ARCHIMEDES (asi pred.n.l.)

Transcript

1 Lenk Švnárová, M-Ge ARCHIMEDES (si 7-1 pred.n.l.) Arhimedes s nrodil v Syrkúzh n Siílii okolo roku 7 p.n.l.. Jeho ote Feids ol stronómom. Arhimedovo prvé meno olo Sporos, no jeden učene, Filonides, ho nzvl železný um ted Arhimedes. Študovl niekoľko rokov n Alexndrijskej univerzite. V slávnej Alexndrijskej knižnii oli zhromždené všetky vtedjšie význmné práe vedy kultúry. Mtemtiku s učil u nsledovníkov veľkého geometr Euklid. Po návrte do Syrkúz zsvätil elý svoj život mtemtike fyzike. Npísl dve diel. Prvé je o hydrosttike jej zákldnýh zákonoh, druhé opisuje erosttiku. N tieto zásdné ojvy y s možno nedošlo, key ho vtedjší kráľ Syrkúz Hieron nepožidl, y zistil, či ho zltník nepodviedol uroil mu korunu z číreho zlt. Prolém ol predovšetkým v určení ojemu koruny. Pri kúpeli si všimol, že jeho telo je ndľhčovné vodou, tk vyriešil úlohu prišiel n prírodný zákon: Teleso ponorené leo plávjúe v kvpline je ndľhčovné silou, ktorá s rovná tiži kvpliny toho istého ojemu, ký má ponorená čsť teles. Ndšený vyskočil z vne vyehol holý n uliu s krikom: Heurék, nšiel som to! Ponoril zlto do vody hldin stúpl o určitú výšku, keď ponoril korunu, zdvihl s o niečo vyššie, ko y zodpovedlo čistému zltu ted zistil, že v korune ol prímes strier. Stl s utorom vi než 40 vynálezov. Pre nás je dnes predovšetkým ojviteľom zákonov mehnikej rovnováhy telies. Vo svojih trktátoh o rovnováhe,o páke o ťžisku preskúml činnosť tzv. jednoduhýh strojov. Aj keď pák, kldk, nklonená rovin klin oli využívné už predtým, Arhimedes mtemtiky vypočítl ih pôsoenie. Uvedomil si, že dosttočne dlhá pák umožňuje pohnúť kýmkoľvek remenom znásoiť tk mo človek nd prírodou ("Djte mi pevný od pohnem Zemou.") Okrem toho zdokonlil kldkostroj, vynšiel závitovkový prevod. Nemenej známy je prístroj, ktorý premiestňovl vodu z nižšie položeného Nílu n pole, čím uľhčil roľníkom polievnie v Egypte (predtým polievli poli ručne s primitívnymi nádomi). Bol to orovská špirál vo vli dostl meno Arhimedov skrutk. Zviedol tktiež moment sily definovl ťžisko teles. Arhimed preslávil jeho účsť n orne Syrkúz počs rímskeho oliehni v prvej (64-41 pr.n.l.) druhej púnskej vojne (1-01 pr.n.l.), kedy jeho vojnové stroje pomáhli zdržť postup Rimnov. Použili ťžké trámy silou zhor potápli rímske lode do hlín. Železnými hákmi (podojúimi s jstrím pzúrom), loď zhytili, zdvihli ju do výšky potom ju vrhli o mestské hrdy či späť do vody. Pomoou prolikýh zrkdiel zs

2 dokázl zpáliť rímske lode v dosttočnej vzdilenosti od mestského opevneni. No práve vojn s mu stl osudnou. Keď rímsky vojk vtrhol do jeho domu, nšiel Arhimed, ko kreslí do piesku mtemtiké digrmy. Vojk urzilo, že si ho nevším prikázl mu, y prestl kresliť. Arhimedes ho neposlúhol zvoll: Noli tngere irulos meos - Nedotýkj s mojih kruhov! Po týhto slováh ho rozzúrený vojk preodol mečom. Arhimedes s tktiež venovl optike. Túto prolemtiku ojsňuje vo svojom diele Ktoptik v ktorom vysvetľuje odrz svetl, lom svetl vo vode vo vzduhu. Tktiež v ňom hovorí o dúhe o vlstnostih guľového zrkdl pomoou ktorého s djú zpáliť predmety. Prínos v mtemtike Arhimedes ol prvý, ktorý s význmne zoerl nielen primkmi rovinmi, le tktiež krivkmi, olými plohmi, oshom ojemov tvrov, ktoré vymedzovli. Ay to mohol zvládnuť využívl ko jeden z mál Eudoxovu exhustívnu metódu, ktorá ol vytvorená pre výpočet plôh leo ojemov konkrétnyh orzov, či telies. Dokázl konkrétne výsledky zoeniť nšiel oené prvidlá pre ojem elipsoidu leo proloidu. Oené vzťhy pre ojemy telies ževrj skúšl njskôr hľdť tým, že telesá vyrál z drev, vážil ih,podľ zmeny váhy usudzovl zmeny ojemov tie odhdovl oenou zákonitosťou pre ojem. Vzore, o ktorom vďk tomu už tušil, ko vyzerá, potom oene odvodil. Odvodil tiež, že pomer medzi ojemom vl (s výškou rovnou jeho priemeru), gule kužeľ do nej vpísnýh je 3::1. (údjne vďk tomuto výsledku Ciero podľ zvláštneho tvru vl s vloženou guľou nšiel zudnutý Arhimedov hro) Prol Arhimedes s snžil vypočítť osh pod prolou. Táto metód spočív v jednoduhom zákone páky. Nmiesto síl n páku pôsoi oshy plošnýh útvrov dĺžky úsečiek. Zákon páky znie: sil pôsoi n jedno rmeno páky vynásoená dĺžkou rmen s rovná sile pôsoiej n druhé rmeno páky vynásoenej dĺžkou druhého rmen. Ak tm dáme úsečky, je to v podstte to isté. Ak n jedno rmeno páky zvesíme úsečku o dĺžke 1 m, pričom rmeno, n ktorom ude, ude mť 1 m, ké dlhé ude druhé rmeno, n ktorom ude úsečk s dĺžkou m, y s udržl rovnováh páky? Dĺžku úsečky si oznčíme v dĺžku rmen d. d 1 v 1 d v 1 1 d > 1 d Dĺžk druhého rmen je jedn polovi. Tk isto to funguje j s oshmi.

3 Prol je komplikovná krivk. Jej predpis je y x². Ay s dl zmerť osh útvru pod prolou, pokúsil s Arhimedes vytvoriť iný útvr, ktorého osh y s dl vypočítť. Dokreslil si k prole trojuholník. Bod C má súrdnie [x,0], to znmená, že v smere osi x je vzdilený od nuly o x. Ak predpis pre prolu je y x², tk dĺžk úsečky AC x², pretože k hodnot x je x, hodnot y ude x² k [0;0]C x, tk AC x². Úsečk BD leži v dokreslenom trojuholníku má dĺžku x, pretože úsečk [1;1,5][1;-1,5] má dĺžku 1 je vo vzdilenosti 1 od [0;0]. To znmená, že k nnesieme úsečku do vzdilenosti x od [0;0], tá čsť v trojuholníku ude mť dĺžku x, pretože trojuholníky [0;0][1;-1,5][1;1,5] [0;0]DB sú si podoné. Arhimedes si uvedomil jednu ve: k úsečku AC prenesie do odu K úsečku BD nehá tm, kde je vytvorí koy páku, udú tieto dve úsečky v rovnováhe, k od [0,0] je odom otáčni. AC x BD x AC 1 BD x x 1 x x Tu je vidno, že táto sústv je nozj v rovnováhe. Tkýhto čiernyh úsečiek, kou ol AD, uroil viero. Tú čsť týhto úsečiek, ktoré oli v trojuholníku s rovnými čirmi nehl tm, kde oli (ko npríkld BD). Tie, ktoré oli v krivočirom trojuholníku, preniesol do odu K (ko npríkld AC). Podľ predhádzjúeho príkldu, kde sú úsečky AC BD vyvážené, s dá zistiť, že j v tomto prípde je pák vyvážená. Ted úsečky proly, všetky

4 nskldné v ode K, pôsoi v ode K. Keďže dvojie úsečiek z trojuholníkov sú n páke v rovnováhe, je jsné, že j o trojuholníky udú v rovnováhe. Tiž, kou pôsoí trojuholník n páku, s nhádz v ode T, čo je jeho ťžiskom. Ako vidíme, úsečk [0;0][1;0] je jeho ťžni, ťžisko n ťžnii s vždy nhádz v dvoh tretináh úsečky spájjúej vrhol trojuholník so stredom protiľhlej strny. N orázku je trojuholník s prolou oznčený P ten s rovnými strnmi R. Zvesme si ih n páku. Ak si vypočítme osh trojuholník R: v p 11 1 S R túto oshovú váhu zvesíme n od n páke s názvom T, čo je ťžisko trojuholník R, zistíme, že trojuholník R pôsoí n páku momentom sily rovnjúemu s jednej tretine. 1 P P 3 3 To znmená, že k nrysujeme štvore so strnou dĺžky 1 (čiže jeho osh ude tiež 1) vpíšeme do neho prolu, tá prol ho predelí n jednu tretinu dve tretiny.

5 Pí () Metódou, ktorá je v podstte exhustívn, nšiel tiež pomerne presný odhd čísl. Hodnotu tohto irionálneho čísl ojvil rdom elkom jednoduhýh operáii, ktoré sú nižšie spomenuté. Zorl si kruh, pričom polomer s rovná číslu jeden či už meter leo entimeter. Pokúsil s vypočítť jeho priližný osh tk, že do neho vpisovl opisovl iné útvry, ktorýh osh vedel vypočítť. Zčl štvorom. Kruh vložil do štvor jeden štvore vložil j do kruhu. Oshy štvorov vypočítme nsledovne väčší je jednoduhý, pretože polovii jeho strny s rovná polomer kruhu; menší vypočítme Pytgorovou vetou. Osh kruhu ude niečo medzi 4, ted k je to násook druhej moniny polomeru, tk pí ude niečo medzi 4. To všk nie je dosttočne presné. Preto následne štvore nhrdil osemuholníkmi. Tento proes potom opkovl dovtedy, kým ml stodvdsťosem uholníky. Podsttné je, že väčší ml osh 3,1417 menší ml osh 3,1415 ted mu vyšlo, že priližná hodnot čísl je 3,1416.

6 Hippokrtove mesičiky Ide o Hippokrtov ojv, kde dokázl, že s dá zostrojiť olúkovitý plošný útvr s rovnkým oshom ko hrntý plošný útvr. Zistil, že keď má prvouhlý trojuholník zostrojí polkruh, dotýkjúi s všetkýh vrholov tkisto zostrojí polkruhy nd odvesnmi, tk priestor medzi tými polkruhmi mesičiky mjú rovnký osh ko trojuholník. or.1 Vypočítť osh, z ktorého má vyjsť, že s rovná oshu trojuholník. or. or.3 Všetko z orázku spočítl odpočítl od toho orázok 3. ( ) S S S S 4 4 Pytgorov vet hovorí: 0. To nám dáv nulu v zátvorke, číslo vypdáv z hry vyhádz nám výsledok, že osh mesičikov s rovná oshu trojuholník.

7 Biliogrfiké zdroje: stihnuté dň stihnuté dň stih.dň Mreš, M.: Příěhy mtemtiky. Stručná historie královny věd. Pistorius & Olšnská. Přírm, 00.