Metode linearnega programiranja za optimalno konstruiranje

Transcript

1 Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo KKTS - LASOK Optimiranje nosilnih konstrukcij doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: pisarna: FS telefon: 01/ boris.jerman@fs.uni-lj.si (Tema/Subject: ONK -...) Soavtor gradiva: i.prof.dr. Janez Kramar, univ.dipl.inž.str. Metode linearnega programiranja za optimalno konstruiranje Če so linearne: cenilna funkcija in vse pogojne (enakostni pogoj) in vse omejitvene (neenakostne omejitve) funkcije, je optimizac. naloga naloga linearnega programiranja (LP). Take naloge se pojavljajo tudi na mnogih inženirskih področjih: vodni viri, upravljanje virov, nadzor prometnih tokov, inženirstvo prometa, sistemsko inženirstvo, elektrotehnika,

2 Konstrukcijske naloge niso linearne. Možna uporaba zaporedja linearnega programiranja za njihovo iterativno numerično reševanje. Metode LP Vsakršna linearna funkcija se v splošni obliki zapiše kot: c i... konstante, x i... spremenljivke (pri optimiranju KS), i = 1 do n, n... število spremenljivk (pri optimiranju KS). 3 Splošen zapis linearne naloge optimiranja: Konstrukcijske spremenljivke so povezane v vektor : Metode LP Išče se konstrukcijsko rešitev, da bo vrednost CF (skalar): minimalna, 4 2

3 ob upoštevanju p enakostnih pogojev: Metode LP in m neenakostnih omejitev: kjer so: konstante. 5 Vse nastopajoče funkcije so linearne, možno območje (feasible region) je vedno konveksno, CF je linearna in torej tudi konveksna. Metode LP V splošnem je problem LP v standardni obliki lahko: bodisi nedopusten (ni možnih rešitev); bodisi neomejen (linearna CF brez omejitve pada proti -h); bodisi ima optimalno rešitev. 6 3

4 Če optimalna rešitev obstaja, je ta globalna. Naloga LP ima optimum vedno na meji dopustnega območja, četudi ima taka naloga neenakostne omejitve. Vsaj ena taka omejitev je vedno aktivna. Metode LP V kolikor bi se iskalo optimum samo iz odvodov CF: se dobi nesmiselna (trivialna) situacija CF je ukinjena. (CF: ) 7 Teorem 4.1: Oglišča in osnovne (bazne) možne rešitve Množica vseh možnih rešitev naloge LP tvori konveksno množico, katere oglišča ustrezajo osnovnim (baznim) možnim rešitvam. Metode LP g i... neenakostne omejitve 8 4

5 Teorem 4.2: Osnovni teorem LP Naj ima m x n dimenzionalna matrika A koeficientov omejitvenih enačb a ji poln vrstični rang: r = rang(a) = m Metode LP Rang matrike je število linearno neodvisnih vrstic oziroma stolpcev. (Linearna neodvisnost vrstic ali stolpcev pomeni, da se posamezne vrstice ali stolpci ne morejo izraziti z drugimi.) Rang matrike je torej določen z najvišjim redom poddeterminante, ki je še različna od 0. Možne vrednosti ranga matrike: 0 r min(m, n) 9 Teorem 4.2: Osnovni teorem LP Metode LP tedaj veljata izjavi: 1) če obstaja možna rešitev, tedaj obstaja tudi osnovna (bazna) možna rešitev; 2) če obstaja optimalna možna rešitev, tedaj obstaja tudi optimalna osnovna (bazna) možna rešitev. Prvi del (1)) govori o dejstvu: če obstaja kakršnakoli možna rešitev, tedaj mora biti kot možno vključeno vsaj eno oglišče (vrh) konveksnega možnega območja. Drugi del (2)) govori o dejstvu: če ima naloga optimalno rešitev, tedaj je ta najmanj na enem od oglišč (vrhov) konveksnega poliedra možnih rešitev. 10 5

6 Teorem 4.2: Osnovni teorem LP f... izolinije CF za različne konstantne vrednosti F1 do F5 g i... neenakostne omejitve Metode LP 11 Naloga LP ima pri n spremenljivkah in m pogojnih enačbah naslednje število osnovnih rešitev: Metode LP Izmed osnovnih rešitev se poišče tiste, ki so hkrati tudi možne - izpolnijo pogoje nenegativnosti. Med osnovnimi možnimi rešitvami je vsaj ena optimalna. Kadar je CF vzporedna eni od pogojnih funkcij, lahko obstaja mnogo enakovrednih optimalnih rešitev: 12 6

7 Simpleks metoda (neposredna metoda) Metode LP je razširitev standardnega Gauss-Jordanovega eliminacijskega postopka za reševanje sistema linearnih enačb Ax = b, kjer je: A... matrika dimenzij m x n (m < n), x... vektor dimenzije n b... vektor dimenzije m. Simpleks ali n-simpleks je v geometriji n-razsežen analogen trikotnik: - v 1D prostoru 2 točki, ki tvorita daljico; - v 2D prostoru 3 točke, ki tvorijo trikotnik; - v 3D prostoru 4 točke, ki tvorijo tetraeder; - v splošnem nd prostoru tvori simpleks konveksna jata n+1 točke, ki ne leži v isti hiperravnini. 13 Kanonična oblika - splošna rešitev enačbe Ax = b Sistem m linearnih enačb z n spremenljivkami, kjer ima matrika A rang m, je v kanonični obliki, če ima vsaka od enačb eno spremenljivko, ki je ni v nobeni drugi enačbi: Metode LP Za dosego kanonične oblike je uporabna Gauss-Jordanova eliminacijska metoda. Rang matrike je število linearno neodvisnih vrstic oziroma stolpcev. Rang matrike je določen z najvišjim redom poddeterminante, ki je še različna od

8 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) Posredne numerične metode reševanja nalog brez omejitev Realne naloge na področju tehnike lahko zelo veliko KS. CF je skoraj vedno nelinearna funkcija teh KS. Splošen koncept numeričnega reševanja Skupen matematičen zapis: naslednja rešitev: vsebuje prejšnjo vrednost KS in spremembo KS. 15 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) Spremembo KS ( ) se prikaže kot zmnožek dveh faktorjev: kjer sta: s čimer se dobi dve lažje obvladlivi podnalogi pri iskanju optimuma: smerni vektor in velikost koraka. Ker je CF v splošnem nelinearna, sta obe nalogi še vedno zelo kompleksni. Ob koncu vsake izboljšave (iteracije) naj se preverja ali nova rešitev že izpolnjuje pogoje optimalnosti. 16 8

9 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) l. korak: Ocena razumne začetne konstrukcije ( ). 2. korak: Izračun želenega smer. vektorja ( ) v konstrukcij. prostoru. Ta izračun pri nalogah brez omejitev v splošnem zahteva vrednost CF in njenega gradienta. 3. korak: Kontrola konvergentnosti postopka. Če je konvergenca dosežena, se iterativni proces zaustavi. 4. korak: Izračun pozitivne velikosti koraka. 5. korak: Izračun nove konstrukcijske rešitve: Števec se tako dvigne (k k + 1) in na vrsti je nova iteracija. Razvitih je mnogo metod, ki so prilagojene naravi posameznih optimizacijskih problemov. 17 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) Ideja korakov spuščanja Minimum CF je njena najmanjša vrednost. Predpostavimo, da smo trenutno v točki ( ), ki ni minimum obstaja točka ( ), za katero velja: Na levi strani neenačbe se zamenja ( ) z izrazom: in dobimo: Dobljen izraz se razvije v Taylorjevo vrsto okrog trenutne konstrukcijske točke ( ) do vključno linearnega člena: 18 9

10 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) kar je v približku: Vrednost CF je skalar. Tudi skalarni produkt dveh vektorjev je skalar. Leva stran neenačbe mora biti manjša od desne Drugi člen leve strani mora biti negativen: Ker mora biti skalar pozitiven, mora veljati tudi: Ker je gradient CF izračunljiv, mora smerni vektor ( ) tvoriti z gradientom CF kot, ki je večji od 90 in manjši od 270, da bo neenačba izpolnjena (da bo produkt negativen). 19 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) Zaželena smer izboljšave konstrukcije je torej vsaka smer, ki izpolni predstavljeno neenačbo. Taka smer se imenuje smer spuščanja po strmini CF, pogojno neenačbo pa pogoj spuščanja po strmini. Numerične metode, ki slone na tej ideji, so 'metode spuščanja'. Če je analitično odvajanje sicer zvezne in odvedljive CF prezamudno, se pogosto uporabi numerično izvrednotenje posameznih komponent gradienta

11 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) Lastnosti gradientnega vektorja a) Gradientni vektor CF v točki je pravokoten na tangentno ravnino izoploskve skozi isto točko. Gradientni vektor cenilne funkcije se zapiše poenostavljeno: 21 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) Lastnosti gradientnega vektorja ravnina = 22 11

12 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) Tangentni vektor je tangenten na določeno krivuljo (s) na izoploskvi: Pogoj ortogonalnosti gradient. in tangent. vektorja: b) Smer gradientnega vektorja v dani točki je smer največjega naraščanja CF v tej točki. c) Vrednost največjega naraščanja CF v dani točki je vrednost gradienta v tej točki. 23 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) Algoritem najstrmejšega spuščanja Smerni vektor spuščanja: (... gradientni vektor CF) Koraki algoritma: l. korak: Ocenitev razumne začetne konstrukcije ( ). Postavitev konvergenčnega parametra e > O. 2. korak: Izračun gradientnega vektorja CF ( ) v točki ( ) : 24 12

13 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) 3. korak: Izračun absolutne vrednosti gradienta ( ) in presoja konvergenčnega kriterija: Če velja: ( ) < ustavitev iterativnega procesa in: = ( ) V nasprotnem primeru: nadaljevanje s 4. korakom. 4. korak: Postavitev smeri premika v točki ( ) : Pri tem je očitno: 5. korak: Izračun velikosti koraka tako, da bo vrednost CF v novi točki najmanjša, kot sledi. 25 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) Potreben pogoj za to je: Parcialni odvod prvega faktorja je očitno: drugi, pa je viden iz kratkega računa: Ob upoštevanju, dobi potreben pogoj za optimalno dolžino koraka obliko: 26 13

14 Posredne numerične metode (naloge brez omejitev) Zanimivost: Iz prejšnjega zapisa sledi, da če se uporabi optimalne dolžine korakov, sta smeri dveh zaporednih korakov med seboj vedno ortogonalni, zaradi česar nadalje velja: V praksi je ta ortogonalnost zaradi različnih zaokrožitev le približna. 6. korak: Izračun nove konstrukcijske rešitve: Vstop v novo iteracijo: Povečanje števca za ena: k => k+ l. Vrnitev na 2. korak. 27 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Posredne numerične metode reševanja nalog z omejitvami Običajno imajo optimizacijske naloge s področja tehnike omejitve. V realnih optimizacijskih nalogah je veliko KS. CF ter enakostni pogoji in neenakostne omejitve so skoraj vedno nelinearne funkcije omenjenih KS. Običajno ni težko napisati: Lagrange-ove funkcije in potrebnih pogojev za iskanje kandidatnih optimalnih točk, vendar zelo redko uspe določevanje kandidatnih točk po analitični poti

15 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Normalizacija omejitev Numerični izračuni - zelo zaželena uporaba iste tolerance e za vse neenakostne pogoje. To ni vedno možno razmislek: Dva zelo pogosta pogoja v konstrukterstvu sta: Številčne vrednosti dopustne napetosti in upogibkov so večinoma zelo različne in različnih enot normalizacija omejitev Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Normalizacija omejitev... Take omejitve praviloma normaliziramo z delitvijo z dopustno vrednostjo: Omejitve se zapiše: Možne tudi drugačne vrste omejitev (znak > namesto <): od koder dobimo: in končno: 30 15

16 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Funkcija spuščanja Pri optim. problemih brez omejitev se zahteva zmanjševanje vrednosti CF pri vsakem koraku. Funkcija, ki vodi napredovanje proti minimumu, se imenuje funkcija spuščanja in je običajno CF. Tudi pri optimizacijskih nalogah z omejitvami je funkcija spuščanja zelo pomembna. Uporaba CF kot funkcije spuščanja je tu omejena oz. celo nezadostna. Uporablja se številne druge funkcije spuščanja. Osnovna ideja je izračunati dober smerni vektor ( ) in dolžino koraka. Vrednost minimuma izbrane funkcije spuščanja mora biti (znotraj dovoljenega območja) enaka kot pri prvotni CF. 31 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Konvergentca Pri nalogah z omejitvami je razmislek o konvergenci zelo pomemben. Robusten algoritem omogoča dosego optimuma iz poljubno izbrane začetne točke. Konvergentni algoritem izpolnjuje naslednji zahtevi: 1) Za algoritem obstaja funkcija spuščanja, katere vrednost se bo manjšala v vsakem koraku; 2) Smer konstrukcijskih sprememb ( ) je zvezna funkcija KS! V konstrukcijskem prostoru je s takim algoritmom torej možno najti primerno smer spusta: v vsakem koraku in tudi za končni spust proti točki minimuma

17 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Lokalna linearizacija problemov z omejitvami Za iskanja optimalnosti z omejitvami večina iterativnih postopkov v vsakem koraku rešuje (lokalno) linearizirano podnalogo. V ta namen se razvrsti CF in enakostne pogoje ter neenakostne omejitve v Taylorjevo vrsto okrog trenutne konstrukcijske točke ( ) do vključno linearnega člena: 33 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Razvoj cenilne funkcije v Taylorjevo vrsto: 1. člen 2. člen Razvoj enakostnih pogojev in neenakostnih omejitev v Taylorjevo vrsto: Približne (razvite) izraze *, **, *** bomo uporabili v nadaljevanju. (*) (**) (***) 34 17

18 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Dogovor o poenostavljenem zapisu: Vrednost linearnega člena pri razvoju CF v Taylorjevo vrsto: = ( ( ) ) ( ) oziroma: 35 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) 36 18

19 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Dogovorjene okrajšave se vstavi v prej razvite (približne) izraze: (*) Minimizirati je potrebno drugi člen v razviti CF. (Prvi člen se opusti, ker je tedaj že znan in konstanten.) 1. člen 2. člen Linearizirani enakostni pogoji (**) in neenakostne omejitve (***): (d... premik ( ) ; n... gradient enakostnih pogojev; e... enakostni pogoj) (a... gradient neenakostnih omejitev; b... neenakostni pogoj) 37 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) N je pravokotna matrika n vrstic in p stolpcev (n x p), v kateri so stolpci gradienti p enakostnih pogojev. A je pravokotna matrika (n x m), v kateri so stolpci gradienti m neenakostnih omejitev. Pri tem so ( ) in ( ) posamezni stolpci v omenjenih matrikah. (n... gradient enakostnih pogojev) (a... gradient neenakostnih omejitev) 38 19

20 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Algoritem zaporednega linearnega programiranja (ZLP) Sequential linear programming algorithm (SLP) Prej linearizirani izrazi: so po spremenljivkah d i linearni, za njihovo določitev se uporabi metode linearnega programiranja. Pri vsakem koraku se za določitev konstrukcijskih sprememb uporabi linearno programiranje metode zaporednega linearnega programiranja. (d... premik; n... gradient enakostnih pogojev; e... enakostni pogoj) (a... gradient neenakostnih pogojev; b... neenakostni pogoj) 39 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Koraki algoritma ZLP (zaporednega linearnega programiranja): 1. korak: ( za omejitve in za smer spuščanja) 2. korak: z uvedenimi okrajšavami na predhodnih prosojnicah. (b... neenakostni pogoj; e... enakostni pogoj) 40 20

21 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Koraki algoritma ZLP (steps of SLP): 3. korak: (c... gradient CF; n... gradient enakostnih pogojev; a... gradient neenakostnih pogojev) 41 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Koraki algoritma ZLP (steps of SLP): 4. korak: 5. korak: 6. korak: - lineariziranih izrazih za CF ter pogoje in omejitve (*, **, ***). Določitev vektorja premika ( ) 6. korak: ( ) ( ) in ( ) ( ), i = 1 do n 42 21

22 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Koraki algoritma ZLP (steps of SLP): 7. korak: ( za omejitve in za smer spuščanja) 8. korak (če proces ni zaustavljen v 7. koraku): 43 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Zaključki o algoritmu ZLP: metoda ZLP: konceptualno in numerično je preprosta (tudi za naloge z omejitvami); uporabna pri številnih inženirskih nalogah, še posebej, kjer je veliko število KS; metoda naj se ne uporablja kot 'črna škatla' za vse probleme. Izbira mej pri premikih je navadno poskušanje in daje najboljši rezultat ob interaktivnem načinu dela. Meje premikov so lahko preveč restriktivne, kar ima za posledico, da ne pridemo do rešitve;... ZLP... Algoritem zaporednega linearnega programiranja (SLP... Sequential linear programming algorithm) 44 22

