Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.

Transcript

1 Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.

2 2

3 Sisukord 1 Põhimõisted Signatuur ja struktuur Homomorfismid ja alamstruktuurid Termid ja atomaarsed valemid Diagramm Kanooniline mudel Struktuuride klassifitseerimine Valemid ja nende interpreteerimine Defineeritavad alamhulgad Defineeritavad struktuuride klassid Mõningaid mõisteid loogikast Hintikka hulgad Valemid ja kujutused, mis neid säilitavad Kasvava jada ühend Kvantorite elimineerimine Kvantorite elimineerimise rakendused

4 4 SISUKORD 3 Struktuuride sarnasus Skolemi teooriad Fraïssé 1 -Ehrenfeuchti 2 mängud Fraïssé-Hintikka teoreem Fraïssé-Hintikka teoreemi rakendusi Kompaktsuse teoreem Kompaktsuse teoreemi rakendusi Tüübid Amalgaamid Łoś-Tarski teoreem Ramsey teoreemid Loenduvad struktuurid Tüüpide välistamine ω-kategoorsed teooriad Ultrakorrutised Kompaktsuse teoreemi teine tõestus Ultrakorrutise suurusest Suured mudelid Kaasaja mudeliteooria Stabiilsus Roland Fraïssé (1920?) 2 Andrzej Ehrenfeucht (1932 )

5 Indeks Łośi teoreem, 91 Łoś-Tarski teoreem, 64 alamstruktuur, 10 elementaarne, 34 algmudel, 76 amalgaam, 58 heir-coheir, 61 tugev, 61 automorfism, 10 diagramm, 16 positiivne, 16 diagrammi lemma, 16 eksistentsiaalse amalgaami teoreem, 62 elementaaramalgeerimise teoreem, 58 elementaardiagramm, 34 elementaardiagrammi lemma, 34 elementaarne sisestus, 34 elimineerimishulk, 35 endomorfism, 10 filter, 87 Fréchet, 88 filtreeritud korrutis, 88 Fraïssé piir, 72 Fraïssé teoreem, 71 Fraïssé-Ehrenfeuchti mängud, 43 Fraïssé-Hintikka teoreem, 46 funktsionaalsümbol, 9 funktsioon Skolemi, 40 graaf juhuslik, 85 Hintikka hulk, 28 homogeenne nõrgalt ~struktuur, 70 homomorfism, 10 iga struktuuri, 69 isomorfism, 10 kompaktsuse teoreem, 49 konstandi lemma, 45 konstandisümbol, 9 5

6 6 INDEKS kujutus valemit säilitav, 31 Löwenheim-Skolemi teoreem ülespoole, 55 allapoole, 42 lause, 13 ekvivalentsed 26 literaal, 14 märkamatu f-, 65 Maltsevi teoreem, 52 moodustaja tüübi, 74 Morley astak täieliku teooria, 103 valemi, 101 Morley teoreem, 104 mudel kanooniline, 18 oligomorfne, 78 orbiit, 78 peafilter, 88 peatüüp, 77 Ramsey teoreem lõplikul juhul, 67 lõpmatul juhul, 65 relatsioonisümbol, 9 signatuur, 9 sisestus, 10 modulo, Skolemi kate, 40 skolemisatsioon, 39 skolemisatsiooniteoreem, 41 struktuur, 9 λ-homogeenne, 97 λ-küllastunud, 96 λ-suur, 96 λ-universaalne, 97 ω-kategoorne, 80 ühtlaselt lokaalselt lõplik, 82 atomaarne, 76 elementaarselt ekvivalentsed, 27 hiilgav, 95 lokaalselt lõplik, 82 minimaalne, 23 totaalselt transtsendentne, 103 struktuuride klass aksiomatiseeritav, 24 defineeritav, 24 tüüp, 57 realiseeritav, 74 täielik, 56 täielik üle X, 56 välistatav, 74 Tarski-Vaught i kriteerium, 40 teooria, 24 λ-kategoorne, 27 λ-stabiilne, 103 ω-kategoorne, 78 ekvivalentsed, 26

7 INDEKS 7 kategoorne, 27 kooskõlaline, 26 mittestabiilne täielik, 103 Skolemi, 39 stabiilne täielik, 103 täielik, 27 universaalne, 32 teoreem loogiline, 26 term, 11 kinnine, 13 tugi tüübi, 74 ultrafilter, 88 regulaarne, 93 ultrahomogeenne struktuur, 70 valem, 21 unnested, 44 unnested atomaarne, 44 alamstruktuurides säiliv, 32 atomaarne, 13 eksistentsiaalne, 31 kinnine, 13 universaalne, 31 valemite hulk defineeritav, 22

8 8 INDEKS

9 Peatükk 1 Põhimõisted 1.1 Signatuur ja struktuur Signatuuriks (ehk tüübiks) nimetame kolmikut L = (C, F, R), kus C on konstandisümbolite hulk (konstante võiks ka vaadelda tegelikult kui 0-aarseid tehteid), F on funktsionaalsümbolite hulk ja R on relatsioonisümbolite hulk. Seejuures peavad olema antud lahutused F = F 1 F 2... ja R = R 1 R 2... ning täidetud nõue, et hulgad C, F ja R ei lõikuks paarikaupa (küll võivad nad olla tühjad). L-struktuuriks nimetame paari A = (A; ϕ), kus A on hulk (ehk universum) ja ϕ on kujutuste komplekt, mille korral ϕ : C c c A A, ϕ : F n f f A {n-aarsed funktsioonid hulgal A} (s.t. f A : A n A) ja ϕ : R n r r A P(A n ). Struktuur võib (meie käsitluses) olla ka tühi. 9

10 10 PEATÜKK 1. PÕHIMÕISTED Kui R =, siis L-struktuur on universaalalgebra. Kui F =, siis L on relatsioonstruktuur. Kõik algebralised struktuurid on L-struktuurid (R = ). Relatsioonstruktuuride tüüpilisteks näideteks on (R, ) ning graafid (tipuhulk A ja temal antud binaarne seos). Struktuurid, kus kumbki hulkadest F ja R pole tühi, on näiteks järjestatud algebralised struktuurid (R; +, ; ). 1.2 Homomorfismid ja alamstruktuurid Definitsioon 1. Homomorfismiks L-struktuurist A L-struktuuri B nimetatakse kujutust ϕ : A B, mis rahuldab järgmisi tingimusi: 1) c C ϕ(c A ) = c B ; 2) f F n a 1,..., a n A ϕ(f A (a 1,..., a n )) = f B (ϕ(a 1 ),..., ϕ(a n )); 3) r R n a 1,..., a n A (a 1,..., a n ) r A (ϕ(a 1 ),..., ϕ(a n )) r B. Olgu näiteks A ja B rühmad. Siis ϕ : A B on toodud definitsiooni mõttes rühmade homomorfism (üksühene) ning A = ϕ(a) B. Definitsioon 2. Üksühest homomorfismi L-struktuurist A L- struktuuri B nimetatakse L-sisestuseks, kui r R n a 1,..., a n A (a 1,..., a n ) r A (ϕ(a 1 ),..., ϕ(a n )) r B. Definitsioon 3. Isomorfismiks nimetatakse sürjektiivset sisestust. Endomorfismiks nimetatakse homomorfismi, kus A = B. Automorfismiks nimetatakse isomorfismi, kus A = B. Definitsioon 4. L-struktuuri B nimetatakse L-struktuuri A alamstruktuuriks, kui 1) B A;

11 1.3. TERMID JA ATOMAARSED VALEMID 11 2) c C c A = c B ; 3) f F n f B = f A B n; 4) r R n r B = r A B n. Nõuded 1) ja 4) on iga alamhulga korral täidetud. 2) väidab, et konstandid sisalduvad igas alamstruktuuris. 3) väidab, et B on kinnine funktsioonide suhtes. Iga homomorfismi kujutis on alamstruktuur. Lause 1. Kui B i, i I, on L-struktuuri A alamstruktuurid, siis ka B i on A alamstruktuur. i I Järeldus 2. Kui A on L-struktuur, siis iga alamhulga X A korral leidub A vähim hulka X sisaldav alamstruktuur. Tõestus. Taoliseks alamstruktuuriks sobib kõigi alamstruktuuride B i, kus X B i, ühisosa. Järelduses 2 märgitud alamstruktuuri nimetatakse X poolt moodustatud alamstruktuuriks, tähistatakse X A (kui C ja F on tühjad hulgad, siis X A = X). 1.3 Termid ja atomaarsed valemid Olgu X suvaline hulk, edaspidises nimetame hulka X tähestikuks. Definitsioon 5. Termiks signatuuris L üle tähestiku X nimetatakse formaalset avaldist (sõnet), mis on saadud järgmiste reeglite kohaselt: 1) Iga x X on term. 2) Iga c C on term. 3) Kui f F n ja t 1,..., t n on termid, siis ka f(t 1,..., t n ) on term. 4) Rohkem terme ei ole.

12 12 PEATÜKK 1. PÕHIMÕISTED Kaks termi võrduvad parajasti siis, kui nad langevad kirjapildis kokku. Olgu nüüd f F n, L-struktuur A, s.t. f A : A n A. Olgu t term signatuuris L. Mis on siis termi t väärtus t A selles struktuuris? Fikseerime kõigepealt lõpliku tähestiku X = {x 1,..., x m } ning tähistame t(x 1,..., x m ) = t(x). Olgu vabalt fikseeritud korteež (a 1,..., a m ) = a A m. Siis termi väärtuseks t A ongi see funktsioon, mis seab korteežile a vastavusse t(a). Kui nüüd hulk X on suvaline, siis ta on Zermelo teoreemi põhjal ikkagi täielikult järjestatav ordinaalarvudega. Olgu siis X = {x 0, x 1, x 2,... }. Nüüd t(x) on avaldis, kus x on korteež lõplikust hulgast muutujatest (kuivõrd term on definitsiooni poolest lõplikku hulka muutujaid sisaldav). Struktuurist leiame a 0, a 1, a 2, A ning asendame need muutujad x i, mis esinevad korteežis x põhihulga elementidega a i. Saame t(a) A. Niiviisi leitakse termi väärtus suvalise tähestiku korral. Kohtab ka tähistust t A : A X A. Lause 3. Olgu A L-struktuur ja S A. Siis S A = {t A (s) t A on term signatuuris L üle tähestiku X nii, et X = S }, kusjuures S = {s 0, s 1, s 2,... } ning X = {x 0, x 1, x 2,... }. Sealjuures kehtib S A S + L. Põhjenduseks märgime kõigepealt, et selles käsitluses mõistame kirjutise L all vähimat lõpmatut võimsust, mis pole väiksem kui L võimsus. Niisiis, kui L on lõplik, on väide kujul S A S + ω. Lause põhjal S A = {termide hulk}. Kui aga X on lõpmatu hulk, siis X = X 2 = X 3 =... ning X = X i. See koos termi definitsiooniga põhjendabki toodud väite. i=1

13 1.3. TERMID JA ATOMAARSED VALEMID 13 Atomaarseteks valemiteks signatuuris L nimetatakse järgmisel kujul olevaid avaldisi: 1) t 1 (x) = t 2 (x), kus t 1, t 2 on termid; 2) r(t 1,..., t n ), kus r R n ja t 1,..., t n on termid. Valemit, kus termide kohal seisavad ainult konstandid, nimetatakse kinniseks valemiks ehk lauseks. Analoogiliselt nimetatakse termi kinniseks, kui temas on ainult konstandid (muidugi on see võimalik ainult siis, kui C A ). Olgu Φ(x) atomaarne valem. Olgu a A n, s.o. väärtustus L- struktuuris A. Siis on Φ(a) mingi väide a kohta. Kui väide Φ(a) on tõene, siis kirjutame A = Φ(a) ning loeme A-s kehtib väide Φ(a). Teoreem 4. Olgu antud L-struktuurid A ja B ϕ : A B. ning kujutus (1) Kui ϕ on homomorfism, siis ϕ(t A (a)) = t B (ϕ(a)) iga termi t ja iga a korral. (2) ϕ on homomorfism parajasti siis, kui iga atomaarse valemi Φ(x) ja iga a korral A = Φ(a) B = Φ(ϕ(a)). (1.1) (3) ϕ on sisestus parajasti siis, kui iga atomaarse valemi Φ(x) ja iga a korral A = Φ(a) B = Φ(ϕ(a)). (1.2) Tõestus. Väide (1) põhjendatakse induktsiooniga termi ehituse järgi. Väite (2) tarvilikkuse tõestamiseks olgu ϕ homomorfism.

14 14 PEATÜKK 1. PÕHIMÕISTED 1. Tähistame Φ(x) atomaarse valemi t 1 (x) = t 2 (x). Siis A = Φ(a) t A 1 (a) = ta 2 (a) ϕ(ta 1 (a)) = ϕ(ta 2 (a)) t B 1 (ϕ(a)) = tb 2 (ϕ(a)) B = Φ(ϕ(a)). 2. Tähistame Φ(x) atomaarse valemi r(x). Siis A = Φ(a) a r A ϕ(a) r B B = Φ(ϕ(a)). Väite (2) piisavuse näitamiseks peame põhjendama, et ϕ säilitab tehted ja relatsioonid (eeldada võime tingimuse (1.1) kehtivust). Olgu võetud f F n ning x = (x 1,..., x n+1 ). Tähistame t 1 (x) = f(x 1, x 2,..., x n ) ning t 2 (x) = x n+1. Olgu Φ(x) atomaarne valem t 1 (x) = t 2 (x). Nüüd f(a 1,..., a n ) = a n+1 A = Φ(a) B = Φ(ϕ(a)) See aga tähendabki, et t B 1 (ϕ(a)) = tb 2 (ϕ(a)). f(ϕ(a 1 ),..., ϕ(a n )) = ϕ(a n+1 ) = ϕ(f(a 1,..., a n )). Relatsioonide säilitamise tõestuse läbiviimine on jäetud lugejale. Väite (3) piisavuse osa tõestamisel tuleb selgitada, miks on kujutus ϕ üksühene. See põhjendatakse, valides x = (x 1, x 2 ) ning termid t 1 (x) = x 1, t 2 (x) = x 2. Nüüd a 1, a 2 A korral ϕ(a 1 ) = ϕ(a 2 ) tähendab, et ϕ(t A 1 (a)) = ϕ(ta 2 (a)), sellest aga seetõttu, et ϕ on homomorfism, saame t B 1 (ϕ(a)) = tb 2 (ϕ(a)). Nüüd B = Φ(ϕ(a)) A = Φ(a), millest saame, et t 1 (a) = t 2 (a), s.t. a 1 = a 2. Definitsioon 6. Literaalideks nimetatakse atomaarseid valemeid ja nende eitusi.

15 1.4. DIAGRAMM 15 Olgu Φ(x) atomaarne valem, siis Φ(x) on selle atomaarse valemi eitus. Eitust interpreteeritakse tavalisel viisil: A = Φ(a) A = Φ(a). Järeldus 5. ϕ on sisestus parajasti siis, kui tingimus (1.1) kehtib kõigi literaalide Φ(x) korral. Nii võime öelda ka, et kujutus on homomorfism parajasti siis, kui ta säilitab atomaarsed valemid. Kujutus on sisestus parajasti siis, kui ta säilitab literaalid. Vaatleme nüüd kõikvõimalikke terme. Tähistame sümboliga T (L, X) kõigi termide hulga signatuuris L üle tähestiku X. Seda hulka saab lihtsasti muuta L-struktuuriks. Olgu c C, siis c T (L,X) = c. Olgu f F n, t 1,..., t n T (L, X). Siis kujutis f(t 1,..., t n ) T (L, X) ning interpretatsioon f T (L,X) (t 1,..., t n ) = f(t 1,..., t n ). Seoseid interpreteerime tühjadena. Saadud struktuuri nimetatakse absoluutselt vabaks L-struktuuriks. Olgu A suvaline L-struktuur ning ϕ : X A. Siis saab kujutust ϕ üheselt jätkata homomorfismiks ϕ : T (L, X) A, defineerides ϕ(t(x)) = t(ϕ(x)) = t(ϕ(x)). (Siin X = {x 0, x 1,... } on tähestik.) Kujutus ϕ on korrektselt defineeritud, sest erinevad termid ei saa võrdsed olla (s.t. ühe ja sama termi jaoks on üksainus kirjapilt tema kirjapanekuks). 1.4 Diagramm Olgu A L-struktuur. Kui konstandisümboli c C korral c A = a, siis on c elemendi a nimi. Tihti antakse igale elemendile nimi nii,

16 16 PEATÜKK 1. PÕHIMÕISTED et laiendatakse signatuuri. Selleks piisab konstandisümbolite hulka arvata moodustajate süsteem. Olgu L(c) signatuur, mis on L-st saadud konstandisümbolite c 0, c 1,... lisamisel. Siis A(a) on L(c)-struktuur, milles c A(a) i = a i. Kui a A = A, siis on igal elemendil nimi A(a)-s. Nii võime struktuuri A ära määrata kinniste termide abil. Definitsioon 7. Signatuuri L(c) kõigi kinniste atomaarsete lausete (literaalide) hulka, mis kehtivad struktuuris A(a), nimetatakse struktuuri A positiivseks diagrammiks (diagrammiks). Positiivse diagrammi valik pole ühene, sest moodustajate süsteemi saab valida väga erinevalt. Diagramm (positiivne diagramm) määrab struktuuri üheselt. Olgu näiteks f F n, u 1,..., u n, u n+1 A ning f A (u 1,..., u n ) = u n+1. Ilmselt u i = t A i (a), s.t. asendamisel t A (a) = f(t A 1 (a),..., ta n (a)) = t A n+1 (a), kus vasakul pool seisev t A (a) on üks uus term. Nii on väide f A (u 1,..., u n ) = u n+1 kirja pandav kui t A (a) = t A n+1 (a) ehk A = Φ(a), kus Φ(x) on t(x) = t n+1 (x). Olgu c C, c A = a. Siis olgu atomaarne valem Φ(x) kirjutatud t 1 (x) = t 2 (x), kus t 1 (x) = c, t 2 (x) = x. Nüüd saame, et A = Φ(a). Diagrammi (positiivse diagrammi) mõistet võib vaadelda kui Cayley tabeli üldistust. Lemma 6. (Diagrammi lemma.) Olgu A ja B L-struktuurid ning A(a) ja B(b) vastavad L(c)-struktuurid. Siis on ekvivalentsed järgmised kaks väidet: (1) Leidub homomorfism ϕ : a A B nii, et ϕ(a) = b. (2) L(c) iga atomaarse lause Φ korral A(a) = Φ B(b) = Φ, (1.3)

17 1.5. KANOONILINE MUDEL 17 Kui need väited on tõesed, on ϕ üheselt määratud. Kui ϕ on sisestus, siis tingimuses (1.3) kehtib ka. Tõestus. Tõestame (2) (1). Olgu u a A. Siis u = t A (a) ja defineerime ϕ(u) = ϕ(t A (a)) = t B (b). Kujutus ϕ on korrektselt defineeritud, sest tingimuse (1.3) kehtivuse tõttu t A 1 (a) = ta 2 (a) tb 1 (b) = tb 2 (b). Ülejäänu saame juba teoreemist 4. Järeldus 7. Olgu täidetud diagrammi lemma eeldused, kusjuures a A = A. Siis (1) kui B = diag + A, siis leidub homomorfism A B; (2) kui B = diag A, siis leidub sisestus A B. 1.5 Kanooniline mudel Olgu L signatuur, T mingi atomaarsete lausete hulk signatuuris L. Vaatleme tingimusi 1) t(a) = t(a) T iga kinnise termi t jaoks; 2) Kui Φ(x) on atomaarne valem ja valem s = t sisaldub T -s, siis Φ(s) T Φ(t) T. Nõuame, et oleks 1) ja 2) täidetud (hulka T saab alati ühesel viisil selliseks laiendada). Olgu X kõigi kinniste termide hulk signatuuris L (kui C =, siis tuleb kanooniline mudel tühi). T on atomaarsete lausete hulk. Defineerime hulgal X seose s t s = t T.

18 18 PEATÜKK 1. PÕHIMÕISTED Kas on ekvivalentsusseos? 1) refleksiivsus kehtib 1) tõttu; 2) sümmeetrilisus: eeldame s = t T ning tähistame Φ(x) atomaarse valemi x = s, siis Φ(s) T. Nüüd 2 tõttu Φ(t) T. Järelikult t = s T. 3) transitiivsus: kehtigu s t, t r. Tähistame Φ(x) atomaarse valemi s = x. Nüüd Φ(t) T, t = r T, mis annab Φ(r) T. Seega s = r T. Moodustame faktorhulga X/ = Y. Kasutame siin klassi kohta tähist s/ (raamatus on tähiseks s ). Defineerime c Y = c/. Seos on kongruents, s.t. võib tehte ja seose märgi vahetada. Olgu f F n. Siis defineerime f (s 1 /,..., s n / ) = f(s 1,..., s n )/. Olgu r R n. Siis defineerime (s 1 /,..., s n / ) r r(s 1,..., s n ) T. Siin ei tohi sõltuda seosesse kuulumine valitud esindajast, aga see tuleb tingimuse 2) abil välja. Kehtigu s i t i, i = 1,..., n. Kas f(s 1,..., s n ) f(t 1,..., t n )? Refleksiivsuse tõttu kehtib f(s 1,..., s n ) f(s 1,..., s n ). Moodustame atomaarse valemi f(s 1,..., s n ) = f(x, s 2,..., s n ) jne. ning kasutame tingimust 2) n korda. Saadud L-struktuur ongi T kanooniline mudel. Teoreem 8. Olgu T mingi kinniste lausete hulk signatuuris L ja A selle hulga kanooniline mudel. Siis 1) A = T ; 2) A iga element esitub signatuuri L kinnise termina;

19 1.5. KANOONILINE MUDEL 19 3) kui B on L-struktuur nii, et B = T, siis leidub ühene homomorfism A B. Esimesed kaks tingimust väidavad, et kanooniline mudel on suurim mudel hulgal T. Tingimus 1) kehtib konstruktsiooni järgi, 2) ka konstruktsiooni järgi. Tingimus 3) väidab, et struktuuris A pole liigseid seoseid (ta on maksimaalselt vaba). Tingimuse 2) põhjal A = A. A konstruktsiooni tõttu on iga selles kehtiv kinnine lause hulgas U, kus U on hulgast T saadud jaotise alguses toodud konstruktsiooniga. Et aga kõigi B-s kehtivate atomaarsete lausete hulk on = suhtes kinnine ja sisaldab T -d, peab ta sisaldama ka T vähimat = suhtes kinnist ülemhulka U. Niisiis mistahes atomaarse lause Φ korral A = Φ B = Φ, millest lemma abil saame 3). Taoline protsess on sarnane polünoomi lahutuskorpuse leidmisele.

20 20 PEATÜKK 1. PÕHIMÕISTED

21 Peatükk 2 Struktuuride klassifitseerimine 2.1 Valemid ja nende interpreteerimine Definitsioon 8. Valem defineeritakse induktiivselt. 0. Kui Φ on atomaarne valem, siis Φ on valem. 1. Kui Φ on valem, siis ka Φ on valem. 2. Kui Φ 1,..., Φ n on valemid, siis ka Φ 1 Φ n ja Φ 1 Φ n on valemid (suvalise lõpliku valemite hulga F korral kirjutame F ja F). 3. Kui Φ on valem ja x on muutuja, siis ka xφ ja xφ on valemid. 4. Rohkem valemeid pole. Kvantori olemasolu või mitteolemasolu pole eriti oluline, kui kvantorialune muutuja ei sisaldu valemis. Juhtumil, kus kvantorialu- 21

22 22 PEATÜKK 2. STRUKTUURIDE KLASSIFITSEERIMINE ne muutuja esineb kusagil mujal samas valemis vabalt (näiteks ( xφ(x)) Ψ(x)), eeldame, et võime kvantorialuse muutuja alati ümber nimetada. Valemeid interpreteerime järgnevalt. Kui Φ on atomaarne valem kujul t 1 (x) = t 2 (x) ja x = (x 1,..., x n ), siis struktuuris A on Φ(A n ) = {(a 1,..., a n ) t A 1 (a) = ta 2 (a)} An. Seda kirjutame Φ A = {(a 1,..., a n ) t A 1 (a) = ta 2 (a)}. Kui Φ on atomaarne valem kujul r(x), siis Φ A = {(a 1,..., a n ) (a 1,..., a n ) r A }. Kehtivad hulgateooriast tuntud seosed ( Φ) A = A n \ Φ A, (Φ 1 Φ 2 ) A = Φ A 1 ΦA 2, (Φ 1 Φ 2 ) A = Φ A 1 ΦA 2, ning kui Φ = Φ(x 0,..., x n ) ja Ψ = x 0 Φ(x 0, x 1,..., x n ), siis Ψ A = {(a 1,..., a n ) a 0 A (a 0,..., a n ) Φ A }, analoogiliselt olemasolukvantori korral. Kaht valemit nimetatakse ekvivalentseks, kui nende interpretatsioonid suvalistel struktuuridel ühtivad. Näiteks valemid xφ ja x Φ on ekvivalentsed. Põhimõtteliselt võime seega piirduda ühe kvantoriga. Kvantorid võib valemist loogika samaväärsuste abil alati ette tuua. 2.2 Defineeritavad alamhulgad Olgu A L-struktuur. Struktuuris A olevat hulka X A n nimetatakse defineeritavaks, kui leidub valem L-s, mille interpretatsiooniks A-l on X.

23 2.2. DEFINEERITAVAD ALAMHULGAD 23 Kasutatakse ka n.ö. parameetritega defineeritavuse mõistet (lubatakse konstante). Näiteks x 1 = x 2 + a on saadav valemist x 1 = x 2 + x 3, fikseerides kolmanda muutuja konstandina a. Vaatleme kõigepealt tühja signatuuri. Siis mudelid on hulgad ja defineeritavad on ning A, vastavateks valemiteks on x = x ning (x = x). Juhul A 2 on defineeritavad, A 2, {(x, x) x A} ja {(x, y) (x = y)}. Võtame B A, lubame hulgast B parameetreid. Siis valem x = b annab defineeritavateks ka hulgad {b} ja A \ {b}. Üldiselt tulevad siia B lõplikud alamhulgad ja nende täiendid. Defineeritavad alamhulgad moodustavad igas struktuuris Boole i algebra kinnine tehete, ja \ suhtes. Parameetrite korral on seega kõik lõplikud alamhulgad ja nende täiendid defineeritavad. Lõpmatut struktuuri nimetatakse minimaalseks, kui tema parameetritega defineeritavad alamhulgad on lõplikud alamhulgad ja nende täiendid. Ülesanne. Olgu G rühm. Eeldame, et G rahuldab minimaalsuse tingimust 1 lõpliku indeksiga 2 parameetritega defineeritavate alamrühmade suhtes. Väide: rühmal G eksisteerib vähim lõpliku indeksiga ja parameetritega defineeritav alamrühm. Kui H 1 ja H 2 on kaks taolist alamrühma, siis H 1 H 2 tuleb ka lõpliku indeksiga. See vähim alamrühm tuleb kinnine kõigi automorfismide suhtes. See olevat koguni ilma parameetriteta defineeritav. (?) Vaatleme veel ühte näidet. Olgu V vektorruum, L = F 1 F 2 koosnegu vektorruumi aksioomidest. Termid on kujul t(x) = α 1 x α n x n. Valem t 1 (x 1, a 2,..., a n ) = t 2 (x 1, a 2,..., a n ) on viidav kujule αx 1 = a. See määrab tühja hulga, ühe elemendi või kogu ruumi 1 pole lõpmatult kahanevaid ahelaid 2 alamrühma indeks = kõrvalklasside arv alamrühma järgi

24 24 PEATÜKK 2. STRUKTUURIDE KLASSIFITSEERIMINE (need tuleksid aga niikuinii). Kui on kaks vaba muutujat ja paneme ühe neist kvantori alla: x 1 α 1 x 1 + α 2 x 2 = a. Kui α 2 0, on see võimatu (s.t. määrab kas tühja hulga või α 2 = 0 ja seda uurisime juba). x 1 α 1 x 1 + α 2 x 2 = a. Kui α 2 0, siis võime iga x 1 korral sellise x 2 leida: α 2 x 2 = a α 1 x 1 ja korrutame α 1 2 -ga. Nii et midagi juurde ei tule. Tegelikult pole see väga üllatav, sest vektorruum on väga homogeenne. Vektorruumide ja hulkade ühine omadus universaalalgebra muutkondadena on, et mõlema kõik elemendid on vabad. 2.3 Defineeritavad struktuuride klassid Milliseid L-struktuure võime L-struktuuride klassist välja eraldada oma keele abil? Lause on teatavasti kinnine valem. Tähistame tähega T teooriat ehk lausete hulka. Tähistame Mod T = {A A = T } Mod T võib olla tühi, näiteks kui Φ on (a = a), siis Mod T =. Definitsioon 9. L-struktuuride klassi K, mis on kujul Mod T mingi T korral, nimetatakse L-aksiomatiseeritavaks. Kui T koosneb ühest lausest, siis klassi K nimetatakse L-defineeritavaks. Sel viisil võib lõplikud lausete hulgad alati asendada ühe lausega: Φ 1 Φ n. Näiteks kõigi rühmade klass: signatuur, aksioomideks on samasused (laused, kus kõik muutujad on kvantorite all ja koosnevad kahe termi võrdusest): xyz (xy)z = x(yz); x x 1 = x; x x x 1 = 1. Kui vektorruumi põhikorpus on lõpmatu, on lõpmatu hulk samasusi (sest ei saa kirjutada α K α on funktsionaalsümbol). Korpust pole võimalik defineerida samasuste abil (sest nullil pole

25 2.3. DEFINEERITAVAD STRUKTUURIDE KLASSID 25 pöördelementi, aga teistel elementidel on). Kuid esimest järku keele abil saab seda siiski teha: xyz (x+y)+z = x+(y +z); x x+0 = x; x x x = 0; xy x + y = y + x; xyz (xy)z = x(yz); x x1 = x, x 1x = x; xyz x(y + z) = xy + xz; xyz (x + y)z = xz + yz; xy xy = yx; 0 1; x (x 0 y xy = 1). Tuntud algebrate klasside seest eraldatakse välja mitmeid alamklasse. Lõplike rühmade alamklass näiteks pole defineeritav. Me võime küll kirja panna (loenduva arvu) valemeid kujul x 1,..., x 100 y(y = x 1 y = x 2 y = x 100 ), aga me ei saa nende konjunktsiooni pidada valemiks, mis defineeriks lõplike rühmade alamklassi (kuivõrd lubame vaid lõplikke konjunktsioone). Siiski paljud alamklassid on defineeritavad kui nõuame elementide kohta midagi, siis enamasti on, kui aga näiteks alamrühmade kohta, siis enamasti mitte. p-rühm, iga elemendi järk on algarvu p aste see pole vist ka defineeritav. Rühm on lõpliku eksponendiga (elemendi järkudel on vähim ühiskordne) on küll: x x n = 1 (siin n on eksponendi mingi kordne). Väändeta rühmad ühegi elemendi ( 1) järk pole lõplik see on aksiomatiseeritav, aga mitte defineeritav. Iga n jaoks paneme kirja x(x 1 x n 1). Perioodiline rühm järgud kõik lõplikud ei saa aksiomatiseerida. Lahenduv rühm: xy = yx I astme lahenduv rühm (ehk [x, y] = 1, kus [x, y] = x 1 y 1 xy), [[x, y], [u, v]] = 1 II astme lahenduv rühm jne. Kõigi lahenduvate rühmade klassi aga ei saa aksiomatiseerida. Hamiltoni rühm: iga alamrühm on normaalne jälle ei saa ak-

26 26 PEATÜKK 2. STRUKTUURIDE KLASSIFITSEERIMINE siomatiseerida. Aga kui tahaks iga tsüklilise alamrühma kohta väita, siis saaks. Järjestusstruktuurid: osaliselt järjestatud hulk on aksiomatiseeritav: x x x; xy (x y y x x = y); xyz (x y y z x z). Lineaarne järjestus ka ( xy (x y y x)), saab öelda, et on suurim/vähim element ( z x z x) või siis et ei ole suurimat/vähimat ( x z z x). Saab öelda, et järjestus on tihe (et iga kahe vahele saab panna kolmanda: xy (x < y z(x < z z < y))). Tihe lineaarne järjestus ilma suurima/vähima elemendita on tähtis näide. 2.4 Mõningaid mõisteid loogikast Olgu T teooria, Φ lause. Tähistame T Φ A (A = T A = Φ). Sisuliselt tähendab see seda, et Φ on T järeldus (T entails Φ või Φ is a consequence of T ). Loogikas tähendab sümbol tihti tuletamist. Predikaatarvutuses on ja = samaväärsed. (Kui lause on tuletatav, siis ta on tõene ja vastupidi ka.) Lauset Φ nimetatakse loogiliseks teoreemiks, kui ta on tõene igas struktuuris (A = Φ iga A korral). Seda olukorda võib tähistada ka Φ. Teooriat T nimetatakse kooskõlaliseks, kui leidub struktuur A, et A = T, s.t. Mod T. Teooriaid S ja T nimetatakse ekvivalentseteks, kui Mod S = Mod T. Öeldakse, et laused Φ ja Ψ on ekvivalentsed modulo T, kui Mod (T {Φ}) = Mod (T {Ψ}). Kui on ekvivalentsed modulo, siis on tõesti ekvivalentsed. Tähistame Th A = {Φ A = Φ}. Nii tekib vastavus teooriate ja L-struktuuride klasside vahel. Th töötab L-struktuuride klassidest teooriatesse, Mod vastupidi.

27 2.4. MÕNINGAID MÕISTEID LOOGIKAST 27 Mõlemad operaatorid pööravad järjestuse ringi. K Mod Th K klassi teooria, s.o. ühisosa klassi struktuuride teooriatest. T Th Mod T. Definitsioon 10. L-struktuure A ja B nimetatakse elementaarselt ekvivalentseteks, kui Th A = Th B. S.t. neid struktuure ei saa eristada I astme valemite abil. Näiteks isomorfsetel struktuuridel on samad klassid. Siiski on elementaarse ekvivalentsuse mõiste nõrgem kui isomorfsuse mõiste. Näiteks kaks tihedat lineaarset järjestust ilma otspunktideta Q-l ja R-l. See sõna elementaarne vihjab just I astme keelele. Teooriat selles keeles nimetatakse ka elementaarteooriaks. Definitsioon 11. Teooriat nimetatakse täielikuks, kui ta on kooskõlaline ja tema suvalised kaks mudelit on elementaarselt ekvivalentsed. Teooria T osutub täielikuks parajasti siis, kui iga lause Φ jaoks signatuuris L kehtib täpselt üks väidetest T Φ ja T Φ. Jagame laused paarideks ja võtame igast paarist ühe. Siis saame kooskõlalise teooria ja seda suurendada enam ei saa (s.t. ta on täielik nagu näiteks predikaatarvutus). Kooskõlalist teooriat nimetatakse kategoorseks, kui kõik T mudelid on omavahel isomorfsed. Kategoorseid teooriaid on väga vähe. Kui teoorial on lõpmatu mudel, siis ta kategoorne olla ei saa. S.t. teooria saab olla kategoorne, kui kõik mudelid on lõplikud (väga väikese mahuga mõiste). λ-kategoorsed: λ on kardinaalarv kui kõik võimsusega λ mudelid on isomorfsed. ω-kategoorsed on huvitav klass, näiteks tihedad otspunktidega loenduvad ratsionaalarvude vahemikud vmt.

28 28 PEATÜKK 2. STRUKTUURIDE KLASSIFITSEERIMINE 2.5 Hintikka hulgad Hintikka hulgad on hulgad, millel on mudel alati olemas. Olgu T teooria signatuuris L. Nõuame teoorialt T, et: 1. Kui Φ on atomaarne lause, siis Φ T Φ / T. 2. Kui t on kinnine term, siis t = t T. 3. Kui Φ(x) on atomaarne valem, s ja t on kinnised termid, s = t T, siis Φ(s) T Φ(t) T. 4. Kui Φ on lause ja Φ T, siis Φ T. 5. Kui Φ Ψ T, siis Φ, Ψ T. Kui (Φ Ψ) T, siis Φ T või Ψ T. 6. Kui Φ Ψ T, siis Φ T või Ψ T. Kui (Φ Ψ) T, siis Φ, Ψ T. 7. Kui x Φ(x) T, siis Φ(t) T iga kinnise termi t korral. Kui ( x Φ(x)) T, siis Φ(t) T mingi kinnise termi t korral. 8. Kui x Φ(x) T, siis Φ(t) T mingi kinnise termi t korral. Kui ( x Φ(x)) T, siis Φ(t) T iga kinnise termi t korral. Sellist teooriat T nimetame Hintikka hulgaks. Teoreem 9. Iga Hintikka hulk T evib mudelit, mille iga element esitub antud signatuuri kinnise termina. Tõestus. Tähistame U = {Φ T Φ on atomaarne}. Olgu A hulga U kanooniline mudel. Näitame, et iga lause Φ jaoks Φ T A = Φ ja Φ T A = Φ (siis A Mod T ). Tõestuse viime läbi matemaatilise induktsiooniga. Mingi atomaarsete lausete hulga kanoonilise mudeli diagramm on seesama lausete hulk, tingimusel, et on täidetud 2. ja 3. Nii et baas (atomaarsete lausete juht) kehtib. Kehtigu Φ = Ψ ja Ψ T A = Ψ ning Ψ T A = Ψ. Vaja on näidata, et Ψ T A = Ψ ja Ψ T A = Ψ.

29 2.5. HINTIKKA HULGAD 29 Esimene kehtib eelduse põhjal, teise tarvis paneme tähele, et Ψ T Ψ T A = Ψ A = Ψ, sest Ψ ja Ψ on loogiliselt samaväärsed. Olgu juhtum Φ = Φ 1 Φ 2. Siis Φ T { } Φ1 T A = Φ 1 A = Φ Φ 2 T A = Φ 1 Φ 2. 2 Teine järeldus põhjendatakse järgmiselt, Φ T Φ 1 T A = Φ 1 A = (Φ 1 Φ 2 ) (või Φ 2 T, mis ei kitsenda üldisust). Vaatleme veel sammuna Φ = x Ψ(x). Siin Φ T Ψ(t) T iga kinnise termi t korral, millest järeldub, et A = Ψ(t). Kuna A on kanooniline mudel, siis iga element A-s on esitatav kinnise termina. Järelikult kehtib nüüd A = x Ψ(x). Teise järelduse tõestamiseks eeldame, et kehtib Φ T, millest saame, et leidub kinnine term t nii, et Ψ(t) T A = Ψ(t) A = ( xψ(x)). Tõestus on läbiviidav ka juhul, kui lubada lõpmatuid konjunktsioone ja disjunktsioone. Teoreem 10. Olgu T teooria, mis rahuldab tingimusi: (a) T iga lõplik alamhulk evib mudelit; (b) iga lause Φ korral kehtib täpselt üks väidetest Φ T ja Φ T ; (c) iga lause x Ψ(x) T korral leidub kinnine term t nii, et Ψ(t) T.

30 30 PEATÜKK 2. STRUKTUURIDE KLASSIFITSEERIMINE Siis T evib mudelit. Tõestus. Näitame, et T on Hintikka hulk. Olgu U T lõplik alamhulk, Φ lause. Tõestame, et U Φ Φ T (väljend U Φ tähendab, et U igas mudelis on tõene ka Φ). Saame, et U Φ, Φ / T Φ T U { Φ} T, 3.????? hulgal U { Φ} on mudel, vastuolu väitega U Φ. Peame nüüd kontrollima Hintikka hulga definitsiooni nõuete täidetust. Nõue 1. kehtib a) tõttu. Nõude 2 täitmiseks võtame U =, tähistame tähega Φ valemi t = t. Siis U Φ Φ T. Nõuded 3. ja 4. peaks ka nii tulema. Näiteks 4. jaoks Φ T ning valime U = { Φ}. Nüüd U Φ. Taolisel viisil järeldades saame nõuete 5. ja 7. esimesed pooled ning nõuete 6. ja 8. teised pooled. Vaatleme näiteks 6. esimest poolt. Kehtigu Φ 1 Φ 2 T, siis on vaja, et Φ 1 T või Φ 2 T. Oletame vastuväiteliselt, et Φ 1 T, Φ 2 T. Nüüd {Φ 1 Φ 2, Φ 1, Φ 2 } evib mudelit, vastuolu. Märgime kohe, et kompaktsuse teoreemis kaht viimast tingimust pole (tegemist on liigsete eeldustega).

31 2.6. VALEMID JA KUJUTUSED, MIS NEID SÄILITAVAD Valemid ja kujutused, mis neid säilitavad Olgu A ja B L-struktuurid. Olgu f kujutus A B ning olgu Φ(x) valem. Definitsioon 12. Öeldakse, et f säilitab Φ, kui iga a korral A = Φ(a) B = Φ(f(a)). Valemit nimetatakse universaalseks, kui ta on kujul... (... ), kus sulgude sees on kvantoriteta valem. Valemit nimetatakse eksistentsiaalseks, kui ta on kujul... (... ), kus sulgude sees on kvantoriteta valem. Tähistame n+1 vähimat lausete klassi, mis sisaldab kõik n - valemid, on kinnine tehete ja suhtes ning võib ette panna märgi. Teoreem 11. Olgu Φ(x) 1 -valem ja f : A B olgu sisestus. Siis f säilitab Φ. Tõestus. Tõestame induktsiooniga. Baasiks on atomaarsed valemid, väide nende korral kehtib (vt. teoreem 4). Olgu Φ = Ψ(x). Siis A = Ψ(a) A = Ψ(a) B = Φ(f(a)) B = Φ(f(a)). Olgu Φ = Φ 1 Φ 2. Siis { } A = Φ1 (a) B = Φ A = Φ(a) 1 (f(a)) B = Φ(f(a)). A = Φ 2 (a) B = Φ 2 (f(a)) Olgu lõpuks Φ(x) = yψ(y, x). Siis A = Φ(a) c A A = Ψ(c, a) B = Ψ(f(c), f(a)) B = Φ(f(a)).

32 32 PEATÜKK 2. STRUKTUURIDE KLASSIFITSEERIMINE Definitsioon 13. Öeldakse, et valem Φ(x) säilib alamstruktuurides, kui sellest, et A on B alamstruktuur ja B = Φ(a) mingi A elementide vektori korral, siis ka A = Φ(a). Näiteks Abeli rühmade teoorias: puhas Abeli rühm et kui element jagub n-ga rühmas, on ka igas alamrühmas n-ga jaguv. Teooriat nimetame universaalseks, kui tema kõik laused on universaalsed. Järeldus 12. (a) Universaalsed valemid säilivad alamstruktuurides. (b) Kui T on universaalne teooria, siis T mudelite klass on kinnine alamstruktuuride võtmise suhtes. Tõestus. (a) kehtib sellepärast, et.... (b) tõestuseks märgime, et kui ι : A B on sisestus nii, et ι(a) = a, siis vastuolu. A = Φ(a) A = Φ(a) B = Φ(ι(a)), Nimetame valemit positiivseks, kui ta ei sisalda eitust. (Kuna näiteks Φ Ψ Φ Ψ, siis kui pole eitust, pole ka implikatsiooni.) Teoreem 13. (a) Isomorfism säilitab kõik valemid. (b) Sürjektiivne homomorfism säilitab kõik positiivsed valemid. (c) Iga homomorfism säilitab eksistentsiaalsed positiivsed valemid. Tõestus. (c) jaoks olgu Φ(y) = xψ(x, y) ja a A. Siis A = Φ(a) A = Ψ(c, a) B = Ψ(ϕ(c), ϕ(a)) B = Φ(ϕ(a)), kus c A on mingi element.

33 2.7. KASVAVA JADA ÜHEND Kasvava jada ühend Olgu antud alamstruktuuride A i A j kasvava jada ühend, i < j < γ. Moodustame ühendi A = i<γ A i ning vaatame, kuidas interpreteerida signatuuri elemente. Konstandisümbolite c C korral c A i = c A 0, siis ka c A = c A 0. Olgu f F n ning a 1,..., a n A. Siis leidub selline i, et a 1,..., a n A i. Nüüd f A (a 1,..., a n ) = f A i (a 1,..., a n ). Võiks valida vähima sellise i, aga võib ka suvalise kuna on alamstruktuurid. Olgu r R n, siis A = r(a 1,..., a n ) A i = r(a 1,..., a n ). Näiteks tsüklilised rühmad järkudega p, p 2,..., millest moodustame loenduva ühendi. Tulemuseks on p -tüüpi rühm. Teoreem 14. Olgu Ψ(y, x) eksistentsiaalne valem. Siis yψ(y, x) säilib struktuuride kasvavate jadade ühendites. Tõestus. Olgu a A 0 elementide korteež ning Φ(x) = yψ(y, x). Vaja on näidata, et mistahes i korral A i = Φ(a) A = Φ(a). Olgu a A 0. Siis i < γ A i = yψ(y, a). Kas A = yψ(y, a)? Valime vabalt b A = i<γ A i. Leidub i, mille korral b kõik komponendid kuuluvad hulka A i. Kuna A i A, siis eksistentsiaalsed valemid säilivad (teoreem 11) ning A i = Ψ(b, a) A = Ψ(b, a).

34 34 PEATÜKK 2. STRUKTUURIDE KLASSIFITSEERIMINE Olgu Φ valemite hulk ning ϕ : A B kujutus. Definitsioon 14. Kujutust ϕ : A B, mis säilitab kõik valemid, nimetame elementaarseks sisestuseks. Vaatleme olukorda ϕ(a) = C B. Siis A = C. Väide: sel korral A ja B on elementaarselt ekvivalentsed, s.t. Th A = Th B, ehk A B. Olgu Φ lause (suvaline). Siis A = Φ B = Φ kehtib, sest ϕ on sisestus. näidatakse üle eituse. Sellist alamstruktuuri A B nimetame elementaarseks ja tähistame A B. On näiteid, mille korral A B, A B, aga A B. Vaatleme N = {0, 1,... }, sellel loomulikku järjestust. Olgu X = {1, 2,... }. Siis X N, X N (isegi X = N). Iga lause, mis on tõene X-s, on tõene N-s (kuna struktuurid on isomorfsed), aga näiteks valem Φ(y) = x x y korral X = Φ(1) N = Φ(1). Olgu A L-struktuur. Moodustame signatuuri (L, c). Olgu a moodustajate süsteem A-s. Siis c (A,a) = a. Nimetame A elementaardiagrammiks laiendatud signatuuri lausete hulga, mis on A-s tõesed. S.t. eldiag A = Th (A, a). Lemma 15. (Elementaardiagrammi lemma.) Olgu (A, a) ja (B, b) (L, c)-struktuurid. Siis järgmised kaks väidet on ekvivalentsed: (a) Signatuuri L iga valemi Φ(x) korral (A, a) = Φ(c) (B, b) = Φ(c). (b) Leidub elementaarne sisestus ϕ : A B nii, et ϕ(a) = b. Tõestus. (b) (a) on ilmne. Vastupidise jaoks defineerime ϕ nagu lemma 8 tõestuses. Kui a on A elementide mingi korteež ja Φ(z)

35 2.8. KVANTORITE ELIMINEERIMINE 35 on L mingi valem, siis sobivate muutujate x valimisel võime kirjutada Φ(z) kujul Ψ(x) nii, et Φ(a ) ja Ψ(a) on samad valemid. Siis A = Φ(a ) annab A = Ψ(a), millest (a) tõttu B = Ψ(f(a)) ning seega B = Φ(f(a )). Seega on f elementaarne sisestus. 2.8 Kvantorite elimineerimine Olgu K L-struktuuride klass. Definitsioon 15. Öeldakse, et valemite hulk Φ on elimineerimishulk (elimination set) K jaoks, kui signatuuri L iga valemi Φ(x) jaoks leidub valem Φ (x), mis on ekvivalentne Φ(x)-ga kõigis struktuurides A K ja esitub Boole i kombinatsioonina (s.t. kasutades vaid,, ) hulka Φ kuuluvatest valemitest. Siin muidugi tahame, et Φ oleks võimalikult väike. Sest kui valida selleks signatuuri kõigi valemite hulk, on ta definitsiooni kohaselt ka elimineerimishulk, aga edasi see ei vii. Kvantorite elimineerimine on ühelt poolt meetod, teiselt poolt aga omadus. Teoorial on kvantorite elimineerimise omadus, kui selle mudeli klassi elimineerimishulgaks kõlbab kvantorivabade valemite hulk. Olgu K tihedad lineaarselt järjestatud hulgad ilma otspunktideta. Siis elimineerimishulga valemid on x y x < y, x y y < x, y (x < y x = y), y (x > y x = y) ja x < y. Näiteks ka x = y ( x < y)&( y < x). Piirduda võime universaalsete valemitega, sest. Siis kirjutame x (Φ 1 (x)... Φ k (x)) xφ 1 (x)... xφ k (x). Raskusi tekib elementaardisjunktsioonidest kvantorite eemaldami-

36 36 PEATÜKK 2. STRUKTUURIDE KLASSIFITSEERIMINE sega. Piirdume siin näitega x ((x < y) (x < z)) ( x (x < y)) ( x (x < z)). 2.9 Kvantorite elimineerimise rakendused?????? Struktuuride klassifitseerimine. Olgu A, B K, Φ elimineerimishulk ja A B. Siis ilmselt ka Th (A) Th (B), sest leidub lause Φ nii, et A = Φ ja B = Φ või vastupidi. Olgu Φ K Φ, kus Φ on Boole i kombinatsioon Φ-sse kuuluvatest valemitest. Siis leidub Ψ Φ nii, et A = Ψ, B = Ψ (või vastupidi). Olgu erijuht: hulgas Φ n lauset. Siis K jaguneb 2 n alamklassiks. Olgu tihe lineaarne järjestus ilma otspunktideta. Siis on 4 erinevat klassi sõltuvalt alg- ja lõpp-punkti olemasolust. Muide, kui on lause, mis on ekvivalentne Boole i kombinatsiooniga Φ-sse kuuluvatest valemitest, siis need valemid peavad olema laused. Lause tuleb lugeda tühjaks Boole i kombinatsiooniks Φ elementidest. Teooria täielikkuse uurimine. Olgu T teooria, K = Mod T. Meid huvitab, kas K kõik struktuurid on elementaarselt ekvivalentsed. Kui leiame elimineerimishulga K jaoks, on asi lihtne. Lahenduvuse otsustamine: kas leidub algoritm, mis otsustab, kas valem on tõene või väär. Siin on ka väga kasulik elimineerimishulk. Kui on olemas algoritm Φ Φ, siis on elimineerimishulga valemite tõesust üldiselt lihtne kontrollida. Tavaliselt, kui on mingi algebra ära kirjeldatud, on siiski otstarbekam arutleda algebra keeles, sest elimineerimismeetod ei kasuta midagi, mis meil struktuuride kohta teada on. Samuti on ta väga süntaktiline. Algebraliselt kinnised korpused (näiteks C) on ka elimineerimise

37 2.9. KVANTORITE ELIMINEERIMISE RAKENDUSED 37 omadusega, Φ = {kvantoriteta valemid}.

38 38 PEATÜKK 2. STRUKTUURIDE KLASSIFITSEERIMINE

39 Peatükk 3 Struktuuride sarnasus 3.1 Skolemi teooriad Thor-Alf Skolemile ei meeldinud väga suure võimsusega hulgad. Loenduvaga ta veel leppis. Skolemi teoreem: olgu L loenduv signatuur, siis iga lõpmatu L-struktuur on elementaarselt ekvivalentne mingi loenduva L- signatuuriga. Definitsioon 16. Olgu T teooria signatuuris L. Teooriat T + T signatuuris L + L nimetatakse teooria T skolemisatsiooniks, kui on täidetud järgmised tingimused: (a) iga L-struktuur A Mod T on laiendatav L + -struktuuriks (b) signatuuri L + iga valemi Φ(x, y) jaoks (kus x pole tühi korteež) leidub L + term t(x) nii, et T + x ( y Φ(x, y) Φ(x, t(x)). Definitsioon 17. Öeldakse, et T on Skolemi teooria, kui ta on iseenda 39

40 40 PEATÜKK 3. STRUKTUURIDE SARNASUS?????? skolemisatsioon. Vastavaid funktsioone t(x) nimetatakse Skolemi funktsioonideks. Kui L L, siis L jaoks ei tarvitse L + enam olla skolemisatsioon. Kui T = T + on Skolemi teooria signatuuris L = L +, siis ka T T on Skolemi teooria, sest siis T T +. Teoreem 16. (Tarski-Vaught i kriteerium) Olgu A B (alamstruktuur). Siis A B parajasti siis, kui Ψ(x, y) ja iga korteeži a korral B = y Ψ(a, y) A = y Ψ(a, y). (Näiteks kui on valem x x y. Siis on see sama mis x (x y) ehk x y > x. See on tõene järjestusstruktuuris (N, <), aga väär järjestusstruktuuris (N \ {0}, <), kui valida y kohale 1.) Tõestus. Tarvilikkus on ilmne saadav otseselt elementaarse ekvivalentsuse definitsioonist. Piisavus sisestamine säilitab kõik eksistentsiaalsed valemid (teoreem 11). Kuna kehtib ka B = y Ψ(a, y) A = y Ψ(a, y), saame A = y Ψ(a, y) B = y Ψ(a, y), nagu soovitud. Teoreem 17. Olgu T Skolemi teooria signatuuris L. (a) Signatuuri L iga valem Φ(x) on modulo T ekvivalentne mingi kvantorivaba valemiga Φ (x) (x ei ole tühi); (b) Kui A Mod T, X A, siis X A A (s.t. X A on A Skolemi kate (Skolem hull)) Tõestus. Definitsiooni nõudes (b) järeldub valemist Φ(x, t(x)) valem y Φ(x, y), nii et oleks võinud kirjutada asemel. Induktsiooniga valemi kuju järgi saame nüüd (a) tõestada.

41 3.1. SKOLEMI TEOORIAD 41 (b) jaoks olgu B = X A. Olgu b B n ja Φ(x, y) signatuuri L selline valem, et A = yφ(b, y). Siis nõue (b) tagab sellise termi t(x) olemasolu, et A = Φ(b, t(b)). Ent t A (b) B, kuna B on kinnine signatuuri L funktsioonide suhtes. Tarski-Vaught i kriteeriumi põhjal B A. Skolemi funktsioonide olemasolu tagab Tarski-Vaughti kriteeriumi täidetuse: B = y Ψ(a, y) B = Ψ(a, t(a)) A = Ψ(a, t(a)) A = y Ψ(a, y). Tegelikult ei pea võtma X, vaid niisama mingi alamstruktuuri. Lühidalt, iga alamstruktuur on elementaarne. Siit saab suhteliselt lihtsasti kätte Löwenheim-Skolemi teoreemi (neid on tegelikult kaks). Albert Thoralf Skolem ( ), Leopold Löwenheim ( ). Olgu A = T. Vaatleme seost x Φ(x, y) T Skolemi teooria. Siis B A B A. Φ(x, t(x)), kus T on Teoreem 18. (skolemisatsiooniteoreem) Iga teooria signatuuris L on laiendatav Skolemi teooriaks sobivas signatuuris L +, kusjuures saame, et L = L + (kui L on lõplik, siis loeme L = ω). Tõestus. Kirjeldame järgneva konstruktsiooni. Signatuuri L iga valemi Φ(x, y) jaoks (kus x pole tühi korteež) toome sisse uue funktsionaalsümboli F Φ,x, mis on sama aarsusega nagu x. Signatuuriks L võtame L koos uute funktsionaalsümbolitega. Hulk Σ(L) koosnegu lausetest kujul x ( y Φ(x, y) Φ(x, F Φ,x (x))). Väidame, et iga L-struktuur A on laiendatav teooria Σ(L) mudeliks. Kui A =, on ta juba Σ(L) mudel. Kui pole tühihulk, siis laiendame A L -struktuuriks A järgmiselt: olgu Φ(x, y) signatuuri L mistahes valem ning a A n. Kui leidub selline b nii, et A = Φ(a, b), siis valime ühe sellise b ning interpreteerime F A Φ,x (a) = b. Kui pole sellist

42 42 PEATÜKK 3. STRUKTUURIDE SARNASUS b-d, siis olgu interpretatsiooniks näiteks a esimene komponent. Sellisel viisil A on Σ(L) mudel. Defineerime signatuuride jada (L n ), n < ω ja teooriate jada (Σ n ), n < ω induktiivselt. Olgu L 0 = L ja Σ 0 =. Siis L n+1 = (L n ) ja Σ n+1 = Σ n Σ(L n ). Lõpuks L Σ = L n ja Σ = Σ n. Nüüd on Σ Skolemi teooria ning L Σ = L. Võtame nüüd T + = Σ T. n<ω n<ω Teoreem 19. (Allapoole Löwenheim-Skolemi teoreem.) Olgu A lõpmatu L-struktuur ja λ selline kardinaalarv, et L λ A. Siis A omab elementaarset alamstruktuuri võimsusega λ. Tõestus. Olgu A lõpmatu L-struktuur ja T = Th (A) selle teooria. Moodustame signatuuri L +, sellele vastab teooria T + ja struktuur A + uues signatuuris. Nüüd X A nii, et X = λ. Olgu B + = X A +. Siis teoreemist 17 kuna T T +. B + A + B A, Näide. Olgu G lõpmatu lihtne rühm (tal pole normaaljagajaid rohkem kui {1} ja G). Kui ω λ < G, siis leidub lihtne alamrühm H G nii, et H = λ. Tõepoolest, Löwenheim-Skolemi teoreemi tõttu leidub H G nii, et H = λ. Seos ütleb, et kõik valemid, kus muutuja asendada G elemendiga, on tõesed ka H-s. Olgu g, h H. Vaja saada, et iga g ja h jaoks g (h) H, kus (h) H on h poolt tekitatud normaalne alamrühm H-s (vähim normaalne alamrühm, mis sisaldab h-d). Küsime, kas g (h) H. Kindlasti g (h) G, millest g x 1 hx x G G, s.t. g = (x 1 1 hx 1) ε1... (x 1 n hx n ) εn,

43 3.2. FRAÏSSÉ 3 -EHRENFEUCHTI 4 MÄNGUD 43 ε i = ±1. G-s on tõene valem x z = (x 1 1 yx 1) ε1... (x 1 n yx n ) εn, kus y ja z on vabad muutujad. Nüüd Tarski-Vaughti kriteeriumi põhjal on valem tõene ka H-s. S.t. need x i -d saab H-st leida. Näide. (P(A);,, ). See klass ei ole aksiomatiseeritav, sest siin pole loenduvat Boole i algebrat. Kui A on lõplik, siis P(A) on lõplik. Kui A on loenduv, siis P(A) on kontiinumi võimsusega. Peaks sisaldama loenduvat elementaarset alamstruktuuri, see on võimatu.?????? 3.2 Fraïssé 1 -Ehrenfeuchti 2 mängud Isomorfismi uurimisel pole eriti mõtet, sest tegemist on lihtsalt ümbertähistamisega. Ekvivalentsuse näol on aga tegemist justkui lokaalse isomorfsusega. Olgu A ja B L-struktuurid. On kaks mängijat: mängijad (Abelard) ja (Eloise) need on mingist klassikalisest legendist pärit. Mängijatel ja on oma soovid. Abelard tahab näidata, et need struktuurid pole ühesugused, Eloise aga, et need on ühesugused. Abelard alustab. Valib ükskõik kummast struktuurist suvalise elemendi. Eloise valib teisest struktuurist mingi elemendi. Protsessi korratakse. Niiviisi tekivad elemendid a 0 a 1... a n... b 0 b 1... b n... Eloise püüdlused on a 0,..., a n = b0 A,..., b n B. Kui need katted 1 Roland Fraïssé (1920?) 2 Andrzej Ehrenfeucht (1932 ) ϕ

44 44 PEATÜKK 3. STRUKTUURIDE SARNASUS on isomorfsed (kusjuures ϕ(a i ) = b i ), siis Eloise l on lihtne mängida (juhul, kui ta teab isomorfismi ϕ). Vaatleme näiteks Abeli rühmi Q ja Z liitmise suhtes. Siis Eloise ei saa võita. Abelard valib näiteks a 0 = 1. Eloise peab midagi valima, olgu siis b 0 = 10. Nüüd valib Abelard mingi murru, mille nimetaja ei ole b 0 jagaja. Näiteks a 1 = 1. Eloise l pole enam midagi valida, et 3 tehet säilitada. Taolist mängu tähistatakse EF γ (A, B), kus γ on tõke mängu pikkusele. Definitsioon 18. Kirjutame A γ B, kui omab võitvat strateegiat mängus EF γ (A, B). Lause 20. Olgu A ja B L-struktuurid. Siis (a) A = B γ A γ B; (b) β < γ ja A γ B A β B; (c) γ on ekvivalentsusseos iga γ korral.????? kui A > ω? Märkame nüüd, et A ω B ja A = B annavad kokku A = B. Kaks loenduvat tihedat ilma otspunktideta lineaarset järjestust on isomorfsed see on vana Cantori teoreem. Definitsioon 19. Nimetame unnested atomaarseks valemiks valemeid, mis on ühel järgmistest kujudest: 1) x = y; 2) c = y; 3) f(x) = y; 4) r(x). Nimetame unnested valemiks valemit, mis on saadud atomaarsetest unnested valemitest.

45 3.3. FRAÏSSÉ-HINTIKKA TEOREEM 45 Asja mõte on, et funktsionaalsümboli ja relatsioonisümboli argumentides ei kasutata omakorda funktsionaalsümboleid, s.t. superpositsioon on keelatud. Saab näidata, et iga valem on ekvivalentne mingi unnested valemiga. Näiteks olgu valem f(g(x), z) = c. Selle valemi kirjutame ümber kujul uw (g(x) = u f(u, z) = w c = w) või kujul uw (g(x) = u f(u, z) = w c = w) Olgu A ja B L-struktuurid, a = (a 0,..., a i ) ja b = (b 0,..., b i ). Siis võidab, kui iga unnested atomaarse valemi Φ korral A = Φ(a) B = Φ(b). See nõue on justkui nõrgem kui see, et samaväärsus leiaks aset iga valemi korral. Olukorda, kus Eloise l on võitev strateegia unnested mängus EF k [A, B], tähistatakse A k B. 3.3 Fraïssé-Hintikka teoreem Lemma 21. (Konstandi lemma.) Olgu L signatuur, T teooria ja Φ(x) valem selles signatuuris. Olgu c erinevate konstantide jada, mis ei kuulu L-i. Siis T Φ(c) parajasti siis, kui T x Φ(x).?????? Lemma 22. Olgu A ja B L-struktuurid, a A n, b B n. Siis on ekvivalentsed järgmised väited: (1) A(a) k+1 B(b); (2) c A d B nii, et A(a, c) k B(b, d) ja d B c A nii, et A(a, c) k B(b, d). Tõestus. Kehtigu (1). Olgu c A. Vaatleme mängu EF k+1 [A(a), B(b)], kus mängija valib kõigepealt c. Valigu siis oma võitva strateegia σ abil vastuseks d. Mängigu nüüd

46 46 PEATÜKK 3. STRUKTUURIDE SARNASUS mängijad mängu EF k [A(a, c), B(b, d)]. Siin võidab, vaadeldes seda mängu kui viimast k sammu mängust EF k+1 [A(a), B(b)], kasutades strateegiat σ käikude tegemisel. Teine pool tõestatakse analoogiliselt. Kehtigu (2). Siis võidab mängija mängu EF k+1 [A(a), B(b)] järgnevalt. Kui alustab mingi elemendiga c, siis valib d nagu punktis (2) ning ülejäänud mängu ajal kasutab oma võitvat strateegiat mängus EF k [A(a, c), B(b, d)]. Tõestus on analoogiline, kui alustas elemendiga d B. Teoreem 23. (Fraïssé-Hintikka teoreem.) Olgu L lõplik signatuur. Siis on võimalik efektiivselt (s.t. et leidub algoritm) leida unnested valemite lõplikud hulgad Θ n,k nii, et: (0) kui Φ Θ n,k, siis Φ sisaldab ülimalt n vaba muutujat ja qr (Φ) k (qr ehk kvantori astak on arv, mis kvantorita valemil on 0, ei muuda, võtab max, võtab min komponentide qr -dest, ning kvantori ettepanemine suurendab qr 1 võrra); (1) iga L-struktuuri A, iga k, n ja korteeži a A n jaoks leidub täpselt üks Φ(x) Θ n,k nii, et A = Φ(a); (2) iga k, n ja iga L-struktuuride paari A, B jaoks kui a A n ja b B n, siis A(a) k B(b) parajasti siis, kui leidub Φ Θ n,k nii, et A = Φ(a) ja B = Φ(b); (3) iga k ja iga unnested valemi Φ jaoks, kus on ülimalt n vaba muutujat ja qr (Φ) k, on võimalik efektiivselt leida disjunktsioon hulka Θ n,k kuuluvatest valemitest, mis on loogiliselt ekvivalentne valemiga Φ. Tõestus. Olgu k = 0, n suvaline. Signatuuri L lõplikkuse tõttu eksisteerib lõplik hulk unnested atomaarseid valemeid Φ(x), kus on ülimalt n vaba muutujat; kirjutame need üles Φ 0,..., Φ m 1. Olgu Ψ i {Φ i, Φ i } vabalt valitud, ning paigutame hulka Θ n,0 täpselt kõik valemid kujul Ψ 0 Ψ m 1. Oletame nüüd, et kõik hulgad Θ n,k on olemas iga n ja mingi fiksee-

47 3.3. FRAÏSSÉ-HINTIKKA TEOREEM 47 ritud k korral. Hulk Θ n+1,k on lõplik, s.t. Θ n+1,k = {χ 0 (x 0,..., x n ),..., χ j 1 (x 0,..., x n )}. Moodustame hulga Θ n,k+1. Olgu X {0, 1,..., j 1} suvaline alamhulk. Hulk Θ n,k+1 koosnegu valemitest kujul ( ) ( Ψ X = x n χ i (x 0,..., x n ) x n i X ) χ i (x 0,..., x n ). See tähendab, iga valem Θ n,k+1 -s kirjeldab viisi, mil moel saab n- korteeži laiendada (n + 1)-korteežiks, sellel (n + 1)-korteežil tõeste qr k unnested valemite terminites. Omaduse (1) tõestame induktsiooniga k järgi. Juhul k = 0 see kehtib, sest kõik kvantorivabad ülimalt n vaba muutujaga unnested atomaarsed valemid olid üles loetud, ning struktuuris A saab korteeži a korral kehtida valem Ψ i (a) või tema eitus, kus 0 i m 1. Kehtigu (1) mingi k korral, ning vaatleme Θ n,k+1 konstruktsiooni. Olgu ette antud korteež a A n. Tähistame X a = {j a A A = χ j (a, a)} ning vaatleme valemit Ψ XA. Siis Ψ XA (a) konjunktsiooni esimene pool on tõene definitsiooni põhjal. Oletame, et konjunktsiooni teine pool on väär, s.t. et leidub selline a A, et kõik χ j (a, a)-d on väärad. Kuna X a sisaldab kõiki selliseid indekseid j, mille korral leidub a A, et χ j (a, a) on tõene, ning induktsiooni eelduse tõttu peab täpselt üks selline χ i korteeži (a, a) jaoks leiduma, siis oleme saanud vastuolu. Järelikult on tõene ka konjunktsiooni teine pool. Omadus (1) on tõestatud. Omaduse (2) tõestame ka induktsiooniga k järgi. Kui k = 0, siis A(a) 0 B(b) parajasti juhul, kui signatuuri L iga unnested atomaarse valemi Φ(x) korral A = Φ(a) B = Φ(b). See tähendab, et a ja b on sama tüüpi (unnested kvantorivaba tüüpi). Hulga Θ n,0 konstruktsiooni põhjal leidub selline Φ(x) Θ n,k, mille korral A = Φ(a) ja B = Φ(b). Ilmselt on see Φ ainus. i X

48 48 PEATÜKK 3. STRUKTUURIDE SARNASUS????? Üleminekul k-lt k+1-le kasutame lemmat 22 ja induktsiooni eeldust. Saame, et A(a) k+1 B(b) parajasti juhul, kui kehtib ) a b Φ Θ n+1,k (A = Φ(a, a) B = Φ(b, b) ja ) b a Φ Θ n+1,k (A = Φ(a, a) B = Φ(b, b)????? Tähistame jälle X a = {j a A A = χ j (a, a)} ning vaatleme valemit Ψ Xa Θ n,k+1. Siis kehtib A = Ψ Xa (selle saime juba 1) tõestamisel). Nüüd peame silmas, et B = Ψ Xa tähendab: iga i X korral leidub b B, mille puhul B = χ i (b, b) ja iga b B korral leidub selline i X, et B = χ i (b, b). Seda aga lemma 22 ja induktsiooni eelduse kasutamiseks täpselt vaja ongi. Omadus (2) on tõestatud. Omaduse (3) tõestame induktsiooniga k järgi. Kui kvantoreid pole, s.t. qr (Φ) = 0 ja unnested valemis Φ on ülimalt n vaba muutujat, siis on see unnested valem ise üks Φ i -dest. Nüüd lausearvutuse reeglit α α β α β kasutades m 1 korda saamegi Ψ 0... Ψ m 1 - kujuliste valemite disjunktsiooni. Olgu nüüd valemi Φ kvantori astak k +1 ja vabade muutujate arv n. Predikaatarvutuse samaväärsuste abil võime eeldada, et Φ on kujul Φ(x) = y Ψ(x, y), kus valem Ψ on kvantori astakuga k ja vabade muutujate arvuga n+1. Et Ψ avaldub disjunktsioonina hulka Θ n+1,k kuuluvatest valemitest ja olemasolukvantoriga võib disjunktsiooni sisse minna, siis avaldub Φ disjunktsioonina hulka Θ n,k+1 kuuluvatest valemitest. Omadus (3) on tõestatud. Teoreem 24. Kui L on lõplik signatuur, siis L-struktuurid A ja B on elementaarselt ekvivalentsed parajasti siis, kui A k B iga k korral. Tõestus. Märgime, et iga lause on loogiliselt ekvivalentne mingi unnested lausega Nüüd piisab tähele panna, et Fraïssé-Hintikka teoreemi (2) tähendab, et A-l ja B-l kehtivad kõik lõpliku kvantori astakuga unnested laused samaaegselt.