Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika"

Transcript

1 Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 04, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat opravljal maturo, je navedena v Maturitetnem izpitnem katalogu za poklicno maturo za tisto leto. Ljubljana 0

2 PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA POKLICNO MATURO MATEMATIKA Katalog so pripravili: dr. Gregor Dolinar Lovro Dretnik Marjan Hafner Mira Jug Skledar mag. Mojca Suban Ambrož Jezikovni pregled: Helena Škrlep Katalog je določil Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje na 48. seji in se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 04, dokler ni določen novi katalog. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat opravljal maturo, je navedena v Maturitetnem izpitnem katalogu za poklicno maturo za tisto leto. Državni izpitni center, 0 Vse pravice pridržane. Izdal in založil: Državni izpitni center Predstavnik: dr. Darko Zupanc Uredili: mag. Mateja Jagodič Joži Trkov Oblikovanje in prelom: Milena Jarc Ljubljana 0 ISSN 3-639

3 VSEBINA UVOD...5 IZPITNI CILJI ZGRADBA IN VREDNOTENJE IZPITA Shema izpita Vrste nalog in vrednotenje IZPITNE VSEBINE PRILAGODITVE ZA KANDIDATE S POSEBNIMI POTREBAMI DODATKI Matematične oznake Formule, ki so priložene izpitni poli Zgledi izpitnih nalog Navodila za ocenjevanje nalog pisnega izpita Ustni izpit LITERATURA...43

4

5 UVOD Predmetni izpitni katalog je namenjen kandidatkam in kandidatom, ki si bodo izbrali matematiko kot tretji predmet pri poklicni maturi. V pomoč bo tudi učiteljicam in učiteljem matematike, ki jih bodo pripravljali na ta izpit. Ta katalog temelji na katalogu znanja za matematiko za programe srednjega strokovnega izobraževanja v obsegu 383 do 408 ur iz leta 007 in za programe srednjega poklicno-tehniškega izobraževanja v obsegu 06 do 4 ur iz leta 007 ter na Pravilniku o poklicni maturi in Zakonu o maturi. Izpit iz matematike je sestavljen iz dveh delov: pisnega in ustnega. V katalogu so opisani cilji in zgradba izpita ter vrednotenje in ocenjevanje. Dodan je snovni sklop, ki je sestavljen iz dveh delov: na levi strani so vsebine in pojmi, ki določajo okvir učne snovi, preverjane pri izpitu, na desni pa so zapisani cilji, ki se preverjajo. Priložen je tudi seznam matematičnih oznak in formul, s katerimi si kandidati pri izpitu lahko pomagajo. V katalogu je nekaj zgledov izpitnih nalog z rešitvami in točkovnikom ter navodila za ocenjevanje. Prilagoditve za kandidate s posebnimi potrebami so navedene v 5. poglavju. Matematika 5

6 IZPITNI CILJI Izpit bo preveril, kako zna kandidat: brati besedilo in ga prevesti v matematični jezik, razumeti informacije, izražene z matematičnimi sredstvi, in jih uporabiti pri iskanju rešitve, uporabljati matematično terminologijo in simboliko, sistematično, natančno, samostojno, urejeno zapisovati in reševati matematične naloge, uporabljati matematiko kot sredstvo komunikacije, izkazati razumevanje ter uporabljati osnovne matematične pojme in odnose med njimi, reševati matematične probleme, kritično uporabiti ustrezno metodo ter razložiti in utemeljiti rešitev, uporabljati matematiko na strokovnih in drugih področjih, uporabljati tehnološke pripomočke, uporabljati druge dovoljene pripomočke. 6 Matematika

7 3 ZGRADBA IN VREDNOTENJE IZPITA 3. Shema izpita Izpit iz matematike je sestavljen iz dveh delov: pisnega in ustnega. Pisni del je enoten za vse kandidate in ga hkrati opravljajo vsi prijavljeni kandidati v Sloveniji. Ocenjevanje obeh delov izpita je notranje. Pisni izpit Državna predmetna komisija za matematiko za poklicno maturo sestavi izpitno polo in moderirana navodila za ocenjevanje. Izpitna pola Trajanje Število točk Delež pri oceni 0 minut %. del. del (40) (30) (40 %) (30 %) Dovoljeni pripomočki pri pisnem izpitu so: nalivno pero ali kemični svinčnik, svinčnik, radirka, numerično žepno računalo brez grafičnega zaslona in brez možnosti simbolnega računanja, šestilo, trikotnik (geotrikotnik), ravnilo, kotomer in trigonir. Izpitna pola vsebuje tudi formule, s katerimi si kandidat lahko pomaga pri reševanju nalog. Pri konstrukcijskih nalogah je treba uporabljati geometrijsko orodje. Pri reševanju nalog mora biti jasno in korektno predstavljena pot do rezultata z vmesnimi računi in sklepi. Ustni izpit Seznam vprašanj in listke za ustni izpit sestavijo učitelji na šoli na podlagi predmetnega izpitnega kataloga. Na seznamu so ločeno navedena teoretična vprašanja in različne vrste situacij predvsem iz stroke ali iz vsakdanjega življenja. Na vsakem listku za ustni izpit je zapisano: situacija iz stroke ali vsakdanjega življenja in 3 teoretična vprašanja, ki izhajajo iz te situacije oziroma se nanjo smiselno navezujejo. Vprašanja naj zajemajo različno matematično vedenje in cilje različnih tematskih sklopov. Trajanje Število točk Delež pri oceni situacija in 3 vprašanja do 0 minut % Dovoljeni pripomočki pri ustnem izpitu so: nalivno pero ali kemični svinčnik, svinčnik, radirka, šestilo, trikotnik (geotrikotnik), ravnilo, kotomer, trigonir in tehnološki pripomoček (grafično žepno računalo ali računalnik z ustrezno programsko opremo), s katerim se je kandidat seznanil pri pouku matematike in ki ga je odobril aktiv učiteljev matematike na šoli. Kandidat ima pravico do 5-minutne priprave na ustni izpit. Matematika 7

8 3. Vrste nalog in vrednotenje Izpit Vrste nalog Vrednotenje nalog. del izpitne pole 9 krajših nalog 5 nalog je ovrednotenih s 4 točkami, 4 naloge pa s 5 točkami.. del izpitne pole Ustni izpit 3 sestavljene (izbirne) naloge, od katerih kandidat izbere in reši dve situacija iz stroke ali vsakdanjega življenja in 3 teoretična vprašanja, ki izhajajo iz te situacije oziroma se nanjo smiselno navezujejo Vsaka naloga je ovrednotena s 5 točkami. Celotna situacija skupaj z vprašanji 30 točk, od tega vsaj 0 točk skupaj za situacijo, za povezovanje teoretičnih vprašanj s situacijo in za ustrezno uporabo tehnoloških pripomočkov. 8 Matematika

9 4 IZPITNE VSEBINE VSEBINSKI SKLOPI številske množice geometrija algebrske funkcije in enačbe transcendentne funkcije in enačbe zaporedja obdelava podatkov diferencialni račun kombinatorika in verjetnostni račun Številske množice Vsebine, pojmi Naravna, cela, racionalna in realna števila. Lastnosti operacij v vseh številskih množicah. Deljivost v N in Z. Potence z naravnimi in celimi eksponenti. Praštevila in sestavljena števila. Pravila za ugotavljanje deljivosti. Večkratniki in delitelji. Izrazi. Lastnosti enakosti in neenakosti. Osnovni izrek o deljenju. Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik. Racionalna števila in realna števila. Ulomki. Urejenost, enakosti, neenakosti in lastnosti. Desetiški zapis. Razmerja, deleži, odstotki. Cilji preverjanja Računati z naravnimi, celimi, racionalnimi in realnimi števili ter uporabljati zakonitosti računskih operacij. Poiskati večkratnike in delitelje naravnih in celih števil. Računati s potencami z naravnimi in celimi eksponenti ter uporabljati pravila za računanje z njimi. Poznati pravila za reševanje enačb in neenačb. Znati reševati preproste enačbe in neenačbe. Računati z algebrskimi izrazi (potencirati dvočlenik, razcepiti razliko kvadratov, razliko in vsoto kubov, uporabljati Vietovo pravilo). Poznati odnos deljivosti in urejenosti. Poznati in uporabljati osnovni izrek o deljenju. Poznati praštevila in sestavljena števila. Dano število razcepiti v produkt praštevil. Poiskati največji skupni delitelj števil. Poiskati najmanjši skupni večkratnik števil. Ugotoviti, ali je število deljivo z, 3, 5, 9 in 0. Računati s številskimi in algebrskimi ulomki. Zapisati racionalno število z decimalno številko. Zapisati periodično decimalno številko kot okrajšani ulomek. Računati z odstotki. Matematika 9

10 Vsebine, pojmi Cilji preverjanja Izračunati delež, osnovo in relativni delež. Uporabljati sklepni račun. Številska premica. Intervali. Iracionalna števila. Decimalni zapis iracionalnega števila. Urejenost v obsegu realnih števil R. Kvadratni in kubični koren. Zaokroževanje. Absolutna vrednost števila in njene lastnosti. Potence z racionalnimi eksponenti. Predstaviti realna števila kot točke in kot interval na številski premici (realni osi). Zaokroževati. Oceniti rezultat. Računati s kvadratnimi in kubičnimi koreni. Delno koreniti in racionalizirati imenovalec. Rešiti preproste enačbe in neenačbe z absolutno vrednostjo. Računati s potencami z racionalnimi eksponenti. Računati s koreni. Geometrija Vsebine, pojmi Geometrija v ravnini Osnovni geometrijski pojmi. Točke in premice v ravnini ter odnosi med njimi. Razdalja, daljica, nosilka daljice, simetrala, poltrak, kot. Trikotnik, krog, večkotnik. Izreki v pravokotnem trikotniku. Skladnost. Podobnost. Kotne funkcije ostrih kotov. Cilji preverjanja Narisati premico, poltrak, daljico, simetralo, kot, krog in krožnico, lok, tetivo, tangento. Ločevati vrste trikotnikov glede na stranice in kote. Poznati različne vrste kotov (sokota, sovršna kota, ostri, topi, suplementarni ). Računati s koti. Poznati in uporabljati definicijo skladnosti trikotnikov. Uporabljati osnovne izreke o skladnosti trikotnikov. Poznati enote za merjenje kotov ter pretvarjati stopinje v radiane in nasprotno. V računskih in konstrukcijskih nalogah uporabljati lastnosti trikotnika, paralelograma in trapeza. Uporabljati Pitagorov izrek. Načrtovati like (konstrukcijske naloge). Trikotniku očrtati in včrtati krog. Načrtati tangento na krog (v dani točki krožnice in iz točke, ki leži zunaj kroga). Poznati in uporabljati lastnosti obodnega kota nad premerom v polkrogu. Poznati in uporabljati definicijo podobnosti trikotnikov. Poznati kotne funkcije ostrih kotov v pravokotnem trikotniku in jih znati uporabljati. 0 Matematika

11 Vsebine, pojmi Ploščine Ploščina paralelograma, trikotnika, trapeza, deltoida in kroga. Sinusni izrek. Kosinusni izrek. Površine in prostornine Površina in prostornina pokončne prizme, valja, piramide, stožca in krogle. Cilji preverjanja Poznati enote za merjenje ploščine. Računati ploščino paralelograma, trikotnika, trapeza, deltoida, kroga in krožnega izseka. Uporabljati sinusni izrek. Uporabljati kosinusni izrek. Poznati in računati obsege likov ter dolžino krožnega loka. Iz ustreznih podatkov izračunati ploščino, stranico, kot, obseg, višino, polmer očrtanega in včrtanega kroga. Poznati in uporabljati lastnosti pokončnih teles (prizme, valja, piramide, stožca) in krogle. Pri ustreznih podatkih za dano telo izračunati višino telesa, stranski rob, osnovni rob, telesno diagonalo, plašč, ploščino osnega preseka, površino in prostornino. Izračunati kote, ki jih med seboj oklepajo robovi oziroma ploskve geometrijskega telesa. Algebrske funkcije in enačbe Vsebine, pojmi Linearna funkcija Pravokotni koordinatni sistem v ravnini. Množice točk v ravnini. Razdalja med točkama. Linearna funkcija: k + n. Enačba premice. Linearna enačba in linearna neenačba. Sistem linearnih enačb. Cilji preverjanja Ponazoriti preproste množice točk v ravnini. Izračunati razdaljo med točkama v ravnini. Narisati graf linearne funkcije. Poznati pomen konstant k in n. Določiti ničlo in začetno vrednost funkcije. Zapisati enačbo premice v ravnini v eksplicitni, implicitni in segmentni obliki. Rešiti linearne enačbe. Rešiti linearne neenačbe. Rešiti sistem dveh in treh linearnih enačb. Rešiti besedilno nalogo z uporabo linearne enačbe in sistema dveh enačb z dvema neznankama. Kvadratna funkcija Kvadratna funkcija: a + b + c. Diskriminanta. Teme, ničli in graf kvadratne funkcije. Kvadratna enačba. Uporaba kvadratne funkcije in enačbe. Kvadratna neenačba. Zapisati kvadratno funkcijo pri različnih podatkih. Izračunati teme, ničli kvadratne funkcije in presečišče grafa z ordinatno osjo ter načrtati graf. Zapisati kvadratno funkcijo v temenski obliki, splošni obliki in obliki za ničle ter pretvarjati iz ene oblike v drugo. Rešiti kvadratno enačbo in različne naloge, ki se nanašajo na uporabo kvadratne enačbe. Izračunati presečišče parabole in premice, dveh parabol. Matematika

12 Vsebine, pojmi Potenčna funkcija, polinom in racionalna funkcija Potenčna funkcija. Polinomi z realnimi koeficienti. Ničle polinomov. Hornerjeva shema. Graf polinoma. Racionalne funkcije. Racionalne enačbe in neenačbe. Cilji preverjanja Rešiti besedilne naloge z uporabo kvadratne enačbe. Rešiti kvadratno neenačbo. Narisati graf potenčnih funkcij s celimi eksponenti. Poiskati razcep danega polinoma. Izračunati ničle polinoma. Uporabljati Hornerjev algoritem. Narisati graf polinoma. Zapisati funkcijsko enačbo polinoma ob ustreznih podatkih. Rešiti neenačbe: p ( ) > 0, p ( ) < 0, p ( ) 0, p ( ) 0. Poznati definicijo in enačbo racionalne funkcije. Določiti ničle, pole in vodoravne asimptote. Narisati graf dane racionalne funkcije. Reševati racionalne enačbe in neenačbe. Transcendentne funkcije in enačbe Vsebine, pojmi Eksponentna in logaritemska funkcija Eksponentna funkcija: f = a a > a ( ), 0,. Lastnosti in graf eksponentne funkcije. Eksponentna enačba. Logaritem. Prehod k novi osnovi. Logaritemska funkcija. Lastnosti in graf logaritemske funkcije. Logaritemska enačba. Kotne funkcije Kotne funkcije. Definicija kotnih funkcij: f( ) = sin f( ) = cos f( ) = tan Lastnosti kotnih funkcij. Adicijski izreki. Grafi kotnih funkcij. Cilji preverjanja Narisati graf dane eksponentne in logaritemske funkcije (brez premikov in raztegov). Reševati preproste eksponentne enačbe (skupna osnova, izpostavljanje skupnega faktorja). Usvojiti definicijo logaritma. Uporabljati pravila za računanje z logaritmi. Reševati preproste logaritemske enačbe (tudi z žepnim računalom). Uporabiti prehod k novi osnovi za računanje z žepnim računalom. Poznati desetiški in naravni logaritem. Poznati in uporabljati definicije kotnih funkcij. Narisati grafe funkcij: f( ) = sin, f( ) = cos, f( ) = tan. Izračunati ničle, abscise maksimumov in minimumov. Uporabljati zveze med kotnimi funkcijami istega kota, komplementarnih in suplementarnih kotov. Uporabljati periodičnost, lihost oziroma sodost kotnih funkcij sinus, kosinus in tangens ter uporabljati adicijske izreke. Izračunati kot med premicama. Matematika

13 Zaporedja Vsebine, pojmi Definicija zaporedja f : N R. Lastnosti zaporedij (naraščanje, padanje, omejenost). Aritmetično in geometrijsko zaporedje. Vsota n členov aritmetičnega in geometrijskega zaporedja. Navadno in obrestno obrestovanje. Cilji preverjanja Določiti lastnosti danega zaporedja (naraščanje, padanje, omejenost). Narisati graf zaporedja. Usvojiti definicijo aritmetičnega in geometrijskega zaporedja. Izračunati vsoto n členov aritmetičnega zaporedja. Izračunati vsoto n členov geometrijskega zaporedja. Poznati in razlikovati navadno in obrestno obrestovanje. Izračunati končno vrednost glavnice in obdobje obrestovanja. Obdelava podatkov (statistika) Vsebine, pojmi Osnovni statistični pojmi. Urejanje in razvrščanje podatkov. Prikazovanje podatkov. Srednja vrednost. Cilji preverjanja Uporabljati osnovne statistične pojme (populacija, statistična enota, vzorec, statistična spremenljivka). Urediti podatke. Uporabljati pojem absolutne in relativne frekvence. Grafično prikazati podatke (histogram, krožni, stolpčni in linijski diagram). Določiti srednje vrednosti (modus, mediana, aritmetična sredina). Diferencialni račun Vsebine, pojmi Odvod funkcije. Odvod in lokalno vedenje funkcije. Cilji preverjanja Uporabiti pravila za odvajanje osnovnih in sestavljenih funkcij. Z uporabo odvoda raziskovati lastnosti funkcij. Določiti enačbo tangente na graf funkcije v dani točki. Reševanje preprostih ekstremalnih problemov. Kombinatorika in verjetnostni račun Vsebine, pojmi Osnovni prijemi kombinatorike. Verjetnost slučajnega dogodka. Cilji preverjanja Poznati in uporabljati osnovni zakon kombinatorike. Prepoznati permutacije brez ponavljanja, kombinacije brez ponavljanja, variacije brez ponavljanja in variacije s ponavljanjem ter izračunati njihovo število. Izračunati verjetnost slučajnega dogodka. Matematika 3

14 5 PRILAGODITVE ZA KANDIDATE S POSEBNIMI POTREBAMI Kandidatom s posebnimi potrebami, ki so bili usmerjeni v izobraževalne programe z odločbo o usmeritvi, v utemeljenih primerih (poškodbe, bolezen) pa tudi drugim kandidatom glede na vrsto in stopnjo primanjkljaja, ovire oziroma motnje se prilagodita način opravljanja izpita iz matematike in način ocenjevanja znanja v skladu z Zakonom o maturi in s poglavjem Prilagoditve za kandidate s posebnimi potrebami Maturitetnega izpitnega kataloga za poklicno maturo. 4 Matematika

15 6 DODATKI 6. Matematične oznake Množice {,,...} je element ni element množica z elementi, { ; } množica vseh, takih, da..., {} prazna množica N množica naravnih števil N N { 0} 0 Z + Z Z Q + Q množica celih števil množica pozitivnih celih števil množica negativnih celih števil množica racionalnih števil množica pozitivnih racionalnih števil Q ( ) množica negativnih racionalnih števil R,, množica realnih števil + ( ) R, 0, množica pozitivnih realnih števil + [ ) R 0, 0, množica nenegativnih realnih števil ( ) R,,0 množica negativnih realnih števil \, unija presek razlika množic [ ab, ] zaprti interval { R ; a b} [ ab, ),[ ab, [ interval { R ; a < b} ( ab, ],] ab, ] interval { R ; a < b} ( ab, ),] ab, [ odprti interval { R ; a < < b} Matematika 5

16 Relacije in operacije ( ab, ) urejeni par = je enako ni enako je približno enako < je manjše > je večje + plus je manjše ali enako je večje ali enako minus krat : deljeno ab D( ab, ) v( ab, ) Σ a a deli b največji skupni delitelj števil a in b najmanjši skupni večkratnik števil a in b znak za vsoto absolutna vrednost a Geometrija d( AB, ) AB razdalja med točkama A in B dolžina daljice AB kot trikotnik biti vzporeden A(, y ) S, p V P R r je pravokoten je skladen je podoben točka A s koordinatama in y ploščina prostornina površina polmer trikotniku očrtanega kroga polmer trikotniku včrtanega kroga 6 Matematika

17 Funkcije f funkcija f f : A B preslikava (funkcija) iz A v B f( ) se preslika v f( ) D f Z f definicijsko območje funkcije f zaloga vrednosti funkcije f df f ' = (prvi) odvod funkcije f d Obdelava podatkov (statistika), µ aritmetična sredina Kombinatorika. Verjetnostni račun P n n! r V n število permutacij n elementov brez ponavljanja n -fakulteta število variacij brez ponavljanja n elementov reda r ( p) V n ( k ) r n r n n ( r ) število variacij s ponavljanjem n elementov reda r binomski simbol ( n nad k ) C = število kombinacij brez ponavljanja n elementov reda r G N gotovi dogodek nemogoči dogodek E, E, E 3,... elementarni dogodki A ' dogodku A nasprotni dogodek A B vsota dogodkov A in B A BA, B produkt dogodkov A in B A\ B razlika dogodkov A in B A B A je način dogodka B P( A ) verjetnost dogodka A Matematika 7

18 6. Formule, ki so priložene izpitni poli. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija Razdalja dveh točk v ravnini: d( AB, ) = ( ) ( y y ) y y Linearna funkcija: f ( ) = k + n Smerni koeficient: k = k k Naklonski kot premice: k = tanϕ Kot med premicama: tanϕ = + kk. Ravninska geometrija (ploščine likov so označene s S ) cv Trikotnik: S = c = absinγ = ss ( a)( s b)( s c), s = a+ b+ c Polmera trikotniku očrtanega ( R) in včrtanega ( r) kroga: R = abc, r 4S Enakostranični trikotnik: S = a 3, v = a 3, r = a 3, R = a ef Deltoid, romb: S = Romb: S s S = a sinα =, ( s = a+ b+ c) Paralelogram: S = absinα Trapez: S = a+ c v Dolžina krožnega loka: l = π rα Ploščina krožnega izseka: S = π r α Sinusni izrek: a b c = = = R Kosinusni izrek: a = b + c bccosα sinα sin β sinγ 3. Površine in prostornine geometrijskih teles ( S je ploščina osnovne ploskve) Prizma: P = S + Spl, V = Sv Piramida: P = S + Spl, V = Sv 3 3 Krogla: P = 4π r, V = 4πr 3 Valj: Stožec: P = π r + π rv, V= π rv P =π r +π rs, V= π rv 3 sin α + cos α = sin tanα = α cosα cos( α ± β) = cosαcos β sinαsin β sin( α ± β) = sinαcos β ± cosαsin β 4. Kotne funkcije + tan α = cos α sin α = sinα cosα cos = cos sin α α α 5. Kvadratna funkcija, kvadratna enačba f ( ) = a + b + c Teme: T( pq, ), p = b, q = D a 4a a + b + c = 0 Ničli: b± D, =, D = b 4ac a 8 Matematika

19 6. Logaritmi loga y = a = y loga = nloga loga log a( y) = loga + loga y logb = log b log log log y = a a a y n a 7. Zaporedja Aritmetično zaporedje: an = a + ( n ) d, sn = n ( a + ( n ) d) n Geometrijsko zaporedje: an aq n q =, sn = a q G0np Navadno obrestovanje: Gn = G0 + o, o = 00 n p Obrestno obrestovanje: Gn = Gr 0, r = Obdelava podatkov (statistika) Aritmetična sredina: = = n n f + f fk f + f f k k 9. Odvod Odvodi nekaterih elementarnih funkcij n f ( ) = n f ( ) = n f( ) = sin f ( ) = cos f( ) = cos f ( ) = sin f( ) = tan f ( ) = cos f( ) = ln f ( ) = f( ) = e f ( ) = e Pravila za odvajanje f( ) + g( ) = f ( ) + g ( ) ( ) f( g ) ( ) = f ( g ) ( ) + f( g ) ( ) ( ) kf ( ) = kf ( ) ( ) f( ) f ( g ) ( ) f( g ) ( ) g ( ) = g ( ) f g ( ) f g ( ) g ( ) ( ( )) = ( ) 0. Kombinatorika in verjetnostni račun Permutacije brez ponavljanja: Pn = n! r Variacije brez ponavljanja: V! n = n ( n r)! ( p) r r Variacije s ponavljanjem: V = n r r Vn Kombinacije brez ponavljanja: C! n = = n = n ( r ) Verjetnost slučajnega dogodka A : ( ) n r! r!( n r)! P A = m = n število ugodnih izidov število vseh izidov Matematika 9

20 6.3 Zgledi izpitnih nalog Pojasnilo: točka, označena z (*), je postopkovna točka. Kandidat jo dobi, če je napisal (uporabil) pravilni postopek, a zaradi napake ali napačnih podatkov rezultat ni pravilen. ŠTEVILSKE MNOŽICE. Poenostavite izraz: ( ( ) ) +. (4 točke) poenostavitev izraza v oklepaju: razstavljeni izraz: rešitev: Skupaj 4 + = ( + )( ) * +. Dana so naravna števila 75, 04, 78, 340, 505. Poiščite največji skupni delitelj tistih dveh števil, ki sta deljivi s 5. (4 točke) ugotovitev, da sta s številom 5 deljivi števili 75 in 340 zapis števil v obliki produkta potenc s praštevilskimi 3 4 osnovami: 75 = 3 5, 340 = 3 5 Skupaj 4 rešitev: D ( 75,340) = 5 + * 3. Začetna cena avtomobila se je najprej zvišala za 0 %. Nato so ga pocenili za 5 %. Izračunajte začetno ceno avtomobila, če je njegova končna cena 8090 evrov. (4 točke) 3 3 zapis enačbe:,0 0,75 = 8090 evrov * + + rešitev: = 000 evrov Skupaj 4 0 Matematika

21 GEOMETRIJA Geometrija v ravnini. Načrtajte trikotnik ABC s podatki: a = 6 cm, β = 60 in γ = 45. Narišite tudi skico. (4 točke) skica C γ b a α A c β B načrtana stranica a in eden izmed kotov načrtan drugi kot označen trikotnik ABC Skupaj 4. Dve navpični palici dolžine m stojita 4 m narazen. Na palici je pritrjena 5 m dolga vrv, ki jo s tretjo palico podpremo na sredini, tako da je napeta (glej sliko). Izračunajte dolžino tretje palice. (4 točke) Matematika

22 ,5 Skupaj 4 uporaba Pitagorovega izreka, npr.: rezultat: =, 5 m dolžina srednje palice je: +,5 = 3,5 m + =, V krog je vrisan trapez ABCD, katerega daljša osnovnica meri 8 cm, krajša osnovnica pa 3 cm (glej sliko). Izračunajte, koliko meri DSC. (5 točk) D C A S B 3 ugotovitev, da je r = SC = SD = 4 cm + Skupaj 5 uporaba ustrezne formule za izračun kota, npr.: cosϕ = r + r c rr izračunan kot, npr.: ϕ 44,05 + Matematika

23 Ploščine. V paralelogramu ABCD je dolžina stranice a = 6 cm in višina na stranico v a = 4 cm. Kot pri oglišču A meri 60. Izračunajte obseg in ploščino paralelograma. (4 točke) izračunana dolžina stranice, npr.: b = 4 4,6 cm sin60 Skupaj 4 obseg paralelograma, npr.: o,4 cm ploščina paralelograma: S = 4 cm * + Površine in prostornine. Na sliki je mreža tristrane pokončne prizme. b = 3,6 cm a = 4,8 cm c v = 8,4 cm.. Izračunajte obseg osnovne ploskve prizme... Narišite skico prizme in izračunajte vsoto dolžin vseh njenih robov..3. Izračunajte površino in prostornino prizme. Površino zapišite v mm. (4 točke) (5 točk) (6 točk). uporaba Pitagorovega izreka: rezultat: c = 6 cm uporaba formule: o = a+ b+ c rezultat: o = 4,4 cm Skupaj 4 c = 3,6 + 4,8 Matematika 3

24 . skica z označenimi podatki a b + c v v v a b Skupaj 5 c * vsota dolžin osnovnih robov: 3,6 + 4,8 + 6 = 8,8 cm ( ) vsota dolžin stranskih robov: 3 8,4 = 5, cm * vsota dolžin vseh robov: 54 cm.3 izračun ploščine osnovne ploskve: Skupaj 6 površina prizme: * pretvorba: P = 384 mm P = S + S = 38,4 cm o pl S o = ab = 8,64 cm * + 3 prostornina prizme: V= Sv= 8,64 8,4 = 7,576 cm * + o. Sod v obliki pokončnega valja s prostornino 500 litrov je do polovice napolnjen z nafto. V pokončnem položaju soda je nivo nafte 0,6 m nad osnovno ploskvijo... Narišite skico in izračunajte polmer osnovne ploskve soda... Kako visoko nad tlemi je gladina nafte, ko sod položimo v ležeči položaj na vodoravni površini?.3. Koliko dm pločevine potrebujemo za izdelavo takšnega soda? (8 točk) ( točki) (5 točk) 4 Matematika

25 . skica v Skupaj 8 pretvorba prostornine, npr.: r 3 V = cm pretvorba in izračun višine, npr.: v = 0 cm * + uporaba formule, npr.: V= π rv računanje polmera * + rešitev: r = 36,4 cm. rezultat: d = r = 36,4 cm Skupaj odgovor: Če sod položimo v ležeči položaj na vodoravni površini, je gladina nafte 36,4 cm nad tlemi..3 uporaba formule in vstavljeni podatki za površino soda: P = π 36,4 + π 36,4 0 Skupaj 5 rezultat: pretvorba: P = cm P = 358 dm odgovor: Za izdelavo takšnega soda potrebujemo 358 dm pločevine. * + Upoštevajo se vsi rezultati, dobljeni s pravilnim zaokroževanjem. ALGEBRSKE FUNKCIJE IN ENAČBE Linearna funkcija. Rešite sistem enačb: + 3 y = 6, y = 7. (4 točke) * pravilen postopek reševanja rešitev: = 3, y = 4 + Skupaj 4 Matematika 5

26 . Zapišite enačbo premice, ki je vzporedna premici p in poteka skozi točko T. y p T 0 (4 točke) zapis točke: T ( 0,3) Skupaj 4 smerni koeficient: k = uporaba enačbe premice, npr.: y y = k( ) rešitev, npr.: y = Dani sta premici z enačbama: y = + 3 in y = Obe premici narišite v koordinatni sistem. 3.. Izračunajte presečišče premic in kot, pod katerim se sekata premici Izračunajte ploščino trikotnika, ki ga določata premici in ordinatna os. (5 točk) (7 točk) (3 točke) 6 Matematika

27 3. y narisana premica: y = narisana premica: y = 3 Skupaj zapis enačbe: Skupaj = 3 izračunana abscisa: = 4 * + zapis presečišča: P ( 4, ) uporaba formule za kot med premicama: k k tanϕ = = 3 + kk izračunan kot, npr.: ϕ 7,57 + * 3.3 dolžina stranice na ordinatni osi je enaka 6 višina na stranico je enaka 4 Skupaj 3 izračunana ploščina: S = Matematika 7

28 Kvadratna funkcija. Dana je kvadratna funkcija koordinatnima osema. f( ) = 3 4. Določite teme in presečišča grafa funkcije s (5 točk) določitev temena: T 3 5 (, ) Skupaj 5 4 določitev presečišč z abscisno osjo: P (, 0 ), ( 4,0 ) + P + določitev presečišč z ordinatno osjo: N ( 0, 4). Dani sta kvadratni funkciji f( ) = + 4 in y =... Narišite oba grafa v istem koordinatnem sistemu... Izračunajte koordinate presečišč obeh grafov..3. Izračunajte smerni koeficient premice, ki poteka skozi presečišči. (7 točk) (5 točk) (3 točke). y 0 3 narisana parabola: oblika) 4 narisana parabola: oblika) Skupaj 7 y = + 4 (teme, ničli, pravilna y = (teme, ničli, pravilna Matematika

29 . zapis enačbe: Skupaj = * pravilen postopek reševanja izračunani abscisi: =, = + zapisani presečišči: P (,3 ), P (,0).3 y y uporaba formule za izračun k = Skupaj 3 * pravilno vstavljeni podatki za koordinate presečišč izračun: k = Potenčna funkcija, polinom in racionalna funkcija. Na sliki je graf polinoma tretje stopnje. Zapišite njegove ničle in stopnje ničel. Ugotovite in zapišite interval, na katerem ima polinom negativne vrednosti. y (5 točk) zapis prve ničle: = (. stopnja) + zapis druge ničle: + = (. stopnja) Skupaj 5 polinom ima negativne vrednosti na intervalu (, ), torej za < Matematika 9

30 . Dana je funkcija f( ) =... Določite ničlo, pola, vodoravno asimptoto in presečišče z ordinatno osjo... Narišite graf funkcije in napišite definicijsko območje funkcije..3. Določite, za katere vrednosti je f( ) > 0. (5 točk) (7 točk) (3 točke). ničla: = Skupaj 5 pola: =, = + vodoravna asimptota: y = 0 presečišče z ordinatno osjo: N ( ) 0,. y 0 Skupaj 7 graf poteka skozi točki (, 0 ) narisane vse tri asimptote M in N ( ) 0, 3 narisan graf Vsaka veja grafa točka. definicijsko območje: množica realnih števil brez in D = R, ali simbolni zapis, npr.: { } f.3 3 racionalna funkcija ima pozitivne vrednosti na uniji intervalov, npr.: (,) (, ) Matematika

31 TRANSCENDENTNE FUNKCIJE IN ENAČBE Eksponentna in logaritemska funkcija. Rešite enačbo: log( 3) = log. (5 točk) upoštevanje lastnosti logaritma: log( 3) = log zapis enačbe: ( 3) = preoblikovanje in rešitvi kvadratne enačbe: = 4, = Ugotovitev, da = ni rešitev logaritemske enačbe. Skupaj 5 * +. Rešite enačbi: 4 log 4 = 64 = (5 točk) preoblikovanje enačbe, npr.: 4 3 = 4 * zapis enačbe (izenačitev eksponentov): = 3 rešitev: = preoblikovanje enačbe: 4 = rešitev: = Skupaj 5 3. Dani sta funkciji f( ) = 3 in g ( ) = + 4. Narišite grafa obeh funkcij v koordinatni sistem. S slike odčitajte koordinati presečišča. Z računom preverite, da odčitano presečišče leži na grafu obeh funkcij. (5 točk) Matematika 3

32 3 y 4 P 0 4 Skupaj 5 narisan graf eksponentne funkcije narisana premica določeno presečišče: P (, 3 ) izračun, npr.: f ( ) g( ) = = 3 + Kotne funkcije. Povežite dva izraza tako, da bosta imela enako vrednost za poljuben : sin( ) ( + ) cos 360 π ( ) cos cos ( π) cos sin sin sin cos cos (5 točk) povezava: sin( ) = sin povezava: ( ) cos = cos povezava: cos( ) povezava: cos( ) π sin = π = cos Skupaj 5 povezava: cos = sin 3 Matematika

33 ZAPOREDJA. Miha je oblikoval kupe kamenčkov. Prve tri kupe kaže slika. Koliko kamenčkov bi potreboval za 3. kup, ki bi s predhodnimi kupi tvoril aritmetično zaporedje?. kup (5 točk). kup 3. kup zapis prvih treh členov: a =, a = 6, a3 = 0 izračun: d = 4 uporaba formule: = + ( ) rezultat: a 3 = 50 a3 a 3 d odgovor: Za 3. kup bi potreboval 50 kamenčkov. Skupaj 5. Izračunajte tako, da bodo, + 3, + 5 prvi trije členi geometrijskega zaporedja. Seštejte prve štiri člene danega zaporedja. (5 točk) zapis enačbe, npr.: = pravilen postopek reševanja enačbe in rešitev: = 9 * + vsota prvih štirih členov zaporedja, npr.: s 8 4 = = 3 3 * + Skupaj 5 3. Trgovini A in B sta januarja prodali vsaka po 50 kg limon. V naslednjih mesecih je trgovina A vsak mesec prodala 5 kg limon manj kakor predhodni mesec, trgovina B pa za 6 % limon manj kakor predhodni mesec. 3.. Izračunajte, koliko kilogramov limon je vsaka od trgovin prodala junija. 3.. Za koliko odstotkov je bila prodaja v trgovini A junija manjša od prodaje aprila? 3.3. Izračunajte, koliko kilogramov limon so prodali v trgovini B od vključno januarja do vključno avgusta. (5 točk) (5 točk) (5 točk) Matematika 33

34 3. prodaja v trgovini A v juniju: = 75 kg + Skupaj 5 3 prodaja v trgovini B v juniju: ( ) ,06 = 50 0,94 83 kg prodaja v trgovini A v aprilu: = 05 kg + Skupaj 5 nastavitev in izračun odstotka, npr.: ,46 5 % 05 odgovor: Za približno 5 %. * postopek izračuna, npr.: 8 8 k 0,94 S8 = a = 50 k 0,94 Skupaj 5 rezultat: S8 67 kg * + OBDELAVA PODATKOV (STATISTIKA). V oddelku na šoli so merili višino deklet in fantov. Rezultate meritev so zapisali v preglednico: Višina v cm Spol 6 Ž 63 Ž 64 Ž 65 Ž 65 Ž 67 M 69 Ž 70 M 7 M 7 M 7 Ž 75 M 76 M 78 M 78 M 79 Ž 80 M 80 M 8 M 85 M 34 Matematika

35 .. Dopolnite preglednico in narišite histogram s temi 5 razredi: Razred Višina v cm Število dijakov Nad 60 do vključno 65 Nad 65 do vključno 70 3 Nad 70 do vključno 75 4 Nad 75 do vključno 80 5 Nad 80 do vključno 85 (7 točk).. Za koliko centimetrov se povprečna višina fantov razlikuje od povprečne višine deklet? (6 točk).3. Koliko deklet je nižjih od povprečne višine deklet v oddelku? ( točki). dopolnjena preglednica: 5, 3, 4, 6, Vsaj tri pravilne vrednosti točka. histogram označeni osi 3 narisan histogram število dijakov višina v cm Skupaj 7. izračun: M = 339 = Ž 67,375 cm 8 izračun: M M = = 76 cm izračun razlike: R = M M = 8,65 cm odgovor: V povprečju so fantje za 8,65 cm višji od povprečne višine deklet. Skupaj 6 Kandidat dobi vse točke, če je rezultate pravilno zaokrožil. M Ž.3 V oddelku je 5 deklet nižjih od povprečne višine deklet v oddelku. Matematika 35

36 ODVOD. Izračunajte odvoda naslednjih funkcij: f = sin + 3cos ( ) ( ) = ln( 4 ) g (5 točk) f ( ) = cos 3sin + Skupaj 5 3 ( ) g = 8 = 4 +. Izračunajte odvoda naslednjih funkcij in dobljena rezultata poenostavite: f ( ) = 4+ 3 g ( ) = + (5 točk) ( ) 3 Skupaj 5 f = 4 = 4 g ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) + = = Zapišite enačbo tangente na krivuljo = 4 v točki ( 3, 0 ) y A y. (5 točk) 3 izračun ordinate točke A : y y( ) izračun odvoda: y = 4 0 = 3 = 9 = 3 izračun smernega koeficienta tangente: k y ( ) t = 3 = zapis enačbe tangente: y = 9 * + Skupaj 5 4. Dana je funkcija ( ) 3 f = Izračunajte ničle in zapišite presečišče funkcije f z ordinatno osjo. 4.. Izračunajte ekstreme funkcije f Narišite graf funkcije f. (5 točk) (6 točk) (4 točke) 36 Matematika

37 4. 3 izračun ničel:, =, 3 = * + + Skupaj 5 izračun: f ( 0) = zapis presečišča funkcije f z ordinatno osjo: N ( 0,) 4. izračun odvoda: ( ) Skupaj 6 f = izračun stacionarnih točk: =, = * + + zapis ekstremov: (, 0 ), (, 4 ) E E upoštevanje ničel in začetne vrednosti + upoštevanje ekstremov oblika grafa funkcije y 4 0 Skupaj 4 KOMBINATORIKA IN VERJETNOSTNI RAČUN. Izmed 5 matematikov in 3 fizikov moramo izbrati člane tričlanske strokovne komisije, v kateri bosta dva matematika in en fizik. Izračunajte, na koliko načinov je mogoče sestaviti tako komisijo, če ni drugih omejitev. (4 točke) nastavek: ( 5 ) ( 3 ) * izračun, npr.: 5 3 ( ) ( ) rezultat: 30 Skupaj 4 = 0, = 3 + Matematika 37

38 . V škatli so bile rdeča, modra, bela in zelena kroglica. Tina jih je na slepo eno za drugo izvlekla iz škatle. Izračunajte verjetnost, da je po vrsti izvlekla zeleno, modro, belo in rdečo kroglico. (4 točke). način: število vseh izidov: n = 4! = 4 število ugodnih izidov: m = uporaba formule in izračun: P ( A m ) = = 0,04 n 4!. način: upoštevanje, da je verjetnost, da med n kroglicami v * + škatli izberemo kroglico določene barve, enaka n Skupaj 4 izračun: ( ) P A = = 0, * + 38 Matematika

39 6.4 Navodila za ocenjevanje nalog pisnega izpita V teh navodilih želimo dati nekaj napotkov za točkovanje nalog pisnega izpita iz matematike pri poklicni maturi. Gre za splošna navodila, ki niso vezana na posamezno nalogo ali v nalogah zajeto snov, v danem točkovniku pa tudi ni posebnih zahtev v zvezi z nastalim problemom. Navodila so namenjena ocenjevalcem in kandidatom. Osnovno pravilo Kandidat, ki je prišel po kateri koli pravilni metodi do pravilne rešitve (četudi točkovnik take metode ne predvideva), dobi vse možne točke. Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki: smiselno upošteva besedilo naloge, vodi k rešitvi problema, je matematično pravilen in popoln. Osnovno pravilo ne velja pri nalogah, pri katerih je metoda reševanja predpisana, npr.»rešite grafično«. V tem primeru se drugačna metoda šteje za napako oziroma nepopolno rešitev. Pravilnost rezultata in postopka a) Pri nalogah z navodilom»izračunajte natančno«ali»rezultat naj bo točen«morajo biti števila zapisana natančno, torej v analitični obliki, npr. π, e, ln, 3 5 Natančno morajo biti zapisani tudi vsi vmesni rezultati. Končni rezultati morajo biti primerno poenostavljeni: ulomki in ulomljeni izrazi okrajšani, koreni delno korenjeni, istovrstni členi sešteti b) Pri nalogah, ki predpisujejo natančnost (npr.»izračunajte na dve decimalni mesti«), mora biti končni rezultat naveden s predpisano natančnostjo in ustrezno zaokrožen. Zapis = (je približno) je obvezen. Vmesni rezultati morajo biti računani natančneje (če gre), sicer se lahko zgodi, da končni rezultat ni dovolj natančen. c) Nekatere naloge se dajo reševati računsko in grafično. Ker grafični način ni natančen, ga praviloma ne uporabljamo. Za pravilnega se upošteva le pri nalogah, pri katerih je to izrecno predpisano. Tudi kadar se da preprost rezultat odčitati iz grafa, se mora njegova pravilnost potrditi še računsko. d) Če je besedilo naloge oblikovano kot vprašanje (na koncu je»?«), se zahteva odgovor s celo povedjo. e) Če je kandidat pri reševanju postopek ali njegov del prečrtal, tega ne točkujemo. f) Če nastopajo pri podatkih merske enote, npr. cm, kg, EUR, morajo biti tudi končni rezultati opremljeni z ustreznimi enotami. Uporaba predpisane enote je obvezna le, če je izrecno zahtevana, sicer pa se uporabi poljubna smiselna enota. Če kandidat pri takšni nalogi ne zapiše enote, ne dobi točke, ki je predvidena za rezultat. Vmesni rezultati so lahko brez enot. g) Kote v geometrijski nalogi (kot med premicama, kot v trikotniku ) izrazimo praviloma v stopinjah in stotinkah stopinje ali pa v stopinjah in minutah. Matematika 39

40 Grafi funkcij Če je koordinatni sistem že dan, ga upoštevamo ne spreminjamo enot in ne premikamo osi. Če ga rišemo sami, obvezno označimo osi in enoto na vsaki od njiju. Navadno na obeh oseh izberemo enako veliko enoto. Koordinatni sistem določa meje risanja grafov. Graf mora biti obvezno narisan do konca koordinatnega sistema (če je funkcija do tam definirana). Ekstremne točke morajo biti upoštevane pri funkcijah sinus in kosinus. Graf mora ustrezati dani funkciji tudi estetsko: pravilni loki, upoštevanje konveksnosti oziroma konkavnosti, obnašanje v okolici značilnih točk (ničle, poli, presečišča s koordinatnima osema ). Skice Na skici morajo biti označene vse količine, ki v nalogi nastopajo kot podatki, vmesni ali končni rezultati. Pri geometrijskih likih in telesih se je treba držati splošnih dogovorov o označevanju stranic, oglišč in robov. Ta pravila navajajo učbeniki. Skica mora ustrezati glavnim lastnostim lika ali telesa, ki ga predstavlja. Oznake izračunanih količin se morajo ujemati z oznakami na skici. Konstrukcijske naloge Konstrukcijske naloge se rešujejo s šestilom in ravnilom. Vedno je treba konstruirati vse (neskladne) rešitve, ki jih določajo podatki. Pri teh nalogah se najprej nariše skica. Oznake na njej se morajo ujemati z oznakami na sliki. Če lega lika ni določena, se lahko konstrukcija začne iz poljubne začetne točke v poljubni smeri, paziti je treba le, da pride na izpitno polo celotna konstrukcija. Pri zahtevnejši konstrukciji mora biti potek opisan z besedami. Spodrsljaji, napake in grobe napake (navodila za ocenjevalce) Spodrsljaj je nepravilnost zaradi nezbranosti, npr. pri prepisovanju podatkov ali vmesnih rezultatov. Napaka je napačen rezultat računske operacije, npr. 3 7 = 8 (ne pa = 6), ali nenatančnost pri načrtovanju ali risanju grafov funkcij (npr. strmina črte, ukrivljenost ). Groba napaka je napaka, nastala zaradi nepoznavanja pravil in zakonov, npr.: ( ) log + log3 = log + 3, 6 = = 6, + 3 = 5, Če je naloga vredna n točk, potem upoštevamo naslednje: a) Pri spodrsljaju ali napaki odštejemo točko. b) Če je storjena groba napaka na začetku, se naloga ovrednoti z 0 točkami, sicer jo vrednotimo le do grobe napake (če so predvidene delne točke). c) Pri strukturiranih nalogah upoštevamo zgornji pravili za vsak del posebej. 40 Matematika

41 6.5 Ustni izpit Seznam vprašanj in listke za ustni izpit sestavijo učitelji na šoli na podlagi predmetnega izpitnega kataloga. Na seznamu so ločeno navedene situacije iz stroke ali vsakdanjega življenja in teoretična vprašanja. Na vsakem listku za ustni izpit je zapisano: situacija iz stroke ali vsakdanjega življenja in 3 teoretična vprašanja, ki izhajajo iz te situacije oziroma se nanjo smiselno navezujejo. Vprašanja naj zajemajo različno matematično vedenje in cilje različnih tematskih sklopov. Vzorca izpitnega listka. vzorec izpitnega listka: Taksist A zaračuna 4 startnine in,50 za vsak prevožen kilometer, taksist B pa startnine in,75 za vsak prevožen kilometer.. Opišite lastnosti aritmetičnega zaporedja. Zapišite aritmetično zaporedje, katerega n-ti člen je enak ceni taksista A za n prevoženih kilometrov. Enako za taksista B.. Opišite lastnosti linearne funkcije in grafa linearne funkcije. Zapišite linearno funkcijo, ki predstavlja ponudbo taksista A. Enako za taksista B. Z uporabo ustreznega tehnološkega pripomočka predstavite grafa teh linearnih funkcij. 3. Opišite, kako rešujemo sistem linearnih enačb za neznanki. Kako lahko geometrijsko razložimo rešitev sistema? Primerjajte ponudbi obeh taksistov.. vzorec izpitnega listka: Kovinsko kroglico z maso 500 g in polmerom 3 cm zakotalimo po ravni podlagi.. Opišite lastnosti kvadratne funkcije in grafa kvadratne funkcije. Kinetična energija W k telesa z maso m in hitrostjo v je dana z enačbo W k = mv. Z uporabo ustreznega tehnološkega pripomočka grafično prikažite spreminjanje kinetične energije kroglice v odvisnosti od njene hitrosti.. Kdaj sta kota: skladna, komplementarna, suplementarna, sosednja, sokota? Ali bo kroglica po odboju od stene zadela drugo kroglico? Odgovor utemeljite. Matematika 4

42 3. Kolikšna je prostornina valja in kolikšna je prostornina krogle? Na sliki je valj, napolnjen z vodo, v katerega spustimo kroglico. Ali bo voda pljusknila čez rob? Odgovor utemeljite. cm 0 cm 8 cm Ocenjevanje pri ustnem izpitu Kandidat dobi skupaj 30 točk, od tega vsaj 0 točk skupaj za situacijo, za povezovanje teoretičnih vprašanj s situacijo in za ustrezno uporabo tehnoloških pripomočkov. Pri tem upoštevamo ta merila: uporaba ustreznega matematičnega jezika pri komuniciranju, povezovanje situacij z matematičnimi pojmi, postopki in strategijami, izbira in pravilno izvajanje postopkov, raven abstraktnosti in sistematičnosti dijakove obravnave, elementi deduktivnega sklepanja, ustrezna uporaba tehnoloških pripomočkov, utemeljevanje izbire postopkov, strategij reševanja in pravilnosti rešitve. 4 Matematika

43 7 LITERATURA Pri pripravi na poklicno maturo kandidati uporabljajo učbenike in učno gradivo, ki jih je potrdil Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje in jih najdete v Katalogu učbenikov za srednjo šolo, objavljenem na spletni strani Zavoda Republike Slovenije za šolstvo Matematika 43

*P173C10113* MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE ZIMSKI IZPITNI ROK. Ponedeljek, 5. februar Državni izpitni center POKLICNA MATURA

*P173C10113* MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE ZIMSKI IZPITNI ROK. Ponedeljek, 5. februar Državni izpitni center POKLICNA MATURA Državni izpitni center *P7C0* ZIMSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Ponedeljek, 5. februar 08 POKLICNA MATURA Državni izpitni center Vse pravice pridržane. P7-C0-- NAVODILA ZA OCENJEVANJE

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

*P171C10113* MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Sobota, 3. junij Državni izpitni center POKLICNA MATURA

*P171C10113* MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Sobota, 3. junij Državni izpitni center POKLICNA MATURA Državni izpitni center *P7C0* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota,. junij 07 POKLICNA MATURA Državni izpitni center Vse pravice pridržane. P7-C0-- NAVODILA ZA OCENJEVANJE

Διαβάστε περισσότερα

*P172C10113* MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE JESENSKI IZPITNI ROK. Petek, 25. avgust Državni izpitni center POKLICNA MATURA

*P172C10113* MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE JESENSKI IZPITNI ROK. Petek, 25. avgust Državni izpitni center POKLICNA MATURA Državni izpitni center *P7C0* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 5. avgust 07 POKLICNA MATURA Državni izpitni center Vse pravice pridržane. P7-C0-- NAVODILA ZA OCENJEVANJE nalog

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA POKLICNO MATURO MATEMATIKA

PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA POKLICNO MATURO MATEMATIKA PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA POKLICNO MATURO MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog je določil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje na 60. seji 27. 8. 2003 in se uporablja v programih za pridobitev

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 0, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat

Διαβάστε περισσότερα

Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika

Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 07, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat

Διαβάστε περισσότερα

Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika

Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 09, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega roka 0, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat opravljal

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega roka 009, dokler ni dolo~en novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat opravljal

Διαβάστε περισσότερα

*P093C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Četrtek, 11. februar 2010 / 120 minut ZIMSKI IZPITNI ROK

*P093C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Četrtek, 11. februar 2010 / 120 minut ZIMSKI IZPITNI ROK Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P093C10111* ZIMSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Četrtek, 11. februar 010 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Διαβάστε περισσότερα

*P101C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 5. junij 2010 / 120 minut SPOMLADANSKI IZPITNI ROK

*P101C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 5. junij 2010 / 120 minut SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P101C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 5. junij 010 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Διαβάστε περισσότερα

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek. DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 2. Sobota, 4. junij 2011 / 90 minut

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 2. Sobota, 4. junij 2011 / 90 minut Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M111401* Višja raven MATEMATIKA Izpitna pola SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 011 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center. Osnovna raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Sobota, 4. junij 2011 / 120 minut

Državni izpitni center. Osnovna raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Sobota, 4. junij 2011 / 120 minut Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M11140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 011 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat

Διαβάστε περισσότερα

*P103C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Četrtek, 10. februar 2011 / 120 minut ZIMSKI IZPITNI ROK

*P103C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Četrtek, 10. februar 2011 / 120 minut ZIMSKI IZPITNI ROK Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P03C0* ZIMSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Četrtek, 0. februar 0 / 0 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Torek, 25. avgust 2009 / 90 minut

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Torek, 25. avgust 2009 / 90 minut Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M094011* Višja raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 JESENSKI IZPITNI ROK Torek, 5. avgust 009 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

*P091C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 6. junij 2009 / 120 minut SPOMLADANSKI IZPITNI ROK

*P091C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 6. junij 2009 / 120 minut SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P09C0* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 6. junij 009 / 0 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 2. junij 2007 / 120 minut brez odmora

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 2. junij 2007 / 120 minut brez odmora [ifra kandidata: Dr`avni izpitni center *P071C10111* SPOMLADANSKI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota,. junij 007 / 10 minut brez odmora Dovoljeno dodatno gradivo in pripomo~ki: kandidat prinese s seboj

Διαβάστε περισσότερα

ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO

ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO Srednja elektro šola in tehniška gimnazija M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 006/007 NARAVNA ŠTEVILA Katera števila imenujemo naravna števila? Naštejte

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih. TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij

Διαβάστε περισσότερα

*P113C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Torek, 7. februar 2012 / 120 minut ZIMSKI IZPITNI ROK

*P113C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Torek, 7. februar 2012 / 120 minut ZIMSKI IZPITNI ROK Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P113C10111* ZIMSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Torek, 7. februar 01 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA

1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA 1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA 1. Naštej lastnosti osnovnih računskih operacij v množici naravnih števil. 2. Kakšen je vrstni red računskih operacij v množici celih števil?

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija. 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.

Διαβάστε περισσότερα

6. Kako razstavimo razliko kvadratov a2 - b2? Ali se vsota kvadratov a2 + b2 da razstaviti v množici realnih števil?

6. Kako razstavimo razliko kvadratov a2 - b2? Ali se vsota kvadratov a2 + b2 da razstaviti v množici realnih števil? USTNA VPRAŠANJA IZ MATEMATIKE šolsko leto 2005/2006 I. NARAVNA IN CELA ŠTEVILA 1. Naštejte lastnosti operacij v množici naravnih števil. Primer: Izračunajte na dva načina vrednosti izrazov 2. Opišite vrstni

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. Funkcije in enačbe Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 POLINOMI... 1 1.1 Polinomi VAJE... 1 1.2 Operacije

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA NPZ

PONOVITEV SNOVI ZA NPZ PONOVITEV SNOVI ZA NPZ ENAČBE 1. naloga : Ugotovi ali sta dani enačbi ekvivalentni! 5x 5 = 2x 2 in 5 ( x - 1 ) = 2 ( x 1 ) da ne 2. naloga : Reši linearni enačbi in napravi preizkusa! a) 5 4x = 2 3x PR:

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

VPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE

VPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE VPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE ŠTEVILSKE MNOŽICE NARAVNA ŠTEVILA 1. Naštej lastnosti osnovnih računskih operacij v N. Osnovne računske operacije so seštevanje in množenje (+, *): a) ZAKON O

Διαβάστε περισσότερα

= Števila 264, 252, 504 zapiši kot produkt praštevil in poišči njihov skupni največji delitelj in

= Števila 264, 252, 504 zapiši kot produkt praštevil in poišči njihov skupni največji delitelj in PRIPRAVA NA POM REALNA ŠTEVILA in PKS. Izračunaj: ( ( ) ( )) (( ) ) [ ] ( ( ) ) 4 0 ( ) ( ) 4 + 6 7 4 + + 4 + = 0 4 0 ( + ) 5 + ( 0) ( ) + (( 5) + ( ) ( ) ) = [ ]. Poenostavi in rezultat razstavi: ( +

Διαβάστε περισσότερα

INŽENIRSKA MATEMATIKA I

INŽENIRSKA MATEMATIKA I INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA. Predmetni izpitni katalog za splošno maturo

MATEMATIKA. Predmetni izpitni katalog za splošno maturo Ljubljana 2015 MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog za splošno maturo Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 2017, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto,

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

Matematika pri maturi iz fizike, taksonomija in banka nalog

Matematika pri maturi iz fizike, taksonomija in banka nalog Matematika pri maturi iz fizike, taksonomija in banka nalog Aleš Mohorič FMF, Univerza v Ljubljani Projekt Scientix (2012-2015) črpa sredstva iz okvirnega programa Evropske unije za raziskave in razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE

FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Dr`avni izpitni center *M0441113* JESENSKI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Torek, 31. avgust 004 SPLO[NA MATURA C RIC 004 M04-411-1-3 Rešitve: POLA 1 VPRAŠANJA IZBIRNEGA TIPA REŠITVE 1. C 1. D. B. A

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

PRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2

PRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2 3 4 PRIMER UPORABE FUNKCIJ Upogibni moment 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE T (x) =F A qx M(X )=F A x qx2 2 1 2 DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE Naj bosta A in B neprazni množici. Enolična funkcija f : A

Διαβάστε περισσότερα

3.letnik - geometrijska telesa

3.letnik - geometrijska telesa .letnik - geometrijska telesa Prizme, Valj P = S 0 + S pl S 0 Piramide, Stožec P = S 0 + S pl S0 Pravilna -strana prizma P = a a + av 1 Pravilna -strana prizma P = a + a a Pravilna 6-strana prizma P =

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za 4. letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo-

Matematika za 4. letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo- LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA Matematika za 4. letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo- Avtor: Samo Žerjal Nova Gorica, november 016 KAZALO 1 Trigonometrija... 3 1.1 Grafi in lastnosti

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Seminarska naloga pri predmetu Komuniciranje v matematiki Avtor: Zalka Selak Mentor: prof. dr. Tomaţ Pisanski KAZALO:

Διαβάστε περισσότερα

Sproščeno srečanje in izmenjava prvih vtisov. Režim v novem šolskem letu:

Sproščeno srečanje in izmenjava prvih vtisov. Režim v novem šolskem letu: 1. ura Tema: Uvodna ura Oblika: Poglavje: 1. Prva ura po poletnih počitnicah: Sproščeno srečanje in izmenjava prvih vtisov. Režim v novem šolskem letu: 2. Učbeniki. kontrolne naloge spraševanje 3. Hiter

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

Dragi polinom, kje so tvoje ničle?

Dragi polinom, kje so tvoje ničle? 1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.

Διαβάστε περισσότερα

Navadne diferencialne enačbe

Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama

Διαβάστε περισσότερα

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA Matematika za drugi letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo- Avtor: Samo Žerjal Nova Gorica, februar 016 KAZALO 1 Potenčna funkcija... 1.1 Kvadratna

Διαβάστε περισσότερα

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 1. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 ŠTEVILA... 1 1.1 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA... 1 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M15143113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA RIC 2015 M151-431-1-3 2 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I

Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Kemijska tehnologija Visokošolski strokovni program Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 29. 8. 2013 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA KURIKUL ZA ŠOLSKO LETO 2008/2009 POSLOVNO-KOMERCIALNA ŠOLA CELJE POKLICNA IN STROKOVNA ŠOLA

MATEMATIKA KURIKUL ZA ŠOLSKO LETO 2008/2009 POSLOVNO-KOMERCIALNA ŠOLA CELJE POKLICNA IN STROKOVNA ŠOLA POSLOVNO-KOMERCIALNA ŠOLA CELJE POKLICNA IN STROKOVNA ŠOLA KURIKUL ZA ŠOLSKO LETO 2008/2009 MATEMATIKA PROGRAM: SREDNJE POKLICNO IZOBRAŽEVANJE: ADMINISTRATOR in TRGOVEC Letnik Število ur 1. 99 OPERATIVNI

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f

Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh

Διαβάστε περισσότερα

1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE

1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE 1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M543* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek,. junij 05 SPLOŠNA MATURA RIC 05 M543 M543 3 IZPITNA POLA Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8 M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:

Διαβάστε περισσότερα

vezani ekstremi funkcij

vezani ekstremi funkcij 11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNA ŠOLA ZBORA ODPOSLANCEV Trg zbora odposlancev 28, 1330 Kočevje Tel.: Fax:

OSNOVNA ŠOLA ZBORA ODPOSLANCEV Trg zbora odposlancev 28, 1330 Kočevje Tel.: Fax: OSNOVNA ŠOLA ZBORA ODPOSLANCEV Trg zbora odposlancev 28, 1330 Kočevje Tel.: 01 895 17 94 Fax: 01 893 13 48 e-mail: os.zbodp@guest.arnes.si MATEMATIKA Letna priprava za 9. razred devetletke Šolsko leto:

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

LETNA PRIPRAVA. 8. razred devetletke. Ivan Narat, OŠ Tončke Čeč. Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec

LETNA PRIPRAVA. 8. razred devetletke. Ivan Narat, OŠ Tončke Čeč. Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec Šolsko leto 2012/2013 LETNA PRIPRAVA MATEMATIKA 8. razred devetletke Ivan Narat, OŠ Tončke Čeč Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec KOCKA 8, učbenik Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja

Διαβάστε περισσότερα

*N * MATEMATIKA. razred NAVODILA ZA VREDNOTENJE. Sreda, 4. maj Državni izpitni center. NACIONALNO PREVERJANJE ZNANJA v 9.

*N * MATEMATIKA. razred NAVODILA ZA VREDNOTENJE. Sreda, 4. maj Državni izpitni center. NACIONALNO PREVERJANJE ZNANJA v 9. Državni izpitni center *N1614012* 9. razred MATEMATIKA Sreda, 4. maj 2016 NAVODILA ZA VREDNOTENJE NACIONALNO PREVERJANJE ZNANJA v 9. razredu RIC 2016 2 N161-401--2 SPLOŠNA NAVODILA Prosimo, da najprej

Διαβάστε περισσότερα

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a

Διαβάστε περισσότερα

TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )

TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( ) TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ (17. 12. 03) Pazljivo preberite besedilo vsake naloge! Naloge so točkovane enakovredno (vsaka 25%)! Pišite čitljivo! Uspešno reševanje! 1. Deformiranje telesa je podano s poljem

Διαβάστε περισσότερα

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013 Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Čas reševanja je 75 minut. 1. [15] Poišči vsa kompleksna števila z, za katera velja. z 2 +2 z +2 i 2 = Im. 1 2i

Čas reševanja je 75 minut. 1. [15] Poišči vsa kompleksna števila z, za katera velja. z 2 +2 z +2 i 2 = Im. 1 2i Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon.

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα