PREDAVANJE-12. Generacija 2007 Optimalno projektovanje u mašinstvu GRADIJENTNE METODE
|
|
|
- Βαρσαββάς Παπαδάκης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) PREDAVANJE- Geneacija 007 Optimalno pojektovanje u mašinstvu GRADIJENTNE METODE Najopštija ideja postupka a minimiaciju nelineane funkcije cilja asniva se na daljem ketanju ka ekstemumu, shodno osobinama funkcije cilja i pethodnog stanja (tačke). Te osobine su vednosti funkcije cilja FC i neavisni paameti i. Poedjenje vednosti funkcije cilja u pethodnoj i tenutnoj tački omogućuje ibo pavca dalje pomene neavisnih paametaa. Na bai ovog genealnog pistupa avijene su bojne metode a minimiaciju. Najopštija podela klasifikuje sve metode u dve gupe: A. METODE BEZUSLOVNE MINIMIZACIJE SA TRAŽENJEM IZVODA (GRADIJENTA) Metoda najbžeg spuštanja na bai lineane apoksimacije funkcije FC (Cauchy, Cuy, Goldstein, Poljak, Kaнтoрoвич, Aкилов) [38]. Newton-ova i modifikovana Newton-ova metoda na bai kvadatne apoksimacije (Poljak, Goldstein, Ritte, Rite & Mc Comick ) [38]. Metode konjugovanih gadijenata: (Fleche & Reeves, Pilak & Ribiee, Poljak,Wolfe)[38]. Metode pomenjive metike (Davidon, Fletche & Powell, Bans i dugi ) [38]. B. METODE BEZUSLOVNE MINIMIZACIJE BEZ TRAŽENJA IZVODA [38] (Pimenjuje se a nalaženje minimuma funkcija nepogodnih a difeencianje.) Metoda lokalnih vaijacija (Баничук, Petov & Чeрноуско ). Powell-Zangwill-ova metoda (Powell, Zangwill ). МАТЕMATIČKE OSNOVE Pvi paameta - Paameta pavca: Zadžavajući se na gadijentnim metodama, može se pokaati avijanjem u Tayle-ov ed, da je naveća vednost funkcije cilja u pavcu gadijenta. Zato se neavisno-pomenljive menjaju u pavcu n (k) (3.6.6b), koji se odedjuje iačunavanjem gadijenta funkcije cilja FC u tački (k) : G n FC ( k) = gad(fc) = FC = e0i i= i (3.6.6a) gad(fc) n ( k) = ( 3.6.6b) gad(fc) U ovoj jednačini, sa e 0i su onačeni jedinični vektoi u koodinatnim pavcima. Osobina gadijenta je da ima pavac ka maksimalnoj vednosti posmatane funkcije. Zato se ketanjem u pavcu gadijenta najbže dolai do ekstemuma funkcije cilja FC. Geometijska intepetacija je data na slici 3.9. Dugi paameta kojim se definiše taženje ekstemuma je koak τ(k). Dovoljno malim koakom se vlo tačno može pići ekstemumu, ali to uslovljava duge ačunske pocedue. Veće vednosti koaka pomene τ(k) smanjuju tačnost a često dovode do beskajnog iteianja u oni ekstemuma. To se u dvodimenionom koodinatnom sistemu može gafički intepetiati povšinom funkcije cilja FC, pikaanom posedstvom iolinija (FC()=const.), slika 3.0. U n-dimenionom euklidskom postou, povšina funkcije cilja se naiva "hipe" povšina.
2 D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) Slika 3.9 Geometijska intepetacija gadijenta G Najpovoljnije ketanje ka ekstemnim vednostima se postiže pomenljivim koakom koji je popocionalan pomeni funkcije cilja FC. Kada se koisti konstantan koak, vednost pomene neavisnog paameta (k) u tački k se odedjuje: i(k) = τ cos FC(k) i(k) ( G ) = τ, ( i = n) i(0) n FC(k) i= i(k) (4.6.7) U paktičnim taženjima ekstemuma, ačunski model obično ne adovoljava teoijski definisan uslov a austavljanje pocedue taženja (3.6.8). Zato se uvodi toleancija pomene gadijenta u dvema uastopnim iteacijama taženja ε o (3.6.9). FC (3.6.8) ( i ) = 0, ( i = - n) i n FC i= ( i ) i < ε 0 (3.6.9) Paalelno sa ovim kiteijumom, postavljaju se i dugi kiteijumi kao kiteijum pomene funkcije cilja u uastopnim iteacijama ε ili gupi iteacija. Time se poudano austavlja iteianje koje ne daje pomenu funkcije cilja FC. FC i(k+ ) FC i(k) < ε (3.6.0) Slika 3.0 Iteativno nalaženje optimuma Kod inženjeskih konstukcija, ponatog i poučavanog tipa, unaped je siguno postojanje optimuma. Kod nekih novih modela, manje iučenih i matematički složenih, potebno je poveiti egistenciju ekstemuma. U tu svhu se obično koisti povea uslova Khun-Tucke-a, kojim se utvdjuje egistencija sedlaste tačke, odnosno, dokauje konvegencija ešenja. Pednost gadijentnih metoda je u njihovoj jednostavnosti i mogućnosti minimiacije aličitih klasa funkcija cilja. Kako se odlikuju spoom konvegencijom, a njih su avijene metode a ubanje pocedue. Kombinacijom sa dugim metodama a taženje oblasti ešenja, ove metode omogućavaju nalaženje kvalitetnih minimuma u pavcu antigadijenta.
3 D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 3 Konjugovani gadijentni metod Konjugovani gadijentni metod postavili su R. Fletche i C. M. Reeves 964. Njihovom metodom se odedjuje pavac taženja (s) lineanom apoksimacijom - FC(). Vednost antigadijenta definiše pavac i sme iteativne pomene funkcije cilja - minimiacije FC. Koekcija pavca se vši na osnovu tenutne i pethodne vednosti gadijenta funkcije cilja FC, odedjivanjem težinskog faktoa koekcije pavca ω k. Gadijent funkcije cilja u polanoj tački (0) je: (3.6.) s (0) = FC ( 0) Gadijent funkcije cilja u novoj tački () je: () s = FC (0) () s + ω ω je skalana vednost težinskog faktoa pomene pavca i on se iačunava: (3.6.) T (3.6.3) FC () FC () ω = T FC ( 0) FC ( 0) Pocedua se avšava kada je ispunjen uslov: s ( k) < ε. (3.6.4) PRIMER: Glavni pogam GRAD i Potpogam MINI definišu Fleche-Reevs-ov algoitam minimiacije. Potpogam odedjuje težinske faktoe pomene (konjugacije) pavca. Ovim potpogamom se kontoliše tok minimiacije i daju iveštaji o situaciji adatka u ealiaciji. Potpogam CONVRG kontoliše stanje konvegencije i utvdjuje pomene funkcije cilja na kaju svakog iteativnog koaka. Potpogam SEARCH upotebljen je a bedimeniono taženje metodom latnog peseka. Potpogam FUN služi a definisanje funkcije cilja FC(i). Potpogam DER služi a definisanje analitičkih iaa ivoda funkcije cilja Gi=dFC/di. Data je funkcija cilja C. F. Wood-a, WESTINGHOUSE RESEARCH LABORATORY (COLVILLE, IBM N. Y. Sci. Cente Rept , June, 968.): FC =00. [() - () ()] + [. - ()] [(4) - (3) (3)] + [.-(3)] + Polana tačka: Z()o=-3. Z()o=-. Z(3)o=-3. Z(4)=-. FZ(o)= [()-.] + 0. [(4) -.] [() -.] [(4) -.] REZULTAT: Veme poačuna: T= 56 sec, Računa: PC 386 DX-40 MH, Boj iteacija: N= 8 Nadjen minimum funkcije: FC =0.690E-08, Tačan minimum funkcije: FC = Tačne vednosti paametaa: Z()= ()= Z()= ()= Z(3)= (3)= Z(4)= (4)= Optimalne vednosti paametaa: Slika C. Globalni koncept pogama GRAD
4 D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 4 Metode taženja fleksibilnim poliedima Metoda Nelde-Mead (964.), ponata kao metoda fleksibilnih poliedaa, (savitljivih, gipkih poliedaa) pokaala se efektivnom na adacima beuslovnih minimiacija, bog dobe pimenljivosti a ačuna. Zasniva se na fomianju lanca poliedaa pomenljivog pavca u smeu ekstemuma funkcije cilja FC(). Ideja se može sagledati na slici, ispitivanjem dvodimenionalnog postoa avanskog poblema: Slika 4.3 Osnovni polieda i fleksibilni polieda Polane vednosti pomenljivih se poivoljno usvajaju (,, n=). Položaj tačke i 3 odedjuje se na podjednakom astojanju od tačke tako da je fomian jednakostaničan tougao, adate stanice t. Na ovaj način je fomian osnovni polieda sa 3 čvoa a kod n-dimenionog poblema, boj čvoova polieda je (). Na osnovu ove ti tačke, fomian je tougao (sa temenima --3), koji u opštem slučaju n-dimenionog poblema je polieda. Za ketanje ka ekstemumu fomiaju se još dve tačke: težište tougla T (opšteg indeksa ) i peslikana tačka B (opšteg indeksa 3). Tačka B dobija se peslikavanjem jednog od čvoova polieda (A=,, 3) ko njegovo težište T. Ibo čvoa i koga se vši peslikavanje nije slučajan i avisi od vednosti funkcije cilja u čvoovima polieda FC (), FC (),..., FC (). Ibo tansfomacije peslikavanja je takav da novodobijena tačka B (u opštem slučaju indeksa 3) daje manju vednost funkciji cilja FC (3) od vednosti funkcija FC u tačkama pethodnog polieda. Realiacija algoitma ahteva definisanje kiteijuma po kome se nalai pavac peslikavanja. Taj kiteijum je uspostavljen na osnovu vednosti funkcije cilja FC u () osnovnih tačaka polieda. Naime, ako se indeksom k onači boj iteacije (simpleksa), tada se najpe odedjuje najmanja i najveća vednost funkcije cilja u poliedu. Tako se nalai vednost neavisnih paametaa Z H a koje u k-tom poliedu dobijamo najveću vednost funkcije cilja FC (k) (ZH) i Z L koja daje najmanju vednost funkcije cilja FC (k) (ZL) : (k) (k) (k) { (Z),FC (Z),...,FC (Z ) }, (k) (k) (k) { FC,FC,...,FC } (k) FC (ZH) = max FC (4.6.3) (k) FC (ZL) = min (Z) (Z) (Z ) Koodinate težišta k-tog polieda () a svaki neavisni paameta J je: (4.6.33) (k) (k) (k),j =, (J = - n), I,J H,J I= Peslikavanje tačke A u tačku B (tačka 3) daje manje vednosti funkcije cilja FC(). Postupak peslikavanja se ivodi ko sledeće četii tansfomacije:. REFLEKSIJA Ovom opeacijom se vši peslikavanje čvoa (temena) polieda u pavcu vektoa ko njegovo težište ( n +) na astojanju popocionalnom koeficijentu efleksije α, (pepoučeno: α=.0):
5 D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 5. EKSPANZIJA (k) (k) (k) (k) = + α n + 3 n + H (4.6.34) U slučaju da je FC( (k) 3 ) FC(ZL) (k), poba se poduženje vektoa TB ( (k) - (k) 3 ) sa ekspanionim koeficijentom (3.0<γ>.8): (k) (k) (k) (k) = + γ (4.6.35) 4 3 Ukoliko je FC( (k) 4) FC (k) (ZL), uslov ketanja ka minimumu je ispunjen a ekspanijom je poboljšan minimum. Pocedua se nastavlja eliminacijom čvoa H i uvodjenjem čvoa (k) 4 u novi polieda (k+). 3. SABIJANJE (KONTRAKCIJA) Može se desiti da a sve vednosti neavisnih paametaa (I) u istom poliedu (k), bude vednost funkcije cilja u tački (3) (dobijena efleksijom) veća od vedosti u ostalim tačkama (I, I H): FC( 3) (k) > FC (ZI) (k), U tom slučaju se moa ivšiti sabijanje (je se manja vednost FC nalai na kaćem astojanju od peslikavanja definisanog efleksijom). U tom slučaju se skaćuje vekto imedju tačaka (H) i () posedstvom koeficijenta kontakcije β, ( 0<β<). Najbolji eultati se postižu vednostima 0.4<β<0.6. Pocedua se odvija pema elaciji (4.6.36): (k) (k) + β (k) (k) = 5 H (4.6.36) 4. SMANJENJE (REDUKCIJA) Peostala je još mogućnost da se vednost minimuma nadje imedju polieda i efleksijom dobijene tačke, bog čega je FC( 3 ) (k) > FC (ZH) (k). U tom slučaju, autoi su pedložili dvostuko smanjenje dimenije polieda u odnosu na koodinatu ( L ), i pelaak na nov polieda (k+): (k) (k) (k) (k) I = L I L, (I =,n +) Pocedua minimiacije se okončava kada je dostignut adat kiteijum ε: n + FC (k) FC (k) < ε n + I = (Z ) (Z ) I n + (4.6.37) (4.6.38) METODA FLEKSIBILNE TOLERANCIJE Tehnički adaci pojektovanja optimalnih konstukcija definišu se funkcijom cilja FC () a u pisustvu aličitih oganičenja. Oganičenja mogu biti lineane i nelineane funkcije tipa jednačina H I() i nejednačina G I(). Tada se opšti adatak uslovljenog nelineanog pogamianja može definisati: Minimiiati FC (),, E n, Sa oganičenjima u vidu jednačina H I = 0, I=,, 3,..., m, (4.6.39) Sa oganičenjima u vidu nejednačina G I 0, I=m+,..., p. Metod fleksibilne toleancije definiše ti osnovna postoa:. Dopustiv posto (A), u kome su adovoljena sva oganičenja G I i H I.. Toleantni posto (B), šii od dopustivog a iačunatu vednost dopustivog odstupanja od dovoljenog postoa - toleancije Φ (k). 3. Nedopustiv posto (C).
6 D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 6 Slika 4.4 Ti osnovna postoa u metodi fleksibilne toleancije PROCEDURA: U dopustivom A i toleantnom postou B, minimiacija FC () se ivodi pimenom pethodno opisane metode Nelde-Mead-a, koišćenjem poliedaa pomenljive metike. Za ivodjenje minimiacije u pisustvu oganičenja H I i G I fomian je toleantni posto, šiih ganica od dovoljenog postoa. Položaj ganica toleantnog postoa odedjen je u odnosu na ganice dopustivog postoa, vednostima kiteijuma toleancije Φ (k) u svakom koaku iteacije (poliedu) k: Φ (k) = min Φ (k ), m n (k) (k) ( I,J +,J ) I= J= t m (k) I,J - početna vednost stane polieda, - indeks boja uslova tipa jednakosti, - vekto I-tog čvoa polieda, J-tog paameta u k-tom poliedu, (k) +,J - vekto težišta polieda (+), J-tog paameta u k-tom poliedu, Φ (0) - početni kiteijum toleancije (k=0), Φ (k-) - kiteijum toleancije u pethodnoj iteaciji (poliedu). Kiteijum toleancije pomenljiv i elacijom (4.6.40) je uslovljeno njegovo neposedno smanjenje, pa je: Φ (0) > Φ () > Φ () >... > Φ (k-) > Φ (k) > 0 (4.6.4) Pekoačenje dopustivog postoa T () definiše se u obliku funkcionala vednosti funkcija oganičenja: m p T ( ) = H I() + UI G I() I= I= m+ (4.6.4) Heaviside-ov opeato se definiše: U=0, a G I() 0 i U=, a G I() <0. Kada polieda iadje i dopustive oblasti A i udje u toleantni posto B (maka i jednim temenom), pekida se minimiacija funkcije cilja FC i istom metodom počinje minimiacija funkcionala pekoačenja T sa ciljem vaćanja polieda u dopustivu oblast A. Kako je kiteijum toleancije Φ (k) mea dovoljenog odstupanja od dopustive oblasti A, a funkcional T() mea stvanog odstupanja od adatih oganičenja, moguće je pefomulisati uslove oganičenja osnovnog adatka minimiacije: Minimiiatii FC(), En, Sa oganičenjem Φ(k) - T() 0. (4.6.43)
7 D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 7 Ovim oganičenjem je definisano dovoljeno odstupanje paametaa optimiacije. U svakoj iteaciji se vši povea čvoova polieda u odnosu na dopustiv i toleantni posto. Kako se taženje pibližava stacionanoj vednosti, tako se kiteijum toleancije Φ smanjuje, a taženje se avšava egulano kada je sednje astojanje težišta od čvoova polieda manje od adate tačnosti ε: Φ (k) < ε. Na osnovu ove ideje, pomena paametaa (k) (k+) se ealiuje: u dovoljenom postou kada je T k = 0, + u toleantnom postou kada je 0 T k k, + Φ u nedopustivom postou kada je T k k. + > Φ Pime: OPTIMIZACIJA REŠETKE GEOMETRIJSKOM SINTEZOM Dat je am pema slici 4.0. Centalna sila dejstvuje u globu, inteniteta P=94 KN. Debljina ida je t=0.003 m, aspon nosača je R=.54 m. Mateijal je modula elastičnosti E= KN/m, specifične težine γ=8.55 kn/m 3. Odediti pečnik cevi D i visinu nosača H tako da je am minimalne mase. Raspoloživ posto a ugadnju ama je maksimalne visine H max =.5 m i minimalne visine H min =0.50 m. Slika 4.0 Pime: Model ama a optimiaciju sopstvene mase Kitična sila ivijanja globno oslonjenog i pitisnutog štapa: π E I F min KRIT = l Apoksimativna vednost momenta inecije i povšina peseka štapa: 3 Imin (D + t) π t,a 8 0 = Sila u štapu ama: P P F0 = = cos( ϕ) (H + R ) H ( D + t) π t Funkcija cilja: FC A L D t (H R ).537 D (H ( D,H) = γ 0 γ π + = ) Oganičenje napona pitiska u štapu je maksimalni napon ivijanja: F F G KRIT 0 (D,H) = σkrit σ0 = 0 A0 A0
8 D Miomi Jovanović OPTIMIZACIJA (autoiovana pedavanja) 8 π E (D + t) P H + R G(D,H) = 0 8 (R + H ) (D + t) π t H 5597 (H (D ) ) G(D,H) = H D H Peostale dve funkcije oganičenja definišu dopustivu oblast visine H: G (D,H) = HMAX H =.5 H 0, G3(D,H) = H HMIN = H Ovako fomulisan adatak može se ešiti i gafički u D postou, isctavanjem kiva funkcije cilja u oblasti ešenja (FC= ) i kiva funkcija oganičenja G, G, G 3. Naime, pesek kiva konstantnih vednosti funkcije cilja (FC=const.) i funkcija oganičenja definiše oganičenu oblast ešenja. Najmanja vednost funkcije cilja u tom postou odedjuju vednosti optimalnih paametaa posmatanog adatka. Rešenje adatka je pokaano na slici 4.. Pibližna ešenja su: FC = V min = m 3 = FC min, neavisno-pomenljivi paameti optimiacije su: D = m, H = H min = 0.50 m. Poačun i gafička intepetacija je ivšena na PC 386/40, pošto su u FORTRAN-u napisani pogami a osnovne iae FC i Gi. Dobijene datoteke funkcija su numeički vednovane i gafički intepetiane na monitou. Sa slike su očitane optimalne vednosti. Slika 4. Gafička intepetacija ešenja pimea optimiacije mase ama
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.
RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
SLOŽENO KRETANJE TAČKE
SLOŽENO KRETANJE TAČKE DEFINISANJE SLOŽENOG KRETANJA TAČKE BRZINA TAČKE PRI SLOŽENOM KRETANJU a) Relativna bzina b) Penosna bzina c) Apsolutna bzina d) Odeđivanje zavisnosti apsolutne od elativne i penosne
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE U RAVNI OPISANO U PRAVOUGLOM DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU. JEDNAČINE KRETANJA. LINIJA PUTANJE. PUTANJA.
KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE U RAVNI OPISANO U PRAVOUGLOM DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU. JEDNAČINE KRETANJA. LINIJA PUTANJE. PUTANJA. Jednačine ketanja x(t) i y(t) u potpunosti odeđuju sve pojmove vezane
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Izvod po pravcu i vektor gradijenta. Seminarski rad A M271
Izvod po pavcu i vekto gadijenta Seminaski ad A M71 Student Mijana Eić 398/10 Mento d Jelena Aleksić Novi Sad, 011/01 Sadžaj 1Uvod 1 Izvod po pavcu 3Vekto gadijenta 7 31 Osobine gadijenta 9 3 Vekto gadijenta
ELEMENTI TEORIJE SKALARNIH I VEKTORSKIH POLJA
ELEMENTI TEORIJE SKALARNIH I VEKTORSKIH POLJA Skalano polje. Gadijent Posto u čijoj je svakoj tački M definisana funkcija U(x,y,z) = U(M) = U( ) ( je vekto položaja tačke M) zovemo skalano polje. U daljem
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
VEŽBE Elektrostatika
VEŽBE Elektostatika Još jedna supepozicija Pime ti azličito naelektisana tela Odedite sme sile na naelektisanje q: Odedite sme sile na naelektisanje q: Elektično polje pikazano linijama sila stvaaju dva
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
1.1 Određivanje položaja i trajektorije materijalne tačke 1 KINEMATIKA
11 deđivanje položaja i tajektoije mateijalne tačke 1 1 KINEATIKA 11 deđivanje položaja i tajektoije mateijalne tačke snovni zadatak fizike (ϕνσιξ pioda) je izučavanje osnovnih svojstava piode, a jedno
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Ekonometrijska analiza vremenskih serija Deo II (8)
Ekonomeijska analiza vemenskih seija Deo II (8) Osnovne sudije Pedavač: Aleksanda Nojković Ocenjivanje paameaa ARMA modela Sukua pedavanja: - Pimena meoda ONK u ocenjivanju paameaa AR modela - Pimena meoda
VEKTOR MOMENTA SILE ZA TAČKU. Vektor momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za. proizvoljno izabranu tačku.
VEKTOR OENT SILE Z TČKU Vekto momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za poizvoljno izabanu tačku pedstavlja meu obtnog dejstva sile u odnosu na tu poizvoljno izabanu tačku. Ovde je tačka momentna
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :
BROJNI PRIMER 4 Armrano etonsk temeljn nosač (slka 63), fundran je na dun od D f =15m, u sloju poto-pljenog peska relatvne zjenost D r 75% Odredt sleganje w, nag θ, transverzalnu slu T, moment savjanja
4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Sistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
- Rad je dejstvo sile duž puta tj. kvantitativno povezuje silu i pomeraj koji je ona izazvala
Rad - Rad je dejstvo sile duž puta tj. kvantitativno povezuje silu i pomeaj koji je ona izazvala Posmatajmo slučaj kada je sila konstantna po intenzitetu i pavcu. Rad je: A= A = Δ cosγ γ = (, Δ) Δ Skalani
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
. (2.116) v r. Prvi član s desne strane (2.119) je jednak nuli iz razloga što su vektori v = i p kolinearni: r r r. r d L0 =. (2.
48 DINAMIKA.9 Dinamika otacije.9. Momentna jednačina za mateijalnu tačku Posmatamo kivolinijsko ketanje mateijalne tačke, mase m, koja u datoj tački putanje ima bzinu v, vekto položaja u odnosu na efeentnu
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Na grafiku bi to značilo :
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama
METODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)