Grafično reševanje optimizacijskih nalog. Optimiranje nosilnih konstrukcij

Transcript

1 Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo KKTS - LASOK Optimiranje nosilnih konstrukcij doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: pisarna: FS telefon: 01/ boris.jerman@fs.uni-lj.si (Tema/Subject: ONK -...) Soavtor gradiva: i.prof.dr. Janez Kramar, univ.dipl.inž.str. Grafično reševanje optimizacijskih nalog Z grafičnim prikazom cenilne funkcije (CF) na ravnini (papir, zaslon) je mogoče reševati optimizacijske naloge z do tremi konstrukcijskimi spremenljivkami (KS). a) Najbolj enostavni so primeri CF z eno KS. Tedaj se na abscisno os nanaša edino KS, na ordinatno os pa vrednost CF. Optimum je najmanjši lokalni minimum znotraj dovoljenega območja. 2 1

2 b) V primeru dveh KS: - na koordinatni osi ravninskega koordin. sist. se nanese obe KS; - v ravnini teh KS se rišejo t.i. izolinije -črte enakih vrednosti CF. 3 c) V primeru treh KS: - možen prikaz v aksonometriji (točkam v prostoru se pripiše vrednosti CF, ki se lahko povežejo v izoploskve (z enakimi vrednostmi CF) 5 2

3 c) V primeru treh KS: - možen prikaz v več ravninskih nivojih (v teh nivojih nastopajo izolinije). 6 c) V primeru treh KS: - možen prikaz v več ravninskih nivojih (v teh nivojih nastopajo izolinije). V vseh treh primerih je sorazmerno enostavno najti mesto (mesta) najmanjše vrednosti CF in s tem optimalne vrednosti KS. 7 3

4 Potrebna matematična sredstva v procesu grafičnega reševanja optimizacijskih nalog KS tvorijo vektor z n komponentami: (en. 1) Skalarna CF v n-dimenzionalnem vektorskem prostoru: (en. 2) Išče se konstrukcijsko rešitev, da bo vrednost CF minimalna. Če se CF pomnoži s pozitivnim številom se: mesto optimuma ne spremeni (iste koordinate iste KS), vrednost optimuma spremeni za uporabljeni faktor. 8 Območje konstrukcijskih rešitev je: podvrženo p enakostnim pogojem (j = l do p): (en. 3) m neenakostnim omejitvam (j = 1 do m): (en. 4) Vse neenakostne omejitve se formulira v obliki '' ( ) 0''. (Omejitve z obliko '' ( ) 0'' se pomnoži z ''-1''.) 9 4

5 Število enakostnih pogojev je omejeno: drugače bi šlo za predoločen sistem, kjer je: (p-n) enakostnih pogojev med seboj odvisnih ali formulacija problema nekonsistentna. Kadar velja: p n, p = n, optimizacija ni potrebna, ker so vse rešitve enakostnih omejitev kandidatke za optimalno rešitev. p... število enakostnih pogojev n... število KS 10 Število neenakostnih omejitev ni omejeno. Lahko so: aktivne (krčijo dopustno območje konstrukcijskih rešitev); neaktivne (ne krčijo dopustnega območja). Modra neenakostna omejitev je neaktivna, saj ne krči dodatno dovoljeno območja, ki je že omejen s tremi črnimi neenakostnimi omejitvami. Optimizacijski problem je lahko tudi brez omejitev. 11 5

6 Število optimalnih rešitev optimizacijskega problema: lahko je ena sama; lahko jih je več; lahko ni nobene (kadar omejilne funkcije zožijo dovoljeno območje na prazno množico). Optimalna rešitev je lahko tudi v neskončnosti (teoretično). Primeri 12 Primer 5: Maksimiranje dobička Besedilna opredelitev: Podjetje izdeluje stroje vrste A in B. Pri danih virih lahko vsak dan izdela do 28 strojev vrste A ali do 14 strojev vrste B. Prodajni oddelek bi lahko vsak dan prodal do 14 strojev vrste A ali do 24 strojev vrste B. Transportne možnosti tovarne so omejene na 16 strojev dnevno. Podjetje dosega dobiček na stroj: - s prodajo stroja A 400, - s prodajo stroja B 600. Koliko strojev vrst A in B naj podjetje izdeluje dnevno, da bo dnevni dobiček največji možni? Intuitivna rešitev: 12 strojev B in 4 strojev A. Kaj pa dejansko? 13 6

7 Matematična opredelitev: Konstrukcijski (optimizacijski) spremenljivki: x 1... število dejansko izdelanih strojev A na dan. x 2... število dejansko izdelanih strojev B na dan. Cenilna funkcija*: Za izris izolinij CF, se določi poljubne vrednosti CF, nato pa se eno KS izrazi s pomočjo druge. Enakostnih omejitev ni. *... pri optimiranju po dogovoru vedno iščemo minimum. Če dejansko iščemo maksimum, CF pomnožimo z Neenakostne omejitve: Število izdelkov ne more biti negativno: Osnovni zapis: Standardni zapis: x 1 0 -x 1 0 x 2 0 -x 2 0 Neenakostna omejitev s strani virov in proizvodnje: (28 oz.14 - možna proizvodnja stojev A oz. B) Iz slednje omejitve se zapiše neenačba za izris omejitve dovoljenega območja območja možnih konstrukcijskih rešitev:

8 Neenakostne omejitve: Omejitev prodajnega oddelka: področje: 24 2 Omejitev s strani transporta: področje: 16 Celotna formulacija problema je linearna. 16 Iz grafa je vidno, da obstaja ena sama optimalna rešitev: S Diskusija: ugotoviti vpliv povečanja transportnih zmogljivosti; ugotoviti vpliv povečanja izdelovalnih zmogljivosti; kdaj je smiselno izboljšati prodajne zmogljivosti? S... Dovoljeno območje konstrukcijskih rešitev naloge»optimiranje dobička «. (Izdelano po Figure 3-3 in 3-5 iz [1].) Puščica z oznako»min«- smer padanja vrednosti izolinij CF. 17 8

9 Primer 6: Optimizacija z več enakovrednimi rešitvami Matematična opredelitev: Cenilna funkcija:, = ( +, ) in za graf: Neenakostne omejitve: =, za izris izolinije = const Osnovni zapis: Standardni: Za graf: 2x 1 +3x x 1 +3x x 2 =(12-2x 1 )/3 2x 1 +x 2 8 2x 1 +x x 2 =8-2x 1 x 1 0 -x 1 0 x 1 0 x 2 0 -x 2 0 x A S B Grafičen prikaz rešitve (po Figure 3-7 iz [1]). Obstaja neskončno optimalnih rešitev na daljici. C S... dovoljeno območje območje možnih konstrukcijskih rešitev. 19 9

10 Primer 7: Rešitev optimizacije v neskončnosti Matematična opredelitev: Cenilna funkcija: Neenakostne omejitve: 20 X 2 Grafičen prikaz rešitve: rešitev v neskončnosti f(x 1,x 2 )=4 (X 1 =, X 2 =0) S f(x 1,x 2 )=0 f(x 1,x 2 )= -4 X 1 (Figure 3.8 iz [1]) razvidno iz lege in smeri padanja izolinij. S... dovoljeno območje območje možnih konstrukcijskih rešitev

11 Primer 8: Rešitev optimizacije, kjer rešitev ni možna Matematična opredelitev: Cenilna funkcija: Neenakostne omejitve: Standardno: Za izris: 3x 1 + 2x 2 0 x 2-3/2 x 1-2x 1-3x x 2 (12-2x 1 )/3 -x 1 0 x 1 0-2x 2 0 x 2 0 x x 1 5 x x Grafičen prikaz omejitev nikjer niso vse izpolnjene! 5 Dovoljeno območje ne obstaja oz. je prazna množica (nobena rešitev ni možna, ne more ležati v dovoljenem območju) 23 11

12 Primer 9: Cena valjaste tlačne posode Besedilna opredelitev: Optimirati je potrebno valjasto tlačno posodo s polsferičnima dnoma glede na ceno. Tržna cena predizdelanih polsferičnih dnov na enoto mase je k-krat višja kot je izdelovalna cena predizdelanih valjastih plaščev. Medij v tlačni posodi: tekoča kemijska zmes s plinasto fazo v obsegu 10 % volumna. Za valjast plašč in dna je predvideno drobnozrnato jeklo P355, namenjeno izdelavi opreme pod tlakom. V posodi je nadtlak p d. BHARAT tanks and vessels, zajeto na: 24 Podane konstante: Zagotovljeni so ustrezni pogoji, da je z =

13 Skica posode: Tlačna posoda (poenostavljena skica, brez priključkov) 26 Matematična opredelitev: Konstrukcijske spremenljivke: Cenilna funkcija: Cena tlačne posode skupaj z dnoma je določena preko mase oz. volumna uporabljenega gradiva. Pri izračunu debeline pločevine se upošteva tudi dodatka: za morebitne negativne odstopke v debelini pločevine: δ e- ; za obrabo/korozijo: c

14 Volumen posode je vsota volumna valja in volumna krogle: Potrebna debelina valjastega dela posode je: Potrebna debelina sferičnega dna je: Volumen jekla za valjasti del: in za oba dna skupaj: (oboje ob predpostavki: e d << D i ) 28 Matematična opredelitev: Cenilna funkcija v prvem približku (ob upoštevanju proporcionalnosti med volumnom in maso): Pri tem velja, da je cena na kilogram dna : = Enakostni pogoj volumen posode (standardna oblika): 29 14

15 Matematična opredelitev: Neenakostni omejitvi: Prva v povezavi s potrebno debelino stene valja, druga pa s potrebno debelino stene sferičnega dna: Enote posameznih veličin: p d, f [MPa]; D i, c, δ e-, e v, e d [mm]; z [ ] 30 Matematična opredelitev: Neenakostni omejitvi: Razmislek o neenakostnih omejitvah v luči CF: za posodo bo najmanj uporabljenega gradiva, če bosta debelini sten najmanjši dopustni; tedaj bosta obe omejitvi aktivni in bosta postali enakostna pogoja: 31 15

16 Matematična opredelitev: Vsak od treh pogojnih izrazov vsebuje ob notranjem premeru D i samo še po eno od preostalih spremenljivk, ki se jo lahko ustrezno izrazi v odvisnosti od D i : 32 Matematična opredelitev: Iz CF se lahko (s pomočjo prejšnjih izrazov) izloči kar tri od štirih KS. Naloga tako postane enodimenzionalna. Nova oblika CF: Iskanje minimuma te CF se izvede na numerično-grafičen način z izračunavanjem vrednosti CF v odvisnosti od D i

17 Konkretni podatki: c 1 /mm 3, (3 /kg) k --- 1,4 V 0 mm 3 (=5000 l) p d MPa 2 (=20 bar) f MPa 240 z c mm 1 δ e- mm 0,3 34 Zapis CF v Excelu za izris grafa v Excelu: =$D$5*PI()*(4/PI()/G5*($D$7- PI()*G5^3/6)*($D$8*G5/(2*$D$9*$D$10- $D$8)+$D$11+$D$12)+$D$6*G5^2*($D$8*G5/(4*$D$9- $D$8)+$D$11+$D$12)) V koloni D Excelove razpredelnice so izbrani podatki iz predhodne tabele. V koloni G Excelove razpredelnice je premer posode D i, v razponu 100 mm do 7000 mm

18 Graf: ,00 Minimum je nekje med 1000 mm in 2000 mm Cena [ ] 8.000, , , ,00 0, Di [mm] Cena [ ] 2.680, , , , , , , Di [mm] oz. pri D i =1500 mm. 36 KONCEPT OPTIMALNEGA SNOVANJA Opredelitev optimizacijskega problema z: dobro izbranim vektorjem KS, primerno CF, naborom enakostnih pogojev, naborom neenakostnih omejitev. (en. 1) (en. 2) (en. 3) (en. 4) 37 18

19 KONCEPT OPTIMALNEGA SNOVANJA Obstaja veliko načinov reševanja optimizacijskih nalog. Najsplošnejše so numerične metode, ki se delijo v dve skupini: neposredne numerične metode, ki jim zadoščajo izključno zapisi (en. 1) do (en. 4) na prejšnji prosojnici; posredne numerične metode, kjer se po pravilih teorije optimalnosti najprej pripravi vrsto odvodov: CF, enakostnih pogojev in neenakostnih omejitev, ki usmerjajo iskanje kandidatnih točk za globalni optimum. 38 KONCEPT OPTIMALNEGA SNOVANJA S... območje možnih konstrukcijskih rešitev.... določena točko v S, kjer bi lahko bil minimum (kandidatna točka za optimum). Območje S ima globalni minimum v točki, če povsod v S velja: kadar velja neenačaj za vse točke iz S razen za, gre za strogi globalnem minimumu, sicer za šibki globalni minimumu. (en. 5) 39 19

20 KONCEPT OPTIMALNEGA SNOVANJA Kadar (en. 5) velja le v okolici točke, govorimo o lokalnem minimumu: kadar v tej okolici velja neenačaj samo za točko, gre za strogi lokalni minimum, sicer za šibki lokalni minimum. Matematični zapis okolice N v S: pri čemer je: 40 Osnovna matematična pomagala Zaprto območje obsega tudi vse točke na meji. Območje je omejeno, če velja za katerokoli točko iz območja:, kjer je c končno število. Cenilna funkcija, enakostni pogoji ter neenakostne omejitve naj bodo vsaj dvakrat zvezno odvedljive funkcije. Teorem I - Weierstrass-ov teorem o obstoju globalnega min.: Če je ( ) zvezna na S, ki je zaprto in omejeno, ima v S globalni minimum. S... območje možnih konstrukcijskih rešitev

21 Osnovna matematična pomagala Gradientni vektor (gradient) CF v opazovani točki : Gradientni vektor ( ) je normala na tangentno ravnino izoploskve skozi točko ter kaže v smeri največjega povečevanja CF iz opazovane točke. 42 Osnovna matematična pomagala Hessejeva matrika - matrika drugih odvodov CF v točki : i = 1 do n, j = 1 do n Ta matrika: je vedno simetrična, igra ključno vlogo pri formulaciji zadostnega pogoja optimalnosti

22 Osnovna matematična pomagala Razvoj cenilne funkcije v Taylorjevo vrsto okrog točke : Za CF ene spremenljivke: Za CF z več spremenljivkami - zapis v matrični obliki: kjer je: Razlika vrednosti CF v okoliški opazovani točki je v prvem točki do vrednosti v približku kar: 44 Osnovna matematična pomagala Glavni minorji kvadratne matrike: Vsaka kvadratna matrika A velikosti n x n ima spremljajoče skalarje - glavne minorje M k, ki so determinante podmatrik matrike A: A kk je podmatrika matrike A dimenzije k x k, ki se jo dobi s črtanjem vseh zadnjih n - k vrstic in stolpcev. Npr.: in 45 22

23 Osnovna matematična pomagala Teorem II - Kvadratna matrika A dimenzije n x n, je: pozitivno definitna, če in samo če so vsi njeni M k pozitivni: M k > 0, k = 1 do n. pozitivno poldefinitna, če in samo če so vsi: M k 0, k = 1 do n, in je vsaj en M k = 0. negativno definitna, če in samo če so: M k < 0 za sode k in M k > 0 za lihe k. negativno poldefinitna, če in samo če so: M k 0 za sode k in M k 0 za lihe k, in je vsaj en M k = 0. nedefinitna, če ne ustreza nobenemu gornjemu kriteriju