23 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Zaključki o algoritmu ZLP:... možno je, da metoda ne konvergira do natančnega minimuma, ker funkcija spuščanja ni opredeljena. Tudi če se ne doseže natančnega min., je metoda za prakso uporabna; metoda lahko ciklira med dvema točkama, če optimum ni vrh možnega območja; metoda ni robustna (konvergenca!). To pomanjkljivost je možno odpraviti z uporabo metode kvadratičnega programiranja. 45 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Metoda najstrmejšega spuščanja pri nalogah z omejitvami Funkcija spuščanja (nadomestek CF): Pri neomejitvenih optimizacijskih nalogah je bila za funkcijo spuščanja uporabljena kar CF, ki je nadzorovala napredovanje proti optimalni točki. Pri omejitvenih optimizacijskih nalogah se funkcija spuščanja običajno zgradi z dodatkom kaznovalnega člena za kršenje omejitev pri tekoči vrednosti konstrukcijske rešitve

24 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Metoda najstrmejšega spuščanja pri nalogah z omejitvami Pšenični-jeva funkcija spuščanja (FS) je ena od zelo uspešnih FS: 47 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Metoda najstrmejšega spuščanja pri nalogah z omejitvami Kot primer: funkcija spuščanja pri k-ti iteraciji konstrukcijske rešitve je: R se lahko menja tekom iteracij. Zagotoviti je potrebno, da je ta parameter vsoti vseh L multiplikatorjev v k-ti iteraciji. Velja tudi: ( ), ( ) L multiplikatorji (*#) 48 24

25 Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) Določitev dolžine koraka Potrebuje se primerno dolžino koraka, ki jo lahko dobimo s poskušanjem v smeri smernega vektorja ( ) : Preskusimo toliko podkorakov l, ki se razpolavljajo, da se doseže spustni pogoj: Kjer je g izbrana konstanta med 0 in l. 49 Postopek najstrmejšega spuščanja Koraki algoritma: (*#) (#1 in #2) Enačba #1: Enačba #2: QP... quadratic programming <linearni pogoji in omejitve< Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) 50 25

26 Postopek najstrmejšega spuščanja Prikaz citiranih enačb (6.38, 6.29 in 6.30): (##) (*#) (#1) (#2) Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) 51 Postopek najstrmejšega spuščanja Koraki algoritma: (##) Posredne numerične metode (naloge z omejitvami) 52 26

27 Neposredne numerične metode Neposredne numerične metode Pri reševanju optimizacijskih nalog se uporabljajo samo CF ter pogojne enačbe in omejilne neenačbe: Genetski algoritmi izhajajo iz ideje naravne selekcije v evolucijskem procesu. Poišče se primerno št. konstrukcijskih rešitev (KR) - začetna jata, ki izpolnjujejo vse pogojne in omejitve. po določenem postopku odpadajo najslabše rešitve ob hkratnem dodajanju boljših rešitev. 53 Neposredne numerične metode Genetski algoritmi začetna jata* rešitev (začetna generacija (nabor) konstrukcijskih rešitev (KR) znotraj dovoljenega področja): poišče se jo naključno ali sistematično (dobi se bolj enakomerno razporeditev možnih rešitev) (prikazano v nadaljevanju). Število članov jate je poljubno, vendar navzdol omejeno - naj bo vsaj za ena večje od števila vseh KS, bolje pa je izbrati še večje število: *... Začetni nabor konstrukcijskih točk je imenovan complex (sestav, zložek) mi bomo uporabili besedo jata. Tako poimenovanje je upravičeno tudi zato, ker se znotraj numeričnega postopka sestav točk premika in zgoščuje okrog točke optimuma

28 Neposredne numerične metode Pri inženirskih opt. nalogah: lahko dovoljeno območje KR sega vsaj proti pozitivni neskončnosti. Smotrno je KS z eksplicitnimi pogoji omejiti navzdol (x L,i ) in navzgor (x U,i ): Sistematično iskanje možnih začetnih rešitev: vrednosti KS v postavljenih meje (x L,i, x U,i ) po pravilu: kjer so r i,j številski faktorji, ki pri sistematičnemu iskanju dobivajo vrednosti med 0 in 1. Vsako sistematično ali naključno dobljeno KR se sproti preverja, če izpolnjuje vse enakostne pogoje in neenakostne omejitve. 55 Neposredne numerične metode Vse KR, ki izpolnjujejo omejilne pogoje, se oštevilči in zbere v jato z N C člani. S pomočjo izbrane generacije začetne jate, se prične numerični postopek iskanja minimuma CF ( ) znotraj dovoljenega območja (prostora). Vsaki KR se izračuna vrednost CF, da se jo primerja z vrednostmi CF pri ostalih rešitvah. Poišče se točko, ki ima najslabšo vrednost CF in se jo označi z. Izračuna se tudi središče vseh KR jate po klasičnem pravilu (srednja vrednost posamezne KS po celotni jati): 56 28

29 Neposredne numerične metode konstrukcijsko rešitev, ki ima najslabšo vrednost CF, se zamenja z novo po pravilu: Indeksi: W... najslabša KR v posamezni iteraciji, N... nova, izboljšana rešitev. Nova KR leži na premici, ki gre skozi točko z najslabšo vrednostjo CF in skozi središčno točko celotne jate. Smatra se, da se je izvršil premik KR W v KR N. Korekcijski faktor α, ki služi za prehod v novo točko: - se določi s poizkušanjem, - začetna vrednost je primerno majhno pozitivno število. 57 Neposredne numerične metode Pri vsaki vmesni vrednosti α se določi pripadajočo KR in: - se preveri, če so pogoji in omejitve še izpolnjene; - se izračuna vrednost CF. S premiki se nadaljuje: - dokler so KS v dovoljenem območju; - dokler se vrednosti CF izboljšujejo. Ko katera od gornjih zahtev ni izpolnjena: - se pomaknemo za korak nazaj; - predzadnja točka se privzame kot iskana nadomestna točka. Za iskani korekcijski faktor običajno velja: α > 1, zaradi česar se faktor imenuje tudi: faktor refleksije preko središča vseh konstrukcijskih točk

30 Neposredne numerične metode x 1, x 2... KS N C 2 npr.: N C =4 KR 1, 2, 3 in 4; W... najslabša KR v iteraciji (ima maks. vrednost CF), T... središča vseh konstrukcijskih točk = težišče jate (1, 2, 3, 4), b... razdalja med točkama W in T, α... faktor refleksije preko središča vseh konstrukcijskih točk N... nova, izboljšana KR, ki nadomesti staro ( = PREMIK). 59 Vir osnovne slike ( ): http//legacy.earlham.edu/~pardhan/courses/general_notes/2var_graphs.html Neposredne numerične metode Po vsaki izboljšavi (premiku) se začne ponovno iskanje točke, ki ima v spremenjeni jati najslabšo vrednost CF. Ko je ta določena, se celoten postopek ponovi. Med izvajanjem premikov točk z najslabšo vrednostjo CF se točke jate zbližujejo in počasi potujejo proti optimalni točki. Kot konvergenčni kriterij se lahko uporabi metoda najmanjših kvadratov po enačbi: kjer je Q povprečna vrednost CF v jati: 60 30

31 Neposredne numerične metode Pri tem je ε predhodno zahtevan konvergenčni kriterij (majhno pozitivno število). Preohlapen konvergenčni kriterij ima lahko za posledico: - predčasno zaustavitev iterativnega procesa, - ki je predaleč od optimalne rešitve. Preoster konvergenčni kriterij lahko močno podaljša čas računanja. Neposredne numerične metode se uporablja predvsem tam: - kjer so pogoji in omejitve zapleteni analitični izrazi KS ali; - kjer takih analitičnih povezav sploh ni (npr. pri MKE analizi zapletenih konstrukcijskih oblik). 61 Topološka optimizacija po MKE, npr. s programom ANSYS Neposredne numerične metode GENESIS Strukturna optimizacija za ANSYS Mechanical GSAM lahko izvaja topološko optimizacijo, kot tudi topografije, prostih oblik in velikosti. Prednosti: samodejno generiranje inovativnih modelov; vmesnik je zanesljiv, robusten in enostaven za uporabo. vir ( ):

32 Neposredne numerične metode vir ( ): 63 Neposredne numerične metode vir ( ):

33 Neposredne numerične metode vir ( ): 65 Neposredne numerične metode vir ( ):

34 Topološka optimizacija po MKE Neposredne numerične metode GENESIS Strukturni Optimization za ANSYS Mechanical Strukturna Optimizacija Podaljšek ANSYS strojništvo suv_iso_log.png GENESIS Strukturni Optimization za ANSYS (*) Mehanski (GSAM) je integriran razširitev, ki dodaja strukturno optimizacijo za okolje ANSYS. GSAM lahko izvaja optimizacija topologije, 67 34