] [ uporabimo] formulo. (AB A T ) Zgled Rešite matrično enačbo: AX X A T, kjer je A [ ]. Matrično enačbo bomo reševali tako, da bomo iz enačbe izrazili matriko X. Pri izpostavljanju moramo paziti na kateri strani izpostavimo matriko X, saj množenje matrik ni komutativno. AX X A T (A I)X A T

75 Matrike in determinante 75 X (A I) A T Nato izračunamo [ ustrezne ] [ matrike. ] [ A I [ ] (A I) 8 [ ][ ] [ X 8 8 ] 8 ] [ 9 ]. Računanje z matrikami [ ]. Dani sta matriki A in B AB, BA, BA T,A, B, BT A, A + I, AA T + B I, ki obstajajo. [ ] [. Izračunajte matriko BA T + B, kjer je A in B [ ]. Izračunajte tiste od matrik A T, B T, A B, B T B, A T + A, ].. Determinante. Izračunajte Izračunajte det(a ), če je A [ 6 ].. Determinante 5 5. Izračunajte det(ab T ), če je A in B 6. Izračunajte det(a A T ), če je A Izračunajte det(a T A ), če je A 8. Izračunajte det(b B T A), če je A 9. Izračunajte det(a T + AB), če je A. Izračunajte det(ab T A), če je A in B in B in B

76 76 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete. Izračunajte det(b A T B), če je A. Izračunajte determinanto matrike (A + B T ), če je A. Izračunajte determinanto matrike A A T, če je A. Izračunajte det(a ), kjer je A. 5. Izračunajte determinanto matrike AB B T A T, kjer je A 6. Izračunajte det(a T A), če je A 7. Izračunajte det(ab A T ), če je A 8. Izračunajte det(ba T A), če je A in B in B. 5. in B [. 6. in B in B. ]... Determinante 9. Izračunajte naslednje determinante: (a) 5 6 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 5 5 5

77 Matrike in determinante 77 (i). Izračunajte determinanto matrike AB T, če je A (j) 6 6 in B..5 Inverzne matrike [ ]. Izračunajte (A T + I), kjer je A. [ ] [ ]. Izračunajte (AB + A T ), če je A in B. [ ] [. Izračunajte inverzno matriko matrike AB A T, kjer je A in B [ ] [ ] 5 in B.. Izračunajte (A T B), kjer je A [ ] [ 5. Izračunajte (A + B T ), kjer je A in B [ ] [ in B 6. Izračunajte (A T B), če je A [ 7. Izračunajte (A I), če je A 5 8. Izračunajte inverzno matriko matrike A B, kjer je A [ ] 9. Izračunajte (AA T ), kjer je A. [. Izračunajte inverzno matriko matrike AB + BA, kjer je A ]. ]. ]. [ ] ] in B in B [ [ ] ]. ]...6 Matrične enačbe [ ]. Rešite matrično enačbo: AX X A T, kjer je A. [ ]. Rešite matrično enačbo: XA T X A, kjer je A. [ ]. Rešite matrično enačbo: A T 5 X + X + A, kjer je A. [ ] [. Rešite matrično enačbo A X X BX + B, če je A in B [ ] [ 5. Rešite matrično enačbo B X + X BX A, če je A in B ]. ].

78 78 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete [ ] [ ] 6. Rešite matrično enačbo X + XA A T XB T, če je A in B. [ ] 7. Rešite matrično enačbo X A XA T, če je A. 5 6 [ ] [ ] 8. Rešite matrično enačbo B A + AX A T 5 X, če je A in B. 6 [ ] [ 9. Rešite matrično enačbo A X A + B B T X + X, če je A in B ]..7 Rešitve [. A T, B T [ ] [ B T B ], A B ne moremo izračunati, ker matriki A in B nista enakih dimenzij. ] [ ] 6 5 A T + A ne moremo izračunati, ker matriki A in A T nista enakih dimenzij. AB ne moremo[ zmnožiti, ker ][ ima matrika A] tri stolpce, [ B pa dve vrstici. ] BA B A 6 5 BA T ne moremo zmnožiti, ker ima matrika B dva stolpca, A T pa tri vrstice. A ne moremo[ izračunati, ][ ker A nima] enako [ število stolpcev ] in vrstic. B B B 6 [ ][ ] [ ] [ ] B T A A + I ne moremo izračunati, ker je I kvadratna matrika in z A nista enakih dimenzij. [ ] [ ] [ ] AA T + B I + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]. B A T 8, B 6 B B 6 [ ] [ ] [ ] BA T + B ( ) ( 5) [ ][ ] [ ]. A 6, det(a ) 6 ( ) AB T

79 Matrike in determinante 79 det(ab T ) 6. A A A A A T det(a A T ) 7. A T A ( ) + ( ) 5 + ( ) 6 5 ( ) 6 6 ( ) ( ) , A T 5 ( ) ( ) det(a T A ) ( ) ( ) + 8 ( 8) + 6 ( 9) 6 ( 8) ( ) ( ) ( 9) B T A 5 5 B B T A det(b B T A) 9. A T 5 A T + AB AB T A , AB ( 5) + ( 8) ( 9) ( ) , det(a T + AB)

80 8 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete det(ab T A) A T, A T B B A T B 9 5, det(b A T B) 8 6. A + B T A A T 5 9. A 6 5. AB B T A T , det(a ) , det(a + B T ) A T A AB A T BA T A 6 7, det(a A T ) 7, det(ab B T A T ) 8, det(a T A) 7, det(ab A T ) , det(ab A T ) (a) ( ) ( ) 7, ker je determinanta zgornje trikotna. 5 6 (b), ker sta. in. vrstica enaki (c)

81 Matrike in determinante 8 5 ( ) (d) ( ) ( )( ) (e) (f) (g) (h) (i) (j) [ ] 5. AB T ( ) () () 5 det(ab T ) [ ] [ ] [ ] [ ]. A T + I +, (A T + I) [ ] [ ] [ ] 8. (AB + A T ) [ ] [ ] (AB + A T ) ( 9)( ) ( )( 8) 9 9 [ ] [ ] [ 5 ] 5 [ ]. AB A T , (AB A T ) 5 [ ] [ ] 8. A T 7 B, (A T B) [ ]

82 8 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete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

83 Sistemi linearnih enačb Zgled Podjetnik izdeluje tri izdelke I, I in I. Na voljo ima 8 enot surovine S, 5 enot surovine S in 98 enot surovine S. Izdelati želi toliko izdelkov, da bo porabil vse surovine. Za I potrebuje enoti S, enote S in enoti S. Za I potrebuje enote S, enoto S in enote S. Za I potrebuje enote S, 5 enot S in 6 enot S. S pomočjo sistema linearnih enačb ugotovite, koliko posameznih izdelkov naj podjetnik izdela. Zapišimo podatke v tabelo in zapišimo sistem linearnih enačb. Elementarne vrstične operacije: Zamenjamo dve vrstici med seboj. (Zamenjamo dve enačbi.) Pomnožimo vrstico z neničelnim številom. (Pomnožimo enačbo z neničelnim številom.) Eno vrstico prištejemo drugi. (Eno enačbo prištejemo drugi). x + y + z 8 x + y + 5z 5 x + y + 6z 98 I I I zaloga S 8 S 5 5 S 6 98 x y z Sistem linearnih enačb bomo reševali z metodo Gaussove eliminacije, katere cilj je s pomočjo elementarnih vrstičnih operacij pretvoriti sistem enačb v obliko, kjer lahko rešitve enostavno izračunamo. 8 ( ) ( ) Prvo vrstico smo pomnožili z in jo prišteli drugi vrstici. Nato smo prvo vrstico pomnožili z in jo prišteli tretji vrstici Tretjo vrstico smo pomnožili s 5 in ji prišteli drugo vrstico. Ker nobena vrstica matrike sistema A niti razširjene matrike R nima samih ničel, velja r(a) r(r). Sistem enačb ima tri neznanke, zato je n. Velja r(a) r(r) n, zato ima sistem eno rešitev. Zapišimo zdaj poenostavljen sistem linearnih enačb in ga rešimo od spodaj navzgor: x + y + z 8 5y z 59 7z Rang matrike A je enak redu njene največje kvadratne podmatrike, ki ima determinanto različno od. Rang matrike A označimo z r(a). Rang matrike je enak maksimalnemu številu linearno neodvisnih vrstic ali stolpcev. To pomeni, da je rang matrike enak številu neničelnih vrstic v "poenostavljeni", zgornje stopničasti matriki. To je matrika, ki ima v prvem stolpcu neničeln element kvečjemu v prvi vrstici, za ostale vrstice pa velja, da ima vsaka vrstica na začetku vsaj eno ničlo več kot prejšnja. Razširjena matrika R je matrika sistema A, ki smo ji na desni dodali še stolpec desnih strani enačb. Za rešitve splošnega sistema m linearnih enačb z n neznankami velja: Če je r(a) < r(r), sistem nima rešitve. Če je r(a) r(r) n, ima sistem natanko eno rešitev. Če je r(a) r(r) < n, ima sistem neskončno rešitev. V tem primeru obstaja n r(a) neznank, ki jih pustimo kot parametre, druge neznanke pa lahko z njimi linearno izrazimo.

