- 1 - Kafli 1 Vigrar

Transcript

1 - - Kfli Vigrr Mörg fyrirbæri í náttúrunni hf bæði stærð og stefnu svo sem krftur, færsl, hrði, hröðun og skriðþungi. Þessum fyrirbærum er lýst í stærðfræðinni með strikum sem hf stefnu, þ.e. örvum, sem kllst vigrr (vektorr). Orðið vigur þýðir spjót. Hér er mynd f tveimur vigrum. Vigrr eru táknðir með litlum feitletruðum bókstöfum svo sem, b, c eð með litlum bókstöfum með striki eð ör yfir (, b, c ) eð AB, BC, CD, þr sem fyrri bókstfurinn er upphfspunkur og seinni bókstfurinn endpunktur vigursins (oddurinn á örinni). Þnnig er A upphfspunktur og B endpunktur vigursins AB og stefnn er frá A til B. Í textnum, sem hér fer á eftir, er ýmist notuð feitletrun eð yfirstrikun til ð tákn vigr. Vigurinn BA er jfnlngur AB en hefur ggnstæð stefnu. Vigrr sem eru jfnlngir en hf ggnstæð stefnu kllst ggnstæðir vigrr. Sá vigur sem er ggnstæður AB er einnig táknður AB ( þ.e. AB =BA )

2 - - Vigur sem hefur lengdin núll kllst núllvigur (táknður 0 ). Hnn hefur eng stefnu og lítur út eins og punktur. Allir vigrr sem hf sm upphfs- og endpunkt svo sem AA, BB,.. eru núllvigrr. Vigur sem hefur lengdin kllst einingrvigur. Lengd vigurs er jákvæð tl (nem vigurinn sé núllvigur en þá er lengdin tln 0) og er hún táknuð með tveimur lóðréttum strikum. Þnnig er lengd vigursins táknuð með. Ekki má rugl smn vigrinum þ.e. örinni og lengd vigursins sem er tl. Vigur ákvrðst eingöngu f stærð sinni og stefnu þnnig ð tveir vigrr eru jfnir (eins) ef þeir eru jfnlngir og með sömu stefnu. Þett hefur í för með sér ð hægt er ð fær vigr til og lát hvð punkt sem er ver upphfspunkt. Dæmi. Á myndinni sjást sex eins smsíðungr. Finndu ll vigr á myndinni sem eru jfnir vigrinum AF. Lusn: BG, CH, EJ, FK og GL. Smlgning vigr Í náttúrunni leggjst vigrr smn. Þegr mður gengur úti í vindi eykst hrðinn ef vindurinn er í bkið en tefur för þegr á móti blæs. Ef báti er róið yfir á þrf ð stefn upp í struminn ef lend skl á bkknum beint á móti. Í báðum þessum dæmum leggjst vigrr smn. Hrði mnnsins og hrði vindsins í fyrr dæminu og strumhrði vtnsins og hrði bátsins í seinn dæminu. Hér á eftir fer skilgreining á smlgningu vigr. Ef AB og b BC þá er b AB BC AC

3 - - Tktu vel eftir ð endpunktur AB er upphfspunktur BC. Til ð hægt sé ð sýn smlgningun b á mynd þrf sem sé vigurinn b ð ver í frmhldi f líkt og verið sé ð leggj einstefnukstursveg úr tveimur vegrspottum. Útkomn úr smlgningunni þ.e. vigurinn b er svo örin frá upphfspunkti til endpunkts b. Dæmi. Gefnir eru tveir vigrr og b. Sýndu smlgningun b á mynd. Lusn: Teiknum vigurinn b í frmhldi f. Teiknum svo ör með stefnu frá upphfspunkti til endpunkts b. (Sjá mynd.) Venjulegr reiknireglur gild um smlgningu vigr, þ.e. víxlregl og tengiregl. Víxlregl: b = b Tengiregl: b c b c Sönnun á víxlreglu. Vigrrnir og b mynd smsíðung (sjá mynd). Nú fæst og b = AB BC AC b = AD DC AC þr með gildir ð b = b

4 - 4 - Dæmi. Reiknðu AB CA BD. Lusn: Ekki er hægt ð leggj vigrn smn í þessri röð en ef við víxlum röðinni á AB og CA mynd vigrrnir smfelldn einstefnuveg frá C til D þ.e. AB CA BD CA AB BD CD. Athugsemd: Hægt er ð reikn dæmið þótt lengdir vigrnn séu ekki gefnr og ekki stefnurnr heldur. Innskotsregln Sé smlgningin AB BC AC skrifuð fturábk þ.e. AC AB BC gengur formúln undir heitinu innskotsregln og er sgt ð B sé innskotspunktur. Lít má svo á ð verið sé ð velj sér ðr leið milli A og C en bein leið með því ð skjót inn millipunkti. Ferðlgið frá A til B og þðn yfir í C gefur sömu heildrfærslu og bein leiðin frá A til C. Innskotspunkturinn getur verið hvð punktur sem er og sm gildir um punktn A og B. Dæmi.4 Notðu innskotspunktinn R til ð fr frá P til Q. Lusn: PQ PR RQ Lengdir vigrnn leggjst ekki smn þegr vigrr eru lgðir smn. Leiðin frá P til R og þðn til Q er lengri en leiðin beint frá P til Q (nem þegr R er á milli P og Q). Frádráttur vigr Þegr drg á vigur b frá vigri er ggnstæði vigur b (þ.e. frádrátturinn breytist í smlgningu: b ) lgður við þnnig ð b ( b)

5 Dæmi. Sýndu frádráttinn Lusn: Teiknum vigurinn - - b á mynd. Útkomn er örin frá upphfspunkti til endpunkts b, þ.e. vigur sem er ggnstæður b, í frmhldi f. b. Blndð mrgfeldi Hægt er ð mrgfld smn vigur og tölu. Þð kllst blndð mrgfeldi. Ef mrgfeldistln er jákvæð helst stefn vigursins óbreytt en stefnn snýst við þ.e. verður ggnstæð ef tln er neikvæð. Ef er einhver vigur þá eru,, o.s.frv. vigrr sem hf sömu stefnu og en eru tvöflt, þreflt og fimmflt lengri og 0, hefur sömu stefnu og en lengd hns er helmingur f lengd. Vigrrnir, o.s.frv. eru lík tvöflt og þreflt lengri en en hf ggnstæð stefnu. Vigurinn Hnn er jfnlngur og en með ggnstæð stefnu ( og er ritður. eru ggnstæðir vigrr). Almennt er t vigur með sömu stefnu og ef t er jákvæð tl og lengd hns er t-föld lengd en ef t er neikvæð hf t og ggnstæð stefnu. Dæmi.6 Vigurinn hefur lengdin (þ.e. ). Finndu vigur sem er 6 ð lengd og hefur stefnu sem er ggnstæð stefnu. Lusn: Vigurinn hefur ggnstæð stefnu við og er þreflt lengri þ.e. 6 ð lengd.

6 - 6 - Vigrr í hnitkerfi Ef og b eru tvær tölur á tlnlínunni er færsln frá til b tln b. Færsl til hægri (í stefnu tlnlínunnr) er jákvæð en færsl til vinstri neikvæð. Færsl er dæmi um fyrirbæri sem er vigur og má lít á færslu á milli tveggj tln á tlnlínu sem vigur. Hér á eftir verður fjllð um færslu á milli tveggj punkt í hnitkerfi. Sérhverj færslu milli tveggj punkt A og B í hnitkerfi er hægt ð setj smn úr láréttri og lóðréttri færslu. Færsln frá A til B kllst vigurinn AB. Ef lárétt færsln er táknuð x x og lóðrétt færsln y er ritð AB og x og y kllst hnit vigursins AB. y Efri tln sem er x-hnitið er lárétt færsln og neðri tln sem er y-hnitið er lóðrétt færsln. Dæmi.7 Teiknðu vigurinn í hnitkerfi. 4 Lusn: Þr sem ekki er gefinn upphfspunktur getum við notð hvð punkt sem er sem upphfspunkt vigursins. Veljum einhvern punkt sem upphfspunkt t.d. A = (, ). Færum okkur síðn einingr til hægri lárétt og 4 einingr niður lóðrétt og þr er endpunktur vigursins. Köllum endpunktinn B. Teiknum síðn ör frá A til B.

7 - 7 - Dæmi.8 Reiknðu hnit vigurins AB ef A = (, ) og B = (, 7). Lusn: Lárétt færsln er x = = og lóðrétt færsln er y = 7 =. Vigurinn frá A til B er því AB. Hnit vigursins AB fást með því ð drg hnitin á upphfspunktinum A frá hnitum endpunktsins B. Efri tln er x-hnitið en sú neðri y-hnitið. Almennt gildir: Ef A x, y og B x, y þá er færsln frá A til B vigurinn AB. Færsln í lárétt stefnu x x og færsln í lóðrétt stefnu y y kllst hnit vigursins og er þett ritð á forminu: AB x y x y

8 - 8 - Lengd vigurs Hægt er ð not reglu Pýþgórsr til ð finn lengd vigurs. Gerum ráð fyrir ð og b séu skmmhliðr í rétthyrndum þríhyrningi og c lnghlið hns. Þá gildir skv. reglu Pýþgórsr: b c c b Lárétt og lóðrétt færsln ásmt vigrinum sjálfum mynd rétthyrndn þríhyrning þr sem vigurinn verður lnghlið. Því fæst eftirfrndi niðurstð: x Ef þá er lengd vigursins (táknuðu ) y x y Tktu eftir ð ekki skiptir máli hvort hnit vigursins (þ.e. x og y) eru jákvæð eð neikvæð því ð þu eru sett í nnð veldi og útkomn verður jákvæð (eð núll). Dæmi.9 Reiknðu lengd vigursins Lusn: 4. 4, eð br 4. Þð er lveg eins gott ð slepp mínusnum á 4 strx því ð hnn hverfur hvort sem er þegr y-hnitið er sett í nnð veldi. Dæmi.0 Reiknðu lengd vigursins AB ef A = (, 4) og B = (, 8). Lusn: i) Fyrst reiknum við hnit vigursins: AB ii) Síðn reiknum við lengd vigursins: AB 4 4 ( 6, 4) x Dæmi. Reiknðu gildið á x ef lengd vigursins er. x Lusn: Höfum ð (x) (x ). Setjum báðr hliðr í nnð veldi og reiknum upp úr svigum og fáum 4x x x 4 eð x x 0 sem er nnrs stigs jfn með lusnir x, x.

