10 Určitý integrál, jeho výpočet a aplikácie

Transcript

1 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy Určtý tegrál, jeho výpočet plkáce. Motvác k určtému tegrálu Úvodom s udeme zoerť jedou úlohou z geometre, rešee ktorej vede k zvedeu pojmu určtý tegrál. Úloh o plošom oshu: Zvoľme s v rove prvouhlý súrdcový systém. Nech fukc f ( ) je spojtá tervle, doúd tomto tervle ezáporé hodoty, t.j. f pre kždé,. Grf fukce f ( ) tervle ; je zázoreý or... Nech f ( ) je ezáporá spojtá fukc defová tervle,. Prmky = =, y = y = f ohrčujú geometrcký rový útvr, ktorý zývme krvočry lchoežík L. Ted L je mož odov L=, y E : y f, grf fukce {[ ] } Krvočry lchoežík ohrčeý prmkm =, =, y = grfom fukce Or.. f = + s je zázoreý or.. žltou frou. Or.. Chceme určť plošý osh krvočreho lchoežík L. Poúk s ám tu prrodzee táto myšlek: rozdeľme tervl, delcm odm,,..., čstí. Nech od =, =, ( = = ). Rovoežkm s y-ovou osou, prechádzjúcm odm pre {,,..., }, rozdelíme krvočry lchoežík L krvočrych lchoežíkov. Fukc f je podľ predpokldu spojtá,, z čoho vyplýv, že je spojtá kždom uzvretom tervle,. Preto má kždom uzvretom tervle, m f = m, m f = M, mmum j mmum. Ozčme,, =. Odĺžky so strm dĺžok vpísý do krvočreho lchoežík L s plošým oshom strm dĺžok m tvor stupňovtý mohouholík Q P Q = = m. Odĺžky so M tvor stupňovtý mohouholík R opísý krvočremu 7

2 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy lchoežíku L o plošom oshu P R = = M, kde = = je dĺžk záklde krvočreho lchoežík. N orázkoch.. sú zázoreé stupňovté mohouholíky pre delee = =, =, =, =, =, = =. Or.. Or.. Je zrejmé, že pr ľuovoľom deleí tervlu, krvočry lchoežík L oshuje vpísý mohouholík Q je oshutý v opísom mohouholíku R, t.j. pltí m P M. L = = Pozámk: Ak zväčšíme počet delcch odov, potom s dĺžky zmešujú. Preto s j rozdel medz príslušým plošým oshm vpísých opísých stupňovtých mohouholíkov stále zmešuje ted číslo P L ude stále presejše určeé predchádzjúcm erovosťm. Geometrcká terpretác zhusťov delcch odov je zázoreá orázkoch..6. Or.. Or..6 N or.. je modrou frou vyjdreé práve spresee dolého odhdu oshu P L oprot or... Podoe or..6 je zeleým odĺžkm vyjdreé spresee horého odhdu oshu P L oprot or... 8

3 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy Pr postupom zjemňoví dele tervlu použtím lmtého procesu dosteme lm m PL lm M = =. Túto lmtu ozčujeme f d čítme tegrál = = od po z fukce f ( ). Fukc f, pre ktorú estuje f Ďlše plkáce určtého tegrálu: d, s zýv tegrovteľá tervle,. Určtý tegrál má omoho šrše využte ko le pr výpočte oshov. V geometr ím možo určť ojemy č dĺžky krvek. Vo fyzke techckých vedách s mohé velčy vyjdrujú pomocou tegrálov. Npríkld dráh prejdeá pr prmočrom pohye, ktorého rýchlosť je vyjdreá ko fukc čsu v( t ), v čsovom tervle t, t je vyjdreá t rovcou s v() t dt =. Prác vykoá slou t v smere os z odu do odu je vyjdreá rovcou W sú vo fyzke stovky.. Vet o výpočte určtého tegrálu F, ktorá posue teleso po prmej dráhe = F d. Podoých príkldov Nsledujúc vet chrkterzuje vzťh medz určtým eurčtým tegrálom slúž pr výpočte určtého tegrálu. Vet. Nech f ( ) je fukc tegrovteľá, ech fukc tervle, ech je prmtívou fukcou k fukc f ( ) tervle (, ). Potom pltí f ( d ) = F F F je spojtá. Teto vzťh zývme Newtoov - Lezov vzorec zpsujeme ho f ( d ) = F = F F. Príkld. Vypočítjte d. 8 7 d= = = = Príkld. Vypočítjte s d. [ ] ( ) s d = cos = cos cos = = + = 9