84 8 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete z, y 59+z , x 8 z y 8 Podjetnik naj izdela izdelkov I, izdelkov I in izdelke I. x y z + u + 6v 8 x + y + 6z + 8u v Zgled Rešite sistem linearnih enačb x + z u + v. x y + z u 7v Zapišemo razširjeno matriko sistema enačb in jo s pomočjo elementarnih vrstičnih operacij pretvorimo v zgornje stopničasto matriko ( ) Matrika sistema A ima v zadnji vrstici same ničle, zato je r(a). Razširjena matrika R nima v nobeni vrstici samih ničel, zato je r(r). Ker je r(a) < r(r), sistem nima rešitve. x + y + z Zgled Rešite sistem linearnih enačb x y z. x y 9z To je homogen sistem linearnih enačb, ker so vse desne strani enake. Homogen sistem ima vedno vsaj eno rešitev, saj sta ranga osnovne in razširjene matrike vedno enaka. Rešujemo ga na enak način kot nehomogen sistem, le da v matriki ni potrebno pisati desnih strani, saj so ves čas enake. ( ) ( ) + 7 ( ) r(a) r(r) < n Sistem ima neskončno rešitev. x + y + z 7y z Neznanko z vzamemo za parameter, ostale neznanke pa izrazimo z z: z R, y z, x z. Sistemi linearnih enačb. Rešite naslednje sisteme linearnih enačb: (a) x + y + z 7 x + y + z x y + z 5 (b) x + y z 9 x + y + z 6 x 6y + z 8 (c) x + y + 5z x y + z 6x + y + 8z 5 (d) x + y + 5z + v 6 x y + z v x + y + 6z v 58 (e) x + y + z x + y 5z 6 x 8y + z 9 (f) x + y 5z 5 x + y + z 5x + y + z 5

85 Sistemi linearnih enačb 85. Rešite naslednje sisteme linearnih enačb: (a) (b) x + y 5z 7 x + y + 5z 8 x 5y 5z x + y 5z 7 6x + y + z x 5y + z 89 (c) x + y + z v + y + z + 5v x y z 7v (d) x + y z + v x y + z v x + y + z v 8 (e) x + 5y z 5 x + 6y + z x y + 5z (f) x + y z 6 x + y + z 6 x 5y + 6z. Rešite naslednje sisteme linearnih enačb: (a) x + y + z x + y + 7z x + y + z 7 (b) x + x + x x + x 5x 6 x + x x (c) x x + x x 9 x + x + x x 5x + 6x + x x + x + x + x (d) x y + z x + y + z 55 (e) x y + z 8 x y + 6z x + y z 7 x + y z 6 7x y + 5z (f) x + y + z x y + z x z x y 5z 7 (g) x + x + 6x + x 8 6x + x x + 5x x + 7x + 5x + x (h) x y + z 8 x y + 5z 5 x + y z 9 (i) x x + x 8 x + 5x + 6x 6 x + 5x 6 x x + x (j) x + y + z x + y + 5z 8 6x + y 6z 5. Rešite homogene sisteme linearnih enačb: (a) x y + z x + y + z 5x y + 7z (b) x + x + x x x + x x x + 5x 5. V mlekarni izdelujejo tri različne vrste jogurtov J, J in J iz treh sestavin S, S in S. V tabeli je podano, koliko enot posamezne sestavine potrebujejo za izdelavo posameznega jogurta in koliko enot posamezne sestavine imajo na zalogi. I I I zaloga S 5 S 8 S 5 S pomočjo sistema linearnih enačb ugotovite, koliko jogurtov J, J in J naj proizvedejo, da bodo porabili vse sestavine, ki jih imajo na zalogi. 6. Samostojni podjetnik proizvaja izdelke I, I in I iz treh vrst surovin S, S in S. Na zalogi ima 8 enot S, 5 enot S in 76 enot S. Za en izdelek I potrebuje enoto S, 6 enot S in enote S. Za en izdelek I potrebuje 5 enot S, enote

86 86 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete S in enote S. Za en izdelek I potrebuje enote S, enoti S in 6 enot S. Koliko izdelkov I, I in I naj podjetnik izdela, da bo porabil vse surovine, ki jih ima na zalogi? 7. V pekarni pečejo tri vrste peciva. Za pecivo potrebujejo različne vrste moke. Na zalogi imajo 5 enot moke vrste A, 59 enot moke vrste B in 9 enot moke vrste C. Za prvo pecivo P potrebujejo enoti moke A, enote moke B in 6 enot moke C. Za drugo pecivo P potrebujejo enote moke A, enoti moke B in 5 enot moke C. Za tretje pecivo P potrebujejo 6 enot moke A, enote moke B in enoti moke C. S pomočjo sistema linearnih enačb ugotovite, koliko peciva naj spečejo, da bodo porabili vso zalogo moke. 8. Gozd je sestavljen iz dreves vrste A, B in C. Ko drevo odmre, na njegovem mestu zraste novo drevo, ki pa ni nujno iste vrste kot prejšnje. Stanje v gozdu čez let imamo podano v tabeli: začetno stanje A B C stanje A 8% 5% % čez B 5% 9% 5% let C 5% 5% 85% Kakšna mora biti sestava gozda na začetku, da bo čez let ostala nespremenjena? 9. Na kmetiji redijo koze, ovce in krave. Krmijo jih s tremi vrstami krme K, K in K. Ena koza poje na dan enoto K, enote K in enote K. Ena ovca poje na dan enoti K, enoti K in enoto K. Ena krava poje na dan enoti K, enote K in 5 enot K. Koliko koz, krav in ovac imajo na kmetiji, če za krmo vsak dan porabijo 8 enot K, 5 enot K in 5 enot K?. Mesar izdeluje iz treh vrst mesa M, M in M klobase treh različnih vrst. Na zalogi imajo 8 enot mesa M, 6 enot mesa M in 78 enot mesa M. Za klobaso K potrebujejo enoti mesa M, enote mesa M in 6 enot mesa M. Za klobaso K potrebujejo enote mesa M, enote mesa M in enoti mesa M. Za klobaso K potrebujejo 6 enot mesa M, enote mesa M in 5 enot mesa M. Koliko posameznih klobas naj izdelajo, da bodo porabili vso zalogo mesa?. Papirnica proizvaja papir nizke, srednje in visoke kakovosti iz treh vrst hlodovine H, H in H. Na zalogi imajo 76 enot H, 57 enot H in 8 enot H. Za tono papirja nizke kakovosti potrebujejo enoto H, enoti H in 5 enot H. Za tono papirja srednje kakovosti potrebujejo enote H, enoto H in 5 enot H. Za tono papirja visoke kakovosti potrebujejo 5 enot H, enote H in enoti H. Koliko ton posamezne kakovosti papirja naj izdelajo, da bodo porabili vso zalogo hlodovine?. Na kmetiji gojijo kokoši, gosi in purane. Na voljo imajo enot krme K, 9 enot krme K in enot krme K. Nekaj živali bodo prodali, obdržati pa želijo toliko živali, da bo krma, ki jo imajo na zalogi, zadoščala za en teden in je konec tedna ne bo nič ostalo. Kokoš v enem tednu poje enoto K, enote K in enoti K. Gos v enem tednu poje enote K, enoti K in enoto K. Puran v enem tednu poje 5 enot K, enote K in enote K. S pomočjo sistema linearnih enačb ugotovite, koliko posameznih živali naj obdržijo na kmetiji.. Pri proizvodnji izdelkov I, I in I potrebujemo surovine S, S in S. Na zalogi imamo enot surovine S, 8 enot surovine S in enot S. Za izdelavo izdelka I potrebujemo enoti S, enote S in 6 enot S, za izdelavo izdelka I potrebujemo enote S, enoti S in 9 enot S, za izdelavo izdelka I pa 5 enot S, enote S in enoto S. S pomočjo sistema linearnih enačb ugotovite, koliko posameznih izdelkov naj izdelamo, da bomo porabili vse surovine.. Rešitve.(a) 7 ( ) + 5 ( ) ( ) r(a), r(r), n Sistem ima eno rešitev.

87 Sistemi linearnih enačb 87 x + y + z 7 5y 5z 8z z 8, y 8 z 5, x 7 z y (b) 9 ( ) (c) r(a), r(r), n Sistem ima eno rešitev. x + y z 9 7y 5z z x, y, z 5 5 ( ) r(a), r(r), n Sistem nima rešitve. (d) r(a), r(r), n Sistem ima neskončno rešitev. x + y + 5z + v 6 7y + 8z + 5v 9. v 7 v, z R, y 8z+ 7, x 9z+ 7 (e) r(a) r(r) n Sistem ima eno rešitev. x + y + z 7y z 9 7z 8 x, y 5, z (f) r(a) r(r) n Sistem ima eno rešitev. x + y 5z 5 y z 6 5z 6 x, y, z.(a) r(a) r(r),n Sistem ima neskončno rešitev. x + y 5z 7 y + 5z z R, y 5 z, x 5 z

88 88 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete (b) r(a) r(r) n Sistem ima eno rešitev. x + y 5z 7 y + z 5 z 8 x 8, y 7, z (c) ( ) r(a), r(r), n Sistem nima rešitve. (d) 6 8 r(a), r(r), n Sistem ima neskončno rešitev. x + y z + v y z + v 6. z v v R, z v 5 6, y 8 v 9, x 5v 8 (e) 5 5 ( ) ( ) r(a), r(r), n Sistem nima rešitve. (f) 6 ( ) r(a), r(r) < n Sistem ima neskončno rešitev. x z 6, y z + 6, z R (a) (b) (c) (d) 7 x, y, z ,5 6,5,5 x, x, x x, x, x, x 5 5 [ ] [ ] Sistem ima neskončno rešitev: z R, x + z, y z.

89 Sistemi linearnih enačb 89 (e) z, y 5, x (f) x, y, z 8 88 (g) Sistem nima rešitve. (h) Sistem ima neskončno rešitev: z R, y z, x z +. (i) Sistem nima rešitve. (j) Sistem ima neskončno rešitev: z R, y z 6 5, x z+5..(a) ( ) ( 5 ) ( 5) + r(a) < n Sistem ima neskončno rešitev: z R, x z, y z (b) 5 x x x 5 5. x + y + z 5 x + y + z 8 x + y + z 5 5 ( ) ( ) r(a), r(r), n Sistem ima eno rešitev. x 5, y 9, z V mlekarni naj izdelajo 5 jogurtov J, 9 jogurtov J in jogurtov J. 6. x + 5y + z 8 6x + y + z 5 x + y + 6z ( 6) ( ) x, y, z 8 Izdela naj izdelke I, izdelke I in 8 izdelkov I. ( 7 )

90 9 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete 7. x + y + 6z 5 x + y + z 59 6x + 5y + z r(a) r(r) n Sistem ima eno rešitev. x, y 5, z Spečejo naj enot peciva P, 5 enot peciva P in enote peciva P. 8. 8x + 5y + z x 5x + 9y + 5z y 5x + 5y + 85z z ( ) Velja še: x + y + z. x + 5y + z 5x y + 5z 5x + 5y 5z x + y + z 5 5 ( 5 5 ) r(a), r(r), n, z 8 7 8,9%, y,%, x 8 5 7,8% Na začetku naj bo 7,8% dreves vrste A,,% dreves vrste B in 8,9% dreves vrste C. 9. x + y + z 8 x + y + z 5 x + y + 5z 5 x, y, z 5. x + y + 6z 8 x + y + z 6 6x + y + 5z Na kmetiji imajo koz, ovac in 5 krav x, y 7, z 8 Mesar naj naredi klobase K, 7 klobas K in 8 klobas K.. x + y + 5z x + y + z x + 5y + z x 5, y 7, z Papirnica naj naredi 5 ton papirja visoke kakovosti, 7 ton papirja srednje kakovosti in ton papirja nizke kakovosti.. x + y + 5z 5 x + y + z 9 9 x + y + z x, y 5, z Obdržijo naj kokoši, 5 gosi in purane.. x + y + 5z x + y + z 8 6x + 9y + z Sistem ima eno rešitev: x 8, y 6, z. Izdelati moramo 6 izdelkov I, 6 izdelkov I in izdelkov I, da bomo porabili vso zalogo surovin.

