Kontekstivabad keeled
|
|
- Μάξιμος Καραμανλής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28
2 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 2 / 28
3 Järgmine punkt 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 3 / 28
4 Pinuautomaat e magasinmäluga automaat Töötakti alguses δ(q,b,b) = {...,(q,dac),...} Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 4 / 28
5 Pinuautomaat e magasinmäluga automaat Töötakti lõpus δ(q,b,b) = {...,(q,dac),...} Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 5 / 28
6 Pinuautomaadi mudel Lõplik automaat koos magasiniga: magasini saab laadida sümboleid (operatsioon push(a)) ja lugeda neid sealt hiljem tagasi vastupidises järjekorras (operatsioon pop()); esimese sümbolina laaditakse magasini sümbol $, kui operatsiooni pop() tulemusena loetakse $, on magasin tühi; magasin on potentsiaalselt piiramatu mahuga. Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 6 / 28
7 Pinuautomaadi formaalne definitsioon Kasutatakse erinevaid tähestikke sisendsümbolite (Σ) ja magasinisümbolite (Γ) joaks. Definitsioon Lõplik pinuautomaat on struktuur M = (Q,Σ,Γ,δ,Q 0,F ). kus Q on lõplik olekute tähestik; Σ on sisendsümbolite tähestik; Γ on magasinisümbolite tähestik; δ : Q Σ ε Γ ε P(Q Γ ε ) on üleminekufunktsioon; Q 0 Q on lähteolekute hulk; F Q lõppolekute hulk (aktsepteerivate olekute hulk). Siin on kasutatud tähiseid: P(X ) hulga X kõigi alamhulkade hulk (astmehulk); A ε = A {ε}. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 7 / 28
8 Pinuautomaadi funktsioneerimine Olgu M = (Q,Σ,Γ,δ,Q 0,F ) mittedeterministlik lõplik pinuautomaat ja w = w 1 w 2...w m sõne tähestikus Σ ε. Definitsioon M aktsepteerib sõne w, kui leidub olekute jada r 0,...,r m Q ja magasinisümbolite sõned s 0,s 1,...,s m Γ, mis rahuldavad järgmisi tingimusi: 1 r 0 Q 0 ja s 0 = ε (automaat M alustab lähteolekust ja tühja magasiniga); 2 Iga i = 0,...,m 1 jaoks (r i+1,b) δ(r i,w i+1,a), kus s i = at ja s i+1 = bt mingite a,b Γ ε ning t Γ. 3 r m F Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 8 / 28
9 Pinuautomaadi esitamine diagrammina Sarnane lõpliku automaadi esitusega: graaf, mille tippudeks on olekud, servad on aga märgendatud üleminekuid tähistavate avaldistega kujul a,b c kus a on loetav sisendsümbol; b on magasinist võetav sümbol (b = pop()); c on magasini laaditav sümbol (push(c)). ε-üleminekud tähendavad, et sisendsümbolit ei loeta, kui a = ε; magasinist ei võeta sümbolit, kui b = ε; magasini ei laadita sümboleid, kui c = ε. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 9 / 28
10 Pinuautomaadi näide Pinuautomaat, mis aktsepteerib keele L = {0 n 1 n n > 0} ε,ε $ q 0 q 1 0,ε 0 1,0 ε q 3 ε,$ ε q 2 1,0 ε Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 10 / 28
11 Pinuautomaadi näide (2) Pinuautomaat, mis aktsepteerib keele L = {a i b j c k i,j,k > 0 ja i = j i = k} b,a ε c,ε ε q 0 ε,$ ε q 2 q 3 ε,ε $ q 1 ε,ε ε ε,ε ε ε,ε ε ε,$ ε q 4 q 5 q 6 a,ε a b,ε ε c,a ε Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 11 / 28
12 Pinuautomaadi näide (3) Pinuautomaat, mis aktsepteerib keele L = {ww R w {0,1} } ε,ε $ q 0 q 0,ε 0 1 1,ε 1 ε,ε ε q 3 ε,$ ε q 2 0,0 ε 1,1 ε w R tähistab sõnet w kirjutatuna paremalt vasakule. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 12 / 28
13 Tähistuste lihtsustamine Sagedasti esinev olukord: Magasini laaditakse mitu sümbolit järjest ilma samaaegselt sisendit lugemata. Tähistuste ja diagrammide lihtsustamiseks võib modifitseerida üleminekufunktsiooni järgmiselt: Üleminekute jada (q 1,u l ) δ(q,a,s) δ(q 1,ε,ε) = {(q 2,u l 1 )} δ(q 2,ε,ε) = {(q 3,u l 2 )}. δ(q l 1,ε,ε) = {(r,u 1 )} võib asendada ühe üleminekuga: kus u = u 1 u 2...u l. (r,u) δ(q,a,s), Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 13 / 28
14 Tähistuste lihtsustamine Sagedasti esinev olukord: Magasini laaditakse mitu sümbolit järjest ilma samaaegselt sisendit lugemata. Tähistuste ja diagrammide lihtsustamiseks võib modifitseerida üleminekufunktsiooni järgmiselt: Sama diagrammina Näiteks (r,xyz) δ(q,a,s) tähendus q q a,s z q 1 a,s xyz = ε,ε y r q 2 ε,ε x r Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 13 / 28
15 Järgmine punkt 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 14 / 28
16 KV keeled ja pinuautomaadid Teoreem Iga KV keel on aktsepteeritav mingi magasinmäluga automaadi abil. Algoritm. Sisend: L = L (G), kus G = (N,Σ,P,S) on KV grammatika. Väljund: L = L (M), kus M = (Q,Σ,Γ,δ,{q start },F ) on MMA, nii et 1 Γ = Σ N {$} 2 Q = {q start,q loop,q accept } 3 Üleminekufunktsioon rahuldab tingimusi: δ(q start,ε,$) = { (q loop,s$) } ; δ(q loop,ε,a) = { (q loop,w) A w P } iga A N korral; δ(q loop,a,a) = { (q loop,ε) A a P } iga a Σ korral; δ(q loop,ε,$) = { (q accept,ε) }. 4 F = {q accept } m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 15 / 28
17 KV keeled ja pinuautomaadid Teoreem Iga KV keel on aktsepteeritav mingi magasinmäluga automaadi abil. Algoritm. Sama diagrammina... q start ε,ε S$ q loop ε,a w a,a ε produktsiooni A w jaoks terminaali a jaoks ε,$ ε q accept m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 15 / 28
18 Aritmeetilise avaldise pinuautomaat Olgu antud Kv grammatika produktsioonidega: S S + T T T T F F F (S) x x,x ε +,+ ε, ε (,( ε ),) ε q start q loop ε,ε S$ ε,s S + T ε,s T ε,t T F ε,t F ε,f (S) ε,f x ε,$ ε q accept Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 16 / 28
19 Ühe olekuga pinuautomaadid Teoreem Iga MMA M jaoks leidub ühe olekuga MMA M, nii et L (M) = L (M ). Algoritm. Sisend: MMA M = (Q,Σ,Γ,δ,Q 0,F ) Väljund: Ühe olekuga MMA M = ({ },Σ,Γ,δ,{ },{ }), nii et Γ = {[sat] a Σ, (t,γ) δ (s,a,a)}; üleminekufunktsioon δ rahuldab tingimusi : 1 Kui (t,bcd) δ(s,a,a), siis iga kolme oleku x 1,x 2,x 3 Q jaoks (,[tbx 1 ][x 1 Cx 2 ][x 2 Dx 3 ]) δ (,a,[sax 3 ]); 2 Kui (t,ε) δ[(s,a,a), siis (,ε) δ (,a,[sat]); 3 δ (,ε,$) = {(,[q 0 $x]) x Q,q 0 Q 0 }; Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 17 / 28
20 Ühe olekuga pinuautomaadid Teoreem Iga MMA M jaoks leidub ühe olekuga MMA M, nii et L (M) = L (M ). Lihtsustades tähistusi võib üleminekufunktsiooni esitada uuel kujul δ : Σ ε Γ P(Γ ) ning esitada konstrueeritud algoritmi lühemalt: Algoritm. Sisend: MMA M = (Q,Σ,Γ,δ,Q 0,F ) Väljund: Ühe olekuga MMA M = ({ },Σ,Γ,δ,{ },{ }), nii et Γ = {[sat] a Σ, (t,γ) δ(s,a,a)}; üleminekufunktsioon δ rahuldab tingimusi : 1 Kui (t,bcd) δ(s,a,a), siis iga kolme oleku x 1,x 2,x 3 Q jaoks [tbx 1 ][x 1 Cx 2 ][x 2 Dx 3 ] δ (a,[sax 3 ]); 2 Kui (t,ε) δ[(s,a,a), siis ε δ (a,[sat]); 3 δ (ε,$) = {[q 0 $x] x Q,q 0 Q 0 }; Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 17 / 28
21 Ühe olekuga pinuautomaat Palindroome aktstsepteeritv automaat Automaadi M magasini tähestik: Z=[q$r] C=[qas] F=[sas] A=[q$q] D=[qbq] G=[sbs] B=[qaq] E=[qbs] H=[s$r] I=[q$s] Funktsiooni δ genereerimine ülemineku δ(q,a,$) = {(q,a$)} jaoks Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 18 / 28
22 Ühe olekuga pinuautomaat Palindroome aktstsepteeritv automaat Automaadi M magasini tähestik: Z=[q$r] C=[qas] F=[sas] A=[q$q] D=[qbq] G=[sbs] B=[qaq] E=[qbs] H=[s$r] I=[q$s] Funktsiooni δ genereerimine ülemineku δ(q,a,$) = {(q,a$)} jaoks δ (a,[q$q]) = {[qaq][q$q], [qas][s$q], [qar][r$q]} δ (a,[q$s]) = {[qaq][q$s], [qas][s$s], [qar][r$s]} δ (a,[q$r]) = {[qaq][q$r], [qas][s$r], [qar][r$r]} Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 18 / 28
23 Ühe olekuga pinuautomaat Palindroome aktstsepteeritv automaat Automaadi M magasini tähestik: Z=[q$r] C=[qas] F=[sas] A=[q$q] D=[qbq] G=[sbs] B=[qaq] E=[qbs] H=[s$r] I=[q$s] Funktsiooni δ genereerimine ülemineku δ(q,a,$) = {(q,a$)} jaoks { } δ (a,[q$q]) = [qaq][q$q], [qas][s$q], [qar][r$q] { } δ (a,[q$s]) = [qaq][q$s], [qas][s$s], [qar][r$s] { } δ (a,[q$r]) = [qaq][q$r], [qas][s$r], [qar][r$r] Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 18 / 28
24 Ühe olekuga pinuautomaat Palindroome aktstsepteeritv automaat Automaadi M magasini tähestik: Z=[q$r] C=[qas] F=[sas] A=[q$q] D=[qbq] G=[sbs] B=[qaq] E=[qbs] H=[s$r] I=[q$s] Funktsiooni δ genereerimine ülemineku δ(q,a,$) = {(q,a$)} jaoks δ (a,[q$q]) = {[qaq][q$q]} δ (a,[q$s]) = {[qaq][q$s]} δ (a,[q$r]) = {[qaq][q$r], [qas][s$r]} Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 18 / 28
25 Ühe olekuga pinuautomaat Palindroome aktstsepteeritv automaat Automaadi M magasini tähestik: Z=[q$r] C=[qas] F=[sas] A=[q$q] D=[qbq] G=[sbs] B=[qaq] E=[qbs] H=[s$r] I=[q$s] Funktsiooni δ genereerimine ülemineku δ(q,a,$) = {(q,a$)} jaoks δ (a,[q$q]) = {[qaq][q$q]} δ (a,[q$s]) = {[qaq][q$s]} δ (a,[q$r]) = {[qaq][q$r], [qas][s$r]} = δ (a,a) = {BA} δ (a,i ) = {BI } δ (a,z) = {BZ, CH} Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 18 / 28
26 Ühe olekuga pinuautomaat (2) Üleminekufunktsioon δ Σ Γ ε A B C D E F G H I Z a BA BI BZ,CH b ε Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 19 / 28
27 Ühe olekuga pinuautomaat (2) Üleminekufunktsioon δ Σ Γ ε A B C D E F G H I Z a BA BB BC,CF,ε BD BE,CG ε BI BZ,CH b DA DB DC,EF DD DE,EG,ε ε DI DZ,EH ε A,I,Z ε Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 20 / 28
28 Ühe olekuga pinuautomaat (2) Üleminekufunktsioon δ (mitteproduktiivsete üleminekute kustamine): Σ Γ ε A B; C D E F G H I Z a BA BB BC,CF,ε BD BE,CG ε BI BZ,CH b DA DB DC,EF DD DE,EG,ε ε DI DZ,EH ε A,I,Z ε Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 21 / 28
29 Ühe olekuga pinuautomaat (2) Üleminekufunktsioon δ (mitteproduktiivsete üleminekute kustamine): Σ Γ ε A B C D E F G H I Z BC,CF,ε BE,CG BZ,CH a BA BB BD ε BI DC,EF DE,EG,ε DZ,EH b DA DB DD ε DI A,I,Z ε ε Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 22 / 28
30 Ühe olekuga pinuautomaat (2) Üleminekufunktsioon δ (pärast optimeerimist): Σ Γ ε C E F G H Z a CF,ε CG ε CH b EF EG,ε ε EH ε Z ε Tuletuse näide Üleminekufunktsiooni δ korral: (aabaabaa,ε) (aabaabaa,z) (abaabaa,ch) (baabaa,cfh) (aabaa,effh) (abaa,cgffh) (baa,gffh) (aa,ffh) (a,fh) (ε,h) (ε,ε) Üleminekufunktsiooni δ korral: (p,aabaabaa,ε) (q,aabaabaa,$) (q,abaabaa,a$) (q,baabaa,aa$) (q,aabaa,baa$) (q,abaa,abaa$) (s,baa,baa$) (s,aa,aa$) (s,a,a$) (s,ε,$) (r,ε,ε) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 23 / 28
31 Ühe olekuga pinuautomaat (2) Üleminekufunktsioon δ (pärast optimeerimist): Σ Γ ε C E F G H Z a CF,ε CG ε CH b EF EG,ε ε EH ε Z ε Tuletuse näide Üleminekufunktsiooni δ korral: (aabaabaa,ε) (aabaabaa,z) (abaabaa,ch) (baabaa,cfh) (aabaa,effh) (abaa,cgffh) (baa,gffh) (aa,ffh) (a,fh) (ε,h) (ε,ε) Üleminekufunktsiooni δ korral: (p,aabaabaa,ε) (q,aabaabaa,$) (q,abaabaa,a$) (q,baabaa,aa$) (q,aabaa,baa$) (q,abaa,abaa$) (s,baa,baa$) (s,aa,aa$) (s,a,a$) (s,ε,$) (r,ε,ε) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 23 / 28
32 Vastavus üleminekufunktsioonide vahel Üleminekufunktsiooni δ korral: (aabaabaa,ε) (aabaabaa,z) (abaabaa,ch) (baabaa,cfh) (aabaa,effh) (abaa,cgffh) (baa,gffh) (aa,ffh) (a,fh) (ε,h) (ε,ε) Üleminekufunktsiooni δ korral: (p,aabaabaa,ε) (q,aabaabaa,$) (q,abaabaa,a$) (q,baabaa,aa$) (q,aabaa,baa$) (q,abaa,abaa$) (s,baa,baa$) (s,aa,aa$) (s,a,a$) (s,ε,$) (r,ε,ε) Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 28
33 Vastavus üleminekufunktsioonide vahel Üleminekufunktsiooni δ korral: (aabaabaa,ε) (aabaabaa,z) (abaabaa,ch) (baabaa,cfh) (aabaa,effh) (abaa,cgffh) (baa,gffh) (aa,ffh) (a,fh) (ε,h) (ε,ε) Üleminekufunktsiooni δ korral: (p,aabaabaa,ε) (q,aabaabaa,$) (q,abaabaa,a$) (q,baabaa,aa$) (q,aabaa,baa$) (q,abaa,abaa$) (s,baa,baa$) (s,aa,aa$) (s,a,a$) (s,ε,$) (r,ε,ε) Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 28
34 Vastavus üleminekufunktsioonide vahel Üleminekufunktsiooni δ korral: (aabaabaa,ε) (aabaabaa,z) (abaabaa,ch) (baabaa,cfh) (aabaa,effh) (abaa,cgffh) (baa,gffh) (aa,ffh) (a,fh) (ε,h) (ε,ε) Üleminekufunktsiooni δ korral: (p,aabaabaa,ε) (q,aabaabaa,$) (q,abaabaa,a$) (q,baabaa,aa$) (q,aabaa,baa$) (q,abaa,abaa$) (s,baa,baa$) (s,aa,aa$) (s,a,a$) (s,ε,$) (r,ε,ε) Pikemalt välja kirjutades: Üleminekufunktsiooni δ korral:... (abaa,[qas][sbs][sas][sas][s$r]) (baa,[sbs][sas][sas][s$r])... Üleminekufunktsiooni δ korral:... (q,abaa,abaa$) (s,baa,baa$)... Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 28
35 Ühe olekuga pinuautomaat ja KV grammatika Teoreem Ühe olekuga magasinmäluga automaadi M jaoks leidub KV grammatika G, nii et L (M) = L (G). Tõestus. Automaadi M üleminekufunktsiooni δ : Σ ε Γ P(Γ ) jaoks saab konstrueerida KV grammatika järgmiselt: Kui ABC δ (a,d), siis lisada grammatikale G produktsioon D aabc Grammatika lähetsümboliks valida olek, mis esimesena laaditakse magasini, näiteks S, kui S δ (ε,ε). m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 25 / 28
36 Ühe olekuga pinuautomaat ja KV grammatika Teoreem Ühe olekuga magasinmäluga automaadi M jaoks leidub KV grammatika G, nii et L (M) = L (G). Σ Γ ε C E F G H S a CF,ε CG ε CH b EF EG,ε ε EH ε S ε Palindroome aktsepteeriv grammatika S ach C acf E acg F a S beh C bef E beg G b C a E b H ε Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 25 / 28
37 Ühe olekuga pinuautomaat ja KV grammatika Σ Γ ε C E F G H S a CF,ε CG ε CH b EF EG,ε ε EH ε S ε Palindroome aktsepteeriv grammatika Võrdleme tuletusi: S ach C acf E acg F a S beh C bef E beg G b C a E b H ε (aabaabaa,ε) (aabaabaa,z) (abaabaa,ch) (baabaa,cfh) (aabaa,effh) (abaa,cgffh) (baa,gffh) (aa,ffh) (a,fh) (ε,h) (ε,ε) S ach aacfh aabeffh aaabacgffh aabaagffh aabaabffh aabaabafh aabaabaah aabaabaa Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 25 / 28
38 Pinuautomaadid ja KV keeled Järeldus Lõpliku magasinmäluga automaadi aktsepteeritav keel on kontekstivaba. Järeldus Lõplike magasinmäluga automaatide abil aktsepteeritate keelte hulk langeb kokku kontekstivabade keelte hulgaga. Järeldus Kuuluvusprobleem (kas antud grammatika G korral sõne x L (G)?) on kontekstivabade keelte jaoks algoritmiliselt lahenduv. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 26 / 28
39 Greibachi normaalkuju Definitsioon KV grammatika on Greibachi normaalkujul, kui tema produktsioonid on kujul A aw, kus W N (erijuhul võib W olla ka tühi sõne!) või kujul S ε,kui keelde L (G) peab kuuluma ka tühi sõne Järeldus Iga KV grammatika on teisendatav Greibachi normaalkujule. Vt Greibachi normaalkuju kohta lisainfot kirjandusest ja veebist. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 27 / 28
40 KV ja regulaarsed keeled Järeldus Regulaarsete keelte hulk on KV keelte pärisosahulk. KV keeled Regulaarsed keeled Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 28 / 28
Kontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραFormaalsete keelte teooria. Mati Pentus
Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραKompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραKeerukusteooria elemente
Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραPunktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 10: Αυτόματα Στοίβας II
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 10: Αυτόματα Στοίβας II Τι θα κάνουμε σήμερα Ισοδυναμία αυτομάτων στοίβας με ασυμφραστικές γραμματικές (2.2.3) 1 Ισοδυναμία PDA με CFG Θεώρημα: Μια
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραMudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.
Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9
Διαβάστε περισσότεραDiskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp
Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016
KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010
KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
Διαβάστε περισσότερα&,'-- #-" > #'$,"/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'"$8 ''#"&$'!&0-##-""#;-# B
!"#"# $%"&$' ('#')#''$# * +,-""&$'.-,-"#!&"!##/'#')#''$# ** '$#/0'!0#'&!0"#"/#0"## * 1--'/''00#&'232232223#24 *5 ##-'"-&1-$6'#76#!$#0"$8&9-1$" * '$#&$'!&&1:"-#;6"/'-#
Διαβάστε περισσότερα!"#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=
! " #$% & '( )*+, -. /012 3045/67 8 96 57626./ 4. 4:;74= 69676.36 D426C
Διαβάστε περισσότεραYMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
Διαβάστε περισσότεραLambda-arvutus. λ-termide süntaks. Näiteid λ-termidest. Sulgudest hoidumine. E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv.
Lambda-arvutus λ-termide süntaks Näiteid λ-termidest Sulgudest hoidumine Lambda-arvutus E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv. E) abstraktsioon (λx. x) (((λx. (λf. (f x))) y)(λz. z)) (λx. y) (λx.
Διαβάστε περισσότεραHONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Διαβάστε περισσότεραKrüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas
Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne
Διαβάστε περισσότεραhttp://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότερα# $ "! " # $ % &' #( ) * + & % (, '. / 0, 1 2 *
!"##$ %&'()") *+,-.//.-+-,01,+2,03/3 *.+405+-,67.44+/84+01.2- /29012401.0 # $ "! " # $ % &' #( ) * + & % (, + + + - - '. / 0, 1 2 * 34 5667 33 3 35! 3-7 3 37 3 $ 4 3 & 3 3 - ) 37!!" # 53 3 55 $ 56 5 $!
Διαβάστε περισσότεραSemantiline analüüs. Süntaksipuu dekoreeritakse tüübi- ja muu kontekstist sõltuva
Semantiline analüüs Semantiline analüüs Semantiline analüüs kontrollib programmi kontekstuaalsete sõltuvuste korrektsust: leiab vastavuse defineerivate ja kasutusesinemiste vahel, leiab esinemiste tüübid
Διαβάστε περισσότεραMarch 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης
Διαβάστε περισσότερα!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
Διαβάστε περισσότερα(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n
Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) { a k b m c n k < m ή m > 2n, όπου k,m,n 0 } Μια γραμματική για τη γλώσσα έχει ως εξής:
Διαβάστε περισσότεραالهندسة ( )( ) مذكرة رقم 14 :ملخص لدرس:الجداءالسلمي مع تمارين وأمثلةمحلولة اھافواراتاة ارس : ( ) ( ) I. #"ر! :#"! 1 :ااءا&%$: v
الهندسة مذكرة رقم :ملخص لدرس:الجداءالسلمي مع تمارين أمثلةمحللة اھافاراتاة ارس : EFiEG EF EG ( FEG) 6 EF EG ( FEG) 6 FEG 6 ( FEG ) 6 I. #"ر! :#"! :ااءا&%$: u u : اى.( ) H ا ادي C ا u ا#اءا! ھا#د ا! ا(ي
Διαβάστε περισσότερα8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.
TTÜ EHHATROONIKAINSTITUUT HE00 - ASINATEHNIKA -, 5AP/ECTS 5 - -0-- E, S 8. KEEVISLIITED NÄIDE δ > 4δ δ b k See 8.. Kattekeevisiide Arvutada kahepoone otsõmbus teraspaatide (S5JG) ühendamiseks. 40 kn; δ
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αυτόματα Στοίβας (2.2) Τυπικός Ορισμός Παραδείγματα Ισοδυναμία με Ασυμφραστικές
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότεραJ! "#$ %"& ( ) ) ) " *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) &
J! "#$ %"& J ' ( ) ) ) " *+, -./0-, L *- /! /!+12,3-4 % +15,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/01 ',913-51:--
Διαβάστε περισσότεραÈ http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron
À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß
Διαβάστε περισσότερα/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24
!! "#$ % (33 &' ())**,"-.&/(,01.2(*(33*( ( &,.*(33*( ( 2&/((,*(33*( 24 /&25** 24.&6,2(2**02)' 24 " 0 " ( 78,' 4 (33 72"08 " 2/((,02..2(& (902)' 4 #% 7' 2"8(7 39$:80(& 2/((,* (33; (* 3: &
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Σάββατο, 15 Μαρτίου 2014 Διάρκεια : 9.30 11.30 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο:
Διαβάστε περισσότεραCompress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013
55 C 35 C A A B C D E F G 50 11 12 11 11 10 11 db kw kw db 2015 811/2013 A A B C D E F G 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi
Διαβάστε περισσότεραAlgebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel
Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide
Διαβάστε περισσότερα! "# $"%%&$$'($)*#'*#&+$ ""$&#! "#, &,$-.$! "$-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *&
! "# $"%%&$$'($)*#'*#&+$ ""$&#! "#, &,$-.$! "$-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *& '*$$%!#*#&-!5!&,-/+#$!&- &"/ "$,&/#!6$7,&78 "$% &$&'#-/+#!5*% 3 +!$ 9 &$*,2"%& #$- 3 '*$%#
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότεραΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΕΣΤ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΩΡΟΜΙΣΘΙΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΒΟΗΘΟΙ ΤΗΛΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ (ΑΡ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ: 2/2017) (ΛΕΥΚΩΣΙΑ
Διαβάστε περισσότεραISC0100 KÜBERELEKTROONIKA
ISC0100 KÜBERELEKTROONIKA Kevad 2018 Üheksas loeng Martin Jaanus U02-308 (hetkel veel) martin.jaanus@ttu.ee 620 2110, 56 91 31 93 Õppetöö : http://isc.ttu.ee Õppematerjalid : http://isc.ttu.ee/martin Teemad
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
Διαβάστε περισσότερα,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )
!! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραBatigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức
SỐ PHỨC TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Khoảng cách giữa hai ñiểm Giả sử có số phức và biểu diễn hai ñiểm M và M trên mặt phẳng tọa
Διαβάστε περισσότερα!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
Διαβάστε περισσότερα!"#$ "%&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'-
!!" !"# "%& ##%&%',-... /. -1.'- -13-',,'- '-...4 %. -5"'-1.... /..'-1.....-"..'-1.. 78::8
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότεραΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ
ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ ΑΔΑΜΗΣ Δ.Κ. / Τ.Κ. E.T. ΕΓΓ/ΝΟΙ ΨΗΦΙΣΑΝ ΕΓΚΥΡΑ ΓΙΟΒΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΕΥΚΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΜΑΝΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΑΛΙΑΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΣΤΡΟΣ 5 2.728 1.860 36 1.825 69 3,8% 152 8,3% 739 40,5%
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,
Διαβάστε περισσότεραMÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Διαβάστε περισσότερα2. HULGATEOORIA ELEMENTE
2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜOΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Γ.Γ. Χωρικού Σχεδιασμού & Αστικού Περιβάλλοντος Γεν. Δ/νση Χωρικού Σχεδιασμού Δ/νση Χωροταξικού Σχεδιασμού ΜΕΛΕΤΗ: ΧΡΗΜ/ΤΗΣΗ: Αξιολόγηση και αναθεώρηση
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) {0 n 1 n n > 0} {0 n 1 2n n > 0} (β) {w {a,b} * η w ξεκινά και τελειώνει με το ίδιο σύμβολο
Διαβάστε περισσότεραFUNKTSIONAALNE PROGRAMMEERIMINE. Skeemid. Eesmärk: esitada riistvara skeeme ja teisi andmevoodiagrammidel baseeruvaid kirjeldusi Haskellis
Skeemid Eesmärk: esitada riistvara skeeme ja teisi andmevoodiagrammidel baseeruvaid kirjeldusi Haskellis VARMO VENE 1 Skeemid Skeemid koosnevad juhtmetest ja komponentidest Läbi juhtmete voolavad etteantud
Διαβάστε περισσότερα1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5
1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................
Διαβάστε περισσότεραCarolina Bernal, Frédéric Christophoul, Jean-Claude Soula, José Darrozes, Luc Bourrel, Alain Laraque, José Burgos, Séverine Bès de Berc, Patrice Baby
Gradual diversions of the Rio Pastaza in the Ecuadorian piedmont of the Andes from 1906 to 2008: role of tectonics, alluvial fan aggradation and ENSO events Carolina Bernal, Frédéric Christophoul, Jean-Claude
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότεραΛύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός =
7. Άσκηση 1 2 1 Εστω ο πίνακας A = 1 3 2. Να δειχθεί ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμοςκαιστησυνέχειαναυπολογιστείοαντίστροφος. 1 0 1 Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι
Διαβάστε περισσότεραa; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Διαβάστε περισσότεραΠίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης
1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W
Διαβάστε περισσότεραSTM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013
Ι 47 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 Ι 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi 2010/30/ täiendavates määrustes () nr 811/2013,
Διαβάστε περισσότεραΑυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι
Διαβάστε περισσότερα! " #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $
[ ] # $ %&$'( %&#) *+,-) %$./.$ $ .$0)(0 1 $( $0 $2 3. 45 6# 27 ) $ # * (.8 %$35 %$'( 9)$- %0)-$) %& ( ),)-)) $)# *) ) ) * $ $ $ %$&) 9 ) )-) %&:: *;$ $$)-) $( $ 0,$# #)$.$0#$ $8 $8 $8 $8,:,:,:,: :: ::
Διαβάστε περισσότεραAvaliku võtmega krüptograafia
Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) { xyxy rev x {a, b}, y {a, b} * } (α) Μια γραμματική για τη γλώσσα έχει ως εξής: S as a
Διαβάστε περισσότεραΠροβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1
6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 7: Αυτόματα στοίβας Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραKrüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD
Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon
Διαβάστε περισσότερα