ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
|
|
- Οφέλια Γιάγκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan
2 Sisukord 1 Maatriksid Sissejuhatus Maatriksi mõiste Reaalarvudest ja summeerimisest Maatriksite liitmine ja maatriksi korrutamine arvuga Maatriksite korrutamine Transponeerimise omadused Determinandid Sissejuhatus Substitutsioonid Determinandi definitsioon Determinandi omadused Laplace i teoreem Maatriksite korrutise determinant Pöördmaatriks 28 4 Maatriksi astak 33 5 Algebralised struktuurid Rühm Ring ja korpus Jäägiklassiringid Lineaaralgebra üle korpuste Kompleksarvud Kompleksarvude korpus Kompleksarvude geomeetriline tõlgendus Kompleksarvude juurimine Vektorruum. Lineaarne sõltuvus Vektorruumi mõiste Vektorruumi alamruum Lineaarne sõltumatus Vektorruumi baas Vektorite süsteemi astak Veelkord maatriksi astakust Lineaarvõrrandisüsteemid Ülesande püstitus Gaussi meetod Crameri peajuht Homogeennne lineaarvõrrandisüsteem Mittehomogeenne lineaarvõrrandisüsteem Polünoomid Polünoomide ring Polünoomide jäägiga jagamine Jaguvus nulliteguriteta ringides Polünoomide suurim ühistegur Polünoomi juured
3 9.6 Kordsete tegurite eraldamine Lineaarkujutused Lineaarkujutuse definitsioon Lineaarkujutse tuum ja kujutis Lineaarkujutuse maatriks Lineaarkujutuste vektorruum Lineaarteisenduste ring Sarnased maatriksid Lineaarteisenduse omaväärtused ja omavektorid
4 Eessõna Algebra kui matemaatikaharu võib jagada kaheks suureks osaks: lineaaralgebraks ja abstraktseks algebraks. Käesolev kursus koosneb põhiliselt lineaaralgebrast: vaatleme maatrikseid, determinante, lineaarvõrrandisüsteeme, vektorruume ja lineaarteisendusi. Abstraktne algebra uurib algebralisi struktuure. Struktuuridest tutvume vaid väga põgusalt kõige tähtsamatega: rühma, ringi ja korpusega. Kursuse jooksul eeldame, et üliõpilane on tuttav selliste hulgateooria põhimõistetega nagu alamhulk, hulkade otsekorrutis, ühisosa, ühend, kujutus, binaarne seos, ekvivalentsiseos. Samuti eeldame, et on tuttavad naturaalarvude, täisarvude, ratsionaalarvude ja reaalarvude omadused. Seda teksti lugedes panete tähele, et mõned kohad tekstis on väiksemas kirjas kui ülejäänud tekst. Nende kohtade lugemine ei ole muust materjalist arusaamiseks vajalik. Kursuse jooksul kasutame mitmeid matemaatilisi ja matemaatilise loogika sümboleid, mille tähendused on järgmised: a A iga elemendi a korral hulgast A ehk hulga A iga elemendi a korral; a A leidub hulga A element a; A B A-st järeldub B; A B A kehtib parajasti siis, kui kehtib B, ehk A kehtib siis ja ainult siis, kui kehtib B; N naturaalarvude hulk; Z täisarvude hulk; Q ratsionaalarvude hulk; R reaalarvude hulk. 4
5 1 Maatriksid 1.1 Sissejuhatus Vaatleme ühte lihtsat lineaarvõrrandisüsteemi { 2x + 3y = 7 4x y = 7. Lahendame selle järgneval viisil. Kõigepäält lahutame teise võrrandi vastavatest pooltest esimese võrrandi vastavad pooled, mis on korrutatud kahega. Saame süsteemi { 2x + 3y = 7 7y = 21. Korrutades teise võrrandi mõlemad pooled arvuga 1 7 saame { 2x + 3y = 7 y = 3. Nüüd lahutame esimese võrrandi vastavatest pooltest teise võrrandi vastavad pooled, mis on korrutatud 3-ga. See annab meile süsteemi { 2x = 2 y = 3. Lõpuks korrutame veel esimese võrrandi mõlemad pooled arvuga 1 2 ja saamegi lahendi { x = 1 y = 3. Teeme siinkohal mõned tähelepanekud. Esiteks, süsteemi lahendamiseks oli meil vaja ainult kahte tüüpi teisendusi: süsteemi mingile võrrandile mingi arvuga korrutatud teise võrrandi liitmine; mingi võrrandi korrutamine mingi nullist erineva arvuga. Kogu lahenduskäik põhineb asjaolul, et teisenduse tulemusena saadud süsteemil on täpselt samad lahendid, mis esialgsel. Kuna viimast süsteemi rahuldab ilmselt ainult arvupaar ( 1, 3, siis on see ka esialgse süsteemi ainus lahend. Teiseks paneme tähele, et paigutades tundmatute kordajad ja vabaliikmed kahe rea ja kolme veeruga tabelisse võime kogu lahenduskäigu esitadagi ainult selliste tabelite abil: ( ( ( ( ( Siin on kõigis tabelites esimeses veerus x kordajad, teises veerus y kordajad ja kolmandas veerus vabaliikmed. Tabeli esimene rida vastab süsteemi esimesele võrrandile ja teine rida teisele võrrandile. Tabel on ümbritsetud ümarsulgudega. On selge, et sellise tähistuse juures saab alati võrrandisüsteemi põhjal välja kirjutada vastava tabeli ja vastupidi, tabeli järgi on alati võimalik taastada süsteem. Tabeli eelis on see, et pole vaja näha vaeva tundmatute ja võrdusmärkide kirjutamisega. Selles kursuses ongi meie üheks eesmärgiks õppida lahendama lineaarvõrrandisüsteeme, kus tundmatuid ja võrrandeid ei ole mitte kaks, vaid suvaline lõplik arv, kusjuures tundmatute ja võrrandite arv võib olla erinev. Lahendamise juures kasutatakse tänapäeva matemaatikas justnimelt ülalkirjeldatud tabeleid, neid nimetatakse maatriksiteks. Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise vajadus tekib matemaatikas väga paljudes kohtades. Samuti on neid tarvis suure hulga praktiliste ülesannete lahendamisel. Vaatame veel mõningaid näiteid. 5.
6 Näide 1.1 Üheks põhiviisiks piltide käsitlemiseks arvutis on rastergraafika (inglise keeles raster graphics. Selle lähenemise põhiidee on see, et pilt jagatakse pisikesteks ruudukesteks, millest igaüks asub kindla rea ja veeru lõikekohas ja millel on kindel värv, mis on kodeeritud arvuna. Seega rasterpilti võib ka vaadelda kui ristkülikukujulist arvutabelit. Näide 1.2 Olgu G = (V, E lõplik mittesuunatud silmusteta ja kordsete servadeta graaf tippude hulgaga V = {v 1,..., v n }. Graafiga G saab siduda (n n-tabeli nii, et i-nda rea ja j-nda veeru lõikekohas on 1, kui (v i, v j E (s.t. kui tippude v i ja v j vahel on serv graafis G, vastasel juhul on sellel kohal 0. Selliseid tabeleid kasutatakse graafiteoorias ja neid nimetatakse graafide naabrusmaatriksiteks. 1.2 Maatriksi mõiste Definitsioon 1.3 Olgu m ja n naturaalarvud. (m n-maatriks on m reast ja n veerust koosnev tabel, mille iga rea ja iga veeru lõikekohal on mingi reaalarv ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Neid reaalarve nimetatakse maatriksi elementideks. Kõigi (m n-maatriksite hulka tähistatakse Mat m,n või Mat m,n (R. Märkus 1.4 Siin me vaatleme lihtsuse mõttes esialgu ainult reaalarvuliste elementidega maatrikseid. Matemaatikas kasutatakse palju ka maatrikseid, mille elementidele sellist piirangut ei seata, elemendid on kas mingist korpusest või isegi ringist (vt. definitsiooni 5.13 ja Näide 1.5 Näiteks ( , ( on vastavalt (2 4-, (2 2- ja (3 1-maatriksid. Neist esimese maatriksi 1. rea ja 3. veeru element (ehk element kohal (1, 3 on 7. Maatrikseid tähistatakse harilikult suurte ladina tähtede A, B, C,... abil. Rääkides maatriksist üldiselt, tähistatakse tema elemente harilikult väikese ladina tähe abil, millel on kaks indeksit. Neist esimene näitab, millises reas vaadeldav element asub ja teine näitab, millises veerus see element on. Näiteks (m n-maatriks A, mille elemendid on a ij, i {1,..., m}, j {1,..., n}, esitatakse harilikult kujul või A =, a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn A = (a ij i=1,...,m,j=1,...,n. Kui kontekstist on selge, millised on A mõõtmed (s.o. ridade arv ja veergude arv, siis kirjutatakse lühidalt ka A = (a ij. Märkus 1.6 Maatriksit A Mat m,n on võimalik vaadelda kui kujutust A : {1,..., m} {1,..., n} R. Sellise lähenemise korral on a ij = A(i, j. Siiski praktika on näidanud, et maatriksite käsitlemine tabelitena on palju mugavam ja otstarbekam. Definitsioon 1.7 Kaks maatriksit on võrdsed, kui nende ridade arvud on võrdsed, veergude arvud on võrdsed ja vastavatel kohtadel olevad elemendid on võrdsed. Seega maatriksid A = (a ij ja B = (b ij hulgast Mat m,n on võrdsed parajasti siis, kui a ij = b ij iga i {1,..., m} ja j {1,..., n} korral
7 Definitsioon 1.8 Ruutmaatriks on maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga. Kui maatriksis on n rida ja n veergu, siis öeldakse, et see on n-ndat järku ruutmaatriks. ( 5 1 Kõigi n-ndat järku ruutmaatriksite hulka tähistatakse Mat n. Näiteks Mat Definitsioon 1.9 Kui A = (a ij Mat n, siis öeldakse, et elemendid a 11, a 22,..., a nn moodustavad maatriksi A peadiagonaali. Seega nt. eelmise näitemaatriksi peadigonaal koosneb arvudest 5 ja 3. Iga maatriksiga saab loomulikul viisil siduda veel kaks maatriksit: transponeeritud maatriksi ja vastandmaatriksi. Transponeerimine tähendab maatriksi ridade ja veergude ümbervahetamist. Definitsioon 1.10 Maatriksi A transponeeritud maatriks on maatriks, mille esimeseks reaks on maatriksi A esimene veerg, teiseks reaks maatriksi A teine veerg jne. Tähistus: A T või A t. Definitsioonist on selge, et kui A Mat m,n, siis A T Mat n,m. Samuti on selge, et Näide 1.11 Näiteks ( (A T T = A. T = Definitsioon 1.12 Maatriksi A = (a ij Mat m,n vastandmaatriksiks A nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A vastavate elementide vastandarvud, s.t. maatriksit a 11 a a 1n A = a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Näide 1.13 Näiteks kui siis A = A = ( , ( Nende mõistete abil defineeritakse sümmeetrilised ja kaldsümmeetrilised maatriksid... Definitsioon 1.14 Ruutmaatriks A on sümmeetriline, kui A T kaldsümmeetriline, kui A T = A. Näide 1.15 Maatriks on sümmeetriline ja maatriks on kaldsümmeetriline. A = B = = A. Ruutmaatriks A on Niisiis ruutmaatriks on sümmeetriline, kui tema peadiagonaali (kui mõttelise joone suhtes sümmeetriliselt asuvad elemendid on võrdsed. 7
8 1.3 Reaalarvudest ja summeerimisest Kuna paljud maatriksite omadused järelduvad reaalarvude omadustest, siis kordame üle, mida me teame reaalarvude kohta. Eeldame, et reaalarvu mõiste on lugejale tuttav. Samuti teame, et kahel reaalarvul on alati olemas summa ja korrutis, igal reaalarvul on olemas vastandarv ja igal nullist erineval reaalarvul leidub pöördarv. Lause 1.16 Reaalarvude liitmisel ja korrutamisel on järgmised omadused: RA1. (a + b + c = a + (b + c iga a, b, c R korral (s.t. liitmine on assotsiatiivne; RA2. reaalarv 0 on selline, et a + 0 = a = 0 + a iga a R korral; RA3. iga a R korral on arv a R selline, et a + ( a = 0 = ( a + a; RA4. a + b = b + a iga a, b R korral RA5. (abc = a(bc iga a, b, c R korral (liitmine on kommutatiivne; (korrutamine on assotsiatiivne; RA6. reaalarv 1 on selline, et a1 = a = 1a iga a R korral; RA7. a(b + c = ab + ac iga a, b, c R korral (distributiivsuse seadus; RA8. iga a R korral on arv 1 a RA9. ab = ba iga a, b R korral R selline, et a 1 a = 1 = 1 a a; (korrutamine on kommutatiivne. Siin loetletud omadused ei ole kindlasti ainsad, mis reaalarvudel on. Näiteks omadustest RA7 ja RA9 järeldub (kuidas!, et (a + bc = ac + bc iga a, b, c R korral. Vastavalt sellele, kuidas defineeritakse vastandarvud ja korrutamine, kehtib iga a R korral võrdus a = ( 1a. (1 Samuti teame, et reaalarvude lahutamine on defineeritud vastandarvu liitmise abil, s.t. Seega saab näiteks tõestada, et ja a b = a + ( b. (2 a( b = (1 a(( 1b = RA5 (a( 1b = RA9 (( 1ab = RA5 ( 1(ab = (1 ab (3 a(b c = (2 a(b + ( c = RA7 ab + a( c = (3 ab + ( ac = (2 ab ac. Toome sisse veel ühe tähistuse, mida matemaatikas kasutatakse palju ja mis aitab meil mitmetes kohtades materjali lihtsamalt esitada. Nimelt summat s 1 + s 2 + s s n (n N tähistatakse lühidalt s i. (4 i=1 Siin (kreeka suurtäht sigma on summeerimismärk ja i on summeerimisindeks. Arvud 1 ja n näitavad ära, millistes piirides summeerimisindeks muutub ja summeerimisindeks omandab kõik naturaalarvulised väärtused 1-st n-ni. Igale i väärtusele vastab üks liidetav vaadeldavas summas. Liidetavate s i tähendus sõltub kontekstist. Harilikult me summeerime reaalarve, aga 8
9 summeerida võib ka teistsuguseid matemaatilisi objekte. Avaldist (4 võiks lugeda järgmiselt: summa, kus i muutub ühest n-ni, s i -dest või s i -de summa, kus i muutub ühest n-ni. Näiteks kui s 1 = 2, s 2 = 1, s 3 = 4 ja s 4 = 5, siis 4 s i = = 4. i=1 s i võib olla ka mingi avaldis, mis sõltub arvust i. Näiteks i 2 = (n n 2. i=1 Võib vaadelda ka summasid, kus liidetavad sõltuvad kahest indeksist. Selliseid liidetavaid võib summeerida kas ühe, teise või mõlema indeksi järgi. Näiteks võib vaadelda summat m s ij, i=1 j=1 kus liidetavaid s ij summeritakse enne j ja siis i järgi. Lause 1.17 Reaalarvude summeerimisel on järgmised omadused: SO1. SO2. SO3. ts i = t i=1 (s.t. konstandi, mis ei sõltu summeerimisindeksist, võib tuua summa märgi ette; m i=1 j=1 (s i + t i = i=1 s ij = m i=1 j=1 i=1 s i s i + i=1 s ij = t i ; i=1 ( m s ij. Tõestus. SO1 järeldub reaalarvude distributiivsuse omadusest RA7. SO2. Tõepoolest, (s i + t i = (s 1 + t 1 + (s 2 + t (s n + t n i=1 = RA1,RA4 = SO3. Paneme tähele, et m = i=1 j=1 s ij j=1 i=1 (s 1 + s s n + (t 1 + t t n s i + i=1 t i. i=1 m (s i s in i=1 = (s s 1n (s m s mn = RA1,RA4 = = (s s m (s 1n s mn (s 1j s mj j=1 ( m s ij. j=1 i=1 9
10 Kuna liidetavaid s ij võime vaadelda kui (m n-maatriksi elemente, siis vaadeldavat omadust võib tõlgendada nii, et maatriksi kõigi elementide summa ei sõltu sellest, kas me liidame neid järjest ridade kaupa või veergude kaupa. 1.4 Maatriksite liitmine ja maatriksi korrutamine arvuga Nagu eespool nägime, saab maatrikseid kasutada selleks, et struktureeritult esitada informatsiooni, näiteks lineaarvõrrandisüsteemi kordajaid ja vabaliikmeid. Siiski maatriksite teooria kogu kasulikkus ja võimsus avaldub tänu sellele, et maatriksitega on võimalik teha tehteid: sobivate mõõtmetega maatrikseid on võimalik omavahel liita, korrutada ja iga maatriksit võib korrutada arvuga. Enne tehete juurde asumist peatume veelkord sellel, kuidas on võimalik maatrikseid esitada. Me võime näiteks vaadelda maatriksit A = (a ij Mat m,n, mille element a ij, kus i {1,..., m} ja j {1,..., n}, on antud mingi valemiga, mis võib sõltuda indeksitest i ja j. Näiteks maatriks A = (a ij Mat 3,4, kus a ij = min(4, i + j, näeb välja nii: A = Tihti kirjutatakse sama asja veel lühemalt: A = (min(4, i + j Mat 3,4. See kirjapilt väljendab järgmist asjaolu: A on (3 4-maatriks, mille i-ndas reas ja j-ndas veerus on arv min(4, i + j. Kui A = (a ij Mat m,n, siis B = (a ij + 3 Mat m,n on (m n-maatriks, mille i-ndas reas ja j-ndas veerus on arv a ij + 3. Samasugust kokkulepet kasutades võime öelda, et A = ( a ij Mat m,n ja A T = (a ji Mat n,m. Väga tihti läheb lineaaralgebras vaja järgmisi mingis mõttes hästi lihtsaid maatrikseid. Definitsioon 1.18 Nullmaatriks on maatriks, mille kõik elemendid on nullid. Definitsioon 1.19 Ühikmaatriks on ruutmaatriks, mille peadiagonaalil on ühed ja kõik muud elemendid on nullid. (m n-nullmaatriksit tähistame sümboliga Θ m,n või lihtsalt Θ. Tihti kasutatakse nullmaatriksi tähisena ka lihtsalt sümbolit 0. n-ndat järku ühikmaatriksit tähistame sümboliga E n või lihtsalt E. Näide 1.20 Näiteks Θ = ja E = on vastavalt (3 2-nullmaatriks ja kolmandat järku ühikmaatriks. Üldjuhul võib kirjutada ka Θ m,n = (θ ij, kus θ ij = 0 iga i {1,..., m}, j {1,..., n} korral ja E n = (δ ij, kus δ ij = { 1, kui i = j, 0, kui i j, Sümbolit δ ij tuntakse matemaatikas kui Kroneckeri deltat. Defineerime nüüd maatriksite summa. iga i, j {1,..., n} korral. 10
11 Definitsioon 1.21 Maatriksite A = (a ij Mat m,n ja B = (b ij Mat m,n summa on maatriks A + B = (c ij, kus c ij = a ij + b ij iga i {1,..., m} ja j {1,..., n} korral. Kui kontekstist on selge, milliste maatriksitega on tegu, võib maatriksite liitmise definitsiooni anda veelgi lühemal kujul (a ij + (b ij = (a ij + b ij. Tabelite kujul näeb liitmisreegel välja nii: a 11 a a 1n b 11 b b 1n a 21 a a 2n b 21 b b 2n a m1 a m2... a mn b m1 b m2... b mn = a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b a 2n + b 2n a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn s.t. maatriksite liitmisel liidetakse nende vastavatel kohtadel olevad elemendid. Märgime veel, et liita saab omavahel vaid samade mõõtmetega maatrikseid. Liitmise ja vastandmaatriksi abil saame defineerida maatriksite lahutamise. Maatriksite A = (a ij Mat m,n ja B = (b ij Mat m,n vahe on maatriks A B := A + ( B. Seega A B = (c ij, kus c ij = a ij + ( b ij = a ij b ij iga i {1,..., m} ja j {1,..., n} korral. Definitsioon 1.22 Maatriksi A = (a ij Mat m,n ja arvu k R korrutis on maatriks ka = (c ij, kus c ij = ka ij iga i {1,..., m} ja j {1,..., n} korral. ehk Seega k a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn k(a ij = (ka ij = ka 11 ka ka 1n ka 21 ka ka 2n ka m1 ka m2... ka mn s.t. maatriksi korrutamisel arvuga k korrutatakse selle maatriksi kõik elemendid arvuga k. Muuhulgas ( 1A = A. Näide 1.23 Näiteks ( ( Defineeritud tehetel on terve rida häid omadusi. ( ( = ( ( = ( ( = Lause 1.24 Mistahes A, B, C Mat m,n ja k, l R korral 1. (A + B + C = A + (B + C; 2. A + Θ m,n = A = Θ m,n + A; 3. A + ( A = Θ m,n = ( A + A;,,,, 11
12 4. A + B = B + A; 5. k(a + B = ka + kb; 6. (k + la = ka + la; 7. (kla = k(la; 8. 1A = A. Tõestus. 1. Olgu A = (a ij, B = (b ij, C = (c ij Mat m,n. Siis (A + B + C = ((a ij + (b ij + (c ij = ij + b ij + (c ij = ij + b ij + c ij Def Def = RA1 (a ij + (b ij + c ij = ij + (b ij + c ij = ij + ((b ij + (c ij Def Def = A + (B + C. 2. Olgu A = (a ij Mat m,n ja vaatleme (m n-nullmaatriksit Θ m,n = (θ ij, kus θ ij = 0 iga i ja j korral. Siis A + Θ m,n = (a ij + (θ ij = Def (a ij + θ ij = (a ij + 0 = RA2 (a ij = A. Teise võrduse saab tõestada anaoogiliselt. 5. Olgu A = (a ij, B = (b ij Mat m,n ja k R. Siis k(a + B = k((a ij + (b ij = k(a ij + b ij = (k(a ij + b ij Def Def = RA7 (ka ij + kb ij = Def (ka ij + (kb ij = Def k(a ij + k(b ij = ka + kb. Nagu näeme, on omaduste 1, 2 ja 5 tõestamiseks vaja kasutada vaid maatriksite liitmise ja arvuga korrutamise definitsiooni ning reaalarvude omadusi. Ka ülejäänud väidete tõestamine taandub tehete definitsioonide ja reaalarvude omaduste kasutamisele. Need tõestused jätame läbi mõtlemiseks lugejale. 1.5 Maatriksite korrutamine Kahte maatriksit saab korrutada ainult siis, kui esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga. Definitsioon 1.25 Maatriksite A = (a ij Mat m,n ja B = (b ij Mat n,p korrutiseks nimetatakse maatriksit C = (c ij Mat m,p, kus iga i {1,..., m} ja j {1,..., p} korral c ij = a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj. k=1 Niisiis selleks, et leida korrutise C element, mis asub i-ndas reas ja j-ndas veerus, tuleb maatriksi A i-nda rea elemendid korrutada maatriksi B j-nda veeru vastavate elementidega ja tulemused liita. Harilikult kirjutatakse korrutise C asemel AB. Näide 1.26 Näiteks ( = ( ( = =. ( , 12
13 Definitsioonist on kohe selge, et leidub maatrikseid, mille korral korrutis AB on olemas, aga korrutist BA ei leidu. Seega maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne. Siiski on maatriksite korrutamisel rida omadusi, mis on sarnased reaalarvude korrutamise omadustega. Lause 1.27 Maatriksite korrutamisel on järgmised omadused. 1. Mistahes A Mat m,n, B Mat n,p ja C Mat p,q korral 2. Mistahes A Mat m,n korral (ABC = A(BC. E m A = A ja AE n = A, kus E m Mat m ja E n Mat n on vastavat järku ühikmaatriksid. 3. Mistahes A, B Mat m,n, C Mat n,p korral 4. Mistahes A Mat m,n, B, C Mat n,p korral (A + BC = AC + BC. A(B + C = AB + AC. 5. Mistahes A Mat m,n, B Mat n,p ja k R korral 6. Mistahes A Mat m,n korral k(ab = (kab = A(kB. Θ q,m A = Θ q,n ja AΘ n,p = Θ m,p. Tõestus. 1. Olgu A = (a ij Mat m,n, B = (b ij Mat n,p ja C = (c ij Mat p,q. Toome sisse tähised maatriksite AB, (ABC, BC ja A(BC elementide jaoks: AB = (u ij Mat m,p, (ABC = (v ij Mat m,q, BC = (w ij Mat n,q, A(BC = (t ij Mat m,q. Kasutades maatriksite korrutamise definitsiooni, summeerimise omadusi ja reaalarvude korrutamise assotsiatiivsust võime kirjutada: u ik = Def v ij = Def w lj = Def t ij = Def a il b lk, l=1 p u ik c kj = k=1 p b lk c kj, k=1 a il w lj = l=1 ( p a il b lk c kj = SO1 k=1 l=1 ( p a il b lk c kj k=1 l=1 = SO1 p k=1 l=1 p l=1 k=1 (a il b lk c kj = RA5 a il (b lk c kj = SO3 p k=1 l=1 p k=1 l=1 a il (b lk c kj, a il (b lk c kj. 13
14 Kuna v ij = t ij iga i {1,..., m} ja j {1,..., q} korral, siis on maatriksid (ABC ja A(BC võrdsed, (ABC = A(BC. 2. Olgu A = (a ij Mat m,n ja olgu E m = (δ ij m-ndat järku ühikmaatriks. Siis element korrutise E m A i-ndas reas ja j-ndas veerus on m δ ik a kj = δ i1 a 1j + δ i2 a 2j δ im a mj = δ ii a ij = a ij. k=1 Järelikult E m A = A. Võrduse AE n = A saab tõestada analoogiliselt. 3. Olgu A = (a ij, B = (b ij Mat m,n, C = (c ij Mat n,p. Toome sisse tähised maatriksite (A + BC, AC ja BC elementide jaoks: (A + BC = (u ij Mat m,p, AC = (v ij Mat m,p, BC = (w ij Mat m,p. Et maatriksis A + B kohal (i, k on element a ik + b ik, siis u ij = Def.1.25 (a ik + b ik c kj = k=1 RA7 k=1 (a ik c kj + b ik c kj = SO2 k=1 a ik c kj + k=1 b ik c kj = Def.1.25 v ij + w ij iga i {1,..., m} ja j {1,..., p} korral. Et maatriksites (A + BC ja AC + BC on vastavatel kohtadel samad elemendid, siis on need maatriksid võrdsed. Ülejäänud omadused saab tõestada analoogiliselt. 1.6 Transponeerimise omadused Uurime nüüd, kuidas on transponeerimine seotud maatriksite liitmisega, maatriksi arvuga korrutamisega ja maatriksite korrutamisega. Lause 1.28 Maatriksite transponeerimisel on järgmised omadused. 1. Mistahes A, B Mat m,n korral 2. Mistahes A Mat m,n ja k R korral 3. Mistahes A Mat m,n ja B Mat n,p korral (A + B T = A T + B T. (ka T = ka T. (AB T = B T A T. Tõestus. Tõestame neist omadustest viimase (ülejäänud jäävad jälle lugejale läbi mõtlemiseks. Olgu A = (a ij Mat m,n ja B = (b ij Mat n,p. Maatriksi (AB T i-ndas reas ja j-ndas veerus on maatriksi AB j-nda rea ja i-nda veeru element, s.o. arv a jk b ki. k=1 Maatriksi B T A T i-ndas reas ja j-ndas veerus on element u ik v kj, k=1 14
15 kus u ik on B T i-nda rea ja k-nda veeru element ja v kj on A T k-nda rea ja j-nda veeru element. Maatriksi transponeerimise definitsiooni kohaselt u ik = b ki ja v kj = a jk. Seega u ik v kj = k=1 b ki a jk = k=1 a jk b ki. k=1 Järelikult (AB T = B T A T. 15
16 2 Determinandid 2.1 Sissejuhatus Vaatleme jälle lihtsat lineaarvõrrandisüsteemi { a11 x 1 + a 12 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 1, b 2 (5 milles on kaks tundmatut ja kaks võrrandit. Korrutades teise võrrandi a 12 -ga ja liites sellele esimese võrrandi, mis on korrutatud a 22 -ga saame (a 11 a 22 a 12 a 21 x 1 = b 1 a 22 a 12 b 2. Teisest küljest, korrutades esimest võrrandit a 21 -ga ja liites sellele a 11 -ga korrutatud teise võrrandi saame (a 11 a 22 a 12 a 21 x 2 = a 11 b 2 b 1 a 21. Kui nüüd a 11 a 22 a 12 a 21 0, siis on süsteemil (5 täpselt üks lahend Tuues sisse tähistuse a b c d x 1 = b 1a 22 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21, x 2 = a 11b 2 b 1 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21. (6 := ad bc (7 võime valemid (6 esitada kujul b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 = a, x 11 a 12 2 = a 21 a 22 a. (8 11 a 12 a 21 a 22 ( a b Kirjapilt (7 viitab sellele, et me tahame arvu ad bc siduda maatriksiga. Tõepoolest, c d ( a b arvu ad bc nimetatakse teist järku ruutmaatriksi determinandiks. Valemid (8 c d näitavad, et teatud tüüpi lineaarvõrrandisüsteeme saab lahendada selliste teist järku ruutmaatriksite determinantide abil, mille veergudes on tundmatute kordajad ja vabaliikmed. Osutub, et on võimalik defineerida ka n-ndat järku ruutmaatriksite determinandid ja nende abil lahendada teatud n tundmatu ja n võrrandiga lineaarvõrrandisüsteeme. Kui teist järku ruutmaatriksi determinant on kahe korrutise summa (ad + ( bc, siis n-ndat järku ruutmaatriksi determinant on n! = n liidetava summa. Et seda defineerida, peame enne tutvuma permutatsiooni ja substitutsiooni mõistega. 2.2 Substitutsioonid Definitsioon 2.1 Olgu n naturaalarv ja olgu A n-elemendiline hulk. Permutatsioon hulga A elementidest on selline n-elemendiline järjestatud jada, milles hulga A iga element esineb täpselt ühe korra. Enamasti vaadeldakse matemaatikas permutatsioone hulga A = {1, 2,..., n} elementidest ja öeldakse, et need on permutatsioonid n elemendist. Sellist permutatsiooni tähistame (i 1, i 2,..., i n. Tihti kirjutatakse ka lihtsalt i 1 i 2... i n. Lihtne on aru saada, et permutatsioone n elemendist on n! tükki. Näiteks (4, 1, 3, 5, 2 on permutatsioon 5-st elemendist, aga (4, 1, 3, 4, 2 ei ole. 16
17 Definitsioon 2.2 Permutatsiooni (1, 2,..., n nimetatakse loomulikuks permutatsiooniks n elemendist. Definitsioon 2.3 Öeldakse, et üks permutatsioon on saadud teisest transpositsiooni abil, kui see esimene permutatsioon on saadud teisest kahe elemendi äravahetamise teel. Näiteks permutatsioon (4, 1, 3, 5, 2 on saadud permutatsioonist (4, 1, 2, 5, 3 kolmanda ja viienda elemendi äravahetamise teel. Lause 2.4 Kõik permutatsioonid n elemendist on võimalik niiviisi järjestada, et iga järgnev permutatsioon on eelnevast saadav transpositsiooni abil, kusjuures esimeseks võib valida suvalise permutatsiooni. Tõestus. Tõestame lause matemaatilise induktsiooniga elementide arvu n järgi. Kui n = 1, siis on väide ilmne. Kui n = 2 ja esimene permutatsioon on (i 1, i 2, siis teine permutatsioon (i 2, i 1 on esimesest saadav transpositsiooni abil. Rohkem permutatsioone 2-st elemendist pole. Oletame nüüd, et n 3 ja lause väide kehtib permutatsioonide jaoks n 1 elemendist. Võtame suvalise permutatsiooni (i 1, i 2, i 3,..., i n n elemendist. Vaatleme kõiki permutatsioone n elemendist, mis algavad elemendiga i 1. Kui neist esimene komponent i 1 ära jätta, siis saame kõik permutatsioonid n 1 elemendist i 2,..., i n. Induktsiooni eelduse põhjal võime need järjestada sellisel viisil, et iga järgnev on saadud eelnevast transpositsiooni abil. Olgu sellise järjestuse viimane permutatsioon (i 1, j 2, j 3,..., j n. Transpositsiooni abil, mis vahetab ära i 1 ja j 2 saame permutatsiooni (j 2, i 1, j 3,..., j n. Järjestame nüüd nõutaval viisil kõik permutatsioonid elementidest i 1, j 3,..., j n. Lisades neile ette j 2 saame vajaliku järjestuse kõigi permutatsioonide jaoks, mille esimene komponent on j 2. Olgu selles järjestuses viimane permutatsioon (j 2, k 2, k 3,..., k n. Leiame elementide k 2, k 3,..., k n hulgast sellise elemendi k s, mis ei kuulu hulka {i 1, j 2 }. Vahetame ära j 2 ja k s (s.t. teeme transpositsiooni ja järjestame nõutaval viisil kõik permutatsioonid, mille esimene komponent on k s. Nii jätkates saame nõutaval viisil ära järjestada kõik permutatsioonid, mille esimene komponent on 1, 2,..., n, s.t. kõikvõimalikud permutatsioonid elementidest 1, 2,..., n. Definitsioon 2.5 Öeldakse, et elemendid i k ja i l moodustavad inversiooni permutatsioonis (i 1, i 2,..., i k,..., i l,..., i n, kui k < l ja i k > i l. Inversioonide koguarvu permutatsioonis (i 1, i 2,..., i n tähistame sümboliga I(i 1, i 2,..., i n. Permutatsiooni nimetatakse paarispermutatsiooniks, kui inversioonide koguarv selles permutatsioonis on paarisarv. Vastasel juhul nimetatakse seda permutatsiooni paarituks permutatsiooniks. Näide 2.6 Permutatsioonis (4, 1, 3, 5, 2 moodustavad inversiooni elementide paarid (4, 1, (4, 3, (4, 2, (3, 2 ja (5, 2. Seega inversioone on 5 tükki, I(4, 1, 3, 5, 2 = 5, ja tegemist on paaritu permutatsiooniga. Permutatsioonis (1, 2, 3, 4, 5 on aga 0 inversiooni ja seega on tegu paarispermutatsiooniga. 17
18 Lause 2.7 Transpositsioon muudab permutatsiooni paarsust. Tõestus. Vaatleme esialgu juhtumit, kus permutatsioonis vahetatakse ära kõrvutiasetsevad elemendid i ja j. Sellise transpositsiooni käigus ei muutu nende inversioonide arv, mida i ja j moodustavad ülejäänud elementidega. Kui i ja j enne transpositsiooni ei moodustanud inversiooni, siis pärast transpositsiooni nad moodustavad, ja vastupidi. Seega inversioonide koguarv kas suureneb või väheneb ühe võrra ja sellega paarsus muutub. Nüüd vaatleme olukorda, kus ümbervahetatavate elementide i ja j vahel on m elementi i 1,..., i m, s.t. et permutatsioon on kujul (..., i, i 1,..., i m, j,.... (9 Sel juhul kujutame i ja j ümbervahetamist ette järgimselt. Vahetame ära i ja i 1, siis i ja i 2 jne., kuni vahetame ära i ja i m ning seejärel i ja j. Siis vahetame ära j ja i m, j ja i m 1, jne. kuni on vahetatud j ja i 1. Tulemuseks on permutatsioon (..., j, i 1,..., i m, i,.... (10 Seega näeme, et i-d ja j-i vahetava transpositsiooni saab esitada 2m + 1 kõrvutiasetsevate elementide transpositsiooni järjestrakendamisena. Tõestuse esimese osa põhjal teame, et niimoodi muutub permutatsiooni paarsus 2m+1 korda, mis aga tähendabki, et permutatsiooni (9 paarsus erineb permutatsiooni (10 paarsusest. Definitsioon 2.8 Substitutsiooniks lõplikul hulgal M nimetatakse hulga M bijektiivset teisendust, s.t. üksühest pealekujutust M M. Harilikult vaadeldakse substitutsioone hulgal M = {1, 2,..., n} ja kutsutakse neid substitutsioonideks n elemendist. Kõigi substitutsioonide hulka n-elemendist tähistatakse sümboliga S n. Harilikult tähistatakse substitutsioone väikeste kreeka tähtedega σ, τ,.... Substitutsiooni esitamiseks kasutatakse tihti 2-realist ja n-veerulist tabelit (s.o, (2 n- maatriksit, mille esimeses reas on hulga {1, 2,..., n} elemendid mingis järjekorras ja teises reas on esimeses reas olevate elementide kujutised, seega σ = ( i1 i 2... i n σ(i 1 σ(i 2... σ(i n Nii sellise tabeli esimese rea kui ka teise rea elemendid moodustavad permutatsiooni. Definitsioon 2.9 Substitutsiooni nimetatakse paarissubstitutsiooniks, kui inversioonide koguarv permutatsioonides tema esituses tabelina on paarisarv. Vastasel korral nimetatakse seda substitutsiooni paarituks substitutsiooniks. Osutub, et see definitsioon on korrektne selles mõttes, et substitutsiooni paarsus ei sõltu tema esitusest tabelina. Selle näitamiseks oletame, et substitutsioon σ on esitatud kahel viisil: ( ( i1 i σ = 2... i n j1 j = 2... j n. σ(i 1 σ(i 2... σ(i n σ(j 1 σ(j 2... σ(j n Kui vahetame tabelis ära kaks veergu, siis saame sama substitutsiooni uue esituse. Selle vahetuse käigus toimub nii ülemises kui alumises permutatsioonis transpositsioon, mis muudab kummagi permutatsiooni paarsust. Inversioonide koguarvu paarsus tabelis aga ei muutu. Järjestame nüüd permutatsioonid n elemendist lauses 2.4 kirjeldatud viisil nii, et alustame permutatsioonist (i 1, i 2,..., i n. Selles järjestuses peab esinema ka permutatsioon (j 1, j 2,..., j n. Tehes vastavad transpositsioonid tabeli veergudega saame esimesest tabelist teise, kusjuures inversioonide koguarvu paarsus ühegi sammu käigus ei muutu. See näitabki, et inversioonide koguarvu paarsus ei sõltu substitutsiooni esitusest tabelina.. 18
19 Näide 2.10 Leiame substitutsiooni σ = ( S 4 paarsuse. Kuna I(2, 3, 4, 1 + I(3, 4, 1, 2 = = 7 on paaritu arv, siis σ on paaritu substitutsioon. Iga substitutsiooniga saab siduda tema märgi (+ või. Täpsemalt öeldes võib vaadelda kujutust sign : n N S n {1, 1} (ladinakeelsest sõnast signum, mis tähendab märki, mis on defineeritud võrdusega { 1, kui σ on paarissubstitutsioon, sign(σ := 1, kui σ on paaritu substitutsioon. Kõige sagedamini esitatakse substitutsioon tabelina nii, et selle esimeses reas on loomulik permutatsioon (1, 2, 3,..., n: σ = ( n σ(1 σ(2... σ(n Sellist tabelit nimetatakse substitutsiooni σ normaalkujuks. Tuletame meelde, et hulga M teisendusi on võimalik korrutada (s.t. järjest rakendada. Kui τ ja σ on hulga M teisendused, siis nende korrutis τσ (vahel tähistatakse ka τ σ on hulga M teisendus, mis on defineeritud eeskirjaga (τσ(m := τ(σ(m iga m M korral. Seega saame korrutada ka substitutsioone.. Näide 2.11 Leiame substitutsioonide ( τ = ja σ = ( korrutise τσ. Kuna (τσ(1 = τ(σ(1 = τ(2 = 4, (τσ(2 = τ(σ(2 = τ(3 = 3, (τσ(3 = 1 ja (τσ(4 = 2, siis ( τσ = Samasusteisendust 1 M nimetame hulga M ühiksubstitutsiooniks ja tähistame sümboliga ε. Seega kui M = {1, 2,..., n}, siis ε = ( n n Hulgateooriast teame, et igal bijektiivsel teisendusel on olemas pöördteisendus. Substitutsiooni σ S n pöördteisendust nimetatakse σ pöördsubstitutsiooniks ja tähistatakse sümboliga σ 1. On selge, et kui siis σ = σ 1 =. ( n σ(1 σ(2... σ(n ( σ(1 σ(2... σ(n n, (11 s.t. pöördsubstitutsiooni saamiseks võib σ esituses tabelina read ära vahetada., (12 19
20 Näide 2.12 Kui siis σ 1 = σ = ( ( =, ( Lause 2.13 Substitutsioon ja tema pöördsubstitutsioon on sama paarsusega. Tõestus. Inversioonide koguarv tabelites (11 ja (12 on sama. 2.3 Determinandi definitsioon Seome nüüd iga ruutmaatriksiga teatud arvu. Definitsioon 2.14 Ruutmaatriksi A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn determinandiks nimetatakse reaalarvu, mida tähistatakse a 11 a a 1n A = a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn (või det(a ja mis defineeritakse kui summa A := σ S n sign(σ a 1σ(1 a 2σ(2... a nσ(n. (13 n-ndat järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse n-ndat järku determinandiks. Korrutisi a 1σ(1 a 2σ(2... a nσ(n nimetatakse determinandi A liikmeteks. Kommenteerime pisut seda definitsiooni. Selles summas liidetakse märgiga (sign(σ varustatud korrutisi n-st maatriksi A elemendist, kusjuures korrutises on igast reast ja igast veerust üks tegur. Seda, et igast veerust on võetud täpselt üks tegur, näitab see, et elementide veeruindeksid moodustavad permutatsiooni (σ(1, σ(2,..., σ(n. Kuna permutatsioonis (1, 2,..., n on 0 inversiooni, siis korrutise a 1σ(1 a 2σ(2... a nσ(n märk on + siis, kui (σ(1, σ(2,..., σ(n on paarispermutatsioon ja vastasel juhul. Summeerimine toimub üle kõigi substitutsioonide hulgal {1, 2,..., n}, s.t. liita tuleb kõikvõimalikud sellised korrutised. Definitsiooni põhjal on lihtne veenduda, et kui A = (a Mat 1, siis A = a, ja et a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. Kuna S n = n!, siis definitsiooni järgi arvutades tuleb näiteks 4-ndat järku determinandi puhul liita 4! = 24 korrutist, 5-ndat järku determinandi puhul 5! = 120 korrutist jne. On selge, et vähegi suurema järgu korral on determinandi arvutamine definitsiooni järgi väga töömahukas. Õnneks on determinandil mitmeid omadusi, mis tema arvutamist lihtsustavad. Vaatlemegi neid omadusi lähemalt. 20
21 2.4 Determinandi omadused Teoreem 2.15 Transponeerimisel maatriksi determinant ei muutu. Tõestus. Olgu A = (a ij Mat n. Me peame tõestama, et Definitsiooni põhjal A = A T = A. σ S n sign(σ a 1σ(1 a 2σ(2... a nσ(n. (14 Vaatleme A suvalist liiget a 1σ(1 a 2σ(2... a nσ(n, mis vastab substitutsioonile σ = ( n σ(1 σ(2... σ(n Tegurid a 1σ(1, a 2σ(2,..., a nσ(n kuuluvad maatriksi A T ridadesse numbritega σ(1, σ(2,..., σ(n ja veergudesse numbritega 1, 2,..., n. Seega on korrutis a 1σ(1 a 2σ(2... a nσ(n ka determinandi A T liige, kusjuures ta vastab substitutsioonile σ 1 = ( σ(1 σ(2... σ(n n Lause 2.13 põhjal võime öelda, et kehtib võrdus sign(σ = sign(σ 1. Järelikult kuulub korrutis a 1σ(1 a 2σ(2... a nσ(n determinantide A ja A T avaldistesse sama märgiga. Niisiis oleme näinud, et iga liidetav summast (14 kuulub ka determinanti A T defineerivasse summasse. Kuna hulga S n teisendus σ σ 1 on bijektiivne (see teisendus on iseenda pöördteisendus, siis saame kätte kõik determinanti A T defineerivas summas esinevad liidetavad täpselt ühe korra. Seega need summad on võrdsed ja A = A T... Lause 2.16 Kui ruutmaatriks sisaldab nullidest koosneva rea, siis tema determinant on 0. Tõestus. Kui maatriksi A = (a ij k-s rida koosneb ainult nullidest, siis igas korrutises a 1σ(1 a 2σ(2... a nσ(n on k-s tegur võrdne nulliga ja seega on summa (13 kõik liidetavad nullid. Järeldus 2.17 Kui ruutmaatriks sisaldab nullidest koosneva veeru, siis tema determinant on 0. Tõestus. Kui ruutmaatriks A sisaldab nullidest koosneva veeru, siis maatriks A T sisaldab nullidest koosneva rea. Lause 2.16 põhjal A T = 0. Teoreemi 2.15 kasutades saame, et A = A T = 0. Märkus 2.18 Edaspidi sõnastame ja tõestame veel terve rea determinantide omadusi ridade abil. Samasugused omadused saaks sõnastada ka veergude abil ja tõestada need Teoreemi 2.15 abil. Me ei hakka neid omadusi siin kirja panema ega tõestama, kuid vajaduse korral kasutame neid determinandi arvutamisel. Lause 2.19 Kui maatriksi mingi rea kõik elemendid korrutada arvuga c, siis tema determinant korrutub ka arvuga c. 21
22 Tõestus. Olgu A = (a ij Mat n ja olgu B maatriks, mis on saadud maatriksist A k-nda rea korrutamisel arvuga c. Siis B = sign(σ a 1σ(1... a k 1,σ(k 1 ca kσ(k a k+1,σ(k+1... a nσ(n σ S n ( = c sign(σ a 1σ(1... a nσ(n = c A. σ S n Näide 2.20 Kui maatriksi teine rida korrutada arvuga 3, siis saadava maatriksi determinant on 3 A : = Lause 2.21 Kui maatriksis vahetada ära kaks rida, siis determinant muudab märgi. Tõestus. Olgu A = (a ij Mat n ja olgu B maatriks, mis on saadud maatriksist A k-nda ja l-nda rea äravahetamisel, kus k < l, k, l {1,..., n}. Definitsiooni põhjal A = σ S n sign(σa 1σ(1... a kσ(k... a lσ(l... a nσ(n, (15 B = τ S n sign(τa 1τ(1... a lτ(k... a kτ(l... a nτ(n. (16 Peame näitama, et B = A. Selleks vaatleme liidetavat m σ = sign(σa 1σ(1... a kσ(k... a lσ(l... a nσ(n summast (15. Kuna reaalarvude korrutamine on kommutatiivne, siis korrutis a 1σ(1... a kσ(k... a lσ(l... a nσ(n = a 1σ(1... a lσ(l... a kσ(k... a nσ(n esineb ka summas (16, kusjuures ta vastab substitutsioonile ( σ 1... k... l... n = σ(1... σ(l... σ(k... σ(n mille ülemine permutatsioon on loomulik permutatsioon ja alumine permuatsioon on saadud permutatsioonist (σ(1,..., σ(k,..., σ(l,..., σ(n transpositsiooni abil, mis vahetab ära k- nda ja l-nda elemendi. Kuna transpositsioon muudab permutatsiooni paarsust (lause 2.7, siis sign(σ = sign(σ. Seega summa (15 iga liidetava m σ, σ S n, korral on m σ substitutsioonile σ vastav liidetav summas (16. Kui σ, ρ S n on erinevad substitutsioonid, siis ka σ, ρ S n on erinevad. Seega kujul m σ saame kätte n! summa (16 liidetavat, mis vastavad erinevatele substitutsioonidele σ, s.t. me saame kätte kõik summa (16 liidetavad. Seega B = ( m σ = m σ = A. σ S n σ S n, 22
23 Lause 2.22 Kui ruutmaatriksis on kaks võrdset rida, siis tema determinant on 0. Tõestus. Olgu A maatriks, mille k-s ja l-s rida on võrdsed. Nende ridade äravahetamisel saame jälle maatriksi A ja lause 2.21 tõttu A = A. Järelikult 2 A = 0, millest saame võrduse A = 0. Järgmises lauses mõtleme maatriksi rea arvuga c korrutamise all seda, et selle rea kõik elemendid korrutatakse arvuga c, ja ridade liitmise all mõeldakse seda, et omavahel liidetakse nende ridade vastavad elemendid. Lause 2.23 Kui ruutmaatriksi mingile reale liita suvalise arvuga korrutatud teine rida, siis selle maatriksi determinant ei muutu. Tõestus. Olgu A = (a ij Mat n ja olgu B maatriks, mis on saadud maatriksist A selle k-ndale reale arvuga c korrutatud l-nda rea liitmisel, kus k l. Peame näitama, et A = B. Kui c = 0, siis B = A ja väide on ilmne. Oletame nüüd, et c 0. Eeldame samuti, et k < l. (Kui k > l, siis on tõestus analoogiline. Maatriksi B k-s rida koosneb elementidest a k1 + ca l1, a k2 + ca l2,..., a kn + ca ln ; kõik ülejäänud B elemendid on samad, mis A vastaval kohal olevad elemendid. Seega B = σ S n sign(σa 1σ(1... a k 1,σ(k 1 (a kσ(k + ca lσ(k a k+1,σ(k+1... a lσ(l... a nσ(n. Kasutades reaalarvude distributiivsuse ja summeerimise omadusi võime kirjutada B = ( sign(σa1σ(1... a k 1,σ(k 1 a kσ(k a k+1,σ(k+1... a lσ(l... a nσ(n σ S n + sign(σa 1σ(1... a k 1,σ(k 1 (ca lσ(k a k+1,σ(k+1... a lσ(l... a nσ(n = σ S n sign(σa 1σ(1... a k 1,σ(k 1 a kσ(k a k+1,σ(k+1... a lσ(l... a nσ(n + c σ S n sign(σa 1σ(1... a k 1,σ(k 1 a lσ(k a k+1,σ(k+1... a lσ(l... a nσ(n = A + c 0 = A, kus eelviimases reas olev summa on 0 sellepärast, et ta on sellise maatriksi a 11 a a 1n a k 1,1 a k 1,2... a k 1,n A a l1 a l2... a ln = a k+1,1 a k+1,2... a k+1,n a l1 a l2... a ln a n1 a n2... a nn determinant, milles k-s ja l-s rida on võrdsed. Lause 2.23 on väga kasulik. Selle (ja tema analoogi abil saame ridu või veerge omavahel liita nii, et tekiks juurde nulliga võrduvaid elemente, aga determinant samal ajal ei muutu. Mida rohkem on maatriksis nulle, seda lihtsam on leida tema determinandi väärtust. Kui näiteks õnnestub nullideks muuta kõik peadiagonaalist allpool olevad elemendid, siis piisab determinandi arvutamiseks vaid ühe korrutise leidmisest. Maatriksit nimetatakse ülemiseks kolmnurkmaatriksiks, kui tema peadiagonaalist allpool asuvad elemendid on nullid. 23
24 Lause 2.24 Ülemise kolmnurkmaatriksi a 11 a 12 a a 1n 0 a 22 a a 2n A = 0 0 a a 3n a nn determinant on A = a 11 a 22 a a nn. Tõestus. Definitsiooni põhjal tuleb determinandi leidmiseks liita korrutisi, kus igast reast ja veerust on võetud täpselt üks element. Kõik korrutised, kus tegurina esimesest veerust esineb 0, on võrdsed nulliga. Seega on mõtet vaadelda vaid korrutisi, kus esimese veeru esindaja on a 11. Kui teisest veerust tuleb 0, siis jällegi on korrutis 0. Element a 12 teisest veerust tulla ei saa (sest siis oleks korrutises kaks elementi esimesest reast. Seega on mõtet vaadelda vaid korrutisi, kus on teguriteks a 11 ja a 22. Analoogiliselt jätkates näeme, et ainuke korrutis, mis võib (aga ei pruugi olla nullist erinev, on a 11 a 22 a a nn. See korrutis on määratud ühiksubstitusiooni poolt, seega on tema märk determinandi avaldises pluss. 2.5 Laplace i teoreem Selle paragrahvi eesmärk on tõestada Laplace i 1 teoreem, mis lubab n-ndat järku determinandi arvutamise taandadad madalamat järku determinantide arvutamisele. Teoreemi sõnastamiseks on meil vaja miinori mõistet. Definitsioon 2.25 Maatriksi A alammaatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse, kui maatriksis A valitakse välja mingid read ja veerud ning moodustatakse uus maatriks elementidest, mis asuvad väljavalitud ridade ja veergude lõikekohtades, kusjuures nende elementide omavahelist asendit ei muudeta. Alamruutmaatriks on alammaatriks, milles on samapalju ridu ja veerge. Definitsioon 2.26 Maatriksi A k-ndat järku miinor on tema k-ndat järku alamruutmaatriksi determinant. Kui miinor on sellise alamruutmaatriksi determinant, mis on saadud ridade i 1,..., i k ja veergude j 1,..., j k väljavalimisel, siis ütleme, et see miinor asub ridades i 1,..., i k ja veergudes j 1,..., j k. Definitsioon 2.27 Kui maatriksi A miinor M asub ridades i 1,..., i k ja veergudes j 1,..., j k, siis selle miinori täiendusmiinoriks M nimetatakse miinorit, mis asub ridades ja veergudes, mis jäävad järele ridade i 1,..., i k ja veergude j 1,..., j k väljajätmisel maatriksist A. Arvu ( 1 i i k +j j k M nimetatakse miinori M algebraliseks täiendiks. Kui me tahame rõhutada, et vaadeldav miinor asub ridades i 1,..., i k ja veergudes j 1,..., j k, siis kasutame selle miinori, tema täiendusmiinori ja algebralise täiendi jaoks järgmisi tähistusi: M j 1,...,j k i 1,...,i k, M j 1,...,j k i 1,...,i k, A j 1,...,j k i 1,...,i k. 1 Pierre Simon de Laplace ( prantsuse matemaatik. 24
25 Näide 2.28 Kui A = a b c d e f g h i j k l m n o p ja valime selles välja read numbritega 2 ja 4 ning veerud numbritega 1 ja 4, siis saame, et M 1,4 2,4 = e h m p = ep hm, M 1,4 2,4 = b c j k = bk cj, A 1,4 2,4 = ( ,4 M 2,4 = (bk cj = cj bk. Järgneva teoreemi tõestas prantsuse matemaatik Pierre-Simon Laplace aastal. Meie toome selle siin ära ilma tõestuseta. Teoreem 2.29 (Laplace i teoreem Olgu maatriksis A Mat n fikseeritud read i 1,..., i k. Siis A = A j 1,...,j k i 1,...,i k, 1 j 1 <...<j k n M j 1,...,j k i 1,...,i k s.t. A determinant on võrdne ridades i 1,..., i k asuvate kõikvõimalike k-ndat järku miinorite ja nende miinorite algebraliste täiendite korrutiste summaga. Kui Laplace i teoreemi rakendatakse ridade i 1,..., i k korral, siis räägitakse maatriksi A determinandi arendamisest ridade i 1,..., i k järgi. Kuna transponeerimisel determinant ei muutu, siis võib determinanti arendada ka veergude järgi. Eriti kasulik on determinanti arendada mingite k rea järgi siis, kui neis ridades on ainult üks nullist erinev miinor. Sellisel juhul tuleb summasse ainult üks liidetav. Näide 2.30 Järgneva determinandi kahes esimeses reas on ainult üks nullist erinev teist järku miinor (1. ja 3. veerus. Seega kahe esimese rea järgi arendades saame: = ( = ( 2 ( 1 ( 2 = Loomulikult võib determinanti arendada ka ühe rea või veeru järgi. Esimest järku miinor maatriksi A i-ndas reas ja j-ndas veerus on võrdne sellel kohal oleva arvuga. Sellise miinori algebralist täiendit tähistatakse harilikult sümboliga A ij. Niisiis võime Laplace i teoreemi põhjal öelda, et arendades i-nda rea järgi a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn = a i1 A i1 + a i2 A i a in A in = ja arendades j-nda veeru järgi a 11 a a 1n a 21 a a 2n = a 1j A 1j + a 2j A 2j a nj A nj = a n1 a n2... a nn a ij A ij j=1 a ij A ij. Eelöeldu põhja võib sõnastada järgmise meetodi n-ndat järku ruutmaatriksi A determinandi arvutamiseks. 25 i=1
26 1. Valime determinandis välja ühe rea või veeru (soovitavalt sellise, kus juba on nulle. Kui see rida või veerg koosneb ainult nullidest, siis A = 0. Vastasel korral võtame ühe nullist erineva elemendi ja muudame selle abil kõik ülejäänud elemendid antud reas või veerus nulliks kasutades liitmisteisendust. Determinant selle käigus ei muutu. 2. Arendame determinanti valitud rea või veeru järgi. Laplace i teoreemi põhjal taandub A arvutamine ühe (n 1-st järku determinandi arvutamisele. 3. Kordame seda protseduuri kuni jõuame esimest järku determinandini. 2.6 Maatriksite korrutise determinant Selles paragrahvis näitame, et determinandi leidmine on kooskõlas maatriksite korrutamisega. Teoreem 2.31 Sama järku ruutmaatriksite korrutise determinant on võrdne tegurite determinantide korrutisega. Tõestus. Olgu A = (a ij, B = (b ij Mat n. Meie eesmärk on tõestada, et AB = A B. Vaatleme 2n-järku determinanti a 11 a a 1n a 21 a a 2n D = a n1 a n2... a nn b 11 b b 1n b 21 b b 2n b n1 b n2... b nn Arendades seda determinanti D esimese n rea järgi näeme, et D = A B. Teisendame nüüd seda determinanti nii, et kõik elemendid b ij muutuksid nullideks. Selleks liidame (n + 1-sele veerule b 11 -kordse esimese veeru, b 21 -kordse teise veeru jne., lõpuks b n1 -kordse n-nda veeru. Selle tulemusena ei jää (n + 1-se veeru esimesed n elementi enam nullideks, vaid omandavad uued väärtused c 11 = a 11 b 11 + a 12 b a 1n b n1, c 21 = a 21 b 11 + a 22 b a 2n b n1,... c n1 = a n1 b 11 + a n2 b a nn b n1. Teisendades analoogiliselt determinandis D ka ülejäänud elemendid b ij nullideks saame determinandi a 11 a a 1n c 11 c c 1n a 21 a a 2n c 21 c c 2n D = a n1 a n2... a nn c n1 c n2... c nn ,
27 kus c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj = a ik b kj. Tähistades C = (c ij Mat n näeme, et maatriks C on maatriksite A ja B korrutis, AB = C. Arendame nüüd determinanti D viimase n rea järgi. Saame D = ( n C = ( n+n C = C, k=1 sest on paarisarv n + n = (1 + 2n2n 2 + n = (2 + 2n2n 2 = 2n(n
28 3 Pöördmaatriks Meenutame, et ühikmaatriks on ruutmaatriks, mille peadiagonaalil on ühed ja mille kõik muud elemendid on nullid: E = Teame, et reaalarv b on reaalarvu a pöördarv, kui ab = ba = 1. Analoogiliselt defineeritakse ka maatriksi pöördmaatriks. Definitsioon 3.1 Maatriksi A Mat n pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B Mat n, mille korral AB = BA = E. Maatriksit A Mat n nimetatakse pööratavaks, kui tal leidub pöördmaatriks. On selge, et mitte kõik maatriksid ei ole pööratavad. Näiteks nullmaatriksil puudub pöördmaatriks. Samas ühikmaatriks on alati pööratav, tema pöördmaatriks on ta ise, sest EE = E. Lause 3.2 Kui ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks, siis on see üheselt määratud. Tõestus. Olgu B ja C maatriksi A pöördmaatriksid. Siis AC = E ja BA = E. Kasutades neid võrdusi ja maatriksite korrutamise assotsiatiivsust saame, et B = BE = B(AC = (BAC = EC = C. Maatriksi A pöördmaatriksit tähistatakse sümboliga A 1. Definitsioonist näeme, et kui B on A pöördmaatriks, siis A on B pöördmaatriks. Seega võib öelda, et (A 1 1 = A. Järgmine lause annab eeskirja maatriksite korrutise pöördmaatriksi leidmiseks. Lause 3.3 Kui ruutmaatriksid A, B Mat n on pööratavad, siis ka maatriks AB on pööratav, kusjuures (AB 1 = B 1 A 1. Tõestus. Tõepoolest, (AB ( B 1 A 1 = A(BB 1 A 1 = AEA 1 = AA 1 = E ja analoogiliselt ( B 1 A 1 (AB = E. Definitsioon 3.4 Ruutmaatriksit A nimetatakse regulaarseks, kui A 0. Lause 3.5 Iga pööratav ruutmaatriks on regulaarne. Tõestus. Olgu maatriks A Mat n pööratav. Siis tal leidub pöördmaatriks A 1 nii, et AA 1 = E. Kuna teoreemi 2.31 põhjal on korrutise determinant võrdne tegurite determinantide korrutisega, siis 1 = E = AA 1 = A A 1. Järelikult A 0. Defineerime nüüd elementaarteisendused maatriksi ridadega. Selliseid teisendusi kasutatakse paljude praktiliste ülesannete lahendamisel (pöördmaatriksi leidmine, maatriksi astaku leidmine, lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine jne.. 28
Kompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραAlgebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel
Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότερα2. HULGATEOORIA ELEMENTE
2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.
Διαβάστε περισσότεραAritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010
KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016
KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότερα1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραPunktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότερα1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5
1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραFormaalsete keelte teooria. Mati Pentus
Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραYMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραMudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.
Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότεραKeerukusteooria elemente
Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραEesti LIV matemaatikaolümpiaad
Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika. EST meetod
Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότεραDEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
Διαβάστε περισσότεραKrüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas
Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne
Διαβάστε περισσότεραVektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias
ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότερα4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise
Διαβάστε περισσότερα1 Entroopia ja informatsioon
Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραLOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad
Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότερα1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014
1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραAvaliku võtmega krüptograafia
Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane
Διαβάστε περισσότεραDeformatsioon ja olekuvõrrandid
Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότερα6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Διαβάστε περισσότεραDiskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp
Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete
Διαβάστε περισσότεραT~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραKEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,
Διαβάστε περισσότεραDeformeeruva keskkonna dünaamika
Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla
Διαβάστε περισσότεραGeomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.
Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria tasandülesanne
Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
Διαβάστε περισσότερα(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.
Διαβάστε περισσότεραJoonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui
Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.
Διαβάστε περισσότεραEnergiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
Διαβάστε περισσότεραSirgete varraste vääne
1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3
Διαβάστε περισσότερα1. Paisksalvestuse meetod (hash)
1. Paisksalvestuse meetod (hash) Kas on otsimiseks võimalik leida paremat ajalist keerukust kui O(log n)? Parem saaks olla konstantne keerukus O(1), mis tähendaks seda, et on kohe teada, kust õige kirje
Διαβάστε περισσότεραKrüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD
Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon
Διαβάστε περισσότεραMarch 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Διαβάστε περισσότεραKehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.
KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev
Διαβάστε περισσότεραMitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
Διαβάστε περισσότερα2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE
Soojusõpetus 2 1 2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE 2.1. Mõõtmisteooria Füüsikalise suuruse üldise mõiste avab mõõtmisteooria. Mõõtmisteooria loogiline koht on enne füüsikakursust. Probleemide komplitseerituse
Διαβάστε περισσότεραTARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte 5 täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor 7 märts 2004 a Põhikooli ülesannete lahendused ülesanne (KLAASTORU) Plaat eraldub torust siis, kui petrooleumisamba rõhk saab võrdseks veesamba
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότερα