Curs 9. Teorema limită centrală. 9.1 Teorema limită centrală. Enunţ

Transcript

1 Curs 9 Teorema limiă cerală 9 Teorema limiă cerală Euţ Teorema Limiă Cerală TLC) ese ua dire cele mai imporae eoreme di eoria probabiliăţilor Iuiiv, orema afirmă că suma uui umăr mare de v a idepedee, ideic disribuie, sadardizae poae fi aproximaă de o disribuţie ormală Rezulă imporaţa acesei disribuţii, deşi desiaea sa de probabiliae are o formă care pare complicaă Teorema limiă cerală mai poară deumirea de miracolul lui Gauss Peru a realiza aces lucru, să cosiderăm desiaea de probabiliae a sumei a variabile idepedee, de ipul Uif [ 05, 05] Obţiem urmăoarele: = = = 3 = 0 If we compare hese graphs o he desiy of a sadard ormally disribued radom Dacă variable, vom compara we ca see acese remarkable grafice similariies cu graficul eve for uei small desiăţi de probabiliae a uei va

2 Observăm că dacă, de exemplu, ivelul de îcredere ese 0 uci z α = 9599 rebuie să laseladreapasaoarieegală =005, iar la sâga o arie egală cu α = 005 = 0975 ormal disribuie, vom observa asemăarea remarcabilă chiar peru desul de mic Figura 8 Figura 9: Disribuţia ormală sadard Aceasă modaliae de deermiare a iervalului de îcredere Aces lucru e coduce iuiiv la ideea că suma variabilelor aleaoare se comporă, oae sieiza îr-u aumi îses, esul ormal Exac Z Teorema Limiă Cerală formalizează aces lucru Algorimul Fie X, X, esului, X, u şir de Zv a idepedee şi ideic disribuie cu M [X i ] = m şi Presupuem D [X i ] = σ, i daă Fie So = selecţie X + X + de + X valori şi M = idepedee S Teorema limiă cerală dedă volum ir-o populaţiedemediem iformaţii asupra v a ecuoscuă şi dispersie σ σ > uoscuă Z = S m σ = M m) σ = M m σ = M m σ Pasul Se calculează x Deoarece M [M ] = m, D [M ] = σ, deducem că M [Z Pasul Se cosideră saisica Z = X ] = 0 şi m D [Z ] = Aceaă v a se umeşe sadardizaă, deci şirul Z ese versiuea sadardizaă a şirului M Îaie de a demosra Teorema Limiă Cerală, avem evoie σ de urmăoarele prelimiarii, ce rezulă di dezvolările Taylor ale fucţiei expoeţiale: Dacă u 0, auci Pasul 3 Peru u ivel de îcredere prescris α) 00% eermiă z α > 0 asfel îcâ Φ z α )=α Dacă R, auci e i i şi De asemeea, vom folosi urmăorul rezula: 0 e u + u u 9) ei i i) 3 6 9) Teorema 9 Teorema covergeţei domiae) Fie f ) u şir de fucţii, covergee pucual la o fucţie f, f coiue cu excepţia uui umăr fii de puce şi domiae de o fucţie iegrabilă g : Auci f ese iegrabilă şi f x) gx), gx)dx < lim f x)dx = fx)dx

3 Îaie de a formula TLC, avem evoie de defiiţia covergeţei î disribuţie Defiiţia 9 Spuem că şirul X ) de va coverge î disribuţie la va X şi oăm d X dacă X lim F X x) = F X x), peru orice puc x R de coiuiae a lui F X Formulăm acum u al rezula uil, ce permie simplificarea demosraţiei TLC Teorema 93 Teorema de coiuiae a lui Lévy) Fie X ) u şir de va asfel îcâ şirul fucţiilor caracerisice corespuzăoare ϕ X coverge pucual la o fucţie ϕ Auci X d X ϕ = ϕ X Teorema 94 Teorema Limiă Cerală) Fie X ) u şir de va idepedee, ideic disribuie, sadardizae M[X i ] = 0 şi D[X i ] = ) Auci, peru orice x R, ) lim P X + + X x = x e u du, π adică X ++X d Z, ude Z N[0, ] Demosraţie Noăm cu S = X + + X Fie ϕ Xk fucţia caracerisică a lui X k, care ese aceeaşi peru fiecare k iid), deci o puem oa cu ϕ Auci, peru orice R, ] i S ϕ S ) = M [e = lim M k= ] [ )] [e i X k = ϕ Rămâe de arăa, folosid Teorema de coiuiae a lui Levy, că [ ϕ )] = e, deoarece am arăa mai sus că fucţia caracerisică a va ormale sadard ese de ipul e Dacă = 0, u avem imic de demosra Presupuem 0 Avem [ )] )] ϕ e ] [ϕ = [e ) ϕ e, 93) ) deoarece ϕ şi 0 e Urmează ) ) ) ) ϕ e ϕ + e Folosid 9) peru u =, obţiem ) e 4 8 = peru 94) 3

4 Peru primul modul, ) ) [ ϕ = M M e i X [ e i X deoarece M [X] = 0 şi M [X ] = D [X] = Pe de o pare, folosid prima relaţie di 9), obţiem ei X + i X + i X ei X X + X = X + i X)] X + i + i ) ] X + i X, 95) + i X Pe de ală pare, folosid a doua relaţie di 9), obţiem ei X + i X + i X 3 X 3 6 3/ Peru orice δ > 0 şi N, defiim şi fucţia caracerisică a mulţimii A, Auci A := Aδ, ) := { X > δ } I A x) = {, dacă x A 0, î res + X ei X + i X + i X X I A + 3 X 3 I 6 3/ A c Rezulă [ M e i X + i ) ] X + i X M [ ] X 3 I A + 6 M [ X 3 ] I 3/ A c = M [ ] X 3 I A + 6 M [ X 3 ] I / A c 96) Cum X δ pe A c, rezulă M [ X I A c] δ I A c f X x)dx, } {{ } de ude Deci, De asemeea, M [ X 3 I A c] M [ X ] M [ X I A c] δ 3 6 M [ X 3 ] 3 δ I / A c 6 M [ ] [ ] X I A = M X I { X δ } 4

5 Cum şirul de fucţii f := X I { X δ } f X ese crescăor, cu limia pucuală f = X f X, care ese [ iegrabilă M ] [X ] = ), rezulă aplicâd Teorema covergeţei domiae că lim M X I { X δ } = M [X ] = Fie acum ε > 0 Fie δ > 0 asfel îcâ 3 δ < ε Alegem de asemeea 6 4 ε N asfel îcâ, peru orice ε, să avem 4 < ε şi 8 4 M [X I A ] < ε Va rezula, combiâd relaţiile 93)-96), că peru orice ε > 0, exisă ε N asfel îcâ, peru orice ε, [ )] ϕ e < ε, ceea ce era de demosra Ale variae ale eoremei limiă cerală su urmăoarele: Teorema 95 TLC) Fie X ) N u şir de v a idepedee şi ideic disribuie iid) cu M [X i ] = m şi D [X i ] = σ, i Auci peru orice umere reale a < b, avem lim P {a Z b}) = b e x dx 97) π Teorema 96 TLC) Fie X ) N u şir de v a idepedee disribuie cu M [X i ] = şi D [X i ] = σi, i şi lim σ = σ Auci peru orice umere reale a < b, avem lim P {a Z b}) = b e x dx π a 9 Aplicaţii ale Teoremei limiă cerală Exerciţiul Aplicaţie la sodaje de opiie Presupuem că se realizează experimee de ip Beroulli î care u eveime A se produce cu probabiliaea p Noăm cu X k variabila aleaoare care ia valoarea dacă la experieţa cu umărul de ordie k se produce eveimeu A şi 0 dacă u se produce A Variabilele aleaoare X k ) k su idepedee Auci S = X + X + + X repreziă umărul oal de apariţii ale lui A, deci umărul de succese ale lui A î urma efecuării a experieţe S ese o v a reparizaă biomial, S Bi, p) V a X ) N au aceeaşi repariţie biomială) Noăm cu Z = S p Coform eoremei limiă cerală rezulă că peru orice a < b pq şi suficie de mare, P {a Z b}) = b e x dx = Φb) Φa) π a Peru orice α < β, avem α S β dacă şi umai dacă α p Z β p pq pq Noâd α p = a, β p ) β p α p = b, rezulă că P {α S β}) = Φ ) Φ pq pq pq pq şi deci P p + a pq S p + b pq ) = Φb) Φa) Î paricular, peru a = b b > 0) rezulă formula P {p b pq S p + b pq}) = Φb), 98) 5 a

6 peru >> uii saisiciei recomadă pq 0 ) Aceasă formuă ese uilizaă î sodaje asfel: cosiderăm o populaţie saisică umaă căreia îi cerem opiia îr-o aumiă chesiue: ce echipă de fobal, ce parid, ce eleviziue ec preferă Nu oaă lumea poae fi cosulaă şi auci se realizează u sodaj pe eşaioae resrâse, alese cu obieciviae Să presupuem că se cosulă persoae şi oăm cu S umărul de persoae care se prouţă peru succes); se deermiă paramerul p ca fiid frecveţa de succes Peru b = 7 avem Φb) = 0985 deci Φb) = 097 şi coform 98), se realizează cu eroare sub 3% eveimeul S [ p 7 pq S p + 7 pq ] ; apoi peru b = 96 avem Φb) = 095 şi coform 98), se realizează cu eroare sub 5% eveimeul S [ p 96 pq S p + 96 pq ] Exerciţiul Dir-u sodaj realiza îr-u oraş a rezula că dir-u eşaio de 000 voaţi 600 ar voa cu paridul X Cu o eroare de sub 3% să se esimeze câi dire cei, milioae de voaţi ar voa peru X Soluţie Avem p = 600 = 06 şi q = 04, = şi luăm b = 7, deci umărul ceru 000 ese cuprims îre p 7 pq şi p+7 pq deci îre = şi = Aproximarea legii biomiale prir-o lege ormală Fie X o v a discreă reparizaă biomial cu paramerii p şi deci M [X] = p, D [X] = pq şi k N, k Să se calculeze P {X = k}) şi P {X k}) folosid eorema limiă cerală peru suficie de mare şi pq u foare mic) Coform eoremei limiă cerală X N p, pq) şi deci P {X = k}) = P { X [ k, k + ]}) = Φ k + p pq ) Φ k p ) pq Adăugarea lui 05 la k se umeşe corecţie pri coiuiae A fos peru îmbuăăţirea aproximaţiei La fel P {X k}) = P { }) k + X k + p ) = Φ pq Exerciţiul 3 Se arucă o moedă şi probabiliaea de a obţie baul ese 06 Se arucă moeda de 000 ori Care ese probabiliaea de a obţie baul de 650 de ori? Soluţie Fie X v a care ia ca valori umărul de apariţii ale baului î cele 000 de arucări Evide X Biomial [0000; 06] Coform eoremei limiă cerală X N 600, 40) P {X = 650}) = P { X [ 650, ]}) = Φ 650 ) Φ 600 ) = = Φ 35) Φ 39) = = O v a disribuiă biomial se aproximează cu o v a disribuiă ormal dacă p > 5, q > 5 9 Aproximarea legii Poisso prir-o lege ormală Fie X o v a discreă reparizaă Poisso cu parameru λ Auci M [X] = λ, D [X] = λ Coform eoremei limiă cerală X N λ, λ) Să se calculeze P {X = k}) şi P {X k}) peru k umăr aural P {X = k}) = P { X [ k, k + ]}) = Φ k + λ λ ) Φ k λ ) λ 6

7 La fel P {X k}) = P { }) k + X k + λ ) = Φ λ Aproximarea ese buă dacă λ > 5 Exerciţiul 4 Saisica araă că la o uiae de asigurări se primesc î medie 300 de reclamaţii pe a Fie X umărul de reclamaţii pe a, presupus repariza Poisso Să se deermie probabiliaea ca să primească cel puţi 35 de reclamaţii pe a ) Soluţie P {X 35}) = P {X 35}) = Φ = Φ 9734) = =