INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR

Transcript

1 INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR Teoria sisemelor repreziă u asamblu de cocepe cuoşiţe meode şi pricipii idepedee de aplicaţii ecesare şi uile sudiului srucurii proprieăţilor şi caracerisicilor diamice ale sisemelor î geeral ale sisemelor auomae î mod special Avâd ca obiec de sudiu sisemul absrac despris de aura sa fizică cocreă sub forma uui model maemaic eoria sisemelor ese u domeiu de sudiu care îmbiă armoios aspecele feomeologice ale sisemelor reale şi elemeele maemaice absrace ecesare descrierii comporameului şi ieracţiuii diamice a sisemelor Teoria sisemelor iroduce u mod de gâdire şiiţific de ip logic aşa zis sisemic avâd la bază pricipiul cauzaliăţii care permie abordarea ierdiscipliară a realiăţii îcojurăoare DEFINIREA ŞI CARACTERIZAREA SISTEMELOR Cocepul de sisem a apăru şi s-a dezvola de-a lugul impului ca rezula al evideţierii uor răsăuri şi comporamee comue peru o serie de procese şi feomee di diferie domeii fap ce a permis raarea acesora di puc de vedere srucural-fucţioal îr-u mod uiar sisemic Noţiuea de sisem are o sferă de cupridere foare largă fiid frecve îâliă î şiiţă şi ehică (î geeral î oae domeiile gâdirii şi acţiuii umae) îsă aproape îodeaua î asociaţie cu u aribu de specificare; de exemplu sisem auoma sisem de rasmisie sisem iformaţioal sisem de semalizare sisem de producţie sisem filozofic sisem social ec

2 TEORIA SISTEMELOR I lieraura de specialiae exisă diverse defiiţii ale cocepului de sisem uele reflecâd ediţa defiirii sisemului îr-o câ mai largă geeraliae alele ediţa de paricularizare la u aumi domeiu al cuoaşerii I cele ce urmează pri sisem vom îţelege u asamblu de elemee ce ieracţioează îre ele şi cu exeriorul cu respecarea uor reguli legi şi pricipii î vederea realizării uui ses obieciv scop U sisem ese srucura ca o coexiue de elemee fiecare eleme cosiuid la râdul său u sisem (subsisem) Ieracţiuea dire elemeele uui sisem poae coferi sisemului proprieăţi caracerisici şi comporamee oi diferie de cele ale fiecărui eleme compoe I cazul sisemelor fizice (reale) ieracţiuea se realizează pe baza legilor fizico-chimice geerale pri iermediul fluxurilor de masă şi eergie purăoare de iformaţie Sisemele fizice po fi aurale sau arificiale (creae de om) Teoria sisemelor operează cu cocepul de sisem absrac de obicei sub forma uui model maemaic care permie descrierea caracerisicilor şi comporameului diamic al uei clase de siseme fizice Să subliiem î coiuare câeva răsăuri fudameale ale sisemelor Caracerul srucural-uiar reflecă proprieaea uui sisem de a fi reprezea ca o coexiue de subsiseme a căror acţiue ese orieaă spre u aumi ses (scop) Caracerul cauzal-diamic reflecă proprieaea uui sisem de a evolua î imp sub acţiuea uor facori ieri şi exeri cu respecarea pricipiului cauzaliăţii (coform căruia orice efec ese rezulaul uei cauze efecul ese îârzia faţă de cauză şi î plus cauze ideice geerează î aceleaşi codiţii efece ideice) Caracerul iformaţioal reflecă proprieaea uui sisem de a primi prelucra memora şi rasmie iformaţie I sesul eoriei sisemelor pri iformaţie se îţelege orice facor care coribuie caliaiv şi/sau caiaiv la descrierea comporameului uui sisem La sisemele ehice mărimile fizice uilizae ca supor peru rasmisia şi socarea iformaţiei se umesc semale Mărimile variabile asociae uui sisem po fi de rei feluri: mărimi de irare mărimi de sare şi mărimi de ieşire

3 INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR 3 Mărimile de irare su mărimi idepedee de sisem (deci de ip cauză) care iflueţează di exerior sarea şi evoluţia sisemului Mărimile de sare su mărimi depedee de mărimile de irare (deci de ip efec avâd rolul de a caraceriza şi descrie sarea cureă a sisemului Mărimile de ieşire su mărimi depedee de mărimile de sare şi/sau de mărimile de irare (deci de ip efec avâd rolul de a rasmie î exerior (sisemelor îveciae) iformaţie despre sarea cureă a sisemului Uele mărimi de ieşire po fi î acelaşi imp mărimi de sare Teoria sisemelor operează cu două cocepe de sisem: sisem de ip I-S-E (irare-sare-ieşire) şi sisem de ip I-E (irare-ieşire) Sisemele de ip I-S-E coţi mărimi de irare mărimi de sare şi mărimi de ieşire î imp ce sisemele de ip I-E coţi explici umai mărimi de irare şi mărimi de ieşire Teoria clasică a sisemelor operează cu siseme de ip I-E î imp ce eoria moderă a sisemelor operează cu siseme de ip I-S-E Uui sisem fizic i se poae asocia u sisem absrac (model) de ip I-S-E (fig a) şi u sisem absrac (model) de ip I-E (fig b) ( a) (b) Fig Trasferuri cauzale îre mărimile uui sisem: (a) de ip I-S-E; (b) de ip I-E La sisemele de ip I-S-E rasferul de iformaţie irare-ieşire se realizează î mod idirec pri iermediul sării Trasferul irare-sare (I S) are loc cu îârziere srică după o diamică proprie sisemului î imp ce rasferul sareieşire (S E) se realizează isaaeu I cazul uor siseme care respecă la limiă pricipiul cauzaliăţii mărimea de ieşire are o compoeă ce urmăreşe isaaeu variaţiile mărimii de irare La acese siseme exisă u caal direc irare-ieşire (I E) pri care rasferul se realizează isaaeu Teoria sisemelor operează şi cu siseme riviale la care mărimea de ieşire î asamblul său urmăreşe isaaeu variaţiile mărimii de irare Sisemele de aces ip (umie siseme saice) u coţi mărimi de sare iar rasferul irare-

4 4 TEORIA SISTEMELOR ieşire se realizează umai pe caalul direc I E Sisemele eriviale la care mărimea de ieşire urmăreşe cu îârziere variaţiile mărimii de irare se umesc siseme diamice La sisemele de ip I-E (care u coţi î mod explici mărimi de sare) rasferul irare-ieşire se realizează direc (fig b) cu îârziere srică (la sisemele diamice) sau isaaeu (la sisemele riviale de ip saic) U sisem ieracţioează cu sisemele îveciae umai pri iermediul mărimilor de irare şi de ieşire Mărimile de ieşire ale uui sisem su mărimi de irare peru sisemele îveciae Mărimile de ieşire ale sisemelor ehice su măsurabile î imp ce mărimile de sare u su îodeaua accesibile măsurării I figura ese arăa modul de reprezeare a uui sisem Σ ; T U u u u ese vecorul coloaă m-dimesioal al mărimilor de irare [ m ] T [ y y y p ] Y - vecorul coloaă p-dimesioal al mărimilor de ieşire iar T [ x x x ] X - vecorul coloaă -dimesioal al mărimilor de sare Numărul al variabilelor de sare ale uui sisem repreziă dimesiuea sau ordiul sisemului Fig Reprezearea uui sisem Auci câd variabilele uui sisem su separae î variabile cauză şi variabile efec sisemul se umeşe oriea La sisemele absrace oriearea ese formală î imp ce la sisemele reale oriearea rezulă di aplicarea legilor fizico-chimice specifice cu respecarea ecodiţioaă a pricipiului cauzaliăţii Mărimile de sare ale uui sisem au două proprieăţi eseţiale: - de mediere a rasferului irare-ieşire (I E) care devie asfel rasfer irare-sare-ieşire (I S E); - de acumulare îr-o formă coceraă (sieică) a îregii iformaţii uile privid evoluţia aerioară a sisemului adică a isoriei recue a sisemului Ulima proprieae poae fi exprimaă maemaic asfel: Sarea X la momeul adică X ( ese comple deermiaă de sarea X la momeul iiţial şi de irarea U pe iervalul de imp [ adică U ) De aici reiese exiseţa uei [

5 INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR 5 fucţii de raziţie a sării ϕ care exprimă evoluţia î imp a sării X dir-o sare iiţială X sub acţiuea irării U [ adică X ϕ( ; X [ ) () ( U Axiomaica fucţiei de raziţie iclude proprieaea de cosiseţă adică ϕ ( ; X U ( )) X X La sisemele coiue fucţia de raziţie a sării ese de ip iegral coţiâd o iegrală de imp cu limia de iegrare iferioară şi limia de iegrare superioară Asfel sisemul la care rasferul irare-sare ese descris de ecuaţia difereţială liiară cu coeficieţi cosaţi d x ax + bu d are fucţia de raziţie a sării R a( τ ϕ( ; ) e ) a( ) x u[ ) x + b e u( τ ) dτ () I cazul paricular a (câd sisemul ese de ip pur iegral) fucţia de raziţie are forma ( [ ] τ ϕ ; x u ) x + b u( τ )d La sisemele discree cu perioada de discreizare a impului egală cu fucţia de raziţie a sării ese sub forma uei sume de ermei ce coţi valorile fucţiei de irare U la momeele de imp aerioare momeului cure adică U ( ) U ( +) U ( ) Asfel sisemul cu rasferul irare-sare descris de ecuaţia cu difereţe cu coeficieţi cosaţi are fucţia de raziţie a sării x ( + ) ax( + bu( Z ( ; [ ) ) i ϕ x u a x + b a u( i) (3) i

6 6 TEORIA SISTEMELOR I cazul paricular a (câd sisemul ese de ip pur iegral) fucţia de raziţie are forma + ϕ ( ; x u[ ) x b u( i) i Peru o sare iiţială X şi o irare daă U [ ) curba de evoluţie a sării T ( x( x( )] X ( [ x î spaţiul sărilor (-dimesioal) se umeşe raiecorie de sare Peru raiecoriile de sare po fi reprezeae grafic O raiecorie de sare defiiă pri sarea iiţială X şi irarea (comada) U se umeşe liberă Dacă îsă X şi U auci raiecoria [ ) ese forţaă (fig 3) [ ) Fig 3 Traiecorii de sare La râdul ei ieşirea Y poae fi exprimaă î fucţie de sarea cureă X şi de irarea cureă U pri iermediul fucţiei de ieşire Y( η( ; X ( U( ) (4) I afara mărimilor variabile de irare de sare şi de ieşire î descrierea comporameului uui sisem iervi şi uele mărimi cosae sau pseudocosae umie parameri La sisemele fizice mărimile paramerice su de regulă mărimi ce caracerizează proprieăţile fizico-chimice ale sisemului: desiae viscoziae lugime arie volum reziseţă elecrică capaciae elecrică coduciviae ermică ec

7 INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR 7 U exemplu de sisem îl cosiuie circuiul elecric RLC di figura 4 Dacă esiuea variabilă u ese geeraă di exerior idepede de circui şi dorim să cuoaşem modul de variaţie î imp a esiuii u L de la borele iduciviăţii L auci circuiul RLC poae fi cosidera u sisem oriea î care u ese mărime de irare u L mărime de ieşire esiuile u R şi u C de la borele rezisorului R şi codesaorului C su mărimi de sare Reziseţa R capaciaea C şi iduciviaea L su parameri ai sisemului Fig 4 Exemplu de sisem fizic Sisemul are două variabile de sare deoarece coţie elemee capabile să îmagazieze şi să rasfere eergie cu vieză fiiă (capaciaea C şi iduciviaea L) Dacă pe lâgă u L e ieresează şi modul de variaţie î imp a esiuii u C auci avem două mărimi de ieşire ( u L şi u C ) iar u C ese aâ variabilă de ieşire câ şi variabilă de sare CLASIFICAREA SISTEMELOR Pe baza uor proprieăţi derivae di caracerul srucural-uiar cauzaldiamic şi iformaţioal al sisemelor acesea po fi împărţie î clase (caegorii) sisemele aparţiâd uei clase avâd răsăuri proprieăţi şi comporamee asemăăoare Siseme coiue şi discree Sisemele cu imp coiuu su acele siseme la care mărimile de irare de sare şi de ieşire iau valori la orice mome de imp aparţiâd mulţimii umerelor reale R Sisemele cu imp coiuu po fi coiue (eede sau aalogice) sau discoiue Sisemele coiue saisfac urmăoarea proprieae: Peru orice sare

8 8 TEORIA SISTEMELOR iiţială şi orice fucţie de irare coiuă (î ses maemaic) fucţia de sare X ( şi fucţia de ieşire Y ( su de asemeea fucţii coiue Sisemele cu imp coiuu care u saisfac aceasă proprieae su siseme discoiue Sisemele cu imp coiuu su descrise pri ecuaţii difereţiale U circui elecroic care coţie elemee aalogice şi u releu elecromageic avâd u coac îr-o ramură a circuiului ese u sisem discoiuu Sisemele cu imp discre su acele siseme la care mărimile de irare de sare şi de ieşire iau valori umai la aumie momee discree ale impului k Sisemele cu imp discre la care discreizarea impului ese uiformă (cu pas cosa adică k kt ude T ese perioada (acul) şi k Z se umesc siseme discree Alegâd pri coveţie T rezulă că la sisemele discree impul ese o variabilă de ip îreg ( k Z ) Sisemele discree su descrise pri ecuaţii cu difereţe Sisemele fizice discree coţi u geeraor de ac (ceas) deci su siseme arificiale creae de om Sisemele discree la care variabilele iau umai două valori disice ( şi ) se umesc siseme logice sau biare iar sisemele fiie la care variabilele iau u umăr mare de valori se umesc siseme umerice sau digiale Dispoziivele de semalizare opică şi acusică (peru alarmare la ieşirea uei mărimi fizice î afara limielor admise) su siseme logice iar calculaoarele su siseme umerice Sisemele care coţi aâ elemee coiue câ şi elemee discree se umesc siseme cu eşaioare sau siseme eşaioae Iercoecarea subsisemelor coiue şi discree se realizează pri iermediul coveroarelor aalog-umerice şi umeric-aalogice Semalele umerice obţiue pri eşaioarea (discreizarea) periodică a semalelor coiue se umesc semale eşaioae Siseme liiare şi eliiare Sisemele liiare su acelea care î orice codiţii verifică pricipiul superpoziţiei (suprapuerii efecelor): suma efecelor cauzelor ese egală cu efecul sumei cauzelor adică

9 INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR 9 E c ) + E( c ) + + E( c ) E( c + c + + c ) (5) ( k k ude pri E ( c i ) am oa efecul cauzei c i Cosiderăm u sisem cu irarea u şi ieşirea y afla pâă la momeul iiţial î regim saţioar cu u y Aşadar fucţia de irare u ( ) şi fucţia de ieşire y ( su fucţii de ip origial ule peru < Dacă peru irarea u f ( ) avem răspusul y g ( ) iar peru irarea u f ( ) avem răspusul y g ( ) auci peru irarea u α f + α f ( ) răspusul sisemului liiar va fi ( y α g ( + α g ( ) ( Sisemul obţiu pri iercoecarea a două sau mai mulor subsiseme liiare ese de asemeea liiar Reciproca acesei afirmaţii u ese odeaua adevăraă adică liiariaea uui sisem u implică î mod ecesar liiariaea subsisemelor compoee Peru sisemele liiare a fos elaboraă o eorie uiară suficie de riguroasă şi îchegaă Sisemele eliiare su acele siseme care u saisfac î oae cazurile pricipiul superpoziţiei (adică acele siseme care u su liiare) Modul ecosruciv de defiire a sisemelor eliiare (pri egarea uei proprieăţi) şi muliudiea modurilor de maifesare a eliiariăţilor coduc la ideea imposibiliăţii cosruirii uei eorii uiare a sisemele eliiare I coseciţă sisemele eliiare su sudiae pe clase de siseme defiie cosruciv pe baza uor proprieăţi comue (de exemplu clasa sisemelor coiue şi liiare pe porţiui clasa sisemelor cu caracerisică saică de ip releu clasa sisemelor eliiare de ordiul uu ec) Sisemele liiare su descrise pri ecuaţii maemaice liiare (algebrice difereţiale sau cu difereţe) iar sisemele eliiare pri ecuaţii eliiare Sudiul sisemelor liiare se poae efecua îr-u mod uiar mul mai simplu mai uşor şi mai precis Sisemele fizice su de regulă siseme eliiare U sisem fizic poae fi cosidera liiar cel mul îr-u aumi domeiu de fucţioare delimia de zoe de fucţioare eliiare (de blocare şi de sauraţie) Sisemele cu eliiariăţi slabe î domeiul de fucţioare sudia su cosiderae de cele mai mule ori ca fiid liiare sau liiare pe porţiui

10 TEORIA SISTEMELOR 3 Siseme saice şi diamice Sisemele saice (umie şi fără memorie) su siseme de ordiul zero (fără variabile de sare) avâd valoarea ieşirii Y la momeul comple deermiaă de valoarea irării U la momeul La acese siseme ieşirea (î oaliaea sa) urmăreşe isaaeu (fără îârziere) variaţiile î imp ale irării Sisemele fizice saice u coţi î compoeţa lor elemee capabile să îmagazieze şi să rasfere caiăţi semificaive de masă şi eergie Sisemele diamice (umie şi cu memorie) au ordiul mai mare decâ zero şi caracerizează pri prezeţa regimurilor raziorii Sisemele fizice diamice iclud î compoeţa lor elemee capabile să acumuleze şi să rasfere cu vieză fiiă caiăţi semificaive de masă şi eergie Sisemele saice su descrise pri ecuaţii algebrice iar sisemele diamice pri ecuaţii difereţiale sau cu difereţe Sudiul uui sisem complex alcăui di mai mule subsiseme iercoecae ese cosiderabil mai simplu auci câd o pare di subsiseme su de ip saic U subsisem ese cosidera de ip saic auci câd are u imp de răspus eglijabil (de cel puţi 8 ori mai mic) faţă de impul de răspus al alui subsisem di cadrul sisemului sudia Sisemul reprezea de circuiul elecric RLC di figura 4 ese u sisem diamic U circui elecric pur rezisiv (forma umai di reziseţe) ese u sisem saic De asemeea u dispoziiv mecaic ip pârghie (perfec rigidă) avâd ca variabile de irare-ieşire deplasările capeelor pârghiei ese u sisem saic U raducor ip ermocuplu deşi are u imp de răspus la o variaţie reapă a emperaurii de ordiul miuelor poae fi cosidera u subsisem de ip saic î cazul uui sisem auoma de reglare a uui cupor ubular de mari dimesiui caraceriza prir-u imp de răspus de ordiul zecilor de miue 4 Siseme moovariabile şi mulivariabile Sisemele moovariabile au o sigură irare şi o sigură ieşire Sisemele mulivariable au cel puţi două irări şi două ieşiri; î plus cel puţi o ieşire ese iflueţaă de miimum două irări Sisemele cu o sigură irare ( m ) şi mai mule ieşiri ( p > ) precum şi sisemele cu mai mule irări ( m > ) şi o sigură ieşire ( p ) po fi reduse la p

11 INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR respeciv m siseme moovariabile Sisemele moovariabile se mai umesc siseme SISO (sigle ipu-sigle oupu iar sisemele mulivariabile se mai umesc siseme MIMO (muli ipu-muli oupu Circuiul elecric de ip RC di figura 5 avâd ca irări esiuile u şi u iar ca ieşiri esiuile v şi v cosiuie u sisem mulivariabil Fig 5 Sisem mulivariabil 5 Siseme deschise şi îchise Sisemele deschise (cu srucură deschisă) su caracerizae prir-u flux de iformaţie uidirecţioal Sisemele îchise (cu srucură îchisă sau cu buclă îchisă) su siseme la care poae fi evideţia u flux de iformaţie bidirecţioal pri care mărimea de ieşire a uui eleme al sisemului iflueţează sarea viioare a elemeului respeciv pri iermediul alor elemee ale sisemului U sisem auoma ese forma di două subsiseme pricipale: procesul (isalaţia) de auomaiza P şi dispoziivul de auomaizare DA (fig 6) Sisemele auomae cu srucurile (a) şi (b) su siseme deschise iar cele cu srucura (c) su siseme îchise Sisemul cu srucura (a) ese u sisem de supraveghere sau moiorizare auomaă (de măsurare şi/sau semalizare) sisemul cu srucura (b) ese u sisem de comadă auomaă î buclă deschisă iar sisemul cu srucura (c) ese u sisem de reglare auomaă î buclă îchisă a procesului P Fig 6 Siseme auomae deschise şi îchise

12 TEORIA SISTEMELOR I cazul sisemului de reglare auomaă dispoziivul de auomaizare DA primeşe iformaţie despre valoarea cureă a mărimii de ieşire a procesului regla P şi pe baza acesei iformaţii geerează comezi coveabile asupra procesului î vederea aducerii şi meţierii mărimii de ieşire Y a procesului (umiă mărime reglaă) la o valoare câ mai apropiaă de cea a mărimii de referiţă R î codiţiile acţiuii perurbaţiei P asupra procesului şi a modificării î imp a mărimii de referiţă R 6 Siseme cu imp mor I cazul sisemelor fizice cu parameri disribuiţi la care vieza de propagare a feomeului ese relaiv redusă (cazul proceselor cu rasfer de masă şi al celor cu rasfer caloric) îre mărimile de ieşire şi mărimile de irare poae fi evideţiaă o îârziere pură de ip imp mor" Asfel dacă mărimea de irare se modifică sub formă de reapă la momeul (fig 7) efecul devie observabil la ieşire îcepâd de la u aumi mome τ > Iervalul de imp τ î care efecul ese isesizabil la ieşire se umeşe imp mor Aaliza şi sieza (proiecarea) sisemele cu imp mor se realizează mul mai dificil decâ la sisemele fără imp mor I cazul cel mai simplu ecuaţiile maemaice ale sisemelor cu imp mor coţi variabila de irare u ( τ ) î locul variabilei de irare u ( U cupor ubular peru îcălzirea perolului avâd ca mărime de irare debiul de produs (sau emperaura de irare a produsului) şi ca mărime de ieşire emperaura produsului la ieşirea di cupor cosiuie u exemplu de sisem cu imp mor Fig 7 Răspusul la irare reapă al uui sisem cu imp mor 7 Siseme cu parameri cosaţi şi variabili Sisemele cu parameri cosaţi (umie şi ivariae) au o srucură fixă şi parameri ieri cosaţi î imp iar sisemele cu parameri variabili (umie şi

13 INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR 3 variae) au cel puţi u parameru ier variabil î imp Sarea uui sisem cu parameri cosaţi afla iiţial î regim saţioar (caraceriza pri cosaţa î imp a uuror variabilelor de irare de sare şi de ieşire) se poae modifica umai di exerior pri acţiuea variabilelor de irare Sisemele cu parameri cosaţi su descrise pri ecuaţii cu coeficieţi cosaţi iar sisemele cu parameri variabili pri ecuaţii cu coeficieţi variabili î imp U exemplu de sisem cu parameri variabili ese cuporul ubular cu flacără direcă uiliza la îcălzirea produsului care circulă pri ubulaură Daoriă feomeului de cocsare a maerialului ubular paramerii de rasfer ermic al căldurii de la flacără la produsul îcălzi se modifică î imp Feomeul de modificare a paramerilor de rasfer ermic ese îsă foare le (fiid sesizabil după ua sau mai mule lui de fucţioare) moiv peru care cuporul ubular ese î mod uzual cosidera cu parameri cosaţi Circuiul elecric di figura 8 cu îrerupăorul I acţioa la aumie momee de imp ese u exemplu de sisem cu srucură variabilă Fig 8 Sisem cu srucură variabilă 8 Siseme cu parameri coceraţi şi disribuiţi Sisemele fizice cu parameri coceraţi su acelea la care se poae cosidera cu suficieă precizie că mărimile fizice asociae oricărui eleme al sisemului au aceeaşi valoare î oae pucele elemeului Sisemele fizice cu parameri disribuiţi su acelea la care cel puţi o mărime fizică asociaă uui eleme dimesioal al sisemului are valori care diferă sesibil de la u puc la alul adică are valori disribuie de-a lugul uei liii î pla sau î spaţiu Deoarece oae obiecele fizice su de ip spaţial peru deermiarea caracerului cocera sau disribui al uui obiec se ţie seama de impul de propagare a feomeului (masei eergiei) pe direcţiile spaţiale ale obiecului care depide de dimesiuile obiecului şi de vieza de propagare

14 4 TEORIA SISTEMELOR Peru exemplificare î imp ce presiuea uui gaz îr-u vas are pracic aceeaşi valoare î oae pucele vasului presiuea uui gaz îr-o coducă de raspor cu lugimea mare are valori diferie de-a lugul raseului Pri urmare primul proces poae fi cosidera cu parameri coceraţi iar cel de-al doilea cu parameri disribuiţi Comporameul diamic al sisemelor coiue cu parameri coceraţi ese descris pri ecuaţii difereţiale ordiare iar cel al sisemelor cu parameri disribuiţi pri ecuaţii difereţiale cu derivae parţiale Avâd î vedere complexiaea formalismului maemaic la sisemele cu parameri disribuiţi î codiţiile î care eroarea de modelare daoraă reuţării la ipoeza de disribuiviae se îcadrează î limie accepabile (ese sub %) se preferă cosiderarea sisemului aaliza ca fiid cu parameri coceraţi I asemeea siuaţii sisemele cu parameri disribuiţi po fi raae î maiera specifică sisemelor cu parameri coceraţi alegâd ca variabile de ieşire mărimi fizice locale asociae uor puce sau poziţii reprezeaive (de obicei exreme) ale obiecului fizic 9 Clasificarea sisemelor auomae Sisemele auomae su siseme ehice de supraveghere comadă şi corol al proceselor şi isalaţiilor ehologice fără ierveţia direcă a omului U sisem auoma (SA) ese alcăui di două părţi pricipale: procesul de auomaiza (P) şi dispoziivul de auomaizare (DA) I uele aplicaţii ese coveabilă o ală srucurare a sisemului auoma: î parea fixaă (PF) şi dispoziivul de comadă (DC) Parea fixaă coţie procesul împreuă cu dispoziivul de execuţie şi dispoziivul de măsurare (raducorul) a) După aura elemeelor di compoeţa dispoziivului de auomaizare şi a semalelor de comuicaţie îre elemee sisemele auomae po fi: elecroice peumaice hidraulice mecaice şi mixe Sisemele elecroice su superioare celorlale î priviţa performaţelor ehice şi a posibiliăţilor de cuplare la echipameele de calcul umeric şi de rasmisie a semalelor la disaţă I mediile cu pericol mare de explozie sisemele elecroice po fi îsă uilizae umai î cosrucţie aiexplozivă sau la pueri foare mici Elemeele peumaice şi hidraulice su uilizae mai ales ca

15 INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR 5 dispoziive de execuţie (acţioare) deoarece permi geerarea pri mijloace simple a uor forţe momee şi pueri relaiv mari fără pericol de explozie Câd sisemul auoma coţie elemee de aură diferiă iercoecarea acesora se face pri iermediul uor elemee coveroare (de ierfaţă) b) După gradul de uiversaliae a elemeelor di compoeţa dispoziivului de auomaizare sisemele auomae po fi uificae sau specializae Sisemele uificae coţi elemee uiversale care fucţioează cu semal uifica (sadard) Sisemele auomae elecroice de puere medie fucţioează cu semal elecroic uifica I 4 ma cc Semalul de ip cure spre deosebire de semalul ip esiue poae fi rasmis fără pierderi la disaţe mari de pâă la m Domeiul de variaţie al semalului uifica ese deplasa faţă de zero asfel îcâ raporul semal uil r zgomo să aibă o valoare ridicaă (peru a avea o rasmisie la disaţă mai puţi iflueţaă de facorii perurbaori) chiar şi î cazul î care semalul uil are valoarea miimă (4 ma) De regulă semalul uifica ese cureul de colecor al uui razisor de puere (fial) Deplasarea faţă de zero a cureului de colecor permie meţierea pucului de fucţioare al razisorului î zoa de amplificare liiară Recepoarele de semal uifica 4 ma su coecae î serie Pri coecarea uei reziseţe de 5 Ω la borele de irare ale fiecărui recepor cureul 4 ma ese rasforma î esiue î gama 5 V Numărul oal de recepoare ese limia peru a u iflueţa valoarea cureului ca urmare a depăşirii puerii şi/sau esiuii maxime a geeraorului I ulimii ai s-au dezvola şi exis reţelele digiale de comuicaţie îre elemeele compoee ale sisemelor auomae (reţele FIELDBUS PROFIBUS ec) care oferă o serie de avaaje ehico-ecoomice cum ar fi: creşerea caliăţii operaţiilor de auomaizare reducerea cosurilor şi a dimesiuilor posibiliaea ierfaţării elemeelor ieligee la ivelul raducoarelor şi elemeelor de execuţie creşerea flexibiliăţii siguraţei î fucţioare ec