91 Vektorji Naj bosta dani poljubni točki v prostoru A in B. Urejen par točk (A,B) predstavlja vektor AB, #» ki ga ponazorimo z usmerjeno daljico od točke A do B. #» AB B A V standardnem pravokotnem koordinatnem sistemu je vektor med točkama A(x,y,z ) in B(x,y,z ) enak razliki njunih krajevnih vektorjev #» r A (x,y,z ) in #» r B (x,y,z ): AB #» (x x,y y,z z ). Dolžino vektorja AB #» označimo z AB. #» Vektorja sta enaka, če sta enako dolga in kažeta v isto smer (sta vzporedna). Vektor se ne spremeni, če ga vzporedno premaknemo. Skalarni produkt vektorjev a in b je število, ki ga označimo z a b, in je enako produktu velikosti obeh vektorjev in kosinusa vmesnega kota. a b a b cosϕ a b a b Dolžina vektorja a (a,a,a ): a a + a + a Vsota vektorjev a (a,a,a ) in b (b,b,b ): a + b (a + b,a + b,a + b ) a + b a Razlika vektorjev a (a,a,a ) in b (b,b,b ): a b (a b,a b,a b ): b ϕ a b a b b a V standardnem pravokotnem koordinatnem sistemu je skalarni produkt vektorjev a (x,y,z ) in b (x,y,z ) enak številu a b x y + x y + x y. Vektorski produkt vektorjev a in b je vektor, ki ga označimo z a b in je določen z naslednjimi lastnostmi: Vektor a b je pravokoten na a in b. Njegova dolžina je enaka ploščini paralelograma, napetega na a in b (če ju narišemo tako, da imata skupno izhodišče), kar pomeni: a b a b sinϕ Usmerjen je tako, da je, gledano s konca vektorja a b, vrtenje po krajši poti iz a v b pozitivno (v obratni smeri urinega kazalca). a Množenje vektorja a (a,a,a ) s skalarjem (številom) m R: m a (ma,ma,ma ) a a a a b b ϕ a a b

92 9 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete Linearna kombinacija n vektorjev a, a,..., a n je vektor m a + m a + + m n a n, kjer so m, m,..., m n realna števila. Vektorji a, a,..., a n so linearno neodvisni, če iz enakosti m a + m a + + m n a n sledi m m m n, sicer so odvisni. V ravnini sta neničelna vektorja a in b linearno odvisna, če sta vzporedna ali kolinearna. V prostoru so trije neničelni vektorji a, b in c linearno odvisni, če ležijo na isti ravnini oziroma so komplanarni. V standardnem pravokotnem koordinatnem sistemu vektorski produkt vektorjev izračunamo s pomočjo determinante velikosti : i j k a b x y z (y z y z ) i (x z x z ) j + (x y x y ) k. x y z Mešani produkt vektorjev a, b in c je število, ki ga označimo z ( a, b, c) in je enako ( a b) c. Njegova absolutna vrednost je enaka prostornini paralelepipeda, ki ga napenjajo ti trije vektorji. c b a V standardnem pravokotnem koordinatnem sistemu mešani produkt vektorjev a (x,y,z ), b (x,y,z ) in c (x,y,z ) izračunamo s pomočjo determinante velikosti : ( a, b, c) x y z x y z x y z x y z + x y z + x y z z y x z y x z y x x y z x y z Zgled Izračunajte obseg, ploščino in notranje kote trikotnika z oglišči A(,, ), B(6,, ) in C(,, ). AB r B r A (6,,) (,,) (,, ), AB + + ( ), AC r C r A (,,) (,,) (,, ), AC ( ) + + ( ) 9, BC r C r B (,,) (6,,) ( 5,, ), AC ( 5) + ( ) + ( ) AB i j k AC i + k + j + k + i + j 9 i + j + 6 k ( 9,,6) Ploščina trikotnika je enaka polovici ploščine paralelograma, ki ga napenjata vektorja AB in AC, in jo izračunamo s pomočjo vektorskega produkta. p AB AC ( 9) ,5 o AB + AC + BC ,6 Kote izračunamo s pomočjo skalarnega ali vektorskega produkta: sinα AB AC AB 56,898, AC 9 α 6,9

93 Vektorji 9 BA AB (,,) cosβ BA BC BA ( 5)+( ) ( )+ ( ),699, BC β 5,6 γ 8 α β 7, Zgled Dani so vektorji u (,, 5), v (,,) in z (,, ).. Izračunajte vektor u v + z. u v + z (,, 5) (,,) + (,, ) ( 9,, 9). Ali so vektorji u, v in z linearno neodvisni? Vektorji so linearno odvisni, če ležijo na isti ravnini oziroma je volumen paralelepipeda, ki ga ti vektorji napenjajo, enak. Vektorji so torej linearno odvisni, če je njihov mešani produkt enak, sicer so neodvisni. 5 ( u, v, z) , zato so vektorji linearno neodvisni.. Zapišite vektor x (,, 5) kot linearno kombinacijo vektorjev u, v in z. Določiti moramo števila a, b in c tako, da bo x a u + b v + c z. (,, 5) a(,, 5) + b(,,) + c(,, ) Vektorsko enačbo preoblikujemo v sistem treh linearnih enačb s tremi neznankami. a + b + c a + b 5 5a + b c ( 5) a + b + c 8b + c 8 8 c 7 c, b, a, x u v + z. Vektorji. Dani so vektorji u (,,), v (,6, ) in z (,, ). (a) Izračunajte vektor u v + z. (b) Izračunajte skalarni produkt vektorjev u in v. Ali sta vektorja pravokotna? (c) Izračunjte mešani produkt vektorjev u, v in z.. Izračunajte ploščino trikotnika z oglišči A(,, ), B(,, ), C(,, ). Izračunajte še njegove notranje kote.. Izračunajte ploščino in obseg trikotnika z oglišči A(,, ), B(,, ), C(,, 5).. Dane so točke A(,,), B(,, ) in C(,,). Izračunajte ploščino trikotnika ABC. Ali je β pravi kot? 5. Dan je paralelogram z oglišči A(,, ), B(,, ), C(,, ). Določite oglišče D ter izračunajte ploščino in obseg paralelograma. 6. Izračunajte volumen paralelepipeda, ki ga napenjajo vektorji u (,,), v (,,) in z (,,). 7. Izračunajte volumen tristrane piramide z oglišči A(,, 5), B(, 5, 6), C(,, ) in D(,, 9). 8. Izračunajte volumen tristrane piramide z oglišči A(,,), B(,,6), C(,,) in D(,,). 9. Ali ležijo vektorji u (,,), v (,, ) in z (,,) na isti ravnini?. Ali ležijo točke A(, 5,), B(,,), C(,,) in D(5,, ) na isti ravnini?. Ali so vektorji u (,,), v (5,,) in z (,, ) linearno neodvisni?. Izrazite vektor x (,,) kot linearno kombinacijo vektorjev u (,, ), v (, 7,6) in z (7,5,).

94 9 Matematične metode za študente Biotehniške fakultete. Rešitve.(a) u v + z (,,) (,6, ) + (,, ) (,,8 5) (b) u v + ( ) 6 + ( ), zato vektorja nista pravokotna. (c) ( u, v, z) #». AB #» r B #» r A ( 5,5,), AC #» (,, 6), BC #» (, 5, 6) AB #» ( 5) , AC #» ( ) + + ( 6) 7, BC #» + ( 5) + ( 6) 77 #» AB AC #» i j k 5 5 i j + 5 k (,,5) 6 p AB #» AC #» ,6 sinα AB #» AC #» AB #» AC #» 85,99, 5+ 7 α 8, BA cosβ #» BC #»,9, 5 77 β 8,6 BA #» BC #» ( )+( 5)+( )( 6) γ 8 α β, #». AB #» r B #» r A (,,), AC #» (, 6,8), BC #» (, 6,6) AB #» + + 5, AC #» ( ) + ( 6) + 8, BC #» #» AB AC #» i j k i j 6 k (,, 6) 6 8 p AB #» AC #» ,7 o AB #» + AC #» + BC #» #». BA (,,), BC #» (, 5,) #» BA BC #» i j k (6,, ) 5 p BA #» BC #» ,9 #» BA BC #» + ( )( 5) +, zato kot β ni pravi kot. #» 5. AD r D r A, r D r A + AD #» r A + BC #» (,,) + (,,6) (, 6,8) ( ) + ( 6) AD #» , AB #» (,5, 6), AB #» , o AD #» + AB #» ( 5 ) + 6, #» AB AD #» i j k 5 6 (6,, 9), p AB AD 6 + ( ) + ( 9) 6 6, 6 6. ( u, v, z), V ( u, v, z) #» 7. AB (, 7,), AC #» (,,5), AD #» (,,)