9 - 9 - Hlltl vigurs Vigur í hnitkerfi hefur hlltölu eins og lín. Undntekningr eru þó lóðréttir vigrr og núllvigurinn. (Lóðréttr línur hf ekki hlltölu.) Hlltl vigurs er reiknð á sm hátt og hlltl línu, þ.e. með því ð deil láréttu færslunni upp í þá lóðréttu, þ.e. deil x-hniti vigursins upp í y-hnitið. Vigrr sem hf sömu hlltölu (eð eru lóðréttir) eru smsíð. Þeir hf nnð hvort sömu stefnu eð ggnstæð stefnu. Skilgreining: Ef hlltl (táknuð x og x 0 (þ.e er ekki lóðréttur og ekki núllvigur ) þá er y h ) gefin með h y x Dæmi. Reiknðu hlltölu vigursins 0 Lusn: h.. 0 t t Dæmi.. Reiknðu Reiknðu hlltölu gildið vigursins á t ef AB ef A er = ( smsíð, 4) og B b = (, 8).. 6 Lusn. i) Reiknum fyrst hnit vigursins: AB 6. Lusn: Við notum ð h h og fáum: 8 4 svo (t 4 ) 6(t ) b t t 4 4 ii) Reiknum síðn hlltölun: h AB ( 0, 8). svo t 6t og þá er t 7 Dæmi.4 i) Finndu vigur sem hefur hlltölun. ii) Finndu vigur sem er smsíð línunni y x. 4 Lusn: i) Tölun má rit sem. Vigurinn mögulegt svr. 4 ii) Vigurinn b er eitt mögulegt svr. hefur hlltölun og er því eitt

10 - 0 - Smlgning og frádráttur vigr í hnitkerfi Þegr tveir vigrr eru lgðir smn leggjst láréttr færslur þeirr smn og einnig lóðréttr færslur þeirr og því fæst: Blndð mrgfeldi í hnitkerfi Dæmi. Leggðu vigrn 6 og 4 b smn og reiknðu einnig b. Lusn: i) b ) ( ii) b ) ( Dæmi.6 Reiknðu hnit vigrnn og ef 4. Lusn: 6 4) ( og 8 4 4) (. Ef y x og y x b þá er y y x x b og y y x x b Ef y x er vigur og t er einhver tl þá er y t x t t.

11 - - Dæmi.7 Finndu einingrvigur e sem hefur sömu stefnu og. 4 Lusn: Reiknum fyrst lengd vigursins: 4. Til ð bú til einingrvigur með sömu stefnu og þrf ð ger sinnum styttri og þð gerum við einfldleg með því ð deil með í bæði hnitin (en þð er sm og mrgfld með tölunni ). Svo e 4 Dæmi.8 Finndu þá einingrvigr sem eru smsíð vigrinum. 4 Lusn: Reiknum fyrst lengd vigursins: 4. Deilum svo með í bæði hnitin. Hér eru tvö svör þr sem nnr einingrvigurinn er smstefn og hinn er ggnstefn og má skrif þu í einu lgi sem e 4. Með hliðsjón f dæmunum hér á undn fæst eftirfrndi niðurstð: Almennt gildir: x Ef og 0 þá eru y x e y og (nnr smstefn og hinn ggnstefn). ( x e y tveir einingrvigrr smsíð x y er lengd vigursins.) Dæmi.9 Finndu einingrvigur sem er ggnstefn vigrinum. Lusn: Reiknum fyrst lengd vigursins: 9 (, 9). Deilum nú með 9 í bæði hnitin og snúum ð uki stefnunni við með því ð skipt um formerki á báðum hnitunum, þ.e. mrgfld með, og þá fæst: 9 e. 9

12 - - Smsíð vigrr x Ef vigur = ( 0 ) er mrgfldður með tölu t ( t 0 ) fæst vigur y t x y t y t = sem er smsíð því ð hlltln breytist ekki. Öfugt gildir einnig t y x t x ð ef og b eru tveir smsíð vigrr (hvorugur 0) þá er b mrgfeldi f, þ.e. hægt er ð finn tölu t þnnig ð b = t. (t = eru ggnstefn.) Þess niðurstöðu má orð svon: b b ef og b eru smstefn en t = ef og b Þð ð tveir vigrr séu smsíð þýðir ð nnr vigurinn sé mrgfeldi f hinum. Dæmi.0 = og b =. Sýndu ð vigrrnir og b séu smsíð og finndu 6 síðn tölun t þnnig ð b = t. 6 Lusn: Reiknum hlltölur vigrnn: h og h b. Þr sem vigrrnir hf sömu hlltölu eru þeir smsíð. Augljósleg sést ð b = svo t =. (en einnig má not ð t = )

13 - - Stðrvigur Punkturinn (0,0) kllst upphfspunktur hnitkerfisins og er venjuleg táknður O. Vigrr sem hf upphfspunkt sinn í O = (0, 0) eru kllðir stðrvigrr. Ef A = (x, y) þá eru hnit x 0 x stðrvigursins OA. y 0 y Hnit stðrvigursins OA eru sem sé þu sömu og hnit endpunktsins A. Gættu þess ð rugl ekki smn hnitum vigurs sem eru rituð lóðrétt og hnitum punkts sem eru rituð lárétt. Hnit punkts eru eingöngu stðsetning í hnitkerfi miðð við ásn en hnit vigurs hf ekkert með stðsetningu ð ger heldur tákn tvær færslur þr sem efri tln er lárétt færsl og neðri tln er lóðrétt færsl. 0 Vigrrnir og eru einingrvigrr sá fyrri láréttur (í stefnu x-áss) og sá síðri 0 lóðréttur (í stefnu y-áss). Þeir verð frmvegis kllðir i og j. Hægt er ð byggj sérhvern x vigur úr i og j þ.e.. s. ef er einhver vigur þá er = x i + y j. y x 0 Ath. x y y 0 T.d. er = = i j. Þett er kllð ð leys upp eftir i og j (eð leys upp í liði smsíð i og j eð tákn með i og j ). Aðeins er einn möguleiki á ð leys vigur x upp eftir i og j, þ.e. tveir vigrr í hnitkerfi x y y og x b eru jfnir ef og y ðeins ef x x og y y. Almennt gildir ð ef og b eru einhverjir tveir vigrr sem eru ekki smsíð og c er einhver þriðji vigur þá er hægt ð leys c upp eftir og b á nákvæmleg einn hátt. Þð eru sem sgt til nákvæmleg tvær tölur s og t þnnig ð c = s + tb.

14 - 4 - Hér sést hvernig hægt er ð leys c upp eftir og b á mynd. Látum upphfspunkt c heit P og endpunktinn Q. Teiknum línu gegnum P smsíð og línu gegnum Q smsíð b. Köllum skurðpunkt línnn S. Þá fæst c PS SQ en PS s og SQ tb þr sem s og t eru runtölur. Dæmi. Leystu vigurinn 9 c upp eftir og b. 4 Lusn: Setjum hnit vigrnn inn í jöfnun c = s + t b og þá fæst: 9 s t 4 svo 9 s t 4s t (Vigrrnir í hægri hliðinni lgðir smn.) s t 9 Þett gefur okkur jöfnuhneppi: sem hægt er ð leys með smlgningr- 4s t eð innsetningrðferð (eð í vsreikninum) og niðurstðn er ð s = og t = svo c b Oft þrf ð leys krft upp eftir tveimur stefnum. Dæmi. Kubbur rennur niður skápln fyrir áhrif þyngdrkrftsins (F á myndinni). Leystu þyngdrkrftinn upp í tvo krft F og F þr sem F er smsíð skáplninu og F er hornréttur á skáplnið. Lusn:

15 - - Hægt er ð not vigurreikning til ð snn ýmsr rúmfræðireglur. Hér fylgj snnnir á þremur reglum. Regl. Ef M er miðpunktur striksins AB og P er einhver punktur þá er PM PA PB (þ.e. vigurinn frá P yfir í miðpunkt striksins er meðltlið f vigrunum frá P yfir í endpunkt striksins.) Sönnun: PM PA AM PM PB BM Leggjum þessr tvær jöfnur smn og fáum: PM PA PB AM BM Fyrst M er miðpunktur AB þá eru AM og BM ggnstefn og jfnlngir ( BM AM ) svo AM BM 0 Þr með fæst: PM PA PB svo PM PA PB (jfnn mrgfölduð með ) Ath. Ef P = (0,0), A x, y ) og B ( x, ) eru sett inn fæst eftirfrndi niðurstð: ( y x x y y M, (þ.e hnitin á miðpunkti striks eru meðltöl f hnitum endpunkt striksins.) Dæmi. Reiknðu hnitin á miðpunkti striksins AB ef A = (, ) og B = ( 8, ). 8 ( ) Lusn: Smkvæmt miðpunktsreglunni er M, (, ).

16 - 6 - Dæmi.4 Reiknðu hnitin á B ef A = (, ) og M = (4, 4) er miðpunktur AB. Lusn. Látum B = (x, y). Smkvæmt miðpunktsreglunni fæst: x y ( 4, 4), sem gefur tvær jöfnur: x y 4 og 4. Við leysum nú hvor jöfnu fyrir sig og fáum x = 8 = 6 og y = 8 + = 0 svo B = (6, 0). Næst regl fjllr um hornlínur smsíðungs en smsíðungur er ferhyrningur þr sem mótlægr hliðr eru smsíð og jfnlngr. (Á vigrmáli merkir þett ð mótlægr hliðr eru sömu vigrr.) Regl. Hornlínur smsíðungs skipt hvor nnrri í tvo jfn hlut. Með öðrum orðum: Skurðpunktur hornlínnn er miðpunktur þeirr beggj. Þessi regl er oft orðuð svon: Hornlínur í smsíðungi helming hvor ðr. Sönnun: Látum M ver miðpunktinn á hornlínunni AC. Sýn þrf ð hnn sé lík miðpunktur á hornlínunni BD. BM BA BC smkvæmt miðpunktsreglunni (M er miðpunktur AC og B er hér í hlutverki punktsins P) BA AD því ð AD BC í smsíðungi ABCD BD því ð BA AD BD En þr með hefur verið sýnt ð M er lík miðpunktur á BD og þr með er regln sönnuð.

17 - 7 - Dæmi. A = (, ), B = (, 6) og C = (, 8) eru þrír hornpunktr í smsíðungnum ABCD. Reiknðu hnit D og skurðpunkt hornlínnn. Lusn: Setjum D = (x, y), reiknum hnit vigrnn AD og BC og notum ð AD BC. x y 8 6 svo x 8 y svo x 6 svo y D ( 6,) Notum miðpunktsreglun til ð finn skurðpunkt hornlínnn en hnn er miðpunktur á AC (og BD) og þá fæst ( ) 8 9 M,,. Hér hefði verið hægt ð fr ðr leið. Reikn fyrst miðpunktinn á AC með miðpunktsreglunni og not síðn miðpunktsreglun ftur til ð reikn endpunktinn D á strikinu BD. Miðlín í þríhyrningi er strik frá hornpunkti yfir í miðj mótlæg hlið. Dæmi.6 Reiknðu lengd miðlínunnr AM ef A = (4, ), B = ( 7, ) og C = (, 8). 7 8 Lusn: i) Reiknum fyrst miðpunkt BC: M, 6, ii) Reiknum næst hnit vigursins AM. Þá fæst AM. 0 iii) Reiknum loks lengd vigursins AM og þá fæst AM 9.

18 - 8 - Regl. Miðlínur þríhyrnings ABC skerst llr í einum punkti og skipt hver nnrri í hlutföllunum :. Skurðpunkturinn kllst miðpunktur eð þyngdrpunktur þríhyrningsins. Ef hnn er táknður með T og O er einhver punktur þá gildir: OT OA OB OC (þ.e. vigurinn frá O yfir í T er meðltlið f vigrunum frá O yfir í A, B og C.) Sönnun: Látum M ver miðpunkt BC og T ver punkt á miðlínunni AM þnnig ð AT AM (T er þá sá punktur sem skiptir miðlínunni AM í hlutföllunum :.) Nú fæst: OT OA AT OA AM AC OA AB (smkvæmt miðpunktsreglu fyrir strikið BC þr sem A er í hlutverki P) OA AB AC OA (AO OB) (AO OC) (smkvæmt innskotsreglu) OA OA OB OA OC ( AO OA ) OA OB OC. Á hliðstæðn hátt fæst ð smsvrndi punktur á miðlínunni frá C á AB uppfyllir jöfnun hér ð ofn og er því punktur T. Sömu sögu er ð segj um smsvrndi punkt á miðlínunni frá B á AC. Þr með er regln sönnuð.

19 - 9 - Ath. Ef O = (0,0), A x, y ), B ( x, y ), C ( x, ) er sett inn fæst eftirfrndi ( y x x x y y y niðurstð: T, þ.e hnitin á miðpunkti (þyngdrpunkti) þríhyrnings eru meðltöl f hnitum hornpunktnn. Dæmi.7 A = (4,), B = ( 7,) og C = (4,). Reiknðu hnit miðpunkts þríhyrningsins ABC. Lusn: Smkvæmt reglunni um miðpunkt þríhyrnings er T,,. Dæmi.8 Reiknðu hnit punksins B í þríhyrningnum ABC ef A = (,4), C = (,) og þyngdrpunkturinn T = (,). Lusn: Setjum B = (x, y) og notum reglun um miðpunkt þríhyrnings. Þá fæst: x 4 y x 9 y (,), svo og svo x 6 og y 4 svo B = (6, 4). Innfeldi x x Ef og b eru tveir vigrr þá kllst tln xx yy innfeldi vigrnn. y y Þett er táknð svon: b x x yy

20 - 0 - Innfeldið er sem sé reiknð með því ð mrgfld x-hnit vigrnn smn og y-hnit vigrnn smn og leggj svo útkomurnr smn. Tktu eftir ð útkomn úr innfeldinu er tl en ekki vigur. Við fyrstu sýn virðist þessi ðgerð lítinn tilgng hf en ekki er llt sem sýnist. Um innfeldi gild flestr reiknireglur sem gild í venjulegri mrgföldun svo sem: Víxlregl: b b Dreifiregl: b c b c Sönnun á víxlreglu: b xx yy er ugljósleg sm tl og b xx yy. Dæmi.9 Reiknðu innifeldi vigrnn og b. 4 Lusn: b 4 9 Ekki gild þó llr reiknireglur mrgföldunr. T.d. er ekki hægt ð reikn innfeldi þriggj vigr, stærðin b c er semsgt merkingrlus. Innfeldi og lengd Reiknum innfeldi vigursins x y við sjálfn sig: x x y y x y en þett er sm tl og (lengd vigursins er x y ). Þr með fæst eftirfrndi regl: Þessi regl er mjög mikilvæg. Með því ð not þess niðurstöðu má bú til vigrreglur hliðstæðr ferningsreglunum í lgebrunni:

21 - -. Regln ( b) b b verður b b b. Regln ( b) b b verður b b b Sönnun á reglu : Reiknum upp úr svigunum: b b b b b b Smkvæmt reglunni um innfeldi og lengd vigurs gildir: b b, b b b, b og einnig er b b b. Sé þett sett inn fæst niðurstðn b b b. Dæmi.0 Gefið er ð, b 8 og b 4. Reiknðu i) b og ii) b. Lusn: i) Smkvæmt reglunni b b b fæst: b svo b 97 9,8. ii) Notum niðurstöðun vigrreglu: ( b) 4 0b b til ð fá frm hliðstæð b 4 0 b b svo b 60 40,. Dæmi. Reiknðu b ef gefið er ð, b 0 og b 6. Lusn: Notum niðurstöðun vigrreglu: ( b) 4 4b b til ð fá frm hliðstæð b 4 4 b b. Köllum innfeldið b = x og fáum: 6 4 4x 0 svo 6 4x og þá er x 4.

22 - - Innfeldi og hornréttir vigrr Regln sem hér fer á eftir er mjög mikilvæg. Hún er í run tvær reglur ritðr í einu lgi. Regl: Ef og b eru ekki núllvigrr þá gildir: og b eru hornréttir hvor á nnn ef og ðeins ef b 0. Regln er oft rituð svon: b 0 b. Lítum á nokkur dæmi áður en regln verður sönnuð. Dæmi. Sýndu ð vigrrnir og b séu hornréttir hvor á nnn. 4 9 Lusn: b 4 ( 9) 0 svo b Dæmi. Finndu tölun t ef gefið er ð nnn. t t og b eru hornréttir hvor á Lusn: Þr sem vigrrnir eru hornréttir vitum við ð innfeldið er núll þ.e. b ( t ) t ( ) 0 svo t t 0 þett er nnrs stigs jfn sem hægt er ð leys með þáttun, nnrs stigs formúlunni eð í vsreikninum. Ef hún er leyst með þáttun fæst: svo svo ( t )( t ) 0 t 0 eð t 0 t eð t

23 - - Þvervigur Regl: Ef 0 y x er einhver vigur þá eru vigrrnir x y og x y hornréttir á og jfnlngir og. Sönnun: Lengdir llr vigrnn þriggj er y x svo þeir eru llir jfnlngir og 0 x y y x x y y x svo báðir vigrrnir eru hornréttir á. Sönnun á reglunni um hornrétt vigr. Vigrrnir b og b, mynd rétthyrndn þríhyrning ef og ðeins ef b. Smkvæmt Pýþgórsrreglu (sem gildir ef og ðeins ef þríhyrningur er rétthyrndur) fæst nú: b b en smkvæmt reglum lgebrunnr gildir b b b. Þr með fæst ð b b b b 0 b 0 b

24 - 4 - y y Vigrrnir og kllst þvervigrr. Vigur sem er hornréttur og jfnlngur og x x vigurinn (þ.e. þvervigrr ) eru táknðir þ. Dæmi.4 Finndu einingrvigur sem er hornréttur á. Lusn: þ er hornréttur á. Breytum honum í einingrvigur með því ð deil lengdinni upp í bæði hnitin. Lengd beggj vigrnn og svrið er e (Ath. tvö svör.) þ er og Dæmi. Finndu vigur sem er ð lengd og er hornréttur á. Lusn: Finnum fyrst einingrvigur sem er hornréttur á eins og í dæminu hér á undn og mrgföldum hnn svo (þ.e. bæði hnitin) með og þá fæst : 60

25 - - Hlltölur hornréttr lín Regl: Ef l og m eru tvær línur sem eru hornréttr hvor á ðr og hf hlltölurnr h og k þá er k h. Sönnun: Köllum hlltölur línnn h og k. Vigrrnir k og h hf hlltölur h og k og eru því smsíð línunum. Þeir eru þá hornréttir hvor á nnn eins og línurnr. Smkvæmt reglunni um hornrétt vigr fæst: k h svo 0 k h k h Dæmi.6 Línn m er hornrétt á línun l og hefur hlltölu. Hver er hlltl l? Lusn: Ef h er hlltl l fæst ð h svo h

26 - 6 - Dæmi.7 A = (4, 6), B = (, 8) og C = (6, 0) eru hornpunktr þríhyrnings. Reiknðu ) lengdir hlið þríhyrningsins b) miðpunkt þríhyrningsins c) lengd miðlínunnr BM d) hnit punkts D þnnig ð ABCD verði smsíðungur e) hnit punkts E á x-ási þnnig ð AE BC f) hnit punkts F á y-ási þnnig ð AF sé smsíð AC. Lusn: ) Reiknum fyrst hnit vigrnn AB, BC og AC og síðn lengdir þeirr 4 AB svo AB 8 6 9, 6 ( ) 7 BC svo BC og AC svo 4 AC b) T, (, 8) c) M, (,8) svo BM svo BM 6 0 d) Setjum D = (x, y) og notum ð x 4 7 AD BC svo og þá er x og y 8 svo D = (, 8). y 6 e) Setjum E = (x, 0). (Allir punktr á x-ási hf y-hnitið 0) og notum ð AE BC 0. Þá fæst x 4 7 7(x 4) ( 6) svo 7x 8 0 svo x 40 7 svo 40 E, f) Setjum F = (0, y) (llir punktr á y-ási hf x-hnitið 0) þá er AF og notum y 6 svo ð h h. Þá fæst y AF AC 4 svo (y 6) 4 4 svo y 6 svo y svo F 0,.

27 - 7 - Dæmi.8 Tiltekinn er þríhyrningur ABC. S er punktur á BC þnnig ð punktur á AC þnnig ð AT AC. Táknðu TS með AB og AC. BS BC og T er 4 Lusn: Byrjum á ð merkj S og T inn á myndin. Nú fæst: TS TC CS (C innskotspunktur) AC 4 4 CB AC ( CA AB) (A innskotspunktur) AC AC AB ( CA AC ) AC 4 AB

28 - 8 - Dæmi.9 Tilteknir eru þrír punktr A, B og C þnnig ð AC og táknðu OC með OA og OB ef O er ótilgreindur punktur í fletinum. CB. Teiknðu mynd Lusn: Vigrrnir AC og CB hf sömu stefnu ( CB hefur sömu stefnu og CB) og þr sem báðir er með nnn endpunktinn C verð A, B og C ð liggj á línu. Auk þess verður fjrlægðin milli A og C ð ver helmingurinn f fjrlægðinni milli C og B. Myndin verður þá svon: Fáum nú: OC OA AC (A innskotspunktur) = OA AB OA ( AO OB) (O innskotspunktur) OA OA OB ( AO OA ) OA OB Dæmi.40 Á myndinni eru D og E miðpunktr hliðnn AC og BC. Sýndu ð DE AB Lusn: DE DC CE (C innskotspunktur) AC CB ( AC CB) AB

29 - 9 - Dæmi.4 Hornlínur í ferhyrningi ABCD helming hvor ðr. Sýndu ð AB CD 0. Lusn: Köllum skurðpunkt hornlínnn M. Þá fæst: AB CD AM MB CM MD (M innskotspunktur) ( AM CM) ( MB MD) ( AM CM því ð AM og CM eru ggnstefn og jfnlngir og sömuleiðis MB og MD.)

30 - 0 - Kfli Hornfræði. Hornföll í rétthyrndum þríhyrningi Þessi kfli hefst á upprifjun á hornföllum í rétthyrndum þríhyrningi. Í rétthyrndum þríhyrningi ABC þr sem C 90 gildir: mótlæg skmmhli ð sin( A) sínus f hvössu horni c lnghlið b ðlæg skmmhli ð cos( A) cos ínus f hvössu horni c lnghlið mótlæg skmmhli ð tn( A) tn gens f hvössu horni b ðlæg skmmhli ð Þessr reglur er hægt ð not til ð reikn horn eð hlið í rétthyrndum þríhyrningi. Dæmi. Reiknðu lengd hliðrinnr b í rétthyrnd þríhyrningum ABC ef c = 0. A og Lusn: Hliðin b er ðlæg skmmhlið hornsins A og því fæst b cos( ) svo b 0 cos() 8,9. 0 (Tln cos( ) 0, 89 finnst í vsreikninum með því ð not cosínus tkknn.) Dæmi. Reiknðu hornið A í rétthyrnd þríhyrningnum ABC ef = 8,4 og b =. 8,4 Lusn: Höfum ð tn( A) 0, 7. Hornið A finnst nú með því ð not tngenstkknn fturábk þ.e. tn (= Shift tn) svo A tn (0,7).

31 - -. Nákvæm gildi hornfll fyrir 0, 4 og 60 Hornin 0, 4 og 60 hf þá sérstöðu ð hægt er ð reikn nákvæmleg sínus, cosínus og tngens þeirr. Ef nnð hvss hornið í rétthyrndum þríhyrningur er 0 verður hitt hvss hornið 60. Slíkur þríhyrningur er helmingur f jfnhlið þríhyrningi (Sjá mynd.) Skemmri skmmhliðin (þ.e. sú sem er ndspænis 0 horninu) er því ávllt helmingur lnghliðrinnr. Veljum nú þríhyrning þr sem lengd skemmri skmmhliðrinnr er. Lnghliðin verður þá. Lengri skmmhliðin er svo hægt ð finn með Pýþgórsrreglu: x svo x. Nú fæst sin( 0 ), cos(0 ), tn(0 ) sin( 60 ), cos(60), tn(60) Í rétthyrndum þríhyrningi þr sem nnð hvss hornið er 4 er hitt hvss hornið lík 4 og því er slíkur þríhyrningur jfnrm. Veljum nú þríhyrning þr sem báðr skmmhliðrnr hf lengd. Lnghliðin finnst með Pýþgórsrreglu: c svo c. Og nú fæst sin( 4 ), cos( 4), tn( 4) Tölun má einnig rit eð.

32 - - Ásr hnitkerfisins skipt því í fjór hlut sem kllst fyrsti, nnr, þriðji og fjórði fjórðungur (sjá mynd). Tktu eftir formerkjum á hnitum punkt í þessum fjórum fjórðungum.. Horn sem myndst við snúning Horn ákvrðst f tveimur hálflínum sem liggj út frá sm punkti P. Hægt er ð hugs sér ð hornið myndist þnnig ð nnrri línunni sé snúið um P frá hinni línunni. Tvær snúningsstefnur eru mögulegr, rngsælis (öfugur klukkugngur) sem er jákvæður snúningur og réttsælis (eins og klukkn gengur) sem er neikvæður snúningur. Horn sem kemur frm við snúning getur þvi verið neikvætt og þð getur lík verið meir en 60. Á myndinni hefur hornið v = 40 myndst þegr m vr snúið 40 rngsælis um P frá l. Ef m er snúið 400 rngsælis um P er lokstð línnn l og m hin sm. Snúningur um heil hringi réttsælis eð rngsælis breytir ekki lokstöðu l og m og þess vegn eru óendnleg mörg horn sem lít eins út á mynd því ð þð eru óendnleg mrgir möguleikr á hve mrg heil hringi er hægt ð snú. Hornin 40, 40 60, 40 60, eð lmennt 40 h 60 þr sem h getur verið hvð heil tl sem er, lít öll eins út á mynd. Þett er ritð 40 h 60, h Z. Horn sem er á bilinu 0, 60 er sgt ver í fyrstu umferð, horn á bilinu 60, 70 í nnrri umferð o.s.frv. Horn í þríhyrningi eru hins vegr ekki reiknuð með formerki og eru á bilinu 0, 80. Horn á milli vigr verður ekki reiknð hér með formerki og er á bilinu 0, 80.

33 4. Stefnuhorn vigurs - - Stefnuhorn vigurs er hornið frá jákvæð hlut x-ássins ð vigrinum reiknð með formerki. Gert er ráð fyrir ð vigurinn sé stðrvigur, þ.e. ð hnn byrji í punktinum (0, 0). Venj er ð gef stefnuhorn vigurs upp á bilinu 80, 80. Stðrvigur sem liggur í fyrst eð öðrum fjórðungi hefur stefnuhorn á bilinu 0, 80 en vigur sem liggur í þriðj eð fjórð fjórðungi hefur stefnuhorn á bilinu 80, 0. Vigur smsíð x-ási hefur stefnuhorn 0 eð 80 og vigur smsíð y-ási hefur stefnuhorn 90 eð 90. Tktu eftir ð stðrvigur sem er í. og 4. fjórðungi hefur hvsst stefnuhorn en gleitt ef hnn er í. eð. fjórðungi. Dæmi. Finndu stefnuhorn vigursins. Lusn: Teiknum vigurinn í hnitkerfi. Vigurinn er lnghlið í rétthyrndum þríhyrningi sem hefur skmmhliðr og. Því fæst: tn( v) sem gefur v 9 Dæmi.4 Finndu stefnuhorn vigursins. Lusn: Við leysum dæmið með því ð reikn fyrst hornið u sem er grnnhornið. Vigurinn liggur í öðrum fjórðungi og verður ftur lnghlið í rétthyrndum þríhyrningi sem hefur skmmhliðr og. (Ath. hlið í þríhyrningi er jákvæð tl). Því fæst: tn( u) svo u 9 svo v 80 9

34 - 4 - Dæmi. Finndu stefnuhorn vigursins. Lusn: Vigurinn liggur í þriðj fjórðungi og stefnuhornið er því neikvætt (mælt réttsælis). Við leysum dæmið eins og dæmi og finnum grnnhornið u sem er u.þ.b. 9 en þá er stefnuhornið v. Dæmi.6 Finndu stefnuhorn. Lusn: Vigurinn liggur í fjórð fjórðungi svo stefnuhornið verður neikvætt. Við leysum dæmið eins og dæmi og fáum v 9.. Einingrhringur og horn í grunnstöðu Hringur með miðju í (0,0) og rdíus verður í textnum sem hér fer á eftir kllður einingrhringur. Horn sem er með oddpunkt (0,0) og nnn rminn í stefnu x-áss kllst horn í grunnstöðu. Sá rmur hornsins sem liggur í stefnu x-áss kllst fyrri rmur hornsins og hinn rmurinn kllst seinni rmur (sjá mynd)

35 Almenn skilgreining á sínus, cosínus og tngens Teiknum hvsst horn v í grunnstöðu (þ.e. oddpunktur hornsins O = (0, 0) og nnr rmurinn í stefnu x-áss). Síðn teiknum við hring með miðju O = (0, 0) og rdíus, svokllðn einingrhring. Látum P = (x, y) ver skurðpunkt seinni rms hornsins og hringsins og punktinn á x-ási sem er beint fyrir neðn P köllum við Q. Punktrnir O, P og Q mynd þá rétthyrndn þríhyrning með skmmhliðr x og y og lnghlið (sjá mynd). Smkvæmt reglum sem gild um rétthyrnd þríhyrning fæst: cos( v) sin( v) x y x y og því eru hnit punktsins P = (x, y) = (cos(v), sin(v)). Ennfremur gildir: tn( v) y sin(v). x cos(v) Þessi niðurstð verður nú notuð til ð setj frm lmenn skilgreiningu á hornföllunum cosínus, sínus og tngens. Látum v ver horn í grunnstöðu og látum P ver skurðpunkt seinni rms hornsins v við einingrhring (sjá myndin hér ð ofn). Þá er: cos(v) = x hnit punktsins P, sin(v) = y hnit punktsins P og sin(v) tn( v), ( cos( v) 0) cos(v)

36 - 6 - Dæmi.7 Á myndinni sést horn teiknð í grunnstöðu og einingrhringur. Hnit punktsins P eru nálægt því ð ver ( 0,7; 0,7 ). Þá er cos( ) 0,7 og sin( ) 0,7. Dæmi.8 Á myndinni er 0 horn teiknð í grunnstöðu ásmt einingrhring. Hnit punktsins P eru nálægt því ð ver (0,6 ; 0,8 ). Þá er cos( 0) 0, 6 og sin( 0) 0, 8. Dæmi.9 Á myndinni er 90 horn teiknð í grunnstöðu ásmt einingrhring. Hnit punktsins P eru (0, ). Þá er cos(90 ) = 0 og sin(90 ) =.

37 7. Hornfllreglur Hornin v, v + 60, v + 60,...,v 60,v 60,... eð lmennt v h60 (h er hér llr hugsnlegr heilr tölur) lít öll eins út séu þu teiknuð í grunnstöðu og hnit punktsins P þr með þu sömu fyrir öll hornin. Því fæst eftirfrndi regl: R: cos(v) = cos(v + h 60) og sin(v) = sin(v + h 60), h Z Dæmi.0 cos(0 ) = cos(90 ) = cos( 0 ) = cos( 690 ) =... o.s.frv. Tvö horn sem eru smtls 80 kllst frændhorn. T.d. eru hornin 0 og 0 frændhorn. Almennt eru hornin v og 80 v frændhorn. Teiknum horn v ásmt frændhorni þess 80 v bæði í grunnstöðu (sjá mynd) ásmt einingrhring. Seinni rmr hornnn liggj smhverfir um y-ásinn og skurðpunktr rmnn við einingrhringinn liggj því einnig smhverft um y-ásinn. Punktrnir P og Q hf því ggnstæð x-hnit en sömu y-hnit. Þr með fást eftirfrndi tvær reglur: R: sin(80 v) = sin(v) cos(80 v ) = cos(v) Þessr tvær reglur má orð svon: Frændhorn hf sm sínus en ggnstæðn cosínus. Hliðstæð regl fyrir tngensinn er tn(80 v) = tn(v) en hún fæst með því ð deil neðri jöfnunni upp í efri jöfnun. Regln sin(80 v) = sin(v) er sérleg mikilvæg en smkvæmt henni er ávllt hægt ð finn tvö horn í hverri umferð sem hf sm sínus ef undn eru skilin tilvikin ð sínusinn sé eð.

38 8. Að finn x þegr sin(x) er þekktur Dæmi. Finndu tvö horn í fyrstu umferð sem hf sínusinn 0, eð með öðrum orðum: Leystu jöfnun sin(x) = 0,, 0, 60 x. Lusn: Finnum ein lusn með vsreikninum: x = frændhornið sem er 80 0 = 0. sin (0,) 0 og hin lusnin er Dæmi. Leystu jöfnun sin(x) = 0,, 0, 60 x. Lusn: Finnum fyrst lusnin x sin ( 0,) 0 og síðn frændhornið sem er 80 ( 0) 0. Lusnin 0 er hins vegr ekki í bilinu 0, 60 en ný lusn kemur eftir heil umferð og hún er Lusnirnr eru því 0 og 0. Dæmi. Leystu jöfnun sin(x) =, 0, 60 x. Lusn: Önnur lusnin er x sin () 90 og hin lusnin sem er frændhornið er = 90. Hér eru hornið og frændhornið jfnstór svo jfnn hefur ðeins ein lusn. Ef hornin v og 60 v eru bæði teiknuð í grunnstöðu liggj seinni rmr þeirr smhverft um x-ás og skurðpunktr seinni rmnn og einingrhringsins liggj einnig smhverft um x-ás (sjá mynd). Punktrnir P og Q hf því sömu x-hnit og ggnstæð y-hnit. Þr með fást eftirfrndi tvær reglur: Hliðstæð regl fyrir tngensinn er tn(60 v) = tn(v) en hún fæst með því ð deil neðri jöfnunni upp í efri jöfnun.

39 - 9 - Regln cos(60 v ) = cos(v) er sérleg mikilvæg því ð smkvæmt henni er ávllt hægt ð finn tvö horn í hverri umferð sem hf sm cosínus ef undn eru skilin tilvikin þegr cosínusinn er eð. 9. Að finn x þegr cos(x) er þekktur Dæmi.4 Finndu tvö horn í fyrstu umferð sem hf cosínusinn 0, eð með öðrum orðum: Leystu jöfnun cos(x) = 0,, 0, 60 x. Lusn: Finnum ein lusn með vsreikninum: x = hornið = 00. cos (0,) 60 og hin lusnin er Dæmi. Leystu jöfnun cos(x) = 0,, 0, 60 x. Lusn: Finnum fyrst lusnin x cos ( 0,) 0 og hin lusnin er 60 0 = 40. Dæmi.6 Leystu jöfnun cos(x) =, 0, 60 x. Lusn: Hér fæst ðeins ein lusn sem er 60 0 = 60 er ekki í fyrstu umferð. x cos () 0 því ð hin lusnin Ef hornin v og v + 80 eru teiknuð í grunnstöðu liggj seinni rmr þeirr smhverft um punktinn (0,0) og skurðpunktr seinni rm þeirr við einingrhringinn liggj einnig smhverft um punktinn (0,0) (sjá mynd). Punktrnir P og Q hf því ggnstæð x-hnit og ggnstæð y-hnit. Þr með fást eftirfrndi tvær reglur: Þess reglu mætti orð: sínus og cosínus skipt um formerki þegr hálfri umferð er bætt við hornið.

40 Hliðstæð regl fyrir tngensinn er: hún fæst með því ð deil neðri jöfnunni í R4 upp í efri jöfnun. Tngensinn helst sem sgt óbreyttur þegr hálfri umferð er bætt við hornið. Því eru ávllt tvö horn í hverri umferð sem hf sm tngens. 0. Að finn x þegr tn(x) er þekktur Dæmi.7 Finndu tvö horn í fyrstu umferð sem hf tngensinn 0, eð með öðrum orðum: Leystu jöfnun tn(x) = 0,, 0, 60 x. Lusn: Finnum ein lusn með vsreikninum: x = 6,6 +80 = 06,6. tn (0,) 6,6 og hin lusnin er Dæmi.8 Leystu jöfnun tn(x) = 0,, 0, 60 x. Lusn: Finnum ein lusn með vsreikninum: x tn ( 0,) 6,6 og önnur lusn er 6,6 80, 4. Þr sem lusnin 6, 6 er ekki í bilinu 0, 60 fæst þriðj lusn með því ð leggj 80 við síðustu lusn og þá fæst lusnin,4 (einnig er hægt ð bæt 60 við fyrstu lusnin). Lusnirnr eru því,4 og,4. Annrs stigs hornflljöfnur Jfnn sin (x) sin(x) 0 er dæmi um nnrs stigs hornflljöfnu. Hún er smblnd f nnrs stigs jöfnu og sínusjöfnu. Fyrst þrf ð leys nnrs stigs jöfnun. Þð er hægt ð ger með nnrs stigs formúlunni, eð með því ð reyn ð þátt jöfnun í tvær fyrst stigs jöfnur. Þrutlendingin er ð leys nnrs stigs jöfnun í vsreikninum. Lusnin á nnrs stigs jöfnunni (oftst tvær lusnir) gefur möguleg gildi á sin(x) og þá er eftir ð leys sínusjöfnu til ð finn x-ið.

41 - 4 - Dæmi.9 Leystu jöfnun sin (x) sin(x) 0 Lusn: sin (x) sin(x) (sin(x) )(sin(x) ) 0. x 0, 60 þá er sin(x) 0 eð sin(x) 0 svo sin( x) eð sin(x) 0 Lusn jöfnunnr sin( x) er x = og lusn jöfnunnr sin(x) = er x = 90 0 Þr sem lusnin x = 0 er ekki á bilinu 0, 60 fæst þriðj lusn með því ð leggj 60 við fyrstu lusnin og þá fæst lusnin 0. Lusnirnr eru því 90, 0 og 0 Dæmi.0 Leystu jöfnun cos (x) cos(x) 6 0. x 0, 60 Lusn: Stuðlr nnrs stigs jöfnunnr eru =, b = og c = 6 og lusnirnr eru og og þr með fæst ð cos(x) = eð cos(x) = en hvorug jfnn hefur lusn svo þð er engin lusn á þessu dæmi. Með því ð not reglurnr R R4 má finn nákvæm gildi fyrir horn sem hf seinni rm sem er speglun seinni rms hornnn 0, 4 og 60 um x - ás, y - ás og (0,0) punktinn. Dæmi. Finndu nákvæmt gildi á ) sin(0 ), b) cos( ) og c) tn(0 ). Lusn: ) 0 er frændhorn 60 (seinni rmr speglst í y-ási) og frændhorn hf sm sínus svo sin(0 ) = sin(60 ) =. b) = (speglun í (0,0) ) og smkvæmt R4 breytir cosínus (og sínus) um formerki þegr hálfri umferð er bætt við svo ð cos( ) = cos(4 ) = c) 0 = 60 0 (speglun í x-ási) og smkvæmt R skiptir tngensinn um formerki við speglun í x-ási og því er tn(0 ) = tn(0 ) =

42 - 4 - Ein mikilvægst regl hornfræðinnr er eftirfrndi regl: Sönnun: Höfum ð OP x y x OP og y Setjum báðr hliðr í nnð veldi og þá fæst niðurstðn: x y en nú vr x = cos(v) og y = sin(v) og þr með fæst ðcos (v) sin (v). Hægt er ð not R6 til ð reikn nákvæmt gildi á sínus þegr cosínus er þekktur eð öfugt. Dæmi. Reiknðu nákvæmt gildi á sin(v) og tn(v) ef cos(v) =. Lusn: Notum fyrst R6 til ð finn sínusinn: Höfum ð sin (v) svo sin (v) svo sin(v) Hér eru tvær lusnir því ð v getur bæði verið í. eð 4. fjórðungi fyrst cos(v) > 0 og því getur sin(v) bæði verið jákvæður eð neikvæður. Finnum síðn tngensinn: tn(v) = sin(v). cos(v) Síðst dæmi má einnig leys á nnn hátt. Teiknum rétthyrndn þríhyrning með skmmhlið og lnghlið og köllum ðlægt horn skmmhliðrinnr v. Finnum næst hin skmmhliðin sem er mótlæg horninu með reglu Pýþgórsr: b svo b. Þr með finnst ð sin( v). Þr sem hornið v getur bæði verið í fyrst eð fjórð fjórðungi (cosínusinn er jákvæður) getur sínusinn bæði verið plústl eð mínustl.

43 . Innfeldi og horn milli vigr cos( v) R7: Ef vigurinn b hefur stefnuhorn v þá er b = b. sin( v) Sönnun: Látum b OQ hf upphfspunkt í O og köllum skurðpunkt OQ og einingrhringsins P. cos(v) Þá er P = (cos(v), sin(v)) og OP. sin(v) Nú er OP einingrvigur smstefn b og cos( v) því er b = b OP b b cos(v) sin( v) b sin(v) Næst regl er mjög mikilvæg en hún lýsir því hvernig innfeldi vigr tengist lengd þeirr og stefnu. Með horni á milli vigr er hér átt við hornið sem myndst á milli vigrnn þegr þeir eru teiknðir út frá sm punkti. R8: b b cos(v ) þr sem v er hornið á milli vigrnn og b. Ath. Ef og b eru ekki núllvigrr eru tölurnr og b báðr jákvæðr (lengd vigurs getur ekki verið mínustl). Formerkið á innfeldinu ræðst þá f formerkinu á cos(v). Innfeldið er jákvæð tl ef hornið á milli vigrnn er hvsst því ð þá er cos(v) plústl en innfeldið er neikvætt ef hornið á milli vigrnn er gleitt því ð þá er cos(v) mínustl. Þegr hornið á milli vigrnn er 90 verður innfeldið 0 (cos(90 ) = 0) eins og þegr hefur komið frm í reglunni um hornrétt vigr. Við skulum lít á nokkur dæmi um notkun reglunnr áður en hún verður sönnuð. Dæmi. Reiknðu innfeldi vigrnn og b ef, b 6 og v 67. Lusn: b 6cos(67), 7

44 Næst dæmi er sérleg mikilvægt: Dæmi.4 Reiknðu stærð hornsins á milli vigrnn 8 og b. 4 Lusn: Finnum fyrst innfeldi vigrnn og lengdir: b ( ) 8 4 4, 4 7 og b 8 7 Nú fæst: b 4 cos( v) 0, svo v 8,. b 7 7 Dæmi. Reiknðu stærð hornsins á milli vigrnn og b ef 8, b og b. Lusn: Ef við einngrum cosínusinn í reglunni fæst cos(v) b b. Setjum tölurnr inn og fáum cos( v) 0,87 svo v 00, 8. 8 s s Dæmi.6 Finndu gildið á s ef hornið á milli vigrnn og b er gleitt. s 4 Lusn: Ef hornið er gleitt þá er innfeldið b 0. Reiknum innfeldið og fáum: b s( s ) ( s 4) s s 4 0. Þett er. stigs ójfn sem við leysum með því ð finn rætur mrgliðunnr s s 4 og ger síðn formerkjmynd. Finnum fyrst ræturnr: s s 4 (s 4)(s ). Nú sést ð ræturnr eru s = 4 og s = og formerkjmyndin verður svon: Lusnin er þr sem mrgliðn er neikvæð (mínusmerkið) svo s 4,.

45 - 4 - Hægt er ð reikn stefnuhorns vigurs með því reikn hornið á milli vigrnn og i. 0 Dæmi.7 Reiknðu stærð stefnuhorns vigursins. Lusn: i ( ) 0,, i. Nú fæst cos( v) svo v 6, en þr sem vigurinn liggur í 4. fjórðungi er stefnuhornið neikvætt svo rétt svrið er 6, ( eð 0, 7). Hér er svo sönnun á reglunni b b cos(v ). Við veljum hnitkerfi með x-ásinn í stefnu vigursins. Stefnuhorn vigursins er þá 0 en stefnuhorn vigursins b er hornið v (sjá mynd). Smkvæmt reglu 6 er: cos(0) og sin(0 ) 0 b cos(v) b og því fæst b sin(v). b cos(v) b 0 b sin(v) b cos(v) 0 b sin(v) b cos(v)

46 Kfli Þríhyrningr Í þessum kfl eru þrjár reglur sem gild í öllum í þríhyrningum. Fyrst regln er fltrmálsregl en hinr tvær reglurnr eru til ð reikn horn og hliðr í þríhyrningi. Regl : Fltrmál (F) þríhyrningsins ABC er Sönnun: F bc sin(a) Veljum c fyrir grunnlínu og teiknum hæðin h á grunnlínun. Litli skyggði þríhyrningurinn er rétthyrndur með lnghlið b og því gildir: sin( A) h b svo h b sin(a) Notum nú reglun F = g h til ð reikn fltrmál þríhyrningsins ABC og þá fæst: F = g h c h c b sin(a) Ath. Ekki skiptir máli hvð hlið er vlin fyrir grunnlínu og því fæst á smsvrndi hátt ð F bc sin( A) b sin( C) c sin( B) Q.E.D. Í sönnuninni hér ð ofn er gert ráð fyrir ð þríhyrningurinn sé hvsshyrndur en sm niðurstð fæst þótt þríhyrningurinn sé rétthyrndur eð gleiðhyrndur. Ath. Til ð get notð reglun um fltrmálið þrftu ð þekkj tvær hliðr og hornið á milli hliðnn (sjá mynd).

47 Dæmi. Reiknðu fltrmál þríhyrningsins ABC ef = 8, b = 0 og C 0. Lusn: F = 8 0 sin( 0) 0, 64 Dæmi. Reiknðu B ef = 6 cm, c = 8 cm og fltrmál þríhyrningsins er 0 cm. Lusn: Höfum ð sin(b) svo sin(b) 0,8 svo B 6,4 eð B, 6. Sínusregln Regl : Í þríhyrningnum ABC gildir ð: sin(a) b sin(b) c sin(c) Sönnun: Smkvæmt reglunni um fltrmál þríhyrnings fæst: bc sin( A) c sin( B) b sin( C) Mrgföldum með þá fæst bc sin( A) c sin( B) bsin( C) Deilum því næst með bc þá fæst sin( A ) sin( B) sin( C) b c Sé öllum brotunum snúið við fæst sínusregln sin(a) b c Q.E.D. sin(b) sin(c) Ath. Þð má einnig rit sínusreglun með sínusn í teljr þ.e. sin( A ) sin( B) sin( C). b c

48 Dæmi um notkun sínusreglunnr sin(a) b sin(b) c sin(c) Hægt er ð not sínusreglun á tvo vegu: i) Ef þekkt er ein hlið og öll horn þá er hægt ð reikn hinr lengdir hinn hliðnn. (Ath. Þð nægir ð tvö horn séu gefin upp því hægt er ð reikn stærð þriðj hornsins með því ð not hornsummu þríhyrnings.) Dæmi. Í ABC er gefið ð =, hornsins og lengdir b og c. A 0 og B 6. Reiknðu stærð þriðj Lusn: Reiknum fyrst stærð hornsins C. C Finnum næst lengd hliðrinnr b með sínusreglunni. b sin(b) sin(a) svo b sin(6) sin(0) svo b sin(6) sin(0) 9,06 Finnum svo lengd hliðrinnr c á smsvrndi hátt: c sin(c) sin(a) svo c sin(8) sin(0) svo c sin(8) sin(0) 9,96 ii) Ef þekktr eru tvær hliðr og horn sem er á móti nnrri þekktu hliðinni er hægt ð reikn stærð hornins á móti hinni hliðinni (stærð þriðj hornins fæst svo með því ð not hornsummun og lengd þriðju hliðrinnr með sínusreglunni sbr. i)). Hér er ðgátr þörf því ð hugsnleg kom tvö horn til grein þ.e. hvss hornið sem vsreiknirinn gefur og frændhornið sem er gleitt (frændhorn hf sm sínus). Stundum er hægt ð útilok gleið hornið (eð hvss hornið) vegn hornsummunnr en sum dæmi hf tvær lusnir, m.ö.o. tveir þríhyrningr kom til grein.

49 Dæmi.4 Í ABC er gefið ð =, b = 4 og og lengd hliðrinnr c. A 6. Reiknðu stærðir hin hornnn Lusn: Finnum fyrst B með sínusreglunni: sin(b) sin(a) sin(b) sin(6) svo svo sin(b) b 4 svo B 46, eð B, (frændhornið) 4 sin(6) 0,7 Hornið, er of stórt og kemur ekki til grein svo B 46,. Þá er C , 68, og lengd hliðrinnr c finnst svo með sínusreglunni (sbr dæmi ) og fæst þá: c sin(68, ) svo c,. sin(68, ) sin(6) sin(6) Dæmi. Í ABC er gefið ð = 8, b = 0 og C og lengd hliðrinnr c. A. Reiknðu stærðir hornnn B og Lusn: sin(b) b sin(a) sin(b) sin() 0 sin() svo svo sin(b) svo B 4,8 eð B 4, (frændhornið) 0,77 Hér kom bæði hornin til grein og því verð tvær lusnir á dæminu: i) B 4, 8, C 80 4, 8 99, sin( 99, ) 8 og þá verður c, 77 sin( ) ii) B 4,, C 80 4, 0, 8 sin( 0, 8) 8 og þá verður c, 6. sin( )

50 - 0 - Kósínusregln Regl : Í þríhyrningnum ABC gildir ð b c b c cos(a) Sönnun: Búum til vigr úr hliðum þríhyrningsins ABC (sjá mynd) og setjum AB c, AC b og CB þá fæst b c svo c b Reiknum næst innfeldi vigursins við sjálfn sig báðum megin jfnðrmerkisins og þá fæst: c b c b c c bc bb Notum síðn reglun ásmt reglunni b b cos(v) og þá fæst c b c cos( A) b en þð gefur kósínureglun b c bc cos(a) Q.E.D. Dæmi um notkun kósínusreglunnr b c bc cos(a) Hægt er ð not kósínusreglun á tvo vegu: i) Ef þekktr eru tvær hliðr og hornið á milli þeirr þá er hægt ð reikn þriðju hliðin, þ.e. hliðin á móti horninu. (Sömu upplýsingr dug til ð hægt sé ð not fyrrnefnd reglu um fltrmál þríhyrnings.) Dæmi.6 Í ABC er gefið ð =, b = 6 og C 6. Reiknðu lengd hliðrinnr c. Lusn: Smkvæmt kósínusreglunni er c b b cos(c). Því fæst: c 6 6 cos(6),64 svo c,97

51 - - ii) Ef llr hliðrnr eru þekktr þá er hægt ð reikn út hornstærðirnr. Fyrst þrf þá ð snú kósínusreglunni við: b c b c cos(a) Víxlum fyrst á liðnum og liðnum b c cos(a). Þá fæst: b c cos( A) b c deilum næst með b c í báðr hliðr. Þá fæst: cos( A) b c b c Dæmi.7 Í ABC er gefið ð =, b = 6 og c = 8. Reiknðu stærðir hornnn. Lusn: Reiknum t.d. stærð hornsins A með kósínusreglunni: b cos(a) Á sm hátt finnst ð cos(b) c b c c b c svo A 8, svo B 48, 8 80 Stærð hornsins C fæst svo með því ð not ð C 80 8, 6 48, 9, 87.

52 - - Kfli 4 Keilusnið Jfn hrings Punkr sem liggj á hring í hnitkerfi uppfyll ákveðn jöfnu sem nefnist jfn hringsins. Látum M = (h, k) ver miðju hringsins, r ver rdíus hringsins og P = (x, y) ver einhvern punkt á hringnum (sjá mynd). x h Hnit vigursins MP eru. y k Nú fæst: P er á hringnum ef og ðeins ef lengd vigursins MP er jöfn rdíus hringsins, þ.e. ef x h MP r. y k x h Smkvæmt reglunni um lengd vigurs er = ( x h) (y k) svo y k ( x Setjum báðr hliðr í nnð veldi og þá fæst jfnn: h) (y k) = r. ( x h) (y k) r Í jöfnu hringsins kemur frm hnit miðjunnr (h, k) og rdíus hringsins. Tktu eftir ð hnit miðjunnr eru ggnstæð við merkin í svignum. Dæmi 4. Ritðu jöfnu hrings með miðju M = (, ) og rdíus r = 4. Lusn: ( x ) (y ( )) 4 eð (x ) (y ) 4 Dæmi 4. Er punkturinn Q = (, ) innn eð utn hringsins eð á hringnum sem gefinn er með jöfnunni: ( x ) y 7? Lusn: Hringurinn er með miðju (, 0) og rdíus r = 7. Reiknum fyrst hnit vigursins MQ og síðn lengd hns og berum smn við rdíus hringsins. ( ) 7 MQ og MQ Þr með sést ð Q er utn 0 hringsins.

53 - - Dæmi 4. Punktrnir A = (8, 4) og B = ( 4, ) liggj á hring. Finndu jöfnu hringsins ef AB er miðstrengur í hringnum. Lusn: Miðpunktur hringsins finnst með miðpunktsreglunni: x x y y 8 ( 4) 4 ( ) M ; ; (,6). Rdíus hringsins er hálfur miðstrengurinn svo hnn má finn með því ð reikn lengdin á AB og deil með. 4 8 AB og AB Þá er rdíusinn r = 0 og jfnn verður þá ( x ) (y 6) 0 Ef reiknð er upp úr svignum í jöfnu hrings og liðir dregnir smn gltst upplýsingrnr um miðju og rdíus hringsins sem les má beint út úr jöfnunni. Þá þrf ð beit ðferðinni ð fyll í ferninginn til ð kom jöfnunni yfir á rétt form. Að fyll í ferninginn er ð bæt við þriðj lið til ð stærð á forminu x bx (eð x bx) verði ferningsstærð. Smkvæmt ferningsreglunum er x b x bx b svo ð þriðji liðurinn fæst með því ð helming x-stuðulinn og setj útkomun í nnð veldi. Dæmi 4.4 Finndu miðju og rdíus hringsins x 8x y 6y. Lusn: Þriðji liðurinn sem vntr með x-liðunum er tln 6 (helmingurinn f 8 er 4 og 4 = 6) og þriðji liðurinn sem vnt með y-liðunum er 9 (helmingurinn f 6 er og = 9). Við bætum þessum liðum við báðr hliðr jöfnunnr og umritum síðn í ferningsstærðir. Þá fæst: x 8x 6 y 6y og þr með sést ð miðjn er sem verður (x 4) (y ) 7 (4,) og rdíusinn er 7. Ef stuðlr stnd með x - og y -liðunum þrf ð byrj á ð deil í báðr hliðr jöfnunnr. Dæmi 4. Ritðu jöfnun x x y 6y 0 á forminu ( x h) (y k) r. Lusn: Deilum í ll liði með og færum fst liðinn yfir. Þá fæst: x 4x y y. Fyllum næst í ferninginn og þá fæst x 4x 4 y y sem gefur jöfnun: (x ) (y 6).

54 - 4 - Dæmi 4.6 Reiknðu hnit skurðpunkt hringsins sem gefinn er með jöfnunni x y við hnitásn (þ.e. x-ás og y-ás). 8 Lusn: Reiknum fyrst hnit skurðpunkt við x-ás: Um ll punkt á x-ási gildir ð y-hnit þeirr er 0, þ.e. þeir hf hnit á forminu (x, 0). Mrgföldum fyrst upp úr svigunum í jöfnu hringsins og setjum síðn 0 í stð y og færum ll liði í vinstri hlið. Þá fæst: x x y 4y 4 8 sem verður x x 0 sem er nnrs stigs jfn með lusnir x = og x =. Skurðpunktr við x-ás eru því (, 0) og (, 0). Punktr á y-ási hf x-hnitið 0, þ.e. þeir hf hnit á forminu (0, y) svo þeir finnst með því ð setj x = 0 í jöfnu hringsins og þá fæst nnrs stigs jfnn: 4 8 y 4y 0 sem hefur lusnir svo skurðpunktr við y-ás eru (0 ; 4,6) og (0, 0,6). 4,6 0,6 Skurðpunktr hrings og línu Ef reikn á hnit skurðpunkt hrings og línu þrf ð leys smn jöfnu hringsins og jöfnu línunnr en þð er hægt ð ger með því ð not innsetningrðferðin: i) Reiknum upp úr svigunum í jöfnu hringsins ef hún er á forminu x h y k r og færum ll liði í ðr hlið. ii) iii) iv) Setjum línun á skurðhllform y = hx + m ef hún er á öðru formi*. Setjum stærðin (hx + m) í stðinn fyrir y ið í jöfnu hringsins og fáum nnrs stigs jöfnu með x sem leys má í vsreikninum. Reiknum síðn y-hnit skurðpunktnn með því ð setj inn í jöfnu línunnr. *(Í sumum dæmum gæti verið einfldr ð einngr x ið í jöfnu línunnr og fá frm nnrs stigs jöfnu með y).

55 - - Dæmi 4.7 Reiknðu hnit skurðpunkt hringsins ( x ) ( y ) 7 og línunnr y = x (ef til eru). Lusn: Reiknum fyrst upp úr jöfnu hringsins og færum liðin í ðr hlið. Þá fæst x 4x y 6y 4 0 Setjum næst stærðin (x ) í stðinn fyrir y-ið í jöfnu hringsins. Þá fæst: x 4x ( x ) 6( x ) 4 0 Nú reiknum við upp úr svigunum og einföldum og þá fæst: x 4x 4x 4x x svo x 4x 9 0 Við leysum nú nnrs stigs jöfnun í vsreiknunum og fáum tvær lusnir: x, x 8, sem eru x-hnit skurðpunktnn. y-hnitin fást með jöfnu línunnr (þ.e. y = x ): y og y 8, 4 6, Skurðpunktrnir eru þá (, ) og (,8 ; 4,6). Skurðpunktr tveggj hring Ef finn á skurðpunkt tveggj hring þrf ð leys smn jöfnur hringnn. i) Reiknum upp úr svigunum ef jöfnur hringnn eru á forminu x h y k ii) Mrgföldum síðn jöfnu nnrs hringsins með og leggjum við jöfnu hins hringsins. Þá eyðst x - og y - liðirnir og eftir er jfn línu sem við setjum á skurðhllform (eð einngrum x-liðinn frá hinum liðunum). iii) Finnum skurðpunkt línunnr og nnrs hringsins á sm hátt og í dæmi á undn. r

56 - 6 - Dæmi 4.8 Reiknðu hnit skurðpunkt hringnn sem gefnir eru með jöfnunum x y 4 og x y 4y 0. Lusn: Reiknum upp úr svignum í hring I: þá fæst x 4x y 6y 0 Mrgföldum jöfnu hrings II með og leggjum við jöfnu hrings I: x 4x y 6y 0 x y 4y 0 4x y 0 Jfnn 4x y 0 er jfn línu sem á skurðhllforminu verður y = x. Setjum næst stærðin (x ) inn fyrir y í jöfnu hrings II (hún er einfldri) og reiknum upp úr svigunum. Þá fæst: x (x ) 4(x ) 0 svo x x 4 0. Lusnir. stigs jöfnunnr eru, x 0 4 og tilsvrndi y verð x, y og y 0, Skurðpunktrnir verð þá (, ) og (0,4 ; 0,).

57 - 7 - Sporbugur Sporbugur er eins og hringur sem búið er ð teygj til. Almenn jfn sporbugs með miðju (h, k) og láréttn stórás er (x h) (y k) b þr sem 0 < b <. Tölurnr og b eru þ.. stórásinn hefur lengdin og skmmásinn hefur lengdin b. (x h) (y k) Jöfnu hrings má rit á forminu svo hringur er eins og sporbugur þr r r sem = b = r (þ.e. stórásinn () er jfnlngur og skmmásinn (b) og er þá hvor um sig jfnlngur og miðstrengur hringsins (r)). ATH. Í vsreikninum er miðjn táknuð með (H, K) og tln A getur bæði stðið fyrir lengdin á hálfum stórási eð hálfum skmmási. Best er ð hugs dæmið þnnig ð hærri tln (f A og B) gefur lengdin á hálfum stórási og lægri tln hálfum skmmási. Ef hærri tln er undir x-svignum verður stórásinn láréttur en ef hærri tln er undir y-svignum er stórásinn lóðréttur. Á stórási sporbugs eru tveir punktr sem kllst brennipunktr (focus í vsreikni). Fjrlægð þeirr frá miðju sporbugs er tln c þr sem c er gefið með formúlunni c b (th. er lengdin á hálfum stórási, þ.e. er hærri tln). þ.e. c = kvðrtrótin f (hálfur stórás í öðru veldi mínus hálfur skmmás í öðru veldi). c b Tln e kllst hringvik og er mælikvrði á hvð sporbugurinn er teygður. Tln e er á bilinu frá 0 til (e = 0 gefur okkur hring en ekki sporbug) og því nær sem e er gildinu þeim mun teygðri verður sporbugurinn en því nær sem e er gildinu 0 þeim mun meir líkist sporbugurinn hring. Brutir reikistjrnnn eru sporbugr sem flestr eru tiltöluleg hringlg nem brut Merkúr og Plútó sem áður tldist reikistjrn. Brutir sumr hlstjrn eru sporbugr og get þær hft hringvik nálægt.

58 - 8 - Dæmi 4.9 Finndu miðju, lengd stóráss og skmmáss, hnit brennipunkt, hringvik og skurðpunkt sporbugsins við y ás ef jfn hns er: ( x 4) ( y ) 6 Lusn: i) Miðjn er (4, ). ii) = og b = 6 4 svo stórásinn er láréttur og er 0 ð lengd en skmmásinn er 8 ð lengd. iii) Finnum næst tölun c. c 6 iii) Brennipunktrnir eru á láréttu línunni y = (miðj sporbugs og brennipunktr eru llir á stórás) í fjrlægðinni c = frá miðpunkti svo hnit þeirr eru (, ) og (7, ). (Einnig er hægt ð finn þá í vsreikninum.) iv) Hringvikið er c e. v) Mrgföldum upp úr svigunum og mrgföldum jöfnun svo með með til ð eyð brotum og þá fæst: 6x 8x 6 y 0y 400 Síðn setjum við x = 0 (llir punktr á y-ási byrj á 0) og leysum. stigs jöfnun y 0y 8 0 í vsreikni sem gefur lusnirnr 0, 6, y 4 y, Svo skurðpunktr við y ás eru ( 0; 0, 6) og ( 0;, 4). (Einnig er hægt ð finn þá í vsreikninum.)

59 - 9 - Breiðbogi Jfnn (x h) (y k) b er jfn breiðbog með miðju ( h, k) og láréttn tengiás. Tengiásinn er lárétt (eð lóðrétt) línn gegnum miðjun. Skurðpunktr breiðbogns og tengiássins kllst topppunktr (vertex) breiðbogns og eru þeir í fjrlægðinni frá miðjunni svo fjrlægðin á milli topppunktnn er. (Ath. miðpunkturinn sjálfur er ekki á breiðbognum heldur á mitt á milli bognn.) Tengiásinn er láréttur þegr plúsinn er á x svignum. Jfnn (y k) (x h) b er jfn breiðbog með lóðréttn tengiás. (Plúsinn er á y svignum.) Ath. Tln er í nefnr brotsins sem er í plús en tln b er í nefnr brotsins sem er í mínus og gildir þð sm fyrir A og B í breiðbogjöfnunni í vsreikninum. Hnit topppunktnn er hægt ð finn með því ð reikn skurðpunkt breiðbogns við tengiásinn, eð með því ð not sér ð þeir eru í fjrlægðinni frá miðpunkti breiðbogns og því fæst: Ef tengiásinn er láréttur eru skurðpunktrnir ( h ; k) og (h ; k) en ef hnn er lóðréttur verð skurðpunktrnir ( h ; k ) og (h ; k ). Einnig er hægt ð finn hnit topppunktnn í vsreikninum. Breiðboginn hefur brennipunkt (eins og sporbugurinn) sem liggj á tengiásnum.

60 Dæmi 4.0 Finndu miðju og hnit beggj topppunkt breiðbogns ( x ) ( y ) Lusn: i) Hnit miðju eru (, ). ii) Tengiásinn er láréttur (plúsinn er á x svignum og topppunktrnir eru í fjrlægðinni frá miðjunni ( = ) svo hnit þeirr eru (4, ) og (0, ). Meir um keilusnið Ferlrnir (hringur, sporbugur og breiðbogi) sem lýst hefur verið í kflnum hér á undn ásmt fleygbognum kllst einu nfni keilusnið. Nfnið er dregið f því ð ferl þess má fá frm með því ð sker tvöfld keilu með sléttu (eð plni). Venj er ð flokk keilusniðin í þrjá flokk, sporbug (lít má á hring sem sértilfelli f sporbug), fleygbog og breiðbog. Þð fer eftir því undir hvð horni sléttn sker keilun hver þessr ferl kemur frm (sjá mynd). Tlið er ð gríski stærðfræðingurinn Menkmos, sem uppi vr á fjórðu öld fyrir Krist, hfi verið fyrstur til ð lýs keilusniðum. Öld síðr ritði Apollóníus frá Perg átt bækur um keilusnið og eru thugnir hns á þeim oft tldr mest frek grískr rúmfræðing. Arbr, Persr og gyðingr vrðveittu grísk fróðleikinn og bættu við hnn. Persneski stærðfræðingurinn og ljóðskáldið Omr Khyyám (048 ) vr fyrstur til ð nýt keilusnið til ð leys lgebrujöfnur. Á sutjándu öld uppgötvði Jóhnnes Kepler ð brutir reikistjrn umhverfis sólu eru sporbugr. Þr með komust keilusniðin í sviðsljósið. Í hgnýttri stærðfræði og eðlisfræði kom keilusnið víð fyrir. Þð er ekki tilviljun ð í rúmfræðilegum lýsingum á keilusniðum eru ákveðnir punktr kllðir brennipunktr eins og í ljósfræði. Vegn rúmfræðilegr eiginleik keilusnið gegn þu lykilhlutverki í sjónglerjfræði. Fleiri dæmi um keilusnið má finn í umhverfi okkr. Ferill hlutr sem er kstð er fleygbogi. Vírr sem hld uppi hengibrú mynd hlut f fleygbog. Hlógenljós vrp oft breiðbogum á veggi og þótt brutir flestr hlstjrn séu sporbugr (eins og frm kom fyrr í kflnum) þá eru brutir nokkurr hlstjrn breiðbogr (rnnsóknir sýn ð brut þeirr vr áður sporbugur en hefur flgst) svo nokkur dæmi séu tekin.