16 6 TEORIA SISTEMELOR Sisemele auomae peumaice de presiue medie fucţioează cu semal peumaic uifica î gama P bar; bar 5 Pa (N/m ) kgf/cm Presiuea de bar u implică probleme deosebie de eaşare şi ici cosum eergeic ridica peru prepararea aerului isrumeal de alimeare a dispoziivelor peumaice uificae (aer di amosferă curăţa de impuriăţi usca şi comprima la 4 bar); î acelaşi imp presiuea de bar ese suficie de mare peru a crea forţe de ordiul suelor sau miilor de kgf (pri iermediul uor membrae circulare cu raza de 5 4 cm) ecesare î comada şi acţioarea robieelor de reglare Sisemele auomae specializae su uilizae î cazul uor auomaizări de complexiae mai redusă câd u se pue problema rasmierii semalelor la mare disaţă Acesea su de obicei siseme simple şi robuse fără eergie auxiliară c) I rapor cu fucţia îdepliiă sisemele auomae se clasifică î: - siseme auomae de supraveghere sau moiorizare (pri măsurare şi/sau semalizare); - siseme auomae de proecţie; - siseme auomae de comadă cu program fix (presabili; - siseme auomae de reglare î buclă deschisă la care comada ese elaboraă umai pe baza valorilor uor mărimi de ip cauză (cu rol de referiţă sau de ip perurbaţie); - siseme auomae de reglare î buclă îchisă la care comada ese elaboraă î pricipal pe baza valorilor uei mărimi de ip efec (de ieşire a procesului); - siseme auomae de coducere (pri supraveghere proecţie comadă presabiliă reglare) Măsurarea ese o operaţie caiaivă î imp ce semalizarea ese o operaţie caliaivă Pri măsurarea uei mărimi fizice se deermiă valoarea aceseia iar pri semalizare se deermiă (pri mijloace opice şi acusice) sarea mărimii fizice respecive (care poae fi ormală sau de depăşire) Sarea uei mărimi fizice se defieşe pri raporare la o limiă de semalizare care poae fi superioară (de exemplu 9 %) sau iferioară (de exemplu 5 %) Exisă siuaţii î care uei mărimi fizice i se asociaă două siseme de semalizare peru depăşirea limiei superioare de semalizare şi peru scăderea sub limia iferioară de semalizare

17 INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR 7 Proecţia auomaă presupue oprirea (blocarea) parţială sau oală a procesului (isalaţiei) auci câd o mărime de ieşire a procesului iese î afara domeiului admisibil de fucţioare afecâd caliaea produsului fii şi/sau securiaea isalaţiei şi persoalului de operare Exisă siuaţii î care uei mărimi fizice i se asociaă două siseme de proecţie peru depăşirea limiei superioare de proecţie şi peru scăderea sub limia iferioară de proecţie Limia superioară de proecţie ese mai mare decâ limia superioară de semalizare (de exemplu 95 % limia de proecţie şi 9 % limia de semalizare) Sisemele auomae cu comadă presabiliă su siseme cu srucură deschisă la care elemeul de coducere geerează semal de comadă după u program presabili Sisemele clasice de semaforizare a uei iersecţii ruiere su exemple de siseme cu comadă presabiliă deoarece impii de semaforizare su apriori fixaţi deci au valori idepedee de sarea cureă a raficului ruier Reglarea auomaă a uui proces cosă î aducerea şi meţierea mărimii de ieşire a procesului la valoarea sau î veciăaea uei mărimi de referiţă î codiţiile modificării î imp a mărimii de referiţă şi a acţiuii perurbaţiilor asupra procesului regla Sisemele de reglare după perurbaţie su siseme deschise care sesizează cauza perurbaoare (perurbaţia) şi aicipâd efecul aceseia asupra mărimii reglae (de ieşire a procesului) iervie asupra procesului (î paralel simula cu acţiuea perurbaoare) peru a geera u efec opus (egal şi de sem corar) asupra mărimii reglae Sisemele de reglare după abaere su siseme îchise care sesizează efecul (abaerea mărimii reglae î rapor cu mărimea de referiţă) şi iervie asupra procesului peru a reduce şi elimia abaerea respecivă idifere de cauza care a geera-o (acţiuea uei perurbaţii asupra procesului sau modificarea mărimii de referiţă) Sisemele de reglare î buclă îchisă su mai robuse mai sigure şi mai precise decâ cele î buclă deschisă deoarece elemeul de coducere realizează operaţii permaee de auocorecţie pe baza iformaţiei referioare la valoarea cureă a mărimii reglae (de ieşire a procesului) U sisem de semaforizare î buclă îchisă are impii de semaforizare ajusabili î fucţie de sarea cureă a raficului ruier pe oae arerele iersecţiei măsurabilă î imp real cu ajuorul camerelor video echipae cu programe performae de procesare a imagiii

18 8 TEORIA SISTEMELOR 3 APLICAŢII Aplicaţia Trasferul irare-sare al uui sisem coiuu cu irarea u şi sarea x ese descris de ecuaţia difereţială cu coeficieţi cosaţi d x ax + bu R d Să se arae că sisemul are fucţia de raziţie a sării a( ) a( ) u τ ϕ( ; x u()) e x + b e ( τ ) dτ Soluţie Imulţid ambii membri ai ecuaţiei difereţiale cu expoeţiala succesiv e a a e ( x ax) be u a a (e x) be u a τ (e ) a x d b e u( τ ) dτ a a aτ x ( e x( ) b e u( τ ) dτ a( ) τ ( ) e a( ) x x + b e u( τ ) dτ Se poae verifica uşor că fucţia de raziţie verifică proprieaea de cosiseţă ϕ ( x u x ; ()) a e obţiem Aplicaţia Trasferul irare-sare al uui sisem discre cu irarea u şi sarea x ese descrisă de ecuaţia cu difereţe x ( + ) ax( + bu( Z Să se arae că sisemul are fucţia de raziţie a sării Soluţie Avem x i ϕ ( ; x u()) a x + b a u( i) i x + ) ax( ) + bu( ) ( ( + ) a x( ) + abu( ) + bu( + x ) ( + k k k k) a x( ) + a bu( ) + a bu( + ) + + bu( + k ) I ulima relaţie îlocuid pe k cu obţiem

19 INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR 9 x ( a x( ) + a bu( ) + a bu( + ) + + bu( ) Aplicaţia 3 U sisem elecroic uifica de măsurare a presiuii are domeiul P 4 bar şi semalul de ieşire I 4 ma a) Care ese valoarea presiuii P dacă I ma? b) Care ese valoarea cureului de ieşire I dacă presiuea ese P 5 bar? Soluţie Corespodeţa dire valorile mărimii măsurae şi cele ale semalului uifica poae fi sabiliă uşor pe baza exprimării proceuale a ambelor mărimi valoarea proceuală P * a mărimii măsurae fiid egală cu valoarea proceuală I * a semalului uifica Valoarea proceuală se obţie pri raporarea variaţiei mărimii (faţă de limia iferioară a domeiului) la lugimea domeiului de măsurare: P * P % 3 4 I * I % 6 Di P * I * rezulă (a) Presiuea are valoarea (b) Cureul are valoarea 5 P + ( I 4) 8 8 I 4+ ( P ) 5 5 P + ( 4) 5 bar 8 8 I 4 + (5 ) bar 5 3

20 REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR Comporameul uui sisem î regim diamic (care iclude regimul saţioar şi regimul razioriu) poae fi descris cu ajuorul uui model maemaic forma di ecuaţii algebrice şi di ecuaţii difereţiale sau cu difereţe după cum sisemul ese cu imp coiuu sau discre I eoria sisemelor se uilizează două moduri disice de reprezeare maemaică a sisemelor î domeiul impului: pri ecuaţii de ip I-E (irare-ieşire) şi pri ecuaţii de ip I-S-E (irare-sare-ieşire) Caracerizarea pri ecuaţii de ip I-E implică u formalism maemaic apare mai simplu care îsă u pue î evideţă oae aspecele referioare la srucura ieră a sisemului Asfel la u sisem coiuu diamic de ip I-E valoarea ieşirii y la momeul poae fi deermiaă pe baza irării u [ ] şi a uor codiţii iiţiale ( y () y () ec) I acelaşi scop la u sisem coiuu diamic de ip I-S-E î locul codiţiilor iiţiale se uilizează sarea iiţială X a sisemului Cocepele de sare şi de sisem I-S-E su eseţiale î eoria moderă a sisemelor I geeral umărul al variabilelor de sare adică dimesiuea vecorului de sare X deermiă dimesiuea sau ordiul sisemului Reprezearea maemaică a sisemelor diamice coiue cu parameri disribuiţi se face pri ecuaţii difereţiale cu derivae parţiale deoarece î afara variabilei emporale mai iervie cel puţi ua dire variabilele spaţiale x y z Acese siseme fac pare di caegoria sisemelor ifii dimesioale Modelul uui sisem cu imp mor se obţie î cazul cel mai simplu di modelul sisemului fără imp mor pri îlocuirea fucţiei de irare u ( cu u ( τ ) ude τ ese valoarea impului mor

21 REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR MODELAREA SISTEMELOR Modelul maemaic al uui sisem ese u se de relaţii şi ecuaţii maemaice care permi descrierea comporameului sisemului adică rasferul irare-ieşire sau irare-sare-ieşire Uui sisem diamic (cu memorie) i se poae asocia u model diamic - peru caracerizarea regimului de fucţioare diamic şi u model saţioar - peru caracerizarea regimului de fucţioare saţioar Regimul saţioar poae fi de ip saic (câd variabilele sisemului su cosae î imp) sau de ip permae (câd forma de variaţie î imp a variabilelor sisemului ese cosaă - de ip rampă de ip siusoidal ec) I coiuare vom cosidera modelul saţioar ca fiid asocia regimului saţioar de ip saic Modelele sisemelor saice (fără memorie) şi modelele saţioare ale sisemelor diamice su cosiuie di ecuaţii algebrice î imp ce modelele sisemelor diamice su cosiuie di ecuaţii difereţiale (la sisemele coiue) sau di ecuaţii cu difereţe (la sisemele discree) Modelul diamic iclude şi modelul saţioar ulimul puâd fi obţiu di primul prir-o paricularizare coveabilă (pri aularea derivaelor de imp ale variabilelor la sisemele coiue respeciv pri egalarea valorilor fiecărei variabile la oae momeele de imp la sisemele discree) Modelul saţioar (de ip saic) u coţie variabila imp Sisemelor liiare le corespud modele liiare (formae di ecuaţii liiare) iar sisemelor eliiare - modele eliiare (care coţi cel puţi o ecuaţie eliiară) I majoriaea aplicaţiilor pracice peru simplificarea formalismului maemaic sisemelor cu eliiariăţi slabe li se asociază modele liiare sau liiarizae pe porţiui ale domeiului de lucru Modelarea uui sisem fizic adică operaţia de obţiere a modelului maemaic se poae efecua pri meode aaliice experimeale sau mixe Simularea ese operaţia de descriere a comporameului uui sisem pe baza modelului acesuia Precizia de simulare ese daă î pricipal de precizia şi acuraeţea modelului maemaic Idifere de meodă operaţia de modelare se bazează pe luarea î cosideraţie a uor ipoeze de lucru cu rol simplificaor După modul de alegere a ipoezelor simplificaoare şi gradul de cocordaţă a acesora cu feomeul real modelul

22 TEORIA SISTEMELOR obţiu ese mai simplu sau mai complex reflecâd realiaea fizică cu u grad de precizie mai mare sau mai mic Dacă umărul ipoezelor simplificaoare luae î cosideraţie ese mare auci modelul obţiu ese simplu robus uşor de prelucra şi de ierprea dar mai puţi precis Nici modelele foare complicae u su recomadae daoriă lipsei de acuraeţe î deermiarea uor parameri a imposibiliăţii calculului aaliic a erorilor de roujire şi ruchiere care apar î procesarea umerică ec Modelarea aaliică a sisemelor ehice se efecuează pe baza legilor geerale şi pariculare care guverează feomeele fizico-chimice specifice ale sisemului real (legea coservării masei/volumului/eergiei/impulsului/sarciii elecrice legile echilibrului fizico-chimic ec) Legea coservării masei ese aplicaă frecve î forma Q dma ( Qm ( () d m ( care exprimă fapul că difereţa dire debiul masic de irare Q m şi debiul masic de ieşire Q m ese egală cu vieza de variaţie a masei acumulae m a Relaţia () se obţie pri derivarea î rapor cu variabila a ecuaţiei de bilaţ maerial m m ( m ( ) ( a ude m ( ) m ( şi m a ( repreziă respeciv masa iraă masa ieşiă şi masa acumulaă î iervalul de imp [ ] Ecuaţia de bilaţ maerial () poae fi exisă la bilaţul eergeic cu observaţia că î cazul reacţiilor chimice rebuie să se ţiă seama şi de căldura degajaă sau absorbiă pri reacţie I cazul sisemului reprezea de amesecăorul de produse lichide di figura cosiderăm că aria secţiuii orizoale a vasului ese cosaă (egală cu A) iar debiele volumice Q Q şi Q po fi modificae î mod idepede cu ajuorul uor pompe cu piso reglabile I coseciţă cele rei debie su mărimi de irare ale sisemului iar ivelul h şi desiaea ρ su mărimi de ieşire Peru obţierea modelului aaliic accepăm urmăoarele două ipoeze simplificaoare: a) lichidele su icompresibile (u coţi gaze dizolvae); b) amesecarea ese perfecă adică desiaea ρ are aceeaşi valoare î oae pucele amesecului

23 REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR 3 Aplicâd legea coservării masei sub forma () şi apoi î mod similar legea coservării volumului avem d( hρ) ρ Q + ρ Q ρq A () d dh Q + Q Q A (3) d Di acese relaţii rezulă urmăorul model al sisemului: dh A Q + Q Q d d Ah ρ (4) + ( Q + Q) ρ ρq + ρq d Fig Amesecăor cu debie comadabile (cu ajuorul pompelor) Di forma modelului obţiu reiese că sisemul ese diamic deermiis eliiar (cu prima ecuaţie liiară iar a doua eliiară) cu parameri coceraţi şi fără imp mor Dacă scurgerea amesecului di vas are loc liber (fig ) debiul evacua Q depide de presiuea hidrosaică deci de ivelul h Pri urmare debiul Q se rasformă di variabilă de irare î variabilă de ieşire I regim lamiar de curgere corelaţia ivel-debi evacua are forma liiară iar î regim urbule are forma eliiară Q α h (5) Q β h (6)

24 TEORIA SISTEMELOR 4 ude α şi β su coeficieţi depedeţi de vâscoziaea lichidului de forma şi dimesiuile elemeului oburaor al robieului I regim lamiar de curgere corelaţia ivel-debi evacua are forma liiară Q α h (5) iar î regim urbule are forma eliiară h Q β (6) ude α şi β su coeficieţi depedeţi de vâscoziaea lichidului de forma şi dimesiuile elemeului oburaor al robieului Fig Amesecăor cu scurgere liberă Tiâd seama de acese relaţii obţiem modelul de regim lamiar h Q Q Q Q Q Ah Q Q h h A α ρ ρ ρ ρ α ) ( d d d d (7) respeciv modelul de regim urbule h Q Q Q Q Q Ah Q Q h h A β ρ ρ ρ ρ β ) ( d d d d (8)

25 REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR 5 Pri aularea derivaelor di (7) rezulă modelul saţioar de regim lamiar h Q Q Q Q Q Q Q h α ρ ρ ρ α ) ( (9) iar di (8) rezulă modelul saţioar de regim urbule h Q Q Q Q Q Q Q h β ρ ρ ρ β ) ( () I cazul î care amesecăorul coţie u deversor peru meţierea cosaă a ivelului (hh ) sisemul are ca variabile de irare debiele Q şi Q iar ca variabile de ieşire debiul Q şi desiaea ρ (fig 3) Tiâd seama de (4) rezulă modelul d d Q Q Q Ah Q Q Q ρ ρ ρ ρ () Gradul de complexiae al sisemului creşe auci câd o pare a debiului de ieşire ese recirculaă (reirodusă î vas) Fig 3 Amesecăor cu deversor Modelarea experimeală (umiă şi ideificare) presupue efecuarea uor ese direce asupra sisemului fizic permiţâd fie ideificarea globală a

26 6 TEORIA SISTEMELOR sisemului (cazul sisemelor de ip black box) fie umai deermiarea valorii uor parameri ai modelului auci câd se cuoaşe srucura şi forma modelului (di modelarea aaliică) Peru exemplificare să cosiderăm u sisem fizic (proces) afla iiţial î regim saţioar (cu irarea u şi ieşirea y ule peru < ) şi să presupuem că î urma modificării reapă a mărimii de irare u( α ( răspusul y ( deermia experimeal are forma di figura 4 Fig 4 Răspusul la irare reapă al sisemului de îârziere de ordiul uu Avâd î vedere forma cocav-moooică a răspusului sisemului i se poae asocia modelul d y T + y Ku () d î care β T K T α 3 95 T sau T 4 98 (3) ude T 95 şi T 98 repreziă impul î care mărimea de ieşire devie egală cu 95 % respeciv 98 % di valoarea sa fială Expresia facorului de proporţioaliae K rezulă imedia di modelul saţioar y Ku (obţiu di modelul diamic () pri aularea derivaei ieşirii y ) aplica regimului saţioar fial (eoreic peru ) cîd u α şi y β De asemeea expresiile facorului K şi cosaei de imp T rezulă di soluţia ecuaţiei difereţiale () peru u α şi y ( ) aume T y( α K( e ) (4) I cazul sisemelor auomae ese dificil să se realizeze modelarea experimeală a procesului propriu-zis fiid mai coveabil să se efecueze modelarea experimeală a părţii fixae formae di proces eleme de execuţie şi raducor

27 REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR 7 Modelarea mixă îmbiă meodele şi procedeele de ip aaliic cu cele de ip experimeal O variaă de modelare mixă ese aceea î care forma modelului ese deermiaă pe cale aaliică iar uii parameri ecuoscuţi sau cu u grad ridica de iceriudie su deermiaţi pe cale experimeală SISTEME CONTINUE DE TIP I-E I cazul uui sisem liiar şi cu parameri cosaţi modelul diamic are forma primară (sadard) a y ( ) ( ) ( r) ( r ) + a y + + a y + a y b u + b u + + b u + b u (5) r r ude a i şi b i su coeficieţi cosaţi ( a ) La sisemele cu parameri variabili cel puţi u coeficie a i sau b i ese variabil î imp Pri coveţie variabila de irare u şi cea de ieşire y repreziă variaţiile mărimilor fizice corespuzăoare ale sisemului real faţă de valorile lor iiţiale Pri urmare dacă sisemul se află î regim saţioar îaie de momeul iiţial auci oae variabilele sisemului su ule peru < (su de ip origial) Sisemele liiare su proprii peru r (sric proprii peru r < şi semiproprii peru r ) şi respeciv improprii peru r > Sisemele improprii u verifică riguros pricipiul cauzaliăţii Asfel î cazul r + peru irarea reapă uiară u ( mărimea de ieşire va coţie compoea improprie b yim δ ( ) a ude δ ( ) ese fucţia impuls Dirac Fig 5 Fucţia impuls Dirac δ ( ) Deoarece sisemele fizice saisfac pricipiul cauzaliăţii ele su siseme proprii Sisemele cu modele improprii su deci irealizabile fizic Ueori îsă

28 8 TEORIA SISTEMELOR peru simplificarea formalismului maemaic î aaliza şi sieza uor siseme compuse po fi uilizae şi subsiseme improprii dar umai î codiţiile î care caracerul impropriu al acesora ese euraliza de caracerul sric propriu al alor subsiseme îveciae Sisemele sric proprii saisfac î mod sric pricipiul cauzaliăţii rasferul irare-ieşire realizâdu-se cu îârziere srică Sisemele semiproprii saisfac la limiă pricipiul cauzaliăţii ieşirea acesora coţiâd o compoeă pri care rasferul irare-ieşire se realizează isaaeu (fără îârziere) I cazul r sisemul ese semipropriu de ip saic (de ordiul zero fără memorie) Pri aularea uuror derivaelor irării u şi ieşirii y di modelul diamic (5) se obţie modelul saţioar y K u (6) cu facorul de proporţioaliae K b /a Dacă la irarea sisemului se aplică u semal de ip reapă iar răspusul sisemului ide spre o valoare fiiă auci deosebim două regimuri saţioare: u regim saţioar (rivial) peru < î care u şi y şi u regim saţioar fial peru suficie de mare (eoreic peru ) Ambele regimuri saţioare su descrise de modelul saţioar (6) I cazul a şi b î care paa K a caracerisicii saice ese fiiă şi eulă (caracerisica saică ese o dreapă oblică) sisemul ese de ip proporţioal Majoriaea sisemelor fizice su siseme de ip proporţioal Răspusul la irare reapă al uui sisem proporţioal (sabil) se sabilizează la o valoare fiiă şi eulă I cazul a şi b sisemul ese de ip iegral Sisemul pur iegral are modelul a y bu echivale cu b y ud (7) a Răspusul uui sisem pur iegral la o irare reapă ese de ip rampă (cu paa cosaă peru ) Sisemele de ip pur iegral su siseme cu caracer persise deoarece ieşirea y se sabilizează umai auci câd irarea u ese ulă I geeral răspusul la irare reapă al uui sisem iegral (sabil) ide asimpoic la o dreapă oblică fiid de ip rampă îârziaă

29 REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR 9 U rezervor cu aria rasversală cosaă A avâd ca irări debiul volumic de lichid admis Q şi debiul volumic de lichid evacua Q iar ca ieşire ivelul h ese pur iegral pe ambele caale Q h şi Q h : h A ( Q Q ) d + h A ( Q ) d Δh ΔQ Δ I cazul a şi b sisemul ese de ip derivaiv U sisem de ip derivaiv are modelul saţioar y Deoarece variabila de ieşire y are valoarea ulă î regim saţioar răspusul la irare reapă al uui sisem derivaiv (sabil) se sabilizează la valoarea Modelul b y u a d (8) d caracerizează u sisem pur derivaiv impropriu iar modelul d y a a y b du d + d (9) caracerizează u sisem semipropriu de ip derivaiv U codesaor elecric ideal cu capaciaea C avâd ca irare esiuea u şi ca ieşire cureul i ese u sisem pur derivaiv cu modelul impropriu i C du d U circui serie de ip RC avâd ca irare esiuea globală u şi ca ieşire cureul i ese u sisem derivaiv semipropriu cu modelul RC di + i C du () d d Pe baza pricipiului superpoziţiei modelul primar () ese echivale cu urmăorul model secudar: aw + a w + + aw + aw u () y b w + + bw+ b w () ( ) () r r Sric maemaic se poae verifica fapul că ecuaţia (5) devie ideiae pri îlocuirea variabilelor u şi y di () î fucţie de derivaele variabilei w Deoarece u coţie derivae ale mărimii de irare u modelul secudar poae fi uiliza şi peru irări ederivabile sau chiar discoiue

30 3 TEORIA SISTEMELOR O a reia formă de reprezeare maemaică î domeiul impului a sisemelor coiue liiare moovariabile şi cu parameri cosaţi o cosiuie modelul de covoluţie y( g( τ ) u( τ )dτ () ude g ( ese aşa umia fucţie podere reprezeâd răspusul sisemului la fucţia de irare impuls Dirac u δ ( Fucţia podere poae fi obţiuă di fucţia idicială defiiă ca fiid răspusul sisemului la irarea ip reapă uiară u ( - figura 6 Ire fucţia podere g ( şi fucţia idicială h ( exisă relaţiile dh( h( g( τ ) dτ g( (3) d Acese relaţii su coseciţe ale pricipiului superpoziţiei şi relaţiei îre cauze ( δ ( τ ) dτ Fig 6 Fucţia reapă uiară Modelul de covoluţie poae fi uşor dedus di pricipiul superpoziţiei coform căruia dacă îre două cauze exisă o aumiă formă de corelaţie auci aceeaşi formă de corelaţie se păsrează şi îre efece I cazul osru îre irarea pariculară δ ( ) şi irarea arbirară u ( exisă relaţia u( δ ( τ ) u( τ )dτ iar irărilor δ ( ) şi u ( le corespud respeciv răspusurile g ( ) şi y ( Modelul de covoluţie () ese foare impora di puc de vedere eoreic deoarece are o formă mul mai compacă decâ cele ale modelului primar (5) şi modelului secudar () care sugerează posibiliaea deducerii uui model diamic cu forma similară celei a modelului saţioar (6) Ir-adevăr pri aplicarea rasformării Laplace ambilor membri ai modelului de covoluţie () se obţie modelul operaţioal (complex)

31 REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR 3 Y ( s) G( s) U ( s) (4) î care U (s) Y (s) şi G (s) su respeciv rasformaele Laplace ale fucţiilor de ip origial u ( y ( şi g ( Fucţia G (s) se umeşe fucţie de rasfer Daoriă formei sale simple modelul operaţioal ese cel mai frecve uiliza î sudiul sisemelor liiare coiue Fucţia podere g ( şi fucţia de rasfer G (s) îglobează oae proprieăţile şi caracerisicile diamice ale sisemului fiid deci echivalee ale paramerilor a i şi b i di compoeţa modelului primar (5) şi modelului secudar () 3 SISTEME DISCRETE DE TIP I-E Dacă sisemul ese liiar şi cu parameri cosaţi modelul diamic are forma primară (sadard) a y + a y( ) + + a y( ) b u( + b u( ) + + b u( ) (5) ( r r ude a i şi b i su coeficieţi cosaţi ( a ) Pri îlocuirea variabilei cu variabila (îreagă) k Z modelul primar poae fi scris sub forma simplificaă k k + + a yk bu k + b uk + + a y + a y b u (6) r k r Sisemul cu modelul (5) sau (6) ese propriu (sric propriu dacă b respeciv semipropriu dacă b ) La sisemele semiproprii rasferul irareieşire coţie şi o compoeă isaaee De exemplu î cazul irării reapă uiară u ( - figura 7 compoea isaaee a mărimii de ieşire ese o o reapă cu expresia b y is () () a care rezulă di fapul că răspusul idicial are valoarea iiţială y() b / a Fig 7 Fucţia discreă ip reapă uiară

32 3 TEORIA SISTEMELOR I regim saţioar câd variabilele de irare şi de ieşire au valori cosae la oae momeele de imp di modelul diamic (6) sau (7) obţiem modelul saţioar y Ku (7) cu facorul de proporţioaliae b + b + + br K (8) a + a + + a I cazul K fii şi eul ( a + a + + a şi b + b + + br ) î care caracerisica saică ese o dreapă oblică sisemul ese de ip proporţioal I cazul a + a + + a şi b + b + + br sisemul ese de ip iegral Sisemul pur iegral are modelul y ( y( ) bu ( (9) I cazul K ( a + a + + a şi b + b + + br ) sisemul ese de ip derivaiv Sisemul pur derivaiv are modelul a y( u( u( ) (3) I coformiae cu pricipiul superpoziţiei modelul primar (5) poae fi scris sub forma secudară echivaleă aw( + aw( ) + + aw( ) u( (3) y( b w( + b w( ) + + b w( r) O a reia formă de reprezeare maemaică î domeiul impului a sisemelor discree liiare moovariabile o cosiuie modelul de covoluţie i r y( g( i) u( i) (3) ude g ( ese fucţia podere reprezeâd răspusul sisemului la fucţia de irare ip impuls uiar u δ ( - figura 8 Modelul de covoluţie (3) poae fi uşor dedus di pricipiul superpoziţiei ţiâd seama că îre cauzele δ ( ) şi u ( exisă relaţia u( i δ ( i) u( i)

33 REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR 33 Fig 8 Fucţia discreă ip impuls uiar Ire fucţia podere g ( şi fucţia idicială h ( (defiiă ca fiid răspusul sisemului la irarea reapă uiară u ( ( - figura 7) exisă relaţiile g ( h( h( ) h ( g() + g() + + g( (33) Acese relaţii su coseciţe ale pricipiului superpoziţiei şi relaţiilor îre cauze δ ( ( ( ) ( ) δ ( + δ ( ) + + δ () Di modelul de covoluţie (33) pri aplicarea rasformării Z se obţie modelul operaţioal (complex) Y ( z) G( z) U ( z) (34) î care U (z) Y (z) şi G (z) su respeciv rasformaele Z ale fucţiilor de ip origial u ( y ( şi g ( Modelul diamic operaţioal (34) are aceeaşi formă (simplă) ca a modelului saţioar (7) şi a modelului operaţioal (4) al sisemelor coiue 4 SISTEME CONTINUE DE TIP I-S-E Modelul geeral irare-sare-ieşire (I-S-E) al uui sisem cu imp coiuu cu parameri coceraţi are urmăoarea formă: m î care U( :R R ese fucţia de irare m X ( f ( X ( U( ) (35) Y( g( X ( U( ) X ( :R R ese fucţia de sare şi Y( :R R ese fucţia de ieşire La sisemele coiue (eede) fucţiile f şi g su coiue î rapor cu X şi U iar la sisemele discoiue cel puţi ua dire fucţiile f şi g ese discoiuă î rapor cu X sau U

34 TEORIA SISTEMELOR 34 Prima ecuaţie a modelului (36) ese ecuaţia sării iar cea de-a doua - ecuaţia ieşirii Deoarece ecuaţia sării ese de ip difereţial sarea X urmăreşe variaţiile irării U cu îârziere U sisem coiuu liiar are modelul sub forma ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( +DU CX Y +BU AX X (36) ude ) ( A ese maricea păraă a paramerilor de sare ) ( m B - maricea paramerilor de irare ) ( p C - maricea paramerilor de ieşire şi ) ( m p D - maricea paramerilor de rasmisie direcă I cazul D sisemul ese sric propriu La sisemele cu parameri cosaţi maricele A B C şi D su cosae î imp ce la sisemele cu parameri variabili cel puţi ua dire acesea ese fucţie de Ecuaţiile (36) po fi scrise explici (pe compoee) asfel : m m m u u b b b b + x x a a a a x x m pm p m p p p u u d d d d + x x c c c c y y Pri coveţie variabilele de irare de sare şi de ieşire ale uui sisem liiar u repreziă valorile absolue ale mărimilor fizice corespuzăoare ale sisemului real ci variaţiile acesora faţă de valorile lor iiţiale La sisemele moovariabile (cu o sigură irare şi o sigură ieşire) B ese marice coloaă C ese marice liie iar D ese scalar : u b b + x x a a a a x x