Πραγματοποιήσιμοι Δυναμικοί Ελεγκτές σε Ουδέτερα Συστήματα με Χρονικές Καθυστερήσεις για Βιομηχανικές Εφαρμογές ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ Πραγματοποιήσιμοι Δυναμικοί Ελεγκτές σε Ουδέτερα Συστήματα με Χρονικές Καθυστερήσεις για Βιομηχανικές Εφαρμογές ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Νικόλαος Δ. Κούβακας Αθήνα, Μάρτιος

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ Πραγματοποιήσιμοι Δυναμικοί Ελεγκτές σε Ουδέτερα Συστήματα με Χρονικές Καθυστερήσεις για Βιομηχανικές Εφαρμογές ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Νικόλαος Δ. Κούβακας Συμβουλευτική Επιτροπή : Παρασκευάς Ν. Παρασκευόπουλος Σπυρίδων Κ. Τζαφέστας Φώτιος Ν. Κουμπουλής Εγκρίθηκε από την επταμελή εξεταστική επιτροπή την 6 η Μαρτίου.... Παρασκευάς Παρασκευόπουλος τ. Καθηγητής ΕΜΠ... Τρύφων Κουσιουρής Καθηγητής ΕΜΠ... Σπυρίδων Τζαφέστας Ομ. Καθηγητής ΕΜΠ... Κωνσταντίνος Παπαοδυσσεύς Αν. Καθηγητής ΕΜΠ... Φώτιος Κουμπουλής Καθηγητής ΤΕΙ Χαλκίδας... Νικόλαος Μαράτος Καθηγητής ΕΜΠ... Σταμάτης Μάνεσης Αν. Καθηγητής Παν. Πατρών Αθήνα, Μάρτιος

4 ... Νικόλαος Δ. Κούβακας Διδάκτωρ Μηχανικός Ε.Μ.Π. Copyrigh Νικόλαος Δ. Κούβακας. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All righs reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου.

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην παρούσα διατριβή, για την κατηγορία των γενικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις, επιλύονται για πρώτη φορά σημαντικά σχεδιαστικά προβλήματα εισόδων εξόδων χρησιμοποιώντας πραγματοποιήσιμους δυναμικούς ελεγκτές. Από αυτά, τα πέντε πρώτα προβλήματα είναι: το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων το πρόβλημα της μη τετραγωνικής αποσύζευξης (πρόβλημα του Morgan το πρόβλημα του ταιριάσματος σε μοντέλο το πρόβλημα του ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών Επιπλέον, για την παρούσα κατηγορία συστημάτων μελετάται για πρώτη φορά το πρόβλημα της καλής απόδοσης της περιγραφής εισόδων εξόδων του συστήματος κλειστού βρόχου με PID ελεγκτές χωρίς καθυστερήσεις και με χρήση μιας μεταευρετικής μεθόδου προσδιορισμού των τριών παραμέτρων του ελεγκτή. Τα προβλήματα που μελετώνται εφαρμόζονται επιτυχώς σε βιομηχανικές εφαρμογές, τα μαθηματικά μοντέλα των οποίων αναπτύσσονται εδώ για πρώτη φορά. Οι εφαρμογές αυτές που αποτέλεσαν και το κίνητρο για την μελέτη γενικών ουδετέρων συστημάτων πολλαπλών χρονικών καθυστερήσεων με δυναμικούς ελεγκτές είναι διατάξεις συστημάτων κεντρικής θέρμανσης, και βιομηχανικά οχήματα μεταφοράς φορτίων που φέρουν ενεργητικά και παθητικά συστήματα αναρτήσεων και βαθμούς ελευθερίας στην κίνησή τους Επίσης, γίνεται εφαρμογή σε παραδοσιακές εφαρμογές επιβραδυμένων συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις όπως είναι πυρηνικοί αντιδραστήρες συζευγμένων πυρήνων αναμίκτες σε σειριακή σύνδεση μηχανές εσωτερικής καύσης σε κατάσταση βραδυπορίας Η ύλη της διδακτορικής διατριβής διαμορφώνεται σε εννέα κεφάλαια. i

6 Πρόλογος Η ύλη της διδακτορικής διατριβής διαμορφώνεται σε εννέα κεφάλαια ως ακολούθως: Στο Κεφάλαιο παρουσιάζονται η κατηγορία των γενικών γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις, τα βασικά σχεδιαστικά προβλήματα και οι διατάξεις στις οποίες εφαρμόζονται τα θεωρητικά αποτελέσματα. Γίνεται εκτενής ανάλυση της βιβλιογραφίας και τέλος παρουσιάζεται η δομή της διδακτορικής διατριβής. Στο Κεφάλαιο αναπτύσσεται το πολλαπλό μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης στη μορφή ενός μη γραμμικού ουδετέρου συστήματος με χρονικές καθυστερήσεις, παρουσιάζοντας τα επιμέρους μαθηματικά μοντέλα για τα κύρια τμήματα της διάταξης και συνδυάζοντας τα με κατάλληλους αλγεβρικούς περιορισμούς. Το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος απλοποιείται σε ένα μη γραμμικό μοντέλο με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις και παράγεται ένας μεταευρετικός PID ελεγκτής για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου. Στο Κεφάλαιο 3 το πολλαπλό μαθηματικό μοντέλο του συστήματος κεντρικής θέρμανσης που παρουσιάστηκε στο δεύτερο κεφάλαιο, μετατρέπεται σε ένα ενοποιημένο μαθηματικό μοντέλο το οποίο χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της γραμμικοποιημένης προσέγγισης του συστήματος. Με βάση την γραμμικοποιημένη προσέγγιση παράγεται ένας μεταευρετικός PID ελεγκτής του οποίου η απόδοση εξετάζεται με σειρά αριθμητικών κριτηρίων. Στο Κεφάλαιο 4 επιλύεται το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών σε ουδέτερα συστήματα μίας εισόδου μίας εξόδου με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις και πολλαπλές μετρήσιμες διαταραχές με χρήση δυναμικών ελεγκτών. Ειδικότερα, παρουσιάζεται η γενική μορφή των πινάκων του ελεγκτή ενώ παράγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι ώστε αυτός να είναι πραγματοποιήσιμος. Τέλος, η προτεινόμενη τεχνική εφαρμόζεται σε ένα σύστημα κεντρικής θέρμανσης. Στο Κεφάλαιο 5 επιλύεται το πρόβλημα της τετραγωνικής αποσύζευξης εισόδων εξόδων για την γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις χρησιμοποιώντας πραγματοποιήσιμη δυναμική ανατροφοδότηση κατάστασης ή εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή. Τα θεωρητικά αποτελέσματα εφαρμόζονται σε ένα αριθμητικό παράδειγμα καθώς και στο μαθηματικό μοντέλο ενός πυρηνικού αντιδραστήρα συζευγμένων πυρήνων. Στο Κεφάλαιο 6 μελετάται το πρόβλημα του Morgan, χρησιμοποιώντας πραγματοποιήσιμους ελεγκτές με δυναμική ανατροφοδότηση μετρήσιμων εξόδων και δυναμικό προαντισταθμιστή για την γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Προσδιορίζεται μια κατηγορία ελεγκτών που επιλύουν το πρόβλημα του Morgan και τα αποτελέσματα εφαρμόζονται σε ένα σύστημα κεντρικής θέρμανσης με στόχο την επίτευξη θερμικής αυτονομίας. ii

7 Πρόλογος Στο Κεφάλαιο 7 επιλύεται το πρόβλημα του ταιριάσματος σε μοντέλο χρησιμοποιώντας δυναμικούς πραγματοποιήσιμους ελεγκτές για την γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Αρχικά μελετάται η ειδική περίπτωση του ταιριάσματος σε μοντέλο για συστήματα μιας εισόδου μιας εξόδου με ανατροφοδότηση εξόδου και στη συνέχεια τα αποτελέσματα επεκτείνονται για την επίλυση του προβλήματος του ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών με δυναμική ανατροφοδότηση μετρήσιμων εξόδων. Τα αποτελέσματα εφαρμόζονται στο μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος δύο αναμίκτων σε σειριακή σύνδεση, στο μαθηματικό μοντέλο μιας μηχανής εσωτερικής καύσης σε κατάσταση βραδυπορίας, καθώς και σε ένα αριθμητικό παράδειγμα. Στο Κεφάλαιο 8 σχεδιάζεται ένας δυναμικός ελεγκτής ανατροφοδότησης εξόδων για ένα σύστημα τροχοφόρου οχήματος εκκρεμούς με ενεργητικές και παθητικές αναρτήσεις που μοντελοποιείται σαν ένα ουδέτερο μη γραμμικό σύστημα με χρονικές καθυστερήσεις. Στόχος του σχήματος ελέγχου είναι ο έλεγχος της ταχύτητας του οχήματος και η καταστολή των ταλαντώσεων του εκκρεμούς. Στο Κεφάλαιο 9 γίνεται ανασκόπηση των αποτελεσμάτων της διδακτορικής διατριβής και δίνονται κατευθύνσεις για μελλοντική έρευνα στην περιοχή του ελέγχου γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα Καθηγητή κ. Παρασκευά Παρασκευόπουλο και τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής Καθηγητές κ. Σπύρο Τζαφέστα και Φώτη Κουμπουλή για την συμπαράσταση που μου παρείχαν κατά την εκπόνηση της διατριβής. Ιδιαίτερα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθηγητή κ. Φώτη Κουμπουλή χωρίς την συμβολή του οποίου θα ήταν αδύνατη η ολοκλήρωσή της. Νικόλαος Δ. Κούβακας iii

8

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή. Μαθηματική Περιγραφή των Γενικών Γραμμικών Ουδετέρων Συστημάτων με Πολλαπλές Χρονικές Καθυστερήσεις. Προβλήματα Σχεδιασμού 3.3 Βιομηχανικές Εφαρμογές 6.4 Συμβολή 8.5 Βιβλιογραφία Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης με Χρονικές Καθυστερήσεις: Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο 7. Εισαγωγή 7. Πολλαπλό Δυναμικό Μοντέλο του Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης 8.. Μοντελοποίηση Θερμαντικού Σώματος 9.. Μοντελοποίηση Λέβητα..3 Μοντελοποίηση Δικτύου Σωληνώσεων..4 Συνολικό Μη Γραμμικό Μοντέλο του Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης 5.3 Μελέτη της Επίδρασης της Καθυστέρησης στο Μη Γραμμικό Μοντέλο της Διάταξης 7.4 Προσέγγιση του Μη Γραμμικού Μοντέλου του Συστήματος 3.5 Έλεγχος Θερμοκρασίας 36.6 Συμπεράσματα 46.7 Βιβλιογραφία 48 3 Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης με Χρονικές Καθυστερήσεις: Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών με βάση τη Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση του Μοντέλου Εισαγωγή Ενοποιημένο Δυναμικό Μοντέλο Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης Γραμμικοποιημένο Μοντέλο του Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης Ακρίβεια του Γραμμικοποιημένου Μοντέλου της Διεργασίας Σχεδιασμός Ελεγκτή Συμπεράσματα Βιβλιογραφία 73 4 Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών Εισαγωγή Αποκοπή Διαταραχών για Συστήματα Μιας Εισόδου Μίας Εξόδου με Μετρήσιμες Διαταραχές Μαθηματικό Μοντέλο Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης Ελεγκτής Αποκοπής Διαταραχών Συμπεράσματα Βιβλιογραφία 93 5 Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων Εισαγωγή 95 v

10 5. Προκαταρτικά Τετραγωνική Αποσύζευξη Εισόδων Εξόδων με Δυναμική Ανατροφοδότηση Εξόδων και Δυναμικό Προαντισταθμιστή Τετραγωνική Αποσύζευξη Εισόδων Εξόδων με Δυναμική Ανατροφοδότηση Κατάστασης και Δυναμικό Προαντισταθμιστή 5.5 Αριθμητικό Παράδειγμα 5.6 Εφαρμογή σε Πυρηνικό Αντιδραστήρα Συζευγμένων Πυρήνων Συμπεράσματα Βιβλιογραφία 5 6 Επίλυση του Προβλήματος του Morgan 7 6. Εισαγωγή 7 6. Προκαταρτικά Επίλυση του Προβλήματος του Morgan με Δυναμική Ανατροφοδότηση Μετρήσιμων Εξόδων και Δυναμικό Προαντισταθμιστή Δυναμικό Μοντέλο Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης 6.5 Ανεξάρτητος Έλεγχος Θερμοκρασίας Δωματίων για Σύστημα Κεντρικής Θέρμανσης Συμπεράσματα Βιβλιογραφία 34 7 Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο Εισαγωγή Ταίριασμα σε Μοντέλο Συστημάτων Μιας Εισόδου Μιας Εξόδου Διατύπωση του Προβλήματος του Ακριβούς Ταιριάσματος σε Μοντέλο με Δυναμική Ανατροφοδότηση Εξόδου και Δυναμικό Προαντισταθμιστή Επίλυση του Προβλήματος Αριθμητικό Παράδειγμα Εφαρμογή σε Σύστημα Αναμίκτων σε Σειριακή Σύνδεση Ακριβές Ταίριασμα σε Μοντέλο με Ταυτόχρονη Αποκοπή Διαταραχών Ικανές και Αναγκαίες Συνθήκες Επίλυση του Προβλήματος Παράδειγμα Συμπεράσματα Βιβλιογραφία 59 8 Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Τροχοφόρο Ρομποτικό Όχημα με Βαθμούς Ελευθερίας στην Κίνησή του 6 8. Εισαγωγή 6 8. Μοντελοποίηση της Διεργασίας Σχεδιασμός Ελεγκτή 7 vi

11 8.4 Αποτελέσματα Προσομοίωσης Συμπεράσματα Βιβλιογραφία 79 9 Συμπεράσματα 8 Παράρτημα Α: Ανάλυση Επιστημονικών Εργασιών 87 Παράρτημα Β: Δημοσιεύσεις σε Διεθνή Επιστημονικά Περιοδικά με Πλήρη Κρίση 9 Analyic Modeling and Meaheurisic PID Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem 93 Dynamic disurbance reecion conrollers for neural ime delay sysems wih applicaion o a cenral heaing sysem 9 Linear approximan based meaheurisic proporional inegral derivaive conroller for a neural ime delay cenral heaing sysem Παράρτημα Γ: Δημοσιεύσεις σε Διεθνή Επιστημονικά Συνέδρια με Πλήρη Κρίση 35 I/O Decoupling via Dynamic Conrollers: A Sae Space Approach 37 Dynamic Conrollers for I/O Decoupling of Neural Time Delay Sysems wih Applicaion o a Coupled Core Nuclear Reacor 43 Model Maching of SISO Neural Time Delay Sysems via Oupu Feedback 5 Modeling and Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem 57 Dynamic Disurbance Reecion Conrollers for Neural Time Delay Sysems wih applicaion o a Cenral Heaing Sysem 65 Dynamic Measuremen Oupu Feedback Conrollers for Exac Model Maching and Disurbance Reecion of General Linear Neural Time Delay Sysems 73 Velociy Conrol and Vibraion Aenuaion for a Car Pendulum Sysem wih Delayed Resonaors 79 On he Morgan's Problem for Neural Time Delay Sysems via Dynamic Conrollers wih applicaion o a Tes Case Cenral Heaing Sysem 87 vii

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η κατηγορία των γενικών γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Αυτή η κατηγορία συστημάτων είναι το αντικείμενο σχεδιασμού ελεγκτών στην παρούσα διατριβή. Επιπλέον, παρουσιάζεται εκτενώς η βιβλιογραφία σε ότι αφορά α τα βασικά προβλήματα σχεδιασμού που επιλύονται στην παρούσα διατριβή και β τις βιομηχανικού τύπου διατάξεις στις οποίες εφαρμόζονται τα θεωρητικά αποτελέσματα της εργασίας. Τέλος, παρουσιάζεται η συμβολή της διατριβής όπως αυτή κατανέμεται σε κεφάλαια.. Περιγραφή των Γενικών Γραμμικών Ουδετέρων Συστημάτων με Πολλαπλές Χρονικές Καθυστερήσεις Η διδακτορική διατριβή ασχολείται με το πρόβλημα του ελέγχου σε συστήματα που ανήκουν στην γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων (neural συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Στις εξισώσεις (.α.γ παρουσιάζεται η μαθηματική περιγραφή της γενικής κατηγορίας των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις, μετρήσιμες διαταραχές και μετρήσιμες εξόδους: E x q τ Ax q τ + Bu q τ + D uˆ q τ (.α q q q q q q q q, i i, i i, i i D, i i i i i i q q q q C y q τ C x q τ (.β, i i, i i i i q q q q L ψ q τ L x q τ (.γ, i i, i i i i n m όπου x( είναι το διάνυσμα κατάστασης, u ( είναι το διάνυσμα των εισόδων του ζ p συστήματος, uˆd ( είναι το διάνυσμα των μετρήσιμων διαταραχών, y( είναι το r διάνυσμα των μεταβλητών απόδοσης, ψ( είναι το διάνυσμα των μετρήσιμων εξόδων, τi ( i,, q είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που συμβολίζουν τις καθυστερήσεις του συστήματος

14 Κεφάλαιο : Εισαγωγή και i, q (,, q ; i,, q είναι μια πεπερασμένη ακολουθία ακεραίων σε σχέση με τους δείκτες i και. Οι ποσότητες q και q είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Προφανώς, εάν η ποσότητα q q q τ είναι αρνητική τότε το σήμα x i, i q τ i, i i i του σήματος x(. Οι πραγματικοί πίνακες πίνακες C και αντιστοιχεί σε πρόβλεψη (χρονική προήγηση E, A, B και C έχουν p γραμμές ενώ οι πραγματικοί πίνακες D έχουν n γραμμές, οι πραγματικοί L και L έχουν r γραμμές. Η εξαναγκασμένη απόκριση του συστήματος, δηλαδή η απόκριση του συστήματος για μηδενικές αρχικές και παρελθούσες τιμές ( x(, ( συχνότητας από το ακόλουθο σύνολο εξισώσεων: όπου u για <, περιγράφεται στο πεδίο της ( e ( ( e ( + ( e ( + ( e ˆ D ( se X s A X s B U s D U s (.α τ τ q ( e ( ( e ( C Y s C X s (.β ( e Ψ ( ( e ( L s L X s (.γ T, e ( sτ ( sτ exp exp q ( L { x( }, U( s L { u( }, U ˆ ( s L { u ˆ D D( }, Y ( s L { y ( } X s και όπου exp e του σήματος. Ορίζουμε τον συμβολισμό Αν αντικατασταθεί ο είναι το εκθετικό της ποσότητας ενώ L { } είναι ο μετασχηματισμός Laplace Z με τους πίνακες q q Z( e Z exp s q τ i, i i E, A, B, D, C, C, L και L και αντίστοιχα αντικατασταθεί ο Z ( e με τους πίνακες E ( e, A ( e, B ( e, D ( e, C ( e, C ( e L ( e και L( e προκύπτουν οι ορισμοί των πινάκων στην περιγραφή (.. Το σύστημα (. θεωρείται ότι δεν είναι ιδιόμορφο, δηλαδή ότι ισχύει ( e, dee (.3α

15 Κεφάλαιο : Εισαγωγή και ότι οι μετρήσιμες έξοδοι και οι μεταβλητές απόδοσης προσδιορίζονται μοναδικά για κάθε διάνυσμα κατάστασης X( s, δηλαδή ( del e (.3β ( dec e (.3γ Οι εξισώσεις (. με τους περιορισμούς (.3 συνιστούν την μαθηματική περιγραφή των γενικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Είναι σημαντικό να σημειωθεί πως αυτή η συστημική περιγραφή είναι αρκετά γενική ώστε να περιλαμβάνει τις ακόλουθες τυπικές κατηγορίες συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις ως ειδικές περιπτώσεις: τα γραμμικά επιβραδυμένα συστήματα με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις (rearded muli delay sysems που προκύπτουν από την περιγραφή (. θέτοντας E I, για n E n n,, q, q για i,, q, L I και C I που ικανοποιούν τους, r p περιορισμούς (.3. i τα γραμμικά ουδέτερα συστήματα με ανάλογες χρονικές καθυστερήσεις (commensurae neural ime delay sysems που προκύπτουν από την περιγραφή (. θέτοντας q ικανοποιώντας ταυτόχρονα τους περιορισμούς (.3. τα γραμμικά επιβραδυμένα συστήματα με ανάλογες χρονικές καθυστερήσεις (commensurae rearded delay sysems που προκύπτουν από την περιγραφή (. θέτοντας q, E I, n E για,, q, q, L I και C I που ικανοποιούν τους περιορισμούς n n, r p (.3.. Προβλήματα Σχεδιασμού Στην παρούσα διατριβή, για την κατηγορία των γενικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις που παρουσιάστηκε στην προηγούμενη ενότητα, επιλύονται για πρώτη φορά σημαντικά προβλήματα σχεδιασμού με απαιτήσεις εισόδων εξόδων χρησιμοποιώντας πραγματοποιήσιμους δυναμικούς ελεγκτές. Από αυτά, τα πέντε πρώτα προβλήματα είναι: το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων το πρόβλημα της μη τετραγωνικής αποσύζευξης (πρόβλημα του Morgan το πρόβλημα του ταιριάσματος σε μοντέλο 3

16 Κεφάλαιο : Εισαγωγή το πρόβλημα του ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών Επιπλέον, για την παρούσα κατηγορία συστημάτων μελετάται για πρώτη φορά το πρόβλημα της καλής απόδοσης της περιγραφής εισόδων εξόδων του συστήματος κλειστού βρόχου με PID ελεγκτές, χωρίς καθυστερήσεις, και με χρήση μιας μεταευρετικής μεθόδου προσδιορισμού των τριών παραμέτρων του ελεγκτή. Το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών έχει προσελκύσει έντονο ενδιαφέρον τόσο από θεωρητική σκοπιά (βλ. [] [] και τις αναφορές τους όσο και από τη σκοπιά των εφαρμογών (βλ. [3] [4] για συστήματα χωρίς χρονικές καθυστερήσεις αλλά και για συστήματα με χρονικές καθυστερήσεις (βλ. [5], [6], [7] και [8] και τις αναφορές τους. Ειδικότερα, για την ειδική περίπτωση των επιβραδυμένων συστημάτων με μια χρονική καθυστέρηση το πρόβλημα μελετήθηκε στις εργασίες [5] και [6]. Για την κατηγορία των γενικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών επιλύθηκε για αριστερά αντιστρέψιμα ουδέτερα συστήματα με χρήση πραγματοποιήσιμων αναλογικών (όχι δυναμικών ελεγκτών στην εργασία [7]. Για την ίδια κατηγορία συστημάτων και την ίδια κατηγορία ελεγκτών το πρόβλημα επιλύθηκε για μετρήσιμες και/ή μη μετρήσιμες διαταραχές στην εγασία [8]. Το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων έχει προσελκύσει το ενδιαφέρον πολλών ερευνητών για την ειδική περίπτωση των επιβραδυμένων συστημάτων με ανάλογες καθυστερήσεις (ακέραια πολλαπλάσια μιας (βλ. [9] και [] [7]. Στην εργασία [9] το πρόβλημα μελετήθηκε για πρώτη φορά με αναλογικούς ελεγκτές που πιθανόν να περιλαμβάνουν πρόβλεψη. Στην εργασία [], προτάθηκαν συνθήκες για την επίλυση του προβλήματος με αναλογικό ελεγκτή ο οποίος δεν περιελάμβανε πρόβλεψη. Στην εργασία [] μελετήθηκε το πρόβλημα μέσω προβλεπτών για την περίπτωση των χρονομεταβλητών συστημάτων με ανάλογες καθυστερήσεις. Στις εργασίες [3] και [4] μελετήθηκε το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων ταυτόχρονα με το πρόβλημα της ανάθεσης συντελεστών υπό συγκεκριμένες συνθήκες ελεγξιμότητας, μέσω αναλογικής και/ή δυναμικής ανατροφοδότησης. Οι ικανές συνθήκες, που παρουσιάστηκαν στις εργασίες [5] [7] αναφέρονται σε αναλογικό ελεγκτή ο οποίος δεν περιλαμβάνει προβλεπτές και είναι περισσότερο ευρείες από τις προηγούμενες συνθήκες στην περιοχή. Οι υποθέσεις που γίνονται στις εργασίες [5] [7] είναι η αμφικαταλληλότητα του προαντισταθμιστή και η διερεύνηση πραγματοποιήσιμης ανατροφοδότησης σε μια ειδική κατηγορία πινάκων ελεγκτή. Επιπλέον, στην εργασία [7] μελετάται το πρόβλημα της ευστάθειας των αναλογικών ελεγκτών. Για την περίπτωση της αποσύζευξης σε ουδέτερα συστήματα με ανάλογες καθυστερήσεις, κάποια πρώτα αποτελέσματα παρουσιάστηκαν στην εργασία []. Το πρόβλημα της αποσύζευξης για την γενική κατηγορία ουδετέρων συστημάτων με αναλογική (όχι δυναμική ανατροφοδότηση κατάστασης επιλύθηκε στην εργασία [8] ενώ στην εργασία [9] 4

17 Κεφάλαιο : Εισαγωγή επιλύθηκε το πρόβλημα για την ίδια κατηγορία συστημάτων για την περίπτωση της ανατροφοδότησης εξόδου. Το πρόβλημα του Morgan, δηλαδή το πρόβλημα της μη τετραγωνικής αποσύζευξης, έχει προσελκύσει μεγάλο ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια (βλ. [] [36] και τις αναφορές τους. Το πρόβλημα είναι πολύ σημαντικό τόσο από θεωρητική όσο και από πρακτική σκοπιά για συστήματα πολλών εισόδων πολλών εξόδων. Παρά τις πολλές συνεισφορές σε γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα χωρίς καθυστερήσεις το πρόβλημα δεν έχει λυθεί εντελώς μέσω αναλογικών ελεγκτών. Για την περίπτωση των γραμμικών κανονικών συστημάτων χωρίς καθυστερήσεις το πρόβλημα έχει επιλυθεί στις εργασίες [], [3], [33], [34] και [35] χρησιμοποιώντας δυναμική ανατροφοδότηση. Το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο έχει προσελκύσει σημαντικό ενδιαφέρον για την ειδική περίπτωση των επιβραδυμένων συστημάτων μιας καθυστέρησης (βλ. [37] [39]. Όλα τα αποτελέσματα εστιάζονται προς τη μελέτη του προβλήματος με πραγματοποιήσιμους ελεγκτές, δηλαδή ελεγκτές που δεν περιλαμβάνουν προβλεπτές. Στην εργασία [4] λύνεται το πρόβλημα για ουδέτερα συστήματα μιας χρονικής καθυστέρησης με πραγματοποιήσιμους δυναμικούς ελεγκτές. Η επέκταση του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο έτσι ώστε να επιτυγχάνεται ταυτόχρονα αποκοπή διαταραχών είναι ένας ιδανικός στόχος σχεδιασμού που παρέχει έλεγχο στις μεταβλητές απόδοσης απαλλάσσοντας τες από επίδραση των διαταραχών. Αυτός ο στόχος σχεδιασμού εισήχθη στην εργασία [4] όπου το πρόβλημα επιλύθηκε για την κατηγορία των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων συστημάτων γενικευμένου χώρου κατάστασης χωρίς καθυστερήσεις. Το πρόβλημα του εύρωστου ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών μελετήθηκε στην εργασία [4] για την περίπτωση των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων κανονικών αβέβαιων συστημάτων χωρίς καθυστερήσεις. Στην εργασία [43] το πρόβλημα μελετήθηκε για την περίπτωση των αριστερά αντιστρέψιμων γενικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Στις εργασίες [4] [43] ο στόχος του ταιριάσματος σε μοντέλο μελετήθηκε χρησιμοποιώντας αναλογικούς (όχι δυναμικούς ελεγκτές. Ειδικότερα στην εργασία [43] ο αναλογικός ελεγκτής ήταν τύπου ανατροφοδότησης μετρήσιμων εξόδων. Η αναλογικότητα των ελεγκτών οδηγεί σε αρκετά αυστηρές συνθήκες επιλυσιμότητας. Οι PID ελεγκτές αποτελούν ένα από τα πιο διαδεδομένα σχήματα ελέγκτών ιδιαίτερα για βιομηχανικές εφαρμογές. Η ευρεία χρήση τους οφείλεται στην ιδιαιτέρως απλή δομή τους με αποτέλεσμα να είναι πολύ εύκολη η υλοποίησή τους σχεδόν σε όλες τις αρχιτεκτονικές ελεγκτών πεδίου. Στην βιβλιογραφία εμφανίζεται πλήθος εργασιών το οποίο ασχολείται με τον προσδιορισμό των παραμέτρων PID ελεγκτών (βλ. [78] [83] και τις αναφορές τους με ιδιαίτερη έμφαση σε συστήματα με μια καθυστέρηση στην είσδο ή σε επιβραδυμένα συστήματα με μία ή πολλαπλές καθυστερήσεις. Οι τεχνικές προσδιορισμού των παραμέτρων του PID ποικίλουν από παραδοσιακές 5

18 Κεφάλαιο : Εισαγωγή τεχνικές (όπως οι μέθοδοι Ziegler Nichols και Chien Hrones Reswick έως μεταευρετικές και γενετικές προσεγγίσεις (βλ. [8] και [83]. Τα βασικά πλεονεκτήματα των ευρετικών προσεγγίσεων είναι ότι έχουν καλύτερη απόδοση σε σχέση με τις παραδοσιακές τεχνικές..3 Βιομηχανικές Εφαρμογές Τα προβλήματα σχεδιασμού που μελετώνται στην παρούσα διατριβή και παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα εφαρμόζονται επιτυχώς σε βιομηχανικά προβλήματα, τα μαθηματικά μοντέλα των οποίων αναπτύσσονται εδώ για πρώτη φορά. Τα προβλήματα αυτά, τα οποία αποτέλεσαν και το κίνητρο για την μελέτη των γενικών ουδετέρων συστημάτων πολλαπλών χρονικών καθυστερήσεων με δυναμικούς ελεγκτές είναι διατάξεις συστημάτων κεντρικής θέρμανσης, και βιομηχανικά οχήματα μεταφοράς φορτίων που φέρουν ενεργητικά και παθητικά συστήματα αναρτήσεων και βαθμούς ελευθερίας στην κίνησή τους Επίσης, γίνεται εφαρμογή σε παραδοσιακές διεργασίες επιβραδυμένων συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις όπως είναι πυρηνικοί αντιδραστήρες συζευγμένων πυρήνων αναμίκτες σε σειριακή σύνδεση μηχανές εσωτερικής καύσης σε κατάσταση βραδυπορίας Το πρόβλημα της μοντελοποίησης συστημάτων κεντρικής θέρμανσης έχει προσελκύσει σημαντικό ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια (βλ. [44] [57]. Η προσπάθεια εστιάζεται κυρίως στην μοντελοποίηση και βελτιστοποίηση των επιμέρους κυρίων τμημάτων τους. Στην βιβλιογραφία έχουν προταθεί διάφορες τεχνικές για την ρύθμιση της θερμοκρασίας κλιματιζόμενων περιοχών (βλέπε π.χ. [54] [56]. Ειδικότερα στις εργασίες [54] [56] χρησιμοποιήθηκε ένα μη γραμμικό μοντέλο που δεν ενσωμάτωνε χρονικές καθυστερήσεις. Στην εργασία [54] αναπτύχθηκε ένα σχήμα αυτοματισμού πολλαπλών σεναρίων. Στην εργασία [55] εφαρμόστηκε μια τεχνική ασαφούς λογικής, ενώ στην εργασία [56] χρησιμοποιήθηκε μια προβλεπτική προσαρμοστική τεχνική. Οι ταλαντώσεις που παρουσιάζονται σε ένα κινούμενο όχημα εξαιτίας ανωμαλιών στο οδόστρωμα επηρεάζουν την άνεση και την ασφάλεια επιβατών και αντικειμένων σε αυτό. Συνεπώς, για ένα όχημα το οποίο μεταφέρει ανθρώπους και υλικά, στόχος του συστήματος ανάρτησης είναι να παρέχει άνεση και ασφάλεια. Η πιο αποδοτική λύση για την αντιστάθμιση τέτοιου τύπου διαταραχών (βλ. [74] είναι τα συστήματα ενεργητικών αναρτήσεων (βλ. [73] και τις αναφορές της. Η εφαρμογή των συστημάτων ενεργητικών αναρτήσεων έχει προσελκύσει το ενδιαφέρον πολλών μελετητών για διάφορους τύπους οχημάτων, ειδικά σε βιομηχανικό περιβάλλον, όπου η μεταφορά υλικών, π.χ. 6

19 Κεφάλαιο : Εισαγωγή τιγμένο μέταλλο, πρέπει να υπόκειται σε αυστηρούς περιορισμούς. Σε σχέση με το πρόβλημα της μεταφοράς υγρών, η κίνηση του υγρού συνήθως προσεγγίζεται από ένα μαθηματικό μοντέλο τύπου εκκρεμούς (βλ. [58] [65]. Χρησιμοποιώντας αυτή την προσέγγιση προτάθηκαν διάφορες τεχνικές ελέγχου για την καταστολή των ταλαντώσεων που δημιουργούνταν (βλ. [6], [63] και [66]. Χαρακτηριστικές είναι μέθοδοι οι οποίες μεταβάλλουν την γωνία του μεταφερόμενου δοχείου (δεξαμενή (βλ. [58], [6], [67] και [68]. Στην εργασία [67], χρησιμοποιήθηκε η τεχνική των καθυστερημένων αντηχείων (βλ. [69] [7] για την καταστολή των παφλασμών κατά την μεταφορά υγρού σε ένα δοχείο που είναι τοποθετημένο πάνω σε ένα όχημα. Πιο συγκεκριμένα, προτάθηκε ένας αναλογικός νόμος ανατροφοδότησης του οποίου οι παράμετροι υπολογίζονται χρησιμοποιώντας έναν μεταευρετικό αλγόριθμο. Στην εργασία [68] μελετήθηκε η ευρωστία του σχήματος ελέγχου που προτάθηκε στην εργασία [67], λαμβάνοντας υπόψη ταυτόχρονη φθορά (αβεβαιότητα στα ελατήρια των δύο αντηχείων της διάταξης. Οι πυρηνικοί αντιδραστήρες γενικά χρησιμοποιούνται για την μετατροπή πυρηνικής ενέργειας σε θερμική και από θερμική σε ηλεκτρική. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η θερμική ενέργεια που παράγεται κατά την πυρηνική αντίδραση είναι.. φορές μεγαλύτερη από μια ίση μάζα άνθρακα, γίνεται σαφές ότι ο έλεγχος των συνθηκών της αντίδρασης είναι εξαιρετικά σημαντικός για την ασφάλεια των εγκαταστάσεων και του προσωπικού. Ένας τύπος αντιδραστήρων που παρουσιάζεται συχνά στην βιβλιογραφία είναι αυτός των συζευγμένων πυρήνων (βλ. [75]. Σε τέτοιου τύπου αντιδραστήρες είναι επιθυμητό να ελέγχεται η θερμοκρασία σε κάθε πυρήνα ανεξάρτητα. Τα συστήματα ανάμιξης σε σειρά αποτελούν διατάξεις στις οποίες οδηγείται ένα μίγμα υγρών προκειμένου να πραγματοποιηθούν σταδιακά διάφορες χημικές αντιδράσεις (βλ. [76] και [77]. Μέσα στα δοχεία των συστημάτων αυτών επιτυγχάνεται τέλεια ανάμιξη με αποτέλεσμα το μίγμα να θεωρείται ομογενές. Εξαιτίας των δικτύων σωληνώσεων που συνδέουν τους αναμίκτες καθώς και των αντιδράσεων που πραγματοποιούνται, οι μαθηματικές περιγραφές τέτοιου τύπου συστημάτων ανάμιξης εμφανίζουν χρονικές καθυστερήσεις στις μεταβλητές κατάστασης (βλ. [76]. Η ρύθμιση των συνθηκών λειτουργίας σε μηχανές εσωτερικής καύσης όταν αυτές βρίσκονται σε κατάσταση βραδυπορίας, δηλαδή όταν λειτουργούν με την ελάχιστη επιτρεπτή ταχύτητα, είναι εξαιρετικά σημαντική επειδή υπό αυτές τις συνθήκες πρέπει να παράγεται αρκετή ενέργεια έτσι ώστε να λειτουργούν ομαλά τα περιφερειακά στοιχεία της μηχανής (αντλία νερού, υδραυλική υποβοήθηση τιμονιού κλπ χωρίς να γίνεται υπερκατανάλωση καυσίμου. Το απλοποιημένο μοντέλο εισόδων (άνοιγμα βαλβίδας παράκαμψης βραδυπορίας, προήγηση σπινθήρα και εξόδων (ταχύτητα μηχανής, πίεση στην πολλαπλή εισαγωγής για μια μηχανή εσωτερικής καύσης σε κατάσταση βραδυπορίας είναι πρόβλημα αναφοράς (benchmark για την μελέτη του προβλήματος του ταιριάσματος σε μοντέλο με 7

20 Κεφάλαιο : Εισαγωγή ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών καθώς και για άλλες σχεδιαστικές απαιτήσεις εισόδων εξόδων (βλ. [43]..4 Συμβολή Στην διδακτορική διατριβή αναπτύσσεται για πρώτη φορά μια ολοκληρωμένη αλγεβρική προσέγγιση για την αντιμετώπιση προβλημάτων ελέγχου σε ουδέτερα συστήματα με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Με βάση την προσέγγιση αυτή, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, επιλύονται σημαντικοί στόχοι σχεδιασμού για απαιτήσεις εισόδων εξόδων, όπως είναι: η αποκοπή διαταραχών, το ταίριασμα σε μοντέλο και η αποσύζευξη εισόδων εξόδων, σε δύο πρωτότυπες βιομηχανικές εφαρμογές οι οποίες μοντελοποιούνται για πρώτη φορά στην παρούσα διατριβή (βλ. Ενότητα.. Τα θεωρητικά αποτελέσματα εφαρμόζονται επιτυχώς εκτός από τις εφαρμογές αυτές και σε τρεις παραδοσιακές εφαρμογές της περιοχής των συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις (βλέπε Ενότητα.. Τα παρόντα αποτελέσματα ανοίγουν ένα νέο δρόμο για την μελέτη των ουδετέρων συστημάτων πολλαπλών χρονικών καθυστερήσεων με δυναμικούς ελεγκτές. Η ύλη της διδακτορικής διατριβής διαμορφώνεται σε εννέα κεφάλαια ως ακολούθως: Στο Κεφάλαιο παρουσιάζεται η κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Επιπλέον παρουσιάζονται τα βασικά προβλήματα σχεδιασμού που επιλύονται καθώς επίσης και οι διατάξεις στις οποίες εφαρμόζονται τα θεωρητικά αποτελέσματα. Γίνεται εκτενής ανάλυση της βιβλιογραφίας και τέλος παρουσιάζεται η δομή της διδακτορικής διατριβής. Στο Κεφάλαιο παρουσιάζεται το μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης στη μορφή ενός μη γραμμικού ουδετέρου συστήματος με χρονικές καθυστερήσεις. Ειδικότερα, παρουσιάζονται τα επιμέρους μαθηματικά μοντέλα για τα κύρια τμήματα του συστήματος, δηλαδή το δίκτυο σωληνώσεων, το θερμαντικό σώμα και τον λέβητα. Τα επιμέρους μοντέλα συνδυάζονται μέσω καταλλήλων αλγεβρικών συσχετίσεων στο μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με χρονικές καθυστερήσεις (οι οποίες εξαρτώνται από τις μεταβλητές κατάστασης το οποίο στη συνέχεια απλοποιείται σε ένα ουδέτερο σύστημα με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις. Αποδεικνύεται ότι η επίδραση των καθυστερήσεων είναι σημαντική, συνεπώς η ενσωμάτωσή τους στο μαθηματικό μοντέλο της διάταξης είναι ουσιαστική ενώ η προσέγγιση με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις εισάγει μόνο ένα μικρό σφάλμα στο σύστημα. Τέλος, σχεδιάζεται ένας PID ελεγκτής για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου, το οποίο μοντελοποιείται ως μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Οι παράμετροι του ελεγκτή προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας έναν μεταευρετικό αλγόριθμο του η απόδοση εξετάζεται. Η παραγόμενη απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου συγκρίνεται α με την απόκριση η οποία παράγεται από τον ίδιο ελεγκτή στην περίπτωση που οι παράμετροί του υπολογίζονται 8

21 Κεφάλαιο : Εισαγωγή χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols και β με την απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόχου εισάγοντας κατάλληλη σταθερή είσοδο. Για λόγους επίδειξης παράγεται επίσης και ένας ελεγκτής τύπου PI για τον έλεγχο της θερμοκρασίας του δωματίου και θα παρουσιάζεται η απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου. Στο Κεφάλαιο 3, το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος κεντρικής θέρμανσης που παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο γενικεύεται σε ένα συνολικό ουδέτερο μη γραμμικό σύστημα με χρονικές καθυστερήσεις το οποίο ενσωματώνει όλες τις πιθανές συνθήκες ροής. Το γενικευμένο μοντέλο χρησιμοποιείται για την παραγωγή μιας ενοποιημένης γραμμικοποιημένης προσέγγισης για όλες τις συνθήκες ροής. Η ακρίβεια της γραμμικοποιημένης προσέγγισης εξετάζεται χρησιμοποιώντας Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος με έμφαση στην μεταβλητή απόδοσης του συστήματος. Με βάση την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, χρησιμοποιείται ένας μεταευρετικός αλγόριθμος για την παραγωγή των παραμέτρων ενός PID ελεγκτή που θα χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου χρησιμοποιώντας ως μοναδική ενεργοποιήσιμη είσοδο την παροχή ενέργειας στον λέβητα. Ο ελεγκτής σχεδιάζεται χρησιμοποιώντας ως μετρήσιμη μεταβλητή την θερμοκρασία του δωματίου και υποθέτοντας ότι οι διαταραχές είναι μηδέν, για την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, ή ισοδύναμα ίσες με τις ονομαστικές τιμές για το μη γραμμικό σύστημα. Η ικανοποιητική απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου επιδεικνύεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων καθώς επίσης και με την χρήση διαφόρων κριτηρίων απόδοσης και συγκρίνοντας τα αποτελέσματα με άλλους PID ελεγκτές των οποίων οι παράμετροι υπολογίζονται χρησιμοποιώντας παραδοσιακές και γενετικές τεχνικές. Επιπλέον, εξετάζεται η ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Η προτεινόμενη τεχνική ελέγχου φαίνεται ότι διαθέτει το βασικό πλεονέκτημα του προσδιορισμού καταλλήλων ελεγκτών οι οποίοι επιτυγχάνουν γρήγορη και ακριβή ακολούθηση εντολή ενώ υλοποιούνται εύκολα. Επιπλέον, παρουσιάζεται το πλεονέκτημα ότι ο προτεινόμενος μεταευρετικός αλγόριθμος υλοποιείται εύκολα σε πολλούς χαμηλού επιπέδου ελεγκτές πεδίου εγκατεστημένους σε προηγμένα συστήματα κεντρικής θέρμανσης. Στο Κεφάλαιο 4 επιλύεται το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών για ουδέτερα συστήματα μίας εισόδου μίας εξόδου με πολλαπλές μετρήσιμες διαταραχές με χρήση δυναμικών ελεγκτών. Ειδικότερα, παρουσιάζεται η γενική μορφή των πινάκων του ελεγκτή που επιλύουν το πρόβλημα ενώ παράγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι ώστε ο ελεγκτής να είναι πραγματοποιήσιμος. Η προτεινόμενη τεχνική εφαρμόζεται σε ένα ουδέτερο σύστημα κεντρικής θέρμανσης με χρονικές καθυστερήσεις. Πιο συγκεκριμένα, παράγεται το μη γραμμικό μοντέλο της διεργασίας και η γραμμικοποιημένη προσέγγισή του με βάση την οποία αναπτύσσεται ένας ελεγκτής δύο σταδίων για τον έλεγχο της θερμοκρασίας του δωματίου και της θερμοκρασίας του νερού στην έξοδο του λέβητα. Το πρώτο στάδιο αποτελείται από έναν αναλογικό βρόχο ανατροφοδότησης κατάστασης που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της ροής μέσα στο δίκτυο σωληνώσεων και έναν PD βρόχο ελέγχου με 9

22 Κεφάλαιο : Εισαγωγή χρονικές καθυστερήσεις για την επίτευξη της αποκοπής διαταραχών και τον έλεγχο της θερμοκρασίας εξόδου του λέβητα. Στη συνέχεια, η παραπάνω τεχνική αποκοπής διαταραχών εφαρμόζεται στο εσωτερικό σύστημα κλειστού βρόχου για την ρύθμιση της μεταβλητής απόδοσης (δηλαδή της θερμοκρασίας του δωματίου. Η απόδοση του προτεινόμενου σχήματος ελέγχου διερευνάται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. Στο Κεφάλαιο 5 μελετάται το πρόβλημα της αποσύζευξης με ελεγκτές που δεν περιλαμβάνουν προβλεπτές, χρησιμοποιώντας είτε δυναμική ανατροφοδότηση κατάστασης είτε δυναμική ανατροφοδότηση εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή για την γενική κατηγορία γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές καθυστερήσεις. Και στις δύο περιπτώσεις αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα είναι πάντα επιλύσιμο ενώ παρουσιάζεται και η γενική μορφή των ελεγκτών αποσύζευξης. Τέλος, γίνεται εφαρμογή της προτεινόμενης τεχνικής για την παραγωγή ενός δυναμικού ελεγκτή ανατροφοδότησης εξόδου στο μαθηματικό μοντέλο ενός πυρηνικού αντιδραστήρα συζευγμένων πυρήνων. Ο ελεγκτής παρουσιάζεται αναλυτικά και εξετάζεται η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου. Παρατηρείται ότι οι αποκρίσεις των μεταβλητών απόδοσης είναι όντως αποσυζευγμένες με συμπεριφορές που αντιστοιχούν στον επιλεγμένο πίνακα συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου. Σε ότι αφορά τις υπόλοιπες μεταβλητές κατάστασης και τις ενεργοποιήσιμες εισόδους, παρατηρείται ότι παραμένουν σε αποδεκτά όρια. Στο Κεφάλαιο 6 μελετάται για πρώτη φορά το πρόβλημα του Morgan για την κατηγορία των γενικών ουδετέρων συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις. Ο ελεγκτής που προτείνεται είναι ανατροφοδότησης μετρήσιμων εξόδων με δυναμικό πίνακα ανατροφοδότησης και δυναμικό προαντισταθμιστή. Προφανώς, απαιτείται για τον ελεγκτή να είναι πραγματοποιήσιμος. Εδώ, για την περίπτωση της μη τετραγωνικής ανατροφοδότησης μετρήσιμων εξόδων, προσδιορίζονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος και προσδιορίζεται αναλυτικά μια κατηγορία δυναμικών ελεγκτών που επιλύουν το πρόβλημα. Τα θεωρητικά αποτελέσματα εφαρμόζονται επιτυχώς στο δυναμικό μοντέλο με χρονικές καθυστερήσεις ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης το οποίο αναπτύσσεται εδώ για πρώτη φορά. Στο μοντέλο αυτό θεωρείται ότι η εξωτερική θερμοκρασία είναι ίδια για όλα τα δωμάτια και μεταβάλλεται αργά. Η καλή απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου σε ότι αφορά την θερμική αυτονομία αναδεικνύεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. Στο Κεφάλαιο 7 μελετάται το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο. Ειδικότερα, παράγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές καθυστερήσεις μιας εισόδου μιας εξόδου με χρήση δυναμικής ανατροφοδότησης εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή ενώ επίσης παρουσιάζεται και η γενική λύση των αντίστοιχων πραγματοποιήσιμων ελεγκτών. Τα αποτελέσματα

23 Κεφάλαιο : Εισαγωγή εφαρμόζονται στο μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος δύο αναμίκτων σε σειριακή σύνδεση καθώς και σε ένα αριθμητικό παράδειγμα. Στην συνέχεια, μελετάται το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο για την κατηγορία των αριστερά αντιστρέψιμων ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές καθυστερήσεις χρησιμοποιώντας δυναμική ανατροφοδότηση μετρήσιμων εξόδων και αντισταθμιστή των μετρήσιμων διαταραχών. Το δυναμικό τμήμα του ελεγκτή που συνδέει τις μετρήσιμες εξόδους και τις διαταραχές με τις εισόδους θεωρείται ότι είναι πραγματοποιήσιμο. Για τέτοιου τύπου ελεγκτές και συστήματα ανοιχτού βρόχου παράγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών και παρουσιάζεται η αναλυτική έκφραση των πινάκων του ελεγκτή που επιλύουν το πρόβλημα. Για να αναδειχθεί η αποτελεσματικότητα των θεωρητικών αποτελεσμάτων, αυτά εφαρμόζονται στο μαθηματικό μοντέλο μιας μηχανής εσωτερικής καύσης σε κατάσταση βραδυπορίας. Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με δυναμικό ελεγκτή ικανοποιείται ενώ η αντίστοιχη προσέγγιση με αναλογικό ελεγκτή αποτυγχάνει. Στο Κεφάλαιο 8, θεωρούμε ότι ένα όχημα που μεταφέρει ένα ελεύθερα περιστρεφόμενο εκκρεμές το οποίο προσεγγίζει την κίνηση ενός υγρού σε ένα δοχείο το οποίο είναι σταθερά τοποθετημένο στο όχημα. Επιπλέον, το όχημα φέρει συστήματα ενεργητικών και παθητικών αναρτήσεων για την καταστολή των ταλαντώσεων του οχήματος. Το σύστημα ενεργητικών αναρτήσεων περιλαμβάνει ένα ζεύγος καθυστερημένων αντηχείων το οποίο ανατροφοδοτεί την επιτάχυνση της ενεργητικής μάζας του συστήματος ενώ το σύστημα των παθητικών αναρτήσεων είναι ένα απλό ζεύγος ελατηρίων αποσβεστήρων που παρεμβάλλεται μεταξύ των τροχών και της πλατφόρμας του οχήματος. Το συνολικό σύστημα μοντελοποιείται ως ένα μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με χρονική καθυστέρηση. Το μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος χρησιμοποιείται για την ανάπτυξη της γραμμικοποιημένης προσέγγισής του στη μορφή ενός γραμμικού ουδέτερου συστήματος με χρονική καθυστέρηση τα στοιχεία των πινάκων του οποίου είναι ρητές συναρτήσεις των φυσικών παραμέτρων του συστήματος. Με βάση την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, κατασκευάζεται ένας δυναμικός ελεγκτής ανατροφοδότησης εξόδου (που περιλαμβάνει καθυστερήσεις έτσι ώστε να επιτυγχάνεται ακολούθηση εντολής για την ταχύτητα και εξασθένιση της επίδρασης των διαταραχών στις ταλαντώσεις του εκκρεμούς. Η σχεδιαστική απαίτηση αυτή μπορεί να διατυπωθεί σε ότι αφορά το πρόβλημα της ακολούθησης εντολής σαν ένα πρόβλημα ταιριάσματος σε μοντέλο, δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου που συνδέει την εξωτερική εντολή με την ταχύτητα του οχήματος να είναι ήδη με ένα ιδανικό μοντέλο. Η σχεδιαστική απαίτηση της εξασθένισης διαταραχών επίσης διατυπώνεται σαν ένα πρόβλημα ταιριάσματος σε μοντέλο, δηλαδή η συνάρτηση μεταφορά που συνδέει τις ανωμαλίες στο οδόστρωμα με την γωνία του εκκρεμούς να είναι ίση με ένα δυναμικό μοντέλο το οποίο θα προκαλεί εξασθένιση διαταραχών. Η απόδοση του προτεινόμενου

24 Κεφάλαιο : Εισαγωγή σχήματος ελέγχου αναδεικνύεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων στο μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος ενώ επίσης διερευνάται και η ευρωστία του σχήματος σε σχέση με συγκεκριμένες παραμέτρους του συστήματος. Στο Κεφάλαιο 9 γίνεται ανασκόπηση των αποτελεσμάτων της διδακτορικής διατριβής και δίνονται κατευθύνσεις για μελλοντική έρευνα στην περιοχή του ελέγχου γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Από την παρούσα διδακτορική διατριβή προέκυψαν ένδεκα επιστημονικές εργασίες, τρεις από τις οποίες σε επιστημονικά περιοδικά (βλ. [84] [86] και οκτώ σε διεθνή επιστημονικά συνέδρια με πλήρη κρίση και πρακτικά (βλ. [87] [94]..5 Βιβλιογραφία [] Paraskevopoulos, P.N., Koumboulis, F.N. and Tzierakis, K.G. (993 Disurbance reecion of lef inverible generalized sae space sysems, IEEE Transacions in Auomaic Conrol, vol. 39, pp [] Paraskevopoulos, P.N., Koumboulis, F.N. and Tzierakis, K.G. (99 Disurbance reecion of lef inverible sysems, Auomaica, vol. 8, pp [3] Chen, Z., Yuan, Z. and Zhao, J. (8 An acive disurbances reecion conroller for hysereic sysems, Inernaional Conference on Modeling, Idenificaion and Conrol, Shanghai, China, June 9 July. [4] Chen, J. and Sun, X. (8 Acive disurbances reecion decoupling conrol for acive magneic bearing mulivariable sysem, Inernaional Conference on Modeling, Idenificaion and Conrol, Shanghai, China, June 9 July. [5] Cone, G. and Perdon, A.M. (995 The Disurbance Decoupling problem for sysems over a ring, SIAM Journal of Conrol and Opimimizaion, vol. 33, pp [6] Malabre, M. and Rabah, R. (995 Srucure a infiniy, Model Maching and disurbance reecion, of linear sysems wih delays, Kyberneica, vol. 9, pp [7] Paraskevopoulos, P.N., Koumboulis, F. N. and Panagioakis, G.E. Disurbance Reecion of Lef Inverible Neural Time Delay Sysems Proceedings of he 3rd IEEE Inernaional Conference on Mecharonics (ICM 6, Budapes, Hungary pp [8] Koumboulis, F.N. and Panagioakis, G.E. (6 Disurbance Reecion of General Neural Time Delay Sysems via Measuremen Oupu Feedback. Proceedings of he h IEEE Inernaional Conference on Emerging Technologies and Facory Auomaion (ETFA 6, Prague Czech Republic, pp , [9] S.G. Tzafesas and P.N. Paraskevopoulos, On he decoupling of mulivariable conrol sysems wih imedelays, In. J. Conrol, vol. 7, pp , 973. [] R.P. Jacubow and M.M. Bayoumi, Decoupling of differenial difference sysems using sae feedback, In. J. Sysems Sci., vol. 8, pp , 977 [] Z.V. Rekasius and R.L. Milzarek, Decoupling wihou predicion of sysems wih delays, JACC, p. II, pp , 977 [] Z. Iwai, D.E. Seborg, D.G. Fisher and N. Kobayashi, Decoupling of linear ime varying, sysems wih ime delays in he conrol variables or sae variables, In. J. Conr., vol. 8, pp , 978 [3] M. Kono, Decoupling and arbirary coefficien assignmen in ime delay sysems, Sys. Conrol Le., vol. 3, pp , 983 [4] M.Z. Liu, Decoupling and coefficien assignmen for (A, B, C, D ime delay sysems, In. J. Conrol, vol. 5, pp. 89, 989 [5] O. Sename and J. F. Lafay, A sufficien condiion for saic decoupling wihou predicion of linear imeinvarian sysems wih delays, Proc. ECC 93, Groningen he Neherlands, vol. pp , 993 [6] O. Sename, R. Rabah and J. F. Lafay, Decoupling wihou predicion of linear sysems wih delays: A srucural approach, Sys. Con. Leers, vol. 5, pp , 995 [7] O. Sename and J. F. Lafay, Decoupling of Square linear sysems wih delays, IEEE Trans. Auoma. Con., vol. 4, pp , 997

25 Κεφάλαιο : Εισαγωγή [8] F. N. Koumboulis, G. E. Panagioakis and P. N. Paraskevopoulos, Disurbance Reecion wih Simulaneous Decoupling of Neural Time Delay Sysems, Proceedings of he Inernaional Conference on Compuaional Ineligence for Modelling, Conrol and Auomaion CIMCA 5, Viena Ausria, vol., pp [9] G. E. Panagioakis, F. N. Koumboulis and P. N. Paraskevopoulos, Oupu feedback decoupling of Neural Time Delay Sysem, Proceedings of he 7 Medierranean Conference on Conrol and Auomaion (MED 7, June 7 h 9 h, Ahens, Greece, 7 [] C. Commaul, J. Descusse, J.M. Dion, J.F. Lafay, and M. Malabre, Abou new decoupling invarians: The essenial orders, In. J. Conr., 44, 689 7, 986. [] J. Descusse, J.F. Lafay, and V. Kucera, Decoupling by resriced sae feedback: he general case, IEEE Trans. Auoma. Conr., 9, 79 8, 984. [] J. Descusse, J.F. Lafay, and M. Malabre, Soluion o Morgan's problem, IEEE Trans. Auoma. Conr., 33, , 988. [3] J. M. Dion, and C. Commaul, The minimal delay decoupling problem: feedback implemenaion wih sabiliy, Siam J. Conrol Opim., 6, 66 8, 988. [4] A. N. Herrera H., and J.F. Lafay, New resuls abou Morgan's problem, IEEE Trans, Auoma. Conr., 38, , 993. [5] S. Kamiyama and K. Furua, Decoupling by resriced sae feedback, IEEE Trans. Auoma. Conr.,, 43 45, 976. [6] F. N Koumboulis, Morgan's problem and daa sensiiviy, Proc. 3d European Conrol Conference, Rome, Ialy, , 995. [7] F. N. Koumboulis, T.G. Koussiouris and M. G. Skarpeis, "Robus Morgan s problem", Circuis, Sysems and Signal Processing, 3, 77 3, 4. [8] T. G. Koussiouris and M. Zervos, On he solvabiliy of Morgan's problem I. Necessary and sufficien condiions for decoupling by sae feedback and a consan singular inpu ransformaion, IMA J. of Mah. Conr. and Informaion,, 93. [9] T. G. Koussiouris, and M. Zervos, On he deerminaion of he essenial orders and he zero srucure a infiniy from he sysem marix, Proc. Europ. Conr. Conf., Grenoble France, , 99. [3] T. G. Koussiouris and M.G. Skarpeis, New resuls concerning he solvabiliy of Morgan's problem, Proc. of he Circui, Sysems and Compuers '996, Inernaional Conference, Hellenic Naval Academy, Piraeus, Greece. [3] B. Morgan, The synhesis of linear mulivariable sysem by sae variable feedback, IEEE Trans. on Auoma. Conrol, 9, 45 4, 964. [3] A. S. Morse and W. M. Wonham, Saus of non ineracing conrol, IEEE Trans. Auoma. Conr., 6, , 97. [33] P. S. P. da Silva and V. M. P Leie, Decoupling by dynamic measuremen feedback wih sabiliy: necessary and sufficien condiions, IEEE Transacions on Auomaic Conrol, 37, pp. 6 63, 99 [34] P. Zagalak, J.F. Lafay and A.N.Herrera H., The row by row decoupling via sae feedback: A polynomial approach, Auomaica, 9, , 993. [35] V. Eldem, Decoupling hrough Specified Inpu Oupu Channels wih Inernal Sabiliy, Auomaica, 3, pp , 996. [36] F. N Koumboulis, M. G. Skarpeis and T. G. Koussiouris, A polynomial marix approach for he soluion of he robus Morgan s problem via resriced sae feedback, Proceedings of he 44 h Conference on Decision and Conrol European Conrol Conference (CDC ECC 5, Seville, Spain, 5 [37] S. G. Tzafesas, Model Maching in Time Delay Sysems, IEEE Transacions in Auomaic Conrol, vol., pp 46 48, 976. [38] G.Cone and A.M.Perdon, Model Maching problems for sysems over a ring and applicaions o delay differenial sysems, In Proceedings of he 3 rd IFAC Conference Sysems Srucure and Conrol, Nanes, France, pp , 995. [39] P. Picard, J. F. Lafay and V. Kucera, Model Maching for linear sysems wih delay, Proceedings of he 3 h IFAC World Congress, San Fransisco, USA, Vol D, pp , 996. [4] P. Picard, J. F. Lafay and V. Kucera, Model Maching for linear sysems wih delays and D Sysems, Auomaica, vol. 34, pp 83 9, 998. [4] P. N. Paraskevopoulos, F. N. Koumboulis and K. G. Tzierakis, Disurbance Reecion wih Simulaneous Exac Model Maching of Generalized Sae Space Sysems, Proceedings of he Second European Conrol Conference (ECC 93, 993 3

26 Κεφάλαιο : Εισαγωγή [4] F.N. Koumboulis and M.G. Skarpeis, Robus Disurbance Decoupling wih Simulaneous Exac Model Maching via Saic Measuremen Oupu Feedback, Compuers and Compuaional Engineering in Conrol, World Scienific and Engineering Sociey Press, Elecrical and Compuer Engineering Series, pp 78 9, 999 [43] F. N. Koumboulis and G. E. Panagioakis, Exac Model Maching and Disurbance Reecion for General Linear Time Delay Sysems via Measuremen Oupu Feedback, Proceedings of he h IEEE Inernaional Conference on Emerging Technologies and Facory Auomaion ETFA 5, Caania, Ialy, Sepember 9, 5 [44] Andersen, K.K., and Poulsen, H. Building Inegraed Heaing Sysems. Inernaional Building Performance Simulaion Associaion Conference, Kyoo, Japan, 3 5 Sepember 999 [45] Crawley, D.B., Lawrie, L.K., Winkelmann, F.C., Buhl, W.F., Huang, Y.J., Pedersen, C.O., Srand, R.K., Liesen, R.J., Fisher, D.E., Wie, M.J., and Glazer, J. EnergyPlus: creaing a new generaion building energy simulaion program. Energy and Buildings,, 33 (4, [46] Aasem, E.O. Pracical Simulaion of Buildings and Air Condiioning Sysems in he Transien Domain. PhD Disseraion, Universiy of Srahclyde, 993 [47] Presco, S.L., and Ulanicky, B. Dynamic Modeling of Pressure Reducing Valves. Journal of Hydraulic Engineering, 3, 9 (, 84 8 [48] Malik, M.N., Afzal, M., Tariq, G.F., and Ahmed, N. Mahemaical Modeling and Compuer Simulaion of Transien Flow in Cenrifuge Cascade Pipe Nework wih Opimizing Techniques. Compuers and Mahemaics wih Applicaions, 998, 36 (4, [49] Cai, W. Nonlinear Dynamics of Thermal Hydraulic Neworks. PhD Disseraion, Universiy of Nore Dame, 6 [5] Arlsanurk, C., and Ozguc, A.F. Opimizaion of a Cenral Heaing Radiaor, Applied Energy, 6, 83 (, 9 97 [5] Hansen, L.H. Sochasic Modeling of Cenral Heaing Sysems. PhD Disseraion, Technical Universiy of Denmark, 997 [5] Zaheer Uddin, M., Zheny, G.R., and Cho, S. H. Opimal Operaion of an Embedded Piping Floor Heaing Sysem wih Conrol Inpu Consrains. Energy Conversion and Managemen, 994, 38 (7, [53] Liao, Z., and Parand, F. Develop a Dynamic Model of Gas and Oil Burned Boilers for Opimizaion of Boiler Conrol in Cenral Heaing Sysems. Canadian Conference on Building Energy Simulaion, Monréal, Canada, 3 Sepember [54] Zanobini, A., Luculano, G., and Papini, A. Cenral Heaing Conrol: a New Technique o Gauge Room Temperaure. IEEE Insrumenaion and Measuremen Technology Conference, S. Paul, USA, 8 May 998 [55] Mendi, F., Boran, K., and Kulekci, M.K. Fuzzy Conrolled Cenral Heaing Sysem. Inernaional Journal of Energy Research,, 6 (5, 33 3 [56] Morel, N., Bauer, M., El Khoury, M., and Krauss, J. NEUROBAT: A Predicive and Adapive Heaing Conrol Sysem Using Arificial Neural Neworks. Inernaional Journal of Solar Energy,,, 6 [57] Andersen, K.K., and Poulsen, H. Building Inegraed Heaing Sysems. Building Simulaion 999, Kyoo, Japan, 3 5 Sepember 999 [58] K K. Yano, S. Higashikawa and K. Terashima, Moion conrol of liquid conainer considering an inclined ransfer pah, Conrol Eng. Pracice, vol.,, pp [59] J. Feddema, C. Dohrmann, G. Parker, R. Robine, V. Romero and D. Schmi, Roboically conrolled sloshfree moion of an open conainer of liquid, 996 IEEE Inernaional Conference on Roboics and Auomaion, Minneapolis, Minnesoa, USA, 996 [6] K. Terashima, M, Hamaguchi and K. Yamaura, Modeling and inpu shaping conrol of liquid vibraion for an auomaed pouring sysem, 35h Conference on Decision and Conrol, Kobe, Japan, 996 [6] J. T. Feddema, C. R. Dohrmann, G. G. Parker, R. D. Robine, V. J. Romero and D. J. Schmi, Conrol for slosh free moion of an open conainer, IEEE Conrol Sysems Magazine, vol. 7, no., 997, pp [6] K. Yano and K. Terashima, Robus liquid conainer ransfer conrol for complee sloshing suppression, IEEE Transacions on Conrol Sysems Technology, vol. 9, pp , [63] K. Terashima and K. Yano, Sloshing analysis and suppression conrol of iling ype auomaic pouring machine, Conrol Engineering Pracice, vol. 9,, pp [64] S. Kimura, M. Hamaguchi and T. Taniguchi, Damping conrol of liquid conainer by a carrier wih dual swing ype acive vibraion reducer, 4s SICE Annual Conference, Osaka, Japan, [65] Y. Noda, K. Yano and K. Terashima, Tracking o moving obec and sloshing suppression conrol using ime varying filer gain in liquid conainer ransfer, 3 SICE Annual Conference, Fukui, Japan, 3 4

27 Κεφάλαιο : Εισαγωγή [66] M. Hamaguchi, K. Terashima, H. Nomura, Opimal conrol of liquid conainer ransfer for several performance specificaions, J. Advanced Auom. Techn., vol. 6, 994, pp [67] M.P. Tzamzi, F.N. Koumboulis, N.D. Kouvakas and G.E. Panagioakis, A Simulaed Annealing Conroller for Sloshing Suppression in Liquid Transfer wih Delayed Resonaors, 4h Medierranean Conference on Conrol and Auomaion, Ancona, Ialy, 6 [68] M. P. Tzamzi, F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and M. G. Skarpeis, Robusness in Liquid Transfer Vehicles wih Delayed Resonaors, 6h WSEAS Inernaional Conference on Circui, Sysems, Elecronics, Conrol & Signal Processing (CSECS'7, Cairo, Egyp, 7, pp / WSEAS Transacions on Sysems, vol. 7, no., 8, pp [69] N. Olgac and B. T. Holm Hansen, A novel acive vibraion echnique: delayed resonaor, Journal of Sound and Vibraion, vol. 76, no., 994, pp [7] N. Olgac, H. Elmali and S. Viayan, Inroducion o he dual frequency delayed resonaor, Journal of Sound and Vibraion, vol. 89, no. 3, 996, pp [7] D. Filipovic, N. Olgak, Delayed resonaor wih speed feedback including dual frequency heory and experimens, 36h Conf. on Decision and Conrol, San Diego, California, USA, 997 [7] M. E. Renzulli, R. Ghosh Roy and N. Olgac, Robus Conrol of he Delayed Resonaor Vibraion Absorber, IEEE Transacions on Conrol Sysems Technology, vol. 7, no. 6, 999, pp [73] D. A. Manaras and P. Luque, Ride comfor performance of differen acive suspension sysems, Inernaional Journal of Vehicle Design, vol. 4, 6, pp. 6 5 [74] S. A. Oke, T. A. O. Salau, O. A. Adeyefa, O. G. Akanbi and F. A. Oyawale, Mahemaical Modelling of he road bumps using laplace ransform, Inernaional Journal of Science and Technology, vol., no., 7, pp. 9 4 [75] P. B. Reddy and P. Sannui, Opimal Conrol of a Coupled Core Nuclear Reacor by Singular Perurbaion Mehod, IEEE Transacions on Auomaic Conrol, vol., pp ,975 [76] B. Sikora, On he Consrained Conrollabiliy of Dynamical Sysems wih Muliple Delays in he Sae, Inernaional Journal of Applied Mahemaics and Compuer Science, vol. 3, no. 4, pp , 3 [77] Φ. Ν. Κουμπουλής, Βιομηχανικός Έλεγχος, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 999 [78] P. N. Paraskevopoulos, G. D. Pasgianos and K. G. Arvaniis, New uning and idenificaion mehods for unsable firs order plus dead ime processes based on pseudo derivaive feedback conrol, IEEE Trans. Conrol Sys. Technology, vol., no. 3, pp , 4. [79] P.N.Paraskevopoulos, G.D.Pasgianos and K.G.Arvaniis, PID ype conroller uning for unsable firs order plus dead ime processes based on gain and phase margin specificaions, IEEE Transacions on Conrol Sysems Technology, vol. 4, no. 5, pp , 6 [8] Åsröm, K.J., and Hagglund, T. PID Conrollers: heory, design and uning. Insrumen Sociey of America, 995 [8] Herrero, J.M., Blasco, X., Marinez, M., and Salcedo, J.V. Opimal PID Tuning wih Geneic Algorihms for Non Linear Process Models. 5 h Triennial World Congress of he Inernaional Federaion of Auomaic Conrol, Barcelona, Spain, 6 July [8] Herrero, J.M., Blasco, X., Marinez, M., and Salcedo, J.V. Opimal PID Tuning wih Geneic Algorihms for Non Linear Process Models. 5 h Triennial World Congress of he Inernaional Federaion of Auomaic Conrol, Barcelona, Spain, 6 July [83] Koumboulis, F.N., and Tzamzi, M.P. A Meaheurisic Approach for Conroller Design of Mulivariable Processes. h IEEE Conference on Emerging Technologies and Facory Auomaion, Paras, Greece, 5 8 Sepember 7 [84] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Analyic Modeling and Meaheurisic PID Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem, in WSEAS Transacions on Sysems and Conrol, vol. 7, no. 3, pp , 8 [85] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Dynamic disurbance reecion conrollers for neural ime delay sysems wih applicaion o a cenral heaing sysem, Science in China Series F: Informaion Sciences, vol. 5, no. 7, pp , 9 [86] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Linear approximan based meaheurisic proporional inegral derivaive conroller for a neural ime delay cenral heaing sysem, Proceedings of he IMechE Par I: Journal of Sysems and Conrol Engineering, vol. 3, pp , 9 [87] P. N. Paraskevopoulos, F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and C. Balafas, I/O Decoupling via Dynamic Conrollers: A Sae Space Approach, in Proceedings of he IEEE Medierranean Conference on Conrol and Auomaion (MED 5, June 7 h 9 h, Limassol, Cyprus, 5 5

28 Κεφάλαιο : Εισαγωγή [88] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Dynamic Conrollers for I/O Decoupling of Neural Time Delay Sysems wih Applicaion o a Coupled Core Nuclear Reacor, in Proceedings of he European Conrol Conference (ECC 7, July nd 5 h, Kos, Greece, 7 [89] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas, P. N. Paraskevopoulos, Model Maching of SISO Neural Time Delay Sysems via Oupu Feedback, in Proceedings of he 5 h Medierranean Conference on Conrol and Auomaion (MED 6, Ahens, Greece, 7. [9] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Modeling and Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem, in Proceedings of he 6h WSEAS Inernaional Conference on Circuis, Sysems, Elecronics, Conrol & Signal Processing (CSECS 7, December 9 h 3 s, Cairo, Egyp, 7 [9] F.N. Koumboulis, N.D. Kouvakas, P.N. Paraskevopoulos, Dynamic Disurbance Reecion Conrollers for Neural Time Delay Sysems wih applicaion o a Cenral Heaing Sysem, in Proceedings of he Inernaional Conference on Modelling, Idenificaion and Conrol (ICMIC 8, June 9 July, 8, Shanghai, China. [9] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Dynamic Measuremen Oupu Feedback Conrollers for Exac Model Maching and Disurbance Reecion of General Linear Neural Time Delay Sysems, 7h Medierranean Conference on Conrol and Auomaion, June 4 6, 9, Thessaloniki, Greece. [93] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Velociy Conrol and Vibraion Aenuaion for a Car Pendulum Sysem wih Delayed Resonaors, 8 h IEEE Inernaional Conference on Conrol Applicaions, July 8, 9, Sain Peersburg, Russia [94] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, On he Morgan's Problem for Neural Time Delay Sysems via Dynamic Conrollers wih applicaion o a Tes Case Cenral Heaing Sysem, 8 h IEEE Inernaional Conference on Conrol Applicaions, July 8, 9, Sain Peersburg, Russia 6

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης: Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται το μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης στη μορφή ενός πολλαπλού μη γραμμικού ουδετέρου συστήματος με χρονικές καθυστερήσεις. Ειδικότερα, παρουσιάζονται τα επιμέρους μαθηματικά μοντέλα για τα κύρια τμήματα της διάταξης, δηλαδή το δίκτυο σωληνώσεων, το θερμαντικό σώμα και τον λέβητα. Τα επιμέρους μοντέλα συνδυάζονται στο μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με χρονικές καθυστερήσεις (οι οποίες εξαρτώνται από τις μεταβλητές κατάστασης το οποίο στη συνέχεια απλοποιείται σε ένα ουδέτερο σύστημα με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις. Αποδεικνύεται ότι η επίδραση των καθυστερήσεων είναι σημαντική, συνεπώς η ενσωμάτωσή τους στο μαθηματικό μοντέλο της διάταξης το καθιστά περισσότερο ακριβές ενώ η προσέγγιση με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις εισάγει μόνο ένα μικρό σφάλμα στο σύστημα. Τέλος, σχεδιάζεται ένας PID ελεγκτής για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου, το οποίο μοντελοποιείται ως μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Οι παράμετροι του ελεγκτή προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας έναν μεταευρετικό αλγόριθμο του οποίου η απόδοση εξετάζεται. Η παραγόμενη απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου συγκρίνεται α με την απόκριση η οποία παράγεται από τον ίδιο ελεγκτή στην περίπτωση που οι παράμετροί του υπολογίζονται χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols και β με την απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόχου εισάγοντας κατάλληλη σταθερή είσοδο. Για λόγους επίδειξης παράγεται επίσης και ένας ελεγκτής τύπου PI για τον έλεγχο της θερμοκρασίας του δωματίου και παρουσιάζεται η αντίστοιχη απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου.. Εισαγωγή Το πρόβλημα της μοντελοποίησης και του ελέγχου συστημάτων κεντρικής θέρμανσης έχει προσελκύσει σημαντικό ενδιαφέρον κατά τα τελευταία έτη (βλέπε π.χ. [] [6]. Ειδικότερα, σημαντικό ενδιαφέρον προσέλκυσε η μοντελοποίηση, η κατασκευή και η βελτιστοποίηση των επιμέρους τμημάτων συστημάτων κεντρικής θέρμανσης, όπως τα δίκτυα σωληνώσεων (βλέπε π.χ. [4] [6] και τις εκεί αναφορές, τα διαφόρων τύπων θερμαντικά σώματα (βλέπε π.χ. [7] [8], οι λέβητες (βλέπε [9] [] κλπ. Επιπλέον, έχουν εφαρμοστεί διάφορες τεχνικές ελέγχου για την ρύθμιση της θερμοκρασίας του αέρα σε κλιματιζόμενα δωμάτια (βλέπε π.χ. [] [6]. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστεί το μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης στη μορφή ενός μη γραμμικού ουδετέρου συστήματος με χρονικές καθυστερήσεις. 7

30 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο Ειδικότερα, θα παρουσιαστούν τα επιμέρους μαθηματικά μοντέλα για τα κύρια τμήματα του συστήματος, δηλαδή το δίκτυο σωληνώσεων, το θερμαντικό σώμα και τον λέβητα. Τα επιμέρους μοντέλα θα συνδυαστούν μέσω καταλλήλων αλγεβρικών συσχετίσεων στο μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με χρονικές καθυστερήσεις (οι οποίες εξαρτώνται από τις μεταβλητές κατάστασης το οποίο στη συνέχεια θα απλοποιηθεί σε ένα ουδέτερο σύστημα με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις. Θα αποδειχθεί ότι η επίδραση των καθυστερήσεων είναι σημαντική, συνεπώς η ενσωμάτωσή τους στο μαθηματικό μοντέλο της διάταξης το καθιστά περισσότερο ακριβές ενώ η προσέγγιση με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις εισάγει μόνο ένα μικρό σφάλμα στο σύστημα. Τέλος, θα σχεδιαστεί ένας PID ελεγκτής για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου, το οποίο θα μοντελοποιηθεί ως μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Οι παράμετροι του ελεγκτή θα προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας έναν μεταευρετικό αλγόριθμο του οποίου θα εξεταστεί η απόδοση. Η παραγόμενη απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου θα συγκριθεί α με την απόκριση η οποία παράγεται από τον ίδιο ελεγκτή στην περίπτωση που οι παράμετροί του υπολογίζονται χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols και β με την απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόχου εισάγοντας κατάλληλη σταθερή είσοδο. Για λόγους επίδειξης θα παραχθεί επίσης και ένας ελεγκτής τύπου PI για τον έλεγχο της θερμοκρασίας του δωματίου και θα παρουσιαστεί η απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου. Τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου δημοσιεύτηκαν στις εργασίες F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Analyic Modeling and Meaheurisic PID Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem, WSEAS Transacions on Sysems and Conrol, vol. 7, no. 3, pp , 8 F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Modeling and Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem, Proceedings of he 6h WSEAS Inernaional Conference on Circuis, Sysems, Elecronics, Conrol & Signal Processing (CSECS 7, December 9 h 3 s, Cairo, Egyp, 7. Πολλαπλό Δυναμικό Μοντέλο του Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης Στην ενότητα αυτή θα παραχθεί το γενικό δυναμικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης. Η διάταξη αυτή αποτελείται από το δίκτυο σωληνώσεων, ένα θερμαντικό σώμα και έναν λέβητα (βλέπε Σχήμα.. Το θερμαντικό σώμα θερμαίνει ένα δωμάτιο συνεπώς η μεταβλητή απόδοσης της διάταξης θεωρείται η ισχύς που αποδίδει το θερμαντικό σώμα καθώς είναι ευθέως συνδεδεμένη με την θερμοκρασία του δωματίου. Σε ότι αφορά το δωμάτιο, αυτό θα προσεγγιστεί μέσω μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης η οποία θα παραχθεί χρησιμοποιώντας ένα ισοζύγιο ενέργειας μεταξύ της πηγής (θερμαντικό σώμα, των απωλειών θερμότητας προς το περιβάλλον και της συσσώρευσης 8

31 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο ενέργειας στο δωμάτιο. Θα θεωρήσουμε επίσης ότι δεν υπάρχουν δευτερεύουσες πηγές θερμότητας και ότι δεν αποθηκεύεται ενέργεια στο δάπεδο ή την οροφή του δωματίου. T a q q T e Σχήμα.: Διάταξη συστήματος κεντρικής θέρμανσης.. Μοντελοποίηση Θερμαντικού Σώματος Το δυναμικό μοντέλο ενός θερμαντικού σώματος παρουσιάζεται στη βιβλιογραφία (βλέπε π.χ. [8] ως μια μερική διαφορική εξίσωση της μορφής T T T T C C ρq a Φ l p, l x ΔT ma, n (. όπου T είναι η θερμοκρασία του νερού μέσα στο θερμαντικό σώμα, T είναι η θερμοκρασία του a δωματίου, q είναι η ογκομετρική παροχή του νερού μέσα στο θερμαντικό σώμα, C είναι η l συνδυασμένη θερμοχωρητικότητα ανά μονάδα μήκους του νερού και του υλικού του θερμαντικού σώματος, C και ρ είναι η θερμοχωρητικότητα και η πυκνότητα του νερού αντίστοιχα, Φ είναι η p,l ονομαστική ισχύς ανά μονάδα μήκους του θερμαντικού σώματος, Δ T ma είναι η αριθμητική μέση, διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του θερμαντικού σώματος και του αέρα σε τυπικές συνθήκες λειτουργίας και n είναι ένας εκθέτης στην περιοχή τιμών από. έως.4. 9

32 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο Η εξίσωση (. μπορεί να προσεγγιστεί σαν ένα μη γραμμικό σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων της μορφής C dt ΔT Φ T T a C ρq p NΔx d Δx NΔx T Δ ma, n ή ισοδύναμα dt NC ρq p Φ T T a ΔT d C C T Δ ma, n (. όπου C είναι η συνδυασμένη θερμοχωρητικότητα του νερού και του υλικού του θερμαντικού σώματος, Φ είναι η ονομαστική ισχύς του θερμαντικού σώματος, N είναι ο αριθμός των τμημάτων στα οποία χωρίζεται το θερμαντικό σώμα και θερμοκρασιακή διαφορά Δ T δίνεται από την σχέση T είναι η θερμοκρασία του τμήματος του σώματος. Η Δ T ( ϕ T + ( ϕ T ϕt + όπου ϕ είναι ένας κλασματικός αριθμός με εύρος τιμών από έως.5. Αναλυτικότερα, η εξίσωση του πρώτου και του τμήματος είναι της μορφής και n Φ a HqT ( ϕ q i T ϕt Δ ma, C dt T T N d N T C dt Φ T T a Hq( ϕ T ( ϕ q T ϕt + N d + N T Δ ma, ενώ η εξίσωση του τελευταίου τμήματος είναι της μορφής C dt Φ T T N N a HqT q ( T N N N d N T Δ ma, όπου Hq Cpρ και T είναι η θερμοκρασία του νερού εισόδου. Σημειώνεται πως η διαφορική εξίσωση i του τελευταίου τμήματος έχει παραχθεί θεωρώντας ότι ϕ. Αυτή η υπόθεση χρησιμοποιείται έτσι ώστε η θερμοκρασία εξόδου του νερού από το θερμαντικό σώμα να ταυτίζεται με την θερμοκρασία του τελευταίου τμήματός του. n n

33 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο Πραγματοποιώντας απλούς υπολογισμούς, το παραπάνω μη γραμμικό σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί στον χώρο κατάστασης ως ( ( (, (, ξ ( x f x u (.3α r r r r r ενώ η μεταβλητή απόδοσης του συστήματος είναι της μορφής όπου y r ( n ( ξ ( N Φ x r, r N T Δ ma, (.3β T ( ( ( ( ( x r x x T T, r N, r N T ( ( ( ( ( u r u u q T, r, r i r ( T ( ξ ( (, (, ξ ( ( (, (, ξ, (, ( (, (, ξ ( f x u r r r r f x u f x u r r r r N r r r r ( a T T T n ( ξ ( NH u q, r Φ x, r r f, ( x (, u (, ξ ( u, ( ( ϕ r r r r r x, r ( ϕx, r ( C C T Δ ma, ( NH u q, r f, ( x (, u (, ξ r r r r( C ( ϕ x ( ( ϕ x ( ϕx ( n ( ξ ( Φ x r, r +, r, r +, r C ΔT ma, (,,, N n ( ξ ( NH u q, r Φ x N, r r f, ( x (, u (, ξ Nr r r r( xn, r( xnr, ( C C T Δ ma,.. Μοντελοποίηση Λέβητα Το δυναμικό μοντέλο του λέβητα μπορεί να περιγραφεί ως μια πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση της μορφής (.4, [9] [] όπου dtw C n ( T Q ρc q b com w burner p ( T T w w a ( T T w e (.4 s r d T είναι η μέση θερμοκρασία του νερού, w του νερού αντίστοιχα, T και w s T είναι η θερμοκρασία εξόδου και εισόδου w r T είναι η θερμοκρασία του δωματίου που είναι τοποθετημένος ο λέβητας, e

34 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο Q είναι η παροχή ενέργειας στον λέβητα, C είναι η θερμοχωρητικότητα του λέβητα, a είναι ο burner b ρυθμός απώλειας ενέργειας από του χιτώνιο του λέβητα προς το περιβάλλον και n είναι ο βαθμός com απόδοσης της καύσης στον καυστήρα του λέβητα. Ο βαθμός απόδοσης της καύσης δίνεται από ένα πολυώνυμο της μορφής n T a T T ( ( (.5 com w w w,max όπου οι συντελεστές του πολυωνύμου μπορούν να προσδιοριστούν από πειραματικά δεδομένα. Στο παρόν κεφάλαιο θα υποθέσουμε ότι a για i 3. Η μέση θερμοκρασία του νερού T συνδέεται i w με τις θερμοκρασίες εισόδου και εξόδου του νερού μέσω της σχέσης ( T at + a T (.6 w w r w s όπου a είναι ο συντελεστής που συνδέει την μέση θερμοκρασία του νερού του λέβητα με τις αντίστοιχες θερμοκρασίες στην είσοδο και την έξοδο. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (.4 και (.6, το μη γραμμικό μοντέλο του λέβητα γράφεται στον χώρο κατάστασης ως όπου dx b d ( ( (, b b ( f x u (.7 ( ( x T b w s ( ( ( ( ( ( T ( ( ( ( ( T u b u u u u u Q q T T T, b, b 3, b 4, b 5, b burner w w e r r ρc p f ( x (, u ( n ( x (, u b b com b 3, b ( u, b ( u, b ( xb ( u3, b( C a C a b ( C b a ( a b ( a au a x u u 3, b b 5, b 4, b a ( + ( ( ( (..3 Μοντελοποίηση Δικτύου Σωληνώσεων Δεδομένου ενός κυκλικού αγωγού μήκους l, διαμέτρου d και τραχύτητας e, το δυναμικό μοντέλο της μονοδιάστατης ασυμπίεστης ροής q ενός ρευστού πυκνότητας ρ, οδηγούμενης από μια διαφορά πίεσης Δ p p p στα άκρα του αγωγού, εκφράζεται ως (βλέπε [8] in ou

35 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο ( dq d ( ( ( ( f q, p p f q in ou, (.8 όπου ( π f q d ρl (.9, 4 ( ( ( 3 λ π και λ ( qd, είναι ο συντελεστής τριβής. Ο συντελεστής τριβής ( qd, f q q, d q d (., λ εξαρτάται από τις συνθήκες ροής μέσα στον αγωγό, δηλαδή εάν η ροή είναι στρωτή, μεταβατική ή τυρβώδης. Οι συνθήκες ροής μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τον αριθμό Reynolds οποίος ορίζεται ως ( qd Re, 4ρq πd μ όπου μ είναι το δυναμικό ιξώδες του ρευστού. Για την περίπτωση της στρωτής ροής, δηλαδή εάν ( Re qd, 3, ισχύει ότι ( qd, 64 Re ( qd, ενώ για την περιοχή της τυρβώδους ροής, δηλαδή εάν ( προκύπτει από την επίλυση της σχέσης λ (. Re qd, > 3, ο συντελεστής τριβής.5 e λ ( qd, log + Re ( qd, λ ( qd, 3.7d (. ως προς λ. Σε ότι αφορά την μεταβατική περιοχή, δηλαδή για ( qd 3 < Re, 3, ο συντελεστής τριβής μπορεί να προσεγγιστεί γραμμικά, [5], υπό την προϋπόθεση ότι η γραμμική συνάρτηση ικανοποιεί τις σχέσεις (. και (. για Re ( qd, 3 και ( Re qd, 3 αντίστοιχα. Σε ότι αφορά την τυρβώδη ροή, αυτή μπορεί να χωριστεί σε μικρότερες περιοχές. Για παράδειγμα όταν ο 5 αριθμός Reynolds είναι μικρότερος από και ο αγωγός είναι λείος, δηλαδή η τραχύτητα είναι μικρή, ο συντελεστής τριβής περιγράφεται από την εξίσωση Blasius ( qd,.36 Re ( qd,.5 λ (.3 Η προσέγγιση (.3 είναι έγκυρη για τυπικές γεωμετρίες και συνθήκες ροής μικρών οικιακών εγκαταστάσεων. Συνεπώς, υποθέτοντας ότι οι αγωγοί είναι λείοι η σχέση (. μπορεί να 3

36 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο αντικατασταθεί από την σχέση (.3. Εκτελώντας απλούς υπολογισμούς προκύπτει ότι η γραμμική προσέγγιση για την περιοχή ( qd 3 < Re, 3 είναι της μορφής λ 5 ( qd ( qd, Re, (.4 Οι απώλειες που οφείλονται σε συνδετικά ή άλλα στοιχεία εκτός των αγωγών συνήθως παρουσιάζονται ως ισοδύναμα μήκη ευθέων αγωγών οι οποίοι θα είχαν την ίδια πτώση πίεσης με το σχετικό στοιχείο. Εάν πρόκειται ένα τέτοιο στοιχείο να αντικατασταθεί από ένα ισοδύναμο μήκος αγωγού, έστω L, πρέπει να ισχύει ότι L K d λ ( q, d eq eq, όπου f f K είναι ο συντελεστής πτώσης πίεσης για το στοιχείο. Από αυτή η σχέση προκύπτει και το βασικό μειονέκτημα της προσέγγισης με ισοδύναμα μήκη επειδή παρότι ο συντελεστής πτώσης πίεσης K και η διάμετρος d είναι σταθερά f μεγέθη για δεδομένο αγωγό και διάφορες συνθήκες ροής, ο συντελεστής τριβής δεν είναι. Η προσέγγιση με τα ισοδύναμα μήκη μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση που ένα θερμαντικό σώμα είναι συνδεδεμένο στο δίκτυο σωληνώσεων. Επιπρόσθετα όμως πρέπει να προστεθεί μια επιπλέων πτώση πίεσης η οποία οφείλεται στο στοιχείο που συνδέει το σώμα με το δίκτυο. Αυτή η πτώση πίεσης είναι της μορφής όπου ( K q K είναι ένας συντελεστής τυρβώδους πτώσης πίεσης. δ P q (.5 Λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω σχέσεις, το μη γραμμικό μοντέλο του δικτύου σωληνώσεων της διάταξης που παρουσιάζεται στο Σχήμα. μπορεί να γραφτεί στον χώρο κατάστασης ως dx p + + u ( δp p ( xp f ( xp f ( xp + d f ( xp f ( xp f3 ( xp όπου p ( (, u ( Δ P( x q p ( ( ( ( f x f x f x f x (.6 p p 3 p 3 p πd r δ P ( xp K x, f p ( x, f ( xp ( πd f x, ( p p 4ρL πd 4ρL λ ( x, d p r ( ( p f x x, p 3 πdr p r 3 p 4ρL ( x d p λ, f x x 3, 3 πd ( x d p λ, f x x, 3 πd p p 4

37 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο και όπου d και L είναι η υδραυλική διάμετρος και το μήκος του θερμαντικού σώματος αντίστοιχα και r r d και L είναι η διάμετρος και το μήκος των αγωγών που συνδέουν τον λέβητα με το σώμα αντίστοιχα. Ο όρος είσοδος. Δ P είναι η διαφορά πίεσης που προστίθεται στο δίκτυο από την αντλία (ενεργοποιήσιμη..4 Συνολικό Μη Γραμμικό Μοντέλο του Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης Για να κατασκευαστεί το συνολικό μη γραμμικό μοντέλο της διάταξης, αρκεί να διατυπωθούν οι απαραίτητες αλγεβρικές σχέσεις που αντιστοιχούν στις συνδέσεις των διαφόρων τμημάτων του δικτύου. Έστω τα σύνθετα διανύσματα κατάστασης, εισόδων και διαταραχών, όπως ορίστηκαν στις Ενότητες.. έως..3. T ( ( ( ( ( ( ( ( ( x x x x x q T T T N + N + r N w s T ( ( ( Δ ( ( T burner u u u P Q ( T ( ( T ( T ( T a e ξ ξ ξ Από το Σχήμα. μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί ότι ( ( ( u x x (.7α, r p ( ( τ( ( τ + ( u x x (.7β, r b N ( ( ( u x x (.7γ, b p ( ( τ( ( τ + ( u x x (.7δ 3, b N, r N u 4, b ( du ( 3, b (.7ε Εκτελώντας απλούς αλγεβρικούς υπολογισμούς, προκύπτει ότι το συνολικό μη γραμμικό μοντέλο της διάταξης είναι της μορφής ( dx d d ( d + E x( τ ( f x(, u(, x( τ(, ξ( (.8α d ( y πdl x ( ρ dρ (.8β 4 τ( n ( ξ ( N + Φ x N T Δ ma, (.8γ T 5

38 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο όπου ( (, (, ( τ(, ξ( f x u x f ( x(, u(, x( τ(, ξ( f ( x(, u(, x( τ(, ξ N ( + f ( x(, u (, x( τ(, ξ( + + f ( x f ( x f3 ( x ( NH x q f ( x (, u(, x( τ(, ξ( C ( ( ( ( ( ( f x f x f x u( + δp ( x f x f x f x ( τ( ( ϕ ( ϕ ( 3 3 n ( ξ ( Φ x x x x N + 3 C ΔT ma, ( ( ( ( ( ( NH x q f ( x(, u(, x( τ(, ξ( ϕ x + ϕ x ϕx + C n ( ξ ( Φ x C ΔT ma, for 3,, N ( ( ( ( n ( ξ ( NH x x q N f Φ + ( x(, u(, x( τ(, ξ N ( x x + N N+ C C T Δ ma, ( ( ( ( ( ( ( a ( ( ( ( ( f x, u, x τ, ξ n x, x τ u N + com N + N + C ( b ρc a w x ( x ( x ( τ( ax ( τ( + ( a N N N xn ( ξ( C a C a b b ( E ( N+ N ( N+ ( N+ a N a Σημειώνεται ότι η πίεση της αντλίας και η παροχή ενέργειας στον λέβητα είναι οι ενεργοποιήσιμες είσοδοι της διάταξης ενώ η θερμοκρασία των δωματίων στα οποία είναι τοποθετημένα το θερμαντικό σώμα και ο λέβητας ενεργούν ως διαταραχές στο σύστημα. Η χρονική καθυστέρηση τ ( αντιστοιχεί στην καθυστέρηση λόγω μεταφοράς από την έξοδο του λέβητα στην είσοδο του θερμαντικού σώματος και από την έξοδο του θερμαντικού σώματος στην είσοδο του λέβητα. Γενικά, αυτές οι καθυστερήσεις 6

39 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο μπορεί να είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Στο παρόν κεφάλαιο υποθέτουμε ότι το μήκος και η διάμετρος των αγωγών από τον λέβητα στο θερμαντικό σώμα και αντίστροφα είναι ίσα. Συνεπώς και οι αντίστοιχες καθυστερήσεις, έστω τ ( και ( ( ( ( τ τ τ. τ, είναι επίσης ίσες μεταξύ τους, δηλαδή.3 Μελέτη της Επίδρασης της Καθυστέρησης στο Μη Γραμμικό Μοντέλο της Διάταξης Στην ενότητα αυτή θα διερευνηθεί η επίδραση της καθυστέρησης στην απόκριση της συνολικής διάταξης μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. Έστω ότι το μοντέλο (.8 λειτουργεί σε συγκεκριμένες συνθήκες λειτουργίας, έστω u, u, ξ και ξ για τις ενεργοποιήσιμες εισόδους και τις διαταραχές παράγοντας τις αντίστοιχες ονομαστικές τιμές για τις μεταβλητές κατάστασης, έστω x για,, N +. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα υποθέσουμε ότι την χρονική στιγμή οι ενεργοποιήσιμες είσοδοι και οι διαταραχές λαμβάνουν την μορφή u ( p u u ( ( (, ( u p u u u s p ( p, u ( u min p u max ξ p u ( ξ και ξ ξ ( p ξ u ( ξ s, p ( p,( p ξ ξ min ξ max s, u s, όπου p ( p, ( p u u u και p ( p,( p ξ ξ ξ min max, min max και όπου u ( είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση, οδηγώντας το σύστημα σε νέες συνθήκες λειτουργίας, έστω,, N +, μέσω των αντίστοιχων αποκρίσεων, έστω ( s x για x για,, N +. Το ίδιο πείραμα μπορεί να πραγματοποιηθεί για το σύστημα (.8 υποθέτοντας ότι η χρονική καθυστέρηση τ ( είναι ίση με μηδέν, παράγοντας διαφορετικές αποκρίσεις, έστω x ( για,, N +. Για να εξεταστεί η επίδραση της χρονικής καθυστέρησης στο σύστημα, θα χρησιμοποιηθεί ένα Ευκλείδειου τύπου κριτήριο της μορφής (, x % p x x x (.9 x x Η ίδια διερεύνηση μπορεί να πραγματοποιηθεί και για την μεταβλητή απόδοσης. Σημειώνεται ότι η απόκριση της ογκομετρικής παροχής του νερού μέσα στο δίκτυο δεν εξαρτάται από την χρονική καθυστέρηση. Συνεπώς και στις δύο περιπτώσεις, με ή χωρίς την παρουσία της χρονικής καθυστέρησης, οι αποκρίσεις θα είναι ίσες, δηλαδή το κριτήριο (.9 είναι εξορισμού μηδέν. Επιπλέον, για την περίπτωση που p, u p, u p ξ και p ξ, και τα δύο συστήματα παραμένουν στις αρχικές ονομαστικές τιμές οπότε τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής του κριτηρίου (.9 είναι μηδέν. Στην περίπτωση αυτή το κριτήριο θεωρούμε ότι έχει την τιμή μηδέν. 7

40 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο Έστω L 5 m, d.5 m, L m r, d.9653 m r, K., C 36 KJ K, N 4, ϕ, Φ 5 W, n.5 a 9, a, a., T C w,max, a 5.6 W K, C 48 J K Kgr w, C 44 J K b, ρ Kgr m,.3547 Pa s μ, Δ T 6 C ma, είναι οι τιμές των παραμέτρων του μη γραμμικού μοντέλου (.8. Υποθέτοντας ότι u 3 Pa, u 3 W, ξ 9. C ξ C οι ονομαστικές τιμές εκκίνησης υπολογίζονται ως x και, m s x C, x C 3, x C 4, x C 5, x C 6, ενώ η ονομαστική αποδιδόμενη ισχύς από το θερμαντικό σώμα είναι y 796.[ W]. Στα Σχήματα. έως.6 παρουσιάζονται ισοϋψείς καμπύλες του κριτηρίου (.9 για τις μεταβλητές κατάστασης ενώ στο Σχήμα.7 το ίδιο κριτήριο παρουσιάζεται για την μεταβλητή απόδοσης για ένα μεγάλο εύρος τιμών των παραμέτρων p και u p u. Για τις διαταραχές υποθέτουμε ενδεικτικά ότι p ξ 5% και p ξ 95%. Από τα σχήματα αυτά μπορεί πολύ εύκολα να παρατηρηθεί ότι η επίδραση της χρονικής καθυστέρησης είναι σημαντική, ιδιαίτερα για την μεταβλητή απόδοσης. Συνεπώς μπορούμε με ασφάλεια να παρατηρήσουμε ότι η ενσωμάτωση της χρονικής καθυστέρησης στο σύστημα το καθιστά περισσότερο ακριβές. Σημειώνεται πως οι καμπύλες του κριτηρίου (.9 έχουν εστιαστεί σε συγκεκριμένες περιοχές έτσι ώστε να αναδεικνύονται οι λεπτομέρειες στα αντίστοιχα τμήματα. 8

41 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο p u p u Σχήμα.: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος (, px x για p ξ 5% και p ξ 95% p u p u Σχήμα.3: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος (, px x για p ξ 5% και p ξ 95% 3 3 9

42 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο p u p u Σχήμα.4: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος (, px x για p ξ 5% και 4 4 p ξ 95% p u p u Σχήμα.5: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος (, px x για p ξ 5% και p ξ 95% 5 5 3

43 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο p u p u Σχήμα.6: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος (, px x για p ξ 5% και 6 6 p ξ 95% p u p u Σχήμα.7: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος pyy (, για p ξ 5% και p ξ 95% 3

44 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο.4 Προσέγγιση του Μη Γραμμικού Μοντέλου του Συστήματος Για να απλοποιηθεί το μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος κεντρικής θέρμανσης, αυτό θα προσεγγιστεί υποθέτοντας ότι η χρονική καθυστέρηση είναι σταθερή και όχι χρονομεταβλητή. Συνεπώς, το μη γραμμικό μοντέλο (.8 λαμβάνει τη μορφή ( dx d d + E x( τ f ( x(, u(, x( τ, ξ( (.α d ( y n ( ξ ( N + Φ x N T Δ ma, (.β Για να προσδιοριστεί η τιμή της σταθερής χρονικής καθυστέρησης, θα υποθέσουμε ότι το σύστημα λειτουργεί στις ονομαστικές του τιμές. Μπορεί πολύ εύκολα να παρατηρηθεί ότι η ονομαστική τιμή τις χρονικής καθυστέρησης, την οποία τελικά θα χρησιμοποιήσουμε ως προσέγγιση για την χρονομεταβλητή καθυστέρηση, είναι τ πdl4x. Για να ελεγχθεί η ακρίβεια της προτεινόμενης προσέγγισης θα χρησιμοποιηθεί ένα κριτήριο παρόμοιο με αυτό της σχέσης (.9. Έστω ότι το μοντέλο (.8 λειτουργεί σε συγκεκριμένες συνθήκες λειτουργίας, έστω u, u, ξ και ξ για τις ενεργοποιήσιμες εισόδους και διαταραχές παράγοντας τις αντίστοιχες ονομαστικές τιμές για τις μεταβλητές κατάστασης, έστω x για,, N +. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι την χρονική στιγμή οι ενεργοποιήσιμες είσοδοι και οι διαταραχές λαμβάνουν την μορφή ( (, u ( p u u (, ξ ( p ξ u ( και ξ ( p ξ u ( u p u u u s u s ξ s, όπου ξ s (,( min max, p (, u pu ( p min u max, p ( p,( p ξ ξ min ξ max, p ( p,( p ξ ξ min ξ p p p u u u όπου u ( είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση, οδηγώντας το σύστημα σε νέες ονομαστικές τιμές s λειτουργίας, έστω x για,, N +, μέσω των αντίστοιχων αποκρίσεων, έστω x ( max και για,, N +. Το ίδιο πείραμα μπορεί να πραγματοποιηθεί για το σύστημα (., οδηγώντας σε διαφορετικές αποκρίσεις, έστω x ( για,, N +. Σημειώνεται ότι οι αρχικές και οι τελικές ονομαστικές τιμές είναι ίσες και για τα δύο συστήματα, με σταθερή ή χρονομεταβλητή καθυστέρηση. Υποθέτοντας ότι οι τιμές των παραμέτρων του μοντέλου είναι όπως παρουσιάστηκαν στην Ενότητα.3, στα Σχήματα.8 έως. παρουσιάζονται ισοϋψείς καμπύλες του κριτηρίου για τις μεταβλητές κατάστασης ενώ στο Σχήμα.3 παρουσιάζονται ισοϋψείς καμπύλες του κριτηρίου για την μεταβλητή απόδοσης για ένα μεγάλο εύρος τιμών των παραμέτρων p και u p u, ενδεικτικά για p ξ 5% και p ξ 95%. Μπορεί πολύ εύκολα να παρατηρηθεί ότι η διαφορά της επίδρασης της χρονομεταβλητής 3

45 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο καθυστέρησης συγκρινόμενη με αυτή της σταθερής καθυστέρησης είναι μικρή. Συνεπώς, το σύστημα μπορεί με ασφάλεια να απλοποιηθεί σε ένα σύστημα με σταθερή χρονική καθυστέρηση αντί για σύστημα με χρονομεταβλητή καθυστέρηση. Σημειώνεται πως οι καμπύλες του κριτηρίου έχουν εστιαστεί σε συγκεκριμένες περιοχές έτσι ώστε να αναδεικνύονται οι λεπτομέρειες στα αντίστοιχα τμήματα p u p u Σχήμα.8: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος (, px x για p ξ 5% και p ξ 95% 33

46 . Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο p u p u Σχήμα.9: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος (, px x 3 3 για p ξ 5% και p ξ 95% p u p u Σχήμα.: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος (, px x 4 4 για p ξ 5% και p ξ 95% 34

47 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο p u p u Σχήμα.: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος (, px x 5 5 για p ξ 5% και p ξ 95% p u p u Σχήμα.: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος (, px x 6 6 για p ξ 5% και p ξ 95% 35

48 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο p u p u Σχήμα.3: Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος pyy (, για p ξ 5% και p ξ 95%.5 Έλεγχος Θερμοκρασίας Στην παρούσα ενότητα θα σχεδιαστεί ένας PID ελεγκτής για την ρύθμιση της θερμοκρασίας ενός δωματίου στο οποίο είναι εγκατεστημένο το σύστημα κεντρικής θέρμανσης που παρουσιάστηκε στις προηγούμενες ενότητες. Για τον σκοπό αυτό, το δωμάτιο θα μοντελοποιηθεί ως μια πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση, [8], κάνοντας την παραδοχή ότι οι τοίχοι το δωματίου υπόκεινται στην ίδια εξωτερική θερμοκρασία, δεν υπάρχει επίδραση των καιρικών συνθηκών (αέρας ή βροχή στην θερμική αντίσταση των τοίχων, δεν υπάρχει μετάδοση θερμότητας με ακτινοβολία, δεν υπάρχει επίδραση από τον εξαερισμό του δωματίου ή την υγρασία του αέρα, δεν υπάρχουν απώλειες θερμότητας από την οροφή ή το δάπεδο και δεν υπάρχουν άλλες πηγές θερμότητας εκτός από το θερμαντικό σώμα. Υπ αυτές τις προϋποθέσεις το δυναμικό μοντέλο του δωματίου λαμβάνει την μορφή ( dtr T T P ou r rad d C R + C ( ( ( r w r (. όπου T είναι η θερμοκρασία του δωματίου, T είναι η θερμοκρασία του περιβάλλοντος, P είναι η r ou rad αποδιδόμενη θερμότητα από το θερμαντικό σώμα, C είναι η θερμοχωρητικότητα του δωματίου και r R είναι η θερμική αντίσταση των τοίχων. Για λόγους προσομοίωσης θα υποθέσουμε ότι w 36

49 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο C 7. KJ K r και R w K W. Μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί ότι η θερμοκρασία του περιβάλλοντος λειτουργεί ως διαταραχή ενώ η αποδιδόμενη ενέργεια από το θερμαντικό σώμα λειτουργεί ως ενεργοποιήσιμη είσοδος. Στο συνολικό σύστημα, δηλαδή το δωμάτιο σε συνδυασμό με το σύστημα κεντρικής θέρμανσης, θα υποθέσουμε ότι το μόνο μετρήσιμο μέγεθος είναι η θερμοκρασία του δωματίου ενώ η μόνη ενεργοποιήσιμη είσοδος είναι το καύσιμο που τροφοδοτεί τον καυστήρα του λέβητα, σε μορφή παρεχόμενης ισχύος προς τον λέβητα. Ο ελεγκτής επιλέγεται της μορφής [7] όπου e ( T( r ( r de u ( f e( + f e( τ dτ + f (. d p i d και r είναι η επιθυμητή τιμή της θερμοκρασίας του δωματίου. Για να επιλεγούν οι τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή θα χρησιμοποιηθούν δύο τεχνικές. Πρώτα θα εφαρμοστεί μια κλασσική προσέγγιση Ziegler Nichols, βλέπε π.χ. [7]. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες ενότητες, οι τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols υπολογίζονται ως ( p ZN ( f, ( f.689, ( f 897 i ZN Στη συνέχεια θα χρησιμοποιηθεί μια μεταευρετική προσέγγιση παρόμοια με αυτήν που παρουσιάστηκε στην εργασία [8]. Ειδικότερα, ο μεταευρετικός αλγόριθμος που θα συνδυαστεί με το προτεινόμενο σχήμα ελέγχου είναι της μορφής d ZN Δεδομένα εκκίνησης αλγορίθμου Κεντρικές τιμές και εύρη της αρχικής περιοχής αναζήτησης των παραμέτρων του ελεγκτή f, f, f, f, f and f. pc, ic, dc, pw, iw, dw, Επιθυμητά χαρακτηριστικά του συστήματος κλειστού βρόχου Περιορισμοί στους ενεργοποιητές, τις μεταβλητές κατάστασης και / ή τις μεταβλητές απόδοσης Περίοδος δειγματοληψίας T Αριθμός δειγμάτων N Κριτήριο απόδοσης J ( x, u, ξ 37

50 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο Παράμετροι επαναλήψεων n, n and n loop rep o Όρια αναζήτησης παραμέτρων ελεγκτή λ, f p λ and f i λ f d Εξωτερική εντολή Αλγόριθμος αναζήτησης Βήμα : Θέστε τον μετρητή i max. Θέστε J min oal. Βήμα : Θέστε τον μετρητή i. Βήμα 3: Προσδιορίστε την περιοχή αναζήτησηςi για τις παραμέτρους του ελεγκτή. Η περιοχή αυτή φράσσεται σύμφωνα με τις ανισότητες f f f, f f f, f f f p,min p p,max i,min i i,max d,min d d,max όπου f f f, f f f p,min p, c p, w,min,, i i c i w f f f, f f + f d,min d, c d, w,max,, p p c p w f f + f, f f + f i,max i, c i, w,max,, d d c d w Βήμα 4: Θέστε i max i max +. Εάν i max > n oal πηγαίνετε στο Βήμα 7. Βήμα 5: Θέστε τον μετρητή i. Βήμα 6: Βήμα 7: Βήμα 8: Επιλέξτε τυχαία μια ομάδα τιμών για τις παραμέτρους του ελεγκτή μέσα στην περιοχή αναζήτησης I. Ελέγξτε εάν το σύστημα κλειστού βρόχου ικανοποιεί τα επιθυμητά χαρακτηριστικά του συστήματος κλειστού βρόχου. Εάν όχι, θέστε J και πηγαίνετε στο Βήμα. Πραγματοποιήστε προσομοίωση του συστήματος κλειστού βρόχου εφαρμόζοντας τον ελεγκτή (. στο σύστημα (.. Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα της προσομοίωσης για ένα αρκετά μεγάλο χρονικό παράθυρο NT έτσι ώστε να ελέγξετε εάν οι μεταβλητές εισόδου u( kt, οι μεταβλητές κατάστασης x( kt και οι μεταβλητή εξόδου ( y kt, k,, N ικανοποιούν τους περιορισμούς. Εάν όχι, θέστε J και πηγαίνετε στο Βήμα. Βήμα 9: Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα της προσομοίωσης του Βήματος 8 για να υπολογίσετε το κριτήριο απόδοσης J ( x, u, ξ. Βήμα : Θέστε i i +. Εάν i n loop πηγαίνετε στο Βήμα 6. 38

51 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο Βήμα : Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα των τελευταίων n επαναλήψεων των Βημάτων 6 loop έως 9 για να προσδιορίσετε τον υποβέλτιστο ελεγκτή που παράγει την μικρότερη τιμή J i + για το κριτήριο απόδοσης. Βήμα : Θέστε i i +. Εάν i n rep πηγαίνετε στο Βήμα 5. Βήμα 3: Βρέστε { }, J { J i n } J min J, i,, n min i rep max max,,, και τις αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή ( f p, J min ( f i, J min ( f d, Jmin ( ( f i και J max ( f. d Jmax i rep f, p Jmax Βήμα 4: Εάν J min τότε θέστε f f, f f, f f iw, iw, dw,, pw, pw, και πηγαίνετε στο Βήμα. Εάν J < J min oal, θέστε J J και min oal min min f ( f, f i, oal min ( f, f, min ( f p, oal min p J min i Jmin dw d oal d J min Διαφορετικά, θέστε J J min oal και min ( f p Jmin f,( f p, oal min i Jmin f, ( f i, oalmin d Jmin f d, oal min Βήμα 5: Ορίστε ( (, d ( f ( f, d ( f ( f d f f f p p J p min Jmax f i i J i min Jmax f d d J d min Jmax Έστω (,,min ( f f d p,min p J fp min f f d i i J f min i (, ( f f d d,min d J f min d f f + d p,max p J fp min ( +, ( f f d i,max i J f min i f f + d d,max d J f min d Εάν f f λ p,max p,min fp Βήμα. > ή f f > λ ή f f > λ, πηγαίνετε στο i,max i,min f i d,max d,min f d Βήμα 6: Τέλος του αλγορίθμου. Εάν J oal min <, χρησιμοποιήστε τις παραμέτρους τους ελεγκτή f, f και f. Διαφορετικά ο αλγόριθμος απέτυχε. poal, min ioal, min d, oal min 39

52 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο Για την εκκίνηση του μεταευρετικού αλγορίθμου θα υποθέσουμε ότι f, f.5, pc, ic, f 5, f, f.5, f 5, T 6 sec dc, pw, iw, dw,, N, n 5, n 5, rep loop n 4, λ., λ. and λ.. Η ενεργοποιήσιμη είσοδος θα o f p θεωρήσουμε ότι φράσσεται από την ανισότητα ( f i του νερού από τον λέβητα φράσσεται από την ανισότητα ( επιλέγεται της μορφής r( ξ + u ( όπου ( s f d u kt 75 W ενώ η θερμοκρασία εξόδου s x kt C 6. Η εξωτερική εντολή u είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση ενώ το κριτήριο κόστους επιλέγεται της μορφής J( x, u, ξ ξ ( kt r( kt παραπάνω δεδομένα οι παράμετροι του ελεγκτή προσδιορίζονται ως. Χρησιμοποιώντας τα ( f 3.69, p MH ( f.3787, ( f i MH d MH Σε σχέση με την απόδοση του αλγορίθμου αναζήτησης, παρατηρήθηκε ότι συνέκλινε στις παραμέτρους του ελεγκτή μετά από 35 επαναλήψεις. Παρόλα αυτά, πρέπει να σημειωθεί ότι τα όρια αναζήτησης των παραμέτρων του ελεγκτή είναι πολύ αυστηρά και οι παράμετροι είχαν πρακτικά συγκλίνει πολύ νωρίτερα ενώ η απόκριση της μεταβλητής απόδοσης παρέμενε πρακτικά αμετάβλητη. Ενδεικτικά, στον Πίνακα. παρουσιάζονται οι κεντρικές τιμές και τα εύρη αναζήτησης των παραμέτρων του ελεγκτή για κάθε κύκλο, καθώς επίσης η υπερύψωση, ο χρόνος ανύψωσης, ο χρόνος αποκατάστασης και το κριτήριο κόστους για τον υποβέλτιστο ελεγκτή κάθε κύκλου. Πράγματι, μπορεί να παρατηρηθεί ότι τα χαρακτηριστικά της απόκρισης παρέμεναν πρακτικά αμετάβλητα μετά τον τέταρτο κύκλο. Σημειώνεται πως τα χαρακτηριστικά της απόκρισης υπολογίζονται με βάση τα δειγματοληπτημένα δεδομένα. Για να παρουσιαστεί η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου, θα θεωρήσουμε τις τιμές των παραμέτρων του μοντέλου του συστήματος κεντρικής θέρμανσης που παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες ενότητες. Η ονομαστική τιμή της εξωτερικής θερμοκρασίας επιλέγεται να είναι 5 C η οποία παράγει την ίδια ονομαστική τιμή της θερμοκρασίας του δωματίου ξ. Θεωρώντας ότι η εξωτερική εντολή είναι της μορφής r( ξ u ( s +, οι δύο ελεγκτές θα συγκριθούν μεταξύ τους καθώς και με την απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόχου επιλέγοντας την ενεργοποιήσιμη είσοδο ίση με u W η οποία παράγει την ίδια μόνιμη κατάσταση για την θερμοκρασία του δωματίου. Ειδικότερα, στα Σχήματα.4 έως.7 παρουσιάζεται η θερμοκρασία στα διάφορα τμήματα του θερμαντικού σώματος, στο Σχήμα.8 παρουσιάζεται η θερμοκρασία εξόδου το λέβητα, στο Σχήμα.9 παρουσιάζεται η θερμοκρασία του δωματίου, ενώ στα Σχήματα. και., 4

53 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο f f f f f f pc, ic, dc, pw, iw, dw, Overshoo (% Rise Time (sec Seling E E E E E E E 8.7E E 8 7E E 9 E E 9 E E 9 E E Time (sec Cos Πίνακας.: Παράμετροι μεταευρετικού αλγορίθμου και χαρακτηριστικά απόκρισης συστήματος κλειστού βρόχου παρουσιάζονται η αποδιδόμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου από το θερμαντικό σώμα στο δωμάτιο και η παρεχόμενη ενέργεια στον λέβητα. Σε σχέση με την θερμοκρασία του δωματίου (βλέπε Σχήμα.9, ο ελεγκτής που παράχθηκε χρησιμοποιώντας τον μεταευρετικό αλγόριθμο έχει καλύτερη απόδοση σε σχέση με αυτόν που παράχθηκε με την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols. Πιο συγκεκριμένα, ο μεταευρετικός ελεγκτής είναι σημαντικά ταχύτερος (χρόνος ανύψωσης.467 λεπτά και χρόνος αποκατάστασης λεπτά, από τον ελεγκτή που παράχθηκε με την μέθοδο Ziegler Nichols (ZN (χρόνος ανύψωσης λεπτά και χρόνος αποκατάστασης λεπτά. Για την περίπτωση του συστήματος ανοιχτού βρόχου μπορεί να παρατηρηθεί ότι η απόκριση είναι ακόμα πιο αργή (χρόνος ανύψωσης λεπτά και χρόνος αποκατάστασης λεπτά. Σημειώνεται ότι ο χρόνος ανύψωσης ορίζεται ως η χρονική στιγμή όπου η απόκριση φθάνει το 95% της μόνιμης κατάστασης ενώ ο χρόνος αποκατάστασης ως η χρονική στιγμή μετά την οποία η απόκριση αποκλίνει από την μόνιμη κατάσταση λιγότερο από %. Τέλος, ο μεταευρετικός ελεγκτής παράγει μικρότερη υπερύψωση (6.3% σε σχέση με αυτόν που παράχθηκε με την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols (3.74%. Για το σύστημα ανοιχτού βρόχου, δεν υπάρχει υπερύψωση. Σε ότι αφορά την ενεργοποιήσιμη είσοδο (βλέπε Σχήμα., παρότι η μέγιστη τιμή για τον μεταευρετικό ελεγκτή είναι σημαντικά μεγαλύτερη, παραμένει σε αποδεκτά όρια. Η ίδια παρατήρηση μπορεί να εξαχθεί και για την αποδιδόμενη από το θερμαντικό σώμα ενέργεια. Σε ότι αφορά την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου, θεωρήστε την γραμμικοποιημένη προσέγγιση του μη γραμμικού μοντέλου (. που παρουσιάζεται στην εργασία 4

54 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο [5]. Αντικαθιστώντας τον PID ελεγκτή στην γραμμικοποιημένη προσέγγιση παρατηρείται ότι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο και το πραγματικό τους μέρος είναι μικρότερο από x C hr Σχήμα.4: Θερμοκρασία σώματος ( ο τμήμα (συνεχής μεταευρετικός, τελείες ZN, διακεκομμένες και τελείες ανοιχτού βρόχου x C hr Σχήμα.5: Θερμοκρασία σώματος ( ο τμήμα (συνεχής μεταευρετικός, τελείες ZN, διακεκομμένες και τελείες ανοιχτού βρόχου 4

55 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο x C hr Σχήμα.6: Θερμοκρασία σώματος (3 ο τμήμα (συνεχής μεταευρετικός, τελείες ZN, διακεκομμένες και τελείες ανοιχτού βρόχου x C hr Σχήμα.7: Θερμοκρασία σώματος (4 ο τμήμα (συνεχής μεταευρετικός, τελείες ZN, διακεκομμένες και τελείες ανοιχτού βρόχου 43

56 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο 9 85 x C hr Σχήμα.8: Θερμοκρασία εξόδου του λέβητα (συνεχής μεταευρετικός, τελείες ZN, διακεκομμένες και τελείες ανοιχτού βρόχου.5.5 ξ C hr Σχήμα.9: Θερμοκρασία δωματίου (συνεχής μεταευρετικός, τελείες ZN, διακεκομμένες και τελείες ανοιχτού βρόχου 44

57 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο 4 3 P W rad hr Σχήμα.: Αποδιδόμενη ισχύς (συνεχής μεταευρετικός, τελείες ZN, διακεκομμένες και τελείες ανοιχτού βρόχου 6 5 u C hr Σχήμα.: Παροχή ενέργειας στον λέβητα (συνεχής μεταευρετικός, τελείες ZN, διακεκομμένες και τελείες ανοιχτού βρόχου 45

58 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο Ενδεικτικά, ο παραπάνω μεταευρετικός αλγόριθμος θα εφαρμοστεί και για την παραγωγή ενός PI ελεγκτή της μορφής ( ( ( τ p i u f e + f e d τ (.3 Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω μεταευρετικό αλγόριθμο, οι παράμετροι του ελεγκτή προσδιορίζονται ως ( f 76, p MH ( f.4 i MH Στο Σχήμα. παρουσιάζεται η θερμοκρασία του δωματίου, για εξωτερική εντολή ( ξ ( r + u, παράλληλα με την αντίστοιχη απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόχου ενώ στο 3 s Σχήμα.3, παρουσιάζεται η παρεχόμενη ενέργεια στον λέβητα. Και στα δύο σχήματα για την περίπτωση του συστήματος κλειστού βρόχου, μπορεί να παρατηρηθεί ότι οι μεταβλητές παραμένουν σε αποδεκτά επίπεδα. Σε ότι αφορά την θερμοκρασία του δωματίου παρατηρείται ότι η απόδοση είναι ικανοποιητική, με χρόνο ανύψωσης και χρόνο αποκατάστασης. min και 66.4 min αντίστοιχα, ενώ η υπερύψωση είναι 9.5%. Για το σύστημα ανοιχτού βρόχου μπορεί να παρατηρηθεί ότι η απόκριση δεν φτάνει στον χρόνο ανύψωσης μέσα στα χρονικά όρια της προσομοίωσης. Συγκρίνοντας με τον PID ελεγκτή (. μπορεί να παρατηρηθεί η απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου είναι σημαντικά πιο αργή..6 Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκε το μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης στη μορφή ενός μη γραμμικού ουδετέρου συστήματος με χρονικές καθυστερήσεις. Ειδικότερα, παρουσιάστηκαν τα επιμέρους μαθηματικά μοντέλα για τα κύρια τμήματα του συστήματος, δηλαδή το δίκτυο σωληνώσεων, το θερμαντικό σώμα και τον λέβητα. Τα επιμέρους μοντέλα συνδυάστηκαν μέσω καταλλήλων αλγεβρικών συσχετίσεων στο μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με χρονικές καθυστερήσεις (οι οποίες εξαρτώνται από τις μεταβλητές κατάστασης το οποίο στη συνέχεια απλοποιήθηκε σε ένα ουδέτερο σύστημα με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις. Αποδείχτηκε ότι η επίδραση των καθυστερήσεων είναι σημαντική, συνεπώς η ενσωμάτωσή τους στο μαθηματικό μοντέλο της διάταξης είναι ουσιαστική ενώ η προσέγγιση με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις εισάγει μόνο ένα μικρό σφάλμα στο σύστημα. Τέλος, σχεδιάστηκε ένας PID ελεγκτής για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου, το οποίο μοντελοποιήθηκε ως μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Οι παράμετροι του ελεγκτή προσδιορίστηκαν χρησιμοποιώντας έναν μεταευρετικό αλγόριθμο του οποίου η απόδοση εξετάστηκε. Η παραγόμενη απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου συγκρίθηκε α με την απόκριση 46

59 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο.5.5 ξ C ( Time min 5 Figure.: Θερμοκρασία δωματίου (διακεκομμένη σήμα αναφοράς, λεπτή σύστημα ανοιχτού βρόχου 45 4 u ( W Time min Σχήμα.3: Παρεχόμενη ενέργεια στον λέβητα 47

60 Κεφάλαιο : Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων για το Μη Γραμμικό Μοντέλο η οποία παράγεται από τον ίδιο ελεγκτή στην περίπτωση που οι παράμετροί του υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols και β με την απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόχου εισάγοντας κατάλληλη σταθερή είσοδο όπου παρατηρήθηκε ότι ο μεταευρετικός ελεγκτής έχει καλύτερη απόδοση τόσο βέβαια από το σύστημα ανοιχτού βρόχου όσο και από τον ελεγκτή που προέκυψε χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols..7 Βιβλιογραφία [] K.K. Andersen and H. Poulsen, Building Inegraed Heaing Sysems, Ulanicky, Inernaional Building Performance Simulaion Associaion Conference, Sepember 3 5, 999, Kyoo, Japan [] D.B. Crawley, L.K. Lawrie, F.C. Winkelmann, W.F. Buhl, Y. J. Huang, C.O. Pedersen, R.K. Srand, R.J. Liesen, Daniel E. Fisher, M.J. Wie and J. Glazer, EnergyPlus: creaing a new generaion building energy simulaion program, Energy and Buildings, vol. 33, no. 4,, pp [3] E.O. Aasem, Pracical Simulaion of Buildings and Air Condiioning Sysems in he Transien Domain, PhD Disseraion, Universiy of Srahclyde, 993 [4] S.L. Presco and B. Ulanicky, Dynamic Modeling of Pressure Reducing Valves, Journal of Hydraulic Engineering, vol. 9, no., 3, pp [5] M.N. Malik, M. Afzal, G.F. Tariq and N. Ahmed, Mahemaical Modeling oand Compuer Simulaion of Transien Flow in Cenrifuge Cascade Pipe Nework wih Opimizing Techniques, Compuers and Mahemaics wih Applicaions, vol. 36, no. 4, 998, pp [6] W. Cai, Nonlinear Dynamics of Thermal Hydraulic Neworks, PhD Disseraion, Universiy of Nore Dame, 6 [7] C. Arlsanurk and A.F. Ozguc, Opimizaion of a Cenral Heaing Radiaor, Applied Energy, vol. 83, no., 6, pp [8] L.H. Hansen, Sochasic Modeling of Cenral Heaing Sysems, PhD Disseraion, Technical Universiy of Denmark, 997 [9] M. Zaheer Uddin, G.R. Zheny and S. H. Cho, Opimal Operaion of an Embedded Piping Floor Heaing Sysem wih Conrol Inpu Consrains, Energy Conversion and Managemen, vol. 38, no. 7, 994, pp [] Z. Liao and F. Parand, Develop a Dynamic Model of Gas and Oil Burned Boilers for Opimizaion of Boiler Conrol in Cenral Heaing Sysems, Canadian Conference on Building Energy Simulaion, Sepember 3,, Monréal, Canada [] A. Zanobini, G. Luculano and A. Papini, Cenral Heaing Conrol: a New Technique o Gauge Room Temperaure, IEEE Insrumenaion and Measuremen Technology Conference, May 8, 998, S. Paul, USA [] F. Mendi, K. Boran and M.K. Kulekci, Fuzzy Conrolled Cenral Heaing Sysem, Inernaional Journal of Energy Research, vol. 6, no. 5,, pp [3] N. Morel, M. Bauer, M. El Khoury and J. Krauss, NEUROBAT: A Predicive and Adapive Heaing Conrol Sysem Using Arificial Neural Neworks, Inernaional Journal of Solar Energy, vol.,, pp. 6 [4] N.D. Kouvakas, F.N. Koumboulis and P.N. Paraskevopoulos, Modeling and Conrol of a Tes Case Cenral Heaing Sysem, 6 h WSEAS Inernaional Conference on Circuis, Sysems, Elecronics, Conrol & Signal Processing, Cairo Egyp, 7 [5] F.N. Koumboulis, N.D. Kouvakas and P.N. Paraskevopoulos, Linear approximan based meaheurisic proporional inegral derivaive conroller for a neural ime delay cenral heaing sysem, Proceedings of he IMechE Par I: Journal of Sysems and Conrol Engineering, vol. 3, 9, pp [6] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Analyic Modeling and Meaheurisic PID Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem, in WSEAS Transacions on Sysems and Conrol, vol. 7, no. 3, 8, pp [7] K.J. Asrom and T. Hagglund, PID Conrollers: heory design and unning, Insrumen Sociey of America, 995 [8] F.N. Koumboulis and M.P. Tzamzi, A meaheurisic approach for conroller design of mulivariable processes, pp 49 43, h IEEE Inernaional Conference on Emerging Technology on Facory Auomaion, Rio Paras, Greece 7 48

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης με Χρονικές Καθυστερήσεις: Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση του Μοντέλου Στο παρόν κεφάλαιο προτείνεται ένας μεταευρετικός PID ελεγκτής για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου σε ένα σύστημα κεντρικής θέρμανσης το οποίο μοντελοποιείται ως ένα μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με χρονικές καθυστερήσεις. Οι παράμετροι του ελεγκτή προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας την γραμμικοποιημένη προσέγγιση του μαθηματικού μοντέλου του συστήματος κεντρικής θέρμανσης. Η ακρίβεια της γραμμικοποίησης ελέγχεται μέσω ενός Ευκλείδειου κριτηρίου σφάλματος με έμφαση στην μεταβλητή απόδοσης του συστήματος. Η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου εξετάζεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων και αριθμητικών κριτηρίων απόδοσης συγκρίνοντας τα αποτελέσματα με όμοιου τύπου ελεγκτές οι οποίοι έχουν παραχθεί χρησιμοποιώντας κλασσικές τεχνικές προσδιορισμού παραμέτρων ελεγκτών καθώς και γενετικών αλγορίθμων. 3. Εισαγωγή Το πρόβλημα της μοντελοποίησης συστημάτων κεντρικής θέρμανσης έχει προσελκύσει σημαντικό ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια (βλέπε π.χ. [] [6]. Η προσπάθεια εστιάζεται κυρίως στην μοντελοποίηση, κατασκευή και βελτιστοποίηση των κυρίων τμημάτων τέτοιων συστημάτων. Στην βιβλιογραφία έχουν προταθεί διάφορες τεχνικές για την ρύθμιση της θερμοκρασίας κλιματιζόμενων περιοχών (βλέπε π.χ. [] [5]. Ειδικότερα στις εργασίες [] [3] χρησιμοποιήθηκε ένα μη γραμμικό μοντέλο που δεν ενσωμάτωνε χρονικές καθυστερήσεις. Στην εργασία [] αναπτύσσεται ένα σχήμα αυτοματισμού πολλαπλών σεναρίων. Στην εργασία [] εφαρμόζεται τεχνική ασαφούς λογικής ενώ στην εργασία [3] χρησιμοποιείται μια προβλεπτική προσαρμοστική τεχνική. Στην εργασία [4], η μαθηματική περιγραφή ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης αναπτύσσεται στη μορφή ενός ουδετέρου μη γραμμικού συστήματος με χρονική καθυστέρηση πολλαπλών μαθηματικών περιγραφών. Κάθε μαθηματική περιγραφή, η οποία αντιστοιχεί σε διαφορετικές συνθήκες ροής (στρωτή, μεταβατική ή τυρβώδης, απλοποιείται σε ένα μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις. Επίσης αποδεικνύεται, μέσω υπολογιστικών πειραμάτων, η σημασία της ενσωμάτωσης στο μαθηματικό μοντέλο της χρονικής καθυστέρησης. Τέλος, αναπτύσσεται ένας ελεγκτής τριών όρων για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου. Στην εργασία [5] εξετάζεται το πρόβλημα της 49

62 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση αποκοπής διαταραχών ουδετέρων συστημάτων μίας εισόδου μίας εξόδου με πολλαπλές μετρήσιμες διαταραχές μέσω δυναμικών ελεγκτών δύο σταδίων. Τα αποτελέσματα εφαρμόστηκαν στο σύστημα κεντρικής θέρμανσης που πρωτοπαρουσιάστηκε στην εργασία [4] το οποίο είχε επεκταθεί έτσι ώστε να ενσωματώνει ένα δευτέρας τάξης μαθηματικό μοντέλο για το δωμάτιο. Υποθέτοντας ότι οι συνθήκες ροής ήταν πλήρως τυρβώδεις παρουσιάστηκε η γραμμικοποιημένη προσέγγιση του μαθηματικού μοντέλου. Σε ότι αφορά τον ελεγκτή, το πρώτο στάδιο αποτελούνταν από έναν στατικό βρόχο ανατροφοδότησης κατάστασης, ο οποίος χρησιμοποιείτο για τον έλεγχο της ροής μέσα στο δίκτυο σωληνώσεων και έναν PD ελεγκτή με χρονικές καθυστερήσεις για την επίτευξη της αποκοπής διαταραχών και τον έλεγχο της θερμοκρασίας εξόδου του νερού από τον λέβητα. Στο παρόν κεφάλαιο, το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος κεντρικής θέρμανσης που παρουσιάστηκε στην εργασία [5] γενικεύεται σε ένα συνολικό ουδέτερο μη γραμμικό σύστημα με χρονικές καθυστερήσεις το οποίο ενσωματώνει όλες τις πιθανές συνθήκες ροής. Το γενικευμένο μοντέλο χρησιμοποιείται για την παραγωγή μιας ενοποιημένης γραμμικοποιημένης προσέγγισης για όλες τις συνθήκες ροής. Η ακρίβεια της γραμμικοποιημένης προσέγγισης εξετάζεται χρησιμοποιώντας ένα Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος με έμφαση στην μεταβλητή απόδοσης του συστήματος. Με βάση την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, χρησιμοποιείται ένας μεταευρετικός αλγόριθμος για την παραγωγή των παραμέτρων ενός PID ελεγκτή που θα χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου, χρησιμοποιώντας ως μοναδική ενεργοποιήσιμη είσοδο την παροχή ενέργειας στον λέβητα. Ο ελεγκτής σχεδιάζεται χρησιμοποιώντας ως μετρήσιμη μεταβλητή την θερμοκρασία του δωματίου και υποθέτοντας ότι οι διαταραχές είναι μηδέν, για την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, ή ισοδύναμα ίσες με τις ονομαστικές τιμές για το μη γραμμικό σύστημα. Η ικανοποιητική απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου διαπιστώνεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων καθώς επίσης και με την χρήση διαφόρων κριτηρίων απόδοσης και συγκρίνοντας τα αποτελέσματα με άλλους PID ελεγκτές των οποίων οι παράμετροι προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας παραδοσιακές και γενετικές τεχνικές. Επιπλέον, εξετάζεται η ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Η προτεινόμενη τεχνική ελέγχου φαίνεται ότι διαθέτει το βασικό πλεονέκτημα της παραγωγής ελεγκτών οι οποίοι επιτυγχάνουν γρήγορη και ακριβή ακολούθηση εντολή ενώ υλοποιούνται εύκολα, συμπεριλαμβανομένου και του μεταευρετικού αλγορίθμου, σε πολλούς χαμηλού επιπέδου ελεγκτές πεδίου εγκατεστημένους σε προηγμένα συστήματα κεντρικής θέρμανσης. Τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 3 δημοσιεύτηκαν στην εργασία F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Linear approximan based meaheurisic proporional inegral derivaive conroller for a neural ime delay cenral heaing sysem, Proceedings of he IMechE Par I: Journal of Sysems and Conrol Engineering, vol. 3, pp , 9 5

63 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση 3. Ενοποιημένο Δυναμικό Μοντέλο Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστεί το γενικό δυναμικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης. Το σύστημα αποτελείται από το δίκτυο σωληνώσεων, το θερμαντικό σώμα, τον λέβητα και το δωμάτιο στο οποίο είναι τοποθετημένο το θερμαντικό σώμα. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα της εργασίας [5], το μη γραμμικό δυναμικό μοντέλο της διεργασίας γράφεται στον χώρο κατάστασης ως ( dx d ( d + E x( τ ( f x(, u(, x( τ(, ξ( d (3.α πdl x ( ρ dρ (3.β 4 τ( ( ( y x (3.γ N + 3 όπου ( ( ( ( ( ( ( x x x x x x x N+ N+ N+ 3 N+ 4 T ( ( ( Δ ( ( T burner u u u P Q T ( ( ( ( ( ( q T T T T T r N w a f s T, ξ ( ξ ( ξ ( T ( T ( T ou e ( (, (, ( τ(, ξ( f x u x f ( x(, u(, x( τ(, ξ( f 4 ( x(, u(, x( τ(, ξ N ( + f ( x(, u (, x( τ(, ξ( + + f ( x f ( x f3 ( x ( ( ( ( ( T ( ( f x f x f x u( + δp ( x f x f x f x NH x q f ( x(, u(, x ( τ(, ξ( x ( τ( ( ϕ N x( ϕx3( + C ( ( ( ( ( ( 3 3 n ( ( Φ x x C 6 N + 3 NH x q f ( x(, u(, x( τ(, ξ( ϕ x + ϕ x ϕx + C 5

64 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση ( ( ( ( n ( ξ ( Φ x C 6 (,.., N n ( ( NH x x x q N N 3 f Φ + + ( x(, u(, x( τ(, ξ N ( x x + N N+ C C 6 ( ( ( ( ( ( ( a ( ( ( ( ( f x, u, x τ, ξ n x, x τ u N + com N + N + C ( b ρc a w x ( x ( x ( τ( ax ( τ( + ( a N N N xn ( ξ( C a C a b b ( ( (, (, ( τ(, ξ( ( ( ξ ( ( f x u x x x + x + CR CR N+ 3 N+ 4 N+ 3 N+ 3 r f r ou ( (, (, ( τ(, ξ( ( ( f x u x x x CR N+ 4 N+ 3 N+ 4 f f E ( N+ N ( N+ ( N+ 3 a N a N 3 3 δ P ( x K x ( r, f ( x, f ( x, f ( x, ( πd 4ρL πd 4ρL r 3 πd 4ρL n ( ( N + Φ x x N+ 3 + CN 6 r ( x d λ, f x x (,, 3 πd λ ( x, d r ( ( λ ( x, d, f ( x x ( 4ρq, Re ( qd, δ P ( q Kq f x x, 3 πdr 3, 3 πd πd μ και όπου q είναι η ογκομετρική παροχή του νερού μέσα στο δίκτυο σωληνώσεων, r είναι η θερμοκρασία στο τμήμα του θερμαντικού σώματος, νερού από τον λέβητα, T και a είναι η πίεση που προστίθεται στο δίκτυο από την αντλία, λέβητα από το καύσιμο και T (,, N T είναι η θερμοκρασία εξόδου του w s T είναι η θερμοκρασία του δωματίου και του δαπέδου αντίστοιχα, f Δ P Q είναι η παρεχόμενη ενέργεια στον burner T και T είναι η θερμοκρασίες περιβάλλοντος και του δωματίου του ou e λέβητα αντίστοιχα. Σημειώνεται ότι η πίεση Δ P και η ενέργεια Q είναι οι ενεργοποιήσιμες burner είσοδοι στο σύστημα ενώ οι θερμοκρασίες T και T είναι μετρήσιμες διαταραχές. Σε ότι αφορά τις ou e 5

65 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση παραμέτρους του μαθηματικού μοντέλου, d και L είναι η διάμετρος και το μήκος των αγωγών που συνδέουν τον λέβητα με το σώμα, d και r αντίστοιχα, L είναι η υδραυλική διάμετρος και το μήκος του σώματος r K είναι ο συντελεστής τυρβώδους πτώσης πίεσης στην είσοδο του θερμαντικού σώματος, C και w ρ είναι η θερμοχωρητικότητα και η πυκνότητα του νερού αντίστοιχα, C, Φ και N είναι η συνδυασμένη θερμοχωρητικότητα του νερού και του υλικού του θερμαντικού σώματος, η ονομαστική ισχύς του σώματος και ο αριθμός των τμημάτων του αντίστοιχα, n είναι ένας εκθέτης με εύρος τιμών από. έως.4, ϕ είναι ένας κλασματικός αριθμός από έως.5, C είναι η θερμοχωρητικότητα b του λέβητα, a είναι ο ρυθμός απώλειας θερμότητας από το χιτώνιο του λέβητα στο περιβάλλον, είναι ο βαθμός απόδοσης της καύσης στον καυστήρα του λέβητα, a είναι ένας συντελεστής που συνδέει την μέση θερμοκρασία του νερού στον λέβητα με τις θερμοκρασίες εισόδου και εξόδου, και C είναι οι θερμοχωρητικότητες του δαπέδου και του δωματίου αντίστοιχα, r n com C f R και R είναι οι f ou θερμικές αντιστάσεις μεταξύ του δωματίου και του δαπέδου και του δωματίου και του περιβάλλοντος και H C ρ. Ο βαθμός απόδοσης της καύσης δίνεται από ένα πολυώνυμο της μορφής q w { } (, + ( n T T a at a T T com w, s w, r w, r w, s w,max όπου οι συντελεστές του προκύπτουν από πειραματικά δεδομένα. Η χρονική καθυστέρηση τ ( αντιστοιχεί στην καθυστέρηση λόγω μεταφοράς από την έξοδο του λέβητα στην είσοδο του θερμαντικού σώματος και από την έξοδο του θερμαντικού σώματος στην είσοδο του λέβητα. Γενικά, αυτές οι καθυστερήσεις μπορεί να είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Στο παρόν κεφάλαιο υποθέτουμε ότι το μήκος και η διάμετρος των αγωγών από τον λέβητα στο θερμαντικό σώμα και αντίστροφα είναι ίσα. Συνεπώς και οι αντίστοιχες καθυστερήσεις, έστω τ ( και τ (, είναι επίσης ίσες μεταξύ τους, δηλαδή τ ( τ ( τ( Σε ότι αφορά τον συντελεστή τριβής λ ( qd,., η προσέγγιση που χρησιμοποιείται στις εργασίες [4] και [5] θα τροποποιηθεί χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στην εργασία [6]. Ειδικότερα, αντί να χρησιμοποιηθεί γραμμική συνάρτηση του αριθμού Reynolds για τις μεταβατικές συνθήκες ροής, για να αντιμετωπιστεί η ασυνέχεια, θα χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση βάρους w( x β ( x β ( (.5 {anh + } /. Έστω f ( q d ( q d, 64/Re, και f q, d.36 / Re q, d οι συντελεστές τριβής για στρωτή και τυρβώδη ροή αντίστοιχα. Εφαρμόζοντας την ομαλή συνάρτηση βάρους, η συνολική εξίσωση του συντελεστή τριβής λαμβάνει την 53

66 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση μορφή λ ( qd, w( Re ( qd, f( qd, + w( Re ( qd, f( qd,. Σύμφωνα με την εργασία [6], η συνάρτηση βάρους έχει το κέντρο της στο σημείο β ενώ η παράμετρος β καθορίζει την κλίση της. Προφανώς, με κατάλληλη επιλογή των β και β, ο συντελεστής τριβής μπορεί να αναπαρασταθεί από μία συνολική ομαλή συνάρτηση αντί για μία συνάρτηση τριών κλάδων με ασυνεχή πρώτη παράγωγο. Λαμβάνοντας υπόψη ότι για το σύστημα κεντρικής θέρμανσης που παρουσιάζεται εδώ υπάρχουν εννέα πιθανές συνθήκες ροής στα διάφορα τμήματα του δικτύου, παρατηρείται ότι η πολυπλοκότητα του μη γραμμικού μοντέλου και πολύ περισσότερο η πολυπλοκότητα της γραμμικοποιημένης προσέγγισης που θα παρουσιαστεί στις επόμενες ενότητες μειώνεται σημαντικά. Σε ότι αφορά το μη γραμμικό μοντέλο (3., αυτό μπορεί να χωριστεί σε τέσσερεις ομάδες εξισώσεων. Κάθε ομάδα αντιστοιχεί σε διαφορετικά φυσικά φαινόμενα στο σύστημα κεντρικής θέρμανσης. Ειδικότερα, η πρώτη εξίσωση του μοντέλου (3. αντιστοιχεί στο μη γραμμικό μοντέλο της ροή του νερού μέσα στο δίκτυο σωληνώσεων, οι εξισώσει έως N + αντιστοιχούν στην δυναμική συμπεριφορά του θερμαντικού σώματος, η εξίσωση N + είναι το μη γραμμικό μοντέλο του λέβητα ενώ οι εξισώσεις N + 3 και N + 4 αντιστοιχούν στο δυναμικό μοντέλο του δωματίου. Συμπερασματικά, το συνολικό μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος κεντρικής θέρμανσης παράχθηκε συνδυάζοντας τα μαθηματικά μοντέλα των επιμέρους τμημάτων της διάταξης διατυπώνοντας ταυτόχρονα κατάλληλους αλγεβρικούς περιορισμούς οι οποίοι αναπαριστούν τις συνδέσεις των διαφόρων τμημάτων της διάταξης. Πιο συγκεκριμένα, η θερμοκρασία εισόδου του θερμαντικού σώματος είναι ίση με την θερμοκρασία εξόδου του λέβητα κατάλληλα καθυστερημένη, η θερμοκρασία εισόδου του λέβητα είναι ίση με την θερμοκρασία εξόδου του θερμαντικού σώματος κατάλληλα καθυστερημένη και τέλος η παρεχόμενη ισχύς από το θερμαντικό σώμα ενεργεί ως πηγή θερμότητας για το δωμάτιο. Εκτελώντας απλούς υπολογισμού και σύμφωνα με τα αποτελέσματα της εργασίας [4], το ουδέτερο μη γραμμικό σύστημα με χρονομεταβλητή καθυστέρηση (3. μπορεί να προσεγγιστεί χρησιμοποιώντας σταθερές καθυστερήσεις αντί των χρονομεταβλητών. Συνεπώς το απλοποιημένο ουδέτερο μη γραμμικό μοντέλο λαμβάνει την μορφή dx ( d( x( τ d ( ( ( ( τ ξ( + E f x, u, x, (3.α d dl π 4x ( ( y x (3.β N + 3 τ and x( x( τ (3.γ τ 54

67 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση όπου είναι η ονομαστική τιμή της ποσότητα. Αυτό συμβαίνει εξαιτίας του γεγονότος ότι η επίδραση της χρονομεταβλητής καθυστέρησης συγκρινόμενη με αυτή της σταθερής καθυστέρησης δεν είναι σημαντική. Συνεπώς, το σύστημα μπορεί με ασφάλεια να απλοποιηθεί στην μορφή ( Γραμμικοποιημένο Μοντέλο του Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης Για να κατασκευαστεί το γραμμικοποιημένο μοντέλο του μη γραμμικού συστήματος (3., θα χρησιμοποιηθεί η μη γραμμική προσέγγιση (3.. Έστω τα γραμμικοποιημένα διανύσματα κατάστασης, εισόδων και διαταραχών ( ( ( ( ( ( ( δ x δ x δ x δ x δ x δ x δ x N+ N+ N+ 3 N+ 4 ( ( ( ( ( ( q q T T T T T T T T T T r r N N w w a a f f s s T ( ( ( ( ( δ u δ u δ u Δ P Δ P Q Q burner burner T ( ( ( ( ( T ou ou e e δξ δξ δξ T T T T Μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί ότι το γραμμικοποιημένο μοντέλο του συστήματος κεντρικής θέρμανσης είναι της μορφής ( + ( ( + ( + ( + ( δx E δx τ Aδx Aδx τ Bδu Jδξ (3.3α δy ( Cδx( T (3.3β Υποθέτοντας ότι η γραμμικοποίηση λαμβάνει χώρα γύρω από ένα σημείο λειτουργίας o {, ξ,,, }, o { u, ξ, x, x,} o u x x x οι πίνακες του γραμμικοποιημένου μοντέλου λαμβάνουν την μορφή τ τ T, o όπου T f A, f A f, B f, J x x o o τ o o u o o ξ o o Πιο συγκεκριμένα, ισχύει ότι A p N N B p ( B A r r N N A ( B N N N r N, A N N, B ( B A b N b ( B N b 3 ( B b A A Rb, Ra, N 55

68 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση A r N N ( N+ N ( N+ ( N+ 3 J ( Bb, E ( 5 B N b 4 3, B R N 3 A Rb, (, ( r, r ( ( ( ( a ( a Rb,, Rb,, N, B R CR a a L a a a O M,,,3 r r r N N O O O, B M O ( an-, N- ( an-, N- ( an-, N r r r L ( ann, - ( ann, r r ( N C + r ou ( b ( b,, r ( b, r r ( b N, r r N A b ( a au w a + + T a w,max b C xρ, B ( b ( b ( b b,,,3 ( b,4 ( b ( (,5 C b b b b b, a a Ra, Ra, ARa, ( a ( a, r n n ( ( HNx ϕ 6 nφ x x q N+ 3, ( a C, HNϕx q, ( a r, r C,, Ra,, Ra,, HNx q C, ( ϕ ( a, r n n ( ( HNx ϕ 6 nφ x x q + N+ 3, ( a C HNϕx q,,, N + C, r ( b, r q ( ann,, ( HNx q, ( b, r C r ( b, b HNx C ( b, r n ( n + 6 Φ q N+ N+ 3 HNx n x x a NN,, r C ( ϕ HNu x ϕx q + 3 C ( ϕ + ( ϕ + ϕ + + HN x x x q (,, N, C ( b N, r ( + + ( a C C x x w N N HN x C b ( x q N N+ ρ, ( b, b ( + + ( a C C x x w N N b ρ ( b,3 b aat aau CT xρ w,max w w,max CT ( a b w,max, ( b,4 b a a 56

69 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση ( b,5 b C b a 5n Φ N + ( a, n ( a ( Ra, + x x, n N+ 3 RC RC 3 6 NC r f r r r ( a Ra,, RC, ( a r f Ra,, RC f f ( a Ra,, RC, ( a f f Rb,, n n ( 5 n Φ x x + N+ 3 (,, N, B 3 6 CN r p r ( dl+ dl r r 4ρ dd π A p x ρ x ρ 7π ζμ dl + dl ddk x dl dl μ r r π 6 πμ 8 πμ dμ dr r r r 4dLρ + dlρ r r 6 dl+ dl ρ r r ( x ρ 4x ρ 3 x ρ 4x ρ β x d L sech β β d L sech β β r + r dμ dπμ d μ d πμ r r π ( dd L + d d L r r r 3 4x ρ 3 4x ρ 6βx d Lsech β β d L sech β β + r r dπμ d πμ r + dd L + d d L 3 3 r r r 4x ρ 4x ρ 4πμ dlanh β β dl anh β + β r r dπμ dπμ + + ρ ( dl+ dl r r x ρ 4x ρ x ρ 4x ρ 7π ζμ dl anh β β dl anh β + β r r dμ dπμ d μ d πμ r r + 6 ρ ( dl+ dl r r 3.4 Ακρίβεια του Γραμμικοποιημένου Μοντέλου της Διεργασίας Στην ενότητα αυτή θα ελεγχθεί η ακρίβεια της γραμμικοποιημένης προσέγγισης (3.3 του μη γραμμικού μοντέλου (3.. Έστω ότι το μοντέλο (3. λειτουργεί σε συγκεκριμένες συνθήκες λειτουργίας, έστω u, u, ξ και ξ για τις ενεργοποιήσιμες εισόδους και διαταραχές παράγοντας τις αντίστοιχες ονομαστικές τιμές για τις μεταβλητές κατάστασης, έστω x for,, N +. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι οι ενεργοποιήσιμες είσοδοι και οι διαταραχές λαμβάνουν τις τιμές u ( p u u (, u s ( u s (, ξ ( p ξ u ( ξ και ξ ( p ξ u s ( ξ u p u u s, όπου p ( p,( p u u min u max, 57

70 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση p ( p,( p u u min u max, p ( p,( p ξ ξ min ξ max και p ( p,( p ξ ξ min ξ max και όπου u ( είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση, οδηγώντας το σύστημα σε νέες ονομαστικές τιμές λειτουργίας, έστω x για,, N + 4, μέσω των αντίστοιχων αποκρίσεων, έστω x ( για,, N + 4. Το ίδιο πείραμα μπορεί να πραγματοποιηθεί και για την γραμμικοποιημένη προσέγγιση παράγοντας τις αντίστοιχες γραμμικοποιημένες αποκρίσεις, έστω x ( δ για,, N + 4. Οι γραμμικοποιημένες και μη γραμμικές αποκρίσεις συγκρίνονται χρησιμοποιώντας ένα Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος της μορφής (, δ % ( δ ( ( p x x x x x x x s f lim f d τ τ και x όπου ( ( τ είναι η ονομαστική τιμή της αντίστοιχης μεταβλητής κατάστασης. Έστω L 5 m, d.5 m, L m r, d.9653 m r, K., C 36 KJ K, N 4, ϕ, Φ 5 W, n.5 a 9, a, a., T C w,max, a 5.6 W K, C 48 J K Kgr w, C 44 J K b, 3 ρ 97.8 Kgr m,.3547 Pa s μ, C 4355 J K f, C J K r, R K W f, R.64 K W ou, ζ.36 οι τιμές των παραμέτρων του μαθηματικού μοντέλου (3.. Σε σχέση με τις τιμές των παραμέτρων της συνάρτησης βάρους β και β πρέπει να σημειωθεί ότι εξαρτούνται σημαντικά από τα χαρακτηριστικά του δικτύου σωληνώσεων, όπως π.χ. την τραχύτητα κλπ, συνεπώς θα έπρεπε να υπολογιστούν πειραματικά χρησιμοποιώντας αλγορίθμους ταυτοποίησης στα διάφορα τμήματα του δικτύου. Στην παρούσα ενότητα θα υποθέσουμε ότι η μεταβατική ροή υφίσταται όταν < Re < 5. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η παράμετρος β αποτελεί το κέντρο της περιοχής της μεταβατικής ροής, μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί ότι β 3. Σε ότι αφορά την παράμετρο β θα επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το ευκλείδειο σφάλμα μεταξύ της γραμμικής προσέγγισης που παρουσιάστηκε στην εργασία [4] και της προσέγγισης που παρουσιάστηκε στην εργασία [6] για < Re < 3. Χρησιμοποιώντας αυτές τις υποθέσεις προκύπτει ότι β.89. Υποθέτοντας ότι u Pa, u 3 W, ξ 5. C και ξ C μεταβλητών κατάστασης είναι μπορεί εύκολα να επιβεβαιωθεί ότι οι ονομαστικές τιμές των 5 3 x.878 m s, x C, x C 3, 58

71 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση x C 4, x C 5, x C 6, x.56 C 7 και x.56 C 8. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα αυτά, οι πίνακες του γραμμικοποιημένου μοντέλου (3.3 μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν. Για λόγους επίδειξης θα υποθέσουμε ότι p ξ and p ξ ενώ p.455,3.547 u και p, u. Σε ότι αφορά την παράμετρο p το κάτω όριο u αντιστοιχεί σε μηδενική παροχή καυσίμου στον λέβητα ενώ το άνω όριο αντιστοιχεί στην μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή η οποία είναι δομική παράμετρος του λέβητα (βλέπε [9] και []. Πρέπει να σημειωθεί πως ο λέβητας έχει έναν φυσικό κορεσμό ο οποίος αντιστοιχεί σε μέγιστη θερμοκρασία νερού εξόδου C (δηλαδή σε βρασμό. Αυτή η μέγιστη τιμή θερμοκρασίας πιθανόν να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας μικρότερες τιμές από την τιμή ( p u. Συνεπώς, εάν για μια δεδομένη τιμή max p η u θερμοκρασία του νερού είναι μεγαλύτερη από C, αυτή η επιλογή του p απορρίπτεται. Στο u Σχήμα 3., παρουσιάζονται ισοϋψείς καμπύλες θερμοκρασία, περιορισμένες στις τιμές που το κριτήριο κόστους είναι μικρότερο από 5%. Η γκρίζα περιοχή δηλώνει τις ονομαστικές τιμές των ζευγών των εισόδων όπου το κριτήριο κόστους είναι μεγαλύτερο από 5%. Μπορεί πολύ εύκολα να παρατηρηθεί ότι το σύστημα είναι ακριβές για όλο το εύρος τιμών της εισόδου u (δηλαδή από μηδενική παροχή καυσίμου μέχρι η θερμοκρασία εξόδου του νερού από τον λέβητα να φτάσει τους C. Επιπλέον, το άνω όριο της παροχής ενέργειας είναι σημαντικά μικρότερο από την μέγιστη επιτρεπόμενη παροχή στον λέβητα (δηλαδή p Σε ότι αφορά την ακρίβεια του γραμμικοποιημένου μοντέλου για u αλλαγές της εισόδου u, μπορεί να παρατηρηθεί ότι για μικρές αλλαγές στην πίεση της αντλίας. Καθώς η παράμετρος p το μοντέλο είναι ακριβές μόνο για u p αποκλίνει από την μονάδα, η περιοχή u ακρίβειας σε σχέση με την παράμετρο p μεγαλώνει. Παρόλα αυτά, όπως θα φανεί αργότερα, ο u ελεγκτής που θα σχεδιαστεί χρησιμοποιεί ως ενεργοποιήσιμη είσοδο την παροχή ενέργειας στον λέβητα. Συνεπώς, το γραμμικοποιημένο μοντέλο είναι ακριβές για όλες τις πιθανές μεταβολές της ενεργοποιήσιμης εισόδου. Σημειώνεται πως η ίδια παρατήρηση μπορεί να γίνει και για τις υπόλοιπες μεταβλητές κατάστασης. 59

72 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση Σχήμα 3.: Ισοϋψείς καμπύλες θερμοκρασίας δωματίου για px ( x, δ 5% Σχεδιασμός Ελεγκτή Στην παρούσα ενότητα θα σχεδιαστεί ένας PID ελεγκτής για την ρύθμιση της θερμοκρασίας του δωματίου. Ειδικότερα, θα υποθέσουμε ότι η μόνη ενεργοποιήσιμη είσοδος είναι η παρεχόμενη ενέργεια στον λέβητα (δηλαδή u ενώ η πίεση της αντλία θα κρατηθεί σταθερή στην ονομαστική της τιμή. Συνεπώς, η χρονική καθυστέρηση μέσα στους σωλήνες είναι σταθερή και το μοντέλο (3. δεν είναι προσέγγιση του (3. αλλά ακριβής αναπαράσταση. Επιπλέον, όπως προκύπτει από τα αποτελέσματα της Ενότητας 3.4, το μη γραμμικό μοντέλο (3. μπορεί με ακρίβεια να προσεγγιστεί από μια γραμμικοποιημένη προσέγγιση. Σε ότι αφορά τις διαταραχές, θα υποθέσουμε ότι αυτές δεν μετρούνται. Στην συνέχεια θα προσδιοριστούν οι παράμετροι ενός PID ελεγκτή της μορφής ( ( + p i ( + d ( όπου e ( r ( δx7 ( δu f e f e τ dτ f e, χρησιμοποιώντας έναν μεταευρετικό αλγόριθμο παρόμοιο με αυτόν που παρουσιάστηκε στην εργασία [7] χρησιμοποιώντας την γραμμικοποιημένη προσέγγιση (3.3. Ο μεταευρετικός αλγόριθμος τροποποιείται ως ακολούθως: Δεδομένα Εκκίνησης Κεντρικές τιμές και εύρη της περιοχής αναζήτησης για τις παραμέτρους του ελεγκτή f, f, pc, ic, f, f, f και f. dc, pw, iw, dw, 6

73 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση Επιθυμητές ιδιότητες της απόκρισης του συστήματος κλειστού βρόχου ορισμένες σαν ένα άνω και ένα κάτω όριο μέσα στο οποίο η απόκριση πρέπει να βρίσκεται, έστω Lup ( και Ldn (, για δεδομένη εξωτερική εντολή. Περιορισμοί για τους ενεργοποιητές, τις μεταβλητές κατάστασης και την μεταβλητή απόδοσης. Παράθυρο προσομοίωσης T. max max Κριτήριο απόδοσης ( δ, δ, ( if L ( δx ( L 7 ( dn up ( δ 7( δ 7( up ( ( δ ( δ ( ( g( L x if x > L up L x if x < L dn 7 7 dn Παράμετροι επαναλήψεων n, n, n. loop rep oal Όρια αναζήτησης παραμέτρων ελεγκτή Μεταευρετικός Αλγόριθμος Βήμα : Θέστε τον μετρητή i max. Βήμα : Θέστε τον μετρητή i. λ, f p λ, f i T J u x r g d όπου λ. f d Βήμα : Προσδιορίστε την περιοχή αναζήτησης I για τις παραμέτρους του ελεγκτή. Η περιοχή αναζήτησης φράσσεται από τις ακόλουθες ανισότητες: Βήμα 3: Θέστε τον μετρητή i. f f f f + f pc, pw, p pc, pw, f f f f + f ic, iw, i ic, iw, f f f f + f dc, dw, d dc, dw, Βήμα 4: Θέστε i max i max +. Εάν i max > n oal πηγαίνετε στο Βήμα 4. Βήμα 5: Θέστε i i +. Βήμα 6: Επιλέξτε τυχαία ένα σετ παραμέτρων του ελεγκτή μέσα στην περιοχή αναζήτησης I, έστω f, pi, f και ii, f. di, Βήμα 7: Βήμα 8: Πραγματοποιήστε προσομοίωση του γραμμικοποιημένου συστήματος κλειστού βρόχου και υπολογίστε το κριτήριο κόστους J J ( δu, δx, r Εάν J πηγαίνετε στο Βήμα 4. i i. Βήμα 9: Εάν i n loop πηγαίνετε στο Βήμα 4. 6

74 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση Βήμα : Βρείτε τις τιμές του κριτηρίου κόστους J { J i n } { } min,,, και min i loop J max J, i,, n καθώς και τις αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων του max i loop ελεγκτή, έστω f p,min, i,min f, f, f, f και f. d,min p,max i,max d,max Βήμα : Ορίστε f ( f + f, f ( f + f, f ( f f pc, p,min p,max ic, i,min i,max ( f ( f f και f ( f f f f f pw, p,min p,max iw, i,min i,max Βήμα : Εάν i n rep πηγαίνετε στο Βήμα 4. +, dc, d,min d,max. dw, d,min d,max Βήμα 3: Ορίστε λ ( f f f, ( ( f p,min p,max p,min p λ f f f. Εάν f d,min d,max d,min f λ d pw, f p Βήμα. λ f f f, f i,min i,max i,min i > ή f > λ ή f > λ πηγαίνετε στο iw, f i dw, f d Βήμα 4: Εάν J χρησιμοποιήστε τις τιμές παραμέτρων i f p f, p, i f i f και i, i f d f d, i που προσδιορίστηκαν στο Βήμα 6, διαφορετικά χρησιμοποιήστε τις τιμές f f, f f που προσδιορίστηκαν στο Βήμα. d d,min i i,min f p f, p,min Η βάση του παραπάνω αλγορίθμου (βλέπε Σχήμα 3. είναι ότι ο χρήστης ορίζει μια αρχική περιοχή αναζήτησης για τις παραμέτρους του ελεγκτή στην οποία υποθέτει ότι υπάρχει μια υποβέλτιστη λύση, τέτοια ώστε η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου να ικανοποιεί τα δεδομένα κριτήρια. Μέσα στην περιοχή αυτή, ο χρήστης επιλέγει αντίστοιχες προσομοιώσεις. Από τις μικρότερο κριτήριο κόστους. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται n τυχαία σετ παραμέτρων του ελεγκτή και πραγματοποιεί τις loop n προσομοιώσεις, επιλέγεται το σετ εκείνο που παράγει το loop n φορές. Χρησιμοποιώντας τα rep n υποβέλτιστα σετ παραμέτρων ελεγκτή, η αρχική περιοχή αναζήτησης ανανεώνεται και η rep διαδικασία επαναλαμβάνεται. Ο αλγόριθμος τερματίζεται σε τρεις περιπτώσεις: α εάν σε κάποιο σημείο ένας ελεγκτής μηδενίζει το κριτήριο κόστους, β εάν ο ελεγκτής έχει συγκλίνει χωρίς να μηδενίζεται το κριτήριο κόστους, ή γ εάν έχει πραγματοποιηθεί ο μέγιστος αριθμός προσομοιώσεων. Στην περίπτωση (α ο αλγόριθμος τερματίζεται επιτυχώς ενώ στις περιπτώσεις (β και (γ η απόδοση του ελεγκτή δεν μπορεί να εξασφαλιστεί. Παρόλα αυτά, υποθέτοντας ότι υπάρχει ένα σετ παραμέτρων το οποίο μηδενίζει το κριτήριο κόστους, με κατάλληλη επιλογή των δεδομένων εκκίνησης του αλγορίθμου είναι εξασφαλισμένο ότι ο αλγόριθμος θα συγκλίνει. 6

75 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση i, i max i i + i i i + max max i i + i max > n oal J i J i i n loop Σχήμα 3.: Διάγραμμα ροής μεταευρετικού αλγορίθμου 63

76 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση Για να επιδειχτεί η απόδοση του μεταευρετικού αλγορίθμου και του παραγόμενου ελεγκτή, θεωρήστε τα δεδομένα που παρουσιάστηκαν στην Ενότητα 4.3. Σε ότι αφορά τον μεταευρετικό αλγόριθμο, έστω f, f.5, f 5, f, f.5, f 5, pc, ic, dc, pw, iw, dw, T 7 sec max, n, n 5, n 5, λ., λ., λ.. Η loop rep oal f p f i f d εξωτερική εντολή επιλέγεται της μορφής r( u ( όπου u ( είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Το άνω και κάτω όρια για την απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου επιλέγονται της μορφής. < 3 L (. 3 3 up <.5 3. < 3 L ( dn < Σημειώνεται ότι για σχεδιαστικούς λόγους οι διαταραχές θεωρούνται μηδέν. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθμο οι παράμετροι του ελεγκτή προσδιορίζονται ως ( ( f.7, ( i MH f. d MH s s f, Για να διερευνηθεί η απόδοση του ελεγκτή καθώς και η απόδοση του μεταευρετικού (MH αλγορίθμου, η απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου θα συγκριθεί με τις αντίστοιχες αποκρίσεις κλειστού βρόχου που προκύπτουν όταν οι παράμετροι του ελεγκτή προσδιορίζονται από α την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols (ZN sep, β την δεύτερη μέθοδο Ziegler Nichols (ZN ccm, γ την μεθοδο Chien Hrones Reswick για μηδενική υπερύψωση (CHR % και δ την μέθοδο Chien Hrones Reswick για % υπερύψωση (CHR % (βλέπε [8]. Επιπλέον, λαμβάνοντας υπόψη ότι οι γενετικοί αλγόριθμοι (GA παρουσιάζουν καλή απόδοση στην επιλογή παραμέτρων ελεγκτών για πολλές εφαρμογές, θα χρησιμοποιηθεί επίσης ένας γενετικός αλγόριθμος παρόμοιος με αυτόν που παρουσιάζεται στην εργασία [9] για την παραγωγή των παραμέτρων του PID ελεγκτή. Ενδεικτικά, στον Πίνακα 3., παρουσιάζονται οι παράμετροι του PID ελεγκτή που προκύπτουν εφαρμόζοντας τις παραπάνω μεθόδους. Σημειώνεται πως σε όλες τις περιπτώσεις ο προσδιορισμός τον παραμέτρων του PID ελεγκτή πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας την γραμμικοποιημένη προσέγγιση του μαθηματικού μοντέλου του συστήματος κεντρικής θέρμανσης. Ενδεικτικά, στο Σχήμα 3.3 παρουσιάζονται οι γραμμικοποιημένες αποκρίσεις των συστημάτων κλειστού βρόχου για τις τιμές παραμέτρων ελεγκτή που έχουν προκύψει από τον μεταευρετικό και τον γενετικό αλγόριθμο. p MH 64

77 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση f p f i f d ZN sep , ZN ccm, ,87.8 CHR % , CHR % ,88.48 GA, , MH, ,85.55 Πίνακας 3.: Παράμετροι PID ελεγκτών Σχήμα 3.3: Γραμμικοποιημένη απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου Η σύγκριση της απόκρισης του μη γραμμικού συστήματος κλειστού βρόχου του μεταευρετικού ελεγκτή με τα προαναφερθέντα εναλλακτικά σχήματα ελέγχου θα πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα εννέα κριτήρια απόδοσης, μετρώντας το σφάλμα μεταξύ της πραγματικής και της επιθυμητής τιμής της απόκρισης της μεταβλητής απόδοσης: α ολοκλήρωμα της απολύτου τιμής του σφάλματος (IAE, β ολοκλήρωμα της απολύτου τιμής του σφάλματος πολλαπλασιασμένη με τον χρόνο (ITAE, γ ολοκλήρωμα του τετραγώνου του σφάλματος (ISE, δ ολοκλήρωμα του τετραγώνου του σφάλματος πολλαπλασιασμένο με τον χρόνο (ITSE, ε μέσο τετραγωνικό σφάλμα (MSE, στ χρόνος ανύψωσης (RT, ζ χρόνος αποκατάστασης (ST, η υπερύψωση (OS και θ μέγιστη τιμή (PV. Για την 65

78 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση μεταβλητή απόδοσης θα ζητηθεί μια αύξηση στην θερμοκρασία κατά 5 C ενώ για τις διαταραχές θα ( ( 4 /5 ( 4 /5 υποτεθεί ότι είναι της μορφής ξ ( ξ + + e και ξ ( ξ + + e. ( Χρησιμοποιώντας τις παραμέτρους των ελεγκτών που παρουσιάστηκαν στον Πίνακα 3., οι τιμές των παραπάνω κριτηρίων παρουσιάζονται στον Πίνακα 3.. Επιπλέον, στα Σχήματα 3.4 έως 3. παρουσιάζονται οι μεταβλητές κατάστασης ενώ στο Σχήμα 3. παρουσιάζεται η παροχή ενέργειας στον λέβητα. Σημειώνεται ότι στα Σχήματα 4 έως παρουσιάζονται οι αποκρίσεις των συστημάτων κλειστού βρόχου που έχουν προκύψει από τον μεταευρετικό ελεγκτή, τον γενετικό ελεγκτή και τον ελεγκτή που έχει προκύψει εφαρμόζοντας την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols. Οι αποκρίσεις των ελεγκτών που έχουν προκύψει χρησιμοποιώντας την δεύτερη μέθοδο Ziegler Nichols και τις δύο μεθόδους Chien Hrones Reswick είναι πλησίον της απόκρισης που προκύπτει από την εφαρμογή της πρώτης μεθόδου Ziegler Nichols και για αυτό το παραλείπονται. IAE ITAE ITSE ISE MSE RT ST OS PV ZN sep,59.3 8,788,79. 7,87,49.7 6, ZN ccm 6,65. 8,65,85.8 3,8,4.5 9, CHR %,4.9 3,56,6.9 4,95,7.5 7, CHR % 9,79.8 5,49, ,87,43.6 4, GA 4,36.9 3,93,85. 5,35,35. 5, MH 3,73.5 4,8,79.3 3,8,33., Πίνακας 3.: Κριτήρια απόδοσης για διάφορα σχήματα ελέγχου Από τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στον Πίνακα 3. μπορεί να παρατηρηθεί ότι τα σχήματα ελέγχου μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες. Στην πρώτη ομάδα ανήκουν οι δύο μέθοδοι Ziegler Nichols και οι δύο μέθοδοι Chien Hrones Reswick ενώ στην δεύτερη ομάδα ανήκουν το γενετικό και το μεταευρετικό σχήμα. Μπορεί να παρατηρηθεί ότι οι δύο ευρετικές τεχνικές αποδίδουν καλύτερα σχεδόν σε όλους τους δείκτες απόδοσης. Ενδεικτικά, για τους δείκτες IAE, ITAE, ITSE, ISE και ST τόσο η γενετική όσο και η μεταευρετική προσέγγιση έχουν καλύτερη απόδοση από της προσεγγίσεις Ziegler Nichols και Chien Hrones Reswick. Σε ότι αφορά τον χρόνο ανύψωσης στην μεταευρετική προσέγγιση, αυτός είναι μικρότερος από όλα τα άλλα σχήματα ελέγχου εκτός από αυτό που προέκυψε με την δεύτερη μέθοδο Ziegler Nichols. Παρόλα αυτά, η υπερύψωση και η μέγιστη τιμή στην περίπτωση αυτή είναι σημαντικά μεγαλύτερες. Σημειώνεται ότι τα αποτελέσματα της γενετικής και της μεταευρετικής προσέγγισης είναι συγκρίσιμα. Σε ότι αφορά τα κριτήρια IAE, ITSE, ISE, MSE και RT φαίνεται πως η μεταευρετική προσέγγιση δίνει καλύτερα αποτελέσματα από την γενετική. Αντίθετα, η γενετική προσέγγιση είναι καλύτερη σε ότι αφορά τα υπόλοιπα κριτήρια απόδοσης. Πρέπει να σημειωθεί πως επειδή τόσο ο μεταευρετικός όσο και ο γενετικός αλγόριθμος τερματίζουν την στιγμή 66

79 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση που το κριτήριο απόδοσης γίνεται μηδέν, πρακτικά είναι θέμα τύχης ποιος αλγόριθμος θα παράγει έναν ελεγκτή γρηγορότερα και ποιος ελεγκτής θα έχει καλύτερη απόδοση σύμφωνα με τους παραπάνω δείκτες. Το κύριο πλεονέκτημα της μεταευρετικής προσέγγισης σε σύγκριση με την γενετική είναι η απλότητα στην υλοποίηση. Τα ίδια συμπεράσματα μπορούν να εξαχθούν και από την απόκριση των συστημάτων κλειστού βρόχου (βλέπε Σχήμα 3.9. Σημειώνεται ότι το κριτήριο κόστους που ορίστηκε στον μεταευρετικό αλγόριθμο είναι μη μηδενικό για τις μεθόδους Ziegler Nichols και Chien Hrones Reswick και συνεπώς μπορούν να θεωρηθούν ανεπιτυχείς. Σε ότι αφορά τις υπόλοιπες μεταβλητές κατάστασης (βλέπε Σχήματα 3.4 έως 3.8, μπορεί να παρατηρηθεί ότι παραμένουν σε αποδεκτά επίπεδα ενώ παρουσιάζουν σημαντικές ταλαντώσεις. Παρόλα αυτά, η μεταβλητή απόδοσης δεν επηρεάζεται σημαντικά. Σε ότι αφορά την πρώτη μεταβλητή κατάστασης, δηλαδή την ογκομετρική παροχή του νερού μέσα στο δίκτυο, αυτή δεν παρουσιάζεται καθώς παραμένει σταθερή, ίση με την ονομαστική της τιμή επειδή η πίεση της αντλίας παραμένει σταθερή. Σε όλες τις περιπτώσεις, η επίδραση των διαταραχών είναι πολύ μικρή. Ένα τελευταίο σχόλιο πρέπει να γίνει για την τελευταία μεταβλητή κατάστασης (βλέπε Σχήμα 3., δηλαδή την θερμοκρασία του δαπέδου, η οποία αυξάνεται πολύ αργά ενώ η μόνιμη κατάστασή της είναι ίση με αυτή της θερμοκρασίας του δωματίου. Η πολύ αργή αύξηση της θερμοκρασίας οφείλεται στην μεγάλη θερμοχωρητικότητα το δαπέδου οδηγώντας σε έναν χρόνο ανύψωσης αρκετών ορών. Σε ότι αφορά την ενεργοποιήσιμη είσοδο (βλέπε Σχήμα 3., αν και υπάρχουν πολύ μεγαλύτερες μεταβολές και ταλαντώσεις σε σύγκριση με τις μεθόδους Ziegler Nichols και Chien Hrones Reswick και κάποιος θα υπέθετε ότι θα βρισκόμασταν εκτός της περιοχής γραμμικοποίησης, αυτό δεν συμβαίνει επειδή η γραμμικοποίηση παραμένει ακριβείς για ένα πολύ μεγάλο εύρος τιμών της εισόδου οπότε ο παραγόμενος ελεγκτής δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα. Επίσης μπορεί να παρατηρηθεί ότι η είσοδος είναι μεγαλύτερη από το όριο που παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.. Αυτό συμβαίνει επειδή το Σχήμα 3. αναφέρεται σε σταθερή τιμή της εισόδου. Αντίθετα, η τιμή της εισόδου στο σύστημα κλειστού βρόχου παραμένει υψηλή μόνο για ένα μικρό χρονικό διάστημα με αποτέλεσμα η θερμοκρασία του νερού να μην φτάνει στο άνω όριο. Σε ότι αφορά την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου, έστω οι παράμετροι του ελεγκτή που προέκυψαν με την εφαρμογή του μεταευρετικού αλγορίθμου. Χρησιμοποιώντας την γραμμικοποιημένη προσέγγιση (3.3 μπορεί εύκολα να υπολογιστεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου, έστω p( s. Για να είναι η γραμμικοποιημένη προσέγγιση ευσταθείς (βλέπε [] αρκεί να υπάρχει ένα κ < τέτοιο ώστε ( ps s, δηλαδή κ+ ps ( s: Re{ s} > κ. Πραγματοποιώντας απλούς υπολογισμούς μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί ότι το μέγιστο πραγματικό μέρος των πόλων του συστήματος κλειστού βρόχου είναι ίσο με 67

80 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση συνεπώς εξασφαλίζεται ευστάθεια (ανεξάρτητα από την καθυστέρηση για το γραμμικοποιημένο σύστημα κλειστού βρόχου. Η ιδιότητα αυτή φαίνεται να εξασφαλίζει χαρακτηριστικά τοπικής ευστάθειας για το μη γραμμικό σύστημα κλειστού βρόχου. Σχήμα 3.4: Απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου για την μεταβλητή x ( 68

81 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση Σχήμα 3.5: Απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου για την μεταβλητή x ( 3 Σχήμα 3.6: Απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου για την μεταβλητή x ( 4 69

82 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση Σχήμα 3.7: Απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου για την μεταβλητή x ( 5 Σχήμα 3.8: Απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου για την μεταβλητή x ( 6 7

83 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση Σχήμα 3.9: Απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου για την μεταβλητή x ( 7 Σχήμα 3.: Απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου για την μεταβλητή x ( 8 7

84 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση Σχήμα 3.: Ενεργοποιήσιμη είσοδος u ( 3.6 Συμπεράσματα Στο παρόν κεφάλαιο, παράχθηκε το μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης στη μορφή ενός ουδέτερου μη γραμμικού συστήματος με χρονικές καθυστερήσεις και παρουσιάστηκε αναλυτικά η γραμμικοποιημένη προσέγγισή του. Διερευνήθηκε η ακρίβεια της γραμμικοποιημένης προσέγγισης χρησιμοποιώντας ένα Ευκλείδειου τύπου κριτήριο σφάλματος για βηματικές μεταβολές στις τιμές των εισόδων και σταθερές διαταραχές (ίσες με τις ονομαστικές τιμές. Από την διερεύνηση αυτή παρατηρήθηκε ότι το γραμμικοποιημένο σύστημα προσεγγίζει με ακρίβεια την διεργασία για όλο το εύρος παροχής ενέργειας στον λέβητα (δηλαδή από μηδενική παροχή καυσίμου μέχρι το σημείο που η θερμοκρασία του νερού εξόδου φτάνει τους C. Επιπλέον, παρατηρήθηκε ότι το άνω όριο της παροχής ενέργειας είναι σημαντικά μικρότερο από την μέγιστη επιτρεπόμενη παροχή ενέργειας στον λέβητα. Σε ότι αφορά την ακρίβεια του γραμμικοποιημένου μοντέλου για μεταβολές στην πίεση της αντλίας, δίνοντας ιδιαίτερο βάρος στην μεταβλητή απόδοσης, παρατηρήθηκε ότι όσο πιο κοντά βρίσκεται η είσοδος u στην ονομαστική της τιμή, τόσο λιγότερο ακριβής είναι η γραμμικοποιημένη προσέγγιση για μεταβολές στην πίεση της αντλίας ενώ η περιοχή ακρίβειας μεγαλώνει καθώς η είσοδος u αποκλίνει από την ονομαστική της τιμή. Για τον έλεγχο της θερμοκρασίας του δωματίου χρησιμοποιώντας σαν μοναδική ενεργοποιήσιμη είσοδο την παροχή ενέργειας στον λέβητα, 7

85 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση χρησιμοποιήθηκε ένας μεταευρετικός αλγόριθμος για τον προσδιορισμό των παραμέτρων ενός PID ελεγκτή, χρησιμοποιώντας την γραμμικοποιημένη προσέγγιση του αρχικού μη γραμμικού μοντέλου. Ο ελεγκτής σχεδιάστηκε υποθέτοντας ότι οι διαταραχές ήταν μηδενικές για την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, ή ισοδύναμα ίσες με τις ονομαστικές τους τιμές για το μη γραμμικό μοντέλο. Ο ελεγκτής που προέκυψε συγκρίθηκε με αντίστοιχους ελεγκτές που παρήχθησαν χρησιμοποιώντας α την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols, β την δεύτερη μέθοδο Ziegler Nichols, γ την μεθοδο Chien Hrones Reswick για μηδενική υπερύψωση, δ την μέθοδο Chien Hrones Reswick για % υπερύψωση και ε έναν γενετικό αλγόριθμο. Πραγματοποιώντας προσομοιώσεις στην γραμμικοποιημένη προσέγγιση παρατηρήθηκε ότι οι αποκρίσεις των συστημάτων κλειστού βρόχου που προέκυψαν από εφαρμογή του γενετικού και του μεταευρετικού ελεγκτή ικανοποιούσαν τους περιορισμούς που είχαν τεθεί σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μεθόδους. Για να επιδειχθεί η απόδοση του προτεινόμενου σχήματος ελέγχου, ο μεταευρετικός ελεγκτής εφαρμόστηκε στο μη γραμμικό μοντέλο της διεργασίας απαιτώντας αύξηση στη θερμοκρασία του δωματίου κατά 5 C. Στην περίπτωση αυτή οι διαταραχές θεωρήθηκαν μη μηδενικές. Σε ότι αφορά την μεταβλητή απόδοσης, χρησιμοποιήθηκαν διάφοροι δείκτες απόδοσης όπου παρατηρήθηκε ότι οι ευρετικές μέθοδοι παρήγαγαν καλύτερα αποτελέσματα από τις μεθόδους Ziegler Nichols και Chien Hrones Reswick. Συγκρίνοντας την μεταευρετική και την γενετική προσέγγιση, τα αποτελέσματα ήταν συγκρίσιμα. Ολοκληρώνοντας, πρέπει να σημειωθεί πως το κύριο πλεονέκτημα της μεταευρετικής προσέγγισης είναι ότι έχει μακράν καλύτερη απόδοση σε σχέση με τις παραδοσιακές τεχνικές ενώ συγκρινόμενη με την γενετική προσέγγιση είναι απλούστερη στην υλοποίησή της. Συνεπώς, παρότι το προτεινόμενο σχήμα ελέγχου απαιτεί κάποιου βαθμού ευφυΐα, μπορεί εύκολα να υλοποιηθεί στους περισσότερους χαμηλού επιπέδου ελεγκτές πεδίου. 3.7 Βιβλιογραφία [] Andersen, K.K., and Poulsen, H. Building Inegraed Heaing Sysems. Inernaional Building Performance Simulaion Associaion Conference, Kyoo, Japan, 3 5 Sepember 999 [] Crawley, D.B., Lawrie, L.K., Winkelmann, F.C., Buhl, W.F., Huang, Y.J., Pedersen, C.O., Srand, R.K., Liesen, R.J., Fisher, D.E., Wie, M.J., and Glazer, J. EnergyPlus: creaing a new generaion building energy simulaion program. Energy and Buildings,, 33 (4, [3] Aasem, E.O. Pracical Simulaion of Buildings and Air Condiioning Sysems in he Transien Domain. PhD Disseraion, Universiy of Srahclyde, 993 [4] Presco, S.L., and Ulanicky, B. Dynamic Modeling of Pressure Reducing Valves. Journal of Hydraulic Engineering, 3, 9 (, 84 8 [5] Malik, M.N., Afzal, M., Tariq, G.F., and Ahmed, N. Mahemaical Modeling and Compuer Simulaion of Transien Flow in Cenrifuge Cascade Pipe Nework wih Opimizing Techniques. Compuers and Mahemaics wih Applicaions, 998, 36 (4, [6] Cai, W. Nonlinear Dynamics of Thermal Hydraulic Neworks. PhD Disseraion, Universiy of Nore Dame, 6 [7] Arlsanurk, C., and Ozguc, A.F. Opimizaion of a Cenral Heaing Radiaor, Applied Energy, 6, 83 (,

86 Κεφάλαιο 3: Συστήματα Κεντρικής Θέρμανσης Μεταευρετικοί Ελεγκτές Τριών Όρων με βάση την Γραμμικοποιημένη Προσέγγιση [8] Hansen, L.H. Sochasic Modeling of Cenral Heaing Sysems. PhD Disseraion, Technical Universiy of Denmark, 997 [9] Zaheer Uddin, M., Zheny, G.R., and Cho, S. H. Opimal Operaion of an Embedded Piping Floor Heaing Sysem wih Conrol Inpu Consrains. Energy Conversion and Managemen, 994, 38 (7, [] Liao, Z., and Parand, F. Develop a Dynamic Model of Gas and Oil Burned Boilers for Opimizaion of Boiler Conrol in Cenral Heaing Sysems. Canadian Conference on Building Energy Simulaion, Monréal, Canada, 3 Sepember [] Zanobini, A., Luculano, G., and Papini, A. Cenral Heaing Conrol: a New Technique o Gauge Room Temperaure. IEEE Insrumenaion and Measuremen Technology Conference, S. Paul, USA, 8 May 998 [] Mendi, F., Boran, K., and Kulekci, M.K. Fuzzy Conrolled Cenral Heaing Sysem. Inernaional Journal of Energy Research,, 6 (5, 33 3 [3] Morel, N., Bauer, M., El Khoury, M., and Krauss, J. NEUROBAT: A Predicive and Adapive Heaing Conrol Sysem Using Arificial Neural Neworks. Inernaional Journal of Solar Energy,,, 6 [4] Kouvakas, N.D., Koumboulis, F.N., and Paraskevopoulos, P.N. Modeling and Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem. 6 h WSEAS Inernaional Conference on Circuis, Sysems, Elecronics, Conrol and Signal Processing, Cairo, Egyp, 9 3 December 7 [5] Koumboulis, F.N., Kouvakas, N.D., and Paraskevopoulos, P.N. Dynamic Disurbance Reecion Conrollers for Neural Time Delay Sysems wih Applicaion o a Cenral Heaing Sysem. Inernaional Conference on Modeling, Idenificaion and Conrol, Shanghai, China, 9 June July 8 [6] Andersen, K.K., and Poulsen, H. Building Inegraed Heaing Sysems. Building Simulaion 999, Kyoo, Japan, 3 5 Sepember 999 [7] Koumboulis, F.N., and Tzamzi, M.P. A Meaheurisic Approach for Conroller Design of Mulivariable Processes. h IEEE Conference on Emerging Technologies and Facory Auomaion, Paras, Greece, 5 8 Sepember 7 [8] Åsröm, K.J., and Hagglund, T. PID Conrollers: heory, design and uning. Insrumen Sociey of America, 995 [9] Herrero, J.M., Blasco, X., Marinez, M., and Salcedo, J.V. Opimal PID Tuning wih Geneic Algorihms for Non Linear Process Models. 5 h Triennial World Congress of he Inernaional Federaion of Auomaic Conrol, Barcelona, Spain, 6 July [] Gu, K., Kharionov, V.L., and Chen, J. Sabiliy of Time Delay Sysems. Birkhäuser, Boson, 3 74

87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών Στο παρόν κεφάλαιο επιλύεται το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών σε ουδέτερα συστήματα μίας εισόδου μίας εξόδου με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις και πολλαπλές μετρήσιμες διαταραχές με χρήση δυναμικών ελεγκτών. Ειδικότερα, παρουσιάζεται η γενική μορφή των πινάκων του ελεγκτή ενώ παράγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι ώστε αυτός να είναι πραγματοποιήσιμος. Η προτεινόμενη τεχνική εφαρμόζεται σε ένα σύστημα κεντρικής θέρμανσης. Ειδικότερα, παρουσιάζονται το μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος και η γραμμικοποιημένη προσέγγισή του. Με βάση το γραμμικοποιημένο μοντέλο του συστήματος κεντρικής θέρμανσης, σχεδιάζεται ένας ελεγκτής δύο σταδίων για την ρύθμιση της θερμοκρασίας ενός δωματίου και της θερμοκρασίας εξόδου του νερού από τον λέβητα. Η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου διερευνάται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. 4. Εισαγωγή Το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών έχει προσελκύσει έντονο ενδιαφέρον τόσο από θεωρητική σκοπιά (βλέπε π.χ. [5] [6] και τις εκεί αναφορές όσο και από την σκοπιά των εφαρμογών (βλέπε π.χ. [] [] για συστήματα χωρίς χρονικές καθυστερήσεις αλλά και για συστήματα με χρονικές καθυστερήσεις (βλέπε π.χ. [3], [4], [7] και [8] και τις εκεί αναφορές. Ειδικότερα, η ειδική περίπτωση των επιβραδυμένων συστημάτων μιας χρονικής καθυστέρησης μελετήθηκε στις εργασίες [3] και [4]. Το πρόβλημα επιλύθηκε για αριστερά αντιστρέψιμα ουδέτερα συστήματα με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις με πραγματοποιήσιμους ελεγκτές στην εργασία [7] ενώ στην εργασία [8] επιλύθηκε το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών για αριστερά αντιστρέψιμα ουδέτερα συστήματα με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις και μετρήσιμες και/ή μη μετρήσιμες διαταραχές με χρήση πραγματοποιήσιμων ελεγκτών. Σε ότι αφορά το πρόβλημα της μοντελοποίησης και του ελέγχου συστημάτων κεντρικής θέρμανσης, αυτό έχει προσελκύσει έντονο ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια (βλέπε π.χ. [9] [7] και τις εκεί αναφορές. Ειδικότερα, σημαντικό βάρος δόθηκε στην μοντελοποίηση, κατασκευή και βελτιστοποίηση των κυρίων τμημάτων συστημάτων κεντρικής θέρμανσης, όπως τα δίκτυα σωληνώσεων, τα διαφόρων τύπων θερμαντικά στοιχεία, τους λέβητες κλπ. Επιπλέον, έχουν εφαρμοστεί διάφορες τεχνικές ελέγχου για τον έλεγχο θερμοκρασίας σε κλιματιζόμενα δωμάτια, όπως 75

88 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών κλασσικοί και μεταευρετικοί ελεγκτές τριών όρων (βλέπε [] [3], ασαφή σχήματα ελέγχου (βλέπε [4], προσαρμοστικοί ελεγκτές (βλέπε [5], βέλτιστοι ελεγκτές (βλέπε [6] κλπ. Στο παρόν κεφάλαιο επιλύεται το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών για ουδέτερα συστήματα μίας εισόδου μίας εξόδου με πολλαπλές μετρήσιμες διαταραχές με χρήση δυναμικών ελεγκτών. Ειδικότερα, παρουσιάζεται η γενική μορφή των πινάκων του ελεγκτή που επιλύουν το πρόβλημα ενώ παράγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι ώστε ο ελεγκτής να είναι πραγματοποιήσιμος. Η προτεινόμενη τεχνική εφαρμόζεται σε ένα ουδέτερο σύστημα κεντρικής θέρμανσης με χρονικές καθυστερήσεις. Πιο συγκεκριμένα, παράγεται το μη γραμμικό μοντέλο της διεργασίας και η γραμμικοποιημένη προσέγγισή του με βάση την οποία αναπτύσσεται ένας ελεγκτής δύο σταδίων για τον έλεγχο της θερμοκρασίας του δωματίου και της θερμοκρασίας του νερού στην έξοδο του λέβητα. Το πρώτο στάδιο αποτελείται από έναν στατικό βρόχο ανατροφοδότησης κατάστασης που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της ροής μέσα στο δίκτυο σωληνώσεων και έναν PD βρόχο ελέγχου με χρονικές καθυστερήσεις για την επίτευξη της αποκοπής διαταραχών και τον έλεγχο της θερμοκρασίας εξόδου του λέβητα. Στη συνέχεια, τα θεωρητικά αποτελέσματα των προηγούμενων ενοτήτων για την αποκοπή διαταραχών εφαρμόζονται στο εσωτερικό σύστημα κλειστού βρόχου για την ρύθμιση της μεταβλητής απόδοσης (δηλαδή της θερμοκρασίας του δωματίου. Η απόδοση του προτεινόμενου σχήματος ελέγχου διερευνάται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. Τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 4 δημοσιεύτηκαν στην εργασία F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Dynamic disurbance reecion conrollers for neural ime delay sysems wih applicaion o a cenral heaing sysem, Science in China Series F: Informaion Sciences, vol. 5, no. 7, pp , 9 F.N. Koumboulis, N.D. Kouvakas, P.N. Paraskevopoulos, Dynamic Disurbance Reecion Conrollers for Neural Time Delay Sysems wih applicaion o a Cenral Heaing Sysem, Proceedings of he Inernaional Conference on Modelling, Idenificaion and Conrol (ICMIC 8, June 9 July, 8, Shanghai, China 4. Αποκοπή Διαταραχών για Συστήματα Μιας Εισόδου Μίας Εξόδου με Μετρήσιμες Διαταραχές Θεωρήστε την γενική κατηγορία ουδετέρων συστημάτων μιας εισόδου μιας εξόδου με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις και πολλαπλές μετρήσιμες διαταραχές Ex q τ Ax q τ + bu q τ + D ξ q τ (4.α q q q q q q q q i, i i, i i, i i, i i i i i 76

89 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών q q q q cy q τ c x q τ (4.β i, i i, i i i n p όπου x( είναι το διάνυσμα κατάστασης, u( είναι η ενεργοποιήσιμη είσοδος, ξ ( είναι το διάνυσμα των μετρήσιμων διαταραχών, y( είναι η μεταβλητή απόδοσης, τ i ( i,, q είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που εκφράζουν τις καθυστερήσεις και q (,, q ; i, i,, q είναι μια πεπερασμένα ακολουθία ακεραίων. Οι ποσότητες q και q είναι θετικοί ακέραιοι q αριθμοί. Προφανώς, εάν η ποσότητα q τ είναι αρνητική τότε δηλώνει πρόβλεψη. Οι πραγματικοί i, i πίνακες E, A, i D και b έχουν n γραμμές ενώ οι πραγματικοί πίνακες c και c έχουν μία γραμμή. Το ενδιαφέρον εστιάζεται στην εξαναγκασμένη απόκριση του συστήματος, δηλαδή για μηδενικές αρχικές και παρελθούσες συνθήκες ( x(, ( u για <. Ορίζοντας T, e ( sτ ( sτ τ τ q exp exp q το σύστημα (4. μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο της συχνότητας από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων ( e ( ( e ( + ( e ( + ( e Ξ( c ( e Y( s c( e X( s se X s A X s b U s D s (4.α όπου Xs ( L { x ( }, U( s L { u( }, ( s είναι ο μετασχηματισμός Laplace του σήματος, ενώ όπου R { E, Ab,, D, c, c} (4.β { } Ξ ξ ( L, ( q q R( e R exp s q τ i, i i { } Y s L y ( και όπου L { } και όπου exp e είναι το εκθετικό της ποσότητας. Το σύστημα εξισώσεων (4. μπορεί να γραφεί σε κανονική μορφή ως ακολούθως ( ( ( + ( ( + ( Ξ( sx s A e X s b e U s D e s (4.3α ( ( ( Y s c e X s (4.3β 77

90 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών όπου A ( E e ( e A ( e, b ( e E ( e b ( e, ( ( D E D ( e e e ( e ( e ( e c c c. Ισοδύναμα, λύνοντας ως προς Y ( s λαμβάνουμε όπου ή ισοδύναμα ( (, ( + (, Ξ( u, Y s h s e U s h s e s (4.4 (, e ( e n ( e ( e h s c si A b u (, e ( e n ( e ( e h s c si A D ξ ( e h s, h u ξ ( s, e Bu As ( e ( e ξ ( s, e (, e B s, B s, ξ, ξ, As, As, ( e p ( e Στη συνέχεια θα αναπτυχθεί ένας δυναμικός ελεγκτής αποκοπής διαταραχών για το σύστημα (4.4 ο οποίος θα χρησιμοποιεί ανατροφοδότηση της εξόδου και των μετρήσιμων διαταραχών. Ο ελεγκτής αυτός είναι της μορφής (, (, ( + (, Ξ ( + (, ( U s e K s e Y s F s e s G s e R s (4.5 όπου F( s, e F ( s, e F ( s, e p and F ( s,, ( R s είναι η εξωτερική εντολή, Ks, ( e, Gs, ( e e (,, p είναι παράμετροι του ελεγκτή σε μορφή ρητών συναρτήσεων του s με συντελεστές ρητές συναρτήσεις του e, δηλαδή οι παράμετροι του ελεγκτή ανήκουν ( s, e ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι ο ελεγκτής (4.5 πραγματοποιήσιμος θα παρουσιαστούν στο Θεώρημα 4.. Θεώρημα 4.: Το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών για ουδέτερα συστήματα μίας εισόδου μιας εξόδου με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις και μετρήσιμες διαταραχές χρησιμοποιώντας πραγματοποιήσιμους δυναμικούς ελεγκτές της μορφής (4.5, είναι επιλύσιμο αν και μόνο αν το διάνυσμα ( e ( e B s, B s, ξ, ξ, p B s, B s, u u ( e ( e είναι πραγματοποιήσιμο.. Οι 78

91 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών Απόδειξη: Εφαρμόζοντας τον ελεγκτή (4.5 στο σύστημα (4.4, η εξαναγκασμένη απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου λαμβάνει την μορφή ( ( + ξ ( u ( ( ( ( u ( ( h s, e F s, e h s, e h s, e G s, e u u Y ( s Ξ ( s + R s h s, e K s, e h s, e K s, e ( (4.6 Το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών είναι επιλύσιμο αν και μόνο αν (, ξ (, / (, u Fse h se h se (4.7 Για να είναι ο ελεγκτής που λύνει το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών πραγματοποιήσιμος είναι ικανό και αναγκαίο να επιλεγούν οι παράμετροι το ελεγκτή Ks, ( e και Gs, ( αυθαίρετοι και πραγματοποιήσιμοι με τον περιορισμό Ks (, / h ( s, u e να είναι e e και την συνθήκη του Θεωρήματος 4. να ικανοποιείται. Πόρισμα 4.: Το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών για ουδέτερα συστήματα μίας εισόδου μιας εξόδου με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις και μετρήσιμες διαταραχές, με ανεξάρτητο από τις καθυστερήσεις δυναμικό ελεγκτή της μορφής (4.5, είναι επιλύσιμο αν και μόνο αν το διάνυσμα ( e ( e ( e ( e B s, B s, ξ, ξ, p είναι ανεξάρτητο από τις χρονικές καθυστερήσεις. B s, B s, u u Είναι σημαντικό να σημειωθεί πως σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις όπου η περιγραφή (4. περιλαμβάνει καθυστερήσεις στις καταστάσεις και όχι στις παραγώγους των καταστάσεων, τις εισόδους και τις διαταραχές, η συνθήκη του Πορίσματος 4. είναι πολύ χρήσιμη. Πόρισμα.: Το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών για ουδέτερα συστήματα μίας εισόδου μιας εξόδου με πολλαπλές καθυστερήσεις και μετρήσιμες διαταραχές με ταυτόχρονη πραγματοποιήσιμη συνάρτηση μεταφοράς εισόδων εξόδων χρησιμοποιώντας πραγματοποιήσιμους δυναμικούς ελεγκτές της μορφής (4.5, είναι επιλύσιμο αν και μόνο αν το διάνυσμα πραγματοποιήσιμο. ( e ( e B s, B s, ξ, ξ, p B s, B s, u u ( e ( e Απόδειξη: Από την εξίσωση (4.6 και τις επιλογές των παραμέτρων του ελεγκτή που παρουσιάστηκαν στο Θεώρημα 4. αρκεί να επιλεγεί ο προαντισταθμιστής Gs, ( h s, e u ώστε να αντισταθμίζει τις προβλέψεις στην συνάρτηση h s, e K s, e u είναι e αρκετά πραγματοποιήσιμος έτσι ( ( (. 79

92 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών 4.3 Μαθηματικό Μοντέλο Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστεί το γενικό δυναμικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης. Το σύστημα αποτελείται από το δίκτυο σωληνώσεων, ένα θερμαντικό σώμα, τον λέβητα και το δωμάτιο στο οποίο είναι εγκατεστημένο το θερμαντικό σώμα (βλέπε Σχήμα 4.. T a q q T e Σχήμα 4.: Διάταξη συστήματος κεντρικής θέρμανσης Υποθέτοντας ότι η ροή σε όλα τα στοιχεία του δικτύου είναι τυρβώδης, το μη γραμμικό δυναμικό μοντέλο της διεργασία λαμβάνει την μορφή [3] ( dx d όπου ( d + E x( τ ( f x(, u(, x( τ(, ξ( d (4.8α πdl x ( ρ dρ (4.8β 4 τ( ( ( y x (4.8γ N + 3 ( ( ( ( ( ( ( x x x x x x x N+ N+ N+ 3 N+ 4 T 8

93 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών ( ( ( ( ( ( q T T T T T r N w a f s T ( ( ( Δ ( ( T burner u u u P Q ( T ( ( T ( T ( T ou e ξ ξ ξ ( (, (, ( τ(, ξ( f x u x f ( x(, u(, x( τ(, ξ( f 4 ( x(, u(, x( τ(, ξ N ( + f ( x (, u(, x( τ(, ξ( + + f x f x f x ( ( ( 3 ( ( ( ( ( T ( ( f x f x f x u( + δp ( x f x f x f x 3 3 NH x q f ( x(, u(, x ( τ(, ξ( x ( τ( ( ϕ N x, r ( ϕx, r ( + C ( NH x q f ( x(, u(, x( τ(, ξ ( C n ( ( Φ x x C 6 N + 3 n ( ξ ( ( ( ( x ϕ x ϕ x ( ϕx ( Φ + + C 6 for,, N ( ( ( ( n ( ( NH x x x q N N 3 f Φ + + ( x(, u(, x( τ(, ξ N ( x x + N N+ C C 6 ( ( ( ( ( ( ( a ( ( ( ( ( f x, u, x τ, ξ n x, x τ u N + com N + N + C ( b ρc a w x ( x ( x ( τ( ax ( τ( + ( a N N N xn ( ξ( C a C a b b ( ( (, (, ( τ(, ξ( ( ( f x u x x x + CR N+ 3 N+ 4 N+ 3 r f 8

94 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών ( (, (, ( τ(, ξ( ( ( f x u x x x CR N+ 4 N+ 3 N+ 4 f f E n ( ( x x + + CR N + N 3 ξ( xn 3( Φ + + CN 6 r ou r ( N+ N ( N+ ( N+ 3 a N a N 3 3 δ P ( x K x ( πd r, f ( x, f ( x, ( πd f x, ( 4ρL πd 4ρL r 3 4ρL ( ( λ x, d r (, ( λ ( x, d δ P q K q f ( x x (, ( qd, f q x, r 3 πd r ( 3, 3 Re qd, 4 ρq/ πdμ και όπου q είναι η ογκομετρική παροχή του νερού μέσα στο δίκτυο σωληνώσεων, r είναι η θερμοκρασία στο τμήμα του θερμαντικού σώματος, νερού στον λέβητα, T και a πd ( x d λ, f x x (,, 3 πd.36 λ Re, ( qd.5 T (,, N T είναι η θερμοκρασία εξόδου του w s T είναι η θερμοκρασίες του δωματίου και του δαπέδου αντίστοιχα, f είναι η πίεση που προστίθεται στο δίκτυο από την αντλία, λέβητα από το καύσιμο και Δ P Q είναι η παρεχόμενη ενέργεια στον burner T και T είναι οι θερμοκρασίες περιβάλλοντος και του δωματίου του ou e λέβητα αντίστοιχα. Σημειώνεται πως η πίεση Δ P και η παρεχόμενη ενέργεια Q είναι οι burner ενεργοποιήσιμες είσοδοι στο σύστημα και T και T είναι οι μετρήσιμες διαταραχές. Σε ότι αφορά τις ou e παραμέτρους του μαθηματικού μοντέλου, d και L είναι η διάμετρος και το μήκος των αγωγών που συνδέουν τον λέβητα με το σώμα, d και r αντίστοιχα, L είναι η υδραυλική διάμετρος και το μήκος του σώματος r K είναι ο συντελεστής τυρβώδους πτώσης πίεσης στην είσοδο του θερμαντικού σώματος, C και w ρ είναι η θερμοχωρητικότητα και η πυκνότητα του νερού αντίστοιχα, C, Φ και N είναι η συνδυασμένη θερμοχωρητικότητα του νερού και του υλικού του θερμαντικού σώματος, η ονομαστική ισχύς του σώματος και ο αριθμός των τμημάτων του αντίστοιχα, n είναι ένας εκθέτης με εύρος τιμών από. έως.4, ϕ είναι ένας κλασματικός αριθμός από έως.5, C είναι η θερμοχωρητικότητα b του λέβητα, a είναι ο ρυθμός απώλειας θερμότητας από το χιτώνιο του λέβητα στο περιβάλλον, είναι ο βαθμός απόδοσης της καύσης στον καυστήρα του λέβητα, a είναι ένας συντελεστής που n com 8

95 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών συνδέει την μέση θερμοκρασία του νερού στον λέβητα με τις θερμοκρασίες εισόδου και εξόδου, και C είναι οι θερμοχωρητικότητες του δαπέδου και του δωματίου αντίστοιχα, r C f R και R είναι οι f ou θερμικές αντιστάσεις μεταξύ του δωματίου και του δαπέδου και του δωματίου και του περιβάλλοντος αντίστοιχα και H C ρ. Ο βαθμός απόδοσης της καύσης δίνεται από ένα πολυώνυμο της μορφής q w n T a T T ( ( όπου οι συντελεστές του προκύπτουν από πειραματικά δεδομένα. com w w w,max Η χρονική καθυστέρηση τ ( αντιστοιχεί στην καθυστέρηση λόγω μεταφοράς από την έξοδο του λέβητα στην είσοδο του θερμαντικού σώματος και από την έξοδο του θερμαντικού σώματος στην είσοδο του λέβητα. Γενικά, αυτές οι καθυστερήσεις μπορεί να είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Στο παρόν κεφάλαιο υποθέτουμε ότι το μήκος και η διάμετρος των αγωγών από τον λέβητα στο θερμαντικό σώμα και αντίστροφα είναι ίσα. Συνεπώς και οι αντίστοιχες καθυστερήσεις, έστω τ ( και τ (, είναι επίσης ίσες μεταξύ τους, δηλαδή τ ( τ ( τ(. Υποθέτοντας ότι το μοντέλο (4.8 λειτουργεί σε κάποιες ονομαστικές τιμές λειτουργίας για τις εισόδους και τις διαταραχές, έστω u, u, ξ και ξ παράγοντας τις αντίστοιχες ονομαστικές τιμές για τις μεταβλητές κατάστασης, έστω x για,, N + και εκτελώντας απλούς υπολογισμούς στο μη γραμμικό μοντέλο (4.8, η γραμμικοποιημένη προσέγγιση του συστήματος κεντρικής θέρμανσης λαμβάνει την μορφή (βλέπε [] όπου ( + ( ( + ( + ( + ( δy( Cδx( δx E δx τ Aδx A δx τ Bδu Jδξ (4.9a ( ( ( ( ( ( ( δ x δ x δ x δ x δ x δ x δ x N+ N+ N+ 3 N+ 4 (4.9b ( ( ( ( ( ( q q T T T T T T T T T T r r N N w w a a f f s s T ( ( ( ( ( δ u δ u δ u Δ P Δ P Q Q burner burner T ( ( ( ( ( T ou ou e e δξ δξ δξ T T T T T T T 83

96 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών A p N ( B A N N r r N N, J ( Bb ( B A 5 A N N N και όπου, A r B r A b N b A Rb, Ra, B R N B p ( B N N N r N A N N, B ( B N b 3 ( Bb N ( N+ N ( N+ ( N+ 3 E ( B N b 4 3, N 3 ( N C + A r A Ra, A b au w a + + T a w,max C b C xρ ( ( ( ( ( B b b b b b b, b, b,3 b,4 b,5 b ( a ( a Ra, Ra, ( a ( a,, ( a ( a, r, r ( a ( a ( a Ra,, Ra,,, A,,,3 r r r, B ( an, N ( an, N ( a N, N r r r ( ann, ( a NN, r r Rb, ( a ( a Rb,, Rb,, N ( b ( b,, r ( b, r r ( b N, r r, B ( C R R r ou ( a, r n n ( ( HNx ϕ 6 nφ x x q N+ 3, ( a H NϕxC C,, r q ( a H Nx, ( ϕ q C ( a r, r n n ( ϕ 6 Φ ( HNx n x x C q + N+ 3 ( a H NϕxC,,, N +, r q ( ann, H NxC, q ( r n ( n + 6 Φ q N+ N+ 3 HNx n x x a NN, r C 84

97 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών ( b, r ( b, r HNu ( ϕ q x ϕx + 3, ( b C ( ϕ + ( ϕ + ϕ, r HNx q C HN x x x q + +,,, N C ( b, b ( b N, r HN( x x q N N+, ( b C ( + + ( a C C x x w N N b ρ, ( b, b,5 b C b a ( a ( + + ( a C C x x w N N b ρ ( b,3 b aat aau CT xρ w,max w w,max CT ( a b w,max, ( b,4 b a a N + n ( a ( x x Ra, + N+ 3, 5n Φ R C RC NC n ou r f r 3 6 r ( a Ra,, RC, ( a f r Ra,, RC, ( a f f Ra,,, B RC f f p ddπ r 4ρ ( dl+ dl r r ( a Rb,, n n ( 5 n Φ x x + N+ 3 (,, N 3 6 CN x ρ x ρ 3 4 p p p ( ζμ ζμ r 4 r 4 π + ζμ r p r 4 dμ d μ r A 7 d d L 7 d L d d K x 7 L / ζ 4 5,.533 r ζ, ζ 53.47, ζ ( dd dl dl π ρ r r r 4.4 Ελεγκτής Αποκοπής Διαταραχών Παρατηρούμε ότι το μοντέλο (4.9 περιλαμβάνει καθυστερήσεις στις τιμές και τις παραγώγους των μεταβλητών κατάστασης. Για να μετασχηματιστεί το σύστημα (4.9 σε μορφή που να ικανοποιεί τις συνθήκες του Θεωρήματος 4. ή του Πορίσματος 4. ή του Πορίσματος 4. θα εφαρμοστεί ένας πραγματοποιήσιμος PD ελεγκτής στο σύστημα (4.9. Κατ αυτόν τον τρόπο θα μπορεί να επιτευχθεί η αποκοπή διαταραχών και ο έλεγχος της θερμοκρασίας της εξόδου του λέβητα. Πιο συγκεκριμένα, ο εσωτερικός βρόχος ελέγχου αποτελείται από ένα στατικό βρόχο ανατροφοδότησης κατάστασης ο οποίος χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της ροής στο δίκτυο σωληνώσεων και έναν PD βρόχο ο οποίος θα επιτυγχάνει αποκοπή διαταραχών και ακολούθηση ενός μοντέλο για την θερμοκρασία εξόδου του λέβητα. Εκτελώντας απλούς υπολογισμούς ο εσωτερικός βρόχος ελέγχου υπολογίζεται ότι είναι 85

98 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών ( (( + ( ( + ( ( δ u a λ b δ x k b δ w (4.α,,, ( ( ( ( ( ( ( δ u e b δ x τ a b δ x τ 6,5 6, 5 6,5 6, 5 ( a ( b x ( (( a ( b x 6( ( ( b ( k ( b δ λ δ δξ δ w ( + + (4.β 6, 6, 6,6 6, 6, 6, 6, όπου ( e, ( a, ( a, ( b, i, i, i, i ( είναι τα, i, (, i στοιχεία των πινάκων E, A, A, B και J αντίστοιχα και όπου λ, λ, k και k είναι αυθαίρετες παράμετροι. Εφαρμόζοντας τον ελεγκτή (4. στο γραμμικοποιημένο μοντέλο (4.9 μπορεί να παρατηρηθεί ότι οι συναρτήσεις μεταφορά που συνδέουν τις εξωτερικές εντολές με την ογκομετρική παροχή και την θερμοκρασία του λέβητα είναι της μορφής H ( s k ( s + λ και H ( s k ( s λ, + αντίστοιχα. Επιπλέον, παρατηρείται πως η 6,6 επίδραση των διαταραχών σε αυτές τις μεταβλητές κατάστασης έχει αποκοπεί. Εάν τα λ και λ επιλεγούν θετικά, οι συναρτήσεις μεταφοράς είναι ευσταθείς ενώ εάν k λ και k λ επιτυγχάνεται ασυμπτωτική ακολούθηση εντολής. Το εσωτερικό σύστημα κλειστού βρόχου είναι της μορφής ( ( +, c, c ( + c ( + c ( δy( Cδx( δx A δx A δx τ B δw J δξ (4.α (4.β όπου δw( δw ( δw ( T και όπου λ ( N B A A, J, c, c r r N N λ N A A Rb, Ra, N ( B A, B N N N r N N N c N N B R k N N c k Εκτελώντας απλούς υπολογισμούς, παρατηρείται ότι η σχέση εισόδων εξόδων του συστήματος είναι της μορφής ( ( ( ( + ( Ξ( δ Y s H s H s δ W s H s δ s δw δw δξ 86

99 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών όπου H ( s B ( s A ( s δw w B ( s, ( w w, H ( s δ ( ( w B s A s w, H ( s J ( s A( s δξ ξ και όπου As (, B s και J ( s είναι 7 ης, 4 ης, 4 ης και 6 ης τάξης πολυώνυμα. Σε ότι αφορά τον λέβητα, είναι ξ επιθυμητό να διατηρείται η θερμοκρασία εξόδου σταθερή ή ισοδύναμα η εξωτερική εντολή δ w ( να είναι ίση με μηδέν. Συνεπώς, το εσωτερικό σύστημα κλειστού βρόχου λαμβάνει την μορφή ( ( ( ( + ( ( Ξ ( δ Y s B s w A s δ W s J s A s δ s ξ Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Θεωρήματος 4., ο ελεγκτής αποκοπής διαταραχών λαμβάνει την μορφή ( ( ( Ξ ( + ( ( ( δw s F s M s s G s M s R s όπου F( s J ( s A ( s, M( s B ( s A ( s και G( s B ( s A( s ξ M w M. Προφανώς, ο ελεγκτής είναι μη κατάλληλος. Παρόλα αυτά, εξαιτίας του εσωτερικού ελεγκτή, δεν εξαρτάται από τις καθυστερήσεις και συνεπώς είναι εξ ορισμού πραγματοποιήσιμος. Τα πολυώνυμα AM ( s και BM ( s επιλέγονται της μορφής A ( s ( s + p M ( s + p( s + p3, B ( s p p p M 3 Για να διερευνηθεί η απόδοση του προτεινόμενου σχήματος, έστω M όπου p, p και p 3 +. L 5 m, d.5 m, L m r, d.9653 m r, K., C 36 KJ K, N 4, ϕ, Φ 5 W, n.5 a 9, a, a., T C w,max, a 5.6 W K, C w 48 J K Kgr, C 44 J K b, ρ 97.8 Kgr m 3,.3547 Pa s μ, C 4355 J K f, C J K r, R.3333 K W f, R.64 K W ou οι τιμές των παραμέτρων του μη γραμμικού μοντέλου (4.8. Υποθέτοντας ότι u Pa, u 3 W, ξ 5. C και ξ C προκύπτει ότι, x C, x C 3, 5 3 x.878 m s x C 4, x C 5, x C 6, x.56 C 7 και x.56 C 8. Οι πόλοι του συστήματος κλειστού βρόχου επιλέγονται της μορφής p, p 5 και p 3 3 ενώ οι παράμετροι του εσωτερικού ελεγκτή επιλέγονται λ.. Χρησιμοποιώντας τις τιμές των παραπάνω παραμέτρων προκύπτει ότι k, λ, k. και A ( s s +.58s 5.96 s.86 s s s s

100 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών ( w ( s B.487s s s s J ξ s s s s s s s Από τον ορισμό του F ( s μπορεί να παρατηρηθεί ότι ο ελεγκτής είναι ευσταθής. Σε ότι αφορά την υλοποίηση του μη κατάλληλου τμήματος του ελεγκτή, θα χρησιμοποιηθεί μια προσέγγιση της παραγώγου της μορφής Q( s s( g s + V ( s όπου ( ( Q s είναι η προσέγγιση της παραγώγου του V s όπου g πρέπει να είναι θετικός αριθμός. Στο παρόν κεφάλαιο θα υποθέσουμε ότι g. Σε ότι αφορά τις διαταραχές, θα υποθέσουμε ότι είναι της μορφής { } ( ξ + + ( ξ.5 exp 4 8 { } ( ξ + + ( ξ exp 5 ενώ η εξωτερική εντολή θα επιλεγεί της μορφής w ( x u ( μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Στα Σχήματα 4. έως όπου u 7 s s ( είναι η παρουσιάζεται η απόκριση του μη γραμμικού συστήματος κλειστού βρόχου. Ειδικότερα, στα Σχήματα 4. και 4.3 παρουσιάζονται η πίεση της αντλίας και η παρεχόμενη ενέργεια στον λέβητα (δηλαδή οι ενεργοποιήσιμες είσοδοι ενώ στα Σχήματα 4.4 έως 4.7 παρουσιάζονται οι μεταβλητές κατάστασης. Από τα Σχήματα 4. και 4.3 μπορεί να παρατηρηθεί ότι οι ενεργοποιήσιμες είσοδοι παραμένουν σε αποδεκτά όρια και δεν παρουσιάζουν γρήγορες ταλαντώσεις. Επιπλέον, παραμένουν στην περιοχή όπου το γραμμικοποιημένο μοντέλο, με βάση το οποίο σχεδιάζεται ο ελεγκτής, είναι ικανοποιητική προσέγγιση του μη γραμμικού συστήματος. Σε ότι αφορά τις μεταβλητές κατάστασης, μπορεί να παρατηρηθεί ότι επίσης παραμένουν σε αποδεκτά όρια. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον θα πρέπει να δοθεί στην μεταβλητή απόδοσης, δηλαδή την θερμοκρασία του δωματίου (βλέπε Σχήμα 4.7. Μπορεί να παρατηρηθεί ότι ακολουθεί με ακρίβεια το σήμα αναφοράς ενώ υπάρχει και ένα μικρό σφάλμα στην μόνιμη κατάσταση. Η επίδραση της διαταραχής είναι πολύ μικρή. Το σφάλμα στην μόνιμη κατάσταση και η διαφορά μεταξύ του σήματος αναφοράς και της πραγματικής απόκρισης οφείλονται στις μη γραμμικότητες της διάταξης. Τέλος, σε ότι αφορά την θερμοκρασία εξόδου του λέβητα (βλέπε Σχήμα 4.6, αυτή παραμένει κοντά στο μηδέν ακολουθώντας την εσωτερική εξωτερική εντολή. Οι μικρές αποκλίσεις από το μηδέν παράγουν ένα επιπλέον σφάλμα που επηρεάζει την θερμοκρασία του δωματίου. Σε ότι αφορά την θερμοκρασία του δαπέδου, πρέπει να σημειωθεί πως αυτή αυξάνει πολύ αργά και μέσα στα χρονικά πλαίσια της προσομοίωσης δεν φτάνει στην μόνιμη κατάσταση. Σημειώνεται ότι ο χρόνος ανύψωσης είναι μεγαλύτερος από 4.5 ώρες. 88

101 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών Το βασικό μειονέκτημα του ελεγκτή είναι ότι εξαιτίας των αυστηρών σχεδιαστικών περιορισμών, σε ότι αφορά την αποκοπή διαταραχής, δεν παράγει ικανοποιητικά αποτελέσματα για μεγάλες εξωτερικές εντολές επειδή το σύστημα οδηγείται έξω από την περιοχή όπου η γραμμικοποιημένη προσέγγιση αποτελεί ακριβή αναπαράσταση του μη γραμμικού μοντέλου. 5 δ u Pa hours Σχήμα 4.: Πίεση αντλίας 89

102 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών 4 3 δ u W hours Σχήμα 4.3: Παρεχόμενη ενέργεια στον λέβητα 4 3 δ x l hr.5.5 hours Σχήμα 4.4: Ογκομετρική παροχή νερού στο δίκτυο 9

103 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών.5 δx 5 C δx 4.5 δx 3 δx hours Σχήμα 4.5: Θερμοκρασία σώματος.3.5. δ x C hours Σχήμα 4.6: Θερμοκρασία εξόδου λέβητα 9

104 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών δ x C hours Σχήμα 4.7: Θερμοκρασία δωματίου (συνεχής απόκριση, διακεκομμένη σήμα αναφοράς 4.5 Συμπεράσματα Στο παρόν κεφάλαιο επιλύθηκε το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών για ουδέτερα συστήματα μίας εισόδου μίας εξόδου με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις και μετρήσιμες διαταραχές με χρήση δυναμικών ελεγκτών. Ειδικότερα, παρουσιάστηκε η γενική μορφή των πινάκων του ελεγκτή που επιλύουν το πρόβλημα ενώ παρήχθησαν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι ώστε ο ελεγκτής να είναι πραγματοποιήσιμος. Η προτεινόμενη τεχνική εφαρμόστηκε σε ένα ουδέτερο σύστημα κεντρικής θέρμανσης με χρονικές καθυστερήσεις. Πιο συγκεκριμένα, παράχθηκε το μη γραμμικό μοντέλο της διεργασίας και η γραμμικοποιημένη προσέγγισή του με βάση την οποία αναπτύχθηκε ένας ελεγκτής δύο σταδίων για τον έλεγχο της θερμοκρασίας του δωματίου και της θερμοκρασίας του νερού στην έξοδο του λέβητα. Το πρώτο στάδιο αποτελείται από έναν στατικό βρόχο ανατροφοδότησης κατάστασης που χρησιμοποιήθηκε για τον έλεγχο της ροής μέσα στο δίκτυο σωληνώσεων και έναν PD βρόχο ελέγχου με χρονικές καθυστερήσεις για την επίτευξη της αποκοπής διαταραχών και τον έλεγχο της θερμοκρασίας εξόδου του λέβητα. Στη συνέχεια, εφαρμόστηκε η προτεινόμενη τεχνική αποκοπής διαταραχών στο εσωτερικό σύστημα κλειστού βρόχου για την ρύθμιση της μεταβλητής απόδοσης (δηλαδή της θερμοκρασίας του δωματίου. Η απόδοση του προτεινόμενου σχήματος ελέγχου διερευνήθηκε μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. 9

105 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών Ειδικότερα, παρατηρήθηκε ότι η ενεργοποιήσιμη είσοδος παρέμενε σε αποδεκτά επίπεδα χωρίς να παρουσιάζονται σημαντικές ταλαντώσεις οι οποίες θα καθιστούσαν την γραμμικοποιημένη προσέγγιση κακή αναπαράσταση του μη γραμμικού μοντέλου. Σε ότι αφορά τις μεταβλητές κατάστασης παρατηρήθηκε επίσης ότι και αυτές παραμένουν σε αποδεκτά όρια ενώ η μεταβλητή απόδοσης ακολουθούσε με ακρίβεια το σήμα αναφοράς. Σε ότι αφορά την θερμοκρασία εξόδου του λέβητα, αυτή παρέμενε πολύ κοντά στο μηδέν. Το βασικό μειονέκτημα του ελεγκτή είναι ότι εξαιτίας των αυστηρών σχεδιαστικών περιορισμών, σε ότι αφορά την αποκοπή διαταραχής, δεν παράγει ικανοποιητικά αποτελέσματα για μεγάλες εξωτερικές εντολές επειδή το σύστημα θα οδηγηθεί έξω από την περιοχή όπου η γραμμικοποιημένη προσέγγιση αποτελεί ακριβή αναπαράσταση του μη γραμμικού μοντέλου. 4.6 Βιβλιογραφία [] Chen, Z., Yuan, Z. and Zhao, J. (8 An acive disurbances reecion conroller for hysereic sysems, Inernaional Conference on Modeling, Idenificaion and Conrol, Shanghai, China, June 9 July. [] Chen, J. and Sun, X. (8 Acive disurbances reecion decoupling conrol for acive magneic bearing mulivariable sysem, Inernaional Conference on Modeling, Idenificaion and Conrol, Shanghai, China, June 9 July. [3] Cone, G. and Perdon, A.M. (995 The Disurbance Decoupling problem for sysems over a ring, SIAM Journal of Conrol and Opimimizaion, vol. 33, pp [4] Malabre, M. and Rabah, R. (995 Srucure a infiniy, Model Maching and disurbance reecion, of linear sysems wih delays, Kyberneica, vol. 9, pp [5] Paraskevopoulos, P.N., Koumboulis, F.N. and Tzierakis, K.G. (993 Disurbance reecion of lef inverible generalized sae space sysems, IEEE Transacions in Auomaic Conrol, vol. 39, pp [6] Paraskevopoulos, P.N., Koumboulis, F.N. and Tzierakis, K.G. (99 Disurbance reecion of lef inverible sysems, Auomaica, vol. 8, pp [7] Paraskevopoulos, P.N., Koumboulis, F. N. and Panagioakis, G.E. Disurbance Reecion of Lef Inverible Neural Time Delay Sysems Proceedings of he 3rd IEEE Inernaional Conference on Mecharonics (ICM 6, Budapes, Hungary pp [8] Koumboulis, F.N. and Panagioakis, G.E. (6 Disurbance Reecion of General Neural Time Delay Sysems via Measuremen Oupu Feedback. Proceedings of he h IEEE Inernaional Conference on Emerging Technologies and Facory Auomaion (ETFA 6, Prague Czech Republic, pp , [9] Arlsanurk, C. Ozguc, A.F. (6 Opimizaion of a Cenral Heaing Radiaor, Applied Energy, vol. 83, no., pp [] Cai, W. (6, Nonlinear Dynamics of Thermal Hydraulic Neworks, PhD Disseraion, Universiy of Nore Dame. [] Hansen, L.H. (997 Sochasic Modeling of Cenral Heaing Sysems, PhD Disseraion, Technical Universiy of Denmark. [] Koumboulis, F.N., Kouvakas, N.D. and Paraskevopoulos, P.N. (submied Linearizaion Based PID Conroller for a Neural Time Delay Cenral Heaing Sysem. [3] Kouvakas, N.D., Koumboulis, F.N. and Paraskevopoulos, P.N. (7 Modeling and Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem, 6 h WSEAS Inernaional Conference on Circuis, Sysems, Elecronics, Conrol and Signal Processing, December 9 3, 7, Cairo, Egyp. [4] Mendi, F., Boran, K. and Kulekci, M.K. ( Fuzzy Conrolled Cenral Heaing Sysem, Inernaional Journal of Energy Research, vol. 6, no. 5, pp [5] Morel, N., Bauer, M., El Khoury, M. and Krauss, J. ( NEUROBAT: A Predicive and Adapive Heaing Conrol Sysem Using Arificial Neural Neworks, Inernaional Journal of Solar Energy, vol., pp. 6 [6] Zaheer Uddin, M., Zheny, G.R. and Cho, S. H. (994 Opimal Operaion of an Embedded Piping Floor Heaing Sysem wih Conrol Inpu Consrains, Energy Conversion and Managemen, vol. 38, no. 7, pp

106 Κεφάλαιο 4: Δυναμικοί Ελεγκτές Αποκοπής Διαταραχών [7] Zanobini, A., Luculano, G. and Papini, A. (998 Cenral Heaing Conrol: a New Technique o Gauge Room Temperaure, IEEE Insrumenaion and Measuremen Technology Conference, May 8, S. Paul, USA. 94

107 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων Στο παρόν κεφάλαιο επιλύεται το πρόβλημα της τετραγωνικής αποσύζευξης εισόδων εξόδων για την γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις χρησιμοποιώντας πραγματοποιήσιμη δυναμική ανατροφοδότηση κατάστασης ή εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή. Και στις δύο περιπτώσεις αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα είναι πάντα επιλύσιμο ενώ παρουσιάζεται η γενική μορφή των ελεγκτών αποσύζευξης. Τέλος, για να επιδειχθεί η προτεινόμενη τεχνική, εφαρμόζεται σε ένα αριθμητικό παράδειγμα καθώς και στο μαθηματικό μοντέλο ενός πυρηνικού αντιδραστήρα συζευγμένων πυρήνων. Ειδικότερα για την περίπτωση του πυρηνικού αντιδραστήρα, παρουσιάζεται ένας δυναμικός ελεγκτής ανατροφοδότησης εξόδου του οποίου η απόδοση διερευνάται. 5. Εισαγωγή Το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων έχει προσελκύσει σημαντικό ενδιαφέρον για την ειδική περίπτωση των επιβραδυμένων συστημάτων με ανάλογες καθυστερήσεις (ακέραια πολλαπλάσια μιας (βλέπε [] και [3] [9]. Στην εργασία [] το πρόβλημα μελετήθηκε για πρώτη φορά με ελεγκτές που πιθανών να περιλαμβάνουν πρόβλεψη. Στην εργασία [3], προτάθηκαν συνθήκες για την επίλυση του προβλήματος με ελεγκτή ο οποίος δεν θα περιελάμβανε πρόβλεψη. Στην εργασία [4] μελετήθηκε το πρόβλημα μέσω προβλεπτών για την περίπτωση των χρονομεταβλητών συστημάτων με ανάλογες καθυστερήσεις. Στις εργασίες [5] και [6] μελετήθηκε το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων ταυτόχρονα με το πρόβλημα της ανάθεσης συντελεστών και υπό συγκεκριμένες συνθήκες ελεγξιμότητας, μέσω αναλογικής και/ή δυναμικής ανατροφοδότησης. Οι ικανές συνθήκες, που παρουσιάστηκαν στις εργασίες [7] [9] για ελεγκτή ο οποίος δεν περιλαμβάνει προβλεπτές, είναι περισσότερο ευρείες από τις προηγούμενες στην περιοχή. Οι υποθέσεις που γίνονται στις εργασίες [7] [9] είναι η αμφικαταλληλότητα του προαντισταθμιστή και η διερεύνηση πραγματοποιήσιμης ανατροφοδότησης σε μια ειδική κατηγορία πινάκων ελεγκτή οι οποίοι λύνουν το πρόβλημα της αποσύζευξης. Επιπλέον, στην εργασία [9] μελετάται το πρόβλημα της ευστάθειας των αναλογικών ελεγκτών. Για την περίπτωση της αποσύζευξης σε ουδέτερα συστήματα με ανάλογες καθυστερήσεις, κάποια πρώτα αποτελέσματα παρουσιάστηκαν στην εργασία []. Το πρόβλημα της αποσύζευξης για την γενική κατηγορία ουδετέρων συστημάτων με αναλογική ανατροφοδότηση κατάστασης επιλύθηκε 95

108 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων στην εργασία [] ενώ στην εργασία [] επιλύθηκε το ίδιο πρόβλημα για την περίπτωση της ανατροφοδότησης εξόδου. Στην εργασία [] επιλύθηκε το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων με δυναμική ανατροφοδότηση κατάστασης και στατικό προαντισταθμιστή για την περίπτωση για την περίπτωση που δεν υπάρχουν καθυστερήσεις. Η συνεισφορά του παρόντος κεφαλαίου έγκειται στην παραγωγή ελεγκτών αποσύζευξης που δεν περιλαμβάνουν προβλεπτές, χρησιμοποιώντας είτε δυναμική ανατροφοδότηση κατάστασης είτε δυναμική ανατροφοδότηση εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή για την γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Και στις δύο περιπτώσεις αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα είναι πάντα επιλύσιμο ενώ παρουσιάζεται και η γενική μορφή των ελεγκτών αποσύζευξης. Τέλος, γίνεται εφαρμογή της προτεινόμενης τεχνικής για την παραγωγή ενός δυναμικού ελεγκτή ανατροφοδότησης εξόδου στο μαθηματικό μοντέλο ενός πυρηνικού αντιδραστήρα συζευγμένων πυρήνων. Ο ελεγκτής παρουσιάζεται αναλυτικά και εξετάζεται η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου. Παρατηρείται ότι οι αποκρίσεις των μεταβλητών απόδοσης είναι όντως αποσυζευγμένες με συμπεριφορές που αντιστοιχούν στον επιλεγμένο πίνακα συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου. Σε ότι αφορά τις υπόλοιπες μεταβλητές κατάστασης και τις ενεργοποιήσιμες εισόδους, παρατηρείται ότι παραμένουν σε αποδεκτά όρια. Τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 5 δημοσιεύτηκαν στις εργασίες P. N. Paraskevopoulos, F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and C. Balafas, I/O Decoupling via Dynamic Conrollers: A Sae Space Approach, Proceedings of he IEEE Medierranean Conference on Conrol and Auomaion (MED 5, June 7 h 9 h, Limassol, Cyprus, 5 F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Dynamic Conrollers for I/O Decoupling of Neural Time Delay Sysems wih Applicaion o a Coupled Core Nuclear Reacor, Proceedings of he European Conrol Conference (ECC 7, July nd 5 h, Kos, Greece, 7 5. Προκαταρτικά Θεωρήστε την γενική κατηγορία γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές καθυστερήσεις της μορφής E x q τ Ax q τ + Bu q τ (5.α q q q q q q, i i, i i, i i i i i q q q q C y q τ C x q τ (5.β, i i, i i i i 96

109 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων n m όπου x( είναι το διάνυσμα κατάστασης, u( είναι το διάνυσμα των εισόδων, m y( είναι το διάνυσμα των μεταβλητών απόδοσης, i τ ( i,, q είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που εκφράζουν τις καθυστερήσεις και q (,, q ; i,, q είναι μια πεπερασμένα i, ακολουθία ακεραίων. Οι ποσότητες q και q είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Προφανώς, εάν η q ποσότητα q τ είναι αρνητική τότε δηλώνει πρόβλεψη. Οι πραγματικοί πίνακες E,, i i i n γραμμές ενώ οι πίνακες C, C έχουν m γραμμές. A, B έχουν Το ενδιαφέρον εστιάζεται στην εξαναγκασμένη απόκριση του συστήματος, δηλαδή για μηδενικές αρχικές και παρελθούσες τιμές ( x(, ( u για <. Ορίζοντας T, e ( sτ ( sτ τ τ q exp exp q το σύστημα (5. μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο της συχνότητας από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων ( e ( ( e ( + ( e ( se X s A X s B U s (5.α ( e ( ( e ( όπου X( s L { x( }, U( s L { u( }, ( C Y s C X s (5.β { } μετασχηματισμός Laplace του σήματος, ενώ q q E ( e E exp s q τ i, i i q q A ( e A exp s q τ i, i i q q B ( e B exp s q τ i, i i q q C( e C exp s q τ i, i i q q C ( e C exp s q τ i, i i Y s L y ( και όπου L {} είναι ο 97

110 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων όπου exp e είναι το εκθετικό της ποσότητας. Το σύστημα εξισώσεων (5. μπορεί να γραφτεί σε κανονική μορφή ως ακολούθως ( ( ( + ( ( sx s A e X s B e U s (5.3α ( ( ( Y s C e X s (5.3β όπου A ( E e ( e A ( e, ( ( B E B ( e e e, ( ( C C C ( e e e πίνακας συνάρτησης μεταφοράς λαμβάνει την μορφή (, ( n ( ( ενώ ο H s e C e si A e B e ( Τετραγωνική Αποσύζευξη Εισόδων Εξόδων με Δυναμική Ανατροφοδότηση Εξόδων και Δυναμικό Προαντισταθμιστή Στην ενότητα αυτή, ο σχεδιαστικός στόχος είναι αυτός της αποσύζευξης εισόδων εξόδων με δυναμική ανατροφοδότηση εξόδων και δυναμικό προαντισταθμιστή, δηλαδή την παραγωγή ενός συστήματος κλειστού βρόχου όπου κάθε έξοδος ελέγχεται μόνο από μία εξωτερική εντολή. Ο νόμος ελέγχου προτείνεται της μορφής ( (, ( + (, Ω( U s K s e Y s G s e s (5.5 όπου Ω ( s είναι το m διάνυσμα των εξωτερικών εισόδων. Τα στοιχεία των πινάκων K( s, ( e και Gs, e είναι ρητές συναρτήσεις του s. Τα αντίστοιχα πολυώνυμα των αριθμητών και s παρονομαστών έχουν συντελεστές που είναι πολυμεταβλητές ρητές συναρτήσεις των,, q e τ. Αντικαθιστώντας τον νόμο ελέγχου (5.5 στο σύστημα (5.3, ο πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου λαμβάνει την μορφή (, (, (, (, (, n s e τ H s e I H s K s H s G s c e e e e (5.6 ενώ το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων διατυπώνεται στην ακόλουθη εξίσωση όπου i ( c (, diag { (, i } H s e h s e (5.7 h s, e / ( i,, m είναι το i διαγώνιο στοιχείο του αποσυζευγμένου πίνακα συνάρτησης μεταφοράς το οποίο είναι ρητή συνάρτηση του s και τα αντίστοιχα πολυώνυμα του 98

111 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων αριθμητή και του παρονομαστή έχουν συντελεστές που είναι πολυμεταβλητές ρητές συναρτήσεις των s e τ s,, q e τ (ή συμπαγώς του ελεγκτή K( s, e και Gs, ( e. Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί η γενική μορφή των πινάκων του e στην μορφή του Θεωρήματος 5.. Θεώρημα 5.: Η αποσύζευξη εισόδων εξόδων με δυναμική ανατροφοδότηση εξόδων και δυναμικό προαντισταθμιστή είναι πάντα επιλύσιμη με πραγματοποιήσιμους πίνακες ελεγκτή της μορφής όπου (, (, (, e e e m (, (, (, e e e m K s k s k s (5.8α G s g s g s (5.8β k ( s, : arbirary ( s, η g ( s, h ( s, η ( s, k ( s, όπου k ( s, e, ( g s, e και η ( s, e είναι η στήλες των πινάκων K( s, e, Gs, ( ( H s, e αντίστοιχα. e e (5.9α e e e e (5.9β e και Απόδειξη: Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5.6 και (5.7 το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων λαμβάνει την μορφή ή ισοδύναμα (, (, e e (, e (, e diag { (, e i } I H s K s H s G s h s n (, e (, e (, e diag { (, e i } H s K s G s h s ή ισοδύναμα { } (, (, (, diag (, i H s e K s e G s e h s e (5. Προφανώς, για να ισχύει η εξίσωση (5., το σύστημα ανοιχτού βρόχου πρέπει να είναι αριστερά αντιστρέψιμο. Έστω (, e η (, e η (, e m H s s s (5.α (, (, (, e e e m K s k s k s (5.β 99

112 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων όπου η ( s, e, k ( s, e και ( g s, ( e και Gs, ( K s, (, (, (, e e e m G s g s g s (5.γ είναι οι στήλες των πινάκων ( e (,, m H s, e, e αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς στις σχέσεις (5., το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων αναλύεται περεταίρω ως ακολούθως (, (, η (, (, g s e h s e s e k s e (5. για,, m. Η γενική μορφή των πινάκων του ελεγκτή που πιθανώς θα περιλαμβάνουν προβλεπτές λαμβάνουν την μορφή k ( s, e : αυθαίρετο η ( s, (, (, η (, (, e (5.3α g s e h s e s k s e e (5.3β για,, m. Για να είναι ο ελεγκτής πραγματοποιήσιμος αρκεί η ποσότητα (, η (, (, h s e s e k s e να είναι πραγματοποιήσιμη. Ισοδύναμα, πρέπει να ισχύει ότι { h ( s η ( s k ( s } deg, e, e, e (5.4 όπου deg { } είναι η τάξη πραγματοποιησιμότητας της ποσότητας. Ισοδύναμα, η σχέση (5.4 λαμβάνει την μορφή ή ισοδύναμα { h ( s } { η ( s k ( s } deg, e + deg, e, e (5.5 { h ( s } { η ( s k ( s } deg, e deg, e, e (5.6 Από τις σχέσεις (5.3 και (5.6 μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί ότι το πρόβλημα της αποσύζευξη εισόδων εξόδων με δυναμική ανατροφοδότηση εξόδων αντιστρέψιμων συστημάτων ανοιχτού βρόχου είναι πάντα επιλύσιμο με πραγματοποιήσιμο πίνακα συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου.

113 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων 5.4 Τετραγωνική Αποσύζευξη Εισόδων Εξόδων με Δυναμική Ανατροφοδότηση Κατάστασης και Δυναμικό Προαντισταθμιστή Στην ενότητα αυτή ο σχεδιαστικός στόχος είναι αυτός της αποσύζευξης εισόδων εξόδων με δυναμική ανατροφοδότηση κατάστασης και δυναμικό προαντισταθμιστή, δηλαδή η παραγωγή ενός συστήματος κλειστού βρόχου στο οποίο κάθε έξοδος ελέγχεται από μία μόνο εξωτερική είσοδο. Ο νόμος ελέγχου προτείνεται να είναι της μορφής ( (, ( + (, Ω( U s F s e X s G s e s (5.7 όπου Ω ( s είναι το m διάνυσμα των εξωτερικών εισόδων. Τα στοιχεία των πινάκων F( s, ( e και Gs, e είναι ρητές συναρτήσεις του s. Οι αντίστοιχοι συντελεστές των πολυωνύμων των αριθμητών s e τ s και παρονομαστών είναι πολυμεταβλητές συναρτήσεις των,, q e τ. Θεώρημα 5.: Το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων με δυναμική ανατροφοδότηση κατάστασης και δυναμικό προαντισταθμιστή είναι πάντα επιλύσιμο με πραγματοποιήσιμους πίνακες ελεγκτών της μορφής - G( s, I F( s, si A ( B e e ( H ( s, diag { h ( s, m e n e e e i } (5.8α ( F s, e : αυθαίρετος πραγματοποιήσιμος (5.8β Απόδειξη: Αντικαθιστώντας τον ελεγκτή (5.7 στο σύστημα ανοιχτού βρόχου (5.3 το σύστημα κλειστού βρόχου λαμβάνει την μορφή (, ( ( ( (, ( (, n H s e C e si A e B e F s e B e G s e (5.9 ενώ το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων είναι της μορφής (5.7, ή ισοδύναμα ( ( ( (, ( (, diag { (, n i } C e si A e B e F s e B e G s e h s e (5. Ισοδύναμα, η σχέση (5. μπορεί να γραφτεί ως H ( s, I F( s, si A ( B e e ( G( s, diag { h ( s, m e n e e e i } (5. Λύνοντας την σχέση (5. ως προς Gs, ( e λαμβάνουμε

114 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων - G( s, I F( s, si A ( B e e ( H ( s, diag { h ( s, m e n e e e i } (5. ή ισοδύναμα G ( s, H ( s, ( ( ( ( } - F s, si A B H s, - diag { h ( s e e e e, n e e e i } (5.3 Έστω P ( s, H ( s, e e και P ( s, e si A ( B ( H ( s, n επιλέγοντας τον πίνακα F( s, e e e. Προφανώς, e να είναι αυθαίρετος και πραγματοποιήσιμος, αρκεί να ο πίνακας { hi ( s e } αρκετά πραγματοποιήσιμος έτσι ώστε και ο πίνακας Gs, ( diag, πραγματοποιήσιμος, δηλαδή να ισχύει ότι ή ισοδύναμα { { h ( s }} i { P, i ( s } e να είναι επίσης deg diag, e deg, e (5.4α { { h ( s }} i { P, i ( s } deg diag, e deg, e (5.4β { { h ( s }} { P i, i ( s } { P, i ( s } { } deg diag, e max deg, e, deg, e (5.5 όπου P, ( s, e i και P ( s, e είναι οι i στήλες των P ( s, e και ( P s,, i, i, i e αντίστοιχα. Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο πίνακας F( s, e είναι πραγματοποιήσιμος, τότε ο πίνακας Gs, ( e είναι επίσης πραγματοποιήσιμος. 5.5 Αριθμητικό Παράδειγμα Θεωρήστε το αριθμητικό παράδειγμα που παρουσιάστηκε στην εργασία [] για την περίπτωση μηδενικών εξωτερικών διαταραχών με πίνακες E ( e sτ e sτ e e e e s s A τ τ ( e e e sτ e 3sτ 4sτ 4sτ

115 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων 5sτ 4sτ 5sτ 4sτ e e e e + + s s B τ τ ( e e e sτ sτ e e 6sτ sτ e e C ( e + sτ e 7sτ sτ sτ e e + e C ( e 3sτ sτ e e όπου τ 5 και τ 3. Ο επιθυμητός πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου επιλέγεται της μορφής H c ( s, e 3 5s e a s + a e b s + b 3 5s + όπου ab,. Πραγματοποιώντας απλούς υπολογισμούς μπορεί να παρατηρηθεί ότι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι της μορφής όπου ( h h h (, e H s,,, ( s, e ( s, e (, e (, e (, e (, e h s h s,, h s h s,, ( b s + ( b s + ( b s( s + p ( s + p,,, ( b s + ( b s + ( b s( s + p ( s + p,,, ( b ( s, e,, ( h s, e, s + p 4 5s 5s ( b e, ( + e ( b, s + p ( 3 5 s 3s 5s ( 3 5 ( 3 5 b e + e e e + s e + s + +, ( b e + ( s, ( ( 4 5s 5s b e + e,, 3

116 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων ( s 3s 5s ( 3 5 ( 3 5 b e + e e e + s e + s + +, ( ( b e + ( 3 3s, ( b e 3 3, ( b e, s,, s p 5s e, e 5s p e e 3s 3s ενώ ο αντίστροφος πίνακας είναι τις μορφής h ( s,, h, ( s, H ( s, e e e h, ( s, e h, ( s, e Σε ότι ακολουθεί, θα σχεδιαστούν δύο ελεγκτές σύμφωνα με τα αποτελέσματα των Ενοτήτων 5.3 και 5.4. Σύμφωνα με το Θεώρημα 5., ο δυναμικός ελεγκτής ανατροφοδότησης εξόδου ο οποίος επιτυγχάνει τον επιθυμητό πίνακα συνάρτησης μεταφοράς για το σύστημα κλειστού βρόχου είναι της μορφής όπου k ( s, e και k ( s, h s h s,, (, e (, e T (, (, (, e e e K s k s k s (, (, (, e e e G s g s g s e είναι αυθαίρετοι πίνακες διαφορετικοί από τους πίνακες και h, ( s, e h, ( s, e σχέση (9b τα στοιχεία του προαντισταθμιστή είναι της μορφής h g s, e h s, e k s, e ( ( T ( s, e ( s, e αντίστοιχα. Τέλος, χρησιμοποιώντας την (, h, ( ( h g s, e h s, e k s, e ( s, e ( s, e (, h, Πραγματοποιώντας απλούς υπολογισμούς, μπορεί να παρατηρηθεί πως τα στοιχεία g ( s, g ( s e είναι πραγματοποιήσιμα αφού τα k ( s, e και k ( s,, e και e επιλέγονται να είναι επίσης k s, e k, πραγματοποιήσιμα. Ενδεικτικά, μπορούν να επιλεγούν της μορφής ( (, k s e k. 4

117 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων Ομοίως, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Θεωρήματος 5., ο πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης είναι της μορφής όπου τα στοιχεία f, ( s, i είναι της μορφής (, e F s (, e (, e (, e (, e (, e (, e f s f s f s f, s f, s f,3 s,,,3 e είναι αυθαίρετα και πραγματοποιήσιμα. Ο πίνακας του προαντισταθμιστή ( s e - h, G( s, I F ( s, si A 3 ( B e e e ( e H ( s, e h ( s, e Παρόμοια με την περίπτωση της δυναμικής ανατροφοδότησης εξόδου, τα στοιχεία του πίνακα ( F s, e μπορούν να επιλεγούν στατικά. 5.6 Εφαρμογή σε Πυρηνικό Αντιδραστήρα Συζευγμένων Πυρήνων Στην ενότητα αυτή, για να επιδειχθεί η τεχνική που παρουσιάστηκε στις προηγούμενες ενότητες, θα σχεδιαστεί ένας ελεγκτής αποσύζευξης ανατροφοδότησης εξόδου, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα της Ενότητας 5.3, για το μαθηματικό μοντέλο ενός πυρηνικού αντιδραστήρα συζευγμένων πυρήνων. Το μη γραμμικό δυναμικό μοντέλο του αντιδραστήρα είναι της μορφής [3] ( ( + (.5 +.5(.8 ( + (. ( ( + ( ( x x x x x x x x x (5.6α ( ( + (.5 +.5(.8 ( + (. ( ( + ( ( x (.5(.8x 3 ( x3( x (.5(.8x 4 ( x4( x (.5 5 (.x(.x5( x (.5(.x 6 (.x6( x ( 7 ( x7( + u( x ( 8 ( x8( + u( x x x x x x x x x (5.6β (5.6γ (5.6δ (5.6ε (5.6στ (5.6ζ (5.6η όπου x και x είναι τα επίπεδα ισχύος στον πρώτο και δεύτερο πυρήνα αντίστοιχα, x και x είναι τα 3 4 επίπεδα της καθυστερημένης ισχύος νετρονίων στον πρώτο και δεύτερο πυρήνα αντίστοιχα, x και x 5 6 5

118 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων είναι οι θερμοκρασίες στο πρώτο και δεύτερο πυρήνα αντίστοιχα, x και x είναι οι εξωτερικές 7 8 αντιδραστικότητες ελέγχου στον πρώτο και δεύτερο πυρήνα αντίστοιχα και u και u είναι οι είσοδοι ελέγχου στον πρώτο και δεύτερο πυρήνα αντίστοιχα. Εκτελώντας απλούς υπολογισμούς στο μη γραμμικό μοντέλο (5.6, μπορεί να παραχθεί μια γραμμικοποιημένη προσέγγιση της μορφής (5.7 όπου ( ( + (.5 + ( δy( Cδx( δx Aδx Aδx Bδu (5.7α ( ( ( ( ( ( ( (5.7β δx x x x x x x x x x x x x ( ( ( δu u u u u T ( ( x x x x όπου i είναι η ονομαστική τιμή της μεταβλητής i. Υποθέτοντας ότι u και u, προκύπτει ότι T x, x, x 8, x x, x, x, x Συνεπώς, οι πίνακες του γραμμικοποιημένου συστήματος (5.7 λαμβάνουν την μορφή A.... 6

119 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων A, B C Με βάση τα παραπάνω στοιχεία προκύπτει ότι ο πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου είναι της μορφής ( H s ( ( ( ( h s h s,, h s h s,, (5.8 όπου h h h,,, h ( s ( s ( s, ( s 4 3 4s + 74s s +.66s +.45 d ( s ( d ( s ( d ( s.5s 4 3 e s s s s.5s 4 3 e s s s s 4 3 4s + 74s s s +. s s s ( ( ( ( d s s 3.4s 7.63 e s 6.59.e s e s d ( s ( s. (.8. s e s e + + s s s ( ( ( ( d s s 3.5s e s e s e s Μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί ότι ( s.. (.9.44 s (.84. s e s e s e ( ( s η ( s ( s η ( s η,, H s η,, (5.9 7

120 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων όπου η, ( s η, 3 ( +.5s( s +.75s +.374s +.3 ( s +.( s +. η η ( s,,.5s ( s e (.5s +.5s ( s e (.5s + ( +.5s( s +.65s ( s +. Ο πίνακας ανατροφοδότησης εξόδου F( s επιλέγεται της μορφής ( F s ( ( ( ( f s f s,, f s f s,, (5.3 όπου f, ( s.. f s e.5s, ( 98.36s.8635s.97 ( s + ( s +.5, f ( s e f, ( s, ( s s s ενώ ο πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου επιλέγεται της μορφής H c ( s h ( s c, hc, ( s (5.3 όπου ( ( h s h s c, c, (.s + (.s + (.3s + Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (9α και (9β ο προαντισταθμιστής υπολογίζεται ως ( G s ( ( ( ( g s g s,, g s g s,, (5.3 όπου 8

121 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων g g, g g, ( s,,.5s +.8s ( s ( s ( s ( s + ( s + ( s +.5e.5s (.s + (.s + (.3s +.5e.5s (.s + (.s + (.3s +.5s +.8s ( s + ( s + ( s + Πράγματι, αντικαθιστώντας τον προτεινόμενο ελεγκτή στο σύστημα ανοιχτού βρόχου (5.7 προκύπτει ο επιθυμητός πίνακας συνάρτησης μεταφοράς (5.3. Για να επιδειχθεί η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου, ο ελεγκτής θα εφαρμοστεί τόσο στο γραμμικοποιημένο όσο και στο μη γραμμικό μοντέλο του αντιδραστήρα όπου οι εξωτερικές εντολές επιλέγονται της μορφής w ( u ( s s και s w ( 4u ( s όπου us ( είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Στα Σχήματα 5. έως 5. παρουσιάζονται οι αποκρίσεις των μεταβλητών κατάστασης και των εισόδων ελέγχου του συστήματος. Σε ότι αφορά τις μεταβλητές απόδοσης (βλέπε Σχήματα 5. και 5., μπορεί να παρατηρηθεί ότι όντως είναι αποσυζευγμένες με συμπεριφορά που αντιστοιχεί στον επιθυμητό πίνακα συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου (5.3. Σε ότι αφορά τις υπόλοιπες μεταβλητές κατάστασης και τις εισόδους ελέγχου (βλέπε Σχήματα 5.3 έως 5., μπορεί να παρατηρηθεί ότι παραμένουν σε αποδεκτά όρια. Είναι σημαντικό να σημειωθεί πως οι μη γραμμικές και οι γραμμικοποιημένες αποκρίσεις είναι οπτικά όμοιες. 9

122 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων.8.6 x(, δ x( [ ] sec Σχήμα 5.: Απόκριση επιπέδου ισχύος στον πρώτο αντιδραστήρα για το γραμμικοποιημένο και μη γραμμικό μοντέλο (οπτικά όμοιες x(, δ x( [ ] sec Σχήμα 5.: Απόκριση επιπέδου ισχύος στον δεύτερο αντιδραστήρα για το γραμμικοποιημένο και μη γραμμικό μοντέλο (οπτικά όμοιες

123 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων 4 x3(, δ x3( [ ] sec Σχήμα 5.3: Επίπεδο καθυστερημένης ισχύος νετρονίων στον πρώτο πυρήνα για το γραμμικοποιημένο και μη γραμμικό μοντέλο (οπτικά όμοιες. 3 5 x4(, δ x4( [ ] sec Σχήμα 5.4: Επίπεδο καθυστερημένης ισχύος νετρονίων στον δεύτερο πυρήνα για το γραμμικοποιημένο και μη γραμμικό μοντέλο (οπτικά όμοιες.

124 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων x5(, δ x5( sec [ ] Σχήμα 5.5: Θερμοκρασία στον πρώτο πυρήνα για το γραμμικοποιημένο και μη γραμμικό μοντέλο (οπτικά όμοιες x6(, δ x6( sec [ ] Σχήμα 5.6: Θερμοκρασία στον δεύτερο πυρήνα για το γραμμικοποιημένο και μη γραμμικό μοντέλο (οπτικά όμοιες.

125 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων.5..5 x7(, δ x7( sec [ ] Σχήμα 5.7: Εξωτερική αντιδραστικότητα στο πρώτο πυρήνα για το γραμμικοποιημένο και μη γραμμικό μοντέλο (οπτικά όμοιες x8(, δ x8( sec [ ] Σχήμα 5.8: Εξωτερική αντιδραστικότητα στον δεύτερο πυρήνα για το γραμμικοποιημένο και μη γραμμικό μοντέλο (οπτικά όμοιες. 3

126 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων.5..5 u(, δ u( [ ] sec Σχήμα 5.9: Είσοδος ελέγχου στον πρώτο σερβοκινητήρα για το γραμμικοποιημένο και μη γραμμικό μοντέλο (οπτικά όμοιες u(, δ u( sec [ ] Σχήμα 5.: Είσοδος ελέγχου στον δεύτερο σερβοκινητήρα για το γραμμικοποιημένο και μη γραμμικό μοντέλο (οπτικά όμοιες. 4

127 Κεφάλαιο 5: Δυναμικοί Ελεγκτές Τετραγωνικής Αποσύζευξης Εισόδων Εξόδων 5.7 Συμπεράσματα Στο παρόν κεφάλαιο μελετήθηκε το πρόβλημα της παραγωγής ελεγκτών αποσύζευξης που δεν περιλαμβάνουν προβλεπτές, χρησιμοποιώντας είτε δυναμική ανατροφοδότηση κατάστασης είτε δυναμική ανατροφοδότηση εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή για την γενική κατηγορία γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές καθυστερήσεις. Και στις δύο περιπτώσεις αποδεδείχθηκε ότι το πρόβλημα είναι πάντα επιλύσιμο ενώ παρουσιάστηκς και η γενική μορφή των ελεγκτών αποσύζευξης. Τέλος, έγινε εφαρμογή της προτεινόμενης τεχνικής σε ένα αριθμητικό παράδειγμα και για την παραγωγή ενός δυναμικού ελεγκτή ανατροφοδότησης εξόδου στο μαθηματικό μοντέλο ενός πυρηνικού αντιδραστήρα συζευγμένων πυρήνων. Ο ελεγκτής παρουσιάστηκε αναλυτικά και εξετάστηκε η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου τόσο στο γραμμικοποιημένο όσο και στο μη γραμμικό μοντέλο της διεργασίας. Παρατηρήθηκε ότι οι αποκρίσεις των μεταβλητών απόδοσης ήταν όντως αποσυζευγμένες με συμπεριφορές που αντιστοιχούσαν στον επιλεγμένο πίνακα συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου. Σε ότι αφορά τις υπόλοιπες μεταβλητές κατάστασης και τις ενεργοποιήσιμες εισόδους, παρατηρήθηκε ότι παρέμεναν σε αποδεκτά όρια. 5.8 Βιβλιογραφία [] S.G. Tzafesas and P.N. Paraskevopoulos, On he decoupling of mulivariable conrol sysems wih imedelays, In. J. Conrol, vol. 7, pp , 973. [] R.P. Jacubow and M.M. Bayoumi, Decoupling of differenial difference sysems using sae feedback, In. J. Sysems Sci., vol. 8, pp , 977 [3] Z.V. Rekasius and R.L. Milzarek, Decoupling wihou predicion of sysems wih delays, JACC, p. II, pp , 977 [4] Z. Iwai, D.E. Seborg, D.G. Fisher and N. Kobayashi, Decoupling of linear ime varying, sysems wih ime delays in he conrol variables or sae variables, In. J. Conr., vol. 8, pp , 978 [5] M. Kono, Decoupling and arbirary coefficien assignmen in ime delay sysems, Sys. Conrol Le., vol. 3, pp , 983 [6] M.Z. Liu, Decoupling and coefficien assignmen for (A, B, C, D ime delay sysems, In. J. Conrol, vol. 5, pp. 89, 989 [7] O. Sename and J. F. Lafay, A sufficien condiion for saic decoupling wihou predicion of linear imeinvarian sysems wih delays, Proc. ECC 93, Groningen he Neherlands, vol. pp , 993 [8] O. Sename, R. Rabah and J. F. Lafay, Decoupling wihou predicion of linear sysems wih delays: A srucural approach, Sys. Con. Leers, vol. 5, pp , 995 [9] O. Sename and J. F. Lafay, Decoupling of Square linear sysems wih delays, IEEE Trans. Auoma. Con., vol. 4, pp , 997 [] F. N. Koumboulis, G. E. Panagioakis and P. N. Paraskevopoulos, Disurbance Reecion wih Simulaneous Decoupling of Neural Time Delay Sysems, Proceedings of he Inernaional Conference on Compuaional Ineligence for Modelling, Conrol and Auomaion CIMCA 5, Viena Ausria, vol., pp [] G. E. Panagioakis, F. N. Koumboulis and P. N. Paraskevopoulos, Oupu feedback decoupling of Neural Time Delay Sysem, submied [] P. N. Paraskevopoulos, F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and C. Balafas, I/O Decoupling via Dynamic Conrollers: A Sae Space Approach, in Proceedings of he IEEE Medierranean Conference on Conrol and Auomaion (MED 5, June 7 h 9 h, Limassol, Cyprus, 5 [3] P. B. Reddy and P. Sannui, Opimal Conrol of a Coupled Core Nuclear Reacor by Singular Perurbaion Mehod, IEEE Trans. Auoma. Con, vol., pp , 97 5

128

129 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Επίλυση του Προβλήματος του Morgan Στο παρόν κεφάλαιο μελετάται το πρόβλημα του Morgan, χρησιμοποιώντας πραγματοποιήσιμους ελεγκτές με δυναμική ανατροφοδότηση μετρήσιμων εξόδων και δυναμικό προαντισταθμιστή για την γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Αποδεικνύεται ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη για την επιλυσιμότητα του προβλήματος είναι ανεξάρτητη από την συνθήκη πραγματοποιησιμότητας και την δεξιά αντιστρεψιμότητα του πίνακα συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου. Επίσης προσδιορίζεται ρητά μια κατηγορία ελεγκτών που επιλύουν το πρόβλημα του Morgan. Η προτεινόμενη τεχνική εφαρμόζεται σε ένα σύστημα κεντρικής θέρμανσης για την επίτευξη θερμικής αυτονομίας. Με βάση το δυναμικό μοντέλο του συστήματος κεντρικής θέρμανσης, η απόδοση του προτεινόμενου σχήματος ελέγχου αναδεικνύεται επιτυχώς μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. 6. Εισαγωγή Το πρόβλημα του Morgan, δηλαδή το πρόβλημα της μη τετραγωνικής αποσύζευξης, έχει προσελκύσει σημαντικό ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια (βλέπε τις εργασίες [] [7] και τις εκεί αναφορές. Το πρόβλημα φαίνεται ότι είναι πολύ σημαντικό τόσο από θεωρητική όσο και από πρακτική σκοπιά για συστήματα πολλών εισόδων πολλών εξόδων. Παρά τις πολλές συνεισφορές για γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα το πρόβλημα δεν έχει λυθεί εντελώς μέσω στατικών ελεγκτών. Για την περίπτωση της δυναμικής ανατροφοδότησης το πρόβλημα έχει επιλυθεί στις εργασίες [3], [4], [4], [5] και [6]. Στο παρόν κεφάλαιο μελετάται για πρώτη φορά το πρόβλημα του Morgan για την κατηγορία των γενικών ουδετέρων συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις. Ο ελεγκτής που προτείνεται είναι ανατροφοδότησης μετρήσιμων εξόδων με δυναμικό πίνακα ανατροφοδότησης και δυναμικό προαντισταθμιστή. Προφανώς, απαιτείται για τον ελεγκτή να είναι πραγματοποιήσιμος. Για την ειδική κατηγορία της τετραγωνικής αποσύζευξης με ανατροφοδότηση κατάστασης ή εξόδων το πρόβλημα λύθηκε στην εργασία [8]. Εδώ, για την περίπτωση της μη τετραγωνικής ανατροφοδότησης μετρήσιμων εξόδων, προσδιορίζονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος και προσδιορίζεται αναλυτικά μια κατηγορία δυναμικών ελεγκτών που επιλύουν το πρόβλημα. Το πρόβλημα του Morgan φαίνεται ότι είναι ιδανική σχεδιαστική απαίτηση για θερμική αυτονομία σε συστήματα κεντρικής θέρμανσης. Πράγματι, διαφορετικές επιθυμητές θερμοκρασίες για 7

130 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan διαφορετικά δωμάτια είναι η πιο κοινή απαίτηση σε τέτοιες διατάξεις. Για τον λόγο αυτό, το πρόβλημα της μοντελοποίησης και του ελέγχου σε συστήματα κεντρικής θέρμανσης αποκτά σημαντικό ενδιαφέρον (βλέπε τις εργασίες [9] [8] και τις εκεί αναφορές. Στο παρόν κεφάλαιο, τα θεωρητικά αποτελέσματα εφαρμόζονται επιτυχώς στο δυναμικό μοντέλο με χρονικές καθυστερήσεις ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης το οποίο αναπτύσσεται εδώ για πρώτη φορά. Στο μοντέλο αυτό θεωρείται ότι η εξωτερική θερμοκρασία είναι ίδια για όλα τα δωμάτια και μεταβάλλεται αργά. Η καλή απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου σε ότι αφορά την θερμική αυτονομία αναδεικνύεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. Τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 6 δημοσιεύτηκαν στην εργασία F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, On he Morgan's Problem for Neural Time Delay Sysems via Dynamic Conrollers wih applicaion o a Tes Case Cenral Heaing Sysem, 8 h IEEE Inernaional Conference on Conrol Applicaions, July 8, 9, Sain Peersburg, Russia 6. Προκαταρτικά Θεωρήστε την γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις Ex q τ Ax q τ + Bu q τ (6.α q q q q q q i, i i, i i, i i i i q q q q Cy q τ Cx q τ (6.β i, i i, i i i n m όπου x( είναι το διάνυσμα κατάστασης, u( είναι το διάνυσμα των εισόδων, p y( είναι το διάνυσμα των μεταβλητών απόδοσης, τ ( i,, q είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που εκφράζουν τις καθυστερήσεις και q (,, q ; i,, q είναι μια πεπερασμένα i, ακολουθία ακεραίων. Οι ποσότητες q και q είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Προφανώς, εάν η q ποσότητα q τ είναι αρνητική τότε δηλώνει πρόβλεψη. Οι πραγματικοί πίνακες E, i, i i n γραμμές ενώ οι πίνακες C, C έχουν p γραμμές. Γενικά, θα θεωρηθεί ότι m i p. A, B έχουν Το ενδιαφέρον εστιάζεται στην εξαναγκασμένη απόκριση του συστήματος, δηλαδή για μηδενικές αρχικές και παρελθούσες τιμές ( x(, ( u για <. Ορίζοντας 8

131 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan T, e ( sτ ( sτ τ τ q exp exp q το σύστημα (6. μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο της συχνότητας από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων ( e ( ( e ( + ( e ( C( e Y ( s C( e X( s όπου X( s L { x( }, U( s L { u( }, ( μετασχηματισμός Laplace του σήματος, ενώ se X s A X s B U s (6.α ( e ( e ( e ( e ( e (6.β { } Y s L y( και όπου L {} είναι ο B E B E q q C A C A exp s q τ, i i i C C όπου exp e είναι το εκθετικό της ποσότητας. Το σύστημα εξισώσεων (6. μπορεί να διατυπωθεί σε κανονική μορφή ως ακολούθως ( ( ( + ( ( sx s A e X s B e U s (6.3α ( ( ( Y s C e X s (6.3β όπου A ( E e ( e A ( e, ( ( B E B ( e e e, ( ( C C C ( e e e συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου λαμβάνει την μορφή (, ( n ( ( ενώ η H s e C e si A e B e ( Επίλυση του Προβλήματος του Morgan με Δυναμική Ανατροφοδότηση Μετρήσιμων Εξόδων και Δυναμικό Προαντισταθμιστή Στην ενότητα αυτή, ο σχεδιαστικός στόχος είναι αυτός της μη τετραγωνικής αποσύζευξης με χρήση δυναμικής ανατροφοδότηση μετρήσιμων εξόδων και δυναμικό προαντισταθμιστή, δηλαδή η παραγωγή ενός συστήματος κλειστού βρόχου όπου κάθε έξοδος ελέγχεται από μία μόνο εξωτερική είσοδο. Έστω ( s r Ψ ο μετασχηματισμός Laplace του διανύσματος ψ ( που συμβολίζει τις μετρήσιμες εξόδους του συστήματος, όπου Ψ ( s L( e X( s μορφής. Ο νόμος ελέγχου προτείνεται της 9

132 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan όπου Ω ( s είναι το ( ( (, Ψ ( + (, Ω( U s K s e s G s e s (6.5 p διάνυσμα των εξωτερικών εισόδων. Τα στοιχεία των πινάκων K( s, e και G s, e είναι ρητές συναρτήσεις του s. Τα αντίστοιχα πολυώνυμα των αριθμητών και των s παρονομαστών είναι πολυμεταβλητές συναρτήσεις των,, q e τ. Αντικαθιστώντας τον ελεγκτή (6.5 στο σύστημα ανοιχτού βρόχου (6.3 το πρόβλημα της μη τετραγωνικής αποσύζευξης διατυπώνεται ως ακολούθως s e τ ( ( ( (, ( ( (, diag { (, n i } C e si A e B e K s e L e B e G s e h s e (6.6 όπου h ( s, i e είναι διαφορετικές από το μηδέν ρητές συναρτήσεις. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (6.6 το πρόβλημα του Morgan διατυπώνεται ως ακολούθως: Βρείτε K( s, e και G( s, e τέτοια ώστε η εξίσωση (6.6 ικανοποιείται. Από την Σχέση (6.6 μπορεί να παρατηρηθεί ότι ο προαντισταθμιστής G( s, ανατροφοδότησης K( s, κλειστού βρόχου, δηλαδή e περιορίζεται στο να είναι πλήρης στηλών ενώ ο πίνακας e περιορίζεται στο να διατηρείται η επιλυσιμότητα του συστήματος ( ( ( ( de si A e B e K s, e L e / n (6.7 Όπως θα αποδειχθεί στο Θεώρημα 6. που ακολουθεί, ο πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου πρέπει να είναι δεξιά αντιστρέψιμος και συνεπώς πρέπει να ισχύει ότι m p. Εάν m p ορίζουμε H ˆ ( s, H ( s, e e. Εάν m > p έστω (, e ( s, e H s ˆ (, ; de ˆ H s e H ( s, e / H (6.8 Προφανώς η επιλογή της επαύξησης H ( s, εναλλακτικές επιλογές. Η πρώτη είναι (, T υ e δεν είναι μοναδική. Εδώ, προτείνονται δύο H s T T e ke k e mp υm p όπου e είναι ένα m μοναδιαίο διάνυσμα γραμμή το οποίο έχει την μονάδα στην θέση και k i είναι κατάλληλοι πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί από το μηδέν. Οι ακέραιοι υ,, υ m επιλέγονται p

133 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan κατά τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το σύνολο ακεραίων {,, m} { υ,, υ m p} των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του H( s, e την ρύθμιση της νόρμας του πίνακα ( ˆ H s, e αντιστοιχεί στους δείκτες. Οι παράμετροι k μπορούν χρησιμοποιηθούν για i. Η δεύτερη επιλογή είναι (, ˆ e ( e ( e ( e n Hˆ s C si A B T T ˆ C ( e C ( e C ( e όπουe C ( e είναι ένας κατάλληλος πίνακας τέτοιος ώστε ο πίνακας H ˆ ( s, T e να είναι αντιστρέψιμος. Στο ακόλουθο θεώρημα προσδιορίζεται μια γενική κατηγορία ελεγκτών που λύνουν το πρόβλημα. Θεώρημα 6.: Το πρόβλημα του Μorgan για γενικά ουδέτερα συστήματα με χρονικές καθυστερήσεις με πραγματοποιήσιμο ελεγκτή δυναμικής ανατροφοδότησης μετρήσιμων εξόδων και δυναμικό προαντισταθμιστή, είναι επιλύσιμο αν και μόνο αν ο πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου είναι δεξιά αντιστρέψιμος. Η γενική κατηγορία πραγματοποιήσιμων ελεγκτών που επιλύουν το πρόβλημα είναι G ( s, I K ( s, L ( si A e ( e e m e n ( - ( } ( { i ( } ( T T ˆ B e H s, e diag h s, e N s, e (6.9α K s, e : αυθαίρετος πραγματοποιήσιμος (6.9β όπου h ( s, e i είναι διαφορετικές από το μηδέν ρητές συναρτήσεις και N( s, αυθαίρετος ρητός πίνακας αρκετά πραγματοποιήσιμος. Ο ρητός πίνακας K( s, να ικανοποιείται η σχέση (6.7. Απόδειξη: Η σχέση (6.6 μπορεί να γραφεί ως e είναι ένας e περιορίζεται ώστε H ( s, I K( s, L ( si A ( B e e e ( G( s, diag { h ( s, m e n e e e i } (6. Από την σχέση (6. προκύπτει η συνθήκη επιλυσιμότητας του προβλήματος του Morgan. Μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί ότι η παραγωγή της λύσης της σχέσης (6. παρεμποδίζεται από την μη

134 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan τετραγωνικότητα του πίνακα συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου H( s, Λαμβάνοντας υπόψη την επαύξηση στην σχέση (6.8, η σχέση (6. μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως H ˆ ( s, I K ( s, L ( si A e ( e e m e n ( } (, diag { (, } (, i e. T T B e G s e h s e N s e (6. όπου N( s, e είναι ένας κατάλληλος ρητός πίνακας. Λύνοντας την σχέση (6. ως προς G( s, e λαμβάνουμε την σχέση (6.9α. Προφανώς ο πίνακας ανατροφοδότησης K( s, e είναι αυθαίρετος αλλά θα πρέπει να επιλεγεί πραγματοποιήσιμος και να ικανοποιεί την σχέση (6.7. Για να είναι ο προαντισταθμιστής G( s, πίνακας diag { h ( s, } N ( s, i hi ( s, e αριστερά αντιστρέψιμος και πραγματοποιήσιμος, είναι απαραίτητο ο T T e e να είναι αρκετά πραγματοποιήσιμος και οι συναρτήσεις e να είναι διαφορετικές από το μηδέν. Οι εκφράσεις της γενικής κατηγορίας ελεγκτών που παρουσιάστηκαν στο Θεώρημα 6. είναι έμμεσες. Στο πόρισμα που ακολουθεί θα προταθούν αναλυτικές εκφράσεις για μια κατηγορία ελεγκτών που επιλύουν το πρόβλημα του Morgan. Πόρισμα 6.: Μια κατηγορία πραγματοποιήσιμων πινάκων ελεγκτών που επιλύουν το πρόβλημα του Morgan δίνεται από τις σχέσεις (6.9α και (6.9β με K( s, e κατάλληλο ως προς s με μηδενικό δείκτη πραγματοποιησιμότητας πίνακα ανατροφοδότησης και τον ελάχιστο δείκτη πραγματοποιησιμότητας των h ( s, e i και των στοιχείων του πίνακα N ( s, e να είναι μεγαλύτερος {, από το μείον δείκτη πραγματοποιησιμότητας των στοιχείων του πίνακα I K m ( s e - L ( si A ( B ( Hˆ n ( s, e e e e. 6.4 Δυναμικό Μοντέλο Συστήματος Κεντρικής Θέρμανσης Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστεί το γενικό δυναμικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης. Το σύστημα αποτελείται από το δίκτυο σωληνώσεων, δύο θερμαντικά σώματα, έναν λέβητα και δύο δωμάτια στα οποία είναι τοποθετημένα τα θερμαντικά σώματα (βλέπε Σχήμα 6..

135 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan q b T r, q T, T ou, k f, v T f, k f, v q T, T r, T f, T ou, ΔP T e T b Q burner Σχήμα 6.: Διάταξη συστήματος κεντρικής θέρμανσης δύο δωματίων. Για να παραχθεί το μη γραμμικό δυναμικό μοντέλο του συστήματος κεντρικής θέρμανσης, υποθέτουμε ότι όλοι οι αγωγοί στο δίκτυο σωληνώσεων έχουν την ίδια διάμετρο, τα θερμαντικά σώματα είναι όμοια, τα δωμάτια είναι όμοια και η επίδραση του λέβητα στο δίκτυο σωληνώσεων είναι μικρή και αγνοείται. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που παρουσιάστηκαν στις εργασίες [6] έως [8], το μη γραμμικό δυναμικό μοντέλο της διεργασίας λαμβάνει την μορφή ( ( (, ( ( (, ( τ(, ( τ(, (, ξ( E x u x f x x x u (6.α ( ( ( x ρ + x ρ + x ρ dρ.5πd L 3 (6.β τ( ( ( x ρ + x ρ d.5 d L 3 ρ π (6.γ τ( ( x ρ dρ.5πd L 3 3 (6.δ τ3( ( ( ( T N+ 5 N+ 7 y x x (6.ε 3

136 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan όπου ( ( ( ( ( ( x x x x x x 3 4 N + 3 ( ( ( ( ( x x x x x N+ 4 N+ 3 N+ 4 N+ 5 N+ 6 T ( ( ( ( ( ( ( ( ( x x q q q T T T T N+ 7 N+ 8 b, N,, N, ( ( ( ( ( T T T T T b r, f, r, f, T ( ( ( ( ( Δ ( ( ( ( u u u u u P Q k k 3 4 burner f, v f, v T ( ( ( ( T ( T ( T ( T 3 ou, ou, e ξ ξ ξ ξ ( ( ( ( T 3 τ τ τ τ ( (, ( τ(, ( τ(, (, ξ( f x x x u f ( x(, x( τ(, x ( τ(, u(, ξ( f 8( x(, x( τ(, x( τ(, u(, ξ N ( + T T ( (, u( E x ( (, ( ( N + E x u, 3 5 I ( N N + 5 e e e,,,3 E, ( x(, u( e e,, ( x(, u( e,3 e3, ( x(, u( e e 3, 3,3 όπου τα στοιχεία των παραπάνω πινάκων είναι της μορφής e 8Lρd π, e 8,, ( L + L ρd π, ( e 8Lρd π, e 8,,3 ( L + L ρd π e 8L + L + L + L ρd π. u,3 3, e 8Lρd π, e 3, 8Lρd 3,3 π (, 4ρπ { ( π 4 μ ψ (, ζ ρ ϑ(, r r r e x u, d L + L + d L d d u x d + x d x + 4 {.5 ( ( }} dπ μ ϑ x, d ψ x, d (, {(.5 ρπ π 4 μ ψ (, ζ ρ ϑ(, r r e x u Ld + L d u x d x d x 3, {.5 ( ( }} dπ μ ϑ x, d ψ x, d 4

137 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan ( (, (, τ(, (, ξ( ( ψ ( + ψ ( + ψ ( + ψ ( + ψ ( + ψ ( + ψ ( f x x u u ( (, (, τ(, (, ξ( ( ψ ( + ψ ( + ψ ( + ψ ( + ψ ( + ψ ( f x x u u ( (, (, τ(, (, ξ( ( ψ ( + ψ ( + ψ ( + ψ ( f x x u u π ζ ϑ ( x x x, d ψ ( xu, 8Lρd π ( x + x + x 3.5 ψ ( x x x, d dπμρ ( x + x + x 3 ϑ( x + x + x, d 3.5 ( + π ζ ϑ ( x x, d d π ψ( x + x, d 8L ρ x x 3 ψ ( xu, { 8 dπμρ ( x + x 3 ϑ( x + x, d 3 } ψ 3 + ( x d ( x d.5 8L x π ζ ρ 3 3 ϑ, 3 ψ3 ( xu, { 8 dπμρ x ϑ 3 ( x, d 3 } 5.5 d π ψ, 3 ( x dr ( x d 8L x ζ ρ + ϑ, ψ πμρ ϑ r 76 ( xu, { 8 d x ( x, d } Kx 5.5 r r d π +.5 r π ψ, r ( x dr ( x d 8L x ζ ρ + ϑ, ψ πμρ ϑ r 85 ( xu, { 8 d x ( x, d } Kx 5.5 r r d π +.5 r π ψ, r ( xu, LL ψ ( xu,, ψ ( xu, ψ ( xu,, ψ ( xu, ψ ( xu,, ψ ( xu, ψ ( xu, 34 u 3 3 ψ ( xu, 8 ud x, ψ( xd, ρxd μ ψ ρ π 7 3 8ρux 4 ( xu,, ϑ( xd, anh β β 8 4 d π 4ρx d πμ, 6, ( (, ( τ(, ( τ(, (, ξ( ( ( τ ( ( ϕ q N ( ϕ + ( f x x x u NH C x x x x ( (, ( τ(, ( τ(, (, ξ( f x x x u (( ϕ ( + ( ϕ ( ϕ ( NH C x q x x x + n ( ( ( N + n Φ C x x n ( ( ( N+ 6 Φ C x x for 5,, N + n 5 ( (, ( τ(, ( τ(, (, ξ( (( ( ( f x x x u C NH x x x N + 3 q N+ N+ 3 5

138 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan ( ( ( τ( ( τ( ( ξ( f x, x, x, u, N ( ( τ ( τ ( ( ϕ + + ( C NH x x x q N 4 N 4 ( (, ( (, ( (, (, τ τ ξ( f x x x u C NH (( ϕ ( ( ϕ ( ϕ ( n ( ( ( N+ N+ n Φ 3 5 C x x n ( n 6 ( ( ( ϕx Φ C x x N+ 5 N+ 4 N+ 7 x x + x x + q n ( ( ( N+ Φ C x x for N + 5,, N + 6 n 7 ( (, ( τ(, ( τ(, (, ξ( (( ( ( f x x x u NH C x x x N + 3 q N+ N+ 3 ( ( ( τ( ( τ( ( ξ( f x, x, x, u, N + 4 n ( ( ( N+ N+ n Φ C x x C b a a at a x + u bin, N+ 4 T + w,max ( a b ( ( ( ( ρc + + C w ( x ( x ( x ( 3 ( xn 4 ( Tb, in ( + ( a ( a ( ( ( τ( ( τ( ( ξ( f x, x, x, u, N + 5 ( ( ( ξ ( ( ( + bin, N+ 4 3 bin, C b a at a x a a T N + 3 n n ( ( + ξ ( ( + 6 Φ ( ( ( C R x x C R x C N x x r f N+ 6 N+ 5 r ou N+ 5 r N+ 5 4 ( (, ( τ(, ( τ(, (, ξ( ( ( f x x x u C R x x N + 6 f f N+ 5 N+ 6 ( ( ( τ( ( τ( ( ξ( f x, x, x, u, N x x x C N x x CR CR ξ N 3 n n ( ( + ( ( + 6 Φ ( ( ( N+ 7 N+ 8 N+ 7 r N+ 7 r f r ou N+ 4 { ( (, ( τ(, ( τ(, (, ξ( ( ( f x x x u C R x x N + 8 f f N+ 8 N+ 7 ( ( τ ( ( τ ( τ ( T x x + bin, 6

139 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan ( τ ( τ ( ( τ ( ( τ ( x 3 x + x 5 + ( τ ( ( τ ( τ ( ( τ ( τ ( x 3 x x 7 ( τ ( τ ( τ ( τ ( τ ( ( } x x ( τ ( + ( τ ( + ( τ ( x x x 3 ( τ ( τ ( + ( τ ( τ ( x x 3 όπου q, q και q είναι οι ογκομετρικές παροχές στο πρώτο σώμα, στο δεύτερο σώμα και στο δίκτυο b παράκαμψης αντίστοιχα (μεταβλητές κατάστασης, T και T είναι οι θερμοκρασίες στο τμήμα του,, πρώτου και του δεύτερου θερμαντικού σώματος αντίστοιχα (μεταβλητές κατάστασης, T είναι η b θερμοκρασία εξόδου του λέβητα (μεταβλητή κατάστασης, T, T, T και T είναι οι r, r, f, f, θερμοκρασίες αέρα και δαπέδου στο πρώτο και δεύτερο δωμάτιο αντίστοιχα (μεταβλητές κατάστασης, Δ P, Q, burner k και fv, k είναι η πίεση της αντλίας, η παροχή ενέργειας στον λέβητα και fv, οι συντελεστές πτώσης πίεσης των βαλβίδων αντίστοιχα (ενεργοποιήσιμες είσοδοι, T, T και T ou, ou, e είναι οι εξωτερικές θερμοκρασίες του πρώτου και δεύτερου δωματίου και η θερμοκρασία του δωματίου του λέβητα αντίστοιχα (διαταραχές, d και d είναι οι διάμετροι των αγωγών και των r θερμαντικών σωμάτων αντίστοιχα, L, L, L, L και L 3 u r είναι τα μήκη των αγωγών που συνδέουν την αντλία με την πρώτη βαλβίδα, την πρώτη βαλβίδα με την δεύτερη βαλβίδα, την δεύτερη βαλβίδα με το στοιχείο αναστροφής και το ισοδύναμο μήκος του στοιχείου αναστροφής και το μήκος του θερμαντικού σώματος αντίστοιχα, ζ, β και β είναι παράμετροι ρύθμισης συνθηκών ροής, K είναι ο συντελεστής πτώσης πίεσης εξαιτίας της τύρβης στην είσοδο του θερμαντικού σώματος, C w και ρ είναι η θερμοχωρητικότητα και η πυκνότητα του νερού αντίστοιχα, C, Φ και N είναι η συνδυασμένη θερμοχωρητικότητα του νερού και του υλικού του θερμαντικού σώματος, η ονομαστική ισχύς του θερμαντικού σώματος και ο αριθμός των τμημάτων του σώματος αντίστοιχα, n και ϕ είναι παράμετροι του μοντέλου του σώματος, C είναι η θερμοχωρητικότητα του λέβητα, a είναι ο ρυθμός b απώλειας θερμότητας από το χιτώνιο του λέβητα προς το περιβάλλον, T είναι η μέγιστη w,max θερμοκρασία εξόδου του λέβητα, a και a είναι παράμετροι που συνδέουν την μέση θερμοκρασία του λέβητα με την απόδοσή του, a είναι συντελεστής που συνδέει την μέση θερμοκρασία του λέβητα με την θερμοκρασία εισόδου και εξόδου του νερού, C και f C είναι οι θερμοχωρητικότητες του r 7

140 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan δαπέδου και του δωματίου αντίστοιχα, R και f R είναι οι θερμικές αντιστάσεις μεταξύ του ou δωματίου και του δαπέδου και του δωματίου και του περιβάλλοντος αντίστοιχα και τ, τ και τ 3 είναι καθυστερήσεις λόγω μεταφοράς μέσα στο δίκτυο σωληνώσεων Ορίζοντας δ y( y( y, δ x( x( x, δ u( u( u, ( ( δξ ξ ξ και (,,,,,,,, ξ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (, (,,,,,,,, ξ τ τ τ τ τ τ τˆ τˆ τˆ τˆ τˆ τˆ f x x x x x x x u E x u f x x x x x x x u και πραγματοποιώντας απλούς υπολογισμούς, μπορεί να παρατηρηθεί ότι η γραμμικοποιημένη προσέγγιση του μη γραμμικού μοντέλου (6. είναι της μορφής δx + E δx + E δx + E δx A δx + A δx + τˆ τˆ 3 τˆ τˆ 3 A δx + A δx + B δu + J δξ, δ y C δ x (6.3 τˆ 3 τˆ 3 Η γραμμικοποίηση λαμβάνει χώρα γύρω από ένα σημείο λειτουργίας o o όπου {, ξ,,,,,,,} και o { u, ξ, x, x, x, x, x, x, x τˆ τˆ τˆ τˆ τˆ τˆ } o u x x x x γραμμικοποιημένου μοντέλου λαμβάνουν την μορφή 3 3. Οι πίνακες του A f x, A f x, A f x o o τˆ o o τˆ o o A f x, E f x, E f x, E f x, B f u, 3 τˆ3 o o τˆ o o τˆ o o J ( N 4 f ξ, C + o o ( N τˆ3 o o o o όπου ˆτ τ, ˆτ τ + τ, τˆ τ τ τ και όπου τ.5d Lπ( x x x + +, 3 τ.5d L π ( x + x και 3 τ.5d Lπx Πρέπει να σημειωθεί ότι το μη γραμμικό μοντέλο (6. περιλαμβάνει χρονικές καθυστερήσεις που εξαρτούνται από τις μεταβλητές κατάστασης ενώ η γραμμικοποιημένη προσέγγιση (6.3 έχει παραχθεί θεωρώντας ότι αυτές οι καθυστερήσεις είναι σταθερές. Αυτή η υπόθεση είναι έγκυρη (βλέπε [6] [8] για ένα μεγάλο εύρος εισόδων και διαταραχών, σίγουρα όταν οι χρονομεταβλητές χρονικές καθυστερήσεις δεν αποκλίνουν σημαντικά από τις ονομαστικές τους τιμές. 8

141 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan 6.5 Ανεξάρτητος Έλεγχος Θερμοκρασίας Δωματίων για Σύστημα Κεντρικής Θέρμανσης Στην ενότητα αυτή, η γραμμικοποιημένη προσέγγιση (6.3 του μη γραμμικού μοντέλου (6. του συστήματος κεντρικής θέρμανσης θα χρησιμοποιηθεί για την ανάπτυξη ενός δυναμικού ελεγκτή που θα περιλαμβάνει καθυστερήσεις ο οποίος θα επιλύει το πρόβλημα το Morgan, όπως περιγράφηκε στην Ενότητα 6.3. Πρέπει να σημειωθεί πως για ένα τυπικό σύστημα κεντρικής θέρμανσης, ο αριθμός των εισόδων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των μεταβλητών απόδοσης. Επιπλέον είναι επιθυμητό να επιτυγχάνεται ανεξάρτητος έλεγχος θερμοκρασίας σε κάθε δωμάτιο. Συνεπώς, το πρόβλημα του Morgan βρίσκει σημαντική εφαρμογή. Για να κατασκευαστεί ο ελεγκτής θα υποθέσουμε ότι οι τιμές των παραμέτρων του μαθηματικού μοντέλου του συστήματος κεντρικής θέρμανσης είναι L m, L 3m, L.5 m 3, L.4 m u, 3 ρ 97.8 Kgr m, L m r, d.9653 m r, d.5 m, Φ.395 W, μ.3547 Pa s, N, ϕ, K., C 36 KJ K, C 7555 J K f, n.5, a 9, a, a., C 4368 J K r, T C w,max, a 5.6 W K, C 47 J K Kgr w, β 3, C 44 J K b, R.333 K W f, β.89, R.64 K W ou και ζ.36. Επιπλέον, θα υποθέσουμε ότι οι ονομαστικές τιμές των εισόδων και των διαταραχών είναι u 5 Pa, u 8 W, u, u 4, 3 4 ξ 3 C, ξ 3 C, ξ 4 C 3 οπότε οι ονομαστικές τιμές των μεταβλητών κατάστασης υπολογίζονται ως x l hr, x 3.93 l hr, x 53.5 l hr 3, x 68.6 C 4, x 67.6 C 5, x 47.9 C 6, x 36.9 C 7, x 68.7 C 8, x 8.4 C 9, x 8.4 C, x 5.3 C, x 5.3 C. Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω δεδομένα, μπορούν εύκολα να υπολογιστούν οι πίνακες του γραμμικοποιημένου μοντέλου (6.3 καθώς και ο πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου. Ο πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος k ανοιχτού βρόχου θα επαυξηθεί από τον πίνακα H ( s, e k όπου k και k. Οι μετρήσιμες μεταβλητές είναι οι θερμοκρασίες των δωματίων, δηλαδή L 8 8 9

142 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan Τέλος, ο πίνακας N( s, e επιλέγεται της μορφής (, e N s 4 sτ όπου N ( s, ρe ( / kσ s + k (, e (, e (, e (, e N s N s N s N s 3 4 e και όπου ρ, σ για,, 4, ενώ ο αποσυζευγμένος πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου επιλέγεται της μορφής { hi ( s e } diag, sτ όπου h ( s, e ( / kλ s + i i 4 k h ( s e, h, ( s e e for i,. Προφανώς, οι παράμετροι λ πρέπει να είναι i θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η ευστάθεια του πίνακα συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου. Στην συνέχεια θα υποθέσουμε ότι σ 6 για,, 4 και λ 6 για i,, k 9.47, k 7.5, ρ 49.98, ρ 96.9, i ρ 4.8 και ρ Τα στοιχεία του πίνακα K επιλέγονται πραγματικοί αριθμοί. Οι τιμές 3 4 τους επιλέγονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε ο χρόνος ανύψωσης του γραμμικοποιημένου συστήματος κλειστού βρόχου που προκύπτει από την εφαρμογή του όρου της ανατροφοδότησης του ελεγκτή να βελτιώνεται σε σχέση με το σύστημα ανοιχτού βρόχου. Ενδεικτικά, επιλέγοντας K T ο χρόνος ανύψωσης του αντίστοιχου συστήματος κλειστού βρόχου βελτιώνεται περισσότερο από 5% κατά μέσο όρο. Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω δεδομένα καθώς και την σχέση (6.9α, μπορεί εύκολα να υπολογιστεί ο προαντισταθμιστής. Για λόγους προσομοίωσης, οι εξωτερικές εντολές επιλέγονται της μορφής w ( C και ( w C ενώ οι διαταραχές θα θεωρηθούν ίσες με τις ονομαστικές τους τιμές. Ενδεικτικά, στα Σχήματα 6. έως 6.6 παρουσιάζεται η απόκριση του μη γραμμικού συστήματος κλειστού βρόχου όταν εφαρμοστεί ο ελεγκτής που επιλύει το πρόβλημα του Morgan. Ειδικότερα, στο Σχήμα 6. παρουσιάζονται οι ογκομετρικές παροχές του νερού μέσα στα θερμαντικά σώματα, στο Σχήμα 6.3 παρουσιάζονται οι θερμοκρασίες των θερμαντικών σωμάτων, στο Σχήμα 6.4 παρουσιάζεται η θερμοκρασία εξόδου του λέβητα, στο Σχήμα 6.5 παρουσιάζονται οι θερμοκρασίες των 3

143 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan δωματίων ενώ στο Σχήμα 6.6 παρουσιάζονται οι ενεργοποιήσιμες είσοδοι. Σε ότι αφορά τα Σχήματα 6. και 6.6 πρέπει να σημειωθεί ότι οι αποκρίσεις έχουν κανονικοποιηθεί έτσι ώστε να μεταβάλλονται μεταξύ των τιμών και. Αυτές οι αποκρίσεις μπορούν να αποκανονικοποιηθούν λαμβάνοντας υπόψη ότι οι μέγιστες και οι ελάχιστες τιμές των αντίστοιχων μεταβλητών είναι x 54.5,,min x 387.8, x 3.9, x 5.9, u 5, u 555.3, u 799.6,,max,min,max,min,max,min u 47.4, u 3.3, u.36, u και u Σε ότι αφορά,max 3,min 3,max 4,min 4,max τις μεταβλητές απόδοσης (βλέπε Σχήμα 6.5 μπορεί να παρατηρηθεί ότι η απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου είναι οπτικά όμοια με την απόκριση της αποσυζευγμένης συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου. Πράγματι, η μέγιστη τιμή του σφάλματος για την μεταβλητή x είνα 9.3 C ενώ για την μεταβλητή x είναι.37 C. Σε ότι αφορά τις ενεργοποιήσιμες εισόδους (βλέπε Σχήμα 6.6 μπορεί να παρατηρηθεί ότι παραμένουν σε αποδεκτά επίπεδα. Σε ότι αφορά την θερμοκρασία του λέβητα και τις θερμοκρασίες των θερμαντικών σωμάτων πρέπει να σημειωθεί ότι παραμένουν αρκετά κάτω από το όριο βρασμού. Τέλος, σε ότι αφορά τις ογκομετρικές παροχές του νερού στα διάφορα τμήματα του δικτύου, παραμένουν μέσα στα όρια των περιορισμών του μη γραμμικού μαθηματικού μοντέλου. Πρέπει να σημειωθεί ότι ο ογκομετρική παροχή του νερού στο τμήμα της αναστροφής και οι θερμοκρασίες των δαπέδων δεν παρουσιάζονται. Σε ότι αφορά τις θερμοκρασίες των δαπέδων, αυτές φαίνεται ότι αυξάνονται πολύ αργά. Η αύξηση της θερμοκρασίας είναι πολύ αργή εξαιτίας της μεγάλης θερμοχωρητικότητας των δαπέδων ενώ ο χρόνος ανύψωσης είναι της τάξης των αρκετών ορών. Σε ότι αφορά την ροή στο δίκτυο αναστροφής, μπορούν να εξαχθούν τα ίδια συμπεράσματα με τις υπόλοιπες ροές. 3

144 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan Normalized Radiaor Flow Raes Time hours 9 Σχήμα 6.: Κανονικοποιημένες αποκρίσεις ροής 8 RadiaorTemperaures C Time hours Σχήμα 6.3: Αποκρίσεις θερμοκρασίας θερμαντικών σωμάτων 3

145 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan 9 Boiler Effluen Temperaure C Time hours Σχήμα 6.4: Απόκριση θερμοκρασία εξόδου λέβητα 9 RoomTemperaures C Time hours Σχήμα 6.5: Αποκρίσεις θερμοκρασίας δωματίων 33

146 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan Normalized Acuaable Inpus Time hours Σχήμα 6.6: Κανονικοποιημένες αποκρίσεις ενεργοποιήσιμες εισόδων 6.6 Συμπεράσματα Στο παρόν κεφάλαιο, με κίνητρο την απαίτηση για ανεξάρτητο έλεγχο θερμοκρασίας σε διαφορετικά δωμάτια ενός κτηρίου μέσω συστημάτων κεντρικής θέρμανσης, μελετήθηκε για πρώτη φορά το πρόβλημα του Morgan για την κατηγορία των γενικών ουδετέρων συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις. Ο ελεγκτής που προτάθηκε ήταν ανατροφοδότησης μετρήσιμων εξόδων με δυναμικό πίνακα ανατροφοδότησης και δυναμικό προαντισταθμιστή, ενώ προσδιορίστηκαν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος και παρουσιάστηκε αναλυτικά μια κατηγορία δυναμικών ελεγκτών που επιλύουν το πρόβλημα. Τα θεωρητικά αποτελέσματα εφαρμόστηκαν επιτυχώς στο δυναμικό μοντέλο με χρονικές καθυστερήσεις ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης το οποίο αναπτύχθηκε εδώ για πρώτη φορά. Η καλή απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου αναδείχθηκε μέσω υπολογιστικών πειραμάτων όπου αποδείχθηκε ότι επιτυγχάνεται σχετική αυτονομία. 6.7 Βιβλιογραφία [] C. Commaul, J. Descusse, J.M. Dion, J.F. Lafay, and M. Malabre, Abou new decoupling invarians: The essenial orders, In. J. Conr., 44, 689 7, 986. [] J. Descusse, J.F. Lafay, and V. Kucera, Decoupling by resriced sae feedback: he general case, IEEE Trans. Auoma. Conr., 9, 79 8,

147 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan [3] J. Descusse, J.F. Lafay, and M. Malabre, Soluion o Morgan's problem, IEEE Trans. Auoma. Conr., 33, , 988. [4] J. M. Dion, and C. Commaul, The minimal delay decoupling problem: feedback implemenaion wih sabiliy, Siam J. Conrol Opim., 6, 66 8, 988. [5] A. N. Herrera H., and J.F. Lafay, New resuls abou Morgan's problem, IEEE Trans, Auoma. Conr., 38, , 993. [6] S. Kamiyama and K. Furua, Decoupling by resriced sae feedback, IEEE Trans. Auoma. Conr.,, 43 45, 976. [7] F. N Koumboulis, Morgan's problem and daa sensiiviy, Proc. 3d European Conrol Conference, Rome, Ialy, , 995. [8] F. N. Koumboulis, T.G. Koussiouris and M. G. Skarpeis, "Robus Morgan s problem", Circuis, Sysems and Signal Processing, 3, 77 3, 4. [9] T. G. Koussiouris and M. Zervos, On he solvabiliy of Morgan's problem I. Necessary and sufficien condiions for decoupling by sae feedback and a consan singular inpu ransformaion, IMA J. of Mah. Conr. and Informaion,, 93. [] T. G. Koussiouris, and M. Zervos, On he deerminaion of he essenial orders and he zero srucure a infiniy from he sysem marix, Proc. Europ. Conr. Conf., Grenoble France, , 99. [] T. G. Koussiouris and M.G. Skarpeis, New resuls concerning he solvabiliy of Morgan's problem, Proc. of he Circui, Sysems and Compuers '996, Inernaional Conference, Hellenic Naval Academy, Piraeus, Greece. [] B. Morgan, The synhesis of linear mulivariable sysem by sae variable feedback, IEEE Trans. on Auoma. Conrol, 9, 45 4, 964. [3] A. S. Morse and W. M. Wonham, Saus of non ineracing conrol, IEEE Trans. Auoma. Conr., 6, , 97. [4] P. S. P. da Silva and V. M. P Leie, Decoupling by dynamic measuremen feedback wih sabiliy: necessary and sufficien condiions, IEEE Transacions on Auomaic Conrol, 37, pp. 6 63, 99 [5] P. Zagalak, J.F. Lafay and A.N.Herrera H., The row by row decoupling via sae feedback: A polynomial approach, Auomaica, 9, , 993. [6] V. Eldem, Decoupling hrough Specified Inpu Oupu Channels wih Inernal Sabiliy, Auomaica, 3, pp , 996. [7] F. N Koumboulis, M. G. Skarpeis and T. G. Koussiouris, A polynomial marix approach for he soluion of he robus Morgan s problem via resriced sae feedback, Proceedings of he 44 h Conference on Decision and Conrol European Conrol Conference (CDC ECC 5, Seville, Spain, 5 [8] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Dynamic Conrollers for I/O Decoupling of Neural Time Delay Sysems wih Applicaion o a Coupled Core Nuclear Reacor, Proceedings of he European Conrol Conference (ECC 7, Kos, Greece, 5 [9] M.N. Malik, M. Afzal, G.F. Tariq and N. Ahmed, Mahemaical Modeling and Compuer Simulaion of Transien Flow in Cenrifuge Cascade Pipe Nework wih Opimizing Techniques, Compuers and Mahemaics wih Applicaions, vol. 36, no. 4, 998, pp [] C. Arlsanurk and A.F. Ozguc, Opimizaion of a Cenral Heaing Radiaor, Applied Energy, vol. 83, no., 6, pp [] M. Zaheer Uddin, G.R. Zheny and S. H. Cho, Opimal Operaion of an Embedded Piping Floor Heaing Sysem wih Conrol Inpu Consrains, Energy Conversion and Managemen, vol. 38, no. 7, 994, pp [] Z. Liao and F. Parand, Develop a Dynamic Model of Gas and Oil Burned Boilers for Opimizaion of Boiler Conrol in Cenral Heaing Sysems, Canadian Conference on Building Energy Simulaion, Sepember 3,, Monréal, Canada [3] A. Zanobini, G. Luculano and A. Papini, Cenral Heaing Conrol: a New Technique o Gauge Room Temperaure, IEEE Insrumenaion and Measuremen Technology Conference, May 8, 998, S. Paul, USA [4] F. Mendi, K. Boran and M.K. Kulekci, Fuzzy Conrolled Cenral Heaing Sysem, Inernaional Journal of Energy Research, vol. 6, no. 5,, pp [5] N. Morel, M. Bauer, M. El Khoury and J. Krauss, NEUROBAT: A Predicive and Adapive Heaing Conrol Sysem Using Arificial Neural Neworks, Inernaional Journal of Solar Energy, vol.,, pp. 6 [6] N. D. Kouvakas, F.N. Koumboulis and P.N. Paraskevopoulos, Modeling and Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem, 6 h WSEAS Inernaional Conference on Circuis, Sysems, Elecronics, Conrol and Signal Processing, December 9 3, 7, Cairo, Egyp 35

148 Κεφάλαιο 6: Επίλυση του Προβλήματος του Morgan [7] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Analyic Modeling and Meaheurisic PID Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem, WSEAS Transacions on Sysems and Conrol, no., vol. 3, 8, pp [8] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Dynamic Disurbance Reecion Conrollers for Neural Time Delay Sysems wih Applicaion o a Cenral Heaing Sysem, Inernaional Conference on Modeling Idenificaion and Conrol, June 9 July, 8, Shanghai, China 36

149 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο Στο παρόν κεφάλαιο επιλύεται το πρόβλημα του ταιριάσματος σε μοντέλο χρησιμοποιώντας δυναμικούς πραγματοποιήσιμους ελεγκτές για την γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις. Αρχικά μελετάται η ειδική περίπτωση του ταιριάσματος σε μοντέλο για ουδέτερα συστήματα μιας εισόδου μιας εξόδου με ανατροφοδότηση εξόδου ενώ στη συνέχεια τα αποτελέσματα επεκτείνονται για την επίλυση του προβλήματος του ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών για την γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με δυναμική ανατροφοδότηση μετρήσιμων εξόδων. Και για τις δύο περιπτώσεις προσδιορίζονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα των προβλημάτων και παρουσιάζονται οι γενικές περιγραφές των πραγματοποιήσιμων ελεγκτών που επιτυγχάνουν τον σχεδιαστικό στόχο. Τα αποτελέσματα εφαρμόζονται στο μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος δύο αναμίκτων σε σειριακή σύνδεση, στο μαθηματικό μοντέλο μιας μηχανής εσωτερικής καύσης σε κατάσταση βραδυπορίας, καθώς και σε ένα αριθμητικό παράδειγμα. 7. Εισαγωγή Το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο έχει προσελκύσει σημαντικό ενδιαφέρον για την ειδική περίπτωση των επιβραδυμένων συστημάτων μιας καθυστέρησης (βλέπε τις εργασίες [] [4]. Όλα τα αποτελέσματα εστιάζονται προς την παραγωγή πραγματοποιήσιμων ελεγκτών, δηλαδή ελεγκτών που δεν περιλαμβάνουν προβλεπτές. Στην εργασία [5] λύνεται το πρόβλημα για ουδέτερα συστήματα μιας χρονικής καθυστέρησης με πραγματοποιήσιμους δυναμικούς ελεγκτές. Το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών είναι ιδανικός σχεδιαστικός στόχος που παρέχει έλεγχο στις μεταβλητές απόδοσης χωρίς επίδραση των διαταραχών. Ο σχεδιαστικός στόχος εισήχθη στην εργασία [6] όπου το πρόβλημα επιλύθηκε για την περίπτωση των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων συστημάτων γενικευμένου χώρου κατάστασης. Το πρόβλημα του εύρωστου ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών μελετήθηκε στην εργασία [7] για την περίπτωση των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων κανονικών αβέβαιων συστημάτων. Στην εργασία [8] το πρόβλημα μελετήθηκε για την περίπτωση των αριστερά αντιστρέψιμων ουδετέρων συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις η σχεδιαστική απαίτηση ικανοποιούταν χρησιμοποιώντας αναλογικούς ελεγκτές. 37

150 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο Ειδικότερα στην εργασία [8] ο αναλογικός ελεγκτής ήταν τύπου ανατροφοδότησης μετρήσιμων εξόδων. Επειδή η αναλογικότητα των ελεγκτών οδηγούσε σε αρκετά αυστηρές συνθήκες επιλυσιμότητας και για να διευρυνθεί η κατηγορία των συστημάτων στα οποία ικανοποιείται η σχεδιαστική απαίτηση του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών προτάθηκε η χρήση δυναμικών ελεγκτών. Στην εργασία [9] μελετήθηκε το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών για ουδέτερα συστήματα μίας εισόδου μίας εξόδου. Στο παρόν κεφάλαιο παράγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές καθυστερήσεις μιας εισόδου μιας εξόδου με χρήση δυναμικής ανατροφοδότησης εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή ενώ επίσης παρουσιάζεται και η γενική λύση των αντίστοιχων πραγματοποιήσιμων ελεγκτών. Τα αποτελέσματα εφαρμόζονται στο μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος δύο αναμίκτων σε σειριακή σύνδεση καθώς και σε ένα αριθμητικό παράδειγμα. Τα θεωρητικά αποτελέσματα καλύπτουν την λύση του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο για την γενική κατηγορία των αριστερά αντιστρέψιμων επιβραδυμένων συστημάτων πολλαπλών καθυστερήσεων, ενώ επίσης καλύπτονται και άλλες κατηγορίες ουδετέρων ή επιβραδυμένων συστημάτων (π.χ. για ανάλογες καθυστερήσεις. Στην συνέχεια, μελετάται το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο για την κατηγορία των αριστερά αντιστρέψιμων ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές καθυστερήσεις χρησιμοποιώντας δυναμική ανατροφοδότηση μετρήσιμων εξόδων και αντισταθμιστή των μετρήσιμων διαταραχών. Το δυναμικό τμήμα του ελεγκτή που συνδέει τις μετρήσιμες εξόδους και τις διαταραχές με τις εισόδους θεωρείται ότι είναι πραγματοποιήσιμο. Για αυτού του τύπου ελεγκτές και συστήματα ανοιχτού βρόχου παράγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών και παρουσιάζεται η αναλυτική έκφραση των πινάκων του ελεγκτή που επιλύουν το πρόβλημα. Για να αναδειχθεί η αποτελεσματικότητα των θεωρητικών αποτελεσμάτων, αυτά εφαρμόζονται στο μαθηματικό μοντέλο μιας μηχανής εσωτερικής καύσης σε κατάσταση βραδυπορίας. Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με δυναμικό ελεγκτή ικανοποιείται ενώ η αντίστοιχη προσέγγιση με αναλογικό ελεγκτή αποτυγχάνει. Τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 7 δημοσιεύτηκαν στις εργασίες F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas, P. N. Paraskevopoulos, Model Maching of SISO Neural Time Delay Sysems via Oupu Feedback, Proceedings of he 5 h Medierranean Conference on Conrol and Auomaion (MED 6, Ahens, Greece, 7. F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Dynamic Measuremen Oupu 38

151 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο Feedback Conrollers for Exac Model Maching and Disurbance Reecion of General Linear Neural Time Delay Sysems, 7h Medierranean Conference on Conrol and Auomaion, June 4 6, 9, Thessaloniki, Greece. 7. Ταίριασμα σε Μοντέλο Συστημάτων Μιας Εισόδου Μιας Εξόδου Θεωρήστε την γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων μιας εισόδου μιας εξόδου με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις Ex q τ Ax q τ + bu q τ (7.α q q q q q q i, i i, i i, i i i i q q q q cy q τ cx q τ (7.β i, i i, i i i n όπου x( είναι το διάνυσμα κατάστασης, u ( είναι η είσοδος του συστήματος, y ( είναι η μεταβλητή απόδοσης, τ ( i,, q είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που εκφράζουν τις i καθυστερήσεις και q (,, q ; i,, q είναι μια πεπερασμένα ακολουθία ακεραίων. Οι i, ποσότητες q και q είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Προφανώς, εάν η ποσότητα q τ είναι, i i αρνητική τότε δηλώνει πρόβλεψη. Οι πραγματικοί πίνακες πραγματικοί πίνακες c και c έχουν μια γραμμή. E, q i A και b έχουν n γραμμές ενώ οι Το ενδιαφέρον εστιάζεται στην εξαναγκασμένη απόκριση του συστήματος, δηλαδή για μηδενικές αρχικές και παρελθούσες τιμές ( x(, ( u για <. Ορίζοντας T τ τ q ( sτ ( sτ e exp exp q το σύστημα (7. μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο της συχνότητας από την ακόλουθη ομάδα εξισώσεων ( e ( ( e ( + ( e ( se X s A X s b U s (7.α ( e ( ( e ( όπου X( s L { x( }, U ( s L { u( }, ( μετασχηματισμός Laplace του σήματος, ενώ c Y s c X s (7.β { } Y s L y ( και όπου L {} είναι ο 39

152 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο όπου exp e σε κανονική μορφή ως ακολούθως q q E ( e E exp s q τ, i i i q q A ( e A exp s q τ, i i i q q b ( e b exp s q τ, i i i q q c ( e c exp s q τ, i i i q q c( e c exp s q τ, i i i είναι το εκθετικό της ποσότητας. Το σύστημα εξισώσεων (7. μπορεί να γραφτεί ( ( ( + ( ( sx s A e X s b e U s (7.3α ( ( ( Y s c e X s (7.3β όπου A ( E e ( e A ( e, b ( e E ( e b ( e, ( c e c c ( e ( e ενώ η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου λαμβάνει την μορφή (, ( n ( ( h s e c e si A e b e ( Διατύπωση του Προβλήματος του Ακριβούς Ταιριάσματος σε Μοντέλο με Δυναμική Ανατροφοδότηση Εξόδου και Δυναμικό Προαντισταθμιστή Στην ενότητα αυτή, ο σχεδιαστικός στόχος είναι αυτός του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με δυναμική ανατροφοδότηση εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή, δηλαδή να παραχθεί μια συνάρτηση μεταφοράς συστήματος κλειστού βρόχου που θα έχει την επιθυμητή μορφή. Ο νόμος ελέγχου προτείνεται να είναι της μορφής ( (, ( + (, Ω( U s k s e Y s g s e s (7.5 4

153 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο όπου Ω ( s είναι η εξωτερική είσοδος. Τα κέρδη της ανατροφοδότησης και του προαντισταθμιστή ( e και gs, ( k s, e είναι ρητές συναρτήσεις του s. Τα αντίστοιχα πολυώνυμα των αριθμητών και s των παρονομαστών έχουν συντελεστές που είναι πολυμεταβλητές συναρτήσεις των,, s q e τ e τ. Αντικαθιστώντας τον νόμο ελέγχου (7.5 στο σύστημα (7.3 μπορεί να παρατηρηθεί ότι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι της μορφής (, ( si A( B ( e e e e k (, c ( ( (, n s e e s e h s c b g c e (7.6 ενώ το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο διατυπώνεται φορμαλιστικά από την ακόλουθη εξίσωση ή ισοδύναμα όπου ms, ( c (, (, h s e m s e (7.7α ( si A( B ( k (, c ( e e e ( (, (, n s e e s e e c b g m s e (7.7β e είναι η επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου η οποία είναι ρητή συνάρτηση του s με αριθμητή και παρονομαστή πολυώνυμα των οποίων οι συντελεστές s είναι πολυμεταβλητές ρητές συναρτήσεις των,, s q e τ e τ (ή πιο συμπαγώς του e. Για να είναι το συγκεκριμένο πρόβλημα επιλύσιμο με πραγματοποιήσιμο ελεγκτή είναι αναγκαίο για τα στοιχεία του ελεγκτή k ( s, e και g ( s, e να είναι πραγματοποιήσιμα. 7.. Επίλυση του Προβλήματος Στην συνέχεια, θα διακριθούν δύο περιπτώσεις για την επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχο ms, ( e. Η πρώτη περίπτωση είναι ( (, e ενώ η δεύτερη περίπτωση είναι ( e ms ms, e για κάθε s (δηλαδή ms, /. Είναι προφανές ότι στην πρώτη περίπτωση το πρόβλημα είναι πάντα επιλύσιμο με k ( s, e αυθαίρετο και g ( s, e δεύτερη περίπτωση, η σχέση (7β μπορεί να γραφεί ως ( si A ( ( (, e e e g n ( s e k( c( si A( b(. Στην { s } c b m s e,, e e n e e ή ισοδύναμα 4

154 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο { } m( s e ( e h ( s, k ( s, e g s,, e (7.8 Είναι προφανές ότι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου πρέπει να είναι αντιστρέψιμη. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου και η συνάρτηση μεταφοράς του μοντέλου μπορούν να γραφούν ως (, sr sr mse e m m( s, e και hs (, e h e h ( s, ( e και h ( s, m s, e όπου e είναι αμφιπραγματοποιήσιμες ρητές συναρτήσεις και r και r είναι οι m h αντίστοιχοι δείκτες πραγματοποιησιμότητας. Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω ορισμούς, η σχέση (7.8 μπορεί να ξαναγραφεί ως όπου ( s( rmrh srm gˆ s, e e k s, ˆ( e e (7.9 ( s ( s ( s k ˆ, e k, e h, e (7.a ( ( m ( s ( s gˆ s, e g s, e, e h, e (7.b Από τις σχέσεις (7.α και (7.β μπορεί να παρατηρηθεί ότι η συναρτήσεις g( s, είναι πραγματοποιήσιμες αν και μόνο αν οι συναρτήσεις gˆ ( s, e και k ( s, e e και ˆ (, k s e είναι πραγματοποιήσιμες. Οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι το πρόβλημα επιλύσιμο με πραγματοποιήσιμο ελεγκτή θα παρουσιαστούν στο Θεώρημα 7. ενώ η γενική μορφή των πραγματοποιήσιμων ελεγκτών θα παρουσιαστεί στο Πόρισμα 7.. Θεώρημα 7.: Το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με πραγματοποιήσιμο ελεγκτή δυναμικής ανατροφοδότησης εξόδου και δυναμικού προαντισταθμιστή είναι επιλύσιμο αν και μόνο αν rh * r (7. όπου r, ifr * m m r, ifr m < Απόδειξη: Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωσης θα θεωρήσουμε ότι r ενώ στην m δεύτερη περίπτωση θα θεωρήσουμε ότι r <. Στην πρώτη περίπτωση και επειδή πρέπει το στοιχείο m sr ( e να είναι πραγματοποιήσιμο παρατηρούμε ότι το στοιχείο e m kˆ ( s, kˆ s, e πρέπει επίσης να 4

155 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο είναι πραγματοποιήσιμο. Συνεπώς, σύμφωνα με την σχέση (7.9 για να είναι το ˆ g ( s, e s( r r m h πραγματοποιήσιμο, πρέπει το e να είναι πραγματοποιήσιμο ή ισοδύναμα r m r (7. h Αντίστροφα, εάν η σχέση (7. ικανοποιείται τότε χρησιμοποιώντας την σχέση (7.9 και επιλέγοντας το ( e να είναι πραγματοποιήσιμο, προκύπτει ότι το ˆ g ( s, kˆ s, e είναι επίσης πραγματοποιήσιμο. Στην δεύτερη περίπτωση, δηλαδή εάν r <, διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις. Η πρώτη m υποπερίπτωση είναι εάν r r ενώ η δεύτερη περίπτωση είναι εάν r < r. Στην πρώτη m h m h υποπερίπτωση, όπου επίσης πρέπει να ισχύει ότι r <, παρατηρούμε ότι ο όρος h επίσης πραγματοποιήσιμος. Συνεπώς για να είναι τα gˆ ( s, e και ˆ (, k s s( r r m h e είναι e πραγματοποιήσιμα είναι sr ικανό και αναγκαίο να έχουμε πραγματοποιήσιμο e m kˆ ( s, e μέσω πραγματοποιήσιμου ˆ (, k s e. Αυτό μπορεί πάντα να πραγματοποιηθεί αν επιλέξουμε τον δείκτη πραγματοποιησιμότητας του ( kˆ s, e να είναι μεγαλύτερος από r. Στην δεύτερη υποπερίπτωση ( r < r ισχύει ότι m m h r r r ή ισοδύναμα m m h Υποθέτοντας ότι h r (7.3 h r και επιλέγοντας ˆ (, sr sr h m k s e e k( s, e e όπου το k ( s, e είναι το πραγματοποιήσιμο τότε το ˆ (, k s e είναι επίσης πραγματοποιήσιμο και ˆ g( s, e k ( s, e οποίο είναι πάντα επιλύσιμο με ˆ g ( s, e πραγματοποιήσιμο. Πόρισμα 7.: Έστω ότι η συνθήκη του Θεωρήματος 7. ικανοποιείται και η συνάρτηση μεταφοράς του μοντέλου είναι αντιστρέψιμη. Τότε η γενική μορφή των στοιχείων του ελεγκτή k ( s, e και g( s, e, που επιλύουν το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο για ουδέτερα συστήματα πολλαπλών καθυστερήσεων μίας εισόδου μίας εξόδου είναι της μορφής όπου ( ˆ ( ( k s, e k s, e h s, e (7.4α (, ˆ(, (, (, g s e g s e m s e h s e (7.4β 43

156 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο ( sr ( r m h srm ˆ, e e k s e if r & r r m m h sr ( r m h gˆ ( s, e e k ( s, e ifr < & r r m m h k ( s, e ifr < & r < r m m h arbirary realizable if rm & rm rh ˆ (, srm k s (, e e k s e if rm < & rm rh srh srm e e k ( s, e if rm < & rm < rh είναι μια αυθαίρετη ρητή συνάρτηση διαφορετική από όπου k( s, e sr ( r m h e εάν r < και m r m r και διαφορετική από το μηδέν εάν r < και r h m m < r h Αριθμητικό Παράδειγμα Για να παρουσιαστεί η παραπάνω τεχνική, θεωρήστε το σύνολο των εξισώσεων πολλαπλών καθυστερήσεων με m και n ( ( ( 6τ ( τ τ x + x + x + x x( x( τ τ x( u ( u ( τ τ ( + ( 3τ τ ( + ( + ( + ( τ τ + ( τ (7.5α x x x x u x u (7.5β ( ( 6 ( ( ( y + y τ x + x + x τ (7.5γ Αυτό είναι της μορφής (7. με q 5, q, q q, q 6, q, q, q,,,,, 3, 3, q, q, q 3, q και 4, 4, 5, 5,, E E, E 3, E 4, E 5 A, A A A, A b, b 3, b 4, b b 5, c, c, c c c c, c 3, c c c

157 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο Εκτελώντας απλούς υπολογισμούς μπορεί να παρατηρηθεί ότι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου είναι της μορφής (, e h s ( e + ( e ( e ( e b s b + + s a s a (7.6 όπου ( e 3 ( 3 s 3 5 s s s s e s 3 3 b e e e e ( s s 3 + e + e + e 5 s 3 s 3 ( ( s + 3 s s ( s 3 6 e e + e + e + e + e + { } s 3 3 s + s + s s 3 b e + e e + 3e + e + 3e + e + e ( e 3 s 3 3 ( ( 3s 3s e 3 ( 3s s + s 6 s 3 a e e + e + e + a ( e ( {( s } s ( ( s + 3 s s e + e + e + e + e + e + e + e ( s e 5s + s 3 3 ( + 3 s 3 st Μπορεί να παρατηρηθεί ότι η συνάρτηση μεταφοράς ( h s, e είναι αμφιπραγματοποιήσιμη, δηλαδή ( s T * st ( h s, e h s, e ή ισοδύναμα st παρατηρηθεί ότι το μοντέλο ( ( s T * st ( st r. Έστω ότι m( s, e h s + e 3 s. Μπορεί να m s, e είναι επίσης αμφιπραγματοποιήσιμο, δηλαδή m s, e m s, e ή ισοδύναμα r. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Θεωρήματος m 7. και του Πορίσματος 7., η γενική μορφή των ρητών συναρτήσεων του ελεγκτή λαμβάνει την μορφή ( ˆ gˆ s, e k( s, e όπου k ˆ ( s, Προφανώς πρέπει το k ˆ ( s, e να είναι διαφορετικό από την μονάδα έτσι ώστε το gˆ ( s, διαφορετικό από το μηδέν. Έστω e είναι αυθαίρετη πραγματοποιήσιμη ρητή συνάρτηση. ( e kˆ s, s + e να είναι 45

158 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο Ισοδύναμα, χρησιμοποιώντας την σχέση (7.4α προκύπτει ότι (, e k s s + a ( e s + a ( e ( s + b( e s + b ( e (7.7 Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την σχέση (7.4β προκύπτει ότι ή ισοδύναμα (, ˆ(, (, (, e e e e g s g s m s h s (, e g s ( e ( e ss + a s+ a 3 s ( ( s s e + + b( e s + b ( e (7.8 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7.6, (7.7 και (7.8 προκύπτει ότι h c ( s, e 3 s + s e 7..4 Εφαρμογή σε Σύστημα Αναμίκτων σε Σειριακή Σύνδεση Θεωρήστε το σύστημα αναμίκτων σε σειριακή σύνδεση (βλέπε Σχήμα 7. όπου c ( είναι η συγκέντρωση εισόδου του προϊόντος, Q είναι η παροχή, V είναι ο όγκος των δεξαμενών των δύο αναμίκτων, L είναι το μήκος του αντιδραστήρα και τ είναι μια σταθερή καθυστέρηση η οποία προκύπτει από τον αντιδραστήρα, []. in cin Q ( c ( Mixer c ( c τ ( Reacor c ( Mixer Q c ( Σχήμα 7.: Διάταξη αναμίκτων συνδεδεμένων σε σειρά Ορίζοντας 46

159 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο x ( c ( ( x x ( c (, u ( c ( in το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος λαμβάνει την μορφή x ( Ax( + Ax( τ + Bu( (7.9α y ( cx ( (7.9β όπου Q A V Q V, A Q V, B Q V, c Εκτελώντας απλούς υπολογισμού, προκύπτει ότι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι της μορφής sτ ( h s, e sτ e Q V Q s + V (7. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου μπορεί να γραφεί ως όπου rh τ και sτ sr * ( h sτ ( h s, e e h s, e (7. h * sτ ( s, e Q V Q s + V (7. * s Προφανώς, η συνάρτηση h ( s, e τ είναι αμφιπραγματοποιήσιμη. Έστω sτ ( m s, e sτ Q e λλ V Q Q s λ s λ + + V V (7.3 όπου λ και λ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Ισοδύναμα, η συνάρτηση μεταφοράς του μοντέλου μπορεί να γραφεί ως 47

160 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο sτ sr * ( m sτ ( m s, e e m s, e (7.4 όπου r m τ και m * sτ ( s, e Q λλ V Q Q s λ s λ + + V V (7.5 * s όπου η συνάρτηση m ( s, e τ είναι επίσης αμφιπραγματοποιήσιμη. Είναι προφανές πως οι συναρτήσεις μεταφοράς του ελεγκτή είναι της μορφής sτ ( ˆ sτ ( * sτ ( k s, e k s, e h s, e sτ sτ * sτ ( ˆ( ( * sτ ( g s, e g s, e m s, e h s, e (7.6α (7.6β Επιλέγοντας sτ ( kˆ s, e (7.7α + + ( s ρ ( s ρ sτ sτ e gˆ ( s, e (7.7β + + ( s ρ ( s ρ όπου ρ και ρ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, και συνδυάζοντας τις σχέσεις (7., (7.5, (7.6 και (7.7, οι συναρτήσεις μεταφοράς του ελεγκτή λαμβάνουν την τελική μορφή sτ ( k s, e Q Q s + V V (7.8α + + ( s ρ ( s ρ Q λλ s + sτ ( ρ + ρ ( ρρ Q Q s λ ( ( s λ + + s + ρ s + ρ V V sτ g( s, e V s + s + e (7.8β οδηγώντας στην επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς για το σύστημα κλειστού βρόχου h c sτ ( s, e sτ e Q λλ V Q Q s λ s λ + + V V 48

161 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο Από τις σχέσεις (7.3 και (7.5 μπορεί να παρατηρηθεί ότι με κατάλληλη επιλογή των λ και λ ο χρόνος ανύψωσης του συστήματος κλειστού βρόχου μπορεί να μειωθεί σημαντικά. Επιπλέον, το κέρδος στην μόνιμη κατάσταση του συστήματος κλειστού βρόχου παραμένει μονάδα. Για παράδειμα, θέτοντας λ και λ 4, ο χρόνος ανύψωσης (95% της μόνιμης κατάστασης του συστήματος κλειστού βρόχου υπολογίζεται ως ( 95% CL.838V (7.9α Q Ενώ για το σύστημα ανοιχτού βρόχου ισχύει ότι ( 95% OL 4.743V (7.9β Q Μπορεί να παρατηρηθεί ότι το σύστημα κλειστού βρόχου είναι.58 φορές ταχύτερο από το σύστημα ανοιχτού βρόχου. Σημειώνεται ότι από τον χρόνο ανύψωσης στην σχέση (7.9 έχει αφαιρεθεί η καθυστέρηση τ. 7.3 Ακριβές Ταίριασμα σε Μοντέλο με Ταυτόχρονη Αποκοπή Διαταραχών Θεωρήστε την γενική κατηγορία των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις Ex q τ Ax q τ + Bu q τ + Du ˆ q τ (7.3α q q q q q q q q i, i i, i i, i D i, i i i i i q q q q C y q τ C x q τ (7.3β i, i i, i i i q q q q L ψ q τ Lx q τ (7.3γ i, i i, i i i n m όπου x( είναι το διάνυσμα κατάστασης, u ( είναι το διάνυσμα των εισόδων του ζ p συστήματος, uˆd ( είναι το διάνυσμα των μετρήσιμων διαταραχών, y ( είναι το r διάνυσμα των μεταβλητών απόδοσης, ψ( είναι το διάνυσμα των μετρήσιμων εξόδων, τ i ( i,, q είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που εκφράζουν τις καθυστερήσεις και q (,, q i, ; i,, q είναι μια πεπερασμένα ακολουθία ακεραίων σε σχέση με τους δείκτες i και. Οι ποσότητες q και q είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Προφανώς, εάν η ποσότητα q τ είναι, i i q i 49

162 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο αρνητική τότε δηλώνει πρόβλεψη. Οι πραγματικοί πίνακες πραγματικοί πίνακες γραμμές. C και E, A, B και C έχουν p γραμμές ενώ οι πραγματικοί πίνακες D έχουν n γραμμές, οι L και L έχουν r Στο πεδίο της συχνότητας, η εξαναγκασμένη απόκριση του συστήματος, δηλαδή η απόκριση του συστήματος για μηδενικές αρχικές και παρελθούσες τιμές ( x (, u ( για < λαμβάνει την μορφή ( e ( ( e ( + ( e ( + ( e ˆ D ( C( e Y ( s C ( e X( s L( e Ψ ( s L( e X( s se X s A X s B U s D U s (7.3α (7.3β (7.3γ όπου T, e ( sτ ( sτ τ τ q exp exp q ( L { x( }, U ( s L { u( }, U ˆ ( s L { u ˆ D D ( }, ( X s { } Y s L y ( και όπου exp του σήματος, ενώ e είναι το εκθετικό της ποσότητας ενώ L { } είναι ο μετασχηματισμός Laplace q q Z( e Z exp s q τ i, i i όπου Z ( e αντιστοιχεί στα E ( e, A ( e, B ( e, D ( e, C ( e, C ( e, L ( ( e L ενώ το Z αντιστοιχεί στα E, A, B, D, C, C, L και e και L. Θεωρούμε ότι το ουδέτερο σύστημα (7.3 δεν είναι ιδιόμορφο, δηλαδή E ( e μετρήσιμων εξόδων και των μεταβλητών απόδοσης, δηλαδή del ( e και C ( e αντίστοιχα. de, με μοναδικό προσδιορισμό των de Εκτελώντας απλούς υπολογισμούς, η εξίσωση της εξαναγκασμένης απόκρισης της γενικής κατηγορίας των γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις ([], [5], [6] επαναδιατυπώνεται ως ακολούθως ( ( ( + ( ( + ( ˆ ( sx s A e X s B e U s D e U s (7.3α D 5

163 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο ( ( ( Y s C e X s (7.3β ( s L( X( s Ψ e (7.3γ όπου ( e ( e ( e B ( e E ( e B ( e, ( ( D E D ( e e e A E A Έστω e ( e ( e ( e ( e, ( ( L L L ( e e e C C C είναι το σύνολο των πολυμεταβλητών ρητών συναρτήσεων των ( sτ ( sτ exp,, exp q, δηλαδή των ρητών συναρτήσεων των στοιχείων του e. Αυτό το σύνολο είναι προφανώς ένα πεδίο. Τα στοιχεία των πινάκων A( e, B ( e, D ( e, C ( e και L ( e ανήκουν στο σύνολο e ( e. Μια πολυμεταβλητή ρητή συνάρτηση των exp ( sτ,, exp( sτq (δηλαδή μια ρητή συνάρτηση που ανήκει στο σύνολο e ( e καλείται πραγματοποιήσιμη εάν δεν χρειάζονται προβλεπτές για την πραγμάτωσή της. Αυτό διατυπώνεται φορμαλιστικά ως ακολούθως: το όριο της ρητής συνάρτησης του + e, για s και τείνοντας στο άπειρο είναι πεπερασμένο. Το σύνολο των πολυμεταβλητών πραγματοποιήσιμων ρητών συναρτήσεων του συμβολίζεται με r ( e. Προφανώς το σύνολο r ( e είναι δακτύλιος. Έστω e ( s, e σύνολο των ρητών συναρτήσεων του s με συντελεστές που ανήκουν στο σύνολο e ( e e το. Σημειώνεται ότι τα στοιχεία των πινάκων συναρτήσεων μεταφοράς (7.3 ανήκουν στο σύνολο e ( s, e. Επίσης, έστω r ( s, e ένα υποσύνολο του e ( s, e που συμβολίζει το σύνολο των. πραγματοποιήσιμων ρητών συναρτήσεων του s με συντελεστές που ανήκουν στο σύνολο e ( e Εδώ υποθέτουμε ότι τα στοιχεία του πίνακα συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου που απεικονίζουν τις εισόδους στις μετρήσιμες εξόδους ανήκουν στο σύνολο r ( s, e ( n ( (, δηλαδή L e si A e B e : πραγματοποιήσιμος (7.33α Επιπλέον, υποθέτουμε ότι το σύστημα (7.3 είναι αριστερά αντιστρέψιμο, δηλαδή Rank e C ( si n A e ( e B( e m (7.33β 5

164 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο Σε ότι αφορά την συνθήκη (7.33α, αυτή φαίνεται ότι είναι απαραίτητη ώστε να είναι ο ελεγκτής πραγματοποιήσιμος υπό την έννοια ότι αν παραβιάζεται τότε οι μετρήσιμες έξοδοι θα εξαρτούνται από μελλοντικές τιμές των εισόδων, γεγονός το οποίο σημαίνει ότι σε ένα σύστημα κλειστού βρόχου προσδιορίζονται από τον ελεγκτή ο οποίος καθορίζεται από τον σχεδιαστή. Προφανώς, χρησιμοποιώντας την συνθήκη (7.33α αυτό το παράδοξο αντιμετοπίζεται Ικανές και Αναγκαίες Συνθήκες Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών για αριστερά αντιστρέψιμα ουδέτερα συστήματα με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις της μορφής (7.3 με χρήση δυναμικών ελεγκτών που περιλαμβάνουν καθυστερήσεις. Ο σχεδιαστικός στόχος είναι αυτός του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών, δηλαδή να παραχθεί ένα σύστημα κλειστού βρόχου όπου η επίδραση των διαταραχών να εξαφανίζεται. Ο ελεγκτής θεωρούμε ότι περιλαμβάνει δυναμική ανατροφοδότηση των μετρήσιμων εξόδων, δυναμική αντιστάθμιση των μετρήσιμων διαταραχών και δυναμικό προαντισταθμιστή, δηλαδή είναι της μορφής ( (, Ψ ( + (, ˆ ( + (, Ω( U s K s e s K s e U s G s e s (7.34 όπου Ω ( s είναι το m διάνυσμα των εξωτερικών εισόδων και όπου τα στοιχεία των πινάκων K ( s e, K ( s, e και G( s, e ανήκουν στο σύνολο e ( s, e, ελεγκτή, θεωρούμε επιπλέον ότι Σ τα στοιχεία του K ( s, e ανήκουν στο σύνολο r ( s, e Σ τα στοιχεία του K ( s, e ανήκουν στο σύνολο r ( s, e Σ3 ο προαντισταθμιστής G( s, ανήκουν στο σύνολο r ( s, e D. Σε ότι αφορά τους πίνακες του και είναι κατάλληλα,, και e είναι αντιστρέψιμος ενώ τα στοιχεία του είναι κατάλληλα και Σημειώνεται πως παρότι τα στοιχεία των πινάκων A( e, B ( e, D ( e, C ( e και L ( περιορίζονται στο να ανήκουν στο σύνολο r ( e στοιχεία των πινάκων K ( s, e, K ( s, e και G( s, e δεν, η πραγματοποιησιμότητα του ελεγκτή απαιτεί τα e να είναι πραγματοποιήσιμα. Η συνθήκη (Σ τίθεται ώστε να εξασφαλίζεται ότι το σύστημα κλειστού βρόχου παραμένει στην κατηγορία (7.3 5

165 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο ανεξάρτητα από πιθανές αποκλίσεις στις παραμέτρους του συστήματος ή του ελεγκτή ενώ η συνθήκη (Σ3 τίθεται έτσι ώστε να αποφεύγεται η παραγώγιση τμηματικά συνεχών εξωτερικών εντολών (π.χ. βηματικό σήμα. Αντικαθιστώντας τον νόμο ελέγχου (7.34 στο σύστημα (7.3 προκύπτει το σύστημα κλειστού βρόχου. Το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών διατυπώνεται φορμαλιστικά στην ακόλουθη ισότητα των πινάκων συναρτήσεων μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου ( e ( e ( e (, e ( e n C si A B K s L όπου H ( s, M ( ( ( ( ( M ( B e G s, e B e K s, e + D e H s, e p ζ (7.35 e είναι ο πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του επιθυμητού μοντέλου και I είναι ο n μοναδιαίος πίνακας διαστάσεων n περιγραφή του συστήματος. Ορίζοντας η σχέση (7.35 επαναδιατυπώνεται ως ακολούθως n. Η εξίσωση (7.35 διατυπώνει το πρόβλημα σε κανονική ( B( D ( ( ( ( (, e e Δ e e (, e n M Δ e e e (7.36 C si A H s G s { I K ( s, K ( s, L m ( si A e e e n ( e Δ( e (7.37 Από την σχέση (7.37 και την αντιστρεψιμότητα του προαντισταθμιστή G( s, e παρατηρείται ότι για να είναι επιλύσιμο το πρόβλημα του ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών η ακόλουθη συνθήκη είναι αναγκαία Rank ( ( ( (, Rank C si A H s C Δ e n M e ( si A e e e e e n ( e Δ ( e Rank C ( si A e ( B ( Rank H e ( s, e e n e e M m (

166 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο 7.3. Επίλυση του Προβλήματος Σύμφωνα με τις εργασίες [5] και [8] καθώς επίσης και την συνθήκη (7.38 μπορούμε να συμπεράνουμε ότι υπάρχει ένας αντιστρέψιμος πίνακας W ( s, e με στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο e ( s, e καθώς και ένας πίνακας C ( e με στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο e ( e έτσι ώστε να ικανοποιείται η ισότητα C (, ( ( ( ( si A W s C si A e n ( e Δ( e e e e Δ n e (7.39α ( p m ( m+ ζ όπου de C ( si A e ( B e ( / n e (7.39β Από τις σχέσεις (7.37 έως (7.39 παρατηρείται ότι για να ικανοποιείται η σχεδιαστική απαίτηση (7.35 πρέπει να ισχύει η ακόλουθη συνθήκη ( s, HM W ( s, H ( s, e e e M (7.4α ( p m ( m+ ζ και όπου τα στοιχεία του H ( s, e M ανήκουν στο σύνολο e ( s, e ( s Συνεπώς, η σχέση (7.37 μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως ακολούθως ( ( ( (, e e e e (, e n M de H, e M / (7.4b C si A Δ H s G s { I K ( s, K ( s, L m ( si A n ( ( e e e e Δ e (7.4 Στο σημείο αυτό μπορεί να διατυπωθεί το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 7.: Έστω το σύστημα με περιγραφή της μορφής (7.3 με τις συνθήκες (7.33α και (7.33β να ικανοποιούνται. Οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών με χρήση δυναμικού ελεγκτή της μορφής (7.34 ο οποίος έχει τα χαρακτηριστικά (Σ (Σ3 είναι i. Οι συνθήκες στην σχέση (7.38 να ικανοποιούνται, 54

167 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο e e e e να είναι κατάλληλος και ii. Ο πίνακας C ( si A ( B ( H ( s, n M πραγματοποιήσιμος, e e e e e e να είναι iii. Ο πίνακας C ( si A ( B ( C n ( si A n ( D ( κατάλληλος και πραγματοποιήσιμος Απόδειξη: (Αναγκαιότητα. Η αναγκαιότητα των συνθηκών στην σχέση (7.38 είναι προφανής. Όπως ήδη έχει αναφερθεί η συνθήκη (7.4β είναι επίσης αναγκαία. Παρόλα αυτά, εάν ικανοποιείται η συνθήκη (7.38 η συνθήκη (7.4β προκύπτει ως επακόλουθο, συνεπώς δεν θα συμπεριλήφθη στις συνθήκες του θεωρήματος. Άρα, με βάση την (7.38 το πρόβλημα μετατράπηκε σε αυτή στην σχέση (7.4. Εκτελώντας απλούς υπολογισμούς, η σχέση (7.4 μπορεί να διασπαστεί στις ακόλουθες εξισώσεις ( ( ( (, e e e e (, e n M C si A B H s G s I K ( s, L m ( si A n ( B e e e ( e (7.4α ( ( ( (, (, e e { (, (, n e e M e e e ( e C si A D H s G s K s K s L Η λύση της σχέσης (7.4α ως προς G( s, e είναι G s I K s L si A B (, (, e e m ( e n ( e ( e Σημειώνεται ότι για κάθε K ( s, πίνακας I K ( s, L m ( si A n ( B ( si A ( D e ( e (7.4β n C ( si A ( B ( H ( s e e, n e e M (7.43 e που απαιτείται να είναι πραγματοποιήσιμος και κατάλληλος, ο e e e e είναι αντιστρέψιμος, αμφιπραγμα τοποιήσιμος και αμφικατάλληλος. Συνεπώς, για να είναι ο προαντισταθμιστής G( s, e πραγματοποιήσιμος, κατάλληλος και αντιστρέψιμος, η συνθήκη (ii πρέπει να ικανοποιείτα. Αντικαθιστώντας την σχέση (7.43 στην (7.4β λαμβάνουμε την ακόλουθη λύση για τους πίνακες K ( s e και K ( s, e, 55

168 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο K ( s, e αυθαίρετος, πραγματοποιήσιμος και κανονικός (7.44α (, (, e e ( e n ( e ( e K s K s L si A D + I K ( s, L m ( si A n ( B e e e ( e C ( si A ( B n ( C ( si A n ( D e e e e e ( e (7.44β Παρατηρούμε ότι για να είναι ο πίνακας K ( s, e πραγματοποιήσιμος είναι αναγκαίο να ικανοποιείται η συνθήκη (iii. (Ικανότητα. Εάν η συνθήκη (i του θεωρήματος ικανοποιείται, τότε εξασφαλίζεται η αντιστρεψιμότητα του H ( s, M (7.4. e και το πρόβλημα ελαττώνεται στην επίλυση της σχέσης (7.4 ή ισοδύναμα της σχέσης Επιπλέον, αν ικανοποιείται η συνθήκη (ii η γενική λύση του προαντισταθμιστή G( s, e που δίνεται από την σχέση (7.43 είναι κατάλληλη, αντιστρέψιμη και πραγματοποιήσιμη. Τέλος, από την σχέση (7.33α και την συνθήκη (iii παρατηρείται ότι η γενική λύση του πίνακα K ( s, e που δίνεται από την σχέση (7.44β είναι πραγματοποιήσιμη. Με βάση την απόδειξη του Θεωρήματος 7., το ακόλουθο πόρισμα μπορεί να διατυπωθεί. Πόρισμα 7.: Η γενική μορφή των πινάκων των ελεγκτών που λύνουν το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών δίνεται από τις σχέσεις (7.43 και ( Παράδειγμα Το απλοποιημένο μοντέλο δύο εισόδων (άνοιγμα βαλβίδας παράκαμψης βραδυπορίας και προήγηση σπινθήρα δύο εξόδων (ταχύτητα μηχανής και πίεση στην πολλαπλή εισαγωγής για μια μηχανή εσωτερικής καύσης σε κατάσταση βραδυπορίας αποτελεί εφαρμογή αναφοράς για την μελέτη του προβλήματος του ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών καθώς και για άλλες σχεδιαστικές απαιτήσεις συναρτήσεων μεταφοράς (βλέπε π.χ. [8]. Το μοντέλο περιγράφεται από την ακόλουθη γραμμικοποιημένη περιγραφή στον χώρο κατάστασης ( θ ( θ + ( θ θ + ( θ + τ ( θ x Ax Ax B u D d f 56

169 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο (, u ( θ ( θ ( θ ( Δω θ x ( θ Δa Δp m Δδ θ τ J ω e K Jω A η V τ Ka ω υ d, A ε 4πV m B K δ K ω ε όπου, ω είναι η ταχύτητα της μηχανής ( rad/s, Jω J ω, D p είναι η πίεση στην πολλαπλή εισαγωγής ( kpa, δ m είναι η προήγηση του σπινθήρα ( deg, a είναι το άνοιγμα της βαλβίδας τροφοδοσίας ( deg, θ είναι η γωνία του στροφάλου ( rad, θ είναι καθυστέρηση του συστήματος ( rad, d τ είναι ροπή διαταραχής f ( Nm, τ είναι η καθαρή ροπή της μηχανής ( Nm, K e ε είναι συντελεστής που συνδέει το άνοιγμα της βαλβίδας τροφοδοσίας στην καθυστερημένη πίεσης της πολλαπλής ( kpa/s/deg, K τ είναι συντελεστής που συσχετίζει την ροπή της μηχανής με την πίεση της πολλαπλής ( kpa/s/deg, K δ είναι συντελεστής που συσχετίζει την ροπή της μηχανής με τον χρονισμό του σπινθήρα ( Nm/deg, J είναι η ροπή αδρανείας της μηχανής ( Nm-s / rad, η είναι η ογκομετρική απόδοση, V είναι ο οφελημος υ d 3 όγκος της μηχανής ( m και 3 V είναι ο όγκος της πολλαπλής ( m. Ο δείκτης συμβολίζει m ονομαστικές συνθήκες λειτουργίας και το σύμβολο Δ συμβολίζει την μεταβολή από το ονομαστικό σημείο λειτουργίας. Η μετρήσιμη έξοδος είναι η ταχύτητα της μηχανής ενώ ως μεταβλητές απόδοσης λαμβάνονται και οι δύο μεταβλητές κατάστασης. Σε ότι αφορά την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου που συνδέει τις εξωτερικές εντολές με τις μεταβλητές απόδοσης, είναι επιθυμητό η ταχύτητα της μηχανής και η πίεση της πολλαπλής εισαγωγής να ελέγχονται τέλεια, ανεξάρτητα και αυθαίρετα. Για αυτή την απαίτηση, η συνάρτηση μεταφοράς του ιδανικού μοντέλου επιλέγεται της μορφής H M sθd ( s, e m s + m m s + m (7.46 όπου m και m είναι κατάλληλοι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Θεωρήματος 7. και εκτελώντας απλούς υπολογισμούς, μπορεί να παρατηρηθεί ότι οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο 57

170 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών ικανοποιούνται. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας το Πόρισμα 7., η γενική μορφή των πινάκων του ελεγκτή που επιλύουν το πρόβλημα είναι όπου sθd (, G s e K s, K δ g, (, sθd (, sθd (, sθd (, sθd g s e g s e,, g s e g s e,, ( e sθd, K ( s, e g, g sθd ( s, e, sθd ( s, e d και όπου k, ( s, e sθ s d και k, ( s, e θ sθ ( s, e g m a J ω k s e, ω ( s + m sθd ( s, e sθd ( s, e k, k, sθd (, ( 4π K πv ( s + m Jm n V + V s ω v d m d 4 ε m τ + Jω s K ω k s e e δ K ω s m, sθd ( s, e συναρτήσεις που ανήκουν στο σύνολο r ( s, e δ m ( + sθd Kme τ K s m δ ( + sθd (, είναι αυθαίρετες, πραγματοποιήσιμες και κατάλληλες ρητές. Για να αναδειχθούν τα πλεονεκτήματα των παραπάνω αποτελεσμάτων σε σχέση με αυτά που παρουσιάζονται στην εργασία [8], σημειώνεται πως το διαγώνιο μοντέλο (7.46 δεν μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας τον αναλογικό ελεγκτή που προτείνεται εκεί. Ο ελεγκτής που προτείνεται στην εργασία [8] έχει ως αποτέλεσμα το πολύ τριγωνική μορφή, με αποτέλεσμα να υπάρχει σύζευξη μεταξύ των μεταβλητών απόδοσης. 7.4 Συμπεράσματα Στο παρόν κεφάλαιο παρήχθησαν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις μιας εισόδου μιας εξόδου με χρήση δυναμικής ανατροφοδότησης εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή ενώ επίσης παρουσιάστηκε και η γενική λύση των αντίστοιχων πραγματοποιήσιμων ελεγκτών. Τα αποτελέσματα εφαρμόστηκαν στο μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος δύο αναμίκτων 58

171 Κεφάλαιο 7: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο σε σειριακή σύνδεση καθώς και σε ένα αριθμητικό παράδειγμα. Τα θεωρητικά αποτελέσματα καλύπτουν την λύση του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο για την γενική κατηγορία των αριστερά αντιστρέψιμων επιβραδυμένων συστημάτων πολλαπλών καθυστερήσεων, ενώ επίσης καλύπτονται και άλλες κατηγορίες ουδετέρων ή επιβραδυμένων συστημάτων (π.χ. για ανάλογες καθυστερήσεις. Στην συνέχεια, μελετήθηκε το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο για την κατηγορία των αριστερά αντιστρέψιμων ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές καθυστερήσεις χρησιμοποιώντας δυναμική ανατροφοδότηση μετρήσιμων εξόδων και αντισταθμισή των μετρήσιμων διαταραχών. Το δυναμικό τμήμα του ελεγκτή που συνδέει τις μετρήσιμες εξόδους και τις διαταραχές με τις εισόδους θεωρήθηκε ότι είναι πραγματοποιήσιμο. Για αυτού του τύπου ελεγκτές και συστήματα ανοιχτού βρόχου παρήχθησαν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών και παρουσιάστηκε η αναλυτική έκφραση των πινάκων του ελεγκτή που επιλύουν το πρόβλημα. Για να αναδειχθεί η αποτελεσματικότητα των θεωρητικών αποτελεσμάτων, αυτά εφαρμόστηκαν στο μαθηματικό μοντέλο μιας μηχανής εσωτερικής καύσης σε κατάσταση βραδυπορίας. Αποδείχθηκε ότι το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με δυναμικό ελεγκτή ικανοποιείται ενώ η αντίστοιχη προσέγγιση με αναλογικό ελεγκτή αποτυγχάνει. 7.5 Βιβλιογραφία [] S. G. Tzafesas, Model Maching in Time Delay Sysems, IEEE Transacions in Auomaic Conrol, vol., pp 46 48, 976. [] M. Malabre, R. Rabah, Srucure a infiniy, Model Maching and disurbance reecion, of linear sysems wih delays, Kyberneica, vol. 9, pp , 995. [3] G.Cone and A.M.Perdon, Model Maching problems for sysems over a ring and applicaions o delay differenial sysems, In Proceedings of he 3 rd IFAC Conference Sysems Srucure and Conrol, Nanes, France, pp , 995. [4] P. Picard, J. F. Lafay and V. Kucera, Model Maching for linear sysems wih delay, Proceedings of he 3 h IFAC World Congress, San Fransisco, USA, Vol D, pp , 996. [5] P. Picard, J. F. Lafay and V. Kucera, Model Maching for linear sysems wih delays and D Sysems, Auomaica, vol. 34, pp 83 9, 998. [6] P. N. Paraskevopoulos, F. N. Koumboulis and K. G. Tzierakis, Disurbance Reecion wih Simulaneous Exac Model Maching of Generalized Sae Space Sysems, Proceedings of he Second European Conrol Conference (ECC 93, 993 [7] F.N. Koumboulis and M.G. Skarpeis, Robus Disurbance Decoupling wih Simulaneous Exac Model Maching via Saic Measuremen Oupu Feedback, Compuers and Compuaional Engineering in Conrol, World Scienific and Engineering Sociey Press, Elecrical and Compuer Engineering Series, pp 78 9, 999 [8] F. N. Koumboulis and G. E. Panagioakis, Exac Model Maching and Disurbance Reecion for General Linear Time Delay Sysems via Measuremen Oupu Feedback, Proceedings of he h IEEE Inernaional Conference on Emerging Technologies and Facory Auomaion ETFA 5, Caania, Ialy, Sepember 9, 5 [9] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas, and P. N. and Paraskevopoulos, Dynamic Disurbance Reecion Conrollers for Neural Time Delay Sysems wih Applicaion o a Cenral Heaing Sysem, Inernaional Conference on Modeling, Idenificaion and Conrol, Shanghai, China, June 9 July, 8 59

172

173 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Τροχοφόρο Ρομποτικό Όχημα με Βαθμούς Ελευθερίας στην Κίνησή του Στο κεφάλαιο αυτό σχεδιάζεται ένας δυναμικός ελεγκτής ανατροφοδότησης εξόδων που περιλαμβάνει καθυστερήσεις για ένα σύστημα τροχοφόρου οχήματος εκκρεμούς με ενεργητικές και παθητικές αναρτήσεις. Το όχημα με το εκκρεμές μοντελοποιείται σαν ένα ουδέτερο μη γραμμικό σύστημα με χρονικές καθυστερήσεις. Το προτεινόμενο σχήμα ελέγχου στοχεύει στην καταστολή των ταλαντώσεων της γωνίας του εκκρεμούς ενώ ταυτόχρονα να επιτυγχάνεται ακολούθηση εντολής στην ταχύτητα του οχήματος. Η απόδοση του προτεινόμενου ελεγκτή αναδεικνύεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. 8. Εισαγωγή Οι ταλαντώσεις που παρουσιάζονται σε ένα κινούμενο όχημα εξαιτίας ανωμαλιών στο οδόστρωμα, επηρεάζουν την άνεση και την ασφάλεια επιβατών και αντικειμένων σε αυτό. Συνεπώς, για ένα όχημα το οποίο μεταφέρει ανθρώπους και υλικά, στόχος του συστήματος ανάρτησης είναι να παρέχει άνεση και ασφάλεια. Η πιο αποδοτική λύση για την αντιστάθμιση τέτοιου τύπου ταλαντώσεων (βλέπε [8] φαίνεται ότι είναι τα συστήματα ενεργητικών αναρτήσεων (βλέπε την εργασία [7] και τις εκεί αναφορές. Η εφαρμογή των συστημάτων ενεργητικών αναρτήσεων έχει προσελκύσει έντονο ενδιαφέρον και έχει μελετηθεί το πρόβλημα για διάφορους τύπους οχημάτων, ειδικά σε βιομηχανικές εφαρμογές, όπου η μεταφορά υλικών, π.χ. τιγμένο μέταλλο, πρέπει να παρουσιάζει συγκεκριμένα χαρακτηριστικά σε ότι αφορά τις ταλαντώσεις. Σε σχέση με το πρόβλημα της μεταφοράς υγρών, η κίνηση του υγρού συνήθως προσεγγίζεται από ένα μαθηματικό μοντέλο τύπου εκκρεμούς (βλέπε [] [8]. Χρησιμοποιώντας αυτή την προσέγγιση προτάθηκαν διάφορες τεχνικές ελέγχου για την καταστολή των ταλαντώσεων (βλέπε [5], [6] και [9]. όπως ενεργητικές μέθοδοι οι οποίες μεταβάλλουν την γωνία της δεξαμενής (βλέπε [], [5], [] και []. Στην εργασία [], χρησιμοποιήθηκε η τεχνική των καθυστερημένων αντηχείων (βλέπε [] [4] για την καταστολή των παφλασμών κατά την μεταφορά υγρού σε ένα δοχείο που είναι τοποθετημένο 6

174 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα πάνω σε ένα όχημα. Πιο συγκεκριμένα, προτάθηκε ένας στατικός νόμος ανατροφοδότησης του οποίου οι παράμετροι υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας έναν μεταευρετικό αλγόριθμο. Στην εργασία [] μελετήθηκε η ευρωστία του σχήματος ελέγχου που προτάθηκε στην εργασία [], λαμβάνοντας υπόψη ταυτόχρονη φθορά στα ελατήρια των δύο αντηχείων της διάταξης. Στο παρόν κεφάλαιο, θεωρούμε ότι ένα όχημα παρόμοιο με αυτό που παρουσιάστηκε στις εργασίες [] και [], μεταφέρει ένα ελεύθερα περιστρεφόμενο εκκρεμές το οποίο προσεγγίζει την κίνηση ενός υγρού σε ένα δοχείο που είναι σταθερά τοποθετημένο στο όχημα. Επιπλέον, χρησιμοποιούνται συστήματα ενεργητικών και παθητικών αναρτήσεων για την καταστολή των ταλαντώσεων του οχήματος. Το σύστημα ενεργητικών αναρτήσεων περιλαμβάνει ένα ζεύγος καθυστερημένων αντηχείων το οποίο ανατροφοδοτεί την επιτάχυνση της ενεργητικής μάζας ενώ το σύστημα των παθητικών αναρτήσεων είναι ένα απλό ζεύγος ελατηρίων αποσβεστήρων που παρεμβάλλεται μεταξύ των τροχών και της πλατφόρμας του οχήματος. Το συνολικό σύστημα μοντελοποιείται ως ένα μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με χρονική καθυστέρηση. Η ενεργοποιήσιμη είσοδος θεωρούμε ότι είναι μια δύναμη στην διεύθυνση της κίνησης του οχήματος η οποία ασκείται πάνω σε αυτό και έχει ως αποτέλεσμα την μετακίνησή του. Η προτεινόμενη διάταξη φαίνεται ότι είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την δοκιμή ελεγκτών που σχεδιάζονται για την αντιστάθμιση της επίδρασης των ανωμαλιών του οδοστρώματος στην άνεση και την ασφάλεια των επιβατών και τον υλικών που μεταφέρονται σε οχήματα. Το μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος χρησιμοποιείται για την ανάπτυξη της γραμμικοποιημένης προσέγγισής του στη μορφή ενός γραμμικού ουδέτερου συστήματος με χρονική καθυστέρηση τα στοιχεία των πινάκων του οποίου είναι ρητές συναρτήσεις των φυσικών παραμέτρων του μαθηματικού μοντέλου του οχήματος. Με βάση την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, κατασκευάζεται ένας δυναμικός ελεγκτής ανατροφοδότησης εξόδου (που περιλαμβάνει καθυστερήσεις έτσι ώστε να επιτυγχάνεται ακολούθηση εντολής για την ταχύτητα και εξασθένιση της επίδρασης των διαταραχών στις ταλαντώσεις του εκκρεμούς. Η σχεδιαστική απαίτηση αυτή μπορεί να διατυπωθεί σε ότι αφορά το πρόβλημα της ακολούθησης εντολής σαν ένα πρόβλημα ταιριάσματος σε μοντέλο, δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου που συνδέει την εξωτερική εντολή με την ταχύτητα του οχήματος να είναι ίση με ένα ιδανικό μοντέλο. Η σχεδιαστική απαίτηση της εξασθένισης διαταραχών επίσης διατυπώνεται σαν ένα πρόβλημα ταιριάσματος σε μοντέλο, δηλαδή η συνάρτηση μεταφορά που συνδέει τις ανωμαλίες στο οδόστρωμα με την γωνία του εκκρεμούς να είναι ίση με ένα δυναμικό μοντέλο το οποίο θα προκαλεί εξασθένιση της επίδρασης διαταραχών. Η απόδοση του προτεινόμενου σχήματος ελέγχου αναδεικνύεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων στο μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος ενώ επίσης διερευνάται και η ευρωστία του σχήματος σε σχέση με συγκεκριμένες παραμέτρους του μαθηματικού μοντέλου του οχήματος. 6

175 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα Τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 8 δημοσιεύτηκαν στην εργασία F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Velociy Conrol and Vibraion Aenuaion for a Car Pendulum Sysem wih Delayed Resonaors, 8 h IEEE Inernaional Conference on Conrol Applicaions, July 8, 9, Sain Peersburg, Russia 8. Μοντελοποίηση της Διεργασίας Θεωρήστε την εφαρμογή οχήματος εκκρεμούς που παρουσιάζεται στο Σχήμα 8.. Υποθέτοντας ότι το όχημα κινείται σε ευθεία πορεία, η συνολική κίνηση του συστήματος μπορεί να αντιμετωπιστεί ως ένα πρόβλημα δύο διαστάσεων. q 4 l c v, x a x b h v x f q 3 x r l v q Σχήμα 8.: Διάταξη οχήματος εκκρεμούς Το εκκρεμές μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα σε σχέση με το όχημα. Το όχημα θεωρείται ότι κινείται στο οριζόντιο επίπεδο εξαιτίας μιας εξωτερικής δύναμης, έστω F, η οποία είναι πάντα c παράλληλη με τον δρόμο. Ανομοιομορφία στο επίπεδο κίνησης του οχήματος μπορεί να μοντελοποιηθεί σαν δυνάμεις διαταραχές F ( και F ( οι οποίες είναι κάθετες στο διαμήκη άξονα f του οχήματος και ασκούνται στον μπροστά και πίσω τροχό του οχήματος αντίστοιχα. r 63

176 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα Οι ταλαντώσεις του οχήματος απορροφούνται από τέσσερεις αναρτήσεις, δύο από τις οποίες είναι ενεργητικές και οι υπόλοιπες είναι παθητικές. Οι παθητικές αναρτήσεις είναι δύο συμβατικά συστήματα ελατηρίου αποσβεστήρα που συνδέουν την πλατφόρμα του οχήματος με τον μπροστά και πίσω τροχό αντίστοιχα. Οι ενεργητικές αναρτήσεις είναι δύο όμοια συστήματα μάζας ελατηρίουαποσβεστήρα, που χρησιμοποιούν ανατροφοδότηση επιτάχυνσης με ελεγχόμενη καθυστέρηση, τα οποία είναι τοποθετημένα πάνω στην πλατφόρμα του οχήματος στις θέσεις του μπροστά και πίσω τροχού αντίστοιχα. Η λειτουργία των ενεργητικών αναρτήσεων βασίζεται σε μια τεχνική που καλείται «καθυστερημένο αντηχείο» και παρουσιάστηκε στις εργασίες [] [4]. Η ιδέα στην τεχνική αυτή είναι η χρήση ενός διορθωτικού όρου ανατροφοδότησης επιτάχυνσης της μορφής g x ( τ, όπου x res a a είναι η απόκλιση του ενεργητικού ελατηρίου από το ελεύθερο μήκος του, χωρίς φορτίο ενεργητικής μάζας. Με βάση τα παραπάνω, οι δυναμικές εξισώσεις των ενεργητικών αναρτήσεων είναι της μορφής [5]: m x ( + c x ( x ( k x ( x ( ( cos( ( res a res + + g x τ + m g q a f res a f res a res 3 (8.α m x ( + c x ( x ( k x ( x ( ( cos( ( res b res g x τ m g q b r res b r res b res 3 (8.β όπου x και a x είναι οι αποκλίσεις των ενεργητικών ελατηρίων από το ελεύθερο μήκος τους χωρίς b ενεργητική μάζα για τον μπροστά και πίσω τροχό αντίστοιχα, ενώ x και f x είναι οι αποκλίσεις των r παθητικών ελατηρίων της μπροστά και πίσω παθητικής ανάρτησης από το ελεύθερο μήκος τους, αντίστοιχα και q είναι η γωνία της πλατφόρμας του οχήματος. Το κέρδος g και η καθυστέρηση τ 3 res επιλέγονται κατά τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το αντηχείο να λειτουργεί ως τέλειος αποσβεστήρας σε μια συγκεκριμένη επιθυμητή συχνότητα. Αυτού του τύπου οι ενεργητικές αναρτήσεις αφαιρούν το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας των ταλαντώσεων του οχήματος σε ένα συγκεκριμένο εύρος συχνοτήτων. Έστω x x x x x x x x x x x x T T q q q x x q q q q x x 3 4 a b 3 4 a b u F c, ξ ξ ξ Τ F F Τ f r Πραγματοποιώντας σειρά υπολογισμών προκύπτει ότι το μη γραμμικό δυναμικό μοντέλο του συστήματος είναι της μορφής 64

177 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα ( ( (,,, ξ x E x f x x u (8.α τ ( Cx ( y (8.β όπου C I E( x E 4 5,( x 4 I 5 4 (,,, ξ (,,, ξ (,,, ξ (,,, ξ f x xu x x x x x f x xu f x xu f x xu τ , τ 7, τ 8, τ E, ( x (,,, ξ (,,, ξ (,,, ξ T f x xu f x xu f x xu 9, τ, τ, τ ( ( e e ( x e ( x,,3,4 ( ( ( ( ( ( ( e e x e x,,3,4 e x e x e x e x 3, 3, 3,3 3,4 e x e x e x e 4, 4, 4,3 4,4 όπου τα στοιχεία των πινάκων f ( x, x, u, ξ και E ( e m m, p c τ, x είναι +, e ( x l m cos( x + x e m m, c p,4 p p 3 +, e ( x l m sin( x + x (,4 p p 3 e x l m l h cos x 3,4 p p + p v 3, e l m 4,4 p p ( cos( +, e ( x l m sin( x + x ( e x l m x x 4, p p 3 4, p p 3 e x l m l h cos x 4,3 p p + p v 3 ( ( + cos cos ( + e x l m h m m x l m x x,3 cv, c v c p p p 3 ( ( + sin sin ( + e x l m h m m x l m x x,3 cv, c v c p p p 3 ( ( + cos cos ( + e x l m h m m x l m x x 3, cv, c v c p p p 3 ( ( + sin sin ( + e x l m h m m x l m x x 3, cv, c v c p p p 3 ( ( ( e x I + h l m + h + l m + h l m cosx ( τ {( τ τ 3,3 v v c, v c v p p v p p 3 f x, x, u, ξ u x + x g + ξ + ξ + 6, res 65

178 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα ( ( c x + x + res l m + h m + m x + k ψ + cv c v c p 8 p (,,, ( + ( + f x x u ξ g m m k k x τ ( ψ } sin ( k x + x + x l m x + x res 4 5 p p 8 9 7, c p p res ( + + ( + + ( + + ( + sin x x an x k k x c c x c c x x an x 3 p res p res 7 p res 8 ( {( + c + c x + x + x g + ξ + ξ + p res 7 τ τ res ( ( c x + x + l m + h m + m x + k ψ res c, v c v c p 8 p ( ψ } ( ( ( + k x + x + cos x + l m x + x cos x + x c + c x x an x res 4 5 p p p res 8 { f ( x, x, u, ξ 8, ( c + c l x sec p res v 8 ( x τ + ( ( g l m + h m + m + m x + x + ψ cv, c v c p res 4 5 r ( ( sin x + l m h x x + x sin x + gsin x + x p p v ( ( l x x g ξ + ξ + c x x + v τ τ res res ( ( an 5 4 } res p res v (,,, ξ sin + sin( + f x x u c x hl m x x gl m x x 9, τ w 9 v p p 8 3 p p 3 f ( x, x, u, ξ { g x + c x + τ m, res τ res res f ( x, x, u, ξ { g x + c x + τ m, res τ res res ( ψ cos sec( k x + gm x + c l x x + res 4 res res v 8 k x x k k l x k l an x + sec x res v k x + c x + c x x an x res res 7 res 8 } ( + ψ + cos + sec( k x gm x c l x x res 5 res res v 8 + k l an x sec x k x c x c x x an x res v + + res res 7 res 8 } όπου m είναι η μάζα του εκκρεμούς, p m είναι η μάζα του οχήματος, v m είναι η μάζα των res αντηχείων, h είναι το ύψος του οχήματος, l v v είναι το μήκος του οχήματος, l είναι η απόσταση του cv, 66

179 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα κέντρου μάζας του οχήματος από το κέντρο περιστροφής του εκκρεμούς, l είναι το μήκος του p εκκρεμούς, ψ είναι το ελεύθερο μήκος των ενεργητικών ελατηρίων, ψ είναι το ελεύθερο μήκος των r παθητικών ελατηρίων, k είναι η σταθερά του ενεργητικού ελατηρίου, k είναι η σταθερά του res p παθητικού ελατηρίου, c είναι ο συντελεστής απόσβεσης του ενεργητικού ελατηρίου, c είναι ο res p συντελεστής απόσβεσης του παθητικού ελατηρίου, c είναι ο συντελεστής απόσβεσης της w περιστροφικής άρθρωσης του εκκρεμούς, I είναι η ροπή αδρανείας του οχήματος, v g είναι το res κέρδος του αντηχείου, τ είναι η καθυστέρηση της ανατροφοδότησης στο αντηχείο και g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. Σημειώνεται ότι ( λ λ τ. τ Πρέπει να σημειωθεί ότι το δυναμικό μοντέλο (8. έχει αναπτυχθεί χρησιμοποιώντας την προσέγγιση Euler Lagrange για το σύστημα του οχήματος εκκρεμούς (εξαιρώντας τα παθητικά και ενεργητικά ελατήρια. Η επίδραση των ελατηρίων έχει ενσωματωθεί στο μοντέλο σαν εξωτερικές δυνάμεις και ροπές. Είναι σημαντικό να σημειωθεί πως το μαθηματικό μοντέλο (8. είναι ουδετέρου τύπου. Θεωρώντας ότι το όχημα κινείται με σταθερή ταχύτητα, έστω v, και ότι οι ονομαστικές τιμές της εισόδου και των διαταραχών είναι μηδέν, δηλαδή u, ξ και ξ των μεταβλητών κατάστασης υπολογίζονται ως x 3 x 5 x π, ( k ψ g m + m + m p p c res, x k x 4 p ( g k m + k m + m + m kk p res res c p res p res ( g k m + k m + m + m p res res c p res, x v 6 kk p x, x, x, x, x res, οι ονομαστικές τιμές Έστω δ y ( y ( y, δ x ( x ( x, δ u ( u ( u, ( ( δξ ξ ξ. Εφαρμόζοντας απλούς υπολογισμούς, μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί ότι η γραμμικοποιημένη προσέγγιση του μη γραμμικού μοντέλου (8. είναι της μορφής ( + ( ( + ( + ( δy ( Cx δ ( δx E δx τ Aδx B δu J δξ (8.3α (8.3β 67

180 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα Υποθέτοντας ότι η γραμμικοποίηση λαμβάνει χώρα γύρω από ένα σημείο λειτουργίας o {, ξ,, } και o { u, ξ, x,} o u x x τ, οι πίνακες του γραμμικοποιημένου μοντέλο είναι o όπου f A x, E o o f x τ o o f u, J o o B f ξ o o όπου f ( x, x, u, ξ E( x f ( x, x, u, ξ τ. Συνεπώς προκύπτει ότι τ E, A E 6 9, I A A,, B b b b 6, 8, 9, T J 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 9, T E A e e e e e,, 3, 4, 5,, e e e e e,, 3, 4, 6, a a a a 6, 6,3 6,4 6,5 a a a 7, 7,4 7,5 a a a a 8, 8,3 8,4 8,5, a a a a 9, 9,3 9,4 9,5 A a a a,,,4 a a a,,,5 a a a a a a a a a a a 6,8 6,9 6, 6, 7,7 7, 7, 8,8 8,9 8, 8,, a a a a 9,8 9,9 9, 9, a a a,7,8, a a a,7,8, όπου τα στοιχεία των πινάκων του γραμμικοποιημένου μοντέλου είναι ( g l h l res c, v v v res e, e, e,, 3, I m + m v c p ( g l l l res p c, v v gres e, e, e 4, 5, Il m v p res g, T g l I res v v ( g h l l I res v c, v v v 68

181 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα res e,, 3, m + m c p g g l res v e, e I v 4, ( g l l l Il res c, v p v v p g res e, 6, mres ( h l v c, v b +, 6, I m v c ( ( h l l l m I v c, v c, v p c v b, 9, Ilm v p c ( 7, m + m, 8, c p l h l cv, v v, 6, 7, I v { p res ( p res ( v c v v a k k k + k h l l + Ikk 6,, v p res lv, I v 9, 6, b 8, m + m, lv, 8, I c p h v l I v c, v ( h l l v c, v v I v ( l l l cv, p v v Il ( ( ( g h l m k m m k k m v c, v res res c p p res res ( gi l l h m + m v c, v c, v v c p a, a 6,3 Im ( k l h l res c, v v v a, a 6,5 I v v c ( k + k 6,4 v p 9, ( l l l p c, v v Il v p (, } + gk k p res I + l h m ψ v c v v res r ( k h l l I res v c, v v p res kres a, a 7, 7,4 7,5 m + m m + m c p c p v kres m + m a k k l g k m m m m k k l 4g m 4gk m 8, Ikk v p res ( l l ( ( ψ p res v res res c p res p res v res res res r gl m cv, p a, 8,3 8,4 Iv k l k l res v a, a 8,5 I I v res v ( ( ψ a k k l + g k m m + m + m + k k l + 4g m 4gk m 9, Ikk cv, p p res v res res c p res p res v res res res r l v p res p ( a 9,3 ( + ( + gl l l mm I m m Ilm cv, cv, p c p v c p k l l l k l l l res c, v p v res p c, v v k k l k k res res v res a, a, a, a, a, a 9,4 9,5,,,4, Il Il m m m m v p ( v p v p res c res v c res p res res 69

182 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα k l res v res a, a,,,5 m m res res ( ( v p c k a 6,8 ( c + c ( h l l p res v c, v v ( c I h l l l m w v v c, v c, v p c c h l l a res v c, v v, a, a 6,9 6, Ilm I ( c + c p res cres a, a, a 7,7 7, 7, m + m m + m c p c p ( c + c l v I v 6, cres m + m c l l p res v w p c, v c l a, a, a 8,8 8,9 8, I Il I v ( v p c ( c l h l I res v v p res c, v v v v c l res v a, a 8, I v 9,8 ( c + c ( l l l p res c, v p v Il v p a c l l m m I m m ( + ( + w c, v p c p v c p 9,9 Ilmm v p c p ( c l l l res c, v p v a, a 9, Il v p 9, ( c l l l Il res p c, v v v p c res a, a,7,8 mres c l c res v res, a, a,,7 m m res res c m res res c l res v a, a,8, mres c m res res Είναι εύλογο να διερωτηθεί κάποιος για την επίδραση του συστήματος των καθυστερημένων αντηχείων σε μια τέτοια διάταξη. Ενδεικτικά, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που παρουσιάζονται στην Ενότητα 8.4 και συγκρίνοντας την γραμμικοποιημένη απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόχου με και χωρίς την ύπαρξη ενεργητικών αναρτήσεων παρατηρήθηκε ότι η επίδραση των διαταραχών μειώθηκε περισσότερο από 4% με την εγκατάσταση των καθυστερημένων αντηχείων. 8.3 Σχεδιασμός Ελεγκτή Σε ότι ακολουθεί, θα προταθεί ένα δυναμικό σχήμα ελέγχου για την ρύθμιση της ταχύτητας του οχήματος με ταυτόχρονη μείωση της επίδρασης των διαταραχών στην γωνία του εκκρεμούς. Αυτό θα πραγματοποιηθεί χωρίς την τροποποίηση του προεγκατεστημένου συστήματος ενεργητικής ανάρτησης το οποίο θα θεωρηθεί ως τμήμα του συστήματος. Χρησιμοποιώντας την γραμμικοποιημένη προσέγγιση (8.3 του μη γραμμικού μοντέλου (8.και εφαρμόζοντας απλούς υπολογισμούς, μπορεί να παρατηρηθεί ότι 7

183 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα ( s ( sτ ( sτ ( sτ ( sτ ( ( ( ( Y H s, e R s, e U ( s + Ξ s Ξ s Y s H s, e R s, e (8.4 Y s, ( s όπου ( i και όπου Ξ και U( s είναι οι μετασχηματισμοί Laplace των ( i H sτ ( s, e sτ ( s, e sτ ( C s I e E A + B H sτ sτ (, R ( s, e sτ sτ (, (, R s e sτ ( y, ( CsI e E A + J R s e R s e i ξ και u (, αντίστοιχα, Για τον έλεγχο του συστήματος προτείνεται ο ακόλουθος νόμος ελέγχου δυναμικής ανατροφοδότησης εξόδου και δυναμικού προαντισταθμιστή ( (, sτ ( (, sτ sτ ( (, ( U s K s e Y s + K s e Y s + G s e W s (8.5 όπου W( s είναι ο μετασχηματισμός Laplace της εξωτερικής εντολής, έστω w (. Εφαρμόζοντας την σχέση (8.5 στο σύστημα (8.4 προκύπτει ότι το σύστημα κλειστού βρόχου είναι της μορφής i ( s ( sτ ( sτ (, c, c sτ ( sτ ( ( ( ( Y H s, e, R s e, c, c W ( s + Ξ s Ξ s Y s H s, e R s, e (8.6 όπου sτ sτ sτ s (, (, (, τ (, H s e G s e H s e N s e, c sτ sτ sτ s (, (, (, τ (, H s e G s e H s e N s e, c R se H se K se R se H se K se R se N se, c sτ sτ sτ sτ sτ sτ sτ sτ (, (, (, (, (, (, (, } (, R se H se K se R se H se K se R se N se, c sτ sτ sτ sτ sτ sτ sτ sτ (, (, (, (, (, (, (, } (, (, s τ (, s τ (, s τ (, s τ (, s τ N se H se K se H se K se Ο σχεδιαστικός στόχος είναι η συνάρτηση μεταφοράς που συνδέει την εξωτερική εντολή με την s ταχύτητα του οχήματος να είναι ίση με μια επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς, έστω H ( s, e τ m η συνάρτηση μεταφοράς που συνδέει τις διαταραχές με την γωνία του εκκρεμούς να είναι ίση με την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου πολλαπλασιασμένη με έναν συντελεστή, ενώ 7

184 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα s εξασθένισης, έστω λ ( se, τ. Συνεπώς πρέπει να ισχύει ότι H ( s, e sτ s, H ( s, e τ c m sτ sτ sτ (, λ (, (,, c (8.7α R s e s e R s e (8.7β Οι σχεδιαστικές απαιτήσεις που παρουσιάζονται στις σχέσεις (8.7α και (8.7β ικανοποιούνται εάν { (, s τ (, s τ (, s τ (, s τ m G se H se H se K se { sτ (, sτ sτ sτ (, (, (, } R se + H se K se R se sτ (, sτ sτ sτ (, (, (, K se H se K se R se λ sτ s s s ( se, τ τ τ H ( se, K ( se, R( se, } sτ sτ sτ (, (, λ (, H se R se se sτ sτ sτ (, (, λ (, H s e R s e s e s όπου η συνάρτηση μεταφοράς K ( s, e τ s συστήματος κλειστού βρόχου, αρκεί τα λ ( se, τ s και H ( s, e τ m s ελεγκτής ευσταθής αρκεί το λ ( se, τ s να έχει ευσταθή μηδενικά και το K ( s, e τ (8.8α (8.8β είναι αυθαίρετη. Σε ότι αφορά την ευστάθεια του να είναι ευσταθή. Για να είναι ο έχοντας τριπλό μηδενικό στο μηδέν. Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις επιλέγουμε K sτ ( s, e m δ s ( s γ ( s γ ( s 3γ ( s 4γ να είναι ευσταθές 3 (8.9α λ s s + s + 3 ( se, s βs β τ β β (8.9β + + H s e H s e s s όπου H ( s, e τ s είναι ο αριθμητής του H ( s, e τ τέτοιος ώστε lim (, s H s e τ m s 5 (, s τ sτ κ (, ( + α (8.9γ ως προς s και κ είναι ένας πραγματικός αριθμός. Οι παράμετροι α, β, β, β, γ και δ επιλέγονται από τον 3 σχεδιαστή. Προφανώς, οι παράμετροι α, β, β, β και γ πρέπει να είναι θετικοί έτσι ώστε να 3 εξασφαλίζεται η ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου και του ελεγκτή. 7

185 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα Πρέπει να σημειωθεί ότι οι επιλογές (8.9 παράγουν έναν κατάλληλο δυναμικό ελεγκτή ανατροφοδότησης εξόδου. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το προτεινόμενο σχήμα ελέγχου παράχθηκε χρησιμοποιώντας την γραμμικοποιημένη προσέγγιση (8.3 του μη γραμμικού συστήματος (8., η προτεινόμενη τεχνική θα παράγει ικανοποιητικά αποτελέσματα υπό την προϋπόθεση ότι το μοντέλο (8.3 παραμένει ικανοποιητική προσέγγιση του αρχικού μη γραμμικού μοντέλου. 8.4 Αποτελέσματα Προσομοίωσης Έστω ότι οι τιμές των παραμέτρων του μη γραμμικού μοντέλου (8. είναι m.744 kgr p, m 5. kgr v, h.3 m v, l.5 m v, l.34 m cv,, l.44 m p, ψ. m r, ψ. m, k 6 N/m p, c 5 kgr/sec p, c N m sec w,, g 9.8 m/sec, m.77 kgr res, k 349 N/m res, I kgr m v c 8.8 kgr/sec res, g.833 N sec /m res, 6 τ sec, v m/sec Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω δεδομένα προκύπτει ότι οι μη μηδενικές ονομαστικές τιμές του μη γραμμικού μοντέλου είναι x m, x π rad 3, x m/sec 6, x.448 m 4, x.448 m 5. Σε ότι αφορά την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου που συνδέει την εξωτερική εντολή με την ταχύτητα του οχήματος, θα υποθέσουμε ότι α. Σε ότι s αφορά το λ ( se, τ, οι παράμετροί του θα επιλεγούν κατά τέτοιο τρόπο έτσι ώστε η επίδραση βηματικής διαταραχής στην γωνία του εκκρεμούς σε σύγκριση με το σύστημα ανοιχτού βρόχου να ελαχιστοποιείται. Για να γίνει αυτό, θα χρησιμοποιηθεί, σε συνδυασμό με το γραμμικοποιημένο μοντέλο, ένας μεταευρετικός αλγόριθμος παρόμοιος με αυτόν που παρουσιάζεται στην εργασία [6]. Σε ότι αφορά τον μεταευρετικό αλγόριθμο η αρχική περιοχή αναζήτησης των παραμέτρων είναι β και β για,, 3. Επιπλέον, θα υποτεθεί ότι N και N.,max,min s Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω δεδομένα οι παράμετροι του λ ( se, τ loop rep προσδιορίστηκαν ως β 4.883, β και β.985. Για τη παραπάνω επιλογή των παραμέτρων του 3 ελεγκτή προκύπτει ότι J.56 ενώ στο Σχήμα 8., παρουσιάζονται οι γραμμικοποιημένες c αποκρίσεις των συστημάτων ανοιχτού και κλειστού βρόχου για την γωνία του εκκρεμούς. Παρατηρείται ότι η γωνία του εκκρεμούς ελαττώνεται σαφώς γρηγορότερα στην περίπτωση του συστήματος s κλειστού βρόχου. Σε ότι αφορά τις παραμέτρους της συνάρτησης K ( s, e τ θα υποτεθεί ότι γ. 73

186 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα και δ 5.. Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω δεδομένα καθώς και την γραμμικοποιημένη προσέγγιση (8.3, μπορούν να προσδιοριστούν οι υπόλοιπες συναρτήσεις μεταφοράς του ελεγκτή χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (8.8 και (8.9. Για να επιδειχθεί η απόδοση του προτεινόμενου ελεγκτή, αυτός θα εφαρμοστεί στο μη γραμμικικό μοντέλο (8.. Η εξωτερική εντολή επιλέγεται της μορφής ( w ( T ( T 3T + 3 ( T T για ( T T ( w για ( < T ( w για ( > T όπου T και T 5. Σημειώνεται ότι εξωτερική εντολή είναι ομαλό σήμα. Σε ότι αφορά τις διαταραχές, αυτές επιλέγονται της μορφής ξ ( 5 u (,3,8 p ενώ ξ ( ξ ( τˆ (. Η χρονική καθυστέρηση τ ˆ( εξαρτάται από την ταχύτητα του οχήματος και συμβολίζει το χρονικό διάστημα που χρειάζεται έτσι ώστε η ανωμαλία που επηρεάζει τον μπροστά τροχό να φθάσει στον πίσω τροχό. Προφανώς, ισχύει ότι 6 ( ρ τˆ ( x dρ l. Στα Σχήματα 8.3 έως 8.7, παρουσιάζονται οι αποκρίσεις των v σημαντικότερων μεταβλητών κατάστασης. Ειδικότερα, στο Σχήμα 8.3 παρουσιάζεται η ενεργοποιήσιμη είσοδος. Σε ότι αφορά την ενεργοποιήσιμη είσοδο, σε κάθε χρονική στιγμή αυτή παραμένει σε όρια τα οποία ένας ενεργοποιητής μπορεί να επιτύχει. Σε ότι αφορά την γωνία του εκκρεμούς (βλέπε Σχήμα 8.5 πρέπει να σημειωθεί ότι η απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου αρχικά έχει μεγαλύτερη τιμή από αυτή του συστήματος ανοιχτού βρόχου. Αυτό συμβαίνει εξαιτίας της απαίτησης για την αύξηση της ταχύτητας του οχήματος. Παρόλα αυτά οι ταλαντώσεις και η ταχύτητα του εκκρεμούς μειώνονται αισθητά πιο γρήγορα από ότι στην περίπτωση του συστήματος ανοιχτού βρόχου (βλέπε Σχήματα 5 και 7. Σε ότι αφορά την ταχύτητα του οχήματος (βλέπε Σχήμα 6, μπορεί να παρατηρηθεί ότι ακολουθεί με ακρίβεια το επιθυμητό μοντέλο ενώ σε ότι αφορά τις υπόλοιπες μεταβλητές κατάστασης αυτές παραμένουν σε αποδεκτά όρια. Πρέπει να σημειωθεί ότι το μήκος του εκκρεμούς l καθώς και ο συντελεστής απόσβεσης της p περιστροφικής άρθρωσης του εκκρεμούς c υπόκεινται σε μεταβολές. Αυτό συμβαίνει εξ αιτίας του w γεγονότος ότι το σύστημα είναι προσέγγιση της διεργασίας μεταφοράς υγρών και οι παραπάνω παράμετροι εξαρτούνται από την φυσική συχνότητα του υγρού και από το ιξώδες του. Επειδή ο ελεγκτής εξαρτάται από τις παραμέτρους αυτές, μελετήθηκε πως επηρεάζεται η απόδοση του 74

187 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα συστήματος κλειστού βρόχου αν γνωρίζουμε μόνο την ονομαστική τους τιμή και ο ελεγκτής υπολογίζεται με βάση αυτή. Σε ότι αφορά το μήκος του εκκρεμούς και το συντελεστή απόσβεσης παρατηρήθηκε ότι η απόκριση των μεταβλητών απόδοσης παρέμενε οπτικά όμοια ακόμα και για αποκλίσεις ± 8% στο μήκος του εκκρεμούς και ± 99% στον βαθμό απόσβεσης από τις ονομαστικές τιμές.. Pendulum Deflecion degrees sec Σχήμα 8.: Γραμμικοποιημένη απόκριση γωνίας εκκρεμούς (διακεκομμένη σύστημα ανοιχτού βρόχου, συνεχής σύστημα κλειστού βρόχου 75

188 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα u N sec Σχήμα 8.3: Ενεργοποιήσιμη είσοδος u.5 q degrees sec Σχήμα 8.4: Κλίση οχήματος 3 q (διακεκομμένη σύστημα ανοιχτού βρόχου, συνεχής σύστημα κλειστού βρόχου 76

189 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα q degrees sec 3 Σχήμα 8.5: Γωνία εκκρεμούς q 4 (διακεκομμένη σύστημα ανοιχτού βρόχου, συνεχής σύστημα κλειστού βρόχου.8 q m/sec sec Σχήμα 8.6: Ταχύτητα οχήματος q (διακεκομμένη μοντέλο, συνεχής σύστημα κλειστού βρόχου 77

190 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα.. q rad/sec Συμπεράσματα sec Σχήμα 8.7: Γωνιακή ταχύτητα εκκρεμούς q 4 (διακεκομμένη σύστημα ανοιχτού βρόχου, συνεχής σύστημα κλειστού βρόχου Στο παρόν κεφάλαιο, αναπτύχθηκε το μαθηματικό μοντέλο ενός τροχοφόρου οχήματος που φέρει ενεργητικές και παθητικές αναρτήσεις και μεταφέρει ένα ελεύθερα περιστρεφόμενο εκκρεμές το οποίο προσεγγίζει την κίνηση ενός υγρού σε ένα δοχείο το οποίο είναι σταθερά τοποθετημένο στο όχημα. Το συνολικό σύστημα μοντελοποιήθηκε ως ένα μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με χρονική καθυστέρηση. Το μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος χρησιμοποιήθηκε για την ανάπτυξη της γραμμικοποιημένης προσέγγισής του στη μορφή ενός γραμμικού ουδέτερου συστήματος με χρονική καθυστέρηση τα στοιχεία των πινάκων του οποίου ήταν ρητές συναρτήσεις των φυσικών παραμέτρων του μαθηματικού μοντέλου. Με βάση την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, κατασκευάστηκε ένας δυναμικός ελεγκτής ανατροφοδότησης εξόδου που επιτύγχανε ακολούθηση εντολής για την ταχύτητα και εξασθένιση της επίδρασης των διαταραχών στις ταλαντώσεις του εκκρεμούς. Η σχεδιαστική απαίτηση αυτή διατυπώθηκε, σε ότι αφορά το πρόβλημα της ακολούθησης εντολής, σαν ένα πρόβλημα ταιριάσματος σε μοντέλο, δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου που συνδέει την εξωτερική εντολή με την ταχύτητα του οχήματος να είναι ήδη με ένα ιδανικό μοντέλο. Η σχεδιαστική απαίτηση της εξασθένισης διαταραχών επίσης διατυπώθηκε σαν ένα πρόβλημα ταιριάσματος σε μοντέλο, δηλαδή η συνάρτηση μεταφορά που συνδέει τις ανωμαλίες στο οδόστρωμα με την γωνία του 78

191 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα εκκρεμούς να είναι ίση με ένα δυναμικό μοντέλο το οποίο θα προκαλεί εξασθένιση διαταραχών. Η απόδοση του προτεινόμενου σχήματος ελέγχου αναδείχτηκε μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. Παρατηρήθηκε ότι οι ταλαντώσεις της γωνίας του εκκρεμούς, στην περίπτωση του συστήματος κλειστού βρόχου, μειώνονταν ταχύτερα από ότι στην περίπτωση του συστήματος ανοιχτού βρόχου. Σε ότι αφορά την ευρωστία του συστήματος κλειστού βρόχου, παρατηρήθηκε ότι η απόδοση ήταν ικανοποιητική ακόμα και στην περίπτωση που το μήκος του εκκρεμούς και ο συντελεστής απόσβεσης της περιστροφικής άρθρωσης απέκλιναν σημαντικά από τις ονομαστικές τους τιμές. Αντιθέτως, η μάζα του εκκρεμούς, παρότι δεν επηρεάζει σημαντικά την απόδοση του συστήματος ως προς την γωνία του εκκρεμούς, η οποία είναι η κύρια μεταβλητή απόδοσης, η ταχύτητα του οχήματος επηρεάζεται σημαντικά. Ολοκληρώνοντας, είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι τα παρόντα αποτελέσματα είναι πολύ χρήσιμα για την σχεδίαση ελεγκτών αντιστάθμισης ταλαντώσεων σε οχήματα που μεταφέρουν επιβάτες ή υλικά μέσω της χρήσης μικρού δοκιμαστικού εκκρεμούς με μετρήσιμη γωνία χρησιμοποιώντας τον προτεινόμενο ελεγκτή. Επιπλέον, το μη γραμμικό δυναμικό μοντέλο του συστήματος οχήματος εκκρεμούς θα μπορούσε να επεκταθεί σε ένα μοντέλο τρισδιάστατης κίνησης του αυτοκινήτου το οποίο θα περιλαμβάνει όλους τους τροχούς έτσι ώστε να μπορούν να προσομοιωθούν και κυκλικές τροχιές. Χρησιμοποιώντας το πλήρες μοντέλο, μπορεί να αναπτυχθεί ένα πιο πολύπλοκο σχήμα ελέγχου το οποίο θα αντισταθμίζει γυροσκοπικές επιδράσεις και πλευρικές ταλαντώσεις. 8.6 Βιβλιογραφία [] K K. Yano, S. Higashikawa and K. Terashima, Moion conrol of liquid conainer considering an inclined ransfer pah, Conrol Eng. Pracice, vol.,, pp [] J. Feddema, C. Dohrmann, G. Parker, R. Robine, V. Romero and D. Schmi, Roboically conrolled sloshfree moion of an open conainer of liquid, 996 IEEE Inernaional Conference on Roboics and Auomaion, Minneapolis, Minnesoa, USA, 996 [3] K. Terashima, M, Hamaguchi and K. Yamaura, Modeling and inpu shaping conrol of liquid vibraion for an auomaed pouring sysem, 35h Conference on Decision and Conrol, Kobe, Japan, 996 [4] J. T. Feddema, C. R. Dohrmann, G. G. Parker, R. D. Robine, V. J. Romero and D. J. Schmi, Conrol for slosh free moion of an open conainer, IEEE Conrol Sysems Magazine, vol. 7, no., 997, pp [5] K. Yano and K. Terashima, Robus liquid conainer ransfer conrol for complee sloshing suppression, IEEE Transacions on Conrol Sysems Technology, vol. 9, pp , [6] K. Terashima and K. Yano, Sloshing analysis and suppression conrol of iling ype auomaic pouring machine, Conrol Engineering Pracice, vol. 9,, pp [7] S. Kimura, M. Hamaguchi and T. Taniguchi, Damping conrol of liquid conainer by a carrier wih dual swing ype acive vibraion reducer, 4s SICE Annual Conference, Osaka, Japan, [8] Y. Noda, K. Yano and K. Terashima, Tracking o moving obec and sloshing suppression conrol using ime varying filer gain in liquid conainer ransfer, 3 SICE Annual Conference, Fukui, Japan, 3 [9] M. Hamaguchi, K. Terashima, H. Nomura, Opimal conrol of liquid conainer ransfer for several performance specificaions, J. Advanced Auom. Techn., vol. 6, 994, pp [] M.P. Tzamzi, F.N. Koumboulis, N.D. Kouvakas and G.E. Panagioakis, A Simulaed Annealing Conroller for Sloshing Suppression in Liquid Transfer wih Delayed Resonaors, 4h Medierranean Conference on Conrol and Auomaion, Ancona, Ialy, 6 79

192 Κεφάλαιο 8: Ελεγκτές Ταιριάσματος σε Μοντέλο με ταυτόχρονη Εξασθένιση Διαταραχών για Ρομποτικό Όχημα [] M. P. Tzamzi, F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and M. G. Skarpeis, Robusness in Liquid Transfer Vehicles wih Delayed Resonaors, 6h WSEAS Inernaional Conference on Circui, Sysems, Elecronics, Conrol & Signal Processing (CSECS'7, Cairo, Egyp, 7, pp / WSEAS Transacions on Sysems, vol. 7, no., 8, pp [] N. Olgac and B. T. Holm Hansen, A novel acive vibraion echnique: delayed resonaor, Journal of Sound and Vibraion, vol. 76, no., 994, pp [3] N. Olgac, H. Elmali and S. Viayan, Inroducion o he dual frequency delayed resonaor, Journal of Sound and Vibraion, vol. 89, no. 3, 996, pp [4] D. Filipovic, N. Olgak, Delayed resonaor wih speed feedback including dual frequency heory and experimens, 36h Conf. on Decision and Conrol, San Diego, California, USA, 997 [5] M. E. Renzulli, R. Ghosh Roy and N. Olgac, Robus Conrol of he Delayed Resonaor Vibraion Absorber, IEEE Transacions on Conrol Sysems Technology, vol. 7, no. 6, 999, pp [6] F.N. Koumboulis and M.P. Tzamzi, A meaheurisic approach for conroller design of mulivariable processes, h IEEE Inernaional Conference on Emerging Technology on Facory Auomaion, Rio Paras, Greece, 7 [7] D. A. Manaras and P. Luque, Ride comfor performance of differen acive suspension sysems, Inernaional Journal of Vehicle Design, vol. 4, 6, pp. 6 5 [8] S. A. Oke, T. A. O. Salau, O. A. Adeyefa, O. G. Akanbi and F. A. Oyawale, Mahemaical Modelling of he road bumps using laplace ransform, Inernaional Journal of Science and Technology, vol., no., 7, pp

193 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Συμπεράσματα Στην παρούσα διδακτορική διατριβή αναπτύχθηκε για πρώτη φορά μια ολοκληρωμένη αλγεβρική προσέγγιση για την αντιμετώπιση προβλημάτων ελέγχου σε ουδέτερα συστήματα με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις χρησιμοποιώντας δυναμικούς πραγματοποιήσιμους ελεγκτές. Με βάση την προσέγγιση αυτή, επιλύθηκαν σημαντικοί στόχοι σχεδιασμού για απαιτήσεις εισόδων εξόδων, όπως είναι: η αποκοπή διαταραχών, το ταίριασμα σε μοντέλο και η αποσύζευξη εισόδων εξόδων, σε πρωτότυπες βιομηχανικές εφαρμογές οι οποίες μοντελοποιήθηκαν για πρώτη φορά στην παρούσα διατριβή. Τα θεωρητικά αποτελέσματα εφαρμόστηκαν επιτυχώς στις εφαρμογές αυτές και σε τρεις παραδοσιακές εφαρμογές της περιοχής των συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις. Τα παρόντα αποτελέσματα ανοίγουν νέο δρόμο για την μελέτη των ουδετέρων συστημάτων πολλαπλών χρονικών καθυστερήσεων με δυναμικούς ελεγκτές. Ειδικότερα: Παρουσιάστηκε το μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης στη μορφή ενός μη γραμμικού ουδετέρου συστήματος με χρονικές καθυστερήσεις. Παρουσιάστηκαν τα επιμέρους μαθηματικά μοντέλα για τα κύρια τμήματα του συστήματος, δηλαδή το δίκτυο σωληνώσεων, το θερμαντικό σώμα και τον λέβητα. Τα επιμέρους μοντέλα συνδυάστηκαν μέσω καταλλήλων αλγεβρικών συσχετίσεων στο μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με χρονικές καθυστερήσεις (οι οποίες εξαρτώνται από τις μεταβλητές κατάστασης το οποίο στη συνέχεια απλοποιήθηκε σε ένα ουδέτερο σύστημα με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις. Αποδείχθηκε ότι η επίδραση των καθυστερήσεων είναι σημαντική, συνεπώς η ενσωμάτωσή τους στο μαθηματικό μοντέλο της διάταξης είναι ουσιαστική ενώ η προσέγγιση με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις εισάγει μόνο ένα μικρό σφάλμα στο σύστημα. Τέλος, σχεδιάστηκε ένας PID ελεγκτής για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου, το οποίο θα μοντελοποιήθηκε ως μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Οι παράμετροι του ελεγκτή προσδιορίστηκαν χρησιμοποιώντας έναν μεταευρετικό αλγόριθμο του οποίου εξετάστηκε η απόδοση. Η παραγόμενη απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου συγκρίθηκε α με την απόκριση η οποία παράγεται από τον ίδιο ελεγκτή στην περίπτωση που οι παράμετροί του υπολογίζονται 8

194 Κεφάλαιο 9: Συμπεράσματα χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols και β με την απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόχου εισάγοντας κατάλληλη σταθερή είσοδο. Για λόγους επίδειξης παράχθηκε επίσης και ένας ελεγκτής τύπου PI για τον έλεγχο της θερμοκρασίας του δωματίου και παρουσιάστηκε η απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου. Το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος κεντρικής θέρμανσης γενικεύτηκε σε ένα συνολικό ουδέτερο μη γραμμικό σύστημα με χρονικές καθυστερήσεις το οποίο ενσωμάτωνε όλες τις πιθανές συνθήκες ροής. Το γενικευμένο μοντέλο χρησιμοποιήθηκε για την παραγωγή μιας ενοποιημένης γραμμικοποιημένης προσέγγισης για όλες τις συνθήκες ροής. Η ακρίβεια της γραμμικοποιημένης προσέγγισης εξετάστηκε χρησιμοποιώντας ένα Ευκλείδειο κριτήριο σφάλματος με έμφαση στην μεταβλητή απόδοσης του συστήματος. Με βάση την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, χρησιμοποιήθηκε ένας μεταευρετικός αλγόριθμος για την παραγωγή των παραμέτρων ενός PID ελεγκτή που χρησιμοποιήθηκε για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου χρησιμοποιώντας ως μοναδική ενεργοποιήσιμη είσοδο την παροχή ενέργειας στον λέβητα. Ο ελεγκτής σχεδιάστηκε χρησιμοποιώντας ως μετρήσιμη μεταβλητή την θερμοκρασία του δωματίου και υποθέτοντας ότι οι διαταραχές είναι μηδέν, για την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, ή ισοδύναμα ίσες με τις ονομαστικές τιμές για το μη γραμμικό σύστημα. Η ικανοποιητική απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου επιδείχθηκε μέσω υπολογιστικών πειραμάτων καθώς επίσης και με την χρήση διαφόρων κριτηρίων απόδοσης και συγκρίνοντας τα αποτελέσματα με άλλους PID ελεγκτές των οποίων οι παράμετροι υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας παραδοσιακές και γενετικές τεχνικές. Επιπλέον, εξετάστηκε η ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Η τεχνική ελέγχου που προτάθηκε φαίνεται ότι διαθέτει το βασικό πλεονέκτημα της παραγωγής ελεγκτών οι οποίοι επιτυγχάνουν γρήγορη και ακριβή ακολούθηση εντολή ενώ υλοποιούνται εύκολα, συμπεριλαμβανομένου και του μεταευρετικού αλγορίθμου, σε πολλούς χαμηλού επιπέδου ελεγκτές πεδίου εγκατεστημένους σε προηγμένα συστήματα κεντρικής θέρμανσης. Επιλύθηκε το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών για ουδέτερα συστήματα μίας εισόδου μίας εξόδου με πολλαπλές μετρήσιμες διαταραχές με χρήση δυναμικών ελεγκτών. Ειδικότερα, παρουσιάστηκε η γενική μορφή των πινάκων του ελεγκτή που επιλύουν το πρόβλημα ενώ παρήχθησαν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι ώστε ο ελεγκτής να είναι πραγματοποιήσιμος. Η τεχνική που προτάθηκε εφαρμόστηκε σε ένα ουδέτερο σύστημα κεντρικής θέρμανσης με χρονικές καθυστερήσεις. Πιο συγκεκριμένα, παράχθηκε το μη γραμμικό μοντέλο της διεργασίας και η γραμμικοποιημένη προσέγγισή του με βάση την οποία αναπτύχθηκε ένας ελεγκτής δύο σταδίων για τον έλεγχο της θερμοκρασίας του δωματίου και της θερμοκρασίας του νερού στην έξοδο του λέβητα. Το πρώτο στάδιο αποτελούταν από έναν 8

195 Κεφάλαιο 9: Συμπεράσματα στατικό βρόχο ανατροφοδότησης κατάστασης που χρησιμοποιήθηκε για τον έλεγχο της ροής μέσα στο δίκτυο σωληνώσεων και έναν PD βρόχο ελέγχου με χρονικές καθυστερήσεις για την επίτευξη της αποκοπής διαταραχών και τον έλεγχο της θερμοκρασίας εξόδου του λέβητα. Στη συνέχεια, τα θεωρητικά αποτελέσματα εφαρμόστηκαν στο εσωτερικό σύστημα κλειστού βρόχου για την ρύθμιση της μεταβλητής απόδοσης (δηλαδή της θερμοκρασίας του δωματίου. Η απόδοση του προτεινόμενου σχήματος ελέγχου διερευνήθηκε μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. Μελετήθηκε το πρόβλημα της τετραγωνικής αποσύζευξης με ελεγκτές που δεν περιλαμβάνουν προβλεπτές, χρησιμοποιώντας είτε δυναμική ανατροφοδότηση κατάστασης είτε δυναμική ανατροφοδότηση εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή για την γενική κατηγορία γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές καθυστερήσεις. Και στις δύο περιπτώσεις αποδείχτηκε ότι το πρόβλημα ήταν πάντα επιλύσιμο ενώ παρουσιάστηκε και η γενική μορφή των ελεγκτών αποσύζευξης. Τέλος, έγινε εφαρμογή της προτεινόμενης τεχνικής για την παραγωγή ενός δυναμικού ελεγκτή ανατροφοδότησης εξόδου στο μαθηματικό μοντέλο ενός πυρηνικού αντιδραστήρα συζευγμένων πυρήνων. Ο ελεγκτής παρουσιάστηκε αναλυτικά και εξετάστηκε η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου. Παρατηρήθηκε ότι οι αποκρίσεις των μεταβλητών απόδοσης ήταν όντως αποσυζευγμένες με συμπεριφορές που αντιστοιχούσαν στον επιλεγμένο πίνακα συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου. Σε ότι αφορά τις υπόλοιπες μεταβλητές κατάστασης και τις ενεργοποιήσιμες εισόδους, παρατηρήθηκε ότι παρέμεναν σε αποδεκτά όρια. Μελετήθηκε για πρώτη φορά το πρόβλημα του Morgan για την κατηγορία των γενικών ουδετέρων συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις. Ο ελεγκτής που προτάθηκε ήταν ανατροφοδότησης μετρήσιμων εξόδων με δυναμικό πίνακα ανατροφοδότησης και δυναμικό προαντισταθμιστή. Για την περίπτωση της μη τετραγωνικής ανατροφοδότησης μετρήσιμων εξόδων, προσδιορίστηκαν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος και παρουσιάστηκε αναλυτικά μια κατηγορία δυναμικών ελεγκτών που επιλύουν το πρόβλημα. Τα θεωρητικά αποτελέσματα εφαρμόστηκαν επιτυχώς στο δυναμικό μοντέλο με χρονικές καθυστερήσεις ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης το οποίο αναπτύχθηκε εδώ για πρώτη φορά. Στο μοντέλο αυτό θεωρήθηκε ότι η εξωτερική θερμοκρασία ήταν ίδια για όλα τα δωμάτια και μεταβάλλονταν αργά. Η καλή απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου σε ότι αφορά την θερμική αυτονομία αναδείχτηκε μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. Μελετήθηκε το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο. Ειδικότερα, παράχθηκαν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο ουδετέρων συστημάτων μιας εισόδου μιας εξόδου με πολλαπλές 83

196 Κεφάλαιο 9: Συμπεράσματα καθυστερήσεις με χρήση δυναμικής ανατροφοδότησης εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή ενώ επίσης παρουσιάστηκε και η γενική λύση των αντίστοιχων πραγματοποιήσιμων ελεγκτών. Τα αποτελέσματα εφαρμόστηκαν στο μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος δύο αναμίκτων σε σειριακή σύνδεση καθώς και σε ένα αριθμητικό παράδειγμα. Στην συνέχεια, μελετήθηκε το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο για την κατηγορία των αριστερά αντιστρέψιμων ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές καθυστερήσεις χρησιμοποιώντας δυναμική ανατροφοδότηση μετρήσιμων εξόδων και αντισταθμιστή των μετρήσιμων διαταραχών. Το δυναμικό τμήμα του ελεγκτή που συνδέει τις μετρήσιμες εξόδους και τις διαταραχές με τις εισόδους θεωρήθηκε ότι είναι πραγματοποιήσιμο. Για αυτού του τύπου ελεγκτές και συστήματα ανοιχτού βρόχου παράχθηκαν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών και παρουσιάστηκε η αναλυτική έκφραση των πινάκων του ελεγκτή που επιλύουν το πρόβλημα. Για να αναδειχθεί η αποτελεσματικότητα των θεωρητικών αποτελεσμάτων, αυτά εφαρμόστηκαν στο μαθηματικό μοντέλο μιας μηχανής εσωτερικής καύσης σε κατάσταση βραδυπορίας. Αποδείχθηκε ότι το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με δυναμικό ελεγκτή ικανοποιείται ενώ η αντίστοιχη προσέγγιση με αναλογικό ελεγκτή αποτυγχάνει. Αναπτύχθηκε το μαθηματικό μοντέλο τροχοφόρου οχήματος το οποίο μετέφερε ένα ελεύθερα περιστρεφόμενο εκκρεμές το οποίο προσέγγιζε την κίνηση ενός υγρού σε ένα δοχείο το οποίο είναι σταθερά τοποθετημένο στο όχημα. Επιπλέον, θεωρήθηκε ότι το όχημα χρησιμοποιεί συστήματα ενεργητικών και παθητικών αναρτήσεων για την καταστολή των ταλαντώσεων του οχήματος. Το σύστημα ενεργητικών αναρτήσεων περιλαμβάνει ένα ζεύγος καθυστερημένων αντηχείων το οποίο ανατροφοδοτεί την επιτάχυνση της ενεργητικής μάζας ενώ το σύστημα των παθητικών αναρτήσεων είναι ένα απλό ζεύγος ελατηρίων αποσβεστήρων που παρεμβάλλεται μεταξύ των τροχών και της πλατφόρμας του οχήματος. Το συνολικό σύστημα μοντελοποιήθηκε ως ένα μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με χρονική καθυστέρηση. Το μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος χρησιμοποιήθηκε για την ανάπτυξη της γραμμικοποιημένης προσέγγισής του στη μορφή ενός γραμμικού ουδέτερου συστήματος με χρονική καθυστέρηση τα στοιχεία των πινάκων του οποίου ήταν ρητές συναρτήσεις των φυσικών παραμέτρων του συστήματος. Με βάση την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, κατασκευάστηκε ένας δυναμικός ελεγκτής ανατροφοδότησης εξόδου (που περιλαμβάνει καθυστερήσεις έτσι ώστε να επιτυγχάνεται ακολούθηση εντολής για την ταχύτητα και εξασθένιση της επίδρασης των διαταραχών στις ταλαντώσεις του εκκρεμούς. Η σχεδιαστική απαίτηση αυτή διατυπώθηκε σε ότι αφορά το πρόβλημα της ακολούθησης εντολής σαν ένα πρόβλημα ταιριάσματος σε μοντέλο, δηλαδή η 84

197 Κεφάλαιο 9: Συμπεράσματα συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου που συνδέει την εξωτερική εντολή με την ταχύτητα του οχήματος να είναι ίση με ένα ιδανικό μοντέλο. Η σχεδιαστική απαίτηση της εξασθένισης διαταραχών επίσης διατυπώθηκε σαν ένα πρόβλημα ταιριάσματος σε μοντέλο, δηλαδή η συνάρτηση μεταφορά που συνδέει τις ανωμαλίες στο οδόστρωμα με την γωνία του εκκρεμούς να είναι ίση με ένα δυναμικό μοντέλο το οποίο θα προκαλεί εξασθένιση της επίδρασης των διαταραχών. Η απόδοση του προτεινόμενου σχήματος ελέγχου αναδείχθηκε μέσω υπολογιστικών πειραμάτων στο μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος ενώ επίσης διερευνήθηκε και η ευρωστία του σχήματος σε σχέση με συγκεκριμένες παραμέτρους του συστήματος. Από τα αποτελέσματα της διδακτορικής διατριβής έγινε σαφές ότι ο προσδιορισμός των δυναμικών ελεγκτών που επιλύουν τις σχεδιαστικές απαιτήσεις εισόδων εξόδων είναι εφικτός πραγματοποιώντας απλά αλγεβρικά βήματα. Παρόλα αυτά, για να είναι εξασφαλισμένη η επιτυχία του συστήματος κλειστού βρόχου, είναι απαραίτητο να είναι γνωστές οι παράμετροι των συστημάτων ανοιχτού βρόχου με πλήρη ακρίβεια. Για τον λόγο αυτό η μελλοντική έρευνα είναι χρήσιμο να εστιαστεί στην παραγωγή εύρωστων δυναμικών ελεγκτών για γενικά ουδέτερα συστήματα με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις καθώς ακόμα και στην παραγωγή αντίστοιχων προσαρμοστικών σχημάτων ελέγχου. 85

198

199 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Ανάλυση Επιστημονικών Εργασιών Δημοσιεύσεις σε Διεθνή Επιστημονικά Περιοδικά με Πλήρη Κρίση [] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Analyic Modeling and Meaheurisic PID Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem, WSEAS Transacions on Sysems and Conrol, vol. 7, no. 3, pp , 8 Στην εργασία αυτή, αναπτύσσεται το μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης σαν ένα μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με χρονομεταβλητές χρονικές καθυστερήσεις το οποίο στη συνέχεια απλοποιείται σε ένα μη γραμμικό ουδέτερο σύστημα με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις. Στην πορεία αυτή αποδεικνύεται ότι η επίδραση των καθυστερήσεων είναι σημαντική, συνεπώς η ενσωμάτωσή τους στο μοντέλο της διεργασίας είναι απαραίτητη. Αντίθετα, η προσέγγιση των χρονομεταβλητών καθυστερήσεων με αντίστοιχες σταθερές εισάγει μόνο ένα μικρό σφάλμα. Τέλος, παράγεται ένας PID ελεγκτής για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου το οποίο μοντελοποιείται σαν μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Οι παράμετροι του PID ελεγκτή υπολογίζονται με χρήση μεταευρετικού αλγορίθμου ενώ μελετάται και η ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. [] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Dynamic disurbance reecion conrollers for neural ime delay sysems wih applicaion o a cenral heaing sysem, Science in China Series F: Informaion Sciences, vol. 5, no. 7, pp , 9 Στην εργασία αυτή μελετάται το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών για ουδέτερα συστήματα με χρονικές καθυστερήσεις μιας εισόδου μιας εξόδου, με πολλαπλές μετρίσιμες διαταραχές, με χρήση δυναμικών ελεγκτών. Ειδικότερα, παρουσιάζεται η γενική μορφή του ελεγκτή που επιλύει το πρόβλημα ενώ παράγονται και οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι ο ελεγκτής υλοποιήσιμος. Η προτεινόμενη τεχνική εφαρμόζεται σε ένα ουδέτερο σύστημα κεντρικής θέρμανσης. Παρουσιάζεται τόσο η μη γραμμική όσο και η γραμμικοποιημένη προσέγγιση του μαθηματικού μοντέλου της διεργασία. Με βάση την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, σχεδιάζεται ένας ελεγκτής δύο σταδίων για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου και της θερμοκρασίας εξόδου του λέβητα. Η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου εξετάζεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. [3] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Linear approximan based meaheurisic proporional inegral derivaive conroller for a neural ime delay cenral heaing sysem, Proceedings of he IMechE Par I: Journal of Sysems and Conrol Engineering, vol. 3, pp , 9 87

200 Παράρτημα Α: Ανάλυση Επιστημονικών Εργασιών Στην εργασία αυτή μοντελοποιείται μια μονάδα κεντρικής θέρμανσης σαν ένα μη γραμμικό σύστημα με χρονομεταβλητές χρονικές καθυστερήσεις. Στη διεργασία εφαρμόζεται ένα μεταευρετικό PID σχήμα ελέγχου με τελικό στόχο τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου χρησιμοποιώντας ως μοναδική ενεργοποιήσιμη μεταβλητή την παρεχόμενη ενέργεια στον λέβητα. Ο ελεγκτής υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την γραμμικοποιημένη περιγραφή της διάταξης. Η ακρίβεια του γραμμικοποιημένου μοντέλου, σε σχέση με το μη γραμμικό, ελέγχεται μέσω μιας Ευκλείδειας νόρμας με έμφαση στη μεταβλητή απόδοσης του συστήματος όπου προκύπτει ότι η γραμμικοποιημένη περιγραφή είναι ακριβής προσέγγιση του αρχικού μη γραμμικού μοντέλου σε ένα μεγάλο εύρος μεταβολών των εισόδων της διάταξης. Η απόδοση του προτεινόμενου σχήματος ελέγχου εξετάζεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. Δημοσιεύσεις σε Διεθνή Επιστημονικά Συνέδρια με Πλήρη Κρίση [4] P. N. Paraskevopoulos, F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and C. Balafas, I/O Decoupling via Dynamic Conrollers: A Sae Space Approach, Proceedings of he IEEE Medierranean Conference on Conrol and Auomaion (MED 5, June 7 h 9 h, Limassol, Cyprus, 5 Στην εργασία αυτή μελετάται το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων με δυναμική κατάλληλη ανατροφοδότηση και στατικό κανονικό προαντισταθμιστή. Παρουσιάζονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τις οποίες το πρόβλημα της αποσύζευξης έχει λύση καθώς και η γενική μορφή των πινάκων ανατροφοδότησης. Τέλος, παρουσιάζεται η δομή του αποσυζευγμένου συστήματος κλειστού βρόχου. Το προτεινόμενο σχήμα ελέγχου εφαρμόζεται στο μαθηματικό μοντέλο αεροσκάφους. Τα αποτελέσματα είναι ιδιαίτερα χρήσιμα για πολύπλοκες διεργασίες υψηλής τάξης. [5] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Dynamic Conrollers for I/O Decoupling of Neural Time Delay Sysems wih Applicaion o a Coupled Core Nuclear Reacor, Proceedings of he European Conrol Conference (ECC 7, July nd 5 h, Kos, Greece, 7 Στην εργασία αυτή μελετάται το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων χρησιμοποιώντας δυναμική ανατροφοδότηση κατάστασης ή εξόδου και δυναμικό προαντισταθμιστή για γενικά γραμμικά ουδέτερα συστήματα με πολλαπλές καθυστερήσεις. Και στις δύο περιπτώσεις αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα είναι επιλύσιμο ενώ παρουσιάζεται η γενική μορφή των ελεγκτών που επιτυγχάνουν αποσύζευξη. Τέλος, για να επιδειχθεί η προτεινόμενη τεχνική, εφαρμόζεται επιτυχώς τόσο σε ένα αριθμητικό παράδειγμα όσο και στο δυναμικό μοντέλο ενός πυρηνικού αντιδραστήρα συζευγμένων πυρήνων. Ειδικά για την περίπτωση της διεργασίας παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας μέσω του πυρηνικού αντιδραστήρα, παρουσιάζεται αναλυτικά η μορφή του ελεγκτή που επιτυγχάνει την αποσύζευξη ενώ εξετάζεται η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου μέσω προσομοιώσεων. Παρατηρείται ότι όντως οι έξοδοι του συστήματος κλειστού βρόχου είναι αποσυζευγμένες ενώ οι υπόλοιπες μεταβλητές κατάστασης παραμένουν σε αποδεκτά επίπεδα. [6] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas, P. N. Paraskevopoulos, Model Maching of SISO Neural Time Delay Sysems via Oupu Feedback, Proceedings of he 5 h Medierranean Conference on Conrol and Auomaion (MED 6, Ahens, Greece, 7. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την επιλυσιμότητα του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο για γενικά γραμμικά 88

201 Παράρτημα Α: Ανάλυση Επιστημονικών Εργασιών ουδέτερα συστήματα με πολλαπλές καθυστερήσεις μίας εισόδου μίας εξόδου, με χρήση υλοποιήσιμης δυναμικής ανατροφοδότησης εξόδου και υλοποιήσιμο δυναμικό προαντισταθμιστή. Παράλληλα, παρουσιάζεται και η γενική μορφή του ελεγκτή που επιλύει το πρόβλημα. Τα αποτελέσματα εφαρμόζονται στο μαθηματικό μοντέλο δύο αναμικτών συνδεδεμένων σε σειρά καθώς επίσης και σε ένα αριθμητικό παράδειγμα. Σημειώνεται πως τα αποτελέσματα της παρούσας εργασίας καλύπτουν τη λύση τόσο του προβλήματος του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο για την γενική κατηγορία των γραμμικών καθυστερημένων συστημάτων με πολλαπλές καθυστερήσεις, όσο και άλλες ειδικές μορφές ουδετέρων και καθυστερημένων συστημάτων. Επιπλέον τα αποτελέσματα μπορούν να εφαρμοστούν απευθείας στην σχεδίαση προσαρμοστικών ελεγκτών ταιριάσματος σε μοντέλο για κατανεμημένες βιομηχανικές διεργασίες χρησιμοποιώντας ελεγκτές ανατροφοδότησης εξόδου. [7] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Modeling and Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem, Proceedings of he 6h WSEAS Inernaional Conference on Circuis, Sysems, Elecronics, Conrol & Signal Processing (CSECS 7, December 9 h 3 s, Cairo, Egyp, 7 Στην εργασία αυτή παράγεται το μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος κεντρικής θέρμανσης στη μορφή ενός μη γραμμικού ουδετέρου συστήματος με χρονομεταβλητές χρονικές καθυστερήσεις το οποίο απλοποιείται σε ένα ουδέτερο μη γραμμικό σύστημα με σταθερές χρονικές καθυστερήσεις. Αποδεικνύεται ότι η επίδραση των χρονικών καθυστερήσεων είναι σημαντική συνεπώς η ενσωμάτωσή τους στο μαθηματικό μοντέλο της διεργασίας είναι εξαιρετικής σημασίας. Στη συνέχεια παράγεται ένας PI ελεγκτής για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου το οποίο μοντελοποιείται σαν μια πρώτης τάξεως διαφορική εξίσωση. [8] F.N. Koumboulis, N.D. Kouvakas, P.N. Paraskevopoulos, Dynamic Disurbance Reecion Conrollers for Neural Time Delay Sysems wih applicaion o a Cenral Heaing Sysem, Proceedings of he Inernaional Conference on Modelling, Idenificaion and Conrol (ICMIC 8, June 9 July, 8, Shanghai, China. Στην εργασία αυτή μελετάται το πρόβλημα της αποκοπής διαταραχών για ουδέτερα συστήματα με χρονικές καθυστερήσεις μιας εισόδου μιας εξόδου, με πολλαπλές μετρίσιμες διαταραχές, με χρήση δυναμικών ελεγκτών. Ειδικότερα, παρουσιάζεται η γενική μορφή του ελεγκτή που επιλύει το πρόβλημα ενώ παράγονται και οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι ο ελεγκτής υλοποιήσιμος. Η προτεινόμενη τεχνική εφαρμόζεται σε ένα ουδέτερο σύστημα κεντρικής θέρμανσης. Παρουσιάζεται τόσο η μη γραμμική όσο και η γραμμικοποιημένη προσέγγιση του μαθηματικού μοντέλου της διεργασία. Με βάση την γραμμικοποιημένη προσέγγιση, σχεδιάζεται ένας ελεγκτής δύο σταδίων για τον έλεγχο της θερμοκρασίας ενός δωματίου και της θερμοκρασίας εξόδου του λέβητα. Η απόδοση του συστήματος κλειστού βρόχου εξετάζεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. [9] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Dynamic Measuremen Oupu Feedback Conrollers for Exac Model Maching and Disurbance Reecion of General Linear Neural Time Delay Sysems, Proceedings of he 7h Medierranean Conference on Conrol and Auomaion, June 4 6, 9, Thessaloniki, Greece. 89

202 Παράρτημα Α: Ανάλυση Επιστημονικών Εργασιών Στην εργασία αυτή μελετάται το πρόβλημα του ακριβούς ταιριάσματος σε μοντέλο με ταυτόχρονη αποκοπή διαταραχών για κατανεμημένες διεργασίες τύπου αριστερά αντιστρέψιμων ουδετέρων συστημάτων με πολλαπλές χρονικές καθυστερήσεις χρησιμοποιώντας υλοποιήσιμη δυναμική ανατροφοδότηση διαταραχών και μετρήσιμων εξόδων. Παρουσιάζονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι ώστε το πρόβλημα να έχει υλοποιήσιμη λύση ενώ ταυτόχρονα παρουσιάζεται η αναλυτική μορφή των πινάκων του ελεγκτή που επιλύουν το πρόβλημα. [] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, Velociy Conrol and Vibraion Aenuaion for a Car Pendulum Sysem wih Delayed Resonaors, Proceedings of he 8 h IEEE Inernaional Conference on Conrol Applicaions, July 8, 9, Sain Peersburg, Russia Στην εργασία αυτή σχεδιάζεται ένας δυναμικός ελεγκτής ανατροφοδότησης εξόδου για ένα σύστημα οχήματος εκκρεμούς με ενεργητικές και παθητικές αναρτήσεις. Το σύστημα είναι απλοποιημένη προσέγγιση των διεργασιών μεταφοράς υγρών και των οχημάτων μεταφοράς επιβατών. Οι ενεργητικές βασίζονται στην τεχνική των ενεργητικών αντηχείων χρησιμοποιώντας καθυστερημένη ανατροφοδότηση της επιτάχυνσής τους. Το σύστημα του οχήματος εκκρεμούς μοντελοποιείται ως κατανεμημένη διεργασία τύπου ενός μη γραμμικού ουδετέρου συστήματος με χρονικές καθυστερήσεις. Η προτεινόμενη τεχνική ελέγχου στοχεύει στην καταστολή των μεταβολών της γωνίας του εκκρεμούς ενώ ταυτόχρονα είναι επιθυμητή η επίτευξη ακολούθηση εντολής για την ταχύτητα του οχήματος. Η απόδοση του προτεινόμενου ελεγκτή επιδεικνύεται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. [] F. N. Koumboulis, N. D. Kouvakas and P. N. Paraskevopoulos, On he Morgan's Problem for Neural Time Delay Sysems via Dynamic Conrollers wih applicaion o a Tes Case Cenral Heaing Sysem, Proceedings of he 8 h IEEE Inernaional Conference on Conrol Applicaions, July 8, 9, Sain Peersburg, Russia Στην εργασία αυτή μελετάται το πρόβλημα του Morgan χρησιμοποιώντας δυναμική ανατροφοδότηση μετρούμενων εξόδων και δυναμικό προαντισταθμιστή για την κατηγορία των γενικών γραμμικών ουδετέρων συστημάτων με χρονικές καθυστερήσεις. Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα είναι πάντα επιλύσιμο ενώ παρουσιάζεται μια γενική κατηγορία ελεγκτών που επιλύουν το πρόβλημα. Η προτεινόμενη τεχνική εφαρμόζεται σε ένα σύστημα κεντρικής θέρμανσης του οποίου το δυναμικό μοντέλου παρουσιάζεται αναλυτικά. Η απόδοση της τεχνικής στη διεργασία κεντρικής θέρμανσης διερευνάται μέσω υπολογιστικών πειραμάτων. 9

203 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Δημοσιεύσεις σε Διεθνή Επιστημονικά Περιοδικά με Πλήρη Κρίση 9

204

205 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos Analyic Modeling and Meaheurisic PID Conrol of a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem FOTIS N. KOUMBOULIS NIKOLAOS D. KOUVAKAS Dep. of Auomaion Dep. of Elecrical & Compuer Engineering Halkis Insiue of Technology Naional Technical Universiy of Ahens 344, Psahna, Evoia 578, Zographou, Ahens GREECE GREECE koumboulis@eihal.gr kouvakas@eihal.gr PARASKEVAS N. PARASKEVOPOULOS Dep. of Elecrical & Compuer Engineering Naional Technical Universiy of Ahens 578, Zographou, Ahens GREECE parask@soflab.ece.nua.gr Absrac: - In he presen paper, he analyic mahemaical model of a es case cenral heaing sysem is developed in he form of a nonlinear neural ime delay model wih ime varying delay which in urn is simplified o a neural ime delay model wih consan ime delay. In he process i is shown ha he influence of he delay is significan, hus is incorporaion o he model is of high imporance while he consan delay approximaion imposes only small error. A PID conroller is derived o conrol he emperaure of a room, which is modeled as a firs order differenial equaion. The conroller parameers are evaluaed using a meaheurisic algorihm. Key-Words: cenral heaing, modeling, neural ime delay sysem, PID conroller, meaheurisic Inroducion The problem of modeling and conrol of cenral heaing sysems has araced significan aenion during he las years (see f.e. []-[5]. In paricular, significan aenion has been given o he modeling, consrucion and opimizaion of core componens of cenral heaing sysems, such as pipe neworks and piping elemens (see f.e. [4]-[8] and he references herein, radiaors and oher heaing sysems (see f.e. [9]-[], boilers (see []-[] ec. Furhermore, differen conrol echniques have been applied o such sysems in order o regulae he ambien air emperaure in heaed areas (see f.e. [3]-[7]. The presen paper is an exended version of [6] where he dynamic model of he sysem is briefly presened while he room emperaure is conrolled via a PI conroller. In he presen paper he mahemaical model of he es case cenral heaing sysem will analyically be presened in he form of a nonlinear neural ime delay model. In paricular, separae models will be presened for he core componens of he sysem, i.e. pipe nework, radiaor and boiler. The separae models will be combined o a nonlinear neural ime delay sysem (wih ime varying delay which will be simplified o a neural ime delay model wih consan ime delay. I will be shown ha he influence of he delay is significan, hus is incorporaion o he model is of high imporance while he consan delay approximaion imposes only a small error o he sysem. Finally, a PID conroller will be derived o conrol he emperaure of a room, which will be modeled as a firs order differenial equaion. The conroller parameers will be evaluaed using a meaheurisic approach whose efficiency will be invesigaed. The resuling closed loop response will be compared o he response produced by he same conroller for he case where he parameers are evaluaed using he firs Ziegler Nichols mehod and he open loop response of he sysem applying appropriae consan acuaable inpus. Dynamic Model of a Tes Case Cenral Heaing Sysem In wha follows, he general dynamic model of a es case cenral heaing sysem will be produced. The sysem consiss of he piping nework, a radiaor and a boiler (see Figure. The radiaor heas up a room, hus he performance oupu of he sysem is he ISSN: Issue, Volume 3, November 8

206 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos power emied by he radiaor which is direcly relaed o he emperaure of he ambien air. T a radiaor, N is he number of secions he radiaor is pariioned and T is he radiaor emperaure in he h secion. The emperaure difference Δ T is given by Δ T ( ϕ T + ( ϕ T ϕt + q q where ϕ denoes a fracional number beween and.5. In a more analyic manner, he firs and h secion are given as T e Fig. : Layou of he Tes Case Cenral Heaing Sysem. Radiaor Modeling The dynamic model of a radiaor is presened in he form of he parial differenial equaion, [] n T T T T a C C ρq Φ l p, l x T (. Δ ma, where T is he waer emperaure inside he radiaor, T is he ambien air emperaure, q is he waer a volumeric flow rae in he radiaor, C l is he hea capaciy of waer and radiaor maerial (per lengh, C and ρ are he hermal capaciy and densiy of p he waer respecively, Φ,l denoes he nominal power of he radiaor (per lengh, Δ T ma is he, arihmeic mean emperaure difference a sandard condiions and n is an exponen in he range. o.4. Relaion (. can be approximaed by a nonlinear sysem of ordinary differenial equaions as n C dt ΔT Φ T T a C ρq p NΔx d Δx NΔx T Δ ma, or equivalenly n dt NC ρq p Φ T T a ΔT d C C T (. Δ ma, where C is he hea capaciy of he waer and radiaor maerial, Φ is he nominal hea of he C dt N d and C dt N d ( ϕ HqT T ϕt q i ( ϕ T Hq + q ( Φ T T a N T Δ ma, n n T T a ϕ T ϕ T Φ + N ΔT ma, + while he las secion is given as C dt Φ T T N N a HqT q ( T N N N d N T Δ ma, where Hq Cpρ and T i is he influen waer emperaure. Noe ha he las secion differenial equaion has been produced seing ϕ. This assumpion is used in order for he effluen radiaor emperaure o be equal o he las secion emperaure. Applying elemenary compuaions, he nonlinear sysem of equaions can be rewrien as a se of ODEs in he form of a nonlinear sae space model as follows ( ( (, (, ξ ( r r r r r n x f x u (.3a while he performance of he radiaor is considered o be he emied hermal power n N Φ x ( ξ ( r, r yr ( N T Δ ma, (.3b where ( ( ( T x r x x, r N, r ( ( T T T N ISSN: Issue, Volume 3, November 8

207 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos u ( T r, r ( i u (, r ( q ( ξ ( r Ta ( ( ( ξ ( ξ f ( x (, u, (, ξ Nr r r r( ( ( ( ξ NH u q, r ( ( (, ( ( ( ( f x, u, f x, u,... r r r r r r r r f x, u,, r r r r C u (, ( ϕ r x, r ( ϕx, r ( T n ( ξ ( Φ x, r r C ΔT ma, ( NH u q, r f, ( x (, u (, ξ r r r r( C ( ϕ x, ( ( ϕ r x, r ( ϕx, r ( + + n ( ξ ( Φ x r, r C ΔT ma, NH u q f, ( x (, u (, ξ Nr r r r( C ( x ( x N, r N, r (, r,,, N ( n ( ξ ( Φ x Nr, r C ΔT ma,. Boiler Modeling The dynamic model of he boiler can be described as a firs order differenial equaion of he form (.4, []-[] dtw C n b com ( Tw Qburner d ρcqt T a T T (.4 ( ( p w s w r w e where T is he lumped waer emperaure, T and w w s T are he effluen and influen boiler waer w r emperaure, T is he emperaure of he boiler e room, Q is he energy supply o he boiler, C is burner b he hermal capaciy of he boiler, a is he rae of hea loss from he boiler acke o he environmen (i.e. boiler room and n com denoes he combusion efficiency of he boiler. The combusion efficiency is given by a polynomial of he form n T a T T ( ( (.5 com w w w,max where he coefficiens can be obained from experimenal daa. In he presen paper i will be assumed ha a for i 3. The lumped waer i emperaure T can be conneced o he influen and w effluen emperaures hrough ( T at + a T (.6 w w r w s a is he coefficien connecing he lumped waer emperaure of he boiler o he inle and oule emperaures. Using relaions (.4 o (.6, he nonlinear model of he boiler can be expressed in sae space form as dx ( b f ( x (, u b b ( (.7 d where x T b ( w s ( ( ( ( ( ( ( T u b u u u u u, b, b 3, b 4, b 5, b Q q T T T burner w r w r e f x, u ( b( b( C b C b ( a ρc ( ( ( ( ( T ( (, 3, (, ( n x u u com b b b ( ( ( p u x u, b b 3, b C ( a b a ( a ( ( ( ( au + a x u 3, b b 5, b a u4, b ( a.3 Pipe Nework Modeling Given a sraigh circular pipe of lengh l, diameer d and roughness e, he dynamic model of onedimensional incompressible flow q of a fluid of densiy ρ, driven by he pressure Δ p p p in ou across he pipe, can be expressed as (see [] dq ( f, ( q pin ( pou ( f, ( q d (.8 I holds ha f, ( q πd 4ρl (.9 while ( ( ( 3 f q λ q, d q πd (., ISSN: Issue, Volume 3, November 8

208 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos where ( qd, facor ( qd, λ is he fricion facor. The fricion λ depends upon he condiions of he flow inside he pipe, i.e. weaher he flow is laminar, ransien or urbulen. The flow condiions can be examined using he Reynolds number, defined as 4ρq Re ( qd, πd μ where μ is he viscosiy of he fluid. For he case of Re qd, 3, i holds ha laminar flow, i.e. if ( ( qd, 64 Re ( qd, λ (. while for he urbulen region, i.e. if Re qd, > 3, i holds ha he fricion facor is ( he soluion of relaion (. wih respec o λ ( qd λ,.5 e log + (. Re ( qd, λ ( qd, 3.7d Wih respec o he ransien region, i.e. for 3 < Re qd, 3, he fricion facor can be ( approximaed linearly, [5], as long as he linear funcion saisfies (. and (. for Re (, 3 Re qd, 3 respecively. Wih respec o he urbulen region, i can be divided ino smaller regions. For example when he Reynolds 5 number is less han and he pipe is smooh, i.e. he pipe roughness is small, he fricion facor is described by he Blasius equaion qd and ( ( qd,.36 Re ( qd,.5 λ (.3 Approximaion (.3 is valid for ypical flow and geomery condiions for single family houses. Hence, assuming ha he pipes used are smooh relaion (. can be subsiued by (.3. Consequenly, he linear approximaion for 3 < Re qd, 3 akes on he form ( qd, λ ( ( qd Re, (.4 Fiing pressure losses are someimes presened in erms of he equivalen lengh of sraigh pipe ha would have he same pressure loss as he fiing. If a fiing is o be replaced by an equivalen lengh L eq of pipe, hen i mus hold ha L K d λ( q, d where eq, K denoes he pressure loss coefficien for f f fiings. This relaionship shows he fundamenal shorcoming wih he equivalen-lengh approach. I mus be noed ha even hough K f and d are consans for a given pipe under various flow condiions, he fricion funcion is no. The same assumpions can be used for he case where a radiaor is presen in he pipe nework. Addiionally, an exra urbulen pressure drop will exis due o he fiing presen o enrance of he radiaor connecing i o he nework. This pressure drop will be considered o be of he form δ P q Kq (.5 ( where K is a urbulen pressure drop facor. According o he above presened formulae he nonlinear model of he piping nework can be wrien in sae space form as dx p + + d f ( xp f ( xp f3 ( xp u ( δ P p ( x p f ( x p f ( x p + f x f x f x f x (.6 where ( ( ( ( p p 3 p 3 p p ( (, u ( Δ P( x q δ P ( xp K x, f p ( x f πd p r ( xp f ( x 4ρL r 3 p p ( x d p λ, f, ( xp x 3 πd λ ( x, d p r ( ( f x x, p 3 πdr p πd, 4ρL πd, 4ρL p ( x d p λ, f x x 3, p 3 πd and where d and L are he hydraulic diameer and r r lengh of he radiaor respecively, d and L are he diameer and lengh of he pipes connecing he boiler o he radiaor respecively. The erm Δ P sands for he pressure added o he pipe nework by he pump (acuaable inpu..4 Nonlinear Model of he Overall Plan In order o consruc he nonlinear model of he overall plan, i suffices o esablish he necessary algebraic equaions sanding for he connecions beween he differen elemens of he plan. Define he composie sae, inpu and disurbance vecors, as defined in Secions. o.3 p ISSN: Issue, Volume 3, November 8

209 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos ( ( ( ( ( T N+ N+ x x x x x ( ( ( ( q T T T r N w s T ( ( ( Δ ( ( T burner u u u P Q ( T ( ( T ( T ( T a e ξ ξ ξ From Figure, i can readily be observed ha u x x (.7a, r ( p( ( ( ( τ( ( τ, r b N+ ( u ( x, b p( x ( ( ( τ( ( τ + ( du3, b ( u ( u x x (.7b 3, b N, r N (.7c u x x (.7d (.7e 4, b d Applying elemenary compuaions, he nonlinear model of he overall plan, akes on he form ( dx d d + E x d f x u x ( τ ( (, (, ( τ(, ξ( ( T (.8a πdl x ( ρ dρ (.8b 4 τ( n ( ξ ( N + Φ x y( N T Δ ma, (.8c where f x, u, x τ, ξ ( ( ( ( ( ( f ( x(, u (, x( τ(, ξ( f ( x(, u (, x( τ(, ξ N ( + ( ( ( τ( ξ( ( f x, u, x, + + f ( x f ( x f3 ( x ( ( ( δ ( ( ( ( ( f x f x f x u + P x f x f x f x NH x ( q f ( x (, u(, x( τ(, ξ( C x ( τ( ( ϕ N x ( ϕ x 3( n ( ξ ( Φ x C ΔT ma, NH x ( q ( (, (, ( τ(, ξ( C ( ϕ x ( ( ϕ x ( ϕ x ( f x u x + + n ( ξ ( Φ x C ΔT ma, ( ( ( ( τ( ξ( NH x ( q ( xn ( xn ( + f x, u, x, N + C ( ( ( ( τ( ξ( f x, u, x, N + C b ( a for 3,, N n ( ξ ( Φ x N + C ΔT ma, ( (, ( τ + + ( ( n x x u com N N ( a ( ( ( τ N+ N+ ( w C b ρc x x x ( a ( τ ( + N + C b a ax ( a x ( ξ ( N + ( N+ N ( N+ ( N+ E a N a Noe ha he pump pressure and he energy supply o he boiler are considered o be acuaable inpus while he room and boiler room ambien air emperaures ac as disurbances upon he sysem. The ime delay τ ( sands for he ranspor delay from he oupu of he boiler o he inpu of he radiaor and he oupu of he radiaor o he inpu of he boiler. I mus be noed ha hese delays are in general differen. In he presen paper, i is assumed ha he lengh and diameer of he pipes from he boiler o he radiaor and vice versa are equal hence he respecive ime delays, le τ ( and τ (, are also equal beween hemselves, i.e. τ τ τ. ( ( ( ISSN: Issue, Volume 3, November 8

210 6 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos 3 Influence of he Delay o he Nonlinear Model of he Overall Plan In wha follows, he influence of he delay o he response of he overall plan will be examined, hrough compuaional experimens. Assume ha he model (.8 operaes on cerain operaing condiions, le u, u, ξ and ξ for he acuaable inpus and disurbances yielding o he respecive nominal values for he sae variables, le x for,, N +. Wihou loss of generaliy, assume ha a he acuaable inpus and disurbances u p u u u p u u, become ( u s (, ( u s ( ξ ( p ξ u ( and ξ ξ ( p ξ u ( ξ s, where s (,( min max, p (, u pu ( min (,( and p ( p,( p ξ ξ ξ p u p p p u u u max, p p p ξ ξ ξ min max min max and where u ( denoes he uni sep funcion, s driving he sysem o new operaing condiions, le x for,, N +, hrough he respecive responses, le ( x for,, N +. The same experimen can be carried ou for he sysem (.8 assuming ha he ime delay τ ( is equal o zero, leading o differen responses, le x ( for,, N +. In order o examine he influence of he ime delay o he sysem a Euclidean norm ype of error will be used, defined as (, x % p x x x (3. x x The same invesigaion will be carried ou for he performance variable. Noe ha since he flow rae response is no influenced by he delay, in boh cases, wih or wihou he presence of he delay, i will be equal, i.e. he error will be by definiion zero. Furhermore, for he case where p, p, p ξ and u u p ξ boh sysems remain in he operaing poin, hence boh numeraor and denominaor become zero. In ha case he error is defined as zero. Le L 5 m, d.5 m, L m r, d.9653 m r, K., C 36 KJ K, N 4, ϕ, Φ 5 W, n.5 a 9, a, a., T C w,max, a 5.6 W K, C w 48 J K Kgr, C 44 J K b, ρ Kgr m,.3547 Pa s μ, Δ T 6 C ma, be he parameers of he nonlinear model (.8. Assuming ha u 3 Pa, u 3 W, ξ 9. C and ξ C he saring nominal poins are evaluaed o be -5 3 x m s, x C, x C 3, x C 4, x C 5, x C 6, while he nominal emied power by he radiaor can be easily evaluaed o be y 796.[ W]. In Figures o 6 conour plos of he crierion (3. are presened while in Figure 7 he same crierion is presened for he performance variable for a wide range of p and p u, indicaively for p ξ 5% and u p ξ 95%. I can readily be observed ha he influence of he delay o he sysem is significan, especially o he performance oupu. Hence, i can be safely saed ha he incorporaion of he delay o he sysem makes i more accurae. I mus be noed ha he Euclidean Norm Error plos have been zoomed o a paricular area in order o demonsrae specific deails. p u p u Fig. : Euclidian Norm Error (, px x for p ξ 5% and p ξ 95% ISSN: Issue, Volume 3, November 8

211 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos p u p u Fig. 3: Euclidian Norm Error (, px x for 3 3 p ξ 5% and p ξ 95% 5 p u p u Fig. 6: Euclidian Norm Error (, px x for 6 6 p ξ 5% and p ξ 95% p u p u p u Fig. 4: Euclidian Norm Error (, 5 4 px x for 4 4 p ξ 5% and p ξ 95% p u Fig. 7: Euclidian Norm Error pyy (, for p ξ 5% and p ξ 95% p u p u Fig. 5: Euclidian Norm Error (, px x for 5 5 p ξ 5% and p ξ 95% 3. Approximaion of he Nonlinear Model of he Plan In order o simplify he nonlinear model of he plan i will be approximaed using consan delays, insead of he ime varying ones, i.e. he dynamic model (.8 becomes ( dx d d + E x d ( y ( τ f x(, u(, x( τ, ξ( ( n ( ξ ( (3.a N + Φ x N T Δ ma, (3.b In order o evaluae he consan delay, i will be assumed ha he sysem operaes on is nominal poins. I can easily be verified ha τ πdl4x ISSN: Issue, Volume 3, November 8

212 . 3.5 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos In order o check he accuracy of he proposed simplificaion a cos crierion similar o ha in (3. will be used. Assume ha he model (.8 operaes on cerain operaing condiions, le u, u, ξ and ξ for he acuaable inpus and disurbances yielding o he respecive nominal values for he sae variables, le x for,, N +. Wihou loss of generaliy, assume ha a he acuaable inpus u p u u, and disurbances become ( u s ( u ( p u u u s (, ξ ( p ξu s ( ξ ξ ( p ξ u ( p p, p ξ s and, where ( ( u u u min (,( min max, p ( p,( p ξ ξ min ξ (,( and where us ( p p p u u u max, max, p p p ξ denoes ξ ξ min max he uni sep funcion, driving he sysem o new operaion condiions, le x for,, N +, hrough he respecive responses, le x ( for,, N +. The same experimen can be carried ou for he sysem (3., leading o differen x for,, N +. Noe ha responses, le ( he saring and ending nominal poins are equal o boh cases, wih consan or ime varying delay. In order o examine he influence of he consan ime delay o he sysem a Euclidean norm ype of error will be used, similar o ha defined in (3.. Consider he daa presened in he previous subsecion. In Figures 8 o conour plos of he cos crierion are presened while in Figure 3 he same crierion is presened for he performance variable for a wide range of p and p, indicaively for p ξ 5% and u u p ξ 95%. I can readily be observed ha he influence of he ime varying delay o he sysem as compared o he consan delay case is no significan. Hence, he sysem can safely be simplified using consan delay raher han ime varying. I mus be noed ha he Euclidean Norm Error plos have been zoomed o a paricular area in order o demonsrae specific deails. p u p u p u p u Fig. 8: Euclidian Norm Error (,..4.5 px x p ξ 5% and p ξ 95% p u.6. Fig. 9: Euclidian Norm Error (, p ξ 5% and p ξ 95% p u for px x for Fig. : Euclidian Norm Error (, p ξ 5% and p ξ 95% px x for 4 4 ISSN: Issue, Volume 3, November 8

213 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos p u p u p u p u Fig. : Euclidian Norm Error (, p ξ 5% and p ξ 95% p u px x for Fig. : Euclidian Norm Error (, p ξ 5% and p ξ 95%..5.5 p u px x for Fig. 3: Euclidian Norm Error pyy (, p ξ 5% and p ξ 95% for.5. 4 Temperaure Conrol In he presen secion, a PID conroller will be designed in order o regulae he emperaure of a room in which he cenral heaing sysem presened previously is insalled. To do so, he room will be modeled as a firs order differenial equaion, [], under he assumpions ha he walls of he room are subec o he same exernal emperaure, here is no influence of he weaher (wind or rain on he hermal resisance of he walls, radiaive hea ransfer is negligible, here is no venilaion and no influence from he humidiy of he air, here are no hea losses from he ceiling and he floor and here are no hea sources in he room besides he radiaor. Under he above assumpions he dynamic model of he room akes on he form ( dtr T T P ou r rad d C R + C ( ( ( r w r (4. where T is he room emperaure, T r ou is he environmen emperaure, P rad is he hermal power emied by he radiaor, C is he hermal capaciy of r he room and R w is he hermal resisance of he ouer walls. For simulaion purposes i will be assumed ha C 7. KJ K r and 3 R w 7.85 K W. I can readily be observed ha he environmen emperaure acs as a disurbance while he radiaor power is he acuaable inpu. In he overall sysem, i.e. room plus cenral heaing uni, i will be assumed ha he only measurable variable is he room emperaure while he acuaable inpu is fuel, in he form of power, supplied o he boiler. The conroller is chosen of he form [8] ( ( ( τ τ ( u f e + f e d + fe + u (4. p i d where e ( T( r ( and r is he room se r poin emperaure. In order o choose he conroller parameers, wo echniques will be used. Firs, a classical Ziegler- Nichols approach will be applied, see f.e. [6]. Using he daa presened in previous secions, he conroller parameers using he firs Ziegler-Nichols mehod can be found o be ( f , ( f.689 p ZN i ZN ISSN: Issue, Volume 3, November 8

214 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos ( f 897 d ZN Second, a meaheurisic approach, similar o ha presened in [9] and [], will be applied. In paricular, he meaheurisic algorihm, applied o he presen conrol scheme, akes on he form Iniial daa of he algorihm Cener values and half widhs for he iniial search area of he conroller parameers f, f, f, f, f pc, ic, dc, pw, iw, and f. dw, Desired properies of he closed-loop sysem Acuaor, sae and/or oupu variable consrains Sampling period T Time window range N Performance crierion J ( x, u, ξ Loop repeiion parameers n loop Search algorihm hresholds λ, f p, n and n rep o λ and f i Exernal command used for simulaion Search algorihm Sep. Se he numbering index i. Se max J oal min. Sep. Se he numbering index i. Sep 3. Deermine a search area I for he conroller parameers. The search area is bounded according o he inequaliies f f f, f f f p,min p p,max i,min i i,max f f f d,min d d,max where f f f, f f f p,min p, c p, w i,min i, c i, w f f f, f f + f d,min d, c d, w p,max p, c p, w f f + f, f f + f i,max i, c i, w d,max d, c d, w Sep 4. Se i max i max +. If i max > n oal go o Sep 7. Sep 5. Se he numbering index i. Sep 6. Selec randomly a se of conroller parameers wihin he search area I. Sep 7. Check if he closed-loop sysem saisfies he properies. If no, se J and go o Sep. Sep 8. Perform simulaion of he closed-loop sysem resuling by applying conroller (4. o he sysem (3.. Use he simulaion resuls for a sufficienly large ime window NT and wih an appropriae sampling period T, o check if he conrol inpu variables u( kt, he sae variables x( kt and he oupu variable y( kt, k,, N saisfy he acuaor, sae and/or oupu consrains. If no, se J and go o Sep. λ f d Sep 9. Use he simulaion resuls of Sep 8 o compue he value of J ( x, u, ξ Sep. Se i i +. If i n loop go o Sep 6. Sep. Use he resuls of he las n loop repeiions of Seps 6-9 o deermine he subopimal conroller ha resuled in he smalles value J i + of he cos crierion. Sep. Se i i +. If i n rep go o Sep 5. Sep 3. Find J min min { J, i,, n i rep} J max max { J, i,, n i rep} and he corresponding conroller parameers ( f p, Jmin ( f i, J min ( f d, Jmin ( f p, Jmax ( f i and J max ( f d. Jmax Sep 4. If J hen se min f f, f f, f f pw, pw, iw, iw, dw, dw, and go o Sep. If J < min J, se oal min J J oal min min and f f f f (,, min ( min f ( f p, oal min p J d, oal min d J min Oherwise, se J J and min oal min f f f ( p Jmin Sep 5. Define Le p, oal min,( i ( f f d J min i oal i J min J min d, oal min f i, oal min ( (, d ( f ( f d f f f p p J p min Jmax ( ( d f f fd d J d min f i i J i min Jmax (, J p,min ( J min (, J,max ( min d J ( +, ( f f d p,min p f f f d d,min d f f f d i,max i J f min i If f f λ p,max p,min fp d,max d,min fd f f d i i f min i f f + d p p fp min f f + d Jmax d,max d J f min d > or f f > λ or i,max i,min f i f f > λ, go o Sep J oal min Sep 6. End of he algorihm. If <, use he conroller parameer values f, f and p, oal min i, oal min f. Oherwise he algorihm has failed. d, oal min ISSN: Issue, Volume 3, November 8

215 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos In order o iniialize he meaheurisic algorihm, i is assumed ha f, f.5, pc, ic, f 5, f, f.5, dc, pw, iw, f 5, T 6 sec dw,, N, n 5, rep n 5, n 4, λ., loop o λ. and λ.. The acuaable f i f d inpu is assumed o be consrained by u ( kt 75 W while he effluen emperaure of he boiler is consrained by x6 ( kt C. The exernal command is chosen o be of he form r( ξ u ( us ( f p + where s is a uni sep funcion while he cos crierion is chosen of he form (,, ξ ξ ( ( J x u kt r kt. Using he above f f f f f f pc, ic, dc, pw, iw, dw, presened daa, he conroller parameers have been found o be ( f 3.69, ( f.3787 p MH i MH ( f d MH Wih respec o efficiency of he search algorihm, i has been observed ha i had converged o he conroller parameers afer 35 simulaions. Neverheless, i mus be noed ha he search algorihm hresholds are quie sric and he conroller has pracically converged much sooner while he closed loop performance response remains pracically unchanged. Indicaively, in Table he cener values and half widhs of he conroller parameers are presened, while he overshoo, rise ime, seling ime and cos crierion for he opimal conroller up o ha poin are also presened. Indeed, i can be observed ha he response characerisics remain pracically unchanged afer he fourh loop. Noe ha he all response parameers are evaluaed using he sampled daa. Overshoo (% Rise Time (sec Seling Time (sec E E E E E E E 8.7E E 8 7E E 9 E E 9 E E 9 E E Cos Table : Meaheurisic Algorihm Parameers and Closed Loop Response Characerisics In order o demonsrae he efficiency of he proposed conrol scheme, consider he daa presened in previous secions. Noe ha he environmen nominal emperaure has been chosen o be 5 C producing he same nominal emperaure ξ for he room. Using he daa presened in previous secions an assuming ha he exernal command is chosen o r ξ + u, he wo be of he form ( ( s ISSN: Issue, Volume 3, November 8

216 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos conrollers will be compared among hemselves as well as he open loop response, choosing he acuaable inpu o be consan and equal o u W producing he same seady sae for he room emperaure. In paricular in Figures 4 o 7 he emperaure in he secions of he radiaor is presened, in Figure 8 he boiler effluen emperaure is presened, in Figure 9 he room emperaure is presened, while in Figures and, he emied radiaor power and energy supply o he boiler is presened. Wih respec o he room emperaure (see Figure 9, he conroller produced by he meaheurisic algorihm performs significanly beer han he conroller produced using he s Ziegler-Nichols mehod. In paricular he meaheurisic conroller is much faser (rise ime.467 minues and seling ime minues, han he Ziegler Nichols (ZN conroller (rise ime minues and seling ime minues. For he open loop case, i can be observed ha he response is even slower (rise ime minues and seling ime minues. Noe ha in he presen case rise ime is defined as he ime where he response reaches 95% of he seady sae value while seling ime he ime afer which he sysem diverges less han % from he seady sae value. Finally, he meaheurisic conroller presens much smaller overshoo (6.3% han he ZN conroller (3.74%. For he open loop case here is no overshoo. Wih respec o he acuaable inpu (see Figure, even hough for he meaheurisic conroller i is much higher han he ZN conroller, i remains wihin accepable limis. The same observaion can be made for all sae variables as well as he emied power by he radiaor. Wih respec o he sabiliy of he closed loop sysem, consider he linearized approximaion of he nonlinear model (3. presened in [7]. Subsiuing he derived PID conroller o he linearized approximaion i is ha he roos of he characerisic polynomial of he resuling closed loop sysem are placed on he lef half complex plan and heir real par is less han.85. x C x C 3 x C hr Fig. 4: Radiaor Temperaure ( s pariion (con. meaheurisic, doed ZN, doed dashed open loop hr Fig. 5: Radiaor Temperaure ( nd pariion (con. meaheurisic, doed ZN, doed dashed open loop hr Fig. 6: Radiaor Temperaure (3 d pariion (con. meaheurisic, doed ZN, doed dashed open loop ISSN: Issue, Volume 3, November 8

217 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos x C Radiaor Power W hr Fig. 7: Radiaor Temperaure (4 h pariion (con. meaheurisic, doed ZN, doed dashed open loop hr Fig. : Emied Radiaor Power (con. meaheurisic, doed ZN, doed dashed open loop x C 6 8 u C ξ C hr Fig. 8: Boiler Effluen Temperaure (con. meaheurisic, doed ZN, doed dashed open loop hr Fig. 9: Room Temperaure (con. meaheurisic, doed ZN, doed dashed open loop hr Fig. : Energy Supply o he Boiler (con. meaheurisic, doed ZN, doed dashed open loop 5 Conclusions In he presen paper he mahemaical model of he es case cenral heaing sysem has analyically been presened in he form of a nonlinear neural ime delay model. In paricular, separae models have been presened for he core componens of he sysem, i.e. pipe nework, radiaor and boiler. The separae models have been combined o a nonlinear neural ime delay sysem (wih ime varying delay which has been simplified o a neural ime delay model wih consan ime delay. I has been shown ha he influence of he delay is significan, hus is incorporaion o he model is of high imporance while he consan delay approximaion imposes only a small error o he sysem. Finally, a PID conroller has been derived o regulae he emperaure of a room, which has been modeled as a firs order ISSN: Issue, Volume 3, November 8

218 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos differenial equaion. The conroller parameers have been evaluaed using a meaheurisic approach whose efficiency has been invesigaed. I has been shown ha he search algorihm produces fas he conroller parameers. The resuling closed loop response has been compared o he response produced by he same conroller for he case where he parameers have been evaluaed using he firs Ziegler Nichols mehod and he open loop response of he sysem applying appropriae consan acuaable inpus. I has been shown ha he meaheurisic conroller produces by far beer resuls han he conroller produced by he Ziegler Nichols mehod and he open loop case. References [] K.K. Andersen and H. Poulsen, Building Inegraed Heaing Sysems, Ulanicky, Inernaional Building Performance Simulaion Associaion Conference, Sepember 3-5, 999, Kyoo, Japan [] D.B. Crawley, L.K. Lawrie, F.C. Winkelmann, W.F. Buhl, Y. J. Huang, C.O. Pedersen, R.K. Srand, R.J. Liesen, Daniel E. Fisher, M.J. Wie and J. Glazer, EnergyPlus: creaing a new generaion building energy simulaion program, Energy and Buildings, vol. 33, no. 4,, pp [3] E.O. Aasem, Pracical Simulaion of Buildings and Air-Condiioning Sysems in he Transien Domain, PhD Disseraion, Universiy of Srahclyde, 993 [4] S.L. Presco and B. Ulanicky, Dynamic Modeling of Pressure Reducing Valves, Journal of Hydraulic Engineering, vol. 9, no., 3, pp [5] M.N. Malik, M. Afzal, G.F. Tariq and N. Ahmed, Mahemaical Modeling oand Compuer Simulaion of Transien Flow in Cenrifuge Cascade Pipe Nework wih Opimizing Techniques, Compuers and Mahemaics wih Applicaions, vol. 36, no. 4, 998, pp [6] W. Cai, Nonlinear Dynamics of Thermal- Hydraulic Neworks, PhD Disseraion, Universiy of Nore Dame, 6 [7] J. Krope, D. Dobersek and D. Goricanec, Flow Pressure Analysis of Pipe Neworks wih Linear Theory Mehod, Proceedings of he 6 WSEAS/IASME Inernaional Conference on Fluid Mechanics, Miami, Florida, USA, January 8-, 6 [8] L. Garbai and L. Barna, Mopdelling of nonseady-sae condiions in a gas boiler heaed room, Proceedings of he 3 rd IASME/WSEAS Inernaional Conference on Hea Transfer, Thermal Engineering and Environmen, Corfu, Greece, Augus -, 5 [9] C. Arlsanurk and A.F. Ozguc, Opimizaion of a Cenral-Heaing Radiaor, Applied Energy, vol. 83, no., 6, pp [] L.H. Hansen, Sochasic Modeling of Cenral Heaing Sysems, PhD Disseraion, Technical Universiy of Denmark, 997 [] M. Zaheer-Uddin, G.R. Zheny and S.-H. Cho, Opimal Operaion of an Embedded-Piping Floor Heaing Sysem wih Conrol Inpu Consrains, Energy Conversion and Managemen, vol. 38, no. 7, 994, pp [] Z. Liao and F. Parand, Develop a Dynamic Model of Gas and Oil Burned Boilers for Opimizaion of Boiler Conrol in Cenral Heaing Sysems, Canadian Conference on Building Energy Simulaion, Sepember -3,, Monréal, Canada [3] A. Zanobini, G. Luculano and A. Papini, Cenral Heaing Conrol: a New Technique o Gauge Room Temperaure, IEEE Insrumenaion and Measuremen Technology Conference, May 8-, 998, S. Paul, USA [4] F. Mendi, K. Boran and M.K. Kulekci, Fuzzy Conrolled Cenral Heaing Sysem, Inernaional Journal of Energy Research, vol. 6, no. 5,, pp [5] N. Morel, M. Bauer, M. El-Khoury and J. Krauss, NEUROBAT: A Predicive and Adapive Heaing Conrol Sysem Using Arificial Neural Neworks, Inernaional Journal of Solar Energy, vol.,, pp. 6- [6] N.D. Kouvakas, F.N. Koumboulis and P.N. Paraskevopoulos, Modeling and Conrol of a Tes Case Cenral Heaing Sysem, 6 h WSEAS Inernaional Conference on Circuis, Sysems, Elecronics, Conrol & Signal Processing, Cairo-Egyp, 7 [7] F.N. Koumboulis, N.D. Kouvakas and P.N. Paraskevopoulos, A Meaheurisic PID Conroller for a Neural Time Delay Tes Case Cenral Heaing Sysem, submied. [8] K.J. Asrom and T. Hagglund, PID Conrollers: heory design and unning, Insrumen Sociey of America, 995 [9] F.N. Koumboulis and M.P. Tzamzi, A meaheurisic approach for conroller design of mulivariable processes, pp 49-43, h IEEE Inernaional Conference on Emerging Technology on Facory Auomaion, Rio-Paras, Greece 7 ISSN: Issue, Volume 3, November 8

219 WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS and CONTROL Fois N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos [] J.F.M. Amaral, R. Tanschei and M.A.C. Pacheco, Tuning PID Conrollers hrough Geneic Algorihms, WSES Inernaional Conference on Evoluionary Compuaion, Puero De La Cruz, Tenerife, Canary Islands, Spain, February -5, ISSN: Issue, Volume 3, November 8

220

221 info.scichina.com Special Focous Dynamic disurbance reecion conrollers for neural ime delay sysems wih applicaion o a cenral heaing sysem KOUMBOULIS Fois N., KOUVAKAS Nikolaos D. & PARASKEVOPOULOS Paraskevas N. Deparmen of Auomaion, Halkis Insiue of Technology, Psahna Evias 344, Greece; Deparmen of Elecrical and Compuer Engineering, Naional Technical Universiy of Ahens, Ahens 5773, Greece In he presen paper he problem of disurbance reecion of single inpu-single oupu neural ime delay sysems wih muliple measurable disurbances is solved via dynamic conrollers. In paricular, he general form of he conroller marices is presened, while he necessary and sufficien condiions for he conroller o be realizable are offered. The proposed echnique is applied o a es case neural ime delay cenral heaing sysem. In paricular, he nonlinear model of he plan and is linearized approximaion are presened. Based on he linearized model, a wo-sage conroller is designed in order o regulae he room emperaure and he boiler effluen emperaure. The performance of he closed loop sysem is invesigaed hrough compuaional experimens. neural ime delay, disurbance reecion, measurable disurbances, cenral heaing, linearizaion Inroducion The problem of disurbance reecion has araced significan aenion from he heoreical (see e.g. refs. [, ] and he references herein and he applicaion poin of view (see e.g. refs. [3, 4] during he pas fory years. The problem for he case of ime delay sysems (see e.g. refs. [5 8] and he references herein has also araced considerable aenion. In paricular he special case of rearded single delay sysems has been sudied in refs. [5, 6]. The problem has been solved for lef-inverible neural muli-delay sysems, via realizable conrollers in ref. [7] while in ref. [8] he problem of disurbance reecion for general neural muli-delay sysems wih measurable and/or non-measurable disurbances for lef-inverible model, via realizable proporional measuremen oupu feedback, has been exensively solved. I is worh menioning ha he use of an observer in ime delay sysem, see ref. [9], is in general covered by dynamic measuremen oupu feedback conrollers. The problem of modeling and conrol of cenral heaing sysems has araced significan aenion during he las years (see e.g. refs. [ 9] and he references herein. In paricular, significan aenion has been given o he modeling, consrucion and opimizaion of core componens of cenral heaing sysem, such as pipe neworks and pip- Received Ocober 5, 8; acceped June 4, 9 doi:.7/s Corresponding auhor ( koumboulis@eihal.gr Ciaion: Koumboulis F N, Kouvakas N D, Paraskevopoulos P N. Dynamic disurbance reecion conrollers for neural ime delay sysems wih applicaion o a cenral heaing sysem. Sci China Ser F-Inf Sci, 9, 5(7: 84 94, doi:.7/s

222 ing elemens, radiaors and oher heaing sysems, boilers, ec. Furhermore, differen conrol echniques have been applied o such sysems in order o regulae emperaure in heaed areas, including classical and meaheurisic PID conrollers [35], fuzzy conrol schemes [6], adapive conrollers [9], opimal conrollers [7], ec. In he presen paper he problem of disurbance reecion of single inpu-single oupu neural ime delay sysems wih muliple measurable disurbances is solved using dynamic conrollers. In paricular, he general form of he conroller marices are presened, and he necessary and sufficien condiions for he conroller o be realizable are provided. The proposed echnique is applied o a es case neural ime delay cenral heaing sysem. In paricular, he nonlinear model of he plan and is linearized approximaion are presened. Based on he linearized model, a wo-sage conroller is designed in order o regulae he room emperaure and he boiler effluen emperaure. The firs sage consiss of a saic sae feedback loop, used o conrol he flow inside he pipe nework, and a delay PD feedback loop o achieve disurbance reecion and racking of a reference model for he effluen emperaure of he boiler. And hen, he previously presened disurbance reecion echnique is applied o he inner closed loop sysem o regulae he performance variable (i.e. he room emperaure. The performance of he closed loop sysem is invesigaed hrough compuaional experimens. Disurbance reecion of SISO linear muli-delay sysems wih measurable disurbances Consider he general class of single inpu-single oupu (SISO linear neural muli-delay differenial sysems wih muliple disurbances ( q q Ẽ ẋ q,i τ i q + Ã x q ( b u ( i q q,i τ i i q q,i τ i i + q q q D ξ c y c x ( ( ( q q,i τ i, (.a i q q,i τ i i q q,i τ i, (.b i where x( R n denoes he vecor of sae variables, u( R he vecor of conrol inpus, ξ( R p he vecor of conrol inpus, y( R he performance oupu, τ i (i,...,q are posiive real numbers denoing poin delays, and q,i (,...,q ; i,...,q is a finie sequence of inegers wih regard o i and. The quaniies q and q are posiive inegers. Clearly, if he quaniy q q i,iτ i is negaive, hen i denoes predicion. The real marices Ẽ, Ã, D, b have n rows, while he real marices c, c have one row. The ineres is focused on he forced behavior of he sysem, i.e. zero iniial and pas condiions (x(, u( for <. Define ] [τ τ q T e st, [ exp(sτ exp(sτ q Then sysem (. can be described in he frequency domain by he following se of equaions: sẽ(est X(s Ã(esT X(s ]. + b(e st U(s + D(e st Ξ(s, (.a c(e st Y (s c(e st X(s, (.b where X(s L {x(}, U(s L {u(}, Ξ(s L {ξ(}, Y (s L {y(} wih L { } being he Laplace ransform of he argumen signal, while [ ( q q ] R(e st R exp s q,i τ i, i where R {Ẽ,Ã, b, D, c, c} and exp[ ] e [ ] is he exponenial of he argumen quaniy. The sysem of equaions in (. can be expressed in normal sysem form as follows: sx(s A(e st X(s + b(e st U(s + D(e st Ξ(s, (.3a Y (s c(e st X(s, (.3b KOUMBOULIS F N e al. Sci China Ser F-Inf Sci Jul. 9 vol. 5 no

223 where A(e st [Ẽ(esT ] Ã(e st, b(e st [Ẽ(esT ] b(e st, D(e st [Ẽ(esT ] D(e st, c(e st c(e st [ c(e st ]. Equivalenly, solving wih respec o Y (s, we ge Y (s h u (s,e st U(s + h ξ (s,e st Ξ(s, (.4 where h u (s,e st c(e st [si n A(e st ] b(e st, h ξ (s,e st c(e st [si n A(e st ] D(e st, or equivalenly h u (s,e st B u(s,e st A(s,e st, [ h ξ (s,e st B ξ, (s,e st A(s,e st B ξ,p (s,e st A(s,e st In wha follows a dynamic disurbance reecion conroller via feeding back he oupu and he measurable disurbances will be developed for sysem (.4. The conroller is considered o be of he form where F(s,e st U(s,e st K(s,e st Y (s + F(s,e st Ξ(s ]. + G(s,e st R(s, (.5 [ ] F (s,e st F p (s,e st, R(s is he exernal command, K(s,e st, G(s,e st and F (s,e st (,...,p are appropriae conroller parameers being raional funcions of s wih coefficiens being raional funcions of e st, i.e. he conroller parameers belong o R(s,e st. The necessary and sufficien condiions for he conroller o be realizable will be presened in Theorem.. Theorem.. The problem of disurbance reecion for SISO neural muli delay sysems wih measurable disurbances, via a realizable dynamic conroller of he form (.5, is solvable if and only if he vecor [ B ξ,(s,e st B u(s,e st B ξ,p (s,e st B u(s,e ] is realizable. st Proof. Applying conroller (.5 o sysem (.4, he forced response of he closed loop sysem is derived Y (s h u(s,e st F(s,e st + h ξ (s,e st Ξ(s h u (s,e st K(s,e st + h u(s,e st G(s,e st R(s. (.6 h u (s,e st K(s,e st The problem of disurbance reecion is solvable if and only if F(s,e st h ξ (s,e st /h u (s,e st. (.7 The problem is solvable via a realizable conroller if and only if K(s,e st and G(s,e st are arbirary and realizable, under he consrain K(s,e st /h u (s,e st, and he condiion of Theorem. is saisfied. Corollary.. The problem of disurbance reecion for SISO neural muli-delay sysems wih measurable disurbances, via a dynamic conroller of form (.5 being independen of he delays, is solvable if and only if he vecor [ B ξ,(s,e st B B u(s,e ξ,p (s,e st st B u(s,e ] is independen of st he delays. I is imporan o menion ha in many pracical cases where sysem descripion (. involves delays of he saes while he derivaive of he saes as well as he inpus and he disurbances are no delayed, he condiion of Corollary. appears o be raher useful. Corollary.. The problem of disurbance reecion for SISO neural muli delay sysems wih measurable disurbances wih simulaneous realizable I/O ransfer funcion, via a realizable dynamic conroller of form (.5, is solvable if and only if he vecor [ B ξ,(s,e st B B u(s,e ξ,p (s,e st st B u(s,e ] is realizable. st Proof. Based on eq. (.6 and he choices of he conroller parameers presened in he proof of Theorem. i suffices o choose G(s,e st o be realizable enough o compensae for he predicions in h u(s,e st h u(s,e st K(s,e st. 3 Tes case cenral heaing uni model In wha follows, he general dynamic model of a es case cenral heaing sysem will be presened. The sysem consiss of he piping nework, a radiaor, a boiler and a room in which he radiaor is insalled (see Figure. Assuming ha he flow in all elemens is urbulen, he nonlinear dynamic model of he process akes he form (see refs. [4, 5] 86 KOUMBOULIS F N e al. Sci China Ser F-Inf Sci Jul. 9 vol. 5 no

224 τ( where x( Figure Plan layou. dx( d + d Ẽ x( τ( d f(x(,u(,x( τ(,ξ(, (3.a x (ρdρ πd L 4,y( x N+3(, (3.b,c [ x ( x ( x N+ ( x N+ ( x N+3 ( x N+4 ( [ q r ( T ( T N ( ] T T ws ( T a ( T f (, [ ] T u( u ( u ( [ ] T P( Q burner (, [ ] T [ ] T ξ ( ξ ( ξ ( T ou ( T e (, ] T f (x(,u(,x( τ (,ξ ( f (x(,u(,x( τ (,ξ (. f N+4 (x(,u(,x( τ (,ξ ( f (x(,u(,x( τ (,ξ ( [ ] f (x + f (x + f 3 (x [ u ( + δp (x f (x f (x f (x f (x f ] 3 (x, f 3 (x f (x(,u(,x( τ (,ξ ( NH qx ( C, [x N+ ( τ ( ( φ x ( φx 3 (] Φ ( n x ( x N+3 (, C 6 f (x(,u(,x( τ (,ξ ( NH qx ( C [( φ x ( + (φ x ( φx + (] ( n x ( x N+3 ( for,...,n, Φ C 6 f N+ (x(,u(,x( τ (,ξ ( NH qx ( C (x N ( x N+ ( Φ C ( n xn+ ( x N+3 (, 6 f N+ (x(,u(,x( τ (,ξ ( C b ( a n com (x N+ (,x N+ ( τ ( u ( ρc w C b ( a x ( [x N+ ( x N+ ( τ (] a C b ( a [ax N+ ( τ ( + ( a x N+ ( ξ (], f N+3 (x(,u(,x( τ (,ξ ( C r R f [x N+4 ( x N+3 (] + [ξ ( x N+3 (] C r R ou + Φ N+ ( n x ( x N+3 (, C r N 6 f N+4 (x(,u(,x( τ (,ξ ( [x N+3 ( x N+4 (], C f R f (N+ N (N+ (N+ 3 a Ẽ N 3 a, N 3 δp (x K x (,f (x πd 4ρL, f (x πd r 4ρL r,f 3 (x πd 4ρL, f (x λ(x,d x πd 3 (, f (q r λ(x,d r x πd 3 (,δp (q K q, r KOUMBOULIS F N e al. Sci China Ser F-Inf Sci Jul. 9 vol. 5 no

225 f 3, (x λ(x,d πd 3 x (, λ(q,d.36 Re(q,d.5, Re(q,d 4ρq/πdµ. q r denoes he volumeric flow rae of he waer inside he pipe nework, T (,,N denoes he emperaure of he h secion of he radiaor, T ws denoes he boiler effluen emperaure, T a and T f are he room ambien air emperaure and he floor emperaure respecively, P denoes he pressure applied o he pipe nework by he pump, Q burner denoes he energy supplied o he boiler by is fuel and T ou and T e are he environmen and boiler room emperaure. Noe ha P and Q burner are he acuaable inpus of he sysem and T ou and T e are measurable disurbances. Wih respec o he sysem model parameers, d and L denoe he diameer and lengh of he pipe elemens connecing he boiler o he radiaor, d r and L r denoe he radiaor equivalen diameer and lengh, K denoes he pressure drop facor of he urbulence a he enrance of he radiaor, C w and ρ are he hermal capaciy and densiy of he waer respecively, C, Φ and N denoe he hea capaciy of he waer and radiaor maerial, he nominal hea of he radiaor and he radiaor number of secions respecively, n is an exponen in he range from. o.4, φ denoes a fracional number beween and.5, C b is he hermal capaciy of he boiler, a is he rae of hea loss from he boiler acke o he environmen (i.e. boiler room, n com denoes he combusion efficiency of he boiler, a is a coefficien connecing he lumped waer emperaure of he boiler o he inle and oule emperaure, C f and C r are he floor and room hermal capaciies respecively and R f and R ou are he hermal resisances beween he room and he floor and he room and he environmen. The combusion efficiency is given by a polynomial of he form n com (T w a m m(t w /T w,max where T w is he boiler lumped emperaure and he coefficiens can be obained from experimenal daa while H q C w ρ. The ime delay τ( sands for he ranspor delay inside he pipes connecing he boiler o he radiaor. In he presen paper i is assumed ha he lenghs of he respecive pipes are equal, hence he ime delays from he boiler o he radiaor and from he radiaor o he boiler are also equal. Assuming ha model (3. operaes on cerain operaing condiions, le ū, ū, ξ and ξ for he acuaable inpus and disurbances yielding o he respecive nominal values for he sae variables, le x for,...,n +. Afer and applying elemenary compuaions o nonlinear model (3., he linearized approximaion of he sysem akes on he form (see ref. [3]: δẋ( + Ẽδẋ( τ Ãδx( + Ãδx( τ + Bδu( + Jδξ(, (3.a δy( Cδx(, where [ δx( δx ( δx ( δx N+ ( δx N+ ( δx N+3 ( δx N+4 ( [ q r ( q r T ( T T N ( T N (3.b T ws ( T ws T a ( T a T f ( T ] T f, [ ] T δu( δu ( δu ( [ P ( P Q burner ( Q ] T burner, [ ] T δξ ( δξ ( δξ ( [ T ou ( T ou T e ( T ] T e, A p N Ã (B r A r N N (B b N A b, A R,b A R,a N N J (B b 5, B R ] T 88 KOUMBOULIS F N e al. Sci China Ser F-Inf Sci Jul. 9 vol. 5 no

226 N Ã N N N (B r N N (B b 3, N B p B N N (B b, (N+ N (N+ (N+ 3 Ẽ N (B b 4 3, [ C N ] 3 (N+, and A r R N N, B r R N. A b a + aū T w,max + Cw xρ a, C b [ ] B b (b, b (b, b (b,3 b (b,4 b (b,5 b, [ ] (a R,a A R,a, (a R,a,, (a R,a, (a R,a, ] [ (ar,b A R,b, (a R,b,N, (a, r (a, r (a, r (a, r (a,3 r A r (an,n r , (a N,N r (a N,N r (a N,N r (a N,N r (b, r (b, r (b B r, r.., (b N, r (a, r C H q N x (φ 6 n C n Φ ( x x N+3 n, (a, r H q Nφ x C, (a, r H q N x (φ C, (a, r C H q N x (φ 6 n C n Φ ( x + x N+3 n, (a,+ r H q Nφ x C,,...,N, (a N,N r C H q N x 6 n C n Φ ( x N+ x N+3 n, (b, r H qn [ū + (φ x φ x 3 ], C (b, r H qn x C, (b, r H qn [(φ x + ( φ x + + φ x + ], C,...,N, (b N, r H qn ( x N x N+, C a (b,5 b C b ( a, (b, b C w ( x N+ x N+ ρ (a C b, (b, b C w ( x N+ x N+ ρ (a C b, (b,3 b a at w,max a aū C w T w,max x ρ, C b T w,max (a (b,4 b a a, ( (a R,a, + R ou C r R f C r N+ 5n Φ ( x 3 6 n x N+3 n, NC r (a R,a, R f C r,(a R,a, R f C f, (a R,a, R f C f,b p d d rπ 4ρ(d rl + d L r, 5 n Φ ( x + x N+3 n (a R,b,, 3 6 n C r N (,...,N, KOUMBOULIS F N e al. Sci China Ser F-Inf Sci Jul. 9 vol. 5 no

227 A p { (7 d 3 d r Lζ 4 µ 7 d 4 rlζ 4 µ.75 [ ( xp ρ d 4 d 4 dµ rk π.75 x p +7 (.75 ]} xp ρ L r ζ 4 µ / d r µ [4d d r (d rl + d L r π.75 ρ], ζ 4 5, ζ.533, ζ , ζ Disurbance reecion conroller Observe ha model (3. involves delayed derivaives of he saes as well as delayed expressions of he saes. To ransform sysem (3. ino a form adequae for Theorem., or Corollary. or Corollary., an appropriae realizable P-D conroller will be applied. To his end, a wo-sage conroller will be applied o he linearized model (3.. In his way disurbance reecion and racking of a reference model for he room emperaure will be achieved. In paricular, he inner loop conroller consiss of a saic sae feedback loop for conrolling he flow inside he pipe nework, and a delay PD feedback loop for achieving disurbance reecion and racking of a reference model for he effluen emperaure of he boiler. Through elemenary compuaions, he inner loop conroller is found o be ( δu ( (ã, + λ ( b δx ( + k ( b δu ( (ẽ 6,5 ( b (ã 6,5 ( b (ã 6, ( b ( b 6, ( 6, ( b, 6, δw (, δẋ 5 ( τ 6, 6, δx 6 ( 6, δx 5 ( τ, (4.a δx ( ((ã 6,6 + λ δξ ( + k ( b δw (, 6, ( b where (ẽ i,, (ã i,, (ã i,, i, (4.b, ( i, denoe he (i, of he marices Ẽ, Ã, Ã, B and J respecively and λ, λ, k and k are arbirary parameers. Applying he conroller (4. o he linearized model (3. i can be observed ha he ransfer funcions connecing he exernal commands o he flow rae and he boiler effluen emperaure are of he form H, (s k (s + λ and H 6,6 (s k (s + λ respecively. Furhermore i can be observed ha he influence of he disurbances on he respecive sae variables has been canceled. Noe ha if λ and λ are chosen o be posiive, he ransfer funcions are sable. Furhermore, if k λ and k λ, asympoic command following is achieved. Through elemenary compuaions, we have he overall inner closed loop sysem in he form δẋ ( Ã,cδx( + Ã,cδx( τ + B c δw ( + J c δξ (, (4.a δy ( Cδx(, where δw( [δw ( δw (] T and λ N Ã,c (B r A r N N N λ, A R,b A R,a N N J c, B R N Ã,c N N N (B r N N, N k B c N N k. (4.b 9 KOUMBOULIS F N e al. Sci China Ser F-Inf Sci Jul. 9 vol. 5 no

228 Through elemenary compuaions, we ge he I/O relaionship in he form [ ] δy (s H δw (s H δw (s δw (s [ ] + H δξ (s δξ (s, where H δw (s B w (s [A(s], H δw (s B w (s[a(s], H δξ (s J ξ (s[a(s] and A(s, B w (s, B w (s and J ξ (s are polynomials of 7h, 4h, 4h and 6h order respecively. For he boiler we desire o fix he effluen emperaure. This is ranslaed o fix he exernal command δw ( a zero. Consequenly, he inner closed loop sysem akes he form δy (s B w (s[a(s] δw (s + J ξ (s[a(s] δξ (s. According o he resuls of Theorem., he disurbance reecion conroller akes he form δw (s F (s[m (s] Ξ (s+g(s[m (s] R (s where F (s J ξ (sa M (s, M (s B w (sa M (s and G(s B M (sa(s. Clearly, he conroller is no proper. Neverheless, due o he inner loop conroller, i does no depend on he delay hence i is by definiion realizable. The polynomials A M (s and B M (s are chosen o be of he form A M (s (s + p (s + p (s + p 3, B M (s p p p 3 where p, p and p 3 R +. In order o demonsrae he performance of he proposed conroller, le L5 m, d.5 m, L r m, d r.9653 m, K., C36 kj/k, N 4, φ, Φ 5 W, n.5, a/9, a, a., T w,max C, a 5.6 W/K, C w 48 J/K kgr, C b 44 J/K, ρ97.8 kgr/m 3, µ.3547 Pa s, C f 4355 J/K, C r J/K, R f.3333 K/W, R ou.64 K/W be he parameers of he nonlinear model (3.. Assuming ha ū Pa, ū 3 W, ξ 5. C and ξ C i can readily be verified ha he nominal poins of he sae variables become x m 3 /s, x C, x C, x C, x C, x C, x 7.56 C and x 8.56 C. The closed loop sysem poles are chosen o be p, p 5 and p 3 3 while he inner loop conroller parameers are chosen o be k, λ, k. and λ.. Applying elemenary compuaions, we have A(s s s s s s s s , B w (s.487s s s s +.36, J ξ (s s s s s s s By he definiion of F(s observe ha he conroller is sable. Wih respec of he implemenaion of he non-proper par of he conroller, le Q(s s (g s + V (s be he approximaion of he derivaive of V (s. g mus be a posiive real number. In he presen paper, we assume ha g. In order o demonsrae he efficiency of he proposed conroller, i will be applied o he nonlinear model wih ime varying delay. The disurbances will be of he form ξ ( ξ +.5{ + exp[( 4/8]}, ξ ( ξ + { + exp[( /5]}, while he exernal command will be chosen o be of he form w ( x 7 +.6u s ( where u s ( denoes he uni sep funcion. In Figures 7 he closed loop sysem response is presened. In Figures and 3 he pump pressure and energy supply o he boiler are presened (i.e. acuaable inpus while in Figures 4 o 7 he sae variable responses are presened. From Figures and 3 i can be observed ha he acuaable inpus remain wihin accepable limis and hey do no presen rapid oscillaions and remain wihin he area where he linearized model, upon which he conroller is designed, is a fair approximaion of he nonlinear plan. Wih respec o sae variables, hey also remain wihin accepable limis. Paricular aenion should be given o he performance variable, i.e. he room emperaure (see Figure 7. I can be observed ha he response follows accuraely KOUMBOULIS F N e al. Sci China Ser F-Inf Sci Jul. 9 vol. 5 no

229 Figure 5 Closed loop s radiaor secion emperaure. Figure Closed loop pump pressure. Figure 3 Closed loop energy supply o he boiler. Figure 6 Closed loop boiler effluen emperaure. Figure 4 Closed loop waer volumeric flow rae. Figure 7 Closed loop room emperaure. Coninuous, response; doed, reference. 9 KOUMBOULIS F N e al. Sci China Ser F-Inf Sci Jul. 9 vol. 5 no

230 enough he reference signal while here exiss a small seady sae error. The influence of he disurbance remains very small. The seady sae error as well as he difference beween he reference signal and he acual response are due o he nonlineariies of he plan. Finally, he boiler effluen emperaure (see Figure 6 remains near zero hus following accuraely is inner loop exernal command. The small differences from zero produce an exra error ha influences he room emperaure. Wih respec o he floor emperaure response, i mus be noed ha i increases exremely slowly and wihin simulaion ime i has no reached is seady sae. Noe ha is rise ime is greaer han 4.5 h. The main drawback of he conroller is ha due o he requiremen of disurbance reecion large exernal commands may lead he sysem ouside he accuracy area of he linearized model. 5 Conclusions In he presen paper he problem of disurbance reecion of single inpu-single oupu neural ime delay sysems wih muliple measurable disurbances is solved via dynamic conrollers. In paricular, he general form of he conroller marices are presened, and he necessary and sufficien condiions for he conroller o be realizable are produced. The proposed echnique is applied o a es case cenral heaing sysem. In paricular, he nonlinear model of he plan as well as is linearized approximaion are presened. Based on he linearized model, a wo-sage conroller is designed in order o regulae he room emperaure and he boiler effluen emperaure. In paricular, he inner conroller consiss of a saic sae feedback loop for conrolling he flow inside he pipe nework, and a delay PD feedback loop for achieving disurbance reecion and racking of a reference model for he effluen emperaure of he boiler. Subsequenly, he previously presened disurbance reecion echnique has been applied o he inner closed loop sysem o regulae he performance variable. The performance of he closed loop sysem has been invesigaed hrough compuaional experimens. In paricular i has been observed ha he acuaable inpus remain wihin accepable limis and hey do no presen rapid and large oscillaions hus preserving he accuracy of he linearized approximaion. Wih respec o sae variables, i has been observed ha hey also remained wihin accepable limis while he performance variable followed accuraely he reference signal. The boiler effluen emperaure remained near zero following is inner loop exernal command. The main drawback of he conroller is ha due o he requiremen of disurbance reecion large exernal commands may lead he sysem ouside he accuracy area of he linearized model. Paraskevopoulos P N, Koumboulis F N, Tzierakis K G. Disurbance reecion of lef-inverible sysems. Auomaica, 99, 8: Paraskevopoulos P N, Koumboulis F N, Tzierakis K G. Disurbance reecion of lef-inverible generalized sae space sysems. IEEE Trans Auom Conrol, 993, 39: Chen Z, Yuan Z, Zhao J. An acive disurbances reecion conroller for hysereic sysems. In: Inernaional Conference on Modeling, Idenificaion and Conrol, Shanghai, China, June 9 July, 8 4 Chen J, Sun X. Acive disurbances reecion decoupling conrol for acive magneic bearing mulivariable sysem. In: Inernaional Conference on Modeling, Idenificaion and Conrol, Shanghai, China, June 9 July, 8 5 Cone G, Perdon A M. The disurbance decoupling problem for sysems over a ring. SIAM J Conrol Opim, 995, 33: Malabre M, Rabah R. Srucure a infiniy, model maching and disurbance reecion, of linear sysems wih delays. Kyberneica, 995, 9: Paraskevopoulos P N, Koumboulis F N, Panagioakis G E. Disurbance reecion of lef inverible neural ime delay sysems. In: Proceedings of he 3rd IEEE Inernaional Conference on Mecharonics (ICM 6, Budapes, Hungary, Koumboulis F N, Panagioakis G E. Disurbance reecion of general neural ime delay sysems via measuremen oupu feedback. In: Proceedings of he h IEEE Inernaional Conference on Emerging Technologies and Facory Auomaion (ETFA 6, Prague-Czech Republic, Zemouche A, Bouayeb M, Bara G L. Observer design for a class of Lipschiz ime-delay sysems. In J Model Iden Conrol, 8, 4: 8 36 Arlsanurk C, Ozguc A F. Opimizaion of a cenral-heaing radiaor. Appl Energ, 6, 83(: 9 97 Cai W. Nonlinear dynamics of hermal-hydraulic neworks. KOUMBOULIS F N e al. Sci China Ser F-Inf Sci Jul. 9 vol. 5 no

231 PhD Disseraion. Nore Dame, IN: Universiy of Nore Dame, 6 Hansen L H. Sochasic modeling of cenral heaing sysems. PhD Disseraion. Cyngby: Technical Universiy of Denmark, Koumboulis F N, Kouvakas N D, Paraskevopoulos P N. Linearizaion based PID conroller for a neural ime delay cenral heaing sysem. Proceedings of he IMechE Par I. J Sys Conrol Eng, in press 4 Kouvakas N D, Koumboulis F N, Paraskevopoulos P N. Modeling and conrol of a neural ime delay es case cenral heaing sysem. In: 6h WSEAS Inernaional Conference on Circuis, Sysems, Elecronics, Conrol and Signal Processing, December 9-3, 7, Cairo, Egyp, 7 5 Koumboulis F N, Kouvakas N D, Paraskevopoulos P N. Analyic modeling and meaheurisic PID conrol of a neural ime delay es case cenral heaing sysem. WSEAS Trans Sys Conrol, 8, (3: Mendi F, Boran K, Kulekci M K. Fuzzy conrolled cenral heaing sysem. In J Energ Res,, 6(5: Zaheer-Uddin M, Zheny G R, Cho S-H. Opimal operaion of an embedded-piping floor heaing sysem wih conrol inpu consrains. Energ Convers Manag, 994, 38 (7: Zanobini A, Luculano G, Papini A. Cenral heaing conrol: a new echnique o Gauge Room emperaure. In: IEEE Insrumenaion and Measuremen Technology Conference, May 8-, S. Paul, USA, Morel N, Bauer M, El-Khoury M, e al. NEUROBAT: a predicive and adapive heaing conrol sysem using arificial neural neworks. In J Solar Ener,, (: 6 94 KOUMBOULIS F N e al. Sci China Ser F-Inf Sci Jul. 9 vol. 5 no

232

233 Linear approximan-based meaheurisic proporionalinegral-derivaive conroller for a neural ime delay cenral heaing sysem F N Koumboulis, N D Kouvakas *, and P N Paraskevopoulos Deparmen of Auomaion, Halkis Insiue of Technology, Halkis, Greece Deparmen of Elecrical and Compuer Engineering, Naional Technical Universiy of Ahens, Ahens, Greece The manuscrip was received on November 8 and was acceped afer revision for publicaion on 3 April 9. DOI:.43/959658JSCE73 65 Absrac: For a es-case cenral heaing plan, modelled as a non-linear neural ime delay sysem, a meaheurisic proporional-inegral-derivaive (PID conrol scheme is proposed o conrol he emperaure of he room using as a sole acuaable inpu he energy supplied o he boiler. The conrol scheme is based on a neural ime delay descripion of he linearized approximaion of he process. The linearizaion is esed using a Euclidian norm ype of error, wih emphasis on he performance variable of he sysem, o show ha i is an accurae approximaion of he original process for a wide range of variables of he plan. The performance of he closed-loop sysem is examined via simulaion experimens. Keywords: cenral heaing, linearized model, neural ime delay sysem, PID conroller, meaheurisic INTRODUCTION The problem of modelling cenral heaing sysems has araced considerable aenion over recen years (see, for example, references [] o [6]. Effors are mainly focused on he modelling, consrucion, and opimizaion of core componens of such sysems. Differen conrol echniques have been applied o regulae emperaure in he heaed areas (see, for example, references [] o[5]. In paricular, in references [] o [3] a non-linear model of he plan no involving delays has been used. In reference [] a muliscenario auomaion scheme has been developed. In reference [] a fuzzy conrol echnique has been applied, while in reference [3] a predicive adapive conrol echnique has been used. In reference [4], he mahemaical descripion of a es-case cenral heaing sysem has iniially been developed in he form of a *Corresponding auhor: Deparmen of Elecrical and Compuer Engineering, Naional Technical Universiy of Ahens, Zographou, Ahens, Greece. kouvakas@eihal.gr mulimodel non-linear neural ime delay sysem. Each model, corresponding o differen flow characerisics (laminar, ransien, or urbulen, is simplified o a non-linear neural ime delay sysem wih consan delays. The significance of he presence of he delays has been demonsraed hrough simulaion experimens. Based on he above simplified model, a proporional-inegral (PI conroller has been derived o conrol he emperaure of a room. In reference [5] he problem of disurbance reecion of single-inpu single-oupu neural ime delay sysems wih muliple measurable disurbances has been sudied via a wo-sage dynamic conroller. The resuls have been applied o he escase cenral heaing layou firs presened in reference [4] and exended o incorporae a secondorder model for he room. Assuming ha he flow condiions were fully urbulen, a non-linear model of he plan and he respecive linearized approximaion have been presened. The firs sage consiss of a saic sae feedback loop, used o conrol he flow inside he pipe nework, and a delay proporional-derivaive (PD feedback loop o achieve JSCE73 F IMechE 9 Proc. IMechE Vol. 3 Par I: J. Sysems and Conrol Engineering

234 66 F N Koumboulis, N D Kouvakas, and P N Paraskevopoulos disurbance reecion and racking of a reference model for he effluen emperaure of he boiler. In he presen paper, he mahemaical model of he es-case cenral heaing sysem in he form of he neural ime delay sysem presened in reference [5] is generalized o a single non-linear neural ime delay model ha incorporaes all possible flow condiions. This general model is used o produce a unified linearized approximaion for all flow characerisics. The accuracy of he linearized model is examined using a Euclidian norm ype of error. Emphasis is given o he performance variable of he sysem. Based on he linearized model, a meaheurisic conrol algorihm is proposed o derive he parameers of a proporional-inegral-derivaive (PID conroller in order o conrol he emperaure of he room using as a sole acuaable inpu he energy supplied o he boiler. The conroller is designed using measuremens of he room emperaure and assuming ha he disurbances are zero for he linearized approximaion case or equivalenly equal o heir nominal values for he non-linear process. The saisfacory performance of he closed-loop sysem is illusraed hrough simulaion experimens as well as by using several performance crieria and comparing he resuls wih hose for oher PID conrollers whose parameers have been produced using oher radiional and geneic echniques. Furhermore, sabiliy of he non-linear closed-loop sysem is examined. The proposed conrol design scheme appears o have he advanage of providing sufficienly fas and accurae command following he closed-loop sysem via a conroller being easily implemenable (including he meaheurisic search for many low-level-archiecure field conrollers insalled in advanced cenral heaing sysems. DYNAMIC MODEL OF THE TEST-CASE CENTRAL HEATING SYSTEM In wha follows, he general dynamic model of he es-case cenral heaing sysem will be presened. The sysem consiss of he piping nework, a radiaor, a boiler, and he room in which he radiaor is insalled. Using he resuls presened in reference [4], he non-linear dynamic model of he process can be wrien in sae-space form as follows dxðþ z E d ~ d d xð{ðþ Þ~~ fðxðþ, uðþ, xð{ðþ Þ, ðþ Þ ð {ðþ x ðrþ dr~ pd L 4, y ðþ~x Nz3ðÞ ðþ where xðþ~ ½x ðþx ðþ x Nz4 ðþš T x Nz ðþx Nz ðþ x Nz3 ðþ ~ ½q r ðþt ðþ T N ðþt ws ðþ T a ðþ uðþ~ ½u ðþ ðþ~ ½ ðþ u ðþ Š T ~ ½DPðÞ ðþ Š T ~ ½T ou ðþ Q burner ðþ T e ðþ ~f ðxðþ,u ðþ,x ð{ðþ Þ,ðÞ Þ 3 ~f ðxðþ,u ðþ,x ð{ðþ Þ,ðÞ Þ ~ ~f Nz4 ðxðþ,u ðþ,x ð{ðþ Þ,ðÞ Þ Š T Š T T f ðþ ~f ðxðþ,u ðþ,x ð{ðþ Þ,ðÞ Þ ~ f ðx Þ z f ðx Þ z { f 3 ðx Þ u ðþzdp ðx Þ{ f ðx Þ f ðx Þ { f ðx Þ f ðx Þ { f 3ðx Þ f 3 ðx Þ ~f ðxðþ,u ðþ,x ð{ðþ Þ,ðÞ Þ~ NH qx ðþ C ½x Nz ð{ðþ Þ{ ð{qþx ðþ{qx 3 ðþ Š { W x ðþ{x Nz3 ðþ n C 6 ~f ðxðþ,u ðþ,x ð{ðþ Þ,ðÞ Þ~ NH qx ðþ C ð{qþx { ðþz ðq{þx ðþ{qx z ðþ { W x ðþ{x Nz3 ðþ n, ð~, :::, NÞ C 6 ~f Nz ðxðþ,u ðþ,x ð{ðþ Þ,ðÞ Þ ~ NH qx ðþ ðx N ðþ{x Nz ðþ Þ C { W x Nz ðþ{x Nz3 ðþ C 6 n Š T Proc. IMechE Vol. 3 Par I: J. Sysems and Conrol Engineering JSCE73 F IMechE 9

235 Linear approximan-based meaheurisic PID conroller 67 ~f Nz ðxðþ,u ðþ,x ð{ðþ Þ,ðÞ Þ ~ C b ð{aþ n comðx Nz ðþ,x Nz ð{ðþ ÞÞu ðþ { rc w C b ð{aþ x ðþx ½ Nz ðþ{x Nz ð{ðþ ÞŠ { a ½ C b ð{aþ ax Nzð{ðÞ Þzð{aÞx Nz ðþ { ðþš ~f Nz3 ðxðþ,u ðþ,x ð{ðþ Þ,ðÞ Þ ~ ½x Nz4 ðþ{x Nz3 ðþ Š C r R f z ½ C r R ðþ{x Nz3 ðþ Š ou z W C r N XNz ~ x ðþ{x Nz3 ðþ 6 n ~f Nz4 ðxðþ,u ðþ,x ð{ðþ Þ,ðÞ Þ ~ ½x Nz3 ðþ{x Nz4 ðþ Š C f R f ðnzþ N ðnzþ Nz 6 a ~E ~ 4 N {a 3 N 3 ð Þ 3 dp ðx Þ~{K x ðþ, f ðx Þ~ pd 4rL f ðx Þ~ pd r, f 3 ðx Þ~ pd 4rL r 4rL f, ðx Þ~ l ð x,dþ pd 3 x ðþ f, ðx Þ~ l ð x,d r Þ pd 3 r x ðþ f 3, ðx Þ~ l ð x,dþ pd 3 x ðþ, dp ðqþ~{k q Reðq,dÞ~ 4rq pdm and where q r denoes he volumeric flowrae of he waer inside he pipe nework, T ( 5,, N denoes he emperaure of he h secion of he radiaor, T ws denoes he boiler effluen emperaure, T a and T f are he room ambien emperaure and he floor emperaure respecively, DP denoes he pressure applied o he pipe nework by he pump, Q burner is he energy supplied o he boiler by is fuel, and T ou and T e are he environmen and boiler room emperaures. Noe ha DP and Q burner are he cuaable inpus of he sysem, and T ou and T e are measurable disurbances. Wih respec o he sysem model parameers, d and L denoe he diameer and lengh of he pipe elemens connecing he boiler o he radiaor, d r and L r denoe he radiaor equivalen diameer and lengh, K denoes he urbulen pressure drop facor caused by he enrance o he radiaor, C w and r are he hermal capaciy and densiy of he waer respecively, C, W,andN denoe he hea capaciy of he waer and radiaor maerial, he nominal hea of he radiaor, and he radiaor number of secions respecively, n is an exponen in he range..4, Q denoes a fracional number beween and.5, C b is he hermal capaciy of he boiler, a isheraeofhea loss from he boiler acke o he environmen (i.e. boiler room, n com denoes he combusion efficiency of he boiler, a is a coefficien connecing he lumped waer emperaure of he boiler o he inle and oule emperaure, C f and C r are he floor and room hermal capaciies respecively, and R f and R ou are he hermal resisances beween he room and he floor, and he room and he environmen. The combusion efficiency is given by a polynomial of he form n com ðt ws,t wr Þ~ X? at wr zð{aþt { ws a s T s~ w,max where T wr is he boiler influen emperaure, he coefficiens a s can be obained from experimenal daa, while H q 5 C w r. The ime delay ( sands for he ranspor delay inside he pipes connecing he boiler o he radiaor. In he presen paper i is assumed ha he lengh of he respecive pipes is equal, and hence he ime delays from he boiler o he radiaor and from he radiaor o he boiler are also equal. Wih respec o he fricion facor l(q, d, he approach used in references [4] and [5] will be modified using he resuls presened in reference [6]. In paricular, insead of using a linear funcion of he Reynolds number for he ransien flow condiions, in order o handle he disconinuiy, he weigh funcion w(x 5 {anh[b (x b + ]}/ will be used insead. Le f (q, d 5 64/Re(q, d and f (q, d 5.36/Re(q, d.5 be he fricion facors for he laminar and urbulen flow condiions respecively. Applying he smooh weigh funcion, he oal model for he fricion facor can be described as l(q, d 5 [ w(re(q, d]f (q, d + w(re(q, df (q, d. According o reference [6], he weigh funcion has is cenre poin a b, while he parameer b deermines is sharpness. Clearly, by appropriae choice of b and b, he fricion facor can be JSCE73 F IMechE 9 Proc. IMechE Vol. 3 Par I: J. Sysems and Conrol Engineering

236 68 F N Koumboulis, N D Kouvakas, and P N Paraskevopoulos represened by a single funcion raher han by a hreebranch one. Considering ha, for he es-case cenral heaing sysem presened here, nine possible differen flow condiion cases can be disinguished for he differen secions of he pipe nework, i can readily be observed ha he complexiy of he non-linear model and mos imporanly he complexiy of he linearized model presened in he following secion can be reduced significanly. Wih respec o he non-linear model (, i can be divided ino four ypes of equaion. Each ype corresponds o differen physical phenomena modelling he cenral heaing sysem. In paricular, he firs equaion of model ( corresponds o he non-linear model of he fluid flow inside he pipe nework, he second equaion o N + represen he dynamic behaviour of he radiaor, equaion N + is he nonlinear model of he boiler, while equaions N + 3and N + 4 correspond o he dynamic model of he room. In conclusion, an overall non-linear model of he es-case cenral heaing sysem has been produced, combining he mahemaical models of he above physical laws and a he same ime providing appropriae algebraic consrains for he configuraion of he sysem, i.e. he inerconnecions of he plan. In paricular, he radiaor influen emperaure is considered o be equal o he boiler effluen emperaure appropriaely delayed; he boiler influen emperaure is considered o be equal o he radiaor effluen emperaure appropriaely delayed; and finally he radiaor-emied energy acs as an energy source for he room. Applying elemenary compuaions, and according o reference [4], he non-linear neural ime delay model wih ime-varying delay ( can be approximaed using consan delays, insead of he imevarying delays, i.e. can ake he form dxðþ z E d ~ d ð+ xðþ Þ ~ f d ~ ðxðþ,u ðþ,+ xðþ, ðþ Þ y ðþ~x Nz3 ðþ, ~ pd L, + xðþ~x ð{ Þ 4x ðþ where. sands for he nominal value of he argumen quaniy.. This is due o he fac ha he influence of a ime-varying delay o he sysem as compared wih a consan delay is no significan. Hence, he sysem can safely be simplified using a consan delay raher han a ime-varying delay. 3 LINEARIZED MODEL OF THE PLANT In order o consruc a linearized model of he nonlinear plan (, elemenary compuaions will be applied o he non-linear approximaion (. Define he linearized sae, inpu, and disurbance vecors dxðþ~ ½dx ðþdx ðþ dx Nz ðþdx Nz ðþ dx Nz3 ðþ dx Nz4 ðþš T ~ q r ðþ{q r T ðþ{ T T N ðþ{ T N T ws ðþ{ T ws Ta ðþ{ T a T f ðþ{ T f Š T duðþ~ ½du ðþ du ðþ ~ DPðÞ{DP dðþ~ ½d ðþ d ðþ ~ T ou ðþ{ T ou Š T Q burner ðþ{ Q burner Š T T e ðþ{ T e I can readily be observed ha he linearized model of he cenral heaing sysem is of he form d _x ðþz E ~ d _x ð{ Þ~ A ~ dxðþz A ~ dxð{ Þ dyðþ~ C ~ dxðþ T z Bdu ~ ðþz ~ JdðÞ T ð3þ Assuming ha he linearizaion akes place around an operaing poin o 5 ō where o~ fu,, x,+ x,+ _x g, o~ u,, x, x, he linearized model sysem marices ake he form ~A ~ L~ f Lx o~o, A ~ ~ L~ f L+ x o~o, B~ ~ L~ f Lu In paricular i holds ha 3 A p N ðb r Þ A r N N ~A ~ 6 ðb b Þ N A b A R,b A R,a 3 N N N N ðb r Þ N ~A ~ 6 4 N ðb b Þ N 3 B p N N ~B~ 6 4 ðb b Þ 7 5 o~o, ~ L~ f J~ L o~o Proc. IMechE Vol. 3 Par I: J. Sysems and Conrol Engineering JSCE73 F IMechE 9

237 Linear approximan-based meaheurisic PID conroller 69 3 N N ~ J~ ðb b Þ B R 7 5 ðnzþ N ðnzþ Nz ~E ~ 6 4 N { ðb b Þ 4 3 N 3 ~C~ ðnzþ A R,b ~ a R,b a, R,b,N ð Þ , B R ~ C r R ou ða, Þ r ða, Þ r ða, Þ r ða, Þ r ða,3 Þ r P.. A r ~ P P P. 6 4 P ða N{,N{ Þ r ða N{,N{ Þ r ða N{,N ða N,N{ Þ r ða N,N 3 ðb, Þ r ðb, Þ r ðb, Þ r [ R N N, B r ~.. [ R N ðb N, Þ r A b ~ {a z½ða u ÞT w,max C b ŠzðC w x rþ ða{þ B b ~ ½ðb, Þ b ðb, Þ b ðb,3 Þ b ðb,4 Þ b ðb,5 " ð A R,a ~ a # R,aÞ, ða R,a Þ, ða R,a Þ, ða R,a Þ, Þ b Š Þ r Þ r ða N,N{ Þ r ~ H qnx C ða N,N Þ r ~{ H qnx z6 {n n W ðx Nz {x Nz3 Þ n { C ðb, Þ r ~ H qn½u zðq{þx {Qx 3 Š C ðb, Þ r ~ H qn x C b, r ~{ H qn ðq{þx zð{qþx z zqx z C ~,...,N{, ðb, ðb, ðb,3 ðb N, Þ r ~ H qnðx N {x Nz Þ C Þ b ~ C wðx Nz {x Nz Þr ða{þc b Þ b ~ C wðx Nz {x Nz Þr ða{þc b Þ b ~ a at w,max {a au {C w T w,max x r C b T w,max ða{þ ðb,4 Þ b ~ a a{ ðb,5 Þ b ~ a C b ð{aþ ða R,a Þ, ~{ z R r C f R r C r ða R,a Þ, ~ R r C f { 5n W Nz X n { x 3 6 n { {x Nz3 NC r ~ ða, Þ r ~ H qnx ðq{þ{6 {n n W ðx {x Nz3 Þ n { C ða, Þ r ~{ H qnqx, a,{ C r ~{ H qn x ðq{þ C a, r ~ H qn x ðq{þ{6 {n n { n W x z {x Nz3 C a,z r ~{ H qnqx, ~,...,N{ C ða R,a Þ, ~, R f C f ða R,a Þ, ~{ R f C f n {, a R,b, ~ 5 n W x z {x Nz3 3 6 n { C r N ~,...,N d dr B p ~ p 4r dr Lzd L r JSCE73 F IMechE 9 Proc. IMechE Vol. 3 Par I: J. Sysems and Conrol Engineering

238 6 F N Koumboulis, N D Kouvakas, and P N Paraskevopoulos h i A p ~{ d dr K px z6dr Lpmz8d L r pm 7p :5 fm dr L ½ð x rþ ðdmþš :75 zd L r ½ðx rþ ðd r mþš :75 4dr { p Lrzd L r r 6 ffiffiffi d r Lzd L r r n o b x dr 3L ½ð x rþ ðdmþš :75 sech½b ðb { ð4x rþ ðdpmþþš zd 3 L r ½ðx rþ ðd r mþš :75 sech½b ðb { ð4x rþ ðd r pmþþš z pffiffiffi dd 3 r Lzd 3 d r L r p :75 n o 6b x dr 3L sech ½ b ðb { ð4x rþ ðdpmþþš zd 3 L r sech½b ðb { ð4x rþ ðd r pmþþš z ddr 3Lzd3 d r L r z 4pm d r L anh ½ b ðð4x rþ ðdpmþ{b ÞŠzd L r anh½b ðð4x rþ ðdpmþ{b ÞŠ r dr Lzd L r n o 7p :5 fm dr L ½ð x rþ ðdmþš :75 anh½b ðb { ð4x rþ ðdpmþþšzd L r ½ðx rþ ðd r mþš :75 anh½b ðb { ð4x rþ ðd r pmþþš z p 6 ffiffiffi d r Lzd L r r 4 ACCURACY OF THE LINEARIZED MODEL OF THE PLANT In wha follows, he accuracy of he linearized approximaion (3 of he cenral heaing sysem ( will be esed. Assume ha model ( operaes on cerain operaing condiions: ū, ū,, and for he acuaable inpus and disurbances yielding o he respecive nominal values for he sae variables, x for 5,, N + 4. Wihou loss of generaliy, assume ha he acuaable inpus and disurbances become u ðþ~p u u u s ðþ, u ðþ~p u u u s ðþ, ðþ~p u s ðþ, and ðþ~p u s ðþ, where p h u [ ðp u Þ min, ðp u Þ max, pu [ ðp u Þ min, ðp u Þ max, p [ p min, p i h, and p max [ p min, p i, and max where u s ( denoes he uni sep signal, driving he sysem o new operaing condiions. Le x for 5,, N + 4, hrough he respecive responses, and x ( for 5,, N + 4. The same experimen can be carried ou o he linearized approximaion, producing he respecive linearized responses, wih dx ( for 5,, N + 4. The linearized and non-linear responses are compared using a Euclidian norm ype of error of he form p(x, dx 5 %6 x ( dx ( x x ( x, where kfðþ k ~ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ð lim?? ½fðÞ Š d and x is he nominal value of he respecive sae variable. Le L 5 5 m, d 5.5 m, L r 5 m, d r m, K 5., C 5 36 kj/k, N 5 4, Q 5, W 5 5 W, n 5.5, a 5 /9, a 5, a 5., T w,max 5 uc, a W/K, C w 5 48 J/K kg, C b J/K, r kg/m 3, m Pa s, C f J/K, C r J/K, R f K/W, R ou K/ W, and f 5.36 be he parameers of he nonlinear model (. Wih respec o he weigh funcion parameers b and b, i mus be noed ha hey are highly dependen upon he characerisics of he pipe nework, i.e. roughness, ec., and hence hey should be evaluaed experimenally using idenificaion algorihms on he differen secions of he nework. In he presen paper i will be assumed ha ransien flow occurs for, Re, 5. Considering ha b denoes he cenre of he hreshold, i can readily be verified ha b 5 3. As regards b, i will be chosen in order o minimize he Euclidian norm error beween he linear approximaion presened in reference [4] and he approach presened in reference [6] for, Re, 3. Applying elemenary compuaions, i can be verified ha b Assuming ha ū 5 Pa, ū 5 3 W, 5 5. uc, and 5 uc, i can readily be verified ha he nominal poins of he sae variables become x m 3 /s, x uc, x uc, x uc, x uc, x uc, x uc, and x uc. Using he above daa, he linearized model sysem marices (3 are numerically compued. For demonsraion purposes, i is assumed ha p ~ and p ~, while p u [ ½:455, 3:547Š and p u [ ½, 5:769Š. Wih respec o p u, he lower limi corresponds o zero supply of fuel o he boiler, while he upper limi corresponds o a maximum value, characerisic of he boiler iself (see references [9] and []. I mus be noed ha he boiler has a physical upper bound sauraion ha corresponds o a maximum effluen waer emperaure of uc (i.e. boiling waer. This upper bound emperaure migh be reached using smaller values han ðp u Þ max. Consequenly, if for a cerain p u he waer emperaure is higher han uc, his choice of p u will be reeced. In Fig., a emperaure conour plo is presened, limied o he area where he cos crierion is smaller Proc. IMechE Vol. 3 Par I: J. Sysems and Conrol Engineering JSCE73 F IMechE 9

239 Linear approximan-based meaheurisic PID conroller 6 secion 4, non-linear model ( can accuraely be approximaed by a linearized version. As regards he disurbances, hey will be considered o be nonmeasurable. In wha follows, Ð a PID conroller of he form du ðþ~f p e ðþzf i eðþdzf d _eðþ, where e( 5 r( dx 7 (, will be uned using a meaheurisic algorihm similar o ha presened in reference [7], based on he linearized model approximaion (3. Using he algorihm presened in reference [7], he meaheurisic algorihm (MH is modified as below. The iniial daa are as follows: Fig. Room emperaure conour plo for p(x 7, dx per cen han 5 per cen. The grey area denoes he nominal poin pairs of he inpus where he cos crierion is greaer han 5 per cen. I can readily be observed ha he sysem is accurae for he whole range of u (i.e. from zero fuel supply up o he poin where he emperaure of he effluen waer of he boiler reaches uc. Furhermore, he upper limi of he energy supply is significanly smaller han he maximum energy supply o he boiler (i.e. p u ~5:769. Wih respec o he accuracy of he linearized model for changes of u, i can be observed ha for p u ~ he model is accurae only for small changes in pump pressure. As p u varies from, he accuracy area wih respec o p u increases. Neverheless, as will be shown laer, he conroller ha will be designed uses as acuaable inpu only he boiler energy supply. Hence, he model is accurae for all possible acuaable inpu changes. Noe ha similar resuls hold for he remaining sae variables. 5 CONTROLLER DESIGN In he presen secion, a PID conroller will be designed in order o regulae he room emperaure. In paricular, i will be assumed ha he only acuaable inpu is he energy supply o he boiler (i.e. u, while he pump pressure is kep consan a is nominal value. Consequenly, he ranspor delay inside he pipes is consan, while non-linear model ( is no longer an approximaion of model ( bu an exac represenaion. Furhermore, as menioned in (a he cenre values and half-widhs for he iniial search area of he conroller parameers f p,c, f i,c, f d,c, f p,w, f i,w, and f d,w respecively; (b he desired properies of he closed-loop sysem response, defined as an upper and lower bound wihin which he response mus lie, L up ( and L dn ( for he given exernal command; (c he acuaor, sae, and oupu variable consrains; (d he ime window T max ; (e he performance crierion ð Tmax Jðdu,dx,rÞ~ where 8 >< g ðþ~ >: ½g ðþš d if L dn ðþ dx 7 ðþ L up ðþ L up ðþ{dx 7 ðþ L dn ðþ{dx 7 ðþ if dx 7 ðþwl up ðþ if dx 7 ðþvl dn ðþ (f loop repeiion parameers n loop, n rep, and n oal [ N; (g search algorihm hresholds l fp, l fi, and l fd. The algorihm is as follows: Sep : Se he numbering indices i max 5 and i 5. Sep : Se he numbering index i 5 i +. Sep : Deermine a search area for he conroller parameers; he search area is bounded according o he inequaliies f p,c f p,w ( f p ( f p,c + f p,w, f i,c f i,w ( f i ( f i,c + f i,w, and f d,c f d,w ( f d ( f d,c + f d,w. Sep 3: Se he numbering index i 5. Sep 4: Se i max 5 i max +. If i max. n oal, go o sep 4. Sep 5: Se i 5 i +. Sep 6: Selec randomly a se of conroller parameers wihin he search area, f p,i, f i,i, and f d,i. JSCE73 F IMechE 9 Proc. IMechE Vol. 3 Par I: J. Sysems and Conrol Engineering