4 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy Príkld. Vypočítjte e l d. Njprv ájdeme prmtívu fukcu k fukc l. Použjeme metódu per prtes. u = l v = l d = l d = = l d = l d = l + c u = v= e e [ ] l d = l = e l e e l = e e = = Príkld. Vypočítjte + d Njprv ájdeme prmtívu fukcu k fukc. Použjeme susttučú metódu = t d = dt = l t + c = l c d= dt ( ) t + d = l = l l = l l = l Osh plochy pod grfom fukce V podkptole. sme defovl krvočry lchoežík. Príkld krvočreho lchoežík spĺňjúceho erovost je y zázoreý žltou frou or..7. Vet. Ak mož A je krvočry lchoežík, potom jej plošý osh vypočítme podľ vzorc P A = f d. Or..7

5 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy Príkld. Vypočítjte osh krvočreho lchoežík z orázku.7. 6 P( A) = f d= d= d= = = = = Nech f () g () sú spojté fukce uzvretom tervle,. Možu odov[, y] v rove, ktoré spĺňjú erovost, zývme g y f elemetár olsť typu, y. Príkld elemetárej olst typu, y spĺňjúcej erovost je zázoreý žltou frou y or..8. y = Vet. Nech fukce f () g () sú spojté,, f g. Plošý osh možy A odov v rove, ktoré spĺňjú erovost, je g y f dý vzťhom = ( ) P A f g d. Or..8 y = Príkld.6 Vypočítjte osh elemetárej olst z orázku.8. P( A) = ( f g ) d= ( ( ) ) d= = + = = = Príkld.7 Vypočítjte plošý osh čst rovy ohrčeej krvkm y = +, y =. Stuácu s grfcky zázoríme or..9. Njprv určíme presečíky ooch krvek. + = = +

6 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy D = = 9 9 = = = = = = Čsť rovy ohrčeá krvkm y = +, y = je ted elemetár olsť typu, y spĺňjúc erovost y +. Jej osh určíme podľ vety.. Or..9 ( ) ( ) P A = f g d= + d= + d= + = + + = = = = 6 6 Pozámk: Ak čsť rovy, ktorej plochu máme vypočítť, e je elemetárou olsťou, le s dá písť ko zjedotee koečého počtu elemetárych olstí, t.j. A = A A... A, prčom dve rôze možy emjú spoločé vútoré ody, potom P A) = P( A ) + P( A ) P( A ). ( Príkld.8 Vypočítjte plošý osh čst rovy ohrčeej krvkm osou. Stuácu s grfcky zázoríme or... Olsť je tm rozdeleá čst: žltú modrú. y =, y = Njprv určíme presečík krvek = + = D = ( ) = 9 9 = = = = = = y =, y =. N orázku je vyzčeý práve presečík. Or..

7 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy Vdíme, že čsť rovy ohrčeá krvkm y =, y = osou e je elemetár olsť typu, y, pretože je zhor ohrčeá dvom rôzym krvkm. Dá s všk rozdelť dve elemetáre olst typu, y žltú modrú. Žltá (ozčme ju A) spĺň erovost, modrá (ozčme ju B) spĺň erovost. Ich oshy určíme podľ y y vety. poko ch sčítme. P( A) = ( f g ) d= ( ) d= d= = = P ( B) = ( f g ) d = ( ( ) ) d = ( ) d = = = = P( A+ B) = P( A) + P( B) = + = 6 Plošý osh čst rovy ohrčeej krvkm y =, y = osou je 6.. Ojem rotčého teles Nech je v prestore dá rov v ej prvouhlý súrdcový systém. Nech fukc f () je spojtá ezáporá,. Teleso, ktoré opíše elemetár olsť určeá fukcou f () tervle, pr rotác okolo os zývme rotčým telesom určeým fukcou f () tervle,. (or..) Tk ko pr výpočte plošého oshu, j v tomto prípde uroíme delee tervlu, v tervloch dele hrdíme krvočre rotčé teleso vpísým vlcom s polomerom m opísým vlcom s polomerom M. Pre ojem teles V pltí: m V M, kde m je ojem vlc vpísého M je ojem vlc opísého telesu T. Ak sčítme erovost pre =,,..., dosteme = m V M. = Or.. Ak udeme zjemňovť delee tervlu, ojemy vpísých opísých vlcov s udú prlžovť k ojemu rotčého teles. Ak prejdeme k lmtému procesu (delíme ekoeče veľ čstí) získme poždový ojem. Tkýto lmtý proces vede k určtému tegrálu, ktorý je opísý v sledujúcej vete.

8 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy Vet. Nech A je krvočry lchoežík, t.j. mož odov v rove určeá erovosťm. Potom ojem teles, ktoré vzke rotácou tejto olst okolo os, je y f dý vzťhom V = f d. Pozámk: Podoým úvhm, ko sme použl pr odvodzoví plošého oshu elemetárej olst, y sme odvodl vzorec výpočet ojemu rotčého teles, ktoré vzke rotácou elemetárej olst okolo os. Vet. Nech A je elemetár olsť v rove, ktorej ody [, y] spĺňjú erovost. Potom ojem rotčého teles, ktoré vzke rotácou tejto olst g( ) y f okolo os, je dý vzťhom V = ( f g ) d. Príkld.9 Vypočítjte ojem rotčého teles zázoreého orázku.. Rotčé teleso vzklo rotácou krvočreho lchoežík určeého erovosťm. Jeho ojem určíme podľ vety.. y V f d d d = = = = = = 8 Príkld. Vypočítjte ojem rotčého teles, ktoré vzke rotácou elemetárej olst ohrčeej krvkm y =, y = okolo os. Stuácu s grfcky zázoríme or... Njprv určíme presečík krvek y =, y =. = = ( ) = = = Je to elemetár olsť určeá erovosťm. Jej ojem určíme podľ vety.. y Or..

9 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy V = ( f g ) d= ( ) d= = =. Úlohy Vypočítjte.. ( + + 7) d d= = = = = = = 6 6. ( 8 + ) d ( 8 + ) d= + 7 = + + = = + = + = = 7 7. ( s + cos ) d s cos cos s cos s cos s ( ) d [ ] + = + = + + = = + + = = e. ( l ) d (pre výpočet eurčtého tegrálu pozr úlohu 6 z kptoly 9) e ( l ) e l e l e e l d= = = e e e e e e + e + = = = =

10 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy. s ( + ) d (pre výpočet eurčtého tegrálu pozr úlohu 9 z kptoly 9) ( ) ( ) cos + cos + cos + s ( + ) d= = = cos( + ) cos cos cos( + ) cos = + = = 7 6. l ( ) 7. d (pre výpočet eurčtého tegrálu pozr úlohu z kptoly 9) 7 l d= l + = (( 7 ) l( 7 ) 7+ ) ( ( ) l( ) + ) = l l = l = l = l + d (pre výpočet eurčtého tegrálu pozr úlohu z kptoly 9) 7 ( ) d= = = = = 8. Vypočítjte osh plochy ohrčeej súrdcovým osm grfom fukce y =. ) vypočítme presečíky grfu so súrdcovým osm =... y = = y =... =... = presečíku grfu fukce so súrdcovým osm sú [ ; ] ; ) pretože celá ploch leží pod osou os jej zodpovedá tervl ;, jej osh vypočítme ko ( ) d, prčom zmeko gorujeme 6

11 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy = = = = = ( ) d Osh plochy ohrčeej súrdcovým osm grfom fukce y = je Vypočítjte ojem útvru, ktorý vzke rotácou plochy ohrčeej súrdcovým osm grfom fukce y = okolo os. O ký útvr s jedá? ) vypočítme presečíky grfu so súrdcovým osm =... y = = y =... =... = presečíku grfu fukce so súrdcovým osm sú [ ; ] ; ) pretože celá ploch leží pod osou os jej zodpovedá tervl ;, ojem útvru, ktorý vzke jej rotácou okolo os, vypočítme ko ( ) d= + 9 d= = = = + = Ojem útvru, ktorý vzke rotácou plochy ohrčeej súrdcovým osm grfom fukce y = okolo os, je 9. d 7

12 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy Jedá s o kužeľ s polomerom podstvy výškou. Jeho ojem sme mohl určť j tkto: V rv 9 = = = =.. Vypočítjte osh plochy ohrčeej súrdcovou osou, prmkou = grfom fukce y =. ) presečík grfu fukce so súrdcovým osm je od [ ; ] ) pretože celá ploch leží d osou os jej zodpovedá tervl ; jej osh vypočítme ko d 6 d = d = = = = = Osh plochy ohrčeej súrdcovou osou, prmkou = grfom fukce y 6. = je. Vypočítjte ojem útvru, ktorý vzke rotácou plochy ohrčeej súrdcovou osou, prmkou = grfom fukce y = okolo os. O ký útvr s jedá? ) presečík grfu fukce so súrdcovým osm je od [ ; ] ) pretože celá ploch leží d osou os jej zodpovedá tervl ;, ojem útvru, 8

13 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy ktorý vzke jej rotácou okolo os, vypočítme ko ( ) d= d= = = 8 Ojem útvru, ktorý vzke rotácou plochy ohrčeej súrdcovou osou, prmkou = grfom fukce y = okolo os, je 8. Jedá s o rotčý prolod.. Vypočítjte osh plochy ohrčeej súrdcovou osou grfom fukce y = s pre ;. ) presečíky grfu fukce so súrdcovým osm sú [ ;] [ ;] ) pretože celá ploch leží d osou os jej zodpovedá tervl ;, jej osh vypočítme ko s d [ ] ( ) s d = cos = cos cos = = + = Osh plochy ohrčeej súrdcovou osou grfom fukce je. d y = s pre ;. Vypočítjte ojem útvru, ktorý vzke rotácou plochy ohrčeej súrdcovou osou grfom fukce y = s okolo os. O ký útvr s jedá? ) presečíky grfu fukce so súrdcovým osm sú [ ;] [ ;] ) pretože celá ploch leží d osou os jej zodpovedá tervl ;, ojem 9

14 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy útvru, ktorý vzke jej rotácou okolo os, vypočítme ko Njprv vypočítme ( s ) s d. u = s v' = s s d = s s d = = s cos cos d = u' = cos v= cos ( s ) d d d s cos + cos = s cos + s = s cos + s s d= s cos + s d s d= s cos s cos d= s cos s cos s cos s d= = = = = Ojem útvru, ktorý vzke rotácou plochy ohrčeej súrdcovou osou grfom fukce y = s okolo os, je. Jedá s o teleso podoé rotčý elpsod. d. Vypočítjte osh plochy ohrčeej grfm fukcí y = y = +. ) vypočítme presečíky grfov fukcí y = y = + = + 6 9, = D = 6 9 = 8 D = 8 = 6 = 6 6 ± 6 ± = = ) pretože tervle y + ; je grf fukce =, osh plochy medz grfm vypočítme ko y = + d grfom fukce 6

15 Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy + ( + ) ( ) d d = 9+ 6 d = 9 + = = = = + + = = = = = = 7 Osh plochy ohrčeej grfm fukcí y = y = + je 7. 6