Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27

Transcript

1 Suhteline salajasus Peeter Laud peeter Tartu Ülikool TTÜ, p.1/27

2 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid Kas programm rahuldab järgnevat salajasustingimust? Avalikud väljundid tehakse kõigile teatavaks,... aga salajaste sisendite kohta ei tohi midagi avalikuks saada,... aga me oleme mingil viisil kindlaks teinud, et mittesalajased väljundid ei anna salajaste sisendite kohta sensitiivset infot. Formaalne definitsioon? Programmianalüüs? TTÜ, p.2/27

3 Ettekande ülesehitus Keele süntaks ja semantika. Turvalisuse definitsioon. Programmianalüüs. Abstraktne domeen. Üleminekufunktsioonid. declassify-lause. Lihtne, semantiliselt ebakorrektne analüüs. Programmi ümberkirjutamine. Kahe analüüsi suhe. TTÜ, p.3/27

4 Programmeerimiskeel Lihtne imperatiivne keel (WHILE). P ::= x := o(x 1,..., x k ) skip P 1 ; P 2 if b then P 1 else P 2 while b do P Programmi olekute hulk State on Var Val. x, x 1,..., x k, b Var, o Op. Salajased sisendid muutujate Var S Var esialgsed väärtused. Avalikud/mittesalajased väljundid muutujate Var P Var / Var NS Var lõppväärtused. TTÜ, p.4/27

5 Deterministlik semantika Denotatsiooniline semantika kujutab programmi algoleku lõppolekuks. [P] : State State defineeritud induktiivselt üle süntaksi; State = State { }; tähistab mittetermineerumist. Meie tulemused on hetkel termineerumistundetud. Termineerumisega seotud küsimused on ilmselt teistest küsimustest sõltumatud. Seetõttu loeme me [P] : State State. TTÜ, p.5/27

6 Mittemõjutatavus Harilik definitsioon: Programmi avalike väljundite väärtused peavad olema määratud tema teiste sisendite väärtustega. f : (Var T Val) (Var P Val) nii et kõigi S State jaoks [P](S) VarP = f(s VarT ). Siin Var T tähistab programmi mittesalajasi sisendeid. TTÜ, p.6/27

7 Mittemõjutatavus Tähistagu S 1 = X S 2 võrdust S 1 X = S 2 X, kus X Var. Siis mittemõjutatavus tähendab, et kõigi S 1, S 2 State jaoks S 1 = VarT S 2 = [P ](S 1 ) = VarP [P ](S 2 ). TTÜ, p.7/27

8 Suhteline salajasus Programmi avalike väljundite väärtused peavad olema määratud tema teiste sisendite ja mittesalajaste väljundite väärtustega. S 1 = VarT S 2 [P](S 1 ) = VarNS [P](S 2 ) [P](S 1 ) = VarP [P](S 2 ) Kui eeldame (üldisust kitsendamata), et P ei omista muutujatele Var T -s, siis [P](S 1 ) = VarT [P](S 2 ) [P](S 1 ) = VarNS [P](S 2 ) [P](S 1 ) = VarP [P](S 2 ) TTÜ, p.8/27

9 Abstraktne domeen Mingite (suvaliste) S State ja X, Y, Z Var korral huvitab meid, kas S 1 = X S 2 S 1 = Y S 2 S 1 = Z S 2 kehtib kõigi S 1, S 2 S jaoks. Piisab, kui teame kõigi X Var ja z Var jaoks, kas kehtib kõigi S 1, S 2 S jaoks. S 1 = X S 2 S 1 (z) = S 2 (z) Me abstraheerime P(State)-i domeeniga P(P(Var) Var). Olgu α abstraktsioonifunktsioon. TTÜ, p.9/27

10 Analüüsi üldstruktuur Let A võimalike algolekute hulga abstraktsioon. Rakenda P analüüsi A -le, see annab A -i. A abstraheerib võimalike lõppolekute hulka. Ta on konservatiivne abstraktsioon osad paarid (X, z) võivad puududa. Kui ( Var T Var NS, x ) A kõigi x Var P jaoks, siis võime programmi turvaliseks lugeda. TTÜ, p.10/27

11 Abstraktsiooni omadusi Olgu A = α(s) mingi S State jaoks. Siis ({z}, z) A, (X, z) A (X Y, z) A, (X {y}, z) A (X, y) A (X, z) A kehtivad kõigi X, Y Var ja y, z Var jaoks. Ütleme, et A P(Var) Var on kinnine, kui ta neid implikatsioone rahuldab. A sulund on vähim kinnine A-d sisaldav hulk. TTÜ, p.11/27

12 Omistamiste analüüs Analüüs A(x := o(x 1,..., x k )), rakendatuna A -le, konstrueerib A -i järgmisel viisil: tapa x, s.t. kustuta kõik (X, z), kus x X või x = z; lisa ({x 1,..., x k }, x); moodusta sulund. (eeldame, et x {x 1,..., x k }) Kui mõni x i on peale tehet leitav mingist hulgast X {x, x 1,..., x k } siis lisa teisel sammul ka (X, x i ). Näide: y on leitav hulgast {x, z} peale tehet x := y + z. TTÜ, p.12/27

13 skip-i ja kompositsiooni analüüs A(skip) on identsusfunktsioon. A(P 1 ; P 2 ) = A(P 2 ) A(P 1 ). TTÜ, p.13/27

14 if then else-i analüüs Vaatame programmi if b then P 1 else P 2. Olgu {x 1,..., x k } = Var asgn Var muutujad, millele P 1 -s või P 2 -s omistatakse. Olgu Var = Var {N, x true 1,..., x true k, x false 1,..., x false k } Programmil on sama funktsionaalsus. P true 1 on P 1, kus kõik x i -d on asendatud x true i -ga. P false 2 on defineeritud sarnaselt. Analüüsi hoopis parempoolset programmi. N := b x true 1 := x 1 x false 1 := x 1... x true k x false k P true 1 P false 2 := x k := x k x 1 := N? x true 1 : x false 1... x k := N? x true k : x false k TTÜ, p.14/27

15 Lisaks:? :-de jada analüüsimine Vaatame programmi x 1 := N? x true 1 : x false 1 ; x 2 := N? x true 2 : x false 2 ; ; x k := N? x true k Kui : x false k X Var\{x 1,..., x k } Y {x 1,..., x k } i {1,..., k} (X, N) A (X Y true, x true i ) A (X Y false, x false i ) A siis võime võtta (X Y, x i ) A. TTÜ, p.15/27

16 Harude sõltumatu analüüs Programmi if b then P 1 else P 2 võime analüüsida järgmiselt: Olgu N uus muutuja, olgu Siis võtame (X, z) A, kui (X, z) A 1 A 2 ; A 1 = A(N := b; P 1 )(A ) A 2 = A(N := b; P 2 )(A ). kui X {z} Var asgn, siis (X\Var asgn, N) A 1 (või A 2 ). TTÜ, p.16/27

17 while-i analüüs A(while b do P), rakendatuna A -le, rakendab talle analüüsi A(if b then P else skip) seni kaua, kuni jõuab püsipunktini. Korrektsus järeldub võrdusest [while b do P] = [while b do P] [if b then P else skip ]. TTÜ, p.17/27

18 Alternatiiv Programmi while b do P analüüsiks: Olgu A 1 suurim (hulkade sisalduvuse mõttes), mis rahuldab võrrandit A 1 = A A(N := b; P)(A 1 ) (leitakse iteratiivselt, algväärtuseks võime võtta A ). Siis võtame (X, z) A, kui (X, z) A 1 ; kui X {z} Var asgn, siis (X\Var asgn, N) A 1. TTÜ, p.18/27

19 Deklassifitseerimislause Me lisame programmeerimiskeelde lause kus x Var. declassify(x), Tema semantika on sama, mis lausel skip. Intuitiivne tähendus: praegusel hetkel ei ole võimalik x väärtusest midagi salajaste sisendite kohta leida. Intuitiivne tähendus kajastub analüüsis. TTÜ, p.19/27

20 Lihtne analüüs deklassifitseerimisega Vaatame analüüsi, mis kujutab programmi alguses mittesalajsed muutujad lõpus avalikeks muutujateks. B(P) : P(Var) P(Var), nii argument kui ka väärtus on avalike muutujate hulgad. { B {x}, if x 1,..., x k B B(x := o(x 1,..., x k ))(B ) = B \{x}, otherwise. B(declassify(x))(B ) = B {x} skip ja kompositsioon nagu A. TTÜ, p.20/27

21 Lihtne analüüs, if then else B = B(if b then P 1 else P 2 )(B ) leitakse järgmiselt: kus N on uus muutuja. z B, kui z B 1 B 2 ; B 1 = B(N := b; P 1 )(B ) B 2 = B(N := b; P 2 )(B ), kui z Var asgn, siis N B 1 (ehk N B 2 ). TTÜ, p.21/27

22 Lihtne analüüs, while Programmi while b do P analüüsiks: Olgu B 1 suurim (hulkade sisalduvuse mõttes), mis rahuldab võrrandit B 1 = B B(N := b; P)(B 1 ) (leitakse iteratiivselt). Siis z B parajasti siis, kui z B 1 ; kui z Var asgn, siis N B 1. TTÜ, p.22/27

23 Analüüside seostamine Olgu B Var. Etteantud Var T ja Var NS jaoks olgu ξ(b) := { ( Var T Var NS, x ) : x B}. ξ seob B ja A määramis-/muutumispiirkonnad. B analüüsi B leitud salajast infot mittesisaldavad muutujad. Me tahame defineerida programmiteisenduse ja hulga Var NS nii, et kõigi programmide P ja B Var jaoks kehtiks ξ ( B(P)(B ) ) A(P)(ξ(B )). S.t. A oleks vähemalt sama täpne kui B. Var NS -i kuuluvate muutujate väärtused iseloomustavad, kui palju declassify-d infot annavad. TTÜ, p.23/27

24 Programmiteisendus (1/3) Olgu d uus muutuja. Siis P := [ ] d := Nil; T(P) ja Var NS = {d}. T on defineeritud järgmiselt: T(P) = P, kui P-s pole deklassifitseerimislauseid; T(declassify(x)) := [ tmp := d; d := (x, tmp) ], kus tmp on uus muutuja; Analüüsi A juures: nii y kui ka z on x-st peale tehet x := (y, z) leitavad. T(P 1 ; P 2 ) = T(P 1 ); T(P 2 ); TTÜ, p.24/27

25 Programmiteisendus (2/3) Olgu if - ja while-laused märgendatud. Samas programmis ei esine sama märgend kaks korda. T(if l b then P 1 else P 2 ) := if b then tmp := d; d := ( l, tmp); T(P 1 ) else tmp := d; d := ( l, tmp); T(P 2 ), kus l on antud if -lause märgend. tmp on uus muutuja; l Val on väärtus, mis kuskil mujal ei esine. TTÜ, p.25/27

26 Programmiteisendus (3/3) T(while l b do P) := tmp := d; d := ( a l, tmp); while b do [ T(P); tmp := d; d := ( i l, tmp)], kus l on antud while-lause märgend. tmp on uus muutuja; a l, i l Val on väärtused, mis kuskil mujal ei esine. a l algus ; i l iteratsioon. TTÜ, p.26/27

27 Analüüs A kohendamine if - ja while-lausete analüüse on võimalik optimistlikumaks muuta, sest muutuja d lõppväärtusest on tänu -le võimalik leida tema algväärtus ja väärtus peale iga iteratsiooni. Võime lugeda, et d Var asgn, kuigi talle if -lause harudes või tsüklis omistatakse. S.t. tingimuse (X, z) Var asgn = (X\Var asgn, N) A 1 võib asendada tingimusega (X, z) Var asgn \{d} = (X\(Var asgn \{d}), N) A 1. Seda läheb A ja B seostamisel vaja... TTÜ, p.27/27