2. HULGATEOORIA ELEMENTE

Transcript

1 2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada. Aluseks võtame järgneva kirjelduse. Hulk on eristatavate objektide ehk hulga elementide kogum vaadelduna ühe tervikuna. Siinjuures räägitakse, et hulk sisaldab oma elemente aga ka, et element kuulub hulka. Hulga sellise kirjelduse andis esimesena aastal saksa matemaatik G. CantorSee on nn naiivne hulgateooria ja sellega kaasnevad paradoksid. Loogiliselt rangem on nn aksiomaatiline hulgateooria, aga me sellega ei tutvu. Hulki tähistatakse harilikult suurte tähtedega A, B, C,..., aga elemente väikeste tähtedega a, b, c,..., x, y,... ning elemendi hulka kuulumist väljendatakse sümboliga ning mittekuulumist sümboliga /. Näiteks, a B (vastavalt a / B). Hulka saab esitada mitmel erineval viisil. 1) Kõigi elementide loeteluna seejuures need paigutatakse looksulgudesse { }. Näiteks, eesti keele vokaalide hulk on {a, e, i, o, u, õ, ä, ö, ü}. 2) Loeteluna, milles osa elemente on asendatud sümboliga.... Näiteks, positiivsete täisarvude, mis on väiksemad kui 1000, hulk on {1, 2, 3,..., 999}. 3) Elementide loeteluna, mida ühelt või mõlemalt poolt jätkatakse (teadaoleva eeskirja kohaselt) piiramatult, märkides seda sümboliga.... Näiteks, naturaalarvude hulk on {0, 1, 2, 3,...}. 4) Moodustamise eeskirja kaudu kujul {x tingimus } (või {x : tingimus }). Näiteks, {x : x on täisarv ja väiksem kui 15 }. 5) Ühe (või mitme) antud elemendi ja elementide tuletamise nn rekurrentse valemi (vt osa 7.1) kaudu. Näiteks, geomeetrilise jada elementide hulk {a 0, a 1,..., a n,... : a n = a n 1 g}. 6) Teadaolevate hulkadega teostatud hulgateoreetiliste ja kardinaalsete tehete kaudu (vt osa 2.2). Väga palju vajatakse mitmesuguseid arvudest koosnevaid hulki. Tuletame meelde tähtsamad nendest kusjuures kasutame järgnevaid tüüpilisi tähistusi:

2 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad 2 naturaalarvude hulk N = { 0, 1, 2,...}; positiivsete täisarvude hulk Z + = { 1, 2, 3,...}; täisarvude hulk Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}; ratsionaalarvude hulk Q = {q : q = m n, m Z, n Z+ }; reaalarvude hulk R; kompleksarvude hulk C = {z : z = x + iy, x,y R, i 2 = 1 }. Hulga elementideks võivad olla ka (juba teadaolevad) hulgad. Näiteks, {{a}, {b}, {a,b}}. Definitsioon 2.1. Öeldakse, et hulk A on hulga B alamhulk (ehk osahulk) ja kirjutatakse A B, kui hulga A iga element on ka hulga B element. Kui siinjuures leidub vähemalt üks hulga B element, mis ei kuulu hulka A, siis öeldakse, et A on pärisalamhulk ja kirjutatakse A B. Öeldakse, et hulgad A ja B on võrdsed ja kirjutatakse A = B, kui neil on samad elemendid. Näiteks, hulgad { a, b, c }, { c, a, b }, { a, b, b, c, c, c } on võrdsed. Kui hakkame eristama elementide järjestust ning nende arvu, siis pole enam tegemist hulgateooriaga, vaid teise matemaatika valdkonnaga kombinatoorikaga (vt peatükk 6). Hulkade sisaldumise ja võrdumise põhiomadused on järgmised: mistahes hulkade A, B ja C korral kehtivad 1) A A; (refleksiivsus) 2) Kui A B ja B A, siis A = B; (antisümmeetria) 3) Kui A B ja B C, siis A C. (transitiivsus) Näide 2.1. Arvuhulgad on üksteise alamhulgad N Z Q R C. Hulka, mis ei sisalda ühtegi elementi nimetatakse tühjaks hulgaks ja teda tähistatakse. Leidub täpselt üks tühi hulk ja ta on iga hulga alamhulk: A mistahes hulga A korral. Hulga H alamhulkade hulgaks ehk hulga H Boole i astmeks nimetatakse hulka, mille elementideks on antud hulga H kõik alamhulgad, ja seda tähistatakse tüüpiliselt sümboliga P(H) (sageli ka 2 H ) seega P(H) = {A A H}. Näide 2.2. Hulga A = {0, 1, 2} alamhulkade hulk on P(A) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. Näide 2.3. Tühjal hulgal on täpselt üks alamhulk tema ise s.o P ( ) = { }. Kui moodustame selle hulga alamhulkade hulga, siis selles on juba kaks elementi: P ({ }) = {, { }}. Pole võimalik moodustada kõigi hulkade hulka, sest see peaks olema iseenda elemendiks. Vajadusel räägitakse kõigi (teatud tüüpi) hulkade kogumist ehk klassist.

3 2.2. Tehted hulkadega Tehted hulkadega Hulkadega teostatavad tehted jaotatakse nn hulgateoreetilisteks ja kardinaalseteks. Hulgateoreetilised tehted on sellised operatsioonid, mille korral ei tule kasutusele uusi elemente (antud hulkadega võrreldes). Järgnevas vaatlemegi hulgateoreetilisi tehteid. Definitsioon 2.2. Hulkade A ja B lõikeks ehk ühisosaks A B nimetatakse hulka, mis koosneb kõigist elementidest, mis kuuluvad mõlemasse antud hulka s.o A B = {x : x A ja x B}. Kui A B =, siis nimetatakse hulki A ja B mittelõikuvateks ehk ühisosata hulkadeks. Lõikumise teine piirjuht on sisaldumine, sealhulgas ka võrdumine. Hulkadega tehete illustreerimiseks kasutatakse nn Venni diagramme, millel hulki kujutatakse tasandil paiknevate kinniste piirkondadena, tüüpiliselt ringidena. Joonisel 2.1 osas a) on kujutatud hulga A sisaldumine hulgas B, osas b) on hulkade A ja B lõige kujutatud viirutatud piirkonnana ning osa c) piltlikustab hulkade A ja B mittelõikumist. a) b) A B A B c) A B Joonis 2.1: Kahe hulga sisaldumine, lõikumine ja mittelõikumine Lause 2.1. Hulkade lõike tehtel on järgmised omadused: mistahes hulkade A, B ja C korral kehtivad 1) A B = B A; (kommutatiivsus) 2) (A B) C = A (B C) ; (assotsiatiivsus) 3) A A = A. (idempotentsus) Tõestus. Otse definitsioonide põhjal saab selles veenduda. Lugejal läbi teha! Hulkade lõike assotsiatiivsuse omadust illustreerime joonisel 2.2, kus a) osas on vasakpoolne hulk topelt viirutatud ja b) osas on parempoolne hulk topelt viirutatud. Vertikaalselt on viirutatud hulk A B ja horisontaalselt on viirutatud hulk B C. a) A B C b) A B C Joonis 2.2: Hulkade lõike assotsiatiivsus Definitsioon 2.3. Hulkade A ja B ühendiks A B nimetatakse hulka, mis koosneb kõigist elementidest, mis kuuluvad ühte või mõlemasse antud hulka (ühiseid

4 2.2. Tehted hulkadega 4 elemente võetakse üks kord) s.o A B = {x : x A või x B}. Joonisel 2.3 on hulkade A B ühend viirutatud. A B Joonis 2.3: Ühend A B Lause 2.2. Hulkade ühendi tehtel on järgmised omadused: mistahes hulkade A, B ja C korral kehtivad 1) A B = B A; (kommutatiivsus) 2) (A B) C = A (B C) ; (assotsiatiivsus) 3) A A = A. (idempotentsus). Tõestus. Otse definitsioonide põhjal saab selles veenduda. Lugejal läbi teha! Need kaks hulgateoreetilist tehet on omavahel seotud ja seda väljendame lauses 2.3. Lause 2.3. Hulkade lõike ja ühendi tehtel on järgmised omadused: mistahes hulkade A, B ja C korral kehtivad 1) A (B C) = (A B) (A C) ; (distributiivsus) 2) A (B C) = (A B) (A C) ; (distributiivsus) 3) A (A B) = A; A (A B) = A. (neelduvus). Tõestus. Tõestame esimese võrduse, veedudes selles, et temas vasakul poolel olev hulk sisaldub paremal poolel olevas hulgas ning samuti vastupidi. Olgu x A (B C). Siis hulkade lõike definitsiooni kohaselt x A ja x B C. Ühendi definitsioonile vastavalt on meil x A ja kas x B või x C. Siit saame, et kas x A ja x B või x A ja x C. Lõike definitsioonist tulenevalt on nüüd kas x A B või x A C. Lõpuks ühendi definitsiooni alusel x (A B) (A C). Sellega oleme põhjendanud sisaldumise A (B C) (A B) (A C). Kuna kõik tõestamisel kasutatud arutlused on läbi viidavad pöördses järjekorras (lõpust algusesse), siis leiab aset ka vastupidine sisaldumine A (B C) (A B) (A C). Nendest sisaldumistest saamegi tõestatava võrduse. Lugejal teised tõestused läbi teha! Joonise 2.4 a) ja 2.4 b) viirutatud piirkonnad illustreerivad vastavalt distributiivsuse esimesele ja teisele võrdusele vastavat hulka. a) A B C b) A B C Joonis 2.4: Hulgad A (B C) ja A (B C) Definitsioon 2.4. Hulkade A ja B vaheks A \ B nimetatakse hulka, mis koosneb kõigist hulga A elementidest, mis ei kuulu hulka B, s.o (vt joonist 2.5 a))

5 2.2. Tehted hulkadega 5 A \ B = {x : x A ja x / B}. Lause 2.4. Hulkade vahe tehtel on järgmised omadused: mistahes hulkade A, B ja C korral kehtivad 1) A (B \ A) = A B ; 2) A \ (B A) = A \ B ; 3) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) 4) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). Tõestus. Otse definitsioonide põhjal. Lugejal soovitame läbi teha! Definitsioon 2.5. Hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks A B nimetatakse hulka, mis koosneb kummagi hulga elementidest, mis ei kuulu teise hulka, s.o A B = (A \ B) (B \ A) = {x : x A ja x / B ; või x B ja x / B }. a) b) A B A B Joonis 2.5: Hulkade vahe A \ B ja sümmeetriline vahe A B Sageli on otstarbekas vaadelda üht erilist hulka U, mis sisaldab alamhulkadena kõik vaatluse all olevad hulgad. Niisugust hulka nimetatakse universaalseks hulgaks ja tähistatakse U. Juhime tähelepanu asjaolule, et universaalne hulk pole absoluutne mõiste, vaid sõltub oluliselt kontekstist ning tuleb igal konkreetsel juhul eelnevalt määratleda. näiteks tegeldes mingi hulga A alamhulkadega, siis on loomulik võtta U = A. Olgu järgnevas fikseeritud mingi universaalne hulk U, mida diagrammil kujutame ristkülikuna ning hulki selle sees paiknevate ringidena. Definitsioon 2.6. Hulga A täiendiks (universaalse hulga U suhtes) A U nimetatakse universaalse hulga U ja antud hulga vahet, s.o A U = U \ A = {x : x U ja x / A}. Kuna harilikult on kontekstist aru saada, mida mõeldakse universaalse hulga all, siis kirjutatakse lihtsalt A. Lause 2.5. Hulga täiendi moodustamise tehtel on järgmised omadused: mistahes hulkade A ja B korral 1) A A = ; A A = U; A = A; 2) A B = A B; A B = A B. (de Morgani seadused). Tõestus. Otse definitsioonide põhjal. Lugejal läbi teha! Joonis 2.6 illustreerib täiendhulki: viirutatud on a) osas hulk A ja b) osas hulk A B.

6 2.2. Tehted hulkadega 6 a) b) A A B Joonis 2.6: Hulgad A ja A B Näide 2.4 Kui A = {a,b,c} ja B = {a,c,d,e}, siis A B = {a,c}, A B = {a,b,c,d,e}, A \ B = {b}, B \ A = {d,e} ja A B = {b,d,e}. Järgnevas käsitleme kardinaalseid tehteid hulkadega. Kardinaalseteks teheteks hulkadega loetakse selliseid operatsioone, mille korral tekib uusi elemente, mis polnud üheski esialgses hulgas olemas. Põhilised kardinaalsed tehted on (otse)korrutis, Boole i aste, kardinaalne aste ja sõnade hulk. Definitsioon 2.7. Hulkade A ja B (otse)korrutiseks (ehk kartesiuse korrutiseks A B nimetatakse kõigi järjestatud paaride (a,b), kus a A ja b B, hulka, s.t A B = {(a,b) a A ja b B}. Sõna järjestatud tähendab siin asjaolu, et kaht paari loetakse võrdseks siis ja ainult siis, kui nende vastavad elemendid on võrdsed, s.t (a,b) = (c,d) def a = c ja b = d. Otsekorrutist A A nimetatakse ka hulga A (otse)ruuduks ja tähistatakse A 2. R õhutame, et hulkade otsekorrutamine pole kommutatiivne, s.o kui A B, siis A B B A. Näide 2.5 Kui A = {a,b,c,d,e,f,g,h} ja B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, siis otsekorrutist A B = {(a, 1),...,(h, 8)} võib vaadelda kui malelaua ruudustikku (males kirjutatakse lühemalt a1,..., h8). Lause 2.6. Hulga otsekorrutamine on seotud teiste tehtega vastavalt järgmistele valemitele: mistahes hulkade A ja B korral 1) A = ; A = ; 2) (A B) C = A C B C; 3) (A B) C = A C B C; 3) (A \ B) C = A C \ B C. Tõestus. Tõestame näiteks võrduse 2). Otsekorrutise tähenduse kohaselt on (x, y) (A B) C, siis x A B ja y C. Lõike definitsiooni kohaselt x A, x B ja y C. Sellest otsekorrutise definitsiooni alusel saame, et (x,y) A C ja (x,y) B C. Nüüd taas l oike definitsioonist saame, et (x,y) (A C) (B C). Kuna arutelu on teostatav ka vastupidises järjekorras, siis võrdus 2) kehtib. Lugejal ülejäänud tõestused läbi teha! Joonisel 2.7 on tõusvalt viirutatud hulk A C, langevalt viirutatud hulk B C ja

7 2.2. Tehted hulkadega 7 nende lõige ehk (A B) C on viirutatud topelt ja kogu viirutatud piirkond on (A B) C. Joonis 2.7: Hulgad A C, B C, (A B) C ja (A B) C Definitsioon 2.8. Tähistus (a 1,...,a n ) tähendab n-järjendit s.t n elemendi järjestatud hulka. Sõna järjestatud all peetakse siin silmas asjaolu, et kaht n-järjendit (a 1,..., a n ) ja (b 1,..., b n ) loetakse võrdseks siis ja ainult siis, kui nende vastavad elemendid on võrdsed, s.t (a 1,...,a n ) = (b 1,...,b n ) siis ja ainult siis, kui a 1 = b 1,..., a n = b n. Hulkade A 1,...,A n otsekorrutiseks ehk kartesiuse korrutiseks A 1... A n nimetatakse hulka kõigist n-järjenditest, mille elemendid on vastavatest hulkadest, A 1... A n = {(a 1,...,a n ) : a 1 A 1,..., a n A n }. Erijuhul võivad kõik korrutatavad hulgad olla võrdsed, siis saame hulga otseastme A n mõiste, mille täpse defineerimise jätame lugejale. Juhime tähelepanu asjaolule, et otsekorrutise (n 2) elementideks on uued elemendid, mitte esialgselt antud hulkade elemendid. Hulga H alamhulkade hulga ehk Boole i astme moodustamine on (ühekohaline) kardinaalne tehe. Definitsioon 2.9. Kardinaalseks astmeks A B nimetatakse hulka kõigist funktsioonidest (vt osa 2.7), mis kujutavad hulga B hulka A, s.o A B = {f : B A}. Juhime tähelepanu sellele, et kardinaalse astme (vt osa 2.1) tehte tulemus sõltub ka antud hulkade järjekorrast ehk hulgad A B ja B A on erinevad, kui A B. Definitsioon Sõnade hulgaks tähestikus A nimetatakse hulka kõigist sõnadest s.o hulka W(A) = n N A n. Siin me ei kirjuta järjendites elementide vahele komasid vaid kirjutame tähed kõrvuti. Näide 2.6 Tähestiku A = {a,b} sõnade hulka kuuluvad a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab,...

8 2.3. Seosed Seosed Definitsioon Seoseks (ehk vastavuseks) hulkade A ja B vahel nimetatakse otsekorrutise A B iga alamhulka. Teisiti öeldes seos hulkade A ja B vahel on järjestatud paaride, kus esimene element on hulgast A ja teine element on hulgast B, hulk ρ A B. Paari (a,b) ρ A B korral öeldakse, et elemendid a ja b on seoses ρ või tähistatakse a ρb (öeldes selle kohta, et element a on seoses ρ elemendiga b). Elementide a ja b seosesse ρ mittekuulumist tähistatakse (a, b) ρ ja seoses ρ mitteolemist tähistatakse ka aρb. Seoseid tähistame kas kreeka tähtedega või suurte ladina tähtedega. Täpsem oleks rääkida binaarsest seosest, sest n-aarseks seoseks hulkade A 1,..., A n vahel nimetatakse otsekorrutise A 1... A n iga alamhulka. Näide 2.7. Olgu A üliõpilaste hulk ja B ühe semestri õppeainete hulka. Olgu K hulk kõigist sellistest paaridest (a,b), et üliõpilane a on õppeaine b kuulaja. Näide 2.8. Olgu A = {1; 2; 3}, B = {a;b;c;d} ja R = {(1,a); (1,b); (2,d); (3,b)}. Binaarsete seoste graafilisi kujutamisviise on mitmeid. Joonisel 2.8 on toodud mõned nendest näites 2.8 antud seose korral. a) b) c) d a a b c d 1 c 3 1 b 2 2 b 3 3 c a d Joonis 2.8: Näite 2.8 seose R kolm kujutamisviisi Definitsioon Binaarseks seoseks (ehk vastavusesks) hulgal A nimetatakse seost hulkade A ja A vahel s.o alamhulka otseruudus A 2. Võrdsusseoseks nimetatakse seost = {(a,a) a A} ja universaalseoseks nimetatakse seost U = A 2. Näide 2.9. Olgu C = {1; 2; 3; 4} ja S = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 4); (3, 1); (3, 2)}. Ühe hulga elementide vahelist seost kujutatkse ka nn orienteeritud graafina (vt osa 6) järgmiselt: hulga elemente kujutatakse punktidena ning seoses olevate elementide paari korral joonistatakse suunatud joon esimese elemendi juurest teise juurde. Iseendaga seoses oleva elemendi juurde joonistatakse ringikene. Joonisel 2.9 on kujutatud näite 2.9 seos S.

9 2.3. Seosed Joonis 2.9: Näite 2.9 seose S illustratsioon Näide Naturaalarvude hulgal N vaatleme seost, mis koosneb kõigist paaridest (m,n), mille korral arv m on arvu n jagaja (tähistades seda nii: m n). Seda seost J = {(m,n) : m,n N, m n} nimetame jaguvusseoseks. Kirjeldame nüüd seoste olulisemaid omadusi. Definitsioon Binaarset seost ρ hulgal A nimetatakse: refleksiivseks, kui iga element on iseendaga seoses, s.o iga a A korral (a,a) ρ ; antirefleksiivseks, kui ükski element ei ole endaga seoses s.o iga a A korral (a,a) / ρ ; sümmeetriliseks, kui elemendid on vastastikku seoses, s.o iga a,b A korral (a,b) ρ toob kaasa (b,a) ρ; asümmeetriliseks, kui elemendid tohivad olla seoses vaid ühes järjestuses, s.o iga a,b A korral (a,b) ρ toob kaasa (b,a) / ρ; antisümmeetriliseks, kui iga a,b A korral (a,b) ρ ja (b,a) ρ vaid siis, kui a = b ; transitiivseks, kui iga a,b,c R korral (a,b) ρ ja (b,c) ρ toovad kaasa (a,c) ρ. Näide Näites 2.9 toodud seos S pole refleksiivne, sest joonisel 2.9 pole kõiki ringikesi ega ole ka antirefleksiivne, sest kaks ringikest siiski on. Seos S pole sümmeetriline, sest joonisel 2.9 leidub nooli, millel vastandnoolt pole ega ole ka antisümmeetriline, sest üks vastastikuste noolte paar leidub. Samuti puudub seosel S transitiivsuse omadus, sest punktist 1 saab punkti 2 kaudu piki nooli liikuda punkti 4, kuid otsenool punktide 1 ja 4 vahel puudub. Näide Vaatleme täisarvude hulgal Z järgmisi seoseid: R 1 = {(a,b) a b}; R 2 = {(a,b) a > b}; R 3 = {(a,b) a = b}; R 4 = {(a,b) a = b või a = b}; R 5 = {(a,b) b = a + 1}; R 6 = {(a,b) a + b < 3}. Nendest seostest R 1, R 2 ja R 4 on refleksiivsed, R 3 ja R 5 on antirefleksiivsed, kuid seosel R 6 pole kumbagi nendest omadustest. Mistahes seos saab olla kas refleksiivne, antirefleksiivne või vahepealne.

10 2.3. Seosed 10 Sümmeetrilised on seosed R 3, R 4 ja R 6, antisümmeetrilised on seosed R 1 ja R 3 ning seos R 2 on asümmeetriline. Nägime, et võrdsusseos R 3 on korraga nii sümmeetriline kui ka antisümmeetriline. Palju seoseid on ka sümmeetria seisukohalt vahepealsed. Eeltoodud seostest R 1, R 2, R 3 ja R 4 on transitiivsed, aga R 5 ja R 6 ei ole transitiivsed. Juhime tähelepanu veel sellele, et seose asümmeetrilisus toob kaasa antirefleksiivsuse, aga sümmeetrilisus välistab antirefleksiivsuse. Tehted seostega Me saame samade hulkade vahel olevate seostega teha hulgateoreetilisi tehteid. Definitsioon Olgu antud seosed ρ, σ A B. Defineerime nendega tehted järgmiselt (vrd osa 2.2): ühendiks nimetatakse seost ρ σ; lõikeks nimetatakse seost ρ σ; vaheks nimetatakse seost ρ\σ; sümmeetriliseks vaheks nimetatakse seost ρ σ = ρ σ; täiendiks nimetatakse seost ρ = (A B) \ρ; pöördseoseks nimetatakse seost ρ 1, mille korral (a,b) ρ 1 siis ja ainult siis, kui (b,a) ρ. Definitsioon Kui ρ on seos hulkade A ja B vahel ja σ on seos hulkade B ja C vahel, siis korrutiseks nimetatakse seost ρ σ A C, mis koosneb sellistest järjestatud paaridest (a,c), et leidub element b B, mille korral (a,b) ρ ja (b,c) σ. Näide Võtame seose T = {(a, 1); (a, 3); (b, 1); (b, 2); (c, 2); (d, 2); (d, 4)} ja näite 2.8 seose R. Korrutise R T leidmine on kujutatud joonisel Korrutiseks on seos S A C. Kui lugeda, et S C 2, siis on teda kujutatud ka joonisel R a T b 3 c d S Joonis 2.10: Näite 2.8 seose R ja seose T korrutiseks R T on seos S Definitsioon Olgu ρ seos hulgal A. Tema n-endaks astmeks nimetatakse seost ρ n, mis defineeritakse induktiivselt valemiga: ρ 1 = ρ ja ρ n+1 = ρ n ρ (n = 1, 2, 3,...). Lause 2.7. Seos ρ hulgal A on sümmeetriline parajasti siis, kui ρ 1 = ρ, ning on transitiivne parajasti siis, kui ρ n ρ iga n = 2, 3,... korral.

11 2.3. Seosed 11 Tõestus. Veendume otseselt omadusi ja defintsioone kontrollides. Lause 2.8. Olgu A, B, C ja D mittetühjad hulgad ning ρ A B, σ B C ja τ C D olgu suvalised seosed, siis kehtivad võrdused: (ρ σ) 1 = σ 1 ρ 1, (ρ σ) τ = ρ (σ τ). Tõestus. Veendume otseselt omadusi ja defintsioone kontrollides. Seoste maatriksesitus Olgu A = {a 1,...,a n } ja B = {b 1,...,b m } ning ρ A B. Seame seosele ρ vastavusse maatriksi { 1, kui (ai,b M R = [m ij ], kus m ij = j ) ρ, 0, kui (a i,b j ) / ρ. Näide Olgu A = {1, 2} ja B = {1, 2, 3} ning ρ A B koosnegu sellistest paaridest (a, b), et a < b. Siis [ ] M R = Maatriksite abil esitatud seose omadused on kergesti kindlaks tehtavad. Lause 2.9. Hulgal A, milles on n elementi, defineeritud seosele ρ vastav maatriks olgu M ρ. Seos ρ on: refleksiivne parajasti siis, kui ta maatriksi M ρ peadiagonaali kõik elemendid m ii = 1, i = 1,...,n; antirefleksiivne parajasti siis, kui ta maatriksi M ρ peadiagonaali kõik elemendid m ii = 0, i = 1,...,n; sümmeetriline parajasti siis, kui ta maatriks M ρ on sümmeetriline s.t m ij = m ji, i,j = 1,...,n; antisümmeetriline parajasti siis, kui ta maatriksil on omadus: m ij = m ji = 1 toob kaasa i = j, asümmeetriline parajasti siis, kui ta maatriksil on omadus m ij = 1 toob kaasa m ji = 0, kui i j.

12 2.4. Ekvivalentsiseosd ja klassijaotused 12 Lause Olgu ρ 1,ρ 2 A 2 ja nendele vastavad maatriksid olgu M ρ1 ja M ρ2. Siis 1 M ρ1 ρ2 = M ρ1 M ρ2, M ρ1 ρ2 = M ρ1 M R2, M ρ1 ρ 2 = M ρ1 M ρ2, M ρ n = (M ρ ) (n) Ekvivalentsiseosed ja klassijaotused Selles osa on vaatluse all üks kahest põhilisest seose liigist. Kogu osas olgu A suvaline mittetühi hulk. Definitsioon Seost ρ hulgal A nimetatakse ekvivalentsiseoseks (ehk lühidalt ekvivalentsiks), kui ta rahuldab nn ekvivalentsi postulaate s.t tal on järgmised kolm omadust: 1) refleksiivsus (s.o iga x A korral xρx), 2) sümmeetria (s.o iga x,y A korral, kui xρy, siis ka y ρx), 3) transitiivsus (s.o iga x,y,z A korral, kui xρy ja y ρx, siis ka xρz ). Suvalisel hulgal A võrdsusseos A ja universaalne seos A 2 on ekvivalentsiseosed. Näide Kui lugeda, et iga sirge on iseendaga parallelne, siis parallelsuse seos on ekvivalents tasandi kõigi sirgete hulgal. Näide Naturaalarvude hulgal N kongruents mooduli m (m N) järgi on ekvivalentsiseos. Teatavasti nimetatakse arve a ja b kongruentseks mooduli m järgi ja kirjutatakse a b (mod m), kui vahe a b jagub arvuga m. Olgu ρ ekvivalentsiseos hulgal A ja a A olgu suvaline. Alamhulka [a] ρ = {x A xρa} hulga A kõigist elementidest, mis on seoses ρ elemendiga a, nimetatakse ekvivalentsiklassiks seose ρ järgi esindajaga a. Ekvivalentsiklasside hulk on teatud omadustega. Seepärast toome sisse järgmise mõiste. Definitsioon Öeldakse, et hulgal A on antud klassijaotus K = {K i, i I}, kui K i A iga i I korral, rahuldavad kaht järgmist nõuet: 1) iga kaks erinevat alamhulka on mittelõikuvad, s.t iga i,j I korral tingimusest K i K j järeldub, et K i K j = ; 2) hulga A iga element kuulub mingisse antud alamhulka ehk hulk A võrdub nende ühendiga, s.t A = i I K i. (1) Hulki K i,i I nimetatakse selle klassijaotuse K klassideks. 1 Järgnevates valemites kasutatavad sümbolid tähistavad loogika tehteid (vt osa 2): annab väärtuseks 1, kui vähemalt üks on 1; annab väärtuseks 1, kui mõlemad on 1; tähistab maatriksite korrutamist, milles liitmise tehte asemel rakendatakse tehet.

13 2.4. Ekvivalentsiseosd ja klassijaotused 13 Igal hulgal on olemas nn triviaalsed klassijaotused: iga element on omaette klasss ja kogu hulk on ainus klass. Meenutame, et alati on olemas ka kaks ekvivalentsi: võrdsusseoes ja universaalne seos. Veendume, et on olemas üks-ühene vastavus (vt osa 2.7) antud hulga kõigi klassijaotuste hulga ja selle hulga kõigi ekvivalentside hulga vahel. Nimelt tõestame järgmise väite. Lause Olgu ρ suvaline ekvivalentsiseos hulgal A. Siis ekvivalentsiklasside süsteem {[ a] ρ, a A} on klassijaotus hulgal A. Vastupidi, kui K = {K i,i I} on klassijaotus hulgal A, siis seos ρ K, kus on ekvivalentsiseos hulgal A. Tõestus. Olgu ρ suvaline ekvivalentsiseos hulgal A. a ρ K b i I (a,b K i ), (2) Näitame, et alamhulkade süsteem {[ a] ρ, a A} on klassijaotus hulgal A. Tänu refleksiivsusele iga element a kuulub endaga esindatud klassi, s.o a [ a] ρ. Seetõttu hulk A sisaldub ekvivalentsiklasside ühendis, s.t A a A [ a] ρ. Kuna mistahes alamhulkade ühend sisaldub vaadeldavas hulgas, siis a A [ a] ρ A. Seega kehtib võrdus A = a A [ a] ρ. Põhjendame nüüd, et lõikuvad ekvivalentsiklassid on võrdsed. Olgu c [a] ρ [ b]ρ. Siis cρa ja cρb, aga sümmeetria tõttu ka aρc (ja cρb) ning transitiivsuse kohaselt toob see kaasa aρb. Olgu x suvaline element alamhulgast [a] ρ. Taas transitiivsuse abil saame, et xρb ehk x [ b] ρ ning [a] ρ [ b] ρ. Analoogiliselt on tõestatav, et [ b] ρ [ a] ρ. Seega [a] ρ = [b] ρ. Lõikuvate ekvivalentsiklasside võrdumine on samaväärne sellega, et erinevad ekvivalentsiklassid ei lõiku. Vastupidi, olgu meile antud klassijaotus K = {K i,i I} hulgal A. Tarvis on näidata, et valemiga (2) määratud seos ρ K b on ekvivalents. Mistahes kaks elementi on seoses ρ K parajasti siis, kui nad kuuluvad mingisse samasse klassi. Kuna kehtib võrdus (1), siis iga element kuulub mingisse klassi ja seetõttu seos ρ K on refleksiivne. Olgu nüüd a,b A ja a ρ K b, siis leidub selline i I, et a,b K i. Aga see toob kaasa ka bρ K a ja seose ρ K sümmeetria. Olgu eeldatud, et a,b,c A on sellised, et a ρ K b ja bρ K c. Valemi (2) kohaselt leiduvad i,j I selliselt, et a,b K i ja b,c K j. Kuna b K i K j, siis klassijaotuse definitsiooni esimese tingimuse kohaselt K i = K j. Järelikult, a,c K i ja a ρ K c. Seega on seos ρ K ka transitiivne. Kokkuvõttes oleme tõestaud, et ρ K on ekvivalentsiseos. Räägitakse, et ekvivalentsiseose ekivalentsiklassidest koosnev klassijaotus on temale vastav klassijaotus, ning, et valemiga (2) defineeritud ekvivalentsiseos vastab klassijaotusele K = {K i,i I}. Vaheltult lause 2.11 sõnastuse alusel on selge, et kui lähtume suvalisest ekvivalentsusseosest ρ ja võtame temale vastava klassijaotuse ning omakorda sellele vastava

14 2.5. Järjestusseosed 14 ekvivalentsi, siis saame tagasi seose ρ. Samuti vastupidi, kui lähtume suvalisest klassijaotusest hulgal A, võtame temale vastava ekvivalentsiseose ning moodustame sellele vastava klassijaotuse, siis jõuame tagasi esialgse klassijaotuse juurde. Seega lauses 2.11 on konstrueeritud üks-ühene vastavus fikseeritud hulgal A leiduvate ekvivalentsiseoste hulga ja hulga A kõigi klassjaotuste hulga vahel. Lõplikul hulgal A leiduvate ekvivalentsiseoste arvu käsitletakse hiljem kombinatoorika osas. Definitsioon Olgu ρ ekvivalentsiseos hulgal A. Hulka, mille elementideks on seosele ρ vastava klassijaotuse kõik klassid, nimetatakse hulga A faktorhulgaks ekvivalentsiseose ρ järgi ja tähistatakse A/ ρ. Näide Näites 2.16 vaadeldi kongruentsi mooduli m järgi naturaalarvude hulgal N. Võtame m = 5 ja tähistame seda seost sümboliga 5. Siis faktorhulk N/ 5 koosneb naturaalarvude hulga N viiest alamhulgast: K 1 = {1, 6, 11,...}, K 2 = {2, 7, 12,...}, K 3 = {3, 7, 13,...}, K 4 = {4, 9, 14,...} ja K 5 = {5, 10, 15,...} Järjestusseosed Definitsioon Binaarset seost ρ hulgal A nimetatakse (mitterangeks) järjestusseoseks (lühidalt järjestuseks), kui ta on refleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne, s.t tal on järgmised omadused: 1) iga x A korral xρx ; 2) iga x,y A korral xρy ja yρx toovad kaasa x = y ; 3) iga x,y,z A korral xρy ja yρz toovad kaasa xρz. Hulka A, millel on defineeritud järjestusseos nimetatakse järjestatud hulgaks. (Täpsem oleks rääkida osaliselt järjestatud hulgast ja mitterangest järjestusest.) Kui kehtib xρy, siis elementi x nimetatakse eelnevaks elemendile y ning elementi y nimetatakse järgnevaks elemendile a. Kui vaadeldav järjestusseos rahuldab veel nn lineaarsuse omadust: 4) iga x, y A korral kas x = y või xρy või yρx, siis öeldakse, et hulk A on (seosega ρ) lineaarselt järjestatud hulk ehk ahel. Kui järjestusseose ρ korral elementide a ja b jaoks kehtib kas aρb või bρa, siis nimetatakse elemente a ja b on võrreldavateks. Lineaarselt järjestatud hulgas iga kaks erinevat elementi on võrreldavad. Näide Järjestusseose ehk järjestuse näiteid: 1) võrratuse seos reaalarvude hulgal R ; 2) hulkade sisaldumise seose antud hulga A kõigi alamhulkade hulgal P(A) ; 3) sõnade leksikograafilise võrdlemise seos antud tähestiku A kõigi sõnade hulgal W(A) ; 4) jagajaks olemise seos naturaalarvude hulgal N. Toodud näites esimene ja kolmas on lineaarsed järjestused, aga teine ja neljas on osalised järjestused. Tõepoolest, vähemalt kahe elemendiga a, b hulga A korral leiduvad alamhulgad, mis kumbki ei sisaldu teises (näiteks, {a} ja {b}). Naturaalarvude hulgas leidub arve, mis kumgki ei ole teise jagajaks (näiteks, 5 ja 7).

15 2.5. Järjestusseosed 15 Lõplikke järjestatud hulki on mugav kujutada eriliste diagrammide abil nii nagu tegime seda mistahes seoste korral. Järjestusseoste korral tehakse saadud joonise lihtsustamiseks teatud kokkulepped. Murdnooled loetakse noolteks ja vastavad otsenooled jäetakse ära. Ka refleksiivsusele vastavad silmused jäetakse ära. Lõpuks jäetakse ära veel ka nooled, kuid jälgitakse, et joonisel iga element asuks madalamal kõigist temale järgnevatest elementidest. Selliselt lihtsustatud joonist järjestusseosele nimetatakse tema Hasse diagrammiks. Näide Olgu hulgal A = {a; b; c; d} antud järjestusseos J = {(a,a); (b,b); (c,a); (c,b); (d,a); (d,b)}. a b c d a b c d Joonis 2.11: Seose J nooldiagramm ja Hasse diagramm Tüüpiliselt tähistatakse (mitteranget) järjestusseost sümboliga ning järjestatud hulka paarina (P, ). Kasutatakse ka teisi arvude võrdlemisseoste analooge. Antud järjestatud hulga elementide x ja y korral: x < y tähistab, et x y ja x y; x y aga tähistab seda, et y x; x > y tähistab, et x y ja x y. Minimaalsed ja maksimaalsed elemendid. Vähim ja suurim element Definitsioon Olgu (P, ) järjestatud hulk ja A olgu hulga P mingi alamhulk. Elementi a 0 A nimetatakse alamhulga A minimaalseks (maksimaalseks) elemendiks, kui sellest, et x a o (vastavalt a o x) ja x A, järeldub, et x = a 0. Elementi a 0 A nimetatakse alamhulga A vähimaks (suurimaks) elemendiks, kui a o x (vastavalt x a o ) iga elemendi x A korral. Seega alamhulga minimaalsed (maksimaalsed) on need elemendid, millest väiksemat (vastavalt suuremat) selles alamhulgas ei leidu. Alamhulga vähim (suurim) element on selle alamhulga kõigi elementidega võrreldav ning on nendest väiksem või võrdne (vastavalt suurem või võrdne). Näide Hulgal H = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} olgu antud järjestusseos (jagajaks olemine). Vaatleme alamhulki A = {2; 4; 6; 8} ja B = {2; 3; 6; 12}. Element 2 on alamhulga A ainus minimaalne element ning ühtlasi ka vähim element. Elemendid 6 ja 8 on alamhulga A maksimaalsed elemendid, kuid suurimat elementi ei leidu. Element 12 on alamhulga B ainus maksimaalne element ning ühtlasi ka suurim element. Elemendid 2 ja 3 on alamhulga B minimaalsed elemendid, kuid vähimat elementi ei leidu.

16 2.5. Järjestusseosed maksimaalne 8 maksimaalne minimaalne vähim suurim maksimaalne minimaalne minimaalne Joonis 2.12: Diagramm ning alamhulkade A ja B suurimad, vähimad, min. ja maks. elemendid Lause Olgu A alamhulk järjestatud hulgas (P, ). Siis kehtivad väited: 1) alamhulgas A leidub ülimalt üks vähim (suurim) element; 2) kui alamhulgas A leidub vähim (suurim) element a 0, siis a 0 on alamhulga A ainus minimaalne (maksimaalne) element. Tõestus. Kui oletaks kahe vähima (suurima) elemendi olemasolu, siis need oleks vastastikku (mõlemas järjekorras) võrreldavad ja seega, antisümmetria tõttu võrdsed. Olgu a 0 vähim (suurim) element ja b minimaalne (maksimaalne) element alamhulgas A. Siis definitsiooni kohaselt a 0 b. Kui oletada, et a 0 b, siis oleme saanud vastuolu elemendi b minimaalsusega. Seega a 0 = b. Osaliselt järjestatud hulga alamhulgas võib olla kuitahes palju minimaalseid elemente, kuid minimaalsed elemendid võivad ka hoopiski puududa. Näide Vaatleme naturaalarvude hulgal N jagajaks olemise seost ja alamhulka A = N \ {1}. Siin minimaalseteks elementideks on kõik algarvud ja ainult need. Algarve on aga lõpmatult palju. 2 Näide Vaatleme täisarvude hulgal Z harilikku võrdlemisseost ja alamhulk A koosnegu kõigist negatiivsetest arvudest. Siis alamhulgas A ei leidu vähimat elementi, sest suvalise n A korral leidub talle eelnev kuna (n + 1) A. Lause Lineaarselt järjestatud hulga (X ) minimaalne element on ühtlasi ka vähim element ja maksimaalne element on ühtlasi ka suurim element. Tõestus. Olgu x 0 lineaarselt järjestatud hulga (X ) minimaalne element. Näitame, et x 0 x iga x X korral. Oletame, et leidub x 1 X, mille korral x 0 x 1 ei kehti. Järjestuse lineaarsuse tõttu peab siis x 1 x 0 ning siinjuures x 1 x 0. Kuid see oleks vastuolus elemendi x 0 minimaalsusega. Maksimaalse elemendi suurimaks olemine tõestatakse analoogiliselt. (Lugejal soovitav läbi teha!) Definitsioon Järjestatud hulka nimetatakse täielikult järjestatuks, kui tema igal mittetühjal alamhulgal on olemas vähim element. Näiteks on naturaalarvude hulk N hariliku järjestuse suhtes täielikult järjestatud hulka, aga täisarvude hulk Z hariliku järjestuse suhtes ei ole täielikult järjestatud hulk. 2 Kui p 1 < p 1 <... < p n, kus n > 1, on algarvud, siis arv p 1... p n + 1 kas ise on algarv või tema vähim jagaja on algarv, mis on suurem kui p n.

17 2.5. Järjestusseosed 17 Me võtame teadmiseks järgmise väite. Teoreem (minimaalsusest ja induktiivsusest). Mistahes osaliselt järjestatud hulga (P, ) korral on järgmised kolm tingimust samaväärsed: 1) (Minimaalsuse tingimus) Hulga P mistahes mittetühjas alamhulgas on olemas minimaalne element. 2) (Induktiivsuse tingimus) Kui hulga P kõikidel minimaalsetel elementidel on mingi omadus E, ja kui suvalise elemendi a P korral sellest, et omadus E on igal elemendil x < a, x P, järeldub, et ka elemendil a on omadus E, siis on omadus E igal hulga P elemendil. 3) (Mittekasvavate jadade stabiliseerumise tingimus) Hulga P elementide suvalise mittekasvava jada a 1 a 2 a 3... korral leidub selline indeks N, et a N = a N+1 = a N+2 =.... Tõestust soovitame lugeda M.Kilbi ja U.Nummerti raamatust Hulgateooria elemendid. Tõkked ja rajad Definitsioon Olgu (P, ) järjestatud hulk ja X olgu hulga P mingi alamhulk. Elementi m P nimetatakse alamhulga A alumiseks tõkkeks (ülemiseks tõkkeks), kui m x (vastavalt x m) ja x X korral. Suurimat (vähimat) elementi alamhulga X kõigi alumiste tõkete (ülemiste tõkete) hulgas nimetatakse alamhulga X alumiseks rajaks (ülemiseks rajaks). Alamhulga X alumist raja tähistatakse sümboliga inf X ja ülemist raja supx. Seega alumine tõke (ülemine tõke) on vaadeldava alamhulga kõikide elementidega võrreldav ja on nendest väiksem (vastavalt suurem) või võrdne. Alumine tõke (ka alumine raja) ega ülemine tõke (sealhulgas ülemine raja) ei tarvitse kuuluda alamhulka, mille tõkkeks nad on. Olemasolu korral on alumine raja ja ülemine raja üheselt määratud. Näites 2.20 vaadeldud järjestatud hulga (H, ) alamhulga C = {4; 6} alumisteks tõketeks on 1 ja 2 ning ülemisteks tõketeks on 12 ja 24. Siinjuures inf C = 2 ning supc = 12. Märgime, et jagajaks olemise seose korral alamhulga alumisteks tõketeks on selle alamhulga kõigi elementide ühistegurid ning ülemisteks tõketeks on selle alamhulga kõigi elementide need ühiskordsed, mis kuuluvad hulka H. Samal ajal alumiseks rajaks on selle alamhulga kõigi elementide suurim ühistegur ning ülemiseks rajaks on selle alamhulga kõigi elementide vähim ühiskordne. Järgnevas teoreemis esitatud väiteid kasutatakse matemaatikas laialdaselt, põhiliselt vajatakse neid fundamentaalsete teoreemide tõetamisel. Teoreem (Zorni lemma ja Zermelo teoreeem). Järgmised väited on samaväärsed: 1) (Valikuaksioom) Olgu A mittetühi hulk ja P(A) tema kõigi alamhulkade hulk. Siis

18 2.6. Kujutused, funktsioonid, teisendused ja operatsioonid 18 Leidub kujutus f : P(A) A nii, et mistahes mittetühja alamhulga X P(A) korral f(x) X (s.t. kujutus f valib igast alamhulgast ühe elemendi). 2) (Zorni lemma) Kui osaliselt järjestatud hulga igal ahelal leidub ülemine tõke, siis selles hulgas leidub maksimaalne element. 3) (Zermelo teoreem) Mistahes mittetühja hulka on võimalik täielikult järjestada. Tõestust soovitame lugeda M.Kilbi ja U.Nummerti raamatust Hulgateooria elemendid. Lisaks lineaarsele ja täielikule järjestusele leiab laia kasutamist veel üks järjestuse liik nn võreline järjestus. Definitsioon Osaliselt järjestatud hulka (P, ) nimetatakse võreks, kui tema igal kaheelemendilisel alamhulgal leidub nii alumine raja kui ka ülemine raja. Näites 2.20 vaadeldud järjestatud hulk (H, ) on võre. Ahel on ka võre: Tema iga kahe elemendi korral väiksem on nendest koosneva hulga alumiseks ja suurem on ülemiseks rajaks. Kui lisame hulgale H elemendi 18, siis uus hulk H 1 on osaliselt järjestatud seose suhtes, kuid pole võre, sest alamhulgal {8; 18} puudub ülemine raja (mõlemast elemendist alates pole võimalik piki murdjooni ülesse liikudes jõuda ühe ja sama elemendini) {a;b;c} {a}{b;c} {b}{a;c} {a;b}{c} {a}{b}{c} Joonis 2.13: Mittevõre (H 1, ) ja hulga {a;b;c} tükelduste võre 2.6. Kujutused, funktsioonid, teisendused ja operatsioonid Definitsioon Olgu X ja Y hulgad. Kui on antud eeskiri f, mis seab hulga X igale elemendile vastavusse hulga Y kindala elemendi, siis öeldakse, et on defineeritud funktsioon f, ja kirjutatakse f : X Y ehk X f Y. Kui elemendile x X seatakse vastavusse y Y, siis kasutatakse kirjutist y = f(x) või y = fx või f : x y. Hulka X nimetatakse funktsiooni f lähtehulgaks ja hulka Y nimetatakse sihthulgaks. Elementi y nimetatakse elemendi x kujutiseks, elementi x nimetatakse elemendi y originaaliks. Funktsiooni asemel räägitakse ka operaatorist või kujutusest. Kujutust f : X X nimetatakse hulga X teisenduseks.

19 2.6. Kujutused, funktsioonid, teisendused ja operatsioonid 19 Koolimatemaatikast on tuntud lineaarne funktsioon y = ax + b (a 0), ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c(a 0), trigonomeetrilised funktsioonid y = sinx, y = cos x. Kõik need on näited funktsioonist f : R R. Näide Funktsioon põrand x : R N seab reaalarvule vastavusse suurima temast väiksema või võrdse täisarvu, aga funktsioon lagi x : R N seab reaalarvule vastavusse vähima temast suurema või võrdse täisarvu, s.t x = m, kui m x < m + 1, x = m, kui m 1 < x m. Näide Reaalarvuliste liikmetega jada a 1,..., a n,... on vaadeldav funktsioonina A : N R. Näide Samasus- ehk identsusteisendus I : X X on funktsioon, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse tema enda, s.o I(x) = x. Näide Konstantne funktsioon seab igale x X vastavusse ühe ja sama elemendi c Y. Näide Olgu X = {1; 2;..., n}. Vaatleme funktsioone s : X X, mille korral ühelgi arvudest pole mitut originaali, s.t ei ole olukorda, et s(i) = s(j), kuid i j. See nõue toob kaasa fakti, et hulga X igal elemendil on funktsiooniga s olemas täpselt üks originaal. Taolisi funktsioone nimetatakse substitutsioonideks n elemendist ja esitatakse harilikult tabelina ( ) n s =. k 1 k 2... k n Näiteks kujutame seostele sarnaselt nooldiagrammina substitutsiooni S Joonis 2.14: Substitutsiooni nooldiagramm ( ) Definitsioon Hulga A X kujutiseks nimetatakse hulka f(a) = {y Y : y = f(x), x A}. Hulga B Y (täielikuks) originaaliks nimetatakse hulka f 1 (B) = {x X : f(x) B}. Hulkade kujutistel on järgmised põhilised omadused: 1) f( ) = ;

20 2.6. Kujutused, funktsioonid, teisendused ja operatsioonid 20 2) kui A 1 A 2, siis f(a 1 ) f(a 2 ); 3) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ); 4) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ). Märkus. korral. Omadused 3) ja 4) kehtivad suvalise arvu hulkade ühendi ja ühisosa Hulkade originaalidel on järgmised põhilised omadused: 1) f 1 ( ) = ; f 1 (Y ) = X; 2) kui B 1 B 2, siis f 1 (B 1 ) f(b 2 ); 3) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ); 4) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ); 5) f 1 (Y \ B) = X \ f 1 (B). Märkus. korral. Omadused 3) ja 4) kehtivad suvalise arvu hulkade ühendi ja ühisosa Funktsioone f 1 : X 1 Y 1 ja f 2 : X 2 Y 2 nimetatakse võrdseks, kui X 1 = X 2, Y 1 = Y 2 ja f 1 (x) = f 2 (x) iga x X 1 (= X 2 ) korral. Injektiivsed ja sürjektiivsed funktsioonid Definitsioon Funktsiooni f : X Y nimetatakse injektiivseks ehk üksüheseks, kui iga paari x 1,x 2 X, x 1 x 2 korral f(x 1 ) f(x 2 ) (s.t, et erinevad elemendid kujutuvad erinevateks elementideks). See on samaväärne sellega, et kujutiste võrdumisest järeldub originaalide võrdumine s.t kui f(x 1 ) = f(x 2 ), siis x 1 = x 2. Veel tähendab see seda, et igal elemendil hulgast Y on ülimalt üks originaal. Piltlikult tähendab injektiivsus järgmisel joonisel kujutatud olukorra puudumist Joonis 2.15: Injektiivsuse mittekehtivuse illustratsioon Näiteks lineaarfunktsioon on injektiivne, kuid ruutfunktsioon ei ole. Funktsioon sin : R R ei ole injektiivne, kuid sin : [ κ 2, κ 2] R on injektiivne. Definitsioon Funktsiooni f : X Y nimetatakse sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui f(x) = Y ehk kui igal elemendil hulgast Y leidub originaal. Näiteks lineaarfunktsioon on sürjektiivne, kuid ruutfunktsioon y = x 2 ei ole sürjektiivne, sest originaal leidub vaid mittenegatiivsetel arvudel. Funktsioon sin : R R ei ole sürjektiivne, kuid sin : R [ 1, 1] on sürjektiivne. Definitsioon Funktsiooni f : X Y nimetatakse bijektiivseks ehk

21 2.6. Kujutused, funktsioonid, teisendused ja operatsioonid 21 üksüheseks vastavuseks, kui ta on nii injektiivne kui ka sürjektiivne ehk igal elemendil hulgast Y leidub täpselt üks originaal. Näiteks, sin : [ κ 2, κ 2] [ 1, 1] ja samasteisendus on bijektiivsed funktsioonid. Märkus. Kasutatakse ka lühemaid nimetusi injektsioon, sürjektsioon ja bijektsioon. Pöördfunktsioon ja liitfunktsioon Kui funktsioon f : X Y on bijektsioon, siis saab defineerida pöördfunktsiooni f 1 : Y X, mis igale elemendile y Y seab vastavusse tema originaali x X funktsiooniga f teisendamisel, s.t f 1 (y) = x y = f(x). Kui f : X Y ei ole bijektiivne, siis niimoodi defineerides me ei saa funktsiooni (kui f ei ole sürjektiivne, siis leidub y Y, millel pole originaali, aga kui f ei ole injektiivne, siis leidub y Y, millel on vähemalt kaks originaali). Samaväärsed on väljendid funktsioon f : X Y on bijektsioon, eksisteerib pöördfunktsioon f 1 : Y X, funktsioon f : X Y on pööratav. Lause Kui funktsioon f : X Y on pööratav, siis ka pöördfunktsioon f 1 : Y X on pööratav ning (f 1 ) 1 = f. Definitsioon Funktsioonide f : X Y ja g : Y Z korrutiseks ehk kompositsiooniks ehk liitfunktsiooni moodustamiseks nimetatakse funktsiooni gf : X Z, mis määratakse valemiga (gf)(x) = g(f(x)), x X. Seega funktsioonide korrutamine on nende järjest teostamine. Juhime tähelepanu asjaolule, et funktsioonide korrutamine on võimalik vaid siis, kui teise teguri lähtehulk on sama kui esimese sihthulk. Lause Kui f : X Y ja g : Y Z on pööratavad, siis on pööratav ka gf : X Z ning (gf) 1 = f 1 g 1. Hulga karakteristlik funktsioon Olgu X universaalne hulk. Definitsioon Hulga A X karakteristlikuks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni { 1, kui x A, χ A : X {0, 1}, kus χ A (x) = 0, kui x / A.

22 2.7. Hulga võimsus. Loenduvad ja mitteloenduvad hulgad 22 Igale alamhulgale A X tõesti vastab üks funktsioon χ : X {0, 1} ning erinevatele alamhulkadele vastavad erinevad funktsioonid. Vastupidi, ka iga funktsioon χ : X {0, 1} määrab üheselt alamhulga A = {x X : χ(x) = 1}. Kõigi hulgast X hulka Y toimivate funktsioonide hulka {f : X Y } tähistatakse Y X. Sellega kooskõlas kirjutatakse {χ : X {0, 1}} = {0, 1} X = 2 X, kus 2 := {0, 1}. Karakteristlike funktsioonide hulga ja alamhulkade hulga vahelise bijektsiooni tõttu on ka hulga X kõigi alamhulkade hulga tähistuseks kasutusel P(X) = {A : A X} = 2 X. Hulga P(X) jaoks on kasutusel ka nimetus hulga X potentshulk. Hulga karakteristliku funktsiooni põhiomadused on järgmised: 1) χ A (x)χ A (x) χ A (x); 2) χ A B (x) χ A (x)χ B (x) min {χ A (x),χ B (x)} ; 3) χ A B (x) χ A (x) + χ B (x) χ A (x)χ B (x) max {χ A (x),χ B (x)} ; 4) χ A\B (x) χ A (x) χ A (x)χ B (x); 5) χ (x) 0, χ X (x) 1, χ A (x) χ X\A (x) 1 χ A (x); 6) χ A B ((x,y)) χ A (x)χ B (y). Näide Tõestame võrduse (A B) C = (A C) (B C) arvutades mõlema poole jaoks karakteristliku funktsiooni. Vasaku poole korral on χ (A B) C = χ A B χ C = (χ A (x) + χ B (x) χ A (x)χ B (x))χ C = ning parema poole jaoks on = χ A (x)χ C + χ B (x)χ C χ A (x)χ B (x)χ C χ (A C) (B C) = χ A C (x) + χ B C (x) χ A C (x)χ B C (x) = = χ A (x)χ C + χ B (x)χ C χ A (x)χ C.χ B (x)χ C = = χ A (x)χ C + χ B (x)χ C χ A (x)χ B (x)χ C, sest χ C χ C = χ C. Näeme, et χ (A B) C = χ (A C) (B C), järelikult hulgad on võrdsed Hulga võimsus. Loenduvad ja mitteloenduvad hulgad Juhime tähelepanu asjaolule, et käesolevas osas loeme, et 0 ei kuulu naturaalarvude hulka. Definitsioon Ütleme,et hulgad A ja B on ühe ja sama võimsusega (lühemalt on võrdvõimsad) ehk on ekvivalentsed, kui leidub bijektsioon f : A B (s.t nende hulkade vahel saab korraldada üksühese vastavuse).

23 2.7. Hulga võimsus. Loenduvad ja mitteloenduvad hulgad 23 Asjaolu, et hulgad A ja B on sama võimsusega, tähistatakse A = B või (A B või A B). Kuigi me ei saa rääkida kõikide hulkade hulgast, siiski on hulkade ekvivalentsusel tüüpilised omadused: 1) A A; 2) kui A B, siis ka B A; 3) kui A B ja B C, siis ka A C. Tõepoolest, samasusteisendus 1 A : A A on bijektsioon ja seetõttu A A ja omadus 1) kehtib. Kui A B, siis leidub bijektsioon f : A B. Selle pöördfunktsioon f 1 : B A eksisteerib ning on samuti bijektsioon (eelnenud osa (lause 2.14) kohaselt). Seega B A ja omadus 2) kehtib. Olgu A B ja B C siis leiduvad bijektsioonid f : A B ja g : B C. Eelmise osa lausele 2.15 vastavalt on nende korrutis gf : A C samuti bijektsioon. Järelikult A C ja omadus 3) kehtib. Meenutage, et hulka A nimetatakse lõplikuks, kui ta kas on tühi või tema elementide arv on väljendatav mingi naturaalarvuga n (s.o saab korraldada üks-ühese vastavuse hulga A ja hulga {1; 2;...;n} vahel ehk leidub esitus A = {a 1,a 2,...,a n }). Lause Lõpliku hulga A igas pärisalamhulgas on vähem elemente kui hulgas A. Tõestus. Tõestame väite induktsiooniga hulga A elementide arvu n järgi. Selleks, et üldse pärisalamhulki oleks ei saa hulk A olla tühi. Seega n > 0. Kui n = 1, siis ainus pärisalamhulk on, mille elemente on 0 ja see arv on väiksem kui 1. Seega on induktsiooni baas (n = 1 näol) olemas. Püstitame induktiivse hüpoteesi, et kõigi naturaalarvude, mis ei ületa arvu n, (n 1) jaoks väide kehtib. Vaatleme nüüd hulka A, milles on n+1 elementi, ja selle mingit pärisalamhulka B. Võtame hulgast B ühe elemendi välja. Saame hulga B, mis on pärisalamhulk hulgas A, mis on saadud hulgast A sama elemendi väljajätmise teel. Hulgas A on n elementi ja induktsiooni eelduse kohaselt on B < n = A. Seetõttu B = B + 1 < n + 1 = A ja induktsiooni samm on teostatud. Seega väide kehtib kõigi lõplike hulkade kohta. Erinevalt lõplikust hulgast võib lõpmatu hulk olla ekvivalentne oma mingi pärisalamhulgaga. Näide Täisarvude hulk Z ja naturaalarvude hulk N on sama võimsusega, sest funktsioon { 2a + 2, kui a 0 ; f : Z N ; f(a) = 2a 1, kui a < 0. on bijektsioon (siinjuures on arvestatud, et 0 N). Tõepoolest, selle funktsiooni pöördfunktsioon on { n f 1, kui n on paaris, = 2 n 1, kui n on paaritu. 2

24 2.7. Hulga võimsus. Loenduvad ja mitteloenduvad hulgad 24 Populaarselt võib selle kohta öelda, et täisarve on sama palju kui naturaalarve. Samuti on paarisarve sama palju kui naturaalarve, sest f : N 2N, n 2n ja f 1 : 2N N, n n 2 on teineteise pöördfunktsioonid. Näide Reaalarvude paaride hulk R 2 ja kompleksarvude hulk C on sama võimsusega, sest mõlemaid saab seada üks-ühesesse vastavusse tasandi kõigi punktide hulgaga. Otseselt saab selle vastavuse korraldada funktsiooniga f : R 2 C : (a,b) a + bi (a,b R). Näide Mistahes kaks reaalarvude lõiku [a, b] ja [c, d] (aga ka vahemikku (a,b) ja (c,d) ), kus a < b ja c < d, on sama võimsusega, sest lineaarne funktsioon f(x) = on bijektsioon. (d c)x + bc ad b a = c + d c x, x [a,b] (x (a,b) ) b a Näide Vahemik ( π, π 2 2) ja arvsirge R on sama võimsusega, sest funktsioon ( tan : π 2, π ) R 2 on bijektsioon. Järeldus. Mistahes vahemik (a, b), kus a < b, ja arvsirge R on sama võimsusega. Definitsioon Hulka nimetatakse loenduvaks, kui ta on võrdvõimas naturaalarvude hulgaga N. Seega loenduvad on parajasti need hulgad A, mida saab esitada kujul A = {a 1,a 2,...,a n,...}. Me võime öelda, et hulk on loenduv, kui me saame moodustada tema kõigist elementidest jada (s.t saame tema elemendid nummerdada naturaalarvudega). Hulga loenduvuse põhjendamiseks me nii just toimimegi. Lause Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduva alamhulga. Tõestus. Olgu A suvaline lõpmatu hulk (seega ta pole lõplik, sealhulgas A ). Seetõttu leidub temas elemente ja võtame vabalt elemendi a 1 A. Kindlasti {a 1 } = A, sest võrduse korral oleks hulk A lõplik. Võtame elemendi a 2 A \ {a 1 }. Hulk {a 1,a 2 } A ning võrdus ei kehti, sest siis oleks hulk A lõplik. Seetõttu saame võtta elemendi a 3 A \ {a 1,a 2 }. Olgu nüüd n > 1 suvaline naturaalarv. Teeme induktsiooni oletuse, et me olememe hulgast A juba välja valinud elemendid a 1,..., a n. Siis {a 1,...,a n } A ning võrdus ei kehti, sest siis oleks hulk A lõplik. Nii saame valida elemendi a n+1 A \ {a 1,...,a n }, kusjuures taas {a 1,...,a n+1 } = A, sest võrduse korral oleks hulk A lõplik. Sellega on indutsiooni samm teostatud ja seetõttu oleme saanud leonduva alamhulga

25 2.7. Hulga võimsus. Loenduvad ja mitteloenduvad hulgad 25 {a 1,a 2,...,a n,...} = {a n n N}. Järelikult loenduv võimsus on vähim lõpmatu võimsus. Siit tuleneb ka selline fakt, et hulk on lõpmatu parajasti siis, kui tal on olemas loenduv alamhulk. Järeldus. Loenduva hulga iga alamhulk on lõplik või loenduv. Hulkade loenduvuse käitumist hulkadega teostatavate tehete korral väljendavad faktid on koondatud järgmisse lausesse. Lause ) Lõpliku ja loenduva hulga ühend on loenduv. 2) Loenduva hulga paarikaupa ühiososata lõplike hulkade ühend on loenduv. 3) Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4) Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 5) Kahe loenduva hulga otsekorruts on loenduv. Tõestus. 1): Olgu antud loenduv hulk A = {a 1,a 2,...,a n,...} ja lõplik hulk B = {b 1,b 2,...,b m }. Moodustame vahe C = B \ A = {c 1,c 2,...,c k } (jätame hulgast B alles need elemendid, mis ei kuulu hulka A). Loomulikult on k m ja A C = ning A B = A C = {c 1,...,c k,a 1,a 2,...,a n,...}. Sellega on ühendi A B kõik elemendid järjestatud jadaks ning hulk A B on loenduv. 2): Olgu hulgad A i, i N mittetühjad lõplikud ja paarikaupa ühiste elementideta, näiteks, A i = {a i1,a i2,...,a ini }, i N. Siis nende ühend i N A i on loenduv, sest selle elemendid saab järjestatada jadaks {a 11,...,a 1n1,a 21,...,a 2n2,...,a m1,...,a mnm,...}. 3): Näitame kõigepealt, et kahe loenduva hulga ühend on loenduv. Vaatleme loenduvaid hulki A = {a 1,a 2,...,a n,...} ja B = {b 1,b 2,...,b n,...}. Kui vahe C = B \ A on lõplik, siis A B = A C on loenduv (nagu nägime osas 1):). Kui aga C on lõpmatu, s.t C = {c 1,c 2,...,c n,...}, siis saame hulga A B = A C kirjutada jadana {a 1,c 1,a 2,c 2,...,a n,c n,...}. Olgu nüüd hulgad A 1,..., A n+1 loenduvad ning teada (induktsiooni oletuse kohaselt), et ühend A 1... A n on loenduv. Siis ühendi moodustamise assotsiatiivsuse tõttu on A 1... A n+1 = (A 1... A n ) A n+1 ning osutub kahe loenduva hulga ühendina ka ise loenduvaks. 4): Veendume, et loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. Olgu antud (paarikaupa ühisosata) loenduvad hulgad A i = {a i1,a i2,...,a in,...}, i N. Kirjutame nende ühendi elemendid järgmise (kahes suunas piiramatult jätkuva) tabelina: a 11,a 12,a 13,a 14,...