REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR

Transcript

1 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO Comporamel i sisem î regim iamic care icle regiml saţioar şi regiml raziori poae fi escris pe baza i moel maemaic, forma i ecaţii algebrice şi i ecaţii ifereţiale oriare sa c eriae parţiale sa c ifereţe pă cm siseml ese c imp coi sa c imp iscre I eoria sisemelor se ilizează oă moaliăţi isice e reprezeare maemaică a sisemelor î omeil impli: pri ecaţii e ip irare-ieşire I-E şi pri ecaţii e ip irare-sare-ieşire I-S-E Caracerizarea pri ecaţii e ip I-E implică formalism maemaic mai simpl, pri eiarea eieţierii ror aspecelor referioare la comporamel ier al sisemli I cazl i sisem iamic, aloarea ieşirii y la momel poae fi eermiaă mai pe baza irării [, ], fii ecesară şi coaşerea or coiţii iiţiale cm ar fi y, y ec La sisemele reprezeae pri ecaţii I-S-E, coiţiile iiţiale s iclse î sarea iiţială X Aci câ se pe problema cocerii opimale a sisemli, creşe ieresl e a ispe e câ mai mlă iformaţie espre sisem, care să fie îsă şi coeabil srcraă Acese cosieree jsifică e ce cocepl e sare a eei eseţial î eoria moeră a sisemelor eprezearea maemaică a sisemelor iamice c parameri isribiţi se face pri ecaţii ifereţiale c eriae parţiale, eoarece î afara ariabilei mai ierie cel pţi a ire ariabilele spaţiale, y, z Acese siseme fac pare i caegoria sisemelor ifii imesioale I geeral, mărl al ariabilelor e sare, aică imesiea ecorli e sare X, eermiă imesiea oril sisemli Per reprezearea maemaică a sisemelor mooariabile c imp mor simpl, egal c τ, î moell sisemli fără imp mor se îlocieşe fcţia e irare c τ I coiare e om referi la sisemele eermiise, c parameri coceraţi şi fără imp mor, care s siseme fii imesioale

2 6 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO MODELAEA SISEMELO Oricări sisem c memorie i se poae asocia moel iamic - per caracerizarea regimli e fcţioare iamic şi moel saţioar - per caracerizarea regimli e fcţioare saţioar egiml saţioar poae fi saic câ ariabilele sisemli s cosae î imp sa permae câ forma e ariaţie î imp a ariabilelor sisemli ese cosaă - e ip rampă, sisoial ec I carl acesei lcrări, om cosiera moell saţioar ca fii asocia regimli saţioar e ip saic Moelele sisemelor saice fără memorie şi moelele saţioare ale sisemelor iamice c memorie s cosiie i ecaţii algebrice, î imp ce moelele iamice al sisemelor iamice s cosiie i ecaţii ifereţiale la sisemele coie sa i ecaţii c ifereţe la sisemele iscree Moell iamic icle şi moell saţioar, care se obţie i moell iamic prir-o pariclarizare coeabilă pri alarea eriaelor ror ariabilelor la sisemele coie, respeci pri egalarea alorilor oricărei ariabile la oae momeele e imp la sisemele iscree Sisemelor liiare le coresp moele liiare formae i ecaţii liiare, iar sisemelor eliiare - moele eliiare care coţi cel pţi o ecaţie eliiară I majoriaea aplicaţiilor pracice, per simplificarea formalismli maemaic, sisemelor c eliiariăţi şoare li se asociază moele liiare sa liiarizae Moelarea i sisem real, aică operaţia e obţiere a moelli maemaic, se poae efeca pri meoe aaliice, eperimeale sa mie Iifere e meoă, operaţia e moelare se bazează pe larea î cosieraţie a or ipoeze e lcr, c rol simplificaor I rapor c mol e alegere a ipoezelor simplificaoare şi c gral e cocoraţă a acesora c feomel real, moell obţi ese mai simpl sa mai comple, reflecâ realiaea fizică c gra e precizie mai mare sa mai mic Dacă mărl ipoezelor simplificaoare lae î cosieraţie ese mare, aci moell obţi ese simpl, robs, şor e prelcra şi e ierprea, ar mai pţi precis Nici moelele foare complicae s recomaae, aoriă lipsei e acraeţe î eermiarea or parameri, a imposibiliăţii calclli aaliic, a erorilor e rojire şi rchiere care apar î procesarea merică ec Moelarea aaliică a sisemelor ehice se efecează pe baza legilor geerale şi pariclare care gerează feomeele fizico-chimice asociae sisemli real legea coserării masei sa olmli, legea coserării eergiei, legea coserării implsli, legile echilibrli fizico-chimic, legile gazelor ec

3 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO 7 Legea coserării masei ese aplicaă frece sb forma ma, care eprimă fapl că ifereţa ire ebil masic e irare şi ebil masic e ieşire ese egală c ieza e ariaţie a masei acmlae m a elaţia se obţie pri eriarea î rapor c ariabila a ecaţiei e bilaţ maerial m m m, a e m, m şi m a repreziă respeci masa iraă, masa ieşiă şi masa acmlaă î ierall e imp [, ] Ecaţia e bilaţ maerial poae fi eisă la bilaţl eergeic, c obseraţia că î cazl reacţiilor chimice rebie să se ţiă seama şi e călra egajaă sa absorbiă pri reacţie I cazl sisemli reprezea e amesecăorl i figra, cosierăm că ebiele olmice, şi po fi moificae î mo iepee, c ajorl or pompe reglabile I coseciţă, cele rei ebie s mărimi e irare, iar iell h şi esiaea s mărimi e ieşire Per obţierea moelli aaliic, prespem că: a cele oă flie s icompresibile; b esiăile şi ale celor oă flri e irare s cosae; c amesecăorl are aria secţiii orizoale cosaă; amesecarea ese ieală, aică î orice mome e imp, esiaea are aceeaşi aloare î oae pcele amesecli Aplicâ legea coserării masei sb forma şi apoi, î mo similar, legea coserării olmli, aem h A, h A, 3 e A ese aria secţiii orizoale a asli Di şi 3 rezlă rmăorl moel al sisemli: A h Ah 4

4 8 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO Fig Amesecăor c ebie comaabile c ajorl pompelor Di forma moelli reiese că siseml ese eermiis, c memorie, saţioar, eliiar c prima ecaţie liiară, iar a oa eliiară, c parameri coceraţi şi fără imp mor Moell 4 sgerează posibiliaea escomperii sisemli S î oă sbsiseme iercoecae fig, l liiar S şi celălal eliiar S Fig Descomperea amesecăorli c ebie comaae Dacă îlărăm pompa e eacare şi prespem că scrgerea amesecli i as are loc liber fig 3, aci ebil eie epee e h şi se rasformă i ariabilă e irare î ariabilă e ieşire I regim lamiar, corelaţia iel-ebi eaca are forma liiară iar î regim rble, are forma eliiară α h, 5 β h, 6 e α şi β s coeficieţi epeeţi e iscoziaea lichili, e forma şi imesiile elemeli e obrare

5 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO 9 Fig 3 Amesecăor c scrgere liberă iâ seama e acese relaţii, obţiem moell e regim lamiar h Ah h h A α α 7 respeci moell e regim rble h Ah h h A β β 8 I schema escompsă i figra 4, sbsisemele S si S s c memorie, iar sbsiseml S 3 ese fără memorie I priml caz, sbsisemele S si S 3 s liiare, iar S ese eliiar, î imp ce î al oilea caz, oae cele rei sbsiseme s eliiare Fig 4 Descomperea amesecăorli c scrgere liberă

6 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO I cazl î care amesecăorl coţie eersor per meţierea cosaă a ielli hh, siseml are ca ariabile e irare ebiele si, iar ca ariabile e iesire ebil si esiaea fig 5 iâ seama e 4, rezlă moell Ah 9 Fig 5 Amesecăor c eersor Gral e compleiae al sisemli si implici al moelli creşe aci câ o pare a ebili e ieşire ese recirclaă reirosă î as Moelarea eperimeală miă şi ieificare se efecează pri acţie irecă aspra sisemli, permiţâ fie ieificarea globală a moelli cazl sisemelor e ip blac bo, fie eermiarea alorii or parameri ai acesia, aci câ se coaşe i moelarea aaliică srcra moelli Per eemplificare, să cosierăm sisem liiar afla iiţial î regim saţioar c irarea şi ieşirea y le per < şi să prespem că î rma moificării reapă a mărimii e irare, α, răspsl eperimeal y al sisemli are forma i figra 6 Aâ î eere forma epoeţial cocaă a răspsli, sisemli i se poae asocia moell y y K î care β 95 K,, α 3 e 95 ese impl î care mărimea e ieşire eie egală c 95 % i aloarea sa fială Epresiile facorli e proporţioaliae K şi cosaei e imp rezlă i solţia ecaţiei ifereţiale per α şi y, ame

7 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO y α K e, Fig 6 ăspsl la irare reapă al sisemli e îârziere e oril Moelarea miă îmbiă meoele şi proceeele e ip aaliic c cele e ip eperimeal O ariaă e moelare miă ese aceea î care forma moelli şi o pare ire paramerii acesia s obţiţi pe cale aaliică, iar paramerii ecoscţi sa c gra mare e iceriie s eermiaţi pe cale eperimeală SISEME DE IP INAE-IESIE Moell geeral I-E al i sisem coi mooariabil e oril are forma geerală f y, y r r, L, y,,, L,, Per r siseml ese propri sric propri per r < şi semipropri per r, iar per r > siseml ese impropri Sisemele reale fizice s siseme proprii, ar eori, per simplificarea formalismli maemaic, se ilizează şi moele improprii Cazl r caracerizează sisem saic, e oril zero fără memorie Dacă siseml ese liiar şi saţioar, moell are forma primară saar a r r L a y a y b b L b b, a 3 y a y r r Pri coeţie, ariabila e irare şi cea e e ieşire y repreziă alorile absole ale mărimilor fizice corespzăoare ale sisemli real, ci ariaţiile acesora faţă e alorile lor iiţiale Pri rmare, acă îaie e momel iiţial, siseml se află î regim saţioar, aci oae ariabilele sisemli s le pe ierall,

8 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO I cazl a şi b, siseml ese e ip proporţioal Moell saţioar corespzăor regimli saţioar - caraceriza pri cosaţa î imp a irării şi a ieşirii, are forma a y b 4 I cazl a şi b, siseml ese e ip iegral U asemeea sisem are sigr regim saţioar, corespzăor irării Siseml pr iegral are moell y b, echiale c a b y a 5 ăspsl i sisem pr iegral la irare ip reapă ese e ip rampă c paa cosaă I cazl a şi b, siseml ese e ip eriai I regim saţioar, ariabila e ieşire y are aloarea lă Moell b y a 6 caracerizează sisem impropri e ip pr eriai Circil forma ir- coesaor ese sisem pr iegral - acă se cosieră ca irare crel şi ca ieşire esiea, sa sisem pr eriai - acă se cosieră ca irare esiea şi ca ieşire crel Moell I-E al i sisem liiar saţioar e oril, c o sigră ieşire şi m irări, are forma primară a y a m r r y r i i r, i i i i i i i i L a y a y [ b b L b b ] 7 Dacă siseml are m irări şi p ieşiri, aci moell I-E coţie m p ecaţii e forma 3 - câe a asociaă fiecări caal ce eşe o irare c o ieşire, sa p ecaţii e forma 7 - câe a asociaă fiecărei ieşiri Pe baza pricipili sperpoziţiei, moell primar 3 poae fi iliza per irări eeriabile şi chiar iscoie, sb forma secară: i az a z az az r y b z b z b z r 8 Di ecaţia 3 rezlă că ieşirea y ese efecl smei a r caze r r b, b, L, b, iar i prima ecaţie a moelli secar 8 rezlă r r

9 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO 3 că z ese efecl cazei primare Cea e-a oa ecaţie a moelli 8 ese epresia pricipili sperpoziţiei, reflecâ proprieaea că ieşirea y ese sma efecelor celor r caze şi fapl că ei caze mliplicae şi eriae îi corespe efec mliplica şi eria Maemaic, se poae cosaa că ecaţia 3 eie ieiae pri îlocirea ariabilelor şi y i 8 î fcţie e eriaele ariabilei z I mo similar, moell 3 poae fi eis şi per irări e ip impls Dirac, asfel: a w a w a w aw ττ 9 r r y b w b w b w b w r r Moell I-E al i sisem iscre liiar mooariabil şi saţioar are forma primară y a y L a y b b L b, r r echialeă c y a y L a y b b L br r ' Oril sisemli ese egal c ma{, r} Dacă b, siseml ese sric propri Siseml ese e ip proporţioal aci câ a a şi b b L br, e ip iegral câ a a şi b b L br, e ip eriai câ a a şi b b L br I coformiae c pricipil sperpoziţiei, moell poae fi scris sb forma secară z az az y b z b z b z r r 3 SISEME DE IP INAE-SAE-IESIE Moell geeral I-S-E al i sisem c imp coi, c parameri coceraţi, are rmăoarea formă: X f, X, U Y g, X, U m î care U : ese fcţia e irare, m U : ese fcţia e ieşire X : ese fcţia e sare şi

10 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO 4 La sisemele eee, fcţiile f si g s coie î rapor c X si U, iar la sisemele semieee, cel pţi a ire fcţiile f şi g ese iscoiă î rapor c X sa U Prima ecaţie a moelli ese ecaţia sării, iar cea e-a oa - ecaţia ieşirii Deoarece ecaţia sării ese e ip ifereţial, sarea X rmăreşe ariaţiile irării U c îârziere La sisemele saţioare iariae, fcţiile f şi g epi eplici e, aică a forma fx,u, respeci gx,u Sisemele escrise pri moele I-S-E s siseme proprii Dacă ieşirea Y epie irec e irarea U, aică fcţia g ese e forma g,x, aci siseml se meşe sric propri La sisemele sric proprii, rasferl irareieşire ese realiza î oaliae pri iermeil sării; î coseciţă, ieşirea ese sric îârziaă î rapor c irarea, î sesl că coţie ici o compoeă care să rmărească isaae ariaţiile irării Dacă î ecaţia ieşirii apare şi fcţia e irare U, aci siseml ese semipropri U sisem coi liiar saţioar are moell DU CX Y BU AX X, 3 e A ese maricea păraă e sare, B m - maricea e irare, Cp - maricea e ieşire şi Dp m - maricea e rasmisie irecă I cazl D, siseml ese sric propri Ecaţiile 3 po fi scrise eplici pe compoee, asfel : m m m b b b b a a a a M O M O M m pm p m p p p c c c c y y M O M O M Pri coeţie, ariabilele e irare, e sare şi e ieşire ale sisemelor liiare repreziă alorile absole ale mărimilor fizice corespzăoare ale sisemli real, ci ariaţiile acesora faţă e alorile lor iiţiale La sisemele c o sigră irare şi o sigră ieşire mooariabile, B ese marice coloaă, C ese marice liie, iar D ese scalar :

11 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO 5 a a b M O M M, 4 a a b y [ c c] L M 5 I cazl sisemelor esaţioare, maricele A, B, C, D s fcţii e Moell I-S-E al i sisem iscre are forma X f, X, U Y g, X, U, 6 e U: Z m, X: Z, Y: Z p, iar f şi g a aceeaşi semificaţie ca la Sisemele iscree, liiare şi saţioare a moell I-S-E e forma X AX BU Y CX DU, 7 e A, B, C, D s marice cosae c aceleaşi imesii ca la sisemele coie Moell 7 poae fi scris şi sb forma X AX BU Y CX DU, Z 7' Aplicaţia Fie circil elecric i figra Să se afle: a moell I-E per irare şi C ieşire; b moell I-E per irare şi L ieşire; c moell I-S-E per irare, C ieşire şi C şi ; moell I-S-E per irare, L şi C ieşiri, C şi Să se arae că: e esiile L şi C po fi ariabile e sare; f esiile şi L po fi ariabile e sare Solţie Aem : i, L i L, i C C, C L 8 a Di primele rei relaţii 7, rezlă

12 6 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO C C, C L LC iâ seama e lima relaţie 8, obţiem moell irare-ieşire C C C e cosaele e imp şi a epresiile coi, e oril oi, saţioar b Di primele rei relaţii 7, rezlă, 9 C, L L, C L LC Deriâ e oă ori lima relaţie 8, obţiem moell irare-ieşire L L L, L LC care poae fi scris sb forma c Di relaţiile 8 rezlă L L L L Siseml ese liiar, 3,, C L C C oaţiile p / C şi q / L, moell I-S-E eie asfel : aâ maricele A q q p q q, C, 3 p, B, C [ ], D 3 q q Deoarece L, moell I-S-E are forma eci q p q q C, L p A, B, C, D q q q, 33 e Per C, i relaţiile 8 rezlă L i, i C, i şi L

13 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO 7 Pri elimiarea ariabilei i, obţiem, Di acese relaţii obţiem ecaţiile e sare, A oa ecaţie e sare se îcarează î forma geerală amisă, aoriă prezeţei eriaei mărimii e irare f Per şi L, i relaţiile 8 rezlă i, L i, i C Pri elimiarea ariabilei i, obţiem ecaţiile e sare, Ca şi î cazl aerior, cea e-a oa ecaţie e sare se îcarează î forma geerală amisă, aoriă prezeţei eriaei mărimii e irare Aplicaţia Fie circil elecric i figra 7, aâ ca irări esiile şi, iar ca ieşire esiea Să se afle: a moell I-E; b moell I-S-E per cazl î care esiea ese ariabilă e sare Fig 7 Circi ip C Solţie a Aem i i i C, Moell I-E poae fi scris sb forma e C,, Siseml ese liiar, coi, e oril, saţioar b Per, obţiem moell I-S-E C, 34

14 EPEZENAEA MAEMAICA A SISEMELO 8, 35 c A, [ ] B, C, [ ] D Aplicaţia 3 Fie circil elecric i figra 8, aâ ca irări esiile şi, iar ca ieşiri esiile şi Să se afle moell I-E Solţie Siseml poae fi escomps î oă sbsiseme iercoecae S şi S fig 9, aâ fiecare aceeaşi srcră ca siseml i figra 7 I coformiae c 34, aem C C 36 Pri elimiarea ariabilei, apoi a ariabilei, îre ecaţiile 36, obţiem moell I-E sb forma, 37 î care /, /, C, C Siseml ese coi, liiar, mliariabil, e oril oi, saţioar Fig 8 Circi mliariabil ip C Fig 9 Sisem mliariabil escomps