Μαθηματικά προσανατολισμού

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 Μαθηματικά προσανατολισμού Α Σχολικό βιβλίο, σελ: 60 ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο, σελ: 69 Α Σχολικό βιβλίο, σελ: 80 Α4 α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β D,5 5,9 και D,5 Β lim () lim () α) β) lim () και lim () αφού lim () lim () δεν υπάρχει το όριο στο 0= γ) lim () και lim () άρα lim () δ) lim () 4 και lim () αφού lim () lim () δεν υπάρχει το όριο στο 0=7 lim () lim () ε) 9 9 ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (απέναντι από το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ

2 Β ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 α) Από τη γραφική παράσταση έχουμε ότι : lim () 0 Για, () 0, κοντά στο, άρα Για, () 0, κοντά στο, άρα lim () lim () Τελικά δεν υπάρχει το όριο β) Από τη γραφική παράσταση έχουμε ότι : lim 6 () lim () 0, () 0 κοντά στο 0=6 άρα 6 γ) Από τη γραφική παράσταση έχουμε ότι η είναι συνεχής στο 0=8, lim () (8) 5 Άρα 8 u () lim () lim u 8 u5 u5 Β4 Η δεν είναι συνεχής στα 0=, 0=7 αφού δεν υπάρχουν τα όρια (από ερώτημα Β) Β5 Από τη γραφική παράσταση έχουμε ότι στα 0=4, 0=6 και 0=8, ισχύει ότι ( 0) 0, αφού η εφαπτομένη σε αυτά είναι παράλληλη στον άξονα Γ (), ΘΕΜΑ Γ D, η παραγωγίσιμη και συνεχής ως πολυώνυμική στο, με άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο D D lim (), lim () () y y () Αν y 0, τότε () y Αν y 0, τότε () y, επομένως «-» άρα αντιστρέφεται () 0 Άρα (), αν 0,αν 0 ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (απέναντι από το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ

3 Γ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 ( ) Ισοδύναμα θα αποδείξουμε ότι : 0 () για κάθε >0 6 Θεωρούμε συνάρτηση h(), με Dh 0,, παραγωγίσιμη και συνεχής στο 6 0, ως άθροισμα παραγωγισίμων (τριγωνομετρικής και πολυωνυμικής) με h (), με προφανή ρίζα το 0=0 αφού h (0) 0 0, ως άθροισμα παραγωγισίμων με h () Για >0 ισχύει ότι 0 H h παραγωγίσμη στο 0 Επομένως h () 0 για κάθε >0, άρα η h γνησίως αύξουσα στο 0, h 0 h () h (0) h () 0 άρα η h γνησίως αύξουσα στο h 0 h() h(0) h() 0 0 Γ 0, επομένως τελικά ισχύει η () για κάθε >0 6 y(t) (t), t 0 άρα y (t) (t) (t) () Για κάποια χρονική στιγμή t0, θα ισχύει y (t 0) (t 0) tt0 (t 0 ) y (t 0 ) () y (t 0) (t 0) (t 0) (t 0) (t 0) (t 0) όμως (t) 0 (t) 0 άρα (t 0) Τελικά το σημείο είναι M (t 0), y(t 0) δηλαδή M, 9 Γ4 Η g άρτια στο, άρα g( ) g() για κάθε Η περιττή στο, άρα ( ) () για κάθε u g αρτια A ()g()d ( u)g( u)du (u)g(u)du 0 0 dud περιττή u u ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (απέναντι από το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ

4 Δ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 ΘΕΜΑ Δ Για 0 η είναι συνεχής ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων συνεχών) και Για η είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών ln lim () lim και 0 0 ln lim () lim lim DLH () Άρα η είναι συνεχής και στο Τελικά η είναι συνεχής στο (0, ) ln lim () lim lim ln ασύμπτωτη της C ln ( πηλίκο Άρα η ευθεία 0 είναι κατακόρυφη Δ Εξετάζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο ln () () ln ln lim lim lim lim, ( ) 0 0 ln αφού lim lim DLH ln 0 0 () () ln lim lim lim lim ( ) DLH ( ) lim lim 0 0 DLH Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο, το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του (0, ), επομένως είναι κρίσιμη σημείο της Η είναι παραγωγίσιμη ( ) ln ln στο (0,) με () και στο (, ) με ln () ( ) ( ) Για 0 είναι () 0 ln e, απορρίπτεται Δηλαδή () 0, 0 Για είναι () 0 ln 0 Θεωρούμε () ln, Είναι () 0, () ln ln 0, για Άρα γνησίως φθίνουσα στο [, ) οπότε η είναι μοναδική ρίζα Δηλαδή () 0, Τελικά το 0 είναι μοναδικό κρίσιμο σημείο αφού η δεν παραγωγίζεται σε αυτό και () 0 για κάθε (0,) (, ) ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (απέναντι από το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ

5 Δ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 i) Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της ln Για 0 είναι () () Έχουμε για 0 ln 0 ln 0 ln 0 () 0 οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο (0,] Άρα (0,] lim (), () (,] 0 () όπου ανήκει και το μηδέν οπότε η εξίσωση () 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,] αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο (0,] ln Για είναι () ( ) () Στο Δ δείξαμε ότι η () ln είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) οπότε για () () 0 Από () () 0, για, οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) ln (, ) lim (), lim () (0,) αφού lim () lim lim 0 Το DLH μηδέν δεν ανήκει στο οπότε η εξίσωση () 0 δεν έχει ρίζα στο (, ) Άρα, Τελικά η () 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0, ) ii) Λόγω του Δ i) η ρίζα 0 (0,] οπότε το διάστημα ολοκλήρωσης για το εμβαδόν είναι το [ 0,] Από το Δ i) είναι γνησίως αύξουσα στο (0,] οπότε γνησίως αύξουσα και στο [ 0,] (0,] Για ( ) () () 0 () () 0 Άρα ln E ()d d ln d (ln ) ln d (ln ) ln d d (ln ) ln d ln () 0 ln 0 (ln ln 0) Είναι ln ( ) 0 0 ln (4) Από (4) ( 0) 0 0 () 0 ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (απέναντι από το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 Δ4 Για θα δείξουμε ισοδύναμα ( )F() F() F( ) F() F() F() F( ) F( ) F() F() F() F( ) F() F() F() F() F() F( ) F() ( ) [, ] και παραγωγίσιμη στα Είναι F() F() F() F() τέτοια, ώστε F ( ) ( ) F( ) F() F( ) F() F ( ) ( ) ( ) ( ) (5),(6) οπότε η F είναι συνεχής στα διαστήματα [, ], (, ),(, ) Από ΘΜΤ υπάρχουν (, ) και (6) Είναι F() F() F( ) F() ( ) ( ) [, ) ( ) (5), αφού F () (), και (, ) ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (απέναντι από το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