ΤΟ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ- ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΠΟΛΥΣΤΡΩΤΗ ΠΛΑΚΑ ΜΕ ΑΜΦΟΤΕΡΕΣ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΕΚΤΕΘΕΙΜΕΝΕΣ

Transcript

1

2 ΤΟ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ- ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΠΟΛΥΣΤΡΩΤΗ ΠΛΑΚΑ ΜΕ ΑΜΦΟΤΕΡΕΣ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΕΚΤΕΘΕΙΜΕΝΕΣ Ν. Σιακαβέλλας & Δ.Γεωγίου Τμήμα Μηχανολόγων & Αεοναυπηγών Μηχανικών Πανεπισήμιο Παών 65 Πάα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Μελεάαι η εμική οή μέσω πλάκας με ύο σώσεις όπου οι εξωεικές συνήκες επιβάλλουν απόομες μεαβολές σους συνελεσές μεαφοάς εμόηας σε αμφόεες ις πλευές ης πλάκας. Το μεαβαικό πόβλημα λύνεαι αιμηικά και εξάγοναι αναλυικές εκφάσεις για ην καανομή εμοκασίας σην πλάκα και ην οή εμόηας σε καάσαση εμικής ισοοπίας. Τα αποελέσμαα είχνουν όι υπό συνήκες που εξομοιώνουν ον γαμμικό εμικό εναλλάκη σαεού όγκου και ανίεης οής ο αιάσαος χόνος υσεήσεως ης εμικής οής μέσω ης πλάκας είναι ης άξεως ου.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο γαμμικός εμικός εναλλάκης σαεού όγκου [] επιέπει ην εφαμογή ης αναγεννηικής ποεμάνσεως σον εμουναμικό κύκλο ου Lenoir με αποέλεσμα ην αμαική αύξηση ης εμικής αποόσεως αυού. Δύο ανίεα κινούμενες ιαάξεις κοιλοήων χησιμοποιούναι για να μεαφέουν ην εμόηα από ο εμό ευσό σο ψυχό ημιουγώνας έσι έναν εμικό εναλλάκη ανίεης οής με ένονα μεαβαικά φαινόμενα να χαακηίζουν ην όλη ιαικασία μεαφοάς ης εμόηας όσο ως πος ην συναγωγή όσο και ην εμική αγωγιμόηα μέσω ης ιαχωισικής πλάκας. Το φαινόμενο έχει αναλυεί όσο σε πείπωση πλάκας με μόνο ην μία πλευά εκεειμένη (η άλλη είναι αιαβαική επιφάνεια [] όσο και με ις ύο πλευές εκεειμένες [3][4]. Σην πείπωση όμως ης πακικής εφαμογής ου εμικού εναλλάκη επειή οι πλευές που ιαχωίζουν ις κοιλόηες α ίβοναι πάνω σην επιφάνεια ης πλάκας επιβάλλεαι η λύση ων πολύσωων πλακών με επισώσεις πλασικά υλικά ή πολύ λεπά σώμαα λιπανικών υγών. 3

3 Η παούσα μελέη αναλύει α χαακηισικά ης σχεικά λεπής πολύσωης πλάκας για ην απλοποιημένη πείπωση ου μονοιάσαου ποβλήμαος συναγωγής - αγωγιμόηας όαν αμφόεες οι εξωεικές επιφάνειες ης όλης πλάκας εκίεναι σε απόομες μεαβολές ου συνελεσή μεαφοάς εμόηας.. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Θεωούμε επίπεη πλάκα ύο σώσεων απείου μήκους και πλάους και συνολικού πάχους κείμενη μεαξύ ύο ευσών εμοκασίας και (Σχήμα όπου >. Αχικά υφίσααι εμική ισοοπία σο σύσημα με σαεή οή εμόηας και εμοκασιακή βαμία μέσα σήν πλάκα. Η καάσαση αυή αποελεί ην πείπωση αναφοάς για ο πόβλημά μας. Σε κάποια σιγμή εμφανίζεαι μία απόομη μεαβολή σον συνελεσή μεαφοάς εμόηας ( είε σήν μία μόνον πλευά ης πλάκας είε και σις ύο πλευές (αυόχονα ή με ιαφοά φάσεως. Η σώση ης πλάκας πάχους που γεινιάζει με ο ευσό αποελείαι από υλικό (k ενώ η κύια πλάκα έχει πάχος με χαακηισικά (k. Οπως ήη αναφέαμε ο εύεο υλικό εωείαι ως μία επίσωση με πάχος ακεά μικόεο από ο πάχος ου κυίως υλικού ης πλάκας. y Y k - k Σχήμα. Σχημαική παάσαση ης πλάκας. Σον εξιό άξονα φαίνοναι οι αιάσαες συνεαγμένεςyy/. 3. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - ΑΡΧΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ. 3. Η ποσέγγιση ης λεπής πλάκας. Σην ακαία πείπωση που η εμόηα ιαίεαι μέσω ης πλάκας χωίς σχεόν ανίσαση η εμοκασία ης (Τ είναι ομοιόμοφη. Η όλη ιάαξη ανισοιχεί όε σε μία εμικά λεπή πλάκα. Το σιγμιαίο εμικό ισοζύγιο γάφεαι (Σχήμα : d ( A ( ( ( V V d A 4

4 5 όπου A επιφάνεια ης πλάκας εκεειμένη σην εμική οή και V A V A οι ανίσοιχοι όγκοι. Αν λάβομε υπ όψιν ην αχική συνήκη ( η λύση ης ( είναι: ( e ( Πααηούμε όι για ο πώος όος ου ευέου μέλους ης εξισώσεως ( είνει σο μηέν οπόε η εμοκασία ης λεπής πλάκας σε καάσαση εμικής ισοοπίας είναι: β β (3 όπου: / β (4 3. Οισμός αιασάων μεγεών Οίζομε ην αιάσαη εμοκασία (y ως ην σχεική απόκλιση ης εμοκασίας (y από ην εμοκασία λεπής πλάκας σε καάσαση εμικής ισοοπίας ( ( y y (5 Οίζομε επίσης α αιάσαα μεγέη και r k k r λ α α λ (6 οπόε η ( γάφεαι r e e ( (7 όπου ο αιάσαος χόνος και οι αιμοί o: α ; k k β λ (8 Λαμβάνονας υπ όψιν ην (8 η (7 γάφεαι ελικά ( β λ r e ( (9 3.3 Η Χονή Πλάκα (Αιάσαες εξισώσεις Οι οισμοί ης πααγ.3. μας επιέπουν να έσωμε ις εξισώσεις που ισχύουν για μία εμικά χονή πλάκα ύο σώσεων σε αιάσαη μοφή (Σχήμα: ( y y k Y Y β (

5 α < y < < Y < Y ( k k y λ Y Y Y ( λ α < y < < Y < r Y (3 k ( y Y β β Y ( y ( Y (5 (4 3.4 Καανομή εμοκασίας σε καάσαση ισοοπίας. Ενεγειακό ισοζύγιο 3.4. Καανομή εμοκασίας σε καάσαση ισοοπίας Η καανομή εμοκασίας σε καάσαση εμικής ισοοπίας φαίνεαι σο Σχήμα. Είναι: ( ( anφ ( (6 Y ( ( anφ ( (7 Y όπου / Y ( ίεαι από ην ( / Y ( ίεαι από ην (4 ενώ μεαξύ ων anφ και anφ ισχύει σύμφωνα με ην ( anφ λ anφ (8 Η επίλυση ου συσήμαος ων εξισώσεων (6-(8 ίει ( β β β β (9 ( (- φ ( φ - Y Σχήμα. Καανομή εμοκασίας σην πλάκα σε καάσαση εμικής ισοοπίας. 6

6 Επομένως ( β β β β ( ( β β β β β ( λβ anϕ λ an ( β [ ( λ] β όπου χησιμοποιήηκε η σχέση (8 που συνέει ους αιμούς o. Οι σχέσεις ( Y ( Y anφ Y (3 ( Y ( ( Y anφ Y (4 επιέπουν ον ποσιοισμό ης εμοκασίας σε κάε σημείο ης πλάκας όαν αυή ευίσκεαι σε καάσαση εμικής ισοοπίας. ϕ ( 3.4. Ενεγειακό ισοζύγιο Η πυκνόηα εμικής οής που εισέει σην πλάκα q και εκέει από αυή q ou γάφοναι: β q ( q( ( ( (5 β q ou ( q( ( ( β (6 Διαιώνας α q q ou με ην ποσόηα q k (7 λαμβάνομε από ις (5 και (6 α αιάσαα μεγέη ~ q λ β q ( ( (8 q β ~ qou q ( ou ( (9 q β Σε καάσαση εμικής ισοοπίας ( εισάγονας ις ( και (9 σις (8 και (9 ανίσοιχα έχομε q~ ~ λβ qou (3 ( β [ ( λ] β Από ις (3 και ( πααηούμε όι σε καάσαση εμικής ισοοπίας α αιάσαα μεγέη q ~ q~ ισούναι με ην κλίση anφ ή λanφ. ou 7

7 4. ΑΠΟΤΟΜΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ (Sep ΣΤΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΣΥΝΑΓΩΓΗ Υποέομε όι ενώ η πλάκα είναι ήη σε εμική ισοοπία μεαξύ ων ύο ευσών επέχεαι απόομη μεαβολή (sep σον ένα ή και σους ύο συνελεσές μεαφοάς εμόηας με συναγωγή: γ γ όπου γ γ αιάσαοι αιμοί. Θεωούμε όι η απόομη μεαβολή αχίζει από ην χονική σιγμή (. Επομένως για < ισχύει: γ γ. Συγκεκιμένα α εξεάσωμε ις καωέω πειπώσεις: Πείπωση. Μεαβολή μόνον ου συνελεσή : γ γ > (. Πείπωση. Ταυόχονη μεαβολή ων : γ > γ > (. Πείπωση 3. Μεαβολή ου από και μεαβολή ου από : γ γ > ( < και γ > γ > (. 4. Ενεγειακό ισοζύγιο Για ους υπολογισμούς μας εωήσαμε όι α αιάσαα μεγέη κυμαίνοναι σις εξής πειοχές:.5 λ.5.5 r και... Οι ιμές αυές ανισοιχούν π.χ. σε πλάκα με βασική σώση από ασάλι και επίσωση από κεαμικό ή λιπανικό υγό. Επιλύηκε αιμηικά ο σύσημα ων εξισώσεων (-(5 με ους νέους συνελεσές: γ γ ανί ων οπόε σις αιάσαες εξισώσεις ( και (4 έχομε γ γ σην έση ων και. Ως αχική συνήκη εωούμε ις εμοκασίες που ίοναι από ις (9-(4. Η πυκνόηα εμικής οής που εισέει σην πλάκα q και εκέει από αυή q ou ίοναι από εξισώσεις ανίσοιχες ων (5 και (6 με γ γ ανί ων. Παομοίως α αιάσαα μεγέη q ~ q~ ίοναι από εξισώσεις ανίσοιχες ων (8 και ou (9 με ους νέους αιμούς o γ και γ. Σε καάσαση εμικής ισοοπίας ( ακολουώνας ην ιαικασία ης πααγ. 3.4 ιαπισώνουμε και πάλι όι ισχύει: λβ γ γ (3 q ~ q~ anϕ λ an ( [ ( ] ϕ ou βγ γ λ β γ γ Οπως φαίνεαι από ο Σχήμα 3 η απόομη μεαβολή ου ενός ή και ων ύο συνελεσών μεαφοάς εμόηας ιααάσσει ην ήη υπάχουσα εμική ισοοπία μέχις όου ελικά αποκαασαεί νέα εμική ισοοπία. Από α σχήμαα 3β- πααηούμε όι η ελική καάσαση είναι ανεξάηη ης ιαφοάς φάσεως μεαξύ ης μεαβολής ου και ου. Αυό που αλλάζει είναι ο μεαβαικό σάιο από ην αχική καάσαση ισοοπίας σην ελική και ο απαιούμενος χόνος για αποκαάσαση εμικής ισοοπίας. 8

8 Θεμική οή Θεμική οή (α (β Θεμική οή Θεμική οή (γ ( Σχήμα 3. Εισεχόμενη (---- και εξεχόμενη (---- εμική οή. (α γ γ. (β γ γ. (γ γ γ.4. ( γ γ.8. [λ. r.5.; β]. 4. Χόνος αποκαασάσεως εμικής ισοοπίας. Αν οίσωμε ως χόνο αποκαασάσεως ον χόνο που απαιείαι ώσε να καλυφεί ο 99% ης ιαφοάς εμοκασίας μεαξύ ης ελικής και ης αχικής καασάσεως ισοοπίας ευίσκομε ελικά όι ο χόνος αποκαασάσεως για λεπή πλάκα σην πείπωση είναι: r r ln(. 4.6 απ λ ( βγ (3 γ λ ( βγ γ Ποφανώς η (3 ισχύει και για ην πείπωση με γ.οι υπολογισμοί έειξαν όι ο χόνος αυός για εμικά χονή πλάκα είναι γενικά μεγαλύεος ου ανίσοιχου χόνου για λεπή πλάκα και ιαφοεικός σε κάε σημείο ης πλάκας. Επομένως η ποσέγγιση λεπής πλάκας μας παέχει απλώς μία άξη μεγέους για ον χόνο αυό. Σο Σχήμα 4 φαίνεαι η μεαβολή ου χόνου αποκαασάσεως σο άνω (Υ και κάω (Υ άκο ης πλάκας συναήσει ου (αιάσαου πάχους επικαλύψεως (Σχ.4α και συναήσει ης ιαφοάς φάσεως μεαξύ μεαβολής ου και ου (Σχ.4β. Από ο Σχήμα 4α πααηούμε όι όσο αυξάνει ο πάχος ου υλικού με χαμηλή αγωγιμόηα ο χόνος αποκαασάσεως σο κάω άκο ης πλάκας αυξάνει ενώ σο άνω άκο αν και υφίσααι ελαφά μείωση είναι πάα πολύ μικός. Από ο Σχήμα 4β πααηούμε μία σχεόν γαμμική αύξηση ου χόνου αποκαασάσεως σο κάω άκο ης πλάκας με ην ιαφοά φάσεως ενώ σο άνω άκο ο χόνος αποκαασάσεως εν επηεάζεαι από ην ιαφοά φάσεως και πακικά είναι μηέν. 9

9 8 Y Y Y Y Χόνος Αποκαασάσεως Χόνος Αποκαασάσεως (α (β Σχήμα 4. Μεαβολή ου χόνου αποκαασάσεως συναήσει: (α ου πάχους επικαλύψεως (β ης ιαφοάς φάσεως μεαξύ ης απόομης μεαβολής ου και ου. [ γ γ ; β ]. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το πόβλημα εμικής συναγωγής-αγωγιμόηας πλάκας με ύο σώσεις και απόομες μεαβολές σους συνελεσές μεαφοάς εμόηας σε αμφόεες ις πλευές ης εξομοιώνει ον γαμμικό εμικό εναλλάκη σαεού όγκου και ανίεης οής. Εξάγοναι αναλυικές εκφάσεις για ην καανομή εμοκασίας και ην οή εμόηας μέσω ης πλάκας σε καάσαση εμικής ισοοπίας. Από ην αιμηική ιεεύνηση ου μεαβαικού μέους ού ποβλήμαος ποκύπει όι ο χόνος αποκαασάσεως εμικής ισοοπίας σο κάω άκο ης πλάκας μεαβάλλεαι σχεόν ανάλογα με ο πάχος ης επισώσεως και ης ιαφοάς φάσεως μεαξύ ων απόομων μεαβολών ων συνελεσών μεαφοάς εμόηας. Ανίεα ο χόνος αποκαασάσεως είναι πάα πολύ μικός για ο άνω άκο ης πλάκας με αποέλεσμα η υσέηση ης εμικής οής μέσω ης πλάκας να είναι σχεόν ανάλογη ου χόνου αποκαασάσεως σο κάω άκο ης πλάκας. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [] D.P. Georgiou e ravellg asade onsan volume ea exanger a gas ure lead omed yle Inernaional Gas ure and Aeroenge Congress & Exiiion pp -7 rgam UK - June 996. [] P.J.Sneider Seion 3 : Conduion Handook of Hea ransfer edied y W.M.Rosenow J.P.Harne MGraw-Hill Book Company 973. [3] N.Siakavellas and D.Georgiou e -D ransien emperaure field of a fla plae exposed o a sep ange e onveive ea ransfer oeffiien on o sides. (Sumied 999. [4] N.J.Siakavellas and D.P.Georgiou e -D ransien surfae flux of a fla plae exposed o a sep ange e onveive ea ransfer oeffiien on o sides. (Sumied 999.