1. Sisteme de ecuaţii liniare
|
|
|
- Ἰοκάστη Βικελίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sistee de ecuţii liie Sistee de ecuţii liie Reiti că u siste de ecuţii lgebice liie cu ecuoscute este de fo: K b K b K b Dcă otă cu tice coeficieţilo cu vectoul coloă fot cu ecuoscutele sisteului şi cu b colo teeilo libei sisteul se scie sub foă ticelă : b ude: K b L b b K b etodele ueice de ezolve sisteelo lgebice de ecuţii liie sut de două tipui: etode diecte şi etode idiecte su itetive etodele diecte costu î tsfoe sisteului ît u siste tiughiul echivlet ce se ezolvă uşo Cele i cuoscute etode diecte sut: etod Guss etod Cholesky utiliztă petu sisteele î ce tice este sietică şi pozitiv defiită şi etod Householde etodele diecte peit deteie soluţiei ecte sisteului î czul idel câd u ve eoi de otujie Nuăul opeţiilo itetice efectute este de odiul Petu sistee cu u uă de ecuţii i e de etodele diecte devi iutilizbile dtoită cuulăii eoilo de otujie ce lteeză soluţi etodele idiecte su itetive costu î costucţi uui şi { k } de vectoi diesioli ce covege l soluţi ectă sisteului Se lege c
2 Bzele lizei Nueice soluţie poitivă sisteului u tee s l şiului l căui odi depide de pecizi ipusă O iteţie pesupue efectue uui uă de opeţii itetice de odiul etodele itetive sut utilizte l ezolve sisteelo i de ecuţii Cele i cuoscute etode itetive sut: Jcobi Guss Seidel etodele de ele etod Guss Fctoize LU Fie şi e eleetul di e se flă pe lii O tice de fo I e T ude e T se ueşte tice Fobeius O stfel de tice e uătoe stuctuă: L L L L L O L De eeplu dcă şi ve:
3 Sistee de ecuţii liie 5 Popoziţi Oice tice Fobeius este ivesbilă şi ives s este: I e T Deostţie I e T I e T I e T T e e T e T T Deoece e ezultă: I e T I şi deci I e T Teoe Fie o tice păttă de odiul ce stisfce codiţi: K * det petu oice K tuci eistă o tice ifeio tiughiulă R stfel îcât tice U este supeio tiughiulă Deostţie Deoece pute coside tice Fobeius K K K Dcă otă şi tuci ve K K K ude otâd cu ij ij petu i j ve: j j petu i j j ; ij ij petu oice i j Obsevă că Dcă otă
4 Bzele lizei Nueice tuci ude ij ij petu i j şi K K K K i j U clcul siplu e tă că K K K K i j Î geel şi se pote coside tice Fobeius: L O L L L L L Dcă otă cu tuci i j i j
5 Sistee de ecuţii liie 7 K K K K K K K K K K ude petu j i j i i j j i j i j i j i Î fil se obţie tice supeio tiughiulă U K K K Notă cu şi deostţi teoeei este copletă Eeplu U 9 7 Cosideă sisteul 5 5
6 8 Bzele lizei Nueice căui soluţie este Sub foă ticelă sisteul se scie: b ude b cest siste este echivlet cu uătoul siste: b Efectuâd clculele obţie Nuăul opeţiilo petu deteie ticei U şi vectoului b Petu o liie fită i se clculeză i poi se fc îulţiile cu j j şi se duă ij j L fel şi cu b i Sut opeţii eleete petu fiece liie i i şi petu fiece opeţii Î totl vo fi etpă vo fi [ ] 7 [ ] opeţii eleete Dcă dăugă şi cele opeţii petu ezolve sisteului tiughiul ezultă că uăul de 7 opeţii petu ezolve sisteului b este L Î cotiue otă cu Di Popoziţi ezultă că L este de fo: K K O K L L K K Dcă otă cu LL L L tuci L este o tice ifeio tiughiulă de tipul uăto
7 Sistee de ecuţii liie 9 l L l l l K K K Deoece U ezultă că: LU şd oice tice păttică ce îdeplieşte codiţi * di Teoe dite o descopuee uică de fo ude L este ifeio tiughiulă vâd eleetele de pe digol piciplă egle cu şi U este supeio tiughiulă Descopuee este cuoscută sub uele de fctoize LU lgoitul petu fctoize LU { Deteie ticelo U şi L cu păste ticei } Petu i: eecută Petu j: eecută u ij : ij ; dcă ij tuci l i i : ltfel l i j : ; sfâşit petu j ; sfâşit petu i ; Petu : eecută Petu i: eecută Petu j: eecută uiuj uij : uij ; u sfâşit petu j ; u l i i : ; u sfâşit petu i ; sfâşit petu ; Petu i: eecută Petu j:i eecută u ij : ; sfâşit petu j ; sfâşit petu i lgoitul se flă pogt î TLB şi pote fi pelt cu secveţ: [ L U ] lu { se fişeză cele două tice } Î eeplul pecedet ve:
8 Bzele lizei Nueice L L 9 5 LU Obsevţi Dcă pivotul este fote ic dică << tuci îpăţiile l cest pivot poduc eoi de otujie fote i ce lteeză soluţi Î cest cz se ecodă schibe pivotului Se pote lege u ou pivot π i { ij ; j } su π { ; k l } j kl cest pesupue schibe îte ele două liii şi evetul şi două coloe lgoitul Guss petu ezolve sisteelo de ecuţii liie Petu : eecută Petu i: eecută Petu j: eecută găseşte pivotul cofo cu β ; schibă lii i cu lii pivotului şi colo j cu colo pivotului dcă este czul ; sfâşit petu j sfâşit petu i Petu i: eecută ib b i i bi Petu j: eecută ij ij ij ; ; sfâşit petu j ; sfâşit petu i ; sfâşit petu ; b : ;
9 Sistee de ecuţii liie Petu i: eecută s: ; Petu j:i eecută s:s ij j ; sfâşit petu j ; bi s i : ; ii sfâşit petu i tice sietice pozitiv defiite Reiti că o tice sietică se ueşte pozitiv defiită dcă fo păttică socită este pozitiv defiită i pecis dcă este o tice sietică tuci se ueşte pozitiv defiită dcă ϕ T > T petu oice ude Di lgeb Liiă se ştie că o tice sietică este pozitiv defiită dcă şi ui dcă > petu oice ude K det K Î pctică ceste codiţii sut geu de veifict petu tice de diesiui i De cee î cotiue vo pezet uele codiţii ecese espectiv şi suficiete petu c o tice sietică să fie pozitiv defiită Popoziţi Dcă este o tice sietică pozitiv defiită tuci: ii > petu oice i b ii jj > ij petu oice i j Deostţie ϕ Ţiâd se că ij ji î cotiue ve T
10 Bzele lizei Nueice ϕ ij i j i j Î pticul petu e i e i ezultă că ii ϕe i > dică Petu u uă el oece λ ve ve ϕei ii Cu ϕ este pozitiv defiită şi ϕλe i e j ii λ ij λ jj > Petu c ieglitte să fie devătă petu oice λ R tebuie c şd deostt că ij < < ii jj ij ii jj petu oice i j dică b Obsevţi Codiţiile ce p î Popoziţi sut do ecese u şi suficiete Eeplu tice pozitiv defiită Ît devă Dcă stisfce codiţiile di Popoziţi d u este ϕ tuci ϕ9 < deci ϕ u este pozitiv defiită Defiiţi Spue că tice este te digol doită dcă eleetele sle stisfc ieglităţile: ii > ij j i d j i
11 Sistee de ecuţii liie Dcă ieglităţile d devi eglităţi petu uiţi idici d u petu toţi tice se ueşte slb digol doită Teoe Fie o tice sietică cu uătoele popietăţi: i este te digol doită ii ii > petu i tuci este pozitiv defiită Deostţie Di codiţi i ezultă că dcă tuci: ϕ iii ij i j > ij i ij i i j i j i j j i j i j i i j j i ij Deoece ij ji ve şi ieglitte: i > ϕ ij j j i i j j i duâd cele două ieglităţi ezultă ϕ > ij i j i j j i şd ϕ > petu oice deci ϕ este pozitiv defiită i j i j Defiiţi Fie {} O tice se ueşte eductibilă dcă eistă două subulţii S T cu popietăţile: i S Φ T Φ ii S TΦ iii S T iv ij petu oice i S şi j T tice se ueşte ieductibilă dcă oice fi subulţiile S şi T le lui cu popietăţile i iii eistă i S şi j T stfel îcât i j Cel i siplu eeplu de tice eductibilă este tice digolă Teoe Fie o tice sietică vâd uătoele popietăţi: i este slb digol doită ii este ieductibilă iii ii > petu oice i
12 Bzele lizei Nueice tuci este pozitiv defiită Deostţie Pocedâd c î deostţi Teoeei ezultă: ϕ ij i j i j j i Vo ăt că situţi ϕ petu u pote ve loc Ît devă ϕ se uleză î uătoele czui: ij petu oice i j tuci tice e fo digolă şi este eductibilă α petu oice i şi j i j ii ij i i j j i α α ϕ Cu eistă cel puţi u idice i stfel îcât ϕ > petu i j i ii j j i ij j j i i < ezultă ij petu oice peeche de idici ij petu ce i j şi ij dcă i j Fie { } şi { i j ; i } Dcă S tuci sute î czul Dcă S Φ tuci S j i j j ii petu oice i şi j şi evidet ϕ > petu şd pute pesupue că Φ S icluziue stictă Dcă otă cu T \ S tuci S şi T stisfc codiţiile i iv di Defiiţi deci este eductibilă Eeplu Fie tice este sietică slb digol doită ieductibilă şi e eleetele de pe digol piciplă stict pozitive Di Teoe ezultă că este pozitiv defiită
13 Sistee de ecuţii liie 5 Osevţi Teoe este utilă l stbilie fptului că uite tice ce p î ezolve ueică ecuţiilo cu deivte pţile de tip eliptic sut pozitiv defiite etod Cholesky Fie o tice sietică pozitiv defiită şi T ϕ ij i j i j fo păttică socită Deoece > ve: j ϕ ij i j j i j j i j ij i j ude ij ij i j i j Dcă otă cu ϕ ij i j i j tuci ϕ este l âdul său o foă păttică pozitiv defiită z Ît devă să pesupue pi bsud că eistă z stfel îcât z ϕ z z j z Fie z z j şi z j z Î cotiue ve j ϕ z z z j ϕ z ϕ z j cee ce cotzice fptul că ϕ este pozitiv defiită şd deostt că ϕ este pozitiv defiită Î pticul ezultă că > i depte pocedă cu ϕ ş cu pocedt cu ϕ şi obţie
14 Bzele lizei Nueice j ϕ j ϕ j ude ϕ ij i j i j este pozitiv defiită Î fil ϕ se epezită c o suă de pătte i pecis ϕ dite uătoe sciee: i i ij ϕ ii i j i i j i ii ude p p p p pi pj ij ij şi ij ij p p pp Itoduce otţiile: ii i ii i ij ij ii ij i i < j j < i p p ij ij pipj p i j p Cu ceste otţii ve ϕ ij j i j i Dcă otă cu R uătoe tice supeio tiughiulă K K R K tuci ϕ T R T R T R T R Pe de ltă pte ϕ T Se obţie stfel uătoe descopuee ticei R T R
15 Sistee de ecuţii liie 7 ude R este o tice supeio tiughiulă Descopuee potă uele de fctoize Cholesky ticei şi e loc petu tice sietice pozitiv defiite Nuăul de opeţii petu deteie ticei R Petu clcul eleetele liiei i ticei R sut ecese ii i opeţii eleete şi o etgee de ădăciă păttă Petu tote liiile sut ecese 5 [ ii i ] i opeţii eleete plus etgei de ădăciă păttă Eeplu Să se deteie descopuee Cholesky ticei R Se veifică iedit că R T R Rezolve sisteului b cu etod Cholesky î czul câd tice este sietică şi pozitiv defiită evie l ezolve două sistee tiughiule şi ue R T y b R y 5 lgoitul Cholesky petu ezolve sisteelo de ecuţii liie Petu p: eecută 5 5
16 8 Bzele lizei Nueice pp: pp ; Petu k:p eecută pk pk : ; pp sfâşit petu k ; Petu i:p eecută Petu j:i eecută ij : ij pi pj ; sfâşit petu j ; sfâşit petu i ; sfâşit petu p ; { Rezolve sisteului R T yb } b y ; Petu i: eecută s: ; Petu j:i eecută s:s ij y j ; sfâşit petu j ; bi s yi : ; ii sfâşit petu i ; { Rezolve sisteului Ry } y ; Petu i: eecută s: ; Petu j:i eecută s:s ij j ; sfâşit petu j ; yi s i : ; ii sfâşit petu i lgoitul se flă pogt şi î TLB şi se peleză cu secveţ: Rchol; R\R'\b { petu fişe soluţiei }
17 Sistee de ecuţii liie 9 etod Householde Fctoize QR O tice Householde este o tice de fo H I hh T ude h T h i h şi h h i h Se obsevă iedit că o tice Householde este sietică şi e uătoe stuctuă: O H hi hi hi K hi h hhi hhi K h i ult costtă că H este otogolă Ît devă H I hh T I hh T I hh T hh T hh T hh T Cu h T h ezultă H I şd ve H H H T U clcul siplu e tă că hh T h T h petu oice T Î cotiue e pue uătoe pobleă: dt fiid u vecto coloă se pote detei o tice Householde H stfel îcât H să fie colie cu T e? ude e Cu lte cuvite se pote detei u vecto coloă h cu h şi u uă el σ stfel îcât H hh T σ e? Ţiâd se de obsevţi de i sus cest evie l h T hσ e de ude ezultă σ e h T h şd h tebuie să fie colie cu σ e Cu h ezultă σ e h σ e Pe de ltă pte H fiid otogolă ve H σ e σ lege σ sg şi fce coveţi sg dcă Î cotiue ve
18 Bzele lizei Nueice sg sg σ e şi σ e Îlocuid î obţie sg h Se obţie stfel uătoul lgoit petu deteie lui h şi deci ticei H: H I β u u T β u T sg sg dcă Teoe Petu oice tice R esigulă eistă o tice otogolă H stfel îcât tice R H este supeio tiughiulă Deostţie Fie pi coloă ticei Di cele ătte i îite ezultă că eistă o tice Householde H stfel îcât H σ e tice H se deteiă stfel: / T s j s s u s sg β j T sg dc H I βuu Dcă otă cu H tuci e uătoe foă: sg s K K K
19 Sistee de ecuţii liie Î cotiue cosideă vectoul otogolă ~ H R stfel îcât ~ H ude ~ T e R Notă cu σ e~ şi deteiă o tice H ~ R şi cu H tice v ăt stfel H K K ude j j j K K ~ Î cotiue se deteiă o tice Householde H R cu ~ popiette că H ~ σ e ude ~ T e R Vo ot cu I H ~ R şi cu H tice v ve tote eleetele de H sub digol piciplă di piele tei coloe zeo Pocedeul cotiuă ît-u od evidet Î fil obţie o tice supeio tiughiulă H H H H Dcă otă HH H H şi cu RH tuci H este otogolă şi R supeio tiughiulă Cool Petu oice tice esigulă R eistă o tice otogolă Q şi o tice supeio tiughiulă R stfel îcât QR lgoitul Householde petu ezolve sisteelo de ecuţii liie Fie sisteul b cu R Notă cu C bc ij R tice etisă Petu i: eecută s : c ji ; j i dcă s tuci este sigulă Stop! ltfel β : s c ii s ; dcă c ii tuci sgc ii : ; u : c ii s sgc ii c ii c i T ;
20 Bzele lizei Nueice sfâşit petu i ; H i : I βuu T ; C: H i C ; Eeplu Fie sisteul 5 5 Soluţi ectă este plică etod Householde ; b C 5 ; Iteţi I 5 5 ; c 5 ; s 885; β ; u 5 ; H H ; b Hb ; C H C [ b ] 8787 Iteţi II ; s c c ; c ; ; β587 ; u ;
21 Sistee de ecuţii liie H ; H ; b Hb ; C H C [ b ] ; H H H ; R H ; Soluţi sisteului iiţil este R Hb ude: R Se obţie soluţi ; ; 5 Noe de tice Cele i utilizte oe vectoile pe R sut: { } / p p < i p p i ude T R Defiiţi Se ueşte oă de tice oice plicţie : R R cu popietăţile:
22 Bzele lizei Nueice i dcă şi ui dcă ii λ λ ; λ R R iii B B iv B B B R U eeplu de oă de tice este o euclidiă de tice ce se defieşte stfel / ij E i j Popietăţile i şi ii sut evidete Petu deost popietăţile iii şi iv se foloseşte ieglitte Cuchy Buikovski Schwz pe R Petu eeplifice deostă iv Fie C B tuci cij ikbkj ik bkj k k k Î cotiue ve B E cij ik b kj B E E i j i k j k de ude ezultă B B E E E Defiiţi O oă de tice vectoilă dcă p se ueşte coptibilă cu o petu oice p p Obsevţi E j E i j j Ît devă i i ij i Obsevţi Dcă λ este o vloe popie ticei tuci petu oice oă de tice coptibilă cu o oă vectoilă λ Ît devă fie v u vecto popiu l ticei ce coespude vloii popii λ tuci ve λ v λv v v
23 Sistee de ecuţii liie 5 λ deci După cu se ştie îte ulţie R ticelo păttice cu eleete di R şi ulţie LR plicţiilo liie şi cotiue U : R R eistă o coespodeţă bijectivă i pecis dcă este tice socită tsfoăii liie U tuci Ue T i i i i ude e T i R şi U T T Pe de ltă pte spţiul LR este u spţiu ot î pot cu o opetoilă: T T U sup{ U ; } o ude cu ott o oă oece pe R Se ştie de seee că: T T T { c > ; U c R } U if o Defiiţi Se ueşte o ticei subodotă oei vectoile uătoul uă: sup { ; } sup C şi î czul oei opetoile ve if c > ; c } 5 { Di elţi 5 ezultă î pticul că R deci o ticelă defiită de este coptibilă cu o vectoilă căei îi este subodotă Este evidet că plicţi defiită de stisfce popietăţile i iii di defiiţi De seee ve B B B de ude ezultă B B şd foul defieşte ît devă o oă de tice Defiiţi Dcă λ λ sut vloile popii le ticei tuci se oteză cu ρ λi şi ρ se ueşte z spectlă ticei î cestă i defiiţie λ pot fi ele su coplee i Teoe Petu R ve: ij i j
24 Bzele lizei Nueice ij j i ρ T ude cu ott o ticei subodotă oei vectoile p p Deostţie Rezultă stfel îcât ij j ij j i j i j ij i j ij Răâe să ătă că eistă ~ cu ~ i j ~ i j j i j ij Petu cest fie k stfel îcât să ve kj ij dcã kj şi fie ~ j kj dcã kj kj Evidet că ~ şi ~ kj ij şd deostt j i j Î cotiue ve i i i i i i ij j i de ude ezultă ij j i j i ij
25 Sistee de ecuţii liie 7 Pe de ltă pte dcă e T j tuci e j şi e j ij de ude ezultă i ij şi cu cest fiţi este dovedită Fie B T şi fie T µ sup{ B ; } Evidet µ sup i petu oice j şd T { ; } j i deci µ Deoece ulţie S { ; } este copctă ezultă că eistă v cu popietăţile: µ v T Bv şi v Vo ăt î cotiue că Bvµ v deci că v este u vecto popiu petu B şi coespude vloii popii µ T z z Ît-devă petu oice z ve: B µ z z şi deci T T z Bz µ z µ z z 8 Pe de ltă pte este evidet că elţi 8 este veifictă şi petu z Deci elţi 8 e loc petu oice z De seee ve: v T Bvµ v T v 9 Dcă otă cu CB µ I tuci ve: z T Cz z şi 8' v T Cv 9' Fie zvty ude t R este oece şi y este u vecto oece Di 8' şi di fptul că C este sietică ezultă v T Cvty T Cvt y T Cy Ţiâd se de 9' ve T T t y Cy ty Cv Petu c să fie devătă petu oice t R tebuie c y T Cv Cu y fost bit ezultă CvB µ I vbv µ v şd ve Bvµ v deci µ este vloe popie petu B şi î plus µ Pe de ltă pte fie µ o ltă vloe popie ticei B şi fie u u stfel îcât Buµu Î cotiue ve T T µ u u Bu u µ u µ şd µ este ce i e vloe popie ticei B deci deostt şi fiţi 7 ij
26 8 Bzele lizei Nueice Î pticul dcă pesupue că tice este sietică ezultă că B Fie λ λ λ vloile popii le ticei ce î cest cz sut ele Se ştie că λ λ λ λ j j pesupue că λ sut vloile popii le ticei Să Di Teoe ezultă că λ Dcă î plus este pozitiv defiită tuci λ i > petu oice i Să pesupue că: λ λ λ Di cele de i sus ezultă λ ude λ este ce i e vloe popie ticei sietice şi pozitiv defiite Petube sisteelo liie Nuăul de codiţioe l uei tice Cosideă uătoul siste de ecuţii liie căui soluţie ectă este Să cosideă cu sisteul ' î ce odifict puţi teeii libei ' Soluţi sisteului ' este 9 ; ; 5 ; şd o eoe ică de odiul teeilo libei poduce o eoe e de odiul soluţiei sisteului Fie cu sisteul " î ce odifică puţi coeficieţii sisteului " Soluţi sisteului " este: 8 ; 7 ; ; Să liză cu efectul petubăii ebului dept sup soluţiei uui siste lii b î ce tice este esigulă
27 Sistee de ecuţii liie 9 Notă cu δ b petube ebului dept şi cu δ petube ce ezultă petu soluţie ve: δ b δ b de ude ezultă δ δ b şi deci δ δ b Petu oice oă de tice coptibilă ve: δ δb Pe de ltă pte Di elţiile şi obţie b b de ude ezultă: δ δb b Nuăul de codiţioe l uei tice se defieşte stfel cod şd îte eoe eltivă ebului dept şi eoe eltivă soluţiei sisteului ve uătoe ieglitte δ δb cod 5 b Obsevă că dcă uăul de codiţioe l ticei coeficieţilo sisteului este e tuci l eoi eltiv ici le teeilo libei pot pe eoi eltiv i petu soluţi sisteului Î czul eeplului ve şi cod 98 S folosit o de tice După cu se vede uăul de codiţioe este destul de e cee ce eplică istbilitte soluţiei sisteului Nuăul de codiţioe e uătoele popietăţi: i codi ii codcod iii codαcod petu oice α iv cod µ µ ude µ µ µ > sut vloile popii le ticei B T
28 Bzele lizei Nueice λ i v Dcă este sietică tuci cod i λi ude λ λ sut vloile popii le ticei vi Dcă este otogolă tuci cod Petu evlu eoe soluţiei sisteului l o petube coeficieţilo sisteului ve evoie de uătoele două lee Le Dcă R şi < tuci: i I şi I sut esigule şi ± I ii Deostţie Pezetă deostţi petu I Pesupue pi bsud că I este sigulă tuci eistă stfel îcât I Î cotiue ve deci Rezultă cee ce cotzice ipotez < Petu deost ii obsevă că I I I I I I de ude ezultă Pe de ltă pte ve de ude ezultă şi i depte I I I I I I I I I Le petubăii Fie B R cu popietăţile: i α ii B k < α tuci B este esigulă şi B k Deostţie Di Le ezultă că I B B este esigulă
29 Sistee de ecuţii liie Cu det B det detb v ezult detb deci B este esigulă Tot di Le ezultă [ ] k B B I B i depte ve k B B B α Teoe Dcă petubă tice coeficieţilo sisteului b cu δ şi < δ tuci îte eoe eltivă soluţiei şi eoe eltivă ticei coeficieţilo e loc ieglitte δ δ δ cod cod Deostţie Di eglităţile b şi δδb ezultă δδδδ Î cotiue ve δ δ δ şi i depte δ δ δ Dcă lege î Le α şi Bδ tuci < B δ şi v ezult B δ δ δ 7 Di şi 7 obţie δ δ δ δ δ Ţiâd se de defiiţi uăului de codiţioe ulti ieglitte devie δ δ δ cod cod
30 Bzele lizei Nueice Obsevţi Dcă pesupue î plus că petubă şi ebul dept l sisteului cu δ b tuci ezultă δ cod δ δ cod δb b Obsevţi Rezolve sisteului b cu etod Guss evie l ezolve două sistee tiughiule Uyb şi Ly Rezolve fiecăui siste ecesită opeţii Dcă uul di ceste sistee este ău codiţiot cee ce se pote îtâpl chi dcă sisteul iiţil b este bie codiţiot etod Guss coduce l eoi i Cu totul ltfel stu lucuile î czul etodei Householde Deoece codq şi codqr codr ezultă că sisteul Qy b este bie codiţiot şi deci că sisteul b e ceeşi codiţioe c sisteul R y şd lgoitul Householde e popietăţi de stbilitte i bue decât lgoitul Guss Obsevţi Petu evlue uăului de codiţioe cod este suficiet să cuoşte u jot petu Clculul lui LU este i uşo decât clculul lui ivese ticelo tiughiule este uşoă Să pesupue că k LU α şi LU < α deoece α ude <k< tuci di Le ezultă k Ît devă să lege î Le tice LU î loc de şi tice î loc de B ve k LU LU α k < α α α tuci ezultă şi deci cod k k
31 Sistee de ecuţii liie 7 etode itetive de ezolve sisteelo de ecuţii liie etodele diecte de ezolve ueică sisteelo de ecuţii liie se utilizeză petu sistee ce u tice coeficieţilo desă pope toţi coeficieţii sut euli şi cu u uă de ecuţii odet pâă l de ecuţii Petu sistee i de ecuţii de odiul 5 şi ce u tice coeficieţilo ă cu ulte eleete ule se utilizeză etode itetive de ezolve ueică Să pesupue că sisteul b se pote pue sub fo echivletă B c Fo echivletă e sugeeză uătoul poces itetiv: B c ude este u vecto bit Dcă otă cu * soluţi ectă sisteului tuci ve * B * c Fie e * vectoul eoe * Di şi ezultă e Be N şi i depte e B e 5 Teoe Dcă B < tuci şiul Deostţie Este suficiet să ătă că Di 5 ve li e Deoece li B ezultă este coveget şi li e B e B e li e Teoe Codiţi ecesă şi suficietă c şiul defiit de să fie coveget este c ρ B < ude cu ρ B s ott z spectlă ticei B
32 Bzele lizei Nueice Deostţie Este suficiet să ătă că dcă şi ui dcă li B < B ρ Di lgeb liiă se ştie că tice B se pote duce l fo coică Jod deci că eistă o tice esigulă C stfel îcât p p p J J J J C B C λ λ λ L ude λ λ λ λ O L p J este o celulă Jod λ λ sut vloile popii le ticei B şi p p sut odiele de ultiplicitte le cesto vloi popii Deoece ezultă că dcă şi ui dcă Pe de ltă pte J D N ude J C B C li B li J D λ λ λ λ O O O este o tice digolă de odiul i N este o tice ilpotetă de odiul dică N Î cotiue ve Deoece N k k k k N D C J k petu k vo ve k k k k N D C J Obsevă că < B λ D i ρ Di ezultă: k k k k k k k B N k N D k k J <!! ρ
33 Sistee de ecuţii liie 5 Cu k k li ρ B ezultă că li J deci că li J Recipoc să pesupue că li B şi că ρ B tuci eistă u vecto popiu şi o vloe popie λ cu λ stfel îcât Bλ şi deci B λ Cu λ u covege l ezultă că B u covege l cee ce cotzice ipotez făcută U di cele i cuoscute etode itetive este etod Jcobi Să pesupue că tice sisteului b e popiette ii i Dcă otă cu D şi cu ED tuci obţie sisteul dig echivlet D E b şi i depte D - E D b 7 Cu - dig ij D ezultă că D E i j ii Obsevă că dcă tice este te digol doită tuci D < şi î vitute Teoeei şiul D E D b este coveget petu oice poiţie iiţilă costă î uătoele: Sisteul b se pue sub fo echivletă 7 Scis pe copoete sisteul 7 tă stfel i bi ij j i ii j j i Se obţie şiul ecuet ude { } j i E 8 şd etod Jcobi 7 b i i ij j i 8 ii j j i
34 Bzele lizei Nueice Dcă tice este te digol doită şiul soluţi ectă sisteului covege l Eeplu Fie sisteul Soluţi ectă este 5 D 5 E D E 8 D - b D - E < Obţie uătoul poces itetiv: 8 Dcă lege poiţi iiţilă tuci după 5 iteţii obţie ; 99; 98; 99 O ltă etodă itetivă cuoscută este etod Guss Seidel şi ce coespude uătoei spgei ticei coeficieţilo: DL U ude D dig L i U 5 5
35 Sistee de ecuţii liie 7 Sisteul devie DL U b şi i depte obţie uătoul poces itetiv: DL U b 9 Pe copoete obţie i- b i i ij j ij j ii j j i i Di lgoitul se obsevă că fiece ouă copoetă j este iedit utiliztă l clculul uătoei copoete Se pote ăt că pocesul itetiv Guss Seidel este coveget dcă tice este te digol doită Î czul eeplului pecedet obţie su Petu după 5 iteţii obţie ; 998 ; 998 ; etode de ele Picipiile de bză etodele de ele sut etode itetive şi sut utilizte petu ezolve ueică sisteelo liie ce u tice coeficieţilo sietică şi pozitiv defiită Fie sisteul lii b
36 8 Bzele lizei Nueice v v ude tice este sietică şi pozitiv defiită Dcă v este u vecto de v pobă oece tuci otă cu v b Vectoul se ueşte vectoul ezidul Scopul oicăei etode de ele este c pi schibe sistetică vectoului v vectoul ezidul coespuzăto să se icşoeze evetul să se uleze Î cele ce ueză petu oice doi vectoi u v u v u şi v u v vo ot podusul lo scl cu uv v T u u v uv u v socie sisteului fucţi păttică F v ijviv j bivi vv bv i j i Deoece este pozitiv defiită ezultă Qv> petu oice v ude Q v vv Obsevă de seee că petu oice i ve F ijv j bi vi j deci vectoul ezidul gdf 5 Teoe Poble deteiăii soluţiei sisteului este echivletă cu poble deteiăii puctului de ii l fucţiei păttice Deostţie Fie v soluţi sisteului tuci v b Cu F gdfv ezultă v şd vv este puct citic petu F Pe vi de ltă pte d F v ijdvi dvj > i j Rezultă că vv este u puct de ii globl petu F
37 Sistee de ecuţii liie 9 Recipoc dcă vv este puct de ii petu F tuci F v i vi Rezultă ijv j bi i deci vv este soluţie petu j Î cotiue pezetă picipiul de bză l etodei elăii Fie v u vecto de pobă oece p o diecţie dtă şi D { v v tp; t R } dept ce tece pi v şi este plelă cu p Ne popue să deteiă v D stfel îcât F v i F v ; v D Ţiâd se de ezultă { } F v v tp v tp bv tp t t t vv bv vp pp pv t bp t t F v pp t vp t bp F v pp t v bp t F v pp t p Folosi otţi t f t F v F v tp F v pp t p Deteiă pe t stfel îcât f t F v să fie iiă Petu cest tebuie să ve f t de ude ezultă t pp p şd obţie: t p i 7 pp Cu f t pp > ezultă că vectoul v v t p este u puct de ii petu F v Î cotiue ve de ude ezultă f ti F v F v p pp p F Fv Fv pp Petu c F< tebuie c p Rezultă că diecţi p se lege stfel îcât p să u fie pepediculă pe i
38 5 Bzele lizei Nueice Obsevţi Dcă v b este vectoul ezidul coespuzăto vectoului v v ti p tuci p Ît devă p p v-bp ti pp p pp pp Petu itepete geoetică picipiului elăii să cosideă czul pticul Ecuţiile Fv costt epezită ecuţiile uo elipse cocetice l căo cetu cou coicide cu puctul de ii l fucţiei F Ît devă ecuţi Fv c evie l v vv v bv bv c 8 Deoece este pozitiv defiită ezultă că δ > deci 8 epezită o elipsă Fie v u vecto de pobă oece şi c Fv Ecuţi Fvc epezită o elipsă şi vv pţie cestei elipse Deoece gdfv ezultă că este pepedicul pe tget î vv l elipsă Diecţi p o lege stfel îcât să u fie pepediculă pe Fie v v t i p şi fie c Fv Puctul vv pţie elipsei Fvc şi de seee pţie deptei ce tece pi v şi e diecţi p Fie v b Di Obsevţi ezultă că este pepedicul v pe diecţi p Pe de ltă pte v gdfv este pepedicul pe tget î vv l elips Fvc Rezultă că vv este puctul de tgeţă l elips p Fvc l deptei ce tece pi v şi e diecţi p 9 etod elăii siple Este o etodă specifică clculelo de âă vâd i les o seificţie istoică Fie v u vecto de pobă oece şi fie v b vectoul ezidul coespuzăto
39 Sistee de ecuţii liie 5 Dcă i j i T e j Rezultă ti p j pp jj şi j v v ti p v e j jj Pe copoete ve: vi dc i j v i j v i j j dc jj De seee vo ve j v b jj e j şi i depte tuci lege pe j ude j j jj j j j jj j F F v F v < jj cee ce siguă covegeţ etodei Deşi covegeţ este sigută epeieţele ueice tă că cest este fote letă Covegeţ este îbuătăţită dcă tice este te digol doită Eeplu Dcă lege v tuci 5
40 5 Bzele lizei Nueice 5 şi şd p e v v e şi e Pe copoete ve v v v 5 Rezultă p e v v e şi e ; v v v Î cotiue p e v v e şi e v 58 v 88 etc v
41 Sistee de ecuţii liie 5 etod deplsăilo succesive Guss - Seidel Î etod deplsăilo succesive diecţi de ele ueză ciclic diecţiile e e e idifeet de eziduuile espective după ce ciclul se ei Petu siplifice să pesupue că ve sisteul b b b Fie v vectoul de pobă iiţil şi fie Cofo foulei di 9 ezultă e p e v v i pe copoete v v v v b v v v v v Î cotiue lege diecţi de ele e p şi obţie vectoul de copoete v v b v v v v v v v v Î sfâşit petu diecţi de ele e p
42 5 Bzele lizei Nueice obţie vectoul v de copoete v v v v v v v v v b După îcheiee cestui ciclu vectoul găsit v fi ott cu v şi v ve copoetele: b v v v v b v v v v b v v v v Efectuâd clculele obţie: v v v b v v v b v v v b Î geel petu u siste de ecuţii după ciclui se obţie vectoul v ce veifică ecuţiile: v v v v b v v v v b v v v v b Obsevţi Foulele coicid cu foulele di 7 Dcă otă cu L E T L F E şi D L
43 Sistee de ecuţii liie 55 tuci tice dite descopuee EDF şi şiul de vectoi veifică elţi ticilă v DEv Fv b de ude ezultă v DE Fv DE b Î sfâşit otâd DE F şi CDE b 5 obţie pocesul itetiv v v C Eeplu Să se găsescă soluţi poitivă obţiută după 5 iteţii cu etod deplsăilo succesive luâd vectoul iiţil petu sisteul b ude: b Rezolve F DE - 8 F E D 9 det λ λ I λ λ Vloile popii le ticei sut ; λ ; λ 77 9 λ ; λ 9 < ρ deci pocesul este coveget Pe copoete lgoitul coduce l:
44 Bzele lizei Nueice 5 Iteţi I b b b b ezultă Iteţi II b b b b ezultă Iteţi III b b b b ezultă Iteţi IV b b b b ezultă Iteţi V
45 Sistee de ecuţii liie b b b b ezultă Teoe Dcă tice este sietică şi pozitiv defiită pocesul itetiv Guss Seidel este coveget Deostţi ezultă di liz desceşteii fucţiei păttice F pi tecee de l o iteţie l lt O ltă deostţie se bzeză pe fptul că se pote ăt că dcă este sietică şi pozitiv defiită tuci ρ < şi cofo Teoeei di 7 pocesul itetiv este coveget etod supelăii Petu sistee i de ecuţii pocesul itetiv Guss Seidel covege let deoece z spectlă ρ este î veciătte lui etod supelăii este o geelize etodei Guss Seidel ce costă î itoducee uui petu ω î vedee cceleăii covegeţei C şi î etod Guss Seidel diecţi de ele ueză ciclic diecţiile e e e d se îlocuieşte ti cu tω t i Eeplifică etod pe czul pticul l uui siste de tei ecuţii Fie v vectoul de pobă iiţil După u ciclu î ce diecţi de ele ueză succesiv diecţiile e e e obţie vectoul v de copoete: ω v v v v v b ω v v v v v b ω v v v v v b Dcă ω obţie di ou foulele di După efectue clculelo ezultă:
46 58 Bzele lizei Nueice - ω v ω v v v b - v ω v ω v v b - v v ω v ω v b Dcă itoduce otţiile E D T şi FE elţiile cpătă fo ticilă Eω Dv [F ω D]v b Î geel petu u siste de ecuţii şiul de vectoi v stisfce elţi: Eω D v [F ω D] v b Î cotiue ve v Eω D [F ω D] v Eω D b Notă cu ω E ω D [ F ω D] C ω [ E ω D] b 5 Obţie stfel pocesul itetiv v ω v Cω Petu ω obţie lgoitul Guss Seidel vezi 5 di Petul opti ω opt v fi cel petu ce z spectlă ticei ω v fi iiă Evidet petu cest petu se obţie ce i pidă covegeţă Se pote deost uătoe teoeă Teoe Dcă tice este sietică şi pozitiv defiită etod supelăii este covegetă petu oice < ω < Î pticul ezultă că etod Guss Seidel este covegetă dcă este sietică şi pozitiv defiită deoece coespude czului pticul ω Deteie petului opti ω opt este posibilă î czul ticelo bloc tidigole Defiiţi O tice se ueşte bloc tidigolă dcă e uătoe stuctuă:
47 Sistee de ecuţii liie 59 D E F D E F D E F D E F D L L O L L L ude D i sut tice păttice de difeite odie E k şi F k sut î geel tice deptughiule F k e celşi uă de liii c tice D k şi celşi uă de coloe c tice D k E k e celşi uă de liii cu D k şi celşi uă de coloe cu D k Î f ticelo ce ită î bdă tote eleetele sut ule Dcă î plus ticele D i sut digole se ueşte digol bloc tidigolă Pezetă de seee făă deostţie uătoe teoeă Teoe Fie o tice sietică pozitiv defiită şi digol tidigolă tuci petul opti de ele este dt de elţi opt λ ω ude λ este ce i e vloe popie ticei D EF Eeplu Fie sisteul b di eeplul di pgful pecedet ce e tice digol bloc tidigolă E F D F E D Ecuţi ccteistică este
48 Bzele lizei Nueice ce este echivletă cu λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ± 7 Rezultă λ i ± şi λ 7 8 Petul opti de ele ω opt 9 λ Pocedeul itetiv ω Cω ude ω Cω coduce l uătoele vloi le vectoului soluţiilo petu piele cici iteţii:
49 Sistee de ecuţii liie etod gdieţilo cojugţi Fie sisteul b ude este sietică şi pozitiv defiită Defiiţi Spue că diecţiile p şi q sut diecţii cojugte î pot cu tice dcă pq pq Fie v u vecto de pobă şi v b vectoul ezidul coespuzăto Î etod gdieţilo cojugţi petu ezolve sisteului b pi diecţie de ele se lege p Î cotiue ve: p ti p p p p ude v v q p q t p i p p Vloe iiă fucţiei FFv pi v şi e diecţi p este v câd v pcuge dept ce tece Fie gdfv v b Di Obsevţi di 8 ezultă că p Uătoe diecţie de ele p se lege de fo p c p şi î plus să fie cojugtă diecţiei p î pot cu şd ve: de ude ezultă p p p p p c p p p c 5 p p ve de seee
50 Bzele lizei Nueice v p v ti p v p p p Î geel petu oice k obţie k k p c k- 7 k k p p k k k p ck p k k qk 8 p 9 k k p p k k v k v qk p etod gdieţilo cojugţi este defiită de foulele 7 Î cotiue pezetă uele siplificăi şi popietăţi supliete k Deoece este otogol pe diecţi p k ezultă k k k k k k k p ck p şi deci k k q k > 9 k k p p Pe de ltă pte di ve k k k k k k v b v qk p b qk p Obţie deci uătoe elţi de ecueţă k k k qk p Obsevă că k k Ît devă di ezultă k k k k qk k k p Pe de ltă pte ţiâd se de 8 de 9 şi de fptul că p k şi p k sut cojugte ezultă k k p k k k k k k qk p k k k p ck p Di şi ezultă cu
51 Sistee de ecuţii liie Deoece p k oicu tebuie clcult ezultă că vectoul ezidul k se v clcul di elţi de ecueţă şi u pi îlocuie diectă lui v k î epesi vb Î cotiue vo stbili o ltă foulă petu coeficietul c k Di şi ezultă k k k k k k k k p q q k Ţiâd se de 7 şi de 9 obţie k k k k p ck k k k k p p lgoit petu ezolve sisteelo de ecuţii liie cu etod gdieţilo cojugţi Clculeză v b ; p ; q ; v v q p ; q p p p Petu k: clculeză k k ck k k k k ; p c k p k ; ; k k k k k k k k qk ; v v qk p ; qk p k k p p sfâşit petu k Î thcd lgoitul de i sus este plict uui eepu ;
52 Bzele lizei Nueice etod gdietilo cojugti Folosid etod gdietilo cojugti s se gsesc soluti sisteului de ecutii liie b b Vectoul de pob lgoitul etodei gdietilo cojugti GCo b < > b p < > q < > < > p p q p < > < > q p fo k c < > < k > k < > < k > k p < k > cp q < > < k > k q p p p < k> < k > q p pele pogului si fise ezulttelo GCo b
53 Sistee de ecuţii liie 5 Teoe Î etod gdieţilo cojugţi diecţiile de ele p k k sut cojugte două câte două î pot cu tice i vectoii eziduli k k sut otogoli doi câte doi Deostţie Deostţi se fce pi iducţie eltiv l k Petu k ve di i petu pi fiţie u ve ce ăt Ipotez de iducţie este: i j petu i j i j k 5 i j p p petu i j i j k V tebui să ătă că k j petu j k 7 Fie jk tuci k j p p petu j k 8 k k k k p p p p deoece p k şi p k sut cojugte Fie j<k tuci k j p p k k j - c p p k p j k p j deoece p cofo ipotezei Pe de ltă pte k p j k j p q j şi di 5 ezultă şd deostt 8 Petu jk 7 este devătă di Fie j<k Di şi 5 ezultă: k j j j- - k k j k j qk p q k p k j j qk p -p c j p Ţiâd se de 8 şi de fptul că este sietică ezultă şi cu cest teoe este deosttă k j Di Teoe ezultă că vectoii eziduli k sut otogoli doi câte doi şi deci sut lii idepedeţi dcă sut euli şd u pot eist vectoi eziduli euli Rezultă că î etod gdieţilo cojugţi soluţi ectă
54 Bzele lizei Nueice se găseşte î cel ult pşi Teoetic tebui c vectoul ezidul să fie zeo şi deci vv să fie soluţi ectă sisteului Î pctică cest lucu u se îtâplă deoece î deteie vectoilo k itevi eoi de clcul ce fc c ceşti să u foeze u siste otogol Deoece î geel cotiuă să clculă k k> pâă obţie u vecto ezidul ul su fote ic k << cestă titudie se justifică pi fptul că etod gdieţilo cojugţi este o etodă de ele pi ce vloe fucţiei păttice FFv se icşoeză l fiece ps etod gdieţilo cojugţi se dovedeşte fote utilă petu sisteele î ce tice e ulte zeoui şi fiece ecuţie e o uită egulitte iteă stfel de sistee p î pocesul de discetize pobleei l liită ecuţiilo cu deivte pţile de tip eliptic etod celo i ici pătte Î pocesul de peluce şi juste dtelo p sistee de ecuţii liie supdiesiote su subdiesiote bodă petu îceput poble sisteelo supdiesiote Fie sisteul b > b Evidet u seee siste pote să u ibă soluţie Fie T b vectoul ezidul ude i i i bi i Cosideă fucţi păttică f f Defiiţi Se ueşte soluţie î sesul celo i ici pătte sisteului cel vecto * petu ce fucţi e vloe iiă * Dcă: i f f tuci i * petu oice i Rezultă că R sisteul este coptibil şi * este soluţi ectă s
55 Sistee de ecuţii liie 7 * Î geel sisteul u este coptibil şi i f f > i * R este u substitut petu soluţi sisteului şi ue soluţi î sesul celo i ici pătte Fucţi f se pote pue sub fo f -b-b b bb şi i depte T f T b bb Teoe Dcă g tuci sisteul dite o siguă soluţie î sesul celo i ici pătte şi cest este soluţi uică sisteului T T b 5 Sisteul 5 se ueşte sisteul ol l lui Guss Deostţie Puctele de ete le fucţiei păttice f dtă de se cută pite puctele sle citice i ceste se flă ezolvâd sisteul: gd f Cu gd f T T b obţie sisteul T T b Pe d e ltă pte se ştie că: T T T g g g g tice B T este o tice păttică de odiul şi gb cofo celo de i sus Rezultă că sisteul 5 dite o soluţie uică * ce este puct citic petu f tice B este evidet sietică şi seipozitiv defiită i ult î ipotez ostă tice B este pozitiv defiită Ît devă dcă pesupue că B tuci ezultă şi deci Cu g< ezultă Pe de ltă pte ve d f bijdid j > i j de ude ezultă că * este puct de ii petu f şi cu cest teoe este deosttă şd î ipotez g soluţi sisteului î sesul celo i ici pătte este uică şi se flă ezolvâd sisteul 5 cest siste este sietic pozitiv defiit Rezolve s se pote fce pi etod Cholesky su u di etodele de ele Obsevţi Teoetic soluţi sisteului 5 este * T T b tice P T T se ueşte pseudoives ticei deptughiu le
56 8 Bzele lizei Nueice Se obsevă că dcă este păttică tuci P T T deci oţiue de tice pseudoivesă geelizeză oţiue de tice ivesă petu tice deptughiule Rezolve pctică sisteului 5 idică poblee di cuz fptului că uăul de codiţioe l ticei B T este e Fie λ λ λ > vloile popii le ticei B tuci: λ cod B λ Cu B B λ sup Be iei bii şi λ if i Be iei ibii i i i i ezultă b cod B ii 7 ibii Eeplul Dept de egesie Să pesupue că ve să găsi o deptă y ce să tecă pi puctele: ; ; 5 ; 85 ; Se obţie stfel sisteul Evidet sisteul 8 este supdiesiot şi icoptibil ve: T 9 5 T 7 5 ; b ; B ; b Ecuţiile ole le lui Guss sut Soluţi ectă este i vloile popii sut λ 9 8 şi λ 7 Rezultă cod B Dcă folosi estie 7 obţie
57 Sistee de ecuţii liie 9 bii 9 8 ibii 5 Dept de egesie î cest cz este: y cestă deptă u tece pi puctele i d este ce deptă di pl ce tece cel i pope de ceste pucte Să pesupue că ve să deteiă dept de egesie coespuzătoe puctelo i iyi i ticele T şi B coduc l bii > ibii Petu codb> deci sisteul ol l lui Guss este post codiţiot Sisteele subdiesiote p î poblee legte de juste dtelo Să pesupue că ăsuâd ctităţi găsi vloile l l l Pe de ltă pte ecuoscutele stisfc uite ecuţii şi ue b b < 9 Dtoită lipsei de cuteţe ăsuătoilo se pue codiţi c su păttelo coecţiilo l i i i să fie iiă Se obţie stfel o pobleă de ete cu legătui Eeplul Să pesupue că ăsuâd ughiuile le uui tiughi găsi vloile l l l Evidet ve legătu 8 Ipue codiţi c bteile dtote ipeciziei ăsuătoilo să fie cât i ici deci c epesi să fie iiă l l l
58 7 Bzele lizei Nueice Reveid l czul geel se pue poble să deteiă ecuoscute ce stisfc legătuile 9 şi ce iiizeză fucţi: Cosideă fucţi uiliă l l f Φ λ λ l l λ b λ b Puctele citice le fucţiei φ sut dte de sisteul l λ λ l λ λ b b T Dcă otă cu l l l şi cu λ λ λ tuci sisteul se scie sub fo ticilă T λ l b Îlocuid î obţie sisteul T λ b l Dcă g tuci g T şi sisteul e soluţie uică i T ult tice este păttică sietică şi pozitiv defiită deci ezolve sisteului se pote fce cu etod Cholesky su u di etodele de ele Rezolvâd sisteul găsi ultiplictoii lui Lgge λ λ i di T elţi λ l deteiă puctul de ii codiţiot l fucţiei f Cu d φ d d > ezultă că ve ît devă u puct de ii T Eeciţii
59 Sistee de ecuţii liie 7 Folosid etod Guss să se ezolve uătoele sistee de ecuţii liie: R tice tiughiulă ~ vectoul teeilo libei tsfot ~ b Soluţi sisteului R tice tiughiulă ~ vectoul teeilo libei tsfot ~ b Soluţi sisteului
60 Bzele lizei Nueice R tice tiughiulă ~ vectoul teeilo libei tsfot 7 8 ~ b Soluţi sisteului Să se ezolve uătoele sistee de ecuţii liie folosid etod Cholesky: R Soluţi sisteului R T R T yb este i ce sisteului Ry şi deci soluţi sisteului iiţil este y
61 Sistee de ecuţii liie R T R Soluţi sisteului R T yb este i ce sisteului Ry şi deci soluţi sisteului iiţil este y R T R Soluţi sisteului R T yb este i ce sisteului Ry şi deci soluţi sisteului iiţil este y
62 7 Bzele lizei Nueice Folosid etod Householde să se ezolve sisteele: R det ; descopuee QR este dtă de Q R Soluţi sisteului Qyb este y i ce sisteului Ry este R det 88; descopuee QR este dtă Q R
63 Sistee de ecuţii liie 75 Soluţi sisteului Qyb este y i ce sisteului Ry este R det 8 ; descopuee QR este dtă de Q R Soluţi sisteului Qyb este y i ce sisteului Ry este
64 Bzele lizei Nueice 7 Petu tice să se clculeze: det det ; b ; ; c cod cod cod R det det 7; b 88 7 ; 57 c cod 8 cod 75 cod 8 Să se clculeze: det det ; b ; ; c cod cod cod petu tice 5 R det8 det ; b 88 7 ; 57 c cod 85 cod 8855 cod 775 Folosid etod Icobi să se găsescă soluţi poitivă petu uătoele sistee de ecuţii liie :
65 Sistee de ecuţii liie R Sisteul se pote pue sub fo Bc ude B D D i D E D B c D b B 997 ρb 977 Soluţi l fiece iteţie poid cu este: Soluţi ectă fiid eoe ce se fce dcă se eţie c soluţie poitivă * este 8 * să se scie soluţi obţiută după ptu iteţii R Se pote pue sisteul sub fo Bc ude B D E i D E D 9 8 7
66 Bzele lizei Nueice 78 B cd b B 5989 ρb 79 Soluţi petu piele iteţii poid cu este: Soluţi ectă fiid eoe ce se fce dcă se eţie c soluţie poitivă * este 8 * R Se pote pue sisteul sub fo Bc ude BD E i D E D 9 7
67 Sistee de ecuţii liie 79 B cd b 5 75 B 75 ρb 758 Petu piele iteţii poid cu soluţi este: Soluţi ectă fiid eoe ce se fce dcă se eţie c soluţie poitivă * este 7 * Să se ezolve cu etod Guss Seidel uătoele sistee: R Se obsevă că tice coeficieţilo sisteului este te digol doită şi tuci lgoitul Guss Seidel este coveget 5 Sisteul se pote pue sub fo DL U b ude: L U 5 D tuci
68 Bzele lizei Nueice L D DL U DL b Se obţi poid cu vectoii: R Se obsevă că tice coeficieţilo sisteului 8 este te digol doită şi lgoitul Guss Seidel este coveget Sisteul se pote pue sub fo DL U b ude: L U
69 Sistee de ecuţii liie 8 8 D tuci L D DL U DL b legâd obţie: R Se obsevă că tice coeficieţilo sisteului este te digol doită şi lgoitul Guss Seidel este coveget
70 Bzele lizei Nueice 8 Sisteul se pote pue sub fo DL U b ude: L U D tuci L D DL U DL b legâd obţie:
71 Sistee de ecuţii liie 8 Folosid etod elăii siple să se scie soluţi poitivă petu uătoele sistee: R tice sisteului este 9 8 Luâd vectoul de pobă se obţie deci pi diecţie de ele este Rezultă 8 e p log : ; ; e p e p e p ş d R tice sisteului este 8 9
72 Bzele lizei Nueice 8 legâd se obţie 9 Deci e p 5 i depte obţie : e p ; e p ; ; e p e p R tice este sietică te digol doită: 5 5 > > > 9 deci pozitv defiită şi se pote plic etod Luâd vectoul de pobă
73 Sistee de ecuţii liie 85 se obţi: ; este ; ; e p e p 58 5 e p 7 e p Să se scie soluţi poitivă petu uătoele sistee de ecuţii liie obţiută cu etod supelăii: 5 5 R tice coeficieţilo sisteului este bloc tidigolă sietică şi pozitiv defiită deci etod supelăii este covegetă Sisteul se pote pue sub fo: C ude: D F D E ω ω b E C ω FE E D T λ ω λ fiid ce i e vloe popie ticei D EF λ 5 ω 78 şi cosideâd vectoul iiţil b ezultă
74 Bzele lizei Nueice R tice coeficieţilo sisteului este bloc tidigolă sietică şi pozitiv defiită deci etod supelăii este covegetă Sisteul se pote pue sub fo C ude D F D E ω ω b E C ω FE E 5 5 D T λ ω λ fiid ce i e vloe popie ticei D EF λ 75 ω9 şi cosideâd vectoul iiţil b ezultă: Să se găsescă soluţi poitivă obţiută cu etod Guss Seidel petu sisteele de ecuţii liie uătoe:
75 Sistee de ecuţii liie Să se pecizeze uăul de iteţii ecese petu c eoe să se icşoeze de oi R tice fiid sietică şi pozitiv defiită pocedeul itetiv Guss Seidel este coveget Sisteul se pote pue sub fo C ude DE F C DE b E F E T 5 D Deci 9 8 C Dcă se poeşte cu v b obţi vectoii: v 9 v 959 v v 9997 v Rz spectlă este ρ78 t de covegeţă este R lgρ9 şi uăul de iteţii după ce eoe scde de oi este K 888 dică l fiece iteţie eoe scde de oi R
76 88 Bzele lizei Nueice Să se pecizeze uăul de iteţii ecese petu c eoe să se icşoeze de oi R tice fiid sietică şi pozitiv defiită pocedeul itetiv Guss Seidel este coveget Sisteul se pote pue sub fo C ude 5 DE F C DE b E F E D 8 5 Deci C Dcă se poeşte cu v b obţi vectoii: v - 7 v 7 v 7898 v v Rz spectlă este ρ t de covegeţă este R lgρ şi uăul de iteţii după ce eoe scde de oi este K 88 dică l fiece iteţie eoe scde de oi R Să se scie soluţi poitivă obţiută cu etod gdieţilo cojugţi plictă sisteelo de ecuţii liie: 5 8 8
77 Sistee de ecuţii liie 89 R tice coeficieţilo sisteului este sietică şi pozitiv defiită şi deci se pote plic etod Luâd c vecto de pobă se obţi ezulttele Iteţi I b 8 pi diecţie de ele p p 797 q q p 8 p p 595 Iteţi II- 98 q p 998 c p p c p 987 q p p 9887 q p Iteţi III- 9 qp 5 c p p c p q p p q p
78 9 Bzele lizei Nueice Să se deteie tseul opti petu o coductă de gze tule ce să tecă pi "popiee" loclităţilo L i i ce potte l u siste ctezi de efeiţă u coodotele uătoe: L L L 5 L 7 L 5 L L 7 5 L 8 5 L 9 8 L R Luâd tseul după o deptă se obţie sisteul: b b 5 b 7 b b b 5 b b 5 8 b b ce este supdiesiot Se foeză sisteul ol l lui Guss Buc ude B T c T 55 5 b dică: B căui soluţie este 5 c u u 78 Rpott l cel siste de coodote tseul coductei tebuie să ueze dept y 78
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
6. Rezolvarea numerică a problemei Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale
Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 9 6 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 6 Geelităţi Ecuţiile dieeţile epezită uul dite cele mi impotte istumete mtemtice eces petu îţeleee
Tema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL
CAPITOLUL 4 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 4 Itoducee Clculul viţiol se ocupă cu studiul etemelo petu o clsă specilă de fucţii umite fucţiole Aceste fucţiole sut defiite pe sumulţimi le uo spţii de fucţii
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
CAPITOLUL 4. vectorială continuă definită pe un interval I din cu valori în. Dacă
58 CAPITOLUL 4 INTEGRALE CURBILINII 4 DRUMURI PARAMETRIZATE Defiiţi 4 Pi dum pmetizt î se îţelege oice fucţie vectoilă cotiuă defiită pe u itevl I di cu vloi î Dcă otăm cu x, y şi z compoetele scle le
4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Fizica cuantica partea a doua
Fiic cutic pte dou 4. Aplictii le ecutiei lui Scodige 4. Gop de potetil cu peeti ifiiti (ipeetbili) Gop de poteţil uidiesiolă Gop de poteţil e fo di figu şi este descisă de elţi: petu
ANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
CINEMATICA PUNCTULUI
CINEMATICA PUNCTULUI CINEMATICA PUNCTULUI 7. Ciemtic puctului mteil Ciemtic puctului mteil studiză mişce mecică puctelo mteile, făă se tie cot de msele şi foţele ce cţioeză sup lo. Mişce puctelo mteile
Şiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN
Mirce Buzilă Şiruri recurete Editur eutrio 9 9 Editur eutrio Titlul: Şiruri recurete utor: Mirce Buzilă SB 978-97-896-7-9 Descriere CP Bibliotecii ţiole Roâiei BUZLĂ MRCE Şiruri recurete / Mirce Buzilă.
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
1. CAPITOLUL 1. Elemente de calcul vectorial şi geometrie analitică. AB se poate face de la A spre B sau AB sunt definite două sensuri (opuse).
CPITOLUL Elemente de clcul vectoil şi geometie nlitică Vectoi în pln Definiţii O măime este sclă dcă pentu detemie ei este suficientă indice unui singu numă O măime este vectoilă dcă este detemintă de
CAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE
Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică CAPITLUL 4 REZLVAREA ECUAŢIILR NELINIARE Rezolvre uei ecuţii eliire pre prctic î orice modelre mtemtică uei proleme fizice. Cu ecepţi uor czuri forte prticulre,
CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
IV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice
IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)
REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
![REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita](/thumbs/75/72305087.jpg "REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita")
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
REZIDUURI ŞI APLICAŢII
Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Transformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier
4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid
4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Exerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
![CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât](/thumbs/72/67568076.jpg "CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât")
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Integrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
0 z z < r ea admite o dezvoltare în serie Laurent. n n. din dezvoltarea în serie Laurent în vecinătatea punctului z. z (notat { } { } = ρ
CAPITOLUL ME5 5 eiduuri Teore reiduurilor Defiiţi reiduului Fie w o fucţie litică vâd î u puct sigulr iolt Atuci îtr-o coroă circulră < r e dite o devoltre î serie Luret < w c Se ueşte reiduu l fucţiei
DETERMINAREA AVANTAJULUI MECANIC AL PÂRGHIILOR 1. Scopul lucrării
Luce n. DETERINRE VNTJULUI ECNIC L PÂRGHIILOR 1. Scopul lucăii Deteine vntjului ecnic () l difeite tipui de pâghii, pin clcule potului dinte foń otoe şi foń ezistentă ( / ) şi poi veifice eglităńii cestui
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
MATH 38061/MATH48061/MATH68061: MULTIVARIATE STATISTICS Solutions to Problems on Matrix Algebra
MATH 38061/MATH48061/MATH68061: MULTIVARIATE STATISTICS Solutios to Poblems o Matix Algeba 1 Let A be a squae diagoal matix takig the fom a 11 0 0 0 a 22 0 A 0 0 a pp The ad So, log det A t log A t log
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii
Polinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Lucrarea Nr. 6 Reacţia negativă paralel-paralel
Lucrre Nr. 6 ecţ netă prlel-prlel Crcutul electrc pentru studul AN pp: Schem de semnl mc AN pp: Fur. Schem electrcă pentru studul AN pp Fur 2. Schem de semnl mc crcutulu pentru studul AN pp Intern cudrpl:
1. PROBLEMA LUNII NOIEMBRIE 2017 (EN/RO)... pag.2 Marin Chirciu
revist@teiforo PROBEMA UNII NOIEMBRIE 07 EN/RO pg Mri Chirciu SOUȚII - PROBEMA UNII OCTOMBRIE 07 pg 3 Măescu Avr Coreliu Alte soluții dte de : Gheorghe Alexe, George-lori Șerb Rox, Mri Chirciu, Octvi Stroe,
2) Numim matrice elementara o matrice:
I TRANSFORMARI ELEMENTARE ) Cre di urmtorele opertii efectute supr uei mtrice este trsformre elemetr: ) dure uei liii l o colo; b) imultire uei liii cu sclrul α = c) schimbre dou liii itre ele; d) dure
Formula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
MULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Inegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Adrian Stan Editura Rafet 2007
Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.
! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"
! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;
MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. 1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE
MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. Precizri si recomdri privid desfsurre ctivittilor l discipli MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Tip curs obligtoriu Mulul de curs recomdt R. Trdfir I. Dud A. Bciu R. Io Mtemtici
λ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0
ALULUL NUMERI AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VETORILOR PROPRII A mtrice pătrtică de ordiul cu elemete rele vlore proprie mtricei A dcă, R : A ; () vector propriu l mtricei A socit vlorii () (A I), I mtrice
Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare
lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
ot ll1) r/l1i~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) 1 lý) æ (v / find bt(xi (t-i; i/r-(~ v) ta.jpj -- (J ~ Cf, = 0 1l 3 ( J) : o-'t5 : - q 1- eft-1
- la /:_ )( -( = Y () :: ÚlJl:: ot ll) r/li~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) lý) æ (v / find bt(i (t-i; i/r-(~ v) bj Ll, :: Qy -+ 4",)( + 3' r.) '.J ta.jpj -- (J ~ Cf, = l 3 ( J) : o-'t5 : - q - eft- F ~)ç2..'
COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Spaţiile etrice au fost itroduse la îceputul secolului XX de ateaticiaul fracez M Fréchet şi costituie cadrul atural de prezetare a pricipiului cotracţiei, care
Tema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii
Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd
Pentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:
etoda ultplcatorlor lu arae ceastă etodă de optzare elară elă restrcţle de tp ealtate cluzâdu-le îtr-o ouă fucţe oectv ş ărd sulta uărul de varale al prolee de optzare. e urătoarea proleă: < (7. Petru
3.4 Integrarea funcţiilor trigonometrice. t t. 2sin cos 2tg. sin + cos 1+ cos sin 1 tg t cos + sin 1+ x 1
3.4 Iegrre fucţiilor rigoomerice ) R( si,cos ) d Susiuţi recomdă ese: uei fucţii rţiole. g =, (, ) şi iegrl dă se reduce l iegrre si cos si cos g si + cos + g = = = + cos si g cos + si + g = = = + = rcg
(2), ,. 1).
178/1 L I ( ) ( ) 2019/1111 25 2019,, ( ), 81 3,,, ( 1 ), ( 2 ),, : (1) 15 2014 ( ). 2201/2003. ( 3 ) ( ). 2201/2003,..,,. (2),..,,, 25 1980, («1980»),.,,. ( 1 ) 18 2018 ( C 458 19.12.2018,. 499) 14 2019
lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE
UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ - Ediţie reviuită - Lector Agel Picu Editur Uiversităţii
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω...
{ ( a -r ν ρ ι -Μ Π ώτ 1 Γ '- fj T O O J CL κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω < US η ixj* ί -CL* λ ^ t A u t\ * < τ : ; Γ ν c\ ) *) «*! «>» Μ I Λ 1,ν t f «****! ( y \ \, 0 0 # Περικλή_ Χαντζόπουλο κ α ι θ έ λ
def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
x x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele:
ERORI DE MĂSURĂ L efecture uei determiări, pri repetre celeişi măsurători, reliztă î codiţii idetice, se oţi rezultte diferite, difereţele fiid î geerl mici. Acest fpt dovedeşte că măsurătorile efectute
Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
Γενικό ποσοστό συμμετοχής στην αγορά εργασίας πληθυσμού χρονών - σύνολο
πληθυσμού 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το γενικό ποσοστό συμμετοχής στην αγορά εργασίας πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση του αριθμού του οικονομικά ενεργού
Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
3.5. Forţe hidrostatice
35 oţe hidostatice 351 Elemente geneale lasificaea foţelo hidostatice: foţe hidostatice e suafeţe lane Duă foma eeţilo vasului: foţe hidostatice e suafeţe cube deschise foţe hidostatice e suafeţe cube
5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
PENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Γενικό ποσοστό απασχόλησης ισοδύναμου πλήρως απασχολούμενου πληθυσμού - σύνολο
απασχολούμενου πληθυσμού - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το γενικό ποσοστό απασχόλησης ισοδύναμου πλήρως απασχολούμενου πληθυσμού υπολογίζεται με τη διαίρεση του αριθμού του ισοδύναμου πλήρως
sin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού χρονών - σύνολο
15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Ο γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση της ετήσιας αύξησης του οικονομικά ενεργού πληθυσμού
Ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού χρονών - σύνολο
Ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με
Analiza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele