11. Vaja: BODEJEV DIAGRAM

Transcript

1 . Vaja: BODEJEV DIAGRAM. Bodejev diagram sestavljata dva grafa: a) amplitudno frekvenčni diagram in b) fazno frekvenčni diagram Decibel je enota za razmerje dveh veličin. Definicija: B B 0log0 A A db Bodejeve diagrame pogosto rišemo na karo papir. Za konstantne razdalje na abscisi (frekvenčni osi) uporabljamo standardne vrste: R5: člen 5 0 in zaporedje,0;,6;,5; 4,0; 6,; 0,0 5 0 log0 0, const. 5 R0: člen 0 0 in zaporedje,0;,5;,6;,0;,5;,5; 4,0; 5,0; 6,; 8,0; 0,0 Do frekvenčne vsebine Prenosne funkcije pridemo tudi na drug način, s pretvorbo s v j: G(D) G(s) G( j) zacetni pogoji s σ + j Velja: G(j)Re(j)+Im(j) G(j) e jφ(j) Tu je G(j) amplitudni in Φ(j) fazni del prenosne funkcije, ki ju narišemo v ustrezna dela Bodejevega diagrama. G(j) Re + Im, Φtan - (Im/Re) Včasih lahko zapišemo delne funkcije: G(j) e j e ( Φ ( j) + Φ ( j) + Φ ( j) ) jφ ( j) jφ ( j) jφ ( j) e e Jasno je, da se fazne karakteristike posameznih gradnikov seštevajo oz. odštevajo. er je amplitudna skala logaritmirana, se seštevajo (ali odštevajo) tudi amplitudni prispevki posameznih členov: 0 log G(j) 0log G (j) + 0log G (j) + 0log G(j)

2 Tabela gradnikov I II gradnika. reda III gradnika. reda. integracijski gradnik. 5. j + jt jξ +. j diferencialni gradnik 4.+ jt 6. + jξ Pri členu. reda je lomna frekvenca T Pri členu. reda je lastna frekvenca tudi lomna. Dušenje ξ določa obnašanje amplitudne in fazne karakteristike v okolici

3 Vpliv dušenja pri gradniku. reda

4 NAOGA : Nariši Bodejev diagram in izračunaj elemente amplitudne in fazne karakteristike za gradnik G( j)! + jt Rešitev: Amplitudni del G( j) + T Enačba amplitudne karakteristike: 0 log G(j) 0 log 0 log + T 0 log 0 log( + T ) Asimptoti: Nizkofrekvenčna asimptota: << ( 0): 0 log 0 log( + T 0 )0 log Visokofrekvenčna asimptota: >> ( ): 0 log 0 log( T )0 log 0 logt 0log Nagib visokofrekvenčne asimptote: y 0 log - 0 logt - 0log d dy 0 log - 0 logt - 0log ( log) d( log) 0 log - 0 logt - 0log - 0log + 0logT + 0log0-0(log - log0o 0dB/dek ( log - log0) ( log - log0) Sečišče asimptot: 0 log 0 log 0 logt 0log log(t) 0 Antilogaritmiramo: /T Vrednost krivulje v : 0 log G(j) 0 log 0 log( + T )0 log 0 log0log,0 db T Fazni del ( j) + jt ( jt) G Enačba fazne karakteristike Im T Φ tan tan tan Re ( )( ) ( ) ( - jt) + jt jt + T Nizkofrekvenčni del: (T) << ( 0): Φ( j) tan ( T) tan (0) 0 Visokofrekvenčni del: >> ( ): Φ( j) tan T tan ( ) 90

5 Pri lomni frekvenci, : T j0, : Φ( j ) tan T tan () 45 Eno dekado pred, 0, : Φ( ) tan (0,) 5, 7 Eno dekado za, 0 : Φ( j0 ) tan (0) 84, DOMAČA NAOGA: Nariši Bodejev diagram in izračunaj elemente amplitudne in fazne karakteristike za gradnik G ( j )! + jξ NAOGA : Nariši Bodejev diagram za gradnik G( j) ,05j 00 db 40dB T0,05 0 s -

6 STABINOST Prenosna funkcija je: ( j) G ( j) ( j) G ( j) H( j) G(s)G (s) G G(s), + G (s)g (s)h(s) + G kar pomeni, da je karakteristična enačba: F ( j) + G ( j) G ( j) H( j) + G ( j) 0 Iz tega dobimo pogoj stabilnosti ( j) G p. p G p (j) je prenosna funkcija odprte zanke (prerezane zanke), najbolj enostavno jo lahko dobimo, če množimo vse gradnike od primerjalne točke in po povratni veji nazaj do primerjalne točke. G p (j) je funkcija v kompleksni ravnini in točka - je na realni osi te ravnine. V osnovi ugotavljamo koliko amplitudne in fazne rezerve imamo do točke - na realni osi. Iz tega dobimo stabilitetni meji za amplitudo (0dB) in za fazo -80 o. Ugotavljamo torej, koliko nam še manjka do teh dveh mej. Temu rečemo fazna in amplitudna rezerva. Φ R in A R narisana na spodnji sliki sta pozitivna in kažeta stabilen sistem. Φ R razumemo kot zalogo faze, ki jo ima sistem do meje stabilnosti in podobno A R kot zalogo amplitude do meje stabilnosti. Torej pri ugotavljanju stabilnosti uporabljamo G p (j), ki jo je tudi mnogo lažje skonstruirati, kakor prenosno funkcijo sklenjenega sistema.

7 onstruiranje Bodejevega diagrama Normiranje členov prenosne funkcije ( ) ( a + j)( a + j )...( a m + j) G j j( b + j )...( c + dj )...( bn + j) j Ojačanje dobimo, če izpostavimo vse a i in b j in c k : ( + T j)( + T j )...( + T j) b aa...a m b...b c ( + T j )... + jξ... ( + T j) n m bn Tabela vrednosti V stolpce razvrstimo člene oz. gradnike prenosne funkcije. V prvem stolpcu je ojačanje ali ojačanje z integracijskim členom. Integracijski člen nima lomne frekvence in ima stalno fazo -90 (I člen). V zadnji člen (Σ) zapišemo vsote nizkofrekvenčnih in visokofrekvenčnih delov tako amplitudne kot fazne karakteristike. Vsote amplitud razumemo kot padce amplitude pred prvo lomno frekvenco in za zadnjo lomno frekvenco v prenosni funkciji. Podobno razumemo vsote faz kot začetno in končno fazo sistema. db G ( 0) G ( ) Φ( 0) Φ( ) Φ( ) 4 5 Σ Ugotavljanje oz. začetne lege amplitudne karakteristike Pri členih z integracijo moramo začetno amplitudno krivuljo ekstrapolirati do frekvence, če so lomne frekvence že pred tem. onstruiranje amplitudnega in faznega dela o ugotovimo začetno lego (višino) amplitudne karakteristike, ostale člene prištevamo ali odštevamo glede na to ali so v števcu ali pa v imenovalcu. Pomemben je vrstni red lomnih frekvenc od najnižje do najvišje. Na fazni del ojačanje nima vpliva in prav tako seštevamo ali odštevamo fazne prispevke členov po naraščajoči lomni frekvenci. Fazni vpliv posameznih členov zajemamo dve dekadi eno pred in eno po lomni frekvenci.

8 Ugotavljanje stabilnosti Stabilnost ugotavljamo po prej definiranem kriteriju. Φ R nam pove stopnjo stabilnosti sistema. NAOGA: S pomočjo Bodejevega diagrama ugotovi ali je narisan sistem stabilen. Označi fazno in amplitudno rezervo! Rešitev: G p 4 ( j) 0 ( j + 0) 0 4 j j + j + 00 ( + ( j )/0) ( + j) ( + ( j )/0)( + ( j )/00) 00 ( + ( j )/0) ( + j) ( + ( j )/0)( + ( j )/00) 4 5 Σ 00 (+j/0) /(+j) /(+j/0) /(+j/00) db G ( 0) G ( ) Φ( 0) Φ( ) Φ( ) V tem primeru imamo proporcionalni krmilni sistem in začetni nagib amplitudnega dela je 0, prav tako je fazni del pri malih frekvencah 0. DOMAČA NAOGA Za dani sistem določi tako ojačanje, a) da bo sistem na meji stabilnosti, b) da bo fazna rezerva 45 stopinj. G () ( + 0,07s) s p s + 0,05s + 0,005s + 0,00s ( )( )( )