ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

Transcript

1 Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής ίαι η µαθηµατική υθήκη που πριγράφι τη τατική κατάταη έα ηµίο της µάζας του υλικού, ώτ το ηµίο αυτό α υµβαίι διαρροή. Μαθηµατική έκφραη ός κριτηρίου διαρροής Γική µορφή: Συαρτήι τω κύριω τάω: f x, y, z, τ xy, τ yz, τ zx C f Βαικές υποθέις για τη θµλίωη ός κριτηρίου διαρροής,, C λαµβάται υπόψη η πίδραη του φαιοµέου Bauschinger, δηλαδή το όριο διαρροής φλκυµό και θλίψη θωρούται ία. Ιχύι η αρχή διατήρηης όγκου τη πλατική πριοχή, οπότ ο λόγος Poisson v0.5. x y y Η τιµή της υδροτατικής υιτώας τω τάω m δ πηράζι τη διαρροή. ΒΑΣΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ ΓΙΑ ΙΣΟΤΡΟΠΑ ΥΛΙΚΑ A. Κριτήριο διαρροής κατά Tresca Χωρίς βλάβη της γικότητας µπορί α τθί > >. ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑ ΟΧΗ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ: Έαρξη πλατικής ροής έα ηµίο της µάζας του υλικού λαµβάι χώρα ότα η µέγιτη διατµητική τάη το ηµίο αυτό λάβι µια καθοριµέη ταθρή τιµή. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΚΦΡΑΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ τ max ταθ. ή ιοδύαµα C πιδή έα κριτήριο διαρροής πρέπι α ιχύι κάθ τατική κατάταη, θα ίαι: i Σ µοοαξοικό φλκυµό: Υ και 0, όπου Υ το όριο διαρροής φλκυµό. ii Σ καθαρή διάτµηη: k και 0, όπου k το όριο διαρροής διάτµηη. Μ βάη αυτές τις δύο τατικές κατατάις λαµβάται η ακριβής µαθηµατική χέη του κριτηρίου ως Υ k 4 B. Κριτήριο διαρροής κατά Mises ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑ ΟΧΗ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ: Έαρξη πλατικής ροής έα ηµίο της µάζας του υλικού λαµβάι χώρα ότα η αποθηκυµέη έργια διατµητικής παραµόρφωης το ηµίο αυτό λάβι µια καθοριµέη ταθρή τιµή. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΚΦΡΑΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Οι κύρις τάις γράφοται τη ξής µορφή:

2 Ο πρώτος όρος τις αωτέρω κφράις ίαι η υδροτατική υιτώα τω τάω m και παράγι µόο ογκοµτρική παραµόρφωη v ίη µ v 5 και η ατίτοιχη έργια ογκοµτρικής παραµόρφωης ίαι 6 U v m v 6 Οι δύο πόµοι όροι τω κφράω τω κύριω τάω υθύοται για τη τρέβλωη του υλικού τη ξταζόµη θέη και χτίζοται µ τη έργια διατµητικής παραµόρφωης, η οποία θα ιούται µ v total s U U U 7 H ολική έργια παραµόρφωης ιούται µ U total ] [ E U total και ατικαθιτώτας τη 7, προκύπτι µτά τη κτέλη τω πράξω για τη έργια διατµητικής παραµόρφωης ] [ 6 ] [ 6 U s και πρέπι α λαµβάι ταθρή τιµή ή ιοδύαµα α ιχύι C 8 Από τη απαίτηη α ιχύι το κριτήριο διαρροής υθήκς µοοαξοικού φλκυµού και καθαρής διάτµηης λαµβάται η ακριβής µαθηµατική χέη του κριτηρίου ως k 6 Y 9 Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ

3 Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ Γ. Συχτιµός τω ορίω διαρροής Υ και k Από τις ξ. 4 και 9, ατίτοιχα, προκύπτι Y Από το κριτήριο Tresca: k 0α Y Από το κριτήριο Mises: k 0β Συπώς, όπου µπλέκοται τα δύο όρια διαρροής, θα πρέπι α δηλώται αφώς το κριτήριο που ακολουθίται.. Γραφική παράταη τω κριτηρίω διαρροής Tresca και Mises ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Σχήµα : Γραφική παράταη κριτηρίω το ύτηµα,, Ο τόπος διαρροής yield locus του κριτηρίου Mises ίαι κυλιδρική πιφάια µ άξοα τη ιοκλιή του υτήµατος αξόω,, και ακτία ίη προς Y / βλ. απόδιξη κατωτέρω. Ο ατίτοιχος τόπος διαρροής του κριτηρίου Tresca ίαι καοική ξαγωική πριµατική πιφάια γγγραµµέη το τόπο διαρροής του Mises. To πίπδο-π ίαι κάθ πίπδο µ ξίωη υτήµατος,, c και ίαι κάθτο τη ιοκλιή του

4 Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ ΙΣ ΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Σχήµα : Γραφική παράταη κριτηρίω το ύτηµα, ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΣΤΟ ΠΙΠ Ο-π Σχ. Σχήµα : Σχηµατική παράταη κριτηρίω το πίπδο-π ΠΡΙΟΧΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΤΟΠΟΥΣ ΙΑΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ Σχ. 4 4

5 Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ α β Σχήµα 4: Πριοχές καταπόηης τα διαγράµµατα του διδιάτατου τόπου διαρροής α Κριτηρίου Tresca, β Κριτηρίου Mises 5

6 ΙΣΟ ΥΝΑΜΗ ΤΑΣΗ - ΙΣΟ ΥΝΑΜΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Η ιοδύαµη τάη ορίζται υαρτήι τω υπολοίπω υιτωώ τάω έτι, ώτ, ότα αρχίζι η διαρροή, α λαµβάι τη τιµή Υ. Συπώς, για τα αωτέρω κριτήρια διαρροής προκύπτου οι ακόλουθς κφράις Κριτήριο Tresca: α Κριτήριο Mises: [ ] β Η ιοδύαµη παραµόρφωη ή αύξηη της παραµόρφωης ή d ορίζται έτι, ώτ η αύξηη του ιδικού έργου παραµόρφωης dw α ικαοποιί τη χέη dw Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ Αποδικύται ότι για τα ξταθέτα αωτέρω κριτήρια ατοχής ιχύι, ατίτοιχα Κριτήριο Tresca: d i, όπου i,, α max Κριτήριο Mises: [ d ] 9 β ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΣ ΞΙΣΩΣΙΣ ΣΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΠΡΙΟΧΗ / ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ FLOW RULES Α. ξιώις Lévy-Mises Οι γικές κατατατικές ξιώις µταξύ αποκλιουώ τάω και ολικώ αυξήω τω παραµορφώω για τη πρίπτωη του τρού-ιδωδώς πλατικού υλικού προτάθηκα αρχικά από το Lévy 87 και τη πλήρη διατύπωή τους αργότρα από το von Mises 9 ως ξής: "Το πηλίκο της αύξηης της παραµόρφωης προς τη ατίτοιχη αποκλίουα τάη ίαι ταθρή" ή ιοδύαµα x y d z xy yz zx x y z τxy τyz τzx dλ 4α ή ταυτική µορφή dλ, i, j x, y, z 4β όπου: dλ µη αρητική ταθρά ααλογίας ξαρτώµη από τη ιτορία της παραµόρφωης. Συπώς, υολικά θα ιχύι: d d [ x x λ λ x y z ] 5α d d [ y y λ λ y z x ] 5β d d [ z z λ λ z x y ] 5γ xy τxy dλ 5δ yz τ yz dλ 5 zx τ zx dλ 5τ 6

7 Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ Β. ξιώις Prandtl-Reuss Οι γικές κατατατικές ξιώις µταξύ αποκλιουώ τάω και πλατικώ αυξήω τω παραµορφώω για τη πρίπτωη του λατικού-ιδωδώς πλατικού υλικού προτάθηκα αρχικά από το Prandtl 94 για τη πρίπτωη της πίπδης παραµορφωιακής παραµόρφωης και τη γική διατύπωή τους αργότρα από το Reuss 90 ως ξής: "Το πηλίκο της πλατικής αύξηης της παραµόρφωης προς τη ατίτοιχη αποκλίουα τάη ίαι ταθρή" ή ιοδύαµα x x y y z z xy τxy yz τyz zx τzx dλ 6α ή ταυτική µορφή dλ, i, j x, y, z 6β όπου: dλ µη αρητική ταθρά ααλογίας ξαρτώµη από τη ιτορία της παραµόρφωης και δίκτης που δηλώι το πλατικό τµήµα της αύξηης της παραµόρφωης. Η ολική αύξηη της παραµόρφωης ιούται µ το άθροιµα ός λατικού µέρους και ός πλατικού, δηλαδή d e dλ δ dm 7 G E ή υολικά d x d y d z d [ x λ x y z ] E 8α d y d z d x d [ y λ y z x ] E 8β d z d x d y d [ z λ z x y ] E 8γ dτ xy xy τ xy dλ G 8δ dτ yz yz τ yz dλ G 8 dτ zx zx τ zx dλ G 8τ Οι ξιώις Prandtl-Reuss υαρτήι τω κύριω υιτωώ τάω και παραµορφώω κφράζοται ως ξής: dλ 9 7

8 Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ Η ξ. 9 δηλώι ότι οι κύκλοι Mohr για τις τάις και τις πλατικές αυξήις της παραµόρφωης ίαι όµοιοι, βλ. Σχ. 5. Σχήµα 5: Κύκλοι Mohr για τάη και πλατική αύξηη παραµόρφωης Τέλος, ά χωριτού οι ογκοµτρικές από τις αποκλίους υιτώς της αύξηης παραµόρφωης τη ξ. 7 και λαµβάοτας υπόψη το κριτήριο διαρροής του Mises, οι ξιώις Prandtl-Reuss µπορί α γραφού υπό τη ακόλουθη ταυτική µορφή ii d dλ G dii E k 0 Γ. Κατατατικές ξιώις για κρατυόµο υλικό Βαική υπόθη: "Η ιοδύαµη τάη ίαι υάρτηη του υολικού ιδικού πλατικού έργου w " ηλαδή θα ιχύι: fw όπου: [ ] dw 8

9 Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ πιδή τη πλατική πριοχή ιχύι η αρχή διατήρηης του όγκου d 0, η πλατική υιτώα της αύξηης παραµόρφωης µπορί α παραταθί το πίπδο-π µ έα διάυµα. πίης η ιαγωγή του υτλτή G ξαφαλίζι το διάυµα αυτό διατάις τάης και έτι τούτο µπορί α απικοιτί το ίδιο διάγραµµα µ το διάυµα της αποκλίουας τάης. Από τη υπόθη ότι οι κύριοι άξος πλατικής αύξηης παραµόρφωης και τάης υµπίπτου, το Σχ. 6 το διάυµα τάης OP πρέπι α ίαι παράλληλο προς το διάυµα της πλατικής αύξηης παραµόρφωης RQ. Άρα, το παραγόµο πλατικό έργο θα ιούται µ Σχήµα 6 OP RQ dw α G όπου OP β ] G d RQ G [ γ Σηµιώται ότι η πλατική υιτώα της αύξηης παραµόρφωης µπορί α γραφί υπό τη µορφή 9 { } δ Ατικαθιτώτας τη ξ. 0α προκύπτι για το πλατικό έργο dw 4 9

10 Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ Από το υδυαµό τω ξ. 9, 0, και δ προκύπτου οι πλήρις κατατατικές ξιώις για κρατυόµο υλικό ii d G dii E k 5 ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Οριµός ίαι η µταβολή τω ιδιοτήτω του υλικού τις διάφορς διυθύις. Μτριέται µ τους υτλτές R α, όπου α ίαι η γωία που χηµατίζι η µλτούµη διύθυη µ τη διύθυη έλαης του λάµατος. πίπδη αιοτροπία lanar anisotroy ίαι το ίδος αιοτροπίας που ααφέρται διαφορτικές ιδιότητς του υλικού τις διάφορς διυθύις πάω το πίπδο του λάµατος. Μτριέται µ το υτλτή πίπδης αιοτροπίας R, που υπολογίζται από τη χέη R0 R45 R90 R 6 ή4 Κάθτη αιοτροπία normal anisotroy ίαι το ίδος αιοτροπίας που ααφέρται διαφορτικές ιδιότητς του υλικού τις διάφορς διυθύις κατά το πάχος του λάµατος. Μτριέται µ το υτλτή κάθτης αιοτροπίας R, που υπολογίζται από τη χέη R R0 R45 R Συτλτής αιοτροπίας R α κατά τη διύθυη α ίαι ο λόγος τω παραµορφώω κατά το πλάτος και το πάχος που ηµιώοται δοκίµιο φλκυµού, κοµµέου διύθυη α από το έλαµα, πιµήκυη της τάξης του 5-0% ή πρι τη µφάιη λαιµού υλικά µικρής ολκιµότητας. Ιχύι R α π α z 8 Τυπικές µταβολές του υτλτή αιοτροπίας µ τη διύθυη α παρουιάζοται το Σχ. 7. 0

11 Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ Παρατηρήις Σχήµα 7: Μταβολή του υτλτή αιοτροπίας µ τη διύθυη α Η πίπδη αιοτροπία χτίζται µ το µέγθος και το προαατολιµό τω «αυτιώ» που χηµατίζοται τη βαθία κοίλαη κυαθίω, βλ. Σχ. 8. Όο µγαλύτρος ίαι ο υτλτής R, τόο τοότρος ίαι ο χηµατιµός «αυτιώ». Σχήµα 8: πίδραη του υτλτή πίπδης αιοτροπίας το χηµατιµό «αυτιώ» Η κάθτη αιοτροπία χτίζται µ τη ικαότητα του λάµατος προς βαθία κοίλαη, δηλ. µ το µέγιτο ύψος κυαθίου που µπορί α πιτυχθί µ αφάλια έα πάο. Όο µγαλύτρος ίαι ο υτλτής R, τόο µγαλύτρη ίαι η ικαότητα προς κοίλαη. Σηµατική ίαι η ξάρτηη τω υτλτώ αιοτροπίας από το µέτρο λατικότητας του υλικού, βλ. Σχ. 9. Σχήµα 9: ξάρτηη τω υτλτώ αιοτροπίας από το µέτρο λατικότητας Τα µγέθη E και ορίζοται κατ' ααλογία προς τα